MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $BARRACK$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, R, R, B, C, K$। भिन्न अक्षर ${A, R, B, C, K}$ हैं।
हमें $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ सभी $4$ अक्षर भिन्न हों: ${A, R, B, C, K}$ में से $4$ अक्षर चुनने के तरीके $= ^5C_4 = 5$। प्रत्येक को व्यवस्थित करने के तरीके $= 4! = 24$। कुल $= 5 \times 24 = 120$।
(ii) $2$ समान अक्षरों के जोड़े: जोड़े ${A, A}$ और ${R, R}$ हैं। दोनों जोड़े चुनने के तरीके $= ^2C_2 = 1$। व्यवस्था के तरीके $= \frac{4!}{2!2!} = 6$।
(iii) $2$ समान और $2$ भिन्न अक्षर: ${A, A}$ या ${R, R}$ में से $1$ जोड़ा चुनने के तरीके $= ^2C_1 = 2$। शेष $4$ अक्षरों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके $= ^4C_2 = 6$। प्रत्येक चयन के लिए व्यवस्था के तरीके $= \frac{4!}{2!} = 12$। कुल $= 2 \times 6 \times 12 = 144$।
कुल $4$ अक्षरों वाले शब्द $= 120 + 6 + 144 = 270$।

(C) कुल उपलब्ध सदस्य $8$ पुरुष और $5$ महिलाएँ हैं,इसलिए कुल व्यक्ति = $13$ हैं। हमें $11$ सदस्यों का चयन करना है।
$m$ के लिए (कम से कम $6$ पुरुष):
संभावित स्थितियाँ ($6$ पुरुष,$5$ महिलाएँ),($7$ पुरुष,$4$ महिलाएँ),($8$ पुरुष,$3$ महिलाएँ) हैं।
$m = \binom{8}{6} \times \binom{5}{5} + \binom{8}{7} \times \binom{5}{4} + \binom{8}{8} \times \binom{5}{3} = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
$n$ के लिए (कम से कम $3$ महिलाएँ):
संभावित स्थितियाँ ($8$ पुरुष,$3$ महिलाएँ),($7$ पुरुष,$4$ महिलाएँ),($6$ पुरुष,$5$ महिलाएँ) हैं।
$n = \binom{5}{3} \times \binom{8}{8} + \binom{5}{4} \times \binom{8}{7} + \binom{5}{5} \times \binom{8}{6} = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
अतः,$m = n = 78$.

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $P \Rightarrow (q \vee r)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती सत्य हो और परिणामी असत्य हो।
अर्थात,$P = T$ और $(q \vee r) = F$।
वियोजन $(q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$q$ और $r$ दोनों का असत्य होना आवश्यक है।
अतः,$p = T, q = F, r = F$।

(B) दिया गया समीकरण: $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$.
चूंकि $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$,इसलिए $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{1 - \sin ^{2} x} = 30$.
$(81)^{\sin ^{2} x} + \frac{81}{(81)^{\sin ^{2} x}} = 30$.
माना $t = (81)^{\sin ^{2} x}$. तब $t + \frac{81}{t} = 30$,जो $t^{2} - 30t + 81 = 0$ देता है।
$(t - 3)(t - 27) = 0$,इसलिए $t = 3$ या $t = 27$.
स्थिति $1$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{1} \implies 4 \sin ^{2} x = 1 \implies \sin ^{2} x = \frac{1}{4}$.
$[0, \pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -\frac{1}{2}$. चूंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$,इसलिए $\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ हल)।
स्थिति $2$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{3} \implies 4 \sin ^{2} x = 3 \implies \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$.
$[0, \pi]$ में,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. चूंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ ($2$ हल)।
कुल हलों की संख्या = $2 + 2 = 4$.

(D) मान लीजिए कि खंड $A, B,$ और $C$ से चुने गए प्रश्नों की संख्या क्रमशः $n_1, n_2,$ और $n_3$ है,ताकि $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ और $n_i \ge 1$ हो।
संभावित वितरण $(n_1, n_2, n_3)$ हैं:
$1. (1, 2, 2)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ (कुल $3$ तरीके)।
$2. (1, 1, 3)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ (कुल $3$ तरीके)।
स्थिति $(1, 2, 2)$ के लिए तरीकों की संख्या $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 \times 10 = 500$।
चूंकि ऐसे $3$ क्रमपरिवर्तन हैं,इसलिए कुल तरीके $= 3 \times 500 = 1500$।
स्थिति $(1, 1, 3)$ के लिए तरीकों की संख्या $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 5 \times 10 = 250$।
चूंकि ऐसे $3$ क्रमपरिवर्तन हैं,इसलिए कुल तरीके $= 3 \times 250 = 750$।
कुल तरीके $= 1500 + 750 = 2250$।

(A) दिए गए वक्र $y^2=6x$ $(i)$ और $9x^2+by^2=16$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$।
$(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{by}$।
चूँकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,उनके स्पर्श रेखाओं की प्रवणता का गुणनफल $-1$ होगा:
$(\frac{3}{y}) \times (-\frac{9x}{by}) = -1$
$\frac{27x}{by^2} = 1 \Rightarrow by^2 = 27x$।
इस समीकरण में $y^2 = 6x$ रखने पर:
$b(6x) = 27x \Rightarrow 6b = 27 \Rightarrow b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$।

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण $4x + 3y - 20 = 0$ और $4x + 3y + 15 = 0$ हैं।
चूँकि $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 4$,$b = 3$,$c_1 = -20$,और $c_2 = 15$ है।
$d = \left| \frac{-20 - 15}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| = \left| \frac{-35}{\sqrt{16 + 9}} \right| = \left| \frac{-35}{5} \right| = 7$ इकाई।
चूँकि एक वर्ग की दो विपरीत भुजाओं के बीच की दूरी उसकी भुजा की लंबाई $s$ के बराबर होती है,इसलिए $s = 7$ इकाई।
वर्ग का क्षेत्रफल $s^2 = 7^2 = 49$ वर्ग इकाई है।

(B) छायांकित क्षेत्र के लिए सही असमिकाओं की प्रणाली निर्धारित करने के लिए,हम आकृति में दिखाई गई सीमा रेखाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $(0, 3)$ और $(6, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1$ है,जो सरल होकर $x + 2y = 6$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $x + 2y \geq 6$ है।
$2$. $(0, 5)$ और $(3, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ है,जो सरल होकर $5x + 3y = 15$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $5x + 3y \geq 15$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 7$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर है,इसलिए असमिका $x \leq 7$ है।
$4$. क्षैतिज रेखा $y = 6$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए असमिका $y \leq 6$ है।
$5$. क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$.
इन सबको मिलाने पर,प्रणाली $x + 2y \geq 6, 5x + 3y \geq 15, x \leq 7, y \leq 6, x, y \geq 0$ प्राप्त होती है। यह विकल्प $(B)$ के अनुरूप है।

(D) वृत्त $C_1$ का दिया गया समीकरण: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
मानक रूप में लिखने पर: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$.
अतः,केंद्र $(3,2)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
$C_1$ का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = 25\pi$.
माना अभीष्ट संकेंद्रित वृत्त की त्रिज्या $R$ है।
दिया गया है कि अभीष्ट वृत्त का क्षेत्रफल $C_1$ के क्षेत्रफल का दोगुना है:
$\pi R^2 = 2 \times (25\pi) = 50\pi$.
$R^2 = 50$.
केंद्र $(3,2)$ वाले संकेंद्रित वृत्त का समीकरण: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 50$.
$x^2-6x+9 + y^2-4y+4 = 50$.
$x^2+y^2-6x-4y = 37$.

(D) अभीष्ट वृत्त $2x^2+2y^2-8x-12y-9=0$ के साथ संकेंद्रीय है।
समीकरण को $2$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-4x-6y-\frac{9}{2}=0$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(2, 3)$ है।
यह वृत्त $x^2+y^2+8x+10y-7=0$ के केंद्र $(-4, -5)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{(-4-2)^2 + (-5-3)^2} = 10$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 10^2$ होगा।
सरल करने पर,$x^2+y^2-4x-6y-87=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त $x^2+y^2+6x-14y+5=0$ का केंद्र $(-3, 7)$ है।
वृत्त $x^2+y^2-4x+10y-4=0$ का केंद्र $(2, -5)$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
केंद्रों $(-3, 7)$ और $(2, -5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - (-3))(x - 2) + (y - 7)(y - (-5)) = 0$
$(x+3)(x-2) + (y-7)(y+5) = 0$
$x^2 - 2x + 3x - 6 + y^2 + 5y - 7y - 35 = 0$
$x^2 + y^2 + x - 2y - 41 = 0$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-3$ और $f=-2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 2)$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त संकेंद्रीय है,इसलिए इसका केंद्र भी $(3, 2)$ होगा।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r$ इसके केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होगी,अतः $r = |2| = 2$।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 2^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = 4$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $A \equiv (x_1, y_1)$ और $B \equiv (x_2, y_2)$ है।
दिए गए समीकरणों से,द्विघात समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार:
$x_1+x_2 = -2a$ और $x_1x_2 = -b^2$ है।
$y_1+y_2 = -2p$ और $y_1y_2 = -q^2$ है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर:
$x^2 - (-2a)x + (-b^2) + y^2 - (-2p)y + (-q^2) = 0$।
$x^2 + y^2 + 2ax + 2py - (b^2+q^2) = 0$।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-ax-by=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x^2-ax+\frac{a^2}{4})+(y^2-by+\frac{b^2}{4}) = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$
$(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{b}{2})^2 = (\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2})^2$.
यह $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ के रूप में है,जहाँ केंद्र $(h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ है।
प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \cos \theta$ और $y = \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(C) भुजाओं के दिए गए समीकरण $x=-2, x=6, y=-2$ और $y=5$ हैं।
आयत के शीर्ष $A(-2, -2)$,$B(6, -2)$,$C(6, 5)$ और $D(-2, 5)$ हैं।
आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के रूप में कार्य करता है।
विकर्ण $AC$ के अंतिम बिंदुओं $A(-2, -2)$ और $C(6, 5)$ को लेते हुए,व्यास रूप में वृत्त का समीकरण इस प्रकार है:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
$(x - (-2))(x - 6) + (y - (-2))(y - 5) = 0$
$(x + 2)(x - 6) + (y + 2)(y - 5) = 0$
$x^2 - 6x + 2x - 12 + y^2 - 5y + 2y - 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 3y - 22 = 0$

(A) वृत्त $x^2+y^2=5$ के बिंदु $(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = r^2$ के अनुसार $x(1) + y(-2) = 5$ अर्थात $x - 2y = 5$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ के लिए स्पर्श बिंदु इस रेखा पर स्थित होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(3, -1)$ के लिए: $3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$। यह बिंदु स्पर्श रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(3, -1)$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के बिंदु $P(\theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x \cos \theta + y \sin \theta = a$ होता है।
यहाँ,त्रिज्या $a = 5$ और कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3} = 5$
$x \left( \frac{1}{2} \right) + y \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 5$
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + \sqrt{3} y = 10$.

(C) वृत्त $x^2+y^2-x=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (\frac{1}{2}, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 - 0} = \frac{1}{2}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+x=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-\frac{1}{2}, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 0^2 - 0} = \frac{1}{2}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2} = 1$ है।
त्रिज्याओं का योग $r_1 + r_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ है।
चूंकि $C_1C_2 = r_1 + r_2$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(C) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2+y^2-6x-5y-1=0$ है। इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3$ और $f=-2.5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 2.5)$ है।
मान लीजिए व्यास का दूसरा सिरा $(x_2, y_2)$ है। चूंकि केंद्र $(3, 2.5)$ व्यास के सिरों $(-1, 3)$ और $(x_2, y_2)$ का मध्यबिंदु है,इसलिए:
$\frac{-1+x_2}{2} = 3 \Rightarrow x_2 = 7$
$\frac{3+y_2}{2} = 2.5 \Rightarrow y_2 = 2$
अतः,दूसरा सिरा $(7, 2)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ होता है।
$(x_1, y_1) = (7, 2)$,$g=-3$,$f=-2.5$,और $c=-1$ रखने पर:
$7x + 2y - 3(x+7) - 2.5(y+2) - 1 = 0$
$7x + 2y - 3x - 21 - 2.5y - 5 - 1 = 0$
$4x - 0.5y - 27 = 0$
$2$ से गुणा करने पर,$8x - y - 54 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ है,जिसका केंद्र $O(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
$P(1, 7)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{1^2 + 7^2 - 25} = \sqrt{1 + 49 - 25} = \sqrt{25} = 5$ है।
चतुर्भुज $PQOR$ में,$PQ$ और $PR$ स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PQ = PR = 5$ है।
साथ ही,$OQ = OR = 5$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)।
स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OQP = \angle ORP = 90^{\circ}$ है।
चतुर्भुज $PQOR$ दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों $\triangle PQO$ और $\triangle PRO$ से बना है।
$\triangle PQO$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
चतुर्भुज $PQOR$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 12.5 = 25 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(C) दिया गया वृत्त $2x^2+2y^2-6x+8y+1=0$ है।
$2$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-3x+4y+\frac{1}{2}=0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(\frac{3}{2}, -2)$ है और त्रिज्या $r_1$ के लिए $r_1^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 - \frac{1}{2} = \frac{23}{4}$ है।
माना अभीष्ट वृत्त $x^2+y^2-3x+4y+k=0$ है।
इसकी त्रिज्या $r_2$ के लिए $r_2^2 = \frac{25}{4} - k$ है।
क्षेत्रफल दोगुना होने के कारण,$r_2^2 = 2r_1^2$।
$\frac{25}{4} - k = 2(\frac{23}{4}) = \frac{23}{2}$।
$k = -\frac{21}{4}$।
अतः,समीकरण $x^2+y^2-3x+4y-\frac{21}{4}=0$ या $4x^2+4y^2-12x+16y-21=0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(3, 4)$ से रेखा $5x + 12y - 11 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \left| \frac{5(3) + 12(4) - 11}{\sqrt{5^2 + 12^2}} \right| = \left| \frac{15 + 48 - 11}{\sqrt{25 + 144}} \right| = \frac{52}{13} = 4$.
केंद्र $(h, k) = (3, 4)$ और त्रिज्या $r = 4$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 16$
$x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$.

(D) दिया गया है $\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^3=\frac{x+i y}{27}$.
हम बाईं ओर को $\left(\frac{-6-i}{3}\right)^3 = \frac{(-6-i)^3}{27}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अंशों की तुलना करने पर,$x+iy = (-6-i)^3$.
सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ का उपयोग करते हुए:
$(-6-i)^3 = (-6)^3 + 3(-6)^2(-i) + 3(-6)(-i)^2 + (-i)^3$.
$= -216 + 3(36)(-i) + 3(-6)(-1) - (-i)$.
$= -216 - 108i + 18 + i$.
$= -198 - 107i$.
$x+iy$ से तुलना करने पर,$x = -198$ और $y = -107$ प्राप्त होता है।
अतः,$y-x = -107 - (-198) = -107 + 198 = 91$.

(B) दिया गया है $z = \frac{(1 + i)^2}{a - i}$.
चूँकि $(1 + i)^2 = 2i$,इसलिए $z = \frac{2i}{a - i}$.
अंश और हर को $(a + i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{2i(a + i)}{a^2 + 1} = \frac{-2 + 2ai}{a^2 + 1}$.
मापांक $|z| = \sqrt{\frac{4}{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
$|z| = \sqrt{\frac{2}{5}}$ दिया है,अतः $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4}{a^2 + 1} = \frac{2}{5} \Rightarrow a^2 = 9$. चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$.
अतः $z = \frac{-2 + 6i}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.
इसलिए संयुग्मी $\overline{z} = -\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$.

(A) दिया गया है $w = \frac{z-1}{z+1}$.
चूँकि $|z|=1$,हम $z = x+iy$ लिख सकते हैं जहाँ $x^2+y^2=1$.
तब $w = \frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}$.
वास्तविक भाग ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x+1)-iy$ से गुणा करें:
$w = \frac{((x-1)+iy)((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{(x^2-1) + y^2 + i(y(x+1) - y(x-1))}{(x+1)^2+y^2}$.
$w = \frac{(x^2+y^2-1) + 2iy}{(x+1)^2+y^2}$.
चूँकि $|z|=1$,हमारे पास $x^2+y^2=1$ है,इसलिए $x^2+y^2-1=0$.
अतः,$\operatorname{Re}(w) = \frac{0}{(x+1)^2+y^2} = 0$.

(A) दिया गया है $Z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}$
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}$
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{4}$
$Z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
यहाँ,वास्तविक भाग $a = -\frac{1}{2}$ और काल्पनिक भाग $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूँकि $a < 0$ और $b > 0$,सम्मिश्र संख्या दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|$
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}\right|$
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3})$
$\arg(Z) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(D) मान लीजिए $Z = a + ib$.
तब $|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
दिया गया है $|Z| + Z = 2 + i$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{a^2 + b^2} + a + ib = 2 + i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$b = 1$ और $\sqrt{a^2 + b^2} + a = 2$.
चूंकि $b = 1$,$\sqrt{a^2 + 1} = 2 - a$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 + 1 = (2 - a)^2$.
$a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2$.
$4a = 3$,अतः $a = \frac{3}{4}$.
अब,$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) दिया गया है $|z|+z=2+i$.
माना $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
तब $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\sqrt{x^2+y^2}+x+iy=2+i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$y=1$ और $\sqrt{x^2+y^2}+x=2$.
दूसरे समीकरण में $y=1$ रखने पर: $\sqrt{x^2+1}=2-x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+1=(2-x)^2 = 4-4x+x^2$.
$1=4-4x$ $\Rightarrow 4x=3$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$.
अतः,$z=\frac{3}{4}+i$.
इसलिए,$|z|=\sqrt{(\frac{3}{4})^2+1^2} = \sqrt{\frac{9}{16}+1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(A) दिया गया है $z_1 = 5 - 2i$ और $z_2 = 3 + i$।
सबसे पहले,$z_1 + z_2 = (5 + 3) + (-2 + 1)i = 8 - i$।
फिर,$z_1 - z_2 = (5 - 3) + (-2 - 1)i = 2 - 3i$।
अब,अनुपात $\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} = \frac{8 - i}{2 - 3i}$ पर विचार करें।
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2 + 3i)$ से गुणा करें:
$\frac{8 - i}{2 - 3i} \times \frac{2 + 3i}{2 + 3i} = \frac{16 + 24i - 2i - 3i^2}{4 + 9} = \frac{19 + 22i}{13} = \frac{19}{13} + \frac{22}{13}i$।
कोणांक (argument) $\tan^{-1}\left(\frac{\text{काल्पनिक भाग}}{\text{वास्तविक भाग}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{22/13}{19/13}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{22}{19}\right)$ है।

(C) दिया गया है कि $z$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $z^3 = 1$ और $1+z+z^2 = 0$ है।
$1+z+z^2 = 0$ से,हमें $z^2+1 = -z$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2$ पर विचार करें।
$z^3 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(1+\frac{1}{1}\right)^2+\left(z^3 \cdot z+\frac{1}{z^3 \cdot z}\right)^2$ प्राप्त होता है।
$= (1+1)^2 + \left(z+\frac{1}{z}\right)^2$.
$= 4 + \left(\frac{z^2+1}{z}\right)^2$.
$z^2+1 = -z$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 + \left(\frac{-z}{z}\right)^2$ प्राप्त होता है।
$= 4 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(C) दिया गया है $w = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$,जो इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,जिसे $\omega$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = -1 - \omega$।
हमें $(3 + \omega + 3 \omega^2)^4$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक में $\omega^2 = -1 - \omega$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(3 + \omega + 3(-1 - \omega))^4 = (3 + \omega - 3 - 3 \omega)^4$।
$= (-2 \omega)^4$।
$= 16 \omega^4$।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$।
अतः,$16 \omega^4 = 16 \omega$।

(D) दिया गया है $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$.
इसका अर्थ है $|z-1| = |z+2i|$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x + iy - 1| = |x + iy + 2i|$
$|(x-1) + iy| = |x + i(y+2)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$
$-2x + 1 = 4y + 4$
$2x + 4y + 3 = 0$.
यह एक सरल रेखा का समीकरण है।

(D) दिया गया है $\left|\frac{z}{1+i}\right|=2$.
चूँकि $|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,इसलिए $|z| = 2|1+i| = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$|x+iy| = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2+y^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त $x^2+y^2 = 8$ को निरूपित करता है जिसका केंद्र $C \equiv (0,0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) दी गई शर्त $|z+1|=1$ है।
समीकरण में $z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x+iy+1|=1$
$|(x+1)+iy|=1$
सम्मिश्र संख्या के मापांक की परिभाषा $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{(x+1)^2+y^2}=1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x+1)^2+y^2=1^2$
$(x+1)^2+y^2=1$
यह वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ है।
समीकरणों की तुलना करने पर,केंद्र $(-1,0)$ और त्रिज्या $1$ इकाई प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है,$z\bar{z}^3+\bar{z}z^3=350$
$\Rightarrow z\bar{z}(\bar{z}^2+z^2)=350$
$\Rightarrow |z|^2(x-iy)^2+(x+iy)^2=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(x^2-y^2-2ixy+x^2-y^2+2ixy)=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(2x^2-2y^2)=350$
$\Rightarrow 2(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$
$\Rightarrow x^4-y^4=175$
चूंकि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं,हम मानों की जाँच करते हैं: $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=175$।
$x=4, y=3$ के लिए: $4^4-3^4=256-81=175$।
अतः,शीर्ष $(4,3), (-4,3), (-4,-3), (4,-3)$ हैं।
आयत की लंबाई $|4-(-4)|=8$ और चौड़ाई $|3-(-3)|=6$ है।
क्षेत्रफल $= 8 \times 6 = 48 \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $4x^2 + kxy + y^2 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$2h = k$ (अर्थात $h = k/2$),और $b = 1$ प्राप्त होता है।
माना कि दो रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -k$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = 4$ होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,$m_1 = 4m_2$ है।
ढालों के योग में यह मान रखने पर: $4m_2 + m_2 = -k \implies 5m_2 = -k \implies m_2 = -k/5$।
ढालों के गुणनफल में यह मान रखने पर: $(4m_2)(m_2) = 4 \implies 4m_2^2 = 4 \implies m_2^2 = 1 \implies m_2 = \pm 1$।
अतः,$-k/5 = \pm 1$,जिसका अर्थ है कि $k = \mp 5$।
इस प्रकार,$k$ का मान $5$ है।

(C) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x([x]+|x|) \sin [x]}{|x|}$.
$x \rightarrow 0^{-}$ के लिए,$[x] = -1$ और $|x| = -x$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x(-1 + (-x)) \sin(-1)}{-x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x(-1 - x)(-\sin 1)}{-x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0^{-}} (1 + x) \sin 1$
जैसे ही $x \rightarrow 0$,यह $(1 + 0) \sin 1 = \sin 1$ हो जाता है।

(D) सीमा ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ पर वाम-हस्त सीमा $(L.H.L.)$ और दक्षिण-हस्त सीमा $(R.H.L.)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$L.H.L. = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{|x|+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{-x+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{-1+x} = \frac{1}{-1} = -1$.
$R.H.L. = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{|x|+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x+x^2} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1} = 1$.
चूंकि $L.H.L. \neq R.H.L.$,सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=7$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है और हर $x \rightarrow 1$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए अंश को भी $x=1$ पर $0$ होना चाहिए।
अतः,$(1)^2 - a(1) + b = 0$,जिसका अर्थ है $1 - a + b = 0$,या $a - b = 1 \dots (i)$.
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर,$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{d}{dx}(x^2 - ax + b) = 7$.
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} (2x - a) = 7$.
$x=1$ रखने पर,$2(1) - a = 7$,जिससे $2 - a = 7$,अर्थात $a = -5$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ में $a = -5$ रखने पर,$-5 - b = 1$,जिससे $b = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = -5 + (-6) = -11$.

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1}{x+1}-a x-b\right)=4$.
सीमा के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1}\right)=4$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{(1-a)x^2+(1-a-b)x+(1-b)}{x+1}\right)=4$
सीमा का मान परिमित होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1-a=0 \Rightarrow a=1$.
अब,$a=1$ को व्यंजक में रखने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-bx+(1-b)}{x+1}\right)=4$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-b+\frac{1-b}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right)=4$
$-b=4 \Rightarrow b=-4$.
अतः,$a=1$ और $b=-4$.

(A) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^x-4^x}{x(9^x+4^x)}$
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log(a)$ का उपयोग करते हुए:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{9^x-1 - (4^x-1)}{x} \right) \cdot \frac{1}{9^x+4^x}$
$= \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^x-1}{x} - \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x-1}{x} \right) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{9^x+4^x}$
$= (\log(9) - \log(4)) \cdot \frac{1}{1+1}$
$= \log \left( \frac{9}{4} \right) \cdot \frac{1}{2}$
$= \log \left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right) \cdot \frac{1}{2}$
$= 2 \log \left( \frac{3}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = \log \left( \frac{3}{2} \right)$

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{5^x+5^{3-x}-30}{5^{3-x}-5^{\frac{x}{2}}}\right)$.
माना $t = 5^{\frac{x}{2}}$. जब $x \rightarrow 2$,तब $t \rightarrow 5^1 = 5$.
अतः $5^x = t^2$ और $5^{3-x} = \frac{125}{5^x} = \frac{125}{t^2}$.
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{t \rightarrow 5} \frac{t^2 + \frac{125}{t^2} - 30}{\frac{125}{t^2} - t} = \lim _{t \rightarrow 5} \frac{t^4 - 30t^2 + 125}{125 - t^3}$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $t^4 - 30t^2 + 125 = (t^2 - 25)(t^2 - 5) = (t-5)(t+5)(t^2-5)$.
हर का गुणनखंड करने पर: $125 - t^3 = (5-t)(25 + 5t + t^2) = -(t-5)(25 + 5t + t^2)$.
अतः,$L = \lim _{t \rightarrow 5} \frac{(t-5)(t+5)(t^2-5)}{-(t-5)(25 + 5t + t^2)} = \lim _{t \rightarrow 5} \frac{-(t+5)(t^2-5)}{25 + 5t + t^2}$.
$t = 5$ रखने पर:
$L = \frac{-(5+5)(25-5)}{25 + 5(5) + 25} = \frac{-10 \times 20}{75} = \frac{-200}{75} = \frac{-8}{3}$.

(A) माना $f(x) = \frac{3^x + 3^{3-x} - 12}{3^{3-x} - 3^{x/2}}$.
अंश और हर को $3^x$ से गुणा करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27}{3^3 - 3^{3x/2}}$
माना $t = 3^{x/2}$. जैसे $x \rightarrow 2$,वैसे $t \rightarrow 3$.
व्यंजक $\lim _{t \rightarrow 3} \frac{t^4 - 12t^2 + 27}{27 - t^3}$ बन जाता है।
अंश का गुणनखंड करने पर: $t^4 - 12t^2 + 27 = (t^2 - 9)(t^2 - 3) = (t-3)(t+3)(t^2-3)$.
हर का गुणनखंड करने पर: $27 - t^3 = (3-t)(9 + 3t + t^2) = -(t-3)(t^2 + 3t + 9)$.
$\lim _{t \rightarrow 3} \frac{(t-3)(t+3)(t^2-3)}{-(t-3)(t^2 + 3t + 9)} = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{-(t+3)(t^2-3)}{t^2 + 3t + 9}$.
$t=3$ रखने पर: $\frac{-(3+3)(9-3)}{9+9+9} = \frac{-6 \cdot 6}{27} = \frac{-36}{27} = -\frac{4}{3}$.

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$ है।
सबसे पहले,$L_1 = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\sin x)^{\frac{1}{x}}$ पर विचार करें। जैसे $x \rightarrow 0^+$,$\sin x \rightarrow 0^+$ और $\frac{1}{x} \rightarrow \infty$। चूंकि $0$ की कोई भी धनात्मक घात $0$ होती है,इसलिए $L_1 = 0$ है।
अब,$L_2 = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\frac{1}{x})^{\sin x}$ पर विचार करें।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln L_2 = \lim _{x \rightarrow 0^+} \sin x \ln(\frac{1}{x}) = \lim _{x \rightarrow 0^+} -\sin x \ln x$।
यह $0 \times \infty$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है। हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: $\ln L_2 = -\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}$।
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर: $\ln L_2 = -\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{1/x}{-\csc x \cot x} = \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin x \tan x}{x} = \lim _{x \rightarrow 0^+} (\frac{\sin x}{x}) \cdot \tan x$।
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0^+} \tan x = 0$,इसलिए $\ln L_2 = 1 \times 0 = 0$ है।
अतः,$L_2 = e^0 = 1$ है।
इसलिए,$L = L_1 + L_2 = 0 + 1 = 1$ है।

(C) सीमा का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश का परिमेयकरण करते हैं:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}-\sqrt{2}}{y^4} \times \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2}}$
$= \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1+\sqrt{1+y^4}-2}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+y^4}-1}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})}$
अब,शेष वर्गमूल पद का परिमेयकरण करें:
$= \lim _{y \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+y^4}-1)(\sqrt{1+y^4}+1)}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)}$
$= \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1+y^4-1}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)}$
$= \lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^4}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)}$
$= \frac{1}{(\sqrt{1+1}+\sqrt{2})(1+1)} = \frac{1}{(2\sqrt{2})(2)} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$

(C) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi \cos ^2 x\right)}{x^2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin(\pi \cos^2 x) = \sin(\pi - \pi \cos^2 x) = \sin(\pi(1 - \cos^2 x)) = \sin(\pi \sin^2 x)$.
अब सीमा इस प्रकार होगी: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{x^2} \right)$.
हम जानते हैं कि $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:
$= 1 \times \pi \times \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 = 1 \times \pi \times 1^2 = \pi$.

(A) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ होता है।
सीमा में इसका मान रखने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x (3 + \cos x)}{x \tan 4x}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left[ 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{x}{\tan 4x} \cdot (3 + \cos x) \right]$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left[ 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot \frac{\tan 4x}{4x}} \cdot (3 + \cos x) \right]$
मानक सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot 1} \cdot (3 + \cos 0)$
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + 1)$
$= \frac{2}{4} \cdot 4 = 2$

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{(1-\sin x)(8 x^3-\pi^3) \cos x}{(\pi-2 x)^4}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{(1-\sin x)(2x-\pi)(4x^2+\pi^2+2\pi x) \cos x}{16(\frac{\pi}{2}-x)^4}$.
माना $x - \frac{\pi}{2} = h$,अतः $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$h \rightarrow 0$.
तब $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} + h) = -\sin h$ और $1 - \sin x = 1 - \sin(\frac{\pi}{2} + h) = 1 - \cos h$.
साथ ही,$2x - \pi = 2(\frac{\pi}{2} + h) - \pi = 2h$.
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{h}$ ${\rightarrow 0} \frac{(1-\cos h)(2h)(4(\frac{\pi}{2}+h)^2 + \pi^2 + 2\pi(\frac{\pi}{2}+h))(-\sin h)}{16(-h)^4}$.
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{-(1-\cos h)}{h^2} \cdot \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{2h(3\pi^2 + 8\pi h + 4h^2)}{16h}$.
$L = -(\frac{1}{2}) \cdot (1) \cdot \frac{2(3\pi^2)}{16} = -\frac{3\pi^2}{16}$.

(C) हम सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2x - 2x \tan x}{(1 - \cos 2x)^2}$ का मूल्यांकन करते हैं।
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हर $(2 \sin^2 x)^2 = 4 \sin^4 x$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(\tan 2x - 2 \tan x)}{4 \sin^4 x}$ है।
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर: $\tan \theta = \theta + \frac{\theta^3}{3} + \dots$ और $\sin x \approx x$.
$\tan 2x = 2x + \frac{8x^3}{3} + O(x^5)$ और $2 \tan x = 2x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$.
अंश: $x[(2x + \frac{8x^3}{3}) - (2x + \frac{2x^3}{3})] = 2x^4$.
हर: $4 \sin^4 x \approx 4x^4$.
सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^4}{4x^4} = \frac{1}{2}$.

(B) माना $l = \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left[ \frac{1-\tan \left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \right] \left[ \frac{1-\sin x}{(\pi-2 x)^3} \right]$
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = \frac{1-\tan(x/2)}{1+\tan(x/2)}$,इसलिए:
$l = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)(1-\sin x)}{(\pi-2 x)^3}$
$\pi-2x = \theta$ रखने पर,$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$. जब $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,तब $\theta \rightarrow 0$.
साथ ही,$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{\theta}{4}$ और $1-\sin x = 2\sin^2(\frac{\theta}{4})$.
मान रखने पर:
$l = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(\frac{\theta}{4}) \cdot 2\sin^2(\frac{\theta}{4})}{\theta^3}$
$l = \lim _{\theta}$ ${\rightarrow 0} \frac{\tan(\frac{\theta}{4})}{\frac{\theta}{4} \cdot 4} \cdot \frac{2\sin^2(\frac{\theta}{4})}{(\frac{\theta}{4})^2 \cdot 16}$
$l = \frac{2}{64} (1)(1)^2 = \frac{1}{32}$

(B) माना विकर्ण $\vec{d_1} = 8\hat{i} - 6\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 12\hat{k}$ हैं।
विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-12) - (0)(4)) - \hat{j}((8)(-12) - (0)(3)) + \hat{k}((8)(4) - (-6)(3))$
$= 72\hat{i} + 96\hat{j} + 50\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{72^2 + 96^2 + 50^2}$
$= \sqrt{5184 + 9216 + 2500}$
$= \sqrt{16900} = 130$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 130 = 65$ वर्ग इकाई है।

(A) हम विभिन्न अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ और $[x] = -1$,इसलिए $f(x) = -x - 1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$|x| = x$ और $[x] = 0$,इसलिए $f(x) = x + 0 = x$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = x + x = 2x$.
$x \in [2, 3]$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = x + x = 2x$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -x-1, & -1 \leq x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2x, & 1 \leq x \leq 3 \end{cases}$.
$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ और $f(0) = 0$. चूँकि $-1 \neq 0$,$f$ बिंदु $x=0$ पर असंतत है।
$x=1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ और $f(1) = 2(1) = 2$. चूँकि $1 \neq 2$,$f$ बिंदु $x=1$ पर असंतत है।
$x=2$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) = 4$ और $f(2) = 2(2) = 4$. चूँकि सीमा फलन के मान के बराबर है,$f$ बिंदु $x=2$ पर संतत है।
इसलिए,$f$ केवल दो बिंदुओं $x=0$ और $x=1$ पर असंतत है।

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\sum P(X) = 1 \Rightarrow K^2 + 2K + K + 2K + 5K^2 = 1$
$6K^2 + 5K - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6K - 1)(K + 1) = 0$
इससे $K = \frac{1}{6}$ या $K = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K = -1$ को अस्वीकार करते हैं। अतः $K = \frac{1}{6}$ है।
हमें $P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 2) = K + 2K + 5K^2 = 3K + 5K^2$.
$K = \frac{1}{6}$ रखने पर:
$P(X > 2) = 3(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{36} = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36}$.

(A) माना $t$ समय पर बैक्टीरिया की संख्या $B(t)$ है। वृद्धि की दर $\frac{dB}{dt} = \lambda B$ द्वारा दी गई है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $B(t) = B_0 e^{\lambda t}$ प्राप्त होता है,जहाँ $B_0 = 1000$ है।
दिया गया है कि $t = 2$ पर,$B(2) = 1000 + 1000$ का $20\% = 1200$ है।
अतः,$1200 = 1000 e^{2\lambda} \Rightarrow e^{2\lambda} = \frac{6}{5} \Rightarrow 2\lambda = \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right) \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)$ है।
हमें दिया गया है कि $B(T) = 2000$ जहाँ $T = \frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$ है।
$B(T) = B_0 e^{\lambda T}$ का उपयोग करते हुए,$2000 = 1000 e^{\lambda T} \Rightarrow 2 = e^{\lambda T} \Rightarrow \log_{e} 2 = \lambda T$ है।
$\lambda$ और $T$ का मान रखने पर: $\log_{e} 2 = \left(\frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)\right) \times \left(\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}\right) = \frac{k}{2}$ है।
इस प्रकार,$k = 2 \log_{e} 2$ है।
अंत में,$\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2} = \left(\frac{2 \log_{e} 2}{\log_{e} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4$ है।

(C) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc}-\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2\end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
मान लीजिए $x = \lambda^2$. तब $x^3 - 3x - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(x+1)^2(x-2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\lambda^2+1)^2(\lambda^2-2) = 0$.
वास्तविक $\lambda$ के लिए,$\lambda^2+1$ शून्य नहीं हो सकता।
इस प्रकार,$\lambda^2 - 2 = 0$,जिससे $\lambda = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के $2$ भिन्न वास्तविक मान हैं।

(C) दिया गया फलन $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ है।
विषम/सम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(e^{-u}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u)$.
इसे $g(-u)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(-u) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u) \right) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u) = -g(u)$.
चूँकि $g(-u) = -g(u)$,फलन विषम है।
एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $g'(u)$ ज्ञात करते हैं:
$g'(u) = \frac{d}{du} (2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
चूँकि सभी $u \in (-\infty, \infty)$ के लिए $e^u > 0$ है,इसलिए $g'(u) > 0$ है।
अतः,$g$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

(A) शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,और $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम विकर्णों $PR$ और $QS$ के मध्य बिंदुओं की जांच करते हैं:
$PR$ का मध्य बिंदु $= \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{(-2\hat{i} - \hat{j}) + (3\hat{i} + 3\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
$QS$ का मध्य बिंदु $= \frac{\vec{q} + \vec{s}}{2} = \frac{(4\hat{i}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
चूंकि विकर्णों के मध्य बिंदु समान हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसके बाद,हम भुजाओं के सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\hat{i} - (-2\hat{i} - \hat{j}) = 6\hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = (-3\hat{i} + 2\hat{j}) - (-2\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + 3\hat{j}$.
आयत के लिए जांच (आसन्न भुजाओं का डॉट गुणनफल):
$\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = (6\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-\hat{i} + 3\hat{j}) = (6)(-1) + (1)(3) = -6 + 3 = -3 \neq 0$.
चूंकि डॉट गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए भुजाएं लंबवत नहीं हैं,अतः यह आयत नहीं है।
समचतुर्भुज के लिए जांच (आसन्न भुजाओं की लंबाई):
$|\vec{PQ}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$.
$|\vec{PS}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
चूंकि $|\vec{PQ}| \neq |\vec{PS}|$,भुजाएं समान नहीं हैं,इसलिए यह समचतुर्भुज नहीं है।
अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत।

(B) वक्र का दिया गया समीकरण $y(x-2)(x-3)=x+6$ है।
$Y$-अक्ष पर,$x=0$ होता है। समीकरण में $x=0$ रखने पर: $y(0-2)(0-3)=0+6 \Rightarrow y(-2)(-3)=6 \Rightarrow 6y=6 \Rightarrow y=1$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
अब,समीकरण को $y = \frac{x+6}{x^2-5x+6}$ के रूप में लिखें।
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-5x+6)(1) - (x+6)(2x-5)}{(x^2-5x+6)^2}$।
$x=0$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{(0-0+6)(1) - (0+6)(0-5)}{(0-0+6)^2} = \frac{6 - (-30)}{36} = \frac{36}{36} = 1$।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$।
$(0, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -1(x - 0)$ है,जो $y = -x + 1$ या $x + y = 1$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ के लिए,$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ होता है,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,अभिलंब $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है।

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं: $x = \theta + \sin \theta$ और $y = 1 + \cos \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 1 + \cos \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta$।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ है।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर बिंदु $(x, y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 1$ और $y = 1 + \cos \frac{\pi}{2} = 1$।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{-\sin(\pi/2)}{1 + \cos(\pi/2)} = \frac{-1}{1 + 0} = -1$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ है।
$(\frac{\pi}{2} + 1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - 1 = 1(x - (\frac{\pi}{2} + 1))$
$y - 1 = x - \frac{\pi}{2} - 1$
$x - y - \frac{\pi}{2} = 0$,जिसे $2x - 2y - \pi = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया वक्र $y = x \log x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \log x$.
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 1 + \log x$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1 + \log x}$ होती है।
दी गई रेखा $2x - 2y = 3$ है,जिसे $2y = 2x - 3$ या $y = x - \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $1$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{1}{1 + \log x} = 1$.
$-1 = 1 + \log x \implies \log x = -2$.
$x = e^{-2}$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = x \log x = e^{-2} \cdot (-2) = -2e^{-2}$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(e^{-2}, -2e^{-2})$ हैं।

(B) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण: $x=\theta+\sin \theta$ और $y=1+\cos \theta$ हैं।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = 1+\cos \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-\sin \theta}{1+\cos \theta}$।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{-\sin(\pi/2)}{1+\cos(\pi/2)} = \frac{-1}{1+0} = -1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ है।
अब,$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करें:
$x = \frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + 1$ और $y = 1 + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$।
अभिलंब का समीकरण $(y - y_1) = m_n(x - x_1)$ है:
$(y - 1) = 1(x - (1 + \frac{\pi}{2}))$।
$y - 1 = x - 1 - \frac{\pi}{2}$।
$x - y - \frac{\pi}{2} = 0$,जिसे सरल करने पर $2x - 2y - \pi = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}=-\sqrt{\frac{y}{x}}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-y_1)=-\sqrt{\frac{y_1}{x_1}}(x-x_1)$ है।
$\sqrt{x_1}$ से गुणा करने पर,$\sqrt{x_1}y - \sqrt{x_1}y_1 = -\sqrt{y_1}x + \sqrt{y_1}x_1$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{y_1}x + \sqrt{x_1}y = \sqrt{x_1}y_1 + \sqrt{y_1}x_1 = \sqrt{x_1y_1}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1})$।
चूंकि $\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}=\sqrt{a}$,समीकरण $\sqrt{y_1}x + \sqrt{x_1}y = \sqrt{x_1y_1a}$ बन जाता है।
$\sqrt{x_1y_1a}$ से विभाजित करने पर,$\frac{x}{\sqrt{x_1a}} + \frac{y}{\sqrt{y_1a}} = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $\sqrt{x_1a}$ है और $y$-अंतःखंड $\sqrt{y_1a}$ है।
अंतःखंडों का योग $\sqrt{a}(\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}) = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ है।

(B) वक्र का दिया गया समीकरण $y=1-e^{\frac{x}{3}} \dots (i)$ है।
चूंकि वक्र $Y$-अक्ष को काटता है,इसलिए हम $x=0$ रखते हैं।
$(i)$ में $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर,$y=1-e^{0}=1-1=0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} e^{\frac{x}{3}}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, 0)$ पर,ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = -\frac{1}{3} e^{0} = -\frac{1}{3}$ है।
$(0, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{3}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3y = -x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x + 3y = 0$ मिलता है।

(A) दिया गया वक्र $y(x) = 1 + \sqrt{4x-3}$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-3}}$.
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{2}{3}$ दी गई है,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{4x-3}} = \frac{2}{3}$.
इसका अर्थ है $\sqrt{4x-3} = 3$,इसलिए $4x-3 = 9$,जिससे $4x = 12$ अर्थात $x = 3$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ को वक्र के समीकरण में रखने पर,$y = 1 + \sqrt{4(3)-3} = 1 + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ $(3, 4)$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है: $m_{normal} = -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$(3, 4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 3)$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$2y - 8 = -3x + 9$,जो $3x + 2y - 17 = 0$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, 7)$ के लिए: $3(1) + 2(7) - 17 = 3 + 14 - 17 = 0$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,अभिलंब $(1, 7)$ से होकर गुजरता है।

(A) दिए गए प्राचल समीकरण $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$ हैं।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर बिंदु के निर्देशांक $x = a \cos^3(\frac{\pi}{4}) = a(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ और $y = a \sin^3(\frac{\pi}{4}) = a(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ हैं।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - \frac{a}{2 \sqrt{2}} = -1(x - \frac{a}{2 \sqrt{2}})$.
$y - \frac{a}{2 \sqrt{2}} = -x + \frac{a}{2 \sqrt{2}}$.
$x + y = \frac{a}{2 \sqrt{2}} + \frac{a}{2 \sqrt{2}} = \frac{2a}{2 \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(A) वक्र का दिया गया समीकरण $x^4-2xy^2+y^2+3x-3y=0 \dots (i)$ है।
वक्र जिस कोण पर $X$-अक्ष को काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हमें $(0,0)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करनी होगी।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4x^3 - 2(y^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$4x^3 - 2y^2 - 4xy \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
अब,$(x,y) = (0,0)$ का मान रखने पर:
$4(0)^3 - 2(0)^2 - 4(0)(0) \frac{dy}{dx} + 2(0) \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$0 - 0 - 0 + 0 + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$3 = 3 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
चूंकि ढाल $m = \tan \theta = 1$ है,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $y^2 = px^3 + q \dots (i)$ है।
चूंकि बिंदु $(2, 3)$ वक्र पर स्थित है,हम $x=2$ और $y=3$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3^2 = p(2)^3 + q \Rightarrow 9 = 8p + q \dots (ii)$.
$(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$.
बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = \frac{12p}{6} = 2p$ है।
दी गई स्पर्शरेखा रेखा $y = 4x - 5$ है,जिसकी ढाल $4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $2p = 4 \Rightarrow p = 2$.
$p = 2$ को $(ii)$ में रखने पर:
$9 = 8(2) + q \Rightarrow 9 = 16 + q \Rightarrow q = -7$.
अतः,$p = 2$ और $q = -7$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) दिए गए प्राचल समीकरण $x=\sqrt{t}$ और $y=t-\frac{1}{\sqrt{t}}$ हैं।
$t=4$ पर,$x=\sqrt{4}=2$ और $y=4-\frac{1}{\sqrt{4}}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$ और $\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{2t\sqrt{t}}$.
$t=4$ पर,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{4}$ और $\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}$.
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \frac{17/16}{1/4} = \frac{17}{4}$.
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{4}{17}$.
अभिलंब का समीकरण $y - \frac{7}{2} = -\frac{4}{17}(x - 2)$ है।
$34$ से गुणा करने पर,$34y - 119 = -8(x - 2) \implies 34y - 119 = -8x + 16$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $8x + 34y = 135$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है।
चूंकि वक्र $X$-अक्ष को $(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,यह $(-2,0)$ से गुजरता है और $x=-2$ पर इसका अवकलज $0$ है।
$(-2,0)$ को समीकरण में रखने पर: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \dots (i)$.
साथ ही,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ है।
$x=-2$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow 3a(4) + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \dots (ii)$.
वक्र $Y$-अक्ष को $Q$ पर काटता है। $x=0$ रखने पर,$y=5$,अतः $Q$ बिंदु $(0,5)$ है।
$Q$ पर प्रवणता $3$ है,इसलिए $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 3 \Rightarrow c = 3$.
$c=3$ को $(i)$ और $(ii)$ में रखने पर:
$8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \dots (iii)$.
$12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \dots (iv)$.
$(iv)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
अतः,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$।

(A) दिए गए वक्र $y=10-x^2$ और $y=2+x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों की तुलना करें: $10-x^2 = 2+x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x=2$ के लिए,$y=6$. $x=-2$ के लिए,$y=6$. आइए बिंदु $(2, 6)$ पर विचार करें।
प्रथम वक्र $y=10-x^2$ के लिए,ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = -2x$. $x=2$ पर,$m_1 = -4$.
दूसरे वक्र $y=2+x^2$ के लिए,ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ पर,$m_2 = 4$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-4 - 4}{1 + (-4)(4)} \right| = \left| \frac{-8}{1 - 16} \right| = \left| \frac{-8}{-15} \right| = \frac{8}{15}$.
अतः,$|\tan \theta| = \frac{8}{15}$.

(B) दिया गया वक्र $y=x \log x$ है ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 + \log x$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{1+\log x}$ है।
दी गई रेखा $2x-2y+3=0$ है,जिसे $y = x + \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की प्रवणता $m = 1$ है।
चूँकि अभिलंब दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी प्रवणताएँ समान होंगी:
$-\frac{1}{1+\log x} = 1$
$\Rightarrow 1+\log x = -1$
$\Rightarrow \log x = -2$
$\Rightarrow x = e^{-2}$।
$x = e^{-2}$ को $(i)$ में रखने पर,$y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2}(-2) = -2e^{-2}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(e^{-2}, -2e^{-2})$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - (-2e^{-2}) = 1(x - e^{-2})$
$y + 2e^{-2} = x - e^{-2}$
$x - y = 3e^{-2}$।

(D) माना किसी समय $t$ पर गेंद का तापमान $\theta$ है। न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - 20)$,जहाँ $k > 0$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln|\theta - 20| = -kt + C$ प्राप्त होता है।
जब $t = 0$,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $C = \ln(80 - 20) = \ln(60)$।
अतः,$\ln|\theta - 20| = -kt + \ln(60) \dots (i)$।
जब $t = 5$,$\theta = 60^{\circ} C$,इसलिए $\ln(60 - 20) = -5k + \ln(60)$।
$5k = \ln(60) - \ln(40) = \ln(\frac{60}{40}) = \ln(\frac{3}{2})$।
अतः,$k = \frac{1}{5} \ln(\frac{3}{2})$।
$t = 20$ के लिए,समीकरण $(i)$ में $k$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\ln|\theta - 20| = -20 \times \frac{1}{5} \ln(\frac{3}{2}) + \ln(60) = -4 \ln(\frac{3}{2}) + \ln(60)$।
$\ln|\theta - 20| = \ln((\frac{2}{3})^4) + \ln(60) = \ln(\frac{16}{81} \times 60) = \ln(\frac{320}{27}) \approx \ln(11.85)$।
$\theta - 20 = 11.85 \implies \theta = 31.85^{\circ} C$।

(B) माना $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
तब,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$.
हम $a = 0.027$ चुनते हैं क्योंकि $\sqrt[3]{0.027} = 0.3$,और $h = -0.001$ ताकि $a + h = 0.026$ हो।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + hf'(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(a) = (0.027)^{\frac{1}{3}} = 0.3$.
$f'(a) = \frac{1}{3(0.027)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(0.09)} = \frac{1}{0.27}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0.026) \approx 0.3 + (-0.001) \times \frac{1}{0.27}$.
$f(0.026) \approx 0.3 - \frac{0.001}{0.27} \approx 0.3 - 0.0037 = 0.2963$.

(D) माना $f(x) = \cos x$. तब $f^{\prime}(x) = -\sin x$.
हमें $\cos(30^{\circ} 30^{\prime})$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ,$30^{\circ} 30^{\prime} = 30^{\circ} + 30^{\prime} = 30^{\circ} + (0.5)^{\circ}$.
$0.5^{\circ}$ को रेडियन में बदलने पर: $0.5 \times 0.0175 = 0.00875 \text{ rad}$.
माना $a = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ और $h = 0.00875 \text{ rad}$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(a+h) \approx \cos(30^{\circ}) + (0.00875)(-\sin(30^{\circ}))$.
दिया गया है $\cos 30^{\circ} = 0.8660$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$.
$f(a+h) \approx 0.8660 - 0.00875 \times 0.5$.
$f(a+h) \approx 0.8660 - 0.004375 = 0.861625$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.8616$ प्राप्त होता है।

(B) दूरी का समीकरण $S = 1200t - 15t^2$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए, हम $S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(1200t - 15t^2) = 1200 - 30t$.
जब गोली स्थिर हो जाती है, तो उसका वेग $v = 0$ हो जाता है:
$1200 - 30t = 0$
$30t = 1200$
$t = 40 \text{ सेकंड}$.
अब, कुल दूरी ज्ञात करने के लिए $t = 40$ को दूरी के समीकरण में रखने पर:
$S = 1200(40) - 15(40)^2$
$S = 48000 - 15(1600)$
$S = 48000 - 24000$
$S = 24000 \text{ cm}$.

(C) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 8 \,cm/sec$ है।
वृत्ताकार लहर का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
उस क्षण जब $r = 12 \,cm$ है, मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (8)$.
$\frac{dA}{dt} = 192 \pi \,cm^2/sec$.

(C) माना किसी समय $t$ पर वस्तु का तापमान $\theta$ है। न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर वस्तु के तापमान और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है।
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - 30)$
इसका समाकलन करने पर,हमें $\ln(\theta - 30) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $\ln(80 - 30) = C \Rightarrow C = \ln(50)$।
अतः,$\ln(\theta - 30) = -kt + \ln(50) \dots (i)$।
$t = 30 \text{ min}$ पर,$\theta = 60^{\circ} C$:
$\ln(60 - 30) = -k(30) + \ln(50) \Rightarrow \ln(30) - \ln(50) = -30k \Rightarrow \ln(3/5) = -30k$।
इसलिए,$k = -\frac{1}{30} \ln(3/5) = \frac{1}{30} \ln(5/3)$।
अब,$t = 60 \text{ min}$ (एक घंटा) के लिए:
$\ln(\theta - 30) = -\left(\frac{1}{30} \ln(5/3)\right)(60) + \ln(50)$
$\ln(\theta - 30) = -2 \ln(5/3) + \ln(50) = \ln((3/5)^2 \times 50)$
$\ln(\theta - 30) = \ln(9/25 \times 50) = \ln(18)$
$\theta - 30 = 18 \Rightarrow \theta = 48^{\circ} C$।

(A) मान लीजिए समय $t$ पर नमी की मात्रा $y$ है।
नमी के परिवर्तन की दर नमी की मात्रा के समानुपाती है:
$\frac{dy}{dt} = -ky$ (जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है)।
चरों को अलग करके समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y} = -\int k dt \Rightarrow \ln y = -kt + C$.
$t = 0$ पर,मान लीजिए प्रारंभिक नमी $y_0 = 1$ ($100 \%$ दर्शाती है) है।
अतः $\ln(1) = -k(0) + C \Rightarrow C = 0$.
इस प्रकार,$\ln y = -kt$.
दिया गया है कि $t = 1$ घंटे पर,कपड़ा अपनी आधी नमी खो देता है,इसलिए $y = 0.5$ (या $1/2$):
$\ln(0.5) = -k(1) \Rightarrow k = -\ln(0.5) = \ln(2)$.
अब,हमें वह $t$ ज्ञात करना है जब $99 \%$ नमी खो जाती है,जिसका अर्थ है कि $1 \%$ शेष बचती है:
$y = 0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
समीकरण $\ln y = -kt$ में मान रखने पर:
$\ln(10^{-2}) = -(\ln 2)t$.
$-2 \ln(10) = -(\ln 2)t$.
$t = \frac{2 \ln 10}{\ln 2} = \frac{2 \log 10}{\log 2}$.

(D) माना $x$ सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी है और $y$ सीढ़ी के ऊपरी सिरे की जमीन से ऊँचाई है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
दिया गया है कि ऊपरी सिरा $10 \ cm/sec$ की दर से नीचे फिसल रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -10 \ cm/sec = -0.1 \ m/sec$ है।
जब $x = 4 \ m$ है,तब $4^2 + y^2 = 25$,जिससे $y^2 = 25 - 16 = 9$ प्राप्त होता है,अतः $y = 3 \ m$ है।
$x^2 + y^2 = 25$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} = -y \frac{dy}{dt}$
$x = 4$,$y = 3$,और $\frac{dy}{dt} = -0.1$ मान रखने पर:
$4 \frac{dx}{dt} = -3(-0.1)$
$4 \frac{dx}{dt} = 0.3$
$\frac{dx}{dt} = \frac{0.3}{4} = 0.075 \ m/sec$ है।
अतः,सीढ़ी का निचला सिरा $0.075 \ m/sec$ की दर से फिसल रहा है।

(B) माना $f(x) = \tan^{-1} x$ है।
तब $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ होगा।
हम रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 1$ और $h = -0.001$ लें,जिससे $a+h = 0.999$ हो।
$f(a) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।
$f'(a) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} = 0.5$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}(0.999) \approx \frac{\pi}{4} + (-0.001)(0.5)$।
$\tan^{-1}(0.999) \approx \frac{3.1415}{4} - 0.0005$।
$\tan^{-1}(0.999) \approx 0.785375 - 0.0005$।
$\tan^{-1}(0.999) \approx 0.784875$।
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.7849$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $t$ वर्षों में जनसंख्या $p$ है।
दिया गया है कि जनसंख्या के परिवर्तन की दर जनसंख्या के समानुपाती है:
$\frac{dp}{dt} = kp$
$\Rightarrow \frac{dp}{p} = k dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log p = kt + c$
जब $t = 0$,$p = 40,000$:
$\log 40,000 = k(0) + c \Rightarrow c = \log 40,000$
अतः,$\log p = kt + \log 40,000 \Rightarrow \log \left(\frac{p}{40,000}\right) = kt$
जब $t = 40$ वर्ष,$p = 80,000$:
$\log \left(\frac{80,000}{40,000}\right) = 40k \Rightarrow \log 2 = 40k \Rightarrow k = \frac{\log 2}{40}$
हमें अगले $40$ वर्षों के बाद,यानी $t = 80$ वर्षों पर जनसंख्या ज्ञात करनी है:
$\log \left(\frac{p}{40,000}\right) = \left(\frac{\log 2}{40}\right) \times 80$
$\log \left(\frac{p}{40,000}\right) = 2 \log 2 = \log 2^2 = \log 4$
$\frac{p}{40,000} = 4$
$p = 4 \times 40,000 = 160,000$

(C) माना $f(x) = x^{3/2}$.
तब,$f'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2}$.
हम $3.978$ को $a + h$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $a = 4$ और $h = -0.022$ है।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(4) = 4^{3/2} = 8$.
$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot (4)^{1/2} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
अतः,$f(3.978) \approx 8 + (-0.022) \cdot 3$.
$f(3.978) \approx 8 - 0.066$.
$f(3.978) \approx 7.934$.

(B) $\text{माना } t \text{ सेकंड पर वर्ग का क्षेत्रफल } A, \text{ परिधि } P \text{ और भुजा की लंबाई } X \text{ है।}
\text{दिया गया है कि क्षेत्रफल } \frac{dA}{dt} = -3 \,cm^2 / sec \text{ की दर से सिकुड़ रहा है।}
\text{वर्ग का क्षेत्रफल } A = X^2 \text{ और परिधि } P = 4X \text{ है।}
A = X^2 \text{ से, } X = \sqrt{A} \text{ प्राप्त होता है।}
\text{इसे परिधि के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: } P = 4\sqrt{A} \text{।}
t \text{ के सापेक्ष अवकलन करने पर:}
\frac{dP}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{2}{X} \cdot \frac{dA}{dt} \text{।}
\text{यहाँ } X = 15 \,cm \text{ और } \frac{dA}{dt} = -3 \,cm^2 / sec \text{ (क्योंकि यह सिकुड़ रहा है):}
\frac{dP}{dt} = \frac{2}{15} \cdot (-3) = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5} \,cm / sec \text{।}
\text{ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि परिधि } \frac{2}{5} \,cm / sec \text{ की दर से घट रही है।}$

(A) माना $f(x) = x^3-2x^2+3x+2$.
हमें $x = 2.01$ पर अनुमानित मान ज्ञात करना है।
माना $a = 2$ और $h = 0.01$,इसलिए $x = a+h = 2.01$.
अवकलन $f'(x) = 3x^2-4x+3$ है।
$a = 2$ पर $f(a)$ की गणना करने पर:
$f(2) = (2)^3-2(2)^2+3(2)+2 = 8-8+6+2 = 8$.
$a = 2$ पर $f'(a)$ की गणना करने पर:
$f'(2) = 3(2)^2-4(2)+3 = 12-8+3 = 7$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(2.01) \approx 8 + (0.01)(7) = 8 + 0.07 = 8.07$.

(B) दिया है,$\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$.
परवलय का समीकरण $y = 2x^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dt} = 4x \cdot \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dx}{dt} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dt} = 4x(2) = 8x$ ... $(i)$.
माना बिंदु $(x, y)$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $r$ है,अतः $r = \sqrt{x^2 + y^2}$।
दूरी के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$।
$\frac{dx}{dt} = 2$ और $\frac{dy}{dt} = 8x$ रखने पर,$\frac{dr}{dt} = \frac{x(2) + y(8x)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{2x + 8xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$।
बिंदु $(1, 2)$ पर,$x = 1$ और $y = 2$ है।
$\frac{dr}{dt} = \frac{2(1) + 8(1)(2)}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2 + 16}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{18}{\sqrt{5}} \text{ units/sec}$।

(C) अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या $R = 180 \text{ cm}$ है।
पानी के प्रवाह की दर $\frac{dV}{dt} = 108 \text{ dm}^3/\text{min} = 108 \times 1000 \text{ cm}^3/\text{min} = 108000 \text{ cm}^3/\text{min}$ है।
सेकंड में बदलने पर: $\frac{dV}{dt} = \frac{108000}{60} \text{ cm}^3/\text{s} = 1800 \text{ cm}^3/\text{s}$।
माना पानी की गहराई $x$ है। अर्धगोलाकार कटोरे में पानी का आयतन $V = \frac{\pi}{3} x^2(3R - x)$ द्वारा दिया जाता है।
$R = 180$ रखने पर: $V = \frac{\pi}{3} x^2(540 - x) = 180 \pi x^2 - \frac{\pi}{3} x^3$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dt} = (360 \pi x - \pi x^2) \frac{dx}{dt}$।
$x = 120 \text{ cm}$ पर,$1800 = (360 \pi(120) - \pi(120)^2) \frac{dx}{dt}$।
$1800 = (43200 \pi - 14400 \pi) \frac{dx}{dt} = 28800 \pi \frac{dx}{dt}$।
$\frac{dx}{dt} = \frac{1800}{28800 \pi} = \frac{18}{288 \pi} = \frac{1}{16 \pi} \text{ cm/s}$।

(B) दिया गया है,गेंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
जब $V = 288 \pi$ है,तो:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3$
$r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$
$r = 6 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
अब,$V$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$
यहाँ $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cc/sec}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$4 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$1 = 36 \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{36} \text{ cm/sec}$।

(C) पिंड द्वारा तय की गई दूरी $s = 3t^2 - 8t + 5$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष $s$ का अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 8t + 5) = 6t - 8$.
पिंड तब रुकता है जब उसका वेग शून्य हो जाता है,अर्थात $v = 0$।
वेग को शून्य रखने पर: $6t - 8 = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर: $6t = 8 \Rightarrow t = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \text{ सेकंड}$।
अतः,पिंड $\frac{4}{3} \text{ सेकंड}$ बाद रुक जाएगा।

(C) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर,यानी $\frac{dV}{dA}$ ज्ञात करनी है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr}$।
सबसे पहले,$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$।
इसके बाद,$A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 8 \pi r$।
अब,$\frac{dV}{dA} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$ प्राप्त होता है।
दी गई त्रिज्या $r = 2 \text{ cm}$ के लिए,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}^3 / \text{ cm}^2$।

(A) माना कि $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$.
तब,$f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 4$ और $h = -0.022$ है:
$f(4 - 0.022) \approx f(4) + (-0.022) \cdot f'(4)$.
$f(4) = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.
$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
अतः,$f(3.978) \approx 8 + (-0.022) \cdot 3$.
$f(3.978) \approx 8 - 0.066 = 7.934$.

(D) माना $f(x) = 3^x$ है।
अतः,अवकलज $f'(x) = 3^x \log 3$ है।
हमें $f(2.001)$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ,$a = 2$ और $h = 0.001$ है।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$ का उपयोग करने पर:
$f(2.001) \approx f(2) + (0.001) f'(2)$.
मान रखने पर:
$f(2.001) \approx 3^2 + (0.001)(3^2 \log 3)$.
दिया गया है कि $\log 3 = 1.0986$:
$f(2.001) \approx 9 + (0.001)(9 \times 1.0986)$.
$f(2.001) \approx 9 + (0.001)(9.8874)$.
$f(2.001) \approx 9 + 0.0098874$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार राउंड ऑफ करने पर,हमें $9.00989$ प्राप्त होता है।

(D) माना $x$ सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी है और $y$ दीवार पर सीढ़ी के ऊपरी सिरे की ऊंचाई है।
दिया गया है कि सीढ़ी की लंबाई $5 \ m$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$
दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/sec$ और उस क्षण जब $x = 4 \ m$ है,तब $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$ है।
इन मानों को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{4}{3} \times 2 = -\frac{8}{3} \ m/sec$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊंचाई घट रही है।
अतः,दीवार पर ऊंचाई $\frac{8}{3} \ m/sec$ की दर से घट रही है।

(C) वृत्ताकार सेक्टर का परिमाप $P = r + r + r\theta = 2r + r\theta$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि तार की कुल लंबाई $20 \ m$ है,इसलिए $2r + r\theta = 20$।
इससे,हम $\theta$ को $r$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: $\theta = \frac{20 - 2r}{r}$।
वृत्ताकार सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta$ का मान रखने पर: $A = \frac{1}{2}r^2 \left( \frac{20 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2}r(20 - 2r) = 10r - r^2$।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$।
$\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर,हमें $10 - 2r = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 5$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$।
चूँकि $\frac{d^2A}{dr^2} < 0$,इसलिए $r = 5$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \ sq.m$ है।

(B) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 36 \ m^3/min$ है और आधार की त्रिज्या $r = 3 \ m$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$36 = \pi \times (3)^2 \times \frac{dh}{dt}$।
$36 = 9 \pi \times \frac{dh}{dt}$।
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9 \pi} = \frac{4}{\pi} \ m/min$।

(C) गोले का आयतन $(V) = \frac{4}{3} \pi r^3$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $(A) = 4 \pi r^2$.
दोनों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ और $\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$.
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dA}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
दी गई त्रिज्या $r = 2 \text{ cm}$ के लिए,यह मान रखने पर:
$\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}^3 / \text{cm}^2$.

(A) सबसे पहले,असमिका $x^2 + 20 \le 9 x$ को हल करके समुच्चय $A$ निर्धारित करें।
$x^2 - 9 x + 20 \le 0$
$(x - 4)(x - 5) \le 0$
अतः,$A = [4, 5]$।
अब,फलन $f(x) = 2 x^3 - 15 x^2 + 36 x - 48$ का विश्लेषण करें।
अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6 x^2 - 30 x + 36 = 6(x^2 - 5 x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$।
$x \in [4, 5]$ के लिए,$(x - 2)$ और $(x - 3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$।
चूंकि अंतराल $[4, 5]$ पर $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ समुच्चय $A = [4, 5]$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः न्यूनतम मान बाएं अंत बिंदु $x = 4$ पर प्राप्त होता है।
$f(4) = 2(4)^3 - 15(4)^2 + 36(4) - 48 = 2(64) - 15(16) + 144 - 48 = 128 - 240 + 144 - 48 = -16$।

(A) दिया गया है $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
द्विघात समीकरण $f'(x)$ का विविक्तकर (discriminant) $D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c$ है।
चूंकि $b^2 < c$,इसलिए $4b^2 < 4c$ है।
अतः,$D = 4b^2 - 12c < 4c - 12c = -8c$।
चूंकि $0 < b^2 < c$,इसका अर्थ है $c > 0$। इसलिए,$D < 0$।
चूंकि $f'(x)$ का मुख्य गुणांक $3 > 0$ है और $D < 0$ है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।

(C) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi+x)}{\ln(e+x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\ln(e+x) \cdot \frac{1}{\pi+x} - \ln(\pi+x) \cdot \frac{1}{e+x}}{[\ln(e+x)]^2}$.
अंश को सरल करने पर,$f'(x) = \frac{(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x)}{(\pi+x)(e+x)[\ln(e+x)]^2}$.
फलन $g(t) = t \ln(t)$ पर विचार करें। इसका अवकलज $g'(t) = 1 + \ln(t)$ है। $t > 1$ के लिए,$g'(t) > 0$,इसलिए $g(t)$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $\pi > e > 1$,$x > 0$ के लिए,$\pi+x > e+x > e > 1$ है।
चूंकि $g(t)$ वर्धमान है,$g(\pi+x) > g(e+x)$,जिसका अर्थ है कि $(\pi+x)\ln(\pi+x) > (e+x)\ln(e+x)$।
इसलिए,$(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x) < 0$।
चूंकि हर $x > 0$ के लिए हमेशा धनात्मक है,$f'(x) < 0$ सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूँकि $x > 0$ के लिए $x^2 > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $1 - \log x > 0$।
यह $1 > \log x$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\log x < 1$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,हमें $x < e^1$ या $x < e$ प्राप्त होता है।
दिए गए प्रांत $x > 0$ को देखते हुए,फलन अंतराल $(0, e)$ में वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 6x + 5$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 5) = 6x^2 - 6$.
एक फलन वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$ हो।
अतः,$6x^2 - 6 > 0$.
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 1 > 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x - 1)(x + 1) > 0$ हैं।
असमिका $(x - 1)(x + 1) > 0$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,यह व्यंजक तब धनात्मक होता है जब $x > 1$ या $x < -1$ हो।
इस प्रकार,फलन $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ के लिए वर्धमान है।