ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ xsqrt{1-x^2} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ છે.$dx$ અને $x\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x

Vedclass · Accepted Answer

$3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ છે.$dx$ અને $x\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int (1/x) dx} = e^{\ln x} = x$ છે.ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે,તેથી $yx = \int \frac{x\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$.ધારો કે $t = \cos^{-1}x$,તો $dt = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ અને $x = \cos t$ થાય.આ કિંમતો મૂકતા,$yx = -\int t \cos t dt = -(t \sin t + \cos t) + C = -(\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2} + x) + C$.આપેલ છે કે $\lim_{x	o 1^-} y(x) = 1$,તેથી $x 	o 1$ માટે $yx 	o 1$ થાય. આમ,$1 = -(\cos^{-1}(1) \cdot 0 + 1) + C$,જે $1 = -1 + C$ આપે છે,તેથી $C = 2$.તેથી,$yx = 2 - x - \sqrt{1-x^2} \cos^{-1}x$.$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y(\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} - \sqrt{1 - (1/2)^2} \cos^{-1}(1/2) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$.$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y(\frac{1}{2}) = 3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$. તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

જો $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$ નું સમાધાન કરે છે. તો,$f(\log_{e} 5)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + \left( x - \frac{1}{y} \right) dy = 0$ માટે,જો $y(1) = 1$ હોય,તો $x = $ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module