MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिए गए वक्र $C_1: x^2-4y^2=2$ और $C_2: 8x^2+my^2=40$ हैं।
$C_1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 8y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y} = m_1$.
$C_2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $16x + 2my \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{my} = m_2$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय हैं,$m_1 \times m_2 = -1$.
$(\frac{x}{4y}) \times (-\frac{8x}{my}) = -1 \implies \frac{8x^2}{4my^2} = 1 \implies 2x^2 = my^2$.
$C_1$ से,$x^2 = 2 + 4y^2$. इस मान को शर्त में रखने पर: $2(2 + 4y^2) = my^2 \implies 4 + 8y^2 = my^2 \implies (m-8)y^2 = 4$.
वक्र बिंदु $(x, y)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए समीकरणों को हल करने पर: $x^2 - 4y^2 = 2$ और $8x^2 + my^2 = 40$.
पहले समीकरण को $8$ से गुणा करने पर: $8x^2 - 32y^2 = 16$.
दूसरे से घटाने पर: $(m+32)y^2 = 24 \implies y^2 = \frac{24}{m+32}$.
$y^2$ का मान $x^2 = 2 + 4y^2$ में रखने पर: $x^2 = 2 + \frac{96}{m+32} = \frac{2m+160}{m+32}$.
$2x^2 = my^2$ में रखने पर: $2(\frac{2m+160}{m+32}) = m(\frac{24}{m+32}) \implies 4m + 320 = 24m \implies 20m = 320 \implies m = 16$.

(B) दिया गया वक्र $x^2 = y - 6$ है,जिसे $y = x^2 + 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2x$।
बिंदु $(1, 7)$ पर,ढाल $m = 2(1) = 2$ है।
बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 7 = 2(x - 1)$ है,जो सरल होकर $2x - y + 5 = 0$ हो जाता है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 + 16x + 12y + C = 0$ को स्पर्श करती है। वृत्त का केंद्र $(-8, -6)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 - C} = \sqrt{64 + 36 - C} = \sqrt{100 - C}$ है।
केंद्र $(-8, -6)$ से रेखा $2x - y + 5 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$r = \frac{|2(-8) - (-6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-16 + 6 + 5|}{\sqrt{5}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $r^2 = 5$ प्राप्त होता है,इसलिए $100 - C = 5$,जिसका अर्थ है कि $C = 95$।

(D) मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्र $y^2 = 6x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 6$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y_1}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m_1 = \frac{3}{y_1}$ है।
वक्र $9x^2 + by^2 = 16$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{9x_1}{by_1}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m_2 = -\frac{9x_1}{by_1}$ है।
चूंकि वक्र समकोण पर काटते हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$,जिसका अर्थ है $(\frac{3}{y_1}) \times (-\frac{9x_1}{by_1}) = -1$,अतः $\frac{27x_1}{by_1^2} = 1$। चूंकि $y_1^2 = 6x_1$,इसलिए $\frac{27x_1}{b(6x_1)} = 1$,जिसे सरल करने पर $\frac{27}{6b} = 1$,अतः $b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण $4y^2 - 4y + 2x - 1 = 0$ है।
जब स्पर्शरेखा $Y$-अक्ष के समांतर होती है,तो $\frac{dx}{dy} = 0$ होता है।
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dy}(4y^2 - 4y + 2x - 1) = 0$
$8y - 4 + 2\frac{dx}{dy} = 0$
$2\frac{dx}{dy} = 4 - 8y$
$\frac{dx}{dy} = 2 - 4y$
$\frac{dx}{dy} = 0$ रखने पर,$2 - 4y = 0 \implies y = \frac{1}{2}$।
अब,$y = \frac{1}{2}$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$4(\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 2x - 1 = 0$
$1 - 2 + 2x - 1 = 0$
$2x - 2 = 0 \implies x = 1$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ है।

(D) दिया गया वक्र $xy = 100$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(5, 20)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{20}{5} = -4$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 20 = -4(x - 5) \implies y - 20 = -4x + 20 \implies 4x + y - 40 = 0$ है।
अभिलंब की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{4}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 20 = \frac{1}{4}(x - 5) \implies 4y - 80 = x - 5 \implies x - 4y + 75 = 0$ है।
संयुक्त समीकरण $(4x + y - 40)(x - 4y + 75) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $4x^2 - 16xy + 300x + xy - 4y^2 + 75y - 40x + 160y - 3000 = 0$.
सरल करने पर: $4x^2 - 15xy - 4y^2 + 260x + 235y - 3000 = 0$.
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,कोई भी विकल्प सही नहीं है।

(B) माना $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
तब $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$,जिसका अर्थ है $(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$ होगा।
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1)^2 - [2(y-1)]^2 \ge 0$.
$(y+1-2y+2)(y+1+2y-2) \ge 0$.
$(3-y)(3y-1) \ge 0$.
$(y-3)(3y-1) \le 0$.
अतः,$\frac{1}{3} \le y \le 3$.
अधिकतम मान $3$ है और न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।
उनका अंतर $3 - \frac{1}{3} = \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3}$ है।

(A) दिया गया समीकरण:
$x+\log_{15}(5+3^x)=x\log_{15}5+\log_{15}24$
$x$ को $\log_{15}(15^x)$ के रूप में लिखने पर:
$\log_{15}(15^x)+\log_{15}(5+3^x)=\log_{15}(5^x)+\log_{15}24$
$\log(a)+\log(b)=\log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log_{15}(15^x(5+3^x))=\log_{15}(24 \cdot 5^x)$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$15^x(5+3^x)=24 \cdot 5^x$
चूंकि $15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x$,इसलिए:
$3^x \cdot 5^x(5+3^x)=24 \cdot 5^x$
दोनों पक्षों को $5^x$ से विभाजित करने पर $(5^x \neq 0)$:
$3^x(5+3^x)=24$
माना $t=3^x$. तब:
$t(5+t)=24$
$t^2+5t-24=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t+8)(t-3)=0$
चूंकि $t=3^x > 0$,इसलिए $t=3$ होगा:
$3^x=3^1$
$x=1$

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\log_3 x^{16}} + 9\log_{27}\sqrt[3]{\frac{3}{x}} = 5$ है।
प्रथम पद का सरलीकरण:
$\sqrt{\log_3 x^{16}} = \sqrt{16\log_3 x} = 4\sqrt{\log_3 x}$।
द्वितीय पद का सरलीकरण:
$9\log_{27}\sqrt[3]{\frac{3}{x}} = 9 \cdot \log_{3^3} (\frac{3}{x})^{1/3} = 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \log_3(\frac{3}{x}) = 1 \cdot (\log_3 3 - \log_3 x) = 1 - \log_3 x$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$4\sqrt{\log_3 x} + 1 - \log_3 x = 5$।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$4\sqrt{\log_3 x} - \log_3 x = 4$।
मान लीजिए $t = \sqrt{\log_3 x}$,तो $t^2 = \log_3 x$:
$4t - t^2 = 4 \Rightarrow t^2 - 4t + 4 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t - 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$।
चूंकि $t = \sqrt{\log_3 x} = 2$,इसलिए $\log_3 x = 4$।
अतः,$x = 3^4 = 81$।

(D) दिया गया है:
$p^3 = q^4 = r^6 = t^7 = s^2 = k$
प्रत्येक चर को $k$ के पदों में व्यक्त करें:
$p = k^{1/3}, q = k^{1/4}, r = k^{1/6}, s = k^{1/2}, t = k^{1/7}$
गुणनफल $pqrs$ ज्ञात करें:
$pqrs = k^{1/3} \times k^{1/4} \times k^{1/6} \times k^{1/2} = k^{(1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/2)}$
घातांकों का योग ज्ञात करें:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{4 + 3 + 2 + 6}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
अतः,$pqrs = k^{5/4}$
अब लघुगणक का मान ज्ञात करें:
$\log_t(pqrs) = \log_{k^{1/7}}(k^{5/4})$
गुणधर्म $\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n} \log_a(b)$ का उपयोग करते हुए:
$\log_{k^{1/7}}(k^{5/4}) = \frac{5/4}{1/7} = \frac{5}{4} \times 7 = \frac{35}{4}$

(A) छायांकित क्षेत्र रेखाओं $x-y=0$ और $x+y=0$ द्वारा परिबद्ध है।
रेखा $x-y=0$ के लिए,छायांकित क्षेत्र में एक बिंदु,जैसे $(1, 0)$ लेने पर,$1-0=1 > 0$ प्राप्त होता है। चूँकि क्षेत्र में रेखा भी शामिल है,इसलिए हम $y=x$ रेखा के नीचे के क्षेत्र के लिए $x-y \leq 0$ पर विचार करते हैं।
ग्राफ को देखने पर,छायांकित क्षेत्र $y=x$ रेखा के नीचे (अर्थात $y \geq x$ या $x-y \leq 0$) और $y=-x$ रेखा के ऊपर (अर्थात $y \geq -x$ या $x+y \geq 0$) स्थित है।
अतः,छायांकित क्षेत्र को दर्शाने वाली असमिकाएँ $x-y \leq 0$ और $x+y \geq 0$ हैं।

(D) हम सर्वसमिका ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,पहले दो पदों को लें: ${ }^{15} C_4+{ }^{15} C_5 = { }^{16} C_5$.
अब,व्यंजक ${ }^{16} C_5+{ }^{16} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8$ हो जाता है।
अगला,${ }^{16} C_5+{ }^{16} C_6 = { }^{17} C_6$.
अब,व्यंजक ${ }^{17} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8$ हो जाता है।
अगला,${ }^{17} C_6+{ }^{17} C_7 = { }^{18} C_7$.
अब,व्यंजक ${ }^{18} C_7+{ }^{18} C_8$ हो जाता है।
अंत में,${ }^{18} C_7+{ }^{18} C_8 = { }^{19} C_8$.
दिया गया है ${ }^{19} C_8 = { }^{19} C_{r}$,हम जानते हैं कि ${ }^{n} C_{x} = { }^{n} C_{y}$ का अर्थ है $x = y$ या $x + y = n$.
यहाँ,$r = 8$ या $r = 19 - 8 = 11$।

(A) हम सर्वसमिका ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हैं।
योगफल का विस्तार करने पर:
$S = {}^{47}C_4 + ({}^{51}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{49}C_3 + {}^{48}C_3 + {}^{47}C_3)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$S = ({}^{47}C_4 + {}^{47}C_3) + {}^{48}C_3 + {}^{49}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
सर्वसमिका ${}^{47}C_4 + {}^{47}C_3 = {}^{48}C_4$ का उपयोग करने पर:
$S = ({}^{48}C_4 + {}^{48}C_3) + {}^{49}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
सर्वसमिका ${}^{48}C_4 + {}^{48}C_3 = {}^{49}C_4$ का उपयोग करने पर:
$S = ({}^{49}C_4 + {}^{49}C_3) + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
$S = ({}^{50}C_4 + {}^{50}C_3) + {}^{51}C_3 = {}^{51}C_4 + {}^{51}C_3 = {}^{52}C_4$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1}$.
दिए गए योग में इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} { }^{n+1} C_{k+1}$.
माना $j = k+1$,तो योग $\frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j$ हो जाता है।
चूंकि $\sum_{j=0}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1}$,इसलिए $\sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1} - { }^{n+1} C_0 = 2^{n+1} - 1$.
अतः,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
हर की तुलना करने पर,$n+1 = 10 \implies n = 9$.
अंश की जाँच करने पर: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.
इसलिए,$n = 9$.

(C) रेखाओं का युग्म $x^2 - y^2 - 2x + 4y - 3 = 0$ द्वारा दिया गया है।
इसे $(x - 1)^2 - (y - 2)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः रेखाएँ $x - y + 1 = 0$ और $x + y - 3 = 0$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(h, k)$ इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $h - k = -1$ और $h + k = 3$।
हल करने पर $h = 1$ और $k = 2$ प्राप्त होता है।
वृत्त $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (1 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 1$ है।
अतः वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+y^2+kx+(1-k)y+5=0$ है।
वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=k/2$ और $f=(1-k)/2$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{(1-k)^2}{4} - 5}$ है।
वृत्त के लिए $r^2 > 0$ होना चाहिए,अतः $2k^2 - 2k - 19 > 0$।
$r \le 5$ के लिए $r^2 \le 25$,अतः $2k^2 - 2k - 119 \le 0$।
हल करने पर $k$ के पूर्णांक मान $12$ प्राप्त होते हैं।

(B) वृत्त का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और यह $A(2, 4)$ से होकर गुजरता है।
वृत्त की त्रिज्या $R$,मूल बिंदु से $A$ तक की दूरी है:
$R = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
वृत्त के भीतर बने समबाहु त्रिभुज में,परिकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु होते हैं।
केंद्रक से शीर्ष तक की दूरी परित्रिज्या $R$ होती है।
शीर्ष $A$ से जाने वाली माध्यिका केंद्रक से होकर गुजरती है और इसकी कुल लंबाई $L = \frac{3}{2}R$ होती है।
$R = 2\sqrt{5}$ रखने पर:
$L = \frac{3}{2} \times 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ इकाई।

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है।
सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2$,$f=3$,और $c=-12$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $C_1 = (-g, -f) = (2, -3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9+12} = 5$ है।
वृत्त $S$ के लिए जीवा की लंबाई $2r_1 = 10$ है।
वृत्त $S$ का केंद्र $C_2 = (-3, 2)$ है। $C_2$ से जीवा पर लंब की दूरी $d = \sqrt{(-3-2)^2 + (2-(-3))^2} = \sqrt{25+25} = 5\sqrt{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$R^2 = d^2 + (\text{जीवा की आधी लंबाई})^2 = (5\sqrt{2})^2 + 5^2 = 50 + 25 = 75$।
अतः,$R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-14x-10y-151=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-7$,$f=-5$,और $c=-151$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (7, 5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-7)^2+(-5)^2-(-151)} = \sqrt{49+25+151} = \sqrt{225} = 15$ है।
बिंदु $P(2, -7)$ और केंद्र $C(7, 5)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(7-2)^2 + (5-(-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ है।
चूंकि दूरी $d=13$,त्रिज्या $r=15$ से कम है,इसलिए बिंदु $P$ वृत्त के अंदर स्थित है।
वृत्त के अंदर स्थित बिंदु के लिए,वृत्त से न्यूनतम दूरी $r-d = 15-13 = 2$ और अधिकतम दूरी $r+d = 15+13 = 28$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -2$,$f = -1$,और $c = -20$ प्राप्त होता है।
केंद्र $C = (-g, -f) = (2, 1)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$.
दूरी $AC = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
न्यूनतम दूरी $AM = AC - r = 10 - 5 = 5$.
चूँकि $MM'$ व्यास है,$M'$ बिंदु $A$ से सबसे दूर स्थित बिंदु है।
अधिकतम दूरी $AM' = AC + r = 10 + 5 = 15$.
अतः,लंबाइयाँ $5$ और $15$ इकाइयाँ हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है। बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ वृत्त पर स्थित है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $xx_1+yy_1=r^2$ है,जो $\sqrt{3}x+y=4$ देता है।
स्पर्शरेखा के लिए,$y=0$ रखने पर $X$-अंतःखंड $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $A(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब केंद्र $(0, 0)$ से होकर गुजरता है। $(0, 0)$ और $(\sqrt{3}, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ या $x - \sqrt{3}y = 0$ है।
अभिलंब का $X$-अंतःखंड मूल बिंदु $O(0, 0)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ और $P(\sqrt{3}, 1)$ हैं।
$X$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $OA = \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $1$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=36$ है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=6$ है।
दी गई रेखा $5x+y=2$ है,जिसे $y=-5x+2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1=-5$ है।
स्पर्श रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times (-5) = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिससे $m = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
$m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = mx + c$ या $mx - y + c = 0$ होता है। यहाँ,$\frac{1}{5}x - y + c = 0$,जो $x - 5y + 5c = 0$ में सरल हो जाता है।
केंद्र $(0,0)$ से स्पर्श रेखा $x - 5y + 5c = 0$ की दूरी त्रिज्या $r=6$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी के सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करते हुए,$6 = \frac{|0 - 0 + 5c|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$।
$6 = \frac{|5c|}{\sqrt{26}} \implies |5c| = 6\sqrt{26} \implies 5c = \pm 6\sqrt{26}$।
$5c$ का मान $x - 5y + 5c = 0$ में रखने पर,हमें $x - 5y \pm 6\sqrt{26} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=36$ है,अतः त्रिज्या $r=6$ और केंद्र $(0,0)$ है।
रेखा $5x+y-2=0$ पर लंब रेखा का रूप $x-5y+k=0$ होगा।
केंद्र $(0,0)$ से स्पर्श रेखा $x-5y+k=0$ की दूरी त्रिज्या $r=6$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करने पर,$6 = \frac{|1(0)-5(0)+k|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$.
$6 = \frac{|k|}{\sqrt{26}}$,जिसका अर्थ है $|k| = 6\sqrt{26}$.
अतः,$k = \pm 6\sqrt{26}$.
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x-5y \pm 6\sqrt{26}=0$ हैं।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ है।
केंद्र $C(-3, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
बिंदु $P(-4, -5)$ से केंद्र $C$ की दूरी $d = \sqrt{1^2 + 7^2} = 5\sqrt{2}$ है।
स्पर्श रेखा और केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण $\theta = 45^\circ$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $25$ है और दो त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल $\frac{25\pi}{4}$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $25 - \frac{25\pi}{4} = 25\left(\frac{4-\pi}{4}\right)$ वर्ग इकाई है।

(A) स्पर्श बिंदु केंद्र $(-1, 1)$ से रेखा $x + 2y + 4 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है।
माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है।
केंद्र से गुजरने वाली और दी गई रेखा के लंबवत रेखा की प्रवणता $2$ है (क्योंकि $x + 2y + 4 = 0$ की प्रवणता $-1/2$ है)।
इस लंबवत रेखा का समीकरण $y - 1 = 2(x + 1)$ है,जो $y = 2x + 3$ में सरल हो जाता है।
$y = 2x + 3$ को दी गई रेखा के समीकरण $x + 2(2x + 3) + 4 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 4x + 6 + 4 = 0$
$5x + 10 = 0$
$x = -2$.
$x = -2$ को $y = 2x + 3$ में रखने पर:
$y = 2(-2) + 3 = -1$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(-2, -1)$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2^2$ है,इसलिए त्रिज्या $r=2$ और केंद्र $O=(0,0)$ है।
बिंदु $P$ का निर्देशांक $(-4,0)$ है। दूरी $OP = 4$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में (जहाँ $\angle OAP = 90^\circ$ क्योंकि $PA$ एक स्पर्श रेखा है),
$OA = r = 2$ और $OP = 4$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AP = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
$\triangle OAP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।
चूँकि चतुर्भुज $PAOB$ दो सर्वांगसम त्रिभुजों $\triangle OAP$ और $\triangle OBP$ से बना है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) वृत्त का समीकरण $(x-7)^2+(y+1)^2=25$ है।
वृत्त का केंद्र $C(7, -1)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ से केंद्र $C(7, -1)$ की दूरी $d = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sin(\alpha) = \frac{r}{d}$ है।
अतः,$\sin(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{50}}$ है।
इसलिए,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{50}}\right)$ है।

(A) माना परवलय $y^2 = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है,जहाँ $a = 1$ है। अतः,$y = mx + \frac{1}{m}$।
इसे $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखा वृत्त $(x-3)^2 + y^2 = 9$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $3$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(3) - 0 + \frac{1}{m}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$
$|3m + \frac{1}{m}| = 3\sqrt{m^2 + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m + \frac{1}{m})^2 = 9(m^2 + 1)$
$9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2} = 9m^2 + 9$
$\frac{1}{m^2} = 3 \implies m^2 = \frac{1}{3} \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के ऊपर है,हम धनात्मक ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ लेंगे।
स्पर्श रेखा के समीकरण में $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$,अर्थात $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=16$ है,जिसकी त्रिज्या $r=4$ और केंद्र $(0,0)$ है।
माना $P(h,k)$ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए केंद्र और $P$ को जोड़ने वाली रेखा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $30^{\circ}$ होगा।
केंद्र,स्पर्श बिंदु और $P$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{OP}$ होता है।
$\frac{1}{2} = \frac{4}{\sqrt{h^2+k^2}}$.
$\sqrt{h^2+k^2} = 8$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2+k^2=64$ प्राप्त होता है।
$(h,k)$ को $(x,y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2+y^2=64$ है।

(D) वृत्त $x^2+y^2-6x=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (3, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+0^2-0} = 3$ है।
वृत्त $x^2+y^2+6x+2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-3, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-3)^2+(-1)^2-1} = \sqrt{9+1-1} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ और $\sqrt{36} < \sqrt{37}$,इसलिए $d > r_1 + r_2$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग से अधिक है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे के बाहर स्थित हैं और एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करते हैं।
अतः,खींची जा सकने वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $4$ है।

(D) दिया गया है $\frac{2z-n}{2z+n} = 2i-1$.
मान लीजिए $2z = x+iy$. चूँकि $\operatorname{Im}(z)=10$, इसलिए $\operatorname{Im}(2z) = 20$. अतः $2z = x+20i$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{x+20i-n}{x+20i+n} = 2i-1$.
$(x-n)+20i = (2i-1)(x+n+20i)$.
$(x-n)+20i = 2i(x+n) + 40i^2 - (x+n) - 20i$.
$(x-n)+20i = 2i(x+n) - 40 - (x+n) - 20i$.
$(x-n)+20i = -(x+n+40) + i(2x+2n-20)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $x-n = -(x+n+40) \implies x-n = -x-n-40 \implies 2x = -40 \implies x = -20$.
अतः $2z = -20+20i$, जिससे $z = -10+10i$. इस प्रकार $\operatorname{Re}(z) = -10$.
काल्पनिक भाग: $20 = 2x+2n-20$.
$x=-20$ रखने पर: $20 = 2(-20)+2n-20 \implies 20 = -40+2n-20 \implies 20 = 2n-60 \implies 2n = 80 \implies n = 40$.
अतः, $n=40$ और $\operatorname{Re}(z)=-10$.

(C) माना $z = 6+8i$ है। हमें $\sqrt{z}$ का मापांक ज्ञात करना है।
सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|}$ होता है।
सबसे पहले,$z = 6+8i$ का मापांक ज्ञात करें:
$|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
अतः,वर्गमूल का मापांक $\sqrt{|z|} = \sqrt{10}$ है।

(D) माना $z = -7 + 24i$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है।
$z$ का संयुग्मी $\bar{z} = -7 - 24i$ है।
हमें $\bar{z}$ के वर्गमूल का मापांक ज्ञात करना है,जो $|\sqrt{\bar{z}}|$ है।
मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|\sqrt{\bar{z}}| = \sqrt{|\bar{z}|}$ होता है।
$\bar{z}$ का मापांक $|\bar{z}| = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ है।
अतः,$|\sqrt{\bar{z}}| = \sqrt{25} = 5$।

(D) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ एक-दूसरे की संयुग्मी होती हैं यदि $z_1 = \overline{z_2}$ हो।
दिया गया है $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i \sin 2x$।
$z_2$ का संयुग्मी $\overline{z_2} = \cos x + i \sin 2x$ है।
$z_1 = \overline{z_2}$ के लिए,$\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$ होना चाहिए।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1$) $\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$2$) $\cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$।
$x$ के लिए इन दोनों शर्तों की तुलना करने पर,$x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,$x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए दी गई सम्मिश्र संख्याएँ एक-दूसरे की संयुग्मी हों।

(B) एक सम्मिश्र संख्या $z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए,अर्थात $\text{Re}(z) = 0$.
दिया गया है $z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + 2i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3 + 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 8i \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,$\text{Re}(z) = 0$:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \implies \sin^2 \theta = \frac{3}{4} = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
अतः,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$,जहाँ $n \in Z$.

(A) $z = \frac{13-5i}{4-9i}$ को सरल करने के लिए,हर के संयुग्मी $(4+9i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(13-5i)(4+9i)}{(4-9i)(4+9i)} = \frac{52 + 117i - 20i - 45i^2}{16 - 81i^2}$
$i^2 = -1$ रखने पर:
$z = \frac{52 + 97i + 45}{16 + 81} = \frac{97 + 97i}{97} = 1 + i$
यहाँ $x = 1$ और $y = 1$ है।
कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$।

(B) मान लीजिए $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
दिया गया है $|z| + z = 3 + i$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$ है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1) \sqrt{x^2 + y^2} + x = 3$
$2) y = 1$
प्रथम समीकरण में $y = 1$ रखने पर:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + 1 = (3 - x)^2$
$x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$
$6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।
अब,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3 - x = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9 - 4}{3} = \frac{5}{3}$ है।
अतः,$|z| = \frac{5}{3}$ है।

(D) एक सम्मिश्र संख्या $z$ के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
दिया गया है $z = \frac{4 + 3i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$।
हर के संयुग्मी $(1 + 2i \sin \theta)$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(4 + 3i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{4 + 8i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{4 - 6 \sin^2 \theta + i(11 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{11 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है $11 \sin \theta = 0$,इसलिए $\sin \theta = 0$।
$\sin \theta = 0$ के लिए व्यापक हल $\theta = n \pi$ है,जहाँ $n \in Z$।

(B) डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(\cos \theta + i \sin \theta) = e^{i\theta}$.
अतः,$f(x) = e^{ix} \cdot e^{i3x} \cdot e^{i5x} \cdots e^{i(2n-1)x}$.
$f(x) = e^{i(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1))x}$.
प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ है,इसलिए $f(x) = e^{i(n^2)x}$.
अब,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = i n^2 e^{i(n^2)x} = i n^2 f(x)$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = i n^2 f'(x) = i n^2 (i n^2 f(x)) = i^2 n^4 f(x)$.
चूंकि $i^2 = -1$,हमें $f''(x) = -n^4 f(x)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{(\cos \theta + i \sin \theta)^4}{(\sin \theta + i \cos \theta)^5}$
डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,अंश $(\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4 \theta + i \sin 4 \theta$ है।
हर के लिए,$\sin \theta + i \cos \theta$ को $i(\cos \theta - i \sin \theta) = i(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(\sin \theta + i \cos \theta)^5 = i^5 (\cos(-5 \theta) + i \sin(-5 \theta)) = i(\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta)$।
इस प्रकार,$E = \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{i(\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta)} = \frac{1}{i} \cdot \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta}$।
गुणधर्म $\frac{\cos \alpha + i \sin \alpha}{\cos \beta + i \sin \beta} = \cos(\alpha - \beta) + i \sin(\alpha - \beta)$ का उपयोग करते हुए:
$E = -i \cdot \frac{\cos 4 \theta + i \sin 4 \theta}{\cos(-5 \theta) + i \sin(-5 \theta)} = -i (\cos(4 \theta - (-5 \theta)) + i \sin(4 \theta - (-5 \theta)))$
$E = -i (\cos 9 \theta + i \sin 9 \theta) = -i \cos 9 \theta - i^2 \sin 9 \theta = \sin 9 \theta - i \cos 9 \theta$।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $z_1 = i$,$z_2 = \omega$,और $z_3 = \omega^2$ हैं।
हम जानते हैं कि $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
आर्गंड तल में $z_1, z_2, z_3$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\text{Im}(\bar{z_1}z_2 + \bar{z_2}z_3 + \bar{z_3}z_1)|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$z_1 = 0 + i$,$z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$,$z_3 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\bar{z_1}z_2 = (-i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
$\bar{z_2}z_3 = (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\bar{z_3}z_1 = (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(i) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.
योग $= (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
काल्पनिक भाग $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{4}$ वर्ग इकाई।

(A) माना $z = x + iy$.
समीकरण में मान रखने पर: $|(x+1) + i(y-1)| = |(x-1) + i(y+1)|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+1)^2 + (y-1)^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2$.
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$.
सरल करने पर: $2x - 2y = -2x + 2y$.
$4x = 4y$,जिसका अर्थ है $y = x$.
समीकरण $y = x$ मूलबिंदु और प्रथम तथा तृतीय चतुर्थांश से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(D) दिया गया समीकरण $|z+3|-|z-3|=6$ है।
माना $z = x + iy$ है। बिंदु $z_1 = -3$ और $z_2 = 3$ अतिपरवलय की नाभियाँ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2c = |3 - (-3)| = 6$ है।
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार $| |z - z_1| - |z - z_2| | = 2a$ होता है।
यहाँ,$2a = 6$,इसलिए $a = 3$ है।
चूँकि $2a = 2c$ है,इसलिए अतिपरवलय नाभियों को जोड़ने वाले रेखाखंड में बदल जाता है।
विशेष रूप से,$|z+3|-|z-3|=6$ के लिए,शर्त $|z+3| = |z-3| + 6$ यह दर्शाती है कि $z$ को $x$-अक्ष पर $3$ के दाईं ओर स्थित होना चाहिए (अर्थात $x \ge 3$)।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$|z+3|-|z-3|=6$ द्वारा परिभाषित बिंदुपथ के लिए सबसे उपयुक्त वर्णन $x$-अक्ष पर एक किरण है।

(A) दिया गया है $\left|\frac{z+i}{z-i}\right| = \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{|z+i|^2}{|z-i|^2} = 3$ प्राप्त होता है।
$z = x + iy$ रखने पर,$|x + i(y+1)|^2 = 3|x + i(y-1)|^2$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $x^2 + (y+1)^2 = 3(x^2 + (y-1)^2)$ है।
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3(x^2 + y^2 - 2y + 1)$।
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3x^2 + 3y^2 - 6y + 3$।
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 2 = 0$।
$2$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 - 4y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + (y-2)^2 - 4 + 1 = 0$।
$x^2 + (y-2)^2 = 3$।
यह केंद्र $(0, 2)$ और त्रिज्या $\sqrt{3}$ वाला एक वृत्त है।

(B) माना $w = \frac{z-1}{2z+1}$. चूँकि $w$ शुद्ध काल्पनिक है,$w + \overline{w} = 0$.
सरल करने पर,$4z\overline{z} - z - \overline{z} - 2 = 0$.
$z\overline{z} - \frac{1}{4}z - \frac{1}{4}\overline{z} = \frac{1}{2}$.
$(z - \frac{1}{4})(\overline{z} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16}$.
$|z - \frac{1}{4}|^2 = (\frac{3}{4})^2$.
अतः,त्रिज्या $\frac{3}{4}$ इकाई है।

(C) प्रारंभिक स्थिति $Z_0 = 1 + 2i$ है।
मूल बिंदु से दूर क्षैतिज रूप से $5$ इकाई चलने पर: $Z_{temp} = (1 + 5) + 2i = 6 + 2i$।
धनात्मक $y$-अक्ष के समानांतर $3$ इकाई ऊपर चलने पर: $Z_1 = 6 + (2 + 3)i = 6 + 5i$।
$Z_1$ से,कण $\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में $\sqrt{2}$ इकाई चलता है। इस दिशा में इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$ है। अतः,विस्थापन $\sqrt{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 1 + i$ है।
नई स्थिति $Z_{1.5} = (6 + 5i) + (1 + i) = 7 + 6i$ है।
अंत में,मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त पर वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{2}$ कोण से घूमने का अर्थ है $e^{i\pi/2} = i$ से गुणा करना।
$Z_2 = (7 + 6i) \times i = 7i + 6i^2 = 7i - 6 = -6 + 7i$।

(A) तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 0 & 3b-2a & b-a \\ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$
$-bc - ab + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी में हैं,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S = (ae, 0)$ और $S^{\prime} = (-ae, 0)$ हैं।
अर्ध-लघु अक्ष के अंतिम बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूँकि $\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$ है,$SB$ और $S^{\prime}B$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा।
$SB$ की प्रवणता $= -\frac{b}{ae}$.
$S^{\prime}B$ की प्रवणता $= \frac{b}{ae}$.
अतः,$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \implies b^2 = a^2e^2$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = 1 - e^2 \implies 2e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{2}$.
अतः,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$.
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9x^2 + 5(y^2 - 6y) = 0$.
$9x^2 + 5(y^2 - 6y + 9) = 45$.
$9x^2 + 5(y - 3)^2 = 45$.
$45$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.

(D) प्रथम दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ के लिए,$a_1^2=4$ और $b_1^2=2$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
दूसरे दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,$a_2^2=36$ और $b_2^2=b^2$ है। उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{36}}$ है।
दिया है $e_1 \times e_2 = \frac{\sqrt{2}}{3}$,अतः $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{1 - \frac{b^2}{36}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{2} (1 - \frac{b^2}{36}) = \frac{2}{9} \implies 1 - \frac{b^2}{36} = \frac{4}{9} \implies \frac{b^2}{36} = \frac{5}{9}$ है।
अतः,$b^2 = 20$,जिससे $b = 2\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a_2 = 12$ और लघु अक्ष की लंबाई $2b = 4\sqrt{5}$ है।
उनका गुणनफल $12 \times 4\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
अतः नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,$ae_h = 4$ और $e_h = 2$ है,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए $b^2 = a^2(e_h^2 - 1) = 4(4 - 1) = 12$ है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।

(A) दिए गए वक्र $xy=6$ $(1)$ और $x^2y=12$ $(2)$ हैं।
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2y}{xy} = \frac{12}{6}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=2$।
$x=2$ को $(1)$ में रखने पर,हमें $2y=6$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=3$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।
वक्र $(1)$ के लिए,$y = \frac{6}{x}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{x^2}$। बिंदु $(2, 3)$ पर,$m_1 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$।
वक्र $(2)$ के लिए,$y = \frac{12}{x^2}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{24}{x^3}$। बिंदु $(2, 3)$ पर,$m_2 = -\frac{24}{8} = -3$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |\frac{-1.5 - (-3)}{1 + (-1.5)(-3)}| = |\frac{1.5}{1 + 4.5}| = |\frac{1.5}{5.5}| = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{11}$।

(B) दिया गया वक्र $y = \cos(x + y)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx}(1 + \sin(x + y)) = -\sin(x + y)$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$.
स्पर्श रेखा $x + 2y = 0$ के समानांतर है,जिसका ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2} \implies 2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y) \implies \sin(x + y) = 1$.
चूंकि $\sin(x + y) = 1$,इसलिए $x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
मूल समीकरण में मान रखने पर: $y = \cos(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$.
अतः,$x + 0 = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$x \in [-2\pi, 2\pi]$ के लिए,संभावित मान $x = \frac{\pi}{2}$ और $x = -\frac{3\pi}{2}$ हैं।
$x = \frac{\pi}{2}, y = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \implies 2y = -x + \frac{\pi}{2} \implies 2x + 4y - \pi = 0$ प्राप्त होता है।
यह विकल्प $B$ के समान है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है,अतः अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।
अभिलंब का समीकरण $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ है।
$X$-अक्ष पर $Y=0$ रखने पर,$Q$ के निर्देशांक $(x + y \frac{dy}{dx}, 0)$ प्राप्त होते हैं।
लंबाई $PQ^2 = (y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = k^2$ है।
अतः $y^2 ((\frac{dy}{dx})^2 + 1) = k^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{k^2 - y^2}}{y}$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$\int \frac{y}{\sqrt{k^2 - y^2}} dy = \int dx \implies -\sqrt{k^2 - y^2} = x + C$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, k)$ के लिए $C=0$ प्राप्त होता है,अतः अभीष्ट वक्र $x^2 + y^2 = k^2$ है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण $y = ax^2 - 6x + b$ है।
चूंकि वक्र $(0, 4)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x=0$ और $y=4$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$4 = a(0)^2 - 6(0) + b \implies b = 4$.
अब,वक्र का अवकलज $\frac{dy}{dx} = 2ax - 6$ है।
स्पर्श रेखा $x = \frac{3}{2}$ पर $x$-अक्ष के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{3}{2}$ पर $\frac{dy}{dx} = 0$ है।
$2a(\frac{3}{2}) - 6 = 0 \implies 3a - 6 = 0 \implies 3a = 6 \implies a = 2$.
अतः,$a = 2$ और $b = 4$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण: $x = 9(1 + \cos \theta)$ और $y = 9 \sin \theta$ हैं।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -9 \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 9 \cos \theta$
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{9 \cos \theta}{-9 \sin \theta} = -\cot \theta$ है।
अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है: $m_n = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$।
बिंदु $(9(1 + \cos \theta), 9 \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - 9 \sin \theta = \tan \theta (x - 9(1 + \cos \theta))$
$y - 9 \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - 9 - 9 \cos \theta)$
$y \cos \theta - 9 \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - 9 \sin \theta - 9 \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - 9 \sin \theta$
$y \cos \theta = \sin \theta (x - 9)$
यदि हम बिंदु $(9, 0)$ की जाँच करें:
$0 \cdot \cos \theta = \sin \theta (9 - 9) \implies 0 = 0$।
अतः,अभिलंब हमेशा निश्चित बिंदु $(9, 0)$ से होकर गुजरता है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण $y = \frac{2x^3 - 1}{3}$ है।
हमें दिया गया है कि $y$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर $x$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर की $18$ गुना है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$।
दोनों पक्षों को $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 18$ प्राप्त होता है।
अब,वक्र समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{2x^3 - 1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot 6x^2 = 2x^2$।
अवकलज को $18$ के बराबर रखने पर:
$2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$।
जब $x = 3$ है,तो $y = \frac{2(3)^3 - 1}{3} = \frac{54 - 1}{3} = \frac{53}{3}$।
जब $x = -3$ है,तो $y = \frac{2(-3)^3 - 1}{3} = \frac{-54 - 1}{3} = -\frac{55}{3}$।
अतः,बिंदु $(3, \frac{53}{3})$ और $(-3, -\frac{55}{3})$ हैं।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) वक्र का समीकरण $xy = 1$ है,जिसे $y = \frac{1}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{x_1^2}$ है।
$(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = x_1^2$ है।
रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जिसे $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $-\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र के अभिलंब है,इसलिए इसकी ढाल अभिलंब की ढाल के बराबर होनी चाहिए: $-\frac{a}{b} = x_1^2$।
सभी $x_1 \neq 0$ के लिए $x_1^2 > 0$ होता है,इसलिए $-\frac{a}{b} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\frac{a}{b} < 0$।
इसका मतलब है कि $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,यदि $a > 0$ है,तो $b < 0$ होगा (विकल्प $B$)।

(D) वक्र $y_1 = 3^x$ और $y_2 = 7^x$ हैं।
वे वहां प्रतिच्छेद करते हैं जहां $3^x = 7^x$,जिसका अर्थ है $x=0$।
$x=0$ पर,$y=3^0=1$। अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
स्पर्शरेखाओं की ढाल $m_1 = \frac{dy_1}{dx} = 3^x \ln 3$ और $m_2 = \frac{dy_2}{dx} = 7^x \ln 7$ हैं।
$(0, 1)$ पर,$m_1 = \ln 3$ और $m_2 = \ln 7$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |\frac{\ln 7 - \ln 3}{1 + (\ln 3)(\ln 7)}| = \frac{\ln(7/3)}{1 + (\ln 3)(\ln 7)}$।
यदि आधार समान है,तो यह व्यंजक $\frac{\log(7/3)}{1 + (\log 3)(\log 7)}$ के बराबर है।

(C) दिया गया वक्र $x^2+2xy-3y^2=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(2,2)$ पर: $2(2) + 2(2) + 2(2)\frac{dy}{dx} - 6(2)\frac{dy}{dx} = 0$.
$4 + 4 + 4\frac{dy}{dx} - 12\frac{dy}{dx} = 0 \implies 8 - 8\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
स्पर्श रेखा की ढाल $m = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -1$ होगी।
बिंदु $(2,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -1(x - 2) \implies y - 2 = -x + 2 \implies x + y - 4 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x + y - 4 = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|1(0) + 1(0) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ इकाई।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण: $(1+x^2)y = 2-x$.
वह बिंदु जहाँ वक्र $X$-अक्ष को काटता है,उसके लिए $y=0$ रखें:
$(1+x^2)(0) = 2-x \implies 2-x = 0 \implies x=2$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(2, 0)$ है।
अब,समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y(2x) = -1$.
ढाल $m$ ज्ञात करने के लिए $x=2$ और $y=0$ रखें:
$(1+2^2) \frac{dy}{dx} + 0(2 \times 2) = -1
(5) \frac{dy}{dx} = -1
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5}$.
बिंदु $(2, 0)$ पर और ढाल $m = -\frac{1}{5}$ वाली स्पर्शरेखा का समीकरण:
$y - 0 = -\frac{1}{5}(x - 2)
5y = -x + 2
x + 5y = 2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया वक्र $y = b e^{-x / a}$ है।
वह बिंदु जहाँ वक्र $Y$ अक्ष को काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $x = 0$ रखते हैं।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर,हमें $y = b e^0 = b$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, b)$ है।
अब,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए हम अवकलन $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x / a} \cdot (-1 / a) = -\frac{b}{a} e^{-x / a}$.
बिंदु $(0, b)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^0 = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, b)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{b}{a}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$.
$y - b = -\frac{b}{a}x$.
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{y}{b} - 1 = -\frac{x}{a}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = \frac{x^3}{9}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{9} = \frac{x^2}{3}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = -\frac{6y_1}{x_1^2}(x - x_1)$ है।
चूंकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए। ज्यामिति के अनुसार,ढाल $-1$ है।
अतः,$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1 \implies x_1^2 = 6y_1$ है।
$y_1^2 = \frac{x_1^3}{9}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y_1 = \frac{x_1^2}{6} \implies y_1^2 = \frac{x_1^4}{36}$ प्राप्त होता है।
$y_1^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{x_1^3}{9} = \frac{x_1^4}{36} \implies 4x_1^3 = x_1^4 \implies x_1 = 4$ (क्योंकि $x_1 \neq 0$ है)।
यदि $x_1 = 4$,तो $y_1^2 = \frac{64}{9} \implies y_1 = \pm \frac{8}{3}$ है।
अतः,बिंदु $(4, \pm \frac{8}{3})$ हैं।

(C) दिया गया वक्र $xy = a^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{y_1}{x_1}$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ है।
$x_1$ से गुणा करने पर,$x_1 y - x_1 y_1 = -y_1 x + x_1 y_1$,जो सरल होकर $x_1 y + y_1 x = 2x_1 y_1$ बनता है।
चूँकि $x_1 y_1 = a^2$,समीकरण $x_1 y + y_1 x = 2a^2$ हो जाता है।
$2a^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{x}{2a^2/y_1} + \frac{y}{2a^2/x_1} = 1$ प्राप्त होता है।
यह रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1$ है,जहाँ x-अंतःखंड $A = \frac{2a^2}{y_1}$ और y-अंतःखंड $B = \frac{2a^2}{x_1}$ है।
अक्षों और स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |A| \times |B| = \frac{1}{2} \times \frac{2a^2}{y_1} \times \frac{2a^2}{x_1} = \frac{2a^4}{x_1 y_1}$ है।
चूँकि $x_1 y_1 = a^2$,क्षेत्रफल $\frac{2a^4}{a^2} = 2a^2$ वर्ग इकाई है।

(C) माना $r$ वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या है और $A$ वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2.1 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2.1 \text{ cm/sec}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times 2.1$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times \frac{21}{10}$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 22 \times 3 = 132 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(A) दी गई स्थिति के निर्देशांक: $x = a + bt - ct^2$ और $y = at + bt^2$ हैं।
त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग के घटक ज्ञात करते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = b - 2ct$
$v_y = \frac{dy}{dt} = a + 2bt$
अब,वेग का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके त्वरण के घटक ज्ञात करते हैं:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = -2c$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 2b$
परिणामी त्वरण $a$ त्वरण सदिश का परिमाण है:
$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-2c)^2 + (2b)^2}$
$a = \sqrt{4c^2 + 4b^2} = 2 \sqrt{c^2 + b^2} \text{ unit/s}^2$.

(A) माना $f(x) = \cos x$ है। हमें $\cos(59^{\circ} 30^{\prime})$ का मान ज्ञात करना है।
हम $59^{\circ} 30^{\prime}$ को $60^{\circ} - 30^{\prime} = 60^{\circ} - 0.5^{\circ}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $x = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन और $\Delta x = -0.5^{\circ} = -0.5 \times 0.0175^{c} = -0.00875^{c}$ है।
अवकलन सूत्र का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
यहाँ,$f(x) = \cos x$,इसलिए $f'(x) = -\sin x$ है।
$f(60^{\circ} - 0.5^{\circ}) \approx \cos(60^{\circ}) - \sin(60^{\circ}) \times \Delta x$.
दिया गया है कि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$ और $\sin(60^{\circ}) = 0.8660$ है।
$f(59.5^{\circ}) \approx 0.5 - (0.8660) \times (-0.00875)$.
$f(59.5^{\circ}) \approx 0.5 + 0.0075775 = 0.5075775$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.5076$ प्राप्त होता है।

(D) माना शंकु की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
दिया है: $\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ और $\frac{dh}{dt} = -4 \text{ cm/min}$.
शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi rl = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
जब $r = 7$ और $h = 24$,तब $l = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25 \text{ cm}$.
$S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( \frac{dr}{dt} \sqrt{r^2 + h^2} + r \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 + h^2}} \cdot (2r \frac{dr}{dt} + 2h \frac{dh}{dt}) \right)$.
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( 3 \cdot 25 + 7 \cdot \frac{1}{25} \cdot (7 \cdot 3 + 24 \cdot (-4)) \right)$.
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( 75 + \frac{7}{25} \cdot (-75) \right) = \pi (75 - 21) = 54 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$.

(B) समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} x^2 \sin \theta$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = x \frac{dx}{dt} \sin \theta + \frac{1}{2} x^2 \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$.
दिए गए मान रखने पर: $x = 12$,$\theta = \frac{\pi}{4}$,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{12}$,$\frac{d\theta}{dt} = \frac{\pi}{180}$.
$\frac{dA}{dt} = (12) \left( \frac{1}{12} \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) + \frac{1}{2} (144) \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \left( \frac{\pi}{180} \right)$.
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{72}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2\pi}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 + \frac{2\pi}{5} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{\pi}{5} \right)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $f(x) = x^{1/3}$ है। हमें $f(64.04)$ का अनुमानित मान ज्ञात करना है।
माना $x = 64$ और $\Delta x = 0.04$ है।
तब $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$ होता है।
यहाँ,$f(x) = x^{1/3}$,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3(x^{1/3})^2}$ है।
$x = 64$ के लिए,$f(64) = 64^{1/3} = 4$ है।
$f'(64) = \frac{1}{3(4)^2} = \frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48}$ है।
अब,$f(64.04) \approx 4 + \frac{1}{48} \cdot 0.04$ है।
$f(64.04) \approx 4 + \frac{0.04}{48} = 4 + \frac{4}{4800} = 4 + \frac{1}{1200}$ है।
$f(64.04) \approx 4 + 0.000833...$ है।
अतः,अनुमानित मान $4.00083$ है।

(B) दिया गया गति का समीकरण: $s(t) = at^2 + bt + c$।
वेग $v(t) = \frac{ds}{dt} = 2at + b$।
त्वरण $a_{acc}(t) = \frac{dv}{dt} = 2a$।
दिया गया त्वरण $10 \ m/s^2$ है,इसलिए $2a = 10 \implies a = 5$।
$2 \ s$ के बाद वेग $30 \ m/s$ है: $v(2) = 2a(2) + b = 30 \implies 4a + b = 30$।
$a = 5$ रखने पर: $4(5) + b = 30 \implies 20 + b = 30 \implies b = 10$।
$1 \ s$ के बाद विस्थापन $20 \ m$ है: $s(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 20 \implies a + b + c = 20$।
$a = 5$ और $b = 10$ रखने पर: $5 + 10 + c = 20 \implies 15 + c = 20 \implies c = 5$।
अब विकल्पों की जाँच करें:
$a + c = 5 + 5 = 10$।
चूँकि $b = 10$,इसलिए $a + c = b$ सत्य है।

(A) माना आयत की लंबाई $x$ और चौड़ाई $y$ है। दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$ और $\frac{dy}{dt} = 3 \text{ cm/min}$.
परिमाप $P = 2(x + y)$.
परिमाप में परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dt} = 2(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt}) = 2(-5 + 3) = 2(-2) = -4 \text{ cm/min}$.
क्षेत्रफल $A = xy$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt}$.
मान $x = 5$,$y = 2$,$\frac{dx}{dt} = -5$,और $\frac{dy}{dt} = 3$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = (5)(3) + (2)(-5) = 15 - 10 = 5 \text{ cm}^2\text{/min}$.
अतः,परिवर्तन की दर $-4 \text{ cm/min}$ और $5 \text{ cm}^2\text{/min}$ है।

(C) माना $V$ आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं कि $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ और $S = 4 \pi r^2$ होता है।
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = kS$ द्वारा दी गई है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = (4 \pi r^2) \frac{dr}{dt}$,इसलिए हमारे पास $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = k(4 \pi r^2)$ है।
यह सरल होकर $\frac{dr}{dt} = k$ हो जाता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $r(t) = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3$,इसलिए $C = 3$ है।
$t = 2$ पर,$r = 9$,इसलिए $9 = k(2) + 3$,जिससे $2k = 6$,या $k = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्या का फलन $r(t) = 3t + 3$ है।
$t = 4 \ \text{मिनट}$ के बाद,$r(4) = 3(4) + 3 = 12 + 3 = 15 \ cm$ होगा।

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dS}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr}$.
$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$.
$S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 8 \pi r$.
अतः,$\frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
जब त्रिज्या $r = 5 \ m$ है,तो परिवर्तन की दर $\frac{5}{2} \ m$ है।

(C) मान लीजिए $A_1$ पहले वर्ग का क्षेत्रफल है और $A_2$ दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि पहले वर्ग की भुजा $x$ है,इसलिए $A_1 = x^2$ है।
दिया गया है कि दूसरे वर्ग की भुजा $y = x - x^2$ है,इसलिए $A_2 = y^2 = (x - x^2)^2$ है।
हमें $A_1$ के सापेक्ष $A_2$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dA_2}{dA_1}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dA_2}{dA_1} = \frac{dA_2/dx}{dA_1/dx}$ है।
सबसे पहले,$\frac{dA_1}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\frac{dA_2}{dx} = \frac{d}{dx}((x - x^2)^2) = 2(x - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2) = 2(x - x^2)(1 - 2x)$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को श्रृंखला नियम के सूत्र में रखने पर:
$\frac{dA_2}{dA_1} = \frac{2(x - x^2)(1 - 2x)}{2x} = \frac{2x(1 - x)(1 - 2x)}{2x} = (1 - x)(1 - 2x) = 1 - 2x - x + 2x^2 = 2x^2 - 3x + 1$।

(B) मान लीजिए $S$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $r$ गोलाकार गेंद की त्रिज्या है। पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{dS}{dt} = 4 \pi \,cm^2/s$ है।
$S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
जब $S = 16 \pi \,cm^2$ है,तो $4 \pi r^2 = 16 \pi$,जिसका अर्थ है $r^2 = 4$,इसलिए $r = 2 \,cm$ है।
मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4 \pi = 8 \pi (2) \frac{dr}{dt}$।
$4 \pi = 16 \pi \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dr}{dt} = \frac{4 \pi}{16 \pi} = 0.25 \,cm/s$।

(D) गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक आयतन $V_0 = 4500 \pi \ m^3$ दिया गया है।
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -72 \pi \ m^3/\text{min}$ है।
$t = 49$ मिनट के बाद,आयतन $V = V_0 + (\frac{dV}{dt}) \times t = 4500 \pi - 72 \pi \times 49$ होगा।
$V = 4500 \pi - 3528 \pi = 972 \pi \ m^3$.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ का उपयोग करके,$t = 49$ पर त्रिज्या $r$ ज्ञात करते हैं:
$972 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r^3 = 972 \times \frac{3}{4} = 729$.
$r = \sqrt[3]{729} = 9 \ m$.
अब,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
ज्ञात मान रखने पर: $-72 \pi = 4 \pi (9)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-72 \pi = 4 \pi (81) \frac{dr}{dt} \implies -72 \pi = 324 \pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{72}{324} = -\frac{2}{9} \ m/\text{min}$.
अतः,त्रिज्या के घटने की दर $\frac{2}{9} \ m/\text{min}$ है।

(A) माना $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
हमें $f(2.002)$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 2$ और $\Delta x = 0.002$.
तब $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$x = 2$ पर,$f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$.
और $f'(2) = -\frac{2}{2^3} = -\frac{2}{8} = -0.25$.
अब,इन मानों को सन्निकटन सूत्र में रखें:
$f(2.002) \approx 0.25 + (-0.25) \cdot (0.002)$.
$f(2.002) \approx 0.25 - 0.0005 = 0.2495$.
अतः,अनुमानित मान $0.2495$ है।

(A) दिया गया है $2f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 1$ (समीकरण $1$).
$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर: $2f\left(\frac{1}{x}\right) + 3f(x) = \frac{1}{x^2} + 1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को $2$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$4f(x) + 6f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x^2 + 2$
$9f(x) + 6f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x^2} + 3$
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $5f(x) = \frac{3}{x^2} + 3 - 2x^2 - 2 = \frac{3}{x^2} - 2x^2 + 1$.
अतः $y = 5x^2 f(x) = x^2 \left(\frac{3}{x^2} - 2x^2 + 1\right) = 3 - 2x^4 + x^2$.
यह ज्ञात करने के लिए कि $y$ कहाँ निरंतर वर्धमान है,$\frac{dy}{dx} = -8x^3 + 2x = 2x(1 - 4x^2) = 2x(1 - 2x)(1 + 2x)$ ज्ञात करें।
$\frac{dy}{dx} > 0$ रखने पर: $2x(1 - 2x)(1 + 2x) > 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर: $(-\infty, -1/2) \implies (-)(-)(-) < 0$; $(-1/2, 0) \implies (-)(-)(+) > 0$; $(0, 1/2) \implies (+)(+)(+) > 0$; $(1/2, \infty) \implies (+)(-)(+) < 0$.
इस प्रकार,$y$ अंतराल $(-\infty, -1/2) \cup (0, 1/2)$ में निरंतर वर्धमान है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$(0, 1/2)$ सही अंतराल है।

(C) फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने के अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $f(x) = (x + 2) e^{-x}$।
गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = (1) e^{-x} + (x + 2) (-e^{-x})$।
$f'(x) = e^{-x} (1 - x - 2) = e^{-x} (-x - 1) = -(x + 1) e^{-x}$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-(x + 1) e^{-x} > 0$। चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $-(x + 1) > 0$ या $x + 1 < 0$,जिसका अर्थ है $x < -1$।
अतः,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-(x + 1) e^{-x} < 0$। इससे $x + 1 > 0$ या $x > -1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) $f(x)$ को निरंतर वर्धमान होने के लिए,सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{k \sin x + 2 \cos x}{\sin x + \cos x}$।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{(k \cos x - 2 \sin x)(\sin x + \cos x) - (k \sin x + 2 \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$।
अंश को सरल करने पर:
$N = (k \sin x \cos x + k \cos^2 x - 2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x) - (k \sin x \cos x - k \sin^2 x + 2 \cos^2 x - 2 \sin x \cos x)$।
$N = k \cos^2 x - 2 \sin^2 x + k \sin^2 x - 2 \cos^2 x$।
$N = (k - 2) \cos^2 x + (k - 2) \sin^2 x = (k - 2)(\cos^2 x + \sin^2 x) = k - 2$।
अतः,$f'(x) = \frac{k - 2}{(\sin x + \cos x)^2}$।
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $(\sin x + \cos x)^2 > 0$ उन सभी $x$ के लिए जहाँ फलन परिभाषित है,हमें $k - 2 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $k > 2$।

(B) दिया गया है $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$.
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं।
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
अतः,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x-x^2} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(2x+1)(1-x)$ पर निर्भर करता है।
$f'(x) > 0$ तब होता है जब $(2x+1)(1-x) > 0$,जिसका अर्थ है $-\frac{1}{2} < x < 1$.
इस प्रकार,$f(x)$ अंतराल $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ में वर्धमान है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ है।
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -\sin(4x)$।
फलन तब वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$,जिसका अर्थ है $-\sin(4x) > 0$,या $\sin(4x) < 0$।
यह $\pi < 4x < 2\pi$ के लिए होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ है।
निरंतर ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{x}{2} + 2x^{-1}) = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} < 0 \implies \frac{x^2 - 4}{2x^2} < 0$.
चूंकि सभी $x \neq 0$ के लिए $2x^2 > 0$ है,इसलिए असमिका तब सत्य होती है जब $x^2 - 4 < 0$ हो।
$(x - 2)(x + 2) < 0$.
यह असमिका $x \in (-2, 2)$ के लिए सत्य है।
चूंकि $x \neq 0$ है,इसलिए फलन अंतराल $(-2, 0) \cup (0, 2)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x)$ कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$।
$f(x)$ का प्रांत (domain) $x > -1$ है।
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log(1+x)] - \frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}]$।
दूसरे पद के लिए भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}] = \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2} = \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{4}{(2+x)^2}$।
अतः,$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$।
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+4x+x^2-4-4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ प्रांत के सभी $x$ के लिए है,इसलिए $f'(x) > 0$ तभी होगा जब $1+x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -1$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-1, \infty)$ में वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = [x(x-2)]^2 = (x^2 - 2x)^2$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = 2(x^2 - 2x)(2x - 2) = 4x(x-2)(x-1)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$4x(x-1)(x-2) > 0$।
क्रांतिक बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ के लिए वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
- यदि $x > 2$ है,तो सभी गुणनखंड $(x), (x-1), (x-2)$ धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$।
- यदि $1 < x < 2$ है,तो $(x)$ धनात्मक,$(x-1)$ धनात्मक और $(x-2)$ ऋणात्मक है,इसलिए $f'(x) < 0$।
- यदि $0 < x < 1$ है,तो $(x)$ धनात्मक,$(x-1)$ ऋणात्मक और $(x-2)$ ऋणात्मक है,इसलिए $f'(x) > 0$।
- यदि $x < 0$ है,तो सभी गुणनखंड ऋणात्मक हैं,इसलिए $f'(x) < 0$।
अतः,$f'(x) > 0$ अंतराल $(0, 1) \cup (2, \infty)$ में प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन $(0, 1) \cup (2, \infty)$ में वर्धमान है।

(C) आबादी का अधिकतम आकार ज्ञात करने के लिए,हमें फलन $p(t) = 1000 + \frac{1000t}{100 + t^2}$ का अधिकतम मान ज्ञात करना होगा।
मान लीजिए $f(t) = \frac{1000t}{100 + t^2}$ है। क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(t)$ की गणना करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(t) = 1000 \times \frac{(100 + t^2)(1) - t(2t)}{(100 + t^2)^2} = 1000 \times \frac{100 - t^2}{(100 + t^2)^2}$ है।
$f'(t) = 0$ रखने पर $100 - t^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $t^2 = 100$,जिसका अर्थ है $t = 10$ (क्योंकि $t \ge 0$ है)।
अब,हम $t = 10$ पर $p(t)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(10) = 1000 + \frac{1000(10)}{100 + (10)^2} = 1000 + \frac{10000}{100 + 100} = 1000 + \frac{10000}{200} = 1000 + 50 = 1050$ है।
अतः,जीवाणु आबादी का अधिकतम आकार $1050$ है।

(C) माना कि दो भाग $x$ और $20-x$ हैं।
माना कि गुणनफल $P(x) = x^3(20-x)^2$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$P'(x) = 3x^2(20-x)^2 + x^3 \cdot 2(20-x)(-1)$
$P'(x) = x^2(20-x) [3(20-x) - 2x]$
$P'(x) = x^2(20-x) [60 - 3x - 2x] = x^2(20-x)(60-5x)$।
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x=0$,$x=20$,या $x=12$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ को $0$ और $20$ के बीच होना चाहिए,हम $x=12$ की जांच करते हैं।
$x=12$ के लिए,भाग $12$ और $20-12=8$ हैं।
अतः,दो भाग $12$ और $8$ हैं।

(A) दिया गया है,लागत फलन $C(x) = x^2 + 78x + 2500$ है।
प्रति इकाई मूल्य $p = 600 - 8x$ है।
राजस्व फलन $R(x) = x \times p = x(600 - 8x) = 600x - 8x^2$ है।
लाभ फलन $P(x) = R(x) - C(x) = (600x - 8x^2) - (x^2 + 78x + 2500) = -9x^2 + 522x - 2500$ है।
अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,अवकलज $P'(x)$ ज्ञात करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$P'(x) = -18x + 522 = 0 \implies 18x = 522 \implies x = 29$।
द्वितीय अवकलज की जाँच करें: $P''(x) = -18 < 0$,इसलिए $x = 29$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
अधिकतम लाभ $P(29) = -9(29)^2 + 522(29) - 2500 = -9(841) + 15138 - 2500 = -7569 + 15138 - 2500 = 5069$।
अतः,अधिकतम लाभ Rs. $5069$ है।

(B) स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले फलन $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$.
$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 0, x = 1, x = 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$ ज्ञात करते हैं।
क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10$.
चूंकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 3$ के लिए: $f''(3) = 90 > 0$,इसलिए यह स्थानीय न्यूनतम मान है।
$x = 0$ के लिए: $f''(0) = 0$,और $x=0$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए यह नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,फलन का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।

(D) माना वर्ग के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $x$ है। तो वृत्त के लिए उपयोग किए गए तार की लंबाई $8-x$ होगी।
वर्ग के लिए,परिमाप $4a = x$ है,इसलिए भुजा $a = \frac{x}{4}$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $A_1 = a^2 = \frac{x^2}{16}$ है।
वृत्त के लिए,परिधि $2\pi r = 8-x$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{8-x}{2\pi}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{8-x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(8-x)^2}{4\pi}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(8-x)^2}{4\pi}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(8-x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{8-x}{2\pi}$।
$A'(x) = 0$ रखने पर: $\frac{x}{8} = \frac{8-x}{2\pi} \implies \pi x = 32 - 4x \implies x(\pi+4) = 32 \implies x = \frac{32}{\pi+4}$।
$x$ का मान $A(x)$ में रखने पर: $A = \frac{1}{16} \left(\frac{32}{\pi+4}\right)^2 + \frac{1}{4\pi} \left(8 - \frac{32}{\pi+4}\right)^2 = \frac{64}{(\pi+4)^2} + \frac{64\pi^2}{4\pi(\pi+4)^2} = \frac{64}{(\pi+4)^2} + \frac{16\pi}{(\pi+4)^2} = \frac{16(4+\pi)}{(\pi+4)^2} = \frac{16}{\pi+4}$।

(A) माना वर्गाकार आधार की भुजा $x \ cm$ है और टंकी की ऊँचाई $h \ cm$ है।
टंकी का आयतन $V = x^2 h = 4000$ है।
अतः,$h = \frac{4000}{x^2}$.
एक खुली टंकी का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = x^2 + 4xh$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में $h$ का मान रखने पर: $S = x^2 + 4x(\frac{4000}{x^2}) = x^2 + \frac{16000}{x}$.
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$S$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dS}{dx} = 0$ रखने पर: $2x = \frac{16000}{x^2} \implies x^3 = 8000 \implies x = 20 \ cm$.
अब,ऊँचाई ज्ञात कीजिए: $h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \ cm$.
चूँकि $\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{x^3} > 0$ है $x = 20$ पर,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल $x = 20 \ cm$ और $h = 10 \ cm$ पर न्यूनतम है।

(B) माना $f(x) = x^{2/3} + (x-2)^{2/3}$.
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}(x-2)^{-1/3} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{x^{1/3}} + \frac{1}{(x-2)^{1/3}} \right)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{x^{1/3}} = -\frac{1}{(x-2)^{1/3}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x-2)^{1/3} = -x^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$x-2 = -x$,जिससे $2x = 2$,अर्थात $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ और $x = 2$ पर अवकलज $f'(x)$ अपरिभाषित है।
हम क्रांतिक बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 0^{2/3} + (-2)^{2/3} = 2^{2/3} \approx 1.587$.
$f(2) = 2^{2/3} + 0^{2/3} = 2^{2/3} \approx 1.587$.
$f(1) = 1^{2/3} + (-1)^{2/3} = 1 + 1 = 2$.
अतः,अंतराल $[0, 2]$ के लिए अधिकतम मान $2$ है।

(A) माना कि दो शून्येतर संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x + y = 4$,जिसका अर्थ है $y = 4 - x$.
हम उनके व्युत्क्रमों के योग $S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ को न्यूनतम करना चाहते हैं।
$S$ के व्यंजक में $y = 4 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $S$ का अवकलन करते हैं: $S'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(4 - x)^2}$.
$S'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{(4 - x)^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = (4 - x)^2$.
$x$ के लिए हल करने पर,$x^2 = 16 - 8x + x^2$,इसलिए $8x = 16$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 2$ है,तो $y = 4 - 2 = 2$.
व्युत्क्रमों का योग $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ है।
चूंकि $S''(x) = \frac{2}{x^3} + \frac{2}{(4 - x)^3}$,$x = 2$ पर,$S''(2) = \frac{2}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1}{2} > 0$,जो एक स्थानीय न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
अतः,न्यूनतम मान $1$ है।

(A) दिया गया फलन $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ है।
फलन के $x = -1$ और $x = 1$ पर चरम मान होने के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ इन बिंदुओं पर शून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{x} + 3\beta x^2 - 1$.
$x = 1$ पर: $\frac{dy}{dx} = \alpha + 3\beta - 1 = 0 \implies \alpha + 3\beta = 1$.
$x = -1$ पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{-1} + 3\beta(-1)^2 - 1 = 0 \implies -\alpha + 3\beta = 1$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(\alpha + 3\beta) + (-\alpha + 3\beta) = 1 + 1 \implies 6\beta = 2 \implies \beta = \frac{1}{3}$.
$\beta = \frac{1}{3}$ को $\alpha + 3\beta = 1$ में रखने पर: $\alpha + 3(\frac{1}{3}) = 1 \implies \alpha + 1 = 1 \implies \alpha = 0$.
अतः,$\alpha = 0$ और $\beta = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $R(x)$ राजस्व फलन है और $C(x)$ लागत फलन है।
राजस्व $R(x) = x \times \left(6 - \frac{x}{40}\right) = 6x - \frac{x^2}{40}$.
लागत $C(x) = \frac{x}{5} + 193$.
लाभ $P(x) = R(x) - C(x) = 6x - \frac{x^2}{40} - \frac{x}{5} - 193$.
$P(x) = -\frac{x^2}{40} + \frac{29x}{5} - 193$.
अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $P'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
$P'(x) = -\frac{2x}{40} + \frac{29}{5} = -\frac{x}{20} + 5.8$.
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\frac{x}{20} = 5.8$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 116$.
अब,द्वितीय अवकलज $P''(x) = -\frac{1}{20}$ ज्ञात करें। चूंकि $P''(x) < 0$,इसलिए $x = 116$ पर लाभ अधिकतम है।
अधिकतम लाभ $P(116) = -\frac{116^2}{40} + \frac{29(116)}{5} - 193$.
$P(116) = -\frac{13456}{40} + 672.8 - 193 = -336.4 + 672.8 - 193 = 143.4$.

(A) माना $f(x, y) = ax + by$ और प्रतिबंध $xy = c^2$ है,जहाँ $x, y > 0$ है।
$y = \frac{c^2}{x}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = ax + \frac{bc^2}{x}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = a - \frac{bc^2}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $a = \frac{bc^2}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{bc^2}{a}$,अतः $x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$.
चूँकि $x, y > 0$ है,हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं।
तब $y = \frac{c^2}{x} = \frac{c^2}{c\sqrt{b/a}} = c\sqrt{\frac{a}{b}}$.
न्यूनतम मान $f = a(c\sqrt{\frac{b}{a}}) + b(c\sqrt{\frac{a}{b}}) = c\sqrt{ab} + c\sqrt{ab} = 2c\sqrt{ab}$ है।

(A) माना $f(x) = (\frac{1}{x})^x = x^{-x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{d}{dx}(-x \ln(x))$
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\ln(x) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln(x) = -1$,अतः $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$।
अब,हम $x = \frac{1}{e}$ के आसपास द्वितीय अवकलज या $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं।
$x < \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) > 0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $x = \frac{1}{e}$ एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
अधिकतम मान $f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{1/e} = e^{1/e}$ है।

(B) माना $f(x, y) = x^2 y$ है। दिया गया है कि $x+y=6$,इसलिए $y = 6-x$ है।
$f$ में $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x^2(6-x) = 6x^2 - x^3$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $f'(x) = 12x - 3x^2$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x(4-x) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=0$ या $x=4$ है।
चूंकि $x=0$ के लिए $f(0)=0$ है,इसलिए हम $x=4$ की जांच करते हैं।
$x=4$ के लिए,$y = 6-4 = 2$ है।
अतः,मान $f(4) = 4^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32$ है।
इसलिए,अधिकतम मान $32$ है।

(B) वक्र $y=f(x)$ के स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 93$,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$m = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 2$.
ढाल $m$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $m$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dm}{dx} = 6x - 6$.
$\frac{dm}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $6x - 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$.
अब,न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज का उपयोग करते हैं:
$\frac{d^2m}{dx^2} = 6 > 0$,जो पुष्टि करता है कि $x = 1$ पर ढाल न्यूनतम है।
ढाल का न्यूनतम मान $m(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x(x - 1)(x - 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$।
सबसे पहले,$a = 0$ और $b = \frac{1}{2}$ के लिए $f(a)$ और $f(b)$ की गणना करें:
$f(0) = 0$।
$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$।
अब,ढाल $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3/8 - 0}{1/2 - 0} = \frac{3}{4}$ है।
अवकलन $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ है।
$f'(c) = \frac{3}{4}$ रखने पर:
$3c^2 - 6c + 2 = \frac{3}{4} \implies 12c^2 - 24c + 5 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $c = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (0, 1/2)$ है,इसलिए $c = 1 - \frac{\sqrt{21}}{6}$ सही उत्तर है।