MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) केशिका में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
$T$ और $r$ के दिए गए मान के लिए,$h \propto \frac{\cos \theta}{\rho}$ होता है।
चूँकि द्रव समान ऊँचाई तक चढ़ते हैं $(h_1 = h_2 = h_3)$,इसलिए $\frac{\cos \theta_1}{\rho_1} = \frac{\cos \theta_2}{\rho_2} = \frac{\cos \theta_3}{\rho_3}$ होगा।
दिया गया है कि $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,इसलिए $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ होगा।
चूँकि कोसाइन फलन $[0, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में एक घटता हुआ फलन है,इसलिए $\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ होगा।
अतः,$0 \le \theta_1 < \theta_2 < \theta_3 < \frac{\pi}{2}$ सही उत्तर है।

(D) द्विपरमाणुक गैस के अणुओं में $3$ स्थानांतरण (translational) स्वतंत्रता की कोटि और $2$ घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि होती है।
यह दिया गया है कि अणु में एक अतिरिक्त कंपन विधा (vibrational mode) है।
प्रत्येक कंपन विधा $2$ स्वतंत्रता की कोटि का योगदान देती है (एक गतिज ऊर्जा के लिए और एक स्थितिज ऊर्जा के लिए)।
अतः, स्वतंत्रता की कुल कोटि $f = 3$ (translational) $+ 2$ (rotational) $+ 2$ (vibrational) $= 7$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_V = \frac{fR}{2}$ है।
$f = 7$ रखने पर, हमें $C_V = \frac{7R}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $x_1$ और $x_2$ क्रमशः द्रव्यमान केंद्र $C$ से कणों $m_1$ और $m_2$ की प्रारंभिक दूरियाँ हैं। द्रव्यमान केंद्र को $C$ पर बनाए रखने के लिए,शर्त $m_1 x_1 = m_2 x_2$ ... $(i)$ है।
जब कण $m_1$ को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो $C$ से इसकी नई दूरी $(x_1 - d)$ हो जाती है।
मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र को अपरिवर्तित रखने के लिए दूसरे कण $m_2$ को $d'$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है। $C$ से इसकी नई दूरी $(x_2 - d')$ होगी।
द्रव्यमान केंद्र को अपरिवर्तित रखने के लिए नई शर्त $m_1(x_1 - d) = m_2(x_2 - d')$ ... (ii) है।
समीकरण (ii) का विस्तार करने पर: $m_1 x_1 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 d'$
चूंकि समीकरण $(i)$ से $m_1 x_1 = m_2 x_2$ है,हम इस मान को विस्तारित समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$m_2 x_2 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 d'$
$-m_1 d = -m_2 d'$
$d' = \frac{m_1}{m_2} d$
चूंकि विस्थापन $d'$ द्रव्यमान केंद्र की दिशा में धनात्मक है,इसलिए दूसरे कण को भी द्रव्यमान केंद्र की ओर ही विस्थापित करना होगा।

(D) छड़ के घूर्णी संतुलन में रहने के लिए,किसी भी बिंदु के परितः टॉर्क का योग शून्य होना चाहिए।
नाइफ-एज $B$ के परितः टॉर्क लेने पर:
$\sum \tau_B = 0$
$N_A \cdot r - W \cdot (r - x) = 0$
जहाँ $N_A$,$A$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया है।
$N_A \cdot r = W(r - x)$
$N_A = \frac{W(r - x)}{r}$

(B) दो कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिति सदिश $\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा परिभाषित होता है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश दोनों कणों के स्थिति सदिशों का भारित औसत है,इसलिए इसे दोनों कणों को जोड़ने वाली रेखा पर ही स्थित होना चाहिए।
यदि द्रव्यमान समान हैं $(m_1 = m_2)$,तो द्रव्यमान केंद्र ठीक मध्य-बिंदु पर होता है।
यदि द्रव्यमान अलग-अलग हैं,तो यह भारी द्रव्यमान के करीब होता है,लेकिन यह हमेशा दोनों कणों को जोड़ने वाली रेखा पर ही रहता है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) चूंकि तीनों गेंदें समान हैं और उनकी त्रिज्या भी समान है,इसलिए उनका द्रव्यमान बराबर है। मान लीजिए प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान '$m$' है।
मान लीजिए तीनों गेंदों के केंद्रों के निर्देशांक $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं।
निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(X_{cm}, Y_{cm})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$X_{cm} = \frac{m x_1 + m x_2 + m x_3}{m + m + m} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m y_1 + m y_2 + m y_3}{m + m + m} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
ये निर्देशांक गेंदों के केंद्रों द्वारा बने त्रिभुज का केंद्रक (centroid) दर्शाते हैं।
त्रिभुज का केंद्रक उसकी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

(A) माना $m$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $u$ है और $M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $0$ है。
माना टक्कर के बाद $m$ द्रव्यमान का अंतिम वेग $v_1$ है और $M$ द्रव्यमान का अंतिम वेग $v_2$ है。
दिया गया है कि टक्कर के बाद $m$ द्रव्यमान का कण रुक जाता है,इसलिए $v_1 = 0$ है。
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mu + M(0) = m(0) + Mv_2$ है。
यह $mu = Mv_2$ में सरल हो जाता है,इसलिए $v_2 = \frac{mu}{M}$ है。
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है。
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $e = \frac{\frac{mu}{M} - 0}{u - 0} = \frac{mu/M}{u} = \frac{m}{M}$ प्राप्त होता है。

(D) दो कणों के निकाय पर कार्य करने वाला बाह्य बल गुरुत्वाकर्षण बल है: $F_{ext} = (m_1 + m_2)g$ (नीचे की दिशा में)।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर बाह्य बल के बराबर होती है: $F_{ext} = \frac{\Delta P}{\Delta t}$।
यहाँ,$\Delta P = (m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)$ और $\Delta t = 2t - 0 = 2t$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(m_1 + m_2)g = \frac{(m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)}{2t}$।
अतः,संवेग में परिवर्तन: $[(m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)] = 2(m_1 + m_2)gt$ होगा।

(A) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और उसके संवेग $(p)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $K.E. = \frac{p^2}{2m}$.
जब संवेग में $20 \%$ की वृद्धि होती है,तो नया संवेग $p'$ होगा:
$p' = p + 0.20p = 1.2p$.
नई गतिज ऊर्जा $(K.E.')$ होगी:
$K.E.' = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(1.2p)^2}{2m} = \frac{1.44p^2}{2m}$.
चूंकि $K.E. = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $K.E.' = 1.44 \times K.E$.
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि इस प्रकार दी जाती है:
$\Delta K.E. \% = \frac{K.E.' - K.E.}{K.E.} \times 100 \%$
$= \frac{1.44 K.E. - K.E.}{K.E.} \times 100 \%$
$= 0.44 \times 100 \% = 44 \%$.

(C) मान लीजिए द्रव्यमान $m_1$ का प्रारंभिक वेग $v_1$ है और द्रव्यमान $m_2$ का अंतिम वेग $v_2$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,द्रव्यमान $m_1$ का अंतिम वेग $v_1' = \frac{v_1}{1.5} = \frac{2}{3} v_1$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए,प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $e = 1$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक का सूत्र $e = \frac{v_2 - v_1'}{v_1 - 0}$ है।
मान रखने पर: $1 = \frac{v_2 - \frac{2}{3}v_1}{v_1} \implies v_2 = v_1 + \frac{2}{3}v_1 = \frac{5}{3}v_1$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2$.
वेगों के मान रखने पर: $m_1 v_1 = m_1 (\frac{2}{3} v_1) + m_2 (\frac{5}{3} v_1)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $m_1 v_1 - \frac{2}{3} m_1 v_1 = m_2 \frac{5}{3} v_1$.
$\frac{1}{3} m_1 v_1 = \frac{5}{3} m_2 v_1$.
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{1}$.

(B) दिया गया है:
गेंदों की संख्या $N = 1000 = 10^3$
प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$
क्षेत्रफल $A = 1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$
वेग $v = 50 \text{ m/s}$
प्रत्येक टक्कर के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m[v - (-v)] = 2mv$ है।
चूंकि प्रति सेकंड $N$ टक्करें हो रही हैं,सतह पर लगने वाला कुल बल $F$ है:
$F = N \times \Delta p = N \times 2mv$
$F = 10^3 \times 2 \times 10^{-3} \text{ kg} \times 50 \text{ m/s} = 100 \text{ N}$.
दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया गया है:
$P = \frac{F}{A} = \frac{100 \text{ N}}{10^{-4} \text{ m}^2} = 10^6 \text{ N/m}^2$.

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{n}$,इसलिए हम लिख सकते हैं: $\frac{g}{n} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{n} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{R}{R+h}$।
$h$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $R+h = R \sqrt{n}$।
अतः,$h = R \sqrt{n} - R = R(\sqrt{n}-1)$।

(B) $h$ ऊँचाई पर किसी पिंड का भार $W_h = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $W$ पृथ्वी की सतह पर भार है।
दिया गया है कि $W_h = \frac{1}{16} W$,इसलिए:
$\frac{1}{16} W = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{4} = \frac{R}{R+h}$
$R + h = 4R$
$h = 3R$
अतः,वह ऊँचाई जिस पर भार सतह के भार का $\frac{1}{16}$ हो जाता है,$3R$ है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दिया गया है कि $g_h = \frac{g}{3}$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{g}{3} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{3} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{R+h}$।
$h$ के लिए हल करने पर:
$R + h = \sqrt{3} R$।
$h = \sqrt{3} R - R$।
$h = (\sqrt{3} - 1) R$।

(B) सतह पर लोलक की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_{eff} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ है।
$d = \frac{R}{4}$ के लिए,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g \left(1 - \frac{R/4}{R}\right) = g \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} g$ है।
गहराई $d$ पर आवृत्ति $f_d = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g_{eff}}{l}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3g}{4l}}$ है।
नई आवृत्ति और मूल आवृत्ति $n$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{f_d}{n} = \frac{\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3g}{4l}}}{\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,नई आवृत्ति $f_d = \frac{\sqrt{3}}{2} n$ होगी।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
दिया गया है कि $g$ का मान $64 \%$ कम हो जाता है,इसलिए शेष मान $g_h = (100 \% - 64 \%) \text{ of } g = 36 \% \text{ of } g = 0.36g$ होगा।
अतः,$\frac{g_h}{g} = 0.36 = \frac{36}{100}$.
$g$ और $g_h$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{R^2}{(R+h)^2} = \frac{36}{100}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R}{R+h} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$5R = 3(R+h) = 3R + 3h$.
$2R = 3h$.
$h = \frac{2}{3} R$.

(B) गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
दिया गया है कि $g_d = \frac{g}{n-1}$,इसलिए:
$\frac{g}{n-1} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n-1} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n-1}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1-1}{n-1} = \frac{n-2}{n-1}$.
अतः,$d = R\left(\frac{n-2}{n-1}\right)$।

(B) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$,हम लिख सकते हैं $g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi R \rho G$.
यह दिया गया है कि $g$ पृथ्वी और ग्रह दोनों के लिए समान है,इसलिए $R_e \rho_e = R_p \rho_p$.
यहाँ,$R_e = R$ और $\rho_p = 3 \rho_e$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R \times \rho_e = R_p \times (3 \rho_e)$.
अतः,$R_p = \frac{R}{3}$.

(D) वस्तु का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह $(h=0)$ पर,गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान अधिकतम होता है।
जब हम $h_1$ गहराई की खदान में जाते हैं,तो गुरुत्वीय त्वरण $g_1 = g(1 - h_1/R)$ होता है,इसलिए $W_1 = mg(1 - h_1/R) < W_2$।
जब हम $h_3$ ऊँचाई वाले पहाड़ की चोटी पर जाते हैं,तो गुरुत्वीय त्वरण $g_3 = g(1 - 2h_3/R)$ होता है,इसलिए $W_3 = mg(1 - 2h_3/R) < W_2$।
चूँकि $W_2$ सतह पर भार है,यह $W_1$ और $W_3$ दोनों से अधिक है।
अतः,सही संबंध $W_1 < W_2 > W_3$ है।

(B) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{4}{3} \pi \rho G R$,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है कि ग्रह का घनत्व $\rho_p = 2 \rho_e$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g_p = g_e$ है।
ग्रह और पृथ्वी के लिए व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{4}{3} \pi \rho_p G R_p = \frac{4}{3} \pi \rho_e G R_e$
$\rho_p R_p = \rho_e R_e$
$\rho_p = 2 \rho_e$ और $R_e = R$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 \rho_e) R_p = \rho_e R$
$2 R_p = R$
$R_p = \frac{R}{2}$

(A) अक्षांश $\theta$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
भूमध्य रेखा पर,अक्षांश $\theta = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$। अतः,$g' = g - R\omega^2$।
यह दिया गया है कि वजन अपने वर्तमान मान का $\frac{3}{5}$ हो जाता है,इसलिए प्रभावी गुरुत्व $g'$ का मान $\frac{3}{5}g$ होना चाहिए।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{5}g = g - R\omega^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $R\omega^2 = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{2g}{5R}$,जिससे $\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 72 \ N$ है।
सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का सूत्र है: $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
यहाँ $h = \frac{R}{2}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g_h = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$।
ऊंचाई $h$ पर भार $W_h = m g_h = m \left( \frac{4}{9} g \right) = \frac{4}{9} W$ होगा।
$W = 72 \ N$ रखने पर:
$W_h = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$।

(C) पृथ्वी की भूमध्य रेखा पर स्थित कण की रैखिक चाल $V = R \omega$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $\omega$ पृथ्वी के घूर्णन की कोणीय चाल है।
$\theta$ अक्षांश पर,कण $r = R \cos \theta$ त्रिज्या के वृत्त में गति करता है।
$\theta$ अक्षांश पर कण की रैखिक चाल $V'$ का मान $V' = r \omega = (R \cos \theta) \omega$ होता है।
$\theta = 30^{\circ}$ रखने पर:
$V' = R \omega \cos 30^{\circ} = R \omega \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
चूँकि $V = R \omega$,इसलिए $V' = \frac{\sqrt{3}}{2} V$ प्राप्त होता है।

(C) गोले के बाहर के बिंदु $(r > R)$ के लिए,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $F = \frac{G M}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$r_1 > R$ के लिए,$F_1 = \frac{G M}{r_1^2}$ है।
गोले के अंदर के बिंदु $(r < R)$ के लिए,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $F = \frac{G M r}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$r_2 < R$ के लिए,$F_2 = \frac{G M r_2}{R^3}$ है।
$F_1$ और $F_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G M}{r_1^2} \times \frac{R^3}{G M r_2} = \frac{R^3}{r_1^2 r_2}$.

(C) पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ को उसके आयतन $V$ और औसत घनत्व $\rho$ के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ ... $(i)$
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है:
$g = \frac{GM}{R^2}$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $M$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \times \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right)$
$g = \frac{4}{3} \pi R G \rho$
औसत घनत्व $\rho$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\rho = \frac{3 g}{4 \pi R G}$

(D) $M$ द्रव्यमान के पिंड की पृथ्वी से $r/3$ और चंद्रमा से $2r/3$ की दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = -\frac{G M_1 M}{r/3} - \frac{G M_2 M}{2r/3} = -\frac{3 G M_1 M}{r} - \frac{3 G M_2 M}{2r} = -\frac{3 G M}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
अनंत तक पलायन करने के लिए,कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। यदि $v$ आवश्यक पलायन गति है,तो गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} M v^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} M v^2 + U = 0$.
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{3 G M}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{6 G}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
$v = \left[ \frac{6 G}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right) \right]^{1/2}$.

(A) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$.
चूंकि घनत्व $\rho$ समान है, इसलिए $v_e \propto R$ होगा।
माना पृथ्वी का पलायन वेग $v_e$ है और ग्रह का पलायन वेग $v_e'$ है।
दिया गया है कि $R' = 2R$, इसलिए:
$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} = \frac{2R}{R} = 2$.
अतः, $v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11 \,km/s = 22 \,km/s$.

(C) ग्रह का पलायन वेग $v_e$ सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ग्रह के द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के संदर्भ में $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए हम इसे पलायन वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho}$.
यह दिया गया है कि ग्रह और पृथ्वी दोनों के लिए घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए पलायन वेग त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है: $v_e \propto R$.
अतः,पलायन वेग का अनुपात है: $\frac{V_p}{V_E} = \frac{R_p}{R_E}$.
यह दिया गया है कि ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से दोगुनी है $(R_p = 2R_E)$,इसलिए:
$\frac{V_p}{V_E} = \frac{2R_E}{R_E} = 2$.
इस प्रकार,$x$ का मान $2$ है।

(B) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$.
इसका अर्थ है कि $v_e \propto R \sqrt{\rho}$.
दिया गया है कि $R_p = 4R_E$ और $\rho_p = 4\rho_E$,इसलिए पृथ्वी पर पलायन वेग $(v_E)$ और ग्रह पर पलायन वेग $(v_p)$ का अनुपात है:
$\frac{v_E}{v_p} = \frac{R_E \sqrt{\rho_E}}{R_p \sqrt{\rho_p}} = \frac{R_E \sqrt{\rho_E}}{(4R_E) \sqrt{4\rho_E}} = \frac{1}{4 \times 2} = \frac{1}{8}$.
अतः,अनुपात $1: 8$ है।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में कुल यांत्रिक ऊर्जा पृथ्वी की सतह पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = 0 - \frac{GMm}{R_0}$।
अंतिम ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$।
$v^2 = 2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$।
अतः,वेग $v$ होगा:
$v = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)}$।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$(K.E + P.E)_{\text{सतह}} = (K.E + P.E)_{\text{अधिकतम ऊँचाई}}$
चूँकि अधिकतम ऊँचाई पर वेग $0$ होता है,इसलिए:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m(n V_e)^2 = -\frac{GMm}{R + h} + 0$
हम जानते हैं कि पलायन वेग $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2} m n^2 \left( \frac{2GM}{R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R + h} \right)$
$\frac{n^2 GMm}{R} = GMm \left( \frac{R + h - R}{R(R + h)} \right)$
$\frac{n^2}{R} = \frac{h}{R(R + h)}$
$n^2 = \frac{h}{R + h}$
$n^2(R + h) = h$
$n^2 R + n^2 h = h$
$n^2 R = h(1 - n^2)$
$h = \frac{n^2 R}{1 - n^2}$

(A) सूर्य से $r$ दूरी पर स्थित ग्रह की कक्षीय चाल का सूत्र: $v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
ग्रह $A$ के लिए,कक्षीय चाल $v_A = v = \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$ है।
ग्रह $B$ के लिए,कक्षीय चाल $v_B = \sqrt{\frac{GM}{r_B}}$ है।
$v_B$ के व्यंजक में $r_B = 100 r_A$ रखने पर:
$v_B = \sqrt{\frac{GM}{100 r_A}} = \frac{1}{\sqrt{100}} \sqrt{\frac{GM}{r_A}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$.
चूंकि $v = \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$,इसलिए $v_B = \frac{v}{10}$ प्राप्त होता है।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
इसका अर्थ है कि $\frac{T_p^2}{T_e^2} = \frac{r_p^3}{r_e^3}$,जहाँ $T_p$ और $r_p$ ग्रह का परिक्रमण काल और कक्षीय त्रिज्या हैं,और $T_e$ तथा $r_e$ पृथ्वी के लिए हैं।
दिया गया है कि $T_p = 8 T_e$,इसलिए अनुपात में मान रखने पर:
$\frac{(8 T_e)^2}{T_e^2} = \frac{r_p^3}{r_e^3}$
$64 = \frac{r_p^3}{r_e^3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{r_p}{r_e} = (64)^{1/3} = 4$.
अतः,ग्रह की कक्षा की त्रिज्या और पृथ्वी की कक्षा की त्रिज्या का अनुपात $4$ है।

(C) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ होता है।
चूंकि उपग्रह ग्रह की सतह के बहुत करीब परिक्रमा कर रहा है,इसलिए हम कक्षीय त्रिज्या $r = R$ लेंगे।
अतः,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \dots (i)$.
ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के संदर्भ में $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \dots (ii)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
समीकरण $(ii)$ से $M$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$
$T = 2 \pi \times \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \times 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{\rho G}}$.

(D) किसी ग्रह के तारे के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
दिया गया है कि गुरुत्वाकर्षण बल $F_G \propto R^{-5/2}$ है।
अभिकेंद्री बल $F_c = m \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
अतः,$F_c = m \left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right) R$.
बलों की तुलना करने पर: $m \left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right) R \propto R^{-5/2}$.
चूंकि $m$ और $4\pi^2$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{R}{T^2} \propto R^{-5/2}$.
$T^2$ के लिए हल करने पर: $T^2 \propto R \cdot R^{5/2} = R^{7/2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $T \propto R^{7/4}$.

(C) उपग्रह को वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$
कक्षीय वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
उपग्रह का कोणीय संवेग $L$,$L = mvr$ के रूप में परिभाषित है।
$v$ का मान रखने पर:
$L = m \left( \sqrt{\frac{GM}{r}} \right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r} = m(GMr)^{1/2}$

(D) उपग्रह को $h$ ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $E_1 = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ का उपयोग करने पर,$GM = gR^2$ प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$E_1 = \frac{gR^2mh}{R(R+h)} = \frac{mgh}{1 + h/R}$.
$h$ ऊँचाई पर उपग्रह को कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा गतिज ऊर्जा है $E_2 = \frac{1}{2}mv_0^2$. चूँकि $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$,इसलिए $E_2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
$GM = gR^2$ रखने पर,$E_2 = \frac{gR^2m}{2(R+h)} = \frac{mgR}{2(1 + h/R)}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{mgh / (1 + h/R)}{mgR / (2(1 + h/R))} = \frac{h}{R/2} = \frac{2h}{R}$.

(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ त्रिज्या की कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $E \propto \frac{m}{r}$ है।
यहाँ द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{1}$ और त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = \frac{r}{4r} = \frac{1}{4}$ दिया गया है।
इसलिए,कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4r}{r} = \frac{12}{1}$।
अतः,अनुपात $12: 1$ है।

(B) मान लीजिए $M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$m$ उपग्रह का द्रव्यमान है,और $r = R_e + h$ कक्षीय त्रिज्या है।
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = -\frac{GM_e m}{r}$ होता है।
उपग्रह का कक्षीय वेग $v$ का मान $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ का मान $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{GM_e}{r}\right) = \frac{GM_e m}{2r}$ होता है।
परिमाणों की तुलना करने पर,हमें $K = \frac{1}{2} |U|$ प्राप्त होता है।
अतः,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के परिमाण का अनुपात $K : |U| = 1 : 2$ है।

(A) ग्रह के केंद्र से $r = R + h$ दूरी पर वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_0 = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई ऊँचाई $h = 2R$ है,इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r = R + 2R = 3R$ होगी।
अतः,कक्षीय ऊर्जा $E_0 = -\frac{GMm}{2(3R)} = -\frac{GMm}{6R}$ है।
ग्रह की सतह पर उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $E_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
उपग्रह को प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा अंतिम कक्षीय ऊर्जा और प्रारंभिक सतह ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\Delta E = E_0 - E_i = -\frac{GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{6R} = \frac{5GMm}{6R}$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह के ठीक ऊपर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{R}{g}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ है,इसलिए $M$ का मान $g$ के समीकरण में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi \rho G R$.
अब,$g$ का यह मान $T^2$ के समीकरण में रखने पर:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{R}{\frac{4}{3} \pi \rho G R} = 4 \pi^2 \times \frac{3}{4 \pi \rho G} = \frac{3 \pi}{\rho G}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $T^2 \rho = \frac{3 \pi}{G}$ प्राप्त होता है।

(B) $M$ द्रव्यमान वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो गोलों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GM^2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले संपर्क में हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = 2R$ है।
अतः,$F = \frac{GM^2}{(2R)^2} = \frac{GM^2}{4R^2}$।
प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
$M$ का मान बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{G}{4R^2} \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \right)^2$
$F = \frac{G}{4R^2} \cdot \rho^2 \cdot \frac{16}{9} \pi^2 R^6$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 R^4 \rho^2$
इसलिए,$F \propto R^4 \rho^2$।

(D) हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = m v R$ ... $(i)$
सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^2}{R} = \frac{G M m}{R^2}$
$v^2 = \frac{G M}{R}$
$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ में रखने पर:
$L = m \times \sqrt{\frac{G M}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{G M R}$
चूंकि $m$,$G$,और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$L \propto \sqrt{R}$
$L \propto R^{1/2}$
अतः,$L \propto R^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 0.5$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,मेयर का संबंध $C_{p} - C_{v} = R$ होता है।
दिया गया है कि $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$,इसलिए हम $C_{v} = \frac{C_{p}}{\gamma}$ लिख सकते हैं।
इस मान को मेयर के संबंध में रखने पर:
$C_{p} - \frac{C_{p}}{\gamma} = R$
$C_{p} \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R$
$C_{p} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) = R$
अतः,$C_{p} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.

(B) कंटेनर के अंदर गैस की गतिज ऊर्जा $K.E. = n \left( \frac{1}{2} m V^2 \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है और $m$ मोलर द्रव्यमान है।
जब कंटेनर को अचानक रोका जाता है,तो यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
चूंकि ऊर्जा संरक्षित रहती है,$\Delta U = K.E.$
मान रखने पर: $n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T = n \left( \frac{1}{2} m V^2 \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{5}{2} R \Delta T = \frac{1}{2} m V^2$.
अतः,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = \frac{mV^2}{5R}$ है।

(B) $C_p = C_v + R$
$\therefore$ हाइड्रोजन के लिए $C_p, C_{p_1} = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$
हीलियम के लिए $C_p, C_{p_2} = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$
जल वाष्प के लिए $C_p, C_{p_3} = 3 R + R = 4 R$
दिया गया है: $n_1 = 4, n_2 = 2, n_3 = 1$
मिश्रण की $C_p = \frac{n_1 C_{p_1} + n_2 C_{p_2} + n_3 C_{p_3}}{n_1 + n_2 + n_3}$
$= \frac{4 \times \frac{7}{2} R + 2 \times \frac{5}{2} R + 1 \times 4 R}{4 + 2 + 1}$
$= \frac{14 R + 5 R + 4 R}{7} = \frac{23 R}{7}$

(C) हम जानते हैं कि स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v} = \frac{n R}{2}$ द्वारा दी जाती है।
मेयर के संबंध $C_{p} - C_{v} = R$ से,हम लिख सकते हैं $C_{p} = C_{v} + R$।
$C_{v}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_{p} = \frac{n R}{2} + R = R \left( \frac{n}{2} + 1 \right)$।
अब,अनुपात $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\gamma = \frac{R \left( \frac{n}{2} + 1 \right)}{\frac{n R}{2}} = \frac{\frac{n+2}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$।

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
स्थिर दाब पर,मोलर ऊष्मा धारिता $C_P = \frac{5}{2}R$ है और स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3}{2}R$ है।
दी गई कुल ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा को बदलने में उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ है।
मान रखने पर,$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5} = 0.6$ प्राप्त होता है।
अतः,उपयोग की गई कुल ऊष्मा का प्रतिशत $0.6 \times 100 = 60 \%$ है।

(B) एक वास्तविक गैस कम दबाव और उच्च तापमान की स्थितियों में आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।
उच्च तापमान पर,गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है,जिससे उनके बीच के अंतर-आणविक आकर्षण बल नगण्य हो जाते हैं।
कम दबाव पर,गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है,जिससे गैस के कण प्रभावी रूप से बिंदु द्रव्यमान की तरह व्यवहार करते हैं।
अतः,गैसों के गतिज सिद्धांत की धारणाएं पूरी होती हैं और गैस आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का पालन करती है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $E = \frac{3}{2} k_B T$,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि स्थानांतरण गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और यह गैस के मोलर द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए दिया गया है: $E_1 = 0.042 \ eV$,तापमान $T_1 = T$ पर।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: तापमान दोगुना कर दिया गया है,इसलिए $T_2 = 2T$ है।
चूँकि $E \propto T$,इसलिए:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{2T}{T} = 2$
अतः,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 0.042 \ eV = 0.084 \ eV$.

(B) मान लीजिए $r$ प्रत्येक शीर्ष से समबाहु त्रिभुज के केंद्र तक की दूरी है।
केंद्र पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{2q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{-q}{r} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r} (2q - q - q) = 0$
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। चूंकि आवेश परिमाण में समान नहीं हैं और इस तरह से व्यवस्थित नहीं हैं कि उनके क्षेत्र सदिश एक-दूसरे को निरस्त कर दें,इसलिए परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य नहीं है।
विशेष रूप से,$2q$ के कारण क्षेत्र उससे दूर इंगित करता है,जबकि दो $-q$ आवेशों के कारण क्षेत्र उनकी ओर इंगित करते हैं। इन सदिशों का योग शून्य नहीं होता है।
इसलिए,क्षेत्र शून्य नहीं है लेकिन विभव शून्य है।

(C) जब $S_1$ बंद होता है,तो संधारित्र $C$ को $V$ विभवांतर तक आवेशित किया जाता है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ होती है।
जब $S_1$ खुला होता है और $S_2$ बंद होता है,तो संधारित्र $C$ और प्रेरक $L$ एक $LC$ दोलन परिपथ बनाते हैं।
ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
परिपथ में अधिकतम धारा $I_{max}$ तब होती है जब सभी विद्युत ऊर्जा चुंबकीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C}{L}V^2$
$I_{max} = V\sqrt{\frac{C}{L}}$
अतः,परिपथ में तात्कालिक धारा इस अधिकतम मान तक पहुँच सकती है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर,प्रेरकीय प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$.
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (0)^2} = R$.
यहाँ $R = 12 \text{ } \Omega$ दिया गया है,इसलिए अनुनाद पर प्रतिबाधा $Z = 12 \text{ } \Omega$ होती है।

(D) $RL$ सर्किट में वोल्टेज और करंट के बीच का फेज एंगल $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$,$R = 80 \Omega$,और $f = 480 \text{ Hz}$ दिया गया है।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = \frac{X_L}{R}$,जिसका अर्थ है $X_L = R$।
$X_L = 2 \pi f L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi f L = R$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{R}{2 \pi f}$।
मान रखने पर: $L = \frac{80}{2 \pi \times 480} = \frac{80}{960 \pi} = \frac{1}{12 \pi} \text{ H}$।

(B) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $v = 200 \sqrt{2} \sin(100 t)$ है।
इसे मानक रूप $v = V_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर, हमें शिखर वोल्टेज $V_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
यहाँ $C = 1 \mu F = 10^{-6} \text{ F}$ दिया गया है, इसलिए $X_C = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ है।
शिखर धारा $I_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{200 \sqrt{2}}{10^4} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ A}$ है।
$A.C.$ एमीटर धारा का रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान मापता है, जो $I_{rms}$ है।
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$।

(D) अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = R$ होती है।
प्रतिरोध के सिरों पर वोल्टेज $V_R = I \times R$ द्वारा दिया जाता है --- $(i)$
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I \times X_L = I \times \omega L$ द्वारा दिया जाता है --- (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V_L}{V_R} = \frac{I \times \omega L}{I \times R}$
$\frac{V_L}{V_R} = \frac{\omega L}{R}$
$L$ के लिए हल करने पर:
$L = \frac{V_L R}{V_R \omega}$

(A) जब $80 \ V$ $d.c.$ लगाया जाता है,तो सोलेनोइड एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है क्योंकि $d.c.$ की आवृत्ति शून्य होती है,इसलिए प्रेरक प्रतिघात $X_L = 2 \pi fL = 0$ होता है।
प्रतिरोध $R = \frac{V}{I_{dc}} = \frac{80 \ V}{0.8 \ A} = 100 \ \Omega$.
जब $80 \ V$ $a.c.$ लगाया जाता है,तो प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I_{ac}} = \frac{80 \ V}{0.4 \ A} = 200 \ \Omega$.
$RL$ परिपथ के लिए प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होती है।
मान रखने पर: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2}$.
$40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} \approx 173.2 \ \Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi fL$,इसलिए $L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{173.2}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{173.2}{314} \approx 0.55 \ H$.
अतः,प्रतिबाधा $200 \ \Omega$ और प्रेरकत्व $0.55 \ H$ है।

(C) परिपथ में अधिकतम धारा प्रवाहित होने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारिता प्रतिघात के बराबर होता है: $X_L = X_C$.
इसका अर्थ है $2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$.
धारिता $C$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $L = 2 \mu H = 2 \times 10^{-6} \text{ H}$,$f = 5 \text{ kHz} = 5 \times 10^3 \text{ Hz}$,और $\pi^2 = 10$.
मान रखने पर: $C = \frac{1}{4 \times 10 \times (5 \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{40 \times 25 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{40 \times 25 \times 2} = \frac{1}{2000} \text{ F}$.
इसे $\frac{1}{x} \text{ F}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2000$ प्राप्त होता है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$,जहाँ $X_L = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L$ बढ़ता है और $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का प्रभाव अधिक होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ होता है,और प्रतिबाधा $Z$ अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाती है,जो प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f_0$ से आगे बढ़ती है,$X_L$ का प्रभाव अधिक हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ बढ़ने लगती है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,अनुनाद पर न्यूनतम होती है और फिर बढ़ती है।

(A) परिपथ $(A)$ में,प्रतिबाधा $Z_A = R = 40 \ \Omega$ है।
परिपथ $(B)$ में,प्रतिबाधा $Z_B = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
चूंकि $Z_B = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \ge R$,इसलिए $Z_B \ge Z_A$ होता है।
r.m.s. धारा $I = V/Z$ द्वारा दी जाती है। चूंकि दोनों परिपथों के लिए वोल्टेज $V$ समान $(220 \ V)$ है,इसलिए $I_B = V/Z_B$ और $I_A = V/Z_A$ होगा।
चूंकि $Z_B \ge Z_A$,इसका अर्थ है कि $I_B \le I_A$। अतः,परिपथ $(B)$ में r.m.s. धारा कभी भी परिपथ $(A)$ की धारा से अधिक नहीं हो सकती।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f_r$ का सूत्र है:
$f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
अनुनादी आवृत्ति को समान रखने के लिए,$LC$ का गुणनफल स्थिर रहना चाहिए:
$L_1 C_1 = L_2 C_2$
दिया गया है कि $L_1 = L$,$C_1 = C$,और $C_2 = 3C$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$L \cdot C = L_2 \cdot (3C)$
$L_2 = \frac{L \cdot C}{3C}$
$L_2 = \frac{L}{3}$
अतः,प्रेरकत्व को बदलकर $\frac{L}{3}$ किया जाना चाहिए।

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र और $4 \Omega$ प्रतिरोध वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ में $6 \text{ V}$ की बैटरी के साथ समानांतर में $1 \Omega, 2 \Omega$ और $3 \Omega$ के तीन प्रतिरोध जुड़े हुए हैं।
बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} + \frac{V}{R_3} = \frac{6}{1} + \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 6 + 3 + 2 = 11 \text{ A}$.
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V = 0.5 \mu\text{F} \times 6 \text{ V} = 3 \mu\text{C}$ है।
अतः,सही उत्तर $11 \text{ A}$ और $3 \mu\text{C}$ है।

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $f \propto \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
प्रारंभिक मान $L_1 = L$ और $C_1 = C$ लेने पर,प्रारंभिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
नए मान $L_2 = 3L$ और $C_2 = C + 3C = 4C$ हैं।
नई अनुनादी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार होगी: $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_2 C_2}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(4C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{12LC}}$.
दोनों आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2 \pi \sqrt{12LC}}}{\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}} = \sqrt{\frac{LC}{12LC}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$.
अतः,$f' = \frac{f}{2 \sqrt{3}}$.

(D) $LR$ परिपथ में संचित ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{2} LI^2$ ...$(i)$
दिया गया है कि धारा को आधा कर दिया जाता है,इसलिए नई धारा $I^{\prime}$ होगी:
$I^{\prime} = \frac{I}{2}$
इस मान को ऊर्जा के सूत्र में रखने पर,नई ऊर्जा $E^{\prime}$ होगी:
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L (I^{\prime})^2$
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L \left(\frac{I}{2}\right)^2$
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L \left(\frac{I^2}{4}\right)$
$E^{\prime} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} LI^2\right)$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E^{\prime} = \frac{1}{4} E$
अतः,संचित ऊर्जा मूल ऊर्जा की $(1/4)$ गुना हो जाएगी।

(D) कुंडली का प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L} = 2 \pi f L$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
दिया गया है कि प्रारंभिक प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L1} = R = 2 \pi f L$ है।
यदि प्रेरकत्व को तीन गुना $(L' = 3L)$ और आवृत्ति को तीन गुना $(f' = 3f)$ कर दिया जाए,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L2}$ होगा:
$X_{L2} = 2 \pi f' L' = 2 \pi (3f) (3L) = 9 (2 \pi f L)$.
प्रारंभिक मान $R = 2 \pi f L$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$X_{L2} = 9R$.

(D) श्रेणी $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
जब प्रेरकत्व को $L' = 3L$ और धारिता को $C' = 6C$ में बदल दिया जाता है,तो नई अनुनादी आवृत्ति $f'$ होगी:
$f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L' C'}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(6C)}}$
$f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{18 LC}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{9 \cdot 2 \cdot LC}}$
$f' = \frac{1}{2 \pi \cdot 3 \sqrt{2} \sqrt{LC}}$
चूंकि $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = \frac{f}{3 \sqrt{2}}$

(B) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $R = \frac{X_L}{2}$,इसलिए $X_L = 2R$ है।
दिया गया है $R = 2X_C$,इसलिए $X_C = \frac{R}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (2R - \frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{3R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{9R^2}{4}} = \sqrt{\frac{13R^2}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} R$.
कलान्तर $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{2R - R/2}{R} = \frac{3R/2}{R} = \frac{3}{2}$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(\frac{3}{2})$.

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I$ का सूत्र $I = \frac{E}{Z} = \frac{E}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ है।
यहाँ,$X_L = 2 \pi f L$ और $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
दिए गए वोल्टेज $E$ और प्रतिरोध $R$ के लिए धारा $I$ को स्थिर रखने हेतु,प्रतिबाधा $Z$ को स्थिर रहना चाहिए।
इसके लिए प्रतिघात $X_L$ और $X_C$ में कोई परिवर्तन नहीं होना चाहिए।
यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना $(f' = 2f)$ किया जाता है,तो $X_L$ को स्थिर रखने के लिए: $2 \pi (2f) L' = 2 \pi f L \implies L' = \frac{L}{2}$।
इसी प्रकार,$X_C$ को स्थिर रखने के लिए: $\frac{1}{2 \pi (2f) C'} = \frac{1}{2 \pi f C} \implies C' = \frac{C}{2}$।
अतः,$L$ और $C$ दोनों को एक साथ आधा किया जाना चाहिए।

(B) दिया गया है: $R = X_C = \frac{1}{\omega C}$.
प्रारंभिक प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$.
प्रारंभिक शिखर धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{2} R}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{V_0}{R} = \sqrt{2} I_0$.
जब कोणीय आवृत्ति $\omega' = \frac{\omega}{\sqrt{3}}$ हो जाती है,तो नया धारिता प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega / \sqrt{3}) C} = \sqrt{3} \left(\frac{1}{\omega C}\right) = \sqrt{3} R$.
नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2} = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$.
नई शिखर धारा $I_0' = \frac{V_0}{Z'} = \frac{V_0}{2R} = \frac{1}{2} \left(\frac{V_0}{R}\right) = \frac{1}{2} (\sqrt{2} I_0) = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = L\omega = 2\pi fL$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{2\pi fC}$ होता है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L$ रैखिक रूप से बढ़ता है जबकि $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का मान अधिक होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है,जो इसका न्यूनतम मान है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f_0$ से आगे बढ़ती है,$X_L$ का मान प्रभावी हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ बढ़ने लगती है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,अनुनाद पर न्यूनतम हो जाती है और फिर बढ़ती है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$।
दिया गया है $\phi = 45^{\circ}$,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$।
अतः,$\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} = 1$।
$\omega L - \frac{1}{\omega C} = R$।
$\omega L = R + \frac{1}{\omega C} = \frac{R \omega C + 1}{\omega C}$।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,हमारे पास है $L = \frac{R \omega C + 1}{\omega^2 C} = \frac{R(2 \pi f)C + 1}{(2 \pi f)^2 C}$।
$L = \frac{1 + 2 \pi fCR}{4 \pi^2 f^2 C}$।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ है।
दिया गया है: $L = \frac{300}{\pi} \text{ mH} = \frac{0.3}{\pi} \text{ H}$,$C = \frac{1}{\pi} \text{ mF} = \frac{1}{\pi} \times 10^{-3} \text{ F}$,$R = 20 \ \Omega$,$f = 50 \text{ Hz}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100 \pi \text{ rad/s}$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \pi \times \frac{0.3}{\pi} = 30 \ \Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times \frac{1}{\pi} \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \ \Omega$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \phi = \frac{30 - 10}{20} = \frac{20}{20} = 1$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1)$.

(A) $d.c.$ आपूर्ति के लिए,प्रेरक एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है:
$R = \frac{V}{I} = \frac{100 \ V}{1 \ A} = 100 \ \Omega$.
$a.c.$ आपूर्ति के लिए,प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है:
$Z = \frac{V}{I} = \frac{100 \ V}{0.5 \ A} = 200 \ \Omega$.
$LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $X_L = 2 \pi f L$.
मान रखने पर: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \ \Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$,इसलिए $100\sqrt{3} = 2 \pi (50) L$.
$100\sqrt{3} = 100 \pi L \Rightarrow L = \frac{\sqrt{3}}{\pi} \ H$.

(C) अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $C = \frac{1}{\omega^2 L}$।
श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों में समान होती है।
प्रतिरोध के सिरों पर वोल्टेज $V_R = IR$ है,इसलिए $I = \frac{V_R}{R}$।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I X_L = I \omega L$ है।
$V_L$ के व्यंजक में $I$ का मान रखने पर,हमें $V_L = \left( \frac{V_R}{R} \right) \omega L$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए हल करने पर,हमें $L = \frac{V_L R}{V_R \omega}$ प्राप्त होता है।
अब,$C$ के व्यंजक में $L$ का मान रखने पर:
$C = \frac{1}{\omega^2 \left( \frac{V_L R}{V_R \omega} \right)} = \frac{V_R \omega}{V_L R \omega^2} = \frac{V_R}{V_L R \omega}$।

(C) $d.c.$ स्रोत के लिए,प्रेरक एक साधारण प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है क्योंकि आवृत्ति शून्य होती है। अतः,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{12 \ V}{4 \ A} = 3 \ \Omega$ है।
$a.c.$ स्रोत के लिए,प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I} = \frac{12 \ V}{2.4 \ A} = 5 \ \Omega$ है।
$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होती है,जहाँ $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$Z^2 = R^2 + X_L^2$,इसलिए $X_L^2 = Z^2 - R^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$।
अतः,$X_L = 4 \ \Omega$।
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$,इसलिए $L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{4}{2 \pi \times 50} = \frac{4}{100 \pi} = \frac{4}{\pi} \times 10^{-2} \ H$ प्राप्त होता है।

(B) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi v L - \frac{1}{2 \pi v C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बहुत कम आवृत्तियों $(v \to 0)$ पर,धारिता प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2 \pi v C}$ अनंत की ओर जाता है,इसलिए $Z \to \infty$ होता है।
अनुनादी आवृत्ति $v_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारिता प्रतिघात $X_C$ के बराबर हो जाता है,जिससे कुल प्रतिघात शून्य हो जाता है। इस प्रकार,$Z = R$ होता है,जो प्रतिबाधा का न्यूनतम मान है।
अनुनादी आवृत्ति $(v > v_r)$ से अधिक आवृत्तियों के लिए,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi v L$ प्रभावी हो जाता है,और जैसे-जैसे $v$ बढ़ता है,$Z$ बढ़ता है।
इसलिए,$Z$ बनाम $v$ का ग्राफ एक उच्च मान से शुरू होता है,$v_r$ पर न्यूनतम मान $R$ तक घटता है,और फिर से बढ़ता है। इस व्यवहार को ग्राफ $(B)$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) संधारित्र का धारिता प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f$ $A.C.$ स्रोत की आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
जब धारिता $C$ को कम किया जाता है,तो धारिता प्रतिघात $X_{C}$ बढ़ जाता है।
इसी प्रकार,जब आवृत्ति $f$ को कम किया जाता है,तो धारिता प्रतिघात $X_{C}$ बढ़ जाता है।
चूंकि बल्ब संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है,परिपथ का कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों स्थितियों में $X_{C}$ के बढ़ने से,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
$A.C.$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है।
चूंकि प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है,इसलिए बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
बल्ब की चमक व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे धारा $I$ कम होती है,व्यय होने वाली शक्ति और बल्ब की चमक दोनों स्थितियों में कम हो जाती है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों में समान होती है। प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_R$ धारा के साथ समान कला में होता है। प्रेरक $V_L$ के सिरों पर वोल्टेज धारा से $90^\circ$ आगे होता है,और संधारित्र $V_C$ के सिरों पर वोल्टेज धारा से $90^\circ$ पीछे होता है।
इस प्रकार,$V_L$ और $V_C$ विपरीत दिशाओं में हैं। शुद्ध प्रतिक्रियाशील वोल्टेज $(V_L - V_C)$ है।
फेजर आरेख का उपयोग करते हुए,परिणामी वोल्टेज $V$,$V_R$ और $(V_L - V_C)$ का सदिश योग है,जो एक-दूसरे के लंबवत हैं।
पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: $V^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$.

(D) दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 2 \text{ mH} = 2 \times 10^{-3} \text{ H}$
धारिता $C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$
प्रतिरोध $R = 50 \Omega$
अनुनाद (resonance) के लिए शर्त: प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ बराबर हैं।
$X_L = X_C = \omega L = \frac{1}{\omega C}$
इससे,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{40 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{2 \times 10^{-4}} = 5000 \text{ rad/s}$.
अब,प्रतिघात $X_L = \omega L$ की गणना करें:
$X_L = 5000 \times 2 \times 10^{-3} = 10 \Omega$.
अतः,उनमें से किसी एक का प्रतिघात $10 \Omega$ होगा।

(C) दिए गए समीकरण $V = 100 \sin(100t) \text{ V}$ और $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ हैं।
मानक रूपों $V = V_0 \sin(\omega t)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_0 = 100 \text{ V}$
$I_0 = 100 \text{ mA} = 100 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.1 \text{ A}$
कलांतर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
$A$.$C$. परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
$P = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos \phi = \frac{V_0 I_0}{2} \cos \phi$.
मान रखने पर:
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
$P = \frac{10}{2} \times \frac{1}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(D) प्रत्यावर्ती धारा के लिए दिया गया समीकरण $I = 100 \sin(200 \pi t)$ है।
इसे मानक रूप $I = I_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,शिखर मान $I_0 = 100 \ A$ प्राप्त होता है।
धारा अपना शिखर मान तब प्राप्त करती है जब $\sin(200 \pi t) = 1$ हो।
यह तब होता है जब साइन फलन का कोण $\frac{\pi}{2}$ के बराबर हो।
अतः,$200 \pi t = \frac{\pi}{2}$।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $200 t = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t = \frac{1}{2 \times 200} = \frac{1}{400} \ s$।

(C) एक प्रतिरोधक युक्त $A$.$C$. परिपथ में खपत की गई शक्ति का सूत्र है:
$P = I_{rms}^2 R$
दिया गया है:
$P = 108 \text{ W}$
$I_{rms} = 3 \text{ A}$
सूत्र में मान रखने पर:
$108 = (3)^2 \times R$
$108 = 9 \times R$
$R = \frac{108}{9} = 12 \ \Omega$
अतः,परिपथ में प्रतिरोध $12 \ \Omega$ है।

(D) दिए गए समीकरण $E = 200 \sin(50t) \text{ V}$ और $I = 100 \sin(50t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ हैं।
इन समीकरणों की तुलना मानक रूपों $E = E_0 \sin(\omega t)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ से करने पर:
$E_0 = 200 \text{ V}$
$I_0 = 100 \text{ mA} = 0.1 \text{ A}$
कलांतर (Phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = E_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ होता है।
मान रखने पर:
$P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{I_0}{\sqrt{2}} \right) \cos \phi = \frac{E_0 I_0}{2} \cos 60^{\circ}$.
$P = \frac{200 \times 0.1}{2} \times 0.5 = 10 \times 0.5 = 5 \text{ W}$.

(A) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 42 \, mH = 42 \times 10^{-3} \, H$, वोल्टेज $V_{rms} = 200 \, V$, आवृत्ति $f = 50 \, Hz$.
सबसे पहले, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना सूत्र $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ का उपयोग करके करें।
मान रखने पर: $X_L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 42 \times 10^{-3} \, \Omega$.
$X_L = 2 \times 22 \times 50 \times 6 \times 10^{-3} \, \Omega = 4400 \times 6 \times 10^{-3} \, \Omega = 13.2 \, \Omega$.
r.m.s. धारा $I_{rms}$ का मान $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_L}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I_{rms} = \frac{200}{13.2} \approx 15.15 \, A$.

(A) प्रत्यावर्ती धारा का दिया गया समीकरण $I = I_0 \sin(\omega t)$ है।
इसे दिए गए समीकरण $I = 100 \sin(50 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर, हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $\omega = 2 \pi f$, जहाँ $f$ आवृत्ति है।
अतः, $2 \pi f = 50 \pi$, जिससे $f = 25 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि धारा एक सेकंड में $25$ चक्र पूरे करती है।
साइन तरंग के एक पूर्ण चक्र में, धारा दो बार शून्य होती है (शुरुआत/अंत में और आधे चक्र के बिंदु पर)।
इसलिए, $25$ चक्रों में, धारा एक सेकंड में $25 \times 2 = 50$ बार शून्य होगी।

(C) $1$. आदर्श प्रेरक:
- एक आदर्श प्रेरक में वोल्टेज और धारा $90^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं,जिसमें धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ पीछे रहती है।
- तात्कालिक शक्ति $p(t) = v(t) \times i(t)$ द्वारा दी जाती है।
- एक पूर्ण चक्र के दौरान,धनात्मक और ऋणात्मक शक्ति मान एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप औसत शक्ति शून्य होती है।
$2$. आदर्श संधारित्र:
- एक आदर्श संधारित्र में भी वोल्टेज और धारा $90^{\circ}$ के कलांतर पर होते हैं,लेकिन यहाँ धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे रहती है।
- प्रेरक के मामले की तरह ही,तात्कालिक शक्ति धनात्मक और ऋणात्मक के बीच बदलती रहती है,जिसके परिणामस्वरूप एक पूर्ण चक्र पर औसत शक्ति शून्य होती है।

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $X_L = 2R$,इसलिए $Z^2 = R^2 + (2R)^2 = R^2 + 4R^2 = 5R^2$ होगा।
$AC$ परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है,जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ शक्ति गुणांक (power factor) है।
चूँकि $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2}Z}$ है,इसलिए शक्ति $P = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \times \frac{E_0}{\sqrt{2}Z} \times \frac{R}{Z} = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2}$ होगी।
$Z^2 = 5R^2$ का मान रखने पर,हमें $P = \frac{E_0^2 R}{2(5R^2)} = \frac{E_0^2 R}{10 R^2} = \frac{E_0^2}{10 R}$ प्राप्त होता है।

(C) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,शक्ति गुणांक (power factor) $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ है।
$rms$ धारा $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} Z}$ है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2} \dots (i)$.
दिया गया है कि प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = R$,इसलिए $L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ होगी:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$.
समीकरण $(i)$ में $Z^2 = 2 R^2$ रखने पर:
$P = \frac{E_0^2 R}{2 (2 R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4 R^2} = \frac{E_0^2}{4 R}$.

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद (resonance) की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ बराबर होते हैं,अर्थात $X_L = X_C$।
इसलिए,कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 0$ होता है।
कलांतर $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{0}{R} = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$\phi = 0$,जिसका अर्थ है कि अनुनाद की स्थिति में धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं।

(D) एक $A.C.$ परिपथ जिसमें एक कुंडली (प्रेरकत्व और प्रतिरोध) जुड़ी हो,उसमें वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$ का सूत्र है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
दिया गया है कि प्रतिघात $X_L = \sqrt{3} R$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\tan \phi = \frac{\sqrt{3} R}{R} = \sqrt{3}$.
अतः,कलान्तर $\phi = \tan^{-1}(\sqrt{3})$ होगा।

(D) वोल्टेज को अधिकतम होने के लिए,साइन फलन का मान $1$ होना चाहिए।
$\sin \left(\omega t+\frac{\pi}{3}\right) = 1$
चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,इसलिए:
$\omega t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$
$\omega t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$
$\omega t = \frac{\pi}{6}$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ रखने पर:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right) t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi}$
$t = \frac{T}{12}$

(A) धारितीय प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि धारिता $(C)$ बढ़ाई जाती है,तो धारितीय प्रतिघात $(X_{C})$ कम हो जाएगा।
परिपथ की कुल प्रतिबाधा $(Z)$,$Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे $X_{C}$ घटता है,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $(Z)$ कम हो जाती है।
$A.C.$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $(I = V/Z)$ बढ़ जाएगी।
चूंकि लैंप की चमक व्यय होने वाली शक्ति $(P = I^2 R)$ पर निर्भर करती है,इसलिए धारा में वृद्धि होने से लैंप की चमक बढ़ जाएगी।

(C) दिए गए समीकरण $e = 160 \sin(100t) \text{ V}$ और $i = 250 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ हैं।
इन्हें मानक रूपों $e = e_0 \sin(\omega t)$ और $i = i_0 \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
पीक वोल्टेज $e_0 = 160 \text{ V}$।
पीक धारा $i_0 = 250 \text{ mA} = 250 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.25 \text{ A}$।
कलांतर (Phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi) = \frac{e_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{i_0}{\sqrt{2}} \cos(\phi) = \frac{e_0 i_0}{2} \cos(\phi)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$P_{avg} = \frac{160 \times 0.25}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
$P_{avg} = \frac{40}{2} \times \frac{1}{2} = 20 \times 0.5 = 10 \text{ W}$।

(D) $1$. फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,बदलते चुंबकीय क्षेत्र द्वारा चालकों के भीतर विद्युत धारा के लूप प्रेरित होते हैं,जिन्हें एडी करंट कहा जाता है।
$2$. जब ट्रांसफार्मर में ठोस धातु के कोर का उपयोग किया जाता है,तो बदलता चुंबकीय फ्लक्स बड़े एडी करंट को प्रेरित करता है,जिससे ऊष्मा के रूप में महत्वपूर्ण ऊर्जा हानि होती है।
$3$. कोर को लैमिनेट करके (धातु की पतली,इंसुलेटेड शीट का उपयोग करके),इन एडी करंट के मार्ग को प्रतिबंधित किया जाता है,जिससे उनकी तीव्रता काफी कम हो जाती है।
$4$. इसलिए,एडी करंट से होने वाली हानि को कम करने और उपकरण की समग्र दक्षता में सुधार करने के लिए कोर को लैमिनेट किया जाता है।

(B) दिया गया है: दक्षता $\eta = 90 \% = 0.9$, इनपुट वोल्टेज $V_p = 200 \ V$, इनपुट पावर $P_{in} = 3 \ kW = 3000 \ W$, द्वितीयक धारा $I_s = 6 \ A$ है।
सबसे पहले, इनपुट पावर सूत्र का उपयोग करके प्राथमिक धारा $I_p$ की गणना करें: $P_{in} = V_p \times I_p$.
$3000 \ W = 200 \ V \times I_p \implies I_p = \frac{3000}{200} = 15 \ A$.
इसके बाद, दक्षता का उपयोग करके आउटपुट पावर $P_{out}$ की गणना करें: $P_{out} = \eta \times P_{in}$.
$P_{out} = 0.9 \times 3000 \ W = 2700 \ W$.
अंत में, आउटपुट पावर सूत्र का उपयोग करके द्वितीयक वोल्टेज $V_s$ की गणना करें: $P_{out} = V_s \times I_s$.
$2700 \ W = V_s \times 6 \ A \implies V_s = \frac{2700}{6} = 450 \ V$.
अतः, द्वितीयक वोल्टेज $450 \ V$ और प्राथमिक धारा $15 \ A$ है।

(C) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,प्राथमिक कुंडली पर इनपुट शक्ति,द्वितीयक कुंडली पर आउटपुट शक्ति के बराबर होती है।
दी गई शक्ति $P = 6.6 \ kW = 6.6 \times 10^3 \ W$.
द्वितीयक वोल्टेज $V_s = 4.4 \ kV = 4.4 \times 10^3 \ V$.
चूंकि एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए $P = V_s \times I_s$ होता है,
$I_s = \frac{P}{V_s} = \frac{6.6 \times 10^3}{4.4 \times 10^3} \ A$.
$I_s = \frac{6.6}{4.4} \ A = 1.5 \ A$.
अतः,द्वितीयक कुंडली की धारा रेटिंग $1.5 \ A$ है।

(C) दिया गया है: प्राथमिक फेरे $N_p = 120$, प्राथमिक धारा $I_p = 5 \text{ A}$, इनपुट पावर $P_{in} = 1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$, द्वितीयक वोल्टेज $V_s = 560 \text{ V}$।
सबसे पहले, पावर सूत्र $P = V_p I_p$ का उपयोग करके प्राथमिक वोल्टेज $V_p$ की गणना करें:
$V_p = \frac{P_{in}}{I_p} = \frac{1000 \text{ W}}{5 \text{ A}} = 200 \text{ V}$।
ट्रांसफार्मर के फेरों के अनुपात के सूत्र $\frac{N_s}{N_p} = \frac{V_s}{V_p}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{N_s}{120} = \frac{560}{200}$।
$N_s$ के लिए हल करने पर:
$N_s = \frac{120 \times 560}{200} = \frac{120 \times 56}{20} = 6 \times 56 = 336$।
अतः, द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या $336$ है।

(C) एक आदर्श ट्रांसफार्मर में,प्रति फेरा प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ प्राथमिक और द्वितीयक दोनों कुंडलियों के लिए समान होता है।
दिया गया है:
प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_p = 1000$
द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_s = 3000$
प्राथमिक कुंडली को दिया गया वोल्टेज,$V_p = 80 \ V$
प्रति फेरा विभवांतर $\frac{V}{N}$ अनुपात द्वारा प्राप्त किया जाता है।
प्राथमिक कुंडली के लिए,प्रति फेरा विभवांतर $\frac{V_p}{N_p} = \frac{80 \ V}{1000} = 0.08 \ V$ है।
चूंकि एक आदर्श ट्रांसफार्मर में दोनों कुंडलियों के लिए प्रति फेरा फ्लक्स समान होता है,इसलिए द्वितीयक कुंडली में प्रति फेरा विभवांतर,प्राथमिक कुंडली के प्रति फेरा विभवांतर के बराबर होता है।
अतः,द्वितीयक कुंडली के प्रति फेरे का विभवांतर $0.08 \ V$ है।

(D) एक ट्रांसफार्मर में ऊर्जा का ह्रास विभिन्न कारकों के कारण होता है, जिनमें से एक लोहे के कोर में उत्पन्न होने वाली भंवर धाराएं (eddy currents) हैं।
जब कोर से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बदलता है, तो यह कोर की सामग्री के भीतर परिसंचारी धाराएं (भंवर धाराएं) प्रेरित करता है, जिससे महत्वपूर्ण ऊष्मा का ह्रास ($I^2R$ हानि) होता है।
कोर को लैमिनेट करके—यानी एक ठोस ब्लॉक के बजाय पतली, इंसुलेटेड धातु की शीट का उपयोग करके—इन भंवर धाराओं के लिए मार्ग को सीमित कर दिया जाता है।
प्रतिरोध में यह वृद्धि भंवर धाराओं के परिमाण को काफी कम कर देती है, जिससे ऊष्मा के रूप में होने वाली ऊर्जा की हानि न्यूनतम हो जाती है।

(D) ट्रांसफार्मर के लिए प्रतिबाधा मिलान (impedance matching) की स्थिति इस संबंध द्वारा दी जाती है: $\frac{Z_p}{Z_s} = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2$.
दिया गया है: प्राथमिक प्रतिबाधा $Z_p = 8000 \ \Omega$ और द्वितीयक प्रतिबाधा $Z_s = 8 \ \Omega$.
मान रखने पर: $\frac{8000}{8} = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2$.
$1000 = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{N_p}{N_s} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$.
चूंकि $\sqrt{10} \approx 3.16$,इसलिए $\frac{N_p}{N_s} \approx 10 \times 3.16 = 31.6 \approx 32$.
अतः,प्राथमिक और द्वितीयक फेरों का अनुपात $32: 1$ है।