MHT CET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $(ax^2 + by^2 + c)(x^2 - 5xy + 6y^2) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $ax^2 + by^2 + c = 0$ અથવા $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$.
બીજો ભાગ $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$ ને $(x - 2y)(x - 3y) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે.
જો $a = b$ હોય અને $c$ નું ચિહ્ન $a$ થી વિરુદ્ધ હોય,તો પ્રથમ ભાગ $ax^2 + ay^2 + c = 0$ એ $x^2 + y^2 = -c/a$ બને છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
તેથી,આ સમીકરણ બે સીધી રેખાઓ અને એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ રેખા $x-4y=1$ પર હોવાથી,$-g-4(-f)=1$ મળે,જે $-g+4f=1$ $\dots(i)$ થાય છે.
વર્તુળ બિંદુ $(3,7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3^2+7^2+2g(3)+2f(7)+c=0$,એટલે કે $6g+14f+c=-58$ $\dots(ii)$.
વર્તુળ બિંદુ $(5,5)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $5^2+5^2+2g(5)+2f(5)+c=0$,એટલે કે $10g+10f+c=-50$ $\dots(iii)$.
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$4g-4f=8$ મળે,એટલે કે $g-f=2$ $\dots(iv)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(iv)$ ઉકેલતા,$f=1$ અને $g=3$ મળે છે.
$g=3$ અને $f=1$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા,$c=-90$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x+2y-90=0$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1+4+2g-4f+c=0 \Rightarrow 2g-4f+c=-5$ $(i)$.
તે $(4, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $16+9+8g-6f+c=0 \Rightarrow 8g-6f+c=-25$ $(ii)$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(8g-6f+c) - (2g-4f+c) = -25 - (-5) \Rightarrow 6g-2f = -20$ $(iii)$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ એ $3x+2y=7$ પર છે,તેથી $3(-g)+2(-f)=7 \Rightarrow -3g-2f=7$ $(iv)$.
$(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા: $(6g-2f) - (-3g-2f) = -20 - 7$ $\Rightarrow 9g = -27$ $\Rightarrow g = -3$.
$g=-3$ ને $(iii)$ માં મુકતા: $6(-3)-2f = -20$ $\Rightarrow -18-2f = -20$ $\Rightarrow -2f = -2$ $\Rightarrow f = 1$.
$g=-3$ અને $f=1$ ને $(i)$ માં મુકતા: $2(-3)-4(1)+c = -5$ $\Rightarrow -6-4+c = -5$ $\Rightarrow c = 5$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+2y+5=0$ છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસો $3x - 4y - 7 = 0$ અને $2x - 3y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે અને બીજાને $4$ વડે ગુણતા: $9x - 12y = 21$ અને $8x - 12y = 20$.
બાદબાકી કરતા $x = 1$ મળે છે.
$x = 1$ ને $2x - 3y - 5 = 0$ માં મૂકતા $2(1) - 3y - 5 = 0$ મળે,તેથી $-3y = 3$,એટલે કે $y = -1$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 49\pi$ છે,તેથી $r^2 = 49$,એટલે કે $r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે અને બીજાને $2$ વડે ગુણતા: $6x - 9y = 15$ અને $6x - 8y = 14$.
બાદબાકી કરતા $y = -1$ મળે છે. $y = -1$ ને $2x - 3(-1) = 5$ માં મૂકતા $2x + 3 = 5$ મળે,તેથી $x = 1$.
કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 154$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} r^2 = 154$,તેથી $r^2 = 49$ અને $r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x-2y+9=0$.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2-6x+9) + (y^2-2y+1) = -9+9+1$.
$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1^2$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = 3 + 1 \cos \theta$ અને $y = 1 + 1 \sin \theta$.
તેથી,$x = 3 + \cos \theta$ અને $y = 1 + \sin \theta$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-ax-by=0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(x-\frac{a}{2})^2 + (y-\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$ છે.
વર્તુળના પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \cos \theta$ અને $y = \frac{b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \sin \theta$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $2x^2+2y^2-8x-12y-9=0$ સાથે સમકેન્દ્રી છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-4x-6y-4.5=0$ થાય છે.
તેથી,જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ સ્વરૂપમાં છે.
આ વર્તુળ $x^2+y^2+8x+10y-7=0$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$x^2+y^2+8x+10y-7=0$ નું કેન્દ્ર $(-4, -5)$ છે.
$(-4, -5)$ ને $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-4)^2+(-5)^2-4(-4)-6(-5)+k=0$
$16+25+16+30+k=0$
$87+k=0 \Rightarrow k=-87$.
તેથી,જરૂરી સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y-87=0$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
આપેલી રેખા $x+2y+3=0$ છે,જેને $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકો આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમનો ઢાળ પણ $m = -\frac{1}{2}$ થશે.
$m$ ઢાળ ધરાવતા $x^2+y^2=r^2$ વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}$ છે.
$m = -\frac{1}{2}$ અને $r = 2$ મૂકતા:
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{1 + (-\frac{1}{2})^2}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{1 + \frac{1}{4}}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{\frac{5}{4}}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{5}$
$2$ વડે ગુણતા:
$2y = -x \pm 2\sqrt{5}$
$x+2y = \pm 2\sqrt{5}$

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=25$ છે,તેથી કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(1,7)$ છે. અંતર $OP = \sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ધારો કે $T$ એ સ્પર્શબિંદુ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPT$ માં,$\sin(\angle OPT) = \frac{OT}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\angle OPT = 45^{\circ}$.
બંને સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \times \angle OPT = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ થાય.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 7$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, -5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = 10$ છે.
અહીં $C_1 C_2 = r_1 + r_2 = 10$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બાહ્ય રીતે સ્પર્શે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{i^{592}+i^{590}+i^{588}+i^{586}+i^{584}}{i^{582}+i^{580}+i^{578}+i^{576}+i^{574}}-1$
અંશમાંથી $i^{584}$ અને છેદમાંથી $i^{574}$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{i^{584}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}{i^{574}(i^8+i^6+i^4+i^2+1)}-1$
સમાન પદ $(i^8+i^6+i^4+i^2+1)$ ને ઉડાડતા:
$\frac{i^{584}}{i^{574}}-1 = i^{584-574}-1 = i^{10}-1$
કારણ કે $i^4 = 1$,તેથી $i^{10} = (i^4)^2 \times i^2 = 1^2 \times (-1) = -1$
તેથી,$-1 - 1 = -2$

(D) $-6-24i$ નો અનુબદ્ધ $-6+24i$ છે.
આપેલ છે કે $(x-iy)(3+5i) = -6+24i$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x + 5xi - 3yi - 5yi^2 = -6+24i$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $(3x+5y) + (5x-3y)i = -6+24i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$3x + 5y = -6$ (સમીકરણ $1$)
$5x - 3y = 24$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$9x + 15y = -18$
$25x - 15y = 120$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $34x = 102$,જે $x = 3$ આપે છે.
સમીકરણ $1$ માં $x=3$ મૂકતા: $3(3) + 5y = -6$ $\Rightarrow 9 + 5y = -6$ $\Rightarrow 5y = -15$ $\Rightarrow y = -3$.
આમ,$x=3$ અને $y=-3$.

(A) આપેલ છે કે $(x+iy)^{1/3} = a+ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે $x+iy = (a+ib)^3$.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા,$x+iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$x+iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $x+iy = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $x = a^3 - 3ab^2$ અને $y = 3a^2b - b^3$.
અનુક્રમે $a$ અને $b$ વડે ભાગતા: $\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ અને $\frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$.
તેથી,$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) - (3a^2 - b^2) = a^2 - 3b^2 - 3a^2 + b^2 = -2a^2 - 2b^2 = -2(a^2+b^2)$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે કે $|z| + z = 3 + i$.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને મળે $\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$y = 1$ અને $\sqrt{x^2 + y^2} + x = 3$.
બીજા સમીકરણમાં $y = 1$ મૂકતા:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + 1 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$.
$1 = 9 - 6x$ $\Rightarrow 6x = 8$ $\Rightarrow x = \frac{4}{3}$.
હવે,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$.

(C) આપેલ કાર્ટેઝિયન યામ $(x, y) = \left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}\right)$ છે.
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = 5$.
બિંદુ બીજા ચરણમાં હોવાથી $(x < 0, y > 0)$,ધ્રુવીય ખૂણો $\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$.
તેથી,ધ્રુવીય યામ $(r, \theta) = \left(5, \frac{5 \pi}{6}\right)$ છે.

(A) આપેલ છે $x = -2 - \sqrt{3} i$.
$x + 2 = -\sqrt{3} i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + 2)^2 = (-\sqrt{3} i)^2$.
$x^2 + 4x + 4 = 3i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$x^2 + 4x + 4 = -3$.
$x^2 + 4x + 7 = 0$.
હવે,$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41$ ને $x^2 + 4x + 7$ વડે ભાગતા:
$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41 = (x^2 + 4x + 7)(2x^2 - 3x + 5) + 6$.
$x^2 + 4x + 7 = 0$ મૂકતા:
$0 \times (2x^2 - 3x + 5) + 6 = 6$.

(A) પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
હવે,આને $100$ ઘાત સુધી લેતા: $(-i)^{100} = (-1)^{100} \times i^{100} = 1 \times (i^4)^{25} = 1 \times (1)^{25} = 1$.
આપેલ છે કે $a+ib = 1$,જેને $1+0i$ તરીકે લખી શકાય.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $a=1$ અને $b=0$ મળે છે.
આમ,$(a, b) = (1, 0)$.

(C) ધારો કે $z = \frac{2+3i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+2i \sin \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(2+3i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{(2 - 6 \sin^2 \theta) + i(7 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય તો તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય થાય:
$\operatorname{Re}(z) = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$2 - 6 \sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{3}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $arg(-z) = arg(-1 \times z)$.
$arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $arg(-z) = arg(-1) + arg(z)$ મળે છે.
કારણ કે $arg(-1) = \pi$,તેથી $arg(-z) = \pi + arg(z)$.
આમ,$arg(-z) - arg(z) = (\pi + arg(z)) - arg(z) = \pi$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1-i \sqrt{3}}{1+i \sqrt{3}}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1-i \sqrt{3})$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})}{(1+i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} + i^2(3)}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} - 3}{1 + 3} = \frac{-2 - 2i \sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ સંકર સંખ્યા $z = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,તેનો કોણાંક $\text{Arg}(z) = 180^{\circ} + \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (-2 \sqrt{3}, 2)$ છે.
પ્રથમ,માનાંક $r$ ની ગણતરી કરો:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2 \sqrt{3})^2 + (2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.
બિંદુ બીજા ચરણમાં હોવાથી $(x < 0, y > 0)$,કોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\theta = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{y}{x} \right| = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{2}{-2 \sqrt{3}} \right| = \pi - \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$.
આમ,ધ્રુવીય યામ $(r, \theta) = (4, \frac{5 \pi}{6})$ છે.

(A) આપેલ સંકર સંખ્યા ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં છે: $z = 4(\cos 300^{\circ} + i \sin 300^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
અને $\sin 300^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 60^{\circ}) = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$z = 4\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$z = 4 \times \frac{1}{2} - 4 \times i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z = 2 - 2\sqrt{3}i$.

(B) ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિ $\alpha^4 + \beta^{28} + \frac{1}{\alpha \beta}$ માં મૂકતા:
$= \omega^4 + (\omega^2)^{28} + \frac{1}{\omega \cdot \omega^2}$
$= \omega^4 + \omega^{56} + \frac{1}{\omega^3}$
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega$ અને $\omega^{56} = (\omega^3)^{18} \cdot \omega^2 = 1^{18} \cdot \omega^2 = \omega^2$.
તેથી,પદાવલિ $\omega + \omega^2 + \frac{1}{1} = \omega + \omega^2 + 1$ બને છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,જવાબ $0$ મળે છે.

(C) એકમના સંકર ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે. $\alpha$ અને $\beta$ એ સંકર ઘનમૂળ હોવાથી,$\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ લેતા.
આપેલ પદાવલિ: $\alpha^3 + \beta^3 + \alpha^{-2} \times \beta^{-2} = \alpha^3 + \beta^3 + \frac{1}{(\alpha \beta)^2}$.
અહીં $\alpha^3 = \omega^3 = 1$ અને $\beta^3 = (\omega^2)^3 = \omega^6 = 1$.
વળી,$\alpha \beta = \omega \times \omega^2 = \omega^3 = 1$.
કિંમતો મુકતા: $1 + 1 + \frac{1}{(1)^2} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(D) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=5$.
અહીં છેદ $x \rightarrow 1$ માટે $0$ થાય છે,તેથી અંશ પણ $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$1^2 - a(1) + b = 0 \Rightarrow b = a - 1$.
$L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x - a}{1} = 5$.
$2(1) - a = 5 \Rightarrow a = -3$.
હવે $b = a - 1 = -3 - 1 = -4$.
તેથી,$a + b = -3 + (-4) = -7$.

(B) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x}{|x|+x^2}$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ છીએ.
$LHL = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2x}{-x+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2}{-1+x} = \frac{2}{-1} = -2$.
$RHL = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2x}{x+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{1+x} = \frac{2}{1} = 2$.
કારણ કે $LHL \neq RHL$,તેથી લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(A) આપેલ છે $f(x) = 5 - |x - 2|$. $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $|x - 2| = 0$,તેથી $\alpha = 2$.
આપેલ છે $g(x) = |x + 1|$. $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $x + 1 = 0$,તેથી $\beta = -1$.
લક્ષ $x \rightarrow -\alpha \beta = - (2)(-1) = 2$ આગળ શોધવાનું છે.
આપણે $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x^2 - 5x + 6)}{(x^2 - 6x + 8)}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
અવયવો પાડતા: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ અને $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.
લક્ષમાં કિંમત મૂકતા: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 4)}$.
સામાન્ય અવયવ $(x - 2)$ દૂર કરતા: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 4}$.
લક્ષની કિંમત મેળવતા: $\frac{(2 - 1)(2 - 3)}{2 - 4} = \frac{(1)(-1)}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.

(D) લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^2+9}-n\right)$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પદને તેના અનુબદ્ધ $\left(\sqrt{n^2+9}+n\right)$ વડે ગુણી અને ભાગીને સંમેયીકરણ કરીએ છીએ.
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^2+9}-n\right) \times \frac{\sqrt{n^2+9}+n}{\sqrt{n^2+9}+n}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n^2+9-n^2)}{\sqrt{n^2+9}+n}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9n}{\sqrt{n^2+9}+n}$
અંશ અને છેદને $n$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9}{\sqrt{\frac{n^2+9}{n^2}}+1}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9}{\sqrt{1+\frac{9}{n^2}}+1}$
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{9}{n^2} \rightarrow 0$,તેથી લક્ષ $\frac{9}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{9}{1+1} = \frac{9}{2}$ થાય.

(B) પ્રથમ,આપણે $m$ ની ગણતરી કરીએ:
$m = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \log(1+2x)}{x \tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+2x)}{\tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log(1+2x)}{2x} \times \frac{x}{\tan x} \times 2 \right) = 1 \times 1 \times 2 = 2$.
આગળ,આપણે $n$ ની ગણતરી કરીએ:
$n = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log x + \log(\frac{1+x}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(x \times \frac{1+x}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$.
બીજ $m=2$ અને $n=1$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (m+n)x + mn = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (2+1)x + (2 \times 1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 3x + 2 = 0$ થાય છે.

(C) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{8 x^2+5 x+3}{2 x^2-7 x-5}\right)^{\frac{4 x+3}{8 x-1}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે $x \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે આધારનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8 x^2+5 x+3}{2 x^2-7 x-5} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2}}{2 - \frac{7}{x} - \frac{5}{x^2}} = \frac{8+0+0}{2-0-0} = 4$.
ત્યારબાદ,$x \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે ઘાતાંકનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x+3}{8 x-1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{8 - \frac{1}{x}} = \frac{4+0}{8-0} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
તેથી,લક્ષ $4^{\frac{1}{2}} = 2$ થાય છે.

(C) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi \cos ^2 x\right)}{x^2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશને આ રીતે લખી શકીએ:
$\sin(\pi \cos^2 x) = \sin(\pi - \pi \cos^2 x) = \sin(\pi(1 - \cos^2 x)) = \sin(\pi \sin^2 x)$.
હવે લક્ષ આ મુજબ થશે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{x^2} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી:
$= 1 \times \pi \times \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 = 1 \times \pi \times 1^2 = \pi$.

(B) આપણે લક્ષની કિંમત મેળવીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{2-(1+\cos x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x}$
નિત્યસમ $\sin ^2 x = 1-\cos ^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} (1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})$
$x = 0$ મૂકતા:
$= (1+\cos 0)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos 0})$
$= (1+1)(\sqrt{2}+\sqrt{1+1})$
$= 2 \times (\sqrt{2}+\sqrt{2})$
$= 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{27^x-9^x-3^x+1}{\sqrt{5}-\sqrt{4+\cos x}}$.
અંશના અવયવ પાડતા: $27^x-9^x-3^x+1 = (9^x-1)(3^x-1)$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4+\cos x}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{4+\cos x}}{1-\cos x}$.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(9^x-1)(3^x-1)}{1-\cos x} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{4+\cos x})$.
$1-\cos x = 2 \sin^2(x/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(9^x-1)(3^x-1)}{2 \sin^2(x/2)} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{4+\cos x})$.
$x^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\frac{9^x-1}{x})(\frac{3^x-1}{x})}{2 \cdot (\frac{\sin(x/2)}{x/2})^2 \cdot (1/4)} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{4+\cos x})$.
$L = \frac{\ln 9 \cdot \ln 3}{1/2} \cdot 2 \sqrt{5} = 8 \sqrt{5} (\ln 3)^2$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2^{2 x-2}-2^x+1}{\sin ^2(x-1)}$.
અંશને $(2^{x-1}-1)^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2^{x-1}-1)^2}{\sin ^2(x-1)}$.
અંશ અને છેદને $(x-1)^2$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(\frac{2^{x-1}-1}{x-1}\right)^2}{\left(\frac{\sin(x-1)}{x-1}\right)^2}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{a^h-1}{h} = \log a$ અને $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = x-1$:
$L = \frac{(\log 2)^2}{1^2} = (\log 2)^2$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\operatorname{cosec} x}$.
અહીં સ્વરૂપ $1^\infty$ હોવાથી,આપણે $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} (f(x)-1)g(x)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}-1\right) \operatorname{cosec} x}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{1+\sin x}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x(1+\sin x)}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\cos x(1+\sin x)}}$
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $\cos x \to 1$ અને $1-\cos x \to 0$.
$L = e^{\frac{0}{1(1+0)}} = e^0 = 1$.

(D) આ લક્ષ $1^\infty$ સ્વરૂપનું છે. આપણે સૂત્ર $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} (f(x)-1)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{5 x-8}{8-3 x}\right)^{\frac{3}{2 x-4}} = e^{\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{5 x-8}{8-3 x}-1\right) \times \frac{3}{2 x-4}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{5 x-8 - (8-3 x)}{8-3 x}\right) \times \frac{3}{2(x-2)}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{8x-16}{8-3 x}\right) \times \frac{3}{2(x-2)}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{8(x-2)}{8-3 x}\right) \times \frac{3}{2(x-2)}}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow 2} \frac{24}{2(8-3 x)}}$
$= e^{\frac{12}{8-3(2)}} = e^{\frac{12}{2}} = e^6$

(D) આપેલ સુરેખ અસમતાઓ:
$1) 2x + 3y \leq 18$
$2) x + y \geq 10$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ અસમતા $2x + 3y \leq 18$ માટે,સીમા રેખા $2x + 3y = 18$ છે. તેના અંતઃખંડો $(9, 0)$ અને $(0, 6)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ એ $2(0) + 3(0) \leq 18$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
બીજી અસમતા $x + y \geq 10$ માટે,સીમા રેખા $x + y = 10$ છે. તેના અંતઃખંડો $(10, 0)$ અને $(0, 10)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ એ $0 + 0 \geq 10$ નું સમાધાન કરતું નથી,તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
બંને પ્રદેશોની સરખામણી કરતા: પ્રથમ પ્રદેશ $(9, 0)$ અને $(0, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાની નીચે છે,જ્યારે બીજો પ્રદેશ $(10, 0)$ અને $(0, 10)$ માંથી પસાર થતી રેખાની ઉપર છે. આ બંને પ્રદેશો પ્રથમ ચરણમાં $(x \geq 0, y \geq 0)$ એકબીજાને છેદતા નથી.
તેથી,કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ નથી જે બધી આપેલી અસમતાઓનું સમાધાન કરે. આમ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ રિક્ત ગણ (ખાલી ગણ) છે.

(D) તર્કશાસ્ત્રના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આપણે તાર્કિક પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((p \vee q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim(p \vee q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \wedge \sim q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q))$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge T)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim p \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$\equiv T$
પરિણામ હંમેશા સત્ય હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.

(B) આપેલ વિધાન $P(n): n^2 - n + 37$ અવિભાજ્ય છે.
$n = 3$ માટે,$P(3) = 3^2 - 3 + 37 = 9 - 3 + 37 = 43$. $43$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$P(3)$ સાચું છે.
$n = 5$ માટે,$P(5) = 5^2 - 5 + 37 = 25 - 5 + 37 = 57$. $57 = 3 \times 19$ હોવાથી,તે અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી,તેથી $P(5)$ ખોટું છે.
આમ,$P(3)$ સાચું છે પરંતુ $P(5)$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$ છે.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ:
$S = \{(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)\} \vee q$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ એ એક્સક્લુઝિવ $OR$ માટેનું તાર્કિક પદ છે,જેને $p \oplus q$ અથવા $\sim(p \Leftrightarrow q)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$S = (p \oplus q) \vee q$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(p \oplus q) \vee q \equiv (p \vee q) \wedge (\sim q \vee q) \equiv (p \vee q) \wedge T \equiv p \vee q$.
આમ,આપેલ વિધાન $p \vee q$ ને સમકક્ષ છે.

(C) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
તેથી,પદાવલિ $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $\sim p$ ને સામાન્ય કાઢીએ છીએ:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$.
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv t$ (નિત્યસત્ય),
તેથી પદાવલિ $\sim p \wedge t \equiv \sim p$ માં સરળ બને છે.

(A) આપેલ વિધાન 'જો $p$,તો $q$' સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $p$ એ '$\forall x, x$ એ સંકર સંખ્યા છે' અને $q$ એ '$x^2 < 0$' છે.
'જો $p$,તો $q$' નું નિષેધ '$p$ અને (નહિ $q$)' થાય છે.
અહીં $p$ એ '$\forall x, x$ એ સંકર સંખ્યા છે' અને $\neg q$ એ '$x^2 \geq 0$' છે.
તેથી,નિષેધ '$\forall x, x$ એ સંકર સંખ્યા છે અને $x^2 \geq 0$' થાય.

(D) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $(\sim p \wedge q) \rightarrow (q \wedge \sim r)$ માટે,$p$ એ $(\sim p \wedge q)$ છે અને $q$ એ $(q \wedge \sim r)$ છે.
તેથી પ્રતિ-વિધાન $\sim (q \wedge \sim r) \rightarrow \sim (\sim p \wedge q)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમો લાગુ પાડતા:
$\sim (q \wedge \sim r) \equiv \sim q \vee r$.
$\sim (\sim p \wedge q) \equiv p \vee \sim q$.
આમ,પ્રતિ-વિધાન $(\sim q \vee r) \rightarrow (p \vee \sim q)$ છે.

(B) સમાન વિધાન નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલ પેટર્ન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ અને વિકલ્પો સાથે સરખાવીએ.
| $p$ | $q$ | $q \rightarrow p$ | $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
વિધાન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ એ નિત્યસત્ય (tautology) છે.
હવે,વિકલ્પ $B$ તપાસો: $p \rightarrow (p \vee q)$.
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ | $p \rightarrow (p \vee q)$ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
બંને $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ અને $p \rightarrow (p \vee q)$ નિત્યસત્ય હોવાથી,તેઓ તાર્કિક રીતે સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વિધાન $p \vee (q \rightarrow \sim r)$ નો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sim(p \vee (q$ $\rightarrow \sim r)) \equiv \sim p \wedge \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$.
તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sim(q \rightarrow \sim r) \equiv q \wedge \sim(\sim r)$ મળે છે.
કારણ કે $\sim(\sim r) \equiv r$,તેથી પદ $q \wedge r$ માં સરળ બને છે.
તેથી,અંતિમ નિષેધ $\sim p \wedge (q \wedge r)$ છે.

(C) $n^2+n = n(n+1)$ એ બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા બેકી હોય છે. તેથી,$p$ સત્ય છે.
$n^2-n = n(n-1)$ પણ બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા બેકી હોય છે. તેથી,$q$ અસત્ય છે.
હવે,સત્યતા મૂલ્યો તપાસતા:
$p \wedge q = T \wedge F = F$
$p \vee q = T \vee F = T$
$p$ $\rightarrow q = T$ $\rightarrow F = F$
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $F, T, F$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ "ચુકવણી કરવામાં આવે છે" અને $q$ એ "કામ સમયસર પૂર્ણ થાય છે" તેવું વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિ-શરતી વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે: "ચુકવણી કરવામાં આવે છે અને કામ સમયસર પૂર્ણ થતું નથી,અથવા ચુકવણી કરવામાં આવતી નથી અને કામ સમયસર પૂર્ણ થાય છે".
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) જો વિધાન સ્વરૂપનું સત્યતા મૂલ્ય તેના તમામ ઘટકોના શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે હંમેશા અસત્ય $(c)$ હોય,તો તે વિરોધાભાસ છે.
$S_3 \equiv (\sim p \wedge q) \wedge (\sim q)$ માટે:
$S_3 \equiv \sim p \wedge (q \wedge \sim q)$ [જૂથનો નિયમ]
$S_3 \equiv \sim p \wedge c$ [કારણ કે $q \wedge \sim q \equiv c$]
$S_3 \equiv c$ [કારણ કે કોઈપણ વિધાન $\wedge c \equiv c$]
આમ,$S_3$ એ વિરોધાભાસ છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $p \rightarrow (q \vee r)$ છે.
તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p \rightarrow (q \vee r) \equiv \sim p \vee (q \vee r)$
વિકલ્પનાના જૂથના નિયમ (associative law) મુજબ:
$\equiv (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee r)$
ફરીથી ગર્ભિતાર્થ (implication) ની વ્યાખ્યા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ બંને ભાગો માટે લાગુ પાડતા:
$\equiv (p$ $\rightarrow q) \vee (p$ $\rightarrow r)$

(B) સદિશો એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 1 & -1 & 1 \\ c & 0 & b \end{vmatrix} = 0$
બીજા સ્તંભને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-1) \begin{vmatrix} a & c \\ c & b \end{vmatrix} = 0$
$ab - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
આમ,$c = \sqrt{ab}$,જે $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.

(A) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય. અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર એ સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$D = \begin{vmatrix} \mu & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 1 & \mu \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = \mu(\mu^2 - 1) - 1(\mu - 1) + 1(1 - \mu) = 0$
$D = \mu(\mu - 1)(\mu + 1) - 1(\mu - 1) - 1(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1) [\mu(\mu + 1) - 1 - 1] = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu^2 + \mu - 2) = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu + 2)(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1)^2(\mu + 2) = 0$
$\mu$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો $1$ અને $-2$ છે.
આ ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + (-2) = -1$ થાય છે.

(D) સમતલો $P_1: 2x - y - 4 = 0$ અને $P_2: y + 2z - 4 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$
આ સમતલ બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે $x = 1, y = 1, z = 0$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2(1) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(2 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-3 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2x - y - 4) - 1(y + 2z - 4) = 0$
$2x - y - 4 - y - 2z + 4 = 0$
$2x - 2y - 2z = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y - z = 0$ મળે છે.

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & x \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (x + 2)\hat{i} + (x - 3)\hat{j} - 5\hat{k}$.
હવે,તેનું માન $r = |\vec{a} \times \vec{b}|$ શોધો:
$r^2 = (x + 2)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2$
$r^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) + 25$
$r^2 = 2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x + 19)$.
કૌંસમાં રહેલા પદ માટે પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરો:
$r^2 = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + 19 - \frac{1}{4}\right) = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{4}\right) = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,તેથી $r^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{75}{2}$ છે.
તેથી,$r^2 \geq \frac{75}{2} \implies r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.
આમ,શરત $r \geq 5\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 15 - |x - 10|$.
આપણે એવા બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે જ્યાં $g(x) = f(f(x))$ વિકલનીય નથી.
$g(x) = f(f(x)) = 15 - |f(x) - 10| = 15 - |(15 - |x - 10|) - 10| = 15 - |5 - |x - 10||$.
વિધેય $f(x)$ એ $x = 10$ આગળ વિકલનીય નથી (માનાંક વિધેયનું શિરોબિંદુ).
સંયોજિત વિધેય $g(x) = f(f(x))$ એવા બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી જ્યાં $f(x)$ વિકલનીય ન હોય,અથવા જ્યાં અંદરનું વિધેય $f(x)$ ની કિંમત $10$ થાય (જે બિંદુએ બહારનું $f$ વિકલનીય નથી).
$1$. $f(x)$ એ $x = 10$ આગળ વિકલનીય નથી.
$2$. $f(x) = 10 \implies 15 - |x - 10| = 10 \implies |x - 10| = 5 \implies x - 10 = 5$ અથવા $x - 10 = -5 \implies x = 15$ અથવા $x = 5$.
આમ,જે બિંદુઓ પર $g(x)$ વિકલનીય નથી તેનો ગણ $\{5, 10, 15\}$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = \frac{x}{x^2-3}$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-3)(1) - x(2x)}{(x^2-3)^2} = \frac{x^2-3-2x^2}{(x^2-3)^2} = \frac{-(x^2+3)}{(x^2-3)^2}$.
રેખા $2x + 6y - 11 = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,$(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{-(\alpha^2+3)}{(\alpha^2-3)^2} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3(\alpha^2+3) = (\alpha^2-3)^2$.
ધારો કે $t = \alpha^2$. તો $3t + 9 = t^2 - 6t + 9 \Rightarrow t^2 - 9t = 0$.
કારણ કે $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$,$\alpha^2 \neq 0$,તેથી $\alpha^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \pm 3$.
જો $\alpha = 3$,તો $\beta = \frac{3}{3^2-3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
જો $\alpha = -3$,તો $\beta = \frac{-3}{(-3)^2-3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
હવે,$|6\alpha + 2\beta|$ ની ગણતરી કરીએ:
બિંદુ $(3, 1/2)$ માટે,$|6(3) + 2(1/2)| = |18 + 1| = 19$.
બિંદુ $(-3, -1/2)$ માટે,$|6(-3) + 2(-1/2)| = |-18 - 1| = |-19| = 19$.
આમ,$|6\alpha + 2\beta| = 19$.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના કોઈ બિંદુ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ આપેલ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે અભિલંબનો ઢાળ એ વિધેયના વિકલિત સાથે $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(x)}$ સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ છે.
બિંદુ $(3,4)$ આગળ,$m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ થાય.
અભિલંબના ઢાળ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$
$f^{\prime}(3) = 1$.

(A) બિંદુ $(2,3)$ એ વક્ર $y^2=px^3+q$ પર આવેલું હોવાથી,આપણને મળે:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$ ...$(i)$
હવે,વક્રના સમીકરણ $y^2=px^3+q$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
સ્પર્શક $y=4x-5$ નો ઢાળ $4$ છે. તેથી,$(2,3)$ બિંદુએ વિકલિતનું મૂલ્ય $4$ થવું જોઈએ:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = 4$
$\frac{12p}{6} = 4$
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$ ...$(ii)$
$p=2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$8(2) + q = 9$
$16 + q = 9$
$q = 9 - 16 = -7$
આમ,$p=2$ અને $q=-7$ મળે છે.

(A) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $x=t^2$ અને $y=2t$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dx}{dt} = 2t$ અને $\frac{dy}{dt} = 2$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ થાય.
$t=2$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = -2$ થાય.
$t=2$ આગળ,બિંદુના યામ $x = (2)^2 = 4$ અને $y = 2(2) = 4$ છે.
$(4, 4)$ બિંદુ આગળ અને $m_N = -2$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $(y - y_1) = m_N(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(y - 4) = -2(x - 4)$.
$y - 4 = -2x + 8$.
$2x + y - 12 = 0$.

(A) આપેલ વક્ર $y=x^3+ax-b$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^2+a$ છે.
રેખા $y-x+4=0$ નો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
સ્પર્શક રેખાને લંબ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m_2 = -1$.
બિંદુ $(1,-5)$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2+a = 3+a$.
$3+a = -1$ લેતા,આપણને $a = -4$ મળે છે.
બિંદુ $(1,-5)$ વક્ર પર હોવાથી,આપણે $x=1, y=-5, a=-4$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-5 = (1)^3 + (-4)(1) - b
-5 = 1 - 4 - b
-5 = -3 - b
b = 2$.
વક્રનું સમીકરણ $y = x^3 - 4x - 2$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(2,-2)$ માટે: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$.
બિંદુ $(2,-2)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી તે વક્ર પર આવેલું છે.

(D) આપેલ વક્ર $\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n=2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ,આપણને મળે છે:
$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
$ab$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ cm}$ હોય તે ક્ષણે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો $r = 10 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 2 = 40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$.
આમ, ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારાનો દર $40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$ છે.

(D) ધારો કે $t$ સમયે વસ્તી $P$ છે. આપેલ છે કે $\frac{dP}{dt} \propto P$,તેથી $\frac{dP}{dt} = kP$.
સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = 20$,તેથી $C = \ln 20$.
આમ,$\ln P = kt + \ln 20$.
$t = 30$ સમયે,$P = 40$,તેથી $\ln 40 = 30k + \ln 20$,જે $30k = \ln 2$ આપે છે,અથવા $k = \frac{\ln 2}{30}$.
આપણે $t = 30 + 15 = 45$ વર્ષે $P$ શોધવાની જરૂર છે.
$\ln P = \left(\frac{\ln 2}{30}\right) \times 45 + \ln 20 = 1.5 \ln 2 + \ln 20 = \ln(2^{1.5} \times 20)$.
$P = 20 \times 2^{1.5} = 20 \times 2 \times \sqrt{2} = 40 \times 1.41 = 56.4$ લાખ.

(B) ધારો કે વર્તુળાકાર સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta$ રેડિયનમાં છે.
સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = 60$ છે.
આથી,$\theta = \frac{60 - 2r}{r}$ મળે.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,$A(r) = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{60 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r(60 - 2r) = 30r - r^2$ મળે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે,$A(r)$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$A'(r) = 30 - 2r = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,$r = 15 \ m$ મળે.
અહીં $A''(r) = -2 < 0$ હોવાથી,$r = 15 \ m$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આપેલ છે કે બાજુની લંબાઈમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{da}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2a \frac{da}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $a = 6 \text{ cm}$ અને $\frac{da}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 6 \times 3 = 36 \text{ cm}^2/\text{min}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $36 \text{ cm}^2/\text{min}$ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(A) ધારો કે $r$ એ બરફના પડ સહિતના ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $10 \text{ cm}$ છે અને બરફની જાડાઈ $x = 5 \text{ cm}$ છે,તેથી કુલ ત્રિજ્યા $r = 10 + x = 15 \text{ cm}$ થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
બરફ $50 \text{ cm}^3/\text{min}$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી ઘનફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-50 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{-50}{4 \pi \times 225} = \frac{-50}{900 \pi} = \frac{-1}{18 \pi} \text{ cm/min}$.
અહીં $\frac{dr}{dt} = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$ છે.

(C) આપેલ ઉત્પાદનનો ફેરફાર દર: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$.
બંને બાજુ $x$ ના સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$.
$P = 100x - 12 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 100x - 8x^{3/2} + C$.
શરૂઆતમાં,જ્યારે $x = 0$,ત્યારે ઉત્પાદન $P = 2000$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $2000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C$,જે આપણને $C = 2000$ આપે છે.
તેથી,ઉત્પાદન વિધેય $P(x) = 100x - 8x^{3/2} + 2000$ છે.
$x = 25$ વધારાના કામદારો માટે,નવું ઉત્પાદન સ્તર: $P(25) = 100(25) - 8(25)^{3/2} + 2000$.
$P(25) = 2500 - 8(125) + 2000$.
$P(25) = 2500 - 1000 + 2000 = 3500$.

(C) ન્યૂટનના શીતલન નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$,જ્યાં $T_s = 20^{\circ} C$ છે.
આનું સંકલન કરતા $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ મળે છે.
અહીં $T_0 = 80^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી $T(t) = 20 + 60e^{-kt}$.
$t = 5$ મિનિટ માટે,$T = 70^{\circ} C$:
$70 = 20 + 60e^{-5k} \Rightarrow 50 = 60e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k} = \frac{5}{6}$.
$t = 15$ મિનિટ માટે:
$T(15) = 20 + 60e^{-15k} = 20 + 60(e^{-5k})^3$.
$e^{-5k} = \frac{5}{6}$ મૂકતા:
$T(15) = 20 + 60 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 20 + 60 \times \frac{125}{216} = 20 + 34.722 = 54.722^{\circ} C$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,તાપમાન $54.7^{\circ} C$ થશે.

(D) ધારો કે વર્તુળાકાર સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચાપની લંબાઈ $l$ છે. સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + l = 20 \ m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ચાપની લંબાઈ $l = 20 - 2r$ થશે.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r l$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$l$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A(r) = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A(r)$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,આપણને $10 - 2r = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 5 \ m$.
ચકાસણી માટે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$ છે,જે $0$ કરતા નાનું છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે $r = 5 \ m$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(D) ધારો કે સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું દળ $m$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,વિઘટનનો દર તેના દળના પ્રમાણમાં છે:
$\frac{dm}{dt} = -km$ (જ્યાં $k > 0$ એ ક્ષય અચળાંક છે).
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dm}{m} = -k \, dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dm}{m} = -\int k \, dt \implies \ln(m) = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક દળ $m = 6 \text{ gm}$ છે,તેથી $\ln(6) = C$.
આમ,$\ln(m) = -kt + \ln(6) \implies \ln(\frac{m}{6}) = -kt$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે દળ $m = 3 \text{ gm}$ થાય:
$\ln(\frac{3}{6}) = -kt
\implies \ln(\frac{1}{2}) = -kt
\implies -\ln(2) = -kt
\implies t = \frac{\ln(2)}{k}$.
તેથી,સમય $t$ એ $\log 2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) આપેલ છે કે ઘનફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dv}{dt} = 36 \text{ } m^3/sec$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $v = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાયાની ત્રિજ્યા $r = 3 \text{ } m$ હોવાથી,ઘનફળ $v = \pi (3)^2 h = 9\pi h$ થશે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{dt} = 9\pi \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
આપેલી કિંમત મૂકતા,$36 = 9\pi \frac{dh}{dt}$ મળે.
$\frac{dh}{dt}$ માટે ઉકેલતા,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9\pi} = \frac{4}{\pi} \text{ } m/sec$ મળે છે.

(D) ધારો કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $r = 10 \text{ cm}$ છે. ધારો કે બરફના પડની જાડાઈ $x$ છે. ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા (લોખંડનો દડો + બરફ) $R = r + x = 10 + x \text{ cm}$ છે.
બરફનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (10 + x)^3 - \frac{4}{3} \pi (10)^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે બરફ $50 \text{ cm}^3/\text{min}$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$.
જ્યારે જાડાઈ $x = 5 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે કુલ ત્રિજ્યા $R = 10 + 5 = 15 \text{ cm}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $-50 = 4 \pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4 \pi (225) \frac{dx}{dt} = 900 \pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900 \pi} = -\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$.
તેથી,બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $s$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2s \cdot \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} s \cdot \frac{ds}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{ds}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ અને $s = 10 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2 = 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt} \right)$
આપેલ છે: $r = 3 \text{ cm}$,$h = 5 \text{ cm}$,$\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$,અને $\frac{dh}{dt} = -3 \text{ cm/sec}$ (કારણ કે ઊંચાઈ ઘટી રહી છે).
આ કિંમતો વિકલિતમાં મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2 \times 3 \times 5 \times 2 + 3^2 \times (-3) \right)$
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 60 - 27 \right)$
$\frac{dV}{dt} = 33 \pi \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(D) લંબવૃત્તીય નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2r \cdot \frac{dr}{dt} \cdot h + r^2 \cdot \frac{dh}{dt} \right)$.
આપેલ છે: $r = 2 \text{ cm}$,$h = 3 \text{ cm}$,$\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm/min}$,અને $\frac{dh}{dt} = -0.2 \text{ cm/min}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2 \times 2 \times 0.1 \times 3 + 2^2 \times (-0.2) \right)$
$= \pi \left( 1.2 - 0.8 \right) = 0.4 \pi = \frac{2\pi}{5} \text{ cm}^3\text{/min}$.

(C) ધારો કે $V$ એ ગોળાનું ઘનફળ છે અને $S$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
$S = 4 \pi r^2$
$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$
$S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$
આપણે પૃષ્ઠફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{dV}{dS}$ છે.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$
અહીં $r = 5 \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{dV}{dS} = \frac{5}{2}$

(A) આપેલ છે $f(x) = x^2 e^{-x}$.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) e^{-x} + x^2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x}(2 - x)$.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,અસમતા $x e^{-x}(2 - x) > 0$ એ $x(2 - x) > 0$ માં પરિણમે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા ઉલટાય છે: $x(x - 2) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $0$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય.
આમ,$x \in (0, 2)$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = (x+2)e^{-x}$ છે.
વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x+2) \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot (-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(1 - (x+2))$
$f'(x) = e^{-x}(1 - x - 2)$
$f'(x) = -e^{-x}(x+1)$
હવે,આપણે $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $-(x+1)$ પર આધાર રાખે છે.
$1$. જો $x < -1$ હોય,તો $(x+1) < 0$ થાય,તેથી $-(x+1) > 0$ થાય. આમ,$f'(x) > 0$ છે,અને વિધેય $(-\infty, -1)$ માં એકવિધ વધતું છે.
$2$. જો $x > -1$ હોય,તો $(x+1) > 0$ થાય,તેથી $-(x+1) < 0$ થાય. આમ,$f'(x) < 0$ છે,અને વિધેય $(-1, \infty)$ માં એકવિધ ઘટતું છે.
તેથી,વિધેય $(-\infty, -1)$ માં વધતું અને $(-1, \infty)$ માં ઘટતું છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \log(e + x) - \log(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{\{\log(e + x)\}^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x) \{\log(e + x)\}^2}$.
ધારો કે $g(x) = (e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)$.
તેથી $g'(x) = \log(e + x) + 1 - (\log(\pi + x) + 1) = \log(e + x) - \log(\pi + x)$.
કારણ કે $\pi > e$,$x > 0$ માટે $\pi + x > e + x$,તેથી $\log(\pi + x) > \log(e + x)$.
આમ,$g'(x) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $g(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
કારણ કે $g(0) = e \log e - \pi \log \pi = e - \pi \log \pi < 0$ (કારણ કે $e < \pi \log \pi$),અને $g(x)$ ઘટતું હોવાથી,$x > 0$ માટે $g(x) < 0$ થાય.
તેથી,તમામ $x \in (0, \infty)$ માટે $f'(x) < 0$,જે સૂચવે છે કે $f(x)$ એ $(0, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+29$
વિધેય કયા અંતરાલમાં એકવિધ વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f^{\prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2 x^3-9 x^2+12 x+29) = 6 x^2-18 x+12$
વિકલનના અવયવ પાડતા:
$f^{\prime}(x) = 6(x^2-3 x+2) = 6(x-1)(x-2)$
વિધેય એકવિધ વધતું હોય તે માટે,આપણે $f^{\prime}(x) > 0$ ની જરૂર છે:
$6(x-1)(x-2) > 0$
સંખ્યા રેખા પર ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ નો ઉપયોગ કરીને ચિહ્ન યોજના:
- $x < 1$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ (ધન)
- $1 < x < 2$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$ (ઋણ)
- $x > 2$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ (ધન)
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $(-\infty, 1) \cup(2, \infty)$ માં એકવિધ વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\log x}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય કયા અંતરાલમાં છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $(\log x)^2 > 0$ છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની અંશ $\log x - 1$ પર આધાર રાખે છે.
$\log x - 1 > 0 \Rightarrow \log x > 1 \Rightarrow x > e$.
આમ,$f(x)$ એ $(e, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{8^x} = 8^{-x}$ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(8^{-x}) = 8^{-x} \cdot \ln(8) \cdot (-1)$.
$f'(x) = -\frac{\ln(8)}{8^x}$.
અહીં $x \in [1, 3]$ માટે $8^x > 0$ અને $\ln(8) > 0$ હોવાથી,પદ $f'(x) = -\frac{\ln(8)}{8^x}$ એ દરેક $x \in [1, 3]$ માટે હંમેશા ઋણ રહેશે.
$f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 40$.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $f'(x) = 9x^2 - 36x + 27 = 9(x^2 - 4x + 3) = 9(x - 1)(x - 3)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 3$ છે.
હવે,અસમતા $x^2 + 30 \leq 11x$ ઉકેલીને ગણ $S$ નક્કી કરો:
$x^2 - 11x + 30 \leq 0$
$(x - 5)(x - 6) \leq 0$
આથી $x \in [5, 6]$ મળે છે.
હવે,અંતરાલ $[5, 6]$ પર $f(x)$ નું વર્તન તપાસો. કારણ કે $f'(x) = 9(x - 1)(x - 3)$,કોઈપણ $x \geq 5$ માટે,$(x - 1)$ અને $(x - 3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
આમ,$f(x)$ અંતરાલ $[5, 6]$ પર વધતું વિધેય છે.
ગણ $S = [5, 6]$ પર મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = 6$ પર મળે છે.
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $122$ છે.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = (x-1)(x+2)^2$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = (1)(x+2)^2 + (x-1)(2)(x+2)$
$f'(x) = (x+2)[(x+2) + 2(x-1)]$
$f'(x) = (x+2)(x+2+2x-2) = 3x(x+2)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$3x(x+2) = 0 \implies x = 0, x = -2$.
પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરો:
$x < -2$ માટે,$f'(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
$-2 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$ (ઘટતું વિધેય).
$x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
$x = -2$ આગળ,વિધેય વધતામાંથી ઘટતામાં બદલાય છે,તેથી $f(-2)$ એ સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત છે:
$f(-2) = (-2-1)(-2+2)^2 = (-3)(0) = 0$.
$x = 0$ આગળ,વિધેય ઘટતામાંથી વધતામાં બદલાય છે,તેથી $f(0)$ એ સ્થાનીય ન્યૂનતમ કિંમત છે:
$f(0) = (0-1)(0+2)^2 = (-1)(4) = -4$.
આમ,સ્થાનીય મહત્તમ અને સ્થાનીય ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $0$ અને $-4$ છે.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = x \sqrt{1-x}$
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = (1) \cdot \sqrt{1-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1)$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}}$
$f^{\prime}(x) = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}}$
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$\frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} = 0 \Rightarrow 2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
હવે,$x = \frac{2}{3}$ ની આસપાસ $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની તપાસો:
$x < \frac{2}{3}$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ (વિધેય વધતું વિધેય છે).
$x > \frac{2}{3}$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$ (વિધેય ઘટતું વિધેય છે).
જેમ કે વિકલિત $x = \frac{2}{3}$ આગળ ધનમાંથી ઋણમાં બદલાય છે,તેથી વિધેયને $x = \frac{2}{3}$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $M$ નું $A$ થી અંતર $x$ છે. તેથી $AM = x$ અને $MB = 10 - x$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle DAM$ અને $\triangle CBM$ માં:
$MD^2 = AM^2 + AD^2 = x^2 + 8^2 = x^2 + 64$
$MC^2 = MB^2 + BC^2 = (10 - x)^2 + 11^2 = (10 - x)^2 + 121$
ધારો કે $f(x) = MD^2 + MC^2 = x^2 + 64 + (10 - x)^2 + 121$
$f(x) = x^2 + 64 + 100 - 20x + x^2 + 121$
$f(x) = 2x^2 - 20x + 285$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 4x - 20$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$4x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5$
અહીં $f''(x) = 4 > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 5$ મીટર પર ન્યૂનતમ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1-x)^{74} \cdot (-1)$
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} [(1-x) - 3x]$
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} (1-4x)$
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 1$,અને $x = \frac{1}{4}$ પર ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ મળે છે.
કારણ કે $f(0) = 0$ અને $f(1) = 0$,અને $x \in (0,1)$ માટે $f(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય તેની મહત્તમ કિંમત $x = \frac{1}{4}$ બિંદુએ ધારણ કરશે.

(A) આપેલ છે કે $x+y=60$,તેથી $x=60-y$.
ધારો કે $f(y) = x y^3 = (60-y) y^3 = 60 y^3 - y^4$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(y)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(y) = \frac{d}{dy}(60 y^3 - y^4) = 180 y^2 - 4 y^3$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(y) = 0$ લેતા:
$4 y^2(45 - y) = 0$.
$y$ એ ધન સંખ્યા હોવાથી,$y=45$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ:
$f''(y) = 360 y - 12 y^2$.
$y=45$ આગળ,$f''(45) = 360(45) - 12(45)^2 = 45(360 - 540) = 45(-180) < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $y=45$ આગળ મહત્તમ છે.
તેથી $x = 60 - 45 = 15$.
આમ,સંખ્યાઓ $x=15$ અને $y=45$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $2y + x = 8$ છે,જેને $y = \frac{8 - x}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ નિશ્ચિત સંકલન $\int_{2}^{4} y \, dx = \int_{2}^{4} \frac{8 - x}{2} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$= \frac{1}{2} \int_{2}^{4} (8 - x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left[ 8x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$
$= \frac{1}{2} \left( (8(4) - \frac{4^2}{2}) - (8(2) - \frac{2^2}{2}) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( (32 - 8) - (16 - 2) \right)$
$= \frac{1}{2} (24 - 14) = \frac{10}{2} = 5 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$f(x) = -x^2$,$a = 1$ અને $b = 4$ છે.
કારણ કે $x \in [1, 4]$ માટે $y = -x^2$ એ $x$-અક્ષની નીચે આવેલું છે,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{1}^{4} | -x^2 | \, dx = \int_{1}^{4} x^2 \, dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3}$
$A = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{x}$ અને $2y - x + 3 = 0$ છે.
પ્રથમ,વક્રોનું છેદબિંદુ શોધો:
$2(\sqrt{x}) - x + 3 = 0$
ધારો કે $\sqrt{x} = t$,તો $2t - t^2 + 3 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0
(t-3)(t+1) = 0$. કારણ કે $t = \sqrt{x} \geq 0$,તેથી $t = 3$,એટલે કે $x = 9$ અને $y = 3$.
રેખા $2y - x + 3 = 0$ એ $X$-અક્ષ $(y=0)$ ને $x = 3$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=9$ સુધીના વક્ર $y = \sqrt{x}$ ના સંકલનમાંથી $x=3$ થી $x=9$ સુધીની રેખા $2y - x + 3 = 0$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^9 \sqrt{x} \, dx - \int_3^9 \frac{x-3}{2} \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^9 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_3^9$
$= \frac{2}{3} (27) - \frac{1}{2} [(\frac{81}{2} - 27) - (\frac{9}{2} - 9)]$
$= 18 - \frac{1}{2} [\frac{27}{2} - (-\frac{9}{2})] = 18 - \frac{1}{2} [\frac{36}{2}] = 18 - 9 = 9$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્ર $y^2=9x$ અને રેખા $y=3x$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y=3x$ ને $y^2=9x$ માં મૂકતા,આપણને $(3x)^2=9x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $9x^2=9x$,તેથી $x^2-x=0$,જે $x(x-1)=0$ આપે છે. આમ,$x=0$ અને $x=1$.
$x=0$ માટે,$y=0$. $x=1$ માટે,$y=3$.
ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^1 (\sqrt{9x} - 3x) dx$
$= \int_0^1 (3\sqrt{x} - 3x) dx$
$= 3 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$= 3 \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{(1)^2}{2} \right) - 0$
$= 3 \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right)$
$= 3 \left( \frac{4-3}{6} \right) = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ અસમતા $x^2 + y^2 \leq 1 - x$ છે,જેને $x^2 + x + y^2 \leq 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$x$ માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $(x^2 + x + \frac{1}{4}) + y^2 \leq 1 + \frac{1}{4}$,જે $(x + \frac{1}{2})^2 + y^2 \leq \frac{5}{4}$ આપે છે.
આ એક વર્તુળનો આંતરિક ભાગ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(-\frac{1}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
જોકે,આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણિત અર્થઘટનને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રદેશ $x^2 + y^2 + x \leq 1$ એ એક વર્તુળ છે.
આપેલ વિકલ્પોના આધારે,ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$ છે.

(A) $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે $y$-અક્ષ $(x=0)$,$y=\cos x$ અને $y=\sin x$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં,$\cos x \geq \sin x$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$
$A = [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્રો $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ જ્યાં $\sin x = \cos x$ હોય ત્યાં છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = 1$. $0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,છેદબિંદુ $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{4}$ પર વક્રોના સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$y = \sin x$ માટે,$\frac{dy}{dx} = \cos x$. તેથી,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y = \cos x$ માટે,$\frac{dy}{dx} = -\sin x$. તેથી,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(B) આવશ્યક ક્ષેત્રફળ એ આપેલ સીમાઓ વચ્ચે ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે.
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{3} (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) \, dx$
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{3} ((x^2 + 2) - x) \, dx$
$\text{આવશ્યક ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{3} (x^2 - x + 2) \, dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 2(3) \right) - (0 - 0 + 0)$
$= \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 6 \right)$
$= 9 - 4.5 + 6$
$= 10.5 = \frac{21}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) $x=a$ અને $x=b$ વચ્ચે વક્રો $y=f(x)$ અને $y=g(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$x \in [0, 3]$ માટે $f(x) = x^2+2$ અને $g(x) = x+1$ છે.
કારણ કે $x \in [0, 3]$ માટે $x^2+2 \ge x+1$ છે,તેથી જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
$Area = \int_0^3 \{(x^2+2)-(x+1)\} dx$
$Area = \int_0^3 (x^2-x+1) dx$
$Area = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3$
$Area = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - 0$
$Area = \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 \right) = 12 - 4.5 = 7.5 = \frac{15}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વક્રો $y^2 = 2x + 1$ અને $x - y = 1$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$x = y + 1$.
વક્રના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $y^2 = 2(y + 1) + 1 \implies y^2 = 2y + 3 \implies y^2 - 2y - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y - 3)(y + 1) = 0$,તેથી $y = 3$ અને $y = -1$.
આવૃત ક્ષેત્રફળ રેખા અને વક્ર વચ્ચેના તફાવતનું $y$ ની સાપેક્ષે $-1$ થી $3$ સુધીનું સંકલન છે: $x_{line} - x_{curve} = (y + 1) - \frac{y^2 - 1}{2}$.
$\text{Area} = \int_{-1}^3 \left( y + 1 - \frac{y^2 - 1}{2} \right) dy = \int_{-1}^3 \left( \frac{2y + 2 - y^2 + 1}{2} \right) dy = \frac{1}{2} \int_{-1}^3 (3 + 2y - y^2) dy$.
$= \frac{1}{2} \left[ 3y + y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^3$.
$= \frac{1}{2} \left[ (9 + 9 - 9) - (-3 + 1 + \frac{1}{3}) \right] = \frac{1}{2} \left[ 9 - (-\frac{5}{3}) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{27 + 5}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{32}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{2} - 1$. અંતરાલ $[0, \pi]$ પર,આપણે $x = 2$ આગળ વિધેયોનું પરીક્ષણ કરીએ.
$\tan[f(x)]$ માટે:
જ્યારે $x \to 2^-$,ત્યારે $[f(x)] = [\frac{x}{2} - 1] = -1$,તેથી $\tan[f(x)] \to \tan(-1)$.
જ્યારે $x \to 2^+$,ત્યારે $[f(x)] = [\frac{x}{2} - 1] = 0$,તેથી $\tan[f(x)] \to \tan(0) = 0$.
કારણ કે $\tan(-1) \neq 0$,તેથી $\tan[f(x)]$ એ $x = 2$ આગળ અસતત છે.
$\frac{1}{f(x)}$ માટે:
$f(x) = \frac{x}{2} - 1$. $x = 2$ આગળ,$f(2) = 0$.
આમ,$\frac{1}{f(x)}$ એ $x = 2$ આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે,જે તેને $x = 2$ આગળ અસતત બનાવે છે.
તેથી,બંને વિધેયો અંતરાલ $[0, \pi]$ પર અસતત છે.

(C) કોઈ વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે,શરત $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ નું પાલન થવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = K+1$.
આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $L = \lim_{x \rightarrow 0} \log(\sec^2 x)^{\cot^2 x}$.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$L = \lim_{x \rightarrow 0} \cot^2 x \cdot \log(\sec^2 x)$.
કારણ કે $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$,તેથી $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + \tan^2 x)}{\tan^2 x}$.
ધારો કે $u = \tan^2 x$. જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $u \rightarrow 0$. લક્ષ આ મુજબ બનશે: $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $L = 1$ મળે છે.
લક્ષને $f(0)$ સાથે સરખાવતા,$1 = K+1$.
તેથી,$K = 0$.