AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $S_1: x^2+y^2-8x-6y+21=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x-15=0$ છે.
સમીકરણ: $(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
આ વર્તુળ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$(1^2+2^2-8(1)-6(2)+21) + \lambda(1^2+2^2-2(1)-15) = 0$
$(1+4-8-12+21) + \lambda(5-2-15) = 0$
$6 + \lambda(-12) = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \frac{1}{2}(x^2+y^2-2x-15) = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$2(x^2+y^2-8x-6y+21) + (x^2+y^2-2x-15) = 0$
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$.

(B) વર્તુળનો પરિઘ $4 \pi$ છે.
પરિઘનું સૂત્ર $2 \pi r = 4 \pi$ હોવાથી,$r = 2$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કેન્દ્ર $(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ મૂકતા:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 2^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 4$
$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y+2)^2=5^2$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
પ્રાચલિત યામ $x=3+5\cos\theta$ અને $y=-2+5\sin\theta$ છે.
બિંદુ $A$ માટે $\theta=30^{\circ}$ લેતા,$A = (3+\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
બિંદુ $B$ માટે $\theta=90^{\circ}$ લેતા,$B = (3, 3)$.
જીવા $AB$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
બિંદુ $B(3, 3)$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $y-3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)$ મળે.
તેથી,$x+\sqrt{3}y-3(1+\sqrt{3}) = 0$.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના વ્યાસના છેદબિંદુ પર હોય છે.
આપેલ વ્યાસના સમીકરણો:
$x + 2y - 5 = 0$ ... $(i)$
$3x - y - 1 = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$6x - 2y - 2 = 0$ ... $(iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + 2y - 5) + (6x - 2y - 2) = 0$
$7x - 7 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x = 1$ ને $(i)$ માં મુકતા:
$1 + 2y - 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = 4$ $\Rightarrow y = 2$
તેથી,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$

(D) વર્તુળ $X$-અક્ષને $(1, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $x$-યામ $1$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને $(0, 1)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $1$ છે.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1^2$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ મળે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની સાપેક્ષ બિંદુ $(x_1, y_1)$ નો પાવર $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 6)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ માટે,પાવર:
$1^2 + 6^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$a = 5 + 16$
$a = 21$

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળ $x^2+y^2-r^2=0$ ની અંદર હોય તે માટેની શરત $x_1^2+y_1^2-r^2 < 0$ છે.
આપેલ બિંદુ $(\lambda, 1+\lambda)$ અને વર્તુળ $x^2+y^2-1=0$ માટે:
$\lambda^2 + (1+\lambda)^2 - 1 < 0$
$\lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2 - 1 < 0$
$2\lambda^2 + 2\lambda < 0$
$2\lambda(\lambda+1) < 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\lambda(\lambda+1) < 0$ મળે છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $\lambda$ એ $-1$ અને $0$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$-1 < \lambda < 0$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-8y-5=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+4^2-(-5)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
રેખા $3x-4y-m=0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $d < r$ હોવું જોઈએ.
$d = \frac{|3(2)-4(4)-m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|-10-m|}{5} = \frac{|m+10|}{5}$.
શરત $d < 5$ મુજબ,$|m+10| < 25$,એટલે કે $-25 < m+10 < 25$.
તેથી,$-35 < m < 15$.
આ અંતરાલમાં આવતા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $14 - (-34) + 1 = 49$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
કેન્દ્ર: $(3, 2)$ અને ત્રિજ્યા: $r = 5$.
રેખાઓ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપમાં હશે.
કેન્દ્ર $(3, 2)$ થી રેખા $y = k$ નું અંતર ત્રિજ્યા $5$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$|k - 2| = 5$.
આથી $k = 7$ અથવા $k = -3$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = 7$ અને $y = -3$ છે.
રેખાઓની જોડ: $(y - 7)(y + 3) = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $y^2 - 4y - 21 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + d = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળનો અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
જો રેખા અભિલંબ હોય,તો તે કેન્દ્ર $(-g, -f)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a(-g) + b(-f) + c = 0$
$-ag - bf + c = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$ag + bf - c = 0$

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ ચોથા ચરણમાં હોવાથી અને રેખાઓ $x=0$ તથા $y=0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(r, -r)$ થાય,જ્યાં $r > 0$.
કેન્દ્ર $(r, -r)$ થી રેખા $3x+4y-12=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \frac{3(r) + 4(-r) - 12}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = r$
$\left| \frac{3r - 4r - 12}{5} \right| = r$
$\left| \frac{-r - 12}{5} \right| = r$
$|r + 12| = 5r$
$r > 0$ હોવાથી,$r + 12 = 5r$ અથવા $r + 12 = -5r$.
કિસ્સો $1$: $4r = 12 \Rightarrow r = 3$.
કિસ્સો $2$: $6r = -12 \Rightarrow r = -2$ ($r > 0$ હોવાથી અમાન્ય).
આમ,ત્રિજ્યા $3$ એકમ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x-2y-8=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-4$,$f=-1$,અને $c=-8$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (4, 1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{16+1+8} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(4, 1)$ થી રેખા $x+y+1=0$ નું લંબ અંતર $d = \left|\frac{4+1+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2}$ દ્વારા મળે છે.
લંબાઈ $= 2\sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{25 - 18} = 2\sqrt{7}$ એકમ.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=16$ છે,જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત અને $r=4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ધારો કે બે બિંદુઓ $A = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ અને $B = (4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ છે.
આ બિંદુઓ વર્તુળ પરના બિંદુઓ છે જેમના ધ્રુવીય ખૂણા અનુક્રમે $\theta$ અને $\theta+60^{\circ}$ છે.
કેન્દ્ર $O(0,0)$ પર જીવા $AB$ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\Delta \phi = (\theta+60^{\circ}) - \theta = 60^{\circ}$ છે.
જેમ કે $OA = OB = r = 4$ અને અંતર્ગત ખૂણો $\angle AOB = 60^{\circ}$ છે,તેથી $\triangle OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,જીવા $AB$ ની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી થાય.
$AB = r = 4$.

(A) બિંદુ $(4,0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 4)$ એટલે કે $mx - y - 4m = 0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$) ને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
લંબ અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ મુજબ,$\frac{|m(0) - (0) - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$.
$| -4m | = 2\sqrt{m^2 + 1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16m^2 = 4(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 4m^2 = m^2 + 1$ $\Rightarrow 3m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 4)$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+4x+8y-38=0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,$(x+2)^2+(y+4)^2=58$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-2,-4)$ છે.
ધારો કે $Q(x_1, y_1)$ એ $P(-9,-1)$ માંથી પસાર થતા વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ છે.
$C$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_1-9}{2}=-2 \Rightarrow x_1=5$ અને $\frac{y_1-1}{2}=-4 \Rightarrow y_1=-7$ મળે.
આમ,$Q$ એ $(5,-7)$ છે.
$Q$ આગળનો સ્પર્શક $P$ આગળના સ્પર્શકને સમાંતર હોય છે.
ત્રિજ્યા $CP$ નો ઢાળ $m_{CP} = \frac{-1-(-4)}{-9-(-2)} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7}$ છે.
$P$ (અને $Q$) આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ ત્રિજ્યાના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી થાય,એટલે કે $m = -\frac{1}{-3/7} = \frac{7}{3}$.
$Q(5,-7)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-7) = \frac{7}{3}(x - 5)$ છે.
$3(y+7) = 7(x-5)$ $\Rightarrow 3y+21 = 7x-35$ $\Rightarrow 7x-3y=56$.

(C) વર્તુળની બહારના બિંદુ $A$ માટે,જો $A$ માંથી પસાર થતી છેદિકા વર્તુળને $C$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $A$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શક $AT$ ની લંબાઈ 'પાવર ઓફ અ પોઈન્ટ' પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $AT^2 = AC \cdot AB$.
પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $AC$ અને $AB$ ના અંતર શોધો:
$AC = \sqrt{(5-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
$AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$AT^2 = AC \cdot AB = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$
$AT = \sqrt{10}$ એકમ.

(C) ધારો કે વર્તુળ બિંદુઓ $A(2,2)$ અને $B(9,9)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષને $P$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
પાવર ઓફ અ પોઈન્ટ પ્રમેય મુજબ,$OP$ એ ઉગમબિંદુ $O$ માંથી વર્તુળનો સ્પર્શક છે અને $OAB$ એ છેદિકા રેખા છે,તેથી:
$OP^2 = OA \cdot OB$
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી $OA$ અને $OB$ ના અંતરની ગણતરી કરતા:
$OA = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$OB = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$OP^2 = (2\sqrt{2}) \cdot (9\sqrt{2}) = 18 \cdot 2 = 36$
$OP = \sqrt{36} = 6$
આમ,$OP = 6$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2 + y^2 + 8x - 6y + k = 0$ છે.
બહારના બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1}$ છે,જ્યાં $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 8x_1 - 6y_1 + k$.
આપેલ બિંદુ $(-2, 3)$ અને સ્પર્શકની લંબાઈ $4$ એકમ છે:
$4 = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + 8(-2) - 6(3) + k}$
$4 = \sqrt{4 + 9 - 16 - 18 + k}$
$4 = \sqrt{k - 21}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16 = k - 21$
$k = 16 + 21 = 37$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ માટે,$(1,2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1$ છે:
$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{1+4+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.
બીજા વર્તુળ $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-k=0$ માટે,તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા $x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{k}{3}=0$ મળે.
$(1,2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2$ છે:
$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}(1)-\frac{1}{3}(2)-\frac{k}{3}} = \sqrt{1+4-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{k}{3}} = \sqrt{5-1-\frac{k}{3}} = \sqrt{4-\frac{k}{3}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{3}$ મુજબ:
$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4-\frac{k}{3}} = \frac{4}{9} \Rightarrow 4-\frac{k}{3} = \frac{9}{4}$.
$\frac{k}{3} = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16-9}{4} = \frac{7}{4}$.
$k = 3 \times \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $5x^2 + 5y^2 = 1$ છે.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 = \frac{1}{5} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.
આપેલ રેખા $3x + 4y = 1$ છે,જેનો ઢાળ $m = -\frac{3}{4}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$ છે.
$m = -\frac{3}{4}$ અને $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મૂકતા:
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{1 + \frac{9}{16}}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{\frac{25}{16}}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{4}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$
$4$ વડે ગુણતા:
$4y = -3x \pm \sqrt{5}$
$3x + 4y = \pm \sqrt{5}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=50$ અને રેખા $x+7=0$ છે.
$x = -7$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-7)^2 + y^2 = 50$
$49 + y^2 = 50$
$y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $P_1(-7, 1)$ અને $P_2(-7, -1)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
બિંદુ $(-7, 1)$ માટે: $-7x + y = 50 \Rightarrow 7x - y + 50 = 0$.
બિંદુ $(-7, -1)$ માટે: $-7x - y = 50 \Rightarrow 7x + y + 50 = 0$.
તેથી,જરૂરી સમીકરણો $7x+y+50=0$ અને $7x-y+50=0$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $(x-3)^2+(y+2)^2=5r^2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે।
તેથી તે સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$(x_1-3)^2+(y_1+2)^2=5r^2 \dots (i)$
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ $(x-3)^2+(y+2)^2=r^2$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1}$ છે, જ્યાં $S_1 = (x_1-3)^2+(y_1+2)^2-r^2$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
લંબાઈ $= \sqrt{5r^2-r^2} = \sqrt{4r^2} = 2r$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $16$ એકમ આપેલ છે, તેથી $2r = 16$, જેનો અર્થ છે કે $r = 8$.
બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ તેમના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે:
ક્ષેત્રફળ $= \pi(R^2) - \pi(r^2) = \pi(5r^2) - \pi(r^2) = 4\pi r^2$.
$r = 8$ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 4 \pi (8)^2 = 4 \pi (64) = 256 \pi$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x+4y-1=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(-2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4+4-(-1)} = 3$ છે.
બિંદુ $C(1, 1)$ થી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $OC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAC$ માં,$\sin \alpha = \frac{OA}{OC} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
સ્પર્શકોની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2=4$ નો સ્પર્શક $x \cos \theta + y \sin \theta = 2$ છે.
આ રેખાને $x \cos \theta + y \sin \theta - 2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $(x+2)^2+y^2=8$ ની સાપેક્ષે આ સ્પર્શકનો ધ્રુવ છે,જેનું વિસ્તરણ $x^2+y^2+4x-4=0$ થાય છે.
$(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 + 2(x+x_1) - 4 = 0$ છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$(x_1+2)x + y_1 y + (2x_1-4) = 0$ મળે છે.
આ બંને રેખાઓ સમાન હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\cos \theta}{x_1+2} = \frac{\sin \theta}{y_1} = \frac{-1}{x_1-2}$.
આમ,$\cos \theta = -\frac{x_1+2}{x_1-2}$ અને $\sin \theta = -\frac{y_1}{x_1-2}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(x_1+2)^2 + y_1^2 = (x_1-2)^2$ મળે છે.
$x_1^2 + 4x_1 + 4 + y_1^2 = x_1^2 - 4x_1 + 4$.
$y_1^2 + 8x_1 = 0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2+8x=0$ મળે છે.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-14x+2y+25=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x^2-14x+49) + (y^2+2y+1) - 49 - 1 + 25 = 0$,જે $(x-7)^2 + (y+1)^2 = 25 = 5^2$ માં પરિણમે છે.
આમ,ત્રિજ્યા $r = 5$ અને કેન્દ્ર $P = (7, -1)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી કેન્દ્ર $P(7,-1)$ વચ્ચેનું અંતર $OP = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુથી દોરેલા સ્પર્શકો વર્તુળને $A$ અને $B$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં,$\sin \theta = \frac{AP}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\triangle OBP$ માટે,$\sin \alpha = \frac{BP}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\alpha = 45^{\circ}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $\theta + \alpha = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે $C_1: x^2+y^2=r_1^2$,$C_2: x^2+y^2=r_2^2$,અને $C_3: x^2+y^2=r_3^2$.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $C_1$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $x_1^2+y_1^2=r_1^2$.
$P$ થી વર્તુળ $C_2$ પરના સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T=0$ છે,જે $x x_1+y y_1-r_2^2=0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $C_3$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r_3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|0 \cdot x_1+0 \cdot y_1-r_2^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}=r_3$.
$x_1^2+y_1^2=r_1^2$ મૂકતા,આપણને $\frac{r_2^2}{\sqrt{r_1^2}}=r_3$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $r_2^2=r_1 r_3$ થાય છે.
તેથી,$r_1, r_2, r_3$ એ $GP$ માં છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 16y - 30 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 4$,$2f = 16$ અને $c = -30$ મળે છે.
તેથી,$g = 2$,$f = 8$ અને $c = -30$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_1 = (-g, -f) = (-2, -8)$ છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2^2 + 8^2 - (-30)} = \sqrt{4 + 64 + 30} = \sqrt{98}$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ માટે $d^2 = (1 - (-2))^2 + (2 - (-8))^2 = 3^2 + 10^2 = 9 + 100 = 109$ થાય.
બે વર્તુળો લંબછેદી હોવાથી,શરત $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ નું પાલન થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$109 = 98 + r_2^2$.
$r_2^2 = 109 - 98 = 11$.
તેથી,$r_2 = \sqrt{11}$.

(A) ધારો કે આપેલ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-8x-6y+23=0$ છે. $S_1$ નું કેન્દ્ર $(4, 3)$ છે.
જો વર્તુળ $S_2$ એ $S_1$ ના પરિઘને દુભાગતું હોય,તો $S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે,$S_2: x^2+y^2-6x-4y+9=0$.
રેડિકલ અક્ષ $(x^2+y^2-8x-6y+23) - (x^2+y^2-6x-4y+9) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $-2x - 2y + 14 = 0$ અથવા $x + y - 7 = 0$ થાય છે.
કેન્દ્ર $(4, 3)$ ને રેડિકલ અક્ષના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 + 3 - 7 = 0$.
કેન્દ્ર સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y+9=0$ એ $S_1$ ના પરિઘને દુભાગે છે.

(B) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ છે. તે $Y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |h|$ છે. તેથી,સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=h^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-2hx-2ky+k^2=0$ થાય છે.
તે $(3,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(3-h)^2+(0-k)^2=h^2$,જેનું સાદું રૂપ $9-6h+k^2=0$ અથવા $k^2=6h-9$ ... $(i)$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ માટે $g_2=-3, f_2=2, c_2=-3$ છે. જરૂરી વર્તુળ માટે $g_1=-h, f_1=-k, c_1=k^2$ છે.
લંબછેદી છેદન માટે,$2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$.
કિંમતો મૂકતા: $2((-h)(-3)+(-k)(2)) = k^2-3$,જે $6h-4k = k^2-3$ આપે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $k^2=6h-9$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $6h-4k = (6h-9)-3$,જેનું સાદું રૂપ $-4k = -12$ થાય છે,તેથી $k=3$.
$k=3$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $9-6h+9=0$,તેથી $6h=18$,$h=3$.
કેન્દ્ર $(3,3)$ છે અને ત્રિજ્યા $3$ છે.
સમીકરણ $(x-3)^2+(y-3)^2=3^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ થાય છે.

(B) આપેલ વક્રો છે: $x^2+y^2=4x$ $(i)$ અને $x^2+y^2=8$ $(ii)$.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે આ બિંદુએ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ છીએ.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{y}$.
$(2,2)$ આગળ,$m_1 = \frac{2-2}{2} = 0$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
$(2,2)$ આગળ,$m_2 = -\frac{2}{2} = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{-1 - 0}{1 + 0 \times (-1)} \right| = |-1| = 1$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\theta = \sin^{-1}(a)$,તેથી $\sin^{-1}(a) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$a = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2+y^2-6x-8y-12=0$
$C_2: x^2+y^2-4x+6y+k=0$
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$C_1$ માટે: $g_1 = -3, f_1 = -4, c_1 = -12$
$C_2$ માટે: $g_2 = -2, f_2 = 3, c_2 = k$
બે વર્તુળો લંબ હોય ત્યારે શરત: $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
કિંમતો મૂકતા:
$2(-3)(-2) + 2(-4)(3) = -12 + k$
$12 - 24 = -12 + k$
$-12 = -12 + k$
$k = 0$

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ અને $C_2: x^2+y^2-2x+6y-3=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$C_1$ માટે: $g_1=1, f_1=2, c_1=1$. કેન્દ્ર $O_1=(-1, -2)$,ત્રિજ્યા $r_1=\sqrt{1^2+2^2-1}=2$.
$C_2$ માટે: $g_2=-1, f_2=3, c_2=-3$. કેન્દ્ર $O_2=(1, -3)$,ત્રિજ્યા $r_2=\sqrt{(-1)^2+3^2-(-3)}=\sqrt{13}$.
કેન્દ્રો $O_1(-1, -2)$ અને $O_2(1, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d=\sqrt{(1-(-1))^2+(-3-(-2))^2}=\sqrt{5}$.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \left|\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}\right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \left|\frac{5-4-13}{2 \times 2 \times \sqrt{13}}\right| = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ માટે,$(1,2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1$:
$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.
બીજા વર્તુળ $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-\lambda=0$ માટે,સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{\lambda}{3}=0$.
$(1,2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2$:
$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{\lambda}{3}} = \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4}$ મુજબ:
$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}} = \frac{8}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4-\frac{\lambda}{3} = \frac{64}{9} \Rightarrow \frac{\lambda}{3} = 4-\frac{64}{9} = -\frac{28}{9}$.
તેથી,$\lambda = -\frac{28}{3}$.

(D) ધારો કે $S \equiv x^2+y^2+3x+5y+4=0$ અને $S' \equiv x^2+y^2+5x+3y+4=0$.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S-S'=0$ છે.
$\Rightarrow (x^2+y^2+3x+5y+4) - (x^2+y^2+5x+3y+4) = 0$
$\Rightarrow -2x+2y=0$
$\Rightarrow x-y=0$.
$S=0$ નું કેન્દ્ર $C\left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} - 4} = \sqrt{\frac{34}{4} - \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $p$ એ $C$ થી રેખા $x-y=0$ પરના લંબની લંબાઈ છે:
$p = \frac{|-\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2})|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $AB = 2\sqrt{r^2-p^2}$.
$AB = 2\sqrt{\frac{9}{2} - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{8}{2}} = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$ મળે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $2$ છે.
માગેલ વર્તુળની જીવા એ આપેલ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,જીવા એ $(1, 1)$ અને $(1, 5)$ બિંદુઓને જોડતી રેખા છે.
માગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 1)$ છે અને તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = 1$.

(D) બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મેળવવામાં આવે છે: $(x^2+y^2+ax+by+c) - (x^2+y^2+bx+ay+c) = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $(a-b)x + (b-a)y = 0$ મળે છે,જે $(a-b)(x-y) = 0$ છે.
ધારો કે $a \neq b$,તો રેડિકલ અક્ષ $x-y=0$ એટલે કે $y=x$ રેખા છે.
પ્રથમ વર્તુળના સમીકરણમાં $y=x$ મૂકતા: $x^2+x^2+ax+bx+c=0 \Rightarrow 2x^2+(a+b)x+c=0$.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. તો $x_1+x_2 = -\frac{a+b}{2}$ અને $x_1x_2 = \frac{c}{2}$.
છેદબિંદુઓ $(x_1, x_1)$ અને $(x_2, x_2)$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (x_2-x_1)^2} = \sqrt{2(x_2-x_1)^2} = \sqrt{2} |x_2-x_1|$.
$|x_2-x_1| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4} - 2c} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,લંબાઈ $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$ એ વર્તુળોની ભૂમિતિનું પ્રમાણિત પ્રમેય છે,જે સાચું છે.
આથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે અને વિધાન-$II$ સાચું છે.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x+4y-4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x-6y-3=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-2x+4y-4) - (x^2+y^2+4x-6y-3) = 0$.
$-6x + 10y - 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $6x - 10y + 1 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|6(1) - 10(2) + 1|}{\sqrt{6^2 + (-10)^2}}$.
$d = \frac{|6 - 20 + 1|}{\sqrt{36 + 100}} = \frac{|-13|}{\sqrt{136}} = \frac{13}{\sqrt{136}}$ એકમ.

(A) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 \dots(1)$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય જો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ હોય.
આ શરત વર્તુળ $(1)$ અને આપેલ વર્તુળો પર લાગુ પાડતા:
વર્તુળ $x^2+y^2-2x+3y-7=0$ માટે: $2g(-1)+2f(3/2)=c-7 \Rightarrow -2g+3f-c=-7 \dots(2)$.
વર્તુળ $x^2+y^2+5x-5y+9=0$ માટે: $2g(5/2)+2f(-5/2)=c+9 \Rightarrow 5g-5f-c=9 \dots(3)$.
વર્તુળ $x^2+y^2+7x-9y+29=0$ માટે: $2g(7/2)+2f(-9/2)=c+29 \Rightarrow 7g-9f-c=29 \dots(4)$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(5g-5f-c) - (-2g+3f-c) = 9 - (-7) \Rightarrow 7g-8f=16 \dots(5)$.
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $(7g-9f-c) - (5g-5f-c) = 29 - 9$ $\Rightarrow 2g-4f=20$ $\Rightarrow g-2f=10$ $\Rightarrow g=2f+10$.
$g$ ની કિંમત $(5)$ માં મૂકતા: $7(2f+10)-8f=16$ $\Rightarrow 14f+70-8f=16$ $\Rightarrow 6f=-54$ $\Rightarrow f=-9$.
તેથી $g=2(-9)+10=-8$.
$(2)$ પરથી: $-2(-8)+3(-9)-c=-7$ $\Rightarrow 16-27-c=-7$ $\Rightarrow -11-c=-7$ $\Rightarrow c=-4$.
$g, f, c$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $x^2+y^2-16x-18y-4=0$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x+6y-3=0$ છે.
આપેલ બિંદુ $P(1, 1)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $x \cdot x_1 + y \cdot y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
અહીં,$g=2$,$f=3$,$c=-3$,$x_1=1$,અને $y_1=1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x(1) + y(1) + 2(x+1) + 3(y+1) - 3 = 0$
$x + y + 2x + 2 + 3y + 3 - 3 = 0$
$3x + 4y + 2 = 0$.

(B) ત્રણ વર્તુળોની સાપેક્ષ સમાન પાવર ધરાવતું બિંદુ તેમનું રેડિકલ કેન્દ્ર છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે વર્તુળના સમીકરણોની બાદબાકી કરીને રેડિકલ અક્ષોના સમીકરણો મેળવીએ છીએ.
ધારો કે $S_1: x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2: x^2+y^2-5x+16=0$
$S_3: x^2+y^2-8x+16y+160=0$
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$:
$(-8x+5x) + (40-16) = 0 \implies -3x + 24 = 0 \implies x = 8$.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_3 = 0$:
$(-8x+8x) - 16y + (40-160) = 0 \implies -16y - 120 = 0 \implies 16y = -120 \implies y = -\frac{120}{16} = -\frac{15}{2}$.
રેડિકલ કેન્દ્ર આ અક્ષોનું છેદબિંદુ છે,જે $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+4x+6y+7=0$ અને $S_2: 4x^2+4y^2+8x+12y-9=0$ છે.
રેડિકલ અક્ષ શોધવા માટે,આપણે $S_2$ ને $4$ વડે ભાગીને પ્રમાણિત કરીએ:
$S_2: x^2+y^2+2x+3y-\frac{9}{4}=0$.
રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+4x+6y+7) - (x^2+y^2+2x+3y-\frac{9}{4}) = 0$.
$(4x-2x) + (6y-3y) + (7 + \frac{9}{4}) = 0$.
$2x + 3y + \frac{37}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $8x + 12y + 37 = 0$ મળે છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$ (x^2+y^2-4x+6y-10) - (x^2+y^2+2x-6y+2) = 0 $
$ -6x + 12y - 12 = 0 $
$ x - 2y + 2 = 0 $
આ રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ છે.
$S_1$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x = 2y - 2$ ને $S_1$ માં મૂકીએ:
$ (2y-2)^2 + y^2 - 4(2y-2) + 6y - 10 = 0 $
$ 4y^2 - 8y + 4 + y^2 - 8y + 8 + 6y - 10 = 0 $
$ 5y^2 - 10y + 2 = 0 $
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(5)(2) = 100 - 40 = 60$.
$D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને $y$ માટે બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન ઉકેલો મળે છે,જેનો અર્થ છે કે રેડિકલ ધરી વર્તુળ $S_1$ ને બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L_1$ માટે: $(x^2+y^2-4x-6y+5) - (x^2+y^2-2x-4y-1) = 0$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $-2x-2y+6=0$ મળે છે,જે $x+y-3=0$ છે.
$L_2$ માટે: $(x^2+y^2+2x+2y-7) - (x^2+y^2+x+y+9) = 0$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x+y-16=0$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_2$ ના ઢાળ બંને $m = -1$ છે.
ઢાળ સમાન હોવાથી,$L_1$ એ $L_2$ ને સમાંતર છે.

(B) $S$ અને $S'$ ની રેડિકલ ધરી $S - S' = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 + 2x + 17y + 4) - (x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11) = 0$
$-5x + 11y - 7 = 0 \implies 5x - 11y + 7 = 0$ ...$(i)$
$S'$ અને $S''$ ની રેડિકલ ધરી $S' - S'' = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11) - (x^2 + y^2 - x + 22y + 3) = 0$
$8x - 16y + 8 = 0 \implies x - 2y + 1 = 0$ ...(ii)
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
(ii) પરથી,$x = 2y - 1$. $(i)$ માં મૂકતા:
$5(2y - 1) - 11y + 7 = 0
10y - 5 - 11y + 7 = 0
-y + 2 = 0 \implies y = 2$.
તેથી $x = 2(2) - 1 = 3$.
રેડિકલ કેન્દ્ર $(3, 2)$ છે.
$(3, 2)$ થી $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(3, 2)}$ છે:
$\sqrt{3^2 + 2^2 + 2(3) + 17(2) + 4} = \sqrt{9 + 4 + 6 + 34 + 4} = \sqrt{57}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(-2, 1)$ અને $B(3, 0)$ છે.
$AP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k-1}{h+2}$ છે.
$BP$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{k-0}{h-3} = \frac{k}{h-3}$ છે.
કારણ કે $\angle APB = 90^{\circ}$,તેથી ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 m_2 = -1$.
$\frac{k-1}{h+2} \times \frac{k}{h-3} = -1$.
$\frac{k^2-k}{h^2-h-6} = -1$.
$k^2-k = -(h^2-h-6)$.
$h^2+k^2-h-k-6 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2-x-y-6=0$ મળે છે.

(C) વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. અભિલંબ $(4,3)$ અને $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ અભિલંબનું સમીકરણ $y-1 = \frac{3-1}{4-2}(x-2)$ $\Rightarrow y-1 = 1(x-2)$ $\Rightarrow y = x-1 \dots(1)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર આ અભિલંબ પર આવેલું છે. આપણને આપેલ છે કે $2x-y-2=0$ એ વ્યાસ છે,તેથી કેન્દ્ર આ રેખા પર પણ આવેલું છે $\dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલતા,$y = x-1$ ને $2x-(x-1)-2=0$ માં મૂકતા,આપણને $x-1=0 \Rightarrow x=1$ મળે છે. તેથી $y=0$. આમ,કેન્દ્ર $(1,0)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1,0)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(2,1)$ વચ્ચેનું અંતર છે: $r = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-0)^2 = (\sqrt{2})^2$ $\Rightarrow x^2-2x+1+y^2=2$ $\Rightarrow x^2+y^2-2x-1=0$ થાય.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે,જે જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
હવે,$OP = \sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{h^2+k^2}$.
$\triangle AOP$ માં,ખૂણો $\angle AOP = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle AOP$ માં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{OP}{OA}$.
અહીં $OA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OA = 3$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{3}$.
$\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2+k^2 = \frac{9}{4}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,માંગેલ બિંદુપથ $x^2+y^2 = \frac{9}{4}$ છે.

(C) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને અક્ષોને $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માં મળે છે, તેથી $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસની લંબાઈ $2 \times \text{ત્રિજ્યા} = 2 \times 6 = 12$ છે.
તેથી, $a^2 + b^2 = 12^2 = 144$.
ધારો કે $(h, k)$ એ $\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યકેન્દ્રના યામ $h = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3}$ અને $k = \frac{0+0+b}{3} = \frac{b}{3}$ છે.
તેથી, $a = 3h$ અને $b = 3k$.
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = 144$ માં મૂકતા, આપણને $(3h)^2 + (3k)^2 = 144$ મળે છે.
$9h^2 + 9k^2 = 144$.
$9$ વડે ભાગતા, $h^2 + k^2 = 16$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા, મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 16$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષમાં બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ સંયુગ્મી હોય તેની શરત નીચે મુજબ છે:
$x_1x_2 + y_1y_2 + g(x_1 + x_2) + f(y_1 + y_2) + c = 0$
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 12 = 0$ માટે,$g = 3$,$f = 2$,અને $c = 12$ છે.
બિંદુઓ $(6, -k)$ અને $(-3, 2)$ ને શરતમાં મૂકતા:
$(6)(-3) + (-k)(2) + 3(6 - 3) + 2(-k + 2) + 12 = 0$
$-18 - 2k + 9 - 2k + 4 + 12 = 0$
$-4k + 7 = 0$
$4k = 7$
$k = \frac{7}{4}$

(A) $S_1: x^2+y^2-1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x+y=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + kS_2 = 0$ $(k \neq -1)$ છે.
$(x^2+y^2-1) + k(x^2+y^2-2x+y) = 0$
$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 - 2kx + ky - (1+k) = 0$
$(1+k)$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - \frac{2k}{1+k}x + \frac{k}{1+k}y - 1 = 0$ મળે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k')$ એ $(-g, -f) = \left(\frac{k}{1+k}, \frac{-k}{2(1+k)}\right)$ છે.
ધારો કે $x = \frac{k}{1+k}$ અને $y = \frac{-k}{2(1+k)}$.
તેથી $2y = \frac{-k}{1+k}$.
$x$ અને $2y$ નો સરવાળો કરતા,$x + 2y = \frac{k}{1+k} - \frac{k}{1+k} = 0$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $x+2y=0$ રેખા છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$
અહીં આપેલ છે કે સદિશ $x$ અને $y$ અક્ષ સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta$. વળી,તે $z$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\gamma = 90^{\circ}$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 90^{\circ} = 1$
$2 \cos^2 \alpha + 0 = 1$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}$
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\alpha = 45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં $D, E$ અને $F$ અનુક્રમે $AB, AC$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે.
તેથી,મધ્યબિંદુઓના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{D} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{E} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$
$\overrightarrow{F} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
હવે,આપણે સદિશો $\overrightarrow{BE}$ અને $\overrightarrow{AF}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{A} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
આ બંને સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
$= \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
કારણ કે $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{DC}$

(B) આપેલ છે કે,$\vec{a}=\frac{3}{2} \hat{k}$ અને $\vec{b}=\frac{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{2} = \hat{i}+\hat{j}-\frac{1}{2} \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a}+\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}) \hat{k} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{a}-\vec{b} = -\hat{i}-\hat{j}+(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}) \hat{k} = -\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ મેળવો.
ધારો કે $\vec{u} = \vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{v} = \vec{a}-\vec{b}$.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(2) = -1 - 1 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ છે.
$\overrightarrow{d_1} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{d_2} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + (7\hat{i} + 9\hat{j} + 11\hat{k}) = 8\hat{i} + 12\hat{j} + 16\hat{k}$
વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1}$ અને $\overrightarrow{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 12 & 16 \end{vmatrix} = \hat{i}(64 - 72) - \hat{j}(32 - 48) + \hat{k}(24 - 32) = -8\hat{i} + 16\hat{j} - 8\hat{k}$
માન $|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 256 + 64} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8\sqrt{6}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ ચોરસ એકમ.

(D) સદિશ $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ યામ અક્ષો સાથે સમાન રીતે નમેલો હોય જો તેના દિક-કોસાઇન સમાન હોય,એટલે કે $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$.
આનો અર્થ એ છે કે દિક-ગુણોત્તરના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $|a| = |b| = |c|$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$ માટે,$\vec{v} = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
દિક-ગુણોત્તર $a=4, b=4, c=4$ છે.
તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ છે.
દિક-કોસાઇન $\left(\frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ છે.
બધા દિક-કોસાઇન સમાન હોવાથી,સદિશ $4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ યામ અક્ષો સાથે સમાન રીતે નમેલો છે.

(C) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{C} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ થાય.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{(\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ થાય.
હવે,$\overrightarrow{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) - (2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) = \hat{j}$.

(A) બિંદુઓ $u$ અને $v$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $(2, 1)$ અને $(3, -5)$ આપેલા છે.
બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ અને $(x_2, y_2) = (3, -5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 1 = \frac{-5 - 1}{3 - 2}(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -6(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -6x + 12 \Rightarrow 6x + y = 13$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયા બિંદુઓ સમીકરણ $6x + y = 13$ નું સમાધાન કરે છે:
$P\left(\frac{5}{2}, -2\right)$ માટે: $6\left(\frac{5}{2}\right) + (-2) = 15 - 2 = 13$. (સમાધાન કરે છે)
$Q\left(\frac{7}{3}, -1\right)$ માટે: $6\left(\frac{7}{3}\right) + (-1) = 14 - 1 = 13$. (સમાધાન કરે છે)
$R\left(\frac{9}{4}, 0\right)$ માટે: $6\left(\frac{9}{4}\right) + 0 = \frac{27}{2} = 13.5 \neq 13$. (સમાધાન કરતું નથી)
આમ,માત્ર બિંદુઓ $P$ અને $Q$ રેખા પર આવેલા છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
તેમજ,$(||u|-|v||)^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
સમાનતા $|u-v| = ||u|-|v||$ સાચી ઠરવા માટે,તેમના વર્ગો સમાન હોવા જોઈએ:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v|$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v| \cos \theta$,તેથી $|u||v| \cos \theta = |u||v|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$.
તેથી,$u$ અને $v$ સમાન દિશામાં હોવા જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે $\vec{OA}=\vec{a}$ અને $\vec{OB}=\vec{b}$.
કારણ કે $B$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી આપણી પાસે $\vec{OB} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{OC}}{2}$
$2\vec{b} = \vec{a} + \vec{OC}$
$\vec{OC} = 2\vec{b} - \vec{a}$.

(D) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
તે જ રીતે,ષટ્કોણની બીજી બાજુ માટે:
$\vec{FE} + \vec{ED} = \vec{FD}$
નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,વિકર્ણ $\vec{AC}$ એ વિકર્ણ $\vec{FD}$ ને સમાંતર હોય છે.
તેથી,સદિશ $\vec{AB} + \vec{BC}$ એ $\vec{FE} + \vec{ED}$ ને સમાંતર છે.

(B) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આપેલા સદિશો $\vec{a} = 35 \hat{i}+14 \hat{j}-77 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 5 \hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} 35 & 14 & -77 \\ 2 & 7 & 5 \\ 5 & 2 & \lambda \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$35(7\lambda - 10) - 14(2\lambda - 25) - 77(4 - 35) = 0$
$245\lambda - 350 - 28\lambda + 350 - 77(-31) = 0$
$217\lambda + 2387 = 0$
$217$ વડે ભાગતા:
$\lambda + 11 = 0$
$\lambda = -11$

(D) કેન્દ્ર $O$ વાળા નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,સદિશ $\vec{AO}$ એ કેન્દ્ર $O$ થી શિરોબિંદુ $A$ તરફનો નિર્દેશિત રેખાખંડ દર્શાવે છે.
નિયમિત ષટ્કોણના ગુણધર્મો મુજબ,સદિશ $\vec{AO}$ એ સદિશ $\vec{ED}$ અને $\vec{BC}$ ને સમાન છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,$\vec{BC}$ સ્પષ્ટપણે આપેલ નથી,પરંતુ આપણે આપેલા સદિશોનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
નોંધો કે $\vec{AO} = \vec{ED} = \vec{BC}$.
તેથી,સદિશ $\vec{AO}$ એ $\vec{ED}$ ને સમાન છે.

(B) ધારો કે સદિશો $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ છે. આપણે $\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $\vec{OB}$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $\vec{OB} = R\hat{j}$.
તો $\vec{OA} = R(\cos 45^{\circ} \hat{i} + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$.
અને $\vec{OC} = R(\cos 45^{\circ} \hat{i} - \sin 45^{\circ} \hat{j}) = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$.
આ સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}) + R\hat{j} + R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$
$\vec{R} = R(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{i} + R(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{j}$
$\vec{R} = R(\frac{2}{\sqrt{2}})\hat{i} + R\hat{j} = \sqrt{2}R\hat{i} + R\hat{j}$.
પરિણામી સદિશ $\vec{OA}$ અને $\vec{OC}$ નો સરવાળો $2R \cos(45^{\circ}) \hat{j} = \sqrt{2}R \hat{j}$ થાય છે.
તેમાં $\vec{OB} = R \hat{j}$ ઉમેરતા,કુલ પરિણામી સદિશ $(\sqrt{2} + 1)R \hat{j}$ મળે છે.
તેથી,તેનું મૂલ્ય $(\sqrt{2} + 1)R$ છે.

(D) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$B = 2\hat{i}+3\hat{j}$,$C = 5\hat{j}-2\hat{k}$,અને $D = -\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આપણે બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = B - A = (2\hat{i}+3\hat{j}) - (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{BC} = C - B = (5\hat{j}-2\hat{k}) - (2\hat{i}+3\hat{j}) = -2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{CD} = D - C = (-\hat{j}+\hat{k}) - (5\hat{j}-2\hat{k}) = -6\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{DA} = A - D = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - (-\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$.
અહીં બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો એકબીજાને સમાંતર નથી (એટલે કે,$\vec{AB} \neq k\vec{CD}$ અને $\vec{BC} \neq k\vec{DA}$),તેથી આ આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કે સમલંબ ચતુષ્કોણની શરતોનું પાલન કરતી નથી.
આમ,આ ચાર બિંદુઓ દ્વારા બનતી આકૃતિ એક સામાન્ય ચતુષ્કોણ છે.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 2(-2)) - \hat{j}(1(1) - 2(3)) + \hat{k}(1(-2) - 1(3))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-2 - 3)$
$= 5\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-5)^2}$ ની ગણતરી કરો.
$= \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $5\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,આપણી પાસે $\vec{AB} = \vec{DC}$ અને $\vec{AD} = \vec{BC}$ છે.
કારણ કે $L$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{BL} = \frac{1}{2} \vec{BC}$ થાય.
$\triangle ABL$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{AL} = \vec{AB} + \vec{BL}$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\vec{AL} = \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{BC}$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં $\vec{BC} = \vec{AD}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\vec{AL} = \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{AD}$

(C) બે સદિશો $\vec{a} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$ અને $\vec{b} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} + c_2 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + m \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
તેઓ સમરેખ હોવા માટે,$\frac{1}{1} = \frac{2}{m} = \frac{m}{2}$ હોવું જોઈએ.
$\frac{1}{1} = \frac{2}{m}$ પરથી,આપણને $m = 2$ મળે છે.
$\frac{1}{1} = \frac{m}{2}$ પરથી,આપણને $m = 2$ મળે છે.
બંને શરતો સમાન મૂલ્ય $m = 2$ આપે છે,તેથી $m$ નું માત્ર $1$ મૂલ્ય છે જેના માટે સદિશો સમરેખ છે.

(A) આપેલ છે કે $ABCDEF$ એક નિયમિત ષટ્કોણ છે જેમાં $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{b}$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન મૂલ્યની હોય છે. તેથી,$\vec{ED} = \vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{FE} = \vec{BC} = \vec{b}$ થાય.
વળી,મુખ્ય વિકર્ણ $\vec{AD}$ એ $\vec{BC}$ ને સમાંતર છે અને તેનું મૂલ્ય $\vec{BC}$ કરતા બમણું છે. તેથી,$\vec{AD} = 2\vec{BC} = 2\vec{b}$ થાય.
$\triangle ABC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.
હવે,$\triangle ACD$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{CD} = 2\vec{b}$
$\vec{CD} = 2\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b})$
$\vec{CD} = 2\vec{b} - \vec{a} - \vec{b}$
$\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$

(D) ધારો કે નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ નું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O$ છે.
દરેક સદિશને ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
$\vec{BE} + \vec{BC} + \vec{EF} + \vec{BA} + \vec{CF} + \vec{AF}$
$= (\vec{OE} - \vec{OB}) + (\vec{OC} - \vec{OB}) + (\vec{OF} - \vec{OE}) + (\vec{OA} - \vec{OB}) + (\vec{OF} - \vec{OC}) + (\vec{OF} - \vec{OA})$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\vec{OE} - \vec{OE} = 0$,$\vec{OC} - \vec{OC} = 0$,અને $\vec{OA} - \vec{OA} = 0$.
આથી સાદું રૂપ મળે છે: $3\vec{OF} - 3\vec{OB}$
$= 3(\vec{OF} - \vec{OB})$
$= 3\vec{BF}$.

(C) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,ધારો કે $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{b}$ છે.
તે નિયમિત ષટ્કોણ હોવાથી,$\vec{CD} = \vec{AF} = \vec{BC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ થાય.
વળી,$\vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{a}$ થાય.
$\triangle CDE$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{CE} = \vec{CD} + \vec{DE}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{CE} = (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a}$ થાય.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ: $PQ + QR = (2\lambda^2 - 5)RP$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $PQ + QR = PR$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $PR = (2\lambda^2 - 5)RP$
આપણે જાણીએ છીએ કે $PR = -RP$,તેથી સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય: $-RP = (2\lambda^2 - 5)RP$
બંને બાજુ $RP$ વડે ભાગતા (ધારો કે $RP \neq 0$): $2\lambda^2 - 5 = -1$
$2\lambda^2 = 4$
$\lambda^2 = 2$
$\lambda = \pm \sqrt{2}$

(C) કારણ કે $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ થી સદિશોના સંદર્ભમાં,આપણી પાસે $\vec{PC} = \frac{\vec{PA} + \vec{PB}}{2}$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2\vec{PC} = \vec{PA} + \vec{PB}$ મળે છે.
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{PA} - \vec{PC} = \vec{PC} - \vec{PB}$.
આમ,સાચો સંબંધ $\vec{PA} - \vec{PC} = \vec{PC} - \vec{PB}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
$|a - b|^2$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos \theta = \cos \theta$,તેથી:
$|a - b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cos \theta$
$|a - b|^2 = 2 - 2 \cos \theta$
$|a - b|^2 = 2(1 - \cos \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a - b|^2 = 2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2})$
$|a - b|^2 = 4 \sin^2 \frac{\theta}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|a - b| = 2 \sin \frac{\theta}{2}$
તેથી,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} |a - b|$.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
વળી,$a+2b$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|a+2b| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+2b|^2 = 1^2 = 1$.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,$|a|^2 + 4|b|^2 + 4(a \cdot b) = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 4(1)^2 + 4|a||b| \cos \theta = 1$.
$1 + 4 + 4 \cos \theta = 1$.
$5 + 4 \cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $4 \cos \theta = -4$,તેથી $\cos \theta = -1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = \pi$.
હવે,આપણે $\sin \theta + \cos^3 \theta + \tan^5 \theta$ પદાવલિની કિંમત મેળવીએ.
$\theta = \pi$ મૂકતા: $\sin \pi + \cos^3 \pi + \tan^5 \pi = 0 + (-1)^3 + 0 = -1$.

(D) સદિશો $u, v, w$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,જે તેમના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય સ્તંભમાંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = 0$
આ નિશ્ચાયક એ પ્રમાણિત વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે:
$abc(a-b)(b-c)(c-a) = 0$
આ ગુણાકાર શૂન્ય થાય જો $a=0$ અથવા $b=0$ અથવા $c=0$ હોય,અથવા જો $a=b$ અથવા $b=c$ અથવા $c=a$ હોય.
આમ,સદિશો સમતલીય છે જો $a, b, c$ માંથી કોઈ એક શૂન્ય હોય,અથવા $a, b, c$ માંથી કોઈપણ બે સમાન હોય.

(D) આપેલ છે કે $a$,$b$,અને $c$ શૂન્યતર સદિશો છે અને તેમાંથી કોઈ પણ બે સમરેખ નથી.
સદિશ $a + 2b$ એ $c$ સાથે સમરેખ હોવાથી,$a + 2b = m c$ થાય,જ્યાં $m$ કોઈ શૂન્યતર અદિશ છે $(i)$.
સદિશ $b + 3c$ એ $a$ સાથે સમરેખ હોવાથી,$b + 3c = n a$ થાય,જ્યાં $n$ કોઈ શૂન્યતર અદિશ છે $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$b = n a - 3c$ મળે.
આ કિંમતને $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 2(n a - 3c) = m c$
$a + 2n a - 6c = m c$
$(1 + 2n) a = (m + 6) c$
અહીં $a$ અને $c$ અસમરેખ હોવાથી,તેમના સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$1 + 2n = 0 \Rightarrow n = -\frac{1}{2}$
$m + 6 = 0 \Rightarrow m = -6$
$m = -6$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 2b = -6c$
$a + 2b + 6c = 0$.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટ્સની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (2)^2 + (1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 1 + 9 + 1 = 11$
$\vec{c} \cdot \vec{c} = (3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(3) + (3)(-1) = 2 + 3 - 3 = 2$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (1)(-1) + (3)(-2) = 6 - 1 - 6 = -1$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (3)(-1) + (-1)(-2) = 3 - 3 + 2 = 2$
હવે,આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 14 & 2 & -1 \\ 2 & 11 & 2 \\ -1 & 2 & 14 \end{array}\right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 14(154 - 4) - 2(28 + 2) - 1(4 + 11)$
$\Delta = 14(150) - 2(30) - 1(15)$
$\Delta = 2100 - 60 - 15 = 2025$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$(\vec{a}+t \vec{b}) \cdot (\vec{a}-t \vec{b}) = 0$
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a}|^2 - t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) - t^2|\vec{b}|^2 = 0$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,પરિણામે વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$|\vec{a}|^2 - t^2|\vec{b}|^2 = 0$
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=2$ અને $|\vec{b}|=3$ મૂકતા:
$2^2 - t^2(3^2) = 0$
$4 - 9t^2 = 0$
$9t^2 = 4$
$t^2 = \frac{4}{9}$
$t = \pm \frac{2}{3}$
અહીં $t$ એ ધન અદિશ હોવાથી,$t = \frac{2}{3}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$ અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$|\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$
$|\cos \theta| = |\sin \theta|$
$|\tan \theta| = 1$
આથી $\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{4}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta < 0$.
કારણ કે $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ છે,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{3\pi}{4}$ થાય.
નોંધો કે $\sec^{-1}(-\sqrt{2}) = \frac{3\pi}{4}$ કારણ કે $\sec(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{a}=(\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}$ અને $\vec{b}=(\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j}$.
આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ નીચે મુજબ ગણીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = ((\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}) \times ((\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j})$
$= (\sin x \cos y) (\hat{i} \times \hat{i}) + (\sin x \cos y) (\hat{i} \times \hat{j}) + (\sin y \cos x) (\hat{j} \times \hat{i}) + (\sin y \cos y) (\hat{j} \times \hat{j})$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = (\sin x \cos y) \hat{k} - (\sin y \cos x) \hat{k} = (\sin x \cos y - \cos x \sin y) \hat{k} = \sin(x-y) \hat{k}$.
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\sin(x-y)|$ થાય.
સાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|\sin(x-y)|$ એ $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોય.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}| \leq 1$ થાય.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$,અને $\vec{w} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બે સદિશો લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ થાય.
પ્રથમ,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-3) + (3)(2) + (1)(0) = -6 + 6 + 0 = 0$ ગણીએ. અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\vec{u} \perp \vec{v}$ છે.
ત્યારબાદ,$\vec{u} \cdot \vec{w} = (2)(1) + (3)(-1) + (1)(4) = 2 - 3 + 4 = 3 \neq 0$ ગણીએ. તેથી,$\vec{u}$ એ $\vec{w}$ ને લંબ નથી.
અંતે,$\vec{v} \cdot \vec{w} = (-3)(1) + (2)(-1) + (0)(4) = -3 - 2 + 0 = -5 \neq 0$ ગણીએ. તેથી,$\vec{v}$ એ $\vec{w}$ ને લંબ નથી.
આમ,$\vec{u}$ એ $\vec{v}$ ને લંબ છે પણ $\vec{w}$ ને નહીં.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું મૂલ્ય $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(\vec{a} \times \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ મળે છે.
તે જ રીતે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ મળે છે.
આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(\vec{a} \times \vec{b})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta + |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}$
$= \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થશે:
$= \frac{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1)}{2|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2} = \frac{1}{2}$.

(C) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,તેથી $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin 45^{\circ} = |\vec{u}||\vec{v}| \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ માટે,$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos 45^{\circ} = |\vec{u}||\vec{v}| \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી સાબિત થાય છે કે $|\vec{u} \times \vec{v}| = \vec{u} \cdot \vec{v}$.

(A) આપણને $\vec{a} = 3 \hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ આપેલ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{b_1}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે,આપણે લખી શકીએ $\overrightarrow{b_1} = \lambda \vec{a} = \lambda(3 \hat{i} - \hat{j}) = 3\lambda \hat{i} - \lambda \hat{j}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{b} = \overrightarrow{b_1} + \overrightarrow{b_2}$,તેથી $\overrightarrow{b_2} = \vec{b} - \overrightarrow{b_1} = (2 - 3\lambda) \hat{i} + (1 + \lambda) \hat{j} - 3 \hat{k}$.
કારણ કે $\overrightarrow{b_2}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ છે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\overrightarrow{b_2} \cdot \vec{a} = 0$.
$(2 - 3\lambda)(3) + (1 + \lambda)(-1) + (-3)(0) = 0$.
$6 - 9\lambda - 1 - \lambda = 0$.
$5 - 10\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ ને $\overrightarrow{b_2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{b_2} = (2 - 3(\frac{1}{2})) \hat{i} + (1 + \frac{1}{2}) \hat{j} - 3 \hat{k}$.
$\overrightarrow{b_2} = (2 - \frac{3}{2}) \hat{i} + (\frac{3}{2}) \hat{j} - 3 \hat{k} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j} - 3 \hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે,$a, b, c, d$ સદિશો છે જ્યાં $|d|=1$.
આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$a+b+c=s d$ $(1)$
$b+c+d=a$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણે $b+c = a-d$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (a-d) = s d$
$2a - d = s d$
$2a = (s+1) d$
$a = \frac{s+1}{2} d$
આપેલ છે કે $a \cdot d = 4$. $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$\left(\frac{s+1}{2} d\right) \cdot d = 4$
કારણ કે $|d|=1$,તેથી $d \cdot d = |d|^2 = 1^2 = 1$.
$\frac{s+1}{2} (1) = 4$
$s+1 = 8$
$s = 7$.

(B) આપેલ છે કે,$A = 2 \hat{i} + \log_2 x \hat{j} + s \hat{k}$ અને $B = \log_2 x \hat{i} + s \hat{j} + \log_2 x \hat{k}$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો,$\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| |B|}$ થાય.
$A \cdot B = (2)(\log_2 x) + (\log_2 x)(s) + (s)(\log_2 x) = 2 \log_2 x + 2s \log_2 x = 2 \log_2 x (1 + s)$ થાય.
જો $\theta$ લઘુકોણ હોય,તો $\cos \theta > 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $|A| > 0$ અને $|B| > 0$ છે,તેથી $\cos \theta > 0$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે $A \cdot B > 0$ થાય.
તેથી,$2 \log_2 x (1 + s) > 0$ થાય.
આપેલ છે કે $\log_2 x > 0$,તેથી અસમતાની નિશાની બદલ્યા વગર આપણે $2 \log_2 x$ વડે ભાગી શકીએ છીએ.
આમ,$1 + s > 0$,જેનો અર્થ છે કે $s > -1$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $A = \hat{i} + 2 \hat{j}$.
ધારો કે $B = x \hat{i} + y \hat{j}$.
આપણને સમીકરણો $(A + B) \cdot B = 15$ અને $A \cdot B = 6$ આપેલા છે.
પ્રથમ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $A \cdot B + B \cdot B = 15$.
કારણ કે $B \cdot B = |B|^2$,તેથી $A \cdot B + |B|^2 = 15$.
$A \cdot B = 6$ ની કિંમત મૂકતા:
$6 + |B|^2 = 15$.
$|B|^2 = 15 - 6 = 9$.
તેથી,$|B| = \sqrt{9} = 3$.

(A) આપેલ છે કે,$|a| = |b| = |c| = 1$ અને $a \cdot b = 0 = a \cdot c$. $b$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
આપણે $|a \times b - a \times c|$ શોધવાનું છે.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|a \times b - a \times c| = |a \times (b - c)|$.
ચૂકી $a \cdot b = 0$ અને $a \cdot c = 0$,તેથી $a \cdot (b - c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a$ એ $(b - c)$ ને લંબ છે.
આમ,$|a \times (b - c)| = |a| |b - c| \sin \frac{\pi}{2} = |a| |b - c| (1) = |b - c|$.
હવે,$|b - c|^2 = |b|^2 + |c|^2 - 2(b \cdot c) = 1 + 1 - 2(|b| |c| \cos \frac{\pi}{3}) = 2 - 2(1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$.
તેથી,$|b - c| = 1$.
આમ,$|a \times b - a \times c| = 1$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ ત્રણ સદિશો છે જ્યાં $|a|=3, |b|=4, |c|=5$ અને $a+b+c=0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a+b+c=0$,તેથી $a+b=-c$ લખી શકાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a+b)^2 = (-c)^2$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટના નિયમ મુજબ,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ થાય.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $3^2 + 4^2 + 2(a \cdot b) = 5^2$.
$9 + 16 + 2(a \cdot b) = 25$.
$25 + 2(a \cdot b) = 25$.
$2(a \cdot b) = 0$.
તેથી,$a \cdot b = 0$.

(D) આપેલ સદિશો $a = x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $b = x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
આપણને શરત $a \cdot b > 6$ આપેલી છે.
બે સદિશો $a = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$ અને $b = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} + c_2 \hat{k}$ નો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ સદિશોને મૂકતા:
$(x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) > 6$
$x^2(x) + x(-4) + 3(2) > 6$
$x^3 - 4x + 6 > 6$
$x^3 - 4x > 0$
$x(x^2 - 4) > 0$
$x(x - 2)(x + 2) > 0$
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2, 0, 2$ છે.
અંતરાલો તપાસતા:
$x > 2$ માટે,$x(x-2)(x+2) > 0$ (ધન).
$0 < x < 2$ માટે,$x(x-2)(x+2) < 0$ (ઋણ).
$-2 < x < 0$ માટે,$x(x-2)(x+2) > 0$ (ધન).
$x < -2$ માટે,$x(x-2)(x+2) < 0$ (ઋણ).
આમ,ઉકેલ $x \in (-2, 0) \cup (2, \infty)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A(4,3,5)$,$B(0,6,0)$,$C(-8,1,4)$ અને $D$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
ધારો કે $D$ એ $(x, y, z)$ બિંદુ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ $BD$ ના મધ્યબિંદુ જેટલું થાય.
$\left(\frac{4+(-8)}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) = \left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z+0}{2}\right)$
$\left(-2, 2, \frac{9}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z}{2}\right)$
યામોને સરખાવતા,આપણને $x = -4$,$y = -2$,$z = 9$ મળે છે.
આમ,$D$ એ $(-4, -2, 9)$ છે.
હવે,સદિશ $\vec{AC} = (-8-4)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (4-5)\hat{k} = -12\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
સદિશ $\vec{BD} = (-4-0)\hat{i} + (-2-6)\hat{j} + (9-0)\hat{k} = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 9\hat{k}$.
ધારો કે $\theta$ એ $\vec{AC}$ અને $\vec{BD}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|} = \frac{|(-12)(-4) + (-2)(-8) + (-1)(9)|}{\sqrt{(-12)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 9^2}}$
$\cos \theta = \frac{|48 + 16 - 9|}{\sqrt{144 + 4 + 1} \sqrt{16 + 64 + 81}} = \frac{55}{\sqrt{149} \sqrt{161}}$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{55}{\sqrt{149} \sqrt{161}}\right)$.

(D) આપેલ છે કે,$|a| = 7$ અને $|b| = 8$.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને બાજુ માન લેતા,આપણને $|a \cdot b| = |a||b| |\cos \theta|$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$|a \cdot b| = 7 \times 8 |\cos \theta| = 56 |\cos \theta|$.
$|\cos \theta|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,$|a \cdot b|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $56 \times 1 = 56$ થાય છે.

(B) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} + \hat{j}$ અને $b = \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધીએ:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
$a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશો $\pm \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,આવા કુલ $2$ એકમ સદિશો શક્ય છે.

(A) આપેલ સદિશો $a=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ અને $c=\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}$ છે.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$a \cdot c = 0 \implies (1)(\lambda) + (-1)(1) + (2)(\mu) = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1$ ...$(i)$
$b \cdot c = 0 \implies (2)(\lambda) + (4)(1) + (1)(\mu) = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$\mu = -4 - 2\lambda$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\lambda + 2(-4 - 2\lambda) = 1$
$\lambda - 8 - 4\lambda = 1$
$-3\lambda = 9 \implies \lambda = -3$.
હવે,$\lambda = -3$ ને $\mu = -4 - 2\lambda$ માં મૂકતા:
$\mu = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
આમ,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$ થાય.

(B) આપેલ સદિશો $a = t^2 \hat{i} + e^t \hat{j} + \hat{k}$ અને $b = 2 \hat{i} + t^2 \hat{j} + \log t \hat{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ગુણાકાર $f(t) = a \cdot b$ એ અનુરૂપ ઘટકોના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
$f(t) = (t^2)(2) + (e^t)(t^2) + (1)(\log t) = 2t^2 + t^2 e^t + \log t$.
હવે,$f(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(t) = \frac{d}{dt}(2t^2) + \frac{d}{dt}(t^2 e^t) + \frac{d}{dt}(\log t)$
$f^{\prime}(t) = 4t + (2t e^t + t^2 e^t) + \frac{1}{t}$.
$f^{\prime}(1)$ શોધવા માટે,$t = 1$ મૂકતા:
$f^{\prime}(1) = 4(1) + (2(1) e^1 + (1)^2 e^1) + \frac{1}{1}$
$f^{\prime}(1) = 4 + 2e + e + 1$
$f^{\prime}(1) = 5 + 3e$.

(B) આપેલ છે કે $a \times b = c$ અને $b \times c = a$.
$a \times b = c$ હોવાથી,સદિશ $c$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ છે.
$b \times c = a$ હોવાથી,સદિશ $a$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a, b, c$ એ પરસ્પર લંબ સદિશોનો સમૂહ બનાવે છે.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$a \times c = a \times (a \times b)$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ મુજબ,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
અહીં,$a \times c = -(c \times a)$.
$b \times c = a$ હોવાથી,$a \times c = a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b$.
$a, b, c$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot b = 0$.
તેથી,$a \times c = -|a|^2 b$.
આ દર્શાવે છે કે $a \times c$ એ $b$ નો અદિશ ગુણાંક છે,જેનો અર્થ છે કે $a \times c$ એ $b$ ને સમાંતર છે.

(B) આપેલ છે કે,$|a| = |b| = 2$,$a \cdot b = 2$ અને $a + b + c = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a + b + c = 0 \implies a + b = -c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|a + b|^2 = |-c|^2$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2^2 + 2^2 + 2(2) = |c|^2$.
$4 + 4 + 4 = |c|^2$.
$|c|^2 = 12$.
$|c| = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.

(C) આપેલ છે કે $u$ અને $v$ એ $\mathbb{R}^3$ માં શૂન્યતર સદિશો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારનું માન $|u \times v| = |u||v| \sin \theta$ છે અને અદિશ ગુણાકાર $u \cdot v = |u||v| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો $u$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિંમતોને $|u \times v|^2 + |u \cdot v|^2$ પદમાં મૂકતા:
$|u \times v|^2 + |u \cdot v|^2 = (|u||v| \sin \theta)^2 + (|u||v| \cos \theta)^2$
$= |u|^2|v|^2 \sin^2 \theta + |u|^2|v|^2 \cos^2 \theta$
$= |u|^2|v|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$= |u|^2|v|^2(1) = |u|^2|v|^2$.

(B) કારણ કે $u$ અને $v$ એ $\mathbb{R}^2$ માં અસમરેખ સદિશો છે,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે અને $\mathbb{R}^2$ માટે આધાર (basis) બનાવે છે. તેથી,$\mathbb{R}^2$ માં કોઈપણ સદિશને $u$ અને $v$ ના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે. વિધાન $(i)$ સાચું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$v$ પર $u$ નો લંબ પ્રક્ષેપ $w = \left( \frac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $v$ નો અદિશ ગુણાંક છે. $w$ એ $v$ નો ગુણાંક હોવાથી,તેને $w = 0u + \left( \frac{u \cdot v}{|v|^2} \right) v$ તરીકે લખી શકાય છે. $w$ ને $a \neq 0$ અને $b \neq 0$ સાથે $au + bv$ તરીકે લખવા માટે,$w$ પાસે $u$ ની દિશામાં શૂન્યતર ઘટક હોવો જરૂરી છે. જોકે,$w$ એ $u - w$ ને લંબ છે અને $w$ એ $v$ ને સમાંતર છે. $u$ અને $v$ અસમરેખ હોવાથી,$w$ ને $a \neq 0$ સાથે $au + bv$ તરીકે દર્શાવી શકાય નહીં. તેથી,વિધાન (ii) ખોટું છે.

(D) ધારો કે $YZ$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 4, 5)$ અને $B(3, 5, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $\left( \frac{3k+2}{k+1}, \frac{5k+4}{k+1}, \frac{-4k+5}{k+1} \right)$ મળે છે.
આ બિંદુ $YZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{3k+2}{k+1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $3k + 2 = 0$,અથવા $k = -\frac{2}{3}$.
ગુણોત્તર $k:1$ એ $-\frac{2}{3}:1$ છે,જે $-2:3$ ને સમાન છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બહિર્વિભાજન છે.
આમ,$YZ$-સમતલ રેખાખંડનું $2:3$ ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.