MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સર્કિટમાં સમાંતર રીતે જોડાયેલ બે મુખ્ય શાખાઓ છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં સ્વિચ $S_1$ શ્રેણીમાં $S_2$ અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે છે. આ શાખા માટેનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $p \wedge (q \vee r)$ છે.
$2$. નીચેની શાખામાં સ્વિચ $S_3'$,$S_2'$,અને $S_1$ શ્રેણીમાં છે. $S_3'$ એ $S_3$ નું પૂરક છે અને $S_2'$ એ $S_2$ નું પૂરક છે,તેથી આ શાખા માટેનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(\neg r \wedge \neg q \wedge p)$ છે.
$3$. બંને શાખાઓ સમાંતર હોવાથી,કુલ સાંકેતિક સ્વરૂપ બંને શાખાઓનું વિયોજન (disjunction) છે: $p \wedge (q \vee r) \vee (\neg r \wedge \neg q \wedge p)$.

(A) તર્કમાં,શરતી વિધાન $P \implies Q$ ત્યારે જ ખોટું હોય છે જ્યારે $P$ સાચું હોય અને $Q$ ખોટું હોય. અન્યથા,તે સાચું હોય છે.
$(A)$ $P: 3+2=7$ (ખોટું),$Q: 4+3=8$ (ખોટું). $P$ ખોટું હોવાથી,$P \implies Q$ સાચું છે.
$(B)$ $P: 5+2=7$ (સાચું),$Q: \text{પૃથ્વી સપાટ છે}$ (ખોટું). $P$ સાચું અને $Q$ ખોટું હોવાથી,$P \implies Q$ ખોટું છે.
$(C)$ $P: (A) \text{ સાચું છે અને } (B) \text{ સાચું છે}$,$Q: 5+6=11$ (સાચું). $(A)$ સાચું છે અને $(B)$ ખોટું છે,તેથી શરત $P$ ખોટી છે. ખોટા પૂર્વવર્તી સાથેનું શરતી વિધાન સાચું હોય છે. આમ,$(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ સાચા છે,જ્યારે $(B)$ ખોટું છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે મુખ્ય ભાગો છે જે સ્વિચ $S_3$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. ધારો કે પ્રથમ ભાગ $C_1$ છે અને બીજો ભાગ $C_2$ છે. સર્કિટ $C_1 \wedge r \wedge C_2$ છે.
$C_1$ માટે: તેમાં ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે: $(p' \wedge q')$,$p$,અને $q$. તેથી,$C_1 = (p' \wedge q') \vee p \vee q$.
શોષણના નિયમ અને વિભાજનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$C_1 = (p' \wedge q') \vee (p \vee q) = (p' \vee (p \vee q)) \wedge (q' \vee (p \vee q)) = (T \vee q) \wedge (p \vee (q' \vee q)) = T \wedge (p \vee T) = T \wedge T = T$.
$C_2$ માટે: તેમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: $(p \wedge q)$ અને $(p' \wedge q)$. તેથી,$C_2 = (p \wedge q) \vee (p' \wedge q)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$C_2 = (p \vee p') \wedge q = T \wedge q = q$.
આમ,કુલ સર્કિટ અભિવ્યક્તિ $T \wedge r \wedge q = q \wedge r$ છે.
સરળ સર્કિટ એ સ્વિચ $S_2$ અને $S_3$ નું શ્રેણી જોડાણ છે,જે તાર્કિક વિધાન $(q \wedge r)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ અસત્ય હોય જો અને માત્ર જો $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં,$A = [(p \vee q) \wedge (q \rightarrow r) \wedge (\sim r)]$ અને $B = (p \wedge q)$.
$B = (p \wedge q)$ અસત્ય હોવા માટે,$p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય હોવું જોઈએ.
$A$ સત્ય હોવા માટે,તમામ ઘટકો $(p \vee q)$,$(q \rightarrow r)$,અને $(\sim r)$ સત્ય હોવા જોઈએ.
$(\sim r) = T$ પરથી,આપણને $r = F$ મળે છે.
$r = F$ ને $(q \rightarrow r) = T$ માં મૂકતા,આપણને $(q \rightarrow F) = T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = F$.
હવે,$q = F$ ને $(p \vee q) = T$ માં મૂકતા,આપણને $(p \vee F) = T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = T$.
$B = (p \wedge q) = (T \wedge F) = F$ ચકાસતા,તે શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.

(D) $1$. દરેક વિધાનનું સત્યતા મૂલ્ય તપાસો:
- $p$: શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,$(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2$. કારણ કે $AB \neq BA$,તેથી $A^2 - B^2 \neq (A-B)(A+B)$. આમ,$p$ અસત્ય $(F)$ છે.
- $q$: $5 \leqslant 5$ સત્ય છે. આમ,$q$ સત્ય $(T)$ છે.
- $r$: આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} { }^n C_k = 2^n$. અહીં,${ }^8 C_0 + { }^8 C_1 + \ldots + { }^8 C_8 = 2^8 = 256$. કારણ કે ${ }^8 C_0 = 1$,તેથી સરવાળો ${ }^8 C_1 + \ldots + { }^8 C_8 = 256 - 1 = 255$. આમ,$r$ અસત્ય $(F)$ છે.
- $s$: ${ }^n C_r$ ની મહત્તમ કિંમત ${ }^n C_{n/2}$ થાય છે. $n=8$ માટે,તે ${ }^8 C_4 = 70$ છે. આમ,$s$ સત્ય $(T)$ છે.
$2$. સત્યતા મૂલ્યો: $p=F, q=T, r=F, s=T$.
$3$. વિકલ્પો તપાસો:
- $D: (T \vee \sim F) \leftrightarrow (\sim F \wedge \sim F) = (T \vee T) \leftrightarrow (T \wedge T) = T \leftrightarrow T = T$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) નિત્યસત્ય (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સાચું હોય છે.
અમે વિકલ્પ $D$ નું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ: $(\sim q \wedge p) \vee (p \vee \sim p)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p \vee \sim p)$ એ નિત્યસત્ય છે (હંમેશા સાચું,જેને $T$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે).
આમ,પદાવલિ $(\sim q \wedge p) \vee T$ બને છે.
કોઈપણ વિધાન $X \vee T$ હંમેશા $T$ હોવાથી,આખી પદાવલિ નિત્યસત્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે. પ્રથમ શાખામાં $S_1$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં છે,જેને તાર્કિક પદ $(S_1 \land S_2)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
બીજી શાખામાં $S_1$ અને $S_3$ શ્રેણીમાં છે,જેને તાર્કિક પદ $(S_1 \land S_3)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ પરિપથને $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3)$ પદ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $S_1$ ને સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$.
આ પદ સ્વીચ $S_1$ ને $S_2$ અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં દર્શાવે છે.

(A) પગલું $1$: વિધાન $p$ તપાસો.
$2$ એ બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. તેથી,$p$ સત્ય $(T)$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $q$ તપાસો.
$z_1 = 2 - i$ અને $z_2 = -2 + i$ આપેલ છે,તેથી $\bar{z}_2 = -2 - i$.
$z_1 \bar{z}_2 = (2 - i)(-2 - i) = -4 - 2i + 2i + i^2 = -4 - 1 = -5$.
તેથી $\frac{1}{z_1 \bar{z}_2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} + 0i$.
કાલ્પનિક ભાગ $\operatorname{Im}\left[\frac{1}{z_1 \bar{z}_2}\right] = 0$.
$0 \neq -\frac{1}{5}$ હોવાથી,વિધાન $q$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: વિધાન $r$ તપાસો.
$\tan(-945^{\circ}) = -\tan(945^{\circ}) = -\tan(2 \times 360^{\circ} + 225^{\circ}) = -\tan(225^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\tan(45^{\circ}) = -1$.
તેથી,$r$ સત્ય $(T)$ છે.
પગલું $4$: વિકલ્પો તપાસો.
$p = T, q = F, r = T$.
$(A)$ $(T$ $\rightarrow F) \leftrightarrow (F \wedge T)$ $\Rightarrow F \leftrightarrow F = T$.
$(B)$ $F \leftrightarrow T = F$.
$(C)$ $T \rightarrow F = F$.
$(D)$ $(T$ $\rightarrow T) \leftrightarrow F$ $\Rightarrow T \leftrightarrow F = F$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં સ્વિચ $s_1$ એ $s_1'$ અને $s_2'$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે પછી $s_2$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સાંકેતિક રીતે,આને $p \wedge (\sim p \vee \sim q) \wedge q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \wedge ((\sim p \vee \sim q) \wedge q) = p \wedge ((\sim p \wedge q) \vee (\sim q \wedge q))$.
કારણ કે $(\sim q \wedge q)$ એ વિરોધાભાસ $(F)$ છે,તેથી આપણને $p \wedge ((\sim p \wedge q) \vee F) = p \wedge (\sim p \wedge q)$ મળે છે.
સાહચર્યના નિયમ દ્વારા: $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$.
આમ,સાંકેતિક સ્વરૂપ વિરોધાભાસ $(F)$ માં પરિણમે છે,તેથી લેમ્પ હંમેશા બંધ રહે છે.

(C) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ છે.
યાદ રાખો કે ગર્ભિત વિધાન $A \rightarrow B$ નો નિષેધ $A \wedge \sim B$ થાય છે.
અહીં,$A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = (p \vee \sim q)$ છે.
તેથી,$\sim S = (p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee \sim q) = (\sim p \wedge \sim (\sim q)) = (\sim p \wedge q)$.
આમ,$\sim S = (p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમો દ્વારા,$\sim S = (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$.
કારણ કે $(p \wedge \sim p) = F$ (વ્યાઘાત) અને $(\sim q \wedge q) = F$,તેથી $\sim S = F \wedge F = F$.
જે વિધાન હંમેશા ખોટું હોય તેને વ્યાઘાત કહેવામાં આવે છે.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$b(y/x)^2 + 2h(y/x) + a = 0$ મળે.
ધારો કે $m = y/x$,તેથી $bm^2 + 2hm + a = 0$.
બીજ $m_1$ અને $m_2$ છે,તેથી $m_1 + m_2 = -2h/b$ અને $m_1m_2 = a/b$.
$m_1 = 4m_2$ લેતા,$m_1 + m_2 = 5m_2 = -2h/b$ અને $m_1m_2 = 4m_2^2 = a/b$.
આ કિંમતો $16h^2 = 25ab$ શરતને સંતોષે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બીજું સમીકરણ $6x^2 - xy - 5y^2 = 0$ છે. તેના અવયવો પાડતા,આપણને $(6x + 5y)(x - y) = 0$ મળે છે. તેથી રેખાઓ $y = -\frac{6}{5}x$ અને $y = x$ છે.
જો $y = x$ સામાન્ય રેખા હોય,તો તે $3x^2 - 5x(x) + p(x)^2 = 0$ નું સમાધાન કરે,જે $3x^2 - 5x^2 + px^2 = 0$ આપે છે,તેથી $p = 2$.
જો $y = -\frac{6}{5}x$ સામાન્ય રેખા હોય,તો તે $3x^2 - 5x(-\frac{6}{5}x) + p(-\frac{6}{5}x)^2 = 0$ નું સમાધાન કરે.
આનું સાદું રૂપ $3x^2 + 6x^2 + p(\frac{36}{25})x^2 = 0$ થાય છે,જે $9x^2 + \frac{36p}{25}x^2 = 0$ આપે છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $9 + \frac{36p}{25} = 0$ મળે,તેથી $\frac{36p}{25} = -9$,જેનો અર્થ છે કે $p = -9 \times \frac{25}{36} = -\frac{25}{4}$.
આમ,$p = 2$ અથવા $p = -\frac{25}{4}$.

(A) યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો $y = x$ અને $y = -x$ છે,જેને $x - y = 0$ અને $x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
જરૂરી રેખાઓ આ દ્વિભાજકોને સમાંતર છે અને $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમના સમીકરણો:
$1) (x - y) - (-2 - 3) = 0 \implies x - y + 5 = 0$
$2) (x + y) - (-2 + 3) = 0 \implies x + y - 1 = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - y + 5)(x + y - 1) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 5 = 0$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, -1), B(0, 2), C(2, 3)$ અને $D(4, 0)$ છે.
વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{3 - (-1)}{2 - 2} = \frac{4}{0}$,જે અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ રેખા).
વિકર્ણ $BD$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{0 - 2}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$.
એક વિકર્ણ શિરોલંબ હોવાથી,વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = 2$ થાય.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} 2$.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_1 : m_2 = 2 : 3$,તેથી $m_1 = 2k$ અને $m_2 = 3k$ લો.
સમીકરણ $y^2 + 2hxy + 6x^2 = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{1} = -2h$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{6}{1} = 6$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $2k + 3k = -2h \implies 5k = -2h \implies k = -\frac{2h}{5}$.
વળી,$(2k)(3k) = 6 \implies 6k^2 = 6 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$.
$k = \pm 1$ ને $5k = -2h$ માં મૂકતા: $5(\pm 1) = -2h \implies h = \mp \frac{5}{2}$.
તેથી,$h = \pm \frac{5}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે,જ્યાં $a = 2$,$2h = 11$,અને $b = 3$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોનું સંયુક્ત સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x^2 - y^2}{2 - 3} = \frac{xy}{11/2}$
$\frac{x^2 - y^2}{-1} = \frac{2xy}{11}$
$11(x^2 - y^2) = -2xy$
$11x^2 - 11y^2 + 2xy = 0$
$11x^2 + 2xy - 11y^2 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 4xy + y^2 - 6x - 3y - 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત ભાગને $(2x + y)^2 - 3(2x + y) - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = 2x + y$. તો સમીકરણ $t^2 - 3t - 4 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(t - 4)(t + 1) = 0$ મળે.
આથી બે રેખાઓ મળે છે: $2x + y - 4 = 0$ અને $2x + y + 1 = 0$.
આ રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના ઢાળ સમાન છે $(m = -2)$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2, B = 1, C_1 = -4, C_2 = 1$.
$d = \frac{|-4 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ એકમ.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $kxy + 10x + 8y + 16 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 0, b = 0, c = 16, h = k/2, g = 5, f = 4$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$(0)(0)(16) + 2(4)(5)(k/2) - (0)(4^2) - (0)(5^2) - (16)(k/2)^2 = 0$.
$0 + 20k - 0 - 0 - 16(k^2/4) = 0$.
$20k - 4k^2 = 0$.
$4k(5 - k) = 0$.
આમ,$k = 0$ અથવા $k = 5$.

(A) આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 24xy + 9y^2 + 48x - 36y + 35 = 0$ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદોને $(4x - 3y)^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સમીકરણ $(4x - 3y)^2 + 12(4x - 3y) + 35 = 0$ બને છે.
ધારો કે $t = 4x - 3y$. તો $t^2 + 12t + 35 = 0$.
અવયવ પાડતા,આપણને $(t + 7)(t + 5) = 0$ મળે છે.
આમ,બે રેખાઓ $4x - 3y + 7 = 0$ અને $4x - 3y + 5 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 4$,$b = -3$,$c_1 = 7$,અને $c_2 = 5$.
$d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{2}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$ એકમ.

(A) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $xy-x+y-1=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $x(y-1)+1(y-1)=0$,જે $(x+1)(y-1)=0$ આપે છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: x+1=0$ અને $L_2: y-1=0$.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(-1, 1)$ છે.
કારણ કે રેખા $x+ky-3=0$ આ રેખાઓ સાથે સંગામી છે,તે $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
$(-1, 1)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 + k(1) - 3 = 0$.
$k - 4 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 4$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
સરખામણી કરતા $a=1, h=-3/2, b=\lambda, g=3/2, f=-5/2, c=2$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1)(\lambda)(2) + 2(-5/2)(3/2)(-3/2) - (1)(-5/2)^2 - (\lambda)(3/2)^2 - (2)(-3/2)^2 = 0$.
$2\lambda + 45/4 - 25/4 - 9\lambda/4 - 9/2 = 0$.
$2\lambda - 9\lambda/4 + 5 - 4.5 = 0 \implies -\lambda/4 + 0.5 = 0 \implies \lambda = 2$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$.
અહીં $a=1, b=2, h=-3/2$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{9/4 - 2}}{1+2} \right| = \frac{2\sqrt{1/4}}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી $\cot \theta = 3$.
$\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + 3^2 = 10$.
આમ,$\frac{\operatorname{cosec}^2 \theta}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $f(x, y) = 2x^2 + 4xy + 5y^2 - 4x - 22y + 29 = 0$ છે. \\ ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડવા માટે,આપણે $x = X + h$ અને $y = Y + k$ મૂકીએ છીએ. \\ સમીકરણ સમપરિમાણીય બને તે માટે $X$ અને $Y$ ના રેખીય પદો શૂન્ય થવા જોઈએ. \\ $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન લેતા: \\ $f_x = 4x + 4y - 4 = 0 \implies x + y = 1$ \\ $f_y = 4x + 10y - 22 = 0 \implies 2x + 5y = 11$ \\ આ સમીકરણો ઉકેલતા: \\ પ્રથમ સમીકરણ પરથી $x = 1 - y$. બીજામાં મૂકતા: $2(1 - y) + 5y = 11 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. \\ તેથી $x = -2$. \\ આમ,ઉગમબિંદુને $(-2, 3)$ પર ખસેડવું જોઈએ.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-3xy+2y^2+3x-5y+2=0$ છે.
તેને બે સીધી રેખાઓના વ્યાપક સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1$,$2h=-3 \implies h=-\frac{3}{2}$,$b=2$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(2)}}{1+2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{3} \right| = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{3}$.
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ હોવાથી,આપણે સામેની બાજુ $1$ અને પાસેની બાજુ $3$ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ.
કર્ણ $\sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 20y$ છે. તેને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = 20$,તેથી $a = 5$ મળે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ છે,જે $(10, 5)$ અને $(-10, 5)$ થાય.
ત્રિકોણ $(0, 0)$,$(10, 5)$ અને $(-10, 5)$ બિંદુઓ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણનો પાયો નાભિલંબની લંબાઈ જેટલો છે,જે $4a = 20$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ શિરોબિંદુથી નાભિલંબ સુધીનું અંતર છે,જે $a = 5$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 20 \times 5 = 50 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2+4y+4x+2=0$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$y^2+4y = -4x-2$.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
$y^2+4y+4 = -4x-2+4$.
$(y+2)^2 = -4x+2$.
$(y+2)^2 = -4(x-\frac{1}{2})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$h = \frac{1}{2}$,$k = -2$,અને $4a = 4 \implies a = 1$.
ડાબી તરફ ખુલતા પરવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h+a$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ નાભિથી નિયામિકાનું લંબ અંતર છે.
આપેલ નાભિ $S = (3,3)$ અને નિયામિકા $L: 3x - 4y - 2 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{|3(3) - 4(3) - 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$a = \frac{|9 - 12 - 2|}{\sqrt{9 + 16}}$
$a = \frac{|-5|}{\sqrt{25}}$
$a = \frac{5}{5} = 1$.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 4 \times 1 = 4$ એકમ થાય.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $a = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 4)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4x$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -1$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ થી પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{y_1^2 - 4ax_1}}{x_1 + a} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = 1, x_1 = 1, y_1 = 4$.
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{1 + 1} \right| = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ પરવલયો $y^2 = 32x$ $(4a = 32 \implies a = 8)$ અને $x^2 = 108y$ $(4b = 108 \implies b = 27)$ છે.
$y^2 = 32x$ નો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx + \frac{8}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ રેખા $x^2 = 108y$ નો પણ સ્પર્શક છે. $y = mx + \frac{8}{m}$ ને $x^2 = 108y$ માં મૂકતા,$x^2 = 108(mx + \frac{8}{m}) \implies x^2 - 108mx - \frac{864}{m} = 0$ મળે.
સ્પર્શક હોવાથી,વિવેચક $D = 0$:
$(-108m)^2 - 4(1)(-\frac{864}{m}) = 0 \implies 11664m^2 + \frac{3456}{m} = 0$.
$11664m^3 = -3456 \implies m^3 = -\frac{8}{27}$.
તેથી,$m = -\frac{2}{3}$.
$Y$-અંત:ખંડ $c = \frac{8}{m} = \frac{8}{-2/3} = -12$.

(A) પરવલય $y^2 = 4(x-1)$ માટે,શિરોબિંદુ $(1, 0)$ છે અને $a = 1$ છે. નાભિલંબ $x = 2$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(2, -2)$ છે.
પરવલય $x^2 = -4(y-3)$ માટે,શિરોબિંદુ $(0, 3)$ છે અને $a = 1$ છે. નાભિલંબ $y = 2$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, 2)$ છે.
સામાન્ય બિંદુ $(2, 2)$ છે.
$y^2 = 4(x-1)$ માટે,વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(2, 2)$ આગળ,$m_1 = 1$.
$x^2 = -4(y-3)$ માટે,વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$. બિંદુ $(2, 2)$ આગળ,$m_2 = -1$.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$ મળે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = a/m$ છે.
આપેલ રેખા $y = mx + 3$ માટે,$c = 3$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $3 = 1/m$.
તેથી,$m = 1/3$ મળે.

(C) '$UNIVERSITY$' શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, I, T, Y$. '$I$' અક્ષર $2$ વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $\frac{10!}{2!}$.
બંને '$I$' સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,બે '$I$' ને એક એકમ $(II)$ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે $9$ એકમો છે: $(II), U, N, V, E, R, S, T, Y$.
'$I$' સાથે આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = $9!$.
'$I$' સાથે આવે તેની સંભાવના = $\frac{9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{9! \times 2}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
'$I$' સાથે ન આવે તેની સંભાવના = $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) છેદબિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તમામ શક્ય જોડીઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. $8$ રેખાઓનું એકબીજા સાથે છેદન: મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે.
$2$. $4$ વર્તુળોનું એકબીજા સાથે છેદન: દરેક વર્તુળની જોડી $2$ બિંદુઓ પર છેદે છે. જોડીઓની સંખ્યા $^4C_2 = 6$ છે. તેથી,$6 \times 2 = 12$ બિંદુઓ.
$3$. $8$ રેખાઓ અને $4$ વર્તુળોનું છેદન: દરેક રેખા દરેક વર્તુળને $2$ બિંદુઓ પર છેદી શકે છે. તેથી,$8 \times 4 \times 2 = 64$ બિંદુઓ.
કુલ બિંદુઓ = $28 + 12 + 64 = 104$.

(B) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંક $25, 50,$ અથવા $75$ હોય તો તે સંખ્યા $25$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલ અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ માંથી,$25$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવા છેલ્લા બે અંક $25$ અને $75$ છે (કારણ કે $0$ આપેલ ગણમાં નથી).
કિસ્સો $1$: સંખ્યા $25$ થી પૂરી થાય છે.
છેલ્લા બે અંક $2$ અને $5$ નિશ્ચિત છે.
બાકીના $2$ સ્થાન બાકી રહેલા $5$ અંકો $\{1, 3, 4, 6, 7\}$ વડે $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: સંખ્યા $75$ થી પૂરી થાય છે.
છેલ્લા બે અંક $7$ અને $5$ નિશ્ચિત છે.
બાકીના $2$ સ્થાન બાકી રહેલા $5$ અંકો $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ વડે $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય.
$25$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $= 20 + 20 = 40$.

(D) $m$ માટે: $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને હારમાં એકાંતરે બે રીતે ગોઠવી શકાય: ($B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$) અથવા ($G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$). દરેક કિસ્સામાં,$5$ છોકરાઓને $5!$ રીતે અને $5$ છોકરીઓને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય. તેથી,$m = 2 \times 5! \times 5! = 28800$.
$n$ માટે: $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં એવી રીતે ગોઠવવા કે કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન હોય,પહેલા $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં $(5-1)! = 4! = 24$ રીતે ગોઠવો. આ તેમની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બનાવે છે. $5$ છોકરાઓને આ $5$ જગ્યાઓમાં $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય. તેથી,$n = 4! \times 5! = 2880$.
$m = kn$ આપેલ હોવાથી,$28800 = k \times 2880$,જેનો અર્થ છે કે $k = 10$.

(B) $20$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને ત્રિકોણ બનાવવાની કુલ રીતો $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
બહુકોણની કોઈ પણ બાજુનો ઉપયોગ ન કરતા હોય તેવા ત્રિકોણ શોધવા માટે,આપણે કુલ ત્રિકોણમાંથી $1$ બાજુ અને $2$ બાજુઓનો ઉપયોગ કરતા ત્રિકોણ બાદ કરવા પડે.
બરાબર $2$ બાજુઓનો ઉપયોગ કરતા ત્રિકોણની સંખ્યા શિરોબિંદુઓની સંખ્યા જેટલી એટલે કે $20$ છે.
બરાબર $1$ બાજુનો ઉપયોગ કરતા ત્રિકોણની સંખ્યા $20$ બાજુઓમાંથી $1$ બાજુ પસંદ કરીને ($20$ રીતો) અને બાકીના શિરોબિંદુઓમાંથી એવું શિરોબિંદુ પસંદ કરીને મળે જે પસંદ કરેલી બાજુ સાથે જોડાયેલ ન હોય. આવા $16$ શિરોબિંદુઓ છે.
તેથી,$1$ બાજુવાળા ત્રિકોણ = $20 \times 16 = 320$.
કોઈ પણ બાજુનો ઉપયોગ ન કરતા હોય તેવા કુલ ત્રિકોણ = $1140 - 320 - 20 = 800$.

(A) $n$ દડાઓમાંથી $4$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{n}C_4$ છે.
$n$ દડાઓમાંથી $5$ લીલા દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{n}C_5$ છે.
બંને પસંદગીઓનો સરવાળો ${}^{n}C_4 + {}^{n}C_5$ છે.
પાસ્કલના નિયમ ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ${}^{n}C_4 + {}^{n}C_5 = {}^{n+1}C_5$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે સરવાળો ${}^{n+1}C_4$ કરતા વધારે છે,તેથી ${}^{n+1}C_5 > {}^{n+1}C_4$.
સૂત્ર ${}^{m}C_r = \frac{m!}{r!(m-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{(n+1)!}{5!(n-4)!} > \frac{(n+1)!}{4!(n-3)!}$ મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{1}{5} > \frac{1}{n-3}$ મળે છે.
આથી $n-3 > 5$,એટલે કે $n > 8$.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${ }^{n+4} C_{n+1}-{ }^{n+3} C_n=15(n+2)$.
ગુણધર્મ ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${ }^{n+4} C_{n+1} = { }^{n+4} C_3$ અને ${ }^{n+3} C_n = { }^{n+3} C_3$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{(n+4)(n+3)(n+2)}{6} - \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6} = 15(n+2)$.
બંને બાજુ $(n+2)$ વડે ભાગતા: $\frac{(n+4)(n+3)}{6} - \frac{(n+3)(n+1)}{6} = 15$.
$6$ વડે ગુણતા: $(n^2+7n+12) - (n^2+4n+3) = 90$.
$3n + 9 = 90$.
$3n = 81$.
$n = 27$.

(A) ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે $11$ માંથી $4$ બિંદુઓ એવી રીતે પસંદ કરવા પડે કે જેથી કોઈ પણ $3$ બિંદુઓ સમરેખ ન હોય.
$11$ માંથી $4$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$ છે.
જો કે,જો આપણે $5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ અથવા $4$ બિંદુઓ પસંદ કરીએ,તો તે ચતુષ્કોણ બનાવશે નહીં.
$5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $4$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_4 = 5$ છે.
$5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ અને બાકીના $6$ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_3 \times ^{6}C_1 = 10 \times 6 = 60$ છે.
કુલ અમાન્ય પસંદગીઓ = $5 + 60 = 65$.
ચતુષ્કોણની સંખ્યા = $330 - 65 = 265$.

(D) કુલ ખેલાડીઓ = $25$.
જરૂરી ટીમનું કદ = $11$.
હંમેશા સામેલ કરવાના ખેલાડીઓ = $6$.
હંમેશા બાકાત રાખવાના ખેલાડીઓ = $5$.
પસંદગી માટે બાકી રહેલા ખેલાડીઓ = $25 - 6 - 5 = 14$.
ટીમમાં બાકી રહેલી જગ્યાઓ = $11 - 6 = 5$.
તેથી,ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા $14$ ખેલાડીઓમાંથી $5$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાની રીતો છે,જે $^{14}C_{5}$ છે.
વિકલ્પો જોતા,જો પ્રશ્નમાં કોઈ ભૂલ હોય અને $^{14}C_{6}$ સાચો જવાબ ગણવામાં આવે,તો વિકલ્પ $D$ પસંદ કરવામાં આવે છે.

(C) $6$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને ગોળાકાર ટેબલ પર એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે,આપણે પહેલા $6$ છોકરાઓને વર્તુળમાં ગોઠવીએ.
$6$ છોકરાઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(6-1)! = 5! = 120$ છે.
છોકરાઓને ગોઠવ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે.
આપણે $5$ છોકરીઓને આ $6$ જગ્યાઓમાંથી એવી રીતે ગોઠવવાની છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન આવે.
$6$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_5 = 6$ છે.
$5$ છોકરીઓને પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $120 \times 6 \times 120 = 86400$ છે.

(C) $10$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાની કુલ રીતો $(10-1)! = 9! = 362880$ છે.
ધારો કે $2$ ખાસ છોકરાઓ $B_1, B_2$ અને એક ખાસ છોકરી $G_1$ છે.
આપણે એવી ગોઠવણીઓ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યાં $B_1, B_2, G_1$ સાથે ન બેસે.
પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે કુલમાંથી તે કિસ્સાઓ બાદ કરીએ છીએ જ્યાં તેઓ સાથે બેસે છે.
$(B_1, B_2, G_1)$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $8$ એકમો છે: $(8-1)! = 7! = 5040$.
એકમની અંદર,$B_1, B_2, G_1$ ને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેઓ સાથે બેસે તેવા કુલ કિસ્સાઓ = $5040 \times 6 = 30240$.
તેઓ સાથે ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા = $362880 - 30240 = 332640$.

(D) પગલું $1$: $21$ માંથી $12$ મિત્રોને પ્રથમ ટેબલ પર બેસવા માટે પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા $\binom{21}{12}$ છે.
પગલું $2$: ગોળાકાર ટેબલ પર $12$ મિત્રોને બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા $(12-1)! = 11!$ છે.
પગલું $3$: બાકીના $9$ મિત્રોને બીજા ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાના છે. તેમને બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા $(9-1)! = 8!$ છે.
પગલું $4$: કુલ રીતોની સંખ્યા $\binom{21}{12} \times 11! \times 8! = \frac{21!}{12!9!} \times 11! \times 8! = \frac{21!}{12 \times 9} = \frac{21!}{108}$ છે.

(A) પરિવારમાં કુલ $10$ સભ્યો છે: $1$ માતા,$1$ પિતા,$4$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓ.
કુલ પુરુષો = $1$ (પિતા) + $4$ (છોકરાઓ) = $5$.
કુલ સ્ત્રીઓ = $1$ (માતા) + $4$ (છોકરીઓ) = $5$.
પુરુષો અને સ્ત્રીઓ એકાંતરે બેસતા હોવાથી,$5$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલ પર $(5-1)! = 4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આનાથી પુરુષોની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે.
માતા અને પિતા સાથે બેસવા જોઈએ.
જો પિતા $F_1$ સ્થાન પર હોય,તો માતા પિતાની બાજુની બે જગ્યાઓમાંથી એકમાં હોવી જોઈએ.
માતા માટે $2$ વિકલ્પો છે.
બાકીની $4$ સ્ત્રીઓને બાકીની $4$ જગ્યાઓમાં $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ રીતો = $24 \times 2 \times 24 = 576$.

(B) ધારો કે $3$-અંકની સંખ્યા $n$ છે. આપેલ છે કે $\text{gcd}(n, 36) = 2$.
$36 = 2^2 \times 3^2$ હોવાથી,$\text{gcd}(n, 36) = 2$ નો અર્થ એ છે કે $n$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ પણ $4$ વડે નહીં,અને $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોવી જોઈએ.
ધારો કે $n = 2k$. તો $\text{gcd}(2k, 36) = 2 \implies \text{gcd}(k, 18) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $k$ એ $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$3$-અંકની સંખ્યાઓ $[100, 999]$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,$100 \le 2k \le 999 \implies 50 \le k \le 499.5$.
આમ,$k \in \{50, 51, \dots, 499\}$.
$k$ ના કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $450$ છે.
આપણે $k$ ના એવા મૂલ્યો બાદ કરવાના છે જે $2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$S = \{50, 51, \dots, 499\}$ લો.
$S$ માં $2$ ના ગુણકો: $225$.
$S$ માં $3$ ના ગુણકો: $150$.
$S$ માં $6$ ના ગુણકો: $75$.
ગણતરી મુજબ,$2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય $k$ ની સંખ્યા $225 + 150 - 75 = 300$ છે.
તેથી,$\text{gcd}(k, 6) = 1$ હોય તેવા $k$ ની સંખ્યા $450 - 300 = 150$ છે.

(A) એક સમતોલ પાસાને ફેંકતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ $4$ અથવા $5$ અંક આવવાની ઘટના છે. તેથી $E = \{4, 5\}$ અને $n(E) = 2$.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
પૂરક ઘટના $E^c$ (એટલે કે $4$ અથવા $5$ ન આવે તેની ઘટના) ની સંભાવના $P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
કોઈ ઘટના $E$ ની વિરુદ્ધની બાજી (odds against) $P(E^c) : P(E)$ ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$E$ ની વિરુદ્ધની બાજી $\frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1$ છે.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા = $8 + x$.
$8 + x$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8+x}{3}$ છે.
$8$ લાલ દડામાંથી $3$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{3}$ છે.
સંભાવના:
$P = \frac{\binom{8}{3}}{\binom{8+x}{3}} = \frac{7}{15}$.
$\binom{8}{3} = 56$.
$\frac{56}{\binom{8+x}{3}} = \frac{7}{15} \implies \binom{8+x}{3} = 120$.
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 120 \implies n(n-1)(n-2) = 720$.
$10 \times 9 \times 8 = 720$,તેથી $n = 10$.
$8 + x = 10 \implies x = 2$.

(C) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ છે.
આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
$53$ શનિવાર હોવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{7}$ છે અને $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{7}$ છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$53$ શનિવાર અથવા $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$ થાય.

(B) $9$ બેઠકો પર $6$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $9!$ છે.
છેડાની બેઠકો પર છોકરીઓ હોય તે શરત માટે,આપણે $3$ માંથી $2$ છોકરીઓને છેડા માટે $^3P_2 = 3 \times 2 = 6$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
બાકીની $7$ બેઠકો $6$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી દ્વારા ભરવાની છે.
કોઈ પણ બે છોકરીઓ બાજુ-બાજુમાં ન હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $6$ છોકરાઓને $6!$ રીતે ગોઠવીએ છીએ.
આનાથી $7$ જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે. કારણ કે $2$ છેડાની બેઠકો પહેલેથી જ છોકરીઓ દ્વારા રોકાયેલી છે,તેથી બાકીની $1$ છોકરી માટે $5$ આંતરિક જગ્યાઓ ઉપલબ્ધ છે.
છેલ્લી છોકરીને બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા $5$ છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $6 \times 6! \times 5 = 30 \times 720 = 21600$.
કુલ શક્ય ગોઠવણીઓ = $9! = 362880$.
સંભાવના = $\frac{21600}{362880} = \frac{5}{84}$.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $6 + x$.
$6 + x$ દડાઓમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6+x}{2} = \frac{(6+x)(5+x)}{2}$ છે.
$6$ પીળા દડામાંથી $2$ પીળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે.
$2$ પીળા દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{15}{\frac{(6+x)(5+x)}{2}} = \frac{30}{(6+x)(5+x)}$ છે.
આપેલ છે કે સંભાવના $\frac{5}{26}$ છે,તેથી $\frac{30}{(6+x)(5+x)} = \frac{5}{26}$.
સાદુરૂપ આપતા,$(6+x)(5+x) = \frac{30 \times 26}{5} = 156$.
સમીકરણનો વિસ્તાર કરતા: $x^2 + 11x + 30 = 156$,જે $x^2 + 11x - 126 = 0$ આપે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 18)(x - 7) = 0$.
$x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x = 7$.

(C) $20$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
ક્રમિક ત્રિપુટીઓ $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ છે.
આવી કુલ $18$ ત્રિપુટીઓ મળે.
તેથી સંભાવના $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ થાય.

(A) ધારો કે $I = \int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} dx$.
નોંધો કે $16x^2 - 8x^3 + x^4 = x^2(16 - 8x + x^2) = x^2(4-x)^2$.
તેથી,છેદ $\log(x^2(4-x)^2) = \log x^2 + \log(4-x)^2$ થાય છે.
આમ,$I = \int_1^3 \frac{\log x^2}{\log x^2 + \log(4-x)^2} dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $a+b = 1+3 = 4$ છે.
$x$ ને $(4-x)$ વડે બદલતા,આપણને $I = \int_1^3 \frac{\log(4-x)^2}{\log(4-x)^2 + \log x^2} dx$ મળે છે.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_1^3 \frac{\log x^2 + \log(4-x)^2}{\log x^2 + \log(4-x)^2} dx = \int_1^3 1 dx = [x]_1^3 = 3-1 = 2$.
તેથી,$I = 1$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \, dx$. કારણ કે $f(x) = \sin^4 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \, dx$.
નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin^4 x = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$.
વધુમાં,$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 x = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.
સંકલન કરતા,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) \, dx = 2 [\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$.
સીમાઓ મૂકતા: $I = 2 [(\frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{32}\sin \pi) - (0)] = 2 [\frac{3\pi}{32} - \frac{1}{4} + 0] = \frac{3\pi}{16} - \frac{1}{2} = \frac{3\pi - 8}{16}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે સીમાઓ $a = \log \frac{1}{2} = -\log 2$ અને $b = \log 2$ છે.
તેથી,$a+b = 0$.
આમ,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\right) d x$.
સાઇન વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટને સરળ બનાવતા: $\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} = \frac{\frac{1}{e^x}-1}{\frac{1}{e^x}+1} = \frac{1-e^x}{1+e^x} = -\left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)$.
કારણ કે $\sin(- \theta) = -\sin(\theta)$,સંકલ્ય એક અયુગ્મ વિધેય છે.
તેથી,$I = \int_{-\log 2}^{\log 2} -\sin \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right) d x = -I$.
આ સૂચવે છે કે $2I = 0$,તેથી $I = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) d x$.
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f\left(\frac{ab}{x}\right) \frac{ab}{x^2} dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{1}{2}$ અને $b = 2$,તેથી $ab = 1$.
તેથી $I = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{1/x} \operatorname{cosec}^{101}\left(\frac{1}{x}-x\right) \frac{1}{x^2} dx$.
$I = \int_{\frac{1}{2}}^2 x \operatorname{cosec}^{101}\left(-(x-\frac{1}{x})\right) \frac{1}{x^2} dx$.
કારણ કે $\operatorname{cosec}(- \theta) = -\operatorname{cosec}(\theta)$ અને ઘાત $101$ એકી સંખ્યા છે,તેથી $\operatorname{cosec}^{101}(- \theta) = -\operatorname{cosec}^{101}(\theta)$.
આમ,$I = - \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) dx = -I$.
$2I = 0 \implies I = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin x + 100 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \sin(\frac{\pi}{2}-x) + 100 \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x) + \cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{300 \cos x + 100 \sin x}{\cos x + \sin x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(300 \sin x + 100 \cos x) + (300 \cos x + 100 \sin x)}{\sin x + \cos x} dx$.
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{400 \sin x + 400 \cos x}{\sin x + \cos x} dx$.
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 400 dx$.
$2I = 400 [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 400 \times \frac{\pi}{2} = 200 \pi$.
તેથી, $I = 100 \pi$.

(C) નિશ્ચિત સંકલન $I = \int_0^1 x \left|x - \frac{1}{2}\right| dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંકલનને તે બિંદુએ વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં માનાંકની અંદરની કિંમત ચિહ્ન બદલે છે,જે $x = \frac{1}{2}$ છે.
$0 \le x < \frac{1}{2}$ માટે,$\left|x - \frac{1}{2}\right| = -\left(x - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - x$.
$\frac{1}{2} \le x \le 1$ માટે,$\left|x - \frac{1}{2}\right| = x - \frac{1}{2}$.
તેથી,$I = \int_0^{1/2} x \left(\frac{1}{2} - x\right) dx + \int_{1/2}^1 x \left(x - \frac{1}{2}\right) dx$.
પ્રથમ ભાગનું સંકલન:
$\int_0^{1/2} \left(\frac{1}{2}x - x^2\right) dx = \left[\frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{3}\right]_0^{1/2} = \left(\frac{1/4}{4} - \frac{1/8}{3}\right) = \frac{1}{16} - \frac{1}{24} = \frac{3 - 2}{48} = \frac{1}{48}$.
બીજા ભાગનું સંકલન:
$\int_{1/2}^1 \left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4}\right]_{1/2}^1 = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) - \left(\frac{1/8}{3} - \frac{1/4}{4}\right) = \frac{1}{12} - \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{16}\right) = \frac{1}{12} - \left(\frac{2 - 3}{48}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{48} = \frac{4 + 1}{48} = \frac{5}{48}$.
બંને ભાગનો સરવાળો:
$I = \frac{1}{48} + \frac{5}{48} = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$.

(D) ધારો કે $I = \int_2^3 x f(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_2^3 (2+3-x) f(2+3-x) dx = \int_2^3 (5-x) f(5-x) dx$.
આપેલ છે કે $f(5-x) = f(x)$,તેથી આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_2^3 (5-x) f(x) dx = 5 \int_2^3 f(x) dx - \int_2^3 x f(x) dx$.
કારણ કે $\int_2^3 f(x) dx = 2$,તેથી:
$I = 5(2) - I$.
$2I = 10$.
$I = 5$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_0^\pi |\sin^3 x| dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કારણ કે $x \in [0, \pi]$ માટે $\sin x \ge 0$ છે,તેથી $|\sin^3 x| = \sin^3 x$ થાય.
આમ,$I = \int_0^\pi \sin^3 x dx$.
નિત્યસમ $\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} dx$
$I = \frac{1}{4} [ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} ]_0^\pi$
$I = \frac{1}{4} [ (-3 \cos \pi + \frac{\cos 3\pi}{3}) - (-3 \cos 0 + \frac{\cos 0}{3}) ]$
$I = \frac{1}{4} [ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) ]$
$I = \frac{1}{4} [ \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) ] = \frac{1}{4} [ \frac{16}{3} ] = \frac{4}{3}$.

(D) સંકલન $\int_1^2 \frac{x}{(x+2)(x+3)} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\frac{x}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$.
$(x+2)(x+3)$ વડે ગુણતા,આપણને $x = A(x+3) + B(x+2)$ મળે છે.
$x = -2$ લેતા,$-2 = A(1)$,તેથી $A = -2$.
$x = -3$ લેતા,$-3 = B(-1)$,તેથી $B = 3$.
આમ,$\int_1^2 \left( \frac{-2}{x+2} + \frac{3}{x+3} \right) \, dx = [-2 \log|x+2| + 3 \log|x+3|]_1^2$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા:
$(-2 \log 4 + 3 \log 5) - (-2 \log 3 + 3 \log 4) = -5 \log 4 + 3 \log 5 + 2 \log 3 = \log(5^3 \cdot 3^2 / 4^5) = \log(125 \cdot 9 / 1024) = \log(\frac{1125}{1024})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $g(x)$ એ $x=3$ આગળ સતત હોવા માટે,$K = \lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \int_3^{f(x)} \frac{3t^2}{x-3} dt$ હોવું જોઈએ.
જ્યારે $x \to 3$ થાય ત્યારે સંકલન $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (કારણ કે $f(3)=3$),આપણે લૉપિટલનો નિયમ અને લેબનિઝનો નિયમ વાપરીએ.
ધારો કે $I(x) = \int_3^{f(x)} 3t^2 dt$. તો $g(x) = \frac{I(x)}{x-3}$.
લૉપિટલના નિયમ મુજબ,$K = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{dx} \int_3^{f(x)} 3t^2 dt}{\frac{d}{dx} (x-3)}$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx} \int_3^{f(x)} 3t^2 dt = 3(f(x))^2 \cdot f^{\prime}(x)$.
તેથી,$K = \lim_{x \to 3} \frac{3(f(x))^2 \cdot f^{\prime}(x)}{1} = 3(f(3))^2 \cdot f^{\prime}(3)$.
આપેલ કિંમતો $f(3)=3$ અને $f^{\prime}(3)=\frac{1}{27}$ મૂકતા:
$K = 3 \cdot (3)^2 \cdot \frac{1}{27} = 3 \cdot 9 \cdot \frac{1}{27} = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$.

(D) સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટને $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના રેખીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$[\vec{p}-\vec{r}, \vec{q}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] - [\vec{r}, \vec{q}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]$.
$[\vec{p}+\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] = [\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]$.
આ બે પદોનો સરવાળો કરતા:
$([\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]) + ([\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}]) = [\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + 2[\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] + [\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}]$.
આને $m[\vec{p}, \vec{r}, \vec{s}] + n[\vec{q}, \vec{r}, \vec{s}] + t[\vec{p}, \vec{q}, \vec{s}]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=1$,$n=2$,$t=1$ મળે છે.

(A) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો એ શ્રેણિકના નિશ્ચાયક $|A|$ ની કિંમત જેટલો હોય છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પદાવલિ $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ એ બીજી હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયક $|A|$ નું વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
ત્રીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા (કારણ કે તેમાં બે શૂન્ય છે):
$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} - 0 + 0$
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (\sin \theta)(-\sin \theta)$
$|A| = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
તેથી,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = |A| = 1$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$
આ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ દર્શાવે છે:
$1) x + 3y + 3z = 12$
$2) x + 4y + 4z = 15$
$3) x + 3y + 4z = 13$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(x + 3y + 4z) - (x + 3y + 3z) = 13 - 12$
$z = 1$
$z = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 3y + 3(1) = 12 \implies x + 3y = 9$
$x + 4y + 4(1) = 15 \implies x + 4y = 11$
બીજા સાદું રૂપ આપેલા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરતા:
$(x + 4y) - (x + 3y) = 11 - 9$
$y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત $x + 3y = 9$ માં મૂકતા:
$x + 3(2) = 9 \implies x + 6 = 9 \implies x = 3$
હવે,$x^2 + y^2 + z^2$ ની ગણતરી કરતા:
$x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પરવલય $x^2 = 4y$ માટે $m$ ઢાળવાળી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx - am^2$ છે. અહીં $a = 1$ હોવાથી,સમીકરણ $y = mx - m^2$ થાય છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = m$.
$m = \frac{dy}{dx}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = x(\frac{dy}{dx}) - (\frac{dy}{dx})^2$.
પદોને ગોઠવતા,$(\frac{dy}{dx})^2 - x(\frac{dy}{dx}) + y = 0$ મળે છે.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ (order) $1$ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત (degree) $2$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[5]{\frac{dy}{d x}-5}$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $10$ (જે $2$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત લઈને મૂળ દૂર કરીએ છીએ:
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^{1/2} = (\frac{dy}{d x}-5)^{1/5}$
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^{10/2} = (\frac{dy}{d x}-5)^{10/5}$
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^5 = (\frac{dy}{d x}-5)^2$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે,જે $5$ છે.
તેથી,કક્ષા અને પરિમાણનો સરવાળો $2 + 5 = 7$ થાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}+3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=x^2 \log \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ છે.
જો કોઈ વિકલ સમીકરણ તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,તો જ તેની ઘાત વ્યાખ્યાયિત હોય છે.
આપેલ સમીકરણમાં,$\log \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ પદમાં દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત લઘુગણક વિધેયની અંદર છે,જેનો અર્થ છે કે આ સમીકરણને તેના વિકલિતોની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ મળે છે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 56x\frac{dy}{dx} + 49x^2$ મળે છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
વિકલ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી,ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,ક્રમ $1$ અને ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + By^2 = 1$ છે.
અહીં $2$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો ($A$ અને $B$) હોવાથી,આપણે સમીકરણનું બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન: $2Ax + 2Byy' = 0$,જેનું સાદું રૂપ $Ax + Byy' = 0$ થાય છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન: $A + B(y')^2 + Byy'' = 0$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,$A = -Byy'/x$.
$A$ ની કિંમત દ્વિતીય વિકલનમાં મૂકતા: $-Byy'/x + B(y')^2 + Byy'' = 0$.
$B$ વડે ભાગતા (ધારો કે $B \neq 0$): $-yy'/x + (y')^2 + yy'' = 0$.
$x$ વડે ગુણતા: $-yy' + x(y')^2 + xyy'' = 0$.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $y''$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિત $y''$ ની ઘાત $1$ છે,તેથી પરિમાણ $1$ છે.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = (C_1 + C_2) \sin (x + C_3) - C_4 e^{x + C_5}$ છે.
અચળાંકોને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકાય છે:
ધારો કે $A = (C_1 + C_2)$. $C_1$ અને $C_2$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,તેમનો સરવાળો $A$ પણ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.
ધારો કે $B = C_4 e^{C_5}$. $C_4$ અને $C_5$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,$B$ પણ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.
હવે,સમીકરણ $y = A \sin (x + C_3) - B e^x$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin (x + C_3) = \sin x \cos C_3 + \cos x \sin C_3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = A (\sin x \cos C_3 + \cos x \sin C_3) - B e^x$
$y = (A \cos C_3) \sin x + (A \sin C_3) \cos x - B e^x$.
ધારો કે $K_1 = A \cos C_3$,$K_2 = A \sin C_3$,અને $K_3 = -B$.
આ $K_1, K_2, K_3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો છે.
આમ,સમીકરણ $y = K_1 \sin x + K_2 \cos x + K_3 e^x$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
વ્યાપક ઉકેલમાં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો હોવાથી,સંબંધિત વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $3 - (\frac{d^3 y}{d x^3})^{\frac{7}{3}} = (\frac{dy}{d x})^5$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $3 - (\frac{dy}{d x})^5 = (\frac{d^3 y}{d x^3})^{\frac{7}{3}}$.
બંને બાજુ $3$ ઘાત લેતા: $(3 - (\frac{dy}{d x})^5)^3 = (\frac{d^3 y}{d x^3})^7$.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
સમીકરણને અપૂર્ણાંક ઘાતથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $7$ છે,તેથી ઘાત $7$ છે.

(C) બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખાનું સમીકરણ બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
બિંદુ $(1, -1)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y - (-1) = m(x - 1)$
$y + 1 = m(x - 1)$
અહીં $m = \frac{dy}{dx}$ હોવાથી,તેને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y + 1 = \frac{dy}{dx}(x - 1)$
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $y + 1 = (x - 1) \frac{dy}{dx}$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું કુટુંબ: $x^2 y = 4e^x + c$.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}(x^2 y) = \frac{d}{dx}(4e^x + c)$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$x^2 \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}(x^2) = 4e^x$.
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = 4e^x$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^2 \frac{dy}{dx} + (2xy - 4e^x) = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, 5)$ છે અને તે $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલી થાય,એટલે કે $r = 5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-5)^2 = 5^2$ છે.
$(x-h)^2 + (y-5)^2 = 25$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2(x-h) + 2(y-5) \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
આમ,$(x-h) = -(y-5) \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $[-(y-5) \frac{dy}{dx}]^2 + (y-5)^2 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (y-5)^2 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 - 10y + 25 = 25$.
$(y-5)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y^2 - 10y = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y = X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)$.
પ્રથમ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = X \cdot \cos(6t + 5) \cdot 6 - Y \cdot \sin(6t + 5) \cdot 6 = 6[X \cos(6t + 5) - Y \sin(6t + 5)]$.
હવે,ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dt^2} = 6[X \cdot (-\sin(6t + 5)) \cdot 6 - Y \cdot \cos(6t + 5) \cdot 6]$
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -36[X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)]$.
કારણ કે $y = X \sin(6t + 5) + Y \cos(6t + 5)$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -36y$.
આમ,$\frac{d^2 y}{dt^2} + 36y = 0$ મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર $Y$-અક્ષને સ્પર્શતા અને $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ax$ થાય છે.
સ્વેચ્છ અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(2ax)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$.
હવે $2a = \frac{x^2+y^2}{x}$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉકેલ $y = e^x (A \cos x + B \sin x)$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^x (A \cos x + B \sin x) + e^x (-A \sin x + B \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x)$
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x) + e^x (-(A + B) \sin x + (B - A) \cos x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x ((A + B + B - A) \cos x + (B - A - A - B) \sin x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x (2B \cos x - 2A \sin x)$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ અને $y$ ની કિંમતો $\frac{d^2 y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$ માં મૂકતા:
$e^x (2B \cos x - 2A \sin x) - 2e^x ((A + B) \cos x + (B - A) \sin x) + 2e^x (A \cos x + B \sin x)$
$= e^x [ (2B - 2A - 2B + 2A) \cos x + (-2A - 2B + 2A + 2B) \sin x ]$
$= e^x [ 0 \cos x + 0 \sin x ] = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું કુળ $y = C_1 e^{C_2 x}$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = C_1 C_2 e^{C_2 x}$
કારણ કે $y = C_1 e^{C_2 x}$,તેથી આપણે તેને વિકલિતમાં મૂકી શકીએ:
$y^{\prime} = y C_2$
$C_2 = \frac{y^{\prime}}{y}$
હવે,$y^{\prime} = C_1 C_2 e^{C_2 x}$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = C_1 C_2^2 e^{C_2 x}$
$y = C_1 e^{C_2 x}$ ને દ્વિતીય વિકલિતમાં મૂકતા:
$y^{\prime \prime} = (C_1 e^{C_2 x}) C_2^2 = y C_2^2$
$C_2 = \frac{y^{\prime}}{y}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{\prime \prime} = y \left( \frac{y^{\prime}}{y} \right)^2$
$y^{\prime \prime} = y \frac{(y^{\prime})^2}{y^2}$
$y^{\prime \prime} = \frac{(y^{\prime})^2}{y}$
$y y^{\prime \prime} = (y^{\prime})^2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ઉગમબિંદુ પર શિરોબિંદુ અને ધન $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(4ay)$
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$x = 2a \frac{dy}{dx}$
આના પરથી,આપણને $2a = \frac{x}{dy/dx}$ મળે છે.
હવે $2a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $x^2 = 2a(2y)$ માં મૂકતા:
$x^2 = \left( \frac{x}{dy/dx} \right) (2y)$
$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$
$x \frac{dy}{dx} = 2y$
$x \frac{dy}{dx} - 2y = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,યામ $(y)$ અને અક્ષાંશ $(x)$ નો સરવાળો ઢાળ કરતા $5$ વધારે છે,તેથી:
$y + x = \frac{dy}{dx} + 5$
પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - y = x - 5$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -1$ અને $Q = x - 5$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે:
$y e^{-x} = \int (x - 5) e^{-x} dx + C$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$= (x - 5)(-e^{-x}) - \int (1)(-e^{-x}) dx$
$= -(x - 5)e^{-x} - e^{-x} + C$
$= (-x + 5 - 1)e^{-x} + C = (4 - x)e^{-x} + C$
તેથી,$y e^{-x} = (4 - x)e^{-x} + C$,જેનો અર્થ છે $y = 4 - x + C e^x$.
વક્ર $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$2 = 4 - 0 + C e^0 \implies 2 = 4 + C \implies C = -2$.
$C = -2$ મૂકતા:
$y = 4 - x - 2 e^x$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d^2 y}{d x^2} = 1$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{1}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \int \frac{1}{x} dx = \log x + C_1$.
આપેલ છે કે $x = 1$ આગળ $\frac{dy}{dx} = 0$: $0 = \log(1) + C_1 \implies C_1 = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \log x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $y = \int \log x dx = x \log x - x + C_2$.
આપેલ છે કે $x = 1$ આગળ $y = 1$: $1 = 1 \log(1) - 1 + C_2 \implies 1 = 0 - 1 + C_2 \implies C_2 = 2$.
આમ,ઉકેલ $y = x \log x - x + 2$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{2+\sin x}{1+y}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{1+y} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+y} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
આથી મળે: $\ln|1+y| = -\ln|2+\sin x| + C$.
શરત $y(0)=2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|1+2| = -\ln|2+\sin 0| + C \implies \ln 3 = -\ln 2 + C \implies C = \ln 3 + \ln 2 = \ln 6$.
તેથી,$\ln(1+y) = -\ln(2+\sin x) + \ln 6 = \ln\left(\frac{6}{2+\sin x}\right)$.
માટે,$1+y = \frac{6}{2+\sin x} \implies y = \frac{6}{2+\sin x} - 1$.
હવે,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ શોધો: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{6}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{6}{2+1} - 1 = \frac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$.

(A) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $v = x+y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dv}{dx} - 1 = v^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dv}{dx} = 1 + v^2$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dv}{1+v^2} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int \frac{dv}{1+v^2} = \int dx$ મળે છે.
આથી $\tan^{-1}(v) = x + c$ મળે છે.
$v = x+y$ પાછું મૂકતા,આપણને $\tan^{-1}(x+y) = x + c$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = 0.5$.
બંને બાજુ ઇન્વર્સ કોસાઇન લેતા: $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1}(0.5)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{3}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int dy = \int \frac{\pi}{3} dx$.
આથી $y = \frac{\pi}{3}x + C$ મળે છે.
શરત $x = 0$ આગળ $y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 = \frac{\pi}{3}(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{\pi}{3}x + 1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = \frac{a}{y}$.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા: $y \frac{dy}{dx} + x = a$.
આ ચલ વિયોજનીય સ્વરૂપ છે: $y dy = (a - x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int y dy = \int (a - x) dx$.
$\frac{y^2}{2} = ax - \frac{x^2}{2} + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા: $y^2 = 2ax - x^2 + 2C$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 2ax + y^2 = 2C$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = 2C + a^2$.
$(x - a)^2 + y^2 = a^2 + 2C$.
આ સમીકરણ $(a, 0)$ કેન્દ્ર અને $r^2 = a^2 + 2C$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{a^2 + 2C}$ થાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = 2xye^{x^2}$.
ચલ $x$ અને $y$ ને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{y} = 2x e^{x^2} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{y} = \int 2x e^{x^2} dx$.
ધારો કે $u = x^2$,તેથી $du = 2x dx$.
સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\ln|y| = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$|y| = e^{e^{x^2} + C} = e^C \cdot e^{e^{x^2}}$.
ધારો કે $c = \pm e^C$,તેથી વ્યાપક ઉકેલ:
$y = c e^{e^{x^2}}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (x + 9y)^2$ છે.
ધારો કે $v = x + 9y$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dv}{dx} = 1 + 9\frac{dy}{dx}$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{9} \left(\frac{dv}{dx} - 1\right)$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{9} \left(\frac{dv}{dx} - 1\right) = v^2$.
$\frac{dv}{dx} - 1 = 9v^2 \implies \frac{dv}{dx} = 1 + 9v^2$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{1 + 9v^2} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{1 + (3v)^2} = \int dx$.
$\frac{1}{3} \tan^{-1}(3v) = x + C$.
$\tan^{-1}(3v) = 3x + 3C$.
$3v = \tan(3x + C_1)$,જ્યાં $C_1 = 3C$.
$v = x + 9y$ મૂકતા: $3(x + 9y) = \tan(3x + C_1) \implies 3x + 27y = \tan(3x + C_1)$.
$x = 0, y = \frac{1}{27}$ આપેલ છે: $3(0) + 27(\frac{1}{27}) = \tan(3(0) + C_1) \implies 1 = \tan(C_1)$.
તેથી,$C_1 = \frac{\pi}{4}$.
વિશિષ્ટ ઉકેલ $3x + 27y = \tan(3x + \frac{\pi}{4})$ છે.
નોંધો કે $\tan(3x + \frac{\pi}{4}) = \tan[3(x + \frac{\pi}{12})]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 e^x \tan y \, dx + (1 - e^x) \sec^2 y \, dy = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = -\frac{3 e^x}{1 - e^x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = \int \frac{3 e^x}{e^x - 1} \, dx$.
ધારો કે $u = \tan y$,તો $du = \sec^2 y \, dy$. ડાબી બાજુ $\ln|\tan y|$ થશે.
જમણી બાજુ માટે,$v = e^x - 1$ લેતા,$dv = e^x \, dx$. જમણી બાજુ $3 \ln|e^x - 1| + C$ થશે.
તેથી,$\ln|\tan y| = 3 \ln|e^x - 1| + C = \ln|e^x - 1|^3 + C$.
આથી $\tan y = K(e^x - 1)^3$.
$y(1) = \frac{\pi}{4}$ આપેલ હોવાથી,$\tan(\frac{\pi}{4}) = K(e^1 - 1)^3$,તેથી $1 = K(e - 1)^3$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{1}{(e - 1)^3}$.
$K$ ની કિંમત મૂકતા: $\tan y = \frac{(e^x - 1)^3}{(e - 1)^3} = \left(\frac{e^x - 1}{e - 1}\right)^3$.
કારણ કે $(e^x - 1)^3 = -(1 - e^x)^3$ અને $(e - 1)^3 = -(1 - e)^3$,આપણને મળે છે $\tan y = \left(\frac{1 - e^x}{1 - e}\right)^3$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
ધારો કે $u = 2+\sin x$,તો $du = \cos x dx$.
તેથી,$\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C$,અથવા $\ln|(y+1)(2+\sin x)| = C$ મળે.
આમ,$(y+1)(2+\sin x) = K$ (જ્યાં $K = e^C$).
પ્રારંભિક શરત $y(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $(1+1)(2+\sin 0) = K \implies 2(2+0) = K \implies K = 4$.
તેથી,$(y+1)(2+\sin x) = 4$.
હવે,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ શોધો:
$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+\sin(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+1) = 4$.
$3(y(\frac{\pi}{2})+1) = 4$.
$y(\frac{\pi}{2})+1 = \frac{4}{3}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) આપેલ છે કે વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
વક્ર $\left(2, \frac{9}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 2$ અને $y = \frac{9}{2}$ મૂકતા:
$\frac{9}{2} = 2 + \frac{1}{2} + C$
$\frac{9}{2} = \frac{5}{2} + C$
$C = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2$
આમ,સમીકરણ $y = x + \frac{1}{x} + 2$ મળે છે.
$x$ વડે ગુણતા,$xy = x^2 + 1 + 2x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $xy = x^2 + 2x + 1$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \left(\frac{x+y}{2}\right) - \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{y}{2}\right)$.
તેથી,સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{y}{2}\right)$ બને છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{\sin(y/2)} = -2 \cos(x/2) dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \csc(y/2) dy = -2 \int \cos(x/2) dx$.
$2 \log |\tan(y/4)| = -2(2 \sin(x/2)) + c_1$.
$2$ વડે ભાગતા: $\log |\tan(y/4)| = -2 \sin(x/2) + c$,જ્યાં $c = c_1/2$.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $\log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = c - 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right)$ છે.

(C) ધારો કે $M(t)$ એ $t$ સમયે ભેજની માત્રા છે. ફેરફારનો દર $\frac{dM}{dt} = -kM$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k > 0$.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $M(t) = M_0 e^{-kt}$ મળે છે,જ્યાં $M_0$ એ પ્રારંભિક ભેજ છે.
આપેલ છે કે $t = 1$ કલાક પર,$50 \%$ ભેજ ગુમાવાય છે,તેથી $M(1) = 0.5 M_0$.
$0.5 M_0 = M_0 e^{-k} \implies e^{-k} = 0.5 = \frac{1}{2}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$-k = \ln(1/2) = -\ln 2$,તેથી $k = \ln 2$.
આપણે એવો $t$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $90 \%$ ભેજ ગુમાવાય,એટલે કે $10 \%$ બાકી રહે.
$M(t) = 0.1 M_0 = M_0 e^{-kt}$.
$0.1 = e^{-kt} \implies \ln(0.1) = -kt$.
$-\ln 10 = -(\ln 2)t$.
$t = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10$ કલાક.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2y - x) \frac{dy}{dx} = 1$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = 2y - x$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = 1$ અને $Q(y) = 2y$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^y$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા: $e^y \frac{dx}{dy} + x e^y = 2y e^y$.
જેને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{d}{dy}(x e^y) = 2y e^y$.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $x e^y = \int 2y e^y dy$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int 2y e^y dy = 2(y e^y - e^y) + c = 2e^y(y - 1) + c$.
આમ,$x e^y = 2e^y(y - 1) + c$.
$e^y$ વડે ભાગતા,આપણને $x = 2(y - 1) + ce^{-y}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
બંને બાજુ $x^3 y^4$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x^2 y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$.
ધારો કે $v = y^{-3}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} = y^{-4} \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int \frac{3}{x} dx} = x^3$.
ઉકેલ: $v \cdot x^3 = \int x^3 \cdot \frac{3 \cos x}{x^3} dx = 3 \sin x + C$.
તેથી,$x^3 y^{-3} = 3 \sin x + C$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = 2y$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$.
આથી મળે: $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|x^2| + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = e^{\ln|x^2| + C} = e^C \cdot x^2$.
ધારો કે $e^C = k$,જ્યાં $k$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
તેથી,$y = kx^2$.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર શિરોબિંદુ અને $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયોનું કુળ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1+x^2\right) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ છે.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C = \frac{4x^3}{3} + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0, y=0$ મૂકતા: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$,જેનું સાદું રૂપ $3y(1+x^2) = 4x^3$ થાય છે.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y-1}{x^2+x}$ આપેલ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y-1} = \frac{dx}{x(x+1)}$ મળે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y-1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) dx$.
$\ln|y-1| = \ln|x| - \ln|x+1| + C$.
$\ln|y-1| = \ln|\frac{x}{x+1}| + C$.
વક્ર $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\ln|0-1| = \ln|\frac{1}{1+1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$.
આમ,$\ln|y-1| = \ln|\frac{x}{x+1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x+1}|$.
$y-1 = \frac{2x}{x+1} \implies (y-1)(x+1) = 2x$.
ગોઠવતા $2x - (y-1)(x+1) = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \cot x \cdot \cot y$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{\cot y} = \cot x \cdot dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\tan y \cdot dy = \cot x \cdot dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \tan y \cdot dy = \int \cot x \cdot dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા $\int \tan y \cdot dy = \ln|\sec y|$ અને $\int \cot x \cdot dx = \ln|\sin x|$,આપણને મળે છે: $\ln|\sec y| = \ln|\sin x| + \ln|c|$.
ગુણધર્મ $\ln|a| + \ln|b| = \ln|ab|$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|\sec y| = \ln|c \sin x|$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $\sec y = c \sin x$.
$\sec y = \frac{1}{\cos y}$ હોવાથી,$\frac{1}{\cos y} = c \sin x$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x = \frac{1}{c} \cos y$.
ધારો કે $k = \frac{1}{c}$,તો આપણને મળે $\sin x = k \cos y$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 2x - 5y$ છે.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{dy}{dx} = e^{2x - 5y} = e^{2x} \cdot e^{-5y}$.
ચલને અલગ કરતા,$e^{5y} \, dy = e^{2x} \, dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{5y} \, dy = \int e^{2x} \, dx$.
આથી $\frac{e^{5y}}{5} = \frac{e^{2x}}{2} + C$ મળે.
$10$ વડે ગુણતા,$2e^{5y} = 5e^{2x} + 10C$,અથવા $2e^{5y} - 5e^{2x} = K$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$2e^{5(0)} - 5e^{2(0)} = K \implies 2(1) - 5(1) = K \implies K = -3$.
તેથી,$2e^{5y} - 5e^{2x} = -3$,જેને $5e^{2x} - 2e^{5y} = 3$ તરીકે લખી શકાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ છે.
ધારો કે $v = x+y+1$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{1}{v}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{1}{v} = \frac{v+1}{v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v}{v+1} dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{v+1-1}{v+1} dv = \int dx$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\int (1 - \frac{1}{v+1}) dv = \int dx$ મળે છે.
સંકલન કરતા $v - \log|v+1| = x + c$ મળે.
$v = x+y+1$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $(x+y+1) - \log|x+y+2| = x + c$.
આનું સાદું રૂપ $y+1 - \log|x+y+2| = c$ થાય,અથવા $y = \log|x+y+2| + C'$,જ્યાં $C' = c-1$ એ અચળાંક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dp}{dt} = \frac{p - 200}{2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dp}{p - 200} = \frac{1}{2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dp}{p - 200} = \int \frac{1}{2} dt$.
આથી મળે: $\ln|p - 200| = \frac{t}{2} + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $p - 200 = e^{t/2 + C} = Ae^{t/2}$,જ્યાં $A = \pm e^C$.
તેથી,$p = 200 + Ae^{t/2}$.
શરૂઆતની શરત $p(0) = 100$ આપેલ છે:
$100 = 200 + Ae^0 \implies 100 = 200 + A \implies A = -100$.
$A$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $p = 200 - 100 e^{t/2}$.