MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $MANAMA$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M$ બે વાર,$A$ ત્રણ વાર અને $N$ એક વાર આવે છે.
પ્રથમ,$M$ સિવાયના અક્ષરો $A, A, A, N$ ને ગોઠવતા.
આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{3!1!} = 4$ છે.
આ $4$ અક્ષરો $5$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે જ્યાં $2$ $M$ ને એવી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી તેઓ પાસપાસે ન આવે.
$5$ માંથી $2$ ખાલી જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{2} = 10$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $4 \times 10 = 40$ છે.

(A) કોઈ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય. આપેલા તમામ અંકોનો સરવાળો $0+1+2+3+4+5 = 15$ છે. આપણે $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની હોવાથી,આપણે એક અંક એવો બાદ કરવો પડે કે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
કિસ્સો $1$: $0$ ને બાદ કરો. બાકીના અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. સરવાળો $15$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: $3$ ને બાદ કરો. બાકીના અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. સરવાળો $12$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની રીતો $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ છે.
કુલ રીતો $= 120 + 96 = 216$.

(A) ધારો કે રંગો $R, B, G$ છે. $n$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચક્ર આલેખ $C_n$ ને $k$ રંગો વડે એવી રીતે રંગવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ બે પાસપાસેના શિરોબિંદુઓ સમાન રંગના ન હોય,તે ક્રોમેટિક બહુપદી $P(C_n, k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 5$ (વ્યક્તિઓની સંખ્યા) અને $k = 3$ (રંગોની સંખ્યા).
કિંમતો મૂકતા:
$P(C_5, 3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$
$= 2^5 - 2$
$= 32 - 2$
$= 30$
આમ,ટોપીઓ વહેંચવાની કુલ $30$ રીતો છે.

(A) દરેક $3$ વ્યક્તિઓ સ્વતંત્ર રીતે $3$ મકાનોમાંથી કોઈપણ એક પસંદ કરી શકે છે.
$3$ વ્યક્તિઓ દ્વારા મકાન પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= 3 \times 3 \times 3 = 27$.
ત્રણેય વ્યક્તિઓ એક જ મકાન માટે અરજી કરે તે માટે,તેઓએ કાં તો મકાન $1$,અથવા મકાન $2$,અથવા મકાન $3$ પસંદ કરવું પડે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 3$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$.

(A) આપેલ છે કે,બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} \dots (i)$
$A$ અથવા $B$ બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{1}{2} \dots (ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે બરાબર એક ઘટના બનવાની સંભાવના $P(A \cup B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} - P(A \cap B) = \frac{2}{5}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}$
$P(A \cap B) = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$

(C) ધારો કે સમાચારપત્રોની સંખ્યા $N$ છે.
વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કરવામાં આવતા કુલ વાંચન સત્રો $= 300 \times 5 = 1500$.
દરેક સમાચારપત્ર $60$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાંચવામાં આવતું હોવાથી,કુલ વાંચન સત્રો $60 \times N$ પણ થાય.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$60 \times N = 1500$
$N = \frac{1500}{60} = 25$.
આમ,સમાચારપત્રોની સંખ્યા $25$ છે.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $3 + 4 + 2 = 9$ છે.
$9$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
ત્રણ અલગ-અલગ રંગના દડા મેળવવા માટે,આપણે એક લાલ,એક વાદળી અને એક લીલો દડો પસંદ કરવો પડે.
દરેક રંગનો એક દડો પસંદ કરવાની રીતો $^{3}C_{1} \times ^{4}C_{1} \times ^{2}C_{1} = 3 \times 4 \times 2 = 24$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ છે.

(C) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ઉપરની સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો $9$ હોય,જેનો અર્થ છે કે સરવાળો $9, 10, 11,$ અથવા $12$ હોઈ શકે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે:
સરવાળો $= 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$
સરવાળો $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)$
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5)$
સરવાળો $= 12: (6, 6)$
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ છે.

(B) આપેલ છે કે ઘટનાઓ $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
$A$ ની વિરુદ્ધમાં સંભાવના $8:3$ છે,તેથી $P(A) = \frac{3}{8+3} = \frac{3}{11}$.
$B$ ની વિરુદ્ધમાં સંભાવના $5:2$ છે,તેથી $P(B) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$.
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$ હોવાથી,$P(C) = 1 - (\frac{3}{11} + \frac{2}{7}) = 1 - (\frac{21+22}{77}) = 1 - \frac{43}{77} = \frac{34}{77}$.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં સંભાવના $\frac{P(C^c)}{P(C)} = \frac{1 - P(C)}{P(C)} = \frac{1 - 34/77}{34/77} = \frac{43/77}{34/77} = \frac{43}{34}$ છે.
$C$ ની વિરુદ્ધમાં સંભાવના $43:17k$ આપેલ છે,તેથી $\frac{43}{17k} = \frac{43}{34}$.
આમ,$17k = 34$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.

(B) ધારો કે $H$ એ પતિની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $W$ એ પત્નીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(H) = \frac{1}{7}$ અને $P(W) = \frac{1}{5}$.
પતિની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(H') = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ છે.
પત્નીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(W') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
માત્ર એકની જ પસંદગી થાય તેની સંભાવના $P(\text{માત્ર } H) + P(\text{માત્ર } W)$ દ્વારા મળે છે.
$P(\text{માત્ર } H) = P(H) \times P(W') = \frac{1}{7} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{35}$.
$P(\text{માત્ર } W) = P(W) \times P(H') = \frac{1}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{35}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ છે.

(D) ધારો કે $A, B, C,$ અને $D$ એ ઘટનાઓ છે કે ચાર વ્યક્તિઓ લક્ષ્યને હિટ કરે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}, P(D) = \frac{1}{5}$ છે.
લક્ષ્ય કોઈના દ્વારા હિટ ન થાય તેની સંભાવના એ છે કે ચારેય વ્યક્તિઓ લક્ષ્યને ચૂકી જાય.
$P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(D') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ લક્ષ્યને હિટ ન કરે તેની સંભાવના:
$P(\text{કોઈ હિટ ન કરે}) = P(A') \times P(B') \times P(C') \times P(D') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
લક્ષ્ય ઓછામાં ઓછી એક વાર હિટ થાય તેની સંભાવના:
$P(\text{લક્ષ્ય હિટ થાય}) = 1 - P(\text{કોઈ હિટ ન કરે}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) આપેલ છે: $P(A) = \frac{2}{5}$ અને $P(B) = \frac{4}{7}$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે જેમાંથી બરાબર એકની પસંદગી થાય.
આ માટેનું સૂત્ર છે: $P(\text{બરાબર એક}) = P(A \cap B') + P(A' \cap B)$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B') = P(A) \times P(B')$ અને $P(A' \cap B) = P(A') \times P(B)$.
અહીં,$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ અને $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(\text{બરાબર એક}) = \left(\frac{2}{5} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{5} \times \frac{4}{7}\right)$
$= \frac{6}{35} + \frac{12}{35}$
$= \frac{18}{35}$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ ના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $2:3:7$ છે. ધારો કે સામાન્ય ગુણક $x$ છે.
$\angle A = 2x, \angle B = 3x, \angle C = 7x$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2x + 3x + 7x = 180^{\circ} \implies 12x = 180^{\circ} \implies x = 15^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 45^{\circ}, \angle C = 105^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 105^{\circ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $\sin 105^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{1/\sqrt{2}} = \frac{c}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})}$.
$\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા,$\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{b}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}+1}$.
આમ,$a:b:c = \sqrt{2}: 2: (\sqrt{3}+1)$.

(C) આપેલ છે: $m \angle A = 45^{\circ}, m \angle B = 75^{\circ}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a = k \sin 45^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$,$b = k \sin 75^{\circ} = \frac{k(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}}$,અને $c = k \sin 60^{\circ} = \frac{k\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$a + c\sqrt{2} = \frac{k}{\sqrt{2}} + \frac{k\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{k(1 + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$.
$b$ ની કિંમત પરથી,$2b = \frac{k(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}}$.
આમ,$a + c\sqrt{2} = 2b$.

(C) આપેલ છે કે ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $A+C = 2B$. $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$ મળે,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,તેથી $\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C}$.
આથી $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$C = 45^{\circ}$.
અંતે,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $5x, x, 6x$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$5x + x + 6x = 180^{\circ}$,તેથી $12x = 180^{\circ}$,એટલે કે $x = 15^{\circ}$.
ખૂણાઓ $75^{\circ}, 15^{\circ}, 90^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin 75^{\circ}} = \frac{b}{\sin 15^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}} = k$.
સૌથી નાની બાજુ $b$ છે અને સૌથી મોટી બાજુ $c$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{b}{c} = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}{1} = \sqrt{3}-1 : 2\sqrt{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A+B+C = \pi$ થાય છે.
તેથી,$A+C = \pi - B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2 ac \sin \left(\frac{(A+C)-B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{(\pi-B)-B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{\pi-2B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{\pi}{2} - B\right)$
$= 2 ac \cos B$
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 2 ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$
$= a^2+c^2-b^2$.

(B) ધારો કે $a, b, c$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ છે. અહીં,$a = 3$,$b = 4$,અને $c = \sqrt{23}$ છે.
કોટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$,$\cot B = \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$,અને $\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\frac{\cot A+\cot C}{\cot B} = \frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}}{\frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}} = \frac{b^2+c^2-a^2+a^2+b^2-c^2}{a^2+c^2-b^2} = \frac{2b^2}{a^2+c^2-b^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $a^2 = 9$,$b^2 = 16$,$c^2 = 23$.
$\frac{2(16)}{9+23-16} = \frac{32}{16} = 2$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a=3$,$b=5$,અને $c=7$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $c=7$ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $\angle C$ થશે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\angle C = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

(C) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બાજુ $a$ શોધીએ છીએ:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = 3^2 + 8^2 - 2(3)(8) \cos 60^{\circ}$
$a^2 = 9 + 64 - 48 \times \frac{1}{2}$
$a^2 = 73 - 24 = 49$
$a = 7$
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પરિત્રિજ્યા $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{a}{2 \sin A}$
$R = \frac{7}{2 \sin 60^{\circ}}$
$R = \frac{7}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$R = \frac{7}{\sqrt{3}}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a+b) \cos C + (b+c) \cos A + (c+a) \cos B = 72$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $a \cos C + b \cos C + b \cos A + c \cos A + c \cos B + a \cos B = 72$
પદોને ગોઠવતા: $(a \cos C + c \cos A) + (b \cos A + a \cos B) + (b \cos C + c \cos B) = 72$
પ્રક્ષેપ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $b = c \cos A + a \cos C$,$c = a \cos B + b \cos A$,અને $a = b \cos C + c \cos B$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $b + c + a = 72$
$a = 18$ અને $b = 24$ આપેલ છે: $18 + 24 + c = 72$ $\Rightarrow 42 + c = 72$ $\Rightarrow c = 30$
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{72}{2} = 36$
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{36(36-18)(36-24)(36-30)} = \sqrt{36 \times 18 \times 12 \times 6}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{36 \times 1296} = 6 \times 36 = 216 \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) ધારો કે બાજુઓ $a = 7$,$b = 4\sqrt{3}$,અને $c = \sqrt{13}$ છે.
$c$ એ સૌથી નાની બાજુ હોવાથી,સૌથી નાનો ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{7^2 + (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 7 \times 4\sqrt{3}}$.
$\cos C = \frac{49 + 48 - 13}{56\sqrt{3}} = \frac{84}{56\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$C = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(\cos p - 1) x^2 + (\cos p) x + \sin p = 0$ છે.
સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac \geq 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$a = \cos p - 1$,$b = \cos p$,અને $c = \sin p$ છે.
વિવેચકની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$(\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$
અહીં $\cos p - 1 \neq 0$ હોવાથી,$\cos p \neq 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $p \neq 2n\pi$.
$p \in (0, \pi)$ માટે,$\sin p > 0$ અને $\cos p - 1 < 0$ છે.
આમ,$p \in (0, \pi)$ એ વાસ્તવિક બીજ માટેની શરતનું પાલન કરે છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2-px+r=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta=p$ $(i)$ અને $\alpha\beta=r$.
આપેલ છે કે $\frac{\alpha}{2}$ અને $2\beta$ એ $x^2-qx+r=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\frac{\alpha}{2}+2\beta=q$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha+4\beta=2q$ $(ii)$.
વળી,બીજનો ગુણાકાર $\frac{\alpha}{2} \times 2\beta = r$ છે,તેથી $\alpha\beta=r$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$(\alpha+4\beta)-(\alpha+\beta)=2q-p$,જેનું સાદું રૂપ $3\beta=2q-p$ થાય,તેથી $\beta=\frac{2q-p}{3}$.
$\beta$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$\alpha=p-\frac{2q-p}{3} = \frac{3p-2q+p}{3} = \frac{4p-2q}{3} = \frac{2(2p-q)}{3}$.
કારણ કે $r=\alpha\beta$,તેથી $r = \left(\frac{2(2p-q)}{3}\right) \left(\frac{2q-p}{3}\right) = \frac{2}{9}(2p-q)(2q-p)$.

(A) $\triangle PQR$ માં,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$ છે.
$\angle R = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle P + \angle Q = 90^{\circ}$ મળે.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ મળે.
આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{P}{2}\right)$ અને $\tan \left(\frac{Q}{2}\right)$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી:
બીજનો સરવાળો: $\tan \left(\frac{P}{2}\right) + \tan \left(\frac{Q}{2}\right) = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\tan \left(\frac{P}{2}\right) \tan \left(\frac{Q}{2}\right) = \frac{c}{a}$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}\right) = \frac{\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}}{1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-b/a}{1 - c/a}$.
$1 = \frac{-b}{a-c}$.
$a - c = -b$,એટલે કે $a + b = c$.

(D) ધારો કે $e^{\sin x} = y$. કારણ કે $e^{\sin x} > 0$,તેથી $y > 0$.
સમીકરણ $y - \frac{1}{y} = 4$ બને છે,જે $y^2 - 4y - 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = 2 \pm \sqrt{5}$.
$y > 0$ હોવાથી,$y = 2 + \sqrt{5}$.
આમ,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ એટલે કે $\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$2 + \sqrt{5} \approx 4.236$.
$e \approx 2.718$ હોવાથી,$\ln(4.236) > 1$.
તેથી,$\sin x > 1$,જે કોઈ પણ વાસ્તવિક $x$ માટે શક્ય નથી.
આમ,આપેલ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ છે કે $\sin (\theta-\alpha), \sin \theta, \sin (\theta+\alpha)$ એ $H.P.$ માં છે.
$\Rightarrow \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\sin \theta}, \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore \frac{2}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{\sin (\theta+\alpha) + \sin (\theta-\alpha)}{\sin (\theta-\alpha) \sin (\theta+\alpha)}$
સૂત્ર $\sin (A+B) + \sin (A-B) = 2 \sin A \cos B$ અને $\sin (A-B) \sin (A+B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \alpha}{\sin^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta - \sin^2 \alpha = \sin^2 \theta \cos \alpha$
$\Rightarrow \sin^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ અને $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \sin^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ હોવાથી:
$1 - \cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

(C) આપેલ છે કે $n(A)=4$ અને $n(B)=2$.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 4 \times 2 = 8$ છે.
આપણે $A \times B$ ના ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે.
$8$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^8 = 256$ છે.
$0, 1,$ અથવા $2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$\binom{8}{0} = 1$,$\binom{8}{1} = 8$,અને $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
આ ઉપગણોનો સરવાળો $= 1 + 8 + 28 = 37$.
ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $= 2^8 - (\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2}) = 256 - 37 = 219$.

(C) આપેલ વિધાન $p$ છે: $\exists x \in S$ જેથી $x > 0$.
નિષેધ $\sim p$ શોધવા માટે,આપણે $\sim(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \sim P(x)$ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\sim p : \forall x \in S, x \leq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $S$ ની દરેક સંમેય સંખ્યા $x$ માટે $x \leq 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે છઠ્ઠી કસોટીનો સ્કોર $x$ છે.
છ કસોટીઓની સરેરાશ $48$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{54+45+41+43+57+x}{6} = 48$
$240 + x = 288$
$x = 48$.
ગુણ $54, 45, 41, 43, 57, 48$ છે.
સરેરાશ $\bar{x} = 48$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2}$.
$\sigma = \sqrt{\frac{(54-48)^2 + (45-48)^2 + (41-48)^2 + (43-48)^2 + (57-48)^2 + (48-48)^2}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{6^2 + (-3)^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + 9^2 + 0^2}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{36 + 9 + 49 + 25 + 81 + 0}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{200}{6}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$.

(A) પ્રથમ $50$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 100$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+4+\dots+100}{50} = \frac{2(1+2+\dots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \dots + 50^2)$.
વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50 \times 51 \times 101}{6} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(C) ધારો કે $n$ અવલોકનોનો સરવાળો $S_n = n \bar{x}$ છે.
જ્યારે ત્રણ અવલોકનો $n+1, n-1, 2n-1$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવો સરવાળો $S_{new} = n \bar{x} + (n+1) + (n-1) + (2n-1) = n \bar{x} + 4n - 1$ થાય છે.
અવલોકનોની નવી સંખ્યા $n+3$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક સમાન રહે છે,તેથી:
$\bar{x} = \frac{n \bar{x} + 4n - 1}{n+3}$
બંને બાજુ $(n+3)$ વડે ગુણતા:
$\bar{x}(n+3) = n \bar{x} + 4n - 1$
$n \bar{x} + 3 \bar{x} = n \bar{x} + 4n - 1$
બંને બાજુથી $n \bar{x}$ બાદ કરતા:
$3 \bar{x} = 4n - 1$
$4n = 3 \bar{x} + 1$
$n = \frac{3 \bar{x} + 1}{4}$

(A) સંખ્યાઓ $a, b, 8, 5, 10$ માટે મધ્યક $\bar{x} = 6$ આપેલ છે:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$
$a+b+23 = 30$ $\Rightarrow a+b = 7$ $\Rightarrow a = 7-b$ $(i)$
વિચરણ $\sigma^2 = 6.8$ આપેલ છે:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$6.8 = \frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - 6^2$
$6.8 = \frac{a^2+b^2+64+25+100}{5} - 36$
$6.8 + 36 = \frac{a^2+b^2+189}{5}$
$42.8 \times 5 = a^2+b^2+189$
$214 = a^2+b^2+189 \Rightarrow a^2+b^2 = 25$ (ii)
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા:
$(7-b)^2 + b^2 = 25$
$49 - 14b + b^2 + b^2 = 25$
$2b^2 - 14b + 24 = 0$
$b^2 - 7b + 12 = 0$
$(b-3)(b-4) = 0$
તેથી,$b=3$ અથવા $b=4$.
જો $b=3$,તો $a=4$. જો $b=4$,તો $a=3$. આમ,$(a, b)$ ની જોડી $(3, 4)$ અથવા $(4, 3)$ છે.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{50}$ છે.
આપેલ છે કે $30$ થી વિચલનોનો સરવાળો $50$ છે,તેથી:
$\sum_{i=1}^{50} (x_i - 30) = 50$
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sum_{i=1}^{50} x_i - \sum_{i=1}^{50} 30 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - (50 \times 30) = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - 1500 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i = 1550$
હવે,મધ્યક $\bar{x}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{n} = \frac{1550}{50} = 31$

(C) ધારો કે અજ્ઞાત અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $7$ અવલોકનોનો મધ્યક $8$ છે:
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42+x+y = 56$
$x+y = 14$ ... $(i)$
આપેલ છે કે વિચરણ $16$ છે:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{mean})^2 = 16$
$\frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2 = 16$
$\frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7} = 16+64$
$460+x^2+y^2 = 7 \times 80 = 560$
$x^2+y^2 = 100$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$y = 14-x$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (14-x)^2 = 100$
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
$x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x-6)(x-8) = 0$
તેથી,$x=6$ અને $y=8$ (અથવા તેનાથી ઉલટું).
ગુણાકાર $6 \times 8 = 48$ થાય.

(A) આપેલ છે: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,અને $\sigma = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 50$.
તેથી,$\sum x_i = 50 \times 100 = 5000$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$.
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 2500 + 25 = 2525$.
$\sum x_i^2 = 2525 \times 100 = 252500$.

(C) $a, b, c$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{a+b+c}{3}$ છે.
$b = a + c$ હોવાથી,$\bar{x} = \frac{b+b}{3} = \frac{2b}{3}$ મળે.
$a+2, b+2, c+2$ નું પ્રમાણિત વિચલન એ $a, b, c$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ એટલે કે $d$ છે.
તેથી,$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - (\bar{x})^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \left(\frac{2b}{3}\right)^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \frac{4b^2}{9}$.
$d^2 = \frac{3(a^2+b^2+c^2) - 4b^2}{9}$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2+b^2) - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) + 3b^2 - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) - b^2$.
તેથી,$b^2 = 3(a^2+c^2) - 9d^2$.

(A) ધારો કે અજ્ઞાત અવલોકનો $x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 8$ અને $n = 7$.
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56 \Rightarrow x + y = 14 \dots (i)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$80 = \frac{460 + x^2 + y^2}{7} - 64$
$560 = 460 + x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 100 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $y = 14 - x$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (14 - x)^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0 \Rightarrow x^2 - 14x + 48 = 0$
$(x - 6)(x - 8) = 0$. તેથી $x = 6$ અથવા $x = 8$.
જો $x = 6$ તો $y = 8$. જો $x = 8$ તો $y = 6$.
ગુણાકાર $xy = 48$.
ગુણાકારનું વર્ગમૂળ $\sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે: મૂળ મધ્યક $\bar{x} = 20$,મૂળ પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$.
જો દરેક અવલોકન $x_i$ ને $y_i = p x_i - q$ માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે,તો નવો મધ્યક $\bar{y} = p \bar{x} - q$ અને નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_y = |p| \sigma$ થાય.
નવો મધ્યક મૂળ મધ્યક કરતા અડધો છે: $\bar{y} = \frac{20}{2} = 10$.
તેથી,$p(20) - q = 10 \implies 20p - q = 10$ $(i)$.
નવું પ્રમાણિત વિચલન મૂળ પ્રમાણિત વિચલન કરતા અડધું છે: $\sigma_y = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી,$|p| \times 2 = 1 \implies |p| = \frac{1}{2} \implies p = \pm \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $p = \frac{1}{2}$,તો $20(\frac{1}{2}) - q = 10 \implies 10 - q = 10 \implies q = 0$. આ $q \neq 0$ શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
કિસ્સો $2$: જો $p = -\frac{1}{2}$,તો $20(-\frac{1}{2}) - q = 10 \implies -10 - q = 10 \implies q = -20$.
આમ,$q = -20$.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ છે અને તેમનું વિચરણ $\sigma^2 = 5$ છે.
જો દરેક અવલોકનને અચળાંક $a$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $a^2 \sigma^2$ થાય છે.
અહીં,$a = 3$ છે,તેથી નવું વિચરણ $3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$ થાય.
દરેક અવલોકનમાં અચળાંક $b$ ઉમેરવાથી વિચરણમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,અંતિમ વિચરણ $45$ રહેશે.

(D) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_6$ છે અને તેમનું વિચરણ $\sigma^2 = 12$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને અચળ $k$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે નવું વિચરણ $\sigma'^2 = k^2 \sigma^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = 3$ અને $\sigma^2 = 12$ છે.
તેથી,નવું વિચરણ:
$\sigma'^2 = 3^2 \times 12$
$\sigma'^2 = 9 \times 12$
$\sigma'^2 = 108$

(B) ધારો કે અજ્ઞાત સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 8$.
$\frac{2+4+10+12+14+x+y}{7} = 8$
$42 + x + y = 56$
$x + y = 14$ $... (i)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$16 = \frac{2^2+4^2+10^2+12^2+14^2+x^2+y^2}{7} - 8^2$
$16 + 64 = \frac{4+16+100+144+196+x^2+y^2}{7}$
$80 \times 7 = 460 + x^2 + y^2$
$560 = 460 + x^2 + y^2$
$x^2 + y^2 = 100$ $... (ii)$
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ પરથી,$14^2 = 100 + 2xy$.
$196 - 100 = 2xy$ $\Rightarrow 2xy = 96$ $\Rightarrow xy = 48$.
હવે,$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 14^2 - 4(48) = 196 - 192 = 4$.
$|x-y| = \sqrt{4} = 2$.

(A) આપેલ છે: $n = 15$,$\sum x = 170$,અને $\sum x^2 = 2830$.
સુધારેલ અવલોકનોનો સરવાળો: $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ વર્ગોનો સરવાળો: $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
સુધારેલ વિચરણનું સૂત્ર: $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$.
$\sigma^2 = 222 - (12)^2 = 222 - 144 = 78$.

(B) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N = 20$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\Sigma f_i = (x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2+2x+1) + 2x - 5 + x^2 - 3x + x = 20$.
$2x^2 + 2x - 4 = 20$ $\Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0$ $\Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $(x+4)(x-3) = 0$.
$x \in R^{+} \cup \{0\}$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
હવે,$x=3$ માટે આવૃત્તિઓ ગણતા:
ગુણ $2$: $(3+1)^2 = 16$.
ગુણ $3$: $2(3)-5 = 1$.
ગુણ $5$: $3^2-3(3) = 0$.
ગુણ $7$: $3$.
સરવાળો: $16+1+0+3 = 20$. સાચું છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{2(16) + 3(1) + 5(0) + 7(3)}{20} = \frac{32 + 3 + 0 + 21}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2$.
અહીં,$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$\frac{n+1}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{4n+2 - 3n-3}{6} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{n-1}{6} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$

(C) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(2,3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2b + 3a = ab$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $12$ ચોરસ એકમ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{2}|ab| = 12$,એટલે કે $ab = \pm 24$.
કિસ્સો $I$: $ab = 24$. $b = \frac{24}{a}$ ને $2b + 3a = ab$ માં મૂકતા,$2(\frac{24}{a}) + 3a = 24$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - 8a + 16 = 0$ થાય છે. આથી $a = 4$ અને $b = 6$ મળે છે. આ $1$ રેખા આપે છે.
કિસ્સો $II$: $ab = -24$. $b = \frac{-24}{a}$ ને $2b + 3a = ab$ માં મૂકતા,$2(\frac{-24}{a}) + 3a = -24$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 + 8a - 16 = 0$ થાય છે. આના ઉકેલ $a = -4 \pm 4\sqrt{2}$ મળે છે. $b = \frac{-24}{a}$ હોવાથી,$a$ ની દરેક કિંમત માટે $b$ ની ભિન્ન કિંમત મળે છે. આ $2$ વધારાની રેખાઓ આપે છે.
આમ,કુલ શક્ય રેખાઓની સંખ્યા $1 + 2 = 3$ છે.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(-4, 5, p)$,$B(3, 1, 4)$ અને $C(-2, 0, q)$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(r, q, 1)$ એ $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામ સરખાવતા:
$r = \frac{-4+3-2}{3} = -1$
$q = \frac{5+1+0}{3} = 2$
$1 = \frac{p+4+q}{3} \Rightarrow p+4+q = 3$
$q=2$ મુકતા: $p+4+2 = 3 \Rightarrow p = -3$.
હવે,$2p + q - r$ ની કિંમત:
$2(-3) + 2 - (-1) = -6 + 2 + 1 = -3$.

(D) રેખા $L$ બિંદુ $(13, 32)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1$
$\frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$
$b = -20$
તેથી,$L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ છે,જે $4x - y - 20 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$L$ નો ઢાળ $m_1 = 4$ છે.
રેખા $K$ એ $L$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = 4$ થશે.
$K$ નું સમીકરણ $\frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ છે,એટલે કે $y = -\frac{3}{c}x + 3$.
તેથી,$-\frac{3}{c} = -4 \Rightarrow c = -\frac{3}{4}$.
$K$ નું સમીકરણ $\frac{x}{-3/4} + \frac{y}{3} = 1$ $\Rightarrow -\frac{4x}{3} + \frac{y}{3} = 1$ $\Rightarrow 4x - y + 3 = 0$ થાય.
$4x - y - 20 = 0$ અને $4x - y + 3 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$ છે.

(D) ધારો કે $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (2,3)$ છે.
મધ્યગા $OD$ એ $(0,0)$ અને $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{3}{2}x$ છે,જે $3x-2y=0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4-2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$ છે.
વેધ $OE$ એ $AB$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_{OE} = -\frac{1}{m_{AB}} = -1$ છે.
વેધ $OE$ નું સમીકરણ $y = -x$ છે,જે $x+y=0$ તરીકે લખી શકાય.
મધ્યગા અને વેધનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3x-2y)(x+y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$ મળે છે,જે $3x^2 + xy - 2y^2 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $D$ એ રેખા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $A = (x_1, y_1)$ અને $B = (x_2, y_2)$.
તેથી $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.
બાજુઓ $OA$ અને $OB$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $x^2-4xy+y^2=0$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $2x+3y-1=0$ છે,તેથી $x = \frac{1-3y}{2}$.
આ કિંમતને સંયુક્ત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{1-3y}{2})^2 - 4(\frac{1-3y}{2})y + y^2 = 0$
$(1-3y)^2 - 8y(1-3y) + 4y^2 = 0$
$1 - 6y + 9y^2 - 8y + 24y^2 + 4y^2 = 0$
$37y^2 - 14y + 1 = 0$.
બીજનો સરવાળો $y_1+y_2 = \frac{14}{37}$.
$D$ નો $y$-યામ $= \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{7}{37}$.
કારણ કે $D$ એ $2x+3y-1=0$ પર આવેલું છે:
$2x + 3(\frac{7}{37}) - 1 = 0$
$2x + \frac{21}{37} - 1 = 0$
$2x = 1 - \frac{21}{37} = \frac{16}{37} \Rightarrow x = \frac{8}{37}$.
આમ,$D = (\frac{8}{37}, \frac{7}{37})$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને $(\frac{8}{37}, \frac{7}{37})$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $OD$ નું સમીકરણ:
$\frac{y-0}{x-0} = \frac{7/37}{8/37} = \frac{7}{8}$
$8y = 7x \Rightarrow 7x-8y=0$.

(D) વિધેય $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવાથી:
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$ . . . $(i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$
$b = -a - b \implies a + 2b = 0$ . . . $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(ii)$ પરથી,$a = -2b$. તેને $(i)$ માં મૂકતા:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
તેથી $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$a = \frac{\pi}{6}$ અને $b = -\frac{\pi}{12}$ મળે છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ તપાસીએ: $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(x - |x|)$.
$x < 0$ હોવાથી,$|x| = -x$,તેથી $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(x - (-x)) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a}{2}(2x) = \lim_{x \to 0^{-}} ax = 0$.
આ $a$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ તપાસીએ: $\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq 1$.
$bx^2$ વડે ગુણતા,આપણને $-|bx^2| \leq bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq |bx^2|$ મળે છે.
સ્ક્વિઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,જેમ $x \to 0$,તેમ $bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \to 0$.
આ $b$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
આમ,$f(x)$ એ $a$ અને $b$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $x = 0$ આગળ સતત છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ એ $x = 0$ આગળ વિધેયના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = f(0)$
આપેલ છે કે $f(0) = a$.
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1 - \cos 4x}{x^2} = a$
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos 4x = 2 \sin^2 2x$ મળે.
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2 2x}{x^2} = a$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે $4$ વડે ગુણી અને ભાગતા.
$\lim_{x \rightarrow 0^-} 2 \times \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = a$
$2 \times (1)^2 \times 4 = a$
$a = 8$.

(A) કારણ કે $f(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે,તેથી તે $x = -\frac{\pi}{2}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ પર પણ સતત હોવું જોઈએ.
$x = -\frac{\pi}{2}$ પર:
$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+} f(x)$
$-2 \sin(-\frac{\pi}{2}) = A \sin(-\frac{\pi}{2}) + B$
$-2(-1) = A(-1) + B$
$2 = -A + B$ ... $(i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ પર:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x)$
$A \sin(\frac{\pi}{2}) + B = \cos(\frac{\pi}{2})$
$A(1) + B = 0$
$A + B = 0$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(-A + B) + (A + B) = 2 + 0$
$2B = 2 \Rightarrow B = 1$
$B = 1$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$A + 1 = 0 \Rightarrow A = -1$
આમ,$A = -1$ અને $B = 1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં સતત છે,તેથી તે $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ પણ સતત હશે.
તેથી,$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે,તેથી આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\tan x)}{\frac{d}{dx}(4x-\pi)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sec^2 x}{4}$.
હવે $x = \frac{\pi}{4}$ મુકતા:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{-\sec^2(\frac{\pi}{4})}{4} = \frac{-(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) કારણ કે $f(x)$ એ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ પર સતત છે,તેથી તે $x=\frac{\pi}{4}$ પર પણ સતત હોવું જોઈએ.
તેથી,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$k = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{2} \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cot x - 1)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \sin x}{-\operatorname{cosec}^2 x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x}{\operatorname{cosec}^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ મુકતા:
$k = \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4})}{\operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$.
કારણ કે $|x|$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,આપણે $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની વિકલનીયતા તપાસીએ.
$x \ge 0$ માટે,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$.
$x < 0$ માટે,$f(x) = \sin(-x) - (-x) + 2(x - \pi) \cos(-x) = -\sin x + x + 2(x - \pi) \cos x$.
હવે,આપણે $x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલન $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલન $(RHD)$ શોધીએ.
$x > 0$ માટે $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x = 3 \cos x - 1 - 2(x - \pi) \sin x$.
$f'(0^+) = 3(1) - 1 - 2(-\pi)(0) = 2$.
$x < 0$ માટે $f'(x) = -\cos x + 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x = \cos x + 1 - 2(x - \pi) \sin x$.
$f'(0^-) = 1 + 1 - 2(-\pi)(0) = 2$.
કારણ કે $f'(0^+) = f'(0^-) = 2$,વિધેય $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે.
બાકીના તમામ બિંદુઓ પર વિધેય વિકલનીય વિધેયોનું બનેલું હોવાથી,$f(x)$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે વિકલનીય છે.
તેથી,$K$ એ ખાલી ગણ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right)\right] \cos x \, dx$.
આપણે સંકલનને $I = I_1 + I_2$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $I_1 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx$ અને $I_2 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ છે.
કારણ કે $f(x) = \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x$ એ અયુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = \log \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos(-x) = -\log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x = -f(x)$,તેથી $I_2 = 0$ થાય.
હવે,$I_1 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx$ (કારણ કે $x^2 \cos x$ એ યુગ્મ વિધેય છે).
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2 \left[x(-\cos x) - \int 1(-\cos x) \, dx\right] = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x$.
$0$ થી $\frac{\pi}{2}$ સુધીની સીમાઓ મૂકતા: $2 \left[x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \left[\left(\frac{\pi^2}{4} \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 2 \cdot 1\right) - (0 + 0 - 0)\right] = 2 \left(\frac{\pi^2}{4} - 2\right) = \frac{\pi^2}{2} - 4$.
આમ,$I = \frac{\pi^2}{2} - 4$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{3-2 \cos 2x}$.
નિત્યસમ $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{dx}{3-2(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x})} = \int \frac{(1+\tan^2 x) dx}{3(1+\tan^2 x) - 2(1-\tan^2 x)}$.
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{3+3\tan^2 x - 2 + 2\tan^2 x} = \int \frac{\sec^2 x dx}{1+5\tan^2 x}$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x dx$.
$I = \int \frac{dt}{1+(\sqrt{5}t)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5}t) + c$.
$t = \tan x$ મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5} \tan x) + c$ મળે છે.
આને $\frac{\tan^{-1}(f(x))}{\sqrt{5}} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \sqrt{5} \tan x$ મળે છે.
તેથી,$f(\pi/4) = \sqrt{5} \tan(\pi/4) = \sqrt{5} \times 1 = \sqrt{5}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan \theta}{\sqrt{2 k \sec \theta}} d \theta$.
$= \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \sqrt{\cos \theta} d \theta$.
$= \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos \theta}} d \theta$.
ધારો કે $\cos \theta = t$,તેથી $-\sin \theta d \theta = dt$,એટલે કે $\sin \theta d \theta = -dt$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{3}$,ત્યારે $t = \frac{1}{2}$.
$I = \frac{-1}{\sqrt{2 k}} \int_{1}^{\frac{1}{2}} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{\frac{1}{2}}^{1} t^{-\frac{1}{2}} dt$.
$I = \frac{1}{\sqrt{2 k}} [2\sqrt{t}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{2}{\sqrt{2 k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
આપેલ છે કે $I = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{k} = \sqrt{2}$,તેથી $k = 2$.

(C) $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin 2 x(\tan ^5 x+\cot ^5 x)} dx$
$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1+\tan ^2 x}$ અને $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\tan ^2 x}{2 \tan x(\tan ^5 x + \frac{1}{\tan ^5 x})} dx$
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec ^2 x}{2 \tan x(\frac{\tan ^{10} x + 1}{\tan ^5 x})} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan ^4 x \sec ^2 x}{2(\tan ^{10} x + 1)} dx$
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec ^2 x dx = dt$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{6}, t = \frac{1}{\sqrt{3}}$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}, t = 1$.
$I = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1} \frac{t^4}{2(t^{10} + 1)} dt$
ધારો કે $t^5 = u$,તેથી $5t^4 dt = du$,એટલે કે $t^4 dt = \frac{du}{5}$.
જ્યારે $t = \frac{1}{\sqrt{3}}, u = (\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = \frac{1}{9 \sqrt{3}}$. જ્યારે $t = 1, u = 1$.
$I = \frac{1}{10} \int_{\frac{1}{9 \sqrt{3}}}^{1} \frac{du}{u^2 + 1} = \frac{1}{10} [\tan ^{-1} u]_{\frac{1}{9 \sqrt{3}}}^{1}$
$I = \frac{1}{10} (\tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1}(\frac{1}{9 \sqrt{3}})) = \frac{1}{10} (\frac{\pi}{4} - \tan ^{-1}(\frac{1}{9 \sqrt{3}}))$

(B) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin 2 x(\tan ^5 x+\cot ^5 x)}$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{2 \sin x \cos x(\tan ^5 x+\frac{1}{\tan ^5 x})}$
અંશ અને છેદને $\sec^2 x$ વડે ગુણતા:
$I = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{\tan x(\frac{\tan^{10} x+1}{\tan^5 x})} dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^4 x \sec^2 x}{\tan^{10} x+1} dx$
ધારો કે $t = \tan^5 x$,તેથી $dt = 5 \tan^4 x \sec^2 x dx$,એટલે કે $\tan^4 x \sec^2 x dx = \frac{dt}{5}$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{6}$,ત્યારે $t = (\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = \frac{1}{9 \sqrt{3}}$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $t = 1^5 = 1$.
$I = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{9 \sqrt{3}}}^{1} \frac{dt/5}{t^2+1} = \frac{1}{10} [\tan^{-1} t]_{\frac{1}{9 \sqrt{3}}}^{1}$
$I = \frac{1}{10} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(\frac{1}{9 \sqrt{3}})) = \frac{1}{10} (\frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(\frac{1}{9 \sqrt{3}}))$

(A) ધારો કે $I = \int_0^a \frac{x-a}{x+a} dx$.
$t = x + a$ આદેશ લેતા,$x = t - a$ અને $dx = dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = a$.
જ્યારે $x = a$,ત્યારે $t = 2a$.
તેથી,$I = \int_a^{2a} \frac{(t-a)-a}{t} dt = \int_a^{2a} \frac{t-2a}{t} dt$.
$I = \int_a^{2a} (1 - \frac{2a}{t}) dt$.
$I = [t]_a^{2a} - 2a [\log |t|]_a^{2a}$.
$I = (2a - a) - 2a (\log 2a - \log a)$.
$I = a - 2a \log(\frac{2a}{a})$.
$I = a - 2a \log 2$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int_{-2}^0 ((x + 1)^3 + 4 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$.
$t = x + 1$ આદેશ લેતા,$dt = dx$ મળે.
જ્યારે $x = -2$,ત્યારે $t = -1$ અને જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$.
તેથી,$I = \int_{-1}^1 (t^3 + 4 + t \cos t) \, dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $t^3$ અને $t \cos t$ એ અયુગ્મ વિધેયો છે,અને સંમિત અંતરાલ $[-a, a]$ પર અયુગ્મ વિધેયનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = \int_{-1}^1 t^3 \, dt + \int_{-1}^1 4 \, dt + \int_{-1}^1 t \cos t \, dt$.
$I = 0 + \int_{-1}^1 4 \, dt + 0$.
$I = 4 [t]_{-1}^1 = 4(1 - (-1)) = 4(2) = 8$.
સાચો જવાબ $8$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^a f(x) g(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^a f(a-x) g(a-x) dx$.
આપેલ છે કે $f(x) = f(a-x)$ અને $g(a-x) = 4 - g(x)$,તેથી:
$I = \int_0^a f(x) (4 - g(x)) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - \int_0^a f(x) g(x) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - I$.
$2I = 4 \int_0^a f(x) dx$.
$I = 2 \int_0^a f(x) dx$.

(A) ધારો કે $I=\int_{\sqrt{\log 2}}^{\sqrt{\log 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2+\sin (\log 6-x^2)} d x$.
$x^2=t$ લેતા,$2x \, dx = dt$,તેથી $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
સીમાઓ નીચે મુજબ બદલાય છે: જ્યારે $x = \sqrt{\log 2}$,ત્યારે $t = \log 2$; જ્યારે $x = \sqrt{\log 3}$,ત્યારે $t = \log 3$.
આમ,$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin t}{\sin t + \sin (\log 6 - t)} dt \quad \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(a+b-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin (\log 2 + \log 3 - t)}{\sin (\log 2 + \log 3 - t) + \sin (\log 6 - (\log 2 + \log 3 - t))} dt$
$I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin (\log 6 - t)}{\sin (\log 6 - t) + \sin t} dt \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{\sin t + \sin (\log 6 - t)}{\sin t + \sin (\log 6 - t)} dt$
$2I = \frac{1}{2} \int_{\log 2}^{\log 3} 1 \, dt = \frac{1}{2} [t]_{\log 2}^{\log 3} = \frac{1}{2} (\log 3 - \log 2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{2}\right)$
$I = \frac{1}{4} \log \left(\frac{3}{2}\right)$.

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} [x] dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} [x] dx + \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx$.
ધારો કે $g(x) = \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
તો $g(-x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \log_{e}\left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) = -\log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -g(x)$.
આમ,$g(-x) = -g(x)$ હોવાથી,$g(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
તેથી,$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x) dx = 0$.
હવે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ માટે:
અંતરાલ $[-\frac{1}{2}, 0)$ માં,$[x] = -1$.
અંતરાલ $[0, \frac{1}{2}]$ માં,$[x] = 0$.
તેથી,$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (0) dx + 0$.
$I = [-x]_{\frac{-1}{2}}^{0} = -(0 - (-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} \,dx \quad ...(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-(-x)}} \,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} \,dx \quad ...(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \left( \frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^x} \right) dx$
કારણ કે $\frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^x} = 1$, તેથી:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$
$f(x) = x^2 \cos x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી, $2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$, એટલે કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \,dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = [x^2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin x \,dx$
$I = [x^2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - 2([-x \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx)$
$I = [x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$I = ((\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + 2(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) - 2 \sin(\frac{\pi}{2})) - 0$
$I = \frac{\pi^2}{4} - 2$

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\cos x| d x$.
વિધેય $|\sin x - \cos x|$ એ અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે.
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે,$\cos x \geq \sin x$,તેથી $|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x$.
$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે,$\sin x \geq \cos x$,તેથી $|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$.
આમ,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x - \sin x) d x + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x - \cos x) d x$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$.
$I = [(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)] + [(-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4})]$.
$I = [(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)] + [(0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})]$.
$I = [\frac{2}{\sqrt{2}} - 1] + [-1 + \frac{2}{\sqrt{2}}]$.
$I = \sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} - 1)$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x)^{-4} \,dx$.
અહીં $f(x) = (\sin x)^{-4} = \frac{1}{\sin^4 x}$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણને મળે:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \csc^4 x \,dx$.
નિત્યસમ $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cot^2 x) \csc^2 x \,dx$.
ધારો કે $u = \cot x$,તેથી $du = -\csc^2 x \,dx$.
જ્યારે $x \to 0^+$,ત્યારે $u \to \infty$. જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $u = 1$.
$I = 2 \int_{\infty}^{1} (1 + u^2) (-du) = 2 \int_{1}^{\infty} (1 + u^2) \,du$.
આ સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $2 [u + \frac{u^3}{3}]_{1}^{\infty} = \infty$.
આમ,આ સંકલન અનંત (divergent) છે.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x}\right) dx$.
સંકલિતને સરળ બનાવતા,આપણને $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) dx$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1 + \tan \left(\frac{\pi}{4} - x\right)\right] dx$.
સૂત્ર $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}\right] dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{1 + \tan x + 1 - \tan x}{1 + \tan x}\right) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{2}{1 + \tan x}\right) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1 + \tan x)) dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + \tan x) dx$.
$I = \log 2 [x]_0^{\frac{\pi}{4}} - I$.
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$.
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(C) મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ના કૂદકાના આધારે અંતરાલને વિભાજિત કરીને આપણે નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ:
$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = \int_{0.2}^{1} [x] \, dx + \int_{1}^{2} [x] \, dx + \int_{2}^{3} [x] \, dx + \int_{3}^{3.5} [x] \, dx$
કારણ કે $x \in [0.2, 1)$ માટે $[x] = 0$,$x \in [1, 2)$ માટે $[x] = 1$,$x \in [2, 3)$ માટે $[x] = 2$,અને $x \in [3, 3.5)$ માટે $[x] = 3$ છે:
$= \int_{0.2}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{3.5} 3 \, dx$
$= 0 + [x]_{1}^{2} + 2[x]_{2}^{3} + 3[x]_{3}^{3.5}$
$= 0 + (2 - 1) + 2(3 - 2) + 3(3.5 - 3)$
$= 0 + 1 + 2(1) + 3(0.5)$
$= 1 + 2 + 1.5 = 4.5$

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[ 1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \right] \, dx$
કારણ કે $\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$,તેથી:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( 1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \right) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( \frac{2}{1 + \tan x} \right) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log (1 + \tan x)) \, dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dx - I$
$2I = \log 2 [x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} \log 2$
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$

(D) અંતરાલ $[0, 5]$ માં મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ની વ્યાખ્યા મુજબ આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ:
$\int_0^5 x^2[x] d x = \int_0^1 x^2(0) d x + \int_1^2 x^2(1) d x + \int_2^3 x^2(2) d x + \int_3^4 x^2(3) d x + \int_4^5 x^2(4) d x$
$= 0 + \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 + 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_2^3 + 3\left[\frac{x^3}{3}\right]_3^4 + 4\left[\frac{x^3}{3}\right]_4^5$
$= \frac{1}{3}(8 - 1) + \frac{2}{3}(27 - 8) + \frac{3}{3}(64 - 27) + \frac{4}{3}(125 - 64)$
$= \frac{7}{3} + \frac{38}{3} + 37 + \frac{244}{3}$
$= \frac{7 + 38 + 111 + 244}{3} = \frac{400}{3}$

(C) ધારો કે $1+\tan x = t$. તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1+\tan(0) = 1$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $t = 1+\tan(\frac{\pi}{4}) = 2$.
સંકલન આ મુજબ બનશે:
$\int_1^2 \frac{dt}{t(t+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
તેથી,સંકલન $\int_1^2 \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$ થશે.
$= [\log|t| - \log|t+1|]_1^2 = [\log|\frac{t}{t+1}|]_1^2$.
$= \log(\frac{2}{3}) - \log(\frac{1}{2}) = \log(\frac{2/3}{1/2}) = \log(\frac{4}{3})$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+2^x} \,d x$ ... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) \,d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \,d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 (-x)}{1+2^{-x}} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+\frac{1}{2^x}} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2^x \sin ^2 x}{2^x+1} \,d x$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x (1+2^x)}{1+2^x} \,d x = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$
$\sin ^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી, $2I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$, તેથી $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \,d x$.
$\sin ^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2x}{2} \,d x = \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{1+\cos x}}{(1-\cos x)^{\frac{5}{2}}} d x$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{1-\cos x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{(1-\cos x)^3} d x = \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(1-\cos x)^3} d x$.
ધારો કે $t = 1 - \cos x$,તેથી $dt = \sin x \, dx$.
જ્યારે $x = \pi/3$,ત્યારે $t = 1 - \cos(\pi/3) = 1 - 1/2 = 1/2$.
જ્યારે $x = \pi/2$,ત્યારે $t = 1 - \cos(\pi/2) = 1 - 0 = 1$.
આમ,$I = \int_{1/2}^{1} t^{-3} dt = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1/2}^{1} = -\frac{1}{2} [1 - (1/2)^{-2}] = -\frac{1}{2} [1 - 4] = -\frac{1}{2} (-3) = \frac{3}{2}$.

(B) સહઅવયવજ શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે દરેક ઘટક $a_{ij}$ માટે સહઅવયવ $A_{ij}$ ની ગણતરી સૂત્ર $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ નો ઉપયોગ કરીને કરીશું,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
$A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2-2) = 0$
$A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(6 - (-2)) = -8$
$A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(3 - (-1)) = 4$
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(0 - (-1)) = -1$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(4 - 1) = 3$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(2 - 0) = -2$
$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(0 - (-1)) = 1$
$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(4 - (-3)) = -7$
$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1)(2 - 0) = 2$
આમ,સહઅવયવજ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}0 & -8 & 4 \\ -1 & 3 & -2 \\ 1 & -7 & 2\end{array}\right]$ છે.

(B) આપેલ છે કે $w = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$,જે એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જેને $\omega$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & \omega\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 + \omega + \omega^2 & \omega & \omega^2 \\ \omega + \omega^2 + 1 & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 + 1 + \omega & 1 & \omega\end{array}\right|$
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \omega^2 & 1 \\ 0 & 1 & \omega\end{array}\right|$
પ્રથમ સ્તંભના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$
આના પરથી સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$a - b + 2c = 3$ $(i)$
$2a + c = 1$ $(ii)$
$3a + 2b + c = 4$ $(iii)$
$(ii)$ પરથી,$c = 1 - 2a$ મળે છે.
$c$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $a - b + 2(1 - 2a) = 3 \implies a - b + 2 - 4a = 3 \implies -3a - b = 1 \implies b = -3a - 1$.
$a, b, c$ ની કિંમતો $(iii)$ માં મૂકતા: $3a + 2(-3a - 1) + (1 - 2a) = 4$
$3a - 6a - 2 + 1 - 2a = 4$
$-5a - 1 = 4$
$-5a = 5 \implies a = -1$.
હવે $b$ અને $c$ શોધો:
$b = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
$c = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
અંતે,$2a - 3b + 4c$ ની ગણતરી કરો:
$2(-1) - 3(2) + 4(3) = -2 - 6 + 12 = 4$.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ માટે:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ -2 \end{bmatrix}$
ત્રીજી હાર પરથી,$2x_2 = -2$,જે આપણને $x_2 = -1$ આપે છે.
$x_2 = -1$ ને બીજી હારના સમીકરણ $3x_2 - 5x_3 = -8$ માં મૂકતા:
$3(-1) - 5x_3 = -8 \Rightarrow -3 - 5x_3 = -8 \Rightarrow -5x_3 = -5 \Rightarrow x_3 = 1$.
$x_2 = -1$ અને $x_3 = 1$ ને પ્રથમ હારના સમીકરણ $x_1 - x_2 + x_3 = 4$ માં મૂકતા:
$x_1 - (-1) + 1 = 4 \Rightarrow x_1 + 1 + 1 = 4 \Rightarrow x_1 = 2$.
આમ,$X = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right]^2 = kx$
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરીને સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3} = kx$
હવે,બંને બાજુ $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$ વડે ગુણતા:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^2 = kx \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે,જે $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય,જે $3$ છે.
તેથી,કક્ષા $2$ અને ઘાત $3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 + 4 \frac{\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5}{\frac{d^3 y}{dx^3}} + \frac{d^3 y}{dx^3} = \sin x$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $\frac{d^3 y}{dx^3}$ વડે ગુણતા:
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 \cdot \frac{d^3 y}{dx^3} + 4\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 + \left(\frac{d^3 y}{dx^3}\right)^2 = \sin x \cdot \frac{d^3 y}{dx^3}$.
અહીં સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3 y}{dx^3}$ છે,તેથી કક્ષા $m = 3$.
સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $n = 2$.
તેથી,$m^2 + n^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = (c_1 + c_2) \cos (x + c_3) - c_4 e^{x + c_5}$.
અચળાંકોને જૂથબદ્ધ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવી શકાય છે:
ધારો કે $A = c_1 + c_2$ અને $B = c_4 e^{c_5}$.
તેથી સમીકરણ $y = A \cos (x + c_3) - B e^x$ બને છે.
કોસાઇન પદનું વિસ્તરણ કરતા: $y = A (\cos x \cos c_3 - \sin x \sin c_3) - B e^x$.
$y = (A \cos c_3) \cos x - (A \sin c_3) \sin x - B e^x$.
ધારો કે $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = -A \sin c_3$,અને $K_3 = -B$.
આમ,$y = K_1 \cos x + K_2 \sin x + K_3 e^x$.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $(K_1, K_2, K_3)$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y^2 = (x + c)^3$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3(x + c)^2$
આથી,$(x + c)^2 = \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx}$ મળે.
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(x + c)^6 = \left(\frac{2y}{3} \frac{dy}{dx}\right)^3$
કારણ કે $(x + c)^3 = y^2$,તેથી $(x + c)^6 = (y^2)^2 = y^4$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^4 = \frac{8y^3}{27} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
બંને બાજુ $y^3$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$y = \frac{8}{27} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$
$27y = 8 \left(\frac{dy}{dx}\right)^3$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.
$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.
$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{v \log v} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = \log v$,તો $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન થશે $\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$.
$\log(u) = \log(x) + \log(c)$,જ્યાં $\log(c)$ સંકલનનો અચળાંક છે.
$\log(\log v) = \log(cx)$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $\log v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\log(\frac{y}{x}) = cx$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=(x-y)^2$ $(i)$ છે.
ધારો કે $x-y=t$. તેથી $1-\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx}=1-\frac{dt}{dx}$.
$(i)$ માં કિંમત મૂકતા,$1-\frac{dt}{dx}=t^2$,તેથી $\frac{dt}{dx}=1-t^2$.
ચલ અલગ કરતા,$dx = \frac{1}{1-t^2} dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$x = \int \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + c$.
$t=x-y$ મૂકતા,$x = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| + c$.
આપેલ છે કે $y(1)=1$,એટલે કે $x=1$ માટે $y=1$: $1 = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+1-1}{1-1+1}\right| + c \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} \log(1) + c \Rightarrow c=1$.
આમ,$x = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| + 1$.
$x-1 = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right| \Rightarrow 2(x-1) = \log \left|\frac{1+x-y}{1-x+y}\right|$.
$\log(a/b) = -\log(b/a)$ નો ઉપયોગ કરતા,$2(x-1) = -\log \left|\frac{1-x+y}{1+x-y}\right|$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1}{y+1} dy = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y+1} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$.
આથી: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$.
શરત $y(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1+1) = -\ln(2+\sin 0) + C \implies \ln 2 = -\ln 2 + C \implies C = 2\ln 2 = \ln 4$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા: $\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + \ln 4 = \ln\left(\frac{4}{2+\sin x}\right)$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $y+1 = \frac{4}{2+\sin x} \implies y = \frac{4}{2+\sin x} - 1$.
હવે,$x = \frac{\pi}{2}$ માટે કિંમત શોધતા: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{4}{2+1} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{5+e^x}{2+y}\right) \frac{dy}{dx} + e^x = 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{2+y} = -\frac{e^x}{5+e^x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{2+y} = -\int \frac{e^x}{5+e^x} dx$.
આથી મળે: $\log |2+y| = -\log |5+e^x| + C$.
શરત $y(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log |2+1| = -\log |5+e^0| + C \Rightarrow \log 3 = -\log 6 + C \Rightarrow C = \log 3 + \log 6 = \log 18$.
તેથી,$\log |2+y| = \log \left|\frac{18}{5+e^x}\right|$,જેનો અર્થ છે કે $2+y = \frac{18}{5+e^x}$.
આમ,$y(x) = \frac{18}{5+e^x} - 2$.
$x = \log 13$ માટે,$y(\log 13) = \frac{18}{5+e^{\log 13}} - 2 = \frac{18}{5+13} - 2 = \frac{18}{18} - 2 = 1 - 2 = -1$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{2}{x^2} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\log |y| = -\frac{2}{x} + c$ મળે છે.
વક્ર $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=1$ અને $y=1$ મૂકતા:
$\log |1| = -\frac{2}{1} + c \implies 0 = -2 + c \implies c = 2$.
સામાન્ય ઉકેલમાં $c=2$ મૂકતા,આપણને $\log |y| = -\frac{2}{x} + 2$ મળે છે.
$x$ વડે ગુણતા,$x \log |y| = -2 + 2x = 2(x-1)$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2)(1+\log x) dx + x dy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $(1+y^2)(1+\log x) dx = -x dy$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+\log x}{x} dx = -\frac{1}{1+y^2} dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1+\log x}{x} dx = -\int \frac{1}{1+y^2} dy$
ધારો કે $1+\log x = t$,તેથી $\frac{1}{x} dx = dt$.
આ કિંમત મૂકતા: $\int t dt = -\tan^{-1} y + C$
$\frac{t^2}{2} = -\tan^{-1} y + C$
$\frac{(1+\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + C$
$x=1, y=1$ માટે: $\frac{(1+\log 1)^2}{2} = -\tan^{-1}(1) + C$
$\frac{1}{2} = -\frac{\pi}{4} + C \implies C = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$C$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{(1+\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\frac{1 + 2\log x + (\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\frac{1}{2} + \log x + \frac{(\log x)^2}{2} = -\tan^{-1} y + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\log x + \frac{(\log x)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} = \tan^{-1} x$
ચલને અલગ કરતા: $dy = x \tan^{-1} x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y = \int x \tan^{-1} x dx$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$,જ્યાં $u = \tan^{-1} x$ અને $dv = x dx$:
$y = \tan^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2} dx$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$
અંશમાં $1$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \frac{1}{1+x^2} dx \right)$
$y = \frac{x^2 \tan^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + c$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 - y^2}}{x} \dots (i)$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 - v^2x^2}}{x}$
$v + x\frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 - v^2}$
$x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1 - v^2}$
ચલને અલગ કરતા:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\sin^{-1}(v) = \log|x| + c$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + c$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1} \dots (i)$
ધારો કે $x+y = v$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1 \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v-1}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v-1} + 1 = \frac{v+1+v-1}{v-1} = \frac{2v}{v-1}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{v-1}{2v} dv = dx$
$\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{v}) dv = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{1}{2} (v - \log|v|) = x + c_1$
$v - \log|v| = 2x + 2c_1$
$v = x+y$ મૂકતા:
$(x+y) - \log|x+y| = 2x + c$
$y - \log|x+y| = x + c$
$y = x + \log|x+y| + c$,જ્યાં $c = -2c_1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y-x} \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\sin x + \cos x}{1 + y \log y} \right)$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{e^y}{e^x} \frac{dy}{dx} = \frac{y}{1 + y \log y} (\sin x + \cos x)$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{e^y (1 + y \log y)}{y} dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $e^y \left( \log y + \frac{1}{y} \right) dy = e^x (\sin x + \cos x) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^y \left( \log y + \frac{1}{y} \right) dy = \int e^x (\sin x + \cos x) dx$
નિત્યસમ $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $e^y \log y = e^x \sin x + c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ છે.
$xy$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x} \dots(i)$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. $y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v = \frac{1+v^2}{v}$.
ચલ અલગ કરતા,$\frac{v}{1+v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|x| + C$.
$2$ વડે ગુણતા,$\ln(1+v^2) = 2\ln|x| + 2C = \ln(x^2) + K$.
તેથી,$1+v^2 = c x^2$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,$1 + \frac{y^2}{x^2} = c x^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = c x^4$ થાય છે.
$y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$1^2 + 0^2 = c(1)^4$,તેથી $c = 1$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x^2 + y^2 = x^4$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) - \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(-\frac{y}{2}\right) = -2 \sin \left(\frac{y}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$
ચલને અલગ કરતા: $\int \operatorname{cosec} \left(\frac{y}{2}\right) dy = -\int 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $2 \log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = -4 \sin \left(\frac{x}{2}\right) + c_1$
$2$ વડે ભાગતા: $\log \tan \left(\frac{y}{4}\right) = -2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) + C$,જ્યાં $C = \frac{c_1}{2}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+2) \frac{dy}{dx} = x^2+4x-9$.
જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય: $x^2+4x-9 = (x^2+4x+4) - 13 = (x+2)^2 - 13$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+2)^2 - 13}{x+2} = (x+2) - \frac{13}{x+2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int (x+2) dx - 13 \int \frac{1}{x+2} dx$.
$y = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + C$.
આપેલ છે કે $y(0) = 0$,તેથી $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$0 = \frac{(0+2)^2}{2} - 13 \ln|0+2| + C$.
$0 = 2 - 13 \ln(2) + C \implies C = 13 \ln(2) - 2$.
આમ,ઉકેલ $y(x) = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + 13 \ln(2) - 2$ છે.
હવે,$y(-4)$ શોધીએ:
$y(-4) = \frac{(-4+2)^2}{2} - 13 \ln|-4+2| + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{(-2)^2}{2} - 13 \ln(2) + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x} + 3e^{4x}}{e^x + e^{-x}}$
અંશમાંથી $3e^{2x}$ સામાન્ય લેતા: $3e^{2x}(1 + e^{2x})$
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $e^x + e^{-x} = e^x + \frac{1}{e^x} = \frac{e^{2x} + 1}{e^x}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{3e^{2x}(1 + e^{2x})}{\frac{e^{2x} + 1}{e^x}}$
સમાન પદ $(1 + e^{2x})$ ને દૂર કરતા: $\frac{dy}{dx} = 3e^{2x} \cdot e^x = 3e^{3x}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int dy = \int 3e^{3x} dx$
$y = 3 \cdot \frac{e^{3x}}{3} + c = e^{3x} + c$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \frac{y}{x} \dots (i)$
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$
ચલને અલગ કરતા: $\sec^2 v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx + C \Rightarrow \tan v = -\log |x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$\tan \frac{y}{x} = -\log x + C \dots (iii)$
વક્ર $(1, \frac{\pi}{4})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\tan \frac{\pi}{4} = -\log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$
આમ,$\tan \frac{y}{x} = 1 - \log x = \log e - \log x = \log \frac{e}{x}$
તેથી,$y = x \tan^{-1} \left( \log \frac{e}{x} \right)$.