સંકલન int_0^infty frac{log_e(x)}{x^2+4} dx નુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.$x = 2t$ આદેશ લેતા,$dx = 2 dt$. જ્યારે $x 	o 0, t 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty, t 	o \

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi \log_e(2)}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.$x = 2t$ આદેશ લેતા,$dx = 2 dt$. જ્યારે $x 	o 0, t 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty, t 	o \infty$.$I = \int_0^\infty \frac{\log_e(2t)}{4t^2+4} (2 dt) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(2) + \log_e(t)}{t^2+1} dt$.$I = \frac{\log_e(2)}{2} \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1} dt + \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt$.બીજા સંકલન માટે,$t = 1/u$ લેતા,$dt = -1/u^2 du$. સીમાઓ $\infty$ થી $0$ માં બદલાશે.$\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = \int_\infty^0 \frac{\log_e(1/u)}{(1/u)^2+1} (-1/u^2) du = \int_0^\infty \frac{-\log_e(u)}{1+u^2} du = -\int_0^\infty \frac{\log_e(u)}{u^2+1} du$.આનો અર્થ એ છે કે $\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = 0$.તેથી,$I = \frac{\log_e(2)}{2} [\arctan(t)]_0^\infty = \frac{\log_e(2)}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi \log_e(2)}{4}$.

સંકલન $\int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$a$ ના કયા મૂલ્યોના ગણ માટે અસમતા $\int_{a}^{0} (3^{-2x} - 2 \cdot 3^{-x}) \, dx \geq 0$ સત્ય છે?

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 x(1+\sin x)}{1+\cos ^2 x} d x=$

$\int_0^{2 \pi} (\sin x + |\sin x|) \, dx =$

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} d x=$

$\int_{1}^{6\pi}([\sec^{-1}x]+[\cot^{-1}x])dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે).

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module