AP EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે અને સ્થાનાંતર $ds$ હંમેશા વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે,તેથી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ $W = \int F \cdot ds = \int F \cos(90^{\circ}) ds = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા પદાર્થ પર કોઈ કાર્ય થતું નથી.

(B) પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u_1 = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
બીજા દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u_2 = 0 \,m/s$.
દળ $m_1 = 2 \,kg$ અને $m_2 = 3 \,kg$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછીનો સામાન્ય વેગ છે.
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)V \implies 20 = 5V \implies V = 4 \,m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા,$K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 + 0 = 100 \,J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા,$K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો,$\Delta K = K_i - K_f = 100 - 40 = 60 \,J$.

(C) $m$ દળ ધરાવતી કાર માટે $r$ ત્રિજ્યાના વળાંક પર $v$ વેગથી ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F$ નું સૂત્ર: $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
દળ $m = 500 \,kg$
ત્રિજ્યા $r = 50 \,m$
વેગ $v = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{500 \times (10)^2}{50} = \frac{500 \times 100}{50} = 10 \times 100 = 1000 \,N$.
આમ,કેન્દ્રગામી બળ $1000 \,N$ છે.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,$n$ કણો ધરાવતી સિસ્ટમ કે જેમાં $m_i$ દળ ધરાવતા કણો $\vec{r}_i$ સ્થાન પર છે,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}_{cm}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$
જો આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ તરીકે લઈએ,તો $\vec{R}_{cm} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sum m_i \vec{r}_i = 0$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કણની મોમેન્ટ એ તેના દળ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તેના સ્થાન સદિશનો ગુણાકાર છે,જે $m_i \vec{r}_i$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સિસ્ટમના તમામ કણો માટે આ મોમેન્ટ્સનો સરવાળો $\sum m_i \vec{r}_i$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ $\sum m_i \vec{r}_i = 0$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તમામ કણોની મોમેન્ટ્સનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(C) આપેલ છે:
કાર્બન પરમાણુનું દળ,$m_C = 12 amu$
ઓક્સિજન પરમાણુનું દળ,$m_O = 16 amu$
તેમની વચ્ચેનું અંતર,$r = 1.1 Å$
ધારો કે $x$ એ કાર્બન પરમાણુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર છે.
બે કણોની સિસ્ટમ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,કાર્બન પરમાણુથી અંતર $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{m_O \cdot r}{m_C + m_O}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{16 \cdot 1.1}{12 + 16}$
$x = \frac{17.6}{28}$
$x = 0.62857 Å \approx 0.63 Å$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કાર્બન પરમાણુથી $0.63 Å$ ના અંતરે આવેલું છે.

(B) સમાન દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણમાં,કણો તેમના વેગની આપ-લે કરે છે. તેથી,આપાત કણનો વેગ $0$ થઈ જાય છે અને સ્થિર કણ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
આપાત કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v - 0) = mv$ છે.
ઈમ્પલ્સ-મોમેન્ટમ પ્રમેય મુજબ,ઈમ્પલ્સ ($F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ) એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$\text{Area} = \Delta p = mv$.
આપેલ સમલંબ ચતુષ્કોણ $F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left( T + \left( \frac{3T}{4} - \frac{T}{4} \right) \right) \times F_0$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left( T + \frac{2T}{4} \right) \times F_0 = \frac{1}{2} \times \left( T + \frac{T}{2} \right) \times F_0 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{3T}{2} \right) \times F_0 = \frac{3T F_0}{4}$.
ક્ષેત્રફળને વેગમાનના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$\frac{3T F_0}{4} = mv$
$F_0 = \frac{4mv}{3T}$.

(A) રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $(e)$ એ બે અથડાતી વસ્તુઓ વચ્ચેના અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{\text{અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ}}{\text{નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ}}$.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ગતિ ઊર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ એ નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે $e = 1$ થાય છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે $e = 0$ અને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે $0 < e < 1$ હોય છે.

(C) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,બે પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સમાન અંતિમ વેગથી ગતિ કરે છે.
ધારો કે અથડામણ પછી બે પદાર્થોના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. કારણ કે તેઓ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી $v_1 = v_2 = v$.
અથડામણ પછી પદાર્થોનો સાપેક્ષ વેગ તેમના વેગના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$v_{\text{rel}} = v_1 - v_2$
સમીકરણમાં $v_1 = v_2 = v$ મૂકતા:
$v_{\text{rel}} = v - v = 0$
તેથી,અથડામણ પછી પદાર્થોનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય છે.

(A) $\text{આપેલ છે: દળ}$ $m_1 = 3 \,kg$, $\text{વેગ}$ $v_1 = 8 \,ms^{-1}$.
$\text{દળ}$ $m_2 = 1 \,kg$, $\text{વેગ}$ $v_2 = -4 \,ms^{-1}$ ($\text{કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે}$).
$\text{રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.}$
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$(3 \times 8) + (1 \times -4) = (3 + 1) \times v$
$24 - 4 = 4v$
$20 = 4v$
$v = 5 \,ms^{-1}$
$\text{આમ, સામાન્ય વેગ}$ $5 \,ms^{-1}$ $\text{છે.}$

(B) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m_b = 0.03 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $v_b = 700 \,ms^{-1}$. બ્લોકનું દળ $m_B = 4 \,kg$, ઊંચાઈ $h = 0.2 \,m$.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $= m_b v_b = 0.03 \times 700 = 21 \,kg \cdot ms^{-1}$.
ધારો કે અથડામણ પછી ગોળીનો વેગ $v_1$ અને બ્લોકનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $21 = 0.03 v_1 + 4 v_2$ ... $(i)$
બ્લોક માટે, ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} m_B v_2^2 = m_B g h$.
$v_2 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.2} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \,ms^{-1}$.
$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $21 = 0.03 v_1 + 4(1.98)$.
$21 = 0.03 v_1 + 7.92$.
$0.03 v_1 = 13.08$.
$v_1 = \frac{13.08}{0.03} = 436 \,ms^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, ગોળીનો વેગ આશરે $433 \,ms^{-1}$ છે.

(D) સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,કુલ ગતિઊર્જા ફક્ત સંઘાત પહેલાં અને પછી જ સંરક્ષિત રહે છે. સંઘાતના ટૂંકા સમયગાળા દરમિયાન,બોલના આકારમાં વિકૃતિ આવે છે અને ગતિઊર્જાનો કેટલોક ભાગ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,સંપર્ક સમય દરમિયાન ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી.
આથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ એ એક સાર્વત્રિક નિયમ છે જે તમામ ભૌતિક પ્રક્રિયાઓને લાગુ પડે છે,જેમાં ઘર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવતું કાર્ય પણ સામેલ છે (જ્યાં ઊર્જાનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર થાય છે). તેથી,કારણ $(R)$ પણ ખોટું છે.
બંને વિધાનો ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) આપેલ ખૂણો દીવાલ સાથેનો છે,તેથી લંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p$ ફક્ત દીવાલને લંબ દિશામાં જ થાય છે.
દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin(60^{\circ}) = v \cos(30^{\circ})$ છે.
દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાનનો ઘટક: $p_i = m v \cos(30^{\circ})$.
દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાનનો ઘટક: $p_f = -m v \cos(30^{\circ})$.
વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta p = |p_f - p_i| = 2 m v \cos(30^{\circ})$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta p = 2 \times 3 \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 300\sqrt{3} \ kg \cdot m/s$.
લાગતું બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{300\sqrt{3}}{0.2} = 1500\sqrt{3} \ N$.

(A) આપેલ છે કે,શેલનું દળ $= m$.
શેલનો પ્રારંભિક વેગ $= v$.
પ્રથમ ટુકડાનું દળ,$m_1 = \frac{m}{6}$.
બીજા ટુકડાનું દળ,$m_2 = m - \frac{m}{6} = \frac{5m}{6}$.
પ્રથમ ટુકડાનો વેગ,$v_1 = 0$ (કારણ કે તે સ્થિર રહે છે).
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન = કુલ અંતિમ વેગમાન:
$m v = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
સમીકરણમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$m v = \left(\frac{m}{6}\right) \times 0 + \left(\frac{5m}{6}\right) \times v_2$.
$m v = \frac{5m}{6} v_2$.
$v_2$ માટે ઉકેલતા:
$v_2 = \frac{m v \times 6}{5m} = \frac{6v}{5}$.
આમ,બીજા ટુકડાનો વેગ મૂળ ગતિની દિશામાં $\frac{6v}{5}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,ગોળીનું દળ $= m$.
રાઈફલનું દળ $= M$.
ગોળીનો વેગ $= v$.
ધારો કે રાઈફલનો વેગ $v_r$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
તંત્ર (ગોળી + રાઈફલ) શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
તેથી,$m v + M v_r = 0$.
$v_r$ માટે સમીકરણને ઉકેલતા:
$M v_r = -m v$
$v_r = -\frac{m}{M} v$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે રાઈફલનો રિકોઈલ વેગ ગોળીના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(B) રેખીય વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$\Delta p = \int_0^8 F \,dt = F-t \text{ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
આલેખ પરથી,$t=0$ થી $t=2$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $t$-અક્ષની નીચે એક ચતુર્થાંશ વર્તુળ છે (ઋણ ક્ષેત્રફળ).
$t=2$ થી $t=6$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $t$-અક્ષની ઉપર એક અર્ધવર્તુળ છે (ધન ક્ષેત્રફળ).
$t=6$ થી $t=8$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $t$-અક્ષની નીચે એક ચતુર્થાંશ વર્તુળ છે (ઋણ ક્ષેત્રફળ).
વર્તુળાકાર ભાગોની ત્રિજ્યા $r=2$ એકમ છે ($F=0$ થી $F=2$ અથવા $F=-2$ સુધી):
ચતુર્થાંશ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \pi$.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= -(\text{ક્ષેત્રફળ}_{0-2}) + (\text{ક્ષેત્રફળ}_{2-6}) - (\text{ક્ષેત્રફળ}_{6-8})$
$\Delta p = -\pi + 2\pi - \pi = 0$.
આમ,$0$ અને $8 \,s$ ની વચ્ચે મેળવેલ રેખીય વેગમાન $0$ છે.

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પદાર્થનો વેગ $v$ છે,જેથી તેનું વેગમાન $p$ અને ગતિઊર્જા $E$ છે.
વેગમાન $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $p^2 = m^2 v^2$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તેને $E = \frac{m^2 v^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આપેલ પદાર્થ માટે $m$ અચળ હોવાથી,આપણી પાસે $E \propto p^2$ છે.
આ સમીકરણ $y = kx^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,પદાર્થના વેગમાન અને ગતિઊર્જા વચ્ચેના આલેખનો પ્રકાર પરવલય છે.

(C) યુનાઈટેડ નેશન્સે $2005$ ને આંતરરાષ્ટ્રીય ભૌતિકવિજ્ઞાન વર્ષ તરીકે જાહેર કર્યું હતું.
આ જાહેરાત આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈનના "ચમત્કારિક વર્ષ" ($Annus$ $Mirabilis$) ની $100$ મી વર્ષગાંઠની ઉજવણી કરવા માટે કરવામાં આવી હતી.
$1905$ માં, આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને ચાર ક્રાંતિકારી વૈજ્ઞાનિક પેપર્સ પ્રકાશિત કર્યા હતા, જેણે અવકાશ, સમય અને દ્રવ્ય વિશેની આપણી સમજને મૂળભૂત રીતે બદલી નાખી હતી.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $g' = g(1 - 2h/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g' = 9 m s^{-2}$ અને $h = R/20$,તેથી:
$9 = g(1 - 2(R/20)/R) = g(1 - 1/10) = g(9/10)$.
આથી,$g = 10 m s^{-2}$.
પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $g'' = g(1 - d/R)$ છે.
સમાન ઊંડાઈ $d = h = R/20$ માટે:
$g'' = 10(1 - (R/20)/R) = 10(1 - 1/20) = 10(19/20) = 9.5 m s^{-2}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાણે ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે ગુરુત્વપ્રવેગ $40 \%$ ઘટે છે,તેથી $d$ ઊંડાણે તેનું મૂલ્ય $g_d = g - 0.40g = 0.60g$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $0.60g = g(1 - \frac{d}{R})$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $0.60 = 1 - \frac{d}{R}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{d}{R} = 1 - 0.60 = 0.40$.
તેથી,$d = 0.40 \times R$.
$R = 6400 \ km$ આપેલ હોવાથી,$d = 0.40 \times 6400 \ km = 2560 \ km$ મળે છે.

(A) ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 1600 \ km$ અને $R = 6400 \ km$ લેતા,$g_h = g(1 - 2 \times 1600 / 6400) = g(1 - 0.5) = 0.5g$.
ઊંડાઈ $d$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_d = 0.5 g_h = 0.5 \times 0.5g = 0.25g$.
તેથી,$0.25g = g(1 - d/R)$.
$0.25 = 1 - d/R \Rightarrow d/R = 0.75$.
$d = 0.75 \times 6400 \ km = 4800 \ km = 4.8 \times 10^6 \ m$.

(C) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીના પરિભ્રમણનો કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\lambda = 90^\circ$ હોય છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $g' = g - \omega^2 R \cos^2(90^\circ) = g - 0 = g$ મળે છે.
ધ્રુવો પર $g'$ નું મૂલ્ય કોણીય વેગ $\omega$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,જો પૃથ્વી પોતાની ધરી પર ફરતી બંધ થઈ જાય તો પણ શરીરનું વજન $(w = mg')$ બદલાશે નહીં.
તેથી,ધ્રુવો પર આપણા શરીરના વજનમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(A) આપેલ છે: પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_e)$ $= 6400 \,km$,મંગળની ત્રિજ્યા $(R_m)$ $= 3200 \,km$.
પૃથ્વીનું દળ $(M_e)$ $= 10 M_m$,જ્યાં $M_m$ એ મંગળનું દળ છે.
ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મંગળ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_m)$ અને પૃથ્વી પર $(g_e)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{G M_m / R_m^2}{G M_e / R_e^2} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{1}{10} \times \left(\frac{6400}{3200}\right)^2 = \frac{1}{10} \times (2)^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
પદાર્થનું વજન $W = mg$ છે.
પૃથ્વી પર આપેલ વજન $W_e = m g_e = 200 \,N$.
મંગળ પર વજન $W_m = m g_m = m \left(\frac{2}{5} g_e\right) = \frac{2}{5} W_e$.
$W_m = \frac{2}{5} \times 200 \,N = 80 \,N$.

(B) આપેલ છે કે,અક્ષાંશનો ખૂણો $\lambda = 45^{\circ}$ છે.
અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\lambda} = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બિંદુએ $m$ દળ ધરાવતા માણસનું આભાસી વજન $w = m g_{\lambda} = m(g - \omega^2 R \cos^2 \lambda)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,માણસ વજનહીનતા અનુભવે છે,તેથી $w = 0$.
તેથી,$m(g - \omega^2 R \cos^2 45^{\circ}) = 0$.
કારણ કે $m \neq 0$,આપણને $g - \omega^2 R (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $g - \frac{\omega^2 R}{2} = 0$ થાય છે.
આનાથી $\omega^2 = \frac{2g}{R}$ અથવા $\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}$ મળે છે.
દિવસનો સમયગાળો (સમયગાળો $T$) $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\sqrt{2g/R}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{2g}} = \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_1 = -\frac{G M m}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h = \frac{R}{3}$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -\frac{G M m}{r} = -\frac{G M m}{4R/3} = -\frac{3 G M m}{4R}$ છે.
પદાર્થને ઉપર લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = U_2 - U_1 = \left( -\frac{3 G M m}{4R} \right) - \left( -\frac{G M m}{R} \right)$.
$W = \frac{G M m}{R} - \frac{3 G M m}{4R} = \frac{4 G M m - 3 G M m}{4R} = \frac{G M m}{4R}$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $I = \frac{Gm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનંત દળો હોવાથી,બિંદુ $O$ પર કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા દરેક દળને કારણે ઉદ્ભવતી તીવ્રતાનો સરવાળો છે:
$I_{total} = \sum \frac{Gm_i}{r_i^2} = G \sum \frac{3}{r_i^2} = 3G \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right)$.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$I_{total} = 3G \times \frac{4}{3} = 4G$.

(C) સમાન ગોલીય કવચની અંદર દરેક બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે $I_1$ એ કવચના ઉપરના ભાગને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર છે અને $I_2$ એ કવચના નીચેના ભાગને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર છે.
આખા કવચને કારણે બિંદુ $P$ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર તેના ભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{I}_{total} = \vec{I}_1 + \vec{I}_2 = 0$.
બિંદુ $P$ એ કાપેલા સમતલ પર હોવાથી,$\vec{I}_1 + \vec{I}_2 = 0$ ની શરત સંતોષવા માટે ક્ષેત્ર સદિશો $\vec{I}_1$ અને $\vec{I}_2$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે: $I_1 = I_2$.

(C) સંરક્ષી બળની વિરુદ્ધ બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,$W = U_f - U_i$.
$M$ દળ ધરાવતા ગોળાથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી પર $(r = 1 \ m)$ પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_i = -\frac{G \times 1000}{1} = -6.67 \times 10^{-11} \times 1000 = -6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}$ છે.
કણને અનંત અંતરે લઈ જવા માટે,અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = -\frac{GM}{\infty} = 0$ થાય.
એકમ દળ દીઠ થયેલું કાર્ય $W = V_f - V_i = 0 - (-6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}) = 6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}$ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં તેના સ્થાનને કારણે પદાર્થ દ્વારા ધરાવતી ઊર્જા છે.
દળ $M$ થી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થ માટે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\frac{G M m}{r}$ છે.
અહીં $U$ એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે અને તેની સાથે ઋણ ચિહ્ન હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $U$ નું મૂલ્ય વધે છે.
જ્યારે $r = \infty$ હોય,ત્યારે $U = -\frac{G M m}{\infty} = 0$ થાય છે.
બાકીના તમામ સ્થાનોએ સ્થિતિ ઊર્જા ઋણ હોવાથી,$0$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા માટેનું મહત્તમ મૂલ્ય છે.

(C) આપેલ છે, ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા, $I = (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \text{ N kg}^{-1}$.
પદાર્થનું દળ, $m = 3 \text{ kg}$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = m \int_{(0,0)}^{(8,-2)} \vec{I} \cdot d\vec{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta U = 3 \int_{(0,0)}^{(8,-2)} (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$\Delta U = 3 [5x + 12y]_{(0,0)}^{(8,-2)}$
$\Delta U = 3 [5(8) + 12(-2)] - 3 [5(0) + 12(0)]$
$\Delta U = 3 [40 - 24] = 3 [16] = 48 \text{ J}$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $h$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E_0 = -\frac{GMm}{2h}$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U = 2 \times (-\frac{GMm}{2h})$.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા $U = 2 E_0$ થાય.

(A) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહે છે.
સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક $(\tau)$ $\tau = r \times F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી જે ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા પર લાગે છે,તેથી ટોર્ક શૂન્ય $(\tau = 0)$ થાય છે.
સંબંધ $\tau = \frac{dL}{dt}$ પરથી,જો $\tau = 0$ હોય,તો $\frac{dL}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $L$ અચળ છે.
જેમ જેમ ગ્રહ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,તેમ સૂર્યથી તેનું અંતર બદલાય છે,જેના કારણે તેની રેખીય ઝડપ,કોણીય ઝડપ અને ગતિઊર્જા સમય સાથે બદલાય છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ક્ષેત્રીય વેગ $A$ એ ગ્રહના સ્થાન સદિશ દ્વારા ક્ષેત્રફળ કપાવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
બંને બાજુ ગ્રહના દળ $M$ વડે ગુણતા:
$MA = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
કારણ કે $r$ અંતરે રહેલા $M$ દળના બિંદુવત પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M r^2$ છે,તેથી:
$MA = \frac{1}{2} I \omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ છે.
સમીકરણમાં $L$ મૂકતા:
$MA = \frac{1}{2} L$
તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L = 2MA$

(C) ઉપગ્રહ માટે ભ્રમણકક્ષાનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_E}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto r^{3/2}$.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24 \text{ hrs}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto r^{3/2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{24} = \left( \frac{2r_1}{r_1} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$T_2 = 24 \times 2\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \text{ hrs}$.

(A) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$KE = \frac{G M m}{2 R}$
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
આપેલ તંત્ર માટે $G$,$M$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$KE \propto \frac{1}{R}$
તેથી,ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(C) પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે વિષુવવૃત્ત પરનો આભાસી ગુરુત્વપ્રવેગ $g^{\prime}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g^{\prime} = g_0 - \omega^2 R$
આપેલ છે કે આભાસી $g^{\prime}$ એ તેના મૂળ મૂલ્ય $g_0$ ના $(1/6)$ ગણો છે,તેથી:
$g^{\prime} = \frac{g_0}{6}$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{g_0}{6} = g_0 - \omega^2 R$
$\omega^2 R$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\omega^2 R = g_0 - \frac{g_0}{6} = \frac{5}{6} g_0$
$\omega = \sqrt{\frac{5 g_0}{6 R}}$
$g_0 = 9.8 \ m/s^2$ અને $R = 6.4 \times 10^6 \ m$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{5 \times 9.8}{6 \times 6.4 \times 10^6}}$
$\omega = \sqrt{\frac{49}{38.4 \times 10^6}} = \sqrt{1.276 \times 10^{-6}}$
$\omega \approx 1.13 \times 10^{-3} \ rad \ s^{-1}$
આમ,કોણીય ઝડપ આશરે $1.14 \times 10^{-3} \ rad \ s^{-1}$ છે.

(D) $\text{આપેલ છે: દરેક પથ્થરનું દળ, } m_1 = m_2 = 2 \,kg$.
$\text{અંતર, } r = 1 \,m$.
$\text{સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક, } G = 6.67 \times 10^{-11} \,N \cdot m^2/kg^2$.
$\text{ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ, બળ } F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$.
$\text{કિંમતો મૂકતા: } F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 2}{1^2}$.
$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 4$.
$F = 26.68 \times 10^{-11} \,N = 2.668 \times 10^{-10} \,N$.
$\text{નજીકની કિંમત લેતા, } F \approx 2.67 \times 10^{-10} \,N$.

(C) અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $dQ_p = n C_p \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = n C_v \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઊર્જાનો અંશ ગુણોત્તર $\frac{dU}{dQ_p} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$ છે.
તેથી,જરૂરી અંશ $\frac{C_v}{C_p} = \frac{\frac{5}{2} R}{\frac{7}{2} R} = \frac{5}{7}$ છે.

(C) આપેલ છે:
કોપર માટે: દળ $m_1 = 50 \text{ g} = 0.05 \text{ kg}$,તાપમાનમાં વધારો $\Delta t_1 = 10^{\circ} \text{C}$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_1 = 420 \text{ J kg}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
પાણી માટે: દળ $m_2 = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_2 = 4200 \text{ J kg}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$,ધારો કે તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta t_2$ છે.
બંનેને સમાન પ્રમાણમાં ઉષ્મા $Q$ આપવામાં આવતી હોવાથી,$Q_1 = Q_2$ થાય.
સૂત્ર $Q = m s \Delta t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_1 s_1 \Delta t_1 = m_2 s_2 \Delta t_2$
કિંમતો મૂકતા:
$0.05 \times 420 \times 10 = 0.01 \times 4200 \times \Delta t_2$
$210 = 42 \times \Delta t_2$
$\Delta t_2 = \frac{210}{42} = 5^{\circ} \text{C}$.
આમ,પાણીના તાપમાનમાં થતો વધારો $5^{\circ} \text{C}$ છે.

(C) મેયરના સૂત્ર પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p - C_V = R$,જેનો અર્થ છે કે $C_p = C_V + R$.
અચળ કદ પર,ઉષ્મા ધારિતા $C_V$ ને તાપમાનની સાપેક્ષમાં આંતરિક ઉર્જાના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$C_V = \frac{d U}{d T}$.
મેયરના સૂત્રમાં $C_V$ માટે આ પદ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$C_p = \frac{d U}{d T} + R$.

(D) બંને પરિસ્થિતિઓમાં વાયુનો જથ્થો સમાન રહે છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 4 \ atm$,$V_1 = 1500 \ m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
$P_2 = 2 \ atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \ K$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4 \times 1500}{300} = \frac{2 \times V_2}{270}$.
$20 = \frac{V_2}{135}$.
$V_2 = 20 \times 135 = 2700 \ m^3$.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $p_1 = 2 \ Pa$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
અંતિમ દબાણ $p_2 = 2 \times p_1 = 4 \ Pa$
અંતિમ કદ $V_2 = 2 \times V_1 = 2V$
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \times V}{300} = \frac{4 \times 2V}{T_2}$
$\frac{2V}{300} = \frac{8V}{T_2}$
$T_2 = \frac{8V \times 300}{2V} = 4 \times 300 = 1200 \ K$
આમ,વાયુનું અંતિમ તાપમાન $1200 \ K$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ સહગુણક $\alpha$ ને $\alpha = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $V = \frac{nRT}{P}$ પરથી,આપણને $\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}$ મળે છે. આમ,$\alpha = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{nR}{PV} = \frac{1}{T}$.
દબાણ સહગુણક $\beta$ ને $\beta = \frac{1}{P} \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $P = \frac{nRT}{V}$ પરથી,આપણને $\left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V = \frac{nR}{V}$ મળે છે. આમ,$\beta = \frac{1}{P} \left( \frac{nR}{V} \right) = \frac{nR}{PV} = \frac{1}{T}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $\alpha = \beta = \frac{1}{T}$.

(C) આપેલ છે,પ્રારંભિક દબાણ,$p_i = p$.
અંતિમ દબાણ,$p_f = \frac{p}{2}$.
પ્રારંભિક તાપમાન,$T = 400 \ K$.
અંતિમ તાપમાન,$T' = 300 \ K$.
વાયુનું પ્રારંભિક દળ,$m = 6 \ g$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$pV = nRT = \frac{m}{M}RT$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $pV = \frac{m}{M}RT$ $(i)$.
અંતિમ સ્થિતિ: $p'V = \frac{m'}{M}RT'$ (ii).
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{p'V}{pV} = \frac{m'RT' / M}{mRT / M} \implies \frac{p'}{p} = \frac{m'T'}{mT}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p/2}{p} = \frac{m' \times 300}{6 \times 400} \implies \frac{1}{2} = \frac{m' \times 3}{6 \times 4} = \frac{m'}{8}$.
$m' = \frac{8}{2} = 4 \ g$.
બહાર નીકળેલ ઓક્સિજનનું દળ,$\Delta m = m - m' = 6 \ g - 4 \ g = 2 \ g$.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P$ એ સંબંધ $P = \frac{2}{3} \frac{K}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ વાયુના અણુઓની કુલ ગતિજ ઊર્જા છે અને $V$ એ કદ છે.
ચોક્કસ જથ્થાના વાયુ માટે કદ $V$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ વાયુના અણુઓની કુલ ગતિજ ઊર્જા $K$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આ એટલા માટે છે કારણ કે દબાણ પાત્રની દીવાલો સાથે વાયુના અણુઓની અથડામણને કારણે ઉદ્ભવે છે,અને આ અથડામણોનું બળ અણુઓની ગતિજ ઊર્જા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આદર્શ વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$ થાય.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$ છે.
ટકાવારી વધારો $\left( \frac{v_2 - v_1}{v_1} \right) \times 100 = \left( \frac{v_2}{v_1} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
ટકાવારી વધારો $= (1.1547 - 1) \times 100 = 0.1547 \times 100 = 15.47\% \approx 15.5\%$.

(A) આપેલ છે કે,પાંચ અણુઓની ઝડપ $v_1=1, v_2=2, v_3=3, v_4=4, v_5=5 \ km/s$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપ નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2}{5}} = \sqrt{\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}{5}} = \sqrt{\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5}} = \sqrt{\frac{55}{5}} = \sqrt{11} \ km/s$.
સરેરાશ ઝડપ નીચે મુજબ છે:
$v_{av} = \frac{v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5}{5} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \ km/s$.
rms વેગ અને સરેરાશ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{rms}}{v_{av}} = \frac{\sqrt{11}}{3} = \sqrt{11}: 3$.

(B) બળ $F$ માટે જેના લંબચોરસ ઘટકો $F_x$ અને $F_y$ છે,તેમનો સંબંધ $F^2 = F_x^2 + F_y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે પરિણામી બળ $F = 40 \ N$ અને એક ઘટક $F_x = 20 \sqrt{3} \ N$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(40)^2 = (20 \sqrt{3})^2 + F_y^2$
$1600 = (400 \times 3) + F_y^2$
$1600 = 1200 + F_y^2$
$F_y^2 = 1600 - 1200 = 400$
$F_y = \sqrt{400} = 20 \ N$.
આમ,બીજો લંબચોરસ ઘટક $20 \ N$ છે.

(D) આપેલ છે, બ્લોકનું દળ, $m=90 \,kg$.
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g=10 \,ms^{-2}$.
ધારો કે દોરીઓ $A, B$ અને $C$ માં તણાવ બળો અનુક્રમે $T_A, T_B$ અને $T_C$ છે.
બ્લોકનું વજન નીચેની તરફ લાગે છે: $W = mg = 90 \times 10 = 900 \,N$.
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી, દોરી $C$ માં તણાવ વજનને સંતુલિત કરશે: $T_C = 900 \,N$.
હવે, જ્યાં ત્રણેય દોરીઓ મળે છે તે જંકશન બિંદુના સંતુલનનો વિચાર કરો. બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
શિરોલંબ સંતુલન: $T_B \sin 37^{\circ} = T_C = 900 \,N$.
કારણ કે $\sin 37^{\circ} = 0.6$, તેથી $T_B \times 0.6 = 900 \Rightarrow T_B = \frac{900}{0.6} = 1500 \,N$.
સમક્ષિતિજ સંતુલન: $T_A = T_B \cos 37^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 37^{\circ} = 0.8$, તેથી $T_A = 1500 \times 0.8 = 1200 \,N$.
આમ, તણાવ બળો $T_A = 1200 \,N, T_B = 1500 \,N$ અને $T_C = 900 \,N$ છે.

(D) ગોળો સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તણાવ $T$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$\Sigma F_x = P - T \sin \theta = 0 \implies P = T \sin \theta$ ...$(i)$
$\Sigma F_y = T \cos \theta - W = 0 \implies W = T \cos \theta$ ...(ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા,આપણને $\frac{P}{W} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$ મળે છે,તેથી $P = W \tan \theta$. આ સાચું છે.
બધા બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી $\vec{T} + \vec{P} + \vec{W} = 0$. આ સાચું છે.
$(i)$ અને (ii) પરથી,$T^2 \sin^2 \theta + T^2 \cos^2 \theta = P^2 + W^2$,જે $T^2 = P^2 + W^2$ આપે છે. આ સાચું છે.
સમીકરણ $T = P + W$ ખોટું છે કારણ કે બળો સદિશ રાશિઓ છે અને જ્યાં સુધી તે એક જ દિશામાં ન હોય ત્યાં સુધી તેમનો બૈજિક સરવાળો કરી શકાતો નથી.

(B) પદાર્થ સંતુલનમાં હોવાથી,$x$ અને $y$ બંને દિશાઓમાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\Sigma F_x = 0$ અને $\Sigma F_y = 0$.
આકૃતિ પરથી,બળોના ઘટકો લેતા:
$\Sigma F_x = 0$ માટે:
$8 + 4 \cos(60^{\circ}) - F_2 \cos(30^{\circ}) = 0$
$8 + 4(0.5) - F_2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$8 + 2 = F_2(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$10 = F_2(\frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow F_2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ N}$.
$\Sigma F_y = 0$ માટે:
$F_1 + 4 \sin(60^{\circ}) - F_2 \sin(30^{\circ}) = 0$
$F_1 + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{20}{\sqrt{3}})(\frac{1}{2}) = 0$
$F_1 + 2\sqrt{3} - \frac{10}{\sqrt{3}} = 0$
$F_1 = \frac{10}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{3} = \frac{10 - 2(3)}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ N}$.
આમ,$F_1 = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ N}$ અને $F_2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ N}$.

(C) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
કેબલની બહારના બિંદુ માટે (બહારના વાહકની ત્રિજ્યા કરતા વધારે અંતર $r$ પર),એમ્પીરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ એ કેન્દ્રિય વાહકનો પ્રવાહ $(+I)$ અને બહારના વાહકનો પ્રવાહ $(-I)$ નો સરવાળો છે.
તેથી,$I_{\text{enclosed}} = I + (-I) = 0$.
જેમ કે $I_{\text{enclosed}} = 0$,તેથી કેબલની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય છે.

(C) તારના $dl = R d\theta$ લંબાઈના એક નાના ખંડનો વિચાર કરો જે વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે.
આ ખંડ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = I (dl) B = I (R d\theta) B$ છે,જે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ લાગે છે.
તારમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ આ ખંડના બંને છેડા પર લાગે છે. નાના $d\theta$ માટે તણાવ બળને કારણે પરિણામી ત્રિજ્યાવર્તી બળ $2 T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx T d\theta$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી ચુંબકીય બળને તણાવ બળના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક સાથે સરખાવતા:
$T d\theta = I B R d\theta$
$T = I B R$
તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે,અને તે એક સંપૂર્ણ વર્તુળ બનાવે છે તેમ ધારતા,$L = 2 \pi R$,તેથી $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$R$ ની કિંમત તણાવ બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = I B (\frac{L}{2 \pi}) = \frac{IBL}{2 \pi}$

(D) એમીટર ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં ઓછો અવરોધ (શંટ) જોડીને બનાવવામાં આવે છે,જેના પરિણામે એકંદર અવરોધ ખૂબ જ ઓછો હોય છે.
વોલ્ટમીટર ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ જોડીને બનાવવામાં આવે છે,જેના પરિણામે એકંદર અવરોધ ખૂબ જ વધારે હોય છે.
વોલ્ટમીટરની રેન્જ વધારવા માટે,શ્રેણી અવરોધને વધુ વધારવો પડે છે.
તેથી,કોઈપણ એમીટરની તુલનામાં ઉચ્ચ વોલ્ટેજ રેન્જ ધરાવતા વોલ્ટમીટરનો અવરોધ નોંધપાત્ર રીતે વધારે હશે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$10 \ V$ રેન્જ ધરાવતા વોલ્ટમીટરનો અવરોધ સૌથી વધુ હશે.

(B) $L-C$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = f$ અને પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_1 = C$ છે.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_2$ અને નવું કેપેસીટન્સ $C_2 = 4C$ છે.
પ્રમાણસરતા $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{C}{4C}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $f_2 = \frac{f}{2}$ થશે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક આવૃત્તિ, $f_1 = 50 \, Hz$.
પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ, $X_1 = 10 \, \Omega$.
અંતિમ આવૃત્તિ, $f_2 = 200 \, Hz$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ છે.
અહીં $L$ અચળ હોવાથી, $X_L \propto f$ થાય.
તેથી, $\frac{X_2}{X_1} = \frac{f_2}{f_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{X_2}{10} = \frac{200}{50}$.
$\frac{X_2}{10} = 4$.
$X_2 = 4 \times 10 = 40 \, \Omega$.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 196 \text{ pF} = 196 \times 10^{-12} \text{ F}$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 441 \text{ } \mu\text{H} = 441 \times 10^{-6} \text{ H}$.
$L-C$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{441 \times 10^{-6} \times 196 \times 10^{-12}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(21^2 \times 14^2) \times 10^{-18}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 21 \times 14 \times 10^{-9}}$
$f = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 294 \times 10^{-9}}$
$f \approx \frac{1}{1847.25 \times 10^{-9}} \approx 0.5413 \times 10^6 \text{ Hz} = 5.41 \times 10^5 \text{ Hz}$.

(A) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$.
ઇન્ડક્ટન્સ,$L = 400 \ \mu H = 400 \times 10^{-6} \ H$.
રેઝોનન્ટ $L-C$ સર્કિટની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$f$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $\lambda = c \times 2 \pi \sqrt{LC}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 3 \times 10^8 \times 2 \times 3.14 \times \sqrt{400 \times 10^{-12} \times 400 \times 10^{-6}}$.
$\lambda = 3 \times 10^8 \times 6.28 \times \sqrt{160000 \times 10^{-18}}$.
$\lambda = 3 \times 10^8 \times 6.28 \times 400 \times 10^{-9}$.
$\lambda = 3 \times 6.28 \times 400 \times 10^{-1} = 753.6 \ m \approx 754 \ m$.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 200 V$ એ $RMS$ વોલ્ટેજ $(V_{rms})$ છે.
મહત્તમ વોલ્ટેજનું સૂત્ર $V_{peak} = \sqrt{2} \times V_{rms}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_{peak} = 1.414 \times 200 = 282.8 V$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{peak} = \frac{V_{peak}}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_{peak} = \frac{282.8}{280} \approx 1.01 A$.
તેથી,મહત્તમ પ્રવાહ આશરે $1 A$ છે.

(A) અવરોધ અને ઇન્ડક્ટર $AC$ પાવર સપ્લાય સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,ઇન્ડક્ટરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ એ અવરોધના વોલ્ટેજ $(V_R)$ કરતા $90^{\circ}$ જેટલો આગળ (lead) હોય છે.
$RL$ શ્રેણી પરિપથ માટે ફેઝર ડાયાગ્રામ મુજબ,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ સદિશ સરવાળો છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
અહીં કુલ વોલ્ટેજ $V = 20 V$ અને અવરોધનો વોલ્ટેજ $V_R = 12 V$ આપેલ છે,તેથી:
$20 = \sqrt{12^2 + V_L^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$400 = 144 + V_L^2$
$V_L^2 = 400 - 144 = 256$
$V_L = \sqrt{256} = 16 V$
આમ,કોઈલના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $16 V$ છે.

(C) માત્ર કેપેસીટન્સ ધરાવતા $AC$-પરિપથમાં,પ્રવાહ હંમેશા વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ ના કળા તફાવતથી આગળ હોય છે.
આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ એ વોલ્ટેજ $V$ સાથે $q = CV$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે,$I = dq/dt = C(dV/dt)$.
જો $V = V_0 \sin(\omega t)$ હોય,તો $I = C \omega V_0 \cos(\omega t) = I_0 \sin(\omega t + 90^{\circ})$ મળે છે.
આમ,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ છે.

(B) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,એસી વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટમાં એસી પ્રવાહ $I = I_0 \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બે સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રવાહ એ $EMF$ (વોલ્ટેજ) કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ છે.
તેથી,પ્રવાહ અને $EMF$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ પર,$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}}$ ... $(i)$
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $\omega' = \frac{\omega}{3}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_C$ થાય છે. નવો પ્રવાહ $I' = \frac{I}{2}$ છે.
તેથી,$\frac{I}{2} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$
$3R^2 = 5X_C^2$
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$
$\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે, $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ ને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ છે.
આ અવસ્થામાંથી પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે, આપણે ઇલેક્ટ્રોનને $0 \text{ eV}$ ના ઉર્જા સ્તર (અનંત) સુધી લાવવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપવી પડે.
તેથી, જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = 0 - (-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ છે.

(B) વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) Z^2$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ઇલેક્ટ્રોન ધરા-સ્થિતિમાં સંક્રમણ કરે છે,તેથી $n_1 = 1$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ વર્ણપટ રેખા પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરા-સ્થિતિમાં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,તેથી $n_2 = 2$.
હાઇડ્રોજન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) (1)^2 = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
તેથી,$\lambda = \frac{4}{3R}$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{R} \approx 911.6 \mathring A$ (જેને ઘણીવાર $912 \mathring A$ તરીકે લેવામાં આવે છે),તેથી:
$\lambda = \frac{4}{3} \times 911.6 \mathring A \approx 1215.5 \mathring A$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,તરંગલંબાઇ $1215 \mathring A$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા $E_1 = -13.6 eV$ છે.
જ્યારે $\Delta E = 12.1 eV$ ઉર્જા આપવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $n$ માં ઉત્તેજિત થાય છે,જેથી $E_n = E_1 + \Delta E$ થાય.
$E_n = -13.6 eV + 12.1 eV = -1.5 eV$.
સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} eV$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $-\frac{13.6}{n^2} = -1.5$.
$n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.07$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
ઇલેક્ટ્રોન બીજા ઉત્તેજિત સ્તર $(n = 3)$ માં ઉત્તેજિત થાય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$ સ્તરથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ મૂકતા,આપણને $N = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ રેખાઓ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,ઉર્જા સ્તરોને મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સૌથી અંદરની કક્ષા ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટને અનુરૂપ છે,જ્યાં $n=1$ હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2 > 1)$ થી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n_1 = 1)$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ સ્પેક્ટ્રમના અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગમાં આવે છે.
વર્ણપટ રેખાઓના આ ચોક્કસ સમૂહને લાયમન શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) રીડબર્ગ અચળાંક $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $R = \frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$.
આ અચળાંક મૂળભૂત ભૌતિક અચળાંકો જેવા કે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m)$,મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $(e)$,શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$,પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$,અને પ્રકાશની ગતિ $(c)$ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
આ તમામ સાર્વત્રિક અચળાંકો હોવાથી,રીડબર્ગ અચળાંક તમામ હાઇડ્રોજન અને હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ (એક ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા આયનો) માટે સમાન રહે છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{v_1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ધરા અવસ્થામાં વેગ $v_1 = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h} \approx 2.188 \times 10^6 \ m/s$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં વેગ $v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{2.188 \times 10^6}{2} = 1.094 \times 10^6 \ m/s$ થાય.
આ ઝડપનો પ્રકાશની ઝડપ $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ સાથેનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= \frac{v_2}{c} = \frac{1.094 \times 10^6}{3 \times 10^8} \approx 0.3646 \times 10^{-2} = 3.646 \times 10^{-3}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો ગુણોત્તર $3.6 \times 10^{-3}$ છે.

(C) બોહરના બીજા અધિતર્ક મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત એવી જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરી શકે છે કે જેમાં તેનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $\frac{h}{2\pi}$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય.
ગાણિતિક રીતે,આને $L = mvr = n\frac{h}{2\pi}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે $(n = 1, 2, 3, ...)$,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આમ,કોણીય વેગમાન એ $\frac{h}{2\pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે.

(A) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ નું સૂત્ર: $b = \frac{Z e^2 \cot(\theta/2)}{4 \pi \varepsilon_0 (\frac{1}{2} m v^2)}$ છે.
$\theta = 180^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રકીર્ણન માટે,$\cot(180^{\circ}/2) = \cot(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $b = 0$ મળે છે.
શૂન્ય ઈમ્પેક્ટ પેરામીટરનો અર્થ એ છે કે $\alpha$-કણ સીધો ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર તરફ જાય છે,જે હેડ-ઓન અથડામણ અને $180^{\circ}$ પર બેકસ્કેટરિંગ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) બળ $F$ એ સ્થિતિ ઊર્જા $U$ સાથે $F = -\frac{dU}{dR}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $U = \frac{K e^2}{3 R^3}$,તેથી $F = -\frac{d}{dR} \left( \frac{K e^2}{3 R^3} \right) = \frac{K e^2}{R^4}$.
આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{m v^2}{R} = \frac{K e^2}{R^4}$.
તેથી,$v^2 = \frac{K e^2}{m R^3}$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$m v R = \frac{n h}{2 \pi}$,તેથી $v = \frac{n h}{2 \pi m R}$.
$v$ ની કિંમત $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\left( \frac{n h}{2 \pi m R} \right)^2 = \frac{K e^2}{m R^3}$.
$\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 R^2} = \frac{K e^2}{m R^3}$.
$R$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $R = \frac{4 \pi^2 K e^2 m}{n^2 h^2}$ (નોંધ: વિકલ્પોમાં સુધારો જરૂરી છે,સાચો જવાબ $R = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 K e^2 m}$ છે).

(D) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$ હોવાથી,$n_i$ થી $n_f$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તર (નીચે તરફના તીર) માં જાય ત્યારે ઉત્સર્જન થાય છે.
આકૃતિ જોતા:
સંક્રમણ $(II)$ એ $n=4$ થી $n=3$ છે.
સંક્રમણ $(III)$ એ $n=2$ થી $n=1$ છે.
સંક્રમણ $(IV)$ એ $n=3$ થી $n=2$ છે.
સંક્રમણ $(I)$ એ શોષણ છે (ઉપર તરફનું તીર),તેથી તે ઉત્સર્જન દર્શાવતું નથી.
ઉર્જાના તફાવતોની સરખામણી કરતા:
$(II)$ માટે: $\Delta E \propto (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2}) = (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = \frac{7}{144} \approx 0.0486$.
$(III)$ માટે: $\Delta E \propto (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = (1 - 0.25) = 0.75$.
$(IV)$ માટે: $\Delta E \propto (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5}{36} \approx 0.1389$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,સંક્રમણ $(III)$ માં ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ છે,જે સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.

(A) પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક,$k = 80$.
શૂન્યાવકાશમાં $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \varepsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાનો પરિઘ,$L = 2 \pi R = 3 \ m$.
તેથી,ગોળાની ત્રિજ્યા $R = \frac{3}{2 \pi} \ m$ થાય.
શૂન્યાવકાશમાં કેપેસિટન્સ,$C = 4 \pi \varepsilon_0 \times \frac{3}{2 \pi} = 6 \varepsilon_0 \ F$.
પાણીમાં ગોળાનું કેપેસિટન્સ,$C' = k \times C$.
$C' = 80 \times 6 \varepsilon_0 = 480 \varepsilon_0 \ F$.
$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ F/m$ મૂકતા:
$C' = 480 \times 8.854 \times 10^{-12} \ F = 4249.92 \times 10^{-12} \ F \approx 4250 \ pF$.

(B) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 60 \ \mu F$. પ્રારંભિક પોટેન્શિયલ $V = 250 \ V$. વીજભાર $q = CV = 60 \ \mu F \times 250 \ V = 15000 \ \mu C$.
જ્યારે $t = 3 \ mm$ જાડાઈ અને $K = 5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબને $d = 6 \ mm$ અંતરે રહેલી પ્લેટો વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,તેથી $C' = C \left[ \frac{d}{d - t + \frac{t}{K}} \right] = 60 \ \mu F \left[ \frac{6}{6 - 3 + \frac{3}{5}} \right] = 60 \ \mu F \left[ \frac{6}{3.6} \right] = 100 \ \mu F$.
ચાર્જિંગ સ્ત્રોત દૂર કરવામાં આવ્યો હોવાથી,વીજભાર $q$ અચળ રહે છે. તેથી,$q = C'V' \Rightarrow 15000 \ \mu C = 100 \ \mu F \times V' \Rightarrow V' = 150 \ V$.
પોટેન્શિયલ તફાવતમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V - V' = 250 \ V - 150 \ V = 100 \ V$ છે.

(A) આપેલ છે કે,કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 0.75 \mu F = 0.75 \times 10^{-6} \ F$ છે.
લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V = 20 \ V$ છે.
કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $Q = C \times V$ છે.
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = (0.75 \times 10^{-6} \ F) \times (20 \ V)$
$Q = 15 \times 10^{-6} \ C$
$Q = 15 \mu C$.
તેથી,દરેક પ્લેટ પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $15 \mu C$ છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પરિપથને સરળ બનાવતા,$10 \ \mu F$,$5 \ \mu F$ અને $9 \ \mu F$ ના કેપેસિટરો બિંદુ $C$ અને $D$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,$C$ અને $D$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{CD} = 10 \ \mu F + 5 \ \mu F + 9 \ \mu F = 24 \ \mu F$
હવે,$12 \ \mu F$,$24 \ \mu F$ (જે $C_{CD}$ છે) અને $8 \ \mu F$ ના કેપેસિટરો શ્રેણી જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1 + 3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \ \mu F^{-1}$
$\Rightarrow C_{eq} = 4 \ \mu F$
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{eq} \times V_{AB} = 4 \ \mu F \times 80 \ V = 320 \ \mu C$
કેપેસિટરો $12 \ \mu F$,$24 \ \mu F$ અને $8 \ \mu F$ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક શાખામાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $Q = 320 \ \mu C$ વહેશે.
$CD$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_{CD} = \frac{Q}{C_{CD}} = \frac{320 \ \mu C}{24 \ \mu F} = \frac{40}{3} \ V$
$10 \ \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$:
$q = 10 \ \mu F \times V_{CD} = 10 \ \mu F \times \frac{40}{3} \ V = \frac{400}{3} \ \mu C \approx 133.33 \ \mu C$
આમ,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $4 \ \mu F$ છે અને $10 \ \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર આશરે $133 \ \mu C$ છે.

(D) પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $30 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલી છે.
શાખા $1$ માં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq1} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 1.5}{1 + 1.5} = \frac{1.5}{2.5} = 0.6 \ \mu F$ છે.
આ શાખા પરનો વીજભાર $q = C_{eq1} \times V = 0.6 \ \mu F \times 30 \ V = 18 \ \mu C$ છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $a$ નું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A - V_a = \frac{q}{C_1} = \frac{18 \ \mu C}{1 \ \mu F} = 18 \ V$ છે.
શાખા $2$ માં $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq2} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{2.5 \times 0.5}{2.5 + 0.5} = \frac{1.25}{3} = \frac{5}{12} \ \mu F$ છે.
આ શાખા પરનો વીજભાર $q' = C_{eq2} \times V = \frac{5}{12} \ \mu F \times 30 \ V = 12.5 \ \mu C$ છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $b$ નું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A - V_b = \frac{q'}{C_3} = \frac{12.5 \ \mu C}{2.5 \ \mu F} = 5 \ V$ છે.
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_a - V_b = (V_A - V_b) - (V_A - V_a) = 5 \ V - 18 \ V = -13 \ V$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_a - V_b| = 13 \ V$ છે.

(B) અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટને જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ તરફ સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. સૌથી જમણી શાખામાં $1 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_1 = 1 + 2 = 3 \mu F$ છે.
$2$. હવે,આ $3 \mu F$ ઉપરના $3 \mu F$ કેપેસિટર અને નીચેના $3 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. આ ત્રણેયનું શ્રેણીમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq1} = 1 \mu F$ થાય.
$3$. આ $1 \mu F$ એ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_2 = 1 + 2 = 3 \mu F$ છે.
$4$. હવે,આ $3 \mu F$ ઉપરના આગામી $3 \mu F$ કેપેસિટર અને નીચેના $3 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq2}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq2} = 1 \mu F$ થાય.
$5$. આ $1 \mu F$ એ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_3 = 1 + 2 = 3 \mu F$ છે.
$6$. અંતે,આ $3 \mu F$ ઉપરના પ્રથમ $3 \mu F$ કેપેસિટર અને નીચેના $3 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq} = 1 \mu F$ થાય.

(B) આપેલ છે,સમાન કેપેસિટન્સ $C$ ધરાવતા બે કેપેસિટર.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_S = \frac{C}{2}$
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_P = C + C = 2C$
પરિણામી કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{C_P}{C_S} = \frac{2C}{C/2} = \frac{4}{1} = 4:1$
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સમાંતર જોડાણમાં,$C_P = 2C > C$,તેથી કેપેસિટન્સ વધે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,$C_S = C/2 < C$,તેથી કેપેસિટન્સ ઘટે છે.
આમ,કારણ $(R)$ પણ સાચું છે,પરંતુ તે $4:1$ ના ગુણોત્તર માટે ગાણિતિક સમજૂતી આપવાને બદલે કેપેસિટરના જોડાણનું સામાન્ય વર્તન દર્શાવે છે. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) આપેલ છે: દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \times 10^{-6} \ F$.
દરેક કેપેસિટરનો બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V = 5000 \ V$.
જ્યારે કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$
$C_S = \frac{C}{2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{2} = 10^{-6} \ F$.
જ્યારે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સંયોજનનો કુલ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ એ વ્યક્તિગત બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજનો સરવાળો છે:
$V_S = V + V = 5000 \ V + 5000 \ V = 10000 \ V$.

(B) આપેલ છે કે,મહત્તમ મોડ્યુલેટિંગ આવૃત્તિ,$f_m = 5 kHz = 5 \times 10^3 Hz$ છે.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગ માટે,એક સ્ટેશન માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ $BW = 2 f_m$ છે.
તેથી,$BW = 2 \times 5 kHz = 10 kHz = 10^4 Hz$ થાય.
કુલ ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ $f = 150 kHz = 150 \times 10^3 Hz$ છે.
સમાવી શકાય તેવા સ્ટેશનોની સંખ્યા કુલ બેન્ડવિડ્થ અને પ્રતિ સ્ટેશન બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
સ્ટેશનોની સંખ્યા $= \frac{f}{BW} = \frac{150 kHz}{10 kHz} = 15$.

(C) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 800 \,nm = 800 \times 10^{-9} \,m$. પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = c / \lambda = (3 \times 10^8) / (800 \times 10^{-9}) = 3.75 \times 10^{14} \,Hz$.
ઉપલબ્ધ સિગ્નલ બેન્ડવિડ્થ એ સ્ત્રોત આવૃત્તિના $1 \%$ છે:
બેન્ડવિડ્થ $= 0.01 \times 3.75 \times 10^{14} = 3.75 \times 10^{12} \,Hz$.
એક ટીવી ચેનલ માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ $= 6 \,MHz = 6 \times 10^6 \,Hz$.
ચેનલોની સંખ્યા $= \text{કુલ બેન્ડવિડ્થ} / \text{એક ચેનલની બેન્ડવિડ્થ} = (3.75 \times 10^{12}) / (6 \times 10^6) = 0.625 \times 10^6 = 6.25 \times 10^5$.
વિકલ્પોના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $6.25 \times 10^5 = (1/16) \times 10^7 = 0.0625 \times 10^7$.

(A) ધારો કે $A_c$ એ કેરિયર તરંગનું એમ્પ્લિટ્યુડ છે અને $A_m$ એ મોડ્યુલેટિંગ તરંગનું એમ્પ્લિટ્યુડ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{max} = A_c + A_m = 15 V$.
આપેલ છે કે ન્યૂનતમ એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{min} = A_c - A_m = 5 V$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(A_c + A_m) + (A_c - A_m) = 15 V + 5 V$.
$2 A_c = 20 V \Rightarrow A_c = 10 V$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(A_c + A_m) - (A_c - A_m) = 15 V - 5 V$.
$2 A_m = 10 V \Rightarrow A_m = 5 V$.
આમ,મોડ્યુલેટિંગ તરંગનું એમ્પ્લિટ્યુડ $5 V$ છે.

(A) કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં,ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલના કંપનવિસ્તાર (amplitude) અથવા પાવરને વધારવાની પ્રક્રિયાને એમ્પ્લીફિકેશન કહેવામાં આવે છે. આ સામાન્ય રીતે એમ્પ્લીફાયર સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે કે, એન્ટેનાની લંબાઈ, $l = 4 \, m$.
સિગ્નલની તીવ્રતા, $I = 8 \times 10^{-16} \, W/m^2$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$ છે, જ્યાં $E_0$ એ મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
$E_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$.
કિંમતો મૂકતા ($\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$, $c = 3 \times 10^8 \, m/s$):
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 8 \times 10^{-16}}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{16 \times 10^{-16}}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{0.6026 \times 10^{-12}} \approx 0.776 \times 10^{-6} \, V/m$.
એન્ટેના પરનો મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0 = E_0 \times l$ છે.
$V_0 = 0.776 \times 10^{-6} \, V/m \times 4 \, m = 3.104 \times 10^{-6} \, V \approx 3.1 \, \mu V$.

(A) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = 0.5 = \frac{1}{2}$ છે.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગમાં,સાઇડ બેન્ડનું એમ્પ્લિટ્યુડ $(A_{SB})$ અને કેરિયર તરંગનું એમ્પ્લિટ્યુડ $(A_C)$ વચ્ચેનો સંબંધ $A_{SB} = \frac{\mu A_C}{2}$ છે.
તેથી,સાઇડ બેન્ડના એમ્પ્લિટ્યુડ અને કેરિયર તરંગના એમ્પ્લિટ્યુડનો ગુણોત્તર $\frac{A_{SB}}{A_C} = \frac{\mu}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$ થાય.
પ્રશ્નમાં કેરિયર તરંગના એમ્પ્લિટ્યુડ અને સાઇડ બેન્ડના એમ્પ્લિટ્યુડનો ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો છે,જે $\frac{A_C}{A_{SB}} = \frac{4}{1} = 4:1$ થાય.

(A) ધારો કે કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. એમીટર કોષ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું હોવાથી,પરિપથનો કુલ અવરોધ $(R + r)$ થશે,જ્યાં $R = 0.06 \ \Omega$ એ એમીટરનો અવરોધ છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,emf $E = I(R + r)$ થાય.
અહીં $E = 1.8 \ V$,$I = 17 \ A$ અને $R = 0.06 \ \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.8 = 17(0.06 + r)$.
$1.8 = 1.02 + 17r$.
$17r = 1.8 - 1.02 = 0.78$.
$r = \frac{0.78}{17} \approx 0.04588 \ \Omega$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$r \approx 0.046 \ \Omega$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 9 \,A$.
ધારો કે $t$ સમયમાં વાહકમાંથી પસાર થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$I = \frac{q}{t}$ અને $q = ne$.
તેથી,$I = \frac{ne}{t}$.
દર સેકન્ડે વહેતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા માટે સૂત્ર બનાવતા,$\frac{n}{t} = \frac{I}{e}$.
કિંમતો મૂકતા,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ છે:
$\frac{n}{t} = \frac{9}{1.6 \times 10^{-19}} = 5.625 \times 10^{19} \approx 5.6 \times 10^{19}$ ઇલેક્ટ્રોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(B) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $l = 3 \,m$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 6.14 \times 10^{-6} \,m^2$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 6 \,A$,પરમાણુ વજન $M = 108 \,g/mol = 0.108 \,kg/mol$,ઘનતા $\rho = 10500 \,kg/m^3$,એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.023 \times 10^{23} /mol$,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
એકમ કદ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = \frac{\rho N_A}{M}$ દ્વારા મળે છે.
દરેક પરમાણુ એક ઇલેક્ટ્રોન આપે છે,તેથી એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{10500 \times 6.023 \times 10^{23}}{0.108} \approx 5.86 \times 10^{28} \,m^{-3}$ છે.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $I = n e A v_d$ છે.
$v_d$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v_d = \frac{I}{n e A}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{6}{(5.86 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.14 \times 10^{-6})}$.
$v_d = \frac{6}{5.86 \times 1.6 \times 6.14 \times 10^{3}} \approx \frac{6}{57.56 \times 10^3} \approx 1.04 \times 10^{-4} \,m/s$.
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ $10^{-4} \,m/s$ ની નજીક છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = I \cdot R_{wire} = \frac{E_{main}}{R_{main} + R_{wire}} \cdot R_{wire}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન બિંદુને ઉચ્ચ તાર નંબર (વધુ લંબાઈ) પર ખસેડવા માટે,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(x = V/L)$ ઘટાડવો આવશ્યક છે.
કારણ કે $x = \frac{V}{L} = \frac{I \cdot \rho}{A}$,પ્રાથમિક પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ ઘટાડવાથી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ ઘટશે.
મુખ્ય (પ્રાથમિક) પરિપથમાં અવરોધ વધારીને,પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,જે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટને ઘટાડે છે.
પરિણામે,ગૌણ કોષના સમાન emf ને સંતુલિત કરવા માટે તારની વધુ લંબાઈની જરૂર પડે છે.
તેથી,આપણે મુખ્ય પરિપથમાં અવરોધ વધારવો જોઈએ.

(A) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R_G = 40 \Omega$, શંટ અવરોધ $R_S = 2 \Omega$, સંવેદનશીલતા $= 10 \text{ div/mA}$, કુલ કાપા $n = 50$.
શંટ વગર ગેલ્વેનોમીટર માપી શકે તેવો મહત્તમ પ્રવાહ $I_G = \frac{50 \text{ div}}{10 \text{ div/mA}} = 5 \text{ mA}$ છે.
જ્યારે સમાંતરમાં શંટ $R_S$ જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ પ્રવાહ $I$ ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ વચ્ચે વહેંચાય છે.
સમાંતર પરિપથના સિદ્ધાંત મુજબ, ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ સમાન હોય છે: $I_G R_G = I_S R_S$.
કારણ કે $I = I_G + I_S$, તેથી $I_S = I - I_G$.
આ કિંમત મૂકતા: $I_G R_G = (I - I_G) R_S$.
$I$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $I = I_G \left( 1 + \frac{R_G}{R_S} \right) = I_G \left( \frac{R_G + R_S}{R_S} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $I = 5 \text{ mA} \times \left( \frac{40 + 2}{2} \right) = 5 \times \frac{42}{2} = 5 \times 21 = 105 \text{ mA}$.

(A) આપેલ છે કે, કોષના emf સાથેની સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 250 \, cm$ છે।
કોષને $R$ અવરોધ સાથે શંટ કરતા મળતી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 125 \, cm$ છે।
શંટ અવરોધ $R = 2 \, \Omega$ છે।
ધારો કે કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે।
પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને આંતરિક અવરોધ શોધવાનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ છે।
આ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = 2 \left( \frac{250}{125} - 1 \right)$
$r = 2 (2 - 1)$
$r = 2 \times 1 = 2 \, \Omega$.
આમ, કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \, \Omega$ છે।

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,તારની $l$ લંબાઈ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = IR = I(\rho \frac{l}{A})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારનો પ્રવાહ $I$,અવરોધકતા $\rho$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન પોટેન્શિયોમીટર તાર માટે અચળ હોવાથી,પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V$ એ તારની લંબાઈ $l$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
નલ પોઈન્ટ પર,કોષનું emf $\varepsilon$ એ તારની $l$ લંબાઈ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલું હોય છે.
તેથી,$\varepsilon = V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\varepsilon \propto l$.

(B) કિર્ચોફના જંકશનના નિયમ મુજબ,જે વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે,કોઈપણ જંકશન પર મળતા વિદ્યુતપ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\sum I = 0$.
જંકશનમાં પ્રવેશતા પ્રવાહોને ધન અને જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોને ઋણ લેતા:
પ્રવેશતા પ્રવાહો: $5$ $A$ અને $4$ $A$.
બહાર નીકળતા પ્રવાહો: $3$ $A$,$5$ $A$ અને અજ્ઞાત પ્રવાહ $I_Q$ (ધારો કે તે $P$ થી $Q$ તરફ જાય છે).
બિંદુ $P$ પર જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$(+5) + (+4) + (-3) + (-5) - I_Q = 0$
$9 - 8 - I_Q = 0$
$1 - I_Q = 0$
$I_Q = 1$ $A$.
પરિણામ ધન હોવાથી,આપણી ધારણા કે પ્રવાહ $P$ થી $Q$ તરફ જાય છે તે સાચી છે.
તેથી,$1$ $A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ $P$ થી $Q$ તરફ વહે છે.

(B) ધારો કે $15 \,V$ અને $30 \,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ અનુક્રમે $i_1$ અને $i_2$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
જંકશન $B$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,શાખા $BD$ માંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ:
$i_3 = i_1 + i_2$ ...$(i)$
લૂપ $ABDA$ માં કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$15 - 6 i_1 - 3(i_1 + i_2) = 0$
$15 - 6 i_1 - 3 i_1 - 3 i_2 = 0$
$9 i_1 + 3 i_2 = 15$
$3 i_1 + i_2 = 5$ ...(ii)
લૂપ $CBDC$ માં $KVL$ નો ઉપયોગ કરતા:
$30 - 3 i_2 - 3(i_1 + i_2) = 0$
$30 - 3 i_2 - 3 i_1 - 3 i_2 = 0$
$3 i_1 + 6 i_2 = 30$
$i_1 + 2 i_2 = 10$ ...(iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) ઉકેલતા:
સમીકરણ (ii) પરથી,$i_2 = 5 - 3 i_1$. આ કિંમત સમીકરણ (iii) માં મૂકતા:
$i_1 + 2(5 - 3 i_1) = 10$
$i_1 + 10 - 6 i_1 = 10$
$-5 i_1 = 0 \Rightarrow i_1 = 0 \,A$
$i_1 = 0$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$3(0) + i_2 = 5 \Rightarrow i_2 = 5 \,A$
તેથી,શાખા $BD$ માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$i_3 = i_1 + i_2 = 0 + 5 = 5 \,A$

(A) ધાતુઓમાં,વાહકતા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિને કારણે હોય છે. જ્યારે તાપમાન વધે છે,ત્યારે લેટીસમાં રહેલા ધાતુના આયનો (પરમાણુઓ) નું કંપન વધે છે. આના પરિણામે ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન અને કંપન કરતા આયનો વચ્ચે વારંવાર અથડામણ થાય છે. પરિણામે,ધાતુનો અવરોધ વધે છે,જે વાહકતામાં ઘટાડો કરે છે.

(C) આપેલ છે: સમઘનની ધારની લંબાઈ,$l = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m} = 60 \times 10^{-2} \text{ m}$.
દ્રવ્યની અવરોધકતા,$\rho = 60 \times 10^{-8} \Omega \text{ m}$.
સમઘનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2 = (60 \times 10^{-2} \text{ m})^2$ થાય.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{\rho l}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{60 \times 10^{-8} \times (60 \times 10^{-2})}{(60 \times 10^{-2})^2}$
$R = \frac{60 \times 10^{-8}}{60 \times 10^{-2}}$
$R = 1 \times 10^{-6} \Omega$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર તેના આંતરિક અવરોધ સાથે એક સાદા વાયર તરીકે વર્તે છે. પરિપથનું વિશ્લેષણ બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચેના વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે કરી શકાય છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નોડ્સ $A, B, C, D$ છે. ઇન્ડક્ટર $D$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવા માટે,વિરુદ્ધ ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
પરિપથ જોતા,અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે ઇન્ડક્ટરની આસપાસના અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_{AD}}{R_{AB}} = \frac{5 \ \Omega}{2 \ \Omega} = 2.5$ અને $\frac{R_{DC}}{R_{BC}} = \frac{25 \ \Omega}{10 \ \Omega} = 2.5$ છે.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્ય શાખા (ઇન્ડક્ટર) માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 0 \ A$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = 0$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} \times 5 \times (0)^2 = 0 \ J$ મળે છે.

(B) $\text{m}$ દળ અને $\text{e}$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પ્રોટોન દ્વારા $\text{V}$ સ્થિતિમાન હેઠળ મેળવેલ ગતિઊર્જા $K = eV$ છે.
$K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2meV}$ મળે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $V = 100 \ V$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 100}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-44}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.3117 \times 10^{-22}} \approx 2.866 \times 10^{-12} \ m = 2.86 \ pm$.

(B) તીવ્રતા $I = 100 \ W \ m^{-2}$ આપેલ છે. એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $(N)$ $N = \frac{I}{E} = \frac{I \lambda}{hc}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{100 \times 300 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 1.51 \times 10^{20} \ m^{-2} \ s^{-1}$.
આપાત ફોટોનમાંથી $2 \%$ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n' = 0.02 \times N = 0.02 \times 1.51 \times 10^{20} = 3.02 \times 10^{18} \ m^{-2} \ s^{-1}$ થાય.
$A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$ ક્ષેત્રફળ માટે,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = n' \times A = 3.02 \times 10^{18} \times 2 \times 10^{-4} = 6.04 \times 10^{14}$ છે.