MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કેશિકામાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ અને $r$ ના આપેલ મૂલ્ય માટે,$h \propto \frac{\cos \theta}{\rho}$ થાય.
પ્રવાહી સમાન ઊંચાઈ સુધી ચઢતા હોવાથી $(h_1 = h_2 = h_3)$,આપણને $\frac{\cos \theta_1}{\rho_1} = \frac{\cos \theta_2}{\rho_2} = \frac{\cos \theta_3}{\rho_3}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,તેથી $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ થાય.
કોસાઇન વિધેય $[0, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય હોવાથી,$\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ મળે.
તેથી,$0 \le \theta_1 < \theta_2 < \theta_3 < \frac{\pi}{2}$ સાચો જવાબ છે.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના અણુઓ પાસે $3$ સ્થાનાંતરિત (translational) મુક્તિના અંશો અને $2$ ભ્રમણીય (rotational) મુક્તિના અંશો હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે અણુ પાસે એક વધારાનો કંપનનો પ્રકાર (vibrational mode) છે.
દરેક કંપનનો પ્રકાર $2$ મુક્તિના અંશોમાં ફાળો આપે છે (એક ગતિ ઉર્જા માટે અને એક સ્થિતિ ઉર્જા માટે).
તેથી, કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3$ (translational) $+ 2$ (rotational) $+ 2$ (vibrational) $= 7$ થાય.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_V = \frac{fR}{2}$ છે.
$f = 7$ મૂકતા, આપણને $C_V = \frac{7R}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ થી કણો $m_1$ અને $m_2$ ના પ્રારંભિક અંતરો છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ પર જળવાઈ રહે તે માટેની શરત $m_1 x_1 = m_2 x_2$ ... $(i)$ છે.
જ્યારે કણ $m_1$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે $C$ થી તેનું નવું અંતર $(x_1 - d)$ થાય છે.
ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અપરિવર્તિત રાખવા માટે બીજા કણ $m_2$ ને $d'$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે. $C$ થી તેનું નવું અંતર $(x_2 - d')$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અપરિવર્તિત રહે તે માટે નવી શરત $m_1(x_1 - d) = m_2(x_2 - d')$ ... (ii) છે.
સમીકરણ (ii) નું વિસ્તરણ કરતા: $m_1 x_1 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 d'$
સમીકરણ $(i)$ મુજબ $m_1 x_1 = m_2 x_2$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત વિસ્તૃત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$m_2 x_2 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 d'$
$-m_1 d = -m_2 d'$
$d' = \frac{m_1}{m_2} d$
અહીં સ્થાનાંતર $d'$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફની દિશામાં ધન હોવાથી,બીજા કણને પણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ ખસેડવો પડશે.

(D) સળિયો ભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈપણ બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
નાઈફ-એજ $B$ ને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
$\sum \tau_B = 0$
$N_A \cdot r - W \cdot (r - x) = 0$
જ્યાં $N_A$ એ $A$ પર લાગતું લંબબળ છે.
$N_A \cdot r = W(r - x)$
$N_A = \frac{W(r - x)}{r}$

(B) બે કણોની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થાન સદિશ $\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ એ બંને કણોના સ્થાન સદિશોની ભારિત સરેરાશ હોવાથી,તે બંને કણોને જોડતી રેખા પર જ આવેલું હોવું જોઈએ.
જો દળ સમાન હોય $(m_1 = m_2)$,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બરાબર મધ્યબિંદુ પર હોય છે.
જો દળ અલગ હોય,તો તે ભારે દળની નજીક હોય છે,પરંતુ તે હંમેશા બંને કણોને જોડતી રેખા પર જ રહે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ત્રણેય દડા સમાન છે અને સમાન ત્રિજ્યા ધરાવે છે,તેથી તેમનું દળ સમાન છે. ધારો કે દરેક દડાનું દળ '$m$' છે.
ધારો કે ત્રણેય દડાઓના કેન્દ્રોના યામ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ છે.
તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m x_1 + m x_2 + m x_3}{m + m + m} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m y_1 + m y_2 + m y_3}{m + m + m} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
આ યામ દડાઓના કેન્દ્રો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર દર્શાવે છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ તેની મધ્યગાઓનું છેદબિંદુ છે.

(A) ધારો કે $m$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને $M$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે。
ધારો કે અથડામણ પછી $m$ દળનો અંતિમ વેગ $v_1$ છે અને $M$ દળનો અંતિમ વેગ $v_2$ છે。
આપેલ છે કે અથડામણ પછી $m$ દળનો કણ અટકી જાય છે,તેથી $v_1 = 0$。
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mu + M(0) = m(0) + Mv_2$。
આ સમીકરણ $mu = Mv_2$ થાય છે,તેથી $v_2 = \frac{mu}{M}$。
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ છે。
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{\frac{mu}{M} - 0}{u - 0} = \frac{mu/M}{u} = \frac{m}{M}$。

(D) બે કણોની સિસ્ટમ પર લાગતું બાહ્ય બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે: $F_{ext} = (m_1 + m_2)g$ (નીચેની દિશામાં).
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે: $F_{ext} = \frac{\Delta P}{\Delta t}$.
અહીં,$\Delta P = (m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)$ અને $\Delta t = 2t - 0 = 2t$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(m_1 + m_2)g = \frac{(m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)}{2t}$.
તેથી,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર: $[(m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)] = 2(m_1 + m_2)gt$ થાય છે.

(A) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને તેના વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K.E. = \frac{p^2}{2m}$.
જ્યારે વેગમાનમાં $20 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવું વેગમાન $p'$ નીચે મુજબ મળે:
$p' = p + 0.20p = 1.2p$.
નવી ગતિઊર્જા $(K.E.')$ આ મુજબ થશે:
$K.E.' = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(1.2p)^2}{2m} = \frac{1.44p^2}{2m}$.
આમ,$K.E. = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$K.E.' = 1.44 \times K.E$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\Delta K.E. \% = \frac{K.E.' - K.E.}{K.E.} \times 100 \%$
$= \frac{1.44 K.E. - K.E.}{K.E.} \times 100 \%$
$= 0.44 \times 100 \% = 44 \%$.

(C) ધારો કે $m_1$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $v_1$ છે અને $m_2$ દળનો અંતિમ વેગ $v_2$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$m_1$ દળનો અંતિમ વેગ $v_1' = \frac{v_1}{1.5} = \frac{2}{3} v_1$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ધારતા,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે.
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકનું સૂત્ર $e = \frac{v_2 - v_1'}{v_1 - 0}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{v_2 - \frac{2}{3}v_1}{v_1} \implies v_2 = v_1 + \frac{2}{3}v_1 = \frac{5}{3}v_1$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2$.
વેગની કિંમતો મૂકતા: $m_1 v_1 = m_1 (\frac{2}{3} v_1) + m_2 (\frac{5}{3} v_1)$.
પદોને ગોઠવતા: $m_1 v_1 - \frac{2}{3} m_1 v_1 = m_2 \frac{5}{3} v_1$.
$\frac{1}{3} m_1 v_1 = \frac{5}{3} m_2 v_1$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{1}$.

(B) આપેલ છે:
દડાઓની સંખ્યા $N = 1000 = 10^3$
દરેક દડાનું દળ $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$
વેગ $v = 50 \text{ m/s}$
દરેક અથડામણ માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m[v - (-v)] = 2mv$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ $N$ અથડામણો થતી હોવાથી,સપાટી પર લાગતું કુલ બળ $F$:
$F = N \times \Delta p = N \times 2mv$
$F = 10^3 \times 2 \times 10^{-3} \text{ kg} \times 50 \text{ m/s} = 100 \text{ N}$.
દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ છે:
$P = \frac{F}{A} = \frac{100 \text{ N}}{10^{-4} \text{ m}^2} = 10^6 \text{ N/m}^2$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{n}$,તેથી આપણે લખી શકીએ: $\frac{g}{n} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{n} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{R}{R+h}$.
$h$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $R+h = R \sqrt{n}$.
તેથી,$h = R \sqrt{n} - R = R(\sqrt{n}-1)$.

(B) $h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W_h = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનું વજન છે.
આપેલ છે કે $W_h = \frac{1}{16} W$,તેથી:
$\frac{1}{16} W = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{4} = \frac{R}{R+h}$
$R + h = 4R$
$h = 3R$
તેથી,જે ઊંચાઈએ વજન સપાટી પરના વજનના $\frac{1}{16}$ ગણું થાય છે તે ઊંચાઈ $3R$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g_h = \frac{g}{3}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{g}{3} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{3} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{R+h}$.
$h$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$R + h = \sqrt{3} R$.
$h = \sqrt{3} R - R$.
$h = (\sqrt{3} - 1) R$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર લોલકની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈ $d$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનું સૂત્ર $g_{eff} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
$d = \frac{R}{4}$ માટે,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g \left(1 - \frac{R/4}{R}\right) = g \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} g$ થાય.
ઊંડાઈ $d$ પર આવૃત્તિ $f_d = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g_{eff}}{l}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3g}{4l}}$ છે.
નવી આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ $n$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_d}{n} = \frac{\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3g}{4l}}}{\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f_d = \frac{\sqrt{3}}{2} n$ થશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $g$ નું મૂલ્ય $64 \%$ ઘટે છે,તેથી બાકી રહેલું મૂલ્ય $g_h = (100 \% - 64 \%) \text{ of } g = 36 \% \text{ of } g = 0.36g$ થાય.
તેથી,$\frac{g_h}{g} = 0.36 = \frac{36}{100}$.
$g$ અને $g_h$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{R^2}{(R+h)^2} = \frac{36}{100}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R}{R+h} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5R = 3(R+h) = 3R + 3h$.
$2R = 3h$.
$h = \frac{2}{3} R$.

(B) ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $g_d = \frac{g}{n-1}$,તેથી:
$\frac{g}{n-1} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n-1} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n-1}$.
$\frac{d}{R} = \frac{n-1-1}{n-1} = \frac{n-2}{n-1}$.
તેથી,$d = R\left(\frac{n-2}{n-1}\right)$.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$,આપણે લખી શકીએ $g = \frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi R \rho G$.
આપેલ છે કે $g$ પૃથ્વી અને ગ્રહ બંને માટે સમાન છે,તેથી $R_e \rho_e = R_p \rho_p$.
અહીં,$R_e = R$ અને $\rho_p = 3 \rho_e$.
આ કિંમતો મૂકતા: $R \times \rho_e = R_p \times (3 \rho_e)$.
તેથી,$R_p = \frac{R}{3}$.

(D) પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(h=0)$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે.
જ્યારે આપણે $h_1$ ઊંડાઈની ખાણમાં જઈએ છીએ,ત્યારે ગુરુત્વપ્રવેગ $g_1 = g(1 - h_1/R)$ થાય છે,તેથી $W_1 = mg(1 - h_1/R) < W_2$.
જ્યારે આપણે $h_3$ ઊંચાઈના પર્વતની ટોચ પર જઈએ છીએ,ત્યારે ગુરુત્વપ્રવેગ $g_3 = g(1 - 2h_3/R)$ થાય છે,તેથી $W_3 = mg(1 - 2h_3/R) < W_2$.
ચૂકવણી $W_2$ એ સપાટી પરનું વજન હોવાથી,તે $W_1$ અને $W_3$ બંને કરતા વધારે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $W_1 < W_2 > W_3$ છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g = \frac{4}{3} \pi \rho G R$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ગ્રહની ઘનતા $\rho_p = 2 \rho_e$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_p = g_e$ છે.
ગ્રહ અને પૃથ્વી માટેના સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{4}{3} \pi \rho_p G R_p = \frac{4}{3} \pi \rho_e G R_e$
$\rho_p R_p = \rho_e R_e$
$\rho_p = 2 \rho_e$ અને $R_e = R$ મૂકતા:
$(2 \rho_e) R_p = \rho_e R$
$2 R_p = R$
$R_p = \frac{R}{2}$

(A) અક્ષાંશ $\theta$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \theta$ છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\theta = 0^\circ$ હોવાથી,$\cos 0^\circ = 1$ થાય. તેથી,$g' = g - R\omega^2$.
આપેલ છે કે વજન તેના વર્તમાન મૂલ્યના $\frac{3}{5}$ ગણું થાય છે,તેથી અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g'$ એ $\frac{3}{5}g$ હોવું જોઈએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{5}g = g - R\omega^2$.
પદોને ગોઠવતા: $R\omega^2 = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{2g}{5R}$,જે આપણને $\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$ આપે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 72 \ N$ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h$ નું સૂત્ર: $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં $h = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g_h = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$.
$h$ ઊંચાઈએ વજન $W_h = m g_h = m \left( \frac{4}{9} g \right) = \frac{4}{9} W$ થાય.
$W = 72 \ N$ મૂકતા:
$W_h = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$.

(C) પૃથ્વીના વિષુવવૃત્ત પર રહેલા કણની રેખીય ઝડપ $V = R \omega$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે.
$\theta$ અક્ષાંશ પર,કણ $r = R \cos \theta$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે.
$\theta$ અક્ષાંશ પર કણની રેખીય ઝડપ $V'$ એ $V' = r \omega = (R \cos \theta) \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 30^{\circ}$ મૂકતા:
$V' = R \omega \cos 30^{\circ} = R \omega \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
કારણ કે $V = R \omega$,તેથી $V' = \frac{\sqrt{3}}{2} V$ મળે છે.

(C) ગોળાની બહારના બિંદુ $(r > R)$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $F = \frac{G M}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$r_1 > R$ માટે,$F_1 = \frac{G M}{r_1^2}$.
ગોળાની અંદરના બિંદુ $(r < R)$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $F = \frac{G M r}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$r_2 < R$ માટે,$F_2 = \frac{G M r_2}{R^3}$.
$F_1$ અને $F_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G M}{r_1^2} \times \frac{R^3}{G M r_2} = \frac{R^3}{r_1^2 r_2}$.

(C) પૃથ્વીનું દળ $M$ તેના કદ $V$ અને સરેરાશ ઘનતા $\rho$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ ... $(i)$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર:
$g = \frac{GM}{R^2}$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $M$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \times \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right)$
$g = \frac{4}{3} \pi R G \rho$
સરેરાશ ઘનતા $\rho$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\rho = \frac{3 g}{4 \pi R G}$

(D) $M$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીથી $r/3$ અને ચંદ્રથી $2r/3$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = -\frac{G M_1 M}{r/3} - \frac{G M_2 M}{2r/3} = -\frac{3 G M_1 M}{r} - \frac{3 G M_2 M}{2r} = -\frac{3 G M}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
અનંત સુધી પલાયન કરવા માટે,કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. જો $v$ એ જરૂરી પલાયન ઝડપ હોય,તો ગતિ ઊર્જા $\frac{1}{2} M v^2$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} M v^2 + U = 0$.
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{3 G M}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{6 G}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
$v = \left[ \frac{6 G}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right) \right]^{1/2}$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના પદમાં $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ તરીકે લખી શકાય છે, તેથી:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$.
અહીં ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી, $v_e \propto R$ થાય.
ધારો કે પૃથ્વીનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ છે અને ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$ છે.
આપેલ છે કે $R' = 2R$, તેથી:
$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} = \frac{2R}{R} = 2$.
આમ, $v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11 \,km/s = 22 \,km/s$.

(C) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
કારણ કે ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આપણે આ કિંમત નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકીએ:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho}$.
આપેલ છે કે ગ્રહ અને પૃથ્વી બંને માટે ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તેથી નિષ્ક્રમણ વેગ એ ત્રિજ્યાના સમપ્રમાણમાં છે: $v_e \propto R$.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{V_p}{V_E} = \frac{R_p}{R_E}$ થાય.
આપેલ છે કે ગ્રહની ત્રિજ્યા પૃથ્વી કરતાં બમણી છે $(R_p = 2R_E)$,તેથી:
$\frac{V_p}{V_E} = \frac{2R_E}{R_E} = 2$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ મૂકતા,આપણને મળે $v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$.
આનો અર્થ એ છે કે $v_e \propto R \sqrt{\rho}$.
આપેલ છે કે $R_p = 4R_E$ અને $\rho_p = 4\rho_E$,તેથી પૃથ્વી પરના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_E)$ અને ગ્રહ પરના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_p)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_E}{v_p} = \frac{R_E \sqrt{\rho_E}}{R_p \sqrt{\rho_p}} = \frac{R_E \sqrt{\rho_E}}{(4R_E) \sqrt{4\rho_E}} = \frac{1}{4 \times 2} = \frac{1}{8}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 8$ છે.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિમાં કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = K_i + U_i = 0 - \frac{GMm}{R_0}$.
અંતિમ ઉર્જા $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{R_0} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$.
$v^2 = 2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)$.
તેથી,વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_0}\right)}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$(K.E + P.E)_{\text{સપાટી}} = (K.E + P.E)_{\text{મહત્તમ ઊંચાઈ}}$
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ $0$ હોવાથી:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m(n V_e)^2 = -\frac{GMm}{R + h} + 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $V_e^2 = \frac{2GM}{R}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m n^2 \left( \frac{2GM}{R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R + h} \right)$
$\frac{n^2 GMm}{R} = GMm \left( \frac{R + h - R}{R(R + h)} \right)$
$\frac{n^2}{R} = \frac{h}{R(R + h)}$
$n^2 = \frac{h}{R + h}$
$n^2(R + h) = h$
$n^2 R + n^2 h = h$
$n^2 R = h(1 - n^2)$
$h = \frac{n^2 R}{1 - n^2}$

(A) સૂર્યથી $r$ અંતરે રહેલા ગ્રહની કક્ષીય ઝડપનું સૂત્ર: $v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
ગ્રહ $A$ માટે,કક્ષીય ઝડપ $v_A = v = \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$ છે.
ગ્રહ $B$ માટે,કક્ષીય ઝડપ $v_B = \sqrt{\frac{GM}{r_B}}$ છે.
$v_B$ ના સમીકરણમાં $r_B = 100 r_A$ મૂકતા:
$v_B = \sqrt{\frac{GM}{100 r_A}} = \frac{1}{\sqrt{100}} \sqrt{\frac{GM}{r_A}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$.
આમ,$v = \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$ હોવાથી,$v_B = \frac{v}{10}$ મળે છે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પરિભ્રમણ સમયનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{T_p^2}{T_e^2} = \frac{r_p^3}{r_e^3}$,જ્યાં $T_p$ અને $r_p$ એ ગ્રહનો પરિભ્રમણ સમય અને કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,અને $T_e$ અને $r_e$ એ પૃથ્વી માટે છે.
આપેલ છે કે $T_p = 8 T_e$,તેથી ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{(8 T_e)^2}{T_e^2} = \frac{r_p^3}{r_e^3}$
$64 = \frac{r_p^3}{r_e^3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{r_p}{r_e} = (64)^{1/3} = 4$.
તેથી,ગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા અને પૃથ્વીની કક્ષાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $4$ છે.

(C) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
ઉપગ્રહ ગ્રહની સપાટીની ખૂબ નજીક હોવાથી,આપણે કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R$ લઈશું.
તેથી,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \dots (i)$.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \dots (ii)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $M$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$
$T = 2 \pi \times \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \times 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{\rho G}}$.

(D) ગ્રહ માટે તારાની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરવા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
આપેલ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_G \propto R^{-5/2}$.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
તેથી,$F_c = m \left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right) R$.
બળોને સરખાવતા: $m \left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right) R \propto R^{-5/2}$.
અહીં $m$ અને $4\pi^2$ અચળાંક હોવાથી,$\frac{R}{T^2} \propto R^{-5/2}$.
$T^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $T^2 \propto R \cdot R^{5/2} = R^{7/2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $T \propto R^{7/4}$.

(C) ઉપગ્રહને વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$
કક્ષીય વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$L = m \left( \sqrt{\frac{GM}{r}} \right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r} = m(GMr)^{1/2}$

(D) ઉપગ્રહને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $E_1 = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$GM = gR^2$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$E_1 = \frac{gR^2mh}{R(R+h)} = \frac{mgh}{1 + h/R}$.
$h$ ઊંચાઈ પર ઉપગ્રહને ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ ગતિઊર્જા છે $E_2 = \frac{1}{2}mv_0^2$. જ્યાં $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$,તેથી $E_2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
$GM = gR^2$ મૂકતા,$E_2 = \frac{gR^2m}{2(R+h)} = \frac{mgR}{2(1 + h/R)}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{mgh / (1 + h/R)}{mgR / (2(1 + h/R))} = \frac{h}{R/2} = \frac{2h}{R}$.

(D) $M$ દળના ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $E \propto \frac{m}{r}$.
અહીં દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{1}$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{r}{4r} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
તેથી,કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4r}{r} = \frac{12}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $12: 1$ છે.

(B) ધારો કે $M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે,અને $r = R_e + h$ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
ઉપગ્રહની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ $U = -\frac{GM_e m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{GM_e}{r}\right) = \frac{GM_e m}{2r}$ છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $K = \frac{1}{2} |U|$ મળે છે.
તેથી,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $K : |U| = 1 : 2$ થાય છે.

(A) ગ્રહના કેન્દ્રથી $r = R + h$ અંતરે વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E_0 = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 2R$ હોવાથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + 2R = 3R$ થશે.
તેથી,કક્ષાની ઉર્જા $E_0 = -\frac{GMm}{2(3R)} = -\frac{GMm}{6R}$ છે.
ગ્રહની સપાટી પર ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા $E_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
ઉપગ્રહને પ્રક્ષેપિત કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા એ અંતિમ કક્ષીય ઉર્જા અને પ્રારંભિક સપાટીની ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta E = E_0 - E_i = -\frac{GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{6R} = \frac{5GMm}{6R}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{R}{g}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,$M$ ની કિંમત $g$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi \rho G R$.
હવે,$g$ ની આ કિંમત $T^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{R}{\frac{4}{3} \pi \rho G R} = 4 \pi^2 \times \frac{3}{4 \pi \rho G} = \frac{3 \pi}{\rho G}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $T^2 \rho = \frac{3 \pi}{G}$ મળે છે.

(B) $M$ દળ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે ગોળાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GM^2}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાઓ સંપર્કમાં હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે.
તેથી,$F = \frac{GM^2}{(2R)^2} = \frac{GM^2}{4R^2}$.
દરેક ગોળાનું દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા મળે છે.
$M$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{G}{4R^2} \left( \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \right)^2$
$F = \frac{G}{4R^2} \cdot \rho^2 \cdot \frac{16}{9} \pi^2 R^6$
$F = \frac{4}{9} G \pi^2 R^4 \rho^2$
તેથી,$F \propto R^4 \rho^2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાન $L = m v R$ ... $(i)$
સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^2}{R} = \frac{G M m}{R^2}$
$v^2 = \frac{G M}{R}$
$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$L = m \times \sqrt{\frac{G M}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{G M R}$
અહીં $m$,$G$,અને $M$ અચળાંકો હોવાથી:
$L \propto \sqrt{R}$
$L \propto R^{1/2}$
આમ,$L \propto R^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 0.5$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,મેયરનો સંબંધ $C_{p} - C_{v} = R$ છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$,તેથી આપણે $C_{v} = \frac{C_{p}}{\gamma}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા:
$C_{p} - \frac{C_{p}}{\gamma} = R$
$C_{p} \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R$
$C_{p} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) = R$
તેથી,$C_{p} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.

(B) પાત્રની અંદર રહેલા વાયુની ગતિઊર્જા $K.E. = n \left( \frac{1}{2} m V^2 \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $m$ એ મોલર દળ છે.
જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\Delta U = K.E.$
કિંમતો મૂકતા: $n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T = n \left( \frac{1}{2} m V^2 \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5}{2} R \Delta T = \frac{1}{2} m V^2$.
તેથી,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = \frac{mV^2}{5R}$ છે.

(B) $C_p = C_v + R$
$\therefore$ હાઇડ્રોજન માટે $C_p, C_{p_1} = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$
હિલિયમ માટે $C_p, C_{p_2} = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$
પાણીની વરાળ માટે $C_p, C_{p_3} = 3 R + R = 4 R$
આપેલ છે: $n_1 = 4, n_2 = 2, n_3 = 1$
મિશ્રણની $C_p = \frac{n_1 C_{p_1} + n_2 C_{p_2} + n_3 C_{p_3}}{n_1 + n_2 + n_3}$
$= \frac{4 \times \frac{7}{2} R + 2 \times \frac{5}{2} R + 1 \times 4 R}{4 + 2 + 1}$
$= \frac{14 R + 5 R + 4 R}{7} = \frac{23 R}{7}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v} = \frac{n R}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેયરના સંબંધ $C_{p} - C_{v} = R$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $C_{p} = C_{v} + R$.
$C_{v}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_{p} = \frac{n R}{2} + R = R \left( \frac{n}{2} + 1 \right)$.
હવે,ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\gamma = \frac{R \left( \frac{n}{2} + 1 \right)}{\frac{n R}{2}} = \frac{\frac{n+2}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$.

(D) મોનોએટોમિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ દબાણે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{5}{2}R$ છે અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2}R$ છે.
આપવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જા બદલવા માટે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5} = 0.6$ મળે છે.
તેથી,વપરાતી કુલ ઉષ્માની ટકાવારી $0.6 \times 100 = 60 \%$ છે.

(B) વાસ્તવિક વાયુ ઓછા દબાણ અને ઊંચા તાપમાનની પરિસ્થિતિમાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
ઊંચા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિ ઊર્જા ખૂબ વધારે હોય છે,જેના કારણે આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળો નગણ્ય બની જાય છે.
ઓછા દબાણે,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય છે,જેનાથી વાયુના કણો બિંદુવત દળ તરીકે વર્તે છે.
આમ,વાયુના ગતિવાદની ધારણાઓ સંતોષાય છે અને વાયુ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના મોલર દળથી સ્વતંત્ર છે.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ માટે આપેલ છે: $E_1 = 0.042 \ eV$,તાપમાન $T_1 = T$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: તાપમાન બમણું કરવામાં આવે છે,તેથી $T_2 = 2T$.
જેમ કે $E \propto T$,તેથી:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{2T}{T} = 2$
તેથી,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 0.042 \ eV = 0.084 \ eV$.

(B) ધારો કે $r$ એ દરેક શિરોબિંદુથી સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો બૈજિક સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{2q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{-q}{r} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r} (2q - q - q) = 0$
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન ન હોવાથી અને તેમની ગોઠવણી એવી રીતે નથી કે જેથી તેમના ક્ષેત્ર સદિશો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે,તેથી પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય નથી.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$2q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેનાથી દૂર જાય છે,જ્યારે બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર તેમની તરફ જાય છે. આ સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થતો નથી.
તેથી,ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી પરંતુ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(C) જ્યારે $S_1$ બંધ હોય છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ ને $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
જ્યારે $S_1$ ખુલ્લું હોય અને $S_2$ બંધ હોય,ત્યારે કેપેસિટર $C$ અને ઇન્ડક્ટર $L$ એક $LC$ ઓસિલેટિંગ સર્કિટ બનાવે છે.
ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે બધી વિદ્યુત ઉર્જા ચુંબકીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C}{L}V^2$
$I_{max} = V\sqrt{\frac{C}{L}}$
આમ,પરિપથમાં તાત્કાલિક પ્રવાહ આ મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આ કિંમતને ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (0)^2} = R$.
અહીં $R = 12 \text{ } \Omega$ આપેલ છે,તેથી અનુનાદ સમયે ઈમ્પિડન્સ $Z = 12 \text{ } \Omega$ થાય છે.

(D) $RL$ સર્કિટમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$,$R = 80 \Omega$,અને $f = 480 \text{ Hz}$ આપેલ છે.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{X_L}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = R$.
$X_L = 2 \pi f L$ મૂકતા,આપણને $2 \pi f L = R$ મળે છે.
$L$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $L = \frac{R}{2 \pi f}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{80}{2 \pi \times 480} = \frac{80}{960 \pi} = \frac{1}{12 \pi} \text{ H}$.

(B) આપેલ અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $v = 200 \sqrt{2} \sin(100 t)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $v = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા, આપણને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
અહીં $C = 1 \mu F = 10^{-6} \text{ F}$ આપેલ છે, તેથી $X_C = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{200 \sqrt{2}}{10^4} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ A}$ મળે છે.
$A.C.$ એમીટર પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય માપે છે, જે $I_{rms}$ છે.
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$.

(D) અનુનાદ સમયે,સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ હોય છે.
અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = I \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે --- $(i)$
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I \times X_L = I \times \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે --- (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V_L}{V_R} = \frac{I \times \omega L}{I \times R}$
$\frac{V_L}{V_R} = \frac{\omega L}{R}$
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$L = \frac{V_L R}{V_R \omega}$

(A) જ્યારે $80 \ V$ $d.c.$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે સોલેનોઇડ શુદ્ધ અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે $d.c.$ ની આવૃત્તિ શૂન્ય છે,તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi fL = 0$ થાય છે.
અવરોધ $R = \frac{V}{I_{dc}} = \frac{80 \ V}{0.8 \ A} = 100 \ \Omega$.
જ્યારે $80 \ V$ $a.c.$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I_{ac}} = \frac{80 \ V}{0.4 \ A} = 200 \ \Omega$.
$RL$ સર્કિટ માટે ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2}$.
$40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} \approx 173.2 \ \Omega$.
$X_L = 2 \pi fL$ હોવાથી,$L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{173.2}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{173.2}{314} \approx 0.55 \ H$.
આમ,ઇમ્પિડન્સ $200 \ \Omega$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $0.55 \ H$ છે.

(C) સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ વહે તે માટે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે: $X_L = X_C$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$.
કેપેસિટન્સ $C$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $L = 2 \mu H = 2 \times 10^{-6} \text{ H}$,$f = 5 \text{ kHz} = 5 \times 10^3 \text{ Hz}$,અને $\pi^2 = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{4 \times 10 \times (5 \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{40 \times 25 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{40 \times 25 \times 2} = \frac{1}{2000} \text{ F}$.
આને $\frac{1}{x} \text{ F}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2000$ મળે છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$,જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L$ વધે છે અને $X_C$ ઘટે છે.
ઓછી આવૃત્તિઓ પર,$X_C$ નું પ્રભુત્વ હોય છે,તેથી જેમ $f$ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર,$X_L = X_C$ થાય છે,અને ઈમ્પીડન્સ $Z$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે,જે અવરોધ $R$ જેટલી હોય છે.
જેમ આવૃત્તિ $f_0$ થી આગળ વધે છે,તેમ $X_L$ નું પ્રભુત્વ વધે છે,જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધવા લાગે છે.
તેથી,ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે,અનુનાદ પર ન્યૂનતમ થાય છે અને ત્યારબાદ વધે છે.

(A) પરિપથ $(A)$ માં,ઈમ્પીડન્સ $Z_A = R = 40 \ \Omega$ છે.
પરિપથ $(B)$ માં,ઈમ્પીડન્સ $Z_B = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કારણ કે $Z_B = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \ge R$,તેથી $Z_B \ge Z_A$ થાય છે.
r.m.s. પ્રવાહ $I = V/Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને પરિપથ માટે વોલ્ટેજ $V$ સમાન $(220 \ V)$ હોવાથી,$I_B = V/Z_B$ અને $I_A = V/Z_A$ થાય.
$Z_B \ge Z_A$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે $I_B \le I_A$. આમ,પરિપથ $(B)$ માં r.m.s. પ્રવાહ ક્યારેય પરિપથ $(A)$ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
અનુનાદિત આવૃત્તિ સમાન રહે તે માટે,$LC$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ:
$L_1 C_1 = L_2 C_2$
અહીં $L_1 = L$,$C_1 = C$,અને $C_2 = 3C$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$L \cdot C = L_2 \cdot (3C)$
$L_2 = \frac{L \cdot C}{3C}$
$L_2 = \frac{L}{3}$
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને બદલીને $\frac{L}{3}$ કરવું જોઈએ.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર અને $4 \Omega$ અવરોધ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. પરિપથમાં $6 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં $1 \Omega, 2 \Omega$ અને $3 \Omega$ ના ત્રણ અવરોધો જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6} \Omega$
પરંતુ,બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} + \frac{V}{R_3} = \frac{6}{1} + \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 6 + 3 + 2 = 11 \text{ A}$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V = 0.5 \mu\text{F} \times 6 \text{ V} = 3 \mu\text{C}$.
આમ,સાચો જવાબ $11 \text{ A}$ અને $3 \mu\text{C}$ છે.

(B) $LC$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
પ્રારંભિક કિંમતો $L_1 = L$ અને $C_1 = C$ લેતા,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
નવી કિંમતો $L_2 = 3L$ અને $C_2 = C + 3C = 4C$ છે.
નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે: $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_2 C_2}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(4C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{12LC}}$.
બંને આવૃત્તિઓની સરખામણી કરતા: $\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2 \pi \sqrt{12LC}}}{\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}} = \sqrt{\frac{LC}{12LC}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$.
તેથી,$f' = \frac{f}{2 \sqrt{3}}$.

(D) $LR$ સર્કિટમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} LI^2$ ...$(i)$
આપેલ છે કે પ્રવાહ અડધો કરવામાં આવે છે,તેથી નવો પ્રવાહ $I^{\prime}$:
$I^{\prime} = \frac{I}{2}$
આ કિંમતને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,નવી ઉર્જા $E^{\prime}$:
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L (I^{\prime})^2$
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L \left(\frac{I}{2}\right)^2$
$E^{\prime} = \frac{1}{2} L \left(\frac{I^2}{4}\right)$
$E^{\prime} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} LI^2\right)$
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E^{\prime} = \frac{1}{4} E$
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા મૂળ ઉર્જાના $(1/4)$ ગણી થશે.

(D) કોઈલનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = 2 \pi f L$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L1} = R = 2 \pi f L$ છે.
જો ઇન્ડક્ટન્સ ત્રણ ગણું $(L' = 3L)$ અને આવૃત્તિ ત્રણ ગણી $(f' = 3f)$ કરવામાં આવે,તો નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L2}$ નીચે મુજબ થશે:
$X_{L2} = 2 \pi f' L' = 2 \pi (3f) (3L) = 9 (2 \pi f L)$.
પ્રારંભિક કિંમત $R = 2 \pi f L$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$X_{L2} = 9R$.

(D) શ્રેણી $LC$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 3L$ અને કેપેસિટન્સ $C' = 6C$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L' C'}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(6C)}}$
$f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{18 LC}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{9 \cdot 2 \cdot LC}}$
$f' = \frac{1}{2 \pi \cdot 3 \sqrt{2} \sqrt{LC}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$f' = \frac{f}{3 \sqrt{2}}$

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R = \frac{X_L}{2}$,તેથી $X_L = 2R$.
આપેલ છે કે $R = 2X_C$,તેથી $X_C = \frac{R}{2}$.
આ કિંમતોને ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (2R - \frac{R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{3R}{2})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{9R^2}{4}} = \sqrt{\frac{13R^2}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} R$.
કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{2R - R/2}{R} = \frac{3R/2}{R} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(\frac{3}{2})$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{E}{Z} = \frac{E}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ છે.
અહીં,$X_L = 2 \pi f L$ અને $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આપેલ વોલ્ટેજ $E$ અને અવરોધ $R$ માટે પ્રવાહ $I$ ને અચળ રાખવા માટે,ઇમ્પીડન્સ $Z$ અચળ રહેવો જોઈએ.
આ માટે રિએક્ટન્સ $X_L$ અને $X_C$ બદલાવા જોઈએ નહીં.
જો આવૃત્તિ $f$ બમણી $(f' = 2f)$ કરવામાં આવે,તો $X_L$ ને અચળ રાખવા માટે: $2 \pi (2f) L' = 2 \pi f L \implies L' = \frac{L}{2}$.
તે જ રીતે,$X_C$ ને અચળ રાખવા માટે: $\frac{1}{2 \pi (2f) C'} = \frac{1}{2 \pi f C} \implies C' = \frac{C}{2}$.
તેથી,$L$ અને $C$ બંનેને એકસાથે અડધા કરવા જોઈએ.

(B) આપેલ છે: $R = X_C = \frac{1}{\omega C}$.
પ્રારંભિક ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$.
પ્રારંભિક મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{2} R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_0}{R} = \sqrt{2} I_0$.
જ્યારે કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = \frac{\omega}{\sqrt{3}}$ થાય,ત્યારે નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega / \sqrt{3}) C} = \sqrt{3} \left(\frac{1}{\omega C}\right) = \sqrt{3} R$.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2} = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$.
નવો મહત્તમ પ્રવાહ $I_0' = \frac{V_0}{Z'} = \frac{V_0}{2R} = \frac{1}{2} \left(\frac{V_0}{R}\right) = \frac{1}{2} (\sqrt{2} I_0) = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = L\omega = 2\pi fL$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L$ રેખીય રીતે વધે છે જ્યારે $X_C$ ઘટે છે.
ઓછી આવૃત્તિઓ પર,$X_C$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે,તેથી જેમ $f$ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે.
રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર,$X_L = X_C$ થાય છે,જેનાથી ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ બને છે,જે તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
જેમ આવૃત્તિ $f_0$ થી વધે છે,તેમ $X_L$ નું મૂલ્ય પ્રભાવી બને છે,જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
તેથી,ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે,રેઝોનન્સ પર ન્યૂનતમ બને છે અને પછી વધે છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$.
આમ,$\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} = 1$.
$\omega L - \frac{1}{\omega C} = R$.
$\omega L = R + \frac{1}{\omega C} = \frac{R \omega C + 1}{\omega C}$.
$\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,$L = \frac{R \omega C + 1}{\omega^2 C} = \frac{R(2 \pi f)C + 1}{(2 \pi f)^2 C}$.
$L = \frac{1 + 2 \pi fCR}{4 \pi^2 f^2 C}$.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ છે.
આપેલ છે: $L = \frac{300}{\pi} \text{ mH} = \frac{0.3}{\pi} \text{ H}$,$C = \frac{1}{\pi} \text{ mF} = \frac{1}{\pi} \times 10^{-3} \text{ F}$,$R = 20 \ \Omega$,$f = 50 \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100 \pi \text{ rad/s}$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \pi \times \frac{0.3}{\pi} = 30 \ \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times \frac{1}{\pi} \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \ \Omega$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \phi = \frac{30 - 10}{20} = \frac{20}{20} = 1$.
તેથી,$\phi = \tan^{-1}(1)$.

(A) $d.c.$ સપ્લાય માટે,ઇન્ડક્ટર શુદ્ધ અવરોધ તરીકે વર્તે છે:
$R = \frac{V}{I} = \frac{100 \ V}{1 \ A} = 100 \ \Omega$.
$a.c.$ સપ્લાય માટે,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \frac{V}{I} = \frac{100 \ V}{0.5 \ A} = 200 \ \Omega$.
$LR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $X_L = 2 \pi f L$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = \sqrt{100^2 + X_L^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $40000 = 10000 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 30000$.
$X_L = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \ \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી,$100\sqrt{3} = 2 \pi (50) L$.
$100\sqrt{3} = 100 \pi L \Rightarrow L = \frac{\sqrt{3}}{\pi} \ H$.

(C) અનુનાદ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{1}{\omega^2 L}$.
શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકોમાંથી સમાન વહે છે.
અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = IR$ છે,તેથી $I = \frac{V_R}{R}$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L = I \omega L$ છે.
$V_L$ ના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_L = \left( \frac{V_R}{R} \right) \omega L$ મળે છે.
$L$ માટે ઉકેલતા,આપણને $L = \frac{V_L R}{V_R \omega}$ મળે છે.
હવે,$C$ ના સમીકરણમાં $L$ ની કિંમત મૂકતા:
$C = \frac{1}{\omega^2 \left( \frac{V_L R}{V_R \omega} \right)} = \frac{V_R \omega}{V_L R \omega^2} = \frac{V_R}{V_L R \omega}$.

(C) $d.c.$ સ્ત્રોત માટે,ઇન્ડક્ટર સાદા અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે આવૃત્તિ શૂન્ય છે. તેથી,અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{12 \ V}{4 \ A} = 3 \ \Omega$ મળે છે.
$a.c.$ સ્ત્રોત માટે,ઇમ્પીડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{12 \ V}{2.4 \ A} = 5 \ \Omega$ મળે છે.
$RL$ સર્કિટનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $X_L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$Z^2 = R^2 + X_L^2$,તેથી $X_L^2 = Z^2 - R^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$.
આમ,$X_L = 4 \ \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી,$L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{4}{2 \pi \times 50} = \frac{4}{100 \pi} = \frac{4}{\pi} \times 10^{-2} \ H$ મળે છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi v L - \frac{1}{2 \pi v C})^2}$.
ખૂબ ઓછી આવૃત્તિઓ $(v \to 0)$ પર,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2 \pi v C}$ અનંત તરફ જાય છે,તેથી $Z \to \infty$ થાય છે.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $v_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું થાય છે,જેનાથી કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય બને છે. આમ,$Z = R$ થાય છે,જે ઈમ્પીડન્સનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $(v > v_r)$ કરતા વધારે આવૃત્તિઓ માટે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi v L$ પ્રભાવી બને છે,અને જેમ $v$ વધે છે તેમ $Z$ વધે છે.
તેથી,$Z$ વિરુદ્ધ $v$ નો આલેખ ઊંચા મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,$v_r$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય $R$ સુધી ઘટે છે,અને પછી ફરીથી વધે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $(B)$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) કેપેસિટરનો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$f$ એ $A.C.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ વધે છે.
તે જ રીતે,જ્યારે આવૃત્તિ $f$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ વધે છે.
બલ્બ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ દ્વારા મળે છે.
બંને કિસ્સામાં $X_{C}$ વધતું હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
$A.C.$ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધતું હોવાથી,બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વીતા વપરાતા પાવર $P = I^2 R$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,તેમ વપરાતો પાવર અને બલ્બની તેજસ્વીતા બંને કિસ્સામાં ઘટે છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકોમાંથી સમાન વહે છે. અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V_R$ એ પ્રવાહ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. ઇન્ડક્ટર $V_L$ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^\circ$ આગળ હોય છે,અને કેપેસિટર $V_C$ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^\circ$ પાછળ હોય છે.
આમ,$V_L$ અને $V_C$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. ચોખ્ખો રિએક્ટિવ વોલ્ટેજ $(V_L - V_C)$ થાય છે.
ફેઝર ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને,પરિણામી વોલ્ટેજ $V$ એ $V_R$ અને $(V_L - V_C)$ નો સદિશ સરવાળો છે,જે એકબીજાને લંબ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $V^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$.

(D) આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 2 \text{ mH} = 2 \times 10^{-3} \text{ H}$
કેપેસિટન્સ $C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$
અવરોધ $R = 50 \Omega$
રેઝોનન્સ માટેની શરત: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું છે.
$X_L = X_C = \omega L = \frac{1}{\omega C}$
આથી,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{40 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{2 \times 10^{-4}} = 5000 \text{ rad/s}$.
હવે,રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ ની ગણતરી કરીએ:
$X_L = 5000 \times 2 \times 10^{-3} = 10 \Omega$.
તેથી,બંનેમાંથી કોઈપણનું રિએક્ટન્સ $10 \Omega$ થશે.

(C) આપેલ સમીકરણો $V = 100 \sin(100t) \text{ V}$ અને $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપો $V = V_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$V_0 = 100 \text{ V}$
$I_0 = 100 \text{ mA} = 100 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.1 \text{ A}$
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$A$.$C$. સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos \phi = \frac{V_0 I_0}{2} \cos \phi$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
$P = \frac{10}{2} \times \frac{1}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(D) આપેલ એ.સી. પ્રવાહનું સમીકરણ $I = 100 \sin(200 \pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $I = I_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,મહત્તમ મૂલ્ય $I_0 = 100 \ A$ મળે છે.
પ્રવાહ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે પ્રાપ્ત કરે છે જ્યારે $\sin(200 \pi t) = 1$ થાય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સાઈન વિધેયનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય.
તેથી,$200 \pi t = \frac{\pi}{2}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $200 t = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$t = \frac{1}{2 \times 200} = \frac{1}{400} \ s$.

(C) અવરોધ ધરાવતી $A$.$C$. સર્કિટમાં વપરાતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = I_{rms}^2 R$
આપેલ છે:
$P = 108 \text{ W}$
$I_{rms} = 3 \text{ A}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$108 = (3)^2 \times R$
$108 = 9 \times R$
$R = \frac{108}{9} = 12 \ \Omega$
તેથી,સર્કિટમાં અવરોધ $12 \ \Omega$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $E = 200 \sin(50t) \text{ V}$ અને $I = 100 \sin(50t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $E = E_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
$E_0 = 200 \text{ V}$
$I_0 = 100 \text{ mA} = 0.1 \text{ A}$
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = E_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{I_0}{\sqrt{2}} \right) \cos \phi = \frac{E_0 I_0}{2} \cos 60^{\circ}$.
$P = \frac{200 \times 0.1}{2} \times 0.5 = 10 \times 0.5 = 5 \text{ W}$.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 42 \, mH = 42 \times 10^{-3} \, H$, વોલ્ટેજ $V_{rms} = 200 \, V$, આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$.
સૌ પ્રથમ, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 42 \times 10^{-3} \, \Omega$.
$X_L = 2 \times 22 \times 50 \times 6 \times 10^{-3} \, \Omega = 4400 \times 6 \times 10^{-3} \, \Omega = 13.2 \, \Omega$.
r.m.s. પ્રવાહ $I_{rms}$ એ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_L}$ દ્વારા મળે છે.
$I_{rms} = \frac{200}{13.2} \approx 15.15 \, A$.

(A) આપેલ અલ્ટરનેટિંગ કરંટનું સમીકરણ $I = I_0 \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $I = 100 \sin(50 \pi t)$ સાથે સરખાવતા, આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$, જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
તેથી, $2 \pi f = 50 \pi$, જે આપણને $f = 25 \text{ Hz}$ આપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ એક સેકન્ડમાં $25$ ચક્ર પૂર્ણ કરે છે.
સાઇન તરંગના એક સંપૂર્ણ ચક્રમાં, પ્રવાહ બે વાર શૂન્ય થાય છે (શરૂઆતમાં/અંતમાં અને અડધા ચક્રના બિંદુએ).
તેથી, $25$ ચક્રમાં, પ્રવાહ એક સેકન્ડમાં $25 \times 2 = 50$ વખત શૂન્ય થશે.

(C) $1$. આદર્શ ઇન્ડક્ટર:
- આદર્શ ઇન્ડક્ટરમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) ધરાવે છે,જેમાં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે.
- તત્કાલિન પાવર $p(t) = v(t) \times i(t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
- એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન,ધન અને ઋણ પાવરના મૂલ્યો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,પરિણામે સરેરાશ પાવર શૂન્ય મળે છે.
$2$. આદર્શ કેપેસિટર:
- આદર્શ કેપેસિટરમાં પણ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત ધરાવે છે,પરંતુ અહીં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
- ઇન્ડક્ટરના કિસ્સાની જેમ જ,તત્કાલિન પાવર ધન અને ઋણ વચ્ચે બદલાતો રહે છે,જેના પરિણામે એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સરેરાશ પાવર શૂન્ય મળે છે.

(B) $LR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_L = 2R$,તેથી $Z^2 = R^2 + (2R)^2 = R^2 + 4R^2 = 5R^2$.
$AC$ પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
$V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2}Z}$ હોવાથી,પાવર $P = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \times \frac{E_0}{\sqrt{2}Z} \times \frac{R}{Z} = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2}$ થાય.
$Z^2 = 5R^2$ કિંમત મૂકતા,આપણને $P = \frac{E_0^2 R}{2(5R^2)} = \frac{E_0^2 R}{10 R^2} = \frac{E_0^2}{10 R}$ મળે છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} Z}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{\sqrt{2} Z} \right) \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{E_0^2 R}{2 Z^2} \dots (i)$.
આપેલ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = R$,તેથી $L-R$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ થાય:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$.
સમીકરણ $(i)$ માં $Z^2 = 2 R^2$ મૂકતા:
$P = \frac{E_0^2 R}{2 (2 R^2)} = \frac{E_0^2 R}{4 R^2} = \frac{E_0^2}{4 R}$.

(D) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{0}{R} = 0$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\phi = 0$,જેનો અર્થ છે કે રેઝોનન્સ સમયે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.

(D) કોઈલ (અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર) ધરાવતી $A.C.$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
અહીં આપેલ છે કે રિએક્ટન્સ $X_L = \sqrt{3} R$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \phi = \frac{\sqrt{3} R}{R} = \sqrt{3}$.
તેથી,ફેઝ તફાવત $\phi = \tan^{-1}(\sqrt{3})$ થશે.

(D) વોલ્ટેજ મહત્તમ થવા માટે,સાઈન વિધેયનું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
$\sin \left(\omega t+\frac{\pi}{3}\right) = 1$
કારણ કે $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,તેથી:
$\omega t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$
$\omega t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$
$\omega t = \frac{\pi}{6}$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right) t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi}$
$t = \frac{T}{12}$

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કેપેસિટન્સ $(C)$ વધારવામાં આવે,તો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_{C})$ ઘટશે.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $X_{C}$ ઘટે છે,તેમ પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ પણ ઘટશે.
$A.C.$ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $(I = V/Z)$ વધશે.
લેમ્પની તેજસ્વીતા વપરાતા પાવર $(P = I^2 R)$ પર આધાર રાખતી હોવાથી,પ્રવાહમાં વધારો થવાથી લેમ્પની તેજસ્વીતામાં વધારો થશે.

(C) આપેલ સમીકરણો $e = 160 \sin(100t) \text{ V}$ અને $i = 250 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $e = e_0 \sin(\omega t)$ અને $i = i_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
પીક વોલ્ટેજ $e_0 = 160 \text{ V}$.
પીક પ્રવાહ $i_0 = 250 \text{ mA} = 250 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.25 \text{ A}$.
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$AC$ પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi) = \frac{e_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{i_0}{\sqrt{2}} \cos(\phi) = \frac{e_0 i_0}{2} \cos(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P_{avg} = \frac{160 \times 0.25}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
$P_{avg} = \frac{40}{2} \times \frac{1}{2} = 20 \times 0.5 = 10 \text{ W}$.

(D) $1$. ફેરાડેના ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ,બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વાહકોમાં એડી કરંટ (eddy current) ઉત્પન્ન થાય છે.
$2$. જ્યારે ટ્રાન્સફોર્મરમાં નક્કર ધાતુના કોરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ મોટા એડી કરંટને પ્રેરિત કરે છે,જે ગરમીના સ્વરૂપમાં નોંધપાત્ર ઉર્જાનો વ્યય કરે છે.
$3$. કોરને લેમિનેટ કરીને (ધાતુની પાતળી,ઇન્સ્યુલેટેડ શીટ્સનો ઉપયોગ કરીને),આ એડી કરંટ માટેનો માર્ગ મર્યાદિત થાય છે,જેનાથી તેમની તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.
$4$. તેથી,એડી કરંટના નુકસાનને ઘટાડવા અને ઉપકરણની કાર્યક્ષમતા સુધારવા માટે કોરને લેમિનેટેડ કરવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે: કાર્યક્ષમતા $\eta = 90 \% = 0.9$, ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_p = 200 \ V$, ઇનપુટ પાવર $P_{in} = 3 \ kW = 3000 \ W$, ગૌણ પ્રવાહ $I_s = 6 \ A$.
પ્રથમ, ઇનપુટ પાવરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક પ્રવાહ $I_p$ શોધો: $P_{in} = V_p \times I_p$.
$3000 \ W = 200 \ V \times I_p \implies I_p = \frac{3000}{200} = 15 \ A$.
ત્યારબાદ, કાર્યક્ષમતાનો ઉપયોગ કરીને આઉટપુટ પાવર $P_{out}$ શોધો: $P_{out} = \eta \times P_{in}$.
$P_{out} = 0.9 \times 3000 \ W = 2700 \ W$.
છેલ્લે, આઉટપુટ પાવરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગૌણ વોલ્ટેજ $V_s$ શોધો: $P_{out} = V_s \times I_s$.
$2700 \ W = V_s \times 6 \ A \implies V_s = \frac{2700}{6} = 450 \ V$.
આમ, ગૌણ વોલ્ટેજ $450 \ V$ અને પ્રાથમિક પ્રવાહ $15 \ A$ છે.

(C) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,પ્રાયમરી કોઈલ પરનો પાવર ઇનપુટ એ સેકન્ડરી કોઈલ પરના પાવર આઉટપુટ જેટલો હોય છે.
આપેલ પાવર $P = 6.6 \ kW = 6.6 \times 10^3 \ W$.
સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_s = 4.4 \ kV = 4.4 \times 10^3 \ V$.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે $P = V_s \times I_s$ હોવાથી,
$I_s = \frac{P}{V_s} = \frac{6.6 \times 10^3}{4.4 \times 10^3} \ A$.
$I_s = \frac{6.6}{4.4} \ A = 1.5 \ A$.
આમ,સેકન્ડરી કોઈલનો કરંટ રેટિંગ $1.5 \ A$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રાઇમરી આંટા $N_p = 120$, પ્રાઇમરી પ્રવાહ $I_p = 5 \text{ A}$, ઇનપુટ પાવર $P_{in} = 1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$, સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_s = 560 \text{ V}$.
સૌ પ્રથમ, પાવરના સૂત્ર $P = V_p I_p$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રાઇમરી વોલ્ટેજ $V_p$ શોધો:
$V_p = \frac{P_{in}}{I_p} = \frac{1000 \text{ W}}{5 \text{ A}} = 200 \text{ V}$.
ટ્રાન્સફોર્મરના આંટાના ગુણોત્તરના સૂત્ર $\frac{N_s}{N_p} = \frac{V_s}{V_p}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{N_s}{120} = \frac{560}{200}$.
$N_s$ માટે ગણતરી કરતા:
$N_s = \frac{120 \times 560}{200} = \frac{120 \times 56}{20} = 6 \times 56 = 336$.
તેથી, સેકન્ડરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા $336$ છે.

(C) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મરમાં,પ્રાયમરી અને સેકન્ડરી બંને ગૂંચળા માટે પ્રતિ આંટા દીઠ પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ સમાન હોય છે.
આપેલ છે:
પ્રાયમરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા,$N_p = 1000$
સેકન્ડરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા,$N_s = 3000$
પ્રાયમરી ગૂંચળાને આપવામાં આવતો વોલ્ટેજ,$V_p = 80 \ V$
પ્રતિ આંટા દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{V}{N}$ ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
પ્રાયમરી ગૂંચળા માટે,પ્રતિ આંટા દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{V_p}{N_p} = \frac{80 \ V}{1000} = 0.08 \ V$ છે.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મરમાં બંને ગૂંચળા માટે પ્રતિ આંટા દીઠ ફ્લક્સ સમાન હોવાથી,સેકન્ડરી ગૂંચળામાં પ્રતિ આંટા દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ પ્રાયમરી ગૂંચળાના પ્રતિ આંટા દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
તેથી,સેકન્ડરી ગૂંચળાના પ્રતિ આંટા દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.08 \ V$ છે.

(D) ટ્રાન્સફોર્મરમાં વિવિધ કારણોસર ઉર્જાનો વ્યય થાય છે, જેમાંથી એક કારણ લોખંડના કોરમાં ઉત્પન્ન થતા એડી કરંટ (ભમર પ્રવાહ) છે.
જ્યારે કોરમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે, ત્યારે તે કોરના દ્રવ્યમાં પરિભ્રમણ કરતા પ્રવાહો (એડી કરંટ) ઉત્પન્ન કરે છે, જેના કારણે નોંધપાત્ર ગરમીનો વ્યય ($I^2R$ વ્યય) થાય છે।
કોરને લેમિનેટ કરીને—એટલે કે નક્કર બ્લોકને બદલે પાતળી, ઇન્સ્યુલેટેડ ધાતુની શીટ્સનો ઉપયોગ કરીને—આ એડી કરંટ માટેનો માર્ગ મર્યાદિત કરવામાં આવે છે।
આ અવરોધમાં વધારો એડી કરંટના મૂલ્યને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે, જેથી ગરમીના સ્વરૂપમાં થતો ઉર્જાનો વ્યય ન્યૂનતમ થાય છે।

(D) ટ્રાન્સફોર્મર માટે ઈમ્પિડન્સ મેચિંગની શરત નીચે મુજબ છે: $\frac{Z_p}{Z_s} = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2$.
આપેલ છે: પ્રાઈમરી ઈમ્પિડન્સ $Z_p = 8000 \ \Omega$ અને સેકન્ડરી ઈમ્પિડન્સ $Z_s = 8 \ \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8000}{8} = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2$.
$1000 = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{N_p}{N_s} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$.
કારણ કે $\sqrt{10} \approx 3.16$,તેથી $\frac{N_p}{N_s} \approx 10 \times 3.16 = 31.6 \approx 32$.
તેથી,પ્રાઈમરી અને સેકન્ડરી આંટાઓનો ગુણોત્તર $32: 1$ છે.