AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}}$.
આપેલ છે કે $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$,તેથી $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$,તેથી $z_1\overline{z_2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.
ધારો કે $z_1\overline{z_2} = ki$,જ્યાં $k \in \mathbb{R}$.
તેથી $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{ki}{|z_2|^2}$,જે શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(A) આપણે $f(z) = |z| + |2z - 3| + |z - 1|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે.
માનાંકના ગુણધર્મ $|a| + |b| \geq |a + b|$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq |z + z - 1 + 3 - 2z|$
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq |2|$
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq 2$
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $Z_1$ અને $Z_2$ સંકર સંખ્યાઓ એકબીજાની અનુબદ્ધ છે। ધારો કે $Z_1 = a + ib$, તો $Z_2 = a - ib$.
$(A) Z_1 Z_2 = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |Z_1|^2$. તેથી, $A-3$.
$(B) Z_1 + Z_2 = (a + ib) + (a - ib) = 2a$. જો $Z_1 + Z_2 = 0$, તો $2a = 0 \Rightarrow a = 0$. આ કાલ્પનિક અક્ષ દર્શાવે છે। તેથી, $B-1$.
$(C) \text{Im}(Z_1) = b$. તેમજ, $\text{Im}(-Z_2) = \text{Im}(-(a - ib)) = \text{Im}(-a + ib) = b$. તેથી, $\text{Im}(Z_1) = \text{Im}(-Z_2)$. આમ, $C-2$.
$(D) \text{Re}(Z_1) = a$ અને $\text{Re}(Z_2) = a$. તેથી, $\text{Re}(Z_1) = \text{Re}(Z_2)$. આમ, $D-4$.
સાચી જોડ $A-3, B-1, C-2, D-4$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(z) = |z|$.
$(a)$ $f(-z) = |-z| = |z| = f(z)$,જે સત્ય છે.
$(b)$ $f(\bar{z}) = |\bar{z}| = |z| = f(z)$,જે સત્ય છે.
$(c)$ $f(z^2) = |z^2| = |z|^2 = (f(z))^2$,જે સત્ય છે.
$(d)$ $f(z_1^2 + z_2^2) = |z_1^2 + z_2^2|$ અને $f(z_1^2) + f(z_2^2) = |z_1^2| + |z_2^2| = |z_1|^2 + |z_2|^2$.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|z_1^2 + z_2^2| \leq |z_1^2| + |z_2^2| = |z_1|^2 + |z_2|^2$. સામાન્ય રીતે સમાનતા જળવાતી નથી.
તેથી,$f(z_1^2 + z_2^2) = f(z_1^2) + f(z_2^2)$ અસત્ય છે.

(C) ધારો કે $z = 1 \pm i \sqrt{3}$. આપણે $z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $2(\cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3})$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$(1+i \sqrt{3})^n + (1-i \sqrt{3})^n = [2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})]^n + [2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3})]^n$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આ $2^n(\cos \frac{n \pi}{3} + i \sin \frac{n \pi}{3}) + 2^n(\cos \frac{n \pi}{3} - i \sin \frac{n \pi}{3})$ બને છે.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $2^n(2 \cos \frac{n \pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n \pi}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ પદ $(\sin \theta - i \cos \theta)^3$ છે.
પદમાંથી $-i$ સામાન્ય લેતા:
$(\sin \theta - i \cos \theta) = -i (\cos \theta + i \sin \theta)$.
હવે,આનો ઘન કરતા:
$[-i (\cos \theta + i \sin \theta)]^3 = (-i)^3 (\cos \theta + i \sin \theta)^3$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$:
$= (-i)^3 (\cos 3 \theta + i \sin 3 \theta)$.
કારણ કે $(-i)^3 = -i^3 = -(-i) = i$,તેથી પદ $i(\cos 3 \theta + i \sin 3 \theta) = i \cos 3 \theta - \sin 3 \theta$ થાય.

(B) આપેલ પદ: $(\cos 4 + i \sin 4 + 1)^{2020}$.
નિત્યસમ $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$ અને $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\cos 4 + 1) + i \sin 4 = 2 \cos^2 2 + 2i \sin 2 \cos 2$.
$2 \cos 2$ સામાન્ય લેતા:
$2 \cos 2 (\cos 2 + i \sin 2)$.
તેનો $2020$ ઘાત લેતા:
$[2 \cos 2 (\cos 2 + i \sin 2)]^{2020} = 2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos 2 + i \sin 2)^{2020}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$:
$2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos(2020 \times 2) + i \sin(2020 \times 2)) = 2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos 4040 + i \sin 4040)$.
તેથી વાસ્તવિક ભાગ $2^{2020} \cos^{2020} 2 \cos 4040$ છે.

(B) આપેલ પદ: $(1-i \sqrt{3})^9$
આને આ રીતે લખી શકાય: $2^9 \left(\frac{1-i \sqrt{3}}{2}\right)^9$
$= 2^9 \left(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^9$
ધ્રુવીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
તેથી,$2^9 \left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]^9$
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$:
$= 2^9 [\cos(-3\pi) + i \sin(-3\pi)]$
$= 2^9 [\cos(3\pi) - i \sin(3\pi)]$
કારણ કે $\cos(3\pi) = -1$ અને $\sin(3\pi) = 0$:
$= 2^9 [-1 - 0] = -2^9$

(D) આપેલ પદ: $z = \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+i \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2020}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ અને $\sin \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
તેથી,$z = \left(\cos \frac{5 \pi}{12} + i \sin \frac{5 \pi}{12}\right)^{2020}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n \theta) + i \sin(n \theta)$:
$z = \cos \left(2020 \times \frac{5 \pi}{12}\right) + i \sin \left(2020 \times \frac{5 \pi}{12}\right)$
$z = \cos \left(\frac{2525 \pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2525 \pi}{3}\right)$
કારણ કે $\frac{2525 \pi}{3} = 842 \pi - \frac{\pi}{3}$,
$z = \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)$
$z = \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{(\sin \frac{\pi}{8} + i \cos \frac{\pi}{8})^8}{(\sin \frac{\pi}{8} - i \cos \frac{\pi}{8})^8}$ છે.
અંશમાંથી $i$ અને છેદમાંથી $-i$ સામાન્ય લેતા:
$E = \frac{[i(\cos \frac{\pi}{8} - i \sin \frac{\pi}{8})]^8}{[(-i)(\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8})]^8}$.
$i^8 = 1$ અને $(-i)^8 = 1$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$E = \frac{(\cos \frac{\pi}{8} - i \sin \frac{\pi}{8})^8}{(\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8})^8}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{(e^{-i\pi/8})^8}{(e^{i\pi/8})^8} = \frac{e^{-i\pi}}{e^{i\pi}}$.
$e^{i\pi} = -1$ અને $e^{-i\pi} = -1$ હોવાથી,
$E = \frac{-1}{-1} = 1$.

(D) આપેલ છે $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{2m-1} = \cos((2m-1)\theta) + i \sin((2m-1)\theta)$.
તેથી,$\text{Im}(z^{2m-1}) = \sin((2m-1)\theta)$.
આપણે $S = \sum_{m=1}^{15} \sin((2m-1)\theta) = \sin \theta + \sin 3\theta + \sin 5\theta + \dots + \sin 29\theta$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ સમાંતર શ્રેણીમાં સાઈનનો સરવાળો છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \theta$,સામાન્ય તફાવત $d = 2\theta$,અને પદોની સંખ્યા $n = 15$ છે.
સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S = \frac{\sin(n d / 2)}{\sin(d / 2)} \sin(a + (n-1)d / 2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{\sin(15 \cdot 2\theta / 2)}{\sin(2\theta / 2)} \sin(\theta + (15-1)2\theta / 2) = \frac{\sin(15\theta)}{\sin \theta} \sin(\theta + 14\theta) = \frac{\sin^2(15\theta)}{\sin \theta}$.
$\theta = 2^{\circ}$ માટે,$15\theta = 30^{\circ}$.
$S = \frac{\sin^2(30^{\circ})}{\sin 2^{\circ}} = \frac{(1/2)^2}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1/4}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$.

(D) આપેલ છે,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2 = \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)^2 - 4$.
ધારો કે $x = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. તો $x+\frac{1}{x} = 2 \cos \theta = \sqrt{3}$,તેથી $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$x^n = \cos \frac{n\pi}{6} + i \sin \frac{n\pi}{6}$ અને $\frac{1}{x^n} = \cos \frac{n\pi}{6} - i \sin \frac{n\pi}{6}$.
તેથી $x^n - \frac{1}{x^n} = 2i \sin \frac{n\pi}{6}$.
તેથી,$\left(x^n - \frac{1}{x^n}\right)^2 = (2i \sin \frac{n\pi}{6})^2 = -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{24} -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6} = -4 \sum_{n=1}^{24} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$.
કારણ કે $\sin^2 \frac{n\pi}{6}$ નો આવર્તકાળ $6$ છે,તેથી $24$ પદોનો સરવાળો $4 \times \sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$ થાય.
$\sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6} = \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{2\pi}{6} + \sin^2 \frac{3\pi}{6} + \sin^2 \frac{4\pi}{6} + \sin^2 \frac{5\pi}{6} + \sin^2 \frac{6\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 3$.
આમ,કુલ સરવાળો $-4 \times (4 \times 3) = -48$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $z^5-1=0$ છે,જેના બીજ $1, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ $z^5-1=(z-1)(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)(z-\alpha_3)(z-\alpha_4)$.
$z=\omega$ મૂકતા,આપણને $\omega^5-1=(\omega-1)(\omega-\alpha_1)(\omega-\alpha_2)(\omega-\alpha_3)(\omega-\alpha_4)$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $(\omega-1)(\omega-\alpha_1)(\omega-\alpha_2)(\omega-\alpha_3)(\omega-\alpha_4)+\omega = \omega^5-1+\omega$ થાય છે.
$\omega^3=1$ હોવાથી,$\omega^5 = \omega^3 \times \omega^2 = \omega^2$.
તેથી,પદાવલિ $\omega^2+\omega-1$ થાય છે.
એકમના ઘનમૂળના ગુણધર્મ $1+\omega+\omega^2=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\omega^2+\omega=-1$ મળે છે.
તેથી,કિંમત $-1-1=-2$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ છે,તેથી $1+\omega+\omega^2=0$ અને $\omega^3=1$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^{-1}=\omega^2$.
પદાવલિમાં $\omega^{-1}=\omega^2$ મૂકતા:
$(1-\omega+\omega^2)^5-2(1+\omega-\omega^2)^4$
$1+\omega^2=-\omega$ અને $1+\omega=-\omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(-\omega-\omega)^5-2(-\omega^2-\omega^2)^4$
$=(-2\omega)^5-2(-2\omega^2)^4$
$=-32\omega^5-2(16\omega^8)$
$=-32\omega^2-32\omega^2$
$=-64\omega^2$
કારણ કે $\omega^2=\omega^{-1}$,તેથી જવાબ $-64\omega^{-1}$ છે.

(C) એકમના $11$ માં મૂળ એ સમીકરણ $x^{11} - 1 = 0$ ના બીજ છે.
Vieta ના સૂત્ર મુજબ,$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$ સમીકરણ માટે,બીજનો ગુણાકાર $(-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}$ થાય છે.
અહીં,$n = 11$,$a_{11} = 1$,અને $a_0 = -1$ છે.
તેથી,બીજનો ગુણાકાર $(-1)^{11} \cdot \frac{-1}{1} = (-1) \cdot (-1) = 1$ થાય.

(A) ધારો કે $Z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે $Z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $Z = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = e^{i \frac{\pi}{3}}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ચોથું મૂળ શોધવા માટે,આપણે $Z^{1/4} = (e^{i \frac{\pi}{3}})^{1/4} = e^{i \frac{\pi}{12}}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
વ્યાખ્યા $\operatorname{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $e^{i \frac{\pi}{12}} = \operatorname{cis} \frac{\pi}{12}$ મળે છે.
આમ,ચોથા મૂળ પૈકીનું એક $\operatorname{cis} \frac{\pi}{12}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|z-2|=|z-1|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|z-2|^2 = |z-1|^2$ મળે.
ગુણધર્મ $|w|^2 = w \bar{w}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(z-2)(\bar{z}-2) = (z-1)(\bar{z}-1)$ મળે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $z\bar{z} - 2z - 2\bar{z} + 4 = z\bar{z} - z - \bar{z} + 1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $-2z - 2\bar{z} + 4 = -z - \bar{z} + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $z + \bar{z} = 3$.
$z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$ મૂકતા:
$(x + iy) + (x - iy) = 3$.
$2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
આ $x = 1.5$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(1+i)(1+3i)(1+7i) = x+iy$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ બે સંકર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતા: $(1+i)(1+3i) = 1 + 3i + i + 3i^2 = 1 + 4i - 3 = -2 + 4i$.
હવે,પરિણામનો ત્રીજી સંકર સંખ્યા સાથે ગુણાકાર કરતા: $(-2+4i)(1+7i) = -2 - 14i + 4i + 28i^2 = -2 - 10i - 28 = -30 - 10i$.
આમ,$x = -30$ અને $y = -10$.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં સંકર સંખ્યા $z = x+iy$ દ્વારા દર્શાવતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|z| = \sqrt{(-30)^2 + (-10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$.

(C) આપેલ વક્રોના સમીકરણો:
$|z|=1 \Rightarrow x^2+y^2=1$ $(i)$
$|z-2|=1 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=1$ $(ii)$
$|z-1|=0 \Rightarrow (x-1)^2+y^2=0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(x-2)^2+y^2 = x^2+y^2$
$(x-2)^2 = x^2$
$x^2-4x+4 = x^2$
$4x = 4 \Rightarrow x=1$
સમીકરણ $(i)$ માં $x=1$ મૂકતા:
$1^2+y^2=1$ $\Rightarrow y^2=0$ $\Rightarrow y=0$
તેથી,$(i)$ અને $(ii)$ નું છેદબિંદુ $(1,0)$ છે.
હવે,ચકાસો કે શું $(1,0)$ સમીકરણ $(iii)$ નું સમાધાન કરે છે:
$(1-1)^2+0^2 = 0^2+0^2 = 0$
તે ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી સામાન્ય બિંદુ $(1,0)$ છે.

(B) આપેલ છે કે વ્યક્તિ પાસે અલગ-અલગ મૂલ્યના $3$ સિક્કા છે.
રકમ બનાવવા માટે,વ્યક્તિ $1, 2,$ અથવા $3$ સિક્કા પસંદ કરી શકે છે.
$3$ માંથી $1$ સિક્કો પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_1 = 3$ છે.
$3$ માંથી $2$ સિક્કા પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_2 = 3$ છે.
$3$ માંથી $3$ સિક્કા પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_3 = 1$ છે.
દરેક સિક્કાઓના સંયોજનથી એક અનન્ય રકમ બને છે (કારણ કે મૂલ્ય અલગ છે),તેથી કુલ અલગ-અલગ રકમની સંખ્યા ${}^3C_1 + {}^3C_2 + {}^3C_3 = 3 + 3 + 1 = 7$ થાય.

(C) ક્રમચયનું સૂત્ર ${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
આપણે ${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,${}^6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
ત્યારબાદ,${}^6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3 = 360 + 4 \times 120 = 360 + 480 = 840$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $8 \cdot {}^{7}P_{r} = 7 \cdot {}^{8}P_{r-1}$
${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$8 \cdot \frac{7!}{(7-r)!} = 7 \cdot \frac{8!}{(9-r)!} $
$8! = 8 \cdot 7!$ હોવાથી:
$\frac{8 \cdot 7!}{(7-r)!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 7!}{(9-r)!} $
$\frac{1}{(7-r)!} = \frac{7}{(9-r)(8-r)(7-r)!} $
$(9-r)(8-r) = 7 $
$r^2 - 17r + 65 = 0 $
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{17 \pm \sqrt{29}}{2} $
$r$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી અહીં કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ પદ: $\frac{1}{r+1}\left\{{ }^n P_{r+1}-{ }^{(n-1)} P_{r+1}\right\}$
સૂત્ર ${ }^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{r+1} \left[ \frac{n!}{(n-r-1)!} - \frac{(n-1)!}{(n-r-2)!} \right]$
$= \frac{1}{r+1} \left[ \frac{n(n-1)!}{(n-r-1)!} - \frac{(n-1)!(n-r-1)}{(n-r-1)!} \right]$
$= \frac{(n-1)!}{(r+1)(n-r-1)!} [n - n + r + 1]$
$= \frac{(n-1)!}{(r+1)(n-r-1)!} [r+1]$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} = { }^{n-1} P_r$

(C) આપણી પાસે છે,
${}^7P_3 - 3({}^6P_2)$
$= \frac{7!}{(7-3)!} - 3 \times \frac{6!}{(6-2)!}$
$= \frac{7!}{4!} - 3 \times \frac{6!}{4!}$
$= \frac{7 \times 6!}{4!} - \frac{3 \times 6!}{4!}$
$= \frac{6!}{4!} (7 - 3)$
$= \frac{6!}{4!} \times 4$
$= \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} \times 4$
$= 30 \times 4 = 120$
વૈકલ્પિક રીતે,ક્રમચયની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
${}^6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$
આમ,આ કિંમત ${}^6P_3$ ની બરાબર છે.

(B) ગણમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n = 11$ છે.
વધુમાં વધુ $5$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ માટે $k$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીતોનો સરવાળો કરીશું.
આ સરવાળો ${ }^{11}C_0 + { }^{11}C_1 + { }^{11}C_2 + { }^{11}C_3 + { }^{11}C_4 + { }^{11}C_5$ દ્વારા મળે છે.

(C) આપેલ અસમતા: ${ }^5 C_{x-1} > 2 \cdot { }^5 C_x$
સંચય વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,$0 \le x-1 \le 5$ અને $0 \le x \le 5$ હોવું જોઈએ. તેથી,$x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
સૂત્ર ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{{ }^5 C_{x-1}}{{ }^5 C_x} > 2$
$\frac{5!}{(x-1)!(5-(x-1))!} \cdot \frac{x!(5-x)!}{5!} > 2$
$\frac{x!(5-x)!}{(x-1)!(6-x)!} > 2$
$\frac{x(x-1)!(5-x)!}{(x-1)!(6-x)(5-x)!} > 2$
$\frac{x}{6-x} > 2$
$\frac{x}{6-x} - 2 > 0$
$\frac{x - 2(6-x)}{6-x} > 0$
$\frac{x - 12 + 2x}{6-x} > 0$
$\frac{3x - 12}{6-x} > 0$
$\frac{3(x-4)}{-(x-6)} > 0$
$\frac{x-4}{x-6} < 0$
આ અસમતા $4 < x < 6$ માટે સાચી છે.
કારણ કે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી એકમાત્ર શક્ય કિંમત $x = 5$ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{5\}$ છે.

(B) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. પ્રથમ $5$ પ્રશ્નો એક જૂથમાં છે અને બાકીના $8$ પ્રશ્નો બીજા જૂથમાં છે. વિદ્યાર્થીએ પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $3$ પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ $5$ માંથી $3$ અને બાકીના $8$ માંથી $7$ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{3} \times {}^{8}C_{7} = 10 \times 8 = 80$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ $5$ માંથી $4$ અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ $5$ માંથી $5$ અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 80 + 140 + 56 = 276$.

(C) આને ઉકેલવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$7$ સફેદ દડા સમાન હોવાથી,તેમને માત્ર $1$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $3$ કાળા દડાને $7$ સફેદ દડા દ્વારા બનાવેલી જગ્યાઓમાં મૂકીએ છીએ.
સફેદ દડાને $W$ તરીકે દર્શાવતા,ગોઠવણી આ મુજબ છે: $\_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_$.
$3$ સમાન કાળા દડા માટે $8$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓ છે.
$8$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^8C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${}^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
આમ,કુલ અલગ પાડી શકાય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $56$ છે.

(A) $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓમાં એવી રીતે વહેંચવા માટે કે જેથી દરેક વ્યક્તિને ઓછામાં ઓછી $1$ વસ્તુ મળે,આપણે $\binom{n-1}{r-1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા $\binom{8-1}{3-1} = \binom{7}{2}$ થશે.
$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(C) $10$ દડા ($6$ કાળા + $4$ લીલા) માંથી $4$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ છે.
એક પણ કાળો દડો પસંદ ન થાય (એટલે કે બધા $4$ દડા લીલા હોય) તેવી રીતોની સંખ્યા $^{4}C_4 = 1$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = (કુલ રીતો) - (એક પણ કાળો દડો ન હોય તેવી રીતો) = $210 - 1 = 209$.

(B) $9$ પેપરોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $9!$ છે.
શ્રેષ્ઠ અને સૌથી ખરાબ પેપર સાથે હોય તેવી રીતો શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આમ કરવાથી આપણી પાસે $8$ એકમો બાકી રહે છે (સંયુક્ત જોડી અને અન્ય $7$ પેપરો),જેને $8!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
શ્રેષ્ઠ અને સૌથી ખરાબ પેપર તેમના એકમમાં $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે હોય તેવી કુલ રીતો $= 2! \times 8!$ છે.
તેઓ ક્યારેય સાથે ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીમાંથી તેઓ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી બાદ કરવાથી મળે: $9! - 2! \times 8!$.

(C) કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$2$ છોકરીઓને એક હરોળમાં ગોઠવો,જે $2! = 2$ રીતે કરી શકાય છે.
આનાથી $3$ જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે (પ્રથમ છોકરીની પહેલા,બે છોકરીઓની વચ્ચે,અને બીજી છોકરીની પછી) જે આ મુજબ છે: $\_ G \_ G \_$.
આપણે આ $3$ જગ્યાઓમાં $3$ છોકરાઓને બેસાડવાની જરૂર છે. $3$ છોકરાઓને $3$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $2! \times 3! = 2 \times 6 = 12$ થાય.

(A) શબ્દ $MAXIMA$ છે. કુલ અક્ષરો $= 6$.
સ્વરો $\{A, I, A\}$ છે (કુલ $3$,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
વ્યંજનો $\{M, X, M\}$ છે (કુલ $3$,જેમાં $M$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
બધા સ્વરોને સાથે ગોઠવવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
બધા વ્યંજનોને સાથે ગોઠવવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
આ બે જૂથો (એક સ્વરોનું અને એક વ્યંજનોનું) હોવાથી,આ બે જૂથોને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 2! \times \left(\frac{3!}{2!}\right) \times \left(\frac{3!}{2!}\right) = 2 \times 3 \times 3 = 18$.

(B) '$MOBILE$' શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M, O, B, I, L, E$.
વ્યંજનો $M, B, L$ છે (કુલ $3$).
સ્વરો $O, I, E$ છે (કુલ $3$).
કુલ $6$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
આપણે $3$ વ્યંજનોને $3$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે,જે $3!$ રીતે કરી શકાય.
બાકીના $3$ સ્વરોને બાકીના $3$ બેકી સ્થાનો $(2, 4, 6)$ પર $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
શબ્દોની કુલ સંખ્યા $= 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$.

(C) આપેલા અંકો $0, 1, 2, 3$ છે. આપણે આ અંકોનો વધુમાં વધુ એક વાર ઉપયોગ કરીને ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો બનાવવાના છે.
કિસ્સો $I$: $4$-અંકી પૂર્ણાંકો.
પ્રથમ સ્થાન $3$ શૂન્યતર અંકો $(1, 2, 3)$ માંથી કોઈપણ એક દ્વારા ભરી શકાય છે. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3 \times 2 \times 1$ રીતે ભરી શકાય છે.
$4$-અંકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.
કિસ્સો $II$: $3$-અંકી પૂર્ણાંકો.
પ્રથમ સ્થાન $3$ વિકલ્પો $(1, 2, 3)$ દ્વારા ભરી શકાય છે. બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3 \times 2$ રીતે ભરી શકાય છે.
$3$-અંકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 3 \times 3 \times 2 = 18$.
કિસ્સો $III$: $2$-અંકી પૂર્ણાંકો.
પ્રથમ સ્થાન $3$ વિકલ્પો $(1, 2, 3)$ દ્વારા ભરી શકાય છે. બીજું સ્થાન બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3$ રીતે ભરી શકાય છે.
$2$-અંકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 3 \times 3 = 9$.
કિસ્સો $IV$: $1$-અંકી પૂર્ણાંકો.
શક્ય પૂર્ણાંકો $1, 2, 3$ છે.
$1$-અંકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 3$.
કુલ ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 18 + 18 + 9 + 3 = 48$.

(A) વિધાન $I$: $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ અલગ-અલગ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે,તેનું સૂત્ર ${}^{n-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા ${}^{10-1}C_{4-1} = {}^9C_3$ થાય.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: $n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^nC_r$ છે.
$9$ અલગ-અલગ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવા માટેની રીતોની સંખ્યા ${}^9C_3$ છે.
આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.
વિધાન $II$ એ એક પ્રમાણિત સંચયી સૂત્ર છે અને તે વિધાન $I$ માં આપેલ વિતરણ સમસ્યા માટેનું તાર્કિક કારણ નથી,તેથી વિધાન $II$ એ વિધાન $I$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) $8$ વિષયો માટે કુલ પરિણામોની સંખ્યા,જ્યાં દરેક વિષયમાં પાસ અથવા નાપાસ થઈ શકાય,તે $2^8 = 256$ છે.
વિદ્યાર્થી ત્યારે જ નાપાસ થાય છે જો તે ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થાય.
વિદ્યાર્થી નાપાસ ન થાય તેવી એકમાત્ર સ્થિતિ એ છે કે તે બધા $8$ વિષયોમાં પાસ થાય.
બધા વિષયોમાં પાસ થવાની રીતોની સંખ્યા $^8C_0 = 1$ છે.
તેથી,તે જે રીતે નાપાસ થઈ શકે છે તેની સંખ્યા:
$2^8 - ^8C_0 = 256 - 1 = 255$.

(A) ધારો કે પતિના સંબંધીઓમાંથી આમંત્રિત સ્ત્રીઓ અને પુરુષોની સંખ્યા $(L_m, G_m)$ છે અને પત્નીના સંબંધીઓમાંથી $(L_w, G_w)$ છે.
આપણે $L_m + L_w = 3$ અને $G_m + G_w = 3$ જોઈએ છે,જ્યાં $L_m + G_m = 3$ અને $L_w + G_w = 3$ છે.
$(L_m, G_m)$ અને $(L_w, G_w)$ માટે શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $(L_m, G_m) = (0, 3)$ અને $(L_w, G_w) = (3, 0)$.
રીતો $= {^4C_0} \times {^3C_3} \times {^3C_3} \times {^4C_0} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
કિસ્સો $2$: $(L_m, G_m) = (1, 2)$ અને $(L_w, G_w) = (2, 1)$.
રીતો $= {^4C_1} \times {^3C_2} \times {^3C_2} \times {^4C_1} = 4 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.
કિસ્સો $3$: $(L_m, G_m) = (2, 1)$ અને $(L_w, G_w) = (1, 2)$.
રીતો $= {^4C_2} \times {^3C_1} \times {^3C_1} \times {^4C_2} = 6 \times 3 \times 3 \times 6 = 324$.
કિસ્સો $4$: $(L_m, G_m) = (3, 0)$ અને $(L_w, G_w) = (0, 3)$.
રીતો $= {^4C_3} \times {^3C_0} \times {^3C_0} \times {^4C_3} = 4 \times 1 \times 1 \times 4 = 16$.
કુલ રીતો $= 1 + 144 + 324 + 16 = 485$.

(B) દરેક $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને બે અલગ-અલગ પેટીઓમાંથી કોઈ પણ એકમાં મૂકી શકાય છે.
દરેક વસ્તુ માટે $2$ વિકલ્પો હોવાથી,$n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $2$ અલગ-અલગ પેટીઓમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $2 \times 2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($n$ વખત) થાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $2^n$ છે.

(C) દરેક $5$ દડાને $4$ ડબ્બાઓમાંથી કોઈપણમાં સ્વતંત્ર રીતે મૂકી શકાય છે.
દરેક દડા માટે $4$ વિકલ્પો હોવાથી,$5$ દડાને $4$ ડબ્બાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ છે.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $10$ સમાંતર રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ અને $m$ સમાંતર રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરીને બને છે.
$10$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
$m$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{m}C_2 = \frac{m(m-1)}{2}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની કુલ સંખ્યા:
${}^{10}C_2 \times {}^{m}C_2 = 675$
$45 \times \frac{m(m-1)}{2} = 675$
$\frac{m(m-1)}{2} = 15$
$m(m-1) = 30$
$m^2 - m - 30 = 0$
$(m - 6)(m + 5) = 0$
$m$ ધન હોવાથી,$m = 6$.

(C) $A, B$ અને $C$ સિવાયના કુલ બિંદુઓ $10 + 8 = 18$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$18$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{18}C_3$ છે.
$AB$ રેખા પરના બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$^{10}C_3$ સંયોજનો ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
$AC$ રેખા પરના બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$^{8}C_3$ સંયોજનો ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
તેથી,ત્રિકોણની સંખ્યા $= ^{18}C_3 - ^{10}C_3 - ^{8}C_3$ છે.
$^{18}C_3 = 816$,$^{10}C_3 = 120$,$^{8}C_3 = 56$.
ત્રિકોણની સંખ્યા $= 816 - 120 - 56 = 640$.

(B) આપેલ બહુપદી $f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ છે.
ધારો કે બહુપદીના બીજ $s - t$,$s$,અને $s + t$ છે,જ્યાં $s$ અને $t$ પૂર્ણાંક છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો:
$(s - t) + s + (s + t) = -a$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$3s = -a$,અથવા $a = -3s$ મળે છે.
$s$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$a$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$A: -642 = 3 \times (-214)$ ($3$ નો ગુણક છે)
$B: 1214$ ($3$ નો ગુણક નથી,કારણ કે $1+2+1+4 = 8$)
$C: 1323 = 3 \times 441$ ($3$ નો ગુણક છે)
$D: 1626 = 3 \times 542$ ($3$ નો ગુણક છે)
તેથી,'$a$' એ $1214$ કિંમત ધારણ કરી શકે નહીં.

(B) $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $6$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$1$ થી $50$ વચ્ચે $6$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $6, 12, 18, \dots, 48$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 6$,અંતિમ પદ $a_n = 48$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$48 = 6 + (n - 1)6$
$42 = (n - 1)6$
$n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$S_8 = \frac{8}{2}(6 + 48) = 4(54) = 216$.
$216 = 6^3$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
$A+B+C=180^{\circ}$ અને $2B=A+C$ હોવાથી,$3B=180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $B=60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
$B=60^{\circ}$ મૂકતા,$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
બંને બાજુ $2ac$ વડે ગુણતા,$ac = a^2+c^2-b^2$ મળે.
તેથી,$b^2 = a^2+c^2-ac$.

(B) આપેલ અસમતા: $2^n > n+1$.
$n=1$ માટે: $2^1 > 1+1 \Rightarrow 2 > 2$,જે ખોટું છે.
$n=2$ માટે: $2^2 > 2+1 \Rightarrow 4 > 3$,જે સાચું છે.
$n=3$ માટે: $2^3 > 3+1 \Rightarrow 8 > 4$,જે સાચું છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે કોઈ $k \geq 2$ માટે $2^k > k+1$ સાચું છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $2^{k+1} > (k+1)+1 = k+2$.
$2^k > k+1$ હોવાથી,બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા $2^{k+1} > 2k+2$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2k+2 = (k+2) + k$.
$k \geq 2$ હોવાથી,$k > 0$,તેથી $2k+2 > k+2$.
આમ,$2^{k+1} > k+2$ એ તમામ $n \geq 2$ માટે સાચું છે.

(B) આપેલ સંબંધ: $a_0=1$ અને $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા:
$n=0$ માટે: $a_1 = 3(0)^2+0+a_0 = 1$.
$n=1$ માટે: $a_2 = 3(1)^2+1+a_1 = 3+1+1 = 5$.
$n=2$ માટે: $a_3 = 3(2)^2+2+a_2 = 12+2+5 = 19$.
હવે,$n=3$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $3^3+3^2+1 = 37$.
વિકલ્પ $B$: $3^3-3^2+1 = 19$.
વિકલ્પ $C$: $3^3-3^2 = 18$.
વિકલ્પ $D$: $3^3+3^2 = 36$.
આમ,$a_3=19$ હોવાથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે હાયપરબોલિક વિધેયો માટેનું મૂળભૂત નિત્યસમ: $\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$ છે.
આપેલ છે કે $\sinh u = \tan \theta$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા: $\cosh^2 u - (\tan \theta)^2 = 1$.
$\cosh^2 u = 1 + \tan^2 \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા: $\cosh^2 u = \sec^2 \theta$.
તેથી,$\cosh u = \sec \theta$ (કારણ કે $\cosh u$ હંમેશા ધન હોય છે).

(B) આપેલ છે કે $\det(A) = 5$ અને $\det(B^T \cdot A^T) = -15$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$\det(M) = \det(M^T)$ થાય છે.
વળી,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ $\det(X \cdot Y) = \det(X) \cdot \det(Y)$ થાય છે.
તેથી,$\det(B^T \cdot A^T) = \det(B^T) \cdot \det(A^T) = \det(B) \cdot \det(A) = -15$.
$\det(A) = 5$ ની કિંમત મૂકતા:
$\det(B) \cdot 5 = -15$.
આમ,$\det(B) = \frac{-15}{5} = -3$.

(C) ધારો કે $D_1 = \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix}$ અને $D_2 = \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ (-1)^{n+2} a & (-1)^{n-1} b & (-1)^n c \end{vmatrix}$.
આપણને $D_1 + D_2 = 0$ આપેલ છે.
$D_2$ માં,ત્રીજી હારમાંથી $(-1)^n$ સામાન્ય લેતા: $D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ a & -b & c \end{vmatrix}$.
હવે,$D_2$ પર સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ કરતા: $C_1$ અને $C_2$ ની અદલાબદલી કરો,પછી $C_2$ અને $C_3$ ની અદલાબદલી કરો. બે અદલાબદલી કરવાથી નિશાનીમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
$D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix} = (-1)^n D_1$.
આમ,$D_1 + (-1)^n D_1 = 0 \Rightarrow (1 + (-1)^n) D_1 = 0$.
આ સમીકરણ કોઈપણ $a, b, c$ માટે સાચું રહે તે માટે,$1 + (-1)^n = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(-1)^n = -1$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $n$ એકી પૂર્ણાંક હોય.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સમઘાત છે: $-x + y \cos C + z \cos B = 0$,$x \cos C - y + z \cos A = 0$,$x \cos B + y \cos A - z = 0$.
આ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} -1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & -1 & \cos A \\ \cos B & \cos A & -1 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $D = -1(1 - \cos^2 A) - \cos C(-\cos C - \cos A \cos B) + \cos B(\cos A \cos C + \cos B)$.
$D = -1 + \cos^2 A + \cos^2 C + \cos A \cos B \cos C + \cos A \cos B \cos C + \cos^2 B$.
$D = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C - 1$.
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,નિત્યસમ $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1$ ત્યારે જ સાચું છે જો ત્રિકોણ સમબાજુ હોય $(A=B=C=60^\circ)$.
જો $A=B=C=60^\circ$ હોય,તો $\cos A = \cos B = \cos C = 1/2$. આ કિંમતો મૂકતા,$D = 3(1/4) + 2(1/8) - 1 = 3/4 + 1/4 - 1 = 0$.
આમ,સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ માત્ર ત્યારે જ મળે છે જ્યારે ત્રિકોણ સમબાજુ હોય.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 6y + 0z = -11$
$6x + 20y - 6z = -3$
$0x + 6y - 18z = -1$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ ગણતા:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 6 & 20 & -6 \\ 0 & 6 & -18 \end{vmatrix}$
$D = 2(20 \times (-18) - (-6) \times 6) - 6(6 \times (-18) - 0) + 0$
$D = 2(-360 + 36) - 6(-108)$
$D = 2(-324) + 648 = -648 + 648 = 0$
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સિસ્ટમ અસંગત છે અથવા અનંત ઉકેલો ધરાવે છે. આપણે $D_1$ તપાસીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} -11 & 6 & 0 \\ -3 & 20 & -6 \\ -1 & 6 & -18 \end{vmatrix}$
$D_1 = -11(20 \times (-18) - (-6) \times 6) - 6((-3) \times (-18) - (-1) \times (-6))$
$D_1 = -11(-360 + 36) - 6(54 - 6)$
$D_1 = -11(-324) - 6(48) = 3564 - 288 = 3276 \neq 0$
$D = 0$ અને $D_1 \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમપરિમાણીય સમીકરણ સંહતિના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે:
$x-y+z=0$ $(i)$
$x+2y-z=0$ $(ii)$
$2x+y+3z=0$ $(iii)$
આપણે આ સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX=0$ માં લખી શકીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ અને $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(2 \times 3 - (-1) \times 1) - (-1)(1 \times 3 - (-1) \times 2) + 1(1 \times 1 - 2 \times 2)$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
સમપરિમાણીય સંહતિ $AX=0$ માટે,જો $|A| \neq 0$ હોય,તો માત્ર શૂન્યતર ઉકેલ (trivial solution) $X=0$ (એટલે કે $x=0, y=0, z=0$) મળે છે.
તેથી,કુલ $1$ ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ અને $S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right\}$.
$S$ ની કાર્ડિનાલિટી શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ ઉકેલીએ.
$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x + 3y \\ 4x - 3y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \end{bmatrix}$
આનાથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x + 3y = 3x \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$
$4x - 3y = 3y \implies 4x = 6y \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$
બંને સમીકરણો એક જ શરત $x = \frac{3}{2}y$ માં પરિણમે છે.
આમ,$S = \left\{ \begin{bmatrix} \frac{3}{2}y \\ y \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ y \begin{bmatrix} 1.5 \\ 1 \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \right\}$.
કારણ કે $y$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,તેથી આવા અસંખ્ય સદિશો છે.
ગણ $S$ એ $\mathbb{R}^2$ માં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા દર્શાવે છે,જેમાં અગણિત બિંદુઓ છે.
તેથી,$S$ ની કાર્ડિનાલિટી અગણિત (uncountable) છે.

(A) આપેલ છે: $\sec ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)-\sec ^{-1} \left(\frac{x}{b}\right)=\sec ^{-1} b-\sec ^{-1} a$
$\sec ^{-1} z = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{b}{x}\right)=\cos ^{-1} \left(\frac{1}{b}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{1}{a}\right)$
$\cos ^{-1} u - \cos ^{-1} v = \cos ^{-1} \left(uv + \sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a b}{x^2} + \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}\sqrt{1-\frac{b^2}{x^2}} = \frac{1}{a b} + \sqrt{1-\frac{1}{b^2}}\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}$
$\frac{a b}{x^2} + \frac{\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}}{x^2} = \frac{1}{a b} + \frac{\sqrt{(b^2-1)(a^2-1)}}{a b}$
બંને બાજુ $x^2 ab$ વડે ગુણતા:
$a^2 b^2 + ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} = x^2 + x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$
$ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} - x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)} = x^2 - a^2 b^2$
સમીકરણ સંતોષવા માટે,$x^2 - a^2 b^2 = 0$ લેતા,$x^2 = a^2 b^2$,તેથી $x = ab$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ છે.
ધારો કે $\theta = 2 \tan^{-1} x$. તો $\cot \theta = \cot (2 \tan^{-1} x) = \frac{1 - \tan^2(\tan^{-1} x)}{2 \tan(\tan^{-1} x)} = \frac{1 - x^2}{2x}$.
સમીકરણ $\sin [2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x})] = 0$ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = n\pi$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$\cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = \frac{n\pi}{2}$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\frac{1 - x^2}{2x} = \cos(\frac{n\pi}{2})$.
વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\cos^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ માં હોવો જોઈએ,તેથી $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$.
$\cos(\frac{n\pi}{2})$ માટે શક્ય મૂલ્યો $0, 1, -1$ છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
કિસ્સો $2$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$.
કિસ્સો $3$: $\frac{1 - x^2}{2x} = -1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$.
આ તમામ $6$ મૂલ્યો શરત $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$ નું પાલન કરે છે.
આમ,$x$ ના $6$ ભિન્ન મૂલ્યો મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} 3x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [0, 1]$ માટે $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2} = \sin ^{-1} 3x$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા,$\sqrt{1-x^2} = 3x$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1-x^2 = 9x^2$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $10x^2 = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{1}{10}$.
અહીં $x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $x = \sin ^{-1} \frac{12}{13} + \cos ^{-1} \frac{4}{5} + \tan ^{-1} \frac{63}{16}$.
બધા પદોને $\tan ^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\sin ^{-1} \frac{12}{13} = \tan ^{-1} \frac{12}{5}$ (કારણ કે $\sin \theta = \frac{12}{13} \implies \tan \theta = \frac{12}{5}$)
$\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ (કારણ કે $\cos \theta = \frac{4}{5} \implies \tan \theta = \frac{3}{4}$)
હવે,પદાવલિ $\tan ^{-1} \frac{12}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{63}{16}$ બને છે.
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x+y}{1-xy}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \frac{12}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{63/20}{-16/20} \right) = \tan ^{-1} \left( -\frac{63}{16} \right) = \pi - \tan ^{-1} \frac{63}{16}$ (કારણ કે ગુણાકાર $xy > 1$ છે).
આમ,$(\pi - \tan ^{-1} \frac{63}{16}) + \tan ^{-1} \frac{63}{16} = \pi$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\tan^{-1}(-2) - \tan^{-1}(3)$
ગુણધર્મ $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(3)$
$= -(\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3))$
અહીં $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું:
$= -\left(\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3}\right)\right)$
$= -\pi - \tan^{-1}\left(\frac{5}{1 - 6}\right)$
$= -\pi - \tan^{-1}(-1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,તેથી:
$= -\pi - (-\frac{\pi}{4})$
$= -\pi + \frac{\pi}{4}$
$= -\frac{3 \pi}{4}$

(B) આપેલ છે,$\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{8} + 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan^{-1} \frac{1}{8} = \tan^{-1} \frac{2/8}{1-1/64} = \tan^{-1} \frac{16}{63}$.
$2 \tan^{-1} \frac{1}{5} = \tan^{-1} \frac{2/5}{1-1/25} = \tan^{-1} \frac{5}{12}$.
હવે,$\theta = \tan^{-1} \frac{16}{63} + \tan^{-1} \frac{5}{12} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$.
$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \frac{16}{63} + \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{1}{7} = \tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$\tan \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$.
$\sqrt{m} + \sqrt{n} = -1 + \sqrt{2}$ અને $m < n$ હોવાથી,$m = 1$ અને $n = 2$ મળે.
તેથી $(m^n + n^m)^{m+n} = (1^2 + 2^1)^{1+2} = 3^3 = 27$.

(D) આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $2 \tan^{-1} (\theta) = \sin^{-1} (\frac{2 \theta}{1 + \theta^2}) = \cos^{-1} (\frac{1 - \theta^2}{1 + \theta^2}) = \sec^{-1} (\frac{1 + \theta^2}{1 - \theta^2})$.
$x = \sin (2 \tan^{-1} 2)$ માટે:
$x = \sin (\sin^{-1} (\frac{2 \times 2}{1 + 2^2})) = \frac{4}{5} = 0.8$.
$y = \cos (2 \tan^{-1} 3)$ માટે:
$y = \cos (\cos^{-1} (\frac{1 - 3^2}{1 + 3^2})) = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -0.8$.
$z = \sec (2 \tan^{-1} 4)$ માટે:
$z = \sec (\sec^{-1} (\frac{1 + 4^2}{1 - 4^2})) = \frac{1 + 16}{1 - 16} = \frac{17}{-15} \approx -1.133$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $-1.133 < -0.8 < 0.8$,જેનો અર્થ છે કે $z < y < x$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+k(k+1)}\right] = \tan ^{-1}\left[\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}\right] = \tan ^{-1}(k+1) - \tan ^{-1}(k)$.
સરવાળાના દરેક પદ માટે આ સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+1 \cdot 2}\right] = \tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)$
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+2 \cdot 3}\right] = \tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)$
...
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+n(n+1)}\right] = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n)$
આ પદોનો સરવાળો કરતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી મળે છે:
$S = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \cdots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$
$S = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1)$
સૂત્ર $\tan ^{-1}(A) - \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{n}{1+n+1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{n}{n+2}\right)$
આપેલ છે કે $S = \tan ^{-1}(x)$,તેથી $x = \frac{n}{n+2}$.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{-5}{4x^2+1} + \sqrt{x^2-4}$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદ $4x^2+1$ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ અને વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ.
દરેક $x \in R$ માટે $4x^2+1 \geq 1$ હોવાથી,છેદ ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી.
વર્ગમૂળ માટે,આપણે $x^2 - 4 \geq 0$ ની જરૂર છે.
$x^2 \geq 4$
$|x| \geq 2$
આનો અર્થ એ છે કે $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
તેથી,પ્રદેશ $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{1-|x|}{2-|x|}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1$. $\frac{1-|x|}{2-|x|} \geq 0$
$2$. $2-|x| \neq 0 \implies |x| \neq 2 \implies x \neq \pm 2$
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. અસમતા $\frac{1-t}{2-t} \geq 0$ બને છે.
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા: $\frac{t-1}{t-2} \geq 0$.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$t \geq 0$ માટે $t$ નો ઉકેલ $t \in [0, 1] \cup (2, \infty)$ મળે છે.
હવે,$t = |x|$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $I$: $0 \leq |x| \leq 1 \implies x \in [-1, 1]$.
કિસ્સો $II$: $|x| > 2 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$ છે.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \geq 0$ માટે $|x| = x$,તેથી $x > x$ શક્ય નથી.
$x < 0$ માટે $|x| = -x$,તેથી $-x > x$,જેનો અર્થ છે કે $-2x > 0$,એટલે કે $x < 0$.
આમ,વિધેય તમામ $x \in (-\infty, 0)$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,$f(x)$ નો પ્રદેશ $(-\infty, 0)$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{[x]-1}$ છે.
વિધેય $f(x)$ ત્યારે અવ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે છેદ શૂન્ય હોય,એટલે કે $[x] - 1 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $[x] = 1$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x] = 1$ એ અંતરાલ $[1, 2)$ માં રહેલી તમામ $x$ ની કિંમતો માટે થાય છે.
તેથી,$f(x)$ નો પ્રદેશ $[1, 2)$ અંતરાલ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેને $R - [1, 2)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = -\sqrt{5-6x-x^2}$.
પ્રથમ,$5-6x-x^2 \geq 0$ ઉકેલીને પ્રદેશ શોધીએ.
$x^2+6x-5 \leq 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x+3)^2 - 14 \leq 0 \Rightarrow (x+3)^2 \leq 14$.
તેથી,$-\sqrt{14} \leq x+3 \leq \sqrt{14}$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [-3-\sqrt{14}, -3+\sqrt{14}]$.
હવે,ધારો કે $y = f(x) = -\sqrt{14-(x+3)^2}$.
કારણ કે $(x+3)^2 \geq 0$,$14-(x+3)^2$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે ($x=-3$ પર).
તેથી,$\sqrt{14-(x+3)^2}$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{14}$ છે.
$y = -\sqrt{14-(x+3)^2}$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{14}$ ($x=-3$ પર) અને મહત્તમ કિંમત $0$ છે (જ્યારે $14-(x+3)^2 = 0$ હોય).
તેથી,વિસ્તાર $[-\sqrt{14}, 0]$ છે.

(B) વિધેય $h(x) = \frac{x-2}{x+3}$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,ધારો કે $h(x) = y$.
$y = \frac{x-2}{x+3}$ લો.
બંને બાજુ $(x+3)$ વડે ગુણતા:
$y(x+3) = x-2$
$xy + 3y = x - 2$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$xy - x = -3y - 2$
$x(y-1) = -(3y + 2)$
$x = \frac{3y+2}{1-y}$.
$x$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે છેદ $1-y \neq 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $y \neq 1$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $1$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જે $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$.
વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x} - 1} + \frac{-x}{2} + 1$.
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$f(-x) = \frac{-x e^x}{1 - e^x} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x e^x}{e^x - 1} - \frac{x}{2} + 1$.
આપણે $\frac{x e^x}{e^x - 1}$ ને $\frac{x(e^x - 1 + 1)}{e^x - 1} = x + \frac{x}{e^x - 1}$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$f(-x) = x + \frac{x}{e^x - 1} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$.
અહીં $f(-x) = f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય એક યુગ્મ વિધેય છે.

(A) જો $f$ એ $R$ થી $R$ પરનું યુગ્મ વિધેય હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત $0$ જ હોવી જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો વિધેય $f(x)$ યુગ્મ હોય,તો $f(-x)=f(x)$ થાય.
ધારો કે $f(x)=\cos x$,તો $f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x)$.
આમ,$f(x)=\cos x$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
પરંતુ,$f(0)=\cos 0=1 \neq 0$.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.
$(b)$ $f: R \rightarrow R$,$f(x)=x-[x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x=[x]+\{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,તેથી $f(x)=\{x\}$.
$\{x\}$ એ આવર્તી વિધેય હોવાથી,$f(x)$ પણ આવર્તી વિધેય છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.
$(c)$ જો $f: R \rightarrow R$ એ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $f(0)=0$.
અયુગ્મ વિધેય માટે $f(-x)=-f(x)$ થાય.
$x=0$ મૂકતા,$f(0)=-f(0)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2f(0)=0$,એટલે કે $f(0)=0$.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.
$(d)$ ગણ $\{1,2,3,4,5,6\}$ થી $\{1,2\}$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $62$ છે.
ધારો કે $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ અને $B=\{1,2\}$,તેથી $n(A)=6$ અને $n(B)=2$.
$m$ ઘટકોવાળા ગણથી $n$ ઘટકોવાળા ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $n^m - \binom{n}{1}(n-1)^m + \binom{n}{2}(n-2)^m - \dots$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=2$ અને $m=6$ માટે,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $2^6 - \binom{2}{1}(1)^6 = 64 - 2 = 62$ થાય.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) આપેલ વિધેયો $f(x) = 2x + 1$ અને $g(x) = x^2 - 2$ છે.
સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x)$ શોધવા માટે,આપણે વ્યાખ્યા $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$f(x)$ ને $g(x)$ માં મૂકતા:
$g(f(x)) = g(2x + 1)$.
કારણ કે $g(x) = x^2 - 2$,આપણે $x$ ની જગ્યાએ $(2x + 1)$ મૂકીએ છીએ:
$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 2$.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
હવે,$2$ બાદ કરતા:
$4x^2 + 4x + 1 - 2 = 4x^2 + 4x - 1$.
તેથી,$(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 1$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \min \{x - [x], -x - [-x]\}$ જ્યાં $x \in (0, 1)$.
$x \in (0, 1)$ હોવાથી,$[x] = 0$ થાય.
વળી,$x \in (0, 1)$ માટે,$-x \in (-1, 0)$,તેથી $[-x] = -1$ થાય.
આ કિંમતો વિધેયમાં મૂકતા:
$f(x) = \min \{x - 0, -x - (-1)\} = \min \{x, 1 - x\}$.
હવે,સંયોજિત વિધેય $(f \circ f \circ f \circ f)(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
જો $x \in (0, 1/2]$ હોય,તો $x \le 1 - x$,તેથી $f(x) = x$.
આથી $f(f(x)) = f(x) = x$,અને આ રીતે આગળ વધતા $(f \circ f \circ f \circ f)(x) = x$ મળે.
જો $x \in (1/2, 1)$ હોય,તો $1 - x < x$,તેથી $f(x) = 1 - x$.
આથી $f(f(x)) = f(1 - x) = \min \{1 - x, 1 - (1 - x)\} = \min \{1 - x, x\} = 1 - x$.
આમ,$(f \circ f)(x) = f(x)$ મળે.
પરિણામે,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x)$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x + \cos x$ અને $g(x) = x^2 - 1$.
$g(f(x)) = g(\sin x + \cos x) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
$= \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 1$.
$= 1 + \sin 2x - 1 = \sin 2x$.
કોઈપણ વિધેય વ્યસ્ત હોવા માટે તે આપેલ પ્રદેશમાં એક-એક (one-one) અને વ્યાપ્ત (onto) હોવું જોઈએ.
વિધેય $h(x) = \sin 2x$ એ અંતરાલમાં એક-એક છે જ્યાં તેનો ખૂણો $2x$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં હોય.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આમ,વિધેય અંતરાલ $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ માં વ્યસ્ત છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^3$ અને $g(x) = 3^x$.
આપણે $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ માટે $x \neq 0$ ઉકેલવાનું છે.
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3^x) = (3^x)^3 = 3^{3x}$.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^3) = 3^{x^3}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $3^{3x} = 3^{x^3}$.
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા: $3x = x^3$.
પદોને ગોઠવતા: $x^3 - 3x = 0$.
$x$ સામાન્ય લેતા: $x(x^2 - 3) = 0$.
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $x^2 - 3 = 0$ મળે છે.
આમ,જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 3 = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = [x]$ અને $g(x) = |x|$.
આપણે $(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = g\left(f\left(\frac{-5}{3}\right)\right)$.
પ્રથમ,$f\left(\frac{-5}{3}\right) = \left[\frac{-5}{3}\right]$ ની ગણતરી કરીએ.
કારણ કે $\frac{-5}{3} = -1.666...$,તેથી $-1.666...$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $-2$ છે.
તેથી,$f\left(\frac{-5}{3}\right) = -2$.
હવે,આ કિંમતને $g(x)$ માં મૂકતા:
$(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = g(-2) = |-2|$.
$-2$ નો માનાંક $2$ થાય છે,તેથી $(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = 2$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=x^2$ અને $g(x)=\frac{1}{x^2}$.
આપણે $x^4(f \circ g)(x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $(f \circ g)(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4}$.
હવે,આને $x^4$ વડે ગુણીએ:
$x^4(f \circ g)(x) = x^4 \times \frac{1}{x^4} = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $g(x) = 1 + x - [x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x - [x] = \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,તેથી $g(x) = 1 + \{x\}$.
અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\}$ નો વિસ્તાર $[0, 1)$ છે.
તેથી,$g(x) = 1 + \{x\} \in [1, 2)$.
હવે,આપણે $f(g(x))$ ની કિંમત શોધીએ. કારણ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $g(x) \geq 1$ છે,અને $f(x)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $x > 0$ માટે $f(x) = 5$ છે,તેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(g(x)) = 5$ થાય.

(A) આપેલ છે $f(x) = \cos(\tan^{-1}(\sin(\tan^{-1} x)))$.
$\tan^{-1} x = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ મળે.
તેથી ${f(x) = \cos(\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}))$ થાય.
$\tan^{-1} \theta = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \cos(\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{1+x^2}}}) = \sqrt{\frac{1+x^2}{1+2x^2}}$ મળે.
હવે,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \sqrt{\frac{1+(f(x))^2}{1+2(f(x))^2}}$.
$f(x)^2 = \frac{1+x^2}{1+2x^2}$ મૂકતા,$(f \circ f)(x) = \sqrt{\frac{1+\frac{1+x^2}{1+2x^2}}{1+2(\frac{1+x^2}{1+2x^2})}} = \sqrt{\frac{2+3x^2}{3+4x^2}}$.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2+3x^2}{3+4x^2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \max \{x+1, 1-x, 2\}$.
આપણે વિધેયને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીને સમજી શકીએ છીએ:
$x < -1$ માટે,$x+1 < 0$ અને $1-x > 2$,તેથી $f(x) = 1-x$.
$-1 \leq x \leq 1$ માટે,$x+1 \geq 0$,$1-x \geq 0$,અને આ કિંમતો તથા $2$ માંથી મહત્તમ કિંમત $2$ છે (કારણ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $x+1 \leq 2$ અને $1-x \leq 2$ થાય છે).
$x > 1$ માટે,$x+1 > 2$ અને $1-x < 0$,તેથી $f(x) = x+1$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} 1-x, & x < -1 \\ 2, & -1 \leq x \leq 1 \\ x+1, & x > 1 \end{cases}$.
કારણ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $f(x) = 2$ છે,તેથી વિધેય એક-એક નથી (ઘણા-એક છે).
કારણ કે $f(x)$ નો વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) $3 \times 3$ ક્રમનો અદિશ શ્રેણિક $M$ એ $M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m \in R$.
$M$ નો નિશ્ચાયક $\operatorname{det}(M) = m^3$ દ્વારા મળે છે.
આમ,વિધેય $f: A \rightarrow R$ એ $f(M) = m^3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f(m) = m^3$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવાથી,કોઈપણ $m_1, m_2 \in R$ માટે,$f(m_1) = f(m_2) \implies m_1^3 = m_2^3 \implies m_1 = m_2$. તેથી,$f$ એ એક-એક (injective) છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $y \in R$ માટે,એક વાસ્તવિક સંખ્યા $m = \sqrt[3]{y}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(m) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$. આમ,$f$ નો વિસ્તાર $R$ છે,જે સહપ્રદેશ જેટલો જ છે. તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત (surjective) છે.
$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે બાયજેક્ટિવ (bijective) છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = x^{9} - 11 x^{8} - 2 x^{7} + 22 x^{6} + x^{4} - 12 x^{3} + 11 x^{2} + x - 3$.
$f(11)$ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 11$ મૂકતા:
$f(11) = 11^{9} - 11(11)^{8} - 2(11)^{7} + 22(11)^{6} + 11^{4} - 12(11)^{3} + 11(11)^{2} + 11 - 3$.
પદોનું અવલોકન કરતા:
$11^{9} - 11(11)^{8} = 11^{9} - 11^{9} = 0$.
$-2(11)^{7} + 22(11)^{6} = -2(11)^{7} + 2(11)(11)^{6} = -2(11)^{7} + 2(11)^{7} = 0$.
$11^{4} - 12(11)^{3} + 11(11)^{2} = 11^{4} - 12(11)^{3} + 11^{3} = 11^{4} - 11(11)^{3} = 11^{4} - 11^{4} = 0$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$f(11) = 0 + 0 + 0 + 11 - 3 = 8$.

(C) વિધેય $f(x) = (x + 2)^2 - 2$ માટે $x \geq -2$ હોય ત્યારે તેનું પ્રતિવિધેય શોધવા માટે,આપણે $y = f(x)$ લઈએ.
$y = (x + 2)^2 - 2$
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા:
$y + 2 = (x + 2)^2$
$x \geq -2$ હોવાથી,$x + 2 \geq 0$ થાય. બંને બાજુ ધન વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{y + 2} = x + 2$
$x$ ને કર્તા બનાવવા માટે બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$x = \sqrt{y + 2} - 2$
વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{-1}(y) = \sqrt{y + 2} - 2$. $y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 2} - 2$

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = ax + b$ અને $g(x) = cx^3 + d$.
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
$(f \circ g)(x) = a(cx^3 + d) + b = acx^3 + ad + b$.
ધારો કે $y = (f \circ g)(x) = acx^3 + ad + b$.
પ્રતિવિધેય શોધવા માટે,$y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત શોધો:
$y - ad - b = acx^3$.
$x^3 = \frac{y - ad - b}{ac}$.
$x = \left( \frac{y - ad - b}{ac} \right)^{\frac{1}{3}}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $(f \circ g)^{-1}(x) = \left( \frac{x - ad - b}{ac} \right)^{\frac{1}{3}}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$ છે.
અંશ અને છેદને $10^x$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{10^{2x} - 1}{10^{2x} + 1}$
હવે,$y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત શોધતા:
$y(10^{2x} + 1) = 10^{2x} - 1$
$y \cdot 10^{2x} + y = 10^{2x} - 1$
$1 + y = 10^{2x} - y \cdot 10^{2x}$
$1 + y = 10^{2x}(1 - y)$
$10^{2x} = \frac{1 + y}{1 - y}$
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$2x = \log_{10} \left( \frac{1 + y}{1 - y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1 + y}{1 - y} \right)$
પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ મેળવવા માટે $y$ ને $x$ વડે બદલતા:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}, (a > 2) . . . . (i)$
આપણે $f(x + y) + f(x - y)$ શોધવાનું છે.
$f(x + y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2}$
$f(x - y) = \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
હવે,$f(x + y) + f(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-x-y}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-x+y}}{2}$
$= \frac{a^x \cdot a^y + a^{-x} \cdot a^{-y} + a^x \cdot a^{-y} + a^{-x} \cdot a^y}{2}$
$= \frac{a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})}{2}$
$= \frac{(a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})}{2}$
$= 2 \cdot \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \cdot \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$
$= 2 \cdot f(x) \cdot f(y)$

(C) આપેલ છે,$f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.
આપણે જોઈએ છીએ કે $f(1 - x) = \frac{4^{1 - x}}{4^{1 - x} + 2} = \frac{4/4^x}{4/4^x + 2} = \frac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \frac{2}{2 + 4^x}$.
વળી,$f(x) + f(1 - x) = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{4^x + 2} = \frac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$.
તેથી,$f(1 - x) = 1 - f(x)$.
આપણે $S = f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + f(\frac{3}{4})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $f(\frac{1}{4}) + f(1 - \frac{1}{4}) = f(\frac{1}{4}) + f(\frac{3}{4}) = 1$,આપણે $f(\frac{3}{4}) = 1 - f(\frac{1}{4})$ મૂકી શકીએ.
આમ,$S = f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + (1 - f(\frac{1}{4})) = 1 + 2 f(\frac{1}{2})$.
હવે,$f(\frac{1}{2}) = \frac{4^{1/2}}{4^{1/2} + 2} = \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ની ગણતરી કરીએ.
આ કિંમત મૂકતા,$S = 1 + 2(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.

(A) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $\forall x, y \in R$ અને $f(1)=5$.
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ હોવાથી,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $f(n)=n \cdot f(1)$ થાય.
$f(1)=5$ આપેલ હોવાથી,આપણને $f(n)=5n$ મળે છે.
આપણે $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 5r$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ $5 \sum_{r=1}^n r$ ની બરાબર છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$.
તેથી,$\sum_{r=1}^n f(r) = 5 \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{5n(n+1)}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $3 f(x)-2 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$ છે ...$(i)$
સમીકરણ $(i)$ માં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા:
$3 f\left(\frac{1}{x}\right)-2 f(x)=\frac{1}{x}$ ...(ii)
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$9 f(x)-6 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$ ...(iii)
$-4 f(x)+6 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{2}{x}$ ...(iv)
સમીકરણ (iii) અને (iv) નો સરવાળો કરતા:
$5 f(x)=3 x+\frac{2}{x}$
$f(x)=\frac{3 x}{5}+\frac{2}{5 x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x)=\frac{3}{5}-\frac{2}{5 x^2}$
હવે,$x=2$ મૂકતા:
$f^{\prime}(2)=\frac{3}{5}-\frac{2}{5(2)^2} = \frac{3}{5}-\frac{2}{20} = \frac{3}{5}-\frac{1}{10}$
$f^{\prime}(2)=\frac{6-1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

(B) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
શરત મુજબ,જ્યારે $m + n = 7$ હોય ત્યારે $f(m) + f(n) = 7$ થાય છે.
$m + n = 7$ થાય તેવી જોડીઓ $(m, n)$ એ $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ છે.
આથી નીચેની શરતો મળે છે:
$f(1) + f(6) = 7$
$f(2) + f(5) = 7$
$f(3) + f(4) = 7$
દરેક જોડી માટે,જેમ કે $(f(1), f(6))$,$f(1)$ માટે શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
દરેક જોડી $(f(1), f(6)), (f(2), f(5)),$ અને $(f(3), f(4))$ માટે $6$ શક્ય વિકલ્પો છે.
આમ,કુલ વિધેયોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{72^x - 9^x - 8^x + 1}{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x}}, & x \neq 0 \\ k \log 2 \log 3, & x = 0 \end{cases}$
વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થાય.
$\lim_{x \to 0} \frac{72^x - 9^x - 8^x + 1}{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x}} = k \log 2 \log 3$
$\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2} - \sqrt{2 \cos^2(x/2)}} = k \log 2 \log 3$
$\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2}(1 - \cos(x/2))} = k \log 2 \log 3$
$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2} \cdot 2 \sin^2(x/4)} = k \log 2 \log 3$
$\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)}{x} \cdot \frac{(8^x - 1)}{x} \cdot \frac{x^2}{2\sqrt{2} \sin^2(x/4)} = k \log 2 \log 3$
$\log 9 \cdot \log 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2} \cdot (1/4)^2} = k \log 2 \log 3$
$(2 \log 3) \cdot (3 \log 2) \cdot \frac{16}{2\sqrt{2}} = k \log 2 \log 3$
$6 \log 3 \log 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{2}} = k \log 2 \log 3$
$6 \cdot 4\sqrt{2} = k$
$k = 24\sqrt{2}$.

(D) કારણ કે $f(x)$ એ $[0, \pi]$ માં સતત છે,તેથી તે $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ પણ સતત હોવું જોઈએ.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{4})$.
$\frac{\pi}{4} + a\sqrt{2}(\sin \frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})(\cot \frac{\pi}{4}) + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \Rightarrow a - b = \frac{\pi}{4} \dots (I)$.
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$.
$2(\frac{\pi}{2})(\cot \frac{\pi}{2}) + b = a(\cos \pi) - b(\sin \frac{\pi}{2})$.
કારણ કે $\cot \frac{\pi}{2} = 0$,તેથી $b = -a - b \Rightarrow a = -2b \dots (II)$.
સમીકરણ $(II)$ ને $(I)$ માં મૂકતા: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow -3b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow b = -\frac{\pi}{12}$.
તેથી $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$x \to 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x} - e^{x} - x}{x^{2}} = \frac{3}{2}$.
અહીં લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha e^{\alpha x} - e^{x} - 1}{2x} = \frac{3}{2}$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x = 0$ આગળ અંશની કિંમત $0$ હોવી જોઈએ:
$\alpha e^{0} - e^{0} - 1 = 0 \implies \alpha - 1 - 1 = 0 \implies \alpha = 2$.
$\alpha = 2$ મૂકીને ફરીથી $L$'Hospital નો નિયમ વાપરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - e^{x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} - e^{x}}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$.
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $2$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 8$ હોવું જોઈએ.
લક્ષની ગણતરી કરતા: $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^4}{\sin(\frac{x^2}{k^2}) \log(1 + \frac{x^2}{2})} = 8$.
અંશ અને છેદને $x^4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^4}{\frac{\sin(\frac{x^2}{k^2})}{x^2} \cdot \frac{\log(1 + \frac{x^2}{2})}{x^2}} = 8$.
પ્રમાણિત લક્ષો $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$,$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$,અને $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^4}{\frac{\sin(\frac{x^2}{k^2})}{\frac{x^2}{k^2}} \cdot \frac{1}{k^2} \cdot \frac{\log(1 + \frac{x^2}{2})}{\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{2}} = 8$.
લક્ષની કિંમતો મૂકતા: $\frac{1^4}{1 \cdot \frac{1}{k^2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}} = 8$.
$\frac{1}{\frac{1}{2k^2}} = 2k^2 = 8$.
$k^2 = 4$,તેથી $k = 2$ (કારણ કે $k > 0$).

(A) કારણ કે $f(x)$ એ $[0, 8]$ પર સતત છે,તેથી તે $x = 2$ અને $x = 4$ આગળ પણ સતત હોવું જોઈએ.
$x = 2$ આગળ સાતત્ય માટે:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
$\lim_{x \to 2^-} (x^2 + ax + b) = 3(2) + 2$
$4 + 2a + b = 8$
$2a + b = 4 \quad \dots (i)$
$x = 4$ આગળ સાતત્ય માટે:
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)$
$3(4) + 2 = 2a(4) + 5b$
$14 = 8a + 5b \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $8a + 4b = 16 \quad \dots (iii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$(8a + 5b) - (8a + 4b) = 14 - 16$
$b = -2$
$b = -2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$2a - 2 = 4$
$2a = 6 \implies a = 3$
આમ,$a = 3$ અને $b = -2$.

(D) $f(x)$ ને $[0, 8]$ પર સતત રહેવા માટે,તે $x = 2$ અને $x = 4$ બિંદુઓ પર સતત હોવું જોઈએ.
$x = 2$ પર:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
$2^2 + a(2) + b = 3(2) + 2$
$4 + 2a + b = 8 \Rightarrow 2a + b = 4$ --- $(i)$
$x = 4$ પર:
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)$
$3(4) + 2 = 2a(4) + 5b$
$14 = 8a + 5b$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,આપણને $a = 3$ અને $b = -2$ મળે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$a = 11$ અને $b = -18$ એ વિકલ્પ $D$ માં આપેલ છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે $f(x) = \frac{\log_e(1 + x^2 \tan x)}{\sin x^3}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{\log_e(1 + u)}{u} = 1$ અને $\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લક્ષને આ રીતે લખી શકીએ:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log_e(1 + x^2 \tan x)}{x^2 \tan x} \times \frac{x^2 \tan x}{\sin x^3} \right)$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + x^2 \tan x)}{x^2 \tan x} = 1$,તેથી:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \tan x}{\sin x^3}$.
જ્યારે $x \to 0$ હોય ત્યારે $\tan x \approx x$ અને $\sin x^3 \approx x^3$ લેતા:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^3} = 1$.
તેથી,$f(0) = 1$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $R$ પર સતત છે,તેથી તે $x=0$ અને $x=3$ આગળ પણ સતત હશે.
$x=0$ આગળ સાતત્ય માટે:
$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x)$.
$f(0) = \sin(0) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} (x^2+a) = 0^2+a = a$.
$\lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$.
આમ,$a = 0$.
$x=3$ આગળ સાતત્ય માટે:
$f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^-} f(x)$.
$f(3) = b(3)+3 = 3b+3$.
$\lim_{x \to 3^+} (-3) = -3$.
$\lim_{x \to 3^-} (bx+3) = 3b+3$.
તેથી,$3b+3 = -3 \implies 3b = -6 \implies b = -2$.
તેથી,$a+b = 0 + (-2) = -2$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = \begin{cases} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$ એ દરેક જગ્યાએ સતત છે.
કારણ કે $f(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે,તેથી તે $x=0$ આગળ પણ સતત હશે.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1} = k$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે,તેથી $L^{\prime}$ Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(2^x-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1)} = k$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \log_e 2}{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}} = k$.
$x=0$ મુકતા: $\frac{2^0 \log_e 2}{\frac{1}{2\sqrt{1+0}}} = k$.
$\frac{1 \cdot \log_e 2}{\frac{1}{2}} = k$.
$2 \log_e 2 = k$.
$n \log a = \log a^n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$k = \log_e 2^2 = \log_e 4$ મળે છે.