ધારો કે int_{-2}^{2} (|sin x| + [x sin x]) dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$. કારણ કે $|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\c

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$. કારણ કે $|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\cos x]_0^2 = 2(1 - \cos 2)$. હવે,$f(x) = x \sin x$ લો. કારણ કે $f(x)$ યુગ્મ છે,$\int_{-2}^2 [x \sin x] dx = 2 \int_0^2 [x \sin x] dx$. $x \in [0, 2]$ માટે,$x \sin x$ એ $0$ થી $2 \sin 2 \approx 1.818$ સુધી વધે છે. તેથી,$[x \sin x] = 0$ જ્યારે $x \in [0, x_0)$ જ્યાં $x_0 \sin x_0 = 1$,અને $[x \sin x] = 1$ જ્યારે $x \in [x_0, 2]$. તેથી,$2 \int_0^2 [x \sin x] dx = 2 \int_{x_0}^2 1 dx = 2(2 - x_0) = 4 - 2x_0$. આમ,$I = 2(1 - \cos 2) + 4 - 2x_0 = 2 - 2\cos 2 + 4 - 2x_0 = 2(3 - \cos 2) - 2x_0$. આને $2(3 - \cos 2) + \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = -2x_0$ મળે છે. $x_0 \sin x_0 = 1$ આપેલ હોવાથી,$\beta \sin(\frac{\beta}{2}) = -2x_0 \sin(-x_0) = 2x_0 \sin x_0 = 2(1) = 2$.

ધારો કે $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$,જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx =$

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \{ [x] + \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \} dx =$

$e^{\int_0^{\pi / 2} \sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} d x}=$

નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^{2a} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module