જો ${ }^{15} C_4+{ }^{15} C_5+{ }^{16} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8={ }^{19} C_{r}$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

'$CORGOO$' શબ્દમાંથી કોઈપણ ચાર અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધાન-$1:$ $10$ સમાન દડાઓને $4$ ભિન્ન પેટીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પેટી ખાલી ન રહે,તે $^9C_3$ છે.
વિધાન-$2:$ $9$ અલગ-અલગ જગ્યાઓમાંથી કોઈપણ $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^9C_3$ છે.

એક વિદ્યાર્થીને પરીક્ષામાં $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે કહેવામાં આવે છે,જેથી તેણે પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા ચાર પ્રશ્નોના જવાબ આપવા જ પડે. તો તેની પાસે ઉપલબ્ધ કુલ શક્ય પસંદગીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\alpha = \binom{m}{2}$ હોય,તો $\binom{\alpha}{2} = \dots$

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $4$ અંકની એવી કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય જેમાં બે એકી અને બે બેકી અંકો હોય?