MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $A = 1 + a$.
જ્યારે $a \rightarrow 0^{+}$,ત્યારે $A \rightarrow 1^{+}$.
આપેલ સમીકરણ $(A^{\frac{1}{3}}-1) x^2+(A^{\frac{1}{2}}-1) x+(A^{\frac{1}{6}}-1)=0$ છે.
સમીકરણને $(A-1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{A^{\frac{1}{3}}-1}{A-1} x^2 + \frac{A^{\frac{1}{2}}-1}{A-1} x + \frac{A^{\frac{1}{6}}-1}{A-1} = 0$.
$A \rightarrow 1$ માટે લક્ષ લેતા,પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{A \rightarrow 1} \frac{A^n-1}{A-1} = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{3} x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા:
$2 x^2 + 3 x + 1 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2x + 1)(x + 1) = 0$.
તેથી,બીજ $x = -1$ અને $x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \alpha(a) = -1$ અને $\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \beta(a) = -\frac{1}{2}$.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘાતાંકોના સરવાળા માટેના સૂત્રો:
$S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$,$S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$S_3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
આપેલ પદાવલિ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_1(1 + \frac{S_3}{4})}{S_2^2}$ છે.
સૂત્રો મૂકતા:
$L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2} (1 + \frac{n^2(n+1)^2}{16})}{\frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{36}}$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{16 + n^2(n+1)^2}{16} \cdot \frac{36}{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}$.
$L = \frac{9}{8} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{16 + n^2(n+1)^2}{n(n+1)(2n+1)^2}$.
અંશ અને છેદને $n^4$ વડે ભાગતા:
$L = \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{32}$.

(D) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલ શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $2x + 3y \leqslant 18$: આ રેખા $2x + 3y = 18$ ની નીચે અથવા તેના પરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે. તેના અંતઃખંડો $(9, 0)$ અને $(0, 6)$ છે.
$2$. $x + y \geqslant 10$: આ રેખા $x + y = 10$ ની ઉપર અથવા તેના પરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે. તેના અંતઃખંડો $(10, 0)$ અને $(0, 10)$ છે.
$3$. $x \geqslant 0, y \geqslant 0$: આ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
બંને રેખાઓની સરખામણી કરતા:
$2x + 3y = 18$ માટે,મહત્તમ $x$-કિંમત $9$ છે અને મહત્તમ $y$-કિંમત $6$ છે.
$x + y = 10$ માટે,ન્યૂનતમ $x$-કિંમત $10$ છે અને ન્યૂનતમ $y$-કિંમત $10$ છે.
કારણ કે $2x + 3y \leqslant 18$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં સંપૂર્ણપણે $x + y = 10$ રેખાની નીચે આવે છે,તેથી એવું કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે $2x + 3y \leqslant 18$ અને $x + y \geqslant 10$ બંનેનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ખાલી ગણ છે.

(A) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $2x + 3y \leq 6$: સીમા રેખા $2x + 3y = 6$ છે. $(0,0)$ માટે,$0 \leq 6$ સત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$2$. $x + 4y \geq 4$: સીમા રેખા $x + 4y = 4$ છે. $(0,0)$ માટે,$0 \geq 4$ અસત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$: આ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ શરતોને જોડતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ પ્રથમ ચરણમાં રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર છે જે બંને શરતોને એકસાથે સંતોષે છે. આપેલી આકૃતિઓ જોતા,આકૃતિ $1$ આ શરતો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશને દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે $p$: કામ સમયસર પૂરું થાય છે.
ધારો કે $q$: કોન્ટ્રાક્ટર મુશ્કેલીમાં છે.
$\text{વિધાન}-I$ એ $\sim p \rightarrow q$ છે.
તાર્કિક સમાનતા $\sim p \rightarrow q \equiv p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\text{વિધાન}-I \equiv p \vee q$.
$\text{વિધાન}-II$ આ રીતે આપેલ છે: કાં તો કામ સમયસર પૂરું થાય છે અથવા કોન્ટ્રાક્ટર મુશ્કેલીમાં છે,જે $p \vee q$ છે.
તેથી,$\text{વિધાન}-I \equiv p \vee q$ અને $\text{વિધાન}-II \equiv p \vee q$ હોવાથી,બંને વિધાનો સમાન છે.

(C) વિધાન $p \vee \sim(q \wedge r)$ અસત્ય છે જો અને માત્ર જો વિભાજનના બંને ઘટકો અસત્ય હોય.
તેથી,$p = F$ અને $\sim(q \wedge r) = F$.
કારણ કે $\sim(q \wedge r) = F$,તેનો અર્થ એ છે કે $(q \wedge r) = T$.
સંયોજન $(q \wedge r)$ સત્ય હોવા માટે,$q$ અને $r$ બંને સત્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$q = T$ અને $r = T$.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = F, q = T, r = T$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટનું સાંકેતિક સ્વરૂપ $(p \land q) \lor (p \land r)$ છે.
તર્કશાસ્ત્રના વિભાજનના નિયમ (Distributive law) મુજબ,$(p \land q) \lor (p \land r) \equiv p \land (q \lor r)$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
સર્કિટ $(i)$ એ $(p \land q) \lor (p \land r)$ છે.
સર્કિટ $(iii)$ એ $p \land (q \lor r)$ છે.
તેથી,$(p \land q) \lor (p \land r) \equiv p \land (q \lor r)$ હોવાથી,સર્કિટ $(i)$ અને $(iii)$ સમતુલ્ય છે.

(B) વિધાન $p \rightarrow (\sim q \wedge r)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim (\sim q \wedge r) \rightarrow \sim p$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,આ $(q \vee \sim r) \rightarrow \sim p$ ને સમાન છે.
પ્રતિ-વિધાનનું નિષેધ $\sim [(q \vee \sim r) \rightarrow \sim p]$ થાય.
તાર્કિક સમાનતા $\sim (A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(q \vee \sim r) \wedge \sim (\sim p)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(q \vee \sim r) \wedge p$ થાય છે.

(C) ધારો કે $p$ એટલે સ્વિચ $S_1$ બંધ છે,$q$ એટલે સ્વિચ $S_2$ બંધ છે,અને $r$ એટલે સ્વિચ $S_3$ બંધ છે.
તો $\sim p$ એટલે સ્વિચ $S_1'$ બંધ છે,$\sim q$ એટલે સ્વિચ $S_2'$ બંધ છે,અને $\sim r$ એટલે સ્વિચ $S_3'$ બંધ છે.
આપેલ વિધાન $(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r))$ છે.
આ સમાંતર જોડાણમાં બે મુખ્ય શાખાઓ દર્શાવે છે:
$1$. પ્રથમ શાખા $(p \wedge q)$ છે,જે શ્રેણીમાં સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજી શાખા $(\sim p \wedge (\sim q \vee p \vee r))$ છે,જે સ્વિચ $S_1'$ ની શ્રેણીમાં સ્વિચ $S_2'$,$S_1$,અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણને અનુરૂપ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ સર્કિટ આ વર્ણન સાથે મેળ ખાય છે.

(C) પગલું $1$: વ્યાખ્યાઓ ઓળખો: વિરોધાભાસ હંમેશા ખોટો હોય છે,સ્વતઃ સત્ય (tautology) હંમેશા સાચું હોય છે,અને આકસ્મિકતા (contingency) તેના ઘટકોના સત્ય મૂલ્યોના આધારે સાચું અથવા ખોટું હોઈ શકે છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: $p \wedge \sim p$ હંમેશા ખોટું છે (વિરોધાભાસ).
પગલું $3$: વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $p \vee \sim p$ હંમેશા સાચું છે (સ્વતઃ સત્ય).
પગલું $4$: વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યોના આધારે $p \vee q$ સાચું કે ખોટું હોઈ શકે છે. તેથી,તે એક આકસ્મિકતા છે.
પગલું $5$: વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $(p \wedge (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow q$ એ સ્વતઃ સત્ય છે.
અંતિમ જવાબ: $C$)

(C) અમે તાર્કિક સમાનતા $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ અને ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $\sim[(p \vee \sim q) \rightarrow (p \wedge \sim q)]$
શરતી નિયમ લાગુ કરતા: $\sim[\sim(p \vee \sim q) \vee (p \wedge \sim q)]$
ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $(p \vee \sim q) \wedge \sim(p \wedge \sim q)$
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
આપેલ છે કે $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \rightarrow \sim p \vee q \equiv F$.
આનો અર્થ એ છે કે $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \equiv T$ અને $\sim p \vee q \equiv F$.
$\sim p \vee q \equiv F$ પરથી,આપણને $\sim p \equiv F$ અને $q \equiv F$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p \equiv T$ અને $q \equiv F$.
હવે આ કિંમતોને પ્રથમ ભાગમાં મૂકતા: $(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$(T \wedge T) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$T \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
આ માટે $T \wedge r \equiv T$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $r \equiv T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = T$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
$\equiv [p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge (\sim r \wedge \sim q)]$ (ક્રમનો નિયમ)
$\equiv [p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (r \vee q)]$ (ડી મોર્ગનનો નિયમ)
$\equiv p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$ (વિભાજનનો નિયમ)
$\equiv p \wedge T$ (પૂરક નિયમ)
$\equiv p$ (તદેવ નિયમ)

(B) આપેલ સત્યતા મૂલ્યો: $p = F, q = T, r = F$.
પ્રથમ વિધાન પેટર્ન $(p \wedge \sim q) \rightarrow r$ માટે:
$(F \wedge \sim T) \rightarrow F$
$= (F \wedge F) \rightarrow F$
$= F \rightarrow F$
$= T$.
બીજી વિધાન પેટર્ન $(p \vee q) \rightarrow r$ માટે:
$(F \vee T) \rightarrow F$
$= T \rightarrow F$
$= F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે $T$ અને $F$ છે.

(D) વિધાન $A \rightarrow B$ નો પ્રતિપ (converse) $B \rightarrow A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $[p \wedge (\sim q)] \rightarrow r$ માટે,તેનો પ્રતિપ $r \rightarrow [p \wedge (\sim q)]$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) શરતી વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (\sim q \vee r)$ ત્યારે જ અસત્ય $(F)$ હોય જ્યારે પૂર્વગ $(p \wedge q)$ સત્ય $(T)$ હોય અને ઉત્તરગ $(\sim q \vee r)$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$(p \wedge q)$ સત્ય હોવા માટે,$p$ અને $q$ બંને સત્ય $(T)$ હોવા જોઈએ.
$(\sim q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$\sim q$ અને $r$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
કારણ કે $q$ સત્ય છે,તેથી $\sim q$ અસત્ય છે. $r$ અસત્ય હોવા માટે,$r$ નું મૂલ્ય $F$ હોવું જોઈએ.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F$ છે.

(B) તર્કમાં,ગર્ભિત વિધાન $p \rightarrow q$ ત્યારે જ ખોટું હોય છે જ્યારે $p$ સાચું હોય અને $q$ ખોટું હોય. અન્યથા,તે સાચું હોય છે.
$(A)$ ધારો કે $p: 3+3=7$ (ખોટું) અને $q: 4+3=8$ (ખોટું). $p$ ખોટું હોવાથી,$p \rightarrow q$ સાચું છે.
$(B)$ ધારો કે $p: 5+3=8$ (સાચું) અને $q: \text{પૃથ્વી સપાટ છે}$ (ખોટું). $p$ સાચું અને $q$ ખોટું હોવાથી,$p \rightarrow q$ ખોટું છે.
$(C)$ ધારો કે $p: (A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે (ખોટું,કારણ કે $B$ ખોટું છે) અને $q: 5+6=17$ (ખોટું). $p$ ખોટું હોવાથી,$p \rightarrow q$ સાચું છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ સાચા છે,જ્યારે $(B)$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે $p$: ઘોડાઓને પાંખો હોય છે.
ધારો કે $q$: કાગડાઓને પૂંછડી હોય છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે.
દ્વિ-શરતી વિધાનનું નિષેધ $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે: 'ઘોડાઓને પાંખો હોય છે અને કાગડાઓને પૂંછડી હોતી નથી,અથવા કાગડાઓને પૂંછડી હોય છે અને ઘોડાઓને પાંખો હોતી નથી.'
આથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિધાન $A \rightarrow B$ નો પ્રતિવિધેય $\sim A \rightarrow \sim B$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$ માટે,પ્રતિવિધેય $\sim p$ $\rightarrow \sim (q$ $\rightarrow r)$ છે.
તાર્કિક સમકક્ષતાના નિયમ મુજબ,$\sim A$ $\rightarrow \sim B \equiv B$ $\rightarrow A$.
અહીં $A = p$ અને $B = (q \rightarrow r)$ લેતા,
$\sim p$ $\rightarrow \sim (q$ $\rightarrow r) \equiv (q$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow p$.
આમ,પ્રતિવિધેય $(q$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow p$ ને સમકક્ષ છે.

(D) ધારો કે $p$ : ચુકવણી કરવામાં આવશે.
ધારો કે $q$ : કામ સમયસર પૂરું થાય છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે,જે $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ ને સમાન છે.
આ વિધાનનું નકાર $\sim(p \leftrightarrow q)$ છે,જે $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ ને સમાન છે.
આનો અર્થ એ થાય કે: "ચુકવણી કરવામાં આવે છે અને કામ સમયસર પૂરું થતું નથી,અથવા કામ સમયસર પૂરું થાય છે અને ચુકવણી કરવામાં આવતી નથી."
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) તાર્કિક વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ $False$ હોય જ્યારે $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
આપેલ છે કે $(p \wedge \sim r) \rightarrow (\sim p \vee q) \equiv F$.
આનો અર્થ એ છે કે $(p \wedge \sim r) \equiv T$ અને $(\sim p \vee q) \equiv F$.
$(\sim p \vee q) \equiv F$ પરથી,આપણને $\sim p \equiv F$ અને $q \equiv F$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p \equiv T$ અને $q \equiv F$.
$p \equiv T$ ને $(p \wedge \sim r) \equiv T$ માં મૂકતા,આપણને $(T \wedge \sim r) \equiv T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sim r \equiv T$,તેથી $r \equiv F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p=T, q=F, r=F$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $p: 3$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
ધારો કે $q: 3$ એ એકી સંખ્યા છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતીપ વિધાન $q \rightarrow p$ થાય છે.
તેથી,પ્રતીપ વિધાન છે: "જો $3$ એકી સંખ્યા છે,તો $3$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે."

(D) સૌ પ્રથમ,પદાવલિ $((p \wedge q) \vee (p \vee \sim q))$ ને સરળ બનાવો.
સહચર અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$(p \wedge q) \vee (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$T \wedge (\sim p \wedge \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
આમ,પદાવલિ $\sim p \wedge \sim q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિલોભ $\sim p \rightarrow \sim q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે $p$: માણસ ન્યાયાધીશ છે,તેથી $\sim p$: માણસ ન્યાયાધીશ નથી.
આપેલ છે $q$: તે પ્રમાણિક છે,તેથી $\sim q$: તે પ્રમાણિક નથી.
તેથી,પ્રતિલોભ છે: જો માણસ ન્યાયાધીશ ન હોય,તો તે પ્રમાણિક નથી.

(D) આપેલ છે $r: q \vee \sim p$.
તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને ફરીથી લખી શકીએ:
$q \vee \sim p \equiv \sim p \vee q$.
કોન્ટ્રાપોઝિટિવ નિયમ દ્વારા,$\sim p \vee q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$.
આને શબ્દોમાં અનુવાદ કરતા:
$\sim q$: $X$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ નથી.
$\sim p$: $X$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ નથી.
આમ,$\sim q \rightarrow \sim p$ નો અર્થ થાય છે: "જો $X$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ નથી,તો $X$ સમબાજુ ત્રિકોણ નથી."
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) તર્કશાસ્ત્રના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આપણે તાર્કિક પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((p \vee q)$ $\rightarrow q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim(p \vee q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \wedge \sim q) \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q))$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow ((\sim p \vee q) \wedge T)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (\sim p \vee q)$
$\equiv (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$\equiv T$
પરિણામ હંમેશા સત્ય હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.

(C) ધારો કે $p$ વિધાન છે: 'બે સંખ્યાઓ સમાન નથી'.
ધારો કે $q$ વિધાન છે: 'તેમના વર્ગ સમાન નથી'.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-ધન (Contrapositive) $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે: 'બે સંખ્યાઓના વર્ગ સમાન છે'.
અને $\sim p$ એટલે: 'તે સંખ્યાઓ સમાન છે'.
તેથી,પ્રતિ-ધન વિધાન છે: 'જો બે સંખ્યાઓના વર્ગ સમાન હોય,તો તે સંખ્યાઓ સમાન હોય છે'.

(C) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $p$: 'બે સંખ્યાઓ સમાન છે' અને $q$: 'તેમના વર્ગ સમાન છે'.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ એ છે: 'જો બે સંખ્યાઓના વર્ગ સમાન ન હોય,તો તે સંખ્યાઓ સમાન નથી'.

(C) સૌ પ્રથમ,વિધાનોના સત્યતા મૂલ્યો નક્કી કરો:
$p$: $2$ અને $100$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $25$ છે,$26$ નથી. તેથી,$p$ એ $F$ છે.
$q$: શૂન્ય $(0)$ ને $0 + 0i$ તરીકે લખી શકાય છે,જે એક સંકર સંખ્યા છે. તેથી,$q$ એ $T$ છે.
$r$: $6$ અને $7$ નો લ.સા.અ. $42$ છે,$6$ નથી. તેથી,$r$ એ $F$ છે.
હવે વિકલ્પો તપાસો:
$(A)$ $(p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (F \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv F$ $\rightarrow F \equiv T$.
$(B)$ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow r \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(C)$ $(p \vee q) \leftrightarrow r \equiv (F \vee T) \leftrightarrow F \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
$(D)$ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv (F$ $\rightarrow T)$ $\rightarrow (T$ $\rightarrow F) \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) $A \rightarrow B$ વિધાનનું પ્રતિવિધેય (inverse) $\sim A \rightarrow \sim B$ છે.
$p$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ માટે,તેનું પ્રતિવિધેય $\sim p$ $\rightarrow \sim (p$ $\rightarrow q)$ થાય.
કોઈ વિધાન $A \rightarrow B$ નું સામ્ય વિધાન (contrapositive) $\sim B \rightarrow \sim A$ થાય.
તેથી,$\sim p$ $\rightarrow \sim (p$ $\rightarrow q)$ નું સામ્ય વિધાન:
$\sim [\sim (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow \sim (\sim p)$
$= (p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$
$p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ હોવાથી,આ પદ $(\sim p \vee q) \rightarrow p$ બને છે.

(B) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$.
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$ (નિરર્થકતા),પદાવલિ $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$ બને છે.
તદર્થ નિયમ દ્વારા,$T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\sim p \vee \sim q$ ને $p \rightarrow (\sim q)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(A) વિધાન $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
| $p$ | $q$ | $\sim q$ | $p \leftrightarrow \sim q$ | $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ | $p \leftrightarrow q$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
સ્તંભ $5$ અને સ્તંભ $6$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $p$ અને $q$ ના તમામ સંયોજનો માટે સત્યતા મૂલ્યો સમાન છે.
તેથી,$\sim(p \leftrightarrow \sim q) \equiv p \leftrightarrow q$.

(A) આપેલ છે કે $p \rightarrow r$ નું સત્ય મૂલ્ય $F$ છે,તેથી $p \equiv T$ અને $r \equiv F$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $p \leftrightarrow q$ નું સત્ય મૂલ્ય $F$ છે,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $p \equiv T$,તેથી $q \equiv F$ થશે.
હવે,પ્રથમ પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરીએ: $(\sim p \vee q) \rightarrow (p \vee \sim q)$
$= (\sim T \vee F) \rightarrow (T \vee \sim F)$
$= (F \vee F) \rightarrow (T \vee T)$
$= F \rightarrow T \equiv T$.
હવે,બીજી પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરીએ: $(p \wedge \sim q) \rightarrow (\sim p \wedge q)$
$= (T \wedge \sim F) \rightarrow (\sim T \wedge F)$
$= (T \wedge T) \rightarrow (F \wedge F)$
$= T \rightarrow F \equiv F$.
આમ,સત્ય મૂલ્યો $T, F$ છે.

(D) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 0$.
$2x(x - 2y) - y(x - 2y) = 0$.
$(2x - y)(x - 2y) = 0$.
આમ,રેખાઓના અલગ સમીકરણો $L_1: 2x - y = 0$ અને $L_2: x - 2y = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(2, -1)$ માટે:
$P_1 = \frac{|2(2) - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
$P_2 = \frac{|(2) - 2(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 2|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$P_1 P_2 = \sqrt{5} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = 4$.

(C) આપેલ રેખા $3x + y = 0$ છે,જેને $y = -3x$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,આપણે $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m - (-3)}{1 + m(-3)}| = |\frac{m + 3}{1 - 3m}|$.
$1 = |\frac{m + 3}{1 - 3m}| \Rightarrow 1 - 3m = \pm(m + 3)$.
કિસ્સો $1$: $1 - 3m = m + 3$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -1/2$.
કિસ્સો $2$: $1 - 3m = -(m + 3)$ $\Rightarrow 1 - 3m = -m - 3$ $\Rightarrow 2m = 4$ $\Rightarrow m = 2$.
રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમના સમીકરણો $y = -\frac{1}{2}x$ અને $y = 2x$ છે.
આને $x + 2y = 0$ અને $2x - y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 2y)(2x - y) = 0$ છે.
$2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$.

(C) રેખા $3x+y-6=0$ નો ઢાળ $m_1 = -3$ છે. ધારો કે રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે જે આપેલી રેખા સાથે $\theta = \frac{\pi}{6}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| = \left| \frac{m+3}{1-3m} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{3} = \frac{(m+3)^2}{(1-3m)^2} \Rightarrow (1-3m)^2 = 3(m+3)^2$.
$1 - 6m + 9m^2 = 3(m^2 + 6m + 9) = 3m^2 + 18m + 27$.
$6m^2 - 24m - 26 = 0 \Rightarrow 3m^2 - 12m - 13 = 0$.
સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે $m = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$3(\frac{y}{x})^2 - 12(\frac{y}{x}) - 13 = 0$.
$x^2$ વડે ગુણતા:
$3y^2 - 12xy - 13x^2 = 0 \Rightarrow 13x^2 + 12xy - 3y^2 = 0$.

(C) રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને ધન $Y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓ ધન $X$-અક્ષ સાથે $90^{\circ} \pm 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,જે $60^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે,જેને $y - \sqrt{3}x = 0$ અને $y + \sqrt{3}x = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $y^2 - 3x^2 = 0$ અથવા $3x^2 - y^2 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $OA$ અને $OB$ છે જે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
દરેક રેખા $Y$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેઓ ધન $X$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ અને $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે,જેને $\sqrt{3}x - y = 0$ અને $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
રેખાઓની જોડીનું સંયુક્ત સમીકરણ $(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(\sqrt{3}x)^2 - y^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - y^2 = 0$ થાય છે.

(D) $ax^2+2hxy+by^2=0$ સામાન્ય સમીકરણ ધરાવતી બે રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2-4xy-5y^2=0$ ને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-5$,અને $2h=-4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h=-2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x^2-y^2}{1-(-5)} = \frac{xy}{-2}$
$\frac{x^2-y^2}{6} = \frac{xy}{-2}$
$x^2-y^2 = -3xy$
$x^2+3xy-y^2=0$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $7x^2 - 14xy + py^2 - 12x + qy - 4 = 0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 7$,$h = -7$,$b = p$,$g = -6$,$f = \frac{q}{2}$,અને $c = -4$ મળે છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,$h^2 = ab$.
કિંમતો મૂકતા,$(-7)^2 = 7p$ $\Rightarrow 49 = 7p$ $\Rightarrow p = 7$.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
$p = 7$,$a = 7$,$h = -7$,$g = -6$,$f = \frac{q}{2}$,અને $c = -4$ મૂકતા:
$7(7)(-4) + 2(\frac{q}{2})(-6)(-7) - 7(\frac{q}{2})^2 - 7(-6)^2 - (-4)(-7)^2 = 0$.
$-196 + 42q - \frac{7q^2}{4} - 252 + 196 = 0$.
$42q - \frac{7q^2}{4} - 252 = 0$.
$-4/7$ વડે ગુણતા,$q^2 - 24q + 144 = 0$ મળે છે.
$(q - 12)^2 = 0 \Rightarrow q = 12$.
છેલ્લે,$\sqrt{p^2 + q^2 - pq} = \sqrt{7^2 + 12^2 - (7)(12)} = \sqrt{49 + 144 - 84} = \sqrt{109}$.

(A) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $hxy + gx + fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$A = 0, B = 0, C = c, H = \frac{h}{2}, G = \frac{g}{2}, F = \frac{f}{2}$.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 0 & \frac{h}{2} & \frac{g}{2} \\ \frac{h}{2} & 0 & \frac{f}{2} \\ \frac{g}{2} & \frac{f}{2} & c \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$0 - \frac{h}{2} \left( \frac{ch}{2} - \frac{gf}{4} \right) + \frac{g}{2} \left( \frac{hf}{4} - 0 \right) = 0$.
$-\frac{ch^2}{4} + \frac{hgf}{8} + \frac{ghf}{8} = 0$.
$-\frac{ch^2}{4} + \frac{hgf}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$-ch^2 + hgf = 0$,એટલે કે $hgf = ch^2$.
$h$ વડે ભાગતા ($h \neq 0$ ધારતા),$gf = ch$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $3x + 4y = 9$ અને $y = mx + 1$ છે.
$y = mx + 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$(3 + 4m)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$5$ ના ભાજકો $\{1, -1, 5, -5\}$ છે.
કિસ્સો $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (પૂર્ણાંક છે).
કિસ્સો $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (પૂર્ણાંક છે).
આમ,$m$ ના $2$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો મળે છે,જે $\{-1, -2\}$ છે.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8$ મળે,તેથી $a=2$ છે.
રેખા $4x-y+3=0$ નો ઢાળ $m=4$ છે.
$m$ ઢાળવાળા પરવલય $y^2=4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
સૂત્રમાં $a=2$ અને $m=4$ મૂકતા:
$y=4x+\frac{2}{4}$
$y=4x+\frac{1}{2}$
$2y=8x+1$
$8x-2y+1=0$.

(C) અક્ષરોનો સમૂહ $\{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\}$ છે,જેમાં $10$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે.
$x$ માટે,આપણે $10$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $10$ લંબાઈના શબ્દો બનાવીએ છીએ,તેથી $x = 10!$.
$y$ માટે,આપણે $10$ ઉપલબ્ધ અક્ષરોમાંથી બે વાર પુનરાવર્તિત થતા $2$ અક્ષરોને ${}^{10}C_2$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
બાકીના $6$ સ્થાનો $8$ બાકી રહેલા અક્ષરોમાંથી $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો પસંદ કરીને ભરી શકાય છે,જે ${}^{8}C_6$ રીતે કરી શકાય છે.
આ $10$ અક્ષરો માટે કુલ ગોઠવણી (જ્યાં $2$ અક્ષરો બે વાર અને $6$ અક્ષરો એક વાર આવે છે) $\frac{10!}{2! \times 2!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$y = {}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6 \times \frac{10!}{2! \times 2!}$.
ગુણોત્તર $\frac{y}{x}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{y}{x} = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6 \times \frac{10!}{2! \times 2!}}{10!} = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6}{4} = \frac{45 \times 28}{4} = 45 \times 7 = 315$.

(B) આપેલ અંકો $2, 3, 0, 3, 4, 2, 3$ છે. કુલ $7$ અંકો છે,જેમાં $2$ બે વાર,$3$ ત્રણ વાર,$0$ એક વાર અને $4$ એક વાર આવે છે.
આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ $7$ અંકની સંખ્યાઓ એક મિલિયનથી મોટી હોય છે.
દશ લાખના સ્થાન પર $0$ ન હોઈ શકે.
તેથી,દશ લાખના સ્થાન પર $2, 3,$ અથવા $4$ આવી શકે.
કિસ્સો $I$: દશ લાખના સ્થાન પર $2$ હોય.
બાકીના અંકો $3, 0, 3, 4, 2, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!} = 120$ છે.
કિસ્સો $II$: દશ લાખના સ્થાન પર $3$ હોય.
બાકીના અંકો $2, 0, 3, 4, 2, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{2! \times 2!} = 180$ છે.
કિસ્સો $III$: દશ લાખના સ્થાન પર $4$ હોય.
બાકીના અંકો $2, 3, 0, 3, 2, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3! \times 2!} = 60$ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 120 + 180 + 60 = 360$.

(B) બે મહિલાઓને $1$ થી $4$ નંબરની ખુરશીઓ પર ${ }^4 P_2$ રીતે બેસાડી શકાય છે.
મહિલાઓ બેસી ગયા પછી,$8 - 2 = 6$ ખુરશીઓ બાકી રહે છે.
ત્રણ પુરુષોને આ $6$ ઉપલબ્ધ ખુરશીઓ પર ${ }^6 P_3$ રીતે બેસાડી શકાય છે.
તેથી,શક્ય ગોઠવણીઓની કુલ સંખ્યા ${ }^4 P_2 \times { }^6 P_3$ છે.

(C) ભૌતિકવિજ્ઞાનના $3$ પુસ્તકો,રસાયણવિજ્ઞાનના $2$ પુસ્તકો અને ગણિતના $4$ પુસ્તકો છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનના બધા પુસ્તકો સાથે હોવાથી,આપણે તેમને $1$ એકમ તરીકે ગણીશું.
ગણિતના બધા પુસ્તકો સાથે હોવાથી,આપણે તેમને $1$ એકમ તરીકે ગણીશું.
રસાયણવિજ્ઞાનના $2$ અલગ પુસ્તકો છે.
આમ,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $1$ (ભૌતિકવિજ્ઞાન એકમ) + $1$ (ગણિત એકમ) + $2$ (રસાયણવિજ્ઞાન પુસ્તકો) = $4$ એકમો છે.
આ $4$ એકમોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$3$ ભૌતિકવિજ્ઞાનના પુસ્તકોને તેમની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$4$ ગણિતના પુસ્તકોને તેમની વચ્ચે $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$\therefore \text{કુલ ગોઠવણીઓ} = 4! \times 3! \times 4! = 24 \times 6 \times 24 = 3456$.

(C) આપેલ સંખ્યા $223355888$ છે,જેમાં $9$ અંકો છે: $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$.
અહીં $4$ એકી અંકો $(3, 3, 5, 5)$ અને $5$ બેકી અંકો $(2, 2, 8, 8, 8)$ છે.
$9$-અંકી સંખ્યામાં બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$ છે (કુલ $5$ સ્થાનો).
$4$ એકી અંકોને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
$5$ બેકી અંકોને $5$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{2!3!} = 10$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ $= 6 \times 10 = 60$ થાય.

(B) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 5 + 3 = 8$.
ગોળાકાર ટેબલ પર $8$ વ્યક્તિઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $= (8-1)! = 7!$.
હવે,ધારો કે $B_1$ અને $G_1$ સાથે બેસે છે. $(B_1G_1)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવવા માટે $7$ એકમો છે,જે $(7-1)! = 6!$ રીતે કરી શકાય છે.
એકમની અંદર,$B_1$ અને $G_1$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 6! \times 2$.
તેઓ ક્યારેય બાજુમાં ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 7! - (2 \times 6!) = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$.

(B) $5$ છોકરાઓમાંથી $2$ અને $7$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ છે.
જો બંને છોકરીઓ $A$ અને $B$ એક જ ટીમમાં હોય,તો આપણે $5$ છોકરાઓમાંથી $2$ અને બાકીની $5$ છોકરીઓમાંથી $1$ છોકરી પસંદ કરવી પડે (કારણ કે $A$ અને $B$ પહેલેથી જ પસંદ થયેલ છે). આવી રીતોની સંખ્યા $^5C_2 \times ^5C_1 = 10 \times 5 = 50$ છે.
જે ટીમમાં $A$ અને $B$ સાથે ન હોય તેવી ટીમોની સંખ્યા કુલ ટીમોમાંથી બંને સાથે હોય તેવી ટીમો બાદ કરવાથી મળે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 350 - 50 = 300$.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$.
વિકલન મેળવતા: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટેની શરત $f'(x) < 0$ છે.
તેથી,$3x^2 - 12x + 9 < 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 - 4x + 3 < 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x - 1) < 0$.
અસમતાના ચિહ્ન પદ્ધતિ મુજબ,આ પદ $1$ અને $3$ ની વચ્ચે ઋણ મળે છે.
તેથી,$x \in (1, 3)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$.
$f(x)$ વધતું છે કે ઘટતું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}) = \frac{1 \cdot \sqrt{a^2+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2} = \frac{a^2+x^2-x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.
તે જ રીતે,બીજા પદ માટે,ધારો કે $u = d-x$,તો $\frac{d}{dx}(-\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) = -\frac{d}{du}(\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{b^2}{(b^2+u^2)^{3/2}} \cdot (-1) = \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
આમ,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
કારણ કે $a^2 > 0$ અને $b^2 > 0$,પદો $(a^2+x^2)^{3/2}$ અને $(b^2+(d-x)^2)^{3/2}$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$.
કારણ કે $f'(x) > 0$,$f(x)$ એ $x$ નું વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 10x^2 + 200x - 10$ છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 10x^2 + 200x - 10) = 3x^2 - 20x + 200$.
$f'(x)$ ની નિશાની તપાસવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિ $3x^2 - 20x + 200$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(3)(200) = 400 - 2400 = -2000$.
અહીં $D < 0$ છે અને $x^2$ નો સહગુણક (જે $3$ છે) ધન છે,તેથી દ્વિઘાત પદાવલિ $3x^2 - 20x + 200$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન રહેશે.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પર હંમેશા વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 2$.
વિકલિત મેળવતા: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
$6$ વડે ભાગતા: $x^2 - 3x + 2 < 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 1)(x - 2) < 0$.
અસમતા માટે ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,આ પદ $x = 1$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે ઋણ મળે છે.
તેથી,વિધેય અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = x^2 e^{-x}$.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) e^{-x} + x^2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x}(2 - x)$.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,અસમતા $x e^{-x}(2 - x) > 0$ એ $x(2 - x) > 0$ માં પરિણમે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા ઉલટાય છે: $x(x - 2) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $0$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય.
આમ,$x \in (0, 2)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$.
વિકલન કરતા $f^{\prime}(x)=\frac{\alpha}{x}+2\beta x+1$ મળે.
કારણ કે $x=-1$ અને $x=2$ એ અંતિમ બિંદુઓ છે,તેથી $f^{\prime}(-1)=0$ અને $f^{\prime}(2)=0$ થાય.
$x=-1$ માટે: $\frac{\alpha}{-1}+2\beta(-1)+1=0 \Rightarrow -\alpha-2\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+2\beta=1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $\frac{\alpha}{2}+2\beta(2)+1=0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}+4\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+8\beta=-2$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(\alpha+8\beta)-(\alpha+2\beta)=-2-1 \Rightarrow 6\beta=-3 \Rightarrow \beta=-\frac{1}{2}$.
$\beta=-\frac{1}{2}$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $\alpha+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow \alpha-1=1 \Rightarrow \alpha=2$.
આમ,$\alpha=2$ અને $\beta=-\frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$.
$f(x)$ ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{(c \sin x + d \cos x)(a \cos x - b \sin x) - (a \sin x + b \cos x)(c \cos x - d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (ac \sin x \cos x - bc \sin^2 x + ad \cos^2 x - bd \sin x \cos x) - (ac \sin x \cos x - ad \sin^2 x + bc \cos^2 x - bd \sin x \cos x)$.
$= ac \sin x \cos x - bc \sin^2 x + ad \cos^2 x - bd \sin x \cos x - ac \sin x \cos x + ad \sin^2 x - bc \cos^2 x + bd \sin x \cos x$.
$= ad(\sin^2 x + \cos^2 x) - bc(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
$= ad - bc$.
છેદ $(c \sin x + d \cos x)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) < 0$ માટે,આપણે $ad - bc < 0$ ની જરૂર છે.

(D) આપેલ ગણ $S = \{x \in R : x^2+30 \leq 11x\}$ છે.
અસમતા ઉકેલતા: $x^2-11x+30 \leq 0$.
$(x-5)(x-6) \leq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [5, 6]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 3x^3-18x^2+27x-40$ લો.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 9x^2-36x+27 = 9(x^2-4x+3) = 9(x-1)(x-3)$.
અંતરાલ $x \in [5, 6]$ માટે,$(x-1)$ અને $(x-3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
જેથી $f(x)$ એ અંતરાલ $[5, 6]$ પર વધતું વિધેય છે.
મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = 6$ પર મળે છે.
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40 = 3(216) - 18(36) + 162 - 40 = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેથી $AB = AC = x$.
ધારો કે $\angle ABC = \angle ACB = \theta$.
રેખાખંડ $AD \perp$ બાજુ $BC$ ને બિંદુ $D$ પર દોરો.
$\triangle ABD$ માં,$AD = x \sin \theta$ અને $BD = x \cos \theta$.
તે જ રીતે,$\triangle ACD$ માં,$DC = x \cos \theta$.
તેથી,$\triangle ABC$ માં,ઊંચાઈ $AD = x \sin \theta$ છે અને પાયો $BC = BD + DC = x \cos \theta + x \cos \theta = 2x \cos \theta$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
$A = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta)$
$A = x^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{x^2}{2} \sin(2\theta)$.
કારણ કે $\sin(2\theta)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે (જ્યારે $2\theta = 90^\circ$ અથવા $\theta = 45^\circ$),તેથી મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $\frac{x^2}{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a + b = 3$,તેથી $b = 3 - a$.
ધારો કે ગુણાકાર $P = a \cdot b^2$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $P = a(3 - a)^2 = a(9 - 6a + a^2) = a^3 - 6a^2 + 9a$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dP}{da} = 3a^2 - 12a + 9$.
$\frac{dP}{da} = 0$ લેતા,આપણને મળે $3(a^2 - 4a + 3) = 0$,જેનો અર્થ છે $3(a - 1)(a - 3) = 0$.
તેથી,$a = 1$ અથવા $a = 3$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો: $\frac{d^2P}{da^2} = 6a - 12$.
$a = 1$ માટે,$\frac{d^2P}{da^2} = 6(1) - 12 = -6 < 0$,તેથી $a = 1$ પર $P$ મહત્તમ છે.
$a = 3$ માટે,$\frac{d^2P}{da^2} = 6(3) - 12 = 6 > 0$,તેથી $a = 3$ પર $P$ ન્યૂનતમ છે.
ગુણાકારના સૂત્રમાં $a = 1$ મૂકતા: $P = 1(3 - 1)^2 = 1(2)^2 = 4$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $4$ છે.

(C) ચોરસની પરિમિતિ $= 4x$.
વર્તુળની પરિમિતિ $= 2\pi r$.
તારની કુલ લંબાઈ $2$ એકમ હોવાથી,$4x + 2\pi r = 2$.
$2$ વડે ભાગતા,$2x + \pi r = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{1 - 2x}{\pi}$.
ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $A = x^2 + \pi r^2$.
$r$ ની કિંમત $x$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા: $A = x^2 + \pi \left( \frac{1 - 2x}{\pi} \right)^2 = x^2 + \frac{(1 - 2x)^2}{\pi}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નું વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dx} = 2x + \frac{2(1 - 2x)(-2)}{\pi} = 2x - \frac{4(1 - 2x)}{\pi}$.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ માટે,$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા: $2x - \frac{4}{\pi} + \frac{8x}{\pi} = 0$.
$\pi$ વડે ગુણતા: $2\pi x - 4 + 8x = 0 \Rightarrow (2\pi + 8)x = 4 \Rightarrow (\pi + 4)x = 2$.
આમ,$x = \frac{2}{\pi + 4}$.
$x$ ની કિંમત પરિમિતિના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(\frac{2}{\pi + 4}) + \pi r = 1 \Rightarrow \pi r = 1 - \frac{4}{\pi + 4} = \frac{\pi + 4 - 4}{\pi + 4} = \frac{\pi}{\pi + 4}$.
તેથી,$r = \frac{1}{\pi + 4}$.
$x$ અને $r$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 2r$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$f(x) = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ મળે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(x) = 1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2x}{4}\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે,$2x$ નો વિસ્તાર $0 < 2x < \pi$ છે. તેથી,$\sin 2x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે જે $2x = \frac{\pi}{2}$ એટલે કે $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
જ્યારે $\sin 2x = 1$ હોય,ત્યારે $f(x) = 1 - \frac{1}{2}(1)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે જે $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટીકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,$x = e$ પર દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ તપાસીએ:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x(1 - \log x)}{x^4}$.
$x = e$ પર,$f''(e) = \frac{-e - 2e(1 - 1)}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
કારણ કે $f''(e) < 0$,તેથી વિધેય $x = e$ પર મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x)=2x^3-15x^2+36x-48$ છે.
સૌ પ્રથમ,અસમતા $x^2-9x+20 \leq 0$ ઉકેલીને ગણ $A$ નક્કી કરીએ.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x-4)(x-5) \leq 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x \in [4, 5]$.
હવે,$f'(x)=0$ લઈને $f(x)$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ:
$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)=6(x-2)(x-3)=0$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=2$ અને $x=3$ છે.
આ બંને બિંદુઓ અંતરાલ $[4, 5]$ ની બહાર હોવાથી,વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[4, 5]$ પર એકવિધ છે.
અંતરાલ $A=[4, 5]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$x=4$ માટે: $f(4)=2(4)^3-15(4)^2+36(4)-48 = 128-240+144-48 = -16$.
$x=5$ માટે: $f(5)=2(5)^3-15(5)^2+36(5)-48 = 250-375+180-48 = 7$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ગણ $A$ પર $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $7$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $y = a \log x + b x^2 + x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
અંતિમ મૂલ્યો $x = -1$ અને $x = 2$ આગળ હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x = -1$ માટે: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a = 1 - 2b$.
$x = 2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b + 2 = 0$.
બીજા સમીકરણમાં $a = 1 - 2b$ મૂકતા: $(1 - 2b) + 8b + 2 = 0 \Rightarrow 6b + 3 = 0 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
હવે,$a$ શોધો: $a = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.
અંતે,$\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) = \left(\frac{2}{-1/2} + \frac{-1/2}{2}\right) = (-4 - \frac{1}{4}) = -\frac{17}{4}$.

(B) ધારો કે ચોરસ તળિયાની બાજુની લંબાઈ $x$ છે અને ટાંકીની ઊંચાઈ $h$ છે.
આપેલ ઘનફળ $V = x^2 h = 4000 \ cm^3 \dots (i)$.
ખુલ્લી ટાંકીનું પૃષ્ઠફળ $A = x^2 + 4xh \dots (ii)$.
$(i)$ પરથી,$h = \frac{4000}{x^2}$.
$h$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$A = x^2 + 4x \left( \frac{4000}{x^2} \right) = x^2 + \frac{16000}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2}$.
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ માટે,$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$2x = \frac{16000}{x^2} \Rightarrow x^3 = 8000 \Rightarrow x = 20 \ cm$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા,$\frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{x^3}$.
$x = 20$ માટે,$\frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{8000} = 2 + 4 = 6 > 0$,તેથી પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ છે.
ઊંચાઈની ગણતરી કરતા,$h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \ cm$.

(B) આપેલ વિધેય $y=a \log x+b x^2+x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયના અંતિમ મૂલ્યો $x=-1$ અને $x=2$ પર હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x=-1$ માટે: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a + 2b = 1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b = -2$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$.
આમ,$a=2$ અને $b=-\frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[1,3]$ પર રોલનું પ્રમેયનું પાલન કરે છે,તેથી $f(1)=f(3)$.
$f(x)=x^3+bx^2+ax+5$ માં $x=1$ અને $x=3$ મૂકતા:
$1+b+a+5 = 27+9b+3a+5$
$a+b+6 = 3a+9b+32$
$2a+8b = -26 \Rightarrow a+4b = -13 \quad \dots (i)$
હવે,$f'(x) = 3x^2+2bx+a$. રોલના પ્રમેય મુજબ,કોઈક $c \in (1,3)$ માટે $f'(c)=0$.
આપેલ છે કે $c = 2+\frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $f'(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$.
$3(2+\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$
$3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$a + 4b + 13 + \frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a+4b = -13$ મૂકતા:
$-13 + 13 + \frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow 2b = -12 \Rightarrow b = -6$.
સમીકરણ $(i)$ માં $b=-6$ મૂકતા:
$a + 4(-6) = -13 \Rightarrow a - 24 = -13 \Rightarrow a = 11$.
આમ,$a=11$ અને $b=-6$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ અંતરાલ $[1, 3]$ પર છે.
સૌ પ્રથમ,અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો શોધીએ:
$f(1) = \log_{e} 1 = 0$
$f(3) = \log_{e} 3$
હવે,વિધેયનું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{1}{x}$
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એક એવું બિંદુ $c \in (1, 3)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e} 3 - 0}{2}$
$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e} 3}{2}$
$c = \frac{2}{\log_{e} 3}$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$c = 2 \log_{3} e$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ અંતરાલ $[0, 2]$ પર છે.
$f(x)$ બહુપદી હોવાથી,તે $[0, 2]$ પર સતત છે અને $(0, 2)$ પર વિકલનીય છે.
વળી,$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2(0) = 0$ અને $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) = 8 - 12 + 4 = 0$.
$f(0) = f(2)$ હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ $(0, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$.
$f'(c) = 0$ લેતા,$3c^2 - 6c + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$c = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બંને કિંમતો $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ એ અંતરાલ $(0, 2)$ માં આવેલી છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
સૌ પ્રથમ,અંતરાલ $[0, 4]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર કિંમતો શોધો:
$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (0, 4)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ થાય.
$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
હવે,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$.
$f'(c) = 3$ લેતા:
$3c^2 - 12c + 11 = 3$.
$3c^2 - 12c + 8 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$c = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$.
$c = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,તે $[0, 4]$ પર સતત છે અને $(0, 4)$ પર વિકલનીય છે.
$LMVT$ મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (0, 4)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$.
પ્રથમ,$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ શોધો.
ત્યારબાદ,$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$ શોધો.
તેથી,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
હવે,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 3x^2 - 12x + 11$.
$f'(c) = 3$ લેતા,આપણને $3c^2 - 12c + 11 = 3$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $3c^2 - 12c + 8 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{3}$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{x}$ અને $2y - x + 3 = 0$ છે.
પ્રથમ,વક્રોનું છેદબિંદુ શોધો:
$2(\sqrt{x}) - x + 3 = 0$
ધારો કે $\sqrt{x} = t$,તો $2t - t^2 + 3 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0
(t-3)(t+1) = 0$. કારણ કે $t = \sqrt{x} \geq 0$,તેથી $t = 3$,એટલે કે $x = 9$ અને $y = 3$.
રેખા $2y - x + 3 = 0$ એ $X$-અક્ષ $(y=0)$ ને $x = 3$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=9$ સુધીના વક્ર $y = \sqrt{x}$ ના સંકલનમાંથી $x=3$ થી $x=9$ સુધીની રેખા $2y - x + 3 = 0$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^9 \sqrt{x} \, dx - \int_3^9 \frac{x-3}{2} \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^9 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_3^9$
$= \frac{2}{3} (27) - \frac{1}{2} [(\frac{81}{2} - 27) - (\frac{9}{2} - 9)]$
$= 18 - \frac{1}{2} [\frac{27}{2} - (-\frac{9}{2})] = 18 - \frac{1}{2} [\frac{36}{2}] = 18 - 9 = 9$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્રો $x^2=4y$ અને $x=4y-2$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$4y = x+2$.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 = x+2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 - x - 2 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(x-2)(x+1) = 0$ મળે છે,તેથી $x=2$ અને $x=-1$.
જ્યારે $x=2$,ત્યારે $y=1$. જ્યારે $x=-1$,ત્યારે $y=1/4$.
છેદબિંદુઓ $(2,1)$ અને $(-1, 1/4)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=-1$ થી $x=2$ સુધી ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{2} [\frac{x+2}{4} - \frac{x^2}{4}] dx$
$= \frac{1}{4} [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{4} [(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})]$
$= \frac{1}{4} [(6 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - \frac{5}{3})]$
$= \frac{1}{4} [\frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})] = \frac{1}{4} [\frac{20+7}{6}] = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) $x=a$ થી $x=b$ વચ્ચે વક્રો $y=f(x)$ અને $y=g(x)$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રદેશ $x=0$ થી $x=3$ સુધી $y=x^2+2$ અને $y=x$ દ્વારા આવૃત છે.
કારણ કે તમામ $x \in [0, 3]$ માટે $x^2+2 > x$ છે,તેથી જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^3 (x^2+2-x) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{x^2}{2} \right]_0^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} + 2(3) - \frac{3^2}{2} \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} + 6 - \frac{9}{2} \right)$
$= 9 + 6 - 4.5$
$= 15 - 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) બે વક્રો $y=ax^2$ અને $x=ay^2$ એ $O(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ બિંદુએ છેદે છે.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે ઉપરના વક્ર $y=\sqrt{\frac{x}{a}}$ અને નીચેના વક્ર $y=ax^2$ વચ્ચેના તફાવતનું $x=0$ થી $x=\frac{1}{a}$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\frac{1}{a}} \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - ax^2\right) dx = 1$
$\Rightarrow \left[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$
$\Rightarrow \left[\frac{2}{3\sqrt{a}} x^{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$
સીમાઓ મૂકતા:
$\Rightarrow \left(\frac{2}{3\sqrt{a}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^3\right) = 1$
$\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}} - \frac{a}{3a^3} = 1$
$\Rightarrow \frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{3a^2} = 1$
$\Rightarrow a^2 = \frac{1}{3}$
કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) રેખા $y = x + 2$ અને પરવલય $y = x^2$ દ્વારા બંધિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,$x^2 = x + 2$ લઈને.
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = -1$.
તેને અનુરૂપ $y$-કિંમતો $y = 4$ અને $y = 1$ છે.
છેદબિંદુઓ $(-1, 1)$ અને $(2, 4)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$= \left( \frac{4}{2} + 2(2) - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} + 2(-1) - \frac{-1}{3} \right)$
$= \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right)$
$= \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right)$
$= \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right)$
$= \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(B) વક્રો $y=3x+1$ અને $y=4x+1$ ત્યારે છેદે છે જ્યારે $3x+1 = 4x+1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x=0$.
આમ,પ્રદેશ $x=0$ અને $x=2$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મેળવી શકાય છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_0^2 [(4x+1) - (3x+1)] \, dx$
$= \int_0^2 x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2$
$= \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) પરવલય $y^2=4x$ અને રેખા $y=2x-4$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા છેદબિંદુઓ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણ $y = 2x - 4$ માં $x = \frac{y^2}{4}$ મૂકતા:
$y = 2\left(\frac{y^2}{4}\right) - 4$
$y = \frac{y^2}{2} - 4$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
$(y - 4)(y + 2) = 0$
આમ,$y = 4$ અને $y = -2$ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં રેખા અને પરવલય વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^2}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ પરવલયો $x^2 = \frac{y}{4}$ (અથવા $x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$) અને $x^2 = 9y$ (અથવા $x = \pm 3\sqrt{y}$) છે. રેખા $y = 2$ છે.
$Y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં,પ્રદેશ $x = 3\sqrt{y}$ અને $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ દ્વારા $y = 0$ થી $y = 2$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^2 \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$
$= 2 \int_0^2 \frac{5}{2} \sqrt{y} \, dy = 5 \int_0^2 y^{1/2} \, dy$
$= 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = 5 \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^2$
$= \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0) = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ વક્ર $y=x^2+2$ અને રેખા $y=x+1$ દ્વારા $x=0$ થી $x=3$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલું છે.
કારણ કે $x \in [0, 3]$ માટે $x^2+2 \geq x+1$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^3 [(x^2+2) - (x+1)] \, dx$
$= \int_0^3 (x^2 - x + 1) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - (0)$
$= \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 \right)$
$= 12 - 4.5 = 7.5 = \frac{15}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વક્રો $y=(x+1)^2$ અને $y=(x-1)^2$ છે. રેખા $y=\frac{1}{4}$ છે.
$y=(x-1)^2$ અને $y=\frac{1}{4}$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(x-1)^2 = \frac{1}{4}$ લઈએ,જે $x-1 = \pm \frac{1}{2}$ આપે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = \frac{3}{2}$.
તે જ રીતે,$y=(x+1)^2$ અને $y=\frac{1}{4}$ માટે,આપણને $x = -\frac{1}{2}$ અથવા $x = -\frac{3}{2}$ મળે છે.
આ પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. આવૃત પ્રદેશ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ ની વચ્ચે છે.
$x \in [0, \frac{1}{2}]$ માટે,ઉપરની સીમા $y = \min((x+1)^2, (x-1)^2)$ છે અને નીચેની સીમા $y = \frac{1}{4}$ છે.
ચોક્કસ રીતે,$x \in [0, \frac{1}{2}]$ માટે,વક્ર $y=(x-1)^2$ એ ઉપરની સીમા છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_0^{\frac{1}{2}} \left[ (x-1)^2 - \frac{1}{4} \right] dx$
$= 2 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{x}{4} \right]_0^{\frac{1}{2}}$
$= 2 \left[ \left( \frac{(-1/2)^3}{3} - \frac{1/2}{4} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - 0 \right) \right]$
$= 2 \left[ \left( -\frac{1}{24} - \frac{1}{8} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{4}{24} + \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} \right] = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ વક્ર $y=x^2+2$ (ઉપરનો વક્ર) અને રેખા $y=x+1$ (નીચેની રેખા) દ્વારા શિરોલંબ રેખાઓ $x=0$ અને $x=2$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલું છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_0^2 [(x^2+2) - (x+1)] dx$
$= \int_0^2 (x^2 - x + 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 2 \right) - (0)$
$= \frac{8}{3} - 2 + 2 = \frac{8}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ છે,જેની ત્રિજ્યા $r=2$ છે. ક્ષેત્રફળ પ્રથમ ચરણમાં $x=0$ ($y$-અક્ષ) અને $x=2$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું છે. ક્ષેત્રફળ $A$ એ $0$ થી $2$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું સંકલન છે. પ્રથમ ચરણમાં $y^2 = 4-x^2$ હોવાથી,$y = \sqrt{4-x^2}$ મળે.
$A = \int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_0^2$
$A = \left( \frac{2}{2}\sqrt{4-4} + 2\sin^{-1}(1) \right) - \left( 0 + 2\sin^{-1}(0) \right)$
$A = (0 + 2 \times \frac{\pi}{2}) - 0 = \pi \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) આપેલ અસમતાઓ:
$x \geq 0$
$x+y \leq 3$
$x^2 \leq 4y$
$y \leq 1+\sqrt{x}$
સીમાવર્તી વક્રો:
$x+y=3 \quad (i)$
$x^2=4y \quad (ii)$
$y=1+\sqrt{x} \quad (iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી:
$3-x = 1+\sqrt{x}$
$x+\sqrt{x}-2=0$
$(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)=0$
$\sqrt{x} \geq 0$ હોવાથી,$\sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1, y=2$.
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી:
$x + \frac{x^2}{4} = 3$
$x^2+4x-12=0$
$(x+6)(x-2)=0$
$x \geq 0$ હોવાથી,$x=2, y=1$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_0^1 (1+\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx + \int_1^2 (3-x - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = [x + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^1 + [3x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12}]_1^2$
$A = (1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) + ((6 - 2 - \frac{8}{12}) - (3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{12}))$
$A = \frac{19}{12} + (1 - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{1}{12}) = \frac{19}{12} + \frac{11}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્ર $y = 4x^2$ માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં $x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે અને $x=0$,$y=2$ અને $y=4$ દ્વારા મર્યાદિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$.
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલય $y^2 = 2x$ અને રેખા $y = 4x - 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણ $y = 4x - 1$ માં $x = \frac{y^2}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = 4\left(\frac{y^2}{2}\right) - 1$
$y = 2y^2 - 1$
$2y^2 - y - 1 = 0$
$(2y + 1)(y - 1) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $y = 1$ અને $y = -\frac{1}{2}$ આગળ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં રેખા અને પરવલય વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-1/2}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} \right]_{-1/2}^{1}$
$= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1/4}{8} + \frac{-1/2}{4} - \frac{-1/8}{6} \right)$
$= \left( \frac{3+6-4}{24} \right) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{48} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( \frac{3 - 12 + 2}{96} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( -\frac{7}{96} \right) = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે કે $y = \frac{x^{2/3} - x^{-1/3}}{x^{2/3} + x^{-1/3}}$.
અંશ અને છેદને $x^{1/3}$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{x^{2/3} \cdot x^{1/3} - x^{-1/3} \cdot x^{1/3}}{x^{2/3} \cdot x^{1/3} + x^{-1/3} \cdot x^{1/3}} = \frac{x - 1}{x + 1}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2}$.
$y_1 = \frac{x + 1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
તેથી,$(x+1)^2 y_1 = 2$.

(A) ધારો કે $t$ સમયે મિલકત $x$ છે.
$\frac{dx}{dt} = -k\sqrt{x}$,જ્યાં $k > 0$.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dx}{\sqrt{x}} = -k dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$2\sqrt{x} = -kt + c$.
$t = 0$ સમયે,$x = 10,00,000$,તેથી $2\sqrt{10,00,000} = c \implies c = 2000$.
આમ,$2\sqrt{x} = -kt + 2000$.
$t = 3$ સમયે,$x = 10,000$,તેથી $2\sqrt{10,000} = -3k + 2000 \implies 200 = -3k + 2000 \implies 3k = 1800 \implies k = 600$.
નાદાર થવા માટે,$x = 0$.
$0 = -600T + 2000 \implies 600T = 2000 \implies T = \frac{2000}{600} = \frac{10}{3}$ વર્ષ.

(D) આપેલ છે $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^4$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log y = 4[\log(x+1) + \log(2x+1) + \log(3x+1) + \ldots + \log(nx+1)]$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 4 \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$.
$x=0$ આગળ,$y = [1 \cdot 1 \cdot 1 \ldots 1]^4 = 1$.
$x=0$ મૂકતા:
$\frac{1}{1} \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = 4 [1 + 2 + 3 + \ldots + n]$.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = 4 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) = 2n(n+1)$.

(B) અમે રેખીય અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)$.
ધારો કે $f(x) = \log_{10} x$.
તો $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10} = \frac{\log_{10} e}{x}$.
આપેલ છે કે $a = 1000$ અને $h = 2$,તેથી:
$f(1002) \approx f(1000) + 2 f'(1000)$.
$f(1000) = \log_{10} 1000 = 3$.
$f'(1000) = \frac{\log_{10} e}{1000} = \frac{0.4343}{1000} = 0.0004343$.
તેથી,$\log_{10} 1002 \approx 3 + 2(0.0004343)$.
$\log_{10} 1002 \approx 3 + 0.0008686 = 3.0008686$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $3.0009$ મળે છે.

(A) $X$-અક્ષ પર કેન્દ્ર $(h, 0)$ અને $Y$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ છે.
તેનું સાદું રૂપ આપતા,$x^2 - 2xh + h^2 + y^2 = h^2$,એટલે કે $x^2 + y^2 = 2xh$ મળે.
ધારો કે $h = b$,તેથી $x^2 + y^2 = 2bx$ ... $(i)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2b$,અથવા $x + y \frac{dy}{dx} = b$ ... $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મુકતા,$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x^2 + y^2)^2 = 4x^2(x + y \frac{dy}{dx})^2$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$-1 - \omega^2 = \omega$ થાય.
વળી,$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(\omega^2 - \omega^4) - 1(\omega - \omega^2) + 1(\omega^2 - \omega)$
$\Delta = 1(\omega^2 - \omega) - 1(\omega - \omega^2) + 1(\omega^2 - \omega)$
$\Delta = \omega^2 - \omega - \omega + \omega^2 + \omega^2 - \omega$
$\Delta = 3\omega^2 - 3\omega$
$\Delta = 3\omega(\omega - 1)$

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવાથી,$f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$ થાય.
પ્રથમ,લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\frac{4}{5})^{\frac{\tan 4x}{\tan 5x}}$.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$,જ્યાં $h \to 0$. તો $\tan 4x = \tan(2\pi + 4h) = \tan 4h \approx 4h$.
અને $\tan 5x = \tan(\frac{5\pi}{2} + 5h) = \cot 5h \approx \frac{1}{5h}$.
તેથી,ઘાતાંક $\frac{\tan 4x}{\tan 5x} = \tan 4h \cdot \tan 5h$ થાય,જેનું લક્ષ $0 \cdot 0 = 0$ છે.
તેથી,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = (\frac{4}{5})^0 = 1$.
હવે $f(\frac{\pi}{2}) = k + \frac{2}{5}$ સાથે સરખાવતા,$k + \frac{2}{5} = 1$.
તેથી,$k = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

(A) કારણ કે $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ પર સતત છે,તેથી $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)$ થાય.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{4} + t$. જેમ $x \to \frac{\pi}{4}$,તેમ $t \to 0$.
તેથી $f(x) = \frac{1 - \tan(\frac{\pi}{4} + t)}{4(\frac{\pi}{4} + t) - \pi} = \frac{1 - \frac{1 + \tan t}{1 - \tan t}}{4t}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $1 - \frac{1 + \tan t}{1 - \tan t} = \frac{1 - \tan t - 1 - \tan t}{1 - \tan t} = \frac{-2 \tan t}{1 - \tan t}$.
આમ,$f(x) = \frac{-2 \tan t}{4t(1 - \tan t)} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan t}{t} \cdot \frac{1}{1 - \tan t}$.
$t \to 0$ લેતા: $\lim_{t \to 0} f(x) = -\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 - 0} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે,તેથી $f(2) = \lim_{x \rightarrow 2} f(x)$.
$k = \lim_{x \rightarrow 2} \left(\frac{5x-8}{8-3x}\right)^{\frac{3}{2x-4}}$.
ધારો કે $x - 2 = h$,તેથી $x = 2 + h$. જેમ $x \rightarrow 2$,તેમ $h \rightarrow 0$.
$k = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{5(2+h)-8}{8-3(2+h)}\right)^{\frac{3}{2(2+h)-4}} = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{10+5h-8}{8-6-3h}\right)^{\frac{3}{2h}} = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{2+5h}{2-3h}\right)^{\frac{3}{2h}}$.
$k = \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{2(1 + \frac{5}{2}h)}{2(1 - \frac{3}{2}h)}\right)^{\frac{3}{2h}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1 + \frac{5}{2}h)^{\frac{3}{2h}}}{(1 - \frac{3}{2}h)^{\frac{3}{2h}}}$.
સૂત્ર $\lim_{u \rightarrow 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\lim_{h \rightarrow 0} [(1 + \frac{5}{2}h)^{\frac{1}{\frac{5}{2}h}}]^{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2h} \cdot h} = e^{\frac{15}{4}}$.
છેદ: $\lim_{h \rightarrow 0} [(1 - \frac{3}{2}h)^{\frac{1}{-\frac{3}{2}h}}]^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2h} \cdot h} = e^{-\frac{9}{4}}$.
આમ,$k = \frac{e^{15/4}}{e^{-9/4}} = e^{\frac{15}{4} + \frac{9}{4}} = e^{\frac{24}{4}} = e^6$.

(C) વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[0, \infty)$ પર સતત હોવા માટે,તે $x=1$ અને $x=\sqrt{2}$ બિંદુઓ પર સતત હોવું જોઈએ.
પગલું $1$: $x=1$ પર સાતત્ય:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
$\frac{2(1)^2}{a} = a \Rightarrow \frac{2}{a} = a \Rightarrow a^2 = 2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2}$.
પગલું $2$: $x=\sqrt{2}$ પર સાતત્ય:
$\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^{+}} f(x)$
$a = \frac{2b^2-4b}{\sqrt{2}} \Rightarrow a\sqrt{2} = 2b^2-4b$.
કિસ્સો $1$: જો $a = \sqrt{2}$ હોય,તો:
$(\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 2b^2-4b \Rightarrow 2 = 2b^2-4b \Rightarrow b^2-2b-1 = 0$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત છે,તેથી $f(1) = \lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ થાય.
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+x^2+x^3+\ldots+x^{n}-n}{x-1}$
અંશને $(x-1) + (x^2-1) + (x^3-1) + \ldots + (x^n-1)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \left[ \frac{x-1}{x-1} + \frac{x^2-1}{x-1} + \frac{x^3-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^n-1}{x-1} \right]$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1 + 2(1)^{2-1} + 3(1)^{3-1} + \ldots + n(1)^{n-1}$
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.
તેથી,$f(1) = \frac{n(n+1)}{2}$.

(D) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
આપેલ છે કે $f(0) = 12$,તેથી $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\sin (x/k) \log (1 + x/4)} = 12$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^2}{\frac{\sin (x/k)}{x} \cdot \frac{\log (1 + x/4)}{x}} = 12$.
પ્રમાણિત લક્ષો $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (ax)}{x} = a$,અને $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + ax)}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1^2}{(1/k) \cdot (1/4)} = 12$.
$\frac{1}{1/(4k)} = 12$.
$4k = 12$.
$k = 3$.

(D) વિધેય $f(x) = x \left[ \frac{x}{2} \right]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $x \in (-10, 10)$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[t]$ એ $t$ ની તમામ પૂર્ણાંક કિંમતો માટે અસતત હોય છે.
અહીં,$t = \frac{x}{2}$. તેથી,$f(x)$ એ જ્યારે $\frac{x}{2} = k$ હોય ત્યારે અસતત હોઈ શકે છે,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
આપેલ છે કે $-10 < x < 10$,તેથી $-5 < \frac{x}{2} < 5$.
$\frac{x}{2}$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $k \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
આ $x \in \{-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\}$ ને અનુરૂપ છે.
$x = 0$ આગળ,$f(x) = x \left[ \frac{x}{2} \right] = 0 \cdot [0] = 0$. લક્ષ $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ થાય છે,તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
અન્ય કિંમતો $x \in \{-8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8\}$ માટે,વિધેય અસતત છે કારણ કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયમાં આવતો કૂદકો (jump) એ $x$ ની શૂન્યતર કિંમત સાથે ગુણાય છે.
તેથી,અસતત બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $8$ છે.