AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड एक वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल से गति करता है।
चूंकि अभिकेंद्र बल $F$ हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है और विस्थापन $ds$ हमेशा वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है,इसलिए बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
किया गया कार्य $W$ का मान $W = \int F \cdot ds = \int F \cos(90^{\circ}) ds = 0$ होता है।
अतः,अभिकेंद्र बल द्वारा पिंड पर कोई कार्य नहीं किया जाता है।

(B) पहली गेंद का प्रारंभिक वेग,$u_1 = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
दूसरी गेंद का प्रारंभिक वेग,$u_2 = 0 \,m/s$.
द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ और $m_2 = 3 \,kg$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$,जहाँ $V$ टक्कर के बाद का सामान्य वेग है।
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)V \implies 20 = 5V \implies V = 4 \,m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,$K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 + 0 = 100 \,J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा,$K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$.
गतिज ऊर्जा में हानि,$\Delta K = K_i - K_f = 100 - 40 = 60 \,J$.

(C) $m$ द्रव्यमान वाली कार के लिए $r$ त्रिज्या के मोड़ पर $v$ वेग से मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र है: $F = \frac{mv^2}{r}$।
दिए गए मान हैं:
द्रव्यमान $m = 500 \,kg$
त्रिज्या $r = 50 \,m$
वेग $v = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{500 \times (10)^2}{50} = \frac{500 \times 100}{50} = 10 \times 100 = 1000 \,N$।
अतः,अभिकेंद्र बल $1000 \,N$ है।

(B) परिभाषा के अनुसार,$n$ कणों वाले एक निकाय का द्रव्यमान केंद्र $\vec{R}_{cm}$,जहाँ कणों का द्रव्यमान $m_i$ और स्थिति $\vec{r}_i$ है,इस प्रकार दिया जाता है: $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$
यदि हम द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु (origin) मानते हैं,तो $\vec{R}_{cm} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\sum m_i \vec{r}_i = 0$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः किसी कण का आघूर्ण उसके द्रव्यमान और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष उसकी स्थिति सदिश का गुणनफल होता है,जिसे $m_i \vec{r}_i$ द्वारा दर्शाया जाता है।
निकाय के सभी कणों के लिए इन आघूर्णों का योग $\sum m_i \vec{r}_i$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा से $\sum m_i \vec{r}_i = 0$ होता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र के परितः सभी कणों के आघूर्णों का योग हमेशा शून्य होता है।

(C) दिया गया है:
कार्बन परमाणु का द्रव्यमान,$m_C = 12 amu$
ऑक्सीजन परमाणु का द्रव्यमान,$m_O = 16 amu$
उनके बीच की दूरी,$r = 1.1 Å$
मान लीजिए कि $x$ कार्बन परमाणु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
दो-कण प्रणाली के लिए द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए,कार्बन परमाणु से दूरी $x$ इस प्रकार दी जाती है:
$x = \frac{m_O \cdot r}{m_C + m_O}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{16 \cdot 1.1}{12 + 16}$
$x = \frac{17.6}{28}$
$x = 0.62857 Å \approx 0.63 Å$
अतः,द्रव्यमान केंद्र कार्बन परमाणु से $0.63 Å$ की दूरी पर स्थित है।

(B) समान द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच प्रत्यास्थ सम्मुख टक्कर में,कण अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं। इसलिए,आपतित कण का वेग $0$ हो जाता है और स्थिर कण $v$ वेग से गति करने लगता है।
आपतित कण के संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v - 0) = mv$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,आवेग ($F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल) संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
$\text{Area} = \Delta p = mv$.
दिए गए समलंब $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left( T + \left( \frac{3T}{4} - \frac{T}{4} \right) \right) \times F_0$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left( T + \frac{2T}{4} \right) \times F_0 = \frac{1}{2} \times \left( T + \frac{T}{2} \right) \times F_0 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{3T}{2} \right) \times F_0 = \frac{3T F_0}{4}$.
क्षेत्रफल को संवेग में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$\frac{3T F_0}{4} = mv$
$F_0 = \frac{4mv}{3T}$.

(A) प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$ को दो टकराने वाली वस्तुओं के बीच पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण (approach) के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{\text{पृथक्करण का सापेक्ष वेग}}{\text{दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग}}$.
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा और संवेग संरक्षित रहते हैं,जिसका अर्थ है कि पृथक्करण का सापेक्ष वेग,दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के बराबर होता है।
इसलिए,पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए $e = 1$ होता है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए $e = 0$ और अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए $0 < e < 1$ होता है।

(C) एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,दो पिंड टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाते हैं और एक समान अंतिम वेग से गति करते हैं।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद दो पिंडों के वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। चूंकि वे एक साथ गति करते हैं,इसलिए $v_1 = v_2 = v$ होगा।
टक्कर के बाद पिंडों का सापेक्ष वेग उनके वेगों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$v_{\text{rel}} = v_1 - v_2$
समीकरण में $v_1 = v_2 = v$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{\text{rel}} = v - v = 0$
अतः,टक्कर के बाद पिंडों का सापेक्ष वेग शून्य होता है।

(A) $\text{दिया गया है: द्रव्यमान}$ $m_1 = 3 \,kg$, $\text{वेग}$ $v_1 = 8 \,ms^{-1}$।
$\text{द्रव्यमान}$ $m_2 = 1 \,kg$, $\text{वेग}$ $v_2 = -4 \,ms^{-1}$ ($\text{चूंकि यह विपरीत दिशा में गति कर रहा है}$)।
$\text{रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।}$
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
$\text{मान रखने पर:}$
$(3 \times 8) + (1 \times -4) = (3 + 1) \times v$
$24 - 4 = 4v$
$20 = 4v$
$v = 5 \,ms^{-1}$
$\text{अतः, सामान्य वेग}$ $5 \,ms^{-1}$ $\text{है।}$

(B) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m_b = 0.03 \,kg$, प्रारंभिक वेग $v_b = 700 \,ms^{-1}$। ब्लॉक का द्रव्यमान $m_B = 4 \,kg$, ऊंचाई $h = 0.2 \,m$।
निकाय का प्रारंभिक संवेग $= m_b v_b = 0.03 \times 700 = 21 \,kg \cdot ms^{-1}$।
मान लीजिए टक्कर के बाद गोली का वेग $v_1$ और ब्लॉक का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $21 = 0.03 v_1 + 4 v_2$ ... $(i)$
ब्लॉक के लिए, ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} m_B v_2^2 = m_B g h$।
$v_2 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.2} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \,ms^{-1}$।
$v_2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $21 = 0.03 v_1 + 4(1.98)$।
$21 = 0.03 v_1 + 7.92$।
$0.03 v_1 = 13.08$।
$v_1 = \frac{13.08}{0.03} = 436 \,ms^{-1}$।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान के अनुसार, गोली का वेग लगभग $433 \,ms^{-1}$ है।

(D) एक प्रत्यास्थ टक्कर में,कुल गतिज ऊर्जा केवल टक्कर से पहले और बाद में संरक्षित रहती है। टक्कर के अल्प समय के दौरान,गेंदों के आकार में विरूपण होता है और गतिज ऊर्जा का एक हिस्सा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है। अतः,संपर्क समय के दौरान गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है।
ऊर्जा संरक्षण का नियम एक सार्वभौमिक नियम है जो सभी भौतिक प्रक्रियाओं पर लागू होता है,जिसमें घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य भी शामिल है (जहाँ ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है)। इसलिए,कारण $(R)$ भी असत्य है।
चूंकि दोनों कथन गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) दिया गया कोण दीवार के साथ है,इसलिए अभिलंब (normal) के साथ कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ केवल दीवार के लंबवत दिशा में होता है।
दीवार के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin(60^{\circ}) = v \cos(30^{\circ})$ है।
दीवार के लंबवत प्रारंभिक संवेग घटक: $p_i = m v \cos(30^{\circ})$.
दीवार के लंबवत अंतिम संवेग घटक: $p_f = -m v \cos(30^{\circ})$.
संवेग में परिवर्तन: $\Delta p = |p_f - p_i| = 2 m v \cos(30^{\circ})$.
मान रखने पर: $\Delta p = 2 \times 3 \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 300\sqrt{3} \ kg \cdot m/s$.
लगाया गया बल $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{300\sqrt{3}}{0.2} = 1500\sqrt{3} \ N$.

(A) दिया गया है कि,शेल का द्रव्यमान $= m$ है।
शेल का प्रारंभिक वेग $= v$ है।
पहले टुकड़े का द्रव्यमान,$m_1 = \frac{m}{6}$ है।
दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान,$m_2 = m - \frac{m}{6} = \frac{5m}{6}$ है।
पहले टुकड़े का वेग,$v_1 = 0$ है (क्योंकि यह स्थिर रहता है)।
माना कि दूसरे टुकड़े का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग = कुल अंतिम संवेग:
$m v = m_1 v_1 + m_2 v_2$।
समीकरण में ज्ञात मान रखने पर:
$m v = \left(\frac{m}{6}\right) \times 0 + \left(\frac{5m}{6}\right) \times v_2$।
$m v = \frac{5m}{6} v_2$।
$v_2$ के लिए हल करने पर:
$v_2 = \frac{m v \times 6}{5m} = \frac{6v}{5}$।
अतः,दूसरे टुकड़े का वेग मूल गति की दिशा में $\frac{6v}{5}$ है।

(B) दिया गया है कि,गोली का द्रव्यमान $= m$ है।
राइफल का द्रव्यमान $= M$ है।
गोली का वेग $= v$ है।
मान लीजिए राइफल का वेग $v_r$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होता है।
चूंकि निकाय (गोली + राइफल) शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
अतः,$m v + M v_r = 0$।
$v_r$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$M v_r = -m v$
$v_r = -\frac{m}{M} v$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि राइफल का प्रतिक्षेप वेग (recoil velocity) गोली के वेग की विपरीत दिशा में है।

(B) रैखिक संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$\Delta p = \int_0^8 F \,dt = F-t \text{ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
ग्राफ से,$t=0$ से $t=2$ तक का क्षेत्रफल $t$-अक्ष के नीचे एक चतुर्थांश वृत्त है (ऋणात्मक क्षेत्रफल)।
$t=2$ से $t=6$ तक का क्षेत्रफल $t$-अक्ष के ऊपर एक अर्धवृत्त है (धनात्मक क्षेत्रफल)।
$t=6$ से $t=8$ तक का क्षेत्रफल $t$-अक्ष के नीचे एक चतुर्थांश वृत्त है (ऋणात्मक क्षेत्रफल)।
वृत्ताकार खंडों की त्रिज्या $r=2$ इकाई है ($F=0$ से $F=2$ या $F=-2$ तक):
चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \pi$.
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.
कुल क्षेत्रफल $= -(\text{क्षेत्रफल}_{0-2}) + (\text{क्षेत्रफल}_{2-6}) - (\text{क्षेत्रफल}_{6-8})$
$\Delta p = -\pi + 2\pi - \pi = 0$.
अतः,$0$ और $8 \,s$ के बीच प्राप्त रैखिक संवेग $0$ है।

(B) मान लीजिए कि पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पिंड का वेग $v$ है,जिससे उसका संवेग $p$ और गतिज ऊर्जा $E$ है।
संवेग $p = mv$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $p^2 = m^2 v^2$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} mv^2$ द्वारा दी जाती है।
हम इसे $E = \frac{m^2 v^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि किसी दिए गए पिंड के लिए $m$ स्थिर है,इसलिए हमारे पास $E \propto p^2$ है।
यह समीकरण $y = kx^2$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,किसी पिंड के संवेग और गतिज ऊर्जा के बीच के ग्राफ की प्रकृति परवलय है।

(C) संयुक्त राष्ट्र ने $2005$ को अंतर्राष्ट्रीय भौतिकी वर्ष के रूप में घोषित किया था।
यह घोषणा अल्बर्ट आइंस्टीन के "चमत्कारी वर्ष" ($Annus$ $Mirabilis$) की $100$ वीं वर्षगांठ मनाने के लिए की गई थी।
$1905$ में, अल्बर्ट आइंस्टीन ने चार क्रांतिकारी वैज्ञानिक शोध पत्र प्रकाशित किए, जिन्होंने अंतरिक्ष, समय और पदार्थ के बारे में हमारी समझ को मौलिक रूप से बदल दिया।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तन $g' = g(1 - 2h/R)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $g' = 9 m s^{-2}$ और $h = R/20$,इसलिए:
$9 = g(1 - 2(R/20)/R) = g(1 - 1/10) = g(9/10)$.
अतः,$g = 10 m s^{-2}$ प्राप्त होता है।
पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तन $g'' = g(1 - d/R)$ होता है।
समान गहराई $d = h = R/20$ के लिए:
$g'' = 10(1 - (R/20)/R) = 10(1 - 1/20) = 10(19/20) = 9.5 m s^{-2}$।

(A) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ दिया गया है कि गुरुत्वीय त्वरण $40 \%$ कम हो जाता है,इसलिए $d$ गहराई पर इसका मान $g_d = g - 0.40g = 0.60g$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $0.60g = g(1 - \frac{d}{R})$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $0.60 = 1 - \frac{d}{R}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{d}{R} = 1 - 0.60 = 0.40$.
अतः,$d = 0.40 \times R$.
चूँकि $R = 6400 \ km$ दिया गया है,इसलिए $d = 0.40 \times 6400 \ km = 2560 \ km$ प्राप्त होता है।

(A) ऊंचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$h = 1600 \ km$ और $R = 6400 \ km$ लेने पर,$g_h = g(1 - 2 \times 1600 / 6400) = g(1 - 0.5) = 0.5g$।
गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - d/R)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$g_d = 0.5 g_h = 0.5 \times 0.5g = 0.25g$।
अतः,$0.25g = g(1 - d/R)$।
$0.25 = 1 - d/R \Rightarrow d/R = 0.75$।
$d = 0.75 \times 6400 \ km = 4800 \ km = 4.8 \times 10^6 \ m$।

(C) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ है,जहाँ $\omega$ पृथ्वी के घूर्णन का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्रुवों पर,अक्षांश $\lambda = 90^\circ$ होता है। इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $g' = g - \omega^2 R \cos^2(90^\circ) = g - 0 = g$ प्राप्त होता है।
चूंकि ध्रुवों पर $g'$ का मान कोणीय वेग $\omega$ से स्वतंत्र है,इसलिए यदि पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमना बंद कर दे तो भी शरीर का वजन $(w = mg')$ नहीं बदलेगा।
अतः,ध्रुवों पर हमारे शरीर के वजन में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(A) दिया गया है: पृथ्वी की त्रिज्या $(R_e)$ $= 6400 \,km$,मंगल की त्रिज्या $(R_m)$ $= 3200 \,km$.
पृथ्वी का द्रव्यमान $(M_e)$ $= 10 M_m$,जहाँ $M_m$ मंगल का द्रव्यमान है।
किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मंगल पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_m)$ और पृथ्वी पर $(g_e)$ का अनुपात:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{G M_m / R_m^2}{G M_e / R_e^2} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{1}{10} \times \left(\frac{6400}{3200}\right)^2 = \frac{1}{10} \times (2)^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
वस्तु का भार $W = mg$ होता है।
पृथ्वी पर दिया गया भार $W_e = m g_e = 200 \,N$.
मंगल पर भार $W_m = m g_m = m \left(\frac{2}{5} g_e\right) = \frac{2}{5} W_e$.
$W_m = \frac{2}{5} \times 200 \,N = 80 \,N$.

(B) दिया गया है कि अक्षांश कोण $\lambda = 45^{\circ}$ है।
अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{\lambda} = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
इस बिंदु पर $m$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का आभासी भार $w = m g_{\lambda} = m(g - \omega^2 R \cos^2 \lambda)$ है।
प्रश्न के अनुसार,व्यक्ति भारहीनता महसूस करता है,इसलिए $w = 0$ है।
अतः,$m(g - \omega^2 R \cos^2 45^{\circ}) = 0$ है।
चूंकि $m \neq 0$,हमें $g - \omega^2 R (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $g - \frac{\omega^2 R}{2} = 0$ हो जाता है।
इससे $\omega^2 = \frac{2g}{R}$ या $\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}$ प्राप्त होता है।
दिन की अवधि (समय अवधि $T$) $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{\sqrt{2g/R}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{2g}} = \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -\frac{G M m}{R}$ द्वारा दी जाती है।
सतह से $h = \frac{R}{3}$ ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}$ होती है।
इस ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -\frac{G M m}{r} = -\frac{G M m}{4R/3} = -\frac{3 G M m}{4R}$ है।
पिंड को ऊपर उठाने में किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_2 - U_1 = \left( -\frac{3 G M m}{4R} \right) - \left( -\frac{G M m}{R} \right)$.
$W = \frac{G M m}{R} - \frac{3 G M m}{4R} = \frac{4 G M m - 3 G M m}{4R} = \frac{G M m}{4R}$.

(D) $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $I = \frac{Gm}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि अनंत द्रव्यमान हैं,बिंदु $O$ पर कुल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता प्रत्येक द्रव्यमान के कारण उत्पन्न तीव्रताओं का योग है:
$I_{total} = \sum \frac{Gm_i}{r_i^2} = G \sum \frac{3}{r_i^2} = 3G \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right)$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
मान रखने पर,$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
अतः,$I_{total} = 3G \times \frac{4}{3} = 4G$.

(C) एक समान गोलीय कोश के अंदर प्रत्येक बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य होता है।
मान लीजिए कि $I_1$ कोश के ऊपरी भाग के कारण बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय क्षेत्र है और $I_2$ कोश के निचले भाग के कारण बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय क्षेत्र है।
संपूर्ण कोश के कारण बिंदु $P$ पर कुल गुरुत्वीय क्षेत्र इसके भागों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है: $\vec{I}_{total} = \vec{I}_1 + \vec{I}_2 = 0$.
चूंकि बिंदु $P$ कटान तल पर स्थित है,इसलिए $\vec{I}_1 + \vec{I}_2 = 0$ की शर्त को पूरा करने के लिए क्षेत्र सदिश $\vec{I}_1$ और $\vec{I}_2$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
अतः,गुरुत्वीय क्षेत्रों के परिमाण समान हैं: $I_1 = I_2$.

(C) एक संरक्षी बल के विरुद्ध बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,$W = U_f - U_i$.
$M$ द्रव्यमान वाले गोले से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = -\frac{GM}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह पर $(r = 1 \ m)$ प्रारंभिक विभव $V_i = -\frac{G \times 1000}{1} = -6.67 \times 10^{-11} \times 1000 = -6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}$ है।
कण को अनंत तक ले जाने के लिए,अंतिम विभव $V_f = -\frac{GM}{\infty} = 0$ होगा।
प्रति इकाई द्रव्यमान किया गया कार्य $W = V_f - V_i = 0 - (-6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}) = 6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}$ है।

(A) गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी द्रव्यमान द्वारा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण होती है।
द्रव्यमान $M$ से $r$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान $m$ की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ का व्यंजक $U = -\frac{G M m}{r}$ है।
चूंकि $U$ दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है और इसमें ऋणात्मक चिह्न है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ का मान बढ़ता है।
जब $r = \infty$ होता है,तो $U = -\frac{G M m}{\infty} = 0$ हो जाता है।
चूंकि अन्य सभी स्थानों पर स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है,इसलिए $0$ गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का अधिकतम संभव मान है।

(C) दिया गया है, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता, $I = (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \text{ N kg}^{-1}$.
वस्तु का द्रव्यमान, $m = 3 \text{ kg}$.
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = m \int_{(0,0)}^{(8,-2)} \vec{I} \cdot d\vec{r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\Delta U = 3 \int_{(0,0)}^{(8,-2)} (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$\Delta U = 3 [5x + 12y]_{(0,0)}^{(8,-2)}$
$\Delta U = 3 [5(8) + 12(-2)] - 3 [5(0) + 12(0)]$
$\Delta U = 3 [40 - 24] = 3 [16] = 48 \text{ J}$.

(D) पृथ्वी के केंद्र से $h$ दूरी पर स्थित उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{h}$ द्वारा दी जाती है।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_0 = -\frac{GMm}{2h}$ होती है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $U = 2 \times (-\frac{GMm}{2h})$.
अतः,स्थितिज ऊर्जा $U = 2 E_0$ होगी।

(A) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि ग्रह का कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहता है।
सूर्य के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क $(\tau)$,$\tau = r \times F$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है जो ग्रह और सूर्य को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है,इसलिए टॉर्क शून्य $(\tau = 0)$ होता है।
संबंध $\tau = \frac{dL}{dt}$ से,यदि $\tau = 0$ है,तो $\frac{dL}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $L$ स्थिर है।
जैसे-जैसे ग्रह एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में घूमता है,सूर्य से उसकी दूरी बदलती रहती है,जिससे उसकी रैखिक गति,कोणीय गति और गतिज ऊर्जा समय के साथ बदलती रहती है।
अतः,कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं और कारण $(R)$,कथन $(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) क्षेत्रीय वेग $A$ को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर ग्रह के स्थिति सदिश द्वारा क्षेत्रफल तय किया जाता है।
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
दोनों पक्षों को ग्रह के द्रव्यमान $M$ से गुणा करने पर:
$MA = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
चूंकि $r$ दूरी पर $M$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I = M r^2$ होता है,इसलिए:
$MA = \frac{1}{2} I \omega$
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = I \omega$ होता है।
समीकरण में $L$ का मान रखने पर:
$MA = \frac{1}{2} L$
अतः,कोणीय संवेग $L$ होगा:
$L = 2MA$

(C) उपग्रह के लिए कक्षीय आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_E}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto r^{3/2}$ है।
एक भूस्थिर उपग्रह के लिए,प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ hrs}$ है।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ है और नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ है।
समानुपातिकता $T \propto r^{3/2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास अनुपात है:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T_2}{24} = \left( \frac{2r_1}{r_1} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
अतः,$T_2 = 24 \times 2\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \text{ hrs}$।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$KE = \frac{G M m}{2 R}$
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि किसी दिए गए निकाय के लिए $G$,$M$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम देख सकते हैं कि:
$KE \propto \frac{1}{R}$
अतः,उपग्रह की गतिज ऊर्जा कक्षा की त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(C) पृथ्वी के घूर्णन के कारण भूमध्य रेखा पर आभासी गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime}$ का सूत्र है:
$g^{\prime} = g_0 - \omega^2 R$
दिया गया है कि आभासी $g^{\prime}$ अपने मूल मान $g_0$ का $(1/6)$ है,इसलिए:
$g^{\prime} = \frac{g_0}{6}$
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{g_0}{6} = g_0 - \omega^2 R$
$\omega^2 R$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\omega^2 R = g_0 - \frac{g_0}{6} = \frac{5}{6} g_0$
$\omega = \sqrt{\frac{5 g_0}{6 R}}$
$g_0 = 9.8 \ m/s^2$ और $R = 6.4 \times 10^6 \ m$ के मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{5 \times 9.8}{6 \times 6.4 \times 10^6}}$
$\omega = \sqrt{\frac{49}{38.4 \times 10^6}} = \sqrt{1.276 \times 10^{-6}}$
$\omega \approx 1.13 \times 10^{-3} \ rad \ s^{-1}$
अतः,कोणीय गति लगभग $1.14 \times 10^{-3} \ rad \ s^{-1}$ है।

(D) $\text{दिया गया है: प्रत्येक पत्थर का द्रव्यमान, } m_1 = m_2 = 2 \,kg$.
$\text{दूरी, } r = 1 \,m$.
$\text{सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक, } G = 6.67 \times 10^{-11} \,N \cdot m^2/kg^2$.
$\text{न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, बल } F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$.
$\text{मान रखने पर: } F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 2}{1^2}$.
$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 4$.
$F = 26.68 \times 10^{-11} \,N = 2.668 \times 10^{-10} \,N$.
$\text{निकटतम मान लेने पर, } F \approx 2.67 \times 10^{-10} \,N$.

(C) नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $dQ_p = n C_p \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_v \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने में उपयोग की गई ऊष्मीय ऊर्जा का अंश अनुपात $\frac{dU}{dQ_p} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_v + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$ है।
अतः,अभीष्ट अंश $\frac{C_v}{C_p} = \frac{\frac{5}{2} R}{\frac{7}{2} R} = \frac{5}{7}$ है।

(C) दिया है:
तांबे के लिए: द्रव्यमान $m_1 = 50 \text{ g} = 0.05 \text{ kg}$,तापमान में वृद्धि $\Delta t_1 = 10^{\circ} \text{C}$,विशिष्ट ऊष्मा $s_1 = 420 \text{ J kg}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$।
पानी के लिए: द्रव्यमान $m_2 = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$,विशिष्ट ऊष्मा $s_2 = 4200 \text{ J kg}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$,मान लीजिए तापमान में वृद्धि $\Delta t_2$ है।
चूंकि दोनों को समान मात्रा में ऊष्मा $Q$ दी जाती है,इसलिए $Q_1 = Q_2$ होगा।
सूत्र $Q = m s \Delta t$ का उपयोग करने पर:
$m_1 s_1 \Delta t_1 = m_2 s_2 \Delta t_2$
मान रखने पर:
$0.05 \times 420 \times 10 = 0.01 \times 4200 \times \Delta t_2$
$210 = 42 \times \Delta t_2$
$\Delta t_2 = \frac{210}{42} = 5^{\circ} \text{C}$।
अतः,पानी के तापमान में वृद्धि $5^{\circ} \text{C}$ है।

(C) मेयर के सूत्र से,हम जानते हैं कि $C_p - C_V = R$,जिसका अर्थ है $C_p = C_V + R$।
नियत आयतन पर,ऊष्मा धारिता $C_V$ को तापमान के सापेक्ष आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$C_V = \frac{d U}{d T}$।
मेयर के सूत्र में $C_V$ के लिए यह मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C_p = \frac{d U}{d T} + R$।

(D) दोनों स्थितियों में गैस की मात्रा समान रहती है। आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 4 \ atm$,$V_1 = 1500 \ m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
$P_2 = 2 \ atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \ K$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{4 \times 1500}{300} = \frac{2 \times V_2}{270}$.
$20 = \frac{V_2}{135}$.
$V_2 = 20 \times 135 = 2700 \ m^3$.

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक दबाव $p_1 = 2 \ Pa$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
माना प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम दबाव $p_2 = 2 \times p_1 = 4 \ Pa$
अंतिम आयतन $V_2 = 2 \times V_1 = 2V$
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$
मान रखने पर:
$\frac{2 \times V}{300} = \frac{4 \times 2V}{T_2}$
$\frac{2V}{300} = \frac{8V}{T_2}$
$T_2 = \frac{8V \times 300}{2V} = 4 \times 300 = 1200 \ K$
अतः,गैस का अंतिम तापमान $1200 \ K$ है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन गुणांक $\alpha$ को $\alpha = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $V = \frac{nRT}{P}$ से,हमें $\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{nR}{PV} = \frac{1}{T}$।
दाब गुणांक $\beta$ को $\beta = \frac{1}{P} \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $P = \frac{nRT}{V}$ से,हमें $\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V = \frac{nR}{V}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta = \frac{1}{P} \left( \frac{nR}{V} \right) = \frac{nR}{PV} = \frac{1}{T}$।
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $\alpha = \beta = \frac{1}{T}$।

(C) दिया गया है,प्रारंभिक दाब,$p_i = p$.
अंतिम दाब,$p_f = \frac{p}{2}$.
प्रारंभिक तापमान,$T = 400 \ K$.
अंतिम तापमान,$T' = 300 \ K$.
गैस का प्रारंभिक द्रव्यमान,$m = 6 \ g$.
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$pV = nRT = \frac{m}{M}RT$.
प्रारंभिक स्थिति: $pV = \frac{m}{M}RT$ $(i)$.
अंतिम स्थिति: $p'V = \frac{m'}{M}RT'$ (ii).
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{p'V}{pV} = \frac{m'RT' / M}{mRT / M} \implies \frac{p'}{p} = \frac{m'T'}{mT}$.
मान रखने पर:
$\frac{p/2}{p} = \frac{m' \times 300}{6 \times 400} \implies \frac{1}{2} = \frac{m' \times 3}{6 \times 4} = \frac{m'}{8}$.
$m' = \frac{8}{2} = 4 \ g$.
बाहर निकली ऑक्सीजन का द्रव्यमान,$\Delta m = m - m' = 6 \ g - 4 \ g = 2 \ g$.

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P$ संबंध $P = \frac{2}{3} \frac{K}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ गैस के अणुओं की कुल गतिज ऊर्जा है और $V$ आयतन है।
चूंकि गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए दबाव $P$ गैस के अणुओं की कुल गतिज ऊर्जा $K$ के सीधे समानुपाती होता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि दबाव कंटेनर की दीवारों के साथ गैस के अणुओं के टकराव से उत्पन्न होता है,और इन टकरावों का बल अणुओं की गतिज ऊर्जा पर निर्भर करता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) एक आदर्श गैस का रूट मीन स्क्वायर वेग $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ है।
वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{v_2 - v_1}{v_1} \right) \times 100 = \left( \frac{v_2}{v_1} - 1 \right) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= (1.1547 - 1) \times 100 = 0.1547 \times 100 = 15.47\% \approx 15.5\%$।

(A) दिया गया है कि पाँच अणुओं की चालें $v_1=1, v_2=2, v_3=3, v_4=4, v_5=5 \ km/s$ हैं।
रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2}{5}} = \sqrt{\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}{5}} = \sqrt{\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5}} = \sqrt{\frac{55}{5}} = \sqrt{11} \ km/s$.
औसत चाल इस प्रकार है:
$v_{av} = \frac{v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5}{5} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \ km/s$.
rms वेग और औसत वेग का अनुपात:
$\frac{v_{rms}}{v_{av}} = \frac{\sqrt{11}}{3} = \sqrt{11}: 3$.

(B) एक बल $F$ जिसके आयताकार घटक $F_x$ और $F_y$ हैं,के लिए संबंध $F^2 = F_x^2 + F_y^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि परिणामी बल $F = 40 \ N$ है और एक घटक $F_x = 20 \sqrt{3} \ N$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(40)^2 = (20 \sqrt{3})^2 + F_y^2$
$1600 = (400 \times 3) + F_y^2$
$1600 = 1200 + F_y^2$
$F_y^2 = 1600 - 1200 = 400$
$F_y = \sqrt{400} = 20 \ N$.
अतः,दूसरा आयताकार घटक $20 \ N$ है।

(D) दिया गया है, ब्लॉक का द्रव्यमान, $m=90 \,kg$.
गुरुत्वीय त्वरण, $g=10 \,ms^{-2}$.
माना डोरियों $A, B$ और $C$ में तनाव क्रमशः $T_A, T_B$ और $T_C$ हैं।
ब्लॉक का भार नीचे की ओर कार्य करता है: $W = mg = 90 \times 10 = 900 \,N$.
चूंकि निकाय संतुलन में है, डोरी $C$ में तनाव भार को संतुलित करेगा: $T_C = 900 \,N$.
अब, उस जंक्शन बिंदु के संतुलन पर विचार करें जहां तीनों डोरियां मिलती हैं। बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर संतुलन: $T_B \sin 37^{\circ} = T_C = 900 \,N$.
चूंकि $\sin 37^{\circ} = 0.6$, इसलिए $T_B \times 0.6 = 900 \Rightarrow T_B = \frac{900}{0.6} = 1500 \,N$.
क्षैतिज संतुलन: $T_A = T_B \cos 37^{\circ}$.
चूंकि $\cos 37^{\circ} = 0.8$, इसलिए $T_A = 1500 \times 0.8 = 1200 \,N$.
अतः, तनाव $T_A = 1200 \,N, T_B = 1500 \,N$ और $T_C = 900 \,N$ हैं।

(D) गोले के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
$\Sigma F_x = P - T \sin \theta = 0 \implies P = T \sin \theta$ ...$(i)$
$\Sigma F_y = T \cos \theta - W = 0 \implies W = T \cos \theta$ ...(ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर,हमें $\frac{P}{W} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$ प्राप्त होता है,इसलिए $P = W \tan \theta$. यह सही है।
सभी बलों का सदिश योग शून्य है,इसलिए $\vec{T} + \vec{P} + \vec{W} = 0$. यह सही है।
$(i)$ और (ii) से,$T^2 \sin^2 \theta + T^2 \cos^2 \theta = P^2 + W^2$,जो $T^2 = P^2 + W^2$ देता है। यह सही है।
व्यंजक $T = P + W$ गलत है क्योंकि बल सदिश राशियाँ हैं और उन्हें तब तक बीजगणितीय रूप से नहीं जोड़ा जा सकता जब तक कि वे एक ही दिशा में न हों।

(B) वस्तु संतुलन में है,इसलिए $x$ और $y$ दोनों दिशाओं में कुल बल शून्य होना चाहिए: $\Sigma F_x = 0$ और $\Sigma F_y = 0$.
चित्र से,बलों को घटकों में विभाजित करने पर:
$\Sigma F_x = 0$ के लिए:
$8 + 4 \cos(60^{\circ}) - F_2 \cos(30^{\circ}) = 0$
$8 + 4(0.5) - F_2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$8 + 2 = F_2(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$10 = F_2(\frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow F_2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ N}$.
$\Sigma F_y = 0$ के लिए:
$F_1 + 4 \sin(60^{\circ}) - F_2 \sin(30^{\circ}) = 0$
$F_1 + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{20}{\sqrt{3}})(\frac{1}{2}) = 0$
$F_1 + 2\sqrt{3} - \frac{10}{\sqrt{3}} = 0$
$F_1 = \frac{10}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{3} = \frac{10 - 2(3)}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ N}$.
अतः,$F_1 = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ N}$ और $F_2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ N}$.

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ होता है।
केबल के बाहर किसी बिंदु के लिए (बाहरी चालक की त्रिज्या से अधिक दूरी $r$ पर),एम्पीरियन लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा केंद्रीय चालक की धारा $(+I)$ और बाहरी चालक की धारा $(-I)$ का योग है।
अतः,$I_{\text{enclosed}} = I + (-I) = 0$ है।
चूँकि $I_{\text{enclosed}} = 0$ है,इसलिए केबल के बाहर चुंबकीय क्षेत्र $B$ शून्य होता है।

(C) तार के $dl = R d\theta$ लंबाई के एक छोटे अवयव पर विचार करें जो वृत्ताकार चाप के केंद्र पर $d\theta$ कोण बनाता है।
इस अवयव पर चुंबकीय बल $dF = I (dl) B = I (R d\theta) B$ है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
तार में तनाव $T$ इस अवयव के दोनों सिरों पर कार्य करता है। छोटे $d\theta$ के लिए तनाव के कारण शुद्ध त्रिज्यीय बल $2 T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx T d\theta$ है।
त्रिज्यीय चुंबकीय बल को तनाव के त्रिज्यीय घटक के बराबर करने पर:
$T d\theta = I B R d\theta$
$T = I B R$
चूंकि तार की कुल लंबाई $L$ है,और यह मानते हुए कि यह एक पूर्ण वृत्त बनाता है,$L = 2 \pi R$,इसलिए $R = \frac{L}{2 \pi}$।
$R$ का मान तनाव समीकरण में रखने पर:
$T = I B (\frac{L}{2 \pi}) = \frac{IBL}{2 \pi}$

(D) एमीटर को गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में कम प्रतिरोध (शंट) जोड़कर बनाया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कुल प्रतिरोध बहुत कम होता है।
वोल्टमीटर को गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणी क्रम में उच्च प्रतिरोध जोड़कर बनाया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कुल प्रतिरोध बहुत अधिक होता है।
वोल्टमीटर की रेंज बढ़ाने के लिए,श्रेणी प्रतिरोध को और अधिक बढ़ाना पड़ता है।
इसलिए,किसी भी एमीटर की तुलना में उच्च वोल्टेज रेंज वाले वोल्टमीटर का प्रतिरोध काफी अधिक होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$10 \ V$ रेंज वाले वोल्टमीटर का प्रतिरोध सबसे अधिक होगा।

(B) $L-C$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = f$ और प्रारंभिक धारिता $C_1 = C$ है।
मान लीजिए नई आवृत्ति $f_2$ और नई धारिता $C_2 = 4C$ है।
समानुपातिकता $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$ का उपयोग करते हुए,हमें अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{C}{4C}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,नई अनुनाद आवृत्ति $f_2 = \frac{f}{2}$ होगी।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक आवृत्ति, $f_1 = 50 \, Hz$.
प्रारंभिक प्रतिघात, $X_1 = 10 \, \Omega$.
अंतिम आवृत्ति, $f_2 = 200 \, Hz$.
हम जानते हैं कि प्रेरक प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ होता है।
चूँकि $L$ स्थिर है, इसलिए $X_L \propto f$ होगा।
अतः, $\frac{X_2}{X_1} = \frac{f_2}{f_1}$.
मान रखने पर: $\frac{X_2}{10} = \frac{200}{50}$.
$\frac{X_2}{10} = 4$.
$X_2 = 4 \times 10 = 40 \, \Omega$.

(D) दिया गया है: धारिता $C = 196 \text{ pF} = 196 \times 10^{-12} \text{ F}$।
प्रेरकत्व $L = 441 \text{ } \mu\text{H} = 441 \times 10^{-6} \text{ H}$।
$L-C$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{441 \times 10^{-6} \times 196 \times 10^{-12}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(21^2 \times 14^2) \times 10^{-18}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 21 \times 14 \times 10^{-9}}$
$f = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 294 \times 10^{-9}}$
$f \approx \frac{1}{1847.25 \times 10^{-9}} \approx 0.5413 \times 10^6 \text{ Hz} = 5.41 \times 10^5 \text{ Hz}$।

(A) दिया गया है: धारिता,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$.
प्रेरकत्व,$L = 400 \ \mu H = 400 \times 10^{-6} \ H$.
अनुनादी $L-C$ परिपथ की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
विकिरित विद्युत चुम्बकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और आवृत्ति के बीच संबंध $\lambda = \frac{c}{f}$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ प्रकाश की गति है।
$f$ का व्यंजक रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lambda = c \times 2 \pi \sqrt{LC}$.
मान रखने पर: $\lambda = 3 \times 10^8 \times 2 \times 3.14 \times \sqrt{400 \times 10^{-12} \times 400 \times 10^{-6}}$.
$\lambda = 3 \times 10^8 \times 6.28 \times \sqrt{160000 \times 10^{-18}}$.
$\lambda = 3 \times 10^8 \times 6.28 \times 400 \times 10^{-9}$.
$\lambda = 3 \times 6.28 \times 400 \times 10^{-1} = 753.6 \ m \approx 754 \ m$.

(A) दिया गया वोल्टेज $V = 200 V$,$RMS$ वोल्टेज $(V_{rms})$ है।
शिखर वोल्टेज का सूत्र $V_{peak} = \sqrt{2} \times V_{rms}$ है।
मान रखने पर,$V_{peak} = 1.414 \times 200 = 282.8 V$.
शिखर धारा $I_{peak} = \frac{V_{peak}}{R}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$I_{peak} = \frac{282.8}{280} \approx 1.01 A$.
अतः,शिखर धारा लगभग $1 A$ है।

(A) चूंकि प्रतिरोधक और प्रेरक (inductor) $AC$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $(V_L)$,प्रतिरोधक के विभवांतर $(V_R)$ से $90^{\circ}$ कला (phase) में आगे रहता है।
$RL$ श्रेणी परिपथ के फेजर आरेख के अनुसार,कुल विभवांतर $V$ सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
दिया गया है कि कुल विभवांतर $V = 20 V$ और प्रतिरोधक का विभवांतर $V_R = 12 V$ है,अतः:
$20 = \sqrt{12^2 + V_L^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$400 = 144 + V_L^2$
$V_L^2 = 400 - 144 = 256$
$V_L = \sqrt{256} = 16 V$
अतः,कुंडली के सिरों पर विभवांतर $16 V$ है।

(C) केवल धारिता वाले $AC$-परिपथ में,धारा हमेशा वोल्टेज से $90^{\circ}$ के कला कोण (phase angle) से आगे होती है।
यह इसलिए होता है क्योंकि संधारित्र पर आवेश $q$,वोल्टेज $V$ से $q = CV$ द्वारा संबंधित होता है।
धारा $I$ आवेश के परिवर्तन की दर है,$I = dq/dt = C(dV/dt)$।
यदि $V = V_0 \sin(\omega t)$ है,तो $I = C \omega V_0 \cos(\omega t) = I_0 \sin(\omega t + 90^{\circ})$ प्राप्त होता है।
अतः,धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।

(B) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,प्रत्यावर्ती वोल्टेज $V = V_0 \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ में प्रत्यावर्ती धारा $I = I_0 \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$ द्वारा दी जाती है।
इन दो समीकरणों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि धारा $EMF$ (वोल्टेज) से $\frac{\pi}{2}$ के कला कोण से पीछे है।
अतः,धारा और $EMF$ के बीच का कलांतर $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) कोणीय आवृत्ति $\omega$ पर,$RC$ श्रेणी परिपथ में धारा $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}}$ ... $(i)$
जब आवृत्ति को बदलकर $\omega' = \frac{\omega}{3}$ कर दिया जाता है,तो नया प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_C$ हो जाता है। नई धारा $I' = \frac{I}{2}$ है।
अतः,$\frac{I}{2} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$
$3R^2 = 5X_C^2$
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$
$\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए, $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ के अनुरूप होती है।
पहली उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ है।
इस अवस्था से परमाणु को आयनित करने के लिए, हमें इलेक्ट्रॉन को $0 \text{ eV}$ के ऊर्जा स्तर (अनंत) तक लाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
अतः, आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = 0 - (-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ है।

(B) स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) Z^2$ है।
लायमन श्रेणी के लिए,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था में संक्रमण करता है,इसलिए $n_1 = 1$ है।
लायमन श्रेणी की प्रथम स्पेक्ट्रमी रेखा प्रथम उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण के अनुरूप है,इसलिए $n_2 = 2$ है।
हाइड्रोजन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) (1)^2 = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$।
अतः,$\lambda = \frac{4}{3R}$।
यह दिया गया है कि $\frac{1}{R} \approx 911.6 \mathring A$ (जिसे अक्सर $912 \mathring A$ के रूप में लिया जाता है),इसलिए:
$\lambda = \frac{4}{3} \times 911.6 \mathring A \approx 1215.5 \mathring A$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $1215 \mathring A$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 eV$ है।
जब $\Delta E = 12.1 eV$ ऊर्जा प्रदान की जाती है,तो इलेक्ट्रॉन एक उच्च ऊर्जा स्तर $n$ में उत्तेजित हो जाता है,जहाँ $E_n = E_1 + \Delta E$ होता है।
$E_n = -13.6 eV + 12.1 eV = -1.5 eV$।
सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} eV$ का उपयोग करने पर,हमें $-\frac{13.6}{n^2} = -1.5$ प्राप्त होता है।
$n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.07$,जिसका अर्थ है $n = 3$।
इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n = 3)$ में उत्तेजित होता है।
जब इलेक्ट्रॉन $n$ अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ रखने पर,हमें $N = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ रेखाएँ प्राप्त होती हैं।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार,ऊर्जा स्तरों को मुख्य क्वांटम संख्या $n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सबसे आंतरिक कक्षा मूल अवस्था (ground state) के अनुरूप है,जहाँ $n=1$ होता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन किसी उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2 > 1)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में आता है।
स्पेक्ट्रल रेखाओं के इस विशिष्ट समूह को लाइमन श्रेणी के रूप में जाना जाता है।

(B) रिडबर्ग नियतांक $R$ का सूत्र इस प्रकार है: $R = \frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$।
यह नियतांक मूलभूत भौतिक नियतांकों जैसे इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m)$,मूल आवेश $(e)$,निर्वात की विद्युतशीलता $(\varepsilon_0)$,प्लांक नियतांक $(h)$,और प्रकाश की गति $(c)$ से प्राप्त होता है।
चूंकि ये सभी सार्वत्रिक नियतांक हैं,इसलिए रिडबर्ग नियतांक सभी हाइड्रोजन और हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं (एक इलेक्ट्रॉन वाले आयनों) के लिए समान रहता है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{v_1}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_1$ मूल अवस्था $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन का वेग है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,मूल अवस्था में वेग $v_1 = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h} \approx 2.188 \times 10^6 \ m/s$ होता है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के संगत होती है।
अतः,प्रथम उत्तेजित अवस्था में वेग $v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{2.188 \times 10^6}{2} = 1.094 \times 10^6 \ m/s$ है।
इस चाल का प्रकाश की चाल $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ के साथ अनुपात:
अनुपात $= \frac{v_2}{c} = \frac{1.094 \times 10^6}{3 \times 10^8} \approx 0.3646 \times 10^{-2} = 3.646 \times 10^{-3}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही अनुपात $3.6 \times 10^{-3}$ है।

(C) बोर के दूसरे अभिगृहीत के अनुसार,एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $L$,$\frac{h}{2\pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
गणितीय रूप से,इसे $L = mvr = n\frac{h}{2\pi}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, ...)$,$h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
अतः,कोणीय संवेग $\frac{h}{2\pi}$ का एक पूर्णांक गुणज है।

(A) संघट्ट प्राचल $b$ का सूत्र है: $b = \frac{Z e^2 \cot(\theta/2)}{4 \pi \varepsilon_0 (\frac{1}{2} m v^2)}$।
$\theta = 180^{\circ}$ के कोण पर प्रकीर्णन के लिए,$\cot(180^{\circ}/2) = \cot(90^{\circ}) = 0$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $b = 0$ प्राप्त होता है।
शून्य संघट्ट प्राचल का अर्थ है कि $\alpha$-कण सीधे नाभिक के केंद्र की ओर निर्देशित है,जिससे सम्मुख टक्कर (head-on collision) होती है और कण $180^{\circ}$ पर वापस लौट आता है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(D) बल $F$ स्थितिज ऊर्जा $U$ से $F = -\frac{dU}{dR}$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है $U = \frac{K e^2}{3 R^3}$,इसलिए $F = -\frac{d}{dR} \left( \frac{K e^2}{3 R^3} \right) = \frac{K e^2}{R^4}$.
यह बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{m v^2}{R} = \frac{K e^2}{R^4}$.
अतः,$v^2 = \frac{K e^2}{m R^3}$.
बोहर के क्वांटाइजेशन सिद्धांत के अनुसार,$m v R = \frac{n h}{2 \pi}$,इसलिए $v = \frac{n h}{2 \pi m R}$.
$v$ का मान $v^2$ के समीकरण में रखने पर: $\left( \frac{n h}{2 \pi m R} \right)^2 = \frac{K e^2}{m R^3}$.
$\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 R^2} = \frac{K e^2}{m R^3}$.
$R$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $R = \frac{4 \pi^2 K e^2 m}{n^2 h^2}$ (नोट: विकल्पों में सुधार आवश्यक है,सही उत्तर $R = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 K e^2 m}$ है)।

(D) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$ हैं,इसलिए $n_i$ से $n_f$ तक संक्रमण के लिए ऊर्जा अंतर $\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
उत्सर्जन तब होता है जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निचले ऊर्जा स्तर (नीचे की ओर तीर) में जाता है।
आरेख को देखने पर:
संक्रमण $(II)$ $n=4$ से $n=3$ है।
संक्रमण $(III)$ $n=2$ से $n=1$ है।
संक्रमण $(IV)$ $n=3$ से $n=2$ है।
संक्रमण $(I)$ एक अवशोषण है (ऊपर की ओर तीर),इसलिए यह उत्सर्जन का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
ऊर्जा अंतर की तुलना करने पर:
$(II)$ के लिए: $\Delta E \propto (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2}) = (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = \frac{7}{144} \approx 0.0486$.
$(III)$ के लिए: $\Delta E \propto (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = (1 - 0.25) = 0.75$.
$(IV)$ के लिए: $\Delta E \propto (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5}{36} \approx 0.1389$.
मानों की तुलना करने पर,संक्रमण $(III)$ में ऊर्जा का अंतर सबसे अधिक है,जो सबसे अधिक ऊर्जा वाले फोटॉन के उत्सर्जन के अनुरूप है।

(A) पानी का परावैद्युतांक,$k = 80$ है।
निर्वात में $R$ त्रिज्या वाले गोले की धारिता $C = 4 \pi \varepsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है।
गोले की परिधि,$L = 2 \pi R = 3 \ m$ है।
अतः,गोले की त्रिज्या $R = \frac{3}{2 \pi} \ m$ है।
निर्वात में धारिता,$C = 4 \pi \varepsilon_0 \times \frac{3}{2 \pi} = 6 \varepsilon_0 \ F$ है।
पानी में गोले की धारिता,$C' = k \times C$ होगी।
$C' = 80 \times 6 \varepsilon_0 = 480 \varepsilon_0 \ F$।
$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ F/m$ का मान रखने पर:
$C' = 480 \times 8.854 \times 10^{-12} \ F = 4249.92 \times 10^{-12} \ F \approx 4250 \ pF$।

(B) प्रारंभिक धारिता $C = 60 \ \mu F$ है। प्रारंभिक विभव $V = 250 \ V$ है। आवेश $q = CV = 60 \ \mu F \times 250 \ V = 15000 \ \mu C$ है।
जब $t = 3 \ mm$ मोटाई और $K = 5$ परावैद्युतांक वाली एक स्लैब को $d = 6 \ mm$ दूरी वाली प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $C' = C \left[ \frac{d}{d - t + \frac{t}{K}} \right] = 60 \ \mu F \left[ \frac{6}{6 - 3 + \frac{3}{5}} \right] = 60 \ \mu F \left[ \frac{6}{3.6} \right] = 100 \ \mu F$ है।
चूंकि चार्जिंग स्रोत हटा दिया गया है,आवेश $q$ स्थिर रहता है। अतः,$q = C'V' \Rightarrow 15000 \ \mu C = 100 \ \mu F \times V' \Rightarrow V' = 150 \ V$ है।
विभवांतर में परिवर्तन $\Delta V = V - V' = 250 \ V - 150 \ V = 100 \ V$ है।

(A) दिया गया है कि संधारित्र की धारिता $C = 0.75 \mu F = 0.75 \times 10^{-6} \ F$ है।
अनुप्रयुक्त वोल्टेज $V = 20 \ V$ है।
संधारित्र की प्रत्येक प्लेट पर संचित आवेश $Q$ का सूत्र $Q = C \times V$ है।
सूत्र में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = (0.75 \times 10^{-6} \ F) \times (20 \ V)$
$Q = 15 \times 10^{-6} \ C$
$Q = 15 \mu C$.
अतः,प्रत्येक प्लेट पर आवेश का परिमाण $15 \mu C$ है।

(A) परिपथ को चित्रानुसार सरल करने पर,$10 \ \mu F$,$5 \ \mu F$ और $9 \ \mu F$ के संधारित्र बिंदु $C$ और $D$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं। इसलिए,$C$ और $D$ के बीच तुल्य धारिता:
$C_{CD} = 10 \ \mu F + 5 \ \mu F + 9 \ \mu F = 24 \ \mu F$
अब,$12 \ \mu F$,$24 \ \mu F$ (जो $C_{CD}$ है) और $8 \ \mu F$ के संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1 + 3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \ \mu F^{-1}$
$\Rightarrow C_{eq} = 4 \ \mu F$
परिपथ में प्रवाहित कुल आवेश $Q$:
$Q = C_{eq} \times V_{AB} = 4 \ \mu F \times 80 \ V = 320 \ \mu C$
चूंकि $12 \ \mu F$,$24 \ \mu F$ और $8 \ \mu F$ के संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक शाखा से समान आवेश $Q = 320 \ \mu C$ प्रवाहित होगा।
$CD$ के बीच विभवांतर:
$V_{CD} = \frac{Q}{C_{CD}} = \frac{320 \ \mu C}{24 \ \mu F} = \frac{40}{3} \ V$
$10 \ \mu F$ के संधारित्र पर आवेश $q$:
$q = 10 \ \mu F \times V_{CD} = 10 \ \mu F \times \frac{40}{3} \ V = \frac{400}{3} \ \mu C \approx 133.33 \ \mu C$
अतः,तुल्य धारिता $4 \ \mu F$ है और $10 \ \mu F$ के संधारित्र पर आवेश लगभग $133 \ \mu C$ है।

(D) परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं जो $30 \ V$ के स्रोत से जुड़ी हैं।
शाखा $1$ में $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 1.5}{1 + 1.5} = \frac{1.5}{2.5} = 0.6 \ \mu F$ है।
इस शाखा पर आवेश $q = C_{eq1} \times V = 0.6 \ \mu F \times 30 \ V = 18 \ \mu C$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $a$ पर विभव $V_A - V_a = \frac{q}{C_1} = \frac{18 \ \mu C}{1 \ \mu F} = 18 \ V$ है।
शाखा $2$ में $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq2} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{2.5 \times 0.5}{2.5 + 0.5} = \frac{1.25}{3} = \frac{5}{12} \ \mu F$ है।
इस शाखा पर आवेश $q' = C_{eq2} \times V = \frac{5}{12} \ \mu F \times 30 \ V = 12.5 \ \mu C$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $b$ पर विभव $V_A - V_b = \frac{q'}{C_3} = \frac{12.5 \ \mu C}{2.5 \ \mu F} = 5 \ V$ है।
$a$ और $b$ के बीच विभवांतर $V_a - V_b = (V_A - V_b) - (V_A - V_a) = 5 \ V - 18 \ V = -13 \ V$ है।
विभवांतर का परिमाण $|V_a - V_b| = 13 \ V$ है।

(B) और $B$ के बीच तुल्य धारिता ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को दाईं ओर से बाईं ओर सरल करते हैं।
$1$. सबसे दाईं शाखा में $1 \mu F$ और $2 \mu F$ के दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1 = 1 + 2 = 3 \mu F$ है।
$2$. अब,यह $3 \mu F$ ऊपर वाले $3 \mu F$ संधारित्र और नीचे वाले $3 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। इन तीनों की श्रेणी क्रम में तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq1} = 1 \mu F$ है।
$3$. यह $1 \mu F$,$2 \mu F$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_2 = 1 + 2 = 3 \mu F$ है।
$4$. अब,यह $3 \mu F$ ऊपर वाले अगले $3 \mu F$ संधारित्र और नीचे वाले $3 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq2}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq2} = 1 \mu F$ है।
$5$. यह $1 \mu F$,$2 \mu F$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_3 = 1 + 2 = 3 \mu F$ है।
$6$. अंत में,यह $3 \mu F$ ऊपर वाले पहले $3 \mu F$ संधारित्र और नीचे वाले $3 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। कुल तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq} = 1 \mu F$ है।

(B) दिया गया है,समान धारिता $C$ वाले दो संधारित्र।
श्रेणी क्रम में,तुल्य धारिता $C_S$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_S = \frac{C}{2}$
समांतर क्रम में,तुल्य धारिता $C_P$ इस प्रकार है:
$C_P = C + C = 2C$
परिणामी धारिता का अनुपात:
$\frac{C_P}{C_S} = \frac{2C}{C/2} = \frac{4}{1} = 4:1$
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
समांतर क्रम में,$C_P = 2C > C$,इसलिए धारिता बढ़ती है।
श्रेणी क्रम में,$C_S = C/2 < C$,इसलिए धारिता घटती है।
अतः,कारण $(R)$ भी सत्य है,लेकिन यह $4:1$ के अनुपात के लिए गणितीय व्युत्पत्ति प्रदान करने के बजाय संधारित्रों के संयोजन के सामान्य व्यवहार का वर्णन करता है। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) दिया है: प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 2 \times 10^{-6} \ F$ है।
प्रत्येक संधारित्र की भंजन वोल्टता $V = 5000 \ V$ है।
जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_S$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$
$C_S = \frac{C}{2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{2} = 10^{-6} \ F$।
जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो संयोजन की कुल भंजन वोल्टता व्यक्तिगत भंजन वोल्टताओं का योग होती है:
$V_S = V + V = 5000 \ V + 5000 \ V = 10000 \ V$।

(B) दिया गया है,उच्चतम मॉड्यूलेटिंग आवृत्ति,$f_m = 5 kHz = 5 \times 10^3 Hz$ है।
एम्प्लिट्यूड मॉड्यूलेटेड तरंग के लिए,एक स्टेशन के लिए आवश्यक बैंडविड्थ $BW = 2 f_m$ होती है।
अतः,$BW = 2 \times 5 kHz = 10 kHz = 10^4 Hz$ है।
कुल उपलब्ध बैंडविड्थ $f = 150 kHz = 150 \times 10^3 Hz$ है।
समायोजित किए जा सकने वाले स्टेशनों की संख्या कुल बैंडविड्थ और प्रति स्टेशन बैंडविड्थ के अनुपात द्वारा प्राप्त की जाती है।
स्टेशनों की संख्या $= \frac{f}{BW} = \frac{150 kHz}{10 kHz} = 15$।

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 800 \,nm = 800 \times 10^{-9} \,m$। प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \,m/s$।
स्रोत की आवृत्ति $f = c / \lambda = (3 \times 10^8) / (800 \times 10^{-9}) = 3.75 \times 10^{14} \,Hz$।
उपलब्ध सिग्नल बैंडविड्थ स्रोत आवृत्ति का $1 \%$ है:
बैंडविड्थ $= 0.01 \times 3.75 \times 10^{14} = 3.75 \times 10^{12} \,Hz$।
एक टीवी चैनल के लिए आवश्यक बैंडविड्थ $= 6 \,MHz = 6 \times 10^6 \,Hz$।
चैनलों की संख्या $= \text{कुल बैंडविड्थ} / \text{एक चैनल की बैंडविड्थ} = (3.75 \times 10^{12}) / (6 \times 10^6) = 0.625 \times 10^6 = 6.25 \times 10^5$।
विकल्पों के रूप में व्यक्त करने पर: $6.25 \times 10^5 = (1/16) \times 10^7 = 0.0625 \times 10^7$।

(A) माना $A_c$ वाहक तरंग (carrier wave) का आयाम है और $A_m$ मॉडुलन तरंग (modulating wave) का आयाम है।
दिया गया है कि अधिकतम आयाम $A_{max} = A_c + A_m = 15 V$ है।
दिया गया है कि न्यूनतम आयाम $A_{min} = A_c - A_m = 5 V$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(A_c + A_m) + (A_c - A_m) = 15 V + 5 V$।
$2 A_c = 20 V \Rightarrow A_c = 10 V$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(A_c + A_m) - (A_c - A_m) = 15 V - 5 V$।
$2 A_m = 10 V \Rightarrow A_m = 5 V$।
अतः,मॉडुलन तरंग का आयाम $5 V$ है।

(A) संचार प्रणाली (communication system) में,इलेक्ट्रॉनिक सर्किट का उपयोग करके सिग्नल के आयाम (amplitude) या शक्ति को बढ़ाने की प्रक्रिया को एम्प्लीफिकेशन कहा जाता है। यह आमतौर पर एक एम्प्लीफायर सर्किट का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।

(B) दिया गया है, एंटीना की लंबाई, $l = 4 \, m$.
सिग्नल की तीव्रता, $I = 8 \times 10^{-16} \, W/m^2$.
विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता का सूत्र $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$ है, जहाँ $E_0$ अधिकतम विद्युत क्षेत्र का आयाम है।
$E_0$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$.
मान रखने पर ($\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$, $c = 3 \times 10^8 \, m/s$):
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 8 \times 10^{-16}}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{16 \times 10^{-16}}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{0.6026 \times 10^{-12}} \approx 0.776 \times 10^{-6} \, V/m$.
एंटीना पर अधिकतम विभवांतर $V_0 = E_0 \times l$ है।
$V_0 = 0.776 \times 10^{-6} \, V/m \times 4 \, m = 3.104 \times 10^{-6} \, V \approx 3.1 \, \mu V$.

(A) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu = 0.5 = \frac{1}{2}$ है।
एम्प्लीट्यूड मॉड्यूलेटेड तरंग में,साइडबैंड का एम्प्लीट्यूड $(A_{SB})$ और कैरियर तरंग का एम्प्लीट्यूड $(A_C)$ का संबंध $A_{SB} = \frac{\mu A_C}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,साइडबैंड के एम्प्लीट्यूड और कैरियर तरंग के एम्प्लीट्यूड का अनुपात $\frac{A_{SB}}{A_C} = \frac{\mu}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$ है।
प्रश्न में कैरियर तरंग के एम्प्लीट्यूड और साइडबैंड के एम्प्लीट्यूड का अनुपात पूछा गया है,जो $\frac{A_C}{A_{SB}} = \frac{4}{1} = 4:1$ है।

(A) मान लीजिए कि सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। एमीटर सेल के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,इसलिए परिपथ का कुल प्रतिरोध $(R + r)$ होगा,जहाँ $R = 0.06 \ \Omega$ एमीटर का प्रतिरोध है।
पूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,emf $E = I(R + r)$ होता है।
यहाँ $E = 1.8 \ V$,$I = 17 \ A$ और $R = 0.06 \ \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर: $1.8 = 17(0.06 + r)$.
$1.8 = 1.02 + 17r$.
$17r = 1.8 - 1.02 = 0.78$.
$r = \frac{0.78}{17} \approx 0.04588 \ \Omega$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$r \approx 0.046 \ \Omega$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,विद्युत धारा,$I = 9 \,A$.
मान लीजिए कि $t$ समय में एक चालक से गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n$ है।
हम जानते हैं कि,$I = \frac{q}{t}$ और $q = ne$.
इसलिए,$I = \frac{ne}{t}$.
प्रति सेकंड इलेक्ट्रॉनों की संख्या के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{n}{t} = \frac{I}{e}$.
मान रखने पर,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है:
$\frac{n}{t} = \frac{9}{1.6 \times 10^{-19}} = 5.625 \times 10^{19} \approx 5.6 \times 10^{19}$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड।

(B) दिया गया है: तार की लंबाई $l = 3 \,m$,अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 6.14 \times 10^{-6} \,m^2$,धारा $I = 6 \,A$,परमाणु भार $M = 108 \,g/mol = 0.108 \,kg/mol$,घनत्व $\rho = 10500 \,kg/m^3$,आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.023 \times 10^{23} /mol$,इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
प्रति इकाई आयतन परमाणुओं की संख्या $n = \frac{\rho N_A}{M}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रत्येक परमाणु एक इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है,प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{10500 \times 6.023 \times 10^{23}}{0.108} \approx 5.86 \times 10^{28} \,m^{-3}$ है।
अपवाह वेग $v_d$ का सूत्र $I = n e A v_d$ है।
$v_d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v_d = \frac{I}{n e A}$.
मान रखने पर: $v_d = \frac{6}{(5.86 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.14 \times 10^{-6})}$.
$v_d = \frac{6}{5.86 \times 1.6 \times 6.14 \times 10^{3}} \approx \frac{6}{57.56 \times 10^3} \approx 1.04 \times 10^{-4} \,m/s$.
अतः,अपवाह वेग $10^{-4} \,m/s$ के करीब है।

(A) विभवमापी तार पर विभव पतन $V = I \cdot R_{wire} = \frac{E_{main}}{R_{main} + R_{wire}} \cdot R_{wire}$ द्वारा दिया जाता है।
संतुलन बिंदु को उच्च तार संख्या (अधिक लंबाई) पर स्थानांतरित करने के लिए,विभव प्रवणता $(x = V/L)$ को कम करना आवश्यक है।
चूंकि $x = \frac{V}{L} = \frac{I \cdot \rho}{A}$,प्राथमिक परिपथ में धारा $I$ को कम करने से विभव प्रवणता कम हो जाएगी।
मुख्य (प्राथमिक) परिपथ में प्रतिरोध बढ़ाकर,धारा $I$ कम हो जाती है,जिससे विभव प्रवणता कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,द्वितीयक सेल के समान emf को संतुलित करने के लिए तार की अधिक लंबाई की आवश्यकता होती है।
इसलिए,हमें मुख्य परिपथ में प्रतिरोध बढ़ाना चाहिए।

(A) दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R_G = 40 \Omega$, शंट प्रतिरोध $R_S = 2 \Omega$, संवेदनशीलता $= 10 \text{ div/mA}$, कुल विभाजन $n = 50$.
बिना शंट के गैल्वेनोमीटर द्वारा मापी जा सकने वाली अधिकतम धारा $I_G = \frac{50 \text{ div}}{10 \text{ div/mA}} = 5 \text{ mA}$ है।
जब समानांतर में शंट $R_S$ जोड़ा जाता है, तो कुल धारा $I$ गैल्वेनोमीटर और शंट के बीच विभाजित हो जाती है।
समानांतर परिपथ के सिद्धांत के अनुसार, गैल्वेनोमीटर और शंट के सिरों पर वोल्टेज समान होता है: $I_G R_G = I_S R_S$.
चूंकि $I = I_G + I_S$, इसलिए $I_S = I - I_G$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $I_G R_G = (I - I_G) R_S$.
$I$ के लिए हल करने पर: $I = I_G \left( 1 + \frac{R_G}{R_S} \right) = I_G \left( \frac{R_G + R_S}{R_S} \right)$.
मान रखने पर: $I = 5 \text{ mA} \times \left( \frac{40 + 2}{2} \right) = 5 \times \frac{42}{2} = 5 \times 21 = 105 \text{ mA}$.

(A) दिया गया है, सेल के emf के साथ संतुलन लंबाई $l_1 = 250 \, cm$ है।
सेल को $R$ प्रतिरोध के साथ शंट करने पर संतुलन लंबाई $l_2 = 125 \, cm$ है।
शंट प्रतिरोध $R = 2 \, \Omega$ है।
माना सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
विभवमापी का उपयोग करके आंतरिक प्रतिरोध का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$r = 2 \left( \frac{250}{125} - 1 \right)$
$r = 2 (2 - 1)$
$r = 2 \times 1 = 2 \, \Omega$.
अतः, सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \, \Omega$ है।

(A) पोटेंशियोमीटर में,तार की $l$ लंबाई पर विभव पतन (potential drop) $V = IR = I(\rho \frac{l}{A})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक समान पोटेंशियोमीटर तार के लिए धारा $I$,प्रतिरोधकता $\rho$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहते हैं,इसलिए विभव पतन $V$ तार की लंबाई $l$ के सीधे समानुपाती होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु पर,सेल का विद्युत वाहक बल $\varepsilon$ तार की $l$ लंबाई पर विभव पतन के बराबर होता है।
इसलिए,$\varepsilon = V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
इसका अर्थ है कि $\varepsilon \propto l$।

(B) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,जो आवेश संरक्षण के नियम पर आधारित है,किसी भी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
गणितीय रूप से,$\sum I = 0$।
जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं को धनात्मक और जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं को ऋणात्मक लेने पर:
प्रवेश करने वाली धाराएँ: $5$ $A$ और $4$ $A$।
बाहर निकलने वाली धाराएँ: $3$ $A$,$5$ $A$ और अज्ञात धारा $I_Q$ (मान लीजिए कि यह $P$ से $Q$ की ओर निकलती है)।
बिंदु $P$ पर जंक्शन नियम लागू करने पर:
$(+5) + (+4) + (-3) + (-5) - I_Q = 0$
$9 - 8 - I_Q = 0$
$1 - I_Q = 0$
$I_Q = 1$ $A$।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए हमारी यह धारणा कि धारा $P$ से $Q$ की ओर निकलती है,सही है।
अतः,$1$ $A$ की धारा $P$ से $Q$ की ओर प्रवाहित हो रही है।

(B) माना कि $15 \,V$ और $30 \,V$ की बैटरी से प्रवाहित होने वाली धाराएँ क्रमशः $i_1$ और $i_2$ हैं,जैसा कि परिपथ आरेख में दिखाया गया है।
जंक्शन $B$ पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,शाखा $BD$ से गुजरने वाली कुल धारा है:
$i_3 = i_1 + i_2$ ...$(i)$
लूप $ABDA$ में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
$15 - 6 i_1 - 3(i_1 + i_2) = 0$
$15 - 6 i_1 - 3 i_1 - 3 i_2 = 0$
$9 i_1 + 3 i_2 = 15$
$3 i_1 + i_2 = 5$ ...(ii)
लूप $CBDC$ में $KVL$ को लागू करने पर:
$30 - 3 i_2 - 3(i_1 + i_2) = 0$
$30 - 3 i_2 - 3 i_1 - 3 i_2 = 0$
$3 i_1 + 6 i_2 = 30$
$i_1 + 2 i_2 = 10$ ...(iii)
समीकरण (ii) और (iii) को हल करने पर:
समीकरण (ii) से,$i_2 = 5 - 3 i_1$. इस मान को समीकरण (iii) में रखने पर:
$i_1 + 2(5 - 3 i_1) = 10$
$i_1 + 10 - 6 i_1 = 10$
$-5 i_1 = 0 \Rightarrow i_1 = 0 \,A$
$i_1 = 0$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$3(0) + i_2 = 5 \Rightarrow i_2 = 5 \,A$
अतः,शाखा $BD$ से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा है:
$i_3 = i_1 + i_2 = 0 + 5 = 5 \,A$

(A) धातुओं में,चालकता मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गति के कारण होती है। जब तापमान बढ़ता है,तो जालक (lattice) में धातु के आयनों (परमाणुओं) का कंपन बढ़ जाता है। इसके परिणामस्वरूप गतिमान इलेक्ट्रॉनों और कंपन करते हुए आयनों के बीच अधिक बार टक्कर होती है। फलस्वरूप,धातु का प्रतिरोध बढ़ जाता है,जिसके कारण चालकता में कमी आती है।

(C) दिया गया है: घन की भुजा की लंबाई,$l = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m} = 60 \times 10^{-2} \text{ m}$.
पदार्थ की प्रतिरोधकता,$\rho = 60 \times 10^{-8} \Omega \text{ m}$.
घन के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = l^2 = (60 \times 10^{-2} \text{ m})^2$ है।
प्रतिरोध का सूत्र $R = \frac{\rho l}{A}$ है।
मान रखने पर:
$R = \frac{60 \times 10^{-8} \times (60 \times 10^{-2})}{(60 \times 10^{-2})^2}$
$R = \frac{60 \times 10^{-8}}{60 \times 10^{-2}}$
$R = 1 \times 10^{-6} \Omega$.

(C) स्थिर अवस्था में,इंडक्टर अपने आंतरिक प्रतिरोध के साथ एक साधारण तार की तरह कार्य करता है। परिपथ का विश्लेषण बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच एक व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में किया जा सकता है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,नोड्स $A, B, C, D$ हैं। इंडक्टर $D$ और $B$ के बीच जुड़ा हुआ है।
ब्रिज के संतुलित होने के लिए,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए।
परिपथ को देखने पर,प्रतिरोध इस प्रकार व्यवस्थित हैं कि इंडक्टर के आर-पार प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_{AD}}{R_{AB}} = \frac{5 \ \Omega}{2 \ \Omega} = 2.5$ और $\frac{R_{DC}}{R_{BC}} = \frac{25 \ \Omega}{10 \ \Omega} = 2.5$ है।
चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय शाखा (इंडक्टर) से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,इंडक्टर से प्रवाहित होने वाली धारा $I = 0 \ A$ है।
इंडक्टर में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है।
$I = 0$ रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} \times 5 \times (0)^2 = 0 \ J$ प्राप्त होता है।

(B) $\text{m}$ द्रव्यमान और $\text{e}$ आवेश वाले प्रोटॉन द्वारा $\text{V}$ विभव के तहत प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = eV$ होती है।
चूंकि $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2meV}$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ है।
मान रखने पर: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $V = 100 \ V$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 100}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-44}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.3117 \times 10^{-22}} \approx 2.866 \times 10^{-12} \ m = 2.86 \ pm$.

(B) तीव्रता $I = 100 \ W \ m^{-2}$ दी गई है। एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या $(N)$ $N = \frac{I}{E} = \frac{I \lambda}{hc}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N = \frac{100 \times 300 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 1.51 \times 10^{20} \ m^{-2} \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2 \%$ आपतित फोटॉन फोटोइलेक्ट्रॉन उत्पन्न करते हैं,इसलिए प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $n' = 0.02 \times N = 0.02 \times 1.51 \times 10^{20} = 3.02 \times 10^{18} \ m^{-2} \ s^{-1}$ है।
$A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$ क्षेत्रफल के लिए,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = n' \times A = 3.02 \times 10^{18} \times 2 \times 10^{-4} = 6.04 \times 10^{14}$ है।