જો શ્રેણી frac{1}{1+1^4 cdot 4} + frac{2}{1+2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) સામાન્ય પદ $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ છે.છેદને આ રીતે લખી શકાય: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.આંશિક અપૂ

Vedclass · Accepted Answer

$276$

Vedclass · Answer

(C) સામાન્ય પદ $T_k = \frac{k}{1+4k^4}$ છે.છેદને આ રીતે લખી શકાય: $1+4k^4 = 1+4k^4+4k^2-4k^2 = (2k^2+1)^2 - (2k)^2 = (2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)$.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$T_k = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2k^2-2k+1} - \frac{1}{2k^2+2k+1} ight]$.ધારો કે $f(k) = 2k^2-2k+1$. તો $f(k+1) = 2(k+1)^2-2(k+1)+1 = 2k^2+2k+1$.તેથી,$T_k = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{k=1}^{10} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} [\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}]$.આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_{10} = \frac{1}{4} [\frac{1}{f(1)} - \frac{1}{f(11)}]$.$f(1) = 2(1)^2-2(1)+1 = 1$.$f(11) = 2(11)^2-2(11)+1 = 242-22+1 = 221$.$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{220}{221} = \frac{55}{221}$.અહીં $	ext{gcd}(55, 221) = 1$ હોવાથી,$m=55$ અને $n=221$ મળે.તેથી,$m+n = 55+221 = 276$.

Similar Questions

શ્રેણી $\frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+\frac{3}{1+3^2+3^4}+\ldots$ ના $10$ પદોનો સરવાળો શોધો:

જો $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$ હોય,તો $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{t_n} = $

જો $\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{k}{3}} $ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણી $\frac{3}{1^{2} \times 2^{2}}+\frac{5}{2^{2} \times 3^{2}}+\frac{7}{3^{2} \times 4^{2}}+\ldots$ ના $10$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

સરવાળો $\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4n-1)(4n+3)}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module