MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए कि तीन छड़ें $R_1$,$R_2$ और $R_3$ हैं,जिनका द्रव्यमान $m$ है।
$1$. छड़ $R_1$,$x$-अक्ष पर $(0,0)$ से $(2a,0)$ तक स्थित है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_1, y_1) = (a, 0)$ पर है।
$2$. छड़ $R_2$,$y$-अक्ष पर $(0,0)$ से $(0,a)$ तक स्थित है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_2, y_2) = (0, a/2)$ पर है।
$3$. छड़ $R_3$,$(2a,0)$ और $(0,a)$ को जोड़ती है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_3, y_3) = (a, a/2)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$X_{cm} = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3)}{3m} = \frac{a + 0 + a}{3} = \frac{2a}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m(y_1 + y_2 + y_3)}{3m} = \frac{0 + a/2 + a/2}{3} = \frac{a}{3}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}\right)$ पर है।

$(A)$ $\text{हेड-ऑन प्रत्यास्थ टक्कर में,पास आने का सापेक्ष वेग,दूर जाने के सापेक्ष वेग के बराबर होता है।}$
$\text{मान लीजिए कि दो कणों के द्रव्यमान } m_1 \text{ और } m_2 \text{ हैं।}$
$\text{प्रारंभिक वेग } u_1 = 5 \,m/s \text{ और } u_2 = 3 \,m/s \text{ हैं।}$
$\text{अंतिम वेग } v_1 = 4 \,m/s \text{ और } v_2 = ? \text{ हैं।}$
$\text{पास आने का सापेक्ष वेग } u_1 - u_2 = 5 - 3 = 2 \,m/s \text{ है।}$
$\text{दूर जाने का सापेक्ष वेग } v_2 - v_1 = v_2 - 4 \text{ है।}$
$\text{चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,} u_1 - u_2 = v_2 - v_1$.
$\text{मान रखने पर: } 2 = v_2 - 4$.
$\text{इसलिए,} v_2 = 2 + 4 = 6 \,m/s$.
$\text{चूंकि परिणाम धनात्मक है,दूसरा कण उसी दिशा में गति करता है।}$

(C) माना पहली वस्तु का द्रव्यमान $m$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। दूसरी वस्तु का द्रव्यमान $M$ है और उसका प्रारंभिक वेग $0$ है। टक्कर के बाद,पहली वस्तु रुक जाती है $(v_1 = 0)$।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u + M(0) = m(0) + M v_2$
$m u = M v_2$
$v_2 = \frac{m u}{M}$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
मान रखने पर:
$e = \frac{\frac{m u}{M} - 0}{u - 0} = \frac{m u / M}{u} = \frac{m}{M}$

(B) मान लीजिए कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $m$ है। पहले गोले का प्रारंभिक वेग $u_1 = 3u$ है और दूसरे गोले का वेग $u_2 = 0$ है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद पहले और दूसरे गोले के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m(3u) + m(0) = mv_1 + mv_2$,जो सरल होकर $v_1 + v_2 = 3u$ हो जाता है (समीकरण $1$)।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{3u - 0}$,जिससे हमें $v_2 - v_1 = 3ue$ प्राप्त होता है (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $2v_2 = 3u(1 + e) \implies v_2 = \frac{3u(1 + e)}{2}$।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर: $2v_1 = 3u(1 - e) \implies v_1 = \frac{3u(1 - e)}{2}$।
दूसरे गोले के वेग और पहले गोले के वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \frac{3u(1 + e) / 2}{3u(1 - e) / 2} = \frac{1 + e}{1 - e}$ है।

(D) वस्तु पर लगा आवेग बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $(J)$ = संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ = $m(v - u)$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 3 \ kg$, प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ है।
ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल = पहले आयत का क्षेत्रफल + दूसरे आयत का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल = $(8 \ N \times 0.5 \ s) + (4 \ N \times (1.0 - 0.5) \ s)$.
क्षेत्रफल = $(4 \ Ns) + (4 \ N \times 0.5 \ s) = 4 \ Ns + 2 \ Ns = 6 \ Ns$.
चूंकि आवेग = $\Delta p = m(v - u)$,
$6 = 3 \times (v - 0)$,
$6 = 3v$,
$v = 2 \ m/s$.
अतः, $1 \ s$ के बाद वस्तु की चाल $2 \ m/s$ होगी।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर,$g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
सतह से $h = 2R$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+2R)^2} = \frac{GM}{(3R)^2} = \frac{GM}{9R^2} = \frac{g}{9}$ होता है।
नया आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/9}} = 3 \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 3T$ है।
$T' = 3T$ की तुलना $T' = xT$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{r^2}$ होता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\varrho$ और त्रिज्या $r$ के पदों में $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^3 \varrho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए इसे $g$ के सूत्र में रखने पर:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi r^3 \varrho)}{r^2} = \frac{4}{3} \pi G r \varrho$.
अतः,$g \propto r \varrho$ होता है।
ग्रह $A$ के लिए,$g_A \propto r_1 \varrho_1$.
ग्रह $B$ के लिए,$g_B \propto r_2 \varrho_2$.
इसलिए,ग्रह $A$ और $B$ पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_A}{g_B} = \frac{r_1 \varrho_1}{r_2 \varrho_2}$ होगा।

(A) पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ है,जहाँ $g_s$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है कि $g_d = \frac{g_s}{n}$,इसलिए:
$\frac{g_s}{n} = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दोनों पक्षों को $g_s$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = \frac{R(n-1)}{n}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = \frac{GMm}{R^2} = 45 \ N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$h = \frac{R}{2}$ की ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ से प्राप्त होता है।
सूत्र में $h = \frac{R}{2}$ रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
ऊँचाई $h$ पर भार $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ होगा।
$W = 45 \ N$ रखने पर:
$W' = \frac{4}{9} \times 45 = 4 \times 5 = 20 \ N$.

(A) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$.
दिया गया है कि $g_d = \frac{g}{n}$,इसलिए:
$\frac{g}{n} = g(1 - \frac{d}{R})$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$.
अतः,$d = \frac{R(n-1)}{n}$.

(A) सरल लोलक की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $L$ स्थिर है,इसलिए $n \propto \sqrt{g}$ होगा।
पृथ्वी की सतह पर,$g_s = g$ है।
$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $d = R/3$,इसलिए $g_d = g \left(1 - \frac{R/3}{R}\right) = g \left(1 - 1/3\right) = \frac{2}{3}g$।
नई आवृत्ति $n'$ का मान $n' = n \sqrt{\frac{g_d}{g_s}}$ होगा।
मान रखने पर,$n' = n \sqrt{\frac{(2/3)g}{g}} = n \sqrt{2/3}$।

(A) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर वजन अपने वर्तमान मूल्य का $\frac{1}{6}$ हो जाता है,हम मानते हैं कि वर्तमान वजन लगभग $mg$ है।
अतः,$g' = \frac{1}{6} g$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{6} g = g - \omega^2 R$.
$\omega^2 R$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - \frac{1}{6} g = \frac{5}{6} g$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \sqrt{\frac{5g}{6R}}$.
अतः,आवश्यक कोणीय गति $\sqrt{\frac{5}{6} \frac{g}{R}}$ है।

(B) एक ठोस गोले (द्रव्यमान $m$,त्रिज्या $r$) और एक संकेंद्रित कोश (द्रव्यमान $m$,त्रिज्या $2r$) से बनी प्रणाली के केंद्र से $x$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$,दोनों वस्तुओं के क्षेत्रों के अध्यारोपण (superposition) द्वारा दिया जाता है।
$r < x < 2r$ के लिए,कोश के कारण क्षेत्र $0$ है (कोश के अंदर),और ठोस गोले के कारण क्षेत्र $\frac{Gm}{x^2}$ है। अतः,$E = \frac{Gm}{x^2}$।
$x = 1.5r = \frac{3}{2}r$ के लिए,$E = \frac{Gm}{(1.5r)^2} = \frac{Gm}{2.25r^2} = \frac{4}{9} \frac{Gm}{r^2}$।
$x > 2r$ के लिए,दोनों केंद्र पर बिंदु द्रव्यमान के रूप में कार्य करते हैं। $E = \frac{G(m+m)}{x^2} = \frac{2Gm}{x^2}$।
$x = 2.5r = \frac{5}{2}r$ के लिए,$E = \frac{2Gm}{(2.5r)^2} = \frac{2Gm}{6.25r^2} = \frac{2Gm}{(25/4)r^2} = \frac{8}{25} \frac{Gm}{r^2}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोले के लिए:
$1$. $r_1 > R$ दूरी पर (गोले के बाहर),गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E_1 = \frac{GM}{r_1^2}$ है।
$2$. $r_2 < R$ दूरी पर (गोले के अंदर),गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E_2 = \frac{GMr_2}{R^3}$ है।
$3$. अनुपात $E_1 : E_2$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{GM/r_1^2}{GMr_2/R^3} = \frac{GM}{r_1^2} \times \frac{R^3}{GMr_2} = \frac{R^3}{r_1^2 r_2}$.

(B) पृथ्वी की सतह से किसी वस्तु के पलायन वेग $(v_e)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
जहाँ:
$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,
$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,
$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ पर निर्भर करता है।
यह प्रक्षेपित की जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
प्रक्षेप्य वेग $v = \frac{1}{3} v_e = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $h$ के बीच:
सतह पर कुल ऊर्जा = अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा।
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$.
$v^2 = \frac{1}{9} \left(\frac{2GM}{R}\right) = \frac{2GM}{9R}$ रखने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{2GM}{9R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$-GMm$ से भाग देने पर: $\frac{1}{R} - \frac{1}{9R} = \frac{1}{R+h}$.
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$.
$8(R+h) = 9R \implies 8R + 8h = 9R$.
$8h = R \implies h = \frac{R}{8}$.

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$r = R$ पर इस ऊर्जा का परिमाण $E = \frac{GMm}{R}$ है,जिसका अर्थ है $GMm = ER$।
पिंड का भार $W$,$r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{r^2}$ के बराबर होता है।
$r = 1.5 R = \frac{3}{2} R$ पर,भार $W = \frac{GMm}{(1.5 R)^2} = \frac{GMm}{2.25 R^2} = \frac{GMm}{\frac{9}{4} R^2} = \frac{4 GMm}{9 R^2}$ होगा।
$GMm = ER$ को $W$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{4 (ER)}{9 R^2} = \frac{4 E}{9 R}$।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$।
यहाँ प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ है।
नई त्रिज्या $r_2 = \frac{1}{4} r_1$ है।
संबंध $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$।
अतः, $T_2 = \frac{T_1}{8} = \frac{24}{8} = 3 \text{ घंटे}$।

(A) $m$ द्रव्यमान के दो कण $r$ त्रिज्या के वृत्त में गति कर रहे हैं। उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास यानी $2r$ है।
दोनों कणों के बीच लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G m m}{(2r)^2} = \frac{G m^2}{4r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ चाल से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{m v^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{m v^2}{r} = \frac{G m^2}{4r^2}$।
$v^2$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{G m}{4r}$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{G m}{4r}}$ प्राप्त होता है।

(B) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है।
वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ है।
कुल ऊर्जा $E$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$।
$E$ और $K$ की तुलना करने पर: $E = -K$,जिसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर है।
$E$ और $U$ की तुलना करने पर: $E = \frac{1}{2} U$,जिसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा की आधी होती है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$।
माना $v_A$ और $v_B$ उपग्रहों $A$ और $B$ की चाल हैं,जिनकी कक्षीय त्रिज्याएँ क्रमशः $r_A = 4R$ और $r_B = R$ हैं।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{v_A}{6V} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$v_A = 6V \times \frac{1}{2} = 3V$।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
इसका अर्थ है कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
यहाँ कक्षाओं की त्रिज्याएँ $r_P = 3R$ और $r_Q = R$ दी गई हैं।
माना उपग्रहों $P$ और $Q$ की कक्षीय चालें क्रमशः $v_P$ और $v_Q$ हैं।
अतः,$\frac{v_Q}{v_P} = \sqrt{\frac{r_P}{r_Q}}$.
दिए गए मान रखने पर: $\frac{v_Q}{2V} = \sqrt{\frac{3R}{R}} = \sqrt{3}$.
इसलिए,$v_Q = 2V \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}V$.

(B) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
मान लीजिए $g_m, M_m, R_m$ चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण,द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $g_e, M_e, R_e$ पृथ्वी के लिए हैं।
दिया गया है: $g_m = \frac{1}{6} g_e$ और $M_m = \frac{1}{8} M_e$.
हमें अनुपात मिलता है: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{R_e}{R_m} = \sqrt{\frac{4}{3}}$.
अतः,पृथ्वी की त्रिज्या चंद्रमा की त्रिज्या की $\sqrt{4/3}$ गुना है।

(C) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,मेयर का संबंध $C_P - C_V = R$ है।
दोनों पक्षों को $C_V$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{C_P}{C_V} - 1 = \frac{R}{C_V}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{9}{7}$।
$\gamma$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{R}{C_V} = \gamma - 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{R}{C_V} = \frac{9}{7} - 1 = \frac{9-7}{7} = \frac{2}{7}$।
दशमलव मान की गणना करने पर,$\frac{2}{7} \approx 0.2857$।
अतः,मान लगभग $0.28$ है।

(C) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,मेयर का संबंध इस प्रकार है: $C_{p} - C_{V} = R$।
साथ ही,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात इस प्रकार परिभाषित है: $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$,जिसका अर्थ है $C_{V} = \frac{C_{p}}{\gamma}$।
मेयर के संबंध में $C_{V}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$C_{p} - \frac{C_{p}}{\gamma} = R$
$C_{p} \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R$
$C_{p} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) = R$
अतः,$C_{p} = \frac{R \gamma}{\gamma - 1}$।

(C) एक बंद पात्र में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$,जिसका अर्थ है $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$।
माना प्रारंभिक दबाव $P$ है और प्रारंभिक तापमान $T$ है। अतः $P_1 = P$ और $T_1 = T$ है।
दबाव $2.5 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $P_2 = P + 0.025P = 1.025P$ है।
तापमान $4 \ K$ बढ़ जाता है,इसलिए $T_2 = T + 4$ है।
इन मानों को संबंध $\frac{P}{T} = \frac{1.025P}{T + 4}$ में रखने पर:
$T + 4 = 1.025T$
$4 = 1.025T - T$
$4 = 0.025T$
$T = \frac{4}{0.025} = \frac{4000}{25} = 160 \ K$।
अतः,गैस का प्रारंभिक तापमान $160 \ K$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है। अणुओं की संख्या $N$ को $N = nN_A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N_A$ एवोगैड्रो संख्या है।
अतः,$N = \frac{PV}{RT} N_A$.
जार $A$ के लिए: $N_A = \frac{PV}{RT} N_A$.
जार $B$ के लिए: $N_B = \frac{(2P)(V/4)}{(T/4)} N_A = \frac{2PV/4}{T/4} N_A = \frac{2PV}{T} N_A = 2 \left( \frac{PV}{RT} \right) N_A = 2N_A$.
इसलिए,जार $A$ और जार $B$ में अणुओं की संख्या का अनुपात $N_A / N_B = 1 / 2$ है,जो कि $1: 2$ है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,नियत तापमान पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P_1 = P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
आयतन में $5 \%$ की कमी की जाती है,इसलिए अंतिम आयतन $V_2 = V - 0.05V = 0.95V$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P \times V = P_2 \times 0.95V$।
$P_2$ के लिए हल करने पर: $P_2 = P / 0.95 = (100/95)P = (20/19)P \approx 1.0526P$।
दबाव में वृद्धि $\Delta P = P_2 - P = 1.0526P - P = 0.0526P$ है।
दबाव में प्रतिशत वृद्धि $(\Delta P / P) \times 100 = 0.0526 \times 100 = 5.26 \%$ है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
माना प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
आयतन में $7 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए अंतिम आयतन $V_2 = V + 0.07V = 1.07V$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P_1 V = P_2 (1.07V)$।
$P_2 = \frac{P_1}{1.07} \approx 0.9346 P_1$।
दबाव में कमी $\Delta P = P_1 - P_2 = P_1 - 0.9346 P_1 = 0.0654 P_1$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने पर: $\frac{\Delta P}{P_1} \times 100 = 0.0654 \times 100 = 6.54 \%$।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं के बीच होने वाली टक्करों को पूर्णतः प्रत्यास्थ (perfectly elastic) माना जाता है।
एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल रेखीय संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
इसलिए,जब गैस के दो अणु टकराते हैं,तो गतिज ऊर्जा और संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ से,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि घनत्व $\varrho = \frac{m}{V}$ है,हम $P = \frac{\varrho RT}{M}$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $P \propto \varrho T$।
बिंदु $A$ पर: $P_A = P_0$,$T_A = T_0$,और $\varrho_A = \varrho_0$। अतः,$P_0 = k \cdot \varrho_0 T_0$ (जहाँ $k = \frac{R}{M}$)।
बिंदु $B$ पर: $P_B = Y$,$T_B = 3T_0$,और $\varrho_B = \frac{4}{3} \varrho_0$।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{P_B}{P_A} = \frac{\varrho_B T_B}{\varrho_A T_A}$
$\frac{Y}{P_0} = \frac{(\frac{4}{3} \varrho_0) (3T_0)}{\varrho_0 T_0}$
$\frac{Y}{P_0} = \frac{4}{3} \times 3 = 4$
अतः,$Y = 4 P_0$।

(A) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E_{avg})$ का सूत्र $E_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि $k_B$ एक नियतांक है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा परम तापमान के सीधे आनुपातिक होती है $(E_{avg} \propto T)$।
दिए गए तापमान $T_A = 350 \ K$ और $T_B = 420 \ K$ हैं।
गैस $B$ और गैस $A$ की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_B}{E_A} = \frac{T_B}{T_A}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{E_B}{E_A} = \frac{420}{350} = \frac{42}{35} = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $6: 5$ है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवारों पर लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हमारे पास $P = \frac{nRT}{V}$ है।
चूंकि एक बंद पात्र के लिए $n$,$R$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए दबाव $P$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $P \propto T$।
दीवारों पर लगाया गया बल $F = P \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ दीवार का सतह क्षेत्र है।
चूंकि एक बंद पात्र के लिए $A$ स्थिर है,इसलिए $F \propto P$।
अतः,$F \propto T$,जिसका अर्थ है $F \propto T^{1}$।
इसे $T^{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(D) एक आदर्श गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $K \propto T$ है।
दिया गया है,$T_1 = 399^{\circ} C = (399 + 273) K = 672 K$ पर,गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ है।
हमें वह तापमान $T_2$ ज्ञात करना है जिस पर गतिज ऊर्जा $E_2 = E/2$ हो।
समानुपातिकता $E_1 / E_2 = T_1 / T_2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E / (E/2) = 672 / T_2$
$2 = 672 / T_2$
$T_2 = 672 / 2 = 336 K$.
इसे सेल्सियस में बदलने के लिए: $T_2(^{\circ} C) = 336 - 273 = 63^{\circ} C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा गैस के परम तापमान के सीधे आनुपातिक होती है।
विशेष रूप से,औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि तापीय संतुलन में गैस के सभी अणुओं के लिए तापमान $T$ समान होता है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा सभी अणुओं के लिए समान रहती है।
वेग,संवेग और कोणीय संवेग जैसी अन्य राशियाँ टक्करों और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन गति वितरण के कारण अणु-दर-अणु बदलती रहती हैं।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक आदर्श गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ उसके परम तापमान $(T)$ (केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होती है,जिसका सूत्र है: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = $E$।
अंतिम तापमान $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$।
चूंकि $K_{avg} \propto T$,इसलिए:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{T_2}{T_1}$
$\frac{K_2}{E} = \frac{600 \ K}{300 \ K}$
$\frac{K_2}{E} = 2$
$K_2 = 2 E$।
अतः,अंतिम औसत गतिज ऊर्जा $2 E$ होगी।

(B) $1$. दिया गया है: दबाव $P = 10^5 \text{ N m}^{-2}$,घनत्व $\rho = 5 \text{ kg m}^{-3}$,कुल द्रव्यमान $M_{total} = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$.
$2$. गैस द्वारा घेरा गया आयतन $V = \frac{M_{total}}{\rho} = \frac{0.5}{5} = 0.1 \text{ m}^3$.
$3$. आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$nRT = PV = 10^5 \times 0.1 = 10^4 \text{ J}$.
$4$. एक दृढ़ रोटेटर के रूप में कार्य करने वाली द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) होती है।
$5$. एक मोल गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
$6$. $f = 5$ होने पर,$U = \frac{5}{2} RT$.
$7$. $PV = nRT$ से,$RT = \frac{PV}{n}$.
$8$. यहाँ कुल ऊर्जा $\frac{5}{2} PV = 2.5 \times 10^4 \text{ J}$ प्राप्त होती है,जो दिए गए विकल्पों के अनुरूप है।

(B) r.m.s. वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है,$v_{H_2} = 4 \times v_{O_2}$।
ऑक्सीजन का तापमान $T_{O_2} = 47 + 273 = 320 \ K$।
हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ और ऑक्सीजन का $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ है।
संबंध $\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = 4 \times \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ का उपयोग करने पर।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = 16 \times \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{T_{H_2}}{2} = 16 \times \frac{320}{32}$।
$\frac{T_{H_2}}{2} = 16 \times 10 = 160$।
$T_{H_2} = 320 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 320 - 273 = 47^{\circ} C$।

(C) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है (यह मानते हुए कि गैस का संगठन $M$ स्थिर रहता है),यदि $T$ स्थिर है,तो $v_{rms}$ भी स्थिर रहना चाहिए।
इसलिए,जब किसी गैस को समतापीय रूप से संपीड़ित किया जाता है,तो उसके अणुओं का r.m.s. वेग समान रहता है।

(B) एक आदर्श गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल ($R$.$M$.$S$.) वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
माना $T_1 = 100 \ K$ पर $R$.$M$.$S$. वेग $v_1 = x$ है और $T_2 = 400 \ K$ पर $R$.$M$.$S$. वेग $v_2$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_2 = 2x$.

(B) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ चाल $(v_{rms})$ का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
मान लीजिए $T_1 = 200 \ K$ पर $r.m.s.$ चाल $v_1$ है और $T_2 = 800 \ K$ पर $r.m.s.$ चाल $v_2$ है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
इसलिए,$v_2 = 2v_1$.
इसका अर्थ है कि $800 \ K$ पर $r.m.s.$ चाल $200 \ K$ पर मान की दोगुनी होगी।

(C) वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) चाल को व्यक्तिगत चालों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2 + v_6^2}{N}}$
दी गई चालें: $2, 5, 3, 6, 3, 5 \,m/s$.
अणुओं की संख्या $N = 6$.
वर्गों का योग: $2^2 + 5^2 + 3^2 + 6^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 25 + 9 + 36 + 9 + 25 = 108$.
वर्गों का माध्य: $\frac{108}{6} = 18$.
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24 \,m/s$.

(B) एक आदर्श गैस के लिए,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{3}{2} PV$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$PV = \frac{2}{3} K$. विकल्प $A$ और $D$ गलत हैं।
r.m.s. गति के लिए,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
विकल्प $B$ में: $T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$ और $T_2 = 527 + 273 = 800 \ K$. अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$. इस प्रकार,r.m.s. गति दोगुनी हो जाती है। विकल्प $B$ सही है।
विकल्प $C$ में: $T_1 = -100 + 273 = 173 \ K$ और $T_2 = 627 + 273 = 900 \ K$. अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{900}{173}} \neq 4$. विकल्प $C$ गलत है।

(B) एक आदर्श गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
मान लीजिए $T_1 = 100 \ K$ पर वेग $v_1$ है और $T_2 = 400 \ K$ पर वेग $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_1 = x$.
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_2 = 2x$.

(C) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यह दिया गया है कि ऑक्सीजन $(O_2)$ और हीलियम $(He)$ की r.m.s. गति समान है,इसलिए:
$\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$
यहाँ $T_{He} = 57^{\circ} C = 57 + 273 = 330 \ K$,$M_{O_2} = 32$,और $M_{He} = 4$ है।
मान रखने पर:
$\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{330}{4}$
$T_{O_2} = \frac{330 \times 32}{4} = 330 \times 8 = 2640 \ K$.

(C) आदर्श गैस के रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
मान लीजिए $T_1 = 100 \ K$ पर r.m.s. वेग $v_1$ है और $T_2 = 400 \ K$ पर r.m.s. वेग $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_1 = x$.
समानुपातिकता $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_2 = 2x$.

(A) $T$ आवर्तकाल और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहे पिंड का अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ सूत्र $a_c = \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = 2\pi / T$ कोणीय वेग है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए आवर्तकाल $T$ समान है,इसलिए उनका कोणीय वेग $\omega$ भी समान होगा।
$10 \ kg$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले पहले पिंड के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $a_1 = \omega^2 R$ है।
$5 \ kg$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले दूसरे पिंड के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $a_2 = \omega^2 r$ है।
उनके अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात $a_1 / a_2 = (\omega^2 R) / (\omega^2 r) = R / r$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) स्थिर लिफ्ट में,व्यक्ति का भार $w_1 = mg$ है।
जब लिफ्ट $a$ समान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो आभासी भार $w_2 = m(g - a)$ होता है।
दिए गए अनुपात $w_1/w_2 = 4/3$ में मान रखने पर:
$mg / [m(g - a)] = 4/3$.
$g / (g - a) = 4/3$.
$3g = 4(g - a)$.
$3g = 4g - 4a$.
$4a = 4g - 3g$.
$4a = g$.
अतः,$a = g/4$.

(B) द्रव्यमान '$M$' के स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव '$T$' को उसके भार को संतुलित करना चाहिए: $T = Mg$.
यह तनाव '$T$','$L$' त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में गति कर रहे द्रव्यमान 'm' के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T = m \omega^2 L$.
तनाव के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $Mg = m \omega^2 L$.
कोणीय वेग '$\omega$' के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{Mg}{mL} \implies \omega = \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.
चूंकि कोणीय वेग '$\omega = 2 \pi f$' है,जहाँ 'f' परिक्रमण की आवृत्ति है:
$2 \pi f = \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.
अतः,आवृत्ति 'f' होगी: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.

(B) बिंदु '$Q$' पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. रस्सी '$PQ$' में तनाव '$T$',जो ऊर्ध्वाधर के साथ '$\theta$' कोण पर कार्य करता है।
$2$. दाईं ओर कार्य करने वाला क्षैतिज बल '$F$'।
$3$. द्रव्यमान '$M$' को सहारा देने वाली ऊर्ध्वाधर रस्सी में तनाव '$T_2$',जो '$Mg$' के बराबर है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों का योग शून्य होना चाहिए।
'$T$' को घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = F$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = Mg$
क्षैतिज घटक के समीकरण से,हमें प्राप्त होता है:
$T = \frac{F}{\sin \theta}$
अतः,रस्सी '$PQ$' में तनाव $\frac{F}{\sin \theta}$ है।

(C) कार्य फलन $W_0$ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
इससे हम देख सकते हैं कि $W_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_0 \propto \frac{1}{W_0}$।
सोडियम $(W_1 = 2.3 \ eV)$ और तांबे $(W_2 = 4.5 \ eV)$ के लिए दिए गए कार्य फलनों के अनुसार,उनकी देहली तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{W_2}{W_1} = \frac{4.5 \ eV}{2.3 \ eV} \approx \frac{4.6}{2.3} = 2$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f_r$ का सूत्र $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ होता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि अनुनादी आवृत्ति केवल परिपथ के प्रेरकत्व $L$ और धारिता $C$ पर निर्भर करती है।
प्रतिरोध $R$ अनुनादी आवृत्ति के व्यंजक में नहीं आता है।
इसलिए,प्रतिरोध $R$ को उसके मूल मान का $1/3$ करने पर परिपथ की अनुनादी आवृत्ति पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।
अतः,अनुनादी आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा अधिकतम होने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए। अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात और धारिता प्रतिघात समान होते हैं: $X_L = X_C$,जिसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$।
दिया गया है $f = 50 \ Hz$,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$ है।
अनुनाद की शर्त के अनुसार $C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(100 \pi)^2 \times 2.5} = \frac{1}{10000 \times 10 \times 2.5} = \frac{1}{250000} \ F$।
$C = 4 \times 10^{-6} \ F = 4 \ \mu F$।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,इसलिए $Z = R = 11.5 \ \Omega$।
अधिकतम धारा $I_{max} = \frac{V_0}{Z} = \frac{230}{11.5} = 20 \ A$ है।
अतः,$C$ का मान $4 \ \mu F$ और अधिकतम धारा $20 \ A$ है।

(B) दिए गए $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L = 100 \ V$ है और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C = 100 \ V$ है।
चूंकि $V_L = V_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरक और संधारित्र के सिरों पर कुल वोल्टेज शून्य होता है $(V_L - V_C = 0)$।
इसलिए,संपूर्ण स्रोत वोल्टेज $V$ प्रतिरोध $R$ के सिरों पर कार्य करता है।
दिया गया है $V = 300 \ V$ और $R = 50 \ \Omega$।
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R}$ है।
मान रखने पर,$I = \frac{300 \ V}{50 \ \Omega} = 6 \ A$।
अतः,अमीटर का पाठ्यांक $6 \ A$ है।

(C) $LC$ परिपथ में,संधारित्र पर आवेश $q(t) = q_0 \cos(\omega t)$ के रूप में बदलता है,जहाँ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
$t=0$ पर,ऊर्जा अधिकतम है,जिसका अर्थ है कि आवेश अधिकतम $(q = q_0)$ है।
परिपथ में धारा $i(t) = -\frac{dq}{dt} = q_0 \omega \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
धारा तब अधिकतम होती है जब $\sin(\omega t) = 1$ हो,जो $\omega t = \frac{\pi}{2}$ पर होता है,या $t = \frac{\pi}{2\omega}$।
दिया गया है $L = 16 \text{ mH} = 16 \times 10^{-3} \text{ H}$ और $C = 10 \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$।
$\omega = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-3} \times 10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 0.25 \times 10^4 = 2500 \text{ rad/s}$ की गणना करें।
अब,$t = \frac{\pi}{2 \times 2500} = \frac{\pi}{5000} = \pi \times 2 \times 10^{-4} \text{ s} = 2 \pi \times 10^{-4} \text{ s}$।

(D) अनुनाद पर,परिपथ में धारा $I = V_R / R$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है $V_R = 200 \ V$ और $R = 800 \ \Omega$,इसलिए $I = 200 / 800 = 0.25 \ A$.
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,जहाँ $X_C = 1 / (\omega C)$ है।
दिया गया है $\omega = 250 \ rad/s$ और $C = 2 \times 10^{-6} \ F$,इसलिए $X_C = 1 / (250 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (500 \times 10^{-6}) = 10^6 / 500 = 2000 \ \Omega$.
चूंकि अनुनाद पर $X_L = X_C$ होता है,इसलिए $X_L = 2000 \ \Omega$.
प्रेरकत्व के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I \times X_L$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$V_L = 0.25 \times 2000 = 500 \ V$.

(C) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $|X_L - X_C| = R$,इसलिए प्रतिबाधा के सूत्र में मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
परिपथ में अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{R\sqrt{2}}$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = I_0 X_C$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर का r.m.s. मान $V_{C,rms} = I_{rms} X_C$ है।
चूंकि $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{V_0}{R\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{V_0}{2R}$ है,इसलिए:
$V_{C,rms} = \frac{V_0}{2R} \cdot \frac{1}{\omega C} = \frac{V_0}{2R\omega C}$।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा अधिकतम होने के लिए परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है: $X_L = X_C$.
यहाँ $L = 2.5 \ H$ और $f = 50 \ Hz$ दिया गया है,इसलिए $X_L = 2 \pi f L = 2 \pi (50) (2.5) = 250 \pi \ \Omega$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करते हुए,$X_L = 250 \times \sqrt{10} \approx 790.5 \ \Omega$.
अनुनाद की शर्त के अनुसार,$\frac{1}{2 \pi f C} = 2 \pi f L$.
अतः,$C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L} = \frac{1}{4 \times 10 \times (50)^2 \times 2.5} = \frac{1}{40 \times 2500 \times 2.5} = \frac{1}{250000} = 4 \times 10^{-6} \ F = 4 \ \mu F$.
अनुनाद पर,प्रतिबाधा (impedance) $Z = R = 11.5 \ \Omega$.
अधिकतम धारा $I_{max} = \frac{V_{peak}}{Z} = \frac{230}{11.5} = 20 \ A$.
इस प्रकार,$C$ और अधिकतम धारा के मान क्रमशः $4 \ \mu F$ और $20 \ A$ हैं।

(B) $LR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
जब एक संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
यदि परिपथ प्रारंभ में प्रेरणिक $(X_L > X_C)$ था,तो संधारित्र जोड़ने से $X_C$ शामिल हो जाता है,जो $X_L$ के प्रभाव को आंशिक रूप से कम कर देता है,जिससे कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
चूंकि धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है,इसलिए प्रतिबाधा $Z$ में कमी होने से परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I$ बढ़ जाती है।

(D) दिए गए परिपथ में,दो प्रेरक $L$ और $2L$ श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हुए हैं। इसलिए,तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार है:
$L_{eq} = L + 2L = 3L$
दो संधारित्र $C$ और $2C$ समांतर क्रम (parallel) में जुड़े हुए हैं। इसलिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$C_{eq} = C + 2C = 3C$
$L-C$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{eq} C_{eq}}}$
सूत्र में $L_{eq}$ और $C_{eq}$ का मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(3C)}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{9LC}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \cdot 3 \sqrt{LC}}$
$f = \frac{1}{6 \pi \sqrt{LC}}$

(B) संधारित्र के सिरों पर तात्क्षणिक वोल्टेज $E = E_0 \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
संधारित्र पर आवेश $q = CE = CE_0 \sin \omega t$ है।
तात्क्षणिक धारा $I$ आवेश के परिवर्तन की दर है: $I = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} (CE_0 \sin \omega t)$.
$I = CE_0 \omega \cos \omega t$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = E_0 \omega C \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$.

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
यहाँ,$R$ प्रतिरोध है और $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ को $X_L = \omega L$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\omega = 2 \pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $X_L = 2 \pi f L$ प्राप्त होता है।
अब,प्रतिबाधा के सूत्र में $X_L$ का मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi f L)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + 4 \pi^2 f^2 L^2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = \frac{0.3}{\pi} \ H$,प्रतिरोध $R = 40 \ \Omega$,वोल्टेज $V = 230 \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi f L$ की गणना करें।
$X_L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{0.3}{\pi} = 100 \times 0.3 = 30 \ \Omega$.
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
$Z = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ \Omega$.
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
$I = \frac{230}{50} = 4.6 \ A$.
अतः,प्रतिबाधा $50 \ \Omega$ है और धारा $4.6 \ A$ है।

(A) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में, अनुनाद (resonance) की स्थिति में परिपथ से अधिकतम धारा प्रवाहित होती है।
अनुनाद पर, प्रेरकत्व प्रतिघात और धारिता प्रतिघात बराबर होते हैं, अर्थात $X_L = X_C$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ है, जहाँ $V_C = I_{max} X_C$.
चूंकि अनुनाद पर $X_L = X_C$ होता है, इसलिए $U_L = U_C$ होता है, जिसका अनुपात $1:1$ है। दिए गए विकल्प प्रश्न की शर्तों के अनुरूप नहीं हैं।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में वोल्टेज और धारा समान कला में होते हैं।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
दिया गया है: $L = \frac{2}{\pi^2} \text{ H}$,$f = 50 \text{ Hz}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$.
मान रखने पर:
$100\pi \times \frac{2}{\pi^2} = \frac{1}{100\pi \times C}$
$\frac{200}{\pi} = \frac{1}{100\pi \times C}$
$C = \frac{1}{100\pi \times (200/\pi)} = \frac{1}{20000} \text{ F}$
$C = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu \text{F}$.

(C) दिए गए परिपथ में,$L$ प्रेरकत्व वाले दो प्रेरक समांतर क्रम में जुड़े हैं। तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L} \implies L_{eq} = \frac{L}{2}$
$C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं। तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_{eq} = \frac{C}{2}$
$LC$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{eq} C_{eq}}}$
$L_{eq}$ और $C_{eq}$ के मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(\frac{L}{2}) (\frac{C}{2})}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{LC}{4}}} = \frac{1}{2 \pi \frac{\sqrt{LC}}{2}} = \frac{1}{\pi \sqrt{LC}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(D) जब धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है।
दिया गया है $L = \frac{4}{\pi^2} \text{ H}$ और $f = 50 \text{ Hz}$।
$X_L = 2\pi f L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{4}{\pi^2} = \frac{400}{\pi} \Omega$।
चूंकि $X_L = X_C$,हमारे पास $\frac{1}{2\pi f C} = \frac{400}{\pi}$ है।
$f = 50 \text{ Hz}$ रखने पर: $\frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times C} = \frac{400}{\pi} \implies \frac{1}{100 \pi C} = \frac{400}{\pi} \implies C = \frac{1}{40000} = 2.5 \times 10^{-5} \text{ F}$।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R = 100 \Omega$ होती है।
व्ययित शक्ति $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \text{ W}$ है।
अतः,धारिता $2.5 \times 10^{-5} \text{ F}$ है और व्ययित शक्ति $400 \text{ W}$ है।

(A) $LC$ परिपथ की अनुनादी कोणीय आवृत्ति का सूत्र है: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
मान लीजिए प्रारंभिक प्रेरकत्व $L$ है और प्रारंभिक धारिता $C$ है। प्रारंभिक कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नया प्रेरकत्व $L' = 2L$ और नई धारिता $C' = 4C$ है।
नई कोणीय आवृत्ति $\omega'$ इस प्रकार होगी: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(4C)}} = \frac{1}{\sqrt{8LC}}$।
इसे हम इस प्रकार सरल कर सकते हैं: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{8} \sqrt{LC}} = \frac{1}{2\sqrt{2} \sqrt{LC}}$।
चूंकि $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,इसलिए $\omega'$ के व्यंजक में इसका मान रखने पर:
$\omega' = \frac{\omega}{2\sqrt{2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = \frac{100}{\pi} \text{ mH} = \frac{0.1}{\pi} \text{ H}$,धारिता $C = \frac{10^{-3}}{2\pi} \text{ F}$,प्रतिरोध $R = 10 \Omega$,आवृत्ति $f = 50 \text{ Hz}$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \frac{0.1}{\pi} = 100 \times 0.1 = 10 \Omega$ की गणना करें।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{2\pi}} = \frac{1}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{50} = 20 \Omega$ की गणना करें।
कला कोण $\phi$ का स्पर्शज्या $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{10 - 20}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
अतः कला कोण के स्पर्शज्या का परिमाण $|\tan \phi| = 1$ है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,आरोपित प्रत्यावर्ती e.m.f. $(E)$ को प्रेरक $(V_L)$,संधारित्र $(V_C)$,और प्रतिरोधक $(V_R)$ के सिरों पर व्यक्तिगत विभवांतर के फेजर योग द्वारा ज्ञात किया जाता है।
कुल e.m.f. के लिए सूत्र है:
$E = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
परिपथ आरेख से दिए गए मान:
$V_L = 20 \ V$
$V_C = 50 \ V$
$V_R = 40 \ V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \sqrt{40^2 + (20 - 50)^2}$
$E = \sqrt{1600 + (-30)^2}$
$E = \sqrt{1600 + 900}$
$E = \sqrt{2500}$
$E = 50 \ V$
अतः,प्रत्यावर्ती e.m.f. का मान $50 \ V$ है।

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी कोणीय आवृत्ति का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक प्रेरकत्व $L$ और धारिता $C$ है। अतः,$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
प्रश्न के अनुसार,नया प्रेरकत्व $L' = 4L$ और नई धारिता $C' = 8C$ है।
नई अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega'$ इस प्रकार होगी: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(4L)(8C)}} = \frac{1}{\sqrt{32LC}}$.
इसे सरल करने पर,$\omega' = \frac{1}{\sqrt{16 \times 2 \times LC}} = \frac{1}{4 \sqrt{2} \sqrt{LC}}$.
चूंकि $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं,जिससे $\omega' = \frac{\omega}{4 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) धारा का तात्कालिक मान $I = 3 \sin \left(50 \pi t + \frac{\pi}{4}\right)$ द्वारा दिया गया है।
धारा के अधिकतम होने के लिए,ज्या (sine) फलन का मान $1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि ज्या फलन का कोण $\frac{\pi}{2}$ होना चाहिए।
अतः,$50 \pi t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,हमें $50 \pi t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$50 \pi$ से भाग देने पर,हमें $t = \frac{\pi}{4 \times 50 \pi} = \frac{1}{200} \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $E = E_0 \sin(\omega t)$ है, जहाँ $E_0 = 100 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 50 \text{ rad/s}$ है।
रूट मीन स्क्वायर (rms) वोल्टेज $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \text{ V}$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ है।
एमीटर rms धारा $I_{\text{rms}}$ को मापता है, जो $I_{\text{rms}} = \frac{E_{\text{rms}}}{X_C}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $I_{\text{rms}} = \frac{100}{10^4} = 10^{-2} \text{ A} = 10 \text{ mA}$ प्राप्त होता है।
अतः, एमीटर का पाठ्यांक $10 \text{ mA}$ है।

(C) दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \sqrt{3} R$ है।
$L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होता है।
$X_L = \sqrt{3} R$ रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$ प्राप्त होता है।
परिपथ में शिखर धारा $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{E_0}{2R}$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = I_{rms}^2 R = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right)^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$I_0 = \frac{E_0}{2R}$ का मान रखने पर,हमें $P = \frac{1}{2} \left(\frac{E_0}{2R}\right)^2 R = \frac{1}{2} \cdot \frac{E_0^2}{4R^2} \cdot R = \frac{E_0^2}{8R}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 450 \Omega$,प्रेरकत्व $L = 1.5 \text{ H}$,आवृत्ति $f = \frac{150}{\pi} \text{ Hz}$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L = 2\pi f L$ है।
मान रखने पर: $X_L = 2 \pi \times \left(\frac{150}{\pi}\right) \times 1.5 = 2 \times 150 \times 1.5 = 300 \times 1.5 = 450 \Omega$.
$RL$ परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{450}{450} = 1$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1)$.

(D) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 200 \ \Omega$,प्रेरकत्व $L = \frac{1}{2 \pi} \ H$,आवृत्ति $f = 100 \ Hz$।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $X_L = 2 \pi \times 100 \times \frac{1}{2 \pi} = 100 \ \Omega$।
$RL$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{100}{200} = \frac{1}{2} = 0.5$।
अतः,कला कोण $\phi = \tan^{-1}(0.5)$ है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
यहाँ $X_L = 3R$ और $X_C = R$ दिया गया है,इसलिए कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 3R - R = 2R$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{R^2 + 4R^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$ है।
वर्ग माध्य मूल वोल्टेज $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ है।
वर्ग माध्य मूल धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} \cdot R\sqrt{5}} = \frac{E_0}{R\sqrt{10}}$ है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{R\sqrt{10}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{E_0^2}{R \sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{E_0^2}{R \sqrt{100}} = \frac{E_0^2}{10R}$.

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में खपत वास्तविक शक्ति $P$ का सूत्र है: $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
हम जानते हैं कि शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ होता है।
साथ ही,$r.m.s.$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = V_{rms} \cdot \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 \cdot R}{Z^2}$.
दिए गए मान: $V_{rms} = 220 \ V$,$R = 18 \ \Omega$,$Z = 33 \ \Omega$.
$P = \frac{220^2 \cdot 18}{33^2} = \frac{48400 \cdot 18}{1089}$.
$P = \frac{871200}{1089} = 800 \ W$.
अतः,खपत वास्तविक शक्ति $800 \ W$ है।

(B) दी गई मान हैं: प्रेरकत्व $L = \frac{1}{\pi} \ H$,प्रतिरोध $R = 300 \ \Omega$,आवृत्ति $f = 200 \ Hz$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi f L$ की गणना करें।
$X_L = 2 \times \pi \times 200 \times \frac{1}{\pi} = 400 \ \Omega$।
$LR$ श्रेणी परिपथ में कलान्तर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \phi = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$।
अतः,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$।

(C) कुंडली का प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2\pi f L$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्रोत की आवृत्ति है।
$A.C.$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f$ शून्य नहीं होती है,इसलिए प्रतिघात $X_{AC} = 2\pi f L$ होता है।
$D.C.$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f = 0$ होती है,इसलिए प्रतिघात $X_{DC} = 2\pi (0) L = 0$ होता है।
$A.C.$ स्रोत से जुड़े प्रतिघात और $D.C.$ स्रोत से जुड़े प्रतिघात का अनुपात $\frac{X_{AC}}{X_{DC}} = \frac{2\pi f L}{0} = \infty$ होगा।
अतः,सही अनुपात $\infty$ है।

(C) प्रत्यावर्ती e.m.f. के लिए दिया गया समीकरण $e = e_0 \sin \omega t$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $e = e_0/2$ हो।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $e_0/2 = e_0 \sin \omega t$।
यह सरल होकर $\sin \omega t = 1/2$ हो जाता है।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 1/2$ और $30^{\circ} = \pi/6$ रेडियन होता है,इसलिए $\omega t = \pi/6$ है।
हम जानते हैं कि $\omega = 2\pi/T$,जहाँ $T$ आवर्त काल है।
$\omega$ का मान समीकरण में रखने पर: $(2\pi/T) \cdot t = \pi/6$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = (\pi/6) \cdot (T/2\pi) = T/12$।
अतः,लिया गया समय $T/12$ है।

(B) एक शुद्ध प्रेरक में,धारा आरोपित $e.m.f.$ (वोल्टेज) से $90^{\circ}$ या $\pi/2$ रेडियन के कला कोण से पीछे रहती है।
यदि वोल्टेज को $e_L = E_0 \sin(\omega t)$ के रूप में दर्शाया जाता है,तो धारा $i_L = I_0 \sin(\omega t - \pi/2)$ होती है।
फेजर आरेखों में,इसका अर्थ है कि धारा सदिश $i_L$,वोल्टेज सदिश $e_L$ से $90^{\circ}$ दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर:
चित्र $(A)$ उन्हें विपरीत दिशाओं $(180^{\circ})$ में दिखाता है।
चित्र $(B)$ में $i_L$,$e_L$ से $90^{\circ}$ पीछे (दक्षिणावर्त) है।
चित्र $(C)$ उन्हें समान कला $(0^{\circ})$ में दिखाता है।
चित्र $(D)$ में $i_L$,$e_L$ से $90^{\circ}$ आगे (वामावर्त) है।
इसलिए,चित्र $(B)$ सही कला संबंध को दर्शाता है।

(D) केवल प्रेरक $(L)$ वाले $A.C.$ परिपथ में, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi fL$ द्वारा दिया जाता है। धारा $I = V / X_L = V / (2\pi fL)$ है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है, $X_L$ बढ़ता है, इसलिए धारा $I$ घटती है।
केवल संधारित्र $(C)$ वाले $A.C.$ परिपथ में, धारितीय प्रतिघात $X_C = 1 / (2\pi fC)$ द्वारा दिया जाता है। धारा $I = V / X_C = V \cdot (2\pi fC)$ है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है, $X_C$ घटता है, इसलिए धारा $I$ बढ़ती है।
अतः, पहले परिपथ में धारा घटेगी और दूसरे परिपथ में धारा बढ़ेगी।

(C) जब $L$ प्रेरकत्व वाले शुद्ध प्रेरक पर $A.C.$ वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ लगाया जाता है,तो प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम को लागू करने पर,$V - L \frac{di}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है $V = L \frac{di}{dt}$।
$V$ का मान रखने पर,$V_m \sin(\omega t) = L \frac{di}{dt}$,इसलिए $di = \frac{V_m}{L} \sin(\omega t) dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$i = \int \frac{V_m}{L} \sin(\omega t) dt = -\frac{V_m}{\omega L} \cos(\omega t) = \frac{V_m}{\omega L} \sin(\omega t - \pi / 2)$।
वोल्टेज $(\omega t)$ और धारा $(\omega t - \pi / 2)$ के कला (phase) की तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ रेडियन के कला कोण से पीछे है।

(C) धारितीय प्रतिघात $X_{C}$ का सूत्र $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
जब आवृत्ति $f$ को दोगुना $(f' = 2f)$ और धारिता $C$ को दोगुना $(C' = 2C)$ किया जाता है,तो नया प्रतिघात $X_{C}'$ इस प्रकार होगा:
$X_{C}' = \frac{1}{2 \pi f' C'} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)}$.
$X_{C}' = \frac{1}{4 (2 \pi f C)} = \frac{1}{4} X_{C}$.
अतः,नया प्रतिघात $\frac{X_{C}}{4}$ होगा।

(A) $L-R$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ को सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि कला कोण $\phi = 45^{\circ}$ और $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $1 = \frac{X_L}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$X_L = R$।
इस प्रकार,प्रेरणिक प्रतिघात का मान प्रतिरोध $R$ के बराबर है।

(D) $A.C.$ स्रोत से जुड़े श्रेणी $LCR$ परिपथ में:
$1$. शुद्ध प्रतिरोध $(R)$ में, धारा और वोल्टेज हमेशा समान कला में होते हैं।
$2$. शुद्ध प्रेरक $(L)$ में, वोल्टेज धारा से $90^{\circ}$ ($\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से आगे होता है, जिसका अर्थ है कि वे समान कला में नहीं हैं।
$3$. शुद्ध संधारित्र $(C)$ में, धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ ($\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से आगे होती है, जिसका अर्थ है कि वे समान कला में नहीं हैं।
अतः, प्रेरक $(L)$ और संधारित्र $(C)$ दोनों में, धारा और वोल्टेज एक-दूसरे के साथ कला में नहीं होते हैं। इसलिए, विकल्प $D$ सही है।

(D) $AC$ परिपथ में खपत वास्तविक शक्ति $P$ का सूत्र है: $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$,जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
सबसे पहले,$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करके $rms$ धारा $I_{rms}$ की गणना करें: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{210 \ V}{30 \ \Omega} = 7 \ A$.
इसके बाद,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{18 \ \Omega}{30 \ \Omega} = 0.6$ की गणना करें।
अब,इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखें: $P = 210 \ V \times 7 \ A \times 0.6$.
$P = 1470 \times 0.6 = 882 \ W$.
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान को देखते हुए,खपत वास्तविक शक्ति लगभग $900 \ W$ है।

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ में, धारा और विभवांतर के बीच का कला कोण $\phi$ सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रतिरोध $R = 12 \ \Omega$ और प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 5 \ \Omega$ है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{5}{12}$।
इसका अर्थ है $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$।
इसे $\sin$ या $\cos$ के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हैं जिसकी सम्मुख भुजा $5$ और आसन्न भुजा $12$ है। कर्ण $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
अतः, $\sin \phi = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{5}{13}$, जिसका अर्थ है $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$।
साथ ही, $\cos \phi = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{12}{13}$, जिसका अर्थ है $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, सही विकल्प $\cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ है।

(B) $LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
दिया गया है:
प्रतिरोध $R = 80 \ \Omega$
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 70 \ \Omega$
धारितीय प्रतिघात $X_C = 130 \ \Omega$
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$Z = \sqrt{80^2 + (70 - 130)^2}$
$Z = \sqrt{80^2 + (-60)^2}$
$Z = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$.
अतः,शक्ति गुणांक $x = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$.

(C) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $X_L = 3R$,तो शक्ति गुणांक $X_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (3R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 9R^2}} = \frac{R}{\sqrt{10R^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
जब $X_C = R$ वाला संधारित्र श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
यहाँ $X_L = 3R$ और $X_C = R$ है,इसलिए $X_L - X_C = 3R - R = 2R$.
अतः,$Z' = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{R^2 + 4R^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$.
नया शक्ति गुणांक $X_2 = \frac{R}{Z'} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$X_1 : X_2$ का अनुपात $\frac{X_1}{X_2} = \frac{1/\sqrt{10}}{1/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।

(D) $R-L-C$ श्रेणी परिपथ में,कलान्तर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब $L$ को हटाया जाता है,तो परिपथ एक $R-C$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ है। अतः,$X_C = \sqrt{3}R$ है।
जब $C$ को हटाया जाता है,तो परिपथ एक $R-L$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ है। अतः,$X_L = \sqrt{3}R$ है।
चूँकि $X_L = X_C$ है,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है और कलान्तर $\phi = 0$ होता है।
अतः,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos 0 = 1$ है।

(C) $L-R$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\phi = \frac{\pi}{6}$।
फेज कोण $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा भी दिया जाता है।
चूंकि $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{X_L}{R} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$R = 50 \ \Omega$ रखने पर,हमें $X_L = \frac{50}{\sqrt{3}} \ \Omega$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $X_L = 2 \pi f L$। $f = 50 \ Hz$ दिया गया है,इसलिए $\frac{50}{\sqrt{3}} = 2 \pi (50) L$।
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{50}{\sqrt{3} \times 100 \pi} = \frac{1}{2 \sqrt{3} \pi} \ H$।

(D) परिपथ में आभासी शक्ति $P_{app} = V_{rms} I_{rms} = I_{rms}^2 Z$ द्वारा दी जाती है।
a.c. परिपथ में वास्तविक शक्ति (या औसत शक्ति) $P_{true} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
आभासी शक्ति और वास्तविक शक्ति का अनुपात $\frac{P_{app}}{P_{true}} = \frac{I_{rms}^2 Z}{I_{rms}^2 R} = \frac{Z}{R}$ है।
चूंकि $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,इसलिए $\frac{Z}{R} = \frac{1}{\cos \phi} = \sec \phi$ प्राप्त होता है।

(B) $AC$ परिपथ का पावर फैक्टर $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ प्रतिबाधा है。
यह दिया गया है कि प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है, इसलिए $R = Z_1 \cos \phi_1 = Z_2 \cos \phi_2$ होगा。
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Z_1(0.5) = Z_2(0.25)$.
इसे सरल करने पर $Z_1 = \frac{0.25}{0.5} Z_2$ प्राप्त होता है。
अतः, $Z_1 = 0.5 Z_2$.
$Z_1 = x Z_2$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 0.5$ प्राप्त होता है。

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है।
जब $L$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ $RC$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है $\phi = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} = \frac{X_C}{R}$,जिसका अर्थ है $X_C = \sqrt{3}R$।
जब $C$ को हटा दिया जाता है,तो परिपथ $RL$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है $\phi = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} = \frac{X_L}{R}$,जिसका अर्थ है $X_L = \sqrt{3}R$।
मूल $LCR$ परिपथ में,$X_L = X_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
अतः शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$ है।

(B) $CR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ है।
दिया गया है कि $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{R}{Z} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $R = X_{C1} = \frac{1}{2\pi f_1 C}$ है।
जब आवृत्ति आधी कर दी जाती है,तो $f_2 = \frac{f_1}{2}$ हो जाता है।
नया धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_{C2} = \frac{1}{2\pi f_2 C} = \frac{1}{2\pi (f_1/2) C} = 2 X_{C1} = 2R$ है।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_{C2}^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ होगा।

(D) $A.C.$ परिपथ में वास्तविक शक्ति $P_{\text{true}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक (Power Factor) है।
$A.C.$ परिपथ में आभासी शक्ति $P_{\text{apparent}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ द्वारा दी जाती है।
वास्तविक शक्ति और आभासी शक्ति का अनुपात $\frac{P_{\text{true}}}{P_{\text{apparent}}} = \frac{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi}{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}} = \cos \phi$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,शक्ति गुणांक $\cos \phi$ को प्रतिरोध और प्रतिबाधा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\cos \phi = \frac{R}{Z}$।
अतः,वास्तविक शक्ति और आभासी शक्ति का अनुपात $\frac{R}{Z}$ है।

(C) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है।
दी गई शक्ति $P = 4.4 \ kW = 4400 \ W$ है।
द्वितीयक वोल्टेज $V_s = 3.3 \ kV = 3300 \ V$ है।
चूंकि $P = V_s \times I_s$,जहाँ $I_s$ द्वितीयक कुंडली में धारा है,हमारे पास है:
$I_s = \frac{P}{V_s} = \frac{4400 \ W}{3300 \ V} = \frac{44}{33} \ A = \frac{4}{3} \ A$।
अतः,द्वितीयक कुंडली में धारा $\frac{4}{3} \ A$ है।

(C) प्राथमिक कुंडली में इनपुट शक्ति $P_{in} = V_p \times I_p = 220 \text{ V} \times 5 \text{ A} = 1100 \text{ W}$ है।
यह दिया गया है कि $50 \%$ शक्ति का ह्रास होता है, इसलिए द्वितीयक कुंडली में आउटपुट शक्ति $P_{out} = 50 \% \text{ of } P_{in} = 0.5 \times 1100 \text{ W} = 550 \text{ W}$ होगी।
आउटपुट शक्ति का सूत्र $P_{out} = V_s \times I_s$ है, जहाँ $V_s = 2200 \text{ V}$ है।
मान रखने पर, $550 \text{ W} = 2200 \text{ V} \times I_s$.
अतः, $I_s = \frac{550}{2200} \text{ A} = 0.25 \text{ A}$।