MHT CET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સંયુક્ત વિધાનનું દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$t$ (પુનરુક્તિ) ને $c$ (વિરોધાભાસ) સાથે અને $c$ ને $t$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ વિધાન: $\sim p \wedge (q \vee c)$.
$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$\vee$ ને $\wedge$ સાથે અને $c$ ને $t$ સાથે બદલતા:
દ્વૈત $\sim p \vee (q \wedge t)$ મળે છે.

(C) નિત્યસત્ય એ એવી વિધાન રચના છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સત્ય હોય છે.
દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$(A) \ p \vee (q \rightarrow p) \equiv p \vee (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$. આ નિત્યસત્ય નથી કારણ કે જ્યારે $p$ એ $F$ અને $q$ એ $T$ હોય ત્યારે તે અસત્ય બને છે.
$(B) \ \sim q \rightarrow \sim p \equiv q \vee \sim p$. આ નિત્યસત્ય નથી કારણ કે જ્યારે $q$ એ $F$ અને $p$ એ $T$ હોય ત્યારે તે અસત્ય બને છે.
$(D) \ p \wedge \sim p \equiv F$. આ એક વિરોધાભાસ છે.
$(C) \ (q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$. સત્યતા કોષ્ટક તપાસતા:

$p, q$	$(q \rightarrow p) \vee (\sim p \leftrightarrow q)$
$T, T$	$T \vee (F \leftrightarrow T) = T \vee F = T$
$T, F$	$T \vee (F \leftrightarrow F) = T \vee T = T$
$F, T$	$F \vee (T \leftrightarrow T) = F \vee T = T$
$F, F$	$T \vee (T \leftrightarrow F) = T \vee F = T$

પરિણામ હંમેશા $T$ હોવાથી,વિકલ્પ $(C)$ એ નિત્યસત્ય છે.

(B) આપણે $(\sim p \wedge q)$ ને સમાન વિકલ્પ શોધવા માટે આપેલા વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.
વિકલ્પ $B$ ધ્યાનમાં લો: $(p \vee q) \wedge \sim p$.
વિભાજનના નિયમ (Distributive Law) મુજબ,આ $(p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p)$ ને સમાન છે.
કારણ કે $(p \wedge \sim p) = F$ (પૂરક નિયમ),તેથી આપણને $F \vee (q \wedge \sim p)$ મળે છે.
તદર્થ નિયમ (Identity Law) મુજબ,$F \vee (q \wedge \sim p) = (q \wedge \sim p)$.
ક્રમના નિયમ (Commutative Law) મુજબ,$(q \wedge \sim p) = (\sim p \wedge q)$.
આમ,વિધાન પેટર્ન $(\sim p \wedge q)$ એ $(p \vee q) \wedge \sim p$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $px^2 - qy^2 = 0$ છે.
તેને દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = p$,$h = 0$,અને $b = -q$ મળે છે.
રેખાઓ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોય જો $h^2 - ab > 0$ હોય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $0^2 - (p)(-q) > 0$ મળે છે.
આથી $pq > 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $K x^2 + 5 x y + y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $a x^2 + 2 h x y + b y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = K$,$2h = 5$,અને $b = 1$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
તેથી,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -5$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = K$ થાય.
આપેલ છે કે ઢાળનો તફાવત $1$ છે,એટલે કે $|m_1 - m_2| = 1$.
નિત્યસમ $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4 m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1^2 = (-5)^2 - 4(K)$.
$1 = 25 - 4K$.
$4K = 24$.
$K = 6$.

(D) ધારો કે $O(0,0), A(1,2), B(3,4)$.
$1$. $O$ માંથી $AB$ પરની મધ્યગા:
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $D = (\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2,3)$.
$O(0,0)$ અને $D(2,3)$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $OD$ નું સમીકરણ $y = \frac{3}{2}x$ છે,એટલે કે $3x - 2y = 0$.
$2$. $O$ માંથી $AB$ પરનો વેધ:
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4-2}{3-1} = 1$ છે.
વેધ $OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = -\frac{1}{m_{AB}} = -1$ છે.
$O(0,0)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $OP$ નું સમીકરણ $y = -x$ છે,એટલે કે $x + y = 0$.
$3$. સંયુક્ત સમીકરણ:
વેધ અને મધ્યગાનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y)(x + y) = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$,એટલે કે $3x^2 + xy - 2y^2 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 C$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,તેથી $\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{a}{2R})^2 + (\frac{b}{2R})^2 = (\frac{c}{2R})^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = c^2$.
આ દર્શાવે છે કે $\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $c = l(AB) = 10$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $Area = \frac{1}{2}ab$ છે.
$c = 10$ હોવાથી,$a = 10 \sin A$ અને $b = 10 \cos A$ મળે.
$Area = \frac{1}{2}(10 \sin A)(10 \cos A) = 50 \sin A \cos A = 25 \sin(2A)$.
$\sin(2A)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે (જ્યારે $2A = 90^{\circ}$ અથવા $A = 45^{\circ}$).
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $25 \times 1 = 25$ થાય.

(D) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$.
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તર $D$ અને $A$ ના યામોના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$AD = \left( \frac{\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu + 2}{2} - 5 \right) = \left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$.
મધ્યગા $AD$ એ યામ અક્ષો સાથે સમાન નમેલી હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ અથવા $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
આમ,આપણને મળે છે:
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \implies \lambda - 5 = 2 \implies \lambda = 7$.
$\frac{\mu - 8}{2} = 1 \implies \mu - 8 = 2 \implies \mu = 10$.
તેથી,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$ છે.

(D) ત્રિભાગ બિંદુઓ રેખાખંડ $AB$ નું $1:2$ અને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે,જ્યાં $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અને $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુનો $z$-યામ $\frac{mz_2 + nz_1}{m+n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$z_1$ માટે (ગુણોત્તર $1:2$):
$z_1 = \frac{1(6) + 2(4)}{1 + 2} = \frac{6 + 8}{3} = \frac{14}{3}$.
$z_2$ માટે (ગુણોત્તર $2:1$):
$z_2 = \frac{2(6) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{12 + 4}{3} = \frac{16}{3}$.
તેથી,$z_1 + z_2 = \frac{14}{3} + \frac{16}{3} = \frac{30}{3} = 10$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\tan 2\theta = 1$ છે.
$\tan 2\theta$ ધન હોવાથી,$2\theta$ પ્રથમ અથવા ત્રીજા ચરણમાં આવે છે.
મુખ્ય ઉકેલો માટે,આપણે $0 \le \theta < 2\pi$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $0 \le 2\theta < 4\pi$.
તેથી,$2\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$ મળે છે.
આમ,કુલ $4$ મુખ્ય ઉકેલો છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{x - 1}$ છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ મળે છે. ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $2x + y - 5 = 0$ છે,જેને $y = -2x + 5$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -2$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા,$\left(\frac{1}{2\sqrt{x - 1}}\right) \times (-2) = -1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{-1}{\sqrt{x - 1}} = -1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x - 1} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x - 1 = 1$,તેથી $x = 2$.
$x = 2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા,$y = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $(2, 1)$ છે.

(A) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \ cm^3/sec$,તેથી $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 4 \pi$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$.
જ્યારે ઘનફળ $V = 288 \pi \ cm^3$ હોય,ત્યારે $\frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi$,તેથી $r^3 = 216$,એટલે કે $r = 6 \ cm$.
હવે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$. સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
$r = 6$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$ મૂકતા,$\frac{dA}{dt} = 8 \pi r \times \frac{1}{r^2} = \frac{8 \pi}{r}$ મળે છે.
$r = 6$ માટે,$\frac{dA}{dt} = \frac{8 \pi}{6} = \frac{4}{3} \pi \ cm^2/sec$.

(C) ધારો કે $Z = ax + by$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે.
સુરેખ આયોજનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન માટે ઇષ્ટતમ ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો તે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના કોઈ એક ખૂણાના બિંદુ (શિરોબિંદુ) પર જ મળે છે.
ભલે ઇષ્ટતમ મૂલ્ય એક કરતા વધુ બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થતું હોય,પરંતુ તે ઓછામાં ઓછા એક ખૂણાના બિંદુ પર તો પ્રાપ્ત થાય જ છે.
તેથી,હેતુલક્ષી વિધેય તેનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય ઓછામાં ઓછા એક ખૂણાના બિંદુ પર પ્રાપ્ત કરે છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\log x}{x}$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
આ મહત્તમ કિંમત છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન અથવા $f'(x)$ ના ચિહ્નમાં થતા ફેરફારને તપાસીએ છીએ. $x < e$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > e$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,$x = e$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(D) આ પ્રદેશ $y=3x+1$ (ઉપરની રેખા),$y=2x+1$ (નીચેની રેખા) અને $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. આ રેખાઓ $x=0$ આગળ છેદે છે,જ્યાં $y=1$ મળે છે. આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 1)$,$(4, 9)$ અને $(4, 13)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય:
$A = \int_{0}^{4} [(3x+1) - (2x+1)] \, dx$
$A = \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{16}{2} - 0 = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$x=4$ રેખા પર પાયો ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
પાયાની લંબાઈ $= 13 - 9 = 4$.
વેધ (ઊંચાઈ) $= 4 - 0 = 4$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) હેતુ વિધેય $Z = 4 x_1 + 5 x_2$ છે.
શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) 2 x_1 + x_2 \geq 7$
$2) 2 x_1 + 3 x_2 \leq 15$
$3) x_2 \leq 3$
$4) x_1, x_2 \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ:
$2 x_1 + x_2 = 7$ માટે,અંતઃખંડો $(3.5, 0)$ અને $(0, 7)$ છે.
$2 x_1 + 3 x_2 = 15$ માટે,અંતઃખંડો $(7.5, 0)$ અને $(0, 5)$ છે.
રેખા $x_2 = 3$ એ આડી રેખા છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના છેદબિંદુઓ શોધતા:
- $2 x_1 + x_2 = 7$ અને $x_2 = 3$ નું છેદબિંદુ: $2 x_1 + 3 = 7 \implies 2 x_1 = 4 \implies x_1 = 2$. બિંદુ: $(2, 3)$.
- $2 x_1 + 3 x_2 = 15$ અને $x_2 = 3$ નું છેદબિંદુ: $2 x_1 + 9 = 15 \implies 2 x_1 = 6 \implies x_1 = 3$. બિંદુ: $(3, 3)$.
- $x_1$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો $(3.5, 0)$ અને $(7.5, 0)$ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(3.5, 0), (7.5, 0), (3, 3), (2, 3)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $Z = 4 x_1 + 5 x_2$ ની કિંમત શોધતા:

શિરોબિંદુ	$Z = 4 x_1 + 5 x_2$
$(3.5, 0)$	$4(3.5) + 5(0) = 14$
$(7.5, 0)$	$4(7.5) + 5(0) = 30$
$(3, 3)$	$4(3) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$(2, 3)$	$4(2) + 5(3) = 8 + 15 = 23$

$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $14$ છે,જે બિંદુ $(3.5, 0)$ પર મળે છે. અહીં $x_2$-યામ $0$ હોવાથી,આ બિંદુ $x_1$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(A) $x = 0$ આગળ સાતત્ય:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$
$f(0) = 0$
કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$,તેથી વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા:
ડાબી બાજુનું વિકલન $(LHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h - 0}{-h} = 1$
જમણી બાજુનું વિકલન $(RHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0 - 0}{h} = 0$
કારણ કે $LHD \neq RHD$,તેથી વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે પણ વિકલનીય નથી.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
$K = \lim_{x \to 0} \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$
$\log(a^b) = b \log a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$K = \lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \log(\sec^2 x)$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ હોવાથી:
$K = \lim_{x \to 0} \cot^2 x \cdot \log(1 + \tan^2 x)$
$K = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + \tan^2 x)}{\tan^2 x}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \tan^2 x$ જ્યારે $x \to 0$:
$K = 1$.

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
આપેલ છે કે $f(0) = K$,તેથી $K = \lim_{x \to 0} [\tan(\frac{\pi}{4} + x)]^{\frac{1}{x}}$.
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K = \lim_{x \to 0} (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x})^{\frac{1}{x}}$.
આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે,તેથી આપણે $\lim_{x \to 0} (1 + g(x))^{h(x)} = e^{\lim_{x \to 0} g(x)h(x)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
$K = \lim_{x \to 0} [1 + (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1)]^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} [1 + \frac{2 \tan x}{1 - \tan x}]^{\frac{1}{x}}$.
$K = e^{\lim_{x \to 0} (\frac{2 \tan x}{1 - \tan x} \cdot \frac{1}{x})}$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,તેથી:
$K = e^{\lim_{x \to 0} (\frac{2}{1 - \tan x} \cdot 1)} = e^{\frac{2}{1 - 0}} = e^{2}$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)$.
આપણે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sec x \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,તેથી $\log \sec x = \log \left(\frac{1}{\cos x}\right) = \log 1 - \log \cos x = -\log \cos x$ થાય.
તેથી,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} -\log \cos x \, dx$.
$I = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$I = -\left[\frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)\right]$.
કારણ કે $\log \left(\frac{1}{2}\right) = \log (2^{-1}) = -\log 2$,તેથી $I = -\left[\frac{\pi}{2} (-\log 2)\right] = \frac{\pi}{2} \log 2$ મળે.

(B) ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. ધારો કે $u = \tan^{-1} x$ અને $dv = x \, dx$. તેથી $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ અને $v = \frac{x^2}{2}$.
$\int_0^1 x \tan^{-1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2(1+x^2)} \, dx$
$= \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 \right) - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2+1-1}{1+x^2} \, dx$
$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) \, dx$
$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left[ x - \tan^{-1} x \right]_0^1$
$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left( (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) \right)$
$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

(A) આ સંકલન $\int_0^3 [x] \, dx$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
કારણ કે $[x]$ દરેક પૂર્ણાંક પર તેની કિંમત બદલે છે,આપણે સંકલનને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_0^3 [x] \, dx = \int_0^1 [x] \, dx + \int_1^2 [x] \, dx + \int_2^3 [x] \, dx$
અંતરાલ $[0, 1)$ માં,$[x] = 0$ છે.
અંતરાલ $[1, 2)$ માં,$[x] = 1$ છે.
અંતરાલ $[2, 3)$ માં,$[x] = 2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx + \int_2^3 2 \, dx$
$= 0 + [x]_1^2 + [2x]_2^3$
$= (2 - 1) + (6 - 4)$
$= 1 + 2 = 3$.

(A) $y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(x - 0)^2 = 4a(y - k)$ છે,જ્યાં $a$ અને $k$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $x^2 = 4ay - 4ak$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow x = 2a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{1}{2a} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$
સ્વૈર અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2a} \right)$
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{x} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( - \frac{1}{x^2} \right) = 0$
આખા સમીકરણને $x^2$ વડે ગુણતા:
$x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \tan v + v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા:
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$,એટલે કે $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cot v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\log |\sin v| = \log |x| + \log |c|$.
$\log |\sin v| = \log |cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$\sin v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = cx$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy + 2y dx = 0$ છે.
$xy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{y} + \frac{2 dx}{x} = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} + 2 \int \frac{dx}{x} = \int 0$.
આથી $\ln|y| + 2 \ln|x| = C_1$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\ln|y| + \ln|x^2| = C_1$,જેનો અર્થ છે કે $\ln|yx^2| = C_1$.
તેથી,$yx^2 = e^{C_1} = C$.
આપેલ છે કે $x = 2$ અને $y = 1$,આ કિંમતો મૂકતા: $(1)(2)^2 = C$,તેથી $C = 4$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x^2 y = 4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $x = a (t - 1/t)$ અને $y = a (t + 1/t)$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને બાદબાકી કરતા:
$y^2 - x^2 = a^2 [(t + 1/t)^2 - (t - 1/t)^2]$
નિત્યસમ $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y^2 - x^2 = a^2 [4 \cdot t \cdot (1/t)] = 4a^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$d/dx (y^2 - x^2) = d/dx (4a^2)$
$2y (dy/dx) - 2x = 0$
$2y (dy/dx) = 2x$
તેથી,$dy/dx = x/y$.

(A) આપેલ છે કે $x=f(t)$ અને $y=g(t)$.
સૌ પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = f^{\prime}(t)$ અને $\frac{dy}{dt} = g^{\prime}(t)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$.
હવે,$\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધવા માટે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} \right) \cdot \frac{dt}{dx}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{f^{\prime}(t) \cdot g^{\prime \prime}(t) - g^{\prime}(t) \cdot f^{\prime \prime}(t)}{\left[f^{\prime}(t)\right]^2} \cdot \frac{1}{f^{\prime}(t)}$.
$= \frac{f^{\prime}(t) \cdot g^{\prime \prime}(t) - g^{\prime}(t) \cdot f^{\prime \prime}(t)}{\left[f^{\prime}(t)\right]^3}$.

(A) આપેલ છે કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે,તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સાંકળના નિયમ (chain rule) મુજબ $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ મળે.
આપણને $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^4}$ આપેલ છે.
$f^{\prime}(x)$ ના પદમાં $x$ ની જગ્યાએ $g(x)$ મૂકતા,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1+[g(x)]^4}$ મળે.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{1+[g(x)]^4} \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
તેથી,$g^{\prime}(x) = 1+[g(x)]^4$ થાય.

(B) $I = \int \frac{\sec^{8} x}{\text{cosec} x} dx$
કારણ કે $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ અને $\text{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,તેથી:
$I = \int \frac{\sin x}{\cos^{8} x} dx$
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x dx = -du$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int -\frac{du}{u^{8}} = -\int u^{-8} du$
ઘાતનો નિયમ $\int u^{n} du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ વાપરતા:
$I = -\left( \frac{u^{-7}}{-7} \right) + c = \frac{1}{7u^{7}} + c$
$u = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{7 \cos^{7} x} + c = \frac{\sec^{7} x}{7} + c$

(D) $\int \sqrt{\frac{x - 5}{x - 7}} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $\sqrt{x - 5}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\int \frac{x - 5}{\sqrt{(x - 5)(x - 7)}} dx = \int \frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
હવે,અંશને દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 - 12x + 35$ ના વિકલન $2x - 12$ ના સ્વરૂપમાં લખીએ:
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 10}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 12 + 2}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 12}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
$= \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \int \frac{1}{\sqrt{(x - 6)^2 - 1}} dx$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} dt = \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \log |x - 6 + \sqrt{(x - 6)^2 - 1}| + C$
$= 1 \cdot \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \log |x - 6 + \sqrt{x^2 - 12x + 35}| + C$
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$ મળે છે.

(A) આપણે સંકલ્યને વિભાજિત કરવા માટે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{1}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 9)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 9} \right)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 9)} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2} + 2^{2}} dx - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2} + 3^{2}} dx$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2} \right) - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{3} \tan^{-1} \frac{x}{3} \right) + C$.
$= \frac{1}{10} \tan^{-1} \frac{x}{2} - \frac{1}{15} \tan^{-1} \frac{x}{3} + C$.
આને $A \tan^{-1} \frac{x}{2} + B \tan^{-1} \frac{x}{3} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{10}$ અને $B = -\frac{1}{15}$ મળે છે.
તેથી,$A - B = \frac{1}{10} - (-\frac{1}{15}) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.

(A) આપણને સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{9-16 x^2}} d x$ આપેલ છે.
છેદને $\sqrt{3^2-(4 x)^2}$ તરીકે ફરીથી લખો.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-u^2}} d u = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $u = 4x$ અને $du = 4 dx$ છે,આપણને મળે છે:
$\int \frac{1}{\sqrt{3^2-(4 x)^2}} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{3^2-(4 x)^2}} d(4x) = \frac{1}{4} \sin^{-1}(\frac{4x}{3}) + c$.
આને $\alpha \sin^{-1}(\beta x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણે $\alpha = \frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{4}{3}$ મેળવીએ છીએ.
હવે,$\alpha + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4/3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$ ની ગણતરી કરો.

(A) આપણને પદાવલિ $\cos ^{-1}\left(\cot \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\cos ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,અંદરના ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમત શોધો:
$\cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right) = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos ^{-1}(0) + \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ અને $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

(C) આપણને આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$.
આને $A(\operatorname{adj} A) = 10 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10I$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $I$ એ $2 \times 2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો મૂળભૂત ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ છે.
બંને પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $|A|I = 10I$ મળે છે.
તેથી,$|A| = 10$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = 1(3(-1) - 0(2)) - 0 + 0 = -3$ શોધો.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = -3, C_{12} = 3, C_{13} = -9$.
$C_{21} = 0, C_{22} = -1, C_{23} = -2$.
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 3$.
આમ,$\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A) = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & 14 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = \alpha(3 \times 3 - 1 \times 2) - 14(2 \times 3 - 1 \times 6) + (-1)(2 \times 2 - 3 \times 6)$
$|A| = \alpha(9 - 2) - 14(6 - 6) - 1(4 - 18)$
$|A| = \alpha(7) - 14(0) - 1(-14)$
$|A| = 7\alpha + 14$
વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ન ધરાવે તે માટે $|A| = 0$ લેતા:
$7\alpha + 14 = 0$
$7\alpha = -14$
$\alpha = -2$
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $-2$ છે.

(C) ધારો કે $X$ એ $3$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ $B(n=3, p=0.5)$ મુજબ:
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{3}{8}, P(X=2) = \frac{3}{8}, P(X=3) = \frac{1}{8}$
લાભ $Y = 2X$ છે. અપેક્ષિત લાભ $E[Y] = 2E[X]$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે $E[X] = np = 3 \times 0.5 = 1.5$.
તેથી,$E[Y] = 2 \times 1.5 = 3$.

(B) ધારો કે વ્યક્તિમાં રોગપ્રતિકારક શક્તિ વિકસવાની સંભાવના $p$ છે,તેથી $p = 0.8$ છે.
$8$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓમાં રોગપ્રતિકારક શક્તિ વિકસવાની ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બધા $8$ લોકોમાં રોગપ્રતિકારક શક્તિ વિકસે તેની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી થાય.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $p \times p \times p \times p \times p \times p \times p \times p = (0.8)^8$ છે.

(A) સંભાવના $P(3 < X \leq 5)$ એ $F(5) - F(3)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા કોષ્ટક પરથી:
$F(5) = 0.85$
$F(3) = 0.48$
તેથી,$P(3 < X \leq 5) = F(5) - F(3) = 0.85 - 0.48 = 0.37$.

(D) $x$ : ખામીયુક્ત પેનની સંખ્યા.
પેટીમાંથી બે પેન લેવામાં આવે છે.
તેથી,$x$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$P(x=0) = \frac{{}^4C_2}{{}^6C_2} = \frac{6}{15}$
$P(x=1) = \frac{{}^2C_1 \times {}^4C_1}{{}^6C_2} = \frac{8}{15}$
$P(x=2) = \frac{{}^2C_2}{{}^6C_2} = \frac{1}{15}$

$x_i$	$P(x_i)$	$x_i P(x_i)$	$x_i^2 P(x_i)$
$0$	$\frac{6}{15}$	$0$	$0$
$1$	$\frac{8}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{8}{15}$
$2$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{15}$

$E(x) = \sum x_i P(x_i) = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
$E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0 + \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$
$\text{વિચરણ}(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 = \frac{4}{5} - (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{5} - \frac{4}{9} = \frac{36-20}{45} = \frac{16}{45}$
$\text{પ્રમાણિત વિચલન} = \sqrt{\text{વિચરણ}(x)} = \sqrt{\frac{16}{45}} = \frac{4}{3 \sqrt{5}}$

(B) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 18$ અને વિચરણ $Var(X) = npq = 12$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{12}{18}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $q = \frac{2}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ થાય.
$p = \frac{1}{3}$ ની કિંમત મધ્યકના સમીકરણ $np = 18$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{3} = 18$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 54$.
યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $0, 1, 2, \dots, n$ સુધીની કિંમતો ધારણ કરી શકે છે.
તેથી,$X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, \dots, 54$ છે.
આવી કુલ કિંમતોની સંખ્યા $n + 1 = 54 + 1 = 55$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + 5|x| - 6 = 0$.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $|x|^2 + 5|x| - 6 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(|x| + 6)(|x| - 1) = 0$.
તેથી $|x| = 1$ અથવા $|x| = -6$.
$|x|$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $|x| = 1$,જેનો અર્થ છે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
ધારો કે $\alpha = 1$ અને $\beta = -1$.
તેથી,$|\tan^{-1} \alpha - \tan^{-1} \beta| = |\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)|$.
$= |\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})| = |\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}| = |\frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(r)$ છે.
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4} = r$
$x = 2r + 1, y = 2r - 1, z = 4r + 1$
તેથી,$P = (2r + 1, 2r - 1, 4r + 1)$.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,આ બિંદુ બીજી રેખા $L_2$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{2} = \frac{z}{1} = k$.
$P$ ના યામોને $L_2$ માં મૂકતા:
$\frac{2r + 1 - 3}{1} = \frac{2r - 1 - 6}{2} = \frac{4r + 1}{1}$
$\frac{2r - 2}{1} = \frac{2r - 7}{2} = 4r + 1$
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગને લેતા: $2r - 2 = 4r + 1 \Rightarrow -3 = 2r \Rightarrow r = -\frac{3}{2}$.
હવે,$r = -\frac{3}{2}$ ને $P$ ના યામોમાં મૂકતા:
$x = 2(-\frac{3}{2}) + 1 = -3 + 1 = -2$
$y = 2(-\frac{3}{2}) - 1 = -3 - 1 = -4$
$z = 4(-\frac{3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$
આમ,છેદબિંદુ $(-2, -4, -5)$ છે.

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
અહીં રેખા $(-3, 2, -5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x_1 = -3, y_1 = 2, z_1 = -5$ છે.
રેખા ધન યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોવાથી,તેના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ સમાન થશે,એટલે કે $l = m = n$.
તેથી,દિકગુણોત્તર $a = 1, b = 1, c = 1$ લઈ શકાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - (-5)}{1}$ મળે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+5}{1}$ છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}) = 13$ છે,જેને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $3x + 2y + 6z - 13 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, \lambda)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી અંતર $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$5 = \left| \frac{3(2) + 2(3) + 6(\lambda) - 13}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6 + 6 + 6\lambda - 13}{\sqrt{9 + 4 + 36}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6\lambda - 1}{\sqrt{49}} \right|$.
$5 = \left| \frac{6\lambda - 1}{7} \right|$.
$35 = |6\lambda - 1|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $6\lambda - 1 = 35$ અથવા $6\lambda - 1 = -35$.
કિસ્સો $1$: $6\lambda = 36 \implies \lambda = 6$.
કિસ્સો $2$: $6\lambda = -34 \implies \lambda = -\frac{34}{6} = -\frac{17}{3}$.
આમ,$\lambda = 6, -\frac{17}{3}$.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અભિલંબ યામ અક્ષો સાથે સમાન લઘુકોણ બનાવે છે,તેથી તેના દિકકોસાઇન સમાન છે,એટલે કે $l = m = n$. $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,આપણને $3l^2 = 1$ મળે,તેથી $l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકાય.
આપેલ બિંદુ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
$= (-1)(1) + (1)(1) + (2)(1) = -1 + 1 + 2 = 2$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2$ છે.

(C) બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{n}_1 = m\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i} - m\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\cos \theta = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (m)(2) + (-1)(-m) + (2)(1) = 3m + 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{m^2 + 5}$ અને $|\vec{n}_2| = \sqrt{m^2 + 5}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \left| \frac{3m + 2}{m^2 + 5} \right|$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $m=3$ મળે છે જો $\vec{n}_2$ માં પદ $- \hat{k}$ હોય.

(C) સદિશ $\vec{r}$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલો હોય તે માટે, દિક્કોસાઈન $|l| = |m| = |n|$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
કારણ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, આપણે $|l| = |m| = |n|$ મૂકતા $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $3l^2 = 1$ થાય છે, જે $l^2 = \frac{1}{3}$ આપે છે.
આમ, $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, અને $n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
દરેક દિક્કોસાઈન $l, m, n$ માટે $2$ શક્ય મૂલ્યો $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.
તેથી, આવા સદિશોની કુલ સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 = 8$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P, Q, R, S, M, N$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{m}, \vec{n}$ છે.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m}$.
$N$ એ $RS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{n} = \frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} + \vec{s} = 2\vec{n}$.
હવે,$\overrightarrow{PS} + \overrightarrow{QR} = (\vec{s} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q})$ લો.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(\vec{s} + \vec{r}) - (\vec{p} + \vec{q})$ મળે છે.
મધ્યબિંદુઓ પરથી મેળવેલી કિંમતો મૂકતા,આપણને $2\vec{n} - 2\vec{m}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2(\vec{n} - \vec{m}) = 2\overrightarrow{MN}$ થાય છે.

(C) જો બિંદુઓ $O(0,0,0)$,$P(2,3,4)$,$Q(1,2,3)$ અને $R(x, y, z)$ સમતલીય હોય,તો સદિશો $\vec{OR}$,$\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\implies [\vec{OR} \quad \vec{OP} \quad \vec{OQ}] = 0$
નિશ્ચાયક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x(3 \times 3 - 4 \times 2) - y(2 \times 3 - 4 \times 1) + z(2 \times 2 - 3 \times 1) = 0$
$x(9 - 8) - y(6 - 4) + z(4 - 3) = 0$
$x(1) - y(2) + z(1) = 0$
$x - 2y + z = 0$
આમ,સાચું સમીકરણ $x - 2y + z = 0$ છે.