MHT CET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(a, b)$,$(-a, b)$,$(-a, -b)$,અને $(a, -b)$ છે.
વર્તુળ આ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોવાથી,લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ બને છે.
$(a, b)$ અને $(-a, -b)$ ને જોડતા વિકર્ણને વ્યાસ તરીકે લેતા,વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - a)(x + a) + (y - b)(y + b) = 0$
$x^2 - a^2 + y^2 - b^2 = 0$
$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$

(B) ધારો કે $P$ એ વિધાન "હેમા $95 \%$ થી વધુ ગુણ મેળવે છે" છે અને $Q$ એ વિધાન "હેમાને સારી કોલેજમાં પ્રવેશ મળે છે" છે.
"હેમાને સારી કોલેજમાં પ્રવેશ મેળવવા માટે $95 \%$ થી વધુ ગુણ મેળવવા એ જરૂરી શરત છે" એ વિધાન $Q \implies P$ ને સમાન છે.
$Q \implies P$ નું નકારાત્મક વિધાન $\sim(Q \implies P) \equiv Q \land \sim P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Q$ એ "હેમાને સારી કોલેજમાં પ્રવેશ મળે છે" છે અને $\sim P$ એ "હેમા $95 \%$ થી વધુ ગુણ મેળવતી નથી" છે.
તેથી,નકારાત્મક વિધાન છે: "હેમાને સારી કોલેજમાં પ્રવેશ મળે છે અને તે $95 \%$ થી વધુ ગુણ મેળવતી નથી."

(B) આપેલ સંયુક્ત વિધાન $p \wedge (\sim p \wedge q)$ છે.
સાહચર્યના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને $(p \wedge \sim p) \wedge q$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $p \wedge \sim p$ હંમેશા અસત્ય $(F)$ હોય છે,તેથી પદાવલિ $F \wedge q$ બને છે.
કારણ કે $F \wedge q$ હંમેશા અસત્ય હોય છે,તેથી આ વિધાન એક વિરોધાભાસ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "હવામાન સારું છે".
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: "મારા મિત્રો આવશે".
ધારો કે $r$ એ વિધાન છે: "અમે પિકનિક પર જઈશું".
આપેલ વિધાન $p \rightarrow (q \wedge r)$ છે.
$p \rightarrow (q \wedge r)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim(q \wedge r) \rightarrow \sim p$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(q \wedge r) \equiv (\sim q \vee \sim r)$.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $(\sim q \vee \sim r) \rightarrow \sim p$ છે.
શબ્દોમાં: "જો મારા મિત્રો નહીં આવે અથવા અમે પિકનિક પર નહીં જઈએ,તો હવામાન સારું નહીં હોય."

(C) આપેલ સમીકરણ $5x^2 + xy - kx - 2y + 2 = 0$ છે. કારણ કે આ બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે અને એક રેખા $5x + y - 1 = 0$ છે,આપણે સમીકરણને $(5x + y - 1)(ax + c) = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
ગુણાકાર કરતા: $5ax^2 + axy + (5c - a)x + cy - c = 0$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$xy$ પદ પરથી,$a = 1$.
અચળ પદ પરથી,$-c = 2$,તેથી $c = -2$.
$x$ ના સહગુણક પરથી,$-k = 5c - a$.
કિંમતો મૂકતા: $-k = 5(-2) - 1 = -11$.
તેથી,$k = 11$.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $2m$ છે.
સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ પરથી,આપણી પાસે છે:
ઢાળનો સરવાળો: $m_1+m_2 = m+2m = 3m = -\frac{2h}{b} \Rightarrow m = -\frac{2h}{3b}$.
ઢાળનો ગુણાકાર: $m_1 \times m_2 = m \times 2m = 2m^2 = \frac{a}{b}$.
$m$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 + x + 3y - 2 = 0$ છે.
આને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, h=0, b=-1, g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-2$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x, y)$ એ આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ના ઉકેલ દ્વારા મળે છે.
$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2 + x + 3y - 2) = 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2 + x + 3y - 2) = -2y + 3 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
આમ,છેદબિંદુ $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -16x$ અને પ્રાચલ $t = \frac{1}{2}$ છે.
$y^2 = -16x$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = -4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 16$ મળે છે,તેથી $a = 4$.
પરવલય $y^2 = -4ax$ પરના બિંદુના પ્રાચલિત યામ $P(t) = (-at^2, 2at)$ છે.
$a = 4$ અને $t = \frac{1}{2}$ કિંમતો મૂકતા:
$x = -a t^2 = -4 \times (\frac{1}{2})^2 = -4 \times \frac{1}{4} = -1$.
$y = 2at = 2 \times 4 \times \frac{1}{2} = 4$.
તેથી,બિંદુના યામ $(-1, 4)$ છે.

(C) $HULULULU$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $H(1), U(4), L(3)$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $n(S) = \frac{8!}{4!3!} = 280$.
જ્યારે ત્રણેય $L$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી માટે,આપણે $(LLL)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે આપણી પાસે $6$ એકમો છે: $(LLL), H, U, U, U, U$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $n(A) = \frac{6!}{4!1!} = 30$.
આમ,જરૂરી સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{30}{280} = \frac{3}{28}$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
પદાવલિ $E = a \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + c \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$ છે.
નિત્યસમ $2 \cos^2\theta = 1 + \cos(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{a}{2}(1 + \cos C) + \frac{c}{2}(1 + \cos A)$
$E = \frac{1}{2}(a + a \cos C + c + c \cos A)$
પ્રક્ષેપ સૂત્ર મુજબ,$a \cos C + c \cos A = b$.
$E = \frac{1}{2}(a + c + b)$
કારણ કે $a + c = 2b$,તેથી:
$E = \frac{1}{2}(2b + b) = \frac{3b}{2}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S_{10} = 9 + 99 + 999 + \ldots$ છે જે $10$ પદો સુધી છે.
આને $S_{10} = (10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \ldots + (10^{10}-1)$ તરીકે લખી શકાય.
$S_{10} = (10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^{10}) - (1 + 1 + 1 + \ldots + 1 \text{ (10 વખત)})$.
પ્રથમ ભાગ એ ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a=10$,$r=10$,અને $n=10$ છે.
ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $= a\frac{r^n-1}{r-1} = 10\frac{10^{10}-1}{10-1} = \frac{10}{9}(10^{10}-1)$.
$1$ ના સરવાળાને બાદ કરતા (જે $10$ છે):
$S_{10} = \frac{10}{9}(10^{10}-1) - 10 = \frac{10(10^{10}-1) - 90}{9} = \frac{10^{11}-10-90}{9} = \frac{10^{11}-100}{9} = \frac{100}{9}(10^9-1)$.

(A) આપેલ છે કે $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in N\}$ અને $Y = \{9(n - 1) : n \in N\}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ મુજબ,$4^n = (1 + 3)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} (3^2) + \dots + 3^n$.
તેથી,$4^n - 3n - 1 = 1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2} + \dots - 3n - 1 = \frac{9n(n-1)}{2} + \dots = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2} + \dots \right]$.
આ દર્શાવે છે કે $X$ નો દરેક ઘટક $9$ નો ગુણક છે,અને $n(n-1)$ હંમેશા બેકી સંખ્યા હોવાથી,$\frac{n(n-1)}{2}$ એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,$X \subseteq Y$.
વૈકલ્પિક રીતે,કિંમતો મૂકતા:
$n=1$ માટે,$X = \{4^1 - 3(1) - 1\} = \{0\}$.
$n=2$ માટે,$X = \{4^2 - 3(2) - 1\} = \{16 - 6 - 1\} = \{9\}$.
$n=3$ માટે,$X = \{4^3 - 3(3) - 1\} = \{64 - 9 - 1\} = \{54\}$.
$X = \{0, 9, 54, \dots\}$.
$Y = \{0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, \dots\}$.
$X$ ના બધા ઘટકો $Y$ માં હોવાથી,$X \cap Y = X$.

(A) આ રેખા બીજા ચરણમાં યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે. તેથી,આ રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,રેખાનો ઢાળ $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ છે.
રેખા બિંદુ $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,રેખાનું સમીકરણ:
$(y - y_1) = m(x - x_1)$
$(y - 1) = -1(x - (-3))$
$y - 1 = -1(x + 3)$
$y - 1 = -x - 3$
$x + y + 2 = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
$\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
આનો અર્થ છે કે $\sin 3x = 0$ અથવા $\cos 2x = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\sin 3x = 0 \implies 3x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{3}$.
$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ માટે,શક્ય કિંમતો $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ છે.
કિસ્સો $2$: $\cos 2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ માટે,શક્ય કિંમતો $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,અલગ ઉકેલો $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ છે.
આમ,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \cos 3^{\circ} \dots \cos 90^{\circ} \dots \cos 179^{\circ}$ છે.
$\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,આખા ગુણાકારનું મૂલ્ય $0$ થશે કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાનો $0$ સાથેનો ગુણાકાર $0$ થાય છે.
તેથી,$\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \cos 3^{\circ} \dots \cos 179^{\circ} = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \left(\sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin \theta \cdot \frac{1}{2}$
$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2 \sin \theta + 2 \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta$
પદોને ગોઠવતા:
$\sin \theta = -\sqrt{3} \cos \theta$
તેથી,$\tan \theta = -\sqrt{3}$

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$.
કારણ કે $A + B = \pi - C$,આપણે બંને બાજુ કોટેન્જન્ટ લઈએ છીએ:
$\cot(A + B) = \cot(\pi - C)$.
નિત્યસમ $\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ અને $\cot(\pi - C) = -\cot C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = -\cot C$.
બંને બાજુ $(\cot A + \cot B)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\cot A \cot B - 1 = -\cot A \cot C - \cot B \cot C$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot A \cot C = 1$.

(A) આપેલ વક્ર: $y^2 = ax^3 + b$.
બિંદુ $(2,3)$ વક્ર પર હોવાથી,$3^2 = a(2)^3 + b$,જે $9 = 8a + b$ (સમીકરણ $1$) આપે છે.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
બિંદુ $(2,3)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ થાય.
આપેલ રેખા $y = 4x - 5$ નો ઢાળ $4$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $2a = 4$,જેથી $a = 2$ મળે.
$a = 2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $9 = 8(2) + b \Rightarrow 9 = 16 + b \Rightarrow b = -7$.
હવે,$7a + 2b$ ની કિંમત શોધતા: $7(2) + 2(-7) = 14 - 14 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય ક્યારે છે તે જાણવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $(x^2+1)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) > 0$ માટે $1-x^2 > 0$ હોવું જરૂરી છે.
આથી $x^2 - 1 < 0$,જેનો અર્થ થાય છે $(x-1)(x+1) < 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $x \in (-1, 1)$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x \log x$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x = 1 + \log x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 + \log x = 0 \implies \log x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + \log x) = \frac{1}{x}$.
$x = \frac{1}{e}$ પર $f''(x)$ ની કિંમત તપાસતા:
$f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{1/e} = e$.
કારણ કે $e > 0$,વિધેય $x = \frac{1}{e}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ છે.

(B) આ પ્રદેશ પરવલય $x^2=4y$,રેખાઓ $y=1$ અને $y=4$,તથા પ્રથમ ચરણમાં y-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$x^2=4y$ પરથી,આપણને $x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y}$ મળે છે (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x > 0$ છે).
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ y ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{4}{3} (8 - 1)$
$A = \frac{4}{3} (7) = \frac{28}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) $Z = 2x + y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $3x + 5y \leq 26$,$5x + 3y \leq 30$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધીએ.
$1$. રેખાઓ $3x + 5y = 26$ અને $5x + 3y = 30$ નું છેદબિંદુ શોધો:
પ્રથમ સમીકરણને $5$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા:
$15x + 25y = 130$
$15x + 9y = 90$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $16y = 40 \implies y = \frac{40}{16} = 2.5$.
$y = 2.5$ ને $3x + 5(2.5) = 26$ માં મૂકતા: $3x + 12.5 = 26 \implies 3x = 13.5 \implies x = 4.5$.
તેથી,બિંદુ $B$ એ $(4.5, 2.5)$ છે.
$2$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(6, 0)$,$(4.5, 2.5)$ અને $(0, 5.2)$ છે.
$3$. દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 2x + y$ ની કિંમત તપાસો:
$(0, 0)$ પર: $Z = 2(0) + 0 = 0$
$(6, 0)$ પર: $Z = 2(6) + 0 = 12$
$(4.5, 2.5)$ પર: $Z = 2(4.5) + 2.5 = 9 + 2.5 = 11.5$
$(0, 5.2)$ પર: $Z = 2(0) + 5.2 = 5.2$
આમ,મહત્તમ કિંમત $12$ છે જે બિંદુ $(6, 0)$ પર મળે છે.

(D) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}$
આ લક્ષની કિંમત શોધવા માટે,અંશમાં $1$ ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x^2} - 1) + (1 - \cos x)}{x^2}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવા જોઈએ.
$\lim_{x \to 0^+} (x^2 + \alpha) = \lim_{x \to 0^-} (2\sqrt{x^2 + 1} + \beta)$
$0^2 + \alpha = 2\sqrt{0^2 + 1} + \beta$
$\alpha = 2 + \beta \implies \alpha - \beta = 2 . . . (1)$
આપેલ છે કે $f(\frac{1}{2}) = 2$. કારણ કે $\frac{1}{2} \ge 0$,આપણે વિધેયનો પ્રથમ ભાગ વાપરીશું:
$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + \alpha = 2$
$\frac{1}{4} + \alpha = 2$
$\alpha = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
સમીકરણ $(1)$ માં $\alpha = \frac{7}{4}$ મૂકતા:
$\frac{7}{4} - \beta = 2$
$\beta = \frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}$
હવે,$\alpha^2 + \beta^2$ ની ગણતરી કરતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{7}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{49}{16} + \frac{1}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8}$

(B) અમે ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) ની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = x$ અને $dv = \sec^2 x \, dx$.
તેથી $du = dx$ અને $v = \tan x$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x \, dx = [x \tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$.
પ્રથમ પદની ગણતરી કરતા:
$[x \tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4}) - (0 \cdot \tan 0) = \frac{\pi}{4} \cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{4}$.
$\tan x$ ના સંકલનની ગણતરી કરતા:
$\int \tan x \, dx = \ln |\sec x|$.
તેથી,$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = [\ln |\sec x|]_0^{\frac{\pi}{4}} = \ln |\sec \frac{\pi}{4}| - \ln |\sec 0| = \ln \sqrt{2} - \ln 1 = \ln \sqrt{2} - 0 = \ln \sqrt{2}$.
પરિણામોને જોડતા:
$\frac{\pi}{4} - \ln \sqrt{2}$.

(C) આપેલ સંકલન $\int_{0}^{k} \frac{dx}{2 + 18x^2} = \frac{\pi}{24}$ છે.
છેદમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $\frac{1}{2} \int_{0}^{k} \frac{dx}{1 + 9x^2} = \frac{\pi}{24}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\int_{0}^{k} \frac{dx}{1 + (3x)^2} = \frac{\pi}{12}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{1 + a^2x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(ax) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left[ \frac{1}{3} \tan^{-1}(3x) \right]_{0}^{k} = \frac{\pi}{12}$.
$\frac{1}{3} \tan^{-1}(3k) - \frac{1}{3} \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{12}$.
કારણ કે $\tan^{-1}(0) = 0$,તેથી $\frac{1}{3} \tan^{-1}(3k) = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(3k) = \frac{\pi}{4}$.
$3k = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
તેથી,$k = \frac{1}{3}$.

(D) $4a$ નાભિલંબ અને $x$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ છે.
અહીં,$a$ એ નિશ્ચિત પ્રાચલ છે (નાભિલંબની લંબાઈ તરીકે આપેલ છે),જ્યારે $h$ અને $k$ એ શિરોબિંદુ $(h, k)$ ના યામ દર્શાવતા સ્વૈર અચળાંકો છે.
અહીં $2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $y = (\tan^{-1} x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
બંને બાજુ $(1+x^2)$ વડે ગુણતા:
$(1+x^2) \frac{dy}{dx} = 2 \tan^{-1} x$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1+x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot (2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
આખા સમીકરણને $(1+x^2)$ વડે ગુણતા:
$(1+x^2)^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x(1+x^2) \frac{dy}{dx} = 2$.
આમ,કિંમત $2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $x+y = v$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમત આપેલ વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos v$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos v = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dv}{dx} = 2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)$ મળે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{2 \cos^2 \left(\frac{v}{2}\right)} = dx$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{v}{2}\right) dv = dx$ થાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{v}{2}\right) dv = \int dx$.
આથી $\tan \left(\frac{v}{2}\right) = x + c$ મળે.
$v = x+y$ પાછા મૂકતા,આપણને $\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = x + c$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $x=e^\theta(\sin \theta-\cos \theta)$ અને $y=e^\theta(\sin \theta+\cos \theta)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = e^\theta(\cos \theta + \sin \theta) + e^\theta(\sin \theta - \cos \theta) = e^\theta(\cos \theta + \sin \theta + \sin \theta - \cos \theta) = 2e^\theta \sin \theta$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = e^\theta(\cos \theta - \sin \theta) + e^\theta(\sin \theta + \cos \theta) = e^\theta(\cos \theta - \sin \theta + \sin \theta + \cos \theta) = 2e^\theta \cos \theta$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2e^\theta \cos \theta}{2e^\theta \sin \theta} = \cot \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ કિંમત મુકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{\theta=\frac{\pi}{4}} = \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$.

(D) આપેલ છે,$\log _{10}\left(\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}\right)=2$
$\Rightarrow \frac{x^3-y^3}{x^3+y^3} = 10^2 = 100$
$\Rightarrow x^3 - y^3 = 100x^3 + 100y^3$
$\Rightarrow -99x^3 = 101y^3$
$\Rightarrow y^3 = -\frac{99}{101}x^3$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = -\frac{99}{101} \cdot 3x^2$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{99}{101} \cdot \frac{x^2}{y^2}$
કારણ કે $y^3 = -\frac{99}{101}x^3$,તેથી $-\frac{99}{101} = \frac{y^3}{x^3}$
આ કિંમત વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{x^3} \cdot \frac{x^2}{y^2} = \frac{y}{x}$

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ છે.
પ્રદેશ $R-\{2\}$ હોવાથી,$x \neq 2$ માટે આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$.
જેમ $x$ એ $2$ સિવાયની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે,તેમ $x+2$ ની કિંમત $2+2 = 4$ સિવાયની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત હોઈ શકે.
તેથી,વિધેયનો વિસ્તાર $R-\{4\}$ છે.

(D) $I = \int \frac{1}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin x \cdot \cos^2 x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx + \int \frac{1}{\sin x} \, dx$
$I = \int \tan x \sec x \, dx + \int \operatorname{cosec} x \, dx$
$I = \sec x + \ln |\operatorname{cosec} x - \cot x| + c$

(A) આપેલ સંકલન: $I = \int e^x \left[ \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right] dx$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left[ \frac{2 + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{2(1 + \sin x \cos x)}{2 \cos^2 x} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \right] dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$
કારણ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$,જ્યાં $f(x) = \tan x$ અને $f'(x) = \sec^2 x$ છે:
$I = e^x \tan x + C$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$.
આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (3x)^2}}$ છે.
$u = 3x$ આદેશ લેતા,$du = 3dx$ મળે,તેથી $dx = \frac{du}{3}$.
$I = \int \frac{du/3}{\sqrt{4^2 - u^2}} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{4^2 - u^2}}$.
$I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{u}{4}) + C = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{3x}{4}) + C$.
આને $A \sin^{-1}(Bx) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{3}$ અને $B = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,$A + B = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4 + 9}{12} = \frac{13}{12}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} 2x + \tan ^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{5x}{1 - 6x^2} \right) = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$6x^2 + 6x - x - 1 = 0$
$6x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
આથી $x = \frac{1}{6}$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
કારણ કે $\tan ^{-1} 2x + \tan ^{-1} 3x = \frac{\pi}{4} > 0$,તેથી $x$ ધન હોવો જોઈએ. તેથી $x = -1$ શક્ય નથી.
આમ,$x = \frac{1}{6}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો એ શ્રેણિકના નિશ્ચાયક જેટલો થાય છે,એટલે કે $a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + a_{i3} A_{i3} = |A|$.
અહીં,$a_{31} A_{31} + a_{32} A_{32} + a_{33} A_{33} = |A|$.
હવે,પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરીને $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1 \times 7 - 5 \times 4) - 2(1 \times 7 - 5 \times 2) + 3(1 \times 4 - 1 \times 2)$
$|A| = 1(7 - 20) - 2(7 - 10) + 3(4 - 2)$
$|A| = 1(-13) - 2(-3) + 3(2)$
$|A| = -13 + 6 + 6$
$|A| = -1$
તેથી,કિંમત $-1$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(A^2 - 5A)A^{-1}$ છે.
કૌંસમાં $A^{-1}$ નું વિતરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(A^2 \cdot A^{-1}) - (5A \cdot A^{-1})$
કારણ કે $A^2 \cdot A^{-1} = A$ અને $A \cdot A^{-1} = I$ (જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે),તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$A - 5I$
હવે,શ્રેણિક $A$ અને એકમ શ્રેણિક $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1-5 & 2-0 & 3-0 \\ -1-0 & 1-5 & 2-0 \\ 1-0 & 2-0 & 4-5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \\ -1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

(C) પાસા પરના શક્ય પરિણામો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
તેમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ ${1, 4}$ છે.
તેથી,એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$n = 4$ સ્વતંત્ર ફેંક માટે,ચારમાંથી એક પણ ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન મળવાની સંભાવના $q^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ છે.
ઓછામાં ઓછા એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા મળવાની સંભાવના $1 - P(\text{પૂર્ણ વર્ગ ન મળે}) = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$ છે.

(D) જ્યારે સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે.
ધારો કે $n(H)$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $n(T)$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. $X = |n(H) - n(T)|$.
$HHH$ માટે: $n(H)=3, n(T)=0, X=|3-0|=3$.
$HHT$ માટે: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$HTH$ માટે: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$HTT$ માટે: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$THH$ માટે: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$THT$ માટે: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$TTH$ માટે: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$TTT$ માટે: $n(H)=0, n(T)=3, X=|0-3|=3$.
$X=1$ હોય તેવા પરિણામો $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ છે.
આવા કુલ $6$ પરિણામો છે.
તેથી,$P(X=1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n = 10$ અને $p = 0.4$ છે.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$q = 1 - 0.4 = 0.6$ મળે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np = 10 \times 0.4 = 4$ થાય.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $V(X) = npq = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
કિંમતો મૂકતા,$2.4 = E(X^2) - (4)^2$ મળે.
$2.4 = E(X^2) - 16$.
તેથી,$E(X^2) = 16 + 2.4 = 18.4$.

(B) પાસો ફેંકવાના શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. આપણે દરેક પરિણામ માટે ધન ભાજકોની સંખ્યા નીચે મુજબ નક્કી કરીએ છીએ:

પરિણામ	ધન ભાજકો	ભાજકોની સંખ્યા $(X)$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1, 2$	$2$
$3$	$1, 3$	$2$
$4$	$1, 2, 4$	$3$
$5$	$1, 5$	$2$
$6$	$1, 2, 3, 6$	$4$

યાદચ્છિક ચલ $X$ દ્વારા લેવામાં આવતા મૂલ્યોનો સમૂહ એ વિસ્તાર છે. કોષ્ટક પરથી,મૂલ્યો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે. આમ,$X$ નો વિસ્તાર $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.

(C) ધારો કે દિશાના ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 120^{\circ}$ અને $\gamma = 60^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(120^{\circ}) + \cos^2 \beta + \cos^2(60^{\circ}) = 1$.
$(-\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \beta + (\frac{1}{2})^2 = 1$.
$\frac{1}{4} + \cos^2 \beta + \frac{1}{4} = 1$.
$\cos^2 \beta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$\cos \beta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\beta = 45^{\circ}$ અથવા $\beta = 135^{\circ}$.

(D) રેખાખંડ $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તરો $(3-4, y-5, 4-x) = (-1, y-5, 4-x)$ છે.
રેખાખંડ $QR$ ના દિક્-ગુણોત્તરો $(5-3, 8-y, 0-4) = (2, 8-y, -4)$ છે.
બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ સમરેખ હોવાથી,તેમના દિક્-ગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોય:
$\frac{-1}{2} = \frac{y-5}{8-y} = \frac{4-x}{-4}$.
$\frac{-1}{2} = \frac{y-5}{8-y}$ પરથી:
$-1(8-y) = 2(y-5)$
$-8+y = 2y-10$
$y = 2$.
$\frac{-1}{2} = \frac{4-x}{-4}$ પરથી:
$4 = 2(4-x)$
$4 = 8-2x$
$2x = 4$
$x = 2$.
તેથી,$x+y = 2+2 = 4$.

(C) ધારો કે આપેલી બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
માંગેલ રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{b}$ એ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 2) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-4 + 2) = -2\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$-1$ વડે ગુણીને આપણે દિશા ગુણોત્તર $(2, 3, 2)$ લઈ શકીએ છીએ.
આ રેખા બિંદુ $(3, -1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{2}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$ છે.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ ત્યારે જ છેદે જો તેમના બિંદુઓના તફાવત અને દિશા ગુણોત્તરથી બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z-0}{1}$ માટે,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ છે.
દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$ છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$2k = 9$
$k = \frac{9}{2}$

(C) આપેલ સમતલો એક સીધી રેખામાંથી પસાર થતા હોવાથી,સમતલોના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ c & -1 & a \\ b & a & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1( (-1)(-1) - (a)(a) ) - (-c)( (c)(-1) - (a)(b) ) + (-b)( (c)(a) - (-1)(b) ) = 0$
$1(1 - a^2) + c(-c - ab) - b(ac + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
તેથી,$a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2abc$.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી તેમના અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (p)(2) + (-1)(-p) + (2)(-1) = 2p + p - 2 = 3p - 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{p^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + (-p)^2 + (-1)^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.
આમ,$\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{|3p - 2|}{\sqrt{p^2 + 5} \sqrt{p^2 + 5}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{|3p - 2|}{p^2 + 5}$.
કિસ્સો $1$: $3p - 2 = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies 6p - 4 = p^2 + 5 \implies p^2 - 6p + 9 = 0 \implies (p - 3)^2 = 0 \implies p = 3$.
કિસ્સો $2$: $-(3p - 2) = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies -6p + 4 = p^2 + 5 \implies p^2 + 6p + 1 = 0 \implies p = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
આપેલ વિકલ્પોમાં માત્ર $3$ હોવાથી,$p$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) આપેલ છે કે બિંદુઓ $L$ અને $M$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{l} = 2\vec{a} - \vec{b}$ અને $\vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b}$ છે.
બિંદુ $N$ એ રેખાખંડ $LM$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારની તરફ વિભાજન કરતા બિંદુના સ્થાન સદિશનું સૂત્ર $\vec{n} = \frac{m\vec{m} - n\vec{l}}{m - n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{n} = \frac{2(\vec{a} + 2\vec{b}) - 1(2\vec{a} - \vec{b})}{2 - 1}$
$\vec{n} = \frac{2\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{b}}{1}$
$\vec{n} = 5\vec{b}$.