MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $BARRACK$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, A, R, R, B, C, K$. ભિન્ન અક્ષરો ${A, R, B, C, K}$ છે.
આપણે $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય: ${A, R, B, C, K}$ માંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^5C_4 = 5$. દરેકને ગોઠવવાના પ્રકાર $= 4! = 24$. કુલ $= 5 \times 24 = 120$.
(ii) $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી: જોડીઓ ${A, A}$ અને ${R, R}$ છે. બંને જોડી પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^2C_2 = 1$. ગોઠવણીના પ્રકાર $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
(iii) $2$ સમાન અને $2$ ભિન્ન અક્ષરો: ${A, A}$ અથવા ${R, R}$ માંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^2C_1 = 2$. બાકીના $4$ અક્ષરોમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^4C_2 = 6$. દરેક પસંદગી માટે ગોઠવણીના પ્રકાર $= \frac{4!}{2!} = 12$. કુલ $= 2 \times 6 \times 12 = 144$.
કુલ $4$ અક્ષરના શબ્દો $= 120 + 6 + 144 = 270$.

(C) કુલ ઉપલબ્ધ સભ્યો $8$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓ છે,તેથી કુલ વ્યક્તિઓ = $13$. આપણે $11$ સભ્યો પસંદ કરવાના છે.
$m$ માટે (ઓછામાં ઓછા $6$ પુરુષો):
શક્ય કિસ્સાઓ ($6$ પુરુષો,$5$ સ્ત્રીઓ),($7$ પુરુષો,$4$ સ્ત્રીઓ),($8$ પુરુષો,$3$ સ્ત્રીઓ) છે.
$m = \binom{8}{6} \times \binom{5}{5} + \binom{8}{7} \times \binom{5}{4} + \binom{8}{8} \times \binom{5}{3} = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
$n$ માટે (ઓછામાં ઓછી $3$ સ્ત્રીઓ):
શક્ય કિસ્સાઓ ($8$ પુરુષો,$3$ સ્ત્રીઓ),($7$ પુરુષો,$4$ સ્ત્રીઓ),($6$ પુરુષો,$5$ સ્ત્રીઓ) છે.
$n = \binom{5}{3} \times \binom{8}{8} + \binom{5}{4} \times \binom{8}{7} + \binom{5}{5} \times \binom{8}{6} = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
આમ,$m = n = 78$.

(B) શરતી વિધાન $P \Rightarrow (q \vee r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય હોય.
એટલે કે,$P = T$ અને $(q \vee r) = F$.
વિકલ્પ $(q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$q$ અને $r$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$p = T, q = F, r = F$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$.
$\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ હોવાથી,$(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{1 - \sin ^{2} x} = 30$.
$(81)^{\sin ^{2} x} + \frac{81}{(81)^{\sin ^{2} x}} = 30$.
ધારો કે $t = (81)^{\sin ^{2} x}$. તેથી $t + \frac{81}{t} = 30$,જે $t^{2} - 30t + 81 = 0$ આપે છે.
$(t - 3)(t - 27) = 0$,તેથી $t = 3$ અથવા $t = 27$.
કિસ્સો $1$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{1} \implies 4 \sin ^{2} x = 1 \implies \sin ^{2} x = \frac{1}{4}$.
$[0, \pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -\frac{1}{2}$. $[0, \pi]$ માં $\sin x \ge 0$ હોવાથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ ઉકેલો).
કિસ્સો $2$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{3} \implies 4 \sin ^{2} x = 3 \implies \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$.
$[0, \pi]$ માં,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $[0, \pi]$ માં $\sin x \ge 0$ હોવાથી,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ ($2$ ઉકેલો).
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $2 + 2 = 4$.

(D) ધારો કે વિભાગ $A, B,$ અને $C$ માંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1, n_2,$ અને $n_3$ છે,જેથી $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ અને $n_i \ge 1$ થાય.
શક્ય વિતરણો $(n_1, n_2, n_3)$ નીચે મુજબ છે:
$1. (1, 2, 2)$ અને તેના ક્રમચયો: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ (કુલ $3$ રીતો).
$2. (1, 1, 3)$ અને તેના ક્રમચયો: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ (કુલ $3$ રીતો).
કિસ્સા $(1, 2, 2)$ માટેની રીતોની સંખ્યા $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 \times 10 = 500$.
આવા $3$ ક્રમચયો હોવાથી,કુલ રીતો $= 3 \times 500 = 1500$.
કિસ્સા $(1, 1, 3)$ માટેની રીતોની સંખ્યા $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 5 \times 10 = 250$.
આવા $3$ ક્રમચયો હોવાથી,કુલ રીતો $= 3 \times 250 = 750$.
કુલ રીતો $= 1500 + 750 = 2250$.

(A) આપેલ વક્રો $y^2=6x$ $(i)$ અને $9x^2+by^2=16$ $(ii)$ છે.
$(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
$(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{by}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,તેમના સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$(\frac{3}{y}) \times (-\frac{9x}{by}) = -1$
$\frac{27x}{by^2} = 1 \Rightarrow by^2 = 27x$.
આ સમીકરણમાં $y^2 = 6x$ મૂકતા:
$b(6x) = 27x \Rightarrow 6b = 27 \Rightarrow b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $4x + 3y - 20 = 0$ અને $4x + 3y + 15 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 4$,$b = 3$,$c_1 = -20$,અને $c_2 = 15$ છે.
$d = \left| \frac{-20 - 15}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| = \left| \frac{-35}{\sqrt{16 + 9}} \right| = \left| \frac{-35}{5} \right| = 7$ એકમ.
ચોરસની બે સામસામેની બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ $s$ જેટલું હોય છે,તેથી $s = 7$ એકમ.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2 = 7^2 = 49$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) આકૃતિમાં છાયાંકિત પ્રદેશ માટે યોગ્ય અસમતાઓ નક્કી કરવા માટે,આપણે આકૃતિમાં દર્શાવેલ સીમા રેખાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $(0, 3)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 6$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,અસમતા $x + 2y \geq 6$ છે.
$2$. $(0, 5)$ અને $(3, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 3y = 15$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,અસમતા $5x + 3y \geq 15$ છે.
$3$. શિરોલંબ રેખા $x = 7$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુ હોવાથી,અસમતા $x \leq 7$ છે.
$4$. આડી રેખા $y = 6$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે હોવાથી,અસમતા $y \leq 6$ છે.
$5$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આ બધાને જોડતા,સિસ્ટમ $x + 2y \geq 6, 5x + 3y \geq 15, x \leq 7, y \leq 6, x, y \geq 0$ મળે છે. જે વિકલ્પ $(B)$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$.
તેથી,કેન્દ્ર $(3,2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$C_1$ નું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = 25\pi$.
ધારો કે જરૂરી સમકેન્દ્રી વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે કે જરૂરી વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $C_1$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે:
$\pi R^2 = 2 \times (25\pi) = 50\pi$.
$R^2 = 50$.
કેન્દ્ર $(3,2)$ વાળા સમકેન્દ્રી વર્તુળનું સમીકરણ: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 50$.
$x^2-6x+9 + y^2-4y+4 = 50$.
$x^2+y^2-6x-4y = 37$.

(D) આપેલ વર્તુળ $2x^2+2y^2-8x-12y-9=0$ સાથે સમકેન્દ્રી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
આ વર્તુળ $x^2+y^2+8x+10y-7=0$ ના કેન્દ્ર $(-4, -5)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-4-2)^2 + (-5-3)^2} = 10$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 10^2$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-4x-6y-87=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+6x-14y+5=0$ નું કેન્દ્ર $(-3, 7)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-4x+10y-4=0$ નું કેન્દ્ર $(2, -5)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
કેન્દ્રો $(-3, 7)$ અને $(2, -5)$ મૂકતા:
$(x - (-3))(x - 2) + (y - 7)(y - (-5)) = 0$
$(x+3)(x-2) + (y-7)(y+5) = 0$
$x^2 - 2x + 3x - 6 + y^2 + 5y - 7y - 35 = 0$
$x^2 + y^2 + x - 2y - 41 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ છે.
તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-3$ અને $f=-2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2)$ છે.
માગેલ વર્તુળ સમકેન્દ્રી હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર પણ $(3, 2)$ થશે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય થશે,તેથી $r = |2| = 2$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ મળે છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = 4$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A \equiv (x_1, y_1)$ અને $B \equiv (x_2, y_2)$.
આપેલ સમીકરણો પરથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$x_1+x_2 = -2a$ અને $x_1x_2 = -b^2$.
$y_1+y_2 = -2p$ અને $y_1y_2 = -q^2$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$ મળે છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા:
$x^2 - (-2a)x + (-b^2) + y^2 - (-2p)y + (-q^2) = 0$.
$x^2 + y^2 + 2ax + 2py - (b^2+q^2) = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-ax-by=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે:
$(x^2-ax+\frac{a^2}{4})+(y^2-by+\frac{b^2}{4}) = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$
$(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{b}{2})^2 = (\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2})^2$.
આ સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ છે.
પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \cos \theta$ અને $y = \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \sin \theta$ મળે છે.

(C) બાજુઓના આપેલ સમીકરણો $x=-2, x=6, y=-2$ અને $y=5$ છે.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-2, -2)$,$B(6, -2)$,$C(6, 5)$ અને $D(-2, 5)$ છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ વર્તુળના વ્યાસ તરીકે કાર્ય કરે છે.
વિકર્ણ $AC$ ના અંતિમ બિંદુઓ $A(-2, -2)$ અને $C(6, 5)$ લેતા,વ્યાસ સ્વરૂપમાં વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
$(x - (-2))(x - 6) + (y - (-2))(y - 5) = 0$
$(x + 2)(x - 6) + (y + 2)(y - 5) = 0$
$x^2 - 6x + 2x - 12 + y^2 - 5y + 2y - 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 3y - 22 = 0$

(A) વર્તુળ $x^2+y^2=5$ ના બિંદુ $(1, -2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = r^2$ મુજબ $x(1) + y(-2) = 5$ એટલે કે $x - 2y = 5$ થાય.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ માટે સ્પર્શબિંદુ આ રેખા પર હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(3, -1)$ માટે: $3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$. આ બિંદુ સ્પર્શકની રેખા પર છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(3, -1)$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ માટે બિંદુ $P(\theta)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \sin \theta = a$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $a = 5$ અને ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3} = 5$
$x \left( \frac{1}{2} \right) + y \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 5$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x + \sqrt{3} y = 10$.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2-x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (\frac{1}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 - 0} = \frac{1}{2}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-\frac{1}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 0^2 - 0} = \frac{1}{2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2} = 1$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r_1 + r_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ છે.
અહીં $C_1C_2 = r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-5y-1=0$ છે. તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3$ અને $f=-2.5$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2.5)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(x_2, y_2)$ છે. કેન્દ્ર $(3, 2.5)$ એ $(-1, 3)$ અને $(x_2, y_2)$ બિંદુઓને જોડતા વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{-1+x_2}{2} = 3 \Rightarrow x_2 = 7$
$\frac{3+y_2}{2} = 2.5 \Rightarrow y_2 = 2$
તેથી,બીજું અંત્યબિંદુ $(7, 2)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
$(x_1, y_1) = (7, 2)$,$g=-3$,$f=-2.5$,અને $c=-1$ મૂકતા:
$7x + 2y - 3(x+7) - 2.5(y+2) - 1 = 0$
$7x + 2y - 3x - 21 - 2.5y - 5 - 1 = 0$
$4x - 0.5y - 27 = 0$
$2$ વડે ગુણતા,$8x - y - 54 = 0$ મળે છે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25$ છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$P(1, 7)$ માંથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{1^2 + 7^2 - 25} = \sqrt{1 + 49 - 25} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ચતુષ્કોણ $PQOR$ માં,$PQ$ અને $PR$ સ્પર્શકો છે,તેથી $PQ = PR = 5$.
વળી,$OQ = OR = 5$ (વર્તુળની ત્રિજ્યા).
સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે,તેથી $\angle OQP = \angle ORP = 90^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $PQOR$ એ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQO$ અને $\triangle PRO$ નો બનેલો છે.
$\triangle PQO$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.
ચતુષ્કોણ $PQOR$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 12.5 = 25 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વર્તુળ $2x^2+2y^2-6x+8y+1=0$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2-3x+4y+\frac{1}{2}=0$ મળે.
કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1$ માટે $r_1^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 - \frac{1}{2} = \frac{23}{4}$ થાય.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $x^2+y^2-3x+4y+k=0$ છે.
તેની ત્રિજ્યા $r_2$ માટે $r_2^2 = \frac{25}{4} - k$ થાય.
ક્ષેત્રફળ બમણું હોવાથી,$r_2^2 = 2r_1^2$.
$\frac{25}{4} - k = 2(\frac{23}{4}) = \frac{23}{2}$.
$k = -\frac{21}{4}$.
આમ,સમીકરણ $x^2+y^2-3x+4y-\frac{21}{4}=0$ અથવા $4x^2+4y^2-12x+16y-21=0$ મળે.

(A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(3, 4)$ થી રેખા $5x + 12y - 11 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$r = \left| \frac{5(3) + 12(4) - 11}{\sqrt{5^2 + 12^2}} \right| = \left| \frac{15 + 48 - 11}{\sqrt{25 + 144}} \right| = \frac{52}{13} = 4$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 16$
$x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$.

(D) આપેલ છે $\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^3=\frac{x+i y}{27}$.
ડાબી બાજુને $\left(\frac{-6-i}{3}\right)^3 = \frac{(-6-i)^3}{27}$ તરીકે લખી શકાય.
અંશને સરખાવતા,$x+iy = (-6-i)^3$.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(-6-i)^3 = (-6)^3 + 3(-6)^2(-i) + 3(-6)(-i)^2 + (-i)^3$.
$= -216 + 3(36)(-i) + 3(-6)(-1) - (-i)$.
$= -216 - 108i + 18 + i$.
$= -198 - 107i$.
$x+iy$ સાથે સરખાવતા,$x = -198$ અને $y = -107$ મળે.
તેથી,$y-x = -107 - (-198) = -107 + 198 = 91$.

(B) આપેલ છે $z = \frac{(1 + i)^2}{a - i}$.
$(1 + i)^2 = 2i$ હોવાથી,$z = \frac{2i}{a - i}$.
અંશ અને છેદને $(a + i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{2i(a + i)}{a^2 + 1} = \frac{-2 + 2ai}{a^2 + 1}$.
માન $|z| = \sqrt{\frac{4}{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
$|z| = \sqrt{\frac{2}{5}}$ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{a^2 + 1} = \frac{2}{5} \Rightarrow a^2 = 9$. $a > 0$ હોવાથી $a = 3$.
તેથી $z = \frac{-2 + 6i}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.
તેથી અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\overline{z} = -\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$.

(A) આપેલ છે કે $w = \frac{z-1}{z+1}$.
$|z|=1$ હોવાથી,આપણે $z = x+iy$ લઈ શકીએ જ્યાં $x^2+y^2=1$.
તેથી $w = \frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}$.
વાસ્તવિક ભાગ શોધવા માટે,છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(x+1)-iy$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$w = \frac{((x-1)+iy)((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{(x^2-1) + y^2 + i(y(x+1) - y(x-1))}{(x+1)^2+y^2}$.
$w = \frac{(x^2+y^2-1) + 2iy}{(x+1)^2+y^2}$.
$|z|=1$ હોવાથી,$x^2+y^2=1$,તેથી $x^2+y^2-1=0$.
આમ,$\operatorname{Re}(w) = \frac{0}{(x+1)^2+y^2} = 0$.

(A) આપેલ છે $Z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}$
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}$
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{4}$
$Z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
અહીં,વાસ્તવિક ભાગ $a = -\frac{1}{2}$ અને કાલ્પનિક ભાગ $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$a < 0$ અને $b > 0$ હોવાથી,આ સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં છે.
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|$
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}\right|$
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3})$
$\arg(Z) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(D) ધારો કે $Z = a + ib$.
તેથી $|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
આપેલ છે કે $|Z| + Z = 2 + i$.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{a^2 + b^2} + a + ib = 2 + i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$b = 1$ અને $\sqrt{a^2 + b^2} + a = 2$.
$b = 1$ હોવાથી,$\sqrt{a^2 + 1} = 2 - a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 + 1 = (2 - a)^2$.
$a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2$.
$4a = 3$,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
હવે,$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $|z|+z=2+i$.
ધારો કે $z=x+iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
તેથી $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{x^2+y^2}+x+iy=2+i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$y=1$ અને $\sqrt{x^2+y^2}+x=2$.
બીજા સમીકરણમાં $y=1$ મૂકતા: $\sqrt{x^2+1}=2-x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+1=(2-x)^2 = 4-4x+x^2$.
$1=4-4x$ $\Rightarrow 4x=3$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$.
આમ,$z=\frac{3}{4}+i$.
તેથી,$|z|=\sqrt{(\frac{3}{4})^2+1^2} = \sqrt{\frac{9}{16}+1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $z_1 = 5 - 2i$ અને $z_2 = 3 + i$.
પ્રથમ,$z_1 + z_2 = (5 + 3) + (-2 + 1)i = 8 - i$.
ત્યારબાદ,$z_1 - z_2 = (5 - 3) + (-2 - 1)i = 2 - 3i$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} = \frac{8 - i}{2 - 3i}$ લો.
છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(2 + 3i)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\frac{8 - i}{2 - 3i} \times \frac{2 + 3i}{2 + 3i} = \frac{16 + 24i - 2i - 3i^2}{4 + 9} = \frac{19 + 22i}{13} = \frac{19}{13} + \frac{22}{13}i$.
કોણાંક (argument) $\tan^{-1}\left(\frac{\text{કાલ્પનિક ભાગ}}{\text{વાસ્તવિક ભાગ}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{22/13}{19/13}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{22}{19}\right)$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $z$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $z^3 = 1$ અને $1+z+z^2 = 0$.
$1+z+z^2 = 0$ પરથી,આપણને $z^2+1 = -z$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2$ ધ્યાનમાં લો.
$z^3 = 1$ મૂકતા,આપણને $\left(1+\frac{1}{1}\right)^2+\left(z^3 \cdot z+\frac{1}{z^3 \cdot z}\right)^2$ મળે છે.
$= (1+1)^2 + \left(z+\frac{1}{z}\right)^2$.
$= 4 + \left(\frac{z^2+1}{z}\right)^2$.
$z^2+1 = -z$ મૂકતા,આપણને $4 + \left(\frac{-z}{z}\right)^2$ મળે છે.
$= 4 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $w = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$,જે એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જેને $\omega$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 = -1 - \omega$.
આપણે $(3 + \omega + 3 \omega^2)^4$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અભિવ્યક્તિમાં $\omega^2 = -1 - \omega$ મૂકતા:
$(3 + \omega + 3(-1 - \omega))^4 = (3 + \omega - 3 - 3 \omega)^4$.
$= (-2 \omega)^4$.
$= 16 \omega^4$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$.
તેથી,$16 \omega^4 = 16 \omega$.

(D) આપેલ છે કે $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z-1| = |z+2i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + iy - 1| = |x + iy + 2i|$
$|(x-1) + iy| = |x + i(y+2)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$
$-2x + 1 = 4y + 4$
$2x + 4y + 3 = 0$.
આ એક સુરેખાનું સમીકરણ છે.

(D) આપેલ છે $\left|\frac{z}{1+i}\right|=2$.
$|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ હોવાથી,$|z| = 2|1+i| = 2\sqrt{2}$ મળે.
$z=x+iy$ મુકતા,$|x+iy| = 2\sqrt{2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2+y^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ મળે.
આ વર્તુળ $x^2+y^2 = 8$ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C \equiv (0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.

(C) આપેલ શરત $|z+1|=1$ છે.
સમીકરણમાં $z=x+iy$ મૂકતા:
$|x+iy+1|=1$
$|(x+1)+iy|=1$
સંકર સંખ્યાના માનાંકની વ્યાખ્યા $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{(x+1)^2+y^2}=1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x+1)^2+y^2=1^2$
$(x+1)^2+y^2=1$
આ વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h,k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા,કેન્દ્ર $(-1,0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ એકમ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$z\bar{z}^3+\bar{z}z^3=350$
$\Rightarrow z\bar{z}(\bar{z}^2+z^2)=350$
$\Rightarrow |z|^2(x-iy)^2+(x+iy)^2=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(x^2-y^2-2ixy+x^2-y^2+2ixy)=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(2x^2-2y^2)=350$
$\Rightarrow 2(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$
$\Rightarrow x^4-y^4=175$
$x$ અને $y$ પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે કિંમતો ચકાસીએ: $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=175$.
$x=4, y=3$ માટે: $4^4-3^4=256-81=175$.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(4,3), (-4,3), (-4,-3), (4,-3)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $|4-(-4)|=8$ અને પહોળાઈ $|3-(-3)|=6$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 6 = 48 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $4x^2 + kxy + y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$2h = k$ (તેથી $h = k/2$),અને $b = 1$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -k$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = 4$.
આપેલ શરત મુજબ,$m_1 = 4m_2$.
ઢાળના સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા: $4m_2 + m_2 = -k \implies 5m_2 = -k \implies m_2 = -k/5$.
ઢાળના ગુણાકારમાં આ કિંમત મૂકતા: $(4m_2)(m_2) = 4 \implies 4m_2^2 = 4 \implies m_2^2 = 1 \implies m_2 = \pm 1$.
તેથી,$-k/5 = \pm 1$,જેનો અર્થ છે કે $k = \mp 5$.
આમ,$k$ ની કિંમત $5$ છે.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x([x]+|x|) \sin [x]}{|x|}$.
$x \rightarrow 0^{-}$ માટે,$[x] = -1$ અને $|x| = -x$ થાય.
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x(-1 + (-x)) \sin(-1)}{-x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x(-1 - x)(-\sin 1)}{-x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0^{-}} (1 + x) \sin 1$
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે આ કિંમત $(1 + 0) \sin 1 = \sin 1$ થાય.

(D) લક્ષ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(L.H.L.)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(R.H.L.)$ શોધીએ છીએ.
$L.H.L. = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{|x|+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{-x+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{-1+x} = \frac{1}{-1} = -1$.
$R.H.L. = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{|x|+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1} = 1$.
કારણ કે $L.H.L. \neq R.H.L.$,લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=7$.
સીમાનું અસ્તિત્વ હોવાથી અને છેદ $x \rightarrow 1$ માટે $0$ થતો હોવાથી,અંશ પણ $x=1$ માટે $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$(1)^2 - a(1) + b = 0$,જેનો અર્થ છે $1 - a + b = 0$,અથવા $a - b = 1 \dots (i)$.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{d}{dx}(x^2 - ax + b) = 7$.
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} (2x - a) = 7$.
$x=1$ મૂકતા,$2(1) - a = 7$,તેથી $2 - a = 7$,જે $a = -5$ આપે છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = -5$ મૂકતા,$-5 - b = 1$,તેથી $b = -6$.
આમ,$a + b = -5 + (-6) = -11$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1}{x+1}-a x-b\right)=4$.
લક્ષની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1}\right)=4$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{(1-a)x^2+(1-a-b)x+(1-b)}{x+1}\right)=4$
લક્ષનું મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1-a=0 \Rightarrow a=1$.
હવે,$a=1$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-bx+(1-b)}{x+1}\right)=4$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-b+\frac{1-b}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right)=4$
$-b=4 \Rightarrow b=-4$.
આમ,$a=1$ અને $b=-4$.

(A) અમે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^x-4^x}{x(9^x+4^x)}$
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{9^x-1 - (4^x-1)}{x} \right) \cdot \frac{1}{9^x+4^x}$
$= \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^x-1}{x} - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x-1}{x} \right) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{9^x+4^x}$
$= (\log(9) - \log(4)) \cdot \frac{1}{1+1}$
$= \log \left( \frac{9}{4} \right) \cdot \frac{1}{2}$
$= \log \left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right) \cdot \frac{1}{2}$
$= 2 \log \left( \frac{3}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = \log \left( \frac{3}{2} \right)$

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{5^x+5^{3-x}-30}{5^{3-x}-5^{\frac{x}{2}}}\right)$.
ધારો કે $t = 5^{\frac{x}{2}}$. જ્યારે $x \rightarrow 2$,ત્યારે $t \rightarrow 5^1 = 5$.
તેથી $5^x = t^2$ અને $5^{3-x} = \frac{125}{5^x} = \frac{125}{t^2}$.
આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{t \rightarrow 5} \frac{t^2 + \frac{125}{t^2} - 30}{\frac{125}{t^2} - t} = \lim _{t \rightarrow 5} \frac{t^4 - 30t^2 + 125}{125 - t^3}$.
અંશના અવયવ પાડતા: $t^4 - 30t^2 + 125 = (t^2 - 25)(t^2 - 5) = (t-5)(t+5)(t^2-5)$.
છેદના અવયવ પાડતા: $125 - t^3 = (5-t)(25 + 5t + t^2) = -(t-5)(25 + 5t + t^2)$.
આમ,$L = \lim _{t \rightarrow 5} \frac{(t-5)(t+5)(t^2-5)}{-(t-5)(25 + 5t + t^2)} = \lim _{t \rightarrow 5} \frac{-(t+5)(t^2-5)}{25 + 5t + t^2}$.
$t = 5$ મૂકતા:
$L = \frac{-(5+5)(25-5)}{25 + 5(5) + 25} = \frac{-10 \times 20}{75} = \frac{-200}{75} = \frac{-8}{3}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{3^x + 3^{3-x} - 12}{3^{3-x} - 3^{x/2}}$.
અંશ અને છેદને $3^x$ વડે ગુણતા:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27}{3^3 - 3^{3x/2}}$
ધારો કે $t = 3^{x/2}$. જેમ $x \rightarrow 2$,તેમ $t \rightarrow 3$.
પદાવલિ $\lim _{t \rightarrow 3} \frac{t^4 - 12t^2 + 27}{27 - t^3}$ બને છે.
અંશના અવયવ પાડતા: $t^4 - 12t^2 + 27 = (t^2 - 9)(t^2 - 3) = (t-3)(t+3)(t^2-3)$.
છેદના અવયવ પાડતા: $27 - t^3 = (3-t)(9 + 3t + t^2) = -(t-3)(t^2 + 3t + 9)$.
$\lim _{t \rightarrow 3} \frac{(t-3)(t+3)(t^2-3)}{-(t-3)(t^2 + 3t + 9)} = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{-(t+3)(t^2-3)}{t^2 + 3t + 9}$.
$t=3$ મૂકતા: $\frac{-(3+3)(9-3)}{9+9+9} = \frac{-6 \cdot 6}{27} = \frac{-36}{27} = -\frac{4}{3}$.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$.
પ્રથમ,$L_1 = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\sin x)^{\frac{1}{x}}$ ધ્યાનમાં લો. જેમ $x \rightarrow 0^+$,તેમ $\sin x \rightarrow 0^+$ અને $\frac{1}{x} \rightarrow \infty$. કોઈપણ ધન ઘાત માટે $0$ ની ઘાત $0$ હોવાથી,$L_1 = 0$.
હવે,$L_2 = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\frac{1}{x})^{\sin x}$ ધ્યાનમાં લો.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln L_2 = \lim _{x \rightarrow 0^+} \sin x \ln(\frac{1}{x}) = \lim _{x \rightarrow 0^+} -\sin x \ln x$.
આ $0 \times \infty$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે. તેને આ રીતે ફરીથી લખતા: $\ln L_2 = -\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}$.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\ln L_2 = -\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot x} = \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin x \tan x}{x} = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\frac{\sin x}{x}) \cdot \tan x$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0^+} \tan x = 0$,તેથી $\ln L_2 = 1 \times 0 = 0$.
આમ,$L_2 = e^0 = 1$.
તેથી,$L = L_1 + L_2 = 0 + 1 = 1$.

(C) લિમિટની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}-\sqrt{2}}{y^4} \times \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2}}$
$= \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1+\sqrt{1+y^4}-2}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+y^4}-1}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})}$
હવે,બાકી રહેલા વર્ગમૂળ પદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$= \lim _{y \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+y^4}-1)(\sqrt{1+y^4}+1)}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)}$
$= \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1+y^4-1}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)}$
$= \lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^4}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)}$
$= \frac{1}{(\sqrt{1+1}+\sqrt{2})(1+1)} = \frac{1}{(2\sqrt{2})(2)} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$

(C) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi \cos ^2 x\right)}{x^2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશને આ રીતે લખી શકીએ:
$\sin(\pi \cos^2 x) = \sin(\pi - \pi \cos^2 x) = \sin(\pi(1 - \cos^2 x)) = \sin(\pi \sin^2 x)$.
હવે લક્ષ આ મુજબ થશે: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{x^2} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી:
$= 1 \times \pi \times \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 = 1 \times \pi \times 1^2 = \pi$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x (3 + \cos x)}{x \tan 4x}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left[ 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{x}{\tan 4x} \cdot (3 + \cos x) \right]$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left[ 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot \frac{\tan 4x}{4x}} \cdot (3 + \cos x) \right]$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ અને $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot 1} \cdot (3 + \cos 0)$
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + 1)$
$= \frac{2}{4} \cdot 4 = 2$

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{(1-\sin x)(8 x^3-\pi^3) \cos x}{(\pi-2 x)^4}$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{(1-\sin x)(2x-\pi)(4x^2+\pi^2+2\pi x) \cos x}{16(\frac{\pi}{2}-x)^4}$.
ધારો કે $x - \frac{\pi}{2} = h$,તેથી $x = \frac{\pi}{2} + h$. જેમ $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,તેમ $h \rightarrow 0$.
ત્યારે $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} + h) = -\sin h$ અને $1 - \sin x = 1 - \sin(\frac{\pi}{2} + h) = 1 - \cos h$.
વળી,$2x - \pi = 2(\frac{\pi}{2} + h) - \pi = 2h$.
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{h}$ ${\rightarrow 0} \frac{(1-\cos h)(2h)(4(\frac{\pi}{2}+h)^2 + \pi^2 + 2\pi(\frac{\pi}{2}+h))(-\sin h)}{16(-h)^4}$.
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{-(1-\cos h)}{h^2} \cdot \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{2h(3\pi^2 + 8\pi h + 4h^2)}{16h}$.
$L = -(\frac{1}{2}) \cdot (1) \cdot \frac{2(3\pi^2)}{16} = -\frac{3\pi^2}{16}$.

(C) આપણે લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2x - 2x \tan x}{(1 - \cos 2x)^2}$ ની ગણતરી કરીએ.
નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $(2 \sin^2 x)^2 = 4 \sin^4 x$ થશે.
તેથી,પદ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(\tan 2x - 2 \tan x)}{4 \sin^4 x}$ બને છે.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \theta = \theta + \frac{\theta^3}{3} + \dots$ અને $\sin x \approx x$.
$\tan 2x = 2x + \frac{8x^3}{3} + O(x^5)$ અને $2 \tan x = 2x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$.
અંશ: $x[(2x + \frac{8x^3}{3}) - (2x + \frac{2x^3}{3})] = 2x^4$.
છેદ: $4 \sin^4 x \approx 4x^4$.
લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^4}{4x^4} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $l = \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left[ \frac{1-\tan \left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \right] \left[ \frac{1-\sin x}{(\pi-2 x)^3} \right]$
$\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = \frac{1-\tan(x/2)}{1+\tan(x/2)}$ હોવાથી:
$l = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)(1-\sin x)}{(\pi-2 x)^3}$
$\pi-2x = \theta$ લેતા,$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$. જ્યારે $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $\theta \rightarrow 0$.
વળી,$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{\theta}{4}$ અને $1-\sin x = 2\sin^2(\frac{\theta}{4})$.
કિંમતો મૂકતા:
$l = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(\frac{\theta}{4}) \cdot 2\sin^2(\frac{\theta}{4})}{\theta^3}$
$l = \lim _{\theta}$ ${\rightarrow 0} \frac{\tan(\frac{\theta}{4})}{\frac{\theta}{4} \cdot 4} \cdot \frac{2\sin^2(\frac{\theta}{4})}{(\frac{\theta}{4})^2 \cdot 16}$
$l = \frac{2}{64} (1)(1)^2 = \frac{1}{32}$

(B) ધારો કે વિકર્ણો $\vec{d_1} = 8\hat{i} - 6\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 12\hat{k}$ છે.
વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-12) - (0)(4)) - \hat{j}((8)(-12) - (0)(3)) + \hat{k}((8)(4) - (-6)(3))$
$= 72\hat{i} + 96\hat{j} + 50\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{72^2 + 96^2 + 50^2}$
$= \sqrt{5184 + 9216 + 2500}$
$= \sqrt{16900} = 130$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 130 = 65$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપણે વિવિધ અંતરાલોમાં વિધેય $f(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$x \in [-1, 0)$ માટે,$|x| = -x$ અને $[x] = -1$,તેથી $f(x) = -x - 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$|x| = x$ અને $[x] = 0$,તેથી $f(x) = x + 0 = x$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$|x| = x$,તેથી $f(x) = x + x = 2x$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$|x| = x$,તેથી $f(x) = x + x = 2x$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} -x-1, & -1 \leq x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2x, & 1 \leq x \leq 3 \end{cases}$.
$x=0$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ અને $f(0) = 0$. $-1 \neq 0$ હોવાથી,$f$ એ $x=0$ પર અસતત છે.
$x=1$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ અને $f(1) = 2(1) = 2$. $1 \neq 2$ હોવાથી,$f$ એ $x=1$ પર અસતત છે.
$x=2$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) = 4$ અને $f(2) = 2(2) = 4$. લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,$f$ એ $x=2$ પર સતત છે.
તેથી,$f$ માત્ર બે બિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ પર અસતત છે.

(B) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\sum P(X) = 1 \Rightarrow K^2 + 2K + K + 2K + 5K^2 = 1$
$6K^2 + 5K - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(6K - 1)(K + 1) = 0$
આથી $K = \frac{1}{6}$ અથવા $K = -1$ મળે છે.
સંભાવના $P(X)$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $K = -1$ ને અવગણતા,$K = \frac{1}{6}$ મળે છે.
આપણે $P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ શોધવાનું છે.
$P(X > 2) = K + 2K + 5K^2 = 3K + 5K^2$.
$K = \frac{1}{6}$ મૂકતા:
$P(X > 2) = 3(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{36} = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36}$.

(A) ધારો કે $t$ સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $B(t)$ છે. વૃદ્ધિનો દર $\frac{dB}{dt} = \lambda B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $B(t) = B_0 e^{\lambda t}$ મળે છે,જ્યાં $B_0 = 1000$.
આપેલ છે કે $t = 2$ સમયે,$B(2) = 1000 + 1000$ ના $20\% = 1200$.
તેથી,$1200 = 1000 e^{2\lambda} \Rightarrow e^{2\lambda} = \frac{6}{5} \Rightarrow 2\lambda = \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right) \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)$.
આપણને આપેલ છે કે $B(T) = 2000$ જ્યાં $T = \frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$.
$B(T) = B_0 e^{\lambda T}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2000 = 1000 e^{\lambda T} \Rightarrow 2 = e^{\lambda T} \Rightarrow \log_{e} 2 = \lambda T$.
$\lambda$ અને $T$ ની કિંમત મૂકતા: $\log_{e} 2 = \left(\frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)\right) \times \left(\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}\right) = \frac{k}{2}$.
આમ,$k = 2 \log_{e} 2$.
અંતે,$\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2} = \left(\frac{2 \log_{e} 2}{\log_{e} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4$.

(C) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{ccc}-\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2\end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
ધારો કે $x = \lambda^2$. તો $x^3 - 3x - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(x+1)^2(x-2) = 0$ મળે છે.
તેથી,$(\lambda^2+1)^2(\lambda^2-2) = 0$.
વાસ્તવિક $\lambda$ માટે,$\lambda^2+1$ શૂન્ય ન હોઈ શકે.
આમ,$\lambda^2 - 2 = 0$,જે $\lambda = \pm \sqrt{2}$ આપે છે.
$\lambda$ ના $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો મળે છે.

(C) આપેલ વિધેય $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ છે.
વિધેય અયુગ્મ કે યુગ્મ છે તે તપાસવા માટે,આપણે $g(-u)$ ની કિંમત શોધીએ:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(e^{-u}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u)$.
આ કિંમત $g(-u)$ માં મૂકતા:
$g(-u) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u) \right) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u) = -g(u)$.
તેથી,$g(-u) = -g(u)$ હોવાથી,વિધેય અયુગ્મ છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે તપાસવા માટે,આપણે વિકલન $g'(u)$ શોધીએ:
$g'(u) = \frac{d}{du} (2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
બધા $u \in (-\infty, \infty)$ માટે $e^u > 0$ હોવાથી,$g'(u) > 0$ થાય છે.
તેથી,$g$ એ $(-\infty, \infty)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(A) શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,અને $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ ના મધ્યબિંદુઓ તપાસીએ:
$PR$ નું મધ્યબિંદુ $= \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{(-2\hat{i} - \hat{j}) + (3\hat{i} + 3\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
$QS$ નું મધ્યબિંદુ $= \frac{\vec{q} + \vec{s}}{2} = \frac{(4\hat{i}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
વિકર્ણોના મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આગળ,આપણે બાજુઓના સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\hat{i} - (-2\hat{i} - \hat{j}) = 6\hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = (-3\hat{i} + 2\hat{j}) - (-2\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + 3\hat{j}$.
લંબચોરસ માટે તપાસ (પાસેની બાજુઓનો ડોટ ગુણાકાર):
$\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = (6\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-\hat{i} + 3\hat{j}) = (6)(-1) + (1)(3) = -6 + 3 = -3 \neq 0$.
ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય ન હોવાથી,બાજુઓ લંબ નથી,તેથી તે લંબચોરસ નથી.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ માટે તપાસ (પાસેની બાજુઓની લંબાઈ):
$|\vec{PQ}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$.
$|\vec{PS}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$|\vec{PQ}| \neq |\vec{PS}|$ હોવાથી,બાજુઓ સમાન નથી,તેથી તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
આમ,$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,જે સમબાજુ કે લંબચોરસ નથી.

(B) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $y(x-2)(x-3)=x+6$ છે.
$Y$-અક્ષ પર,$x=0$ હોય. સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા: $y(0-2)(0-3)=0+6 \Rightarrow y(-2)(-3)=6 \Rightarrow 6y=6 \Rightarrow y=1$.
તેથી,છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
હવે,સમીકરણને $y = \frac{x+6}{x^2-5x+6}$ તરીકે લખો.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-5x+6)(1) - (x+6)(2x-5)}{(x^2-5x+6)^2}$.
$x=0$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{(0-0+6)(1) - (0+6)(0-5)}{(0-0+6)^2} = \frac{6 - (-30)}{36} = \frac{36}{36} = 1$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$.
$(0, 1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -x + 1$ અથવા $x + y = 1$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ માટે,$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ થાય છે,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,અભિલંબ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x = \theta + \sin \theta$ અને $y = 1 + \cos \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 1 + \cos \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ થાય.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ બિંદુ $(x, y)$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 1$ અને $y = 1 + \cos \frac{\pi}{2} = 1$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{-\sin(\pi/2)}{1 + \cos(\pi/2)} = \frac{-1}{1 + 0} = -1$ થાય.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ થાય.
$(\frac{\pi}{2} + 1, 1)$ બિંદુ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 1 = 1(x - (\frac{\pi}{2} + 1))$
$y - 1 = x - \frac{\pi}{2} - 1$
$x - y - \frac{\pi}{2} = 0$,જેને $2x - 2y - \pi = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(D) આપેલ વક્ર $y = x \log x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \log x$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 1 + \log x$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1 + \log x}$ થાય.
આપેલ રેખા $2x - 2y = 3$ છે,જેને $2y = 2x - 3$ અથવા $y = x - \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $1$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{1}{1 + \log x} = 1$.
$-1 = 1 + \log x \implies \log x = -2$.
$x = e^{-2}$.
હવે,$y$-યામ શોધીએ:
$y = x \log x = e^{-2} \cdot (-2) = -2e^{-2}$.
તેથી,બિંદુના યામ $(e^{-2}, -2e^{-2})$ છે.

(B) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x=\theta+\sin \theta$ અને $y=1+\cos \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{d\theta} = 1+\cos \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-\sin \theta}{1+\cos \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{-\sin(\pi/2)}{1+\cos(\pi/2)} = \frac{-1}{1+0} = -1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ થાય.
હવે,$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ બિંદુ $(x, y)$ શોધો:
$x = \frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + 1$ અને $y = 1 + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$.
અભિલંબનું સમીકરણ $(y - y_1) = m_n(x - x_1)$ છે:
$(y - 1) = 1(x - (1 + \frac{\pi}{2}))$.
$y - 1 = x - 1 - \frac{\pi}{2}$.
$x - y - \frac{\pi}{2} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2x - 2y - \pi = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=0$ મળે.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac{y}{x}}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-y_1)=-\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x-x_1)$ થાય.
$\sqrt{x_1}$ વડે ગુણતા,$\sqrt{x_1}y - \sqrt{x_1}y_1 = -\sqrt{y_1}x + \sqrt{y_1}x_1$ મળે.
ગોઠવતા,$\sqrt{y_1}x + \sqrt{x_1}y = \sqrt{x_1}y_1 + \sqrt{y_1}x_1 = \sqrt{x_1y_1}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1})$.
કારણ કે $\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}=\sqrt{a}$,સમીકરણ $\sqrt{y_1}x + \sqrt{x_1}y = \sqrt{x_1y_1a}$ બને.
$\sqrt{x_1y_1a}$ વડે ભાગતા,$\frac{x}{\sqrt{x_1a}} + \frac{y}{\sqrt{y_1a}} = 1$ મળે.
$x$-અંતઃખંડ $\sqrt{x_1a}$ અને $y$-અંતઃખંડ $\sqrt{y_1a}$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $\sqrt{a}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}) = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ થાય.

(B) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $y=1-e^{\frac{x}{3}} \dots (i)$ છે.
વક્ર $Y$-અક્ષને છેદે છે,તેથી $x=0$ લેતા.
$(i)$ માં $x=0$ મૂકતા,$y=1-e^{0}=1-1=0$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} e^{\frac{x}{3}}$ મળે છે.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ,ઢાળ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = -\frac{1}{3} e^{0} = -\frac{1}{3}$ થાય.
બિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $m = -\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$ છે.
$3$ વડે ગુણતા,$3y = -x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x + 3y = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $y(x) = 1 + \sqrt{4x-3}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-3}}$.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2}{\sqrt{4x-3}} = \frac{2}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sqrt{4x-3} = 3$,તેથી $4x-3 = 9$,જે $4x = 12$ એટલે કે $x = 3$ આપે છે.
$x = 3$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા,$y = 1 + \sqrt{4(3)-3} = 1 + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(3, 4)$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે: $m_{normal} = -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$(3, 4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 3)$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$2y - 8 = -3x + 9$,જે $3x + 2y - 17 = 0$ માં પરિણમે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, 7)$ માટે: $3(1) + 2(7) - 17 = 3 + 14 - 17 = 0$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,અભિલંબ $(1, 7)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = a \sin^3 \theta$ છે.
$\theta$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ થાય.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,ઢાળ $m = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$ છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ બિંદુના યામ $x = a \cos^3(\frac{\pi}{4}) = a(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ અને $y = a \sin^3(\frac{\pi}{4}) = a(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - \frac{a}{2 \sqrt{2}} = -1(x - \frac{a}{2 \sqrt{2}})$.
$y - \frac{a}{2 \sqrt{2}} = -x + \frac{a}{2 \sqrt{2}}$.
$x + y = \frac{a}{2 \sqrt{2}} + \frac{a}{2 \sqrt{2}} = \frac{2a}{2 \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(A) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $x^4-2xy^2+y^2+3x-3y=0 \dots (i)$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને જે ખૂણે છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે $(0,0)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવો પડશે.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$4x^3 - 2(y^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$4x^3 - 2y^2 - 4xy \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
હવે,$(x,y) = (0,0)$ કિંમત મૂકતા:
$4(0)^3 - 2(0)^2 - 4(0)(0) \frac{dy}{dx} + 2(0) \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$0 - 0 - 0 + 0 + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$3 = 3 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
ઢાળ $m = \tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^2 = px^3 + q \dots (i)$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ વક્ર પર આવેલું હોવાથી,આપણે $x=2$ અને $y=3$ ને $(i)$ માં મૂકીએ:
$3^2 = p(2)^3 + q \Rightarrow 9 = 8p + q \dots (ii)$.
$(i)$ ના બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$.
$(2, 3)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = \frac{12p}{6} = 2p$ થાય.
આપેલ સ્પર્શક રેખા $y = 4x - 5$ છે,જેનો ઢાળ $4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $2p = 4 \Rightarrow p = 2$.
$p = 2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$9 = 8(2) + q \Rightarrow 9 = 16 + q \Rightarrow q = -7$.
આમ,$p = 2$ અને $q = -7$ મળે છે.

(D) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $x=\sqrt{t}$ અને $y=t-\frac{1}{\sqrt{t}}$ છે.
$t=4$ આગળ,$x=\sqrt{4}=2$ અને $y=4-\frac{1}{\sqrt{4}}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ મળે.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ શોધીએ.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$ અને $\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{2t\sqrt{t}}$.
$t=4$ આગળ,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{4}$ અને $\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \frac{17/16}{1/4} = \frac{17}{4}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{4}{17}$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{7}{2} = -\frac{4}{17}(x - 2)$ થાય.
$34$ વડે ગુણતા,$34y - 119 = -8(x - 2) \implies 34y - 119 = -8x + 16$.
ગોઠવતા $8x + 34y = 135$ મળે.

(C) આપેલ વક્ર $y=ax^3+bx^2+cx+5$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને $(-2,0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી તે $(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x=-2$ આગળ તેનું વિકલન $0$ થાય છે.
$(-2,0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \dots (i)$.
વળી,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ છે.
$x=-2$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow 3a(4) + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \dots (ii)$.
વક્ર $Y$-અક્ષને $Q$ બિંદુએ છેદે છે. $x=0$ મૂકતા,$y=5$,તેથી $Q$ એ $(0,5)$ છે.
$Q$ આગળ ઢાળ $3$ છે,તેથી $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3 \Rightarrow c = 3$.
$c=3$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા:
$8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \dots (iii)$.
$12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \dots (iv)$.
$(iv)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
આમ,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$.

(A) આપેલ વક્રો $y=10-x^2$ અને $y=2+x^2$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $10-x^2 = 2+x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x=2$ માટે,$y=6$. $x=-2$ માટે,$y=6$. ચાલો બિંદુ $(2, 6)$ લઈએ.
પ્રથમ વક્ર $y=10-x^2$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = -2x$. $x=2$ આગળ,$m_1 = -4$.
બીજા વક્ર $y=2+x^2$ માટે,ઢાળ $m_2 = \frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ આગળ,$m_2 = 4$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-4 - 4}{1 + (-4)(4)} \right| = \left| \frac{-8}{1 - 16} \right| = \left| \frac{-8}{-15} \right| = \frac{8}{15}$.
આમ,$|\tan \theta| = \frac{8}{15}$.

(B) આપેલ વક્ર $y=x \log x$ છે ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 1 + \log x$ મળે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{1+\log x}$ થાય.
આપેલ રેખા $2x-2y+3=0$ છે,જેને $y = x + \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
અભિલંબ આપેલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોય:
$-\frac{1}{1+\log x} = 1$
$\Rightarrow 1+\log x = -1$
$\Rightarrow \log x = -2$
$\Rightarrow x = e^{-2}$.
$x = e^{-2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2}(-2) = -2e^{-2}$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(e^{-2}, -2e^{-2})$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - (-2e^{-2}) = 1(x - e^{-2})$
$y + 2e^{-2} = x - e^{-2}$
$x - y = 3e^{-2}$.

(D) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર દડાનું તાપમાન $\theta$ છે. ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - 20)$,જ્યાં $k > 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln|\theta - 20| = -kt + C$ મળે છે.
જ્યારે $t = 0$,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $C = \ln(80 - 20) = \ln(60)$.
આમ,$\ln|\theta - 20| = -kt + \ln(60) \dots (i)$.
જ્યારે $t = 5$,$\theta = 60^{\circ} C$,તેથી $\ln(60 - 20) = -5k + \ln(60)$.
$5k = \ln(60) - \ln(40) = \ln(\frac{60}{40}) = \ln(\frac{3}{2})$.
તેથી,$k = \frac{1}{5} \ln(\frac{3}{2})$.
$t = 20$ માટે,સમીકરણ $(i)$ માં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$\ln|\theta - 20| = -20 \times \frac{1}{5} \ln(\frac{3}{2}) + \ln(60) = -4 \ln(\frac{3}{2}) + \ln(60)$.
$\ln|\theta - 20| = \ln((\frac{2}{3})^4) + \ln(60) = \ln(\frac{16}{81} \times 60) = \ln(\frac{320}{27}) \approx \ln(11.85)$.
$\theta - 20 = 11.85 \implies \theta = 31.85^{\circ} C$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$.
આપણે $a = 0.027$ લઈએ છીએ કારણ કે $\sqrt[3]{0.027} = 0.3$,અને $h = -0.001$ જેથી $a + h = 0.026$ થાય.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + hf'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(a) = (0.027)^{\frac{1}{3}} = 0.3$.
$f'(a) = \frac{1}{3(0.027)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(0.09)} = \frac{1}{0.27}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f(0.026) \approx 0.3 + (-0.001) \times \frac{1}{0.27}$.
$f(0.026) \approx 0.3 - \frac{0.001}{0.27} \approx 0.3 - 0.0037 = 0.2963$.

(D) ધારો કે $f(x) = \cos x$. તો $f^{\prime}(x) = -\sin x$.
આપણે $\cos(30^{\circ} 30^{\prime})$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
અહીં,$30^{\circ} 30^{\prime} = 30^{\circ} + 30^{\prime} = 30^{\circ} + (0.5)^{\circ}$.
$0.5^{\circ}$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા: $0.5 \times 0.0175 = 0.00875 \text{ rad}$.
ધારો કે $a = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ અને $h = 0.00875 \text{ rad}$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(a+h) \approx \cos(30^{\circ}) + (0.00875)(-\sin(30^{\circ}))$.
આપેલ છે કે $\cos 30^{\circ} = 0.8660$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$.
$f(a+h) \approx 0.8660 - 0.00875 \times 0.5$.
$f(a+h) \approx 0.8660 - 0.004375 = 0.861625$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.8616$ મળે છે.

(B) અંતરનું સમીકરણ $S = 1200t - 15t^2$ છે।
વેગ $v$ શોધવા માટે, આપણે $S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(1200t - 15t^2) = 1200 - 30t$.
જ્યારે બુલેટ સ્થિર થાય છે, ત્યારે તેનો વેગ $v = 0$ થાય છે:
$1200 - 30t = 0$
$30t = 1200$
$t = 40 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે, કુલ અંતર શોધવા માટે $t = 40$ ને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = 1200(40) - 15(40)^2$
$S = 48000 - 15(1600)$
$S = 48000 - 24000$
$S = 24000 \text{ cm}$.

(C) આપેલ છે કે, ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 8 \,cm/sec$ છે।
વર્તુળાકાર મોજાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે।
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે।
જ્યારે $r = 12 \,cm$ હોય, ત્યારે કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (8)$.
$\frac{dA}{dt} = 192 \pi \,cm^2/sec$.

(C) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર પદાર્થનું તાપમાન $\theta$ છે. ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં ફેરફારનો દર પદાર્થના તાપમાન અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - 30)$
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\ln(\theta - 30) = -kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $\ln(80 - 30) = C \Rightarrow C = \ln(50)$.
આમ,$\ln(\theta - 30) = -kt + \ln(50) \dots (i)$.
$t = 30 \text{ min}$ સમયે,$\theta = 60^{\circ} C$:
$\ln(60 - 30) = -k(30) + \ln(50) \Rightarrow \ln(30) - \ln(50) = -30k \Rightarrow \ln(3/5) = -30k$.
તેથી,$k = -\frac{1}{30} \ln(3/5) = \frac{1}{30} \ln(5/3)$.
હવે,$t = 60 \text{ min}$ (એક કલાક) માટે:
$\ln(\theta - 30) = -\left(\frac{1}{30} \ln(5/3)\right)(60) + \ln(50)$
$\ln(\theta - 30) = -2 \ln(5/3) + \ln(50) = \ln((3/5)^2 \times 50)$
$\ln(\theta - 30) = \ln(9/25 \times 50) = \ln(18)$
$\theta - 30 = 18 \Rightarrow \theta = 48^{\circ} C$.

(A) ધારો કે સમય $t$ પર ભેજનું પ્રમાણ $y$ છે.
ભેજમાં થતો ફેરફારનો દર ભેજના પ્રમાણના સમપ્રમાણમાં છે:
$\frac{dy}{dt} = -ky$ (જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે).
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{y} = -\int k dt \Rightarrow \ln y = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,ધારો કે પ્રારંભિક ભેજ $y_0 = 1$ ($100 \%$ દર્શાવે છે) છે.
તેથી $\ln(1) = -k(0) + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln y = -kt$.
આપેલ છે કે $t = 1$ કલાક પર,કપડું અડધો ભેજ ગુમાવે છે,તેથી $y = 0.5$ (અથવા $1/2$):
$\ln(0.5) = -k(1) \Rightarrow k = -\ln(0.5) = \ln(2)$.
હવે,આપણે $t$ શોધવાનો છે જ્યારે $99 \%$ ભેજ ગુમાવાઈ જાય,એટલે કે $1 \%$ બાકી રહે:
$y = 0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
સમીકરણ $\ln y = -kt$ માં કિંમત મૂકતા:
$\ln(10^{-2}) = -(\ln 2)t$.
$-2 \ln(10) = -(\ln 2)t$.
$t = \frac{2 \ln 10}{\ln 2} = \frac{2 \log 10}{\log 2}$.

(D) ધારો કે $x$ એ સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર છે અને $y$ એ સીડીના ઉપરના છેડાનું જમીનથી અંતર છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
આપેલ છે કે ઉપરનો છેડો $10 \ cm/sec$ ના દરે નીચે સરકે છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -10 \ cm/sec = -0.1 \ m/sec$.
જ્યારે $x = 4 \ m$ હોય,ત્યારે $4^2 + y^2 = 25$,જે $y^2 = 25 - 16 = 9$ આપે છે,તેથી $y = 3 \ m$.
$x^2 + y^2 = 25$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} = -y \frac{dy}{dt}$
$x = 4$,$y = 3$,અને $\frac{dy}{dt} = -0.1$ કિંમતો મૂકતા:
$4 \frac{dx}{dt} = -3(-0.1)$
$4 \frac{dx}{dt} = 0.3$
$\frac{dx}{dt} = \frac{0.3}{4} = 0.075 \ m/sec$.
આમ,સીડીનો નીચેનો છેડો $0.075 \ m/sec$ ના દરે સરકે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \tan^{-1} x$.
તેથી $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
આપણે રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 1$ અને $h = -0.001$ લો,જેથી $a+h = 0.999$ થાય.
$f(a) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$f'(a) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} = 0.5$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\tan^{-1}(0.999) \approx \frac{\pi}{4} + (-0.001)(0.5)$.
$\tan^{-1}(0.999) \approx \frac{3.1415}{4} - 0.0005$.
$\tan^{-1}(0.999) \approx 0.785375 - 0.0005$.
$\tan^{-1}(0.999) \approx 0.784875$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $0.7849$ મળે છે.

(C) ધારો કે $t$ વર્ષે વસ્તી $p$ છે.
આપેલ છે કે વસ્તીમાં થતો ફેરફારનો દર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે:
$\frac{dp}{dt} = kp$
$\Rightarrow \frac{dp}{p} = k dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\log p = kt + c$
જ્યારે $t = 0$,$p = 40,000$:
$\log 40,000 = k(0) + c \Rightarrow c = \log 40,000$
તેથી,$\log p = kt + \log 40,000 \Rightarrow \log \left(\frac{p}{40,000}\right) = kt$
જ્યારે $t = 40$ વર્ષ,$p = 80,000$:
$\log \left(\frac{80,000}{40,000}\right) = 40k \Rightarrow \log 2 = 40k \Rightarrow k = \frac{\log 2}{40}$
આપણે બીજા $40$ વર્ષ પછી,એટલે કે $t = 80$ વર્ષે વસ્તી શોધવાની છે:
$\log \left(\frac{p}{40,000}\right) = \left(\frac{\log 2}{40}\right) \times 80$
$\log \left(\frac{p}{40,000}\right) = 2 \log 2 = \log 2^2 = \log 4$
$\frac{p}{40,000} = 4$
$p = 4 \times 40,000 = 160,000$

(C) ધારો કે $f(x) = x^{3/2}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2}$.
આપણે $3.978$ ને $a + h$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $a = 4$ અને $h = -0.022$ છે.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(4) = 4^{3/2} = 8$.
$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot (4)^{1/2} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
તેથી,$f(3.978) \approx 8 + (-0.022) \cdot 3$.
$f(3.978) \approx 8 - 0.066$.
$f(3.978) \approx 7.934$.

(B) $\text{ધારો કે } t \text{ સેકન્ડ સમયે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ } A, \text{ પરિમિતિ } P \text{ અને બાજુની લંબાઈ } X \text{ છે.}
\text{આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ } \frac{dA}{dt} = -3 \,cm^2 / sec \text{ ના દરે સંકોચાય છે.}
\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ } A = X^2 \text{ અને પરિમિતિ } P = 4X \text{ છે.}
A = X^2 \text{ પરથી, } X = \sqrt{A} \text{ મળે.}
\text{આ કિંમત પરિમિતિના સૂત્રમાં મૂકતા: } P = 4\sqrt{A} \text{.}
t \text{ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:}
\frac{dP}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{2}{X} \cdot \frac{dA}{dt} \text{.}
\text{અહીં } X = 15 \,cm \text{ અને } \frac{dA}{dt} = -3 \,cm^2 / sec \text{ (કારણ કે તે સંકોચાય છે):}
\frac{dP}{dt} = \frac{2}{15} \cdot (-3) = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5} \,cm / sec \text{.}
\text{ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પરિમિતિ } \frac{2}{5} \,cm / sec \text{ ના દરે ઘટી રહી છે.}$

(A) ધારો કે $f(x) = x^3-2x^2+3x+2$.
આપણે $x = 2.01$ પર આશરે કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $a = 2$ અને $h = 0.01$,તેથી $x = a+h = 2.01$.
વિકલન $f'(x) = 3x^2-4x+3$ છે.
$a = 2$ પર $f(a)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(2) = (2)^3-2(2)^2+3(2)+2 = 8-8+6+2 = 8$.
$a = 2$ પર $f'(a)$ ની ગણતરી કરતા:
$f'(2) = 3(2)^2-4(2)+3 = 12-8+3 = 7$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(2.01) \approx 8 + (0.01)(7) = 8 + 0.07 = 8.07$.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$.
પરવલયનું સમીકરણ $y = 2x^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = 4x \cdot \frac{dx}{dt}$ મળે.
$\frac{dx}{dt} = 2$ મૂકતા,$\frac{dy}{dt} = 4x(2) = 8x$ ... $(i)$.
ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $r$ છે,તેથી $r = \sqrt{x^2 + y^2}$.
અંતરના બદલાવાનો દર $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
$\frac{dx}{dt} = 2$ અને $\frac{dy}{dt} = 8x$ મૂકતા,$\frac{dr}{dt} = \frac{x(2) + y(8x)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{2x + 8xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
બિંદુ $(1, 2)$ પર,$x = 1$ અને $y = 2$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{2(1) + 8(1)(2)}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2 + 16}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{18}{\sqrt{5}} \text{ units/sec}$.

(C) અર્ધગોળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $R = 180 \text{ cm}$ છે.
પાણીના પ્રવાહનો દર $\frac{dV}{dt} = 108 \text{ dm}^3/\text{min} = 108 \times 1000 \text{ cm}^3/\text{min} = 108000 \text{ cm}^3/\text{min}$.
સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $\frac{dV}{dt} = \frac{108000}{60} \text{ cm}^3/\text{s} = 1800 \text{ cm}^3/\text{s}$.
ધારો કે પાણીની ઊંડાઈ $x$ છે. અર્ધગોળાકાર પાત્રમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{\pi}{3} x^2(3R - x)$ દ્વારા મળે છે.
$R = 180$ મૂકતા: $V = \frac{\pi}{3} x^2(540 - x) = 180 \pi x^2 - \frac{\pi}{3} x^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dt} = (360 \pi x - \pi x^2) \frac{dx}{dt}$.
$x = 120 \text{ cm}$ માટે,$1800 = (360 \pi(120) - \pi(120)^2) \frac{dx}{dt}$.
$1800 = (43200 \pi - 14400 \pi) \frac{dx}{dt} = 28800 \pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1800}{28800 \pi} = \frac{18}{288 \pi} = \frac{1}{16 \pi} \text{ cm/s}$.

(B) આપેલ છે કે,દડાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
જ્યારે $V = 288 \pi$ હોય,ત્યારે:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3$
$r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$
$r = 6 \text{ cm}$.
હવે,$V$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$
અહીં $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cc/sec}$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$4 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$1 = 36 \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{36} \text{ cm/sec}$.

(C) પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = 3t^2 - 8t + 5$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $s$ નું વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 8t + 5) = 6t - 8$.
જ્યારે પદાર્થનો વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તે અટકી જાય છે,એટલે કે $v = 0$.
વેગને શૂન્ય લેતા: $6t - 8 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $6t = 8 \Rightarrow t = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \text{ સેકન્ડ}$.
આમ,પદાર્થ $\frac{4}{3} \text{ સેકન્ડ}$ પછી અટકી જશે.

(C) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
આપણે પૃષ્ઠફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવાનો દર એટલે કે $\frac{dV}{dA}$ શોધવાનો છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr}$.
પ્રથમ,$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$.
ત્યારબાદ,$A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 8 \pi r$.
હવે,$\frac{dV}{dA} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$ મળે છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 2 \text{ cm}$ માટે,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}^3 / \text{ cm}^2$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 4$ અને $h = -0.022$ છે:
$f(4 - 0.022) \approx f(4) + (-0.022) \cdot f'(4)$.
$f(4) = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.
$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
તેથી,$f(3.978) \approx 8 + (-0.022) \cdot 3$.
$f(3.978) \approx 8 - 0.066 = 7.934$.

(D) ધારો કે $f(x) = 3^x$.
તેથી,વિકલન $f'(x) = 3^x \log 3$ થાય.
આપણે $f(2.001)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં,$a = 2$ અને $h = 0.001$ છે.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(2.001) \approx f(2) + (0.001) f'(2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$f(2.001) \approx 3^2 + (0.001)(3^2 \log 3)$.
આપેલ છે કે $\log 3 = 1.0986$:
$f(2.001) \approx 9 + (0.001)(9 \times 1.0986)$.
$f(2.001) \approx 9 + (0.001)(9.8874)$.
$f(2.001) \approx 9 + 0.0098874$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $9.00989$ મળે છે.

(D) ધારો કે $x$ એ નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર છે અને $y$ એ દીવાલ પર નિસરણીના ઉપરના છેડાની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે કે નિસરણીની લંબાઈ $5 \ m$ છે,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/sec$ અને જ્યારે $x = 4 \ m$ હોય,ત્યારે $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{4}{3} \times 2 = -\frac{8}{3} \ m/sec$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ ઘટી રહી છે.
તેથી,દીવાલ પરની ઊંચાઈ $\frac{8}{3} \ m/sec$ ના દરે ઘટી રહી છે.

(C) વર્તુળાકાર સેક્ટરની પરિમિતિ $P = r + r + r\theta = 2r + r\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વાયરની કુલ લંબાઈ $20 \ m$ છે,તેથી $2r + r\theta = 20$.
આના પરથી,આપણે $\theta$ ને $r$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ: $\theta = \frac{20 - 2r}{r}$.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $A = \frac{1}{2}r^2 \left( \frac{20 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2}r(20 - 2r) = 10r - r^2$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,આપણને $10 - 2r = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 5$.
આ મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ છીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$.
કારણ કે $\frac{d^2A}{dr^2} < 0$,તેથી $r = 5$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \ sq.m$ છે.

(B) આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = 36 \ m^3/min$ છે અને પાયાની ત્રિજ્યા $r = 3 \ m$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા,$36 = \pi \times (3)^2 \times \frac{dh}{dt}$.
$36 = 9 \pi \times \frac{dh}{dt}$.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9 \pi} = \frac{4}{\pi} \ m/min$.

(C) ગોળાનું ઘનફળ $(V) = \frac{4}{3} \pi r^3$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $(A) = 4 \pi r^2$.
બંનેનું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ અને $\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$.
આપણે પૃષ્ઠફળની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવાનો દર શોધવો છે,જે $\frac{dV}{dA}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 2 \text{ cm}$ માટે,આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}^3 / \text{cm}^2$.

(A) સૌ પ્રથમ,અસમતા $x^2 + 20 \le 9 x$ ઉકેલીને ગણ $A$ નક્કી કરો.
$x^2 - 9 x + 20 \le 0$
$(x - 4)(x - 5) \le 0$
આમ,$A = [4, 5]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 2 x^3 - 15 x^2 + 36 x - 48$ નું વિશ્લેષણ કરો.
વિકલિત મેળવો: $f'(x) = 6 x^2 - 30 x + 36 = 6(x^2 - 5 x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$.
$x \in [4, 5]$ માટે,$(x - 2)$ અને $(x - 3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
અંતરાલ $[4, 5]$ પર $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $A = [4, 5]$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત ડાબા અંત્યબિંદુ $x = 4$ આગળ મળે છે.
$f(4) = 2(4)^3 - 15(4)^2 + 36(4) - 48 = 2(64) - 15(16) + 144 - 48 = 128 - 240 + 144 - 48 = -16$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ મળે છે.
$f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય તે માટે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f'(x)$ નો વિવેચક $D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c$ છે.
$b^2 < c$ હોવાથી,$4b^2 < 4c$ થાય.
આમ,$D = 4b^2 - 12c < 4c - 12c = -8c$.
$0 < b^2 < c$ હોવાથી,$c > 0$ થાય. તેથી,$D < 0$.
$f'(x)$ નો અગ્ર સહગુણક $3 > 0$ છે અને $D < 0$ હોવાથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,$f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{\ln(\pi+x)}{\ln(e+x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{\ln(e+x) \cdot \frac{1}{\pi+x} - \ln(\pi+x) \cdot \frac{1}{e+x}}{[\ln(e+x)]^2}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા,$f'(x) = \frac{(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x)}{(\pi+x)(e+x)[\ln(e+x)]^2}$.
વિધેય $g(t) = t \ln(t)$ ધ્યાનમાં લો. તેનું વિકલન $g'(t) = 1 + \ln(t)$ છે. $t > 1$ માટે,$g'(t) > 0$,તેથી $g(t)$ વધતું વિધેય છે.
અહીં $\pi > e > 1$ હોવાથી,$x > 0$ માટે,$\pi+x > e+x > e > 1$ થાય.
$g(t)$ વધતું હોવાથી,$g(\pi+x) > g(e+x)$,જેનો અર્થ છે કે $(\pi+x)\ln(\pi+x) > (e+x)\ln(e+x)$.
તેથી,$(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x) < 0$.
છેદ $x > 0$ માટે હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) < 0$ તમામ $x \in (0, \infty)$ માટે.
આમ,$f(x)$ એ $(0, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\log x}{x}$ છે.
વિધેય ક્યાં વધતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની શરત તપાસવી પડે.
અહીં $x > 0$ માટે $x^2 > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થવા માટે $1 - \log x > 0$ હોવું જરૂરી છે.
આથી $1 > \log x$,જેનો અર્થ છે કે $\log x < 1$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય સ્વરૂપ લેતા,આપણને $x < e^1$ અથવા $x < e$ મળે છે.
આપેલ પ્રદેશ $x > 0$ ને ધ્યાનમાં લેતા,વિધેય $(0, e)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 6x + 5$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલિત $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 5) = 6x^2 - 6$.
વિધેય વધતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે $f'(x) > 0$ હોય.
તેથી,$6x^2 - 6 > 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 1 > 0$ મળે છે,જેના અવયવો $(x - 1)(x + 1) > 0$ થાય છે.
અસમતા $(x - 1)(x + 1) > 0$ માટે ચિહ્ન યોજનાનો ઉપયોગ કરતા,આ પદ ત્યારે ધન બને છે જ્યારે $x > 1$ અથવા $x < -1$ હોય.
આમ,વિધેય $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ માટે વધતું વિધેય છે.