MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) જેহেতু $A$,$B$,અને $C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
આપેલ છે કે $P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ અને $P(C) = \frac{1}{2} P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} P(A) = \frac{3}{4} P(A)$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{3}{4} P(A) = 1$
છેદ $4$ લેતા:
$\frac{4 P(A) + 6 P(A) + 3 P(A)}{4} = 1$
$\frac{13 P(A)}{4} = 1$
$P(A) = \frac{4}{13}$

(D) કુલ ટિકિટો = $9$. એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5, 7, 9}$ ($5$ ટિકિટો) છે અને બેકી સંખ્યાઓ ${2, 4, 6, 8}$ ($4$ ટિકિટો) છે.
કિસ્સો $1$: ક્રમ {એકી,બેકી,એકી} છે.
સંભાવના $P(O_1 \cap E_2 \cap O_3) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{80}{504} = \frac{10}{63}$.
કિસ્સો $2$: ક્રમ {બેકી,એકી,બેકી} છે.
સંભાવના $P(E_1 \cap O_2 \cap E_3) = \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{60}{504} = \frac{5}{42}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{10}{63} + \frac{5}{42} = \frac{20 + 15}{126} = \frac{35}{126} = \frac{5}{18}$.

(A) સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ક્ષેત્રફળ $\Delta$ છે:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 \times \sin A$.
$84 = 105 \sin A$.
$\sin A = \frac{84}{105} = \frac{4}{5}$.

(B) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2(4)(8) \cos 60^{\circ} = 16 + 64 - 64(0.5) = 48$
$c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
સાઈનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\sin B = \frac{b \sin C}{c} = \frac{8 \sin 60^{\circ}}{4\sqrt{3}} = 1$
તેથી,$\angle B = 90^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$
ગુણોત્તર $\cos A : \cos C = \cos 30^{\circ} : \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} : 1$

(B) આપેલ પદાવલિ $E = \left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ છે.
આને $E = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$ તરીકે લખી શકાય.
$E = \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $E = \frac{b^2 + c^2 + 2bc - a^2}{bc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} + 2$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$,તેથી $b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $E = \frac{2bc \cos A}{bc} + 2 = 2 \cos A + 2$.
$A = 30^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$E = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = \sqrt{3} + 2$.

(A) ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = a + b + c$ છે. તેના ખૂણાઓના સાઈનનો સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $a + b + c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
આનો અર્થ એ છે કે $2R = 2$,તેથી $R = 1$.
કારણ કે $a = 2R \sin A$ અને $a = 1$,તેથી $1 = 2(1) \sin A$.
તેથી,$\sin A = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{\pi}{6}$ અથવા $A = \frac{5\pi}{6}$.
આવા પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,આપણે $A = \frac{\pi}{6}$ પસંદ કરીએ છીએ.

(B) આપેલ છે કે ખૂણા $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
જો $a=10, b=9$ લઈએ,તો $9^2 = 10^2 + c^2 - 2(10)(c) \cos 60^{\circ} \implies 81 = 100 + c^2 - 10c \implies c^2 - 10c + 19 = 0$.
$c$ માટે ઉકેલતા: $c = 5 \pm \sqrt{6}$.
પરિમિતિ $= 10 + 9 + 5 + \sqrt{6} = 24 + \sqrt{6}$.

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{3/4} = \frac{7}{\sin B}$.
$\frac{20}{3} = \frac{7}{\sin B} \implies \sin B = \frac{21}{20}$.
કારણ કે $\sin B$ ની કિંમત $\le 1$ હોવી જોઈએ અને $\frac{21}{20} > 1$ છે,તેથી આવા કોઈ ખૂણા $B$ નું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,આપેલ પરિમાણો સાથે કોઈ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવી શકાતો નથી.

(A) $A, B, C$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2B = A + C$ થાય.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$ મળે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$.
તેથી,$\frac{a}{b} \sin 2B + \frac{b}{a} \sin 2A = \frac{\sin A}{\sin B} \sin 2B + \frac{\sin B}{\sin A} \sin 2A = 2 \sin A \cos B + 2 \sin B \cos A = 2 \sin(A + B)$.
$A + B = 180^{\circ} - C$ હોવાથી,$2 \sin(180^{\circ} - C) = 2 \sin C$.
$A+C = 120^{\circ}$ હોવાથી,$2 \sin(A+B) = 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ છે.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા,$E = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$ મળે.
આને $E = \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$ તરીકે લખી શકાય.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,$E = \frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{bc} = \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} + 2$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,તેથી $b^2+c^2-a^2 = 2bc \cos A$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$E = \frac{2bc \cos A}{bc} + 2 = 2 \cos A + 2$.
$\angle A = 30^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
તેથી,$E = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 = \sqrt{3} + 2$.

(A) ધારો કે $AB = c$,$AC = b$,અને $BC = a$. ધારો કે $\angle BAD = \alpha$ અને $\angle CAD = \beta$.
$\triangle ABD$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ: $\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \angle ADB} \implies \sin \alpha = \frac{BD \sin \angle ADB}{c}$.
$\triangle ACD$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ: $\frac{CD}{\sin \beta} = \frac{b}{\sin \angle ADC} \implies \sin \beta = \frac{CD \sin \angle ADC}{c}$.
$\angle ADB + \angle ADC = \pi$ હોવાથી,$\sin \angle ADB = \sin \angle ADC$.
તેથી,$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{b}{c}$.
આપેલ છે કે $BD:CD = 1:3$,તેથી $BD/CD = 1/3$.
$\triangle ABC$ માં સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{b}{c} = \frac{\sin(\pi/3)}{\sin(\pi/4)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(A) ધારો કે $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
તેથી $b+c = 11k$,$c+a = 12k$,અને $a+b = 13k$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2(a+b+c) = 36k$,તેથી $a+b+c = 18k$.
$a+b+c = 18k$ માંથી સમીકરણો બાદ કરતા:
$a = 18k - 11k = 7k$.
$b = 18k - 12k = 6k$.
$c = 18k - 13k = 5k$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{5}$.
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{19}{35}$.
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{5}{7}$.
હવે,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{5} : \frac{19}{35} : \frac{5}{7} = 7 : 19 : 25$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6+2\sqrt{3}$,$b = 4\sqrt{3}$,અને $c = 2\sqrt{6}$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $c = 2\sqrt{6}$ છે,તેથી સૌથી નાનો ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
ગણતરી કરતા,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$C = \frac{\pi}{6}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = \sqrt{3}-2$ અને $b = \sqrt{3}+2$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $C = 60^{\circ}$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,ત્રીજી બાજુ $c$ નીચે મુજબ મળે:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
$c^2 = (\sqrt{3}-2)^2 + (\sqrt{3}+2)^2 - 2(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2) \cos(60^{\circ})$
$c^2 = (3 + 4 - 4\sqrt{3}) + (3 + 4 + 4\sqrt{3}) - 2(3 - 4) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} - 2(-1) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 14 + 1 = 15$
$c = \sqrt{15}$ એકમ.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3-11x^2+38x-40=0$ ના બીજ $a, b, c$ એ ત્રિકોણની બાજુઓ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$a+b+c = 11$
$ab+bc+ca = 38$
$abc = 40$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
આને $\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$ માં મૂકતા.
તે જ રીતે,$\frac{\cos B}{b} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$ અને $\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$.
સરવાળો કરતા,$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$.
$11^2 = a^2+b^2+c^2+2(38) \implies 121 = a^2+b^2+c^2+76 \implies a^2+b^2+c^2 = 45$.
આમ,અભિવ્યક્તિની કિંમત $\frac{45}{2(40)} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $a \cos B = b \cos A$. સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$.
આ કિંમતો મૂકતા,$2R \sin A \cos B = 2R \sin B \cos A$,જેનો અર્થ છે કે $\sin A \cos B - \cos A \sin B = 0$,તેથી $\sin(A - B) = 0$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોવાથી,$A = B$,એટલે કે ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે જ્યાં $a = b$.
પરંતુ,શરત $a \cos C \neq c \cos A$ સૂચવે છે કે $\sin A \cos C \neq \sin C \cos A$,તેથી $\sin(A - C) \neq 0$,એટલે કે $A \neq C$.
આમ,ત્રિકોણ $a = b$ અને $a \neq c$ સાથે સમદ્વિબાજુ છે.
$a, a, c$ બાજુઓ ધરાવતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $c$ છે. વેધ $h = \sqrt{a^2 - (c/2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - c^2}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times c \times \frac{1}{2} \sqrt{4a^2 - c^2} = \frac{c}{4} \sqrt{4a^2 - c^2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $a^4+b^4+c^4-2a^2c^2-2c^2b^2=0$.
પદોને ગોઠવતા: $(a^2+b^2-c^2)^2 = 2a^2b^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $a^2+b^2-c^2 = \pm \sqrt{2}ab$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \pm \frac{\sqrt{2}ab}{2ab} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$C = 45^{\circ}$ અથવા $C = 135^{\circ}$.
વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $135^{\circ}$ છે.

(A) નેપિયરના સાદ્રશ્યનો ઉપયોગ કરતા,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
અહીં $a=5, b=4$ હોવાથી,$\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{9}$.
$\cos(A-B) = 2\cos^2\left(\frac{A-B}{2}\right) - 1 = \frac{31}{32}$ પરથી $\cos^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{63}{64}$ મળે.
તેથી,$\tan^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{63}$,એટલે કે $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{9} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$,જેનો અર્થ છે કે $\cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
હવે $\cos C = \frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)} = \frac{1-7/9}{1+7/9} = \frac{1}{8}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4)(\frac{1}{8}) = 36$.
તેથી,$c = 6$.

(C) આપેલ છે કે $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{c+a}{2a}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{c+a}{2a}$.
અર્ધ-ખૂણાના સૂત્ર $\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{ac}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
તેથી,$\frac{s(s-b)}{ac} = \frac{c+a}{2a}$.
બંને બાજુ $2ac$ વડે ગુણતા,$2s(s-b) = c(c+a)$.
$2s = a+b+c$ અને $s-b = \frac{a+c-b}{2}$ મુકતા:
$(a+b+c) \times \frac{a+c-b}{2} = c(c+a)$.
$(a+c+b)(a+c-b) = 2c(c+a)$.
$(a+c)^2 - b^2 = 2c^2 + 2ac$.
$a^2 + c^2 + 2ac - b^2 = 2c^2 + 2ac$.
$a^2 - b^2 = c^2$.
તેથી,$a^2 = b^2 + c^2$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a-d$,$a$,અને $a+d$ છે,જ્યાં $d > 0$. સૌથી મોટી બાજુ $a+d = 7$ છે.
સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો $120^{\circ}$ હોવાથી,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 - 2a(a-d) \cos(120^{\circ})$.
$a+d=7$ મૂકતા,$d = 7-a$ મળે.
$49 = (2a-7)^2 + a^2 + a(2a-7)$.
$49 = 4a^2 - 28a + 49 + a^2 + 2a^2 - 7a$.
$7a^2 - 35a = 0$.
$a=5$ મળે.
બાજુઓ $3, 5, 7$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin(120^{\circ}) = \frac{15 \sqrt{3}}{4} \ m^2$.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ મળે છે. આપેલ સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \cos A}{2R \sin A} + \frac{\cos B}{2R \sin B} + \frac{2 \cos C}{2R \sin C} = \frac{2R \sin A}{(2R \sin B)(2R \sin C)} + \frac{2R \sin B}{(2R \sin C)(2R \sin A)}$
$\frac{1}{R} (\cot A + \frac{1}{2} \cot B + \cot C) = \frac{1}{2R} (\frac{\sin A}{\sin B \sin C} + \frac{\sin B}{\sin C \sin A})$
$2R$ વડે ગુણતા:
$2 \cot A + \cot B + 2 \cot C = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin A \sin B \sin C}$
$\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2(A+B) = \sin^2 C$ નો ઉપયોગ કરતા,જમણી બાજુ $\frac{\sin^2 C}{\sin A \sin B \sin C} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \cot B + \cot A$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 \cot A + \cot B + 2 \cot C = \cot B + \cot A$
$\cot A + 2 \cot C = 0$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,આનાથી $\angle A = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a+b+c)(a+b-c) = 3ab$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$((a+b)+c)((a+b)-c) = 3ab$ મળે.
આથી $(a+b)^2 - c^2 = 3ab$ થાય.
$(a+b)^2$ નું વિસ્તરણ કરતા,$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 3ab$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ મળે.
બંને બાજુ $2ab$ વડે ભાગતા,$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$ મળે.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
તેથી,$\cos C = \frac{1}{2}$.
આમ,$\angle C = \frac{\pi}{3}$ અથવા $60^\circ$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$.
તેથી,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{p_1} + \frac{\cos B}{p_2} + \frac{\cos C}{p_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$.
સાઇન નિયમ $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$
$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$.
વળી,$\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$,તેથી $\sin A \sin B \sin C = \frac{\Delta}{2R^2}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= \frac{R(4 \cdot \frac{\Delta}{2R^2})}{2\Delta} = \frac{2R \Delta / R^2}{2\Delta} = \frac{1}{R}$.

(A) બાજુઓ $a, b, c$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-11x^2+38x-40=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$a+b+c = 11$
$ab+bc+ca = 38$
$abc = 40$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
તેથી,$\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$.
તે જ રીતે,$\frac{\cos B}{b} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$ અને $\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$.
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 11^2 - 2(38) = 121 - 76 = 45$.
તેથી,સરવાળો $\frac{45}{2(40)} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$ થાય.

(C) ધારો કે $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
તેથી $b+c = 11k$,$c+a = 12k$,અને $a+b = 13k$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2(a+b+c) = 36k$,તેથી $a+b+c = 18k$.
સરવાળામાંથી વ્યક્તિગત સમીકરણો બાદ કરતા:
$a = (a+b+c) - (b+c) = 18k - 11k = 7k$.
$b = (a+b+c) - (c+a) = 18k - 12k = 6k$.
$c = (a+b+c) - (a+b) = 18k - 13k = 5k$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos B = \frac{(7k)^2 + (5k)^2 - (6k)^2}{2(7k)(5k)} = \frac{49k^2 + 25k^2 - 36k^2}{70k^2} = \frac{38k^2}{70k^2} = \frac{19}{35}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $5x$,$12x$,અને $13x$ છે.
$5^2 + 12^2 = 13^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 5x \times 12x = 30x^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $270$ છે,તેથી $30x^2 = 270$.
$x^2 = 9$,એટલે કે $x = 3$.
બાજુઓ $5(3) = 15$,$12(3) = 36$,અને $13(3) = 39$ થશે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$.
ત્રિકોણ માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \frac{A}{2} \cdot \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$.
કારણ કે $s = \frac{a+b+c}{2}$ અને $a+c = 2b$,તેથી $s = \frac{2b+b}{2} = \frac{3b}{2}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,$\frac{s-b}{s} = \frac{\frac{3b}{2} - b}{\frac{3b}{2}} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{3b}{2}} = \frac{1}{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \frac{s}{s-b}$.
આપેલ છે કે $3b = a + c$,આપણે જાણીએ છીએ કે $2s = a + b + c = 3b + b = 4b$,તેથી $s = 2b$.
$s = 2b$ ને પદમાં મૂકતા,આપણને $\frac{2b}{2b - b} = \frac{2b}{b} = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{5}{6}$ અને $\tan \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{2}{5}$.
સૂત્ર $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{s-b}{s} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$3(s-b) = s \implies 3s - 3b = s \implies 2s = 3b$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$a+b+c = 3b \implies a+c = 2b$.
આ દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ માં નેપિયરના સામ્યતા (Napier's Analogy) મુજબ:
$\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$
આપેલ સમીકરણ $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = x \cot \frac{A}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{b-c}{b+c}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{s}{s-a}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે કે $3a = b + c$,તેથી $2s = a + b + c = a + 3a = 4a$,એટલે કે $s = 2a$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) અડધા ખૂણાના સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$,સાઈન નિયમ $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ મૂકતા.
તેથી $\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
આમ,$\frac{b+c}{a} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
આને $\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\cos \frac{B-C}{2} = \cos \frac{A}{2}$ મળે છે.
$\frac{A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$ હોવાથી,$\cos \frac{B-C}{2} = \sin \frac{B+C}{2}$.
આ સૂચવે છે કે $\cos \frac{B-C}{2} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}) = \cos (\frac{A}{2})$.
આનાથી $\frac{B-C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $B = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,$\cot \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{\Delta}$,અને $\cot \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{\Delta}$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{s}{\Delta} [(s-a) + (s-b) + (s-c)]$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{s}{\Delta} [3s - (a+b+c)]$ થાય છે.
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી પદાવલિ $\frac{s}{\Delta} [3s - 2s] = \frac{s^2}{\Delta}$ બને છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $b \sin C(b \cos C + c \cos B) = 42$ છે.
પ્રક્ષેપના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $a = b \cos C + c \cos B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $b \sin C(a) = 42$ મળે છે.
આથી $ab \sin C = 42$ થાય.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $ab \sin C = 42$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta = \frac{1}{2} \times 42 = 21 \text{ ચોરસ એકમ}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} = \sin \frac{B}{2}$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આ સંબંધ $a+c = 3b$ તરફ દોરી જાય છે.
પરિમિતિ $2s = a+b+c = 3b+b = 4b$ થાય છે.
તેથી,$s = 2b$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
આમ,$\cot \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \tan \left(\frac{C}{2}\right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$ બને છે.
નેપિયરના સામ્યતાના નિયમ મુજબ,$\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \left[ \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right) \right] = \frac{a-b}{a+b} \cdot \left[ \tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \cot \left(\frac{C}{2}\right) \right] = \frac{a-b}{a+b} \cdot 1 = \frac{a-b}{a+b}$ મળે છે.

(A) $\triangle PQR$ માં,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,તેથી $P + Q = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\frac{P+Q}{2} = \frac{\pi}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{P}{2}$ અને $\tan \frac{Q}{2}$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2} = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2} = \frac{c}{a}$.
નિત્યસમ $\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \frac{\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}}{1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{P+Q}{2} = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
તેથી,$1 = \frac{-b/a}{1 - c/a} = \frac{-b/a}{(a-c)/a} = \frac{-b}{a-c}$.
$a - c = -b$,જે સૂચવે છે કે $a + b = c$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 10$,$b = 8$ અને $c = 6$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ તપાસો: $a^2 = b^2 + c^2$.
$10^2 = 100$ અને $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
આમ,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $a = 10$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે.
$R = \frac{10}{2} = 5 \ units$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^2-(a-2)x-a+1=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \beta = a-2$
$\alpha \beta = -a+1$
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S = (a-2)^2 - 2(-a+1)$
$S = a^2 - 4a + 4 + 2a - 2$
$S = a^2 - 2a + 2$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$S = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a-1)^2 + 1$.
પદાવલિ $(a-1)^2 + 1$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે ધારણ કરે છે જ્યારે $(a-1)^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
આમ,'$a$' ની કિંમત $1$ છે.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં $A$ આગળ કાટખૂણો હોવાથી,$B+C = 90^\circ$,તેથી $\frac{B+C}{2} = 45^\circ$.
$\tan \frac{B}{2}$ અને $\tan \frac{C}{2}$ એ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{c}{a}$ થાય.
નિત્યસમ $\tan(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = \frac{\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 45^\circ = 1$ મૂકતા:
$1 = \frac{-b/a}{1 - c/a} = \frac{-b}{a-c}$.
આથી $a-c = -b$,એટલે કે $a+b=c$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = 2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$. $2$ અને $3$ બીજ હોવાથી,$f(2) = 0$ અને $f(3) = 0$.
$x = 2$ માટે: $2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0 \implies 16 + 4m - 26 + n = 0 \implies 4m + n = 10$.
$x = 3$ માટે: $2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0 \implies 54 + 9m - 39 + n = 0 \implies 9m + n = -15$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10 \implies 5m = -25 \implies m = -5$.
$m = -5$ ને $4m + n = 10$ માં મૂકતા: $4(-5) + n = 10 \implies -20 + n = 10 \implies n = 30$.
આપણે $4m + 5n$ શોધવાનું છે: $4(-5) + 5(30) = -20 + 150 = 130$.

(A) $\triangle ABC$ માં,$\angle B = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$A + C = \frac{\pi}{2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા,$\tan(\frac{A}{2} + \frac{C}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}} = 1$ મળે છે.
ધારો કે $\alpha = \tan \frac{A}{2}$ અને $\beta = \tan \frac{C}{2}$ એ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ અને $\alpha \beta = \frac{r}{p}$.
આ કિંમતોને $\alpha + \beta = 1 - \alpha \beta$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $-\frac{q}{p} = 1 - \frac{r}{p}$ મળે છે.
$p$ વડે ગુણતા,$-q = p - r$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $r = p + q$ અથવા $p + q = r$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $x = -2 + i\sqrt{3}$,તેથી $x + 2 = i\sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x + 2)^2 = -3$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 4x + 4 = -3$ એટલે કે $x^2 + 4x + 7 = 0$ થાય છે.
હવે,બહુપદી $P(x) = 2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 38$ ને $x^2 + 4x + 7$ વડે ભાગતા:
$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 38 = (x^2 + 4x + 7)(2x^2 - 3x + 5) + 3$.
કારણ કે $x^2 + 4x + 7 = 0$,તેથી પદાવલિની કિંમત:
$P(x) = 0 \times (2x^2 - 3x + 5) + 3 = 3$.
આમ,જવાબ $3$ છે.

(B) સતત ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટેનું સૂત્ર $A = Pe^{rt}$ છે.
અહીં $P = 400$,$t = 6$ વર્ષ માટે $A = 800$ છે.
$800 = 400e^{6r} \implies e^{6r} = 2 \implies 6r = \ln(2) \implies r = \frac{\ln(2)}{6}$.
$33$ વર્ષના અંતે રકમ $A$ શોધવા માટે:
$A = 400e^{33r} = 400e^{33 \times \frac{\ln(2)}{6}} = 400(2^{5.5})$.
$2^{5.5} = 32 \times \sqrt{2} = 32 \times 1.4142 = 45.2544$.
$A = 400 \times 45.2544 = 18101.76$.
આમ,$33$ વર્ષના અંતે રકમ ₹ $18101.76$ થશે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(\cos \theta)^2 = (\frac{1}{6} \sin \theta) \times (\tan \theta)$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$\cos^3 \theta = \frac{1}{6} \sin^2 \theta$
$\cos^3 \theta = \frac{1}{6} (1 - \cos^2 \theta)$
$6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$
ધારો કે $x = \cos \theta$. તો $6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = \frac{1}{2}$ એ બીજ છે: $6(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - 1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 1 = 0$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$ છે.

(B) લંબચોરસની બાજુઓ $x=8, x=10, y=11$ અને $y=12$ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
આ રેખાઓ $(8, 11), (10, 11), (10, 12)$ અને $(8, 12)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો લંબચોરસ બનાવે છે.
લંબચોરસના વિકર્ણો તેના મધ્યબિંદુએ છેદે છે.
$(8, 11)$ અને $(10, 12)$ ને જોડતા વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ:
$M = \left(\frac{8+10}{2}, \frac{11+12}{2}\right) = \left(\frac{18}{2}, \frac{23}{2}\right) = \left(9, \frac{23}{2}\right)$.
આમ,છેદબિંદુ $\left(9, \frac{23}{2}\right)$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ છે.
આને પ્રથમ રેખા $4x + 3y - 10 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $4x + 3(mx) = 10$ મળે,તેથી $x_A = \frac{10}{4+3m}$ અને $y_A = \frac{10m}{4+3m}$.
આમ,$OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|4+3m|}$.
$y = mx$ ને બીજી રેખા $8x + 6y + 5 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $8x + 6(mx) = -5$ મળે,તેથી $x_B = \frac{-5}{8+6m}$ અને $y_B = \frac{-5m}{8+6m}$.
આમ,$OB = \sqrt{x_B^2 + y_B^2} = \frac{5\sqrt{1+m^2}}{|8+6m|} = \frac{5\sqrt{1+m^2}}{2|4+3m|}$.
ગુણોત્તર $OA : OB = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|4+3m|} : \frac{5\sqrt{1+m^2}}{2|4+3m|} = 10 : \frac{5}{2} = 20 : 5 = 4 : 1$.
જેથી $O$ એ $AB$ નું $4:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા બાજુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{2-4}{2}, \frac{1+5}{2}) = (-1, 3)$ છે.
મધ્યગા $A(3, k)$ અને $M(-1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
મધ્યગા $AM$ નો ઢાળ $m = \frac{3-k}{-1-3} = \frac{3-k}{-4}$ છે.
રેખા $AM$ નું સમીકરણ $y - 3 = \frac{3-k}{-4}(x + 1)$ છે.
$-4y + 12 = (3-k)x + (3-k)$.
$(3-k)x + 4y = 9+k$.
આપેલ સમીકરણ $x + 4y = p$ સાથે સરખાવતા,$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સરખાવતા.
$y$ નો સહગુણક $4$ હોવાથી,$3-k = 1$,જે $k = 2$ આપે છે.
આમ,$k = 2$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 1)$ અને $B(2, 4)$ છે. બિંદુ $P(x, y)$ એ $AB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{3(2) + 2(1)}{3+2} = \frac{8}{5}$ અને $y = \frac{3(4) + 2(1)}{3+2} = \frac{14}{5}$.
બિંદુ $P(\frac{8}{5}, \frac{14}{5})$ એ રેખા $2x + y = k$ પર આવેલું છે.
તેથી,$2(\frac{8}{5}) + \frac{14}{5} = k \implies k = \frac{30}{5} = 6$.
હવે,$(k+1):(k-1) = (6+1):(6-1) = 7:5$ એટલે કે $\frac{7}{5}$.

(A) ધારો કે સામસામેના શિરોબિંદુઓ $A(1,3)$ અને $C(5,1)$ છે. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ છે.
લંબચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી બીજા વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ પણ $(3,2)$ હશે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $D$ એ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે. તેઓ $y = 2x + c$ પર હોવાથી,$y_1 = 2x_1 + c$ અને $y_2 = 2x_2 + c$ મળે.
મધ્યબિંદુ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (3,2)$ હોવાથી,$x_1+x_2 = 6$ અને $y_1+y_2 = 4$ મળે.
$y_1, y_2$ ની કિંમત મૂકતા: $(2x_1+c) + (2x_2+c) = 4 \implies 2(x_1+x_2) + 2c = 4 \implies 12 + 2c = 4 \implies c = -4$.
આમ,રેખા $y = 2x - 4$ છે.
વળી,સદિશ $\vec{AB} = (x_1-1, y_1-3)$ એ $\vec{BC} = (5-x_1, 1-y_1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ડોટ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા: $(x_1-1)(5-x_1) + (2x_1-7)(5-2x_1) = 0$.
સાદુરૂપ આપતા $x_1^2 - 6x_1 + 8 = 0$ મળે,જેના ઉકેલ $x_1 = 4$ અથવા $x_1 = 2$ છે.
તેથી,શિરોબિંદુઓ $(4,4)$ અને $(2,0)$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = \log v$,તેથી $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$ બને છે.
$\log|u| = \log|x| + \log|c|$.
$\log|\log v| = \log|cx|$.
$\log v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^2 - x^2) dx = xy dy$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2 - x^2}{x(vx)} = \frac{v^2 - 1}{v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 - 1}{v} - v = \frac{v^2 - 1 - v^2}{v} = -\frac{1}{v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $v dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\frac{v^2}{2} = -\log |x| + c$.
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$\frac{y^2}{2x^2} = -\log |x| + c$.
$2x^2$ વડે ગુણતા: $y^2 = -2x^2 \log |x| + 2cx^2$.
ગોઠવતા: $2x^2 \log |x| + y^2 - 2cx^2 = 0$.
$-c$ ને નવા અચળાંક $C$ તરીકે લેતા,$2x^2 \log |x| + y^2 + 2Cx^2 = 0$ મળે છે.

(A) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ આપેલ છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2x(vx)} = \frac{1+v^2}{2v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1-v^2}{2v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1-v^2| = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,ઉકેલ $2y^2 = 2x^2 - 3x$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$.
તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખવા માટે $x(x-1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x-2}{x(x-1)}y = \frac{x^3(2x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2(2x-1)}{x-1}$.
અહીં,$P(x) = -\frac{x-2}{x(x-1)} = -(\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}) = \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}) dx} = e^{\ln|x-1| - 2\ln|x|} = \frac{x-1}{x^2}$.
સુરેખ સમીકરણને $IF$ વડે ગુણતા:
$\frac{d}{dx} [y \cdot \frac{x-1}{x^2}] = \frac{x^2(2x-1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2} = 2x-1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y \cdot \frac{x-1}{x^2} = \int (2x-1) dx = x^2 - x + c$.
$y \cdot \frac{x-1}{x^2} = x(x-1) + c$.
$x^2$ વડે ગુણતા:
$y(x-1) = x^3(x-1) + cx^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$.
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + k$ છે.
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + k$.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y} = \int e^{2u} du + k = \frac{1}{2} e^{2u} + k = \frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} y} + k$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + 2k$.
$2k$ પણ એક અચળાંક હોવાથી,આપણે તેને $k$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,$2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + k$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ છે.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{4x^2}{1+x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ છે.
$y(1+x^2) = \int \frac{4x^2}{1+x^2} \cdot (1+x^2) dx + C$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + C$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા: $0(1+0) = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,સમીકરણ $y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3(1+x^2)y = 4x^3$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ છે.
વિકલનનું વિસ્તરણ કરતા: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.
$2y + x \frac{dy}{dx} = x \sin x + x \log x$.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \sin x + \log x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = \sin x + \log x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = x^2$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$y \cdot x^2 = \int x^2(\sin x + \log x) dx + c$.
$y x^2 = \int x^2 \sin x dx + \int x^2 \log x dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}$.
તેથી,$y x^2 = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + c$.
$x^2$ વડે ભાગતા: $y = -\cos x + \frac{2 \sin x}{x} + \frac{2 \cos x}{x^2} + \frac{x}{3} \log x - \frac{x}{9} + \frac{c}{x^2}$.
આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$.
વિકલન પદનું વિસ્તરણ કરતા: $y + y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$.
આથી સાદું રૂપ મળે છે: $2y + x \frac{dy}{dx} = x(\sin x + \log x)$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = \sin x + \log x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = \sin x + \log x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P dx}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખવા માટે $(1+x)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$.
અહીં,$P(x) = -\frac{x}{1+x} = -1 + \frac{1}{1+x}$ અને $Q(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1+x}) dx} = e^{-x + \ln(1+x)} = (1+x)e^{-x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$y(1+x)e^{-x} = \int (\frac{1-x}{1+x}) (1+x)e^{-x} dx + c = \int (1-x)e^{-x} dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (1-x)e^{-x} dx = (1-x)(-e^{-x}) - \int (-1)(-e^{-x}) dx = -(1-x)e^{-x} - \int e^{-x} dx = (x-1)e^{-x} + e^{-x} + c = xe^{-x} + c$.
તેથી,$y(1+x)e^{-x} = xe^{-x} + c$.
બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $y(1+x) = x + ce^x$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + y \frac{\log x}{x} = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{\log x}{x}$ અને $Q = e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
તેથી,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$.
આમ,$IF = e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{1}{2} \log x} = x^{\frac{1}{2} \log x}$.

(A) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અભિલંબનો ઢાળ તેના યામ $y$ જેટલો છે,તેથી $-\frac{dx}{dy} = y$.
આનો અર્થ એ થાય કે $dx = -y \, dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $x = -\frac{y^2}{2} + C$ મળે છે.
વક્ર $(1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ: $1 = -\frac{(-1)^2}{2} + C$,જે $1 = -\frac{1}{2} + C$ આપે છે,તેથી $C = \frac{3}{2}$.
આમ,સમીકરણ $x = -\frac{y^2}{2} + \frac{3}{2}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x = -y^2 + 3$ અથવા $2x = 1(3 - y^2)$ થાય છે.
આને $2x = k(3 - y^2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $t$ સમયે મુદ્દલ $P$ છે. આપેલ છે કે મુદ્દલ $x \%$ ના દરે સતત વધે છે,તેથી વિકલ સમીકરણ: $\frac{dP}{dt} = \frac{x}{100} P$ મળે.
આનું સંકલન કરતા,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{x}{100} dt$,જે $\ln P = \frac{x}{100} t + C$ આપે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = P_0 = 100$ હોવાથી,$C = \ln 100$ મળે.
તેથી,$\ln P = \frac{x}{100} t + \ln 100$,અથવા $\ln(\frac{P}{100}) = \frac{x}{100} t$.
આપેલ છે કે $10$ વર્ષમાં મુદ્દલ બમણું થાય છે,એટલે કે $t = 10$ સમયે $P = 200$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\ln(\frac{200}{100}) = \frac{x}{100} \times 10$.
$\ln 2 = \frac{x}{10}$.
અહીં $\ln 2 \approx 0.6931$ લેતા,$0.6931 = \frac{x}{10} \implies x = 6.931 \% \approx 6.93 \%$.

(B) ધારો કે $t$ સમયે મુદ્દલ $P$ છે.
આપેલ છે કે મુદ્દલ વાર્ષિક $10 \%$ ના દરે સતત વધે છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dP}{dt} = 0.10 P$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dP}{P} = 0.10 dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.10 dt$
$\ln(P) = 0.10 t + C$
$P(t) = e^{0.10 t + C} = Ae^{0.10 t}$
$t = 0$ સમયે,$P = 2000$. આ કિંમતો મૂકતા:
$2000 = Ae^{0.10(0)} \implies A = 2000$
તેથી,મુદ્દલ માટેનું સમીકરણ $P(t) = 2000 e^{0.10 t}$ છે.
$t = 5$ વર્ષ પછી:
$P(5) = 2000 e^{0.10(5)} = 2000 e^{0.5}$
આપેલ છે કે $e^{0.5} = 1.648$:
$P(5) = 2000 \times 1.648 = 3296$
આમ,$5$ વર્ષ પછીની રકમ રૂ. $3296$ થશે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે સંપત્તિ $A(t)$ છે. ઘટાડાનો દર સંપત્તિના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે, તેથી $\frac{dA}{dt} = -k \sqrt{A}$, જ્યાં $k > 0$.
ચલ અલગ કરતા, $\frac{dA}{\sqrt{A}} = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int A^{-1/2} dA = \int -k dt$, જે $2\sqrt{A} = -kt + C$ આપે છે.
$t = 0$ સમયે, $A = 25$, તેથી $2\sqrt{25} = C \implies C = 10$.
આમ, $2\sqrt{A} = -kt + 10$.
$t = 2$ સમયે, $A = 6.25$, તેથી $2\sqrt{6.25} = -k(2) + 10$.
$2(2.5) = -2k + 10 \implies 5 = -2k + 10 \implies 2k = 5 \implies k = 2.5$.
સમીકરણ $2\sqrt{A} = -2.5t + 10$ બને છે.
નાદારી માટે, $A = 0$, તેથી $0 = -2.5t + 10$.
$2.5t = 10 \implies t = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ વર્ષ}$.

(B) ધારો કે $t$ સમયે મિલકત $A(t)$ છે. ઘટાડાનો દર મિલકતના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dA}{dt} = -k\sqrt{A}$,જ્યાં $k > 0$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $A^{-1/2} dA = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$2\sqrt{A} = -kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$A = 10,00,000$. તેથી,$2\sqrt{10,00,000} = C \implies C = 2 \times 1000 = 2000$.
આમ,$2\sqrt{A} = -kt + 2000$.
$t = 3$ સમયે,$A = 10,000$. તેથી,$2\sqrt{10,000} = -3k + 2000 \implies 200 = -3k + 2000 \implies 3k = 1800 \implies k = 600$.
સમીકરણ $2\sqrt{A} = -600t + 2000$ છે.
નાદારી માટે,$A = 0$,તેથી $0 = -600t + 2000$.
$600t = 2000 \implies t = \frac{2000}{600} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ વર્ષ.

(A) ધારો કે $t$ સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $N$ છે. આપેલ છે કે વૃદ્ધિનો દર હાજર સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dN}{dt} = kN$.
સંકલન કરતા,$\ln N = kt + C$,અથવા $N(t) = N_0 e^{kt}$.
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,$N_0 = 1,00,000$.
$2$ કલાક પછી,સંખ્યામાં $10 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $N(2) = 1,00,000 + 0.10 \times 1,00,000 = 1,10,000$.
આ કિંમતો મૂકતા: $1,10,000 = 1,00,000 e^{2k} \implies e^{2k} = 1.1 \implies 2k = \ln(1.1) \implies k = \frac{\ln(1.1)}{2}$.
આપણે $t$ શોધવું છે જેથી $N(t) = 2,00,000$ થાય.
$2,00,000 = 1,00,000 e^{kt} \implies 2 = e^{kt} \implies \ln 2 = kt$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\ln 2 = \left(\frac{\ln(1.1)}{2}\right) t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{2 \ln 2}{\ln(1.1)} = \frac{2 \log 2}{\log(1.1)}$.

(C) ધારો કે $t$ સમયે વસ્તી $P(t)$ છે. ફેરફારનો દર $\frac{dP}{dt} = kP$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = kt + C$ મળે છે,અથવા $P(t) = P_0 e^{kt}$.
$t = 0$ સમયે,$P(0) = 40,000$. તેથી,$P_0 = 40,000$.
$t = 20$ સમયે,$P(20) = 80,000$. આમ,$80,000 = 40,000 e^{20k}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{20k} = 2$.
આપણે બીજા $40$ વર્ષ પછીની વસ્તી શોધવી છે,એટલે કે $t = 20 + 40 = 60$ વર્ષે.
$P(60) = 40,000 e^{60k} = 40,000 (e^{20k})^3$.
$e^{20k} = 2$ મૂકતા,આપણને $P(60) = 40,000 \times (2)^3 = 40,000 \times 8 = 320,000$ મળે છે.

(A) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$,જ્યાં $T_a = 290 \ K$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $\ln(T - 290) = -kt + C$,અથવા $T - 290 = Ce^{-kt}$.
$t = 0$ સમયે,$T = 370$,તેથી $370 - 290 = C$,જે $C = 80$ આપે છે.
આમ,$T - 290 = 80e^{-kt}$.
$t = 10 \ \text{મિનિટ}$ સમયે,$T = 330$,તેથી $330 - 290 = 80e^{-10k}$,જેનો અર્થ છે $40 = 80e^{-10k}$,તેથી $e^{-10k} = 0.5$.
કુદરતી લઘુગણક લેતા,$-10k = \ln(0.5) = -\ln(2)$,તેથી $k = \frac{\ln(2)}{10}$.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $T = 295$.
$295 - 290 = 80e^{-kt} \implies 5 = 80e^{-kt} \implies e^{-kt} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.
કારણ કે $e^{-10k} = \frac{1}{2}$,આપણી પાસે $e^{-kt} = (e^{-10k})^4 = e^{-40k}$ છે.
તેથી,$kt = 40k$,જે $t = 40 \ \text{મિનિટ}$ આપે છે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે વસ્તી $P(t)$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,વસ્તી વધવાનો દર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે: $\frac{dP}{dt} = kP$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = kt + C$ મળે છે,અથવા $P(t) = P_0 e^{kt}$.
$t = 0$ સમયે,$P(0) = 4$ લાખ,તેથી $P_0 = 4$.
$t = 20$ સમયે,$P(20) = 6$ લાખ. તેથી,$6 = 4 e^{20k}$,જે આપણને $e^{20k} = \frac{6}{4} = 1.5$ આપે છે.
આપણે બીજા $20$ વર્ષ પછી,એટલે કે $t = 40$ સમયે વસ્તી શોધવાની છે.
$P(40) = P_0 e^{40k} = 4 (e^{20k})^2$.
$e^{20k} = 1.5$ મૂકતા,આપણને $P(40) = 4 \times (1.5)^2 = 4 \times 2.25 = 9$ લાખ મળે છે.

(B) ધારો કે $t$ સમયે વસ્તી $P(t)$ છે. સમસ્યા મુજબ,$\frac{dP}{dt} \propto P$,જેનો અર્થ છે $\frac{dP}{dt} = kP$.
આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $P(t) = Ce^{kt}$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,વસ્તી $30,000$ છે,તેથી $P(0) = C = 30,000$.
આમ,$P(t) = 30,000 e^{kt}$.
$t = 40$ સમયે,વસ્તી $40,000$ છે,તેથી $40,000 = 30,000 e^{40k}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{40k} = \frac{40,000}{30,000} = \frac{4}{3}$ મળે છે.
આ કિંમતને $P(t)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P(t) = 30,000 (e^{40k})^{\frac{t}{40}} = 30,000 (\frac{4}{3})^{\frac{t}{40}}$ મળે છે.
આપેલ સ્વરૂપ $P(t) = (a)(b)^{\frac{t}{40}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 30,000$ અને $b = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(B) સતત ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે,સમય $t$ પરની રકમ $A$ સૂત્ર $A(t) = P e^{rt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ મુદ્દલ છે,$r$ એ વ્યાજનો દર છે અને $t$ એ વર્ષોમાં સમય છે.
આપેલ છે કે $P = 400$ અને $A(6) = 800$,તેથી $800 = 400 e^{6r}$.
$400$ વડે ભાગતા,આપણને $2 = e^{6r}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(2) = 6r$,તેથી $r = \frac{\ln(2)}{6}$.
આપણે $t = 30$ વર્ષ પરની રકમ શોધવાની છે: $A(30) = 400 e^{30r}$.
$r = \frac{\ln(2)}{6}$ મૂકતા,આપણને $A(30) = 400 e^{30 \times \frac{\ln(2)}{6}} = 400 e^{5 \ln(2)}$ મળે છે.
$e^{a \ln(b)} = b^a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A(30) = 400 \times 2^5$ મળે છે.
$A(30) = 400 \times 32 = 12800$.
આમ,$30$ વર્ષના અંતે રકમ ₹ $12800$ થશે.

(C) ધારો કે $P(t)$ એ સમય $t$ પરની વસ્તી છે. ફેરફારનો દર $\frac{dP}{dt} = kP$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $P(t) = P_0 e^{kt}$ તરફ દોરી જાય છે.
ધારો કે $t=0$ એ વર્ષ $1984$ ને અનુરૂપ છે. તેથી $P_A(0) = 20,000$ અને $P_B(0) = 20,000$.
શહેર $A$ માટે $t=5$ (વર્ષ $1989$) પર,$P_A(5) = 20,000 e^{5k_A} = 25,000$,તેથી $e^{5k_A} = 1.25$.
શહેર $B$ માટે $t=5$ (વર્ષ $1989$) પર,$P_B(5) = 20,000 e^{5k_B} = 28,000$,તેથી $e^{5k_B} = 1.4$.
$t=10$ (વર્ષ $1994$) પર:
$P_A(10) = 20,000 (e^{5k_A})^2 = 20,000 (1.25)^2 = 20,000 \times 1.5625 = 31,250$.
$P_B(10) = 20,000 (e^{5k_B})^2 = 20,000 (1.4)^2 = 20,000 \times 1.96 = 39,200$.
તફાવત $|39,200 - 31,250| = 7,950$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$.
પ્રથમ,પદ $g(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right)$ ને સરળ બનાવો.
$\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $g(x) = \cos^{-1}\left(\cos(\frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}})\right) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}}$ મળે છે.
$g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{1+x}{2}}}$.
$x=1$ આગળ,$g'(1) = -\frac{1}{4\sqrt{1}} = -\frac{1}{4}$.
હવે,ધારો કે $h(x) = x^x$. તેથી $\ln(h(x)) = x \ln(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{h'(x)}{h(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$.
તેથી,$h'(x) = x^x(\ln(x) + 1)$.
$x=1$ આગળ,$h'(1) = 1^1(\ln(1) + 1) = 1(0 + 1) = 1$.
$x=1$ આગળ $f(x)$ નું વિકલિત $f'(1) = g'(1) + h'(1) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ થાય.

(C) ધારો કે $y = f(x) = (1-x)(2-x)(3-x) \dots (n-x)$.
વિકલન માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જો $y = u_1 u_2 u_3 \dots u_n$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} = u_1' (u_2 u_3 \dots u_n) + u_1 (u_2 u_3 \dots u_n)'$ થાય.
$x=1$ આગળ,$(1-x)$ પદ $0$ થઈ જાય છે.
તેથી,વિકલનમાં $(1-x)$ ધરાવતા તમામ પદો શૂન્ય થઈ જશે,સિવાય કે જ્યાં $(1-x)$ નું વિકલન થાય છે.
ધારો કે $g(x) = (2-x)(3-x) \dots (n-x)$. તો $y = (1-x)g(x)$.
$\frac{dy}{dx} = (-1)g(x) + (1-x)g'(x)$.
$x=1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = (-1)g(1) + 0 = -g(1)$.
$g(1) = (2-1)(3-1)(4-1) \dots (n-1) = (1)(2)(3) \dots (n-1) = (n-1)!$.
આમ,$x=1$ આગળ $\frac{dy}{dx} = -(n-1)!$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $y = \log_{e} x^3 + 3 \sin^{-1} x + k x^2$.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$y = 3 \log_{e} x + 3 \sin^{-1} x + k x^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $y' = \frac{3}{x} + \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}} + 2kx$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y'(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ ને વિકલનમાં મૂકતા:
$y'(\frac{1}{2}) = \frac{3}{1/2} + \frac{3}{\sqrt{1 - (1/2)^2}} + 2k(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$.
$6 + \frac{3}{\sqrt{3/4}} + k = 2 \sqrt{3}$.
$6 + \frac{3}{\sqrt{3}/2} + k = 2 \sqrt{3}$.
$6 + \frac{6}{\sqrt{3}} + k = 2 \sqrt{3}$.
$6 + 2 \sqrt{3} + k = 2 \sqrt{3}$.
$k = -6$.

(D) ધારો કે $g(x) = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
આપણે $g^{\prime}(1)$ શોધવાનું છે.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,$f(f(f(x)))$ નું વિકલન $f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$ થાય.
$x=1$ આગળ,આ $f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1)$ થશે.
આપેલ છે કે $f(1)=1$ અને $f^{\prime}(1)=3$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime}(f(f(1))) = f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(1) = 3$.
તેથી,$x=1$ આગળ $f(f(f(x)))$ નું વિકલન $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ થાય.
$(f(x))^2$ નું વિકલન $2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$ થાય.
$x=1$ આગળ,આ $2f(1) \cdot f^{\prime}(1) = 2(1)(3) = 6$ થાય.
તેથી,$g^{\prime}(1) = 27 + 6 = 33$.

(B) ધારો કે $t = \tan^{-1} x$. તો $u = \frac{t}{t+1}$ અને $v = \tan^{-1}(t)$ થાય.
આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dt}{dv/dt}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $u$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{du}{dt} = \frac{(t+1)(1) - t(1)}{(t+1)^2} = \frac{1}{(t+1)^2}$.
ત્યારબાદ,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{1+t^2}$.
હવે,$\frac{du}{dv}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dt}{dv/dt} = \frac{1/(t+1)^2}{1/(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{(t+1)^2}$.
$t = \tan^{-1} x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$\frac{du}{dv} = \frac{1 + (\tan^{-1} x)^2}{(1 + \tan^{-1} x)^2}$.

(D) આપેલ છે કે $a(4+x^2)=x$,તેથી $a = \frac{x}{4+x^2}$.
$x=1$ આગળ,$a = \frac{1}{4+1^2} = \frac{1}{5}$.
$a(4+x^2)=x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{da}{dx}(4+x^2) + a(2x) = 1$.
$x=1$ અને $a=\frac{1}{5}$ મૂકતા:
$\frac{da}{dx}(4+1) + \frac{1}{5}(2(1)) = 1 \implies 5\frac{da}{dx} + \frac{2}{5} = 1 \implies 5\frac{da}{dx} = \frac{3}{5} \implies \frac{da}{dx} = \frac{3}{25}$.
આપેલ છે કે $y = x^3 + a^2$,તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2a\frac{da}{dx}$.
$x=1$,$a=\frac{1}{5}$ અને $\frac{da}{dx}=\frac{3}{25}$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 + 2(\frac{1}{5})(\frac{3}{25}) = 3 + \frac{6}{125} = \frac{375+6}{125} = \frac{381}{125}$.

(C) ધારો કે $y = \log \left[f\left(e^x+2 x\right)\right]$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f\left(e^x+2 x\right)} \cdot f^{\prime}\left(e^x+2 x\right) \cdot \frac{d}{dx}(e^x+2 x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{f^{\prime}\left(e^x+2 x\right) \cdot (e^x+2)}{f\left(e^x+2 x\right)}$.
હવે,$x=0$ આગળ કિંમત મેળવીએ:
$x=0$ માટે,$f$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $e^0 + 2(0) = 1 + 0 = 1$ થાય છે.
તેથી,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{f^{\prime}(1) \cdot (e^0+2)}{f(1)}$.
આપેલ છે કે $f(1)=3$ અને $f^{\prime}(1)=2$:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{2 \cdot (1+2)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$.

(C) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \left[ \frac{4 \sin 2x}{\cos 2x - 6 \sin^2 x} \right]$.
દ્વિ-કોણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{4(2 \sin x \cos x)}{(\cos^2 x - \sin^2 x) - 6 \sin^2 x} \right] = \tan^{-1} \left[ \frac{8 \sin x \cos x}{\cos^2 x - 7 \sin^2 x} \right]$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x} \right]$.
ધારો કે $f(x) = \frac{8 \tan x}{1 - 7 \tan^2 x}$. તો $y = \tan^{-1}(f(x))$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (f(x))^2} \cdot f'(x)$.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = f'(0)$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$u = 8 \tan x \implies u' = 8 \sec^2 x$.
$v = 1 - 7 \tan^2 x \implies v' = -14 \tan x \sec^2 x$.
$x = 0$ આગળ,$u(0) = 0, u'(0) = 8, v(0) = 1, v'(0) = 0$.
$f'(0) = \frac{8(1) - 0(0)}{1^2} = 8$.
આમ,$x = 0$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત $8$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x = e^{\tan^{-1}\left(\frac{y-x^2}{x^2}\right)}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(x) = \tan^{-1}\left(\frac{y-x^2}{x^2}\right)$ મળે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\tan(\ln x) = \frac{y-x^2}{x^2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$y = x^2 \tan(\ln x) + x^2$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[x^2 \tan(\ln x)] + \frac{d}{dx}[x^2]$
$\frac{dy}{dx} = [2x \tan(\ln x) + x^2 \cdot \sec^2(\ln x) \cdot \frac{1}{x}] + 2x$
$\frac{dy}{dx} = 2x \tan(\ln x) + x \sec^2(\ln x) + 2x$.
હવે,$x = 1$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 2(1) \tan(\ln 1) + 1 \sec^2(\ln 1) + 2(1)$
કારણ કે $\ln 1 = 0$,$\tan 0 = 0$ અને $\sec 0 = 1$ હોવાથી:
$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 2(0) + 1(1)^2 + 2 = 0 + 1 + 2 = 3$.

(C) આપેલ છે કે $y = \log_3(\log_3 x)$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{\log_e(\log_3 x)}{\log_e 3} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 3})}{\log_e 3}$.
$y = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 3)}{\log_e 3}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 3)]$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
$x = 3$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3(\log_e 3)^2} = \frac{1}{3}(\log_e 3)^{-2}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\cot x} + \frac{\cos^2 x}{1+\tan x}$.
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} + \frac{\cos^2 x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}$
$f(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x}$
$f(x) = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x}$
નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x}$
$f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \sin x \cos x$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2 \sin x \cos x) = 1 - \frac{1}{2} \sin(2x)$.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = 0 - \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2 = -\cos(2x)$.
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધતા:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2(x^2)}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = 1 + \cos^2(x^2)$,તેથી $f(x) = \sqrt{u}$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \cos^2(x^2))$.
હવે,$\frac{d}{dx}(\cos^2(x^2)) = 2\cos(x^2) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x \sin(2x^2)$.
આમ,$f^{\prime}(x) = \frac{-2x \sin(2x^2)}{2\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}} = \frac{-x \sin(2x^2)}{\sqrt{1 + \cos^2(x^2)}}$.
$x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ માટે,$x^2 = \frac{\pi}{4}$.
$f^{\prime}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{\sqrt{1 + \cos^2(\frac{\pi}{4})}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin(\frac{\pi}{2})}{\sqrt{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{-\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = -\frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$.

(D) આપેલ છે કે $u = \log(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})$ અને $v = \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}$.
નોંધો કે $(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) = (x+1) - (x-1) = 2$.
તેથી,$\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} = \frac{2}{v}$.
જોકે,$\log$ નો તર્ક $\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = -(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) = -\frac{2}{v}$ છે.
$\log$ ના પ્રદેશ માટે ધન તર્કની જરૂર હોવાથી,આપણે માન અથવા સંકર સ્વરૂપ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. પ્રમાણિત વિકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$u = \log(-2) - \log(v)$.
$v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(\log(-2) - \log(v)) = 0 - \frac{1}{v} = -\frac{1}{v}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{\frac{2}{5}} + y^{\frac{2}{5}} = a^{\frac{2}{5}}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{dx}(y^{\frac{2}{5}}) = \frac{d}{dx}(a^{\frac{2}{5}})$
ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} + \frac{2}{5}y^{\frac{2}{5}-1} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} + \frac{2}{5}y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{5}$ વડે ભાગતા:
$x^{-\frac{3}{5}} + y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = -x^{-\frac{3}{5}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{3}{5}}}{y^{-\frac{3}{5}}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{3}{5}}$
$\frac{dy}{dx} = -\sqrt[5]{\left(\frac{y}{x}\right)^3}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{y} + y^{x} = a^{b}$ છે.
ધારો કે $u = x^{y}$ અને $v = y^{x}$. તેથી $u + v = a^{b}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ મળે.
$u = x^{y}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = y \log x$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \implies \frac{du}{dx} = x^{y} (\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx})$.
$x = 1, y = 2$ આગળ,$u = 1^{2} = 1$,તેથી $\frac{du}{dx} = 1(\frac{2}{1} + \log 1 \frac{dy}{dx}) = 2$.
$v = y^{x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log v = x \log y$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \log y + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} \implies \frac{dv}{dx} = y^{x} (\log y + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx})$.
$x = 1, y = 2$ આગળ,$v = 2^{1} = 2$,તેથી $\frac{dv}{dx} = 2(\log 2 + \frac{1}{2} \frac{dy}{dx}) = 2 \log 2 + \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમતોને સરવાળાના વિકલનમાં મૂકતા: $2 + 2 \log 2 + \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -(2 + 2 \log 2) = -2(1 + \log 2)$.

(B) આપેલ છે $(a+bx) e^{\frac{y}{x}}=x$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(a+bx) + \frac{y}{x} = \ln x$.
ગોઠવતા $\frac{y}{x} = \ln x - \ln(a+bx) = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$ મળે.
તેથી,$y = x \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right) + x \cdot \frac{a+bx}{x} \cdot \frac{(a+bx)(1) - x(b)}{(a+bx)^2} = \frac{y}{x} + \frac{a}{(a+bx)}$.
આમ,$x \frac{dy}{dx} = y + \frac{ax}{a+bx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} + \frac{(a+bx)(a) - ax(b)}{(a+bx)^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{a^2}{(a+bx)^2}$.
તેથી,$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2}{(a+bx)^2}$.
$x \frac{dy}{dx} - y = \frac{ax}{a+bx}$ પરથી,$\left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2 = \frac{a^2 x^2}{(a+bx)^2}$ મળે.
આને $x \frac{d^2y}{dx^2}$ સાથે સરખાવતા,$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = x^2 \cdot \frac{a^2}{(a+bx)^2} = \left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = x + \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}$ મળે.
ધારો કે $u = \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}$. તેથી $y^2 = x + u$.
$u$ નો વર્ગ કરતા,$u^2 = y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}} = y + y = 2y$.
આમ,$u = \sqrt{2y}$.
$u$ ની કિંમત $y^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$y^2 = x + \sqrt{2y}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{2y}} \cdot 2 \frac{dy}{dx}$.
$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2y}} \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (2y - \frac{1}{\sqrt{2y}}) = 1$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{2y\sqrt{2y} - 1}{\sqrt{2y}}) = 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2y}}{2y\sqrt{2y} - 1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y^2 - x = \sqrt{2y}$ પરથી,વર્ગ કરતા $(y^2 - x)^2 = 2y$.
વિકલન કરતા: $2(y^2 - x)(2y \frac{dy}{dx} - 1) = 2 \frac{dy}{dx}$.
$(y^2 - x)(2y \frac{dy}{dx} - 1) = \frac{dy}{dx}$.
$2y(y^2 - x) \frac{dy}{dx} - (y^2 - x) = \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (2y^3 - 2xy - 1) = y^2 - x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x}{2y^3 - 2xy - 1}$.

(C) ધારો કે $u = \sqrt{y-\sqrt{y-\sqrt{y-\ldots \infty}}}$ અને $v = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}}$.
આપેલ છે કે $u = v$.
$u$ માટે,આપણી પાસે $u = \sqrt{y-u} \implies u^2 = y-u \implies y = u^2+u$ છે.
$v$ માટે,આપણી પાસે $v = \sqrt{x+v} \implies v^2 = x+v \implies x = v^2-v$ છે.
કારણ કે $u = v$,આપણે $y = u^2+u$ અને $x = u^2-u$ લખી શકીએ છીએ.
હવે,$u$ ની સાપેક્ષમાં $y$ અને $x$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{du} = 2u+1$ અને $\frac{dx}{du} = 2u-1$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/du}{dx/du} = \frac{2u+1}{2u-1}$.
$y = u^2+u$ પરથી,$y-x = (u^2+u) - (u^2-u) = 2u$,તેથી $u = \frac{y-x}{2}$.
$u$ ની કિંમત $\frac{dy}{dx} = \frac{2u+1}{2u-1}$ માં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(\frac{y-x}{2})+1}{2(\frac{y-x}{2})-1} = \frac{y-x+1}{y-x-1}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $e^{y} + xy = e$ છે.
$x = 0$ લેતા,$e^{y} + 0 = e$,જેનો અર્થ છે કે $e^{y} = e$,તેથી $y = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(e^{y} + xy) = \frac{d}{dx}(e)$
$e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$(x, y) = (0, 1)$ બિંદુએ:
$e^{1} \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx}) = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$e(-\frac{1}{e})^2 + e \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$
$\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \cdot \log_{e}(\log_{e} x) - x^2 + y^2 = 4$.
પ્રથમ,$x=e$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધો:
$e \cdot \log_{e}(\log_{e} e) - e^2 + y^2 = 4$.
$\log_{e} e = 1$ અને $\log_{e} 1 = 0$ હોવાથી,$e \cdot 0 - e^2 + y^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = 4 + e^2$.
$y > 0$ હોવાથી,$y = \sqrt{4 + e^2}$.
હવે,આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[x \cdot \log_{e}(\log_{e} x)] - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$.
પ્રથમ પદ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$1 \cdot \log_{e}(\log_{e} x) + x \cdot \frac{1}{\log_{e} x} \cdot \frac{1}{x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$\log_{e}(\log_{e} x) + \frac{1}{\log_{e} x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$x=e$ મૂકતા:
$\log_{e}(\log_{e} e) + \frac{1}{\log_{e} e} - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$0 + 1 - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx} = 2e - 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2y}$.
$y = \sqrt{4 + e^2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2\sqrt{4 + e^2}}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \ldots \infty}}}$ છે.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે તેને $y = \sqrt{\sin x + y}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = \sin x + y$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x + y)$ મળે.
આથી $2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}$ થાય.
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x$ મળે.
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \cos x$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $t = K^{\cos^{-1} x}$.
$y$ ના પદમાં $t$ મૂકતા,આપણને $y = \frac{t}{1+t}$ મળે છે.
$\frac{dy}{dt}$ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{t}{1+t} \right)$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dt} - u \frac{dv}{dt}}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = t$ અને $v = 1+t$ છે:
$\frac{dy}{dt} = \frac{(1+t)(1) - t(1)}{(1+t)^2}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{1+t-t}{(1+t)^2} = \frac{1}{(1+t)^2}$.
$t = K^{\cos^{-1} x}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{(1 + K^{\cos^{-1} x})^2}$.

(B) આપેલ છે કે $x = \log t$ અને $y = \frac{1}{t}$.
પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$.
કારણ કે $y = t^{-1}$,તેથી $\frac{dy}{dt} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2}$.
કારણ કે $x = \log t$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1/t^2}{1/t} = -\frac{1}{t} = -y$.
હવે,$\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધવા માટે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-y) = -\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = -(-t^{-2}) \cdot t = t^{-1} = y$.
આમ,$\frac{d^2 y}{dx^2} = y$.

(C) આપેલ છે કે $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = a \sin^3 \theta$.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta (\cos \theta) = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$.
તેથી,$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = (-\tan \theta)^2 = \tan^2 \theta$.
અંતે,$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$.

(A) આપેલ છે કે $x = a \sin 2t (1 + \cos 2t) = a \sin 2t + a \sin 2t \cos 2t = a \sin 2t + \frac{a}{2} \sin 4t$.
$t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dt} = 2a \cos 2t + 2a \cos 4t = 2a (\cos 2t + \cos 4t)$.
આપેલ છે કે $y = b \cos 2t (1 - \cos 2t) = b \cos 2t - b \cos^2 2t$.
$\cos^2 2t = \frac{1 + \cos 4t}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = b \cos 2t - \frac{b}{2} (1 + \cos 4t)$.
$t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dt} = -2b \sin 2t + b \sin 4t = -2b \sin 2t + 2b \sin 2t \cos 2t = -2b \sin 2t (1 - \cos 2t)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-2b \sin 2t (1 - \cos 2t)}{2a (\cos 2t + \cos 4t)} = \frac{b}{a} \tan t$.

(C) આપેલ છે કે $x = \sin \theta$ અને $y = \sin^3 \theta$.
સૌ પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \sin^2 \theta \cos \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} = 3 \sin^2 \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (3 \sin^2 \theta) = \frac{d}{d\theta} (3 \sin^2 \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$,તેથી $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\cos \theta}$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (6 \sin \theta \cos \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 6 \sin \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ માટે:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6 \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

(A) આપેલ છે કે $x = \sin t$ અને $y = \sin pt$.
પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = \cos t$ અને $\frac{dy}{dt} = p \cos pt$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{p \cos pt}{\cos t}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos t \frac{dy}{dx} = p \cos pt$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} (\cos t \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (p \cos pt)$.
ડાબી બાજુ પ્રોડક્ટ રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$-\sin t \frac{dt}{dx} \frac{dy}{dx} + \cos t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt \frac{dt}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos t}$,આપણે કિંમત મૂકીએ:
$-\sin t (\frac{1}{\cos t}) \frac{dy}{dx} + \cos t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt (\frac{1}{\cos t})$.
આખા સમીકરણને $\cos t$ વડે ગુણતા:
$-\sin t \frac{dy}{dx} + \cos^2 t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt$.
$x = \sin t$,$\cos^2 t = 1 - x^2$,અને $y = \sin pt$ મૂકતા:
$-x \frac{dy}{dx} + (1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 y$.
પદોને ગોઠવતા:
$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + p^2 y = 0$.

(D) આપેલ છે કે $x = t^2 + t + 1$ અને $y = \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right)$.
પ્રથમ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + t + 1) = 2t + 1$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sin \left(\frac{t \pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{2} \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right)$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\frac{\pi}{2} \left(\cos \left(\frac{t \pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right)\right)}{2t + 1}$.
$t=1$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\pi}{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)}{2(1) + 1} = \frac{\frac{\pi}{2} (0 - 1)}{3} = \frac{-\pi/2}{3} = -\frac{\pi}{6}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.