MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $I = \int \cos ^{-\frac{3}{7}} x \cdot \sin ^{-\frac{11}{7}} x \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{3}{7}} x} \, dx = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \cos ^{-\frac{3}{7} + \frac{11}{7}} x} \, dx$
$I = \int \frac{\sin ^{-\frac{11}{7}} x}{\cos ^{-\frac{11}{7}} x} \cdot \frac{1}{\cos ^{\frac{8}{7}} x} \, dx = \int \tan ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \sec ^{\frac{8}{7}} x \, dx$
અંશ અને છેદને $\cos ^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec ^2 x}{\tan ^{\frac{11}{7}} x} \, dx = \int \tan ^{-\frac{11}{7}} x \cdot \sec ^2 x \, dx$
$u = \tan x$ આદેશ લેતા,$du = \sec ^2 x \, dx$ મળે:
$I = \int u^{-\frac{11}{7}} \, du = \frac{u^{-\frac{11}{7} + 1}}{-\frac{11}{7} + 1} + c = \frac{u^{-\frac{4}{7}}}{-\frac{4}{7}} + c = -\frac{7}{4} \tan ^{-\frac{4}{7}} x + c$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(y)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) - \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
તેથી,$\frac{\pi}{2} - 2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$.
આથી,$2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = \frac{\pi}{2} - x$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા: $\tan(2 \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x$.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})$:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{1 - \cos \alpha}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્ર $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\cos \alpha}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.
પરંતુ,પ્રમાણિત નિત્યસમ $2 \tan ^{-1}(y) = \cos ^{-1}(\frac{1-y^2}{1+y^2})$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}) = \sin ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha})$.
તેથી,$\sin x = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan^2 \frac{\alpha}{2}$.

(D) ધારો કે $\cot^{-1} x = \theta$. તેથી $x = \cot \theta$.
$0 < x < 1$ હોવાથી,$\theta$ એ $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલમાં છે.
નિત્યસમ $\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\csc \theta = \sqrt{1 + x^2}$ મળે,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
વળી,$\cos \theta = \cot \theta \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \sqrt{1 + x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\} ^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [\{x (\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}) + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\} ^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [(\frac{x^2 + 1}{\sqrt{1 + x^2}})^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} [(\sqrt{1 + x^2})^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} (1 + x^2 - 1)^{\frac{1}{2}}$
$E = \sqrt{1 + x^2} (x^2)^{\frac{1}{2}}$
$x > 0$ હોવાથી,$(x^2)^{\frac{1}{2}} = x$.
તેથી,$E = x \sqrt{1 + x^2}$.

(D) ધારો કે $S = \sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$.
પ્રથમ,$\sin ^{-1} \frac{4}{5}$ અને $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ ને $\tan ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\sin ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ અને $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
હવે,પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો કરો:
$\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{5}{12} = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right)$.
અહીં $\tan ^{-1} \frac{63}{16} = \cos ^{-1} \frac{16}{65}$ થાય છે.
તેથી,$S = \cos ^{-1} \frac{16}{65} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{\pi}{2}$ મળે.
અંતે,પદાવલિની કિંમત $2 \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}(y) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$.
તેથી,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
નિત્યસમ $\sin ^{-1}(z)+\cos ^{-1}(z)=\frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
હવે,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ ને $\sin ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{16}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{9}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.
$\Rightarrow \sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને મળે $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(B) આપેલ છે કે $f(\theta) = \sin ( \tan ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}} ) )$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x = \sin ^{-1} ( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} )$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}}}{\sqrt{1 + \frac{\sin ^2 \theta}{\cos 2 \theta}}} ) )$
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta + \sin ^2 \theta}} ) )$
કારણ કે $\cos 2 \theta = \cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta$,તેથી:
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta + \sin ^2 \theta}} ) )$
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos ^2 \theta}} ) )$
$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ માટે,$\cos \theta > 0$,તેથી $\sqrt{\cos ^2 \theta} = \cos \theta$.
$f(\theta) = \sin ( \sin ^{-1} ( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} ) ) = \sin ( \sin ^{-1} ( \tan \theta ) ) = \tan \theta$.
હવે,આપણે $\frac{d}{d(\tan \theta)}(f(\theta))$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $u = \tan \theta$. તો $f(\theta) = u$.
તેથી,$\frac{d}{du}(u) = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left(\cot ^{-1}(x+1)\right)=\cos \left(\tan ^{-1} x\right)$
ધારો કે $\theta_1 = \cot ^{-1}(x+1)$. તેથી $\cot \theta_1 = x+1$. નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin \theta_1 = \frac{1}{\sqrt{1+(x+1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2+2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.
ધારો કે $\theta_2 = \tan ^{-1} x$. તેથી $\tan \theta_2 = x$. નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+2x+2 = 1+x^2$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $2x+2 = 1$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = -1$,જે આપે છે $x = -\frac{1}{2}$.

(B) આપણે $\cot \left(\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}\right)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}$ ને $\tan^{-1}$ માં ફેરવો. $\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}$ હોવાથી,$\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} = \sin^{-1} \frac{3}{5}$ થાય.
ધારો કે $\sin^{-1} \frac{3}{5} = \theta$,તો $\sin \theta = \frac{3}{5}$. તેથી,$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{5^2-3^2}} = \frac{3}{4}$. આમ,$\sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan^{-1} \frac{3}{4}$ થાય.
હવે પદાવલિ $\cot \left(\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3}\right)$ બને છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}$.
અંતે,$\cot \left(\tan^{-1} \frac{17}{6}\right) = \cot \left(\cot^{-1} \frac{6}{17}\right) = \frac{6}{17}$.

(C) ધારો કે $\cot ^{-1} x = \theta$,તેથી $x = \cot \theta$.
કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$.
આપેલ પદાવલિ $\sqrt{1+x^2} [\{x \cos \theta + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$ છે.
$x = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ મૂકતા:
$\sqrt{1+\cot^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} + \sin \theta\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta} [\{\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta [\{\frac{1}{\sin \theta}\}^2 - 1]^{\frac{1}{2}}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\cot^2 \theta}$
$= \operatorname{cosec} \theta \cdot \cot \theta$ (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે $\cot \theta > 0$ છે)
અહીં $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{1+x^2}$ અને $\cot \theta = x$ હોવાથી,જવાબ $x \sqrt{1+x^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin^{-1} (2 x \sqrt{1 - x^2}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 x^2 - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$ છે.
$\cos^{-1} x = \alpha$ હોવાથી,$x = \cos \alpha$ મળે. આપેલ છે કે $0 < x < 1$,તેથી $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ થાય.
સમીકરણમાં $x = \cos \alpha$ મૂકતા:
$\sin^{-1} (2 \cos \alpha \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 \cos^2 \alpha - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\sin^{-1} (2 \cos \alpha \sin \alpha) + \sec^{-1} (\frac{1}{\cos 2 \alpha}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\sin^{-1} (\sin 2 \alpha) + \cos^{-1} (\cos 2 \alpha) = \frac{2 \pi}{3}$
અહીં $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < 2 \alpha < \pi$ થાય. તેથી $\sin^{-1} (\sin 2 \alpha) = 2 \alpha$ અને $\cos^{-1} (\cos 2 \alpha) = 2 \alpha$ મળે.
આમ,$2 \alpha + 2 \alpha = \frac{2 \pi}{3}$
$4 \alpha = \frac{2 \pi}{3}$
$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

(B) ધારો કે $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$.
તેથી $2\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$,જેનો અર્થ થાય છે $\cos 2\theta = \frac{a}{b}$.
આપેલ પદાવલિ $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)$ છે.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ અને $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$= \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta} + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$
$= \frac{(1+\tan \theta)^2 + (1-\tan \theta)^2}{(1-\tan \theta)(1+\tan \theta)}$
$= \frac{1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta + 1 - 2\tan \theta + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1+\tan^2 \theta)}{1-\tan^2 \theta}$
$= \frac{2}{\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}}$
$= \frac{2}{\cos 2\theta}$
$\cos 2\theta = \frac{a}{b}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{2}{a/b} = \frac{2b}{a}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$.
$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x(x+1) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ $0 \leq \sqrt{x^2+x+1} \leq 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $0 \leq x^2+x+1 \leq 1$.
અસમતા $x^2+x+1 \leq 1$ એ $x^2+x \leq 0$ માં પરિણમે છે,અથવા $x(x+1) \leq 0$.
$x(x+1) \geq 0$ અને $x(x+1) \leq 0$ ને જોડતા,આપણને $x(x+1) = 0$ મળે છે.
આનાથી $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
$x = 0$ તપાસતા: $\tan ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. આ એક ઉકેલ છે.
$x = -1$ તપાસતા: $\tan ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. આ પણ એક ઉકેલ છે.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
આપેલ છે કે $\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y + \cos ^{-1} z = 3\pi$.
દરેક પદ મહત્તમ $\pi$ હોઈ શકે છે,તેથી તેમનો સરવાળો $3\pi$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક પદ બરાબર $\pi$ હોય.
તેથી,$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,અને $\cos ^{-1} z = \pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \cos(\pi) = -1$,$y = \cos(\pi) = -1$,અને $z = \cos(\pi) = -1$.
હવે,આ કિંમતોને $x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 - 2(-1)(-1)(-1)$
$= 1 + 1 + 1 - 2(-1)$
$= 3 + 2$
$= 5$.

(C) આપેલ છે: $\cot ^{-1}(7)+\cot ^{-1}(8)+\cot ^{-1}(18)=\cot ^{-1} x$
ગુણધર્મ $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ ($y > 0$ માટે) નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}(\frac{1}{7})+\tan ^{-1}(\frac{1}{8})+\tan ^{-1}(\frac{1}{18})=\tan ^{-1}(\frac{1}{x})$
પ્રથમ,$\tan ^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{8})$ માટે $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ સૂત્ર વાપરતા:
$\tan ^{-1}(\frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}{1-(\frac{1}{7})(\frac{1}{8})}) = \tan ^{-1}(\frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}}) = \tan ^{-1}(\frac{15}{55}) = \tan ^{-1}(\frac{3}{11})$
હવે,ત્રીજું પદ ઉમેરતા:
$\tan ^{-1}(\frac{3}{11}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{18}) = \tan ^{-1}(\frac{\frac{3}{11}+\frac{1}{18}}{1-(\frac{3}{11})(\frac{1}{18})})$
$= \tan ^{-1}(\frac{\frac{54+11}{198}}{\frac{198-3}{198}}) = \tan ^{-1}(\frac{65}{195}) = \tan ^{-1}(\frac{1}{3})$
આમ,$\tan ^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan ^{-1}(\frac{1}{x})$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(B) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ: $\sec^{-1}(-x) = \pi - \sec^{-1}(x)$,$\operatorname{cosec}^{-1}(-x) = -\operatorname{cosec}^{-1}(x)$,અને $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$.
વધુમાં,$\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
$\sec^{-1}(-2) = \pi - \sec^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2}) = -\operatorname{cosec}^{-1}(\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
$\cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{-3\pi + 8\pi}{12}} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{5\pi}{12}} = -\frac{\pi}{3} \times \frac{12}{5\pi} = -\frac{4}{5}$.

(C) આપણી પાસે $\cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right\}$ છે.
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ અને $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos ^{-1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\cos \frac{\pi}{10} - \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\pi}{10} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\left(\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{10}\right)\right\}$
$= \cos ^{-1}\left\{-\cos \left(\frac{5\pi - 2\pi}{20}\right)\right\} = \cos ^{-1}\left\{-\cos \frac{3\pi}{20}\right\}$
$\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ હોવાથી:
$= \pi - \cos^{-1}\left(\cos \frac{3\pi}{20}\right)$
$= \pi - \frac{3\pi}{20} = \frac{17\pi}{20}$.

(D) આપેલ છે,$\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=\pi$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\pi-\cos ^{-1} z$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\cos ^{-1}(-z)$
$\Rightarrow \cos ^{-1}\left[x y-\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\right]=\cos ^{-1}(-z)$
$\Rightarrow x y-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-z$
$\Rightarrow x y+z=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x y+z)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$
$x^2 y^2+2 x y z+z^2=1-y^2-x^2+x^2 y^2$
$x^2+y^2+z^2+2 x y z=1$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+k x y z=1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=2$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
કારણ કે $\frac{7 \pi}{6}$ આ અંતરાલમાં નથી,તેથી આપણે પદને સરળ બનાવીએ:
$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan (\pi + \frac{\pi}{6})\right)$
નિત્યસમ $\tan (\pi + \theta) = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right)$
કારણ કે $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,તેથી પદનું મૂલ્ય:
$= \frac{\pi}{6}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(x+2)+\tan ^{-1}(x-2) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(x+2)+(x-2)}{1-(x+2)(x-2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-(x^2-4)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{5-x^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
બંને બાજુ સરખાવતા:
$\frac{2x}{5-x^2} = \frac{1}{2}$
$4x = 5 - x^2$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
$(x+5)(x-1) = 0$
તેથી,$x = -5$ અથવા $x = 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$
આપણે આ પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ: $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x)\right)$
ગુણધર્મ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\cos \left(\cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$-\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$
કારણ કે $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$,તેથી પદાવલિ આ મુજબ થશે:
$-\sin \left(\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}\right) = -\sqrt{1-x^2}$
$x = \frac{1}{5}$ મૂકતા:
$-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

(C) ધારો કે $\theta = \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\phi = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$ છે.
ચૂકી $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$,અને તેથી $\tan \theta = 1$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $\tan (\theta + \phi)$ છે.
સૂત્ર $\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (\theta + \phi) = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - (1)(\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$.

(C) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ અને $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
તેથી $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$.
અને $\cos \beta = \frac{12}{13}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$.
નિત્યસમ $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{5}{13}\right)$
$= \frac{48}{65} - \frac{15}{65}$
$= \frac{33}{65}$.

(B) ધારો કે $x = \cos 2\theta$.
તેથી $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
પદમાં $x = \cos 2\theta$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\cos^2\theta}-\sqrt{2\sin^2\theta}}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}\right)$
$= \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \theta))$
$= \frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x$.
હવે,બીજું પદ ઉમેરતા:
$(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x) + \frac{1}{2} \cos^{-1} x = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$ અને $\sin ^{-1}(x) + \cos ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે આપેલ પદ $E = \sin \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)-\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$ છે.
ગુણધર્મ $\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) = \pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = \sin \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) - \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$.
હવે,પ્રતિવિધેય પદોને જૂથમાં લેતા:
$E = \sin \left(\pi - \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)$.
કારણ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\cos ^{-1}(x) + \sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ છે,તેથી:
$E = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
આમ,$E = 1$.

(C) આપણે પ્રતિવિધેયોની મુખ્ય કિંમતો જાણીએ છીએ:
$\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$
$\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\cos ^{-1}(-x) = \pi - \cos ^{-1}(x)$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1}(-\sqrt{3}) - \sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\tan ^{-1}(\sqrt{3}) - \frac{\pi}{4} + \left(\pi - \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$
$= -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi - \frac{\pi}{3}$
$= \pi - \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)$
$= \pi - \left(\frac{4\pi + 4\pi + 3\pi}{12}\right)$
$= \pi - \frac{11\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

(C) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ છે કે $\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x}\right)=\tan ^{-1}(-7)$.
સૂત્ર લાગુ પાડતા,આપણને મળે $\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x}}{1-\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x}\right)}\right]=\tan ^{-1}(-7)$.
કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x(x+1)+(x-1)^2}{x(x-1)-(x+1)(x-1)} = \frac{x^2+x+x^2-2x+1}{x^2-x-(x^2-1)} = \frac{2x^2-x+1}{1-x}$.
હવે,$\frac{2x^2-x+1}{1-x} = -7$ લેતા.
$2x^2-x+1 = -7(1-x) = -7+7x$.
$2x^2-8x+8 = 0$.
$x^2-4x+4 = 0$.
$(x-2)^2 = 0$,તેથી $x=2$ મળે છે.

(B) આપણને સમીકરણ $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\sin ^{-1} P$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ ને $\sin ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો.
ધારો કે $\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \theta$,તો $\cos \theta = \frac{12}{13}$.
$\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\cos ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$.
હવે,સમીકરણ $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) = \sin ^{-1} P$ બને છે.
સૂત્ર $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1} y = \sin ^{-1}\left(x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{-1} P = \sin ^{-1}\left[\frac{3}{5} \sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} + \frac{5}{13} \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}\right]$
$= \sin ^{-1}\left[\frac{3}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \times \frac{4}{5}\right]$
$= \sin ^{-1}\left(\frac{36}{65} + \frac{20}{65}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{56}{65}\right)$.
તેથી,$P = \frac{56}{65}$.

(C) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{9}\right)}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
હવે,આપણે નિત્યસમ $2 \tan ^{-1} \theta = \cos ^{-1} \left( \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ,જેનો અર્થ છે કે $\tan ^{-1} \theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} \right)$.
$\theta = \frac{1}{2}$ લેતા,આપણને મળે $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2} \right)$
$= \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-1/4}{1+1/4} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{3/4}{5/4} \right) = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{3}{5} \right)$
આને $\frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \frac{3}{5}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1} x + \tan^{-1} 6x = \frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan^{-1}(u) + \tan^{-1}(v) = \tan^{-1}\left(\frac{u+v}{1-uv}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{x + 6x}{1 - (x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 6x^2}\right) = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{7x}{1 - 6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$7x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 7x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(6)(-1)}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 24}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{12}$
શરત $x \geq 0$ હોવાથી,આપણે ઋણ ઉકેલને અવગણીશું:
$x = \frac{-7 + \sqrt{73}}{12}$
આમ,$x$ માટે માત્ર એક જ માન્ય કિંમત હોવાથી,ગણ $A$ એ એકાકી ગણ છે.

(B) ધારો કે $\cos ^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right) = x$.
તેથી,$\cos x = -\frac{3}{5}$.
$\cos ^{-1}$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી અને $\cos x$ ઋણ હોવાથી,$x$ બીજા ચરણમાં છે.
તેથી,$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
હવે,આપણે $\sin(2x)$ શોધવાનું છે.
દ્વિગુણિત ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin(2x) = 2 \times \left(\frac{4}{5}\right) \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.

(C) ધારો કે $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$. તેથી $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
આપણે $\tan(2\theta)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(2\theta) = \frac{2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{1 - \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}}$
$= \frac{4(\sqrt{5}-1)}{2\sqrt{5}-2}$
$= \frac{4(\sqrt{5}-1)}{2(\sqrt{5}-1)}$
$= 2$.

(C) $f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત હોવાથી,$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$.
ધારો કે $1-x = h$. જ્યારે $x \to 1$,ત્યારે $h \to 0$.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1+\cos(\pi(1-h))}{\pi h^2}$
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1+\cos(\pi - \pi h)}{\pi h^2}$
કારણ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos(\pi h)}{\pi h^2}$
નિત્યસમ $1-\cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{\pi h}{2})}{\pi h^2}$
$f(1) = \frac{2}{\pi} \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{h} \right)^2$
$(\frac{\pi}{2})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot (\frac{\pi}{2})^2 \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2}} \right)^2$
$f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot (1)^2 = \frac{\pi}{2}$.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\operatorname{cosec} x} = \lim_{x \to 0} \exp\left(\operatorname{cosec} x \cdot \ln\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)\right)$.
વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,લક્ષ $1^\infty$ સ્વરૂપમાં છે.
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin x} \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x} - 1\right) = 0$.
તેથી,$f(0) = e^0 = 1$.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + y = 12$ અને $2x + y = 20$ રેખાઓની ઉગમબિંદુ તરફની બાજુએ છે અને તે પ્રથમ ચરણમાં છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$B(10, 0)$,$C(8, 4)$ અને $D(0, 12)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 10x + 6y$ ની કિંમત તપાસતા:
$O(0, 0)$ પર,$z = 10(0) + 6(0) = 0$.
$B(10, 0)$ પર,$z = 10(10) + 6(0) = 100$.
$C(8, 4)$ પર,$z = 10(8) + 6(4) = 80 + 24 = 104$.
$D(0, 12)$ પર,$z = 10(0) + 6(12) = 72$.
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $104$ છે,જે બિંદુ $C(8, 4)$ પર મળે છે.

(A) સુરેખ અસમતાઓ નક્કી કરવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા રેખાઓ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $(0, 25)$ અને $(50, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{50} + \frac{y}{25} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 50$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,અસમતા $x + 2y \geq 50$ છે.
$2$. $(0, 100)$ અને $(50, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{50} + \frac{y}{100} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + y = 100$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે હોવાથી,અસમતા $2x + y \leq 100$ છે.
$3$. $(0, 0)$ અને $(10, 20)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = 2x$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y = 0$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુએ હોવાથી (દા.ત.,ટેસ્ટ પોઈન્ટ $(0, 10)$ લેતા $2(0) - 10 = -10 \leq 0$),અસમતા $2x - y \leq 0$ છે.
$4$. આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x, y \geq 0$.
આમ,સાચો અસમતાઓનો ગણ $x + 2y \geq 50, 2x + y \leq 100, 2x - y \leq 0, x, y \geq 0$ છે.

(D) સુરેખ પ્રતિબંધો નક્કી કરવા માટે,આપણે છાયાંકિત વિસ્તારની સીમાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x=1$ માંથી પસાર થતી ઉભી રેખા,જેમાં છાયાંકિત વિસ્તાર જમણી બાજુ છે,તે પ્રતિબંધ $x \geqslant 1$ આપે છે.
$2$. $y=3$ માંથી પસાર થતી આડી રેખા,જેમાં છાયાંકિત વિસ્તાર તેની નીચે છે,તે પ્રતિબંધ $y \leqslant 3$ આપે છે.
$3$. $(2, 0)$ અને $(0, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{2} - \frac{y}{1} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y = 2$ થાય છે. છાયાંકિત વિસ્તાર આ રેખાની ઉપર હોવાથી (દા.ત.,બિંદુ $(3, 1)$ ચકાસતા $3 - 2(1) = 1 \leqslant 2$ મળે છે),પ્રતિબંધ $x - 2y \leqslant 2$ છે.
$4$. $(7, 0)$ અને $(0, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{7} + \frac{y}{6} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $6x + 7y = 42$ થાય છે. છાયાંકિત વિસ્તાર આ રેખાની નીચે હોવાથી (દા.ત.,બિંદુ $(1, 1)$ ચકાસતા $6(1) + 7(1) = 13 \leqslant 42$ મળે છે),પ્રતિબંધ $6x + 7y \leqslant 42$ છે.
$5$. અન-ઋણતા પ્રતિબંધો $x \geqslant 0$ અને $y \geqslant 0$ છે.
આ બધાને જોડતા,સાચો પ્રતિબંધોનો સેટ $x \geqslant 1, y \leqslant 3, x-2y \leqslant 2, 6x+7y \leqslant 42, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ છે.

(D) શરતો $3x+2y \leq 12$,$x+y \geq 4$,અને $x, y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓ $3x+2y=12$ અને $x+y=4$ દોરીએ છીએ.
રેખાઓના અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$3x+2y=12$ માટે: $(4,0)$ અને $(0,6)$.
$x+y=4$ માટે: $(4,0)$ અને $(0,4)$.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $A(4,0)$,$B(0,4)$,અને $C(0,6)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+6y$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$A(4,0)$ પર: $z = 4(4) + 6(0) = 16$.
$B(0,4)$ પર: $z = 4(0) + 6(4) = 24$.
$C(0,6)$ પર: $z = 4(0) + 6(6) = 36$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ છે,જે બિંદુ $C(0,6)$ પર મળે છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાઓ $x+y=10$,$5x+3y=15$,$x=6$ અને અક્ષો $x=0, y=0$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0,5)$,$B(0,10)$,$C(6,4)$ અને $E(3,0)$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=x+y$ ની કિંમત શોધીએ:
$A(0,5)$ પર,$z = 0+5 = 5$.
$B(0,10)$ પર,$z = 0+10 = 10$.
$C(6,4)$ પર,$z = 6+4 = 10$.
$E(3,0)$ પર,$z = 3+0 = 3$.
$z$ ની મહત્તમ કિંમત $10$ છે,જે $B(0,10)$ અને $C(6,4)$ બંને બિંદુઓ પર મળે છે.
જ્યારે મહત્તમ કિંમત બે શિરોબિંદુઓ પર મળતી હોય,ત્યારે તે બિંદુઓ $B$ અને $C$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓ પર મળે છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અસંખ્ય બિંદુઓ પર મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $3x+4y=12$,$x+y=5$ રેખાઓ અને પ્રથમ ચરણમાં અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશના ખૂણાઓ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $3x+4y=12$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ નું છેદબિંદુ: $3x=12 \implies x=4$. બિંદુ $A(4, 0)$ છે.
$2$. $x+y=5$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ નું છેદબિંદુ: $x=5$. બિંદુ $B(5, 0)$ છે.
$3$. $x+y=5$ અને $y$-અક્ષ $(x=0)$ નું છેદબિંદુ: $y=5$. બિંદુ $C(0, 5)$ છે.
$4$. $3x+4y=12$ અને $y$-અક્ષ $(x=0)$ નું છેદબિંદુ: $4y=12 \implies y=3$. બિંદુ $D(0, 3)$ છે.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $z=4x+2y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $A(4, 0)$ પર: $z = 4(4) + 2(0) = 16$
- $B(5, 0)$ પર: $z = 4(5) + 2(0) = 20$
- $C(0, 5)$ પર: $z = 4(0) + 2(5) = 10$
- $D(0, 3)$ પર: $z = 4(0) + 2(3) = 6$
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $B(5, 0)$ બિંદુ પર $20$ છે.

(D) સુરેખ પ્રતિબંધો શોધવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા બનાવતી ત્રણ રેખાઓના સમીકરણો નક્કી કરીએ છીએ:
$1$. $(0, 3)$ અને $(8, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{8} + \frac{y}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 8y = 24$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર (ઉગમબિંદુથી દૂર) હોવાથી,પ્રતિબંધ $3x + 8y \geq 24$ છે.
$2$. $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x + 5y = 20$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે (ઉગમબિંદુ તરફ) હોવાથી,પ્રતિબંધ $4x + 5y \leq 20$ છે.
$3$. $(0, 5)$ અને $(3, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 3y = 15$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે (ઉગમબિંદુ તરફ) હોવાથી,પ્રતિબંધ $5x + 3y \leq 15$ છે.
આને અન-ઋણ પ્રતિબંધો $x \geq 0, y \geq 0$ સાથે જોડતા,આપણને સિસ્ટમ મળે છે: $3x + 8y \geq 24, 4x + 5y \leq 20, 5x + 3y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આલેખિત ઉકેલ ગણ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓની પ્રણાલીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $x+y \geq 1$,$7x+9y \leq 63$,$y \leq 5$,$x \leq 6$,$x \geq 0$,$y \geq 0$.
$1$. $x+y \geq 1$ માટે: રેખા $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
$2$. $7x+9y \leq 63$ માટે: રેખા $(9, 0)$ અને $(0, 7)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$3$. $x \leq 6$ અને $y \leq 5$ માટે: આ પ્રથમ ચરણમાં $x=6$ અને $y=5$ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$4$. આ તમામ પ્રદેશોનો છેદગણ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આપે છે. આ રેખાઓ દોરવાથી,આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (0, 7), (2.57, 5), (6, 5), (6, 2.33)$ અને $(1, 0)$ દ્વારા બંધાયેલ છે.
આને આપેલી આકૃતિઓ સાથે સરખાવતા,સાચી આલેખિત રજૂઆત આકૃતિ $2$ છે.

(C) ચાલો છાયાંકિત પ્રદેશ અને તેના સુરેખ અવરોધોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. આલેખ જોતા,પ્રદેશ રેખાઓ $y=x$ અને $-x+3y=3$ તથા અક્ષો $x=0$ અને $y=0$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$2$. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $-x+3y=3$ ની નીચે આવેલો છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા,આપણને $-0+3(0) = 0 \leq 3$ મળે છે,જે અસમતાનું પાલન કરે છે. તેથી,અવરોધ $-x+3y \leq 3$ છે.
$3$. આ પ્રદેશ રેખા $y=x$ ની જમણી બાજુએ છે. પ્રદેશમાં કોઈ બિંદુ,જેમ કે $(2, 0)$ ચકાસતા,આપણને $x-y = 2-0 = 2 \geq 0$ મળે છે. તેથી,અવરોધ $x-y \geq 0$ છે.
$4$. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(C)$ આ શરતો સાથે મેળ ખાય છે: $x-y \geq 0, -x+3y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$.

(B) ધારો કે $x$ અને $y$ અનુક્રમે તાંબા અને પિત્તળની માત્રા ગ્રામમાં દર્શાવે છે.
ન્યૂનતમ કરવા માટેનું ઉદ્દેશ્ય વિધેય ખર્ચ છે: $z = 8x + 5y$.
સમસ્યાના આધારે અવરોધો છે:
$1) \ x + y \geq 5$ (કુલ વજન ઓછામાં ઓછું $5 \text{ gms}$)
$2) \ x \geq 2$ (ઓછામાં ઓછું $2 \text{ gms}$ તાંબુ)
$3) \ y \leq 4$ (મહત્તમ $4 \text{ gms}$ પિત્તળ)
$4) \ x \geq 0, y \geq 0$ (બિન-ઋણાત્મક અવરોધો)
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ આ અસમતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ સીમા રેખાઓના છેદન દ્વારા મળે છે:
- બિંદુ $A$: $x = 2$ અને $y = 4$ નું છેદન,તેથી $A = (2, 4)$.
- બિંદુ $B$: $x = 2$ અને $x + y = 5$ નું છેદન,તેથી $B = (2, 3)$.
- બિંદુ $C$: $x + y = 5$ અને $y = 0$ નું છેદન,તેથી $C = (5, 0)$.
હવે,આ ખૂણાના બિંદુઓ પર ઉદ્દેશ્ય વિધેય $z = 8x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
- $A(2, 4)$ પર: $z = 8(2) + 5(4) = 16 + 20 = 36$.
- $B(2, 3)$ પર: $z = 8(2) + 5(3) = 16 + 15 = 31$.
- $C(5, 0)$ પર: $z = 8(5) + 5(0) = 40 + 0 = 40$.
$z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $31$ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ ખર્ચ $₹ 31$ છે.

(A) આપેલ શરતો $2x \geq 4$ (એટલે કે $x \geq 2$),$y \leq 3$,$x+y \leq 8$ અને $x, y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાઓ $x=2, y=3, x+y=8$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$A(2, 0)$ ($x=2$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ)
$B(8, 0)$ ($x+y=8$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ)
$C(5, 3)$ ($x+y=8$ અને $y=3$ નું છેદબિંદુ)
$D(2, 3)$ ($x=2$ અને $y=3$ નું છેદબિંદુ)
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $Z=100x+70y$ ની કિંમત શોધીએ:
$A(2, 0)$ પર: $Z = 100(2) + 70(0) = 200$
$B(8, 0)$ પર: $Z = 100(8) + 70(0) = 800$
$C(5, 3)$ પર: $Z = 100(5) + 70(3) = 500 + 210 = 710$
$D(2, 3)$ પર: $Z = 100(2) + 70(3) = 200 + 210 = 410$
આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $800$ છે જે બિંદુ $B(8, 0)$ પર મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(6,0)$,$B(6,4)$,$C(3,7)$ અને $D(0,5)$ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+3y$ ની કિંમત શોધીએ:
$O(0,0)$ પર,$z=4(0)+3(0)=0$
$A(6,0)$ પર,$z=4(6)+3(0)=24$
$B(6,4)$ પર,$z=4(6)+3(4)=24+12=36$
$C(3,7)$ પર,$z=4(3)+3(7)=12+21=33$
$D(0,5)$ પર,$z=4(0)+3(5)=15$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ મળે છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$x - y + z = 4$
$2x + y - 3z = 0$
$x + y + z = 2$
મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં,આ $AX = B$ છે,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(1 + 3) - (-1)(2 + 3) + 1(2 - 1) = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$
કારણ કે $|A| \neq 0$,સંહતિનો ઉકેલ $X = A^{-1}B$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ શોધો:
$C_{11} = 4, C_{12} = -5, C_{13} = 1$
$C_{21} = 2, C_{22} = 0, C_{23} = -2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 5, C_{33} = 3$
$adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
આમ,$x = 2, y = -1, z = 1$.

(D) આપેલ છે કે $(A-3 I)(A-5 I)=O$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$A^2 - 5A - 3A + 15I = O$
$A^2 - 8A + 15I = O$
$A^2 + 15I = 8A$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$A + 15A^{-1} = 8I$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2}A + \frac{15}{2}A^{-1} = 4I$
આને આપેલ સમીકરણ $\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = \frac{15}{2}$
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

(D) ધારો કે $P = A^2 B^2 - B^2 A^2$.
$P$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$P^T = (A^2 B^2 - B^2 A^2)^T = (A^2 B^2)^T - (B^2 A^2)^T$.
ગુણધર્મ $(XY)^T = Y^T X^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P^T = (B^2)^T (A^2)^T - (A^2)^T (B^2)^T$.
$A$ સંમિત હોવાથી $(A^T = A)$ અને $B$ વિસંમિત હોવાથી $(B^T = -B)$,આપણને મળે છે $(A^2)^T = (A^T)^2 = A^2$ અને $(B^2)^T = (B^T)^2 = (-B)^2 = B^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P^T = B^2 A^2 - A^2 B^2 = -(A^2 B^2 - B^2 A^2) = -P$.
$P^T = -P$ હોવાથી,$P$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
કોઈપણ એકી કક્ષા $n$ (અહીં $n=3$) ધરાવતા વિસંમિત શ્રેણિક $P$ માટે,નિશ્ચાયક $\det(P) = 0$ થાય છે.
$\det(P) = 0$ હોવાથી,સંહતિ $PX = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે તેને અનંત ઉકેલો છે.

(D) આપેલ છે $A=\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A^2$ શોધો:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right]$.
હવે,$A^4 = A^2 \cdot A^2$ શોધો:
$A^4 = \left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}(x^2+1)^2+x^2 & x(x^2+1+1) \\ x(x^2+1+1) & x^2+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}(x^2+1)^2+x^2 & x(x^2+2) \\ x(x^2+2) & x^2+1\end{array}\right]$.
આપેલ છે કે $a_{11} = 109$,તેથી $(x^2+1)^2 + x^2 = 109$.
ધારો કે $t = x^2$. તો $(t+1)^2 + t = 109 \Rightarrow t^2 + 2t + 1 + t = 109 \Rightarrow t^2 + 3t - 108 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(t+12)(t-9) = 0$. કારણ કે $x \in R^{+}$,તેથી $t = x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$.
$x=3$ ને શ્રેણિક $A^4$ માં મૂકતા:
$a_{11} = (9+1)^2 + 9 = 109$,$a_{12} = a_{21} = 3(9+2) = 33$,$a_{22} = 9+1 = 10$.
તેથી,$A^4 = \left[\begin{array}{cc}109 & 33 \\ 33 & 10\end{array}\right]$.
નિશ્ચાયક $|A^4| = (109)(10) - (33)(33) = 1090 - 1089 = 1$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $\frac{1}{|A^4|} \text{adj}(A^4) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}10 & -33 \\ -33 & 109\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}10 & -33 \\ -33 & 109\end{array}\right]$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \operatorname{adj} A = |A| I$. આપેલ છે કે $A \cdot \operatorname{adj} A = A^T$,તેથી $|A| I = A^T$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$ છે.
તેથી,$|A| I = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
$A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$ છે.
સમીકરણ $15a - 2b = 0$ અને $3b + 10a = 13$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = \frac{15a}{2}$. બીજા સમીકરણમાં કિંમત મુકતા: $3(\frac{15a}{2}) + 10a = 13 \Rightarrow \frac{45a + 20a}{2} = 13 \Rightarrow 65a = 26 \Rightarrow a = \frac{2}{5}$.
તેથી $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
આમ,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.