MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે રેખાના $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $b$ અને $a$ છે. બિંદુઓ $A(0, a)$ અને $B(b, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |ab| = 12 \implies |ab| = 24$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ છે.
રેખા $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{b} + \frac{3}{a} = 1$.
$ab = 24$ હોવાથી,$b = \frac{24}{a}$.
સમીકરણમાં $b$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{2}{24/a} + \frac{3}{a} = 1 \implies \frac{2a}{24} + \frac{3}{a} = 1 \implies \frac{a}{12} + \frac{3}{a} = 1$.
$12a$ વડે ગુણતા: $a^2 + 36 = 12a \implies a^2 - 12a + 36 = 0 \implies (a-6)^2 = 0 \implies a = 6$.
તેથી $b = \frac{24}{6} = 4$.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ છે.
$12$ વડે ગુણતા: $3x + 2y = 12$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+2hxy+2y^2=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=h, b=2$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$.
ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:2$ આપેલ છે,તેથી $m_2 = 2m_1$.
ગુણાકારના સમીકરણમાં $m_2$ ની કિંમત મૂકતા: $m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$.
જો $m_1 = \frac{1}{2}$ હોય,તો $m_2 = 1$.
તેથી $m_1+m_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
કારણ કે $m_1+m_2 = -h$,તેથી $-h = \frac{3}{2} \Rightarrow h = -\frac{3}{2}$.
જો $m_1 = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $m_2 = -1$.
તેથી $m_1+m_2 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$.
કારણ કે $m_1+m_2 = -h$,તેથી $-h = -\frac{3}{2} \Rightarrow h = \frac{3}{2}$.
આમ,$h = \pm \frac{3}{2}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી કિંમત $\frac{3}{2}$ છે.

(A) આપેલી રેખાઓ $3x - y = 5$ અને $x + 3y = 1$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$3(3x - y) = 3(5) \Rightarrow 9x - 3y = 15$
$x + 3y = 1$ સાથે સરવાળો કરતા,$10x = 16 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$.
$x = \frac{8}{5}$ ને $3x - y = 5$ માં મૂકતા: $y = \frac{24}{5} - 5 = -\frac{1}{5}$.
છેદબિંદુ $(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5})$ છે.
સમાન અંતઃખંડ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = a$ છે.
બિંદુ $(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5})$ મૂકતા:
$\frac{8}{5} - \frac{1}{5} = a \Rightarrow a = \frac{7}{5}$.
તેથી,$x + y = \frac{7}{5} \Rightarrow 5x + 5y - 7 = 0$.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે:
$m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b}$ $(i)$
$m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ $(ii)$
આપેલ છે કે $4ab = 3h^2$,તેથી $ab = \frac{3h^2}{4}$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$m_1 m_2 = \frac{3h^2}{4b^2}$.
હવે,$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2 = \frac{4h^2}{b^2} - 4(\frac{3h^2}{4b^2}) = \frac{h^2}{b^2}$.
તેથી,$m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $2m_1 = \frac{-h}{b} \implies m_1 = \frac{-h}{2b}$.
$(i)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $2m_2 = \frac{-3h}{b} \implies m_2 = \frac{-3h}{2b}$.
ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 1 : 3$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $K x^2 + 6 x y + y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $A x^2 + 2 H x y + B y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = K$,$H = 3$,અને $B = 1$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = \frac{-2 H}{B} = -6$ અને $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = K$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ બીજા કરતાં ત્રણ ગણો છે,તેથી $m_2 = 3 m_1$.
ઢાળના સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા: $m_1 + 3 m_1 = -6$ $\Rightarrow 4 m_1 = -6$ $\Rightarrow m_1 = -\frac{3}{2}$.
હવે,ઢાળના ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 \times (3 m_1) = K \Rightarrow 3 m_1^2 = K$.
$m_1 = -\frac{3}{2}$ મૂકતા: $K = 3 \times (-\frac{3}{2})^2 = 3 \times \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $a+2h(\frac{y}{x})+b(\frac{y}{x})^2=0$ મળે છે. ધારો કે $k = \frac{y}{x}$ એ એક રેખાનો ઢાળ છે. તેથી $bk^2+2hk+a=0$.
રેખા $mx+ny=18$ નો ઢાળ $-\frac{m}{n}$ છે.
કારણ કે આ રેખા $mx+ny=18$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $k$ એ $-\frac{m}{n}$ નો વ્યસ્ત વિરોધી હોવો જોઈએ,એટલે કે $k = \frac{n}{m}$.
$k = \frac{n}{m}$ ને સમીકરણ $bk^2+2hk+a=0$ માં મૂકતા,આપણને $b(\frac{n}{m})^2+2h(\frac{n}{m})+a=0$ મળે છે.
$m^2$ વડે ગુણતા,આપણને $bn^2+2hmn+am^2=0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. તેને $abh$ વડે ગુણતા,$bhx^2 + 2abyx + ahy^2 = 0$ મળે છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = bh$,$H = ab$,અને $B = ah$ મળે.
ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_2 = 2m_1$.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B}$ અને ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{A}{B}$ થાય.
$3m_1 = -\frac{2ab}{ah} = -\frac{2b}{h} \Rightarrow m_1 = -\frac{2b}{3h}$.
$2m_1^2 = \frac{bh}{ah} = \frac{b}{a} \Rightarrow 2\left(-\frac{2b}{3h}\right)^2 = \frac{b}{a}$.
$2 \times \frac{4b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \frac{8b}{9h^2} = \frac{1}{a}$ $\Rightarrow \frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$.

(B) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 3$ અને $x \cos 60^{\circ} + y \sin 60^{\circ} = 5$ છે.
આ સમીકરણો અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ માં છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખાના અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
પ્રથમ રેખાના અભિલંબનો ખૂણો $\alpha_1 = 30^{\circ}$ અને બીજી રેખા માટે $\alpha_2 = 60^{\circ}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમના અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$\theta = |\alpha_2 - \alpha_1| = |60^{\circ} - 30^{\circ}| = 30^{\circ}$.

(A) રેખા $l_1$ નો ઢાળ $= \frac{4-2}{-3-1} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ $(h, k)$ એ $l_1$ પર હોવાથી,$(h, k)$ અને $(1, 2)$ વચ્ચેનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ થાય:
$\frac{k-2}{h-1} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k-4 = -h+1$ $\Rightarrow h+2k = 5$ ... $(i)$.
રેખા $l_2$ એ $(h, k)$ અને $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $l_1$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ થાય.
તેથી,$\frac{3-k}{4-h} = 2$ $\Rightarrow 3-k = 8-2h$ $\Rightarrow 2h-k = 5$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4h-2k = 10$ ... $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $(h+2k) + (4h-2k) = 5+10$ $\Rightarrow 5h = 15$ $\Rightarrow h = 3$.
$h=3$ ને $(i)$ માં મુકતા: $3+2k = 5$ $\Rightarrow 2k = 2$ $\Rightarrow k = 1$.
તેથી,$\frac{k}{h} = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + 17 = 0$ છે,જેને $y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ છે.
$(7, 17)$ અને $(15, \beta)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{2}{3} \times \frac{\beta - 17}{8} = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(A) રેખા $AB$ $(4x+y=1)$ નો ઢાળ $m_1 = -4$ છે. રેખા $BC$ $(3x-4y+1=0)$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે $AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તો,$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-4 - \frac{3}{4}}{1 + (-4)(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$AB=AC$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ સમદ્વિબાજુ છે અને $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$ છે.
ધારો કે રેખા $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. $AC$ એ $A(2,-7)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y+7 = m(x-2)$ છે.
$AC$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\alpha$ છે,તેથી $\tan \alpha = \left| \frac{m - \frac{3}{4}}{1 + m(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$\frac{4m-3}{4+3m} = \pm \frac{19}{8}$.
કિસ્સો $1$: $m = -4$ (આ $AB$ નો ઢાળ છે).
કિસ્સો $2$: $m = -\frac{52}{89}$.
$m = -\frac{52}{89}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y+7 = m(x-2)$ પરથી:
$52x + 89y + 519 = 0$.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x+(a-1)y=1$ અને $2x+a^2y=1$.
$x+(a-1)y=1$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{-1}{a-1}$ છે.
$2x+a^2y=1$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{-2}{a^2}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{-1}{a-1} \times \frac{-2}{a^2} = -1$
$\frac{2}{a^2(a-1)} = -1$
$a^3 - a^2 + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(a+1)(a^2-2a+2) = 0$.
અહીં $a^2-2a+2 > 0$ હોવાથી,$a=-1$ મળે.
$a=-1$ મૂકતા,રેખાઓ $x-2y=1$ અને $2x+y=1$ મળે.
છેદબિંદુ $(\frac{3}{5}, -\frac{1}{5})$ મળે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $\sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

(D) ધારો કે લંબપાદ $(h, k)$ છે.
$(h, k)$ એ રેખા $3x - y - 1 = 0$ પર હોવાથી,$3h - k - 1 = 0 \implies k = 3h - 1$ ... $(i)$.
આપેલ રેખા $3x - y - 1 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 3$ છે.
બિંદુઓ $(-2, 3)$ અને $(h, k)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{k - 3}{h + 2}$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $3 \times \frac{k - 3}{h + 2} = -1$.
$3(k - 3) = -(h + 2) \implies 3k - 9 = -h - 2 \implies h + 3k = 7$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $k = 3h - 1$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$h + 3(3h - 1) = 7 \implies h + 9h - 3 = 7 \implies 10h = 10 \implies h = 1$.
$h = 1$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$k = 3(1) - 1 = 2$.
આમ,લંબપાદના યામ $(1, 2)$ છે.

(D) બિંદુઓ $P(-5, 0)$,$Q(0, 0)$,અને $R(2, 2\sqrt{3})$ છે.
$QP$ એ ઋણ $X$-અક્ષ પર છે,તેથી તે ધન $X$-અક્ષ સાથે $180^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$QR$ નો ઢાળ $m = \frac{2\sqrt{3} - 0}{2 - 0} = \sqrt{3}$ છે.
$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$QR$ ધન $X$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ખૂણો $\angle PQR = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
ખૂણા $\angle PQR$ નો દ્વિભાજક આ $120^{\circ}$ ના ખૂણાને બે $60^{\circ}$ ના ભાગમાં વહેંચે છે.
તેથી,દ્વિભાજક ધન $X$-અક્ષ સાથે $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $\tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $-\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ છે,જે $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(D) રેખા $L$ એ $(13,32)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\frac{13}{5}+\frac{32}{b}=1$
$\Rightarrow \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$
$\Rightarrow b = -20$
તેથી,$L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5}-\frac{y}{20}=1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x-y=20$ થાય છે.
$L$ નો ઢાળ $m_1=4$ છે.
રેખા $K$ જે $\frac{x}{c}+\frac{y}{3}=1$ છે,તેનો ઢાળ $m_2=-\frac{3}{c}$ છે.
$L$ અને $K$ સમાંતર હોવાથી,$m_1=m_2$.
$4 = -\frac{3}{c} \Rightarrow c = -\frac{3}{4}$.
રેખા $K$ નું સમીકરણ $-\frac{4x}{3}+\frac{y}{3}=1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x-y=-3$ થાય છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$A=4, B=-1, C_1=-20, C_2=3$.
$d = \frac{|-20-3|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16+1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(B) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબની લંબાઈ છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $p = 2 \sqrt{2}$ અને $\alpha = 135^{\circ}$.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $x \cos(135^{\circ}) + y \sin(135^{\circ}) = 2 \sqrt{2}$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(135^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(135^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$x \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2 \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$-x + y = 4$
અથવા $x - y + 4 = 0$.

(B) બિંદુ $(3,-2)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y+2=m(x-3)$ $(i)$ છે.
આપેલ રેખા $\sqrt{3} x+y=1$ છે,જેને $y=-\sqrt{3} x+1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1=-\sqrt{3}$ છે.
બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m-m_1}{1+m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m-(-\sqrt{3})}{1+m(-\sqrt{3})} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{3} = \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \Rightarrow \sqrt{3} - 3m = m + \sqrt{3} \Rightarrow 4m = 0 \Rightarrow m = 0$.
$m=0$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y+2=0(x-3) \Rightarrow y+2=0$ મળે. આ રેખા $X$-અક્ષને સમાંતર છે અને $X$-અક્ષને છેદતી નથી.
કિસ્સો $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \Rightarrow -\sqrt{3} + 3m = m + \sqrt{3} \Rightarrow 2m = 2\sqrt{3} \Rightarrow m = \sqrt{3}$.
$m=\sqrt{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y+2=\sqrt{3}(x-3) \Rightarrow y+2=\sqrt{3}x-3\sqrt{3} \Rightarrow y-\sqrt{3}x+2+3\sqrt{3}=0$ મળે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \sqrt{3} \cos^2 \theta = \sin \theta$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sqrt{3} (1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$
$2 \sqrt{3} \sin^2 \theta + \sin \theta - 2 \sqrt{3} = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ (જે શક્ય નથી).
તેથી,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{3}$
વ્યાપક ઉકેલ: $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{3}, n \in Z$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan \theta = \tan \alpha$ છે.
ટેન્જન્ટ વિધેયનું આવર્તમાન $\pi$ હોવાથી,$\tan \theta = \tan \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n \pi + \alpha$ થાય,જ્યાં $n \in Z$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta - \cos \theta = \frac{1}{4}$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - \cos^2 \theta) - \cos \theta = \frac{1}{4}$
$4 - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta = 1$
$4\cos^2 \theta + 4\cos \theta - 3 = 0$
ધારો કે $x = \cos \theta$,તો $4x^2 + 4x - 3 = 0$
$(2x - 1)(2x + 3) = 0$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = -\frac{3}{2}$ (અસ્વીકાર્ય)
$[0, 2\pi]$ માં $\cos \theta = \frac{1}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{3}$ અથવા $\theta = \frac{5\pi}{3}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - 3 \sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3 \cos 2x + \cos 3x$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin 3x + \sin x) - 3 \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) - 3 \cos 2x$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin 2x \cos x - 3 \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x - 3 \cos 2x$
$\sin 2x (2 \cos x - 3) = \cos 2x (2 \cos x - 3)$
$(\sin 2x - \cos 2x)(2 \cos x - 3) = 0$
કારણ કે $2 \cos x - 3 = 0$ નો અર્થ $\cos x = 1.5$ થાય છે,જે અશક્ય છે,તેથી $\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}, n \in Z$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan(x) \tan(x-50^{\circ})$
$x = 30^{\circ}$ મૂકતા:
$LHS$: $\tan(30^{\circ}+100^{\circ}) = \tan(130^{\circ}) = -\tan 50^{\circ}$.
$RHS$: $\tan(80^{\circ}) \tan(30^{\circ}) \tan(-20^{\circ})$.
આ કિંમતો સમાન હોવાથી,$x = 30^{\circ}$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) $a \cos x + b \sin x$ પદાવલિનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
સમીકરણ $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ માટે,ડાબી બાજુનો વિસ્તાર $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ છે.
અહીં $\sqrt{74} \approx 8.602$ હોવાથી,$-8.602 \leq 2k + 1 \leq 8.602$.
બધી બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $-9.602 \leq 2k \leq 7.602$.
$2$ વડે ભાગતા: $-4.801 \leq k \leq 3.801$.
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આ મૂલ્યોની સંખ્યા $8$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^2 x - \cos 2 x = 2 - \sin 2 x$
નિત્યસમ $\cos 2 x = 1 - 2 \sin ^2 x$ અને $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^2 x - (1 - 2 \sin ^2 x) = 2 - 2 \sin x \cos x$
$3 \sin ^2 x - 1 = 2 - 2 \sin x \cos x$
$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 = 0$
$\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$ હોવાથી,$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3(\sin ^2 x + \cos ^2 x) = 0$
$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \sin ^2 x - 3 \cos ^2 x = 0$
$2 \sin x \cos x - 3 \cos ^2 x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 3 \cos x) = 0$
આથી $\cos x = 0$ અથવા $2 \sin x - 3 \cos x = 0$ મળે.
આપેલ છે કે $3 \cos x \neq 2 \sin x$,તેથી $\cos x = 0$ હોવું જોઈએ.
$\cos x = 0$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = (2 n + 1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \cos x = 1$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}, n \in Z$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha+\beta+\gamma=\pi$,તેથી $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = \sin^2 \alpha + \sin(\beta+\gamma)\sin(\beta-\gamma)$
કારણ કે $\beta+\gamma = \pi - \alpha$,તેથી $\sin(\beta+\gamma) = \sin(\pi-\alpha) = \sin \alpha$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= \sin^2 \alpha + \sin \alpha \sin(\beta-\gamma)$
$= \sin \alpha [\sin \alpha + \sin(\beta-\gamma)]$
$= \sin \alpha [\sin(\beta+\gamma) + \sin(\beta-\gamma)]$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2 \sin x \cos y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin \alpha [2 \sin \beta \cos \gamma]$
$= 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(1-\tan \theta)(1+\tan \theta) \sec ^2 \theta+2 \tan ^2 \theta=0$
$(1-\tan^2 \theta)(1+\tan^2 \theta) + 2\tan^2 \theta = 0$ નો ઉપયોગ કરતા
ધારો કે $x = \tan^2 \theta$. જ્યાં $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,તેથી $x \ge 0$.
સમીકરણ $(1-x)(1+x) + 2x = 0$ બને છે
$1 - x^2 + 2x = 0$
$x^2 - 2x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $x = 1 \pm \sqrt{2}$ મળે છે.
$x = \tan^2 \theta \ge 0$ હોવાથી,$x = 1 + \sqrt{2}$ લેતા.
તેથી,$\tan^2 \theta = 1 + \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}$.
આમ,$\theta$ ની બે કિંમતો મળે છે.

(C) આપેલ છે,$\tan A - \tan B = x$
$\cot B - \cot A = y$
$\Rightarrow \frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A} = y$
$\Rightarrow \frac{\tan A - \tan B}{\tan A \tan B} = y$
$\Rightarrow \frac{x}{\tan A \tan B} = y$
$\Rightarrow \tan A \tan B = \frac{x}{y}$
હવે,$\cot (A - B) = \frac{1}{\tan (A - B)} = \frac{1 + \tan A \tan B}{\tan A - \tan B}$
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\cot (A - B) = \frac{1 + \frac{x}{y}}{x} = \frac{\frac{y + x}{y}}{x} = \frac{x + y}{xy} = \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$

(C) આપેલ છે કે,$\alpha = \beta + \gamma$.
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ થાય.
$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$
$\tan \beta = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ મૂકતા,
$\tan \gamma = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha (\frac{1}{\tan \alpha})} = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{2}$.
તેથી,$2 \tan \gamma = \tan \alpha - \tan \beta$,એટલે કે $\tan \alpha = \tan \beta + 2 \tan \gamma$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \lambda = 0$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$.
તેથી,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2\theta}{4}\right) + \lambda = 0$,જેનું સાદું રૂપ $1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2} + \lambda = 0$ થાય.
આમ,$\lambda = \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1$.
ચૂકી $0 \leq \sin^2 2\theta \leq 1$,તેથી $0 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} \leq \frac{1}{2}$.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા,$-1 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $\sqrt{3} a \cos x + 2 b \sin x = c$ ના બીજ છે.
તેથી,$\sqrt{3} a \cos \alpha + 2 b \sin \alpha = c$ $(i)$
અને $\sqrt{3} a \cos \beta + 2 b \sin \beta = c$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$\sqrt{3} a (\cos \alpha - \cos \beta) + 2 b (\sin \alpha - \sin \beta) = 0$
ત્રિકોણમિતીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{3} a [-2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] + 2 b [2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] = 0$
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$ હોવાથી,$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{6}$.
કિંમત મુકતા:
$-\sqrt{3} a [2 \sin(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] + 4 b [\cos(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] = 0$
$\alpha \neq \beta$ હોવાથી,$\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \neq 0$,તેથી:
$-\sqrt{3} a (1) + 4 b (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$-\sqrt{3} a + 2 \sqrt{3} b = 0$
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} = 0.5$

(D) $\triangle ABC$ માં પ્રોજેક્શન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $c = a \cos B + b \cos A$ અને $b = a \cos C + c \cos A$ છે.
આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\cos B+\cos C}{b+c}+\frac{\cos A}{a}$ છે.
સામાન્ય છેદ લેતા: $E = \frac{a(\cos B+\cos C) + (b+c)\cos A}{a(b+c)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $E = \frac{a \cos B + a \cos C + b \cos A + c \cos A}{a(b+c)}$.
પદોને ગોઠવતા: $E = \frac{(a \cos B + b \cos A) + (a \cos C + c \cos A)}{a(b+c)}$.
પ્રોજેક્શન નિયમો મૂકતા: $E = \frac{c + b}{a(b+c)}$.
સાદું રૂપ આપતા: $E = \frac{b+c}{a(b+c)} = \frac{1}{a}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin \frac{\pi}{3} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{3} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + (-1)^{n} \alpha$ છે: $\theta + \frac{\pi}{3} = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{4}, n \in Z$
તેથી,$\theta = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, n \in Z$

(D) આપેલ છે $2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 > 0$.
અવયવ પાડતા,$(2 \sin x - 1)(\sin x + 2) > 0$ મળે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $\sin x + 2 > 0$ હોવાથી,$2 \sin x - 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\sin x > \frac{1}{2}$.
આથી $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6})$.
વળી,$x^2 - x - 2 < 0$.
અવયવ પાડતા $(x - 2)(x + 1) < 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $-1 < x < 2$.
છેદગણ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ અને $\frac{5 \pi}{6} \approx 2.61$.
$2 < \frac{5 \pi}{6}$ હોવાથી,$(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6})$ અને $(-1, 2)$ નો છેદગણ $(\frac{\pi}{6}, 2)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$ જ્યાં $x \in [0, 2 \pi]$.
પગલું $1$: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ અને $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ મૂકતા:
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
પગલું $2$: $\cos x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $\cos x \neq 0$):
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
પગલું $3$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x) \implies 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
પગલું $4$: અવયવ પાડતા:
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -1$
પગલું $5$: ઉકેલ મેળવતા:
$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$.
$\sin x = -1 \implies x = \frac{3 \pi}{2}$ (અહીં $\tan x$ અને $\sec x$ અવ્યાખ્યાયિત છે).
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3 \sin^2 x - 6 \sin x - \sin x + 2 = 0$.
$3 \sin x(\sin x - 2) - 1(\sin x - 2) = 0$.
$(3 \sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
આથી $\sin x = \frac{1}{3}$ અથવા $\sin x = 2$ મળે.
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,આપણે $\sin x = \frac{1}{3}$ ઉકેલીએ.
અંતરાલ $(0, 2 \pi)$ માં $\sin x = \frac{1}{3}$ માટે $2$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $(0, 4 \pi)$ માં $2 \times 2 = 4$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $(4 \pi, 5 \pi)$ માં $1$ ઉકેલ મળે છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $(0, 5 \pi)$ માં $2 + 2 + 2 = 6$ છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{a+b+c}$
બંને બાજુ $(a+b+c)$ વડે ગુણતા:
$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=3$
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1=3$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=1$
$a(c+a)+b(b+c)=(b+c)(c+a)$
$ac+a^2+b^2+bc=bc+ab+c^2+ac$
$a^2+b^2-c^2=ab$
કોસાઇન નિયમ મુજબ:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$a^2+b^2-c^2=ab$ મુકતા:
$\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
તેથી,$C = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $\tan x = \frac{3}{4}$ અને $\pi < x < \frac{3 \pi}{2}$.
$x$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$.
તેથી,$\sec x = -\frac{5}{4}$ (ત્રીજા ચરણમાં $\sec x < 0$ હોવાથી),જેનો અર્થ છે કે $\cos x = -\frac{4}{5}$.
$\pi < x < \frac{3 \pi}{2}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3 \pi}{4}$ થાય.
$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3 \pi}{4}$ અંતરાલમાં $\cos \frac{x}{2}$ ઋણ હોય છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$.
$\cos x = -\frac{4}{5}$ મૂકતા,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 - 4/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \cos ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right)$ છે.
નિત્યસમ $\cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right)$ અને $\sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$
$\sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$ સામાન્ય લેતા:
$E = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \left[ \cos ^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin ^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \right]$
પાયથાગોરિયન નિત્યસમ $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot (1) = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$
બમણા ખૂણાના સૂત્ર $\sin (2A) = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $\cot \theta = \sqrt{3}$ અને $\sqrt{3} \sec \theta + 2 = 0$ છે.
$\cot \theta = \sqrt{3}$ પરથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે. આ સૂચવે છે કે $\theta$ એ $1^{\text{st}}$ અથવા $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં છે.
$\sqrt{3} \sec \theta + 2 = 0$ પરથી,$\sec \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos \theta$ ઋણ હોવાથી,$\theta$ એ $2^{\text{nd}}$ અથવા $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવો જોઈએ.
બંને શરતોને જોડતા,$\theta$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવો જોઈએ.
$3^{\text{rd}}$ ચરણમાં,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
આપણે $a \cos ^2 \frac{C}{2} + c \cos ^2 \frac{A}{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos ^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right)$
$= \frac{a + a \cos C + c + c \cos A}{2}$
$= \frac{(a + c) + (a \cos C + c \cos A)}{2}$
પ્રક્ષેપ સૂત્ર મુજબ,$b = a \cos C + c \cos A$.
$a + c = 2b$ અને $a \cos C + c \cos A = b$ મૂકતા:
$= \frac{2b + b}{2} = \frac{3b}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\cos 20^{\circ} + 2 \sin^2 55^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
નિત્યસમ $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \sin^2 55^{\circ} = 1 - \cos 110^{\circ}$ મળે.
પદાવલિમાં કિંમત મૂકતા:
$\cos 20^{\circ} + 1 - \cos 110^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
$\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ સૂત્ર મુજબ:
$\cos 20^{\circ} - \cos 110^{\circ} = 2 \sin 65^{\circ} \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
તેથી,$\sqrt{2} \sin 65^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ} + 1 = 1$

(D) ધારો કે $X = \frac{\cot A}{1+\cot A} \cdot \frac{\cot B}{1+\cot B}$.
$\tan$ વિધેયમાં રૂપાંતર કરતા: $X = \frac{1}{\tan A+1} \cdot \frac{1}{\tan B+1} = \frac{1}{\tan A \tan B + \tan A + \tan B + 1}$.
આપેલ છે કે $A+B = 225^{\circ}$,તેથી $\tan(A+B) = \tan(225^{\circ}) = 1$.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1$ પરથી,$\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$ મળે.
છેદમાં કિંમત મૂકતા: $\tan A \tan B + (1 - \tan A \tan B) + 1 = 2$.
આમ,$X = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ}-\frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A=60^{\circ}$ અને $B=20^{\circ}$:
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2}(2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$ અને $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$ થાય.
તેથી,પદાવલિ: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)$
$= \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)$
$= \sin^2 \frac{\pi}{8} \sin^2 \frac{3 \pi}{8}$
$= \frac{1}{4} \left(2 \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{3 \pi}{8}\right)^2$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{4} \left(\cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{2}\right)^2$
$= \frac{1}{4} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 0\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

(B) નિત્યસમ $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(18^{\circ}-A)\cos(18^{\circ}+A) = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos(72^{\circ}-A)\cos(72^{\circ}+A) = \cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A$
બાદબાકી કરતા:
$(\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A) - (\cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A) = \cos^2 18^{\circ} - \cos^2 72^{\circ}$
$\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$ હોવાથી,આ પદ થશે:
$\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ} = \cos(2 \times 18^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$

(B) ધારો કે બાજુઓ $a = \sin \theta$,$b = \cos \theta$,અને $c = \sqrt{1 + \sin \theta \cos \theta}$ છે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ બંને ધન છે અને $1$ કરતા નાના છે.
બાજુઓના વર્ગોની સરખામણી કરતા: $a^2 = \sin^2 \theta$,$b^2 = \cos^2 \theta$,અને $c^2 = 1 + \sin \theta \cos \theta$.
$c^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta$ હોવાથી,સ્પષ્ટ છે કે $c^2 > a^2$ અને $c^2 > b^2$,તેથી $c$ સૌથી મોટી બાજુ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો $C$ એ બાજુ $c$ ની સામેનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - (1 + \sin \theta \cos \theta)}{2 \sin \theta \cos \theta}$.
$\cos C = \frac{1 - 1 - \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{-\sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = -\frac{1}{2}$.
$\cos C = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,$C = 120^{\circ} = \frac{2 \pi}{3}$.

(B) ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે $A+B+C = \pi$ થાય.
તેથી,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$.
સૂત્ર $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \cot \frac{C}{2}$.
આપેલ કિંમતો $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{1 - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7}$.
આમ,$\cot \frac{C}{2} = \frac{9}{7}$,તેથી $\tan \frac{C}{2} = \frac{7}{9}$.

(B) આપેલ છે કે ખૂણા $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore A + C = 2B$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A + B + C = 180^{\circ}$
$A + C = 2B$ મૂકતા,આપણને $2B + B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 3B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow B = 60^{\circ}$ મળે છે.
આપેલ છે $A = 30^{\circ}$,તેથી $C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{3}{\sin 90^{\circ}}$
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{1}$
$a = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$b = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

(D) આપેલ છે કે $x=\sec \theta-\cos \theta$ અને $y=\sec ^{10} \theta-\cos ^{10} \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = 10 \sec^9 \theta (\sec \theta \tan \theta) - 10 \cos^9 \theta (-\sin \theta) = 10 \sec^{10} \theta \tan \theta + 10 \cos^9 \theta \sin \theta$
$= 10 \tan \theta (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)$
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{10 \tan \theta (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{10 (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2}$
નિત્યસમ $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 [(\sec^{10} \theta - \cos^{10} \theta)^2 + 4 \sec^{10} \theta \cos^{10} \theta]}{(\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 \sec \theta \cos \theta}$
કારણ કે $\sec \theta \cos \theta = 1$,તેથી:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 (y^2 + 4)}{x^2 + 4}$
આમ,$(x^2+4)(\frac{dy}{dx})^2 = 100(y^2+4)$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$k = 100$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ છે.
$\sin x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cot x$ અને $Q = \frac{4x}{\sin x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \sin x = \int \frac{4x}{\sin x} \cdot \sin x dx + C = \int 4x dx + C = 2x^2 + C$.
તેથી,$y = \frac{2x^2 + C}{\sin x}$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી $0 = \frac{2(\frac{\pi}{2})^2 + C}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi^2}{2} + C$,એટલે કે $C = -\frac{\pi^2}{2}$.
વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}$ છે.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{2\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = 2 \left( \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} \right) = 2 \left( \frac{-8\pi^2}{18} \right) = -\frac{8}{9} \pi^2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y \, dx = (x + 3y^2) \, dy$
$y \, dy$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^2}{y} = \frac{x}{y} + 3y$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 3y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ આ મુજબ છે: $IF = e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int -\frac{1}{y} \, dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 3y \cdot \frac{1}{y} \, dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 3 \, dy + c = 3y + c$
તેથી,$x = 3y^2 + cy$.
વક્ર $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા: $1 = 3(1)^2 + c(1) \Rightarrow 1 = 3 + c \Rightarrow c = -2$.
વક્રનું સમીકરણ $x = 3y^2 - 2y$ છે.
વિકલ્પ $(D)$ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ તપાસતા: $x = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
બિંદુ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2}{x}\right)y = x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા: $1(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \implies 1 = \frac{1}{4} + C \implies C = \frac{3}{4}$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$ અથવા $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$ છે.
હવે,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{4} + \frac{3}{4(\frac{1}{2})^2} = \frac{1/4}{4} + \frac{3}{4(1/4)} = \frac{1}{16} + 3 = \frac{1 + 48}{16} = \frac{49}{16}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$.
$y$ વાળા પદોને સાથે લેતા,$\frac{dy}{dx} + y - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} + \left(1 - \frac{1}{x}\right)y = \frac{1}{x}$ થાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = 1 - \frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{1}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx}$ દ્વારા મળે છે.
$I$.$F$. $= e^{\int (1 - \frac{1}{x}) dx} = e^{x - \log x} = e^x \cdot e^{-\log x} = e^x \cdot e^{\log(x^{-1})} = e^x \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^x}{x}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$.
આખા સમીકરણને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 6 x \sec x$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\tan x$ અને $Q = 6 x \sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધો:
$IF = e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$.
વ્યાપક ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \cos x = \int (6 x \sec x) \cdot \cos x dx + c$.
કારણ કે $\sec x \cdot \cos x = 1$,તેથી:
$y \cos x = \int 6 x dx + c$.
$x$ ની સાપેક્ષે $6x$ નું સંકલન કરતા:
$y \cos x = 3 x^2 + c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x} y=\log x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{1}{x}$ અને $Q(x)=\log x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$xy = \int x \log x dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \log x dx = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$.
તેથી,$xy = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$.
આપેલ છે કે $2(y(2)) = \log 4 - 1$,જેનો અર્થ છે કે $y(2) = \frac{1}{2} \log 4 - \frac{1}{2} = \log 2 - \frac{1}{2}$.
વ્યાપક ઉકેલમાં $x=2$ મૂકતા: $2(\log 2 - \frac{1}{2}) = \frac{4}{2} \log 2 - \frac{4}{4} + c$.
$2 \log 2 - 1 = 2 \log 2 - 1 + c$,જે આપણને $c=0$ આપે છે.
આમ,$y = \frac{x}{2} \log x - \frac{x}{4}$.
$x=e$ માટે,$y(e) = \frac{e}{2} \log e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

(C) આપેલ છે $y=e^x(a+bx+x^2)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^x(a+bx+x^2) + e^x(b+2x)$
$\frac{dy}{dx} = y + e^x(b+2x) \quad ...(i)$
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + e^x(b+2x) + e^x(2)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $e^x(b+2x) = \frac{dy}{dx} - y$ મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} - y) + 2e^x$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} - y + 2e^x$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2 y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 2e^x + y = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$
$y^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} \tan x = -\sec x$
ધારો કે $v = -\frac{1}{y}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} + v \tan x = -\sec x$.
આ $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x$ અને $Q(x) = -\sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
ઉકેલ $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
$v \sec x = \int -\sec x \cdot \sec x dx + c = -\int \sec^2 x dx + c$.
$v \sec x = -\tan x + c$.
$v = -\frac{1}{y}$ મૂકતા: $-\frac{1}{y} \sec x = -\tan x + c$.
$-y$ વડે ગુણતા: $\sec x = y(\tan x - c)$.
$-c$ ને નવા અચળાંક $c$ તરીકે લેતા: $\sec x = y(\tan x + c)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$.
બંને બાજુ $(x \log x)$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મળે છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$.
અહીં,$P(x) = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q(x) = 2$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ છે:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે:
$y \log x = \int 2 \log x dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log x dx = x \log x - x$:
$y \log x = 2(x \log x - x) + C$.
સમીકરણ $x \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$x=1$ લેતા,$\log(1)=0$.
$y(1) \cdot 0 = 2(1 \cdot 0 - 1) + C \implies 0 = -2 + C \implies C = 2$.
આમ,ઉકેલ $y \log x = 2x \log x - 2x + 2$ છે.
$y(e)$ શોધવા માટે,$x=e$ મૂકતા:
$y(e) \log(e) = 2(e) \log(e) - 2(e) + 2$.
$\log(e) = 1$ હોવાથી:
$y(e) \cdot 1 = 2e - 2e + 2 = 2$.
તેથી,$y(e) = 2$.

(B) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર પદાર્થનું તાપમાન $\theta$ છે.
ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,$\frac{d \theta}{dt} = -k(\theta - 20)$,જ્યાં $k > 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $\ln(\theta - 20) = -kt + C$.
$t = 0$ સમયે,$\theta = 100^{\circ} C$,તેથી $\ln(100 - 20) = C \Rightarrow C = \ln(80)$.
આમ,$\ln(\theta - 20) = -kt + \ln(80) \Rightarrow \ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -kt$.
$t = 15$ મિનિટ સમયે,$\theta = 60^{\circ} C$,તેથી $\ln\left(\frac{60 - 20}{80}\right) = -15k \Rightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -15k \Rightarrow k = \frac{\ln(2)}{15}$.
$t = 1$ કલાક $= 60$ મિનિટ માટે,આપણી પાસે છે $\ln\left(\frac{\theta - 20}{80}\right) = -60 \times \frac{\ln(2)}{15} = -4 \ln(2) = \ln\left(\frac{1}{16}\right)$.
તેથી,$\frac{\theta - 20}{80} = \frac{1}{16} \Rightarrow \theta - 20 = 5 \Rightarrow \theta = 25^{\circ} C$.

(B) પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 64$ ગ્રામ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 5$ વર્ષ છે.
કુલ વીતેલો સમય $t = 15$ વર્ષ છે.
પૂર્ણ થયેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો જથ્થો શોધવાનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = 64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ ગ્રામ.
તેથી,$15$ વર્ષ પછી બાકી રહેલો જથ્થો $8$ ગ્રામ છે.

(B) ધારો કે સમય $t$ પર પદાર્થનું દળ $m$ છે।
આપેલ છે કે ક્ષય દર હાજર જથ્થાના પ્રમાણમાં છે, તેથી $\frac{dm}{dt} = -km$, જ્યાં $k > 0$.
ચલને અલગ કરતા, આપણને $\frac{dm}{m} = -k dt$ મળે છે।
બંને બાજુ સંકલન કરતા, આપણને $\ln m = -kt + c$ મળે છે।
$t = 0$ સમયે, $m = 60$, તેથી $\ln 60 = c$.
આમ, $\ln m = -kt + \ln 60$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1600 \text{ years}$ આપેલ છે, તેથી $t = 1600$ સમયે, $m = \frac{60}{2} = 30$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\ln 30 = -1600k + \ln 60$, જે આપે છે $1600k = \ln 60 - \ln 30 = \ln 2$.
તેથી, $k = \frac{\ln 2}{1600}$.
હવે, $t = 3200$ માટે, જથ્થો $m$ આ રીતે મળે છે: $\ln m = -\left(\frac{\ln 2}{1600}\right)(3200) + \ln 60$.
$\ln m = -2 \ln 2 + \ln 60 = -\ln 4 + \ln 60 = \ln \left(\frac{60}{4}\right) = \ln 15$.
તેથી, $m = 15 \text{ grams}$.

(D) ધારો કે સમય $t$ પર હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $x$ છે.
વધારાનો દર હાજર સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = kx$.
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા,આપણને $\ln x = kt + c$ મળે છે,અથવા $x = e^{kt+c} = Ae^{kt}$,જ્યાં $A = e^c$ એ $t=0$ સમયે શરૂઆતની બેક્ટેરિયાની સંખ્યા છે.
$t=3$ સમયે,$x = 10^4$,તેથી $10^4 = Ae^{3k}$ ... $(i)$
$t=5$ સમયે,$x = 4 \cdot 10^4$,તેથી $4 \cdot 10^4 = Ae^{5k}$ ... (ii)
(ii) ને $(i)$ વડે ભાગતા: $\frac{4 \cdot 10^4}{10^4} = \frac{Ae^{5k}}{Ae^{3k}} \Rightarrow 4 = e^{2k} \Rightarrow e^k = 2$.
$e^k = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $10^4 = A(e^k)^3 = A(2)^3 = 8A$.
તેથી,$A = \frac{10^4}{8}$.

(C) ધારો કે $t$ સમયે પદાર્થનું દળ $m$ છે. ક્ષય દર વિકલ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{dm}{dt} = -km$,જ્યાં $k > 0$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dm}{m} = -k dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln m = -kt + C$
$t = 0$ સમયે,$m = m_0$,તેથી $C = \ln m_0$.
આમ,$\ln \left(\frac{m}{m_0}\right) = -kt$.
અર્ધ-આયુષ્ય $h$ આપેલ છે,તેથી $t = h$ સમયે,$m = \frac{m_0}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\ln \left(\frac{m_0/2}{m_0}\right) = -kh$
$\ln \left(\frac{1}{2}\right) = -kh$
$-\ln 2 = -kh \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{h}$.
પ્રારંભિક ક્ષય દર એ $t = 0$ સમયે $\frac{dm}{dt}$ ની કિંમત છે:
$\left(\frac{dm}{dt}\right)_{t=0} = -k m_0 = -\left(\frac{\ln 2}{h}\right) m_0 = -\frac{m_0}{h} \ln 2$.

(B) કદ $V$ માં થતો ફેરફાર તેના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $S$ ના પ્રમાણમાં છે.
$dV/dt = -kS$,જ્યાં $k > 0$ એક અચળાંક છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ અને $S = 4 \pi r^2$ હોવાથી,$dV/dt = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k(4 \pi r^2)$.
આથી $\frac{dr}{dt} = -k$ મળે છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$r(t) = -kt + C$ મળે.
$t = 0$ સમયે,$r = 3 \ mm$,તેથી $3 = -k(0) + C \Rightarrow C = 3$.
આમ,$r(t) = -kt + 3$.
$t = 1$ સમયે,$r = 2 \ mm$,તેથી $2 = -k(1) + 3 \Rightarrow k = 1$.
તેથી,કોઈપણ સમયે $t$ પર ત્રિજ્યા $r(t) = 3 - t$ થશે.

(A) ધારો કે $t$ કલાકે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $B(t)$ છે.
આપેલ છે કે વધારાનો દર હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે,તેથી વિકલ સમીકરણ: $\frac{dB}{dt} = kB$ મળે.
આનું સમાધાન કરતા,$B(t) = B_0 e^{kt}$ મળે,જ્યાં $B_0$ એ શરૂઆતની સંખ્યા $N$ છે.
$t = 8$ સમયે,$B(8) = 2N$,તેથી $2N = N e^{8k}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{8k} = 2$.
આપણે $t = 24$ કલાકે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા શોધવી છે.
$B(24) = N e^{24k} = N (e^{8k})^3$.
$e^{8k} = 2$ મૂકતા,આપણને $B(24) = N (2)^3 = 8N$ મળે છે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે બરફનો જથ્થો $x(t)$ છે. ઓગળવાનો દર બરફના જથ્થાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -cx$,જ્યાં $c > 0$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $x(t) = x_0 e^{-ct}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $15 \text{ મિનિટ}$ માં અડધો બરફ ઓગળી જાય છે,તેથી $t = 15$ સમયે,$x(15) = \frac{1}{2} x_0$.
તેથી,$\frac{1}{2} x_0 = x_0 e^{-15c}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-15c} = \frac{1}{2}$.
આપણે $30 \text{ મિનિટ}$ પછી બાકી રહેલા બરફનો જથ્થો શોધવાનો છે,જે $x(30) = x_0 e^{-30c}$ છે.
$x(30) = x_0 (e^{-15c})^2 = x_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} x_0$.
આને $k x_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે પદાર્થનું દળ $M$ છે. ક્ષયનો દર વિકલ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dM}{dt} = -kM$,જ્યાં $k > 0$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $\ln M = -kt + c$.
$t = 0$ સમયે,$M = m_0$,તેથી $\ln m_0 = c$.
આમ,$\ln M = -kt + \ln m_0$,જેનું સાદું રૂપ $\ln(\frac{M}{m_0}) = -kt$ થાય છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $h$ આપેલ છે,તેથી $t = h$ સમયે,$M = \frac{m_0}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\ln(\frac{1}{2}) = -kh \Rightarrow -\ln 2 = -kh \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{h}$.
પ્રારંભિક ક્ષય દર એ $t = 0$ સમયે $\frac{dM}{dt}$ ની કિંમત છે.
$\frac{dM}{dt} = -k m_0 = -(\frac{\ln 2}{h}) m_0 = -\frac{m_0}{h} \ln 2$.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $A x^2+B y^2=1$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 A x + 2 B y \frac{d y}{d x} = 0 \implies A x + B y \frac{d y}{d x} = 0 \dots (i)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$A + B \left[ \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + y \frac{d^2 y}{d x^2} \right] = 0 \dots (ii)$
$(i)$ પરથી,$A = -\frac{B y}{x} \frac{d y}{d x}$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$-\frac{B y}{x} \frac{d y}{d x} + B \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + B y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$B$ વડે ભાગતા ($B \neq 0$ ધારીને):
$-\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} + \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
$x$ વડે ગુણતા:
$-y \frac{d y}{d x} + x \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 + x y \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$
આમ,$x y \frac{d^2 y}{d x^2} + x \left( \frac{d y}{d x} \right)^2 - y \frac{d y}{d x} = 0$.

(B) આપેલ ઉકેલ: $y=(C_1+C_2) e^x+C_3 e^{x+C_4}$
આપણે આ પદાવલિને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$y = (C_1+C_2) e^x + C_3 e^x \cdot e^{C_4}$
ધારો કે $A = C_1+C_2$ અને $B = C_3 e^{C_4}$.
તેથી સમીકરણ $y = Ae^x + Be^x = (A+B) e^x$ બને છે.
ધારો કે $D = A+B$,જ્યાં $D$ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
આમ,સમીકરણ $y = De^x$ માં પરિણમે છે.
ઉકેલના અંતિમ સ્વરૂપમાં માત્ર એક જ સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,સંબંધિત વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \cos y \,dy = (x e^x \log x + e^x) dx$.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$\cos y \,dy = \frac{x e^x \log x + e^x}{x} dx$
$\cos y \,dy = (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) dx$
અહીં જમણી બાજુ એ $e^x \log x$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx}(e^x \log x) = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos y \,dy = \int (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) dx$
$\sin y = e^x \log x + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(D) ધારો કે $g(x) = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
આપણે $g^{\prime}(1)$ શોધવાનું છે.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,$f(f(f(x)))$ નું વિકલન $f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$ થાય.
$x=1$ આગળ,આ $f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1)$ થશે.
આપેલ છે કે $f(1)=1$ અને $f^{\prime}(1)=3$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime}(f(f(1))) = f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(f(1)) = f^{\prime}(1) = 3$.
$f^{\prime}(1) = 3$.
તેથી,$x=1$ આગળ $f(f(f(x)))$ નું વિકલન $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ થાય.
$(f(x))^2$ નું વિકલન $2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$ થાય.
$x=1$ આગળ,આ $2f(1) \cdot f^{\prime}(1) = 2(1)(3) = 6$ થાય.
તેથી,$g^{\prime}(1) = 27 + 6 = 33$.

(D) આપેલ છે કે $y=a \sin x+b \cos x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x}=a \cos x-b \sin x$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ ને ધ્યાનમાં લો:
$y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (a \sin x+b \cos x)^2+(a \cos x-b \sin x)^2$
$= (a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x + 2ab \sin x \cos x) + (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x - 2ab \sin x \cos x)$
$= a^2(\sin^2 x + \cos^2 x) + b^2(\cos^2 x + \sin^2 x)$
$= a^2(1) + b^2(1) = a^2+b^2$.
કારણ કે $a$ અને $b$ અચળાંકો છે,તેથી $a^2+b^2$ પણ એક અચળાંક છે.
તેથી,$y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ એ એક અચળાંક છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=ax^3+bx^2+cx+5$ છે.
તે $x$-અક્ષને $(-2,0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $(-2,0)$ બિંદુ વક્ર પર આવેલું છે:
$0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$
$0 = -8a + 4b - 2c + 5$
$8a - 4b + 2c = 5$ ... $(i)$
વળી,$x=-2$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ છે:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$
$3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$
$12a - 4b + c = 0$ ... $(ii)$
વક્ર $y$-અક્ષને $Q$ બિંદુએ છેદે છે. $x=0$ મૂકતા,$y=5$ મળે,તેથી $Q=(0,5)$.
$Q$ આગળ ઢાળ $3$ છે:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3
\Rightarrow 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 3
\Rightarrow c = 3$.
$c=3$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા:
$(i) \Rightarrow 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1$ ... $(iii)$
$(ii) \Rightarrow 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3$ ... $(iv)$
$(iv)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1)
4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1
-4 - 4b = -1
-4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
આમ,$a+b+c = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 3 = \frac{-2-3+12}{4} = \frac{7}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \cos^{-1} x$ અને $g(x) = e^x$.
આપણે $h(x) = g(f(x)) = e^{\cos^{-1} x}$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
હવે,સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $h(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(e^{\cos^{-1} x}) = e^{\cos^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$,તેથી આપણને મળે છે:
$h'(x) = e^{\cos^{-1} x} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{h'(x)}{h(x)}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{e^{\cos^{-1} x} \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right)}{e^{\cos^{-1} x}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=e^x$ અને $g(x)=\sin ^{-1} x$.
$h(x)=f(g(x))=e^{\sin ^{-1} x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $h(x)$ નું વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(e^{\sin ^{-1} x}) = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin ^{-1} x) = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$ ધ્યાનમાં લો:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{e^{\sin ^{-1} x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
છેલ્લે,પરિણામનો વર્ગ કરતા:
$\left(\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = \frac{1}{1-x^2}$.

(A) આપેલ પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 8 - \frac{t}{5} \text{ cm/s}^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$v = \int (8 - \frac{t}{5}) dt = 8t - \frac{t^2}{10} + C$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $t = 0$ સમયે $v = 0$ મળે.
$0 = 8(0) - \frac{0^2}{10} + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,વેગનું વિધેય $v(t) = 8t - \frac{t^2}{10}$ છે.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે $8 - \frac{t}{5} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $t = 40 \text{ s}$.
વેગના સમીકરણમાં $t = 40$ મૂકતા:
$v = 8(40) - \frac{(40)^2}{10} = 320 - \frac{1600}{10} = 320 - 160 = 160 \text{ cm/s}$.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $s = at^2 + bt + c$ છે.
$1 \text{ s}$ પછીનું સ્થાનાંતર $20 \text{ m}$ છે,તેથી $s(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 20 \implies a + b + c = 20 \dots (i)$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 2at + b$.
$2 \text{ s}$ પછીનો વેગ $30 \text{ m/s}$ છે,તેથી $v(2) = 2a(2) + b = 30 \implies 4a + b = 30 \dots (ii)$.
પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a$.
આપેલ પ્રવેગ $10 \text{ m/s}^2$ છે,તેથી $2a = 10 \implies a = 5$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $a = 5$ મૂકતા: $4(5) + b = 30 \implies 20 + b = 30 \implies b = 10$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = 5$ અને $b = 10$ મૂકતા: $5 + 10 + c = 20 \implies 15 + c = 20 \implies c = 5$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા: $a + c = 5 + 5 = 10$ અને $b = 10$.
તેથી,$a + c = b$.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા સાંકળના નિયમ મુજબ:
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot \frac{d}{dx}[2f(x) + 2]$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot 2f'(x)$
$g'(x) = 4 \cdot f(2f(x) + 2) \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot f'(x)$
હવે,$x = 0$ લેતા:
$g'(0) = 4 \cdot f(2f(0) + 2) \cdot f'(2f(0) + 2) \cdot f'(0)$
આપેલ છે કે $f(0) = -1$ અને $f'(0) = 1$:
$g'(0) = 4 \cdot f(2(-1) + 2) \cdot f'(2(-1) + 2) \cdot (1)$
$g'(0) = 4 \cdot f(0) \cdot f'(0) \cdot 1$
$g'(0) = 4 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 1 = -4$.

(D) $y=\sqrt{\frac{1-\sin ^{-1} x}{1+\sin ^{-1} x}}$
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{1-\sin ^{-1} x}{1+\sin ^{-1} x}}\right)$
$= \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-\sin ^{-1} x}{1+\sin ^{-1} x}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-\sin ^{-1} x}{1+\sin ^{-1} x}\right)$
$= \frac{\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{2 \sqrt{1-\sin ^{-1} x}} \cdot \left[ \frac{(1+\sin ^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(1-\sin ^{-1} x) - (1-\sin ^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(1+\sin ^{-1} x)}{(1+\sin ^{-1} x)^2} \right]$
$= \frac{\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{2 \sqrt{1-\sin ^{-1} x}} \cdot \left[ \frac{(1+\sin ^{-1} x) \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} - (1-\sin ^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(1+\sin ^{-1} x)^2} \right]$
$= \frac{\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{2 \sqrt{1-\sin ^{-1} x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \left[ \frac{-1-\sin ^{-1} x - 1 + \sin ^{-1} x}{(1+\sin ^{-1} x)^2} \right]$
$= \frac{\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{2 \sqrt{1-\sin ^{-1} x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+\sin ^{-1} x)^2}$
$= \frac{-\sqrt{1+\sin ^{-1} x}}{\sqrt{1-\sin ^{-1} x} \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot (1+\sin ^{-1} x)^2}$
$x=0$ મુકતા,$\sin^{-1}(0) = 0$:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \frac{-\sqrt{1+0}}{\sqrt{1-0} \cdot \sqrt{1-0} \cdot (1+0)^2} = \frac{-1}{1 \cdot 1 \cdot 1} = -1$

(A) આપેલ છે $y = e^{4x} \left( \frac{x-4}{x+3} \right)^{\frac{3}{4}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$\ln y = \ln \left( e^{4x} \left( \frac{x-4}{x+3} \right)^{\frac{3}{4}} \right)$
$\ln y = \ln(e^{4x}) + \ln \left( \frac{x-4}{x+3} \right)^{\frac{3}{4}}$
$\ln y = 4x + \frac{3}{4} [\ln(x-4) - \ln(x+3)]$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+3} \right)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 + \frac{3}{4} \left( \frac{(x+3) - (x-4)}{(x-4)(x+3)} \right)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 + \frac{3}{4} \left( \frac{7}{(x-4)(x+3)} \right)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 + \frac{21}{4(x-4)(x+3)}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y \left[ 4 + \frac{21}{4(x-4)(x+3)} \right]$.

(D) ધારો કે $u = \sin ^2 x$ અને $v = e^{\cos x}$.
પ્રથમ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin ^2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x$.
ત્યારબાદ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\cos x}) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot e^{\cos x}$.
હવે,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $u$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{du}{dv} = \frac{\frac{du}{dx}}{\frac{dv}{dx}} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{-\sin x \cdot e^{\cos x}}$.
અંશ અને છેદમાંથી $\sin x$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{du}{dv} = \frac{2 \cos x}{-e^{\cos x}} = \frac{-2 \cos x}{e^{\cos x}}$.

(C) આપેલ છે કે $x = 2 \cos \theta - \cos 2 \theta$ અને $y = 2 \sin \theta - \sin 2 \theta$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{d\theta}$ અને $\frac{dy}{d\theta}$ શોધો:
$\frac{dx}{d\theta} = -2 \sin \theta + 2 \sin 2 \theta = 2 \sin \theta (2 \cos \theta - 1)$
$\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta - 2 \cos 2 \theta = 2 \cos \theta - 2(2 \cos^2 \theta - 1) = 2(1 + \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) = 2(1 - \cos \theta)(1 + 2 \cos \theta)$
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2(1 - \cos \theta)(1 + 2 \cos \theta)}{2 \sin \theta (2 \cos \theta - 1)} = \tan(3\theta/2)$.
હવે,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\tan(3\theta/2)) = \frac{d}{d\theta}(\tan(3\theta/2)) \cdot \frac{d\theta}{dx} = \frac{3}{2} \sec^2(3\theta/2) \cdot \frac{1}{2 \sin \theta (2 \cos \theta - 1)}$.
સરળીકરણ કરતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \sec^2 \frac{3 \theta}{2}$ મળે છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x = \sin \theta$ અને $y = \sin^3 \theta$.
ચલ $x = \sin \theta$ હોવાથી,આપણે $y = x^3$ લખી શકીએ.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{dx^2}$ મેળવતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$.
જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$ હોય,ત્યારે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ થાય.
આમ,$x = 1$ મુકતા:
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)_{x=1} = 6(1) = 6$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \log_{x^2}(\log_{e} x)$.
આધાર બદલવાના સૂત્ર $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{\log(\log_{e} x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log_{e} x)}{2 \log x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{d}{dx}(\log(\log_{e} x)) \cdot \log x - \log(\log_{e} x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{\log_{e} x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \log x - \log(\log_{e} x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} \right]$
કારણ કે $\log_{e} x = \log x$,તેથી પદ આ રીતે સરળ બને છે:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log_{e} x)}{x}}{(\log x)^2} \right] = \frac{1 - \log(\log_{e} x)}{2x(\log x)^2}$.
$x = e$ મુકતા,$\log_{e} e = 1$ અને $\log(\log_{e} e) = \log(1) = 0$.
$f^{\prime}(e) = \frac{1 - 0}{2e(1)^2} = \frac{1}{2e}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \log \left[e^{5x} \left(\frac{3x-4}{x+5}\right)^{\frac{4}{3}}\right]$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log(ab) = \log a + \log b$ અને $\log(a^n) = n \log a$:
$y = \log(e^{5x}) + \log\left(\left(\frac{3x-4}{x+5}\right)^{\frac{4}{3}}\right)$
$y = 5x \log e + \frac{4}{3} \log\left(\frac{3x-4}{x+5}\right)$
$y = 5x + \frac{4}{3} [\log(3x-4) - \log(x+5)]$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x) + \frac{4}{3} \left[ \frac{d}{dx}(\log(3x-4)) - \frac{d}{dx}(\log(x+5)) \right]$
$\frac{dy}{dx} = 5 + \frac{4}{3} \left[ \frac{1}{3x-4} \cdot 3 - \frac{1}{x+5} \cdot 1 \right]$
$\frac{dy}{dx} = 5 + \frac{4}{3x-4} - \frac{4}{3(x+5)}$.

(A) આપેલ વિધેય $y=a \log x+b x^2+x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d y}{d x}=\frac{a}{x}+2 b x+1$.
વિધેયના અંતિમ મૂલ્યો $x=-1$ અને $x=2$ આગળ હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x=-1$ માટે: $\frac{a}{-1}+2 b(-1)+1=0 \Rightarrow -a-2 b+1=0 \Rightarrow a+2 b=1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $\frac{a}{2}+2 b(2)+1=0 \Rightarrow \frac{a}{2}+4 b+1=0 \Rightarrow a+8 b=-2$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા: $(a+8 b)-(a+2 b)=-2-1 \Rightarrow 6 b=-3 \Rightarrow b=-\frac{1}{2}$.
$b=-\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા: $a+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow a-1=1 \Rightarrow a=2$.
તેથી,$a+b=2+(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $y = ((x+1)(4x+1)(9x+1) \ldots (n^2x+1))^2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = 2[\log(x+1) + \log(4x+1) + \log(9x+1) + \ldots + \log(n^2x+1)]$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{4}{4x+1} + \frac{9}{9x+1} + \ldots + \frac{n^2}{n^2x+1} \right]$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 2y \left[ \frac{1^2}{x+1} + \frac{2^2}{4x+1} + \frac{3^2}{9x+1} + \ldots + \frac{n^2}{n^2x+1} \right]$.
$x=0$ આગળ,$y(0) = ((0+1)(0+1) \ldots (0+1))^2 = 1^2 = 1$.
વિકલિતના પદમાં $x=0$ મૂકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = 2(1) [1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2]$.
વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = 2 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y) = \sin (x+y)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = \cos (x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
પદોને ગોઠવતા:
$\left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \left(\frac{1}{x+y} - \cos (x+y)\right) = 0$
કારણ કે $\log (x+y) = \sin (x+y)$,પદ $\frac{1}{x+y} - \cos (x+y)$ એ પ્રદેશના તમામ $x, y$ માટે શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આપણે મેળવી શકીએ:
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y)=2xy \quad ...(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y^{\prime}) = 2(x y^{\prime} + y)$
$y^{\prime}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$1 + y^{\prime} = 2(x+y)(x y^{\prime} + y)$
$1 + y^{\prime} = 2x^2 y^{\prime} + 2xy + 2xy y^{\prime} + 2y^2$
$y^{\prime}(1 - 2x^2 - 2xy) = 2xy + 2y^2 - 1$
$y^{\prime} = \frac{2xy + 2y^2 - 1}{1 - 2x^2 - 2xy}$
હવે,સમીકરણ $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા $y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$\log(0+y) = 2(0)y$
$\log(y) = 0$
$y = e^0 = 1$
હવે $x=0$ અને $y=1$ ને $y^{\prime}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$y^{\prime}(0) = \frac{2(0)(1) + 2(1)^2 - 1}{1 - 2(0)^2 - 2(0)(1)}$
$y^{\prime}(0) = \frac{0 + 2 - 1}{1 - 0 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

(D) આપેલ છે કે $f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(f(x)) = \ln(1+x) + \ln(1+x^2) + \ln(1+x^4) + \ln(1+x^8)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^2} + \frac{4x^3}{1+x^4} + \frac{8x^7}{1+x^8}$.
$x=1$ માટે,$f(1) = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
વિકલિત સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા:
$\frac{f^{\prime}(1)}{f(1)} = \frac{1}{1+1} + \frac{2(1)}{1+1^2} + \frac{4(1)^3}{1+1^4} + \frac{8(1)^7}{1+1^8} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{8}{2} = \frac{1+2+4+8}{2} = \frac{15}{2}$.
તેથી,$f^{\prime}(1) = f(1) \times \frac{15}{2} = 16 \times \frac{15}{2} = 8 \times 15 = 120$.

(A) આપેલ છે કે $y=(\sin x)^{\tan x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log y = \tan x \cdot \log(\sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan x) \cdot \log(\sin x) + \tan x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x))$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \cdot \log(\sin x) + \tan x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
કારણ કે $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$,તેથી $\tan x \cdot \cot x = 1$.
આમ,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \log(\sin x) + 1$.
$y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = y[1 + \sec^2 x \log(\sin x)]$.
$y = (\sin x)^{\tan x}$ મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\tan x}[1 + \sec^2 x \log(\sin x)]$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log_{x^2}(\log x)$.
આધાર બદલવાના નિયમ $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{\log(\log x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log x)}{2 \log x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{d}{dx}(\log(\log x)) \cdot \log x - \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}) \cdot \log x - \log(\log x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log x)}{x}}{(\log x)^2} = \frac{1 - \log(\log x)}{2x(\log x)^2}$.
$x = e$ માટે,$\log x = \log e = 1$ અને $\log(\log x) = \log(1) = 0$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f'(e) = \frac{1 - 0}{2e(1)^2} = \frac{1}{2e}$.

(B) આપેલ છે કે $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા,આપણને મળે:
$\ln y = 2[\ln(x+1) + \ln(2x+1) + \ln(3x+1) + \ldots + \ln(nx+1)]$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 2y \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$.
$x=0$ આગળ,$y = [(0+1)(0+1)(0+1) \ldots (0+1)]^2 = 1^2 = 1$.
$x=0$ અને $y=1$ ની કિંમત $\frac{dy}{dx}$ ના સમીકરણમાં મુકતા:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = 2(1) \left[ \frac{1}{0+1} + \frac{2}{0+1} + \frac{3}{0+1} + \ldots + \frac{n}{0+1} \right]$.
$= 2(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

(C) ધારો કે $u = e^x$ અને $v = \sqrt{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $u$ અને $v$ નું વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{du}{dx} = e^x$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$v$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું વિકલન:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{e^x}{1/(2\sqrt{x})} = 2\sqrt{x} e^x$.

(A) આપેલ અનંત સતત અપૂર્ણાંક: $y = \frac{\sin x}{1 + \frac{\cos x}{1 + y}}$.
બંને બાજુ $(1 + y + \cos x)$ વડે ગુણતા: $y(1 + y + \cos x) = \sin x(1 + y)$.
$y + y^2 + y \cos x = \sin x + y \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} \cos x - y \sin x) = \cos x(1 + y) + \sin x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા:
$\frac{dy}{dx}(1 + 2y + \cos x - \sin x) = \cos x + y \cos x + y \sin x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin x + (1 + y) \cos x}{1 + 2y + \cos x - \sin x}$.

(A) ધારો કે $y = \sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right)$ અને $z = \sin ^{-1}\left(3 x-4 x^3\right)$.
$x = \sin \theta$ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin ^{-1} x$.
તેથી,$y = \sin ^{-1}\left(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^2 \theta}\right) = \sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta = 2 \sin ^{-1} x$.
તે જ રીતે,$z = \sin ^{-1}\left(3 \sin \theta - 4 \sin ^3 \theta\right) = \sin ^{-1}(\sin 3 \theta) = 3 \theta = 3 \sin ^{-1} x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ અને $z$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$ અને $\frac{dz}{dx} = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$.
અંતે,$z$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન $\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{2/\sqrt{1-x^2}}{3/\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3^x}{1+(3^x)^2}\right)$.
ધારો કે $3^x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(3^x)$.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા,આપણને મળે $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(3^x)$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$f^{\prime}(x) = 2 \cdot \frac{1}{1+(3^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = \frac{2 \cdot 3^x \log 3}{1+9^x}$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે કિંમત શોધતા,$f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot 3^{1/2} \log 3}{1+9^{1/2}} = \frac{2 \sqrt{3} \log 3}{1+3} = \frac{2 \sqrt{3} \log 3}{4} = \frac{\sqrt{3} \log 3}{2} = \sqrt{3} \log(3^{1/2}) = \sqrt{3} \log(\sqrt{3})$.

(B) આપેલ છે કે $y = \tan ^{-1}\left(\frac{3+2 x}{2-3 x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{3 x}{1+4 x^2}\right)$.
પ્રથમ પદમાં અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}+x}{1-\frac{3}{2} x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x-x}{1+(4 x)(x)}\right)$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ અને $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) + \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (4 x) - \tan ^{-1} x$
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) + \tan ^{-1} (4 x)$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 0 + \frac{1}{1+(4 x)^2} \cdot \frac{d}{d x}(4 x)$
$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1+16 x^2}$