MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે ત્રણ સળિયા $R_1$,$R_2$ અને $R_3$ છે,જે દરેકનું દળ $m$ છે.
$1$. સળિયો $R_1$ એ $x$-અક્ષ પર $(0,0)$ થી $(2a,0)$ સુધી છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (a, 0)$ પર છે.
$2$. સળિયો $R_2$ એ $y$-અક્ષ પર $(0,0)$ થી $(0,a)$ સુધી છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (0, a/2)$ પર છે.
$3$. સળિયો $R_3$ એ $(2a,0)$ અને $(0,a)$ ને જોડે છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_3, y_3) = (a, a/2)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3)}{3m} = \frac{a + 0 + a}{3} = \frac{2a}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m(y_1 + y_2 + y_3)}{3m} = \frac{0 + a/2 + a/2}{3} = \frac{a}{3}$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}\right)$ પર છે.

$(A)$ $\text{હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ એ દૂર જવાનો સાપેક્ષ વેગ જેટલો હોય છે.}$
$\text{ધારો કે બે કણોના દળ } m_1 \text{ અને } m_2 \text{ છે।}$
$\text{પ્રારંભિક વેગ } u_1 = 5 \,m/s \text{ અને } u_2 = 3 \,m/s \text{ છે।}$
$\text{અંતિમ વેગ } v_1 = 4 \,m/s \text{ અને } v_2 = ? \text{ છે।}$
$\text{નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ } u_1 - u_2 = 5 - 3 = 2 \,m/s \text{ છે।}$
$\text{દૂર જવાનો સાપેક્ષ વેગ } v_2 - v_1 = v_2 - 4 \text{ છે।}$
$\text{અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,} u_1 - u_2 = v_2 - v_1$.
$\text{કિંમતો મૂકતા: } 2 = v_2 - 4$.
$\text{તેથી,} v_2 = 2 + 4 = 6 \,m/s$.
$\text{પરિણામ ધન હોવાથી,બીજો કણ સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે।}$

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. બીજા પદાર્થનું દળ $M$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે. અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થ સ્થિર થઈ જાય છે $(v_1 = 0)$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u + M(0) = m(0) + M v_2$
$m u = M v_2$
$v_2 = \frac{m u}{M}$
અથડામણ ગુણાંક $e$ એ છૂટા પડવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{\frac{m u}{M} - 0}{u - 0} = \frac{m u / M}{u} = \frac{m}{M}$

(B) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $m$ છે. પ્રથમ ગોળાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 3u$ અને બીજા ગોળાનો વેગ $u_2 = 0$ છે.
ધારો કે અથડામણ પછી પ્રથમ અને બીજા ગોળાના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m(3u) + m(0) = mv_1 + mv_2$,જેનું સાદું રૂપ $v_1 + v_2 = 3u$ થાય છે (સમીકરણ $1$).
પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{3u - 0}$,જે આપણને $v_2 - v_1 = 3ue$ આપે છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $2v_2 = 3u(1 + e) \implies v_2 = \frac{3u(1 + e)}{2}$.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $2v_1 = 3u(1 - e) \implies v_1 = \frac{3u(1 - e)}{2}$.
બીજા ગોળાના વેગ અને પહેલા ગોળાના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \frac{3u(1 + e) / 2}{3u(1 - e) / 2} = \frac{1 + e}{1 - e}$ થાય છે.

(D) પદાર્થ પર લાગતો આઘાત એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે。
આઘાત $(J)$ = વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ = $m(v - u)$.
અહીં દળ $m = 3 \ kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ આપેલ છે。
આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ = પ્રથમ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ + બીજા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ。
ક્ષેત્રફળ = $(8 \ N \times 0.5 \ s) + (4 \ N \times (1.0 - 0.5) \ s)$.
ક્ષેત્રફળ = $(4 \ Ns) + (4 \ N \times 0.5 \ s) = 4 \ Ns + 2 \ Ns = 6 \ Ns$.
આઘાત = $\Delta p = m(v - u)$ હોવાથી,
$6 = 3 \times (v - 0)$,
$6 = 3v$,
$v = 2 \ m/s$.
તેથી, $1 \ s$ પછી પદાર્થની ઝડપ $2 \ m/s$ થશે।

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
સપાટીથી $h = 2R$ ઊંચાઈ પર,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+2R)^2} = \frac{GM}{(3R)^2} = \frac{GM}{9R^2} = \frac{g}{9}$ દ્વારા મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/9}} = 3 \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 3T$ છે.
$T' = 3T$ ને $T' = xT$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{r^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ ને તેની ઘનતા $\varrho$ અને ત્રિજ્યા $r$ ના પદમાં $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^3 \varrho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આ કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi r^3 \varrho)}{r^2} = \frac{4}{3} \pi G r \varrho$.
આમ,$g \propto r \varrho$ થાય.
ગ્રહ $A$ માટે,$g_A \propto r_1 \varrho_1$.
ગ્રહ $B$ માટે,$g_B \propto r_2 \varrho_2$.
તેથી,ગ્રહ $A$ અને $B$ ના ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_A}{g_B} = \frac{r_1 \varrho_1}{r_2 \varrho_2}$ થાય.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે,જ્યાં $g_s$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $g_d = \frac{g_s}{n}$,તેથી:
$\frac{g_s}{n} = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
બંને બાજુ $g_s$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = \frac{R(n-1)}{n}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = \frac{GMm}{R^2} = 45 \ N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$h = \frac{R}{2}$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ એ સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $h = \frac{R}{2}$ મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
ઊંચાઈ $h$ પર વજન $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ થાય.
$W = 45 \ N$ મૂકતા:
$W' = \frac{4}{9} \times 45 = 4 \times 5 = 20 \ N$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર છે: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$.
આપેલ છે કે $g_d = \frac{g}{n}$,તેથી:
$\frac{g}{n} = g(1 - \frac{d}{R})$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$.
તેથી,$d = \frac{R(n-1)}{n}$.

(A) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $L$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{g}$ થાય.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$g_s = g$ છે.
$d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $d = R/3$,તેથી $g_d = g \left(1 - \frac{R/3}{R}\right) = g \left(1 - 1/3\right) = \frac{2}{3}g$.
નવી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = n \sqrt{\frac{g_d}{g_s}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$n' = n \sqrt{\frac{(2/3)g}{g}} = n \sqrt{2/3}$.

(A) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પર વજન તેના વર્તમાન મૂલ્યના $\frac{1}{6}$ ગણું થાય છે,આપણે ધારીએ છીએ કે વર્તમાન વજન આશરે $mg$ છે.
તેથી,$g' = \frac{1}{6} g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{6} g = g - \omega^2 R$.
$\omega^2 R$ માટે ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - \frac{1}{6} g = \frac{5}{6} g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \sqrt{\frac{5g}{6R}}$.
તેથી,જરૂરી કોણીય ઝડપ $\sqrt{\frac{5}{6} \frac{g}{R}}$ છે.

(B) ઘન ગોળો (દળ $m$,ત્રિજ્યા $r$) અને સમકેન્દ્રી કવચ (દળ $m$,ત્રિજ્યા $2r$) ધરાવતી સિસ્ટમના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ એ બંને પદાર્થોના ક્ષેત્રોના સરવાળા (superposition) દ્વારા મળે છે.
$r < x < 2r$ માટે,કવચને કારણે ક્ષેત્ર $0$ છે (કવચની અંદર),અને ઘન ગોળાને કારણે ક્ષેત્ર $\frac{Gm}{x^2}$ છે. તેથી,$E = \frac{Gm}{x^2}$.
$x = 1.5r = \frac{3}{2}r$ માટે,$E = \frac{Gm}{(1.5r)^2} = \frac{Gm}{2.25r^2} = \frac{4}{9} \frac{Gm}{r^2}$.
$x > 2r$ માટે,બંને કેન્દ્ર પર બિંદુવત દળ તરીકે વર્તે છે. $E = \frac{G(m+m)}{x^2} = \frac{2Gm}{x^2}$.
$x = 2.5r = \frac{5}{2}r$ માટે,$E = \frac{2Gm}{(2.5r)^2} = \frac{2Gm}{6.25r^2} = \frac{2Gm}{(25/4)r^2} = \frac{8}{25} \frac{Gm}{r^2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોળા માટે:
$1$. $r_1 > R$ અંતરે (ગોળાની બહાર),ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{GM}{r_1^2}$ છે.
$2$. $r_2 < R$ અંતરે (ગોળાની અંદર),ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર $E_2 = \frac{GMr_2}{R^3}$ છે.
$3$. ગુણોત્તર $E_1 : E_2$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{GM/r_1^2}{GMr_2/R^3} = \frac{GM}{r_1^2} \times \frac{R^3}{GMr_2} = \frac{R^3}{r_1^2 r_2}$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી કોઈ પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
જ્યાં:
$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,
$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,
$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર પૃથ્વીના દળ $(M)$,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણના અચળાંક $(G)$ પર આધાર રાખે છે.
તે ફેંકવામાં આવતી વસ્તુના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત વેગ $v = \frac{1}{3} v_e = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચે:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$.
$v^2 = \frac{1}{9} \left(\frac{2GM}{R}\right) = \frac{2GM}{9R}$ મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{2GM}{9R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$-GMm$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{R} - \frac{1}{9R} = \frac{1}{R+h}$.
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$.
$8(R+h) = 9R \implies 8R + 8h = 9R$.
$8h = R \implies h = \frac{R}{8}$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = R$ અંતરે આ ઊર્જાનું મૂલ્ય $E = \frac{GMm}{R}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GMm = ER$.
પદાર્થનું વજન $W$ એ $r$ અંતરે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ છે.
$r = 1.5 R = \frac{3}{2} R$ અંતરે,વજન $W = \frac{GMm}{(1.5 R)^2} = \frac{GMm}{2.25 R^2} = \frac{GMm}{\frac{9}{4} R^2} = \frac{4 GMm}{9 R^2}$ થશે.
$GMm = ER$ ને $W$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \frac{4 (ER)}{9 R^2} = \frac{4 E}{9 R}$.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
અહીં પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{1}{4} r_1$ છે.
સંબંધ $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$.
તેથી, $T_2 = \frac{T_1}{8} = \frac{24}{8} = 3 \text{ કલાક}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા બે કણો $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર વર્તુળનો વ્યાસ એટલે કે $2r$ છે.
બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G m m}{(2r)^2} = \frac{G m^2}{4r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{m v^2}{r} = \frac{G m^2}{4r^2}$.
$v^2$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{G m}{4r}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{G m}{4r}}$ મળે છે.

(B) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહ માટે,સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ છે.
કુલ ઊર્જા $E$ એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$.
$E$ અને $K$ ની સરખામણી કરતા: $E = -K$,જેનો અર્થ છે કે કુલ ઊર્જા એ ગતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી જ પણ વિરુદ્ધ નિશાની ધરાવે છે.
$E$ અને $U$ ની સરખામણી કરતા: $E = \frac{1}{2} U$,જેનો અર્થ છે કે કુલ ઊર્જા એ સ્થિતિઊર્જા કરતા અડધી હોય છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
ધારો કે $v_A$ અને $v_B$ એ ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ ની ઝડપ છે,જેમની કક્ષીય ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_A = 4R$ અને $r_B = R$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{v_A}{6V} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$v_A = 6V \times \frac{1}{2} = 3V$.

(A) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
અહીં કક્ષાઓની ત્રિજ્યા $r_P = 3R$ અને $r_Q = R$ આપેલ છે.
ધારો કે ઉપગ્રહો $P$ અને $Q$ ની કક્ષીય ઝડપ અનુક્રમે $v_P$ અને $v_Q$ છે.
તેથી,$\frac{v_Q}{v_P} = \sqrt{\frac{r_P}{r_Q}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_Q}{2V} = \sqrt{\frac{3R}{R}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$v_Q = 2V \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}V$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ધારો કે $g_m, M_m, R_m$ એ ચંદ્રનું ગુરુત્વાકર્ષણ,દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $g_e, M_e, R_e$ એ પૃથ્વી માટે છે.
આપેલ છે: $g_m = \frac{1}{6} g_e$ અને $M_m = \frac{1}{8} M_e$.
આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
ગોઠવતા: $\left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{R_e}{R_m} = \sqrt{\frac{4}{3}}$.
આમ,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા એ ચંદ્રની ત્રિજ્યાના $\sqrt{4/3}$ ગણી છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,મેયરનો સંબંધ $C_P - C_V = R$ છે.
બંને બાજુને $C_V$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{C_P}{C_V} - 1 = \frac{R}{C_V}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{9}{7}$.
$\gamma$ નું મૂલ્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{R}{C_V} = \gamma - 1$ મળે છે.
$\frac{R}{C_V} = \frac{9}{7} - 1 = \frac{9-7}{7} = \frac{2}{7}$.
દશાંશ મૂલ્યની ગણતરી કરતા,$\frac{2}{7} \approx 0.2857$.
આમ,મૂલ્ય આશરે $0.28$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે મેયરનો સંબંધ આ મુજબ છે: $C_{p} - C_{V} = R$.
વળી,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$,જેનો અર્થ છે કે $C_{V} = \frac{C_{p}}{\gamma}$.
મેયરના સંબંધમાં $C_{V}$ ની કિંમત મૂકતા:
$C_{p} - \frac{C_{p}}{\gamma} = R$
$C_{p} \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R$
$C_{p} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) = R$
તેથી,$C_{p} = \frac{R \gamma}{\gamma - 1}$.

(C) બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$P \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે. તેથી $P_1 = P$ અને $T_1 = T$.
દબાણમાં $2.5 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $P_2 = P + 0.025P = 1.025P$.
તાપમાનમાં $4 \ K$ નો વધારો થાય છે,તેથી $T_2 = T + 4$.
આ કિંમતોને $\frac{P}{T} = \frac{1.025P}{T + 4}$ સંબંધમાં મૂકતા:
$T + 4 = 1.025T$
$4 = 1.025T - T$
$4 = 0.025T$
$T = \frac{4}{0.025} = \frac{4000}{25} = 160 \ K$.
આમ,વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $160 \ K$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે. અણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = nN_A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આમ,$N = \frac{PV}{RT} N_A$.
જાર $A$ માટે: $N_A = \frac{PV}{RT} N_A$.
જાર $B$ માટે: $N_B = \frac{(2P)(V/4)}{(T/4)} N_A = \frac{2PV/4}{T/4} N_A = \frac{2PV}{T} N_A = 2 \left( \frac{PV}{RT} \right) N_A = 2N_A$.
તેથી,જાર $A$ અને જાર $B$ માં રહેલા અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $N_A / N_B = 1 / 2$ એટલે કે $1: 2$ થશે.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના આપેલ દળ માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
કદમાં $5 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી અંતિમ કદ $V_2 = V - 0.05V = 0.95V$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $P \times V = P_2 \times 0.95V$.
$P_2$ માટે ઉકેલતા: $P_2 = P / 0.95 = (100/95)P = (20/19)P \approx 1.0526P$.
દબાણમાં વધારો $\Delta P = P_2 - P = 1.0526P - P = 0.0526P$ છે.
દબાણમાં થતો ટકાવારી વધારો $(\Delta P / P) \times 100 = 0.0526 \times 100 = 5.26 \%$ થાય.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના આપેલા દળ માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
કદમાં $7 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી અંતિમ કદ $V_2 = V + 0.07V = 1.07V$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $P_1 V = P_2 (1.07V)$.
$P_2 = \frac{P_1}{1.07} \approx 0.9346 P_1$.
દબાણમાં ઘટાડો $\Delta P = P_1 - P_2 = P_1 - 0.9346 P_1 = 0.0654 P_1$ છે.
તેને ટકાવારીમાં દર્શાવતા: $\frac{\Delta P}{P_1} \times 100 = 0.0654 \times 100 = 6.54 \%$.

(A) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓ વચ્ચેની અથડામણો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક (perfectly elastic) માનવામાં આવે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
તેથી,જ્યારે વાયુના બે અણુઓ અથડાય છે,ત્યારે ગતિઊર્જા અને વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ દળ અને $M$ એ મોલર દળ છે.
ઘનતા $\varrho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણે $P = \frac{\varrho RT}{M}$ લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $P \propto \varrho T$.
બિંદુ $A$ પર: $P_A = P_0$,$T_A = T_0$,અને $\varrho_A = \varrho_0$. તેથી,$P_0 = k \cdot \varrho_0 T_0$ (જ્યાં $k = \frac{R}{M}$).
બિંદુ $B$ પર: $P_B = Y$,$T_B = 3T_0$,અને $\varrho_B = \frac{4}{3} \varrho_0$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P_B}{P_A} = \frac{\varrho_B T_B}{\varrho_A T_A}$
$\frac{Y}{P_0} = \frac{(\frac{4}{3} \varrho_0) (3T_0)}{\varrho_0 T_0}$
$\frac{Y}{P_0} = \frac{4}{3} \times 3 = 4$
તેથી,$Y = 4 P_0$.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E_{avg})$ નું સૂત્ર $E_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$k_B$ અચળ હોવાથી,સરેરાશ ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E_{avg} \propto T)$.
આપેલ તાપમાન $T_A = 350 \ K$ અને $T_B = 420 \ K$ છે.
વાયુ $B$ અને વાયુ $A$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_B}{E_A} = \frac{T_B}{T_A}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{E_B}{E_A} = \frac{420}{350} = \frac{42}{35} = \frac{6}{5}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $6: 5$ છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલો પર લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણને $P = \frac{nRT}{V}$ મળે છે.
બંધ પાત્ર માટે $n$,$R$ અને $V$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $P \propto T$.
દીવાલો પર લાગતું બળ $F = P \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દીવાલનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંધ પાત્ર માટે $A$ અચળ હોવાથી,$F \propto P$.
તેથી,$F \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $F \propto T^{1}$.
આને $T^{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K \propto T$.
આપેલ છે કે,$T_1 = 399^{\circ} C = (399 + 273) K = 672 K$ તાપમાને,ગતિઊર્જા $E_1 = E$ છે.
આપણે તે તાપમાન $T_2$ શોધવાનું છે કે જ્યાં ગતિઊર્જા $E_2 = E/2$ થાય.
પ્રમાણસરતા $E_1 / E_2 = T_1 / T_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E / (E/2) = 672 / T_2$
$2 = 672 / T_2$
$T_2 = 672 / 2 = 336 K$.
આને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T_2(^{\circ} C) = 336 - 273 = 63^{\circ} C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,સરેરાશ ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તાપીય સંતુલનમાં રહેલા વાયુના તમામ અણુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,સરેરાશ ગતિ ઉર્જા તમામ અણુઓ માટે સમાન રહે છે.
વેગ,વેગમાન અને કોણીય વેગમાન જેવી અન્ય રાશિઓ અથડામણો અને મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન ઝડપ વિતરણને કારણે અણુએ અણુએ બદલાતી રહે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ (કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જેનું સૂત્ર: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = $E$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$.
કારણ કે $K_{avg} \propto T$,તેથી:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{T_2}{T_1}$
$\frac{K_2}{E} = \frac{600 \ K}{300 \ K}$
$\frac{K_2}{E} = 2$
$K_2 = 2 E$.
તેથી,અંતિમ સરેરાશ ગતિઊર્જા $2 E$ થશે.

(B) $1$. આપેલ છે: દબાણ $P = 10^5 \text{ N m}^{-2}$,ઘનતા $\rho = 5 \text{ kg m}^{-3}$,કુલ દળ $M_{total} = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$.
$2$. વાયુ દ્વારા રોકાયેલ કદ $V = \frac{M_{total}}{\rho} = \frac{0.5}{5} = 0.1 \text{ m}^3$.
$3$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$nRT = PV = 10^5 \times 0.1 = 10^4 \text{ J}$.
$4$. દ્રઢ રોટેટર તરીકે વર્તતા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય).
$5$. એક મોલ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6$. $f = 5$ હોવાથી,$U = \frac{5}{2} RT$.
$7$. $PV = nRT$ પરથી,$RT = \frac{PV}{n}$.
$8$. અહીં કુલ ઉર્જા $\frac{5}{2} PV = 2.5 \times 10^4 \text{ J}$ મળે છે,જે આપેલ વિકલ્પો સાથે સુસંગત છે.

(B) r.m.s. વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે,$v_{H_2} = 4 \times v_{O_2}$.
ઓક્સિજનનું તાપમાન $T_{O_2} = 47 + 273 = 320 \ K$.
હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ અને ઓક્સિજનનું $M_{O_2} = 32 \ g/mol$.
સંબંધ $\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = 4 \times \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = 16 \times \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{H_2}}{2} = 16 \times \frac{320}{32}$.
$\frac{T_{H_2}}{2} = 16 \times 10 = 160$.
$T_{H_2} = 320 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = 320 - 273 = 47^{\circ} C$.

(C) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ (r.m.s. velocity) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
જેમ કે $v_{rms}$ ફક્ત તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે (ધારી લઈએ કે વાયુનું બંધારણ $M$ અચળ રહે છે),જો $T$ અચળ હોય,તો $v_{rms}$ પણ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,જ્યારે વાયુનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના અણુઓનો r.m.s. વેગ સમાન રહે છે.

(B) આદર્શ વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ ($R$.$M$.$S$. velocity) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 100 \ K$ તાપમાને $R$.$M$.$S$. વેગ $v_1 = x$ છે અને $T_2 = 400 \ K$ તાપમાને $R$.$M$.$S$. વેગ $v_2$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 2x$.

(B) વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 200 \ K$ તાપમાને $r.m.s.$ ઝડપ $v_1$ છે અને $T_2 = 800 \ K$ તાપમાને $r.m.s.$ ઝડપ $v_2$ છે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$v_2 = 2v_1$.
આનો અર્થ એ છે કે $800 \ K$ તાપમાને $r.m.s.$ ઝડપ એ $200 \ K$ તાપમાનની કિંમત કરતા બમણી હશે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપ એટલે વ્યક્તિગત ઝડપોના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ.
સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2 + v_6^2}{N}}$
આપેલી ઝડપ: $2, 5, 3, 6, 3, 5 \,m/s$.
અણુઓની સંખ્યા $N = 6$.
વર્ગોનો સરવાળો: $2^2 + 5^2 + 3^2 + 6^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 25 + 9 + 36 + 9 + 25 = 108$.
વર્ગોની સરેરાશ: $\frac{108}{6} = 18$.
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24 \,m/s$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{3}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$PV = \frac{2}{3} K$. વિકલ્પ $A$ અને $D$ ખોટા છે.
r.m.s. ઝડપ માટે,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
વિકલ્પ $B$ માં: $T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$ અને $T_2 = 527 + 273 = 800 \ K$. ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$. આમ,r.m.s. ઝડપ બમણી થાય છે. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
વિકલ્પ $C$ માં: $T_1 = -100 + 273 = 173 \ K$ અને $T_2 = 627 + 273 = 900 \ K$. ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{900}{173}} \neq 4$. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(B) આદર્શ વાયુનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 100 \ K$ તાપમાને વેગ $v_1$ છે અને $T_2 = 400 \ K$ તાપમાને વેગ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_1 = x$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 2x$.

(C) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે ઓક્સિજન $(O_2)$ અને હિલિયમ $(He)$ ની r.m.s. ઝડપ સમાન છે,તેથી:
$\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$
અહીં $T_{He} = 57^{\circ} C = 57 + 273 = 330 \ K$,$M_{O_2} = 32$,અને $M_{He} = 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{330}{4}$
$T_{O_2} = \frac{330 \times 32}{4} = 330 \times 8 = 2640 \ K$.

(C) આદર્શ વાયુના રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 100 \ K$ તાપમાને r.m.s. વેગ $v_1$ છે અને $T_2 = 400 \ K$ તાપમાને r.m.s. વેગ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_1 = x$.
પ્રમાણસરતા $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 2x$.

(A) $T$ આવર્તકાળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા પદાર્થનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a_c = \omega^2 r$,જ્યાં $\omega = 2\pi / T$ એ કોણીય વેગ છે.
બંને પદાર્થો માટે આવર્તકાળ $T$ સમાન હોવાથી,તેમનો કોણીય વેગ $\omega$ પણ સમાન રહેશે.
$10 \ kg$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રથમ પદાર્થ માટે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_1 = \omega^2 R$ છે.
$5 \ kg$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા પદાર્થ માટે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_2 = \omega^2 r$ છે.
તેમના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $a_1 / a_2 = (\omega^2 R) / (\omega^2 r) = R / r$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સ્થિર લિફ્ટમાં,માણસનું વજન $w_1 = mg$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનું આભાસી વજન $w_2 = m(g - a)$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $w_1/w_2 = 4/3$ માં કિંમતો મૂકતા:
$mg / [m(g - a)] = 4/3$.
$g / (g - a) = 4/3$.
$3g = 4(g - a)$.
$3g = 4g - 4a$.
$4a = 4g - 3g$.
$4a = g$.
તેથી,$a = g/4$.

(B) દળ '$M$' સ્થિર રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલ તણાવ '$T$' તેના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $T = Mg$.
આ તણાવ '$T$','$L$' ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા દળ 'm' માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T = m \omega^2 L$.
તણાવ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $Mg = m \omega^2 L$.
કોણીય વેગ '$\omega$' માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{Mg}{mL} \implies \omega = \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.
કોણીય વેગ '$\omega = 2 \pi f$' હોવાથી,જ્યાં 'f' એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે:
$2 \pi f = \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.
તેથી,આવૃત્તિ 'f' થશે: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.

(B) '$Q$' બિંદુ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. '$PQ$' દોરીમાં તણાવ '$T$' જે શિરોલંબ સાથે '$\theta$' ખૂણે લાગે છે.
$2$. જમણી તરફ લાગતું આડું બળ '$F$'.
$3$. '$M$' દળને આધાર આપતી શિરોલંબ દોરીમાં તણાવ '$T_2$',જે '$Mg$' જેટલું છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,આડા અને શિરોલંબ બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
'$T$' ના ઘટકો પાડતા:
આડો ઘટક: $T \sin \theta = F$
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta = Mg$
આડા ઘટકના સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે:
$T = \frac{F}{\sin \theta}$
તેથી,'$PQ$' દોરીમાં તણાવ $\frac{F}{\sin \theta}$ છે.

(C) વર્ક ફંક્શન $W_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ સાથે $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $W_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_0 \propto \frac{1}{W_0}$.
સોડિયમ $(W_1 = 2.3 \ eV)$ અને કોપર $(W_2 = 4.5 \ eV)$ માટે આપેલા વર્ક ફંક્શન મુજબ,તેમની થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{W_2}{W_1} = \frac{4.5 \ eV}{2.3 \ eV} \approx \frac{4.6}{2.3} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ નું સૂત્ર $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અનુનાદિત આવૃત્તિ માત્ર સર્કિટના ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને કેપેસિટન્સ $C$ પર આધાર રાખે છે.
અવરોધ $R$ અનુનાદિત આવૃત્તિના સૂત્રમાં આવતો નથી.
તેથી,અવરોધ $R$ ને તેના મૂળ મૂલ્યના $1/3$ ગણો કરવાથી સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ પર કોઈ અસર થશે નહીં.
આમ,અનુનાદિત આવૃત્તિ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ મહત્તમ થવા માટે,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવો જોઈએ. અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે: $X_L = X_C$,એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે કે $f = 50 \ Hz$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$.
અનુનાદની શરત મુજબ $C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(100 \pi)^2 \times 2.5} = \frac{1}{10000 \times 10 \times 2.5} = \frac{1}{250000} \ F$.
$C = 4 \times 10^{-6} \ F = 4 \ \mu F$.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે,તેથી $Z = R = 11.5 \ \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max} = \frac{V_0}{Z} = \frac{230}{11.5} = 20 \ A$.
આમ,$C$ નું મૂલ્ય $4 \ \mu F$ અને મહત્તમ પ્રવાહ $20 \ A$ છે.

(B) આપેલ $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 100 \ V$ છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = 100 \ V$ છે.
અહીં $V_L = V_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર પરનો કુલ વોલ્ટેજ શૂન્ય થાય છે $(V_L - V_C = 0)$.
તેથી,સ્ત્રોતનો સંપૂર્ણ વોલ્ટેજ $V$ એ અવરોધ $R$ પર જોવા મળે છે.
આપેલ છે કે $V = 300 \ V$ અને $R = 50 \ \Omega$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{300 \ V}{50 \ \Omega} = 6 \ A$.
આમ,એમીટરનું અવલોકન $6 \ A$ છે.

(C) $LC$ પરિપથમાં,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t) = q_0 \cos(\omega t)$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
$t=0$ સમયે,ઉર્જા મહત્તમ છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતભાર મહત્તમ $(q = q_0)$ છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $i(t) = -\frac{dq}{dt} = q_0 \omega \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય ત્યારે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે,જે $\omega t = \frac{\pi}{2}$ પર થાય છે,અથવા $t = \frac{\pi}{2\omega}$.
આપેલ છે કે $L = 16 \text{ mH} = 16 \times 10^{-3} \text{ H}$ અને $C = 10 \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-3} \times 10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 0.25 \times 10^4 = 2500 \text{ rad/s}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$t = \frac{\pi}{2 \times 2500} = \frac{\pi}{5000} = \pi \times 2 \times 10^{-4} \text{ s} = 2 \pi \times 10^{-4} \text{ s}$.

(D) રેઝોનન્સ સમયે,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = V_R / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $V_R = 200 \ V$ અને $R = 800 \ \Omega$,તેથી $I = 200 / 800 = 0.25 \ A$.
રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $X_C = 1 / (\omega C)$.
આપેલ છે કે $\omega = 250 \ rad/s$ અને $C = 2 \times 10^{-6} \ F$,તેથી $X_C = 1 / (250 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (500 \times 10^{-6}) = 10^6 / 500 = 2000 \ \Omega$.
રેઝોનન્સ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી,$X_L = 2000 \ \Omega$.
ઇન્ડક્ટન્સ પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I \times X_L$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_L = 0.25 \times 2000 = 500 \ V$.

(C) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|X_L - X_C| = R$,તેથી ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.
પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{R\sqrt{2}}$ છે.
કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = I_0 X_C$ છે.
કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો આર.એમ.એસ. (r.m.s.) સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{C,rms} = I_{rms} X_C$ છે.
અહીં $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{V_0}{R\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{V_0}{2R}$ હોવાથી:
$V_{C,rms} = \frac{V_0}{2R} \cdot \frac{1}{\omega C} = \frac{V_0}{2R\omega C}$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ મહત્તમ થાય તે માટે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવો જોઈએ.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે: $X_L = X_C$.
અહીં $L = 2.5 \ H$ અને $f = 50 \ Hz$ આપેલ છે,તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L = 2 \pi (50) (2.5) = 250 \pi \ \Omega$.
$\pi^2 = 10$ લેતા,$X_L = 250 \times \sqrt{10} \approx 790.5 \ \Omega$.
અનુનાદની શરત મુજબ,$\frac{1}{2 \pi f C} = 2 \pi f L$.
તેથી,$C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L} = \frac{1}{4 \times 10 \times (50)^2 \times 2.5} = \frac{1}{40 \times 2500 \times 2.5} = \frac{1}{250000} = 4 \times 10^{-6} \ F = 4 \ \mu F$.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 11.5 \ \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max} = \frac{V_{peak}}{Z} = \frac{230}{11.5} = 20 \ A$.
આમ,$C$ અને મહત્તમ પ્રવાહના મૂલ્યો અનુક્રમે $4 \ \mu F$ અને $20 \ A$ છે.

(B) $LR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LCR$ સર્કિટ બની જાય છે.
$LCR$ સર્કિટનો નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
જો સર્કિટ શરૂઆતમાં ઇન્ડક્ટિવ હોય $(X_L > X_C)$,તો કેપેસિટર ઉમેરવાથી $X_C$ દાખલ થાય છે,જે $X_L$ ની અસરને આંશિક રીતે ઘટાડે છે,જેનાથી કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ ઘટે છે.
કારણ કે કરંટ $I = \frac{V}{Z}$ છે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ માં ઘટાડો થવાથી સર્કિટમાં વહેતા કરંટ $I$ માં વધારો થાય છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,બે ઇન્ડક્ટર $L$ અને $2L$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેથી,સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L_{eq} = L + 2L = 3L$
બે કેપેસિટર $C$ અને $2C$ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{eq} = C + 2C = 3C$
$L-C$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{eq} C_{eq}}}$
સૂત્રમાં $L_{eq}$ અને $C_{eq}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(3C)}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{9LC}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \cdot 3 \sqrt{LC}}$
$f = \frac{1}{6 \pi \sqrt{LC}}$

(B) કેપેસીટર પરનો તત્કાલીન વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = CE = CE_0 \sin \omega t$ છે.
તત્કાલીન પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે: $I = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} (CE_0 \sin \omega t)$.
$I = CE_0 \omega \cos \omega t$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = E_0 \omega C \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$.

(D) $LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
અહીં,$R$ એ અવરોધ છે અને $X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ને $X_L = \omega L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $X_L = 2 \pi f L$ મળે છે.
હવે,ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં $X_L$ ની કિંમત મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi f L)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + 4 \pi^2 f^2 L^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{0.3}{\pi} \ H$,અવરોધ $R = 40 \ \Omega$,વોલ્ટેજ $V = 230 \ V$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L$ ની ગણતરી કરો.
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{0.3}{\pi} = 100 \times 0.3 = 30 \ \Omega$.
$LR$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા મળે છે.
$Z = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ \Omega$.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા મળે છે.
$I = \frac{230}{50} = 4.6 \ A$.
આમ,ઈમ્પિડન્સ $50 \ \Omega$ છે અને પ્રવાહ $4.6 \ A$ છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, અનુનાદ (resonance) સમયે સર્કિટમાંથી મહત્તમ પ્રવાહ વહે છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે, જ્યાં $V_C = I_{max} X_C$.
અનુનાદ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી, $U_L = U_C$ થાય છે, તેથી ગુણોત્તર $1:1$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો પ્રશ્નની શરતો સાથે મેળ ખાતા નથી.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલો હોય છે.
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
આપેલ છે: $L = \frac{2}{\pi^2} \text{ H}$,$f = 50 \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$100\pi \times \frac{2}{\pi^2} = \frac{1}{100\pi \times C}$
$\frac{200}{\pi} = \frac{1}{100\pi \times C}$
$C = \frac{1}{100\pi \times (200/\pi)} = \frac{1}{20000} \text{ F}$
$C = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu \text{F}$.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,$L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા બે ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L} \implies L_{eq} = \frac{L}{2}$
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર શ્રેણી જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_{eq} = \frac{C}{2}$
$LC$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{eq} C_{eq}}}$
$L_{eq}$ અને $C_{eq}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(\frac{L}{2}) (\frac{C}{2})}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{LC}{4}}} = \frac{1}{2 \pi \frac{\sqrt{LC}}{2}} = \frac{1}{\pi \sqrt{LC}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય,ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે $L = \frac{4}{\pi^2} \text{ H}$ અને $f = 50 \text{ Hz}$.
$X_L = 2\pi f L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{4}{\pi^2} = \frac{400}{\pi} \Omega$.
$X_L = X_C$ હોવાથી,$\frac{1}{2\pi f C} = \frac{400}{\pi}$.
$f = 50 \text{ Hz}$ મૂકતા: $\frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times C} = \frac{400}{\pi} \implies \frac{1}{100 \pi C} = \frac{400}{\pi} \implies C = \frac{1}{40000} = 2.5 \times 10^{-5} \text{ F}$.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 100 \Omega$.
વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \text{ W}$.
આમ,કેપેસિટન્સ $2.5 \times 10^{-5} \text{ F}$ અને વ્યય થતો પાવર $400 \text{ W}$ છે.

(A) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્સ કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C$ છે. પ્રારંભિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 2L$ અને નવું કેપેસિટન્સ $C' = 4C$ છે.
નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega'$ આ મુજબ મળે: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(4C)}} = \frac{1}{\sqrt{8LC}}$.
આને આ રીતે સાદું રૂપ આપી શકાય: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{8} \sqrt{LC}} = \frac{1}{2\sqrt{2} \sqrt{LC}}$.
કારણ કે $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,તેથી $\omega'$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\omega' = \frac{\omega}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{100}{\pi} \text{ mH} = \frac{0.1}{\pi} \text{ H}$,કેપેસિટન્સ $C = \frac{10^{-3}}{2\pi} \text{ F}$,અવરોધ $R = 10 \Omega$,આવૃત્તિ $f = 50 \text{ Hz}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \frac{0.1}{\pi} = 100 \times 0.1 = 10 \Omega$ શોધો.
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{2\pi}} = \frac{1}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{50} = 20 \Omega$ શોધો.
ફેઝ એંગલ $\phi$ નો ટેન્જન્ટ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{10 - 20}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
ફેઝ એંગલના ટેન્જન્ટનું મૂલ્ય $|\tan \phi| = 1$ થાય છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,લાગુ પાડવામાં આવેલ અલ્ટરનેટિંગ e.m.f. $(E)$ એ ઇન્ડક્ટર $(V_L)$,કેપેસિટર $(V_C)$ અને રજિસ્ટર $(V_R)$ પરના વ્યક્તિગત પોટેન્શિયલ ડ્રોપના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ e.m.f. માટેનું સૂત્ર છે:
$E = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી આપેલ મૂલ્યો:
$V_L = 20 \ V$
$V_C = 50 \ V$
$V_R = 40 \ V$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \sqrt{40^2 + (20 - 50)^2}$
$E = \sqrt{1600 + (-30)^2}$
$E = \sqrt{1600 + 900}$
$E = \sqrt{2500}$
$E = 50 \ V$
તેથી,અલ્ટરનેટિંગ e.m.f. નું મૂલ્ય $50 \ V$ છે.

(B) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને કેપેસિટન્સ $C$ છે. તેથી,$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 4L$ અને નવું કેપેસિટન્સ $C' = 8C$ છે.
નવી રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિ $\omega'$ નીચે મુજબ મળે: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(4L)(8C)}} = \frac{1}{\sqrt{32LC}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\omega' = \frac{1}{\sqrt{16 \times 2 \times LC}} = \frac{1}{4 \sqrt{2} \sqrt{LC}}$.
કારણ કે $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ,જેથી $\omega' = \frac{\omega}{4 \sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) પ્રવાહનું તત્કાલીન મૂલ્ય $I = 3 \sin \left(50 \pi t + \frac{\pi}{4}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ મહત્તમ હોવા માટે,સાઈન વિધેયનું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે સાઈન વિધેયનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$50 \pi t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
બંને બાજુથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા,આપણને $50 \pi t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
$50 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $t = \frac{\pi}{4 \times 50 \pi} = \frac{1}{200} \text{ s}$ મળે છે.

(A) આપેલ ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $E_0 = 100 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 50 \text{ rad/s}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વોલ્ટેજ $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \text{ V}$ થાય.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ છે.
એમીટર rms પ્રવાહ $I_{\text{rms}}$ માપે છે, જે $I_{\text{rms}} = \frac{E_{\text{rms}}}{X_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $I_{\text{rms}} = \frac{100}{10^4} = 10^{-2} \text{ A} = 10 \text{ mA}$ મળે.
આમ, એમીટરનું રીડિંગ $10 \text{ mA}$ છે.

(C) આપેલ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \sqrt{3} R$ છે.
$L-R$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_L = \sqrt{3} R$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$ મળે છે.
સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{E_0}{2R}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = I_{rms}^2 R = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right)^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_0 = \frac{E_0}{2R}$ મૂકતા,આપણને $P = \frac{1}{2} \left(\frac{E_0}{2R}\right)^2 R = \frac{1}{2} \cdot \frac{E_0^2}{4R^2} \cdot R = \frac{E_0^2}{8R}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: અવરોધ $R = 450 \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1.5 \text{ H}$,આવૃત્તિ $f = \frac{150}{\pi} \text{ Hz}$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L = 2\pi f L$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \pi \times \left(\frac{150}{\pi}\right) \times 1.5 = 2 \times 150 \times 1.5 = 300 \times 1.5 = 450 \Omega$.
$RL$ સર્કિટમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{450}{450} = 1$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(1)$.

(D) આપેલ છે: અવરોધ $R = 200 \ \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{1}{2 \pi} \ H$,આવૃત્તિ $f = 100 \ Hz$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \pi \times 100 \times \frac{1}{2 \pi} = 100 \ \Omega$.
$RL$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{100}{200} = \frac{1}{2} = 0.5$.
તેથી,કળા તફાવત $\phi = \tan^{-1}(0.5)$ થશે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
અહીં $X_L = 3R$ અને $X_C = R$ આપેલ છે,તેથી કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 3R - R = 2R$ થાય.
પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{R^2 + 4R^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} \cdot R\sqrt{5}} = \frac{E_0}{R\sqrt{10}}$ છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{R\sqrt{10}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{E_0^2}{R \sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{E_0^2}{R \sqrt{100}} = \frac{E_0^2}{10R}$.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વપરાતો સાચો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
વળી,$r.m.s.$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ દ્વારા મળે છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = V_{rms} \cdot \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 \cdot R}{Z^2}$.
આપેલ કિંમતો: $V_{rms} = 220 \ V$,$R = 18 \ \Omega$,$Z = 33 \ \Omega$.
$P = \frac{220^2 \cdot 18}{33^2} = \frac{48400 \cdot 18}{1089}$.
$P = \frac{871200}{1089} = 800 \ W$.
તેથી,વપરાતો સાચો પાવર $800 \ W$ છે.

(B) આપેલ કિંમતો છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{1}{\pi} \ H$,અવરોધ $R = 300 \ \Omega$,આવૃત્તિ $f = 200 \ Hz$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L$ ની ગણતરી કરો.
$X_L = 2 \times \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \ \Omega$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.

(C) કોઈલનું ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે.
$A.C.$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $f$ શૂન્ય નથી,તેથી રિએક્ટન્સ $X_{AC} = 2\pi f L$ થાય.
$D.C.$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે,તેથી રિએક્ટન્સ $X_{DC} = 2\pi (0) L = 0$ થાય.
$A.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ રિએક્ટન્સ અને $D.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{X_{AC}}{X_{DC}} = \frac{2\pi f L}{0} = \infty$ થાય.
તેથી,સાચો ગુણોત્તર $\infty$ છે.

(C) અલ્ટરનેટિંગ e.m.f. માટેનું આપેલ સમીકરણ $e = e_0 \sin \omega t$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $e = e_0/2$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $e_0/2 = e_0 \sin \omega t$.
આથી $\sin \omega t = 1/2$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = 1/2$ અને $30^{\circ} = \pi/6$ રેડિયન છે,તેથી $\omega t = \pi/6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi/T$,જ્યાં $T$ એ સમયગાળો છે.
$\omega$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(2\pi/T) \cdot t = \pi/6$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = (\pi/6) \cdot (T/2\pi) = T/12$.
આમ,લાગતો સમય $T/12$ છે.

(B) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ એ લાગુ પડેલા $e.m.f.$ (વોલ્ટેજ) કરતા $90^{\circ}$ અથવા $\pi/2$ રેડિયન જેટલો પાછળ હોય છે.
જો વોલ્ટેજને $e_L = E_0 \sin(\omega t)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો પ્રવાહ $i_L = I_0 \sin(\omega t - \pi/2)$ થાય છે.
ફેઝર આકૃતિઓમાં,આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ સદિશ $i_L$ એ વોલ્ટેજ સદિશ $e_L$ થી $90^{\circ}$ ઘડિયાળની દિશામાં છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા:
આકૃતિ $(A)$ તેમને વિરુદ્ધ દિશામાં $(180^{\circ})$ દર્શાવે છે.
આકૃતિ $(B)$ માં $i_L$ એ $e_L$ થી $90^{\circ}$ પાછળ (ઘડિયાળની દિશામાં) દર્શાવેલ છે.
આકૃતિ $(C)$ તેમને સમાન કળામાં $(0^{\circ})$ દર્શાવે છે.
આકૃતિ $(D)$ માં $i_L$ એ $e_L$ થી $90^{\circ}$ આગળ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) દર્શાવેલ છે.
તેથી,આકૃતિ $(B)$ સાચો કળા સંબંધ દર્શાવે છે.

(D) માત્ર ઇન્ડક્ટર ધરાવતા $A.C.$ પરિપથમાં, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $I = V / X_L = V / (2\pi fL)$ છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે, તેમ $X_L$ વધે છે, તેથી પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
માત્ર કેપેસિટર ધરાવતા $A.C.$ પરિપથમાં, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (2\pi fC)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $I = V / X_C = V \cdot (2\pi fC)$ છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે, તેમ $X_C$ ઘટે છે, તેથી પ્રવાહ $I$ વધે છે.
તેથી, પ્રથમ પરિપથમાં પ્રવાહ ઘટશે અને બીજા પરિપથમાં પ્રવાહ વધશે.

(C) જ્યારે $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરને $V = V_m \sin(\omega t)$ જેટલો $A.C.$ વોલ્ટેજ લાગુ પાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતું ઇન્ડ્યુસ્ડ $EMF$ $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ મુજબ,$V - L \frac{di}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $V = L \frac{di}{dt}$.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,$V_m \sin(\omega t) = L \frac{di}{dt}$,તેથી $di = \frac{V_m}{L} \sin(\omega t) dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$i = \int \frac{V_m}{L} \sin(\omega t) dt = -\frac{V_m}{\omega L} \cos(\omega t) = \frac{V_m}{\omega L} \sin(\omega t - \pi / 2)$.
વોલ્ટેજ $(\omega t)$ અને પ્રવાહ $(\omega t - \pi / 2)$ ના ફેઝની સરખામણી કરતા,તે સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi / 2$ રેડિયનના ફેઝ એંગલ જેટલો પાછળ છે.

(C) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ નું સૂત્ર $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે $(f' = 2f)$ અને કેપેસિટન્સ $C$ બમણું કરવામાં આવે $(C' = 2C)$,ત્યારે નવો રિએક્ટન્સ $X_{C}'$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{C}' = \frac{1}{2 \pi f' C'} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)}$.
$X_{C}' = \frac{1}{4 (2 \pi f C)} = \frac{1}{4} X_{C}$.
તેથી,નવો રિએક્ટન્સ $\frac{X_{C}}{4}$ થશે.

(A) $L-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
અહીં આપેલ છે કે ફેઝ એંગલ $\phi = 45^{\circ}$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $1 = \frac{X_L}{R}$.
તેથી,$X_L = R$.
આમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું મૂલ્ય અવરોધ $R$ જેટલું થાય છે.

(D) $A.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં:
$1$. શુદ્ધ અવરોધ $(R)$ માં, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ હંમેશા સમાન કળામાં હોય છે.
$2$. શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર $(L)$ માં, વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ ($\pi/2$ રેડિયન) જેટલો આગળ હોય છે, એટલે કે તેઓ સમાન કળામાં હોતા નથી.
$3$. શુદ્ધ કેપેસિટર $(C)$ માં, પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ ($\pi/2$ રેડિયન) જેટલો આગળ હોય છે, એટલે કે તેઓ સમાન કળામાં હોતા નથી.
તેથી, ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ બંનેમાં, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ એકબીજા સાથે કળામાં હોતા નથી. આમ, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સાચો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $rms$ પ્રવાહ $I_{rms}$ શોધો: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{210 \ V}{30 \ \Omega} = 7 \ A$.
ત્યારબાદ,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{18 \ \Omega}{30 \ \Omega} = 0.6$ ગણો.
હવે,આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકો: $P = 210 \ V \times 7 \ A \times 0.6$.
$P = 1470 \times 0.6 = 882 \ W$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,વપરાતો સાચો પાવર આશરે $900 \ W$ છે.

(D) $LR$ શ્રેણી સર્કિટમાં, પ્રવાહ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
આપેલ છે: અવરોધ $R = 12 \ \Omega$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 5 \ \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{5}{12}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.
આને $\sin$ અથવા $\cos$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે, આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેમાં સામેની બાજુ $5$ અને પાસેની બાજુ $12$ છે. કર્ણ $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
તેથી, $\sin \phi = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{5}{13}$, જેનો અર્થ છે કે $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$.
વધુમાં, $\cos \phi = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{12}{13}$, જેનો અર્થ છે કે $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચો વિકલ્પ $\cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ છે.

(B) $LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ સર્કિટનું ઇમ્પિડન્સ છે.
આપેલ છે:
અવરોધ $R = 80 \ \Omega$
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 70 \ \Omega$
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 130 \ \Omega$
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનું ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{80^2 + (70 - 130)^2}$
$Z = \sqrt{80^2 + (-60)^2}$
$Z = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$.
હવે,પાવર ફેક્ટર $x = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$.

(C) $LR$ પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_L = 3R$,તેથી પાવર ફેક્ટર $X_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (3R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 9R^2}} = \frac{R}{\sqrt{10R^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
જ્યારે $X_C = R$ ધરાવતો કેપેસિટર શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LCR$ પરિપથ બને છે.
$LCR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અહીં $X_L = 3R$ અને $X_C = R$ હોવાથી,$X_L - X_C = 3R - R = 2R$.
તેથી,$Z' = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{R^2 + 4R^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$.
નવો પાવર ફેક્ટર $X_2 = \frac{R}{Z'} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$X_1 : X_2$ નો ગુણોત્તર $\frac{X_1}{X_2} = \frac{1/\sqrt{10}}{1/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.

(D) $R-L-C$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $R-C$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ છે. તેથી,$X_C = \sqrt{3}R$.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $R-L$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ છે. તેથી,$X_L = \sqrt{3}R$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે અને કળા તફાવત $\phi = 0$ થાય છે.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 0 = 1$ થાય છે.

(C) $L-R$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{\pi}{6}$.
ફેઝ એંગલ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{X_L}{R} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$R = 50 \ \Omega$ મૂકતા,આપણને $X_L = \frac{50}{\sqrt{3}} \ \Omega$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = 2 \pi f L$. $f = 50 \ Hz$ આપેલ હોવાથી,$\frac{50}{\sqrt{3}} = 2 \pi (50) L$.
$L$ માટે ઉકેલતા: $L = \frac{50}{\sqrt{3} \times 100 \pi} = \frac{1}{2 \sqrt{3} \pi} \ H$.

(D) પરિપથમાં આભાસી પાવર $P_{app} = V_{rms} I_{rms} = I_{rms}^2 Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
a.c. પરિપથમાં સાચો પાવર (અથવા સરેરાશ પાવર) $P_{true} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = I_{rms}^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આભાસી પાવર અને સાચા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{app}}{P_{true}} = \frac{I_{rms}^2 Z}{I_{rms}^2 R} = \frac{Z}{R}$ થાય છે.
કારણ કે $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,તેથી $\frac{Z}{R} = \frac{1}{\cos \phi} = \sec \phi$ મળે છે.

(B) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ ઈમ્પિડન્સ છે。
આપેલ છે કે અવરોધ $R$ અચળ રહે છે, તેથી $R = Z_1 \cos \phi_1 = Z_2 \cos \phi_2$ થાય。
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $Z_1(0.5) = Z_2(0.25)$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $Z_1 = \frac{0.25}{0.5} Z_2$ મળે。
તેથી, $Z_1 = 0.5 Z_2$.
$Z_1 = x Z_2$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 0.5$ મળે છે。

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} = \frac{X_C}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $X_C = \sqrt{3}R$.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RL$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} = \frac{X_L}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = \sqrt{3}R$.
મૂળ $LCR$ પરિપથમાં,$X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
તેથી પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે.

(B) $CR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ છે.
આપેલ છે કે $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R}{Z} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $R = X_{C1} = \frac{1}{2\pi f_1 C}$ થાય.
જ્યારે આવૃત્તિ અડધી કરવામાં આવે છે,ત્યારે $f_2 = \frac{f_1}{2}$ થાય છે.
નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_{C2} = \frac{1}{2\pi f_2 C} = \frac{1}{2\pi (f_1/2) C} = 2 X_{C1} = 2R$ થાય છે.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_{C2}^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય છે.

(D) $A.C.$ પરિપથમાં સાચો પાવર $P_{\text{true}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
$A.C.$ પરિપથમાં આભાસી પાવર $P_{\text{apparent}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાચા પાવર અને આભાસી પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{\text{true}}}{P_{\text{apparent}}} = \frac{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi}{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}} = \cos \phi$ થાય.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ ને અવરોધ અને ઈમ્પીડન્સના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
તેથી,સાચા પાવર અને આભાસી પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{R}{Z}$ થાય છે.

(C) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો હોય છે.
આપેલ પાવર $P = 4.4 \ kW = 4400 \ W$.
ગૌણ વોલ્ટેજ $V_s = 3.3 \ kV = 3300 \ V$.
કારણ કે $P = V_s \times I_s$,જ્યાં $I_s$ એ ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રવાહ છે,તેથી:
$I_s = \frac{P}{V_s} = \frac{4400 \ W}{3300 \ V} = \frac{44}{33} \ A = \frac{4}{3} \ A$.
આમ,ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રવાહ $\frac{4}{3} \ A$ છે.

(C) પ્રાયમરી કોઈલમાં ઇનપુટ પાવર $P_{in} = V_p \times I_p = 220 \text{ V} \times 5 \text{ A} = 1100 \text{ W}$ છે.
આપેલ છે કે $50 \%$ પાવરનો વ્યય થાય છે, તેથી સેકન્ડરી કોઈલમાં આઉટપુટ પાવર $P_{out} = 50 \% \text{ of } P_{in} = 0.5 \times 1100 \text{ W} = 550 \text{ W}$ થશે.
આઉટપુટ પાવરનું સૂત્ર $P_{out} = V_s \times I_s$ છે, જ્યાં $V_s = 2200 \text{ V}$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $550 \text{ W} = 2200 \text{ V} \times I_s$.
તેથી, $I_s = \frac{550}{2200} \text{ A} = 0.25 \text{ A}$.