MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $(\cot \alpha_1)(\cot \alpha_2) \ldots (\cot \alpha_n) = 1$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(\cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n) = (\sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \ldots \sin \alpha_n)$.
ધારો કે $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$.
તેથી $P^2 = (\cos \alpha_1 \ldots \cos \alpha_n)(\sin \alpha_1 \ldots \sin \alpha_n)$.
$P^2 = \frac{1}{2^n} (2 \sin \alpha_1 \cos \alpha_1) (2 \sin \alpha_2 \cos \alpha_2) \ldots (2 \sin \alpha_n \cos \alpha_n)$.
$P^2 = \frac{1}{2^n} \sin(2\alpha_1) \sin(2\alpha_2) \ldots \sin(2\alpha_n)$.
કારણ કે $\sin(2\alpha_i) \leq 1$ દરેક $i$ માટે,તેથી $P^2 \leq \frac{1}{2^n}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$P \leq \frac{1}{\sqrt{2^n}} = \frac{1}{2^{(n/2)}}$.
મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{1}{2^{(n/2)}}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3} \sec x + 2 = 0$ છે.
$\sqrt{3} \sec x = -2$
$\sec x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
કારણ કે $\cos x$ બીજા અને ત્રીજા ચરણમાં ઋણ છે,આપણે $[0, 2\pi]$ માં કિંમતો શોધીએ છીએ.
બીજા ચરણમાં: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
ત્રીજા ચરણમાં: $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{5\pi}{6}$ અને $\frac{7\pi}{6}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \sec x+\operatorname{cosec} x+2(\tan x-\cot x)=0$
$2$ વડે ભાગતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sec x+\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x=\cot x-\tan x$
$\sin x$ અને $\cos x$ માં રૂપાંતર કરતા: $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos x}+\frac{1}{2 \sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}$
$\sin x \cos x$ વડે ગુણતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\cos^2 x-\sin^2 x$
$\cos(A-B)$ અને $\cos 2x$ ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\cos(x-\frac{\pi}{6})=\cos 2x$
વ્યાપક ઉકેલ: $2x = 2n\pi \pm (x-\frac{\pi}{6})$
કિસ્સો $1$: $2x = 2n\pi + x - \frac{\pi}{6} \implies x = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$
$n=0$ માટે,$x=-\frac{\pi}{6} \in S$. $n=1$ માટે,$x=\frac{11\pi}{6} \notin S$.
કિસ્સો $2$: $2x = 2n\pi - (x - \frac{\pi}{6}) \implies 3x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$
$n=0$ માટે,$x=\frac{\pi}{18} \in S$. $n=1$ માટે,$x=\frac{13\pi}{18} \in S$. $n=-1$ માટે,$x=-\frac{11\pi}{18} \in S$.
ઉકેલોનો સરવાળો: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{18} + \frac{13\pi}{18} - \frac{11\pi}{18} = \frac{-3\pi + \pi + 13\pi - 11\pi}{18} = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \sec \theta = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow \sin \theta + 1 = 2 \cos^2 \theta$
$\Rightarrow \sin \theta + 1 = 2(1 - \sin^2 \theta)$
$\Rightarrow 2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
$\Rightarrow (2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
$\therefore \sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -1$
$\theta \in (0, 2\pi)$ માટે:
જો $\sin \theta = \frac{1}{2}$,તો $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
જો $\sin \theta = -1$,તો $\theta = \frac{3\pi}{2}$.
જોકે,$\theta = \frac{3\pi}{2}$ પર $\tan \theta$ અને $\sec \theta$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,માન્ય ઉકેલો $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2^{1+|\cos x|+|\cos x|^2+\ldots} = 4$ છે.
ઘાતાંક એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = |\cos x|$ છે,જ્યાં $|\cos x| < 1$,તેથી સરવાળો $\frac{1}{1-|\cos x|}$ થાય.
આમ,$2^{\frac{1}{1-|\cos x|}} = 2^2$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$\frac{1}{1-|\cos x|} = 2$.
$1 - |\cos x| = \frac{1}{2} \Rightarrow |\cos x| = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos x = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos x = -\frac{1}{2}$.
$(-\pi, \pi)$ અંતરાલમાં,$\cos x = \frac{1}{2}$ માટે ઉકેલો $x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$ છે.
$\cos x = -\frac{1}{2}$ માટે ઉકેલો $x = \frac{2\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$ છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x)[1 - 2(1 - \sin x)] = 0$
$\Rightarrow (1 + \sin x)(2 \sin x - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $1 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1$. આનો અર્થ એ છે કે $x = \frac{3 \pi}{2}$,પરંતુ $x = \frac{3 \pi}{2}$ પર $\tan x$ અને $\sec x$ અવ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,આ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
$[0, 2 \pi]$ અંતરાલમાં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5 \pi}{6}$ પર મળે છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ધારો કે $y = \cos ^{-1}\left(\frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}\right)$.
ઇન્વર્સ કોસાઇન વિધેયની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$y = \cos ^{-1}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right) = \cos ^{-1}\left(-\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$.
ગુણધર્મ $\cos ^{-1}(-z) = \pi - \cos ^{-1}(z)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan ^{-1} x$:
$y = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)$.
કારણ કે $\cos 2\theta = \frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}$,તેથી:
$y = \pi - \cos ^{-1}(\cos 2\theta) = \pi - 2\theta = \pi - 2\tan ^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\pi - 2\tan ^{-1} x) = 0 - 2\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{-2}{1+x^2}$.

(D) ધારો કે $y = \tan^{-1}\left(\frac{6x\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$.
આપણે $\tan^{-1}$ ના પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2(3x\sqrt{x})}{1-(3x\sqrt{x})^2}\right)$.
સૂત્ર $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 3x\sqrt{x} = 3x^{3/2}$,આપણને મળે:
$y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^{3/2})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot (3 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2} \sqrt{x} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$.
આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot g(x)$,તેથી $\sqrt{x} \cdot g(x) = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$.
આમ,$g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}\left(\frac{3x}{2} - \frac{x^3}{2}\right)$.
આ પદને $y = \sin^{-1}\left(3\left(\frac{x}{2}\right) - 4\left(\frac{x}{2}\right)^3\right)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $\frac{x}{2} = \sin \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$y = \sin^{-1}(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(3\theta) = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta$ મળે.
$\theta$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,$y = 3\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (x/2)^2}} \cdot \frac{1}{2}$ મળે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{\frac{4-x^2}{4}}} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{4-x^2}}$.

(D) ધારો કે $y = \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ અને $z = \cos ^{-1}(4x^3 - 3x)$.
$y$ માટે,$x = \cos 2\theta$ આદેશ લેતા,$\sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}} = \tan \theta$.
તેથી,$y = \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
$z$ માટે,$x = \cos \theta$ આદેશ લેતા,$z = \cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\theta = 3 \cos^{-1} x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ અને $z$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^2}}$.
$\frac{dz}{dx} = 3 \left( \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{-3}{\sqrt{1-x^2}}$.
અંતે,$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{-1/(2\sqrt{1-x^2})}{-3/\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{6}$.

(A) આપેલ છે કે $y=\sin ^2\left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)$.
ધારો કે $\theta=\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$,તેથી $\cot \theta = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\cot^2 \theta = \frac{1+x}{1-x}$ મળે છે.
નિત્યસમ $1+\cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\csc^2 \theta = 1 + \frac{1+x}{1-x} = \frac{1-x+1+x}{1-x} = \frac{2}{1-x}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta = \frac{1}{\csc^2 \theta}$,તેથી $\sin^2 \theta = \frac{1-x}{2}$.
આ કિંમત $y$ માં મૂકતા,$y = \sin^2 \theta = \frac{1-x}{2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 y^2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$
$2x$ વડે ભાગતા:
$y^2 + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$(2)^2 + (1)(2) \frac{dy}{dx} = 0$
$4 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$2 \frac{dy}{dx} = -4$
$\frac{dy}{dx} = -2$

(A) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}\left(\frac{\log x^2}{1+(\log x)^2}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \log x}{1+(\log x)^2}\right)$.
ધારો કે $\log x = \tan \theta$,તો $y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$.
કિંમત પાછી મૂકતા,$y = 2 \tan^{-1}(\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{1}{1+(\log x)^2} \times \frac{1}{x}$.
$x = 1$ માટે,$\log 1 = 0$,તેથી $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = 2 \times \frac{1}{1+0^2} \times \frac{1}{1} = 2 \times 1 \times 1 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $y = \sec(\tan^{-1} x)$.
ધારો કે $\tan^{-1} x = \theta$,તેથી $\tan \theta = x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + x^2$,તેથી $\sec \theta = \sqrt{1 + x^2}$.
આમ,$y = \sqrt{1 + x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
$x = 1$ આગળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે $y=\tan ^{-1}\left(\frac{2+3 x}{3-2 x}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x}{1+5 x^2}\right)$
પ્રથમ પદને આ રીતે લખી શકાય: $\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}+x}{1-\frac{2}{3} x}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \tan ^{-1}(x)$
બીજા પદને આ રીતે લખી શકાય: $\tan ^{-1}\left(\frac{5 x-x}{1+(5 x)(x)}\right) = \tan ^{-1}(5 x) - \tan ^{-1}(x)$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$y = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(5 x) - \tan ^{-1}(x)$
સાદું રૂપ આપતા,$y = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) + \tan ^{-1}(5 x)$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 0 + \frac{1}{1+(5 x)^2} \cdot \frac{d}{d x}(5 x)$
$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{1+25 x^2}$

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^2-x}{x^2+2x}$. $x \neq 0$ માટે,આપણે તેને $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
ધારો કે $y = \frac{x-1}{x+2}$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત મેળવીએ:
$y(x+2) = x-1$
$yx + 2y = x - 1$
$yx - x = -1 - 2y$
$x(y-1) = -(1+2y)$
$x = \frac{2y+1}{1-y}$.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{1-x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $f^{-1}(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x)) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x+1}{1-x}\right) = \frac{(1-x)(2) - (2x+1)(-1)}{(1-x)^2}$
$= \frac{2 - 2x + 2x + 1}{(1-x)^2} = \frac{3}{(1-x)^2}$.
$x = 2$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x))|_{x=2} = \frac{3}{(1-2)^2} = \frac{3}{(-1)^2} = 3$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 3$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y + 3} = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx + C$.
આથી $\log(y + 3) = x + C$ ... $(i)$.
આપેલ છે કે $y(0) = 2$,તેથી $x = 0$ અને $y = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\log(2 + 3) = 0 + C \Rightarrow C = \log 5$.
$C$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$\log(y + 3) = x + \log 5$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$y + 3 = e^{x + \log 5} = 5e^x$.
તેથી,$y = 5e^x - 3$.
હવે,$y(\log 2)$ ની ગણતરી કરતા:
$y(\log 2) = 5e^{\log 2} - 3 = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$.

(A) આપેલ છે કે $y = A \cos nx + B \sin nx$ ...$(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = -An \sin nx + Bn \cos nx$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -An^2 \cos nx - Bn^2 \sin nx$
$-n^2$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -n^2 (A \cos nx + B \sin nx)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -n^2 y$

(A) આપેલ છે કે $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a(n+1) x^n - bn x^{-n-1}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = a(n+1)n x^{n-1} - bn(-n-1) x^{-n-2}$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = a n(n+1) x^{n-1} + b n(n+1) x^{-n-2}$.
$n(n+1)$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n-1} + b x^{-n-2}]$.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n+1} + b x^{-n}]$.
કારણ કે $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) y$.

(D) આપેલ છે: $x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ અને $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$.
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$x^4+y^4 = t^2+\frac{1}{t^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$2x^2y^2 = 2 \implies x^2y^2 = 1$.
તેથી,$y^2 = \frac{1}{x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^3y}$.

(A) આપેલ છે કે $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$F^{\prime}(x) = 2 f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 2 g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) + g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right)$
કારણ કે $g(x) = f^{\prime}(x)$,તેથી $g^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$.
આ કિંમતો વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g\left(\frac{x}{2}\right) + g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot (-f\left(\frac{x}{2}\right))$
$F^{\prime}(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \cdot g\left(\frac{x}{2}\right) - g\left(\frac{x}{2}\right) \cdot f\left(\frac{x}{2}\right) = 0$
આમ,$F^{\prime}(x) = 0$ હોવાથી,$F(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
આપેલ છે કે $F(5) = 5$,તેથી તમામ $x$ માટે $F(x) = 5$ થાય.
તેથી,$F(10) = 5$.

(D) આપેલ છે કે $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2g(x)g^{\prime}(x)$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) = g(x)$,તેથી $g^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(x)$ થાય.
આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$,આ કિંમતોને વિકલનમાં મૂકતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$.
$h^{\prime}(x) = 0$ હોવાથી,$h(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
તેથી,$h(5) = h(10) = 1$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $8 f(x)+6 f\left(\frac{1}{x}\right)=x+5 \dots (i)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને મળે $8 f\left(\frac{1}{x}\right)+6 f(x)=\frac{1}{x}+5 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$32 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=4x+20 \dots (iii)$
$18 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+15 \dots (iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$14 f(x)=4x-\frac{3}{x}+5 \implies f(x)=\frac{1}{14}\left(4x-\frac{3}{x}+5\right)$
તેથી $f'(x)=\frac{1}{14}\left(4+\frac{3}{x^2}\right)$
$x=-1$ આગળ:
$f(-1)=\frac{1}{14}(-4+3+5)=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
$f'(-1)=\frac{1}{14}(4+3)=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$
આપેલ છે $y=x^2 f(x)$,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx}=2x f(x)+x^2 f'(x)$
$x=-1$ આગળ:
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-1}=2(-1)f(-1)+(-1)^2 f'(-1)$
$= -2\left(\frac{2}{7}\right) + 1\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{7} + \frac{1}{2} = \frac{-8+7}{14} = -\frac{1}{14}$

(B) આપેલ છે કે $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$.
$x$ ની સાપેક્ષે $h(x)$ નું વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2g(x)g^{\prime}(x)$.
$f^{\prime}(x) = g(x)$ હોવાથી,$f^{\prime \prime}(x) = g^{\prime}(x)$ થાય.
$f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ આપેલ હોવાથી,$g^{\prime}(x) = -f(x)$ મળે.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$.
$h^{\prime}(x) = 0$ હોવાથી,$h(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
તેથી,$h(5) = h(10) = 1$.

(D) ધારો કે $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,વિકલિત નીચે મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x)f^{\prime}(x)$.
$x=1$ આગળ કિંમત મુકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1)f^{\prime}(1)$.
આપેલ છે કે $f(1)=1$ અને $f^{\prime}(1)=3$,તેથી:
$f(f(1)) = f(1) = 1$ અને $f(f(f(1))) = f(1) = 1$.
આ કિંમતો મુકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) + 2(1)(3) = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.

(C) ધારો કે $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિકલન નીચે મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$.
$x=1$ આગળ,આપણને મળે:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1) \cdot f^{\prime}(1)$.
આપેલ છે કે $f(1)=1$ અને $f^{\prime}(1)=5$,આ કિંમતો મૂકતા:
$= f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot 5 + 2(1)(5)$.
કારણ કે $f(1)=1$,તેથી $f(f(1)) = f(1) = 1$.
$= f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot 5 + 10$.
$= 5 \cdot 5 \cdot 5 + 10 = 125 + 10 = 135$.

(B) આપેલ છે $x = \sin t$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \cos t$.
આપેલ છે $y = a e^{t \sqrt{2}} + b e^{-t \sqrt{2}}$.
તેથી $\frac{dy}{dt} = a \sqrt{2} e^{t \sqrt{2}} - b \sqrt{2} e^{-t \sqrt{2}} = \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})}{\cos t}$.
ધારો કે $y' = \frac{dy}{dx}$. તો $y' \cos t = \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' \cos t - y' \sin t = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} + b e^{-t \sqrt{2}}) = 2y$.
અહીં $\cos t = \sqrt{1 - x^2}$ અને $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos t}$ લેતા,
$y'' \cos t - y' \frac{\sin t}{\cos t} = 2y \frac{1}{\cos t}$.
$\cos t$ વડે ગુણતા: $y'' \cos^2 t - y' \sin t = 2y$.
$\cos^2 t = 1 - x^2$ અને $\sin t = x$ મૂકતા:
$(1 - x^2) y'' - x y' = 2y$.
આમ,$(1 - x^2) y'' - x y' = ky$ સાથે સરખાવતા $k = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$f(x) = \frac{\log_2(x+3)}{x^2+3x+2}$.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ:
$x^2 + 3x + 2 \neq 0$
$(x+1)(x+2) \neq 0$
$x \neq -1$ અને $x \neq -2$.
વળી,લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ:
$x + 3 > 0$
$x > -3$.
આ શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $x \in (-3, \infty) - \{-1, -2\}$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\sin^{-1}(2x) + \frac{\pi}{6}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ:
$\sin^{-1}(2x) + \frac{\pi}{6} \geq 0$
$\sin^{-1}(2x) \geq -\frac{\pi}{6}$
વળી,$\sin^{-1}(\theta)$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે,તેથી $-1 \leq 2x \leq 1$,જેનો અર્થ છે $-0.5 \leq x \leq 0.5$.
$\sin^{-1}(2x)$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે: $-\frac{\pi}{6} \leq \sin^{-1}(2x) \leq \frac{\pi}{2}$.
બધા પદોનું સાઈન લેતા:
$\sin(-\frac{\pi}{6}) \leq 2x \leq \sin(\frac{\pi}{2})$
$-\frac{1}{2} \leq 2x \leq 1$
$2$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{2}$
આમ,પ્રદેશ $\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2^x + 2^y = 2$ છે.
$2^y$ માટે ગોઠવતા,$2^y = 2 - 2^x$ મળે.
બંને બાજુ $2$ આધારિત લઘુગણક લેતા,$y = \log_2(2 - 2^x)$ મળે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ: $2 - 2^x > 0$.
આનો અર્થ છે કે $2^x < 2$.
$2 = 2^1$ હોવાથી,$2^x < 2^1$ મળે.
આધાર $2 > 1$ હોવાથી,અસમતા $x < 1$ માટે સાચી છે.
તેથી,પ્રદેશ $(-\infty, 1)$ છે,જેને $-\infty < x < 1$ તરીકે લખી શકાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $2^x + 2^y = 2$ છે.
$2^y$ માટે ગોઠવતા,આપણને $2^y = 2 - 2^x$ મળે છે.
બધા વાસ્તવિક $y$ માટે $2^y > 0$ હોવાથી,પદ $2 - 2^x$ એ $0$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ.
$2 - 2^x > 0$
$2^x < 2$
$2^x < 2^1$
આધાર $2 > 1$ હોવાથી,ઘાતાંકો માટે અસમતા આ મુજબ થશે:
$x < 1$.
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $(-\infty, 1)$ છે,જેને $-\infty < x < 1$ તરીકે લખી શકાય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $[x]^2-5[x]+6=0$
ધારો કે $[x] = a$.
તેથી સમીકરણ $a^2-5a+6=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a-2)(a-3)=0$.
આથી $a=2$ અથવા $a=3$ મળે.
$[x]=a$ પાછું મૂકતા,$[x]=2$ અથવા $[x]=3$ મળે.
$[x]=2$ માટે,$x$ નો વિસ્તાર $x \in [2,3)$ છે.
$[x]=3$ માટે,$x$ નો વિસ્તાર $x \in [3,4)$ છે.
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in [2,3) \cup [3,4) = [2,4)$ મળે છે.

(B) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ અને $\sin^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ.
$1$. છેદ માટે: $9 - x^2 > 0$ $\Rightarrow x^2 < 9$ $\Rightarrow -3 < x < 3 \dots (i)$.
$2$. અંશ માટે: $-1 \leq x - 3 \leq 1 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4 \dots (ii)$.
$3$. $(i)$ અને $(ii)$ નો છેદ લેતા,આપણને $2 \leq x < 3$ મળે છે.
આમ,પ્રદેશ $[2, 3)$ છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+2}{x^2+x+1}$.
$y(x^2+x+1) = x^2+x+2$
$(y-1)x^2 + (y-1)x + (y-2) = 0$.
$x \in R$ માટે,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (y-1)^2 - 4(y-1)(y-2) \geq 0$.
$(y-1)(-3y+7) \geq 0$.
$(y-1)(3y-7) \leq 0$.
આમ,$1 < y \leq \frac{7}{3}$.
અહીં $x^2+x+1 > 0$ હોવાથી,$y$ ક્યારેય $1$ થઈ શકતું નથી.
તેથી,વિસ્તાર $\left(1, \frac{7}{3}\right]$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
આપણે $f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(x)$ માં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{2x}{1+x^2}$ મૂકતા:
$f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \log_{e}\left(\frac{1-\frac{2x}{1+x^2}}{1+\frac{2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log_{e}\left(\frac{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log_{e}\left(\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}\right)$
$= \log_{e}\left(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2\right)$
$= 2\log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
$= 2f(x)$.

(D) આપેલ છે કે $g(x)=x^2+x-1$ અને $(g \circ f)(x)=4 x^2-10 x+5$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
તેથી,$(f(x))^2 + f(x) - 1 = 4x^2 - 10x + 5$.
$f(2)$ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x=2$ મૂકતા:
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 4(2)^2 - 10(2) + 5$.
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 4(4) - 20 + 5$.
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 16 - 20 + 5$.
$(f(2))^2 + f(2) - 1 = 1$.
$(f(2))^2 + f(2) - 2 = 0$.
ધારો કે $y = f(2)$,તો $y^2 + y - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y+2)(y-1) = 0$.
આમ,$y = -2$ અથવા $y = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા,$-2$ એ વિકલ્પ $D$ માં આપેલ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + e^{\frac{x}{2}}$.
પ્રથમ,$x$ ની એવી કિંમત શોધો કે જેથી $f(x) = 1$ થાય.
$x^3 + e^{\frac{x}{2}} = 1$.
નિરીક્ષણ કરતા,જો $x = 0$ લઈએ,તો $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ મળે છે.
આમ,$f(0) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $g(1) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g(f(x)) = x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$.
$g^{\prime}(1)$ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$g^{\prime}(f(0)) \cdot f^{\prime}(0) = 1 \Rightarrow g^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(0) = 1$.
હવે,$f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = 3x^2 + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$.
$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{2-x}$ અને $g(x) = \frac{x+1}{x+2}$.
પ્રથમ,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)+2} = \frac{\frac{x}{2-x} + 1}{\frac{x}{2-x} + 2} = \frac{\frac{x+2-x}{2-x}}{\frac{x+4-2x}{2-x}} = \frac{2}{4-x}$ શોધો.
હવે,$(g \circ g \circ f)(x) = g((g \circ f)(x)) = g\left(\frac{2}{4-x}\right)$ શોધો.
$g(x) = \frac{x+1}{x+2}$ માં $x = \frac{2}{4-x}$ મૂકતા:
$(g \circ g \circ f)(x) = \frac{\frac{2}{4-x} + 1}{\frac{2}{4-x} + 2} = \frac{\frac{2 + 4 - x}{4-x}}{\frac{2 + 8 - 2x}{4-x}} = \frac{6-x}{10-2x}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\alpha x}{x+1}$ છે.
આપણે $f(f(x))$ શોધવાની જરૂર છે:
$f(f(x)) = f\left(\frac{\alpha x}{x+1}\right) = \frac{\alpha \left(\frac{\alpha x}{x+1}\right)}{\frac{\alpha x}{x+1} + 1}$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$f(f(x)) = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x+1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x+1}} = \frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1}$
આપેલ છે કે $f(f(x)) = x$,તેથી:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$
ધારો કે $x \neq 0$,$x$ વડે ભાગતા:
$\frac{\alpha^2}{(\alpha + 1)x + 1} = 1$
$\alpha^2 = (\alpha + 1)x + 1$
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ અને અચળ પદ $1$ હોવું જોઈએ:
$\alpha + 1 = 0 \implies \alpha = -1$
અચળ પદ તપાસતા: $(-1)^2 = 1$,જે સત્ય છે.
આમ,$\alpha = -1$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
ધારો કે $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $xy = x^2 + 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 - xy + 1 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલવા દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
પ્રદેશ $x \in [1, \infty)$ હોવાથી,$x \ge 1$ હોવું જોઈએ.
જો આપણે $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ લઈએ,તો $y=2$ માટે $x=1$ મળે,પરંતુ $y > 2$ માટે આ કિંમત $1$ કરતા ઓછી થઈ જશે.
તેથી,આપણે ધન મૂળ પસંદ કરીએ છીએ: $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}$.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$.

(A) આપેલ છે: $f(x)=\frac{a-x}{a+x}$.
કારણ કે $(f \circ f)(x)=x$,તેથી:
$f(f(x)) = \frac{a-f(x)}{a+f(x)} = x$
$f(x) = \frac{a-x}{a+x}$ મૂકતા:
$\frac{a-\frac{a-x}{a+x}}{a+\frac{a-x}{a+x}} = x$
$\frac{a(a+x)-(a-x)}{a(a+x)+(a-x)} = x$
$\frac{a^2+ax-a+x}{a^2+ax+a-x} = x$
$a^2+ax-a+x = x(a^2+ax+a-x)$
$a^2+ax-a+x = a^2x+ax^2+ax-x^2$
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x - (a^2-a) = 0$
$(a-1)x^2 + (a-1)(a+1)x - a(a-1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,$a-1=0$ હોવું જોઈએ,તેથી $a=1$.
આમ,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
હવે,$f\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1-(-1/5)}{1+(-1/5)} = \frac{1+1/5}{1-1/5} = \frac{6/5}{4/5} = \frac{6}{4} = 1.5$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = (x+1)^2 - 1$ જ્યાં $x \geqslant -1$.
$x \geqslant -1$ માટે $f(x)$ એ વધતું વિધેય હોવાથી,$f(x) = f^{-1}(x)$ ના ઉકેલો એ $f(x) = x$ ના ઉકેલો સમાન જ હોય છે.
$f(x) = x$ લેતા:
$(x+1)^2 - 1 = x$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x$
$x^2 + x = 0$
$x(x+1) = 0$
આથી $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
બંને કિંમતો $x \geqslant -1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,માંગેલ ગણ $\{0, -1\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $[x]^2-5[x]+6=0$
ધારો કે $[x] = a$.
તેથી સમીકરણ $a^2 - 5a + 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a-2)(a-3) = 0$.
આથી $a = 2$ અથવા $a = 3$ મળે છે.
$[x] = a$ પાછું મૂકતા,આપણને $[x] = 2$ અથવા $[x] = 3$ મળે છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ:
જો $[x] = 2$ હોય,તો $x \in [2, 3)$.
જો $[x] = 3$ હોય,તો $x \in [3, 4)$.
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2-y^2=9$ છે,જેને $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a=3$ અને $b=3$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{9}} = \sqrt{2}$ છે.
નાભિલંબ $x=ae = 3\sqrt{2}$ પર છે.
પ્રથમ ચરણમાં અતિવલય અને તેના નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_{3}^{3\sqrt{2}} \sqrt{x^2-9} \, dx$ છે.
અતિવલય બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \int_{3}^{3\sqrt{2}} \sqrt{x^2-9} \, dx$ થશે.
સૂત્ર $\int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log|x+\sqrt{x^2-a^2}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= 4 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\log|x+\sqrt{x^2-9}| \right]_{3}^{3\sqrt{2}}$.
$= 18[\sqrt{2}-\log(\sqrt{2}+1)]$ ચોરસ એકમ.

(A) આપણે સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \sin x = 1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$.
ધારો કે $f(x) = -\cot \frac{x}{2}$. તો $f'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$.
સંકલન $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,
$I = e^x (-\cot \frac{x}{2}) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2} dx$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય: $x^2+1 = (x^2+2x+1) - 2x = (x+1)^2 - 2x$.
તેથી,$I = \int \frac{(x+1)^2 - 2x}{(x+1)^2} dx = \int 1 dx - \int \frac{2x}{(x+1)^2} dx$.
બીજા સંકલન માટે,$2x = 2(x+1) - 2$ લખો.
$I = x - \int \frac{2(x+1)-2}{(x+1)^2} dx = x - 2 \int \frac{1}{x+1} dx + 2 \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$.
આ પદોનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $I = x - 2 \log |x+1| + 2 \left( -\frac{1}{x+1} \right) + c$.
$I = x - 2 \log |x+1| - \frac{2}{x+1} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) d x$
નિત્યસમ $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}}\right) d x$
$I = \int \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}\right) d x$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}}\right) d x$
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$:
$I = \int \tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) d x$
$I = \int \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) d x$
$I = \frac{\pi}{4} x - \frac{x^2}{4} + c$

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{4 e^x-25}{2 e^x-5} dx$ છે.
અંશને છેદના પદમાં ગોઠવતા:
$4 e^x - 25 = A(2 e^x - 5) + B(2 e^x)$.
$4 e^x - 25 = (2A + 2B) e^x - 5A$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-5A = -25 \implies A = 5$.
$2A + 2B = 4 \implies 10 + 2B = 4 \implies 2B = -6 \implies B = -3$.
તેથી,$\int \frac{4 e^x-25}{2 e^x-5} dx = \int \left( 5 - 3 \frac{2 e^x}{2 e^x-5} \right) dx = 5x - 3 \log|2 e^x - 5| + c$.
આમ,$A=5$ અને $B=-3$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} \,d x$
$I = \int (x^2+x+1) \,d x$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + c$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=4 x^3-3 x^{-4}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int (4x^3 - 3x^{-4}) dx$
$f(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + c$
$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} + c$
આપેલ છે કે $f(2) = 0$,તેથી $x = 2$ મૂકતા:
$0 = (2)^4 + \frac{1}{2^3} + c$
$0 = 16 + \frac{1}{8} + c$
$0 = \frac{128+1}{8} + c$
$c = -\frac{129}{8}$
આમ,$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$.

(C) $\text{સૌ પ્રથમ, સંકલ્ય } \frac{x^3-7x+6}{x^2+3x} \text{ પર બહુપદીનો ભાગાકાર કરો.}
x^3-7x+6 \text{ ને } x^2+3x \text{ વડે ભાગતા ભાગફળ } (x-3) \text{ અને શેષ } (2x+6) \text{ મળે છે.}
\text{તેથી, } \frac{x^3-7x+6}{x^2+3x} = x-3 + \frac{2x+6}{x^2+3x}.
\text{શેષ પદને સરળ બનાવતા: } \frac{2x+6}{x^2+3x} = \frac{2(x+3)}{x(x+3)} = \frac{2}{x} \text{ (જ્યાં } x \neq -3).
\text{હવે, પદાવલિનું સંકલન કરતા: } \int (x-3+\frac{2}{x}) dx.
= \int x dx - \int 3 dx + \int \frac{2}{x} dx.
= \frac{x^2}{2} - 3x + 2 \log |x| + c.$

(C) ધારો કે $I = \int 3^{3^x} \cdot 3^x \, dx$.
$t = 3^x$ આદેશ લેતા.
તેથી,$dt = 3^x \log 3 \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $3^x \, dx = \frac{1}{\log 3} \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int 3^t \cdot \frac{1}{\log 3} \, dt$.
$I = \frac{1}{\log 3} \int 3^t \, dt$.
સૂત્ર $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{3^t}{\log 3} + c$.
$I = \frac{3^t}{(\log 3)^2} + c$.
$t = 3^x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{3^{3^x}}{(\log 3)^2} + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} \,d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log \sqrt{x} = \log (x^{1/2}) = \frac{1}{2} \log x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} \log x}{3 x} \,d x = \frac{1}{6} \int \frac{\log x}{x} \,d x$.
ધારો કે $u = \log x$,તેથી $du = \frac{1}{x} \,d x$.
હવે સંકલન $I = \frac{1}{6} \int u \,du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{12} + c$ થશે.
$u = \log x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{12} (\log x)^2 + c$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4+1)^{3/4}}$.
કૌંસમાંથી $x^4$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int \frac{dx}{x^2 \left(x^4(1 + \frac{1}{x^4})\right)^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$.
ધારો કે $t = 1 + \frac{1}{x^4}$.
તેથી $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^5} = -\frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int -\frac{1}{4} t^{-3/4} dt = -\frac{1}{4} \left( \frac{t^{1/4}}{1/4} \right) + c = -t^{1/4} + c$.
$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{1/4} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$.
$2x-1 = t^2$ આદેશ લેતા,જેથી $x = \frac{t^2+1}{2}$ અને $dx = t \, dt$ મળે.
તેથી $x+1 = \frac{t^2+1}{2} + 1 = \frac{t^2+3}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(\frac{t^2+3}{2}) t \, dt}{t} = \int \frac{t^2+3}{2} \, dt$.
$I = \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} + 3t) + c = \frac{t^3}{6} + \frac{3t}{2} + c$.
$\frac{t}{6}$ સામાન્ય લેતા:
$I = \frac{t}{6} (t^2 + 9) + c$.
$t = \sqrt{2x-1}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\sqrt{2x-1}}{6} (2x-1+9) + c = \frac{\sqrt{2x-1}}{6} (2x+8) + c$.
$I = \sqrt{2x-1} \cdot \frac{2(x+4)}{6} + c = \sqrt{2x-1} \cdot \frac{x+4}{3} + c$.
$f(x) \sqrt{2x-1} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{x+4}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int(2x+4)\sqrt{x-1}dx$.
$t = x-1$ આદેશ લેતા,$x = t+1$ અને $dx = dt$ મળે.
તેથી $I = \int(2(t+1)+4)\sqrt{t}dt = \int(2t+6)\sqrt{t}dt$.
$I = \int(2t^{3/2} + 6t^{1/2})dt$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = 2 \cdot \frac{t^{5/2}}{5/2} + 6 \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c$.
$I = \frac{4}{5}t^{5/2} + 4t^{3/2} + c$.
$t = x-1$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{4}{5}(x-1)^{5/2} + 4(x-1)^{3/2} + c$.
આને $a(x-1)^{5/2} + b(x-1)^{3/2} + c$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{4}{5}$ અને $b = 4$ મળે.
તેથી,$2a+b = 2(\frac{4}{5}) + 4 = \frac{8}{5} + 4 = \frac{8+20}{5} = \frac{28}{5}$.