ધારો કે S = {x in [-pi, pi] : sin x(sin x + c | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin^2 x + \sin x \cos x = a$ છે.નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ અને $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણ

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin^2 x + \sin x \cos x = a$ છે.નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ અને $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = a$ મળે છે.આનું સાદું રૂપ $\sin 2x - \cos 2x = 2a - 1$ થાય છે.પદ $\sin 2x - \cos 2x$ ને $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ તરીકે લખી શકાય છે.$\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે,જે આશરે $[-1.414, 1.414]$ છે.કારણ કે $a \in Z$,તેથી $2a - 1$ એ $[-1.414, 1.414]$ અંતરાલમાં પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.$2a - 1$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $-1, 0, 1$ છે.કિસ્સો $1$: $2a - 1 = -1 \implies a = 0$. તો $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = -1 \implies \sin(2x - \pi/4) = -1/\sqrt{2}$. અંતરાલ $x \in [-\pi, \pi]$ માં,$2x - \pi/4 \in [-9\pi/4, 7\pi/4]$. આનાથી $4$ ઉકેલો મળે છે.કિસ્સો $2$: $2a - 1 = 0 \implies a = 1/2$ (પૂર્ણાંક નથી,અસ્વીકાર્ય).કિસ્સો $3$: $2a - 1 = 1 \implies a = 1$. તો $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = 1 \implies \sin(2x - \pi/4) = 1/\sqrt{2}$. આનાથી $4$ ઉકેલો મળે છે.જોકે,સીમાવર્તી શરતો અને સમાન કિંમતોને તપાસતા,કુલ ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા $n(S) = 6$ મળે છે.

ધારો કે $S = \{x \in [-\pi, \pi] : \sin x(\sin x + \cos x) = a, a \in Z\}$. તો $n(S)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

જો સમીકરણ $2 \sin^2 x + \frac{\sin 2x}{2} = k$ ને ઓછામાં ઓછો એક વાસ્તવિક ઉકેલ હોય,તો $k$ ના તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\theta \in [0, 2\pi]$ માટેના તમામ શક્ય મૂલ્યો કે જેના માટે $\sin 2\theta + \tan 2\theta > 0$ થાય,તે શેમાં આવેલા છે?

$\triangle ABC$ માં,જો $\angle C = \frac{\pi}{3}$ હોય,તો $\frac{3}{a+b+c} - \frac{1}{a+c}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module