MHT CET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $xy = 0$ અને $xy + 5x - 4y - 20 = 0$ છે.
$xy = 0$ પરથી,આપણને રેખાઓ $x = 0$ (y-અક્ષ) અને $y = 0$ (x-અક્ષ) મળે છે.
બીજા સમીકરણ $xy + 5x - 4y - 20 = 0$ ને અવયવ પાડતા:
$x(y + 5) - 4(y + 5) = 0$
$(x - 4)(y + 5) = 0$
આનાથી આપણને રેખાઓ $x = 4$ અને $y = -5$ મળે છે.
આ પ્રદેશ રેખાઓ $x = 0$,$x = 4$,$y = 0$ અને $y = -5$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આ એક લંબચોરસ બનાવે છે જેની લંબાઈ $|4 - 0| = 4$ એકમ અને પહોળાઈ $|0 - (-5)| = 5$ એકમ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 4 \times 5 = 20$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપણી પાસે રેખા $y = x$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ નું સમીકરણ છે.
આપેલ રેખા અને વર્તુળના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + x^2 - 2x = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
$x = 0, 1$
જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $y = 0$; જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$.
આમ,વ્યાસ $AB$ ના અંત્યબિંદુઓના યામ $(0, 0)$ અને $(1, 1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(1, 1)$ મૂકતા:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2)$ છે.
આપેલ વર્તુળ સાથે સમકેન્દ્રી વર્તુળનું કેન્દ્ર પણ $(3, 2)$ જ રહેશે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2+(y-2)^2=r^2$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |3| = 3$ થશે.
સમીકરણમાં $r=3$ મૂકતા: $(x-3)^2+(y-2)^2=3^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2-6x+9+y^2-4y+4=9$.
આમ,$x^2+y^2-6x-4y+4=0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{18}{5}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a} = \frac{9}{5}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{9}{5}a \dots (i)$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $\frac{16}{25} = 1 - \frac{b^2}{a^2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$b^2 = \frac{9}{5}a$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\frac{9}{5}a}{a^2} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow \frac{9}{5a} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow a = 5$.
હવે,$b^2 = \frac{9}{5}(5) = 9$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એટલે કે $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ થાય.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $25x^2 - 9y^2 = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 25$ મળે છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}$.

(B) અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a = 6$ આપેલ છે,તેથી $a = 3$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{8}{3}$ આપેલ છે.
$a = 3$ કિંમત મૂકતા: $\frac{2b^2}{3} = \frac{8}{3} \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
$36$ વડે ગુણતા,$4x^2 - 9y^2 = 36$ મળે છે.

(B) આપેલ અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ છે,જે $e = \sqrt{2}$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતો લંબ અતિવલય છે.
નાભિઓ $S(a\sqrt{2}, 0)$ અને $S'(-a\sqrt{2}, 0)$ છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે,નાભિ અંતર $SP = |\sqrt{2}x_1 - a|$ અને $S'P = |\sqrt{2}x_1 + a|$ થાય.
તેથી,$SP \cdot S'P = |2x_1^2 - a^2|$.
$x_1^2 - y_1^2 = a^2$ હોવાથી,$x_1^2 = a^2 + y_1^2$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$SP \cdot S'P = x_1^2 + y_1^2$ મળે છે.

(B) સ્વતઃ સત્ય (tautology) એ એક એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સત્ય હોય છે.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસો: $p \rightarrow (q \vee p)$
$= \sim p \vee (q \vee p)$
$= (\sim p \vee p) \vee q$
$= T \vee q$
$= T$
પરિણામ હંમેશા સત્ય $(T)$ હોવાથી,વિધાન $p \rightarrow (q \vee p)$ એ સ્વતઃ સત્ય છે.

(D) ધારો કે $p$ એ વિધાન "બે ત્રિકોણ એકરૂપ છે" છે અને $q$ એ વિધાન "તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે" છે. આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું વ્યસ્ત-વિધાન $\sim p \rightarrow \sim q$ છે,જે છે: "જો બે ત્રિકોણ એકરૂપ ન હોય,તો તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોતા નથી."
વ્યસ્ત-વિધાન $(\sim p \rightarrow \sim q)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim(\sim q) \rightarrow \sim(\sim p)$ છે,જે $q \rightarrow p$ માં પરિણમે છે. આ છે: "જો બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તો તેઓ એકરૂપ છે."

(A) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a: \sim(p \wedge \sim r) \vee(\sim q \vee s)$ માટે
કિંમતો મૂકતા: $\sim(T \wedge \sim F) \vee(\sim T \vee F)$
$= \sim(T \wedge T) \vee(F \vee F)$
$= \sim(T) \vee(F)$
$= F \vee F = F$.
$b: (p \vee s) \leftrightarrow(q \wedge r)$ માટે
કિંમતો મૂકતા: $(T \vee F) \leftrightarrow(T \wedge F)$
$= (T) \leftrightarrow(F)$
સત્ય મૂલ્યો અલગ હોવાથી,દ્વિ-શરતી વિધાન $F$ છે.
તેથી,$a$ અને $b$ ના સત્ય મૂલ્યો $F, F$ છે.

(C) મુખ્ય વિચાર: જે વિધાન ન તો 'ટોટોલોજી' (tautology) હોય કે ન તો 'કોન્ટ્રાડિક્શન' (contradiction) હોય,તેને 'કન્ટિન્જન્સી' કહેવાય છે.
વિકલ્પ $A$: $(p \vee q) \vee \sim q \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$. આ એક 'ટોટોલોજી' છે.
વિકલ્પ $B$: $(p \vee q) \vee \sim p \equiv (p \vee \sim p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. આ એક 'ટોટોલોજી' છે.
વિકલ્પ $C$: $(p \vee q) \wedge \sim q \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee F \equiv p \wedge \sim q$.
જો $p=T, q=T$ હોય,તો $p \wedge \sim q = F$ મળે.
જો $p=T, q=F$ હોય,તો $p \wedge \sim q = T$ મળે.
આમ,સત્યતાનું મૂલ્ય $p$ અને $q$ પર આધારિત હોવાથી,તે 'કન્ટિન્જન્સી' છે.
વિકલ્પ $D$: $p \rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. આ એક 'ટોટોલોજી' છે.
તેથી,સાચું વિધાન $(p \vee q) \wedge \sim q$ છે.

(A) મુખ્ય વિચાર: સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર $\forall$ (દરેક માટે) નું નિષેધ અસ્તિત્વ ક્વોન્ટિફાયર $\exists$ (કોઈક માટે) છે,અને અસમતા $>$ નું નિષેધ $\leq$ છે.
આપેલ વિધાન: $\forall n \in N, n+7 > 6$.
નિષેધના નિયમો લાગુ કરતા:
$1$. $\forall$ ને $\exists$ સાથે બદલો.
$2$. શરત $n+7 > 6$ નું નિષેધ કરો,જે $n+7 \leq 6$ થાય છે.
તેથી,આપેલ વિધાનનું નિષેધ $\exists n \in N$,જેથી $n+7 \leq 6$ છે.

(C) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: $(q \wedge r) \vee (\sim p \wedge s) \equiv (T \wedge F) \vee (F \wedge F) \equiv F \vee F \equiv F$.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (r \wedge s)) \equiv (\sim T$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow (F \wedge F) \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $(p$ $\rightarrow q) \vee (r \leftrightarrow s) \equiv (T$ $\rightarrow T) \vee (F \leftrightarrow F) \equiv T \vee T \equiv T$.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $(p \wedge \sim r) \wedge (\sim q \vee s) \equiv (T \wedge \sim F) \wedge (\sim T \vee F) \equiv (T \wedge T) \wedge (F \vee F) \equiv T \wedge F \equiv F$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સત્ય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિત વિધાનનું નિષેધ $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ પર આ નિયમ લાગુ કરતા:
$\sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q)$.
દ્વિ-નિષેધના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(\sim q) \equiv q$.
તેથી,પદાવલિ $p \wedge q$ માં સરળ બને છે.

(C) તાર્કિક ગર્ભિતાર્થ $p \rightarrow q$ ને નીચે મુજબની સમકક્ષ રીતે દર્શાવી શકાય છે:
$1.$ જો $p$ તો $q$.
$2.$ $p$ માત્ર જો $q$ હોય તો.
$3.$ $p$ માટે $q$ આવશ્યક છે.
$4.$ $q$ માટે $p$ પર્યાપ્ત છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ ($q$ માત્ર જો $p$ હોય તો) એ $q \rightarrow p$ ને સમકક્ષ છે,જે $p \rightarrow q$ નું પ્રતિપ વિધાન છે. તેથી,તે $p \rightarrow q$ ને સમકક્ષ નથી.

(B) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \wedge q) \wedge [\sim r \vee (p \wedge q)] \vee (\sim p \wedge q)$ છે.
એબ્સોર્પ્શન (શોષણ) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(p \wedge q) \wedge [\sim r \vee (p \wedge q)]$ એ $(p \wedge q)$ માં સરળ બને છે.
આમ,પદાવલિ $S = (p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $q$ ને સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$S = (p \vee \sim p) \wedge q$.
કારણ કે $(p \vee \sim p)$ એ નિત્યસત્ય $(T)$ છે,
$S = T \wedge q = q$.
તેથી,વિધાન પેટર્ન $q$ ને સમતુલ્ય છે.

(A) બે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1+\sqrt{2}$ અને $m_2 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ છે.
$m_2$ નું સંમેયીકરણ કરતા: $m_2 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}-1$.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(y-m_1 x)(y-m_2 x) = 0$ છે,જે $y^2 - (m_1+m_2)xy + m_1 m_2 x^2 = 0$ માં પરિણમે છે.
ઢાળનો સરવાળો: $m_1+m_2 = (1+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$.
ઢાળનો ગુણાકાર: $m_1 m_2 = (1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1 = 1$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2 - (2\sqrt{2})xy + 1x^2 = 0$,એટલે કે $x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1+\sqrt{2}$ અને $m_2 = \frac{-1}{1+\sqrt{2}}$ છે.
$m_2 = 1-\sqrt{2}$ હોવાથી,રેખાઓ $y = (1+\sqrt{2})x$ અને $y = (1-\sqrt{2})x$ છે.
તેથી સંયુક્ત સમીકરણ $(y - (1+\sqrt{2})x)(y - (1-\sqrt{2})x) = 0$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા,$y^2 - 2xy - x^2 = 0$ મળે.
આમ,$x^2 + 2xy - y^2 = 0$ એ માંગેલ સમીકરણ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
જો આ રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો શરત $a + b = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(1+\sin^2 \theta) x^2 + 2hxy + 2\sin \theta y^2 = 0$ માટે,$a = 1+\sin^2 \theta$ અને $b = 2\sin \theta$ છે.
શરત $a + b = 0$ લાગુ પાડતા:
$(1+\sin^2 \theta) + 2\sin \theta = 0$
$(1+\sin \theta)^2 = 0$
$1+\sin \theta = 0$
$\sin \theta = -1$
$\theta \in [0, 2\pi]$ માટે,$\sin \theta = -1$ નું સમાધાન કરતી $\theta$ ની કિંમત $\theta = \frac{3\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-4pxy+8y^2=0$ છે.
આ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=1$,$2h=-4p$,અને $b=8$.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
કિંમતો મૂકતા,$m_1+m_2 = -\frac{-4p}{8} = \frac{4p}{8} = \frac{p}{2}$ અને $m_1m_2 = \frac{1}{8}$.
પ્રશ્ન મુજબ,ઢાળનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર કરતાં ત્રણ ગણો છે:
$m_1+m_2 = 3(m_1m_2)$
$\frac{p}{2} = 3 \times \frac{1}{8}$
$\frac{p}{2} = \frac{3}{8}$
$p = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$.

(D) $52$ પત્તાના પેકમાંથી $3$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો ${}^{52}C_3$ છે.
પેકમાં $26$ લાલ પત્તા હોય છે. $3$ લાલ પત્તા ખેંચવાની રીતો ${}^{26}C_3$ છે.
$\text{જરૂરી સંભાવના} = \frac{{}^{26}C_3}{{}^{52}C_3} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50} = \frac{2}{17}$.

(B) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6^3 = 216$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઉપરની સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો $5$ કરતા ઓછો હોય.
સરવાળો $5$ કરતા ઓછો હોય તેવા શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(1, 1, 1)$ (સરવાળો $= 3$)
$(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ (સરવાળો $= 4$)
તેથી,સરવાળો $5$ કરતા ઓછો હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1 + 3 = 4$ છે.
સરવાળો $5$ કરતા ઓછો હોય તેની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ છે.
તેથી,ઉપરની સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો $5$ હોય તેની સંભાવના $P(\text{સરવાળો} \geq 5) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$ છે.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 6 + 4 = 10$.
$10$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ છે.
દડા સમાન રંગના હોય તે માટે,કાં તો બંને સફેદ હોવા જોઈએ અથવા બંને કાળા હોવા જોઈએ.
$6$ માંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
$4$ માંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 15 + 6 = 21$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

(A) મુખ્ય વિચાર: સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરો,એટલે કે $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આપેલ છે,$\sin B \sin C = \frac{bc}{a^2}$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$\sin B = \frac{b}{2R}$ અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{b}{2R}\right) \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{bc}{a^2}$
$\Rightarrow \frac{bc}{4R^2} = \frac{bc}{a^2}$
$\Rightarrow 4R^2 = a^2$
$\Rightarrow a = 2R$.
કારણ કે $\frac{a}{\sin A} = 2R$,તેથી $\frac{2R}{\sin A} = 2R$,જે સૂચવે છે કે $\sin A = 1$.
તેથી,$A = 90^{\circ}$.
આમ,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ છે.
તેથી,$b = k \sin B$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{b \sin B - c \sin C}{\sin (B - C)} = \frac{(k \sin B) \sin B - (k \sin C) \sin C}{\sin (B - C)}$
$= \frac{k(\sin^2 B - \sin^2 C)}{\sin (B - C)}$
નિત્યસમ $\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B + C) \sin(B - C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{k \sin(B + C) \sin(B - C)}{\sin (B - C)}$
$= k \sin(B + C)$
કારણ કે $A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $B + C = 180^{\circ} - A$.
$= k \sin(180^{\circ} - A) = k \sin A$
$= a$.

(D) આપેલ છે $\cos A = \frac{\sin B}{\sin C}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,તેથી $\sin B = \frac{b}{2R}$ અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos A = \frac{b/2R}{c/2R} = \frac{b}{c}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા: $\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b}{c}$.
બંને બાજુ $2bc$ વડે ગુણતા: $b^2 + c^2 - a^2 = 2b^2$.
પદોને ગોઠવતા: $c^2 = a^2 + b^2$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
આપેલ છે કે $\left(\tan \frac{A}{2}\right)\left(\tan \frac{B}{2}\right)=\frac{3}{4}$.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \times \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{3}{4}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,$\sqrt{\frac{(s-c)^2}{s^2}} = \frac{3}{4}$,જે $\frac{s-c}{s} = \frac{3}{4}$ આપે છે.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{\frac{a+b+c}{2} - c}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{3}{4}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{a+b-c}{a+b+c} = \frac{3}{4}$ થાય છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $4(a+b) - 4c = 3(a+b) + 3c$ મળે છે.
તેથી,$a+b = 7c$.

(B) કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ દ્વારા મળે છે.
આથી,$\sin A = \frac{2\Delta}{bc} \quad (i)$.
વળી,સાઈન નિયમ મુજબ,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2 \sin A}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin A = \frac{a}{2R} \quad (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$\frac{2\Delta}{bc} = \frac{a}{2R}$ મળે.
$\Delta$ માટે ઉકેલતા,$\Delta = \frac{abc}{4R}$ મળે છે.

(A) આપણને ગણ $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 + 5|x| + 6 = 0\}$ આપેલ છે.
કારણ કે $x^2 = |x|^2$,સમીકરણને $|x|^2 + 5|x| + 6 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ $t^2 + 5t + 6 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,આપણને $(t + 2)(t + 3) = 0$ મળે છે.
આથી $t = -2$ અથવા $t = -3$ મળે.
કારણ કે $t = |x|$ એ ઋણ ન હોઈ શકે $(t \ge 0)$,તેથી $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આ શરતોનું પાલન કરતી નથી.
તેથી,ગણ $A$ એ ખાલી ગણ છે,એટલે કે $A = \emptyset$.
આમ,$A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 0$ છે.

(B) ધારો કે $GP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે.
તેથી,$A = aR^{p-1}$,$B = aR^{q-1}$,અને $C = aR^{r-1}$.
હવે,પદાવલિ $E = A^{q-r} \cdot B^{r-p} \cdot C^{p-q}$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા:
$E = (aR^{p-1})^{q-r} \cdot (aR^{q-1})^{r-p} \cdot (aR^{r-1})^{p-q}$
$E = a^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
કારણ કે $(q-r) + (r-p) + (p-q) = 0$,તેથી $a$ નો ઘાત $0$ થાય છે.
$R$ ના ઘાત માટે:
$(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
આમ,$E = a^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે અનંત $GP$ નો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 9$.
આથી $a = 9(1-r)$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $a + ar = 5$ છે.
$a = 9(1-r)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$9(1-r)(1+r) = 5$.
$9(1-r^2) = 5$.
$1-r^2 = \frac{5}{9}$.
$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$r = \pm \frac{2}{3}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{2}{3}$ છે.

(B) $G.P.$ માં,$m^{\text{th}}$ પદ એ તેનાથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો ગુણોત્તર મધ્યક છે.
તેથી,$(T_m)^2 = T_{m+n} \times T_{m-n}$.
આપેલ છે કે $T_{m+n} = p$ અને $T_{m-n} = q$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(T_m)^2 = p \times q$ મળે છે.
આમ,$T_m = \sqrt{pq}$.

(C) આપણને પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 5(2^n - 1)$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$-મું પદ $t_n = S_n - S_{n-1}$ થાય,જ્યાં $n > 1$.
$t_n = 5(2^n - 1) - 5(2^{n-1} - 1)$
$t_n = 5(2^n - 1 - 2^{n-1} + 1)$
$t_n = 5(2^n - 2^{n-1})$
$t_n = 5(2 \times 2^{n-1} - 2^{n-1})$
$t_n = 5(2^{n-1}(2 - 1))$
$t_n = 5(2^{n-1})$

(A) આપેલ સરવાળો $\sum_{r=1}^n(2r+1) = 440$ છે.
શ્રેણીને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $3 + 5 + 7 + \ldots + (2n+1) = 440$ મળે છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય તફાવત $d = 2$ અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2}[2(3) + (n-1)(2)] = 440$.
$\Rightarrow \frac{n}{2}[6 + 2n - 2] = 440$.
$\Rightarrow \frac{n}{2}[2n + 4] = 440$.
$\Rightarrow n(n + 2) = 440$.
$\Rightarrow n^2 + 2n - 440 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n + 22)(n - 20) = 0$.
$n$ ધન હોવાથી,$n = 20$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $S_n = \frac{4^n - 3^n}{3^n}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n > 1$ માટે $t_n = S_n - S_{n-1}$.
$n = 2$ માટે,$t_2 = S_2 - S_1$.
$S_2 = \frac{4^2 - 3^2}{3^2} = \frac{16 - 9}{9} = \frac{7}{9}$ ગણો.
$S_1 = \frac{4^1 - 3^1}{3^1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$ ગણો.
તેથી,$t_2 = \frac{7}{9} - \frac{1}{3} = \frac{7 - 3}{9} = \frac{4}{9}$.

(B) આપેલ ગણ $A = \{x \mid x \in N, x \text{ એ } 12 \text{ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\}$.
$12$ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ હોવાથી,$A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ મળે.
આપેલ ગણ $B = \{x \mid x \in N, x \text{ એ } 10 \text{ નો અવયવ છે}\}$.
$10$ ના અવયવો $1, 2, 5, 10$ હોવાથી,$B = \{1, 2, 5, 10\}$ મળે.
છેદગણ $A \cap B$ માં બંને ગણ $A$ અને $B$ માં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
$A \cap B = \{2, 3, 5, 7, 11\} \cap \{1, 2, 5, 10\} = \{2, 5\}$.

(D) આપેલ ગણ $A = \{x \in R : x^2 - 5|x| + 6 = 0\}$ છે.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,સમીકરણ $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ બને છે.
ધારો કે $|x| = t$,તો $t^2 - 5t + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 2)(t - 3) = 0$.
તેથી,$|x| = 2$ અથવા $|x| = 3$.
જો $|x| = 2$ હોય,તો $x = 2$ અથવા $x = -2$.
જો $|x| = 3$ હોય,તો $x = 3$ અથવા $x = -3$.
આમ,ગણ $A = \{-3, -2, 2, 3\}$ થાય.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.

(D) $P$ ના ધ્રુવીય યામ $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ આપેલા છે.
જો $Q$ એ $X$-અક્ષની સાપેક્ષે $P$ નું પ્રતિબિંબ હોય,તો ત્રિજ્યા $r$ સમાન રહે છે અને ખૂણો $\theta$ બદલાઈને $-\theta$ થાય છે.
તેથી,$Q$ ના યામ $\left(2, -\frac{\pi}{6}\right)$ થાય.
ખૂણાને પ્રમાણિત અંતરાલ $[0, 2\pi)$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે ખૂણામાં $2\pi$ ઉમેરીએ છીએ:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
આમ,$Q$ ના ધ્રુવીય યામ $\left(2, \frac{11\pi}{6}\right)$ છે.

(B) આપેલ કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ છે.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ શોધવા માટે:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ હોવાથી:
$\cos \theta = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta < 0$ અને $\sin \theta > 0$ હોવાથી,બિંદુ બીજા ચરણમાં છે.
$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.
તેથી,ધ્રુવીય યામ $\left(2, \frac{3 \pi}{4}\right)$ છે.

(B) શિરોબિંદુ $R$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા બાજુ $PQ$ ને બિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $M = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = (0, 3)$.
મધ્યગા $R(3, 4)$ અને $M(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $RM$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - 4}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - 3 = \frac{1}{3}(x - 0)$
$3(y - 3) = x$
$3y - 9 = x$
$x - 3y + 9 = 0$.

(B) આપેલ રેખા $x - 2y = 4$ છે,જેને $2y = x - 4$ અથવા $y = \frac{1}{2}x - 2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ શરતનું પાલન કરશે. તેથી,$m_2 = -2$.
$A(6, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = -2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 1 = -2(x - 6)$.
$y - 1 = -2x + 12$.
$2x + y = 13$.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,આપણે $2x + y = 13$ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકીએ છીએ.
$2(0) + y = 13 \Rightarrow y = 13$.
તેથી,રેખાનો $y$-અંતઃખંડ $13$ છે.

(D) આપેલી રેખાઓ $x-3=0$ $(i)$ અને $x+y=19$ (ii) છે.
રેખા $(i)$ માટે,$x=3$,જે $y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા છે. તે ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta_1 = 90^{\circ}$ છે.
રેખા (ii) માટે,$x+y=19$ ને $y = -x + 19$ તરીકે લખી શકાય. ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_2 = -1$ મળે છે.
$m_2 = \tan \theta_2 = -1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta_2 = 135^{\circ}$ થાય.
બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $|\theta_2 - \theta_1| = |135^{\circ} - 90^{\circ}| = 45^{\circ}$ છે.
$45^{\circ}$ એ લઘુકોણ હોવાથી,માંગેલ ખૂણો $45^{\circ}$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $A(7, -8, 1)$,$B(p, q, 5)$,$C(q+1, 5p, 0)$ અને $G(3, -5, r)$.
યામોને સરખાવતા:
$x$-યામ: $\frac{7+p+q+1}{3} = 3 \Rightarrow p+q+8 = 9 \Rightarrow p+q = 1$ (સમીકરણ $1$)
$y$-યામ: $\frac{-8+q+5p}{3} = -5 \Rightarrow 5p+q-8 = -15 \Rightarrow 5p+q = -7$ (સમીકરણ $2$)
$z$-યામ: $\frac{1+5+0}{3} = r \Rightarrow r = \frac{6}{3} = 2$
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(5p+q) - (p+q) = -7 - 1 \Rightarrow 4p = -8 \Rightarrow p = -2$.
$p = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $-2 + q = 1 \Rightarrow q = 3$.
આમ,$p = -2, q = 3, r = 2$ મળે છે.

(D) વિધેય $\cos (kx)$ નું આવર્તમાન $T = \frac{2 \pi}{|k|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક વિકલ્પ તપાસતા:
$A) \cos \left( \frac{\pi}{3} x \right) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi/3} = 6$.
$B) \cos \left( \frac{\pi}{2} x \right) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi/2} = 4$.
$C) \cos (2 \pi x) \implies T = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1$.
$D) \cos (\pi x) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi} = 2$.
તેથી,$2$ આવર્તમાન ધરાવતું વિધેય $\cos (\pi x)$ છે.

(B) ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના વિસ્તાર નીચે મુજબ છે:
$1$. $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ માટે,કિંમત $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$2$. $\sec \theta$ અને $\csc \theta$ માટે,કિંમત $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ માં હોવી જોઈએ.
$3$. $\tan \theta$ અને $\cot \theta$ માટે,કિંમત કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $(R)$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
- વિકલ્પ $A$: $\sec \theta = 23$ શક્ય છે કારણ કે $23 \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
- વિકલ્પ $B$: $\cos \theta = \sqrt{2} \approx 1.414$. $1.414 > 1$ હોવાથી,આ કિંમત $[-1, 1]$ ની બહાર છે. તેથી,$\cos \theta = \sqrt{2}$ નો કોઈ ઉકેલ નથી.
- વિકલ્પ $C$: $\tan \theta = 2019$ શક્ય છે કારણ કે $\tan \theta$ નો વિસ્તાર $R$ છે.
- વિકલ્પ $D$: $\sin \theta = -\frac{1}{5} = -0.2$ શક્ય છે કારણ કે $-0.2 \in [-1, 1]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં,સાઈન વિધેય અ-ઋણ છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નું સમાધાન કરતા $\theta$ ના મૂલ્યો $\theta = \frac{\pi}{4}$ અને $\theta = \frac{3\pi}{4}$ છે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \sin x \cos x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 2x = \frac{1}{2}$ મળે.
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ હોવાથી,$2x \in (0, \pi)$ થાય.
$(0, \pi)$ માં $2x$ માટેના ઉકેલો $2x = \frac{\pi}{6}$ અને $2x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ છે.
તેથી,$x = \frac{\pi}{12}$ અને $x = \frac{5\pi}{12}$ મળે.

(B) ધારો કે $A = 18^{\circ}$. તેથી $5A = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $2A = 90^{\circ} - 3A$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,$\sin 2A = \sin(90^{\circ} - 3A) = \cos 3A$.
ડબલ એંગલ અને ટ્રિપલ એંગલના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$.
$\cos 18^{\circ} \neq 0$ હોવાથી,આપણે $\cos A$ વડે ભાગી શકીએ:
$2 \sin A = 4 \cos^2 A - 3$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ મૂકતા:
$2 \sin A = 4(1 - \sin^2 A) - 3$.
$2 \sin A = 4 - 4 \sin^2 A - 3$.
$4 \sin^2 A + 2 \sin A - 1 = 0$.
$\sin A$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$.
$18^{\circ}$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sin 18^{\circ} > 0$.
તેથી,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\theta = \frac{17 \pi}{3} = 5 \pi + \frac{2 \pi}{3}$.
$\tan(n \pi + x) = \tan x$ અને $\cot(n \pi + x) = \cot x$ હોવાથી,$\tan \theta = \tan \frac{2 \pi}{3} = -\sqrt{3}$ અને $\cot \theta = \cot \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે.
હવે,$(\tan \theta - \cot \theta) = -\sqrt{3} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})$ ની ગણતરી કરતા,
$= -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-3 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{-2}{\sqrt{3}}$.

(A) કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,ટેન્જેન્ટના સરવાળા માટેનું નિત્યસમ $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ છે.
આપેલ છે કે $\tan A + \tan B + \tan C = 6$,તેથી $\tan A \tan B \tan C = 6$ થાય.
આપણને $\tan A \cdot \tan B = 2$ પણ આપેલ છે.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા,$2 \cdot \tan C = 6$ મળે.
તેથી,$\tan C = \frac{6}{2} = 3$.

(C) આપેલ વક્રના પ્રાચલ સમીકરણો $x = \sqrt{t}$ અને $y = t - \frac{1}{\sqrt{t}}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{t}}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^{-1/2}) = 1 - (-\frac{1}{2})t^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2t^{3/2}}$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{1}{2t^{3/2}}}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = (1 + \frac{1}{2t^{3/2}}) \times (2\sqrt{t}) = 2\sqrt{t} + \frac{1}{t} = \frac{2t\sqrt{t} + 1}{t}$
$t=4$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=4} = \frac{2(4)\sqrt{4} + 1}{4} = \frac{16+1}{4} = \frac{17}{4}$
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે:
$\text{અભિલંબનો ઢાળ} = -\frac{1}{(\frac{dy}{dx})_{t=4}} = -\frac{1}{17/4} = -\frac{4}{17}$

(B) આપેલ સ્થાન વિધેય $x = 2 + 27t - t^3$ છે.
વેગ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = 27 - 3t^2$.
ગતિની દિશા ત્યારે ઉલટાય છે જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય:
$27 - 3t^2 = 0$
$3t^2 = 27$
$t^2 = 9$
$t = 3$ (કારણ કે $t > 0$).
હવે,આપણે $t = 3$ સમયે અંતર $x$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$x = 2 + 27(3) - (3)^3$
$x = 2 + 81 - 27$
$x = 56 \text{ એકમ}$.

(A) આપેલ વક્ર $y = \log_e x$ છે.
પ્રથમ,બિંદુ $P(1, 0)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવો.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$.
બિંદુ $P(1, 0)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 0)} = \frac{1}{1} = 1$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m_n = -1$ ઢાળ ધરાવતી અભિલંબ રેખાનું સમીકરણ:
$y - y_1 = m_n(x - x_1)$
$y - 0 = -1(x - 1)$
$y = -x + 1$
$x + y = 1$.

(A) ધારો કે સમઘનની ધાર $x \ cm$ છે. સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $A = 6x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ધારના બદલાવનો દર $\frac{dx}{dt} = -0.04 \ cm/sec$ છે.
$A$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 12x \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dA}{dt} = 12(10)(-0.04) = 120(-0.04) = -4.8 \ cm^2/sec$.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે. તેથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ઘટાડો $4.8 \ cm^2/sec$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 2x + 1$ છે.
આપણે $x = 2.99$ આગળ આશરે મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = 3$ અને $\Delta x = -0.01$,જેથી $x + \Delta x = 2.99$ થાય.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 2x - 2$ મળે.
રેખીય આસન્ન કિંમત માટેનું સૂત્ર: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x \cdot f'(x)$.
$x = 3$ માટે,$f(3) = 3^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$.
$x = 3$ માટે,$f'(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f(2.99) \approx f(3) + (-0.01) \cdot f'(3)$.
$f(2.99) \approx 4 + (-0.01)(4)$.
$f(2.99) \approx 4 - 0.04 = 3.96$.

(A) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/sec$ છે.
$t = 0$ સમયે,ત્રિજ્યા $r = 0$ છે.
$\frac{dr}{dt} = 5$ નું સંકલન કરતા,આપણને $r = 5t$ મળે છે.
$t = 2 \ \text{સેકન્ડ}$ સમયે,ત્રિજ્યા $r = 5(2) = 10 \ cm$ થાય.
વર્તુળાકાર લહેરનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 10 \ cm$ અને $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/sec$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (10)(5) = 100 \pi \ cm^2/sec$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 3x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3$.
વિકલનના અવયવ પાડતા:
$f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,$f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ:
$3(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 1, x = -1$.
આ બિંદુઓ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે: $(-\infty, -1)$,$(-1, 1)$,અને $(1, \infty)$.
$1$. $x \in (-\infty, -1)$ માટે,$x = -2$ લો: $f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. આમ,$f(x)$ વધતું વિધેય છે.
$2$. $x \in (-1, 1)$ માટે,$x = 0$ લો: $f'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$. આમ,$f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
$3$. $x \in (1, \infty)$ માટે,$x = 2$ લો: $f'(2) = 3(2^2 - 1) = 3(3) = 9 > 0$. આમ,$f(x)$ વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f(x)$ એ $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ માં વધતું અને $(-1, 1)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{x}$,$x \neq 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1, -1$.
હવે,આપણે આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$x < -1$ માટે,$f'(x) > 0$. $-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$. કારણ કે $x = -1$ આગળ $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$ છે.
$0 < x < 1$ માટે,$f'(x) < 0$. $x > 1$ માટે,$f'(x) > 0$. કારણ કે $x = 1$ આગળ $f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ છે.
આમ,સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $-2$ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 27x + 15$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ: $f'(x) = 9x^2 - 18x - 27$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $9(x^2 - 2x - 3) = 0$ મળે છે,જેના અવયવો $9(x - 3)(x + 1) = 0$ થાય છે.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 3$ અને $x = -1$ છે.
આ બિંદુઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન કરીએ: $f''(x) = 18x - 18$.
$x = 3$ આગળ,$f''(3) = 18(3) - 18 = 36 > 0$,તેથી $f(x)$ ને $x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.
$x = -1$ આગળ,$f''(-1) = 18(-1) - 18 = -36 < 0$,તેથી $f(x)$ ને $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.
મહત્તમ કિંમત $f(-1) = 3(-1)^3 - 9(-1)^2 - 27(-1) + 15 = -3 - 9 + 27 + 15 = 30$ છે.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=\pi$ સુધી $|y|$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $y = \cos x$ એ $[0, \pi/2]$ માં ધન છે અને $[\pi/2, \pi]$ માં ઋણ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx + \left| \int_{\pi/2}^{\pi} \cos x \, dx \right|$
$A = [\sin x]_0^{\pi/2} + |[\sin x]_{\pi/2}^{\pi}|$
$A = (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + |\sin(\pi) - \sin(\pi/2)|$
$A = (1 - 0) + |0 - 1|$
$A = 1 + |-1| = 1 + 1 = 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) આપેલ વક્રો $y=2x-x^2$ અને $y=x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$2x-x^2 = x$ લો.
$x-x^2 = 0 \implies x(1-x) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે.
$\text{Area} = \int_0^1 (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) dx = \int_0^1 ((2x-x^2) - x) dx$.
$\text{Area} = \int_0^1 (x-x^2) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$.
$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ ચોરસ એકમ.

(A) અહીં આપણને હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 5x + 4y$ આપેલ છે,જે શરતો $y \leq 2x$,$x \leq 2y$,$x+y \leq 3$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ ને આધીન છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $y = 2x$,$x = 2y$,અને $x+y = 3$ રેખાઓ દોરીને શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. $y = 2x$ અને $x+y = 3$ નું છેદબિંદુ: $y=2x$ ને $x+y=3$ માં મૂકતા,$x+2x=3$ મળે,તેથી $3x=3$,જેનો અર્થ છે કે $x=1$. તેથી $y=2(1)=2$. આમ,બિંદુ $A(1, 2)$ મળે છે.
$2$. $x = 2y$ અને $x+y = 3$ નું છેદબિંદુ: $x=2y$ ને $x+y=3$ માં મૂકતા,$2y+y=3$ મળે,તેથી $3y=3$,જેનો અર્થ છે કે $y=1$. તેથી $x=2(1)=2$. આમ,બિંદુ $B(2, 1)$ મળે છે.
$3$. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ત્રિકોણ $OAB$ છે. આપણે શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ:

શિરોબિંદુ	$Z = 5x + 4y$
$O(0, 0)$	$5(0) + 4(0) = 0$
$A(1, 2)$	$5(1) + 4(2) = 5 + 8 = 13$
$B(2, 1)$	$5(2) + 4(1) = 10 + 4 = 14$

આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે,જે બિંદુ $B(2, 1)$ પર મળે છે.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z = ax + by$ છે,જ્યાં $a, b > 0$. શરતો $x \leq 2, y \leq 2, x + y \geq 3, x \geq 0, y \geq 0$ છે.
આ શરતોને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણને શિરોબિંદુઓ $A(2, 1)$,$B(1, 2)$ અને $C(2, 2)$ વાળો ત્રિકોણ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ તરીકે મળે છે.
કારણ કે $z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય માત્ર $(2, 1)$ આગળ મળે છે,તેથી $(2, 1)$ આગળ $z$ નું મૂલ્ય અન્ય શિરોબિંદુઓ આગળના $z$ ના મૂલ્ય કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
$A(2, 1)$ અને $B(1, 2)$ આગળ $z$ ની સરખામણી કરતા:
$z(2, 1) = 2a + b$
$z(1, 2) = a + 2b$
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $(2, 1)$ આગળ હોવા માટે,$z(2, 1) < z(1, 2)$ હોવું જરૂરી છે.
$2a + b < a + 2b$
$2a - a < 2b - b$
$a < b$
આમ,સાચી શરત $a < b$ છે.

(B) અહીં આપણને હેતુલક્ષી વિધેય આપેલ છે: મહત્તમ $z = 4x_1 + 2x_2$.
શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) 3x_1 + 2x_2 \geq 9$
$2) x_1 - x_2 \leq 3$
$3) x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$
આ રેખાઓને આલેખ પર દોરતા:
$3x_1 + 2x_2 = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(3, 0)$ અને $(0, 4.5)$ છે. આ વિસ્તાર ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
$x_1 - x_2 = 3$ માટે,અંતઃખંડો $(3, 0)$ અને $(0, -3)$ છે. આ વિસ્તાર ઉગમબિંદુ તરફ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ ચરણમાં આ પ્રદેશ અસીમિત (unbounded) છે. જ્યારે શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસીમિત હોય અને હેતુલક્ષી વિધેયની કિંમત વધતી જતી હોય,ત્યારે $L$.$P$.$P$. નો ઉકેલ અસીમિત હોય છે. અહીં,જેમ $x_1$ અને $x_2$ વધે છે,તેમ $z = 4x_1 + 2x_2$ ની કિંમત શક્ય પ્રદેશમાં અનંત સુધી વધી શકે છે. તેથી,આ $L$.$P$.$P$. નો ઉકેલ અસીમિત છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 10x + 25y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ અને $x + y \geq 5$ શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$1$. $x = 3$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ $y = 2$ આપે છે,તેથી બિંદુ $(3, 2)$ છે.
$2$. $x = 3$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(3, 3)$ બિંદુ આપે છે.
$3$. $y = 3$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ $x = 2$ આપે છે,તેથી બિંદુ $(2, 3)$ છે.
હવે,આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 10x + 25y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(3, 2)$ પર: $z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$.
- $(3, 3)$ પર: $z = 10(3) + 25(3) = 30 + 75 = 105$.
- $(2, 3)$ પર: $z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $80$ છે.

(D) આપેલ શરતો $3x+2y \leq 12$,$2x+3y \leq 12$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આ અસમતાઓ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
રેખાઓ $L_1: 3x+2y=12$ અને $L_2: 2x+3y=12$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$3x+2y=12$ ($3$ વડે ગુણતા) $\Rightarrow 9x+6y=36$
$2x+3y=12$ ($2$ વડે ગુણતા) $\Rightarrow 4x+6y=24$
બાદબાકી કરતા $5x=12$ મળે,તેથી $x=2.4$.
$x=2.4$ ને $3(2.4)+2y=12$ માં મૂકતા $7.2+2y=12$ મળે,તેથી $2y=4.8$,$y=2.4$.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(4,0)$,$(0,4)$ અને $(2.4, 2.4)$ છે.
હવે આ બિંદુઓ પર $z=9x+11y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$z(0,0) = 9(0)+11(0) = 0$
$z(4,0) = 9(4)+11(0) = 36$
$z(0,4) = 9(0)+11(4) = 44$
$z(2.4, 2.4) = 9(2.4)+11(2.4) = 21.6+26.4 = 48$
મહત્તમ કિંમત $48$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 3$ આગળ સતત છે.
કોઈ બિંદુ $x = c$ આગળ વિધેય સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને તે બિંદુએ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
$\therefore \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધતા: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(3 - h) = \lim_{h \to 0} [a(3 - h) + 1] = 3a + 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ શોધતા: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(3 + h) = \lim_{h \to 0} [b(3 + h) + 3] = 3b + 3$.
કારણ કે $f(x)$ એ $x = 3$ આગળ સતત છે,તેથી આપણે લક્ષોને સરખાવીએ: $3a + 1 = 3b + 3$.
પદોને ગોઠવતા: $3a - 3b = 3 - 1$.
$3(a - b) = 2$.
$a - b = \frac{2}{3}$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x - \frac{|x|}{x}, & x < 0 \\ x + \frac{|x|}{x}, & x > 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ છે.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું મૂલ્ય $f(0)$ શોધીએ.
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \left(x - \frac{|x|}{x}\right)$.
જ્યારે $x < 0$,ત્યારે $|x| = -x$,તેથી $\frac{|x|}{x} = -1$.
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} (x - (-1)) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + 1) = 0 + 1 = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \left(x + \frac{|x|}{x}\right)$.
જ્યારે $x > 0$,ત્યારે $|x| = x$,તેથી $\frac{|x|}{x} = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} (x + 1) = 0 + 1 = 1$.
આપેલ છે કે $f(0) = 1$.
અહીં $LHL = RHL = f(0) = 1$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(D) આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
અહીં $f(0) = 16$ છે,તેથી લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\lim_{x \to 0} \frac{(e^{kx} - 1) \tan kx}{4x^2} = 16$.
આ પદને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{kx} - 1}{kx} \right) \left( \frac{\tan kx}{kx} \right) \left( \frac{k^2 x^2}{4x^2} \right) = 16$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ અને $\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 \times 1 \times \frac{k^2}{4} = 16$.
$\frac{k^2}{4} = 16$.
$k^2 = 64$.
$k = \pm 8$.

(B) આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log(1 + ax)) - \frac{d}{dx}(\log(1 - bx))}{\frac{d}{dx}(x)}$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{1 + ax} - \frac{-b}{1 - bx}}{1}$.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{a}{1 + ax} + \frac{b}{1 - bx} \right)$.
$x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = \frac{a}{1 + 0} + \frac{b}{1 - 0} = a + b$.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = a$ આગળ સતત હોય જો $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ થાય.
વિકલ્પ $C$ માટે,આપણે $x = 0$ આગળ લક્ષ ચકાસીએ:
$R.H.L. = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{-1/x}}{1 + e^{-1/x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
$L.H.L. = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
અહીં $L.H.L. \neq R.H.L.$ હોવાથી,$x = 0$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,આ વિધેય $x = 0$ આગળ સતત નથી.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos \theta} \cdot \sin^{3} \theta d \theta$
$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos \theta} \cdot \sin \theta (1 - \cos^{2} \theta) d \theta$
$\cos \theta = t$ આદેશ લેતા,તેથી $-\sin \theta d \theta = dt$,અથવા $\sin \theta d \theta = -dt$.
જ્યારે $\theta = 0, t = 1$ અને જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}, t = 0$.
$I = \int_{1}^{0} \sqrt{t} (1 - t^{2}) (-dt) = \int_{0}^{1} (t^{1/2} - t^{5/2}) dt$
$= [\frac{t^{3/2}}{3/2} - \frac{t^{7/2}}{7/2}]_{0}^{1} = [\frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{2}{7} t^{7/2}]_{0}^{1}$
$= (\frac{2}{3} - \frac{2}{7}) - 0 = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$

(C) ધારો કે $I = \int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx$.
$x = t^2$ આદેશ લેતા,$dx = 2t \, dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = 4, t = 2$ થાય.
તેથી,$I = \int_0^2 \frac{2t}{1+t} \, dt$.
$I = 2 \int_0^2 \frac{(1+t)-1}{1+t} \, dt$.
$I = 2 \int_0^2 \left(1 - \frac{1}{1+t}\right) \, dt$.
$I = 2 [t - \ln(1+t)]_0^2$.
$I = 2 [(2 - \ln 3) - (0 - \ln 1)]$.
$I = 2(2 - \ln 3) = 4 - 2\ln 3 = 4 - \ln(3^2) = 4 - \ln 9$.
$4 = \ln(e^4)$ હોવાથી,$I = \ln(e^4) - \ln 9 = \ln \left(\frac{e^4}{9}\right)$.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx$.
$x = a \sin^{2} \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 2a \sin \theta \cos \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = a$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{a - a \sin^{2} \theta}{a \sin^{2} \theta}} (2a \sin \theta \cos \theta) d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (2a \sin \theta \cos \theta) d \theta$
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2} \theta d \theta$
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta = a \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos 2 \theta) d \theta$
$I = a [\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}]_{0}^{\pi/2} = a [(\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0)] = \frac{\pi a}{2}$.
આપેલ છે કે $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx = \frac{K}{2}$,તેથી $\frac{\pi a}{2} = \frac{K}{2}$.
આમ,$K = \pi a$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(1 - (1 - x))^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(x)^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^{5} - x^{6}) dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \left[ \frac{x^{6}}{6} - \frac{x^{7}}{7} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{7 - 6}{42} = \frac{1}{42}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}} dx$ . . . .$(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{a + b - x}}{\sqrt{a + b - x} + \sqrt{a + b - (a + b - x)}} dx$
$I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{a + b - x}}{\sqrt{a + b - x} + \sqrt{x}} dx$ . . . .$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}} dx$
$2I = \int_{a}^{b} 1 dx = [x]_{a}^{b} = b - a$
$I = \frac{b - a}{2}$

(B) ધારો કે $I = \int_{-3}^{3} (ax^5 + bx^3 + cx + k) dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \int_{-3}^{3} (ax^5 + bx^3 + cx) dx + \int_{-3}^{3} k dx$.
કારણ કે $f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$ એ એક અયુગ્મ વિધેય છે (એટલે કે $f(-x) = -f(x)$),તેથી સંમિત અંતરાલ $[-3, 3]$ પર આ વિધેયનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = 0 + \int_{-3}^{3} k dx = \int_{-3}^{3} k dx$.
આનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને મળે છે $I = [kx]_{-3}^{3} = k(3) - k(-3) = 3k + 3k = 6k$.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય માત્ર અચળાંક $k$ પર આધાર રાખે છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $n=3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે.
આપણને $|A|=2$ અને $|B|=4$ આપેલ છે.
આપણે $|A(\operatorname{adj} B)|$ શોધવાનું છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|A(\operatorname{adj} B)| = |A| |\operatorname{adj} B|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $B$ માટે,$|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1}$ થાય.
અહીં $n=3$ હોવાથી,$|\operatorname{adj} B| = |B|^{3-1} = |B|^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$|A(\operatorname{adj} B)| = |A| \times |B|^2 = 2 \times (4)^2$.
$|A(\operatorname{adj} B)| = 2 \times 16 = 32$.

(C) પ્રથમ ચરણમાં આવેલા અને બંને અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$ મળે,જે $x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ થાય છે.
અહીં,માત્ર એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક $a$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વક્રોના કુળના સામાન્ય સમીકરણમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં માત્ર $1$ સ્વૈચ્છિક અચળાંક હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(B) $4$ ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(h, k)$ ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 4^2$ છે.
અહીં,$h$ અને $k$ એ સ્વૈર અચળાંકો છે.
ત્યાં $2$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(B) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કેન્દ્ર $A(-1, 2)$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = r^2$ થશે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ મળે.
$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = r^2$.
$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 - r^2 = 0$.
ધારો કે $c = 5 - r^2$,જ્યાં $c$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x^2 + y^2 + 2x - 4y + c = 0$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} + (y^2 + 1) = 0$ છે.
ચલને અલગ પાડતા,આપણને મળે છે:
$(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} = -(y^2 + 1)$
$\frac{dy}{y^2 + 1} = -\frac{dx}{x^2 + 1}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{y^2 + 1} = -\int \frac{dx}{x^2 + 1}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1} u + C$.
તેથી,$\tan^{-1} y = -\tan^{-1} x + C$
$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$.
આથી મળે છે: $\ln|\theta - \theta_0| = -kt + C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $\theta - \theta_0 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} e^{-kt}$.
ધારો કે $e^{C_1} = a$.
તેથી,$\theta - \theta_0 = a e^{-kt}$.
આમ,ઉકેલ $\theta = \theta_0 + a e^{-kt}$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log\left(\frac{dy}{dx}\right) = x$ છે.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{dy}{dx} = e^x$ થાય.
ચલને અલગ કરતા,$dy = e^x dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int dy = \int e^x dx$,જેનું પરિણામ $y = e^x + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $x = 0, y = 1$ હોય,ત્યારે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $1 = e^0 + C$.
$e^0 = 1$ હોવાથી,$1 = 1 + C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = e^x$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ મળે છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \tan v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = - \tan v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\tan v} = - \frac{dx}{x}$,એટલે કે $\cot v \, dv = - \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cot v \, dv = - \int \frac{1}{x} \, dx$.
આથી $\ln |\sin v| = - \ln |x| + \ln |c|$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln |\sin v| + \ln |x| = \ln |c| \Rightarrow \ln |x \sin v| = \ln |c|$.
આમ,$x \sin v = c$. $v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $x \sin \left( \frac{y}{x} \right) = c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \ dx - x \ dy = xy \ dx$ છે.
બંને બાજુને $xy$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{y \ dx - x \ dy}{xy} = dx$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$d \left( \log \left( \frac{x}{y} \right) \right) = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int d \left( \log \left( \frac{x}{y} \right) \right) = \int dx$
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = x + C$
આપેલ વિકલ્પો માટે સંકલન અચળાંક $C = 0$ લેતા:
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = x$
$\frac{x}{y} = e^x$
$x = y e^x$

(B) આપેલ છે કે $x = \sin \theta$ અને $y = \sin^3 \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \sin^2 \theta \cos \theta$
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} = 3 \sin^2 \theta$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3 \sin^2 \theta) = \frac{d}{d\theta}(3 \sin^2 \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (6 \sin \theta \cos \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 6 \sin \theta$
છેલ્લે,$\theta = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6 \sin(\frac{\pi}{2}) = 6(1) = 6$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^y = e^{x - y}$ છે.
બંને બાજુ $\log$ લેતા,આપણને મળે $y \log x = (x - y) \log e = x - y$ . . . . . . $(i)$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $(i)$ માં કિંમત મૂકતા $y \log 1 = 1 - y$,જેનો અર્થ છે $0 = 1 - y$,તેથી $y = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $(i)$ નું વિકલન કરતા:
$y \cdot (\frac{1}{x}) + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} (\log x + 1) = 1 - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x (\log x + 1)}$.
$x = 1$ અને $y = 1$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 1}{1 (\log 1 + 1)} = \frac{0}{1} = 0$.

(A) આપેલ છે કે $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$ અને $y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = a^{\sin^{-1} t}$ અને $y^2 = a^{\cos^{-1} t}$ મળે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log_a(x^2) = \sin^{-1} t$ અને $\log_a(y^2) = \cos^{-1} t$ મળે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$\log_a(x^2) + \log_a(y^2) = \sin^{-1} t + \cos^{-1} t$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_a(x^2 y^2) = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x^2 y^2 = a^{\pi/2}$,જે એક અચળ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(a^{\pi/2})$ મળે છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$.
$2xy$ વડે ભાગતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \log \left[ \frac{x + \sqrt{x^2 + 25}}{\sqrt{x^2 + 25} - x} \right]$.
લઘુગણકની અંદરના પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})(x + \sqrt{x^2 + 25})}{(\sqrt{x^2 + 25} - x)(\sqrt{x^2 + 25} + x)} \right]$
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})^2}{(x^2 + 25) - x^2} \right]$
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})^2}{25} \right]$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2 \log (x + \sqrt{x^2 + 25}) - \log 25$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 25}) - 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 25}} \cdot 2x \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2 + 25} + x}{\sqrt{x^2 + 25}} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{x^2 + 25}}$

(B) ધારો કે $y = \log _{e^2}(\log x)$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log _{b^n} a = \frac{1}{n} \log _b a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \frac{1}{2} \log _e(\log x)$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \log _e(\log x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x \log x}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $y = \sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$.
$t = \tan \theta$ લેતા,$\theta = \tan ^{-1} t$ મળે.
$y = \sin ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan ^2 \theta}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin ^{-1}(\sin \theta) = \theta = \tan ^{-1} t$.
ધારો કે $z = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$.
$z = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2 \theta}}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos ^{-1}(\cos \theta) = \theta = \tan ^{-1} t$.
અહીં $y = \theta$ અને $z = \theta$ હોવાથી,$y = z$ થાય.
તેથી,$\frac{dy}{dz} = \frac{d}{dz}(z) = 1$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - (\log x)^2}{1 + (\log x)^2} \right)$.
ધારો કે $u = \log x$. તો પદાવલિ $f(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - u^2}{1 + u^2} \right)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય આદેશ $u = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1} u$.
આમ,$f(x) = 2 \tan^{-1} (\log x)$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{2}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{1}{x}$.
હવે,$x = e$ આગળ કિંમત મુકતા:
$f'(e) = \frac{2}{1 + (\log e)^2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{1 + 1^2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{x-2}{3-x}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $\frac{x-2}{3-x} \geq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે અંશ અને છેદના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ અથવા અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ચોક્કસ રીતે,$x-2 \geq 0$ અને $3-x > 0$.
$x-2 \geq 0$ પરથી,આપણને $x \geq 2$ મળે છે.
$3-x > 0$ પરથી,આપણને $x < 3$ મળે છે.
આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $2 \leq x < 3$ મળે છે.
આમ,$f(x)$ નો પ્રદેશ $[2, 3)$ છે.

(C) આપણી પાસે $f(x) = [x]$ છે.
$x = 1$ આગળ જમણી બાજુના વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ:
$f^{\prime}(1^{+}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.
અહીં $h$ એ નાની ધન કિંમત હોવાથી,$1+h$ એ $1$ થી થોડું મોટું છે,તેથી $[1+h] = 1$.
વળી,$[1] = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime}(1^{+}) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{0}{h} = 0$.

(D) આપેલ વિધેયો $f(x)=3x+6$ અને $g(x)=4x+k$ છે.
$f \circ g(x) = g \circ f(x)$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$f(g(x)) = g(f(x))$
$f(4x+k) = g(3x+6)$
વિધેયોમાં પદો મૂકતા:
$3(4x+k)+6 = 4(3x+6)+k$
$12x + 3k + 6 = 12x + 24 + k$
બંને બાજુથી $12x$ બાદ કરતા:
$3k + 6 = 24 + k$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$3k - k = 24 - 6$
$2k = 18$
$k = 9$

(A) આપેલ છે: $f(x) = 3x - 2$ અને $g(x) = x^2$.
સંયોજિત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$f \circ g(x) = f(g(x))$.
વિધેય $f(x)$ માં $g(x) = x^2$ મૂકતા:
$f(g(x)) = f(x^2)$.
કારણ કે $f(x) = 3x - 2$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $x^2$ મૂકતા:
$f(x^2) = 3(x^2) - 2 = 3x^2 - 2$.
તેથી,$f \circ g(x) = 3x^2 - 2$.

(D) ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફારનો દર અચળ $K$ છે.
તેથી,$\frac{d}{dt}(4 \pi r^2) = K$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d}{dt}(4 \pi r^2) dt = \int K dt$.
આમ,$4 \pi r^2 = K t + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(\sin x + \cos x)(2 \cos x + \sin x)}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(\tan x + 1)(2 + \tan x)} dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$.
$I = \int \frac{dt}{(t+1)(t+2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$.
$1 = A(t+2) + B(t+1)$.
$t = -1$ લેતા,$A = 1$. $t = -2$ લેતા,$B = -1$.
$I = \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2} \right) dt = \log|t+1| - \log|t+2| + C$.
$I = \log \left| \frac{t+1}{t+2} \right| + C = \log \left| \frac{\tan x + 1}{\tan x + 2} \right| + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1}{1-\cot x} dx$.
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ મૂકતા,$I = \int \frac{1}{1-\frac{\cos x}{\sin x}} dx = \int \frac{\sin x}{\sin x - \cos x} dx$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $I = \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x - \cos x} dx$.
અંશને આ રીતે લખતા: $2 \sin x = (\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x)$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x} dx = \frac{1}{2} \int \left( 1 + \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \right) dx$.
ધારો કે $u = \sin x - \cos x$,તો $du = (\cos x + \sin x) dx$.
$I = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx + \int \frac{1}{u} du \right) = \frac{1}{2} (x + \log |u|) + C = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \log |\sin x - \cos x| + C$.
$Ax + B \log |\sin x - \cos x| + C$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{2}$ અને $B = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$A + B = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.