AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે અને તેની અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ અથવા $x^2 = -4ay$ સ્વરૂપનું છે.
પરવલય $(6,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,જે ચોથા ચરણમાં આવેલું છે,તેથી પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
તેથી,સમીકરણ $x^2 = -4ay$ છે.
બિંદુ $(6,-2)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(6)^2 = -4a(-2)$
$36 = 8a$
$a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.
$a = \frac{9}{2}$ ને સમીકરણ $x^2 = -4ay$ માં પાછું મૂકતા:
$x^2 = -4 \left(\frac{9}{2}\right)y$
$x^2 = -18y$.

(A) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો $x=5t^2+2$ અને $y=10t+4$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y-4}{10}$.
$t$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x-2 = 5\left(\frac{y-4}{10}\right)^2 = 5\left(\frac{(y-4)^2}{100}\right) = \frac{(y-4)^2}{20}$.
આમ,$(y-4)^2 = 20(x-2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,$h=2, k=4$ અને $4a=20$ મળે,તેથી $a=5$.
પરવલય $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ ની નાભિ $(h+a, k)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ $(2+5, 4) = (7,4)$ મળે છે.

(B) પરવલયના લેટસ રેક્ટમ અને અક્ષનું છેદબિંદુ એ પરવલયની નાભિ (focus) છે.
આપેલ સમીકરણ: $y^2+4x+2y-8=0$.
પદોને ગોઠવતા: $y^2+2y = -4x+8$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^2+2y+1 = -4x+8+1$.
$(y+1)^2 = -4x+9$.
$(y+1)^2 = -4\left(x-\frac{9}{4}\right)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = \frac{9}{4}$,$k = -1$,અને $4a = -4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = -1$.
નાભિ $(h+a, k)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિ $= \left(\frac{9}{4}-1, -1\right) = \left(\frac{5}{4}, -1\right)$.

(C) પરવલયનું શિરોબિંદુ $V = (2,0)$ છે.
નિયામિકા $Y$-અક્ષ છે,જે રેખા $x = 0$ છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ $F(a, 0)$ અને નિયામિકા પરના બિંદુ $D(0, 0)$ (જ્યાં પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને છેદે છે) નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$V = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (2, 0)$
$\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4$
તેથી,નાભિ $(4, 0)$ છે.

(B) આપેલ પરવલય:
$y^2 - x + 4y + 5 = 0$
$y^2 + 4y = x - 5$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા:
$y^2 + 4y + 4 = x - 5 + 4$
$(y + 2)^2 = (x - 1)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, -2)$ અને $4a = 1$,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપના પરવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $X = -a$ છે,જ્યાં $X = x - h$.
કિંમતો મૂકતા:
$x - 1 = -\frac{1}{4}$
$x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$4x = 3$
$4x - 3 = 0$

(B) આપેલ પરવલય $y^2 = 16x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4px$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4p = 16$ મળે છે,તેથી $p = 4$.
પરવલયની નાભિ $S = (4, 0)$ છે.
નાભિમાંથી પસાર થતી દ્વિ-કોટિ એ રેખા $x = 4$ છે.
બિંદુ $P(a, 2a)$ એ પરવલય $y^2 - 16x = 0$ ના અંદરના પ્રદેશમાં હોવાથી,$y^2 - 16x < 0$ થવું જોઈએ.
બિંદુ $(a, 2a)$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$(2a)^2 - 16a < 0$
$4a^2 - 16a < 0$
$4a(a - 4) < 0$
આનો અર્થ એ છે કે $0 < a < 4$.
વધુમાં,બિંદુ $P(a, 2a)$ એ ઘેરાયેલા પ્રદેશમાં હોવા માટે દ્વિ-કોટિ $x = 4$ ની ડાબી બાજુએ હોવું જોઈએ.
તેથી,$a < 4$.
બંને શરતોને જોડતા,આપણને $0 < a < 4$ મળે છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8$,તેથી $a=2$ મળે.
પરવલય પરનું બિંદુ $(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
નાભિ જીવાનું એક અંત્યબિંદુ $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ આપેલ હોવાથી,$4t=2$,જેનો અર્થ છે કે $t=\frac{1}{2}$.
પેરામીટર $t$ વાળી નાભિ જીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $L = a\left(t + \frac{1}{t}\right)^2$ છે.
$a=2$ અને $t=\frac{1}{2}$ મુકતા:
$L = 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{1/2}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{2} + 2\right)^2$.
$L = 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 \times \frac{25}{4} = \frac{25}{2}$ એકમ.

(D) આપેલ પરવલય $x^2 = 4ay$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $(2at_1, at_1^2)$ અને $(2at_2, at_2^2)$ છે.
જીવા નાભિ જીવા હોવાથી,પ્રાચલોનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = -1$ થાય.
આપણે $y_1 y_2$ નો ગુણાકાર શોધવો છે.
$y_1 y_2 = (at_1^2)(at_2^2) = a^2(t_1 t_2)^2$.
$t_1 t_2 = -1$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$y_1 y_2 = a^2(-1)^2 = a^2$.

(D) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $x-2=t^2$ અને $y=2t$ પરથી $x=t^2+2$ અને $y=2t$ મળે છે.
આ કિંમતોને પરવલયના સમીકરણ $y^2=a(x-b)$ માં મૂકતા:
$(2t)^2 = a(t^2+2-b)$
$4t^2 = at^2 + a(2-b)$
બંને બાજુ $t^2$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$a = 4$
$a(2-b) = 0$ $\Rightarrow 4(2-b) = 0$ $\Rightarrow b = 2$
તેથી,$a+b = 4+2 = 6$.

(A) આપેલ પરવલયો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4ay$ છે.
આ બંનેને ઉકેલતા,છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4a, 4a)$ મળે છે.
રેખા $2bx + 3cy + 4d = 0$ આ બંને બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
$(0, 0)$ માટે: $2b(0) + 3c(0) + 4d = 0 \Rightarrow d = 0$.
$(4a, 4a)$ માટે: $2b(4a) + 3c(4a) + 4d = 0$.
$d = 0$ હોવાથી,$8ab + 12ac = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $4a(2b + 3c) = 0$.
$a \neq 0$ ધારતા,$2b + 3c = 0$ મળે.
આમ,$d = 0$ અને $2b + 3c = 0$ પરથી $d^2 + (2b + 3c)^2 = 0$ મળે છે.

(C) આપણે નિત્યસમ ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $\sum_{r=0}^4 {}^{19-r} C_3 + {}^{15} C_4$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + {}^{16} C_3 + {}^{15} C_3 + {}^{15} C_4$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + {}^{16} C_3 + ({}^{15} C_3 + {}^{15} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + ({}^{16} C_3 + {}^{16} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + ({}^{17} C_3 + {}^{17} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + ({}^{18} C_3 + {}^{18} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{19} C_4$
$= {}^{20} C_4$

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^2+2y^2-4x+12y+14=0$
પદોને ગોઠવતા: $(x^2-4x) + 2(y^2+6y) = -14$
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2-4x+4) + 2(y^2+6y+9) = -14+4+18$
$(x-2)^2 + 2(y+3)^2 = 8$
$8$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-2)^2}{8} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ મળે છે.

(D) ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ધ્યાનમાં લો.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 3$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 4$.
ઉપવલય માટે,$a, b,$ અને $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $a^2 = b^2 + c^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$,તેથી $a = 5$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$e = \frac{3}{5}$.

(A) કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને $X$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ઉપવલય $(-3, 1)$ અને $(2, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(-3, 1)$ માટે: $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ ... $(i)$
$(2, -2)$ માટે: $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$\frac{8}{a^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow a^2 = \frac{32}{3}$
સમીકરણ $(ii)$ માં $a^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{32} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{1}{b^2} = \frac{5}{32}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{32}{5}$
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{3x^2}{32} + \frac{5y^2}{32} = 1$ એટલે કે $3x^2 + 5y^2 = 32$ થાય.

(C) ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2$ આપેલ છે,તેથી $ae = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{15}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{15a}{4}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ નો ઉપયોગ કરીને,$ae = 1$ અને $b^2 = \frac{15a}{4}$ મૂકતા:
$\frac{15a}{4} = a^2 - 1$
$4a^2 - 15a - 4 = 0$
$(4a + 1)(a - 4) = 0$
$a$ ધન હોવાથી,$a = 4$.
તેથી $b^2 = \frac{15(4)}{4} = 15$.
$a^2 = 16$ અને $b^2 = 15$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{15} = 1$
$15x^2 + 16y^2 = 240$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2+9y^2-16x-54y+61=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને:
$4(x-2)^2+9(y-3)^2=36$
$\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$
આ ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(2,3)$ છે અને મુખ્ય અક્ષ $y=3$ રેખા પર છે.
બિંદુ $(1,3)$ સમીકરણ $y=3$ નું સમાધાન કરે છે,જે મુખ્ય અક્ષનું સમીકરણ છે.
તેથી,બિંદુ $(1,3)$ મુખ્ય અક્ષ પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે ઉપવલય પરના બે બિંદુઓ $A(a \cos \theta_1, b \sin \theta_1)$ અને $B(a \cos \theta_2, b \sin \theta_2)$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b \sin \theta_1}{a \cos \theta_1} = \frac{b}{a} \tan \theta_1$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b \sin \theta_2}{a \cos \theta_2} = \frac{b}{a} \tan \theta_2$ છે.
જીવા $AB$ કેન્દ્ર $O$ પર કાટખૂણો આંતરે તે માટે ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = -1$ થવો જોઈએ.
$m_1 \times m_2 = \left(\frac{b}{a} \tan \theta_1\right) \times \left(\frac{b}{a} \tan \theta_2\right) = \frac{b^2}{a^2} (\tan \theta_1 \tan \theta_2)$.
આપેલ છે કે $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$,તેથી:
$m_1 \times m_2 = \frac{b^2}{a^2} \times \left(-\frac{a^2}{b^2}\right) = -1$.
આમ,જીવા $AB$ કેન્દ્ર પર કાટખૂણો આંતરે છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $2x - y + 3 = 0$ અને $4x + ky + 3 = 0$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સંયુગ્મી હોય જો $a^2a_1a_2 + b^2b_1b_2 = c_1c_2$ થાય.
ઉપવલયના સમીકરણ $5x^2 + 6y^2 = 15$ ને $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2.5} = 1$ તરીકે લખતા,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ મળે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ અને $a_2 = 4, b_2 = k, c_2 = 3$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $3(2)(4) + (2.5)(-1)(k) = (3)(3)$.
$24 - 2.5k = 9$.
$2.5k = 15$.
$k = \frac{15}{2.5} = 6$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
અહીં,$a^2=25$ અને $b^2=16$,તેથી $a=5$ અને $b=4$. ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C$ એ $(0,0)$ છે.
કેન્દ્ર $C(0,0)$ થી બિંદુ $P(x, y)$ નું અંતર $CP = \sqrt{x^2+y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી ઉપવલયનું મહત્તમ અંતર મુખ્ય અક્ષના શિરોબિંદુઓ પર મળે છે,જે $(\pm 5, 0)$ છે. તેથી,$CP$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $a = 5$ છે.
કેન્દ્રથી ઉપવલયનું ન્યૂનતમ અંતર ગૌણ અક્ષના શિરોબિંદુઓ પર મળે છે,જે $(0, \pm 4)$ છે. તેથી,$CP$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $b = 4$ છે.
$CP$ ના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યોનો સરવાળો $a+b = 5+4 = 9$ થાય છે.

(A) ધારો કે ગતિશીલ બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ નિશ્ચિત બિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(-a, 0)$ છે.
$AP$ અંતરનો વર્ગ $AP^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 = (x-a)^2 + y^2$ છે.
$BP$ અંતરનો વર્ગ $BP^2 = (x+a)^2 + (y-0)^2 = (x+a)^2 + y^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ વર્ગોનો સરવાળો $2c^2$ છે:
$AP^2 + BP^2 = 2c^2$
$(x-a)^2 + y^2 + (x+a)^2 + y^2 = 2c^2$
$(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 + (x^2 + 2ax + a^2) + y^2 = 2c^2$
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2c^2$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x^2 + y^2 + a^2 = c^2$
$x^2 + y^2 = c^2 - a^2$
આમ,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = c^2 - a^2$ છે.

(B) નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $a(e - 1/e) = a(5/4 - 4/5) = 9a/20$ છે.
નાભિ $(3,0)$ થી નિયામિકા $4x - 3y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર $\frac{|12-0-3|}{5} = 9/5$ છે.
તેથી,$9a/20 = 9/5 \implies a = 4$.
અક્ષનો ઢાળ $-3/4$ છે. નાભિથી શિરોબિંદુનું અંતર $ae - a = 4(5/4) - 4 = 1$ છે.
શિરોબિંદુ $(3,0) + 1 \times (-4/5, 3/5) = (11/5, 3/5)$ મળે છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિ $(ae, 0)$ પર છે.
નાભિસ્થ જીવા મુખ્ય અક્ષને લંબ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = ae$ છે.
અતિવલયના સમીકરણમાં $x = ae$ મૂકતા: $\frac{a^2e^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \frac{y^2}{b^2}$ $\Rightarrow y^2 = b^2(e^2 - 1)$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$e^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $y^2 = b^2(\frac{b^2}{a^2}) = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow y = \pm \frac{b^2}{a}$.
જીવાના અંત્યબિંદુઓ $A(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે. જીવા કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OA$ નો ઢાળ $\times$ $OB$ નો ઢાળ $= -1$.
$OA$ નો ઢાળ $= \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$. $OB$ નો ઢાળ $= -\frac{b^2}{a^2e}$.
$(\frac{b^2}{a^2e}) \times (-\frac{b^2}{a^2e}) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$(a^2(e^2 - 1))^2 = a^4e^2 \Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$.
$e^4 - 2e^2 + 1 = e^2 \Rightarrow e^4 - 3e^2 + 1 = 0$.
$u = e^2$ લેતા,$u^2 - 3u + 1 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$e > 1$ હોવાથી,$e^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે અતિવલયની અનુપ્રસ્થ અક્ષ અને સંયુગ્મી અક્ષ સમાન છે.
ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે અને સંયુગ્મી અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2a = 2b$,જેનો અર્થ છે કે $a = b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$,જ્યાં $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
$b = a$ ને સંબંધમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $a^2 = a^2(e^2 - 1)$.
બંને બાજુ $a^2$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ હોવાથી),આપણને મળે છે $1 = e^2 - 1$.
તેથી,$e^2 = 2$,જે આપે છે $e = \sqrt{2}$ (કારણ કે અતિવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોય છે).

(A) આપેલ છે કે,અતિવલયમાં અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ કરતા બમણી છે. પ્રમાણિત અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $= 2 \times$ અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ હોવાથી,$2a = 2(2b)$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = \frac{a^2}{4}$ મૂકતા,આપણને $\frac{a^2}{4} = a^2(e^2 - 1)$ મળે છે.
$a^2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{4} = e^2 - 1$,તેથી $e^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
આમ,$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 2b$ અને $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ મૂકતા,અંતર $\frac{2(2b)}{\sqrt{5}/2} = \frac{8b}{\sqrt{5}}$ એકમ થાય છે.

(D) આપેલ છે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{3}$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 10$.
$2a(\frac{5}{3}) = 10 \Rightarrow a = 3$.
અતિવલય માટે,$c^2 = a^2 + b^2$,જ્યાં $c = ae$.
$(ae)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 5^2 = 3^2 + b^2$.
$25 = 9 + b^2 \Rightarrow b^2 = 16$.
અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
$144$ વડે ગુણતા,$16x^2 - 9y^2 = 144$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 10$ અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ છે.
તેથી,$ae = 5$ અને $a = 4$ મળે.
અતિવલય માટે,સંબંધ $(ae)^2 = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$25 = 16 + b^2$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 9$.
નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે,હાયપરબોલાનું લેટસ રેક્ટમ તેના કેન્દ્ર પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
ધારો કે હાયપરબોલાનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
લેટસ રેક્ટમના અંત્યબિંદુઓ $L = (ae, \frac{b^2}{a})$ અને $L' = (ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $C = (0, 0)$ છે.
$\angle LCL' = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CL$ અને $CL'$ ના ઢાળ $m_1 = \frac{b^2}{a^2e}$ અને $m_2 = -\frac{b^2}{a^2e}$ થાય.
$CL \perp CL'$ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{b^2}{a^2e}\right) \times \left(-\frac{b^2}{a^2e}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ મૂકતા:
$[a^2(e^2 - 1)]^2 = a^4e^2$ $\Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \pm e$.
$e > 1$ હોવાથી,$e^2 - e - 1 = 0$ લેતા,$e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ વક્ર $3x^2-y^2-2x+4y=0$ છે.
બિંદુ $(1,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y+2=m(x-1)$ છે,એટલે કે $\frac{mx-y}{m+2}=1$.
વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણ વડે સમઘાત બનાવતા:
$(m+2)(3x^2-y^2)-(2x-4y)(mx-y)=0$.
સાદુરૂપ આપતા:
$x^2(m+6) + xy(4m+2) + y^2(-m-6) = 0$.
આ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ પ્રકારનું છે.
અહીં $a = m+6$ અને $b = -(m+6)$ હોવાથી $a+b=0$ થાય છે.
તેથી,$OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ છે,એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે કે અતિવલયના કોઈપણ સ્પર્શક અને તેના અનંતસ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અચળ હોય છે અને તે $ab$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $a^2 \tan(\alpha)$ છે,તેથી $ab = a^2 \tan(\alpha)$,જેનો અર્થ છે કે $b = a \tan(\alpha)$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$b = a \tan(\alpha)$ મૂકતા,આપણને મળે છે $e = \sqrt{1 + \frac{a^2 \tan^2(\alpha)}{a^2}} = \sqrt{1 + \tan^2(\alpha)} = \sqrt{\sec^2(\alpha)} = \sec(\alpha)$.

(C) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^m - a^m}{x^n - a^n} = \frac{m}{n} a^{m-n}$.
અહીં,$m = \frac{1}{3}$,$n = \frac{1}{6}$,અને $a = 1$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{1/3} - 1^{1/3}}{z^{1/6} - 1^{1/6}} = \frac{1/3}{1/6} \times (1)^{1/3 - 1/6}$.
$= \frac{1}{3} \times \frac{6}{1} \times 1^{1/6}$.
$= 2 \times 1 = 2$.

(B) આપણે $\lim _{x \rightarrow 0} x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right]$ ની કિંમત મેળવવી છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{1}{x^3} - 1 < \left[ \frac{1}{x^3} \right] \le \frac{1}{x^3}$.
કિસ્સો $1$: $x > 0$. $x^7$ વડે ગુણતા,$x^4 - x^7 < x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right] \le x^4$.
જ્યારે $x \rightarrow 0^+$,ત્યારે સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ લક્ષ $0$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: $x < 0$. $x^7$ વડે ગુણતા,અસમતા બદલાશે: $x^4 \le x^7 \left[ \frac{1}{x^3} \right] < x^4 - x^7$.
જ્યારે $x \rightarrow 0^-$,ત્યારે સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ લક્ષ $0$ થાય છે.
આમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવાથી,જવાબ $0$ છે.

(D) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{11 x^3-3 x+4}{13 x^3-5 x^2-7}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત એટલે કે $x^3$ વડે ભાગીએ:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3(11 - \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3})}{x^3(13 - \frac{5}{x} - \frac{7}{x^3})}$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{11 - \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{13 - \frac{5}{x} - \frac{7}{x^3}}$
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{3}{x^2}, \frac{4}{x^3}, \frac{5}{x},$ અને $\frac{7}{x^3}$ પદો $0$ ને અનુલક્ષે છે.
તેથી,લક્ષ $\frac{11 - 0 + 0}{13 - 0 - 0} = \frac{11}{13}$ થાય.
આને $\frac{a}{b}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 11$ અને $b = 13$ મળે છે.
આમ,$a + b = 11 + 13 = 24$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)(1-x^2) \cdots (1-x^{2n})}{\{(1-x)(1-x^2) \cdots (1-x^n)\}^2}$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\prod_{k=1}^{2n} (1-x^k)}{\left(\prod_{k=1}^{n} (1-x^k)\right)^2}$.
ગુણધર્મ $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x^k}{1-x} = k$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશ અને છેદને $(1-x)^{2n}$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\prod_{k=1}^{2n} \frac{1-x^k}{1-x}}{\left(\prod_{k=1}^{n} \frac{1-x^k}{1-x}\right)^2}$.
જ્યારે $x \rightarrow 1$,ત્યારે $\frac{1-x^k}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} \rightarrow k$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 2n}{(1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n)^2}$.
$L = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(2n)!}{n! n!} = {}^{2n}C_n$.

(C) આપેલ લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(2 n+1)^2}{(n+2)(n^2+3 n-1)}$ છે.
અંશ અને છેદને $n$ ની મહત્તમ ઘાત,જે $n^3$ છે,તેના વડે ભાગતા.
અંશ: $n(2n+1)^2 = n(4n^2+4n+1) = 4n^3+4n^2+n$.
છેદ: $(n+2)(n^2+3n-1) = n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2 = n^3+5n^2+5n-2$.
હવે,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4n^3+4n^2+n}{n^3+5n^2+5n-2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n} + \frac{5}{n^2} - \frac{2}{n^3}}$.
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}, \frac{1}{n^3} \rightarrow 0$.
તેથી,લક્ષ $\frac{4+0+0}{1+0+0-0} = 4$ થાય.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-\cos 2(x-1)}}{x-1}$.
નિત્યસમ $1-\cos 2\theta = 2\sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2\sin^2(x-1)}}{x-1} = \sqrt{2} \lim _{x \rightarrow 1} \frac{|\sin(x-1)|}{x-1}$.
ધારો કે $z = x-1$. જેમ $x \rightarrow 1$,તેમ $z \rightarrow 0$.
$L = \sqrt{2} \lim _{z \rightarrow 0} \frac{|\sin z|}{z}$.
હવે,એકતરફી લક્ષની ગણતરી કરો:
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\sqrt{2} \lim _{z \rightarrow 0^+} \frac{\sin z}{z} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\sqrt{2} \lim _{z \rightarrow 0^-} \frac{-\sin z}{z} = \sqrt{2}(-1) = -\sqrt{2}$.
કારણ કે $RHL \neq LHL$,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) ધારો કે $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{8}{x^8}\left[1-\cos \left(\frac{x^2}{2}\right)-\cos \left(\frac{x^2}{4}\right)+\cos \left(\frac{x^2}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x^2}{4}\right)\right]$
કૌંસમાં રહેલા પદોનું અવયવીકરણ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{8}{x^8}\left[\left(1-\cos \frac{x^2}{2}\right) - \cos \left(\frac{x^2}{4}\right)\left(1-\cos \frac{x^2}{2}\right)\right]$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{8}{x^8}\left(1-\cos \frac{x^2}{2}\right)\left(1-\cos \frac{x^2}{4}\right)$
નિત્યસમ $1-\cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{8}{x^8} \left(2 \sin^2 \frac{x^2}{4}\right) \left(2 \sin^2 \frac{x^2}{8}\right)$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{32}{x^8} \left(\sin^2 \frac{x^2}{4}\right) \left(\sin^2 \frac{x^2}{8}\right)$
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2$ અને $\left(\frac{x^2}{8}\right)^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = 32 \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left(\frac{\sin \frac{x^2}{4}}{\frac{x^2}{4}}\right)^2 \left(\frac{x^4}{16}\right) \left(\frac{\sin \frac{x^2}{8}}{\frac{x^2}{8}}\right)^2 \left(\frac{x^4}{64}\right) \cdot \frac{1}{x^8}$
$L = 32 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{16} \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{64}$
$L = 32 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{32}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan kx}{kx} = 1$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ax}{\tan bx} \right) = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \cdot ax \cdot \frac{bx}{\tan bx} \cdot \frac{1}{bx} \right)$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{bx}{\tan bx} \right) \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{ax}{bx} \right)$
$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$.

(D) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow -3} \frac{\sin ^{-1}(x+3)}{x^2+3x}$
$t = x+3$ આદેશ લો. જ્યારે $x \rightarrow -3$,ત્યારે $t \rightarrow 0$.
તેથી $x = t-3$.
પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1}(t)}{(t-3)t} = \lim _{t \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ^{-1}(t)}{t} \right) \cdot \frac{1}{t-3}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1}(t)}{t} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 \cdot \frac{1}{0-3} = -\frac{1}{3}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$\sin x$ ની કિંમત $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોય છે.
તેથી,$2 + \sin x$ ની કિંમત $[2 - 1, 2 + 1] = [1, 3]$ અંતરાલમાં હોય છે.
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ છેદ $x^2 + 3 \rightarrow \infty$ થાય છે.
આમ,$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{2+\sin x}{x^2+3}\right) = \frac{1 \text{ અને } 3 \text{ વચ્ચેની કોઈ નિશ્ચિત કિંમત}}{\infty} = 0$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-10^n}{1+10^{n+1}}=-\frac{\alpha}{10}$
અંશ અને છેદને $10^n$ વડે ભાગતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{10^n}-1}{\frac{1}{10^n}+10}=-\frac{\alpha}{10}$
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{1}{10^n} \rightarrow 0$.
આ કિંમત મુકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{0-1}{0+10} = -\frac{\alpha}{10}$
$-\frac{1}{10} = -\frac{\alpha}{10}$
તેથી,$\alpha = 1$.

(A) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2\right)\right\}^{1 / x} = 2 a \sin ^2 \theta$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} (1+f(x))^{1/x} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \log(1+a^2)}{x}} = e^{\log(1+a^2)} = 1+a^2$.
આને આપેલ પદ સાથે સરખાવતા:
$1+a^2 = 2a \sin^2 \theta$.
$a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા:
$a^2 - (2 \sin^2 \theta)a + 1 = 0$.
$a$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (2 \sin^2 \theta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$
$\Rightarrow 4 \sin^4 \theta - 4 \ge 0$
$\Rightarrow \sin^4 \theta \ge 1$.
બધી $\theta$ માટે $\sin^4 \theta \le 1$ હોવાથી,માત્ર શક્યતા $\sin^4 \theta = 1$ છે.
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 1 = \sin^2 \frac{\pi}{2}$.
$\Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{2}, (n \in Z)$.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = 10$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને $2$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે નવા અવલોકનો $2x_1, 2x_2, 2x_3, \ldots, 2x_n$ બને છે.
નવો મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (2x_i)}{n} = 2 \times \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)$.
મૂળ મધ્યકની કિંમત મૂકતા,$\bar{x}_{new} = 2 \times 10 = 20$ મળે છે.

(B) ધારો કે $n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ છે.
આ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ છે.
જ્યારે દરેક સંખ્યાને $5$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે નવી સંખ્યાઓ $\frac{x_1}{5}, \frac{x_2}{5}, \ldots, \frac{x_n}{5}$ બને છે.
આ નવા સમૂહનો મધ્યક $\frac{X}{5}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{\frac{x_1}{5} + \frac{x_2}{5} + \ldots + \frac{x_n}{5}}{n} = \frac{X}{5}$.
$\frac{1}{5} \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right) = \frac{X}{5}$.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = X$ મળે છે.
આમ,મૂળ $n$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $X$ છે.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \ldots, n$ છે.
તેમના વર્ગો $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2$ છે.
$\text{મધ્યક} = \frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની કુલ સંખ્યા}}$.
$\text{મધ્યક} = \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n}$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{મધ્યક} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{2n^2+n+2n+1}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6}$.

(C) આપેલ માહિતી: $12, 14, 20, 23, 25, 32$
મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{12 + 14 + 20 + 23 + 25 + 32}{6}$
$\bar{x} = \frac{126}{6} = 21$
તેથી,મધ્યક $21$ છે.

(B) છોકરાઓની સંખ્યા $= 25$
છોકરાઓના ગુણનો મધ્યક $= 61$
છોકરીઓની સંખ્યા $= 35$
છોકરીઓના ગુણનો મધ્યક $= 58$
બધા $60$ વિદ્યાર્થીઓનો કુલ મધ્યક $= \frac{61 \times 25 + 35 \times 58}{60}$
$= \frac{1525 + 2030}{60} = \frac{3555}{60} = 59.25$

(B) ધારો કે પાંચ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ છે જ્યાં $n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \le n_5 = \alpha$. આપેલ છે કે $n_5 - n_1 = 10$,તેથી $n_1 = \alpha - 10$.
સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક હોવાથી,$n_1 \ge 1$,તેથી $\alpha \ge 11$.
પાંચ સંખ્યાઓનો સરવાળો $5 \times 40 = 200$ છે.
તેથી,$(\alpha - 10) + n_2 + n_3 + n_4 + \alpha = 200$,જે સૂચવે છે કે $n_2 + n_3 + n_4 = 210 - 2\alpha$.
$n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \le n_5$ હોવાથી,$3n_1 \le n_2 + n_3 + n_4 \le 3n_5$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $3(\alpha - 10) \le 210 - 2\alpha \le 3\alpha$.
$3\alpha - 30 \le 210 - 2\alpha$ પરથી,$5\alpha \le 240$,એટલે કે $\alpha \le 48$.
$210 - 2\alpha \le 3\alpha$ પરથી,$5\alpha \ge 210$,એટલે કે $\alpha \ge 42$.
$\alpha$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $48$ છે.
$48$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^4 \times 3^1$ છે.
ધન પૂર્ણાંક ભાજકોની સંખ્યા $(4+1)(1+1) = 5 \times 2 = 10$ થાય.

(C) આપેલ અવલોકનો $112, 116, 120, 125, 132$ છે.
પ્રથમ,સરેરાશ $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{112 + 116 + 120 + 125 + 132}{5} = \frac{605}{5} = 121$.
હવે,મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો શોધો:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = (112 - 121)^2 + (116 - 121)^2 + (120 - 121)^2 + (125 - 121)^2 + (132 - 121)^2$
$= (-9)^2 + (-5)^2 + (-1)^2 + (4)^2 + (11)^2$
$= 81 + 25 + 1 + 16 + 121 = 244$.
છેલ્લે,વિચરણ $(\sigma^2)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{244}{5} = 48.8$.

(D) પ્રથમ,અવલોકનોનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$
હવે,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર વાપરો:
$MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$
$MD = \frac{|-1 - 1| + |0 - 1| + |4 - 1|}{3}$
$MD = \frac{|-2| + |-1| + |3|}{3}$
$MD = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(C) ધારો કે ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓ $x, y, z$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + y + z = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $x = 60^{\circ}$,તેથી $y + z = 120^{\circ} \dots(1)$.
વિચરણનું સૂત્ર વાપરતા,$\frac{x^2+y^2+z^2}{3} = 4614$ લેતા,
$\frac{60^2+y^2+z^2}{3} = 4614$ $\Rightarrow 3600 + y^2 + z^2 = 13842$ $\Rightarrow y^2 + z^2 = 10242$.
$(y+z)^2 - 2yz = 10242$ $\Rightarrow 14400 - 2yz = 10242$ $\Rightarrow 2yz = 4158$ $\Rightarrow yz = 2079$.
$(y-z)^2 = (y+z)^2 - 4yz = 14400 - 8316 = 6084$.
$y-z = 78^{\circ}$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$y = 99^{\circ}$ અને $z = 21^{\circ}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $OA$ અને $OB$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$OA = |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$OB = |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BOA$ નો આંતરિક દ્વિભાજક $OD$ એ બાજુ $AB$ ને તેની પાસેની બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $OA : OB = 3 : 6 = 1 : 2$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{d} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{b}}{1 + 2} = \frac{2(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = \frac{(4+2)\hat{i} + (4+4)\hat{j} + (2+4)\hat{k}}{3} = \frac{6\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}}{3} = 2\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
આંતરિક દ્વિભાજક $OD$ ની લંબાઈ એ $\vec{d}$ નું માન છે:
$|OD| = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{136}}{3}$.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{q} = -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
$R$ એ $PQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે. બહારના વિભાજનનું સૂત્ર $\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m-n}$ છે.
$\vec{r} = \frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2-1} = \frac{-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} - \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{1} = -3\hat{i}+3\hat{k}$.
$S$ એ $PQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં અંદરની તરફ વિભાજન કરે છે. અંદરના વિભાજનનું સૂત્ર $\vec{s} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m+n}$ છે.
$\vec{s} = \frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2+1} = \frac{-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} + \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}}{3} = \frac{-\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}}{3}$.
$RS$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$ છે.
મધ્યબિંદુ $= \frac{(-3\hat{i}+3\hat{k}) + (-\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k})}{2} = \frac{-\frac{10}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}}{2} = -\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$.

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{OB} = \frac{1}{3} \hat{j}+\frac{1}{3} \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $B$ એ $AC$ ને $m:n = 2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{OB} = \frac{m\vec{OC} + n\vec{OA}}{m+n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{2\vec{OC} + 1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{2+1}$
$3(\frac{1}{3} \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k}) = 2\vec{OC} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\hat{j} + \hat{k} = 2\vec{OC} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$2\vec{OC} = \hat{j} + \hat{k} - \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$
$2\vec{OC} = -\hat{i}$
$\vec{OC} = -\frac{1}{2} \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$
તેથી,$C$ નો સ્થાન સદિશ $(-\frac{1}{2}, 0, 0)$ છે.

(C) બિંદુ $P(5, -4, -3)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 5\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ના દિક્કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{a}{|\vec{r}|}$,$\cos \beta = \frac{b}{|\vec{r}|}$ અને $\cos \gamma = \frac{c}{|\vec{r}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ અનુક્રમે $X, Y, Z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{r}$ નું માન શોધો:
$|\vec{r}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ધન $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \alpha = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n) = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,તેના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$.
તેથી,$\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે.
$3 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
આમ,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,દિકકોસાઇન $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{OP}$ ના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c) = (1, -2, -2)$ છે.
પ્રથમ,આપણે દિકગુણોત્તરોના સદિશનું માન શોધીએ: $\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ દિકગુણોત્તરોને તેમના માન વડે ભાગવાથી મળે છે:
$l = \frac{1}{3}, m = \frac{-2}{3}, n = \frac{-2}{3}$.
ઉગમબિંદુથી $r = 3$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ ના યામ $(lr, mr, nr)$ દ્વારા મળે છે.
$P = (\frac{1}{3} \times 3, \frac{-2}{3} \times 3, \frac{-2}{3} \times 3) = (1, -2, -2)$.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(-1, 2, -3), B(5, 0, -6), C(0, 4, -1)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(-1-5)^2 + (2-0)^2 + (-3+6)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-4)^2 + (-3+1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો આંતરિક દ્વિભાજક $BC$ ને $AB:AC = 7:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $D$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $7:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$D = \left( \frac{7(0) + 3(5)}{7+3}, \frac{7(4) + 3(0)}{7+3}, \frac{7(-1) + 3(-6)}{7+3} \right) = \left( \frac{15}{10}, \frac{28}{10}, \frac{-25}{10} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{14}{5}, -\frac{5}{2} \right)$.
સદિશ $\vec{AD} = D - A = \left( \frac{3}{2} - (-1), \frac{14}{5} - 2, -\frac{5}{2} - (-3) \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{4}{5}, \frac{1}{2} \right)$.
દિશાના કોસાઇન શોધવા માટે,$\vec{AD}$ નું નોર્મલાઇઝેશન કરો:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{4}{5})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{16}{25} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{714}}{10}$.
દિશાના કોસાઇન $\frac{25}{\sqrt{714}}, \frac{8}{\sqrt{714}}, \frac{5}{\sqrt{714}}$ છે.

(B) ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{AB} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ છે.
$XY$ સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{l^2 + m^2} = \sqrt{15}$ છે,તેથી $l^2 + m^2 = 15$ (સમીકરણ $1$).
$YZ$ સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{m^2 + n^2} = \sqrt{46}$ છે,તેથી $m^2 + n^2 = 46$ (સમીકરણ $2$).
$ZX$ સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{n^2 + l^2} = 7$ છે,તેથી $n^2 + l^2 = 49$ (સમીકરણ $3$).
ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(l^2 + m^2 + n^2) = 15 + 46 + 49 = 110$
$l^2 + m^2 + n^2 = 55$.
$y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $|m|$ છે.
$m^2 = (l^2 + m^2 + n^2) - (l^2 + n^2) = 55 - 49 = 6$.
તેથી,$m = \sqrt{6}$.

(C) આપેલ છે કે,બે રેખાઓના દિકકોસાઇન $l_1 = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ અને $l_2 = (\frac{5}{13}, \frac{12}{13}, 0)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle l_1+l_2, m_1+m_2, n_1+n_2 \rangle$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
કિંમતો મૂકતા,દિકગુણોત્તર $\langle \frac{2}{3} + \frac{5}{13}, \frac{2}{3} + \frac{12}{13}, \frac{1}{3} + 0 \rangle$ ના પ્રમાણમાં મળે છે.
દરેક ઘટક માટે સરવાળો ગણતા:
$\frac{2}{3} + \frac{5}{13} = \frac{26+15}{39} = \frac{41}{39}$
$\frac{2}{3} + \frac{12}{13} = \frac{26+36}{39} = \frac{62}{39}$
$\frac{1}{3} + 0 = \frac{13}{39}$
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle \frac{41}{39}, \frac{62}{39}, \frac{13}{39} \rangle$ ના પ્રમાણમાં છે.
$39$ વડે ગુણતા,આપણને દિકગુણોત્તર $\langle 41, 62, 13 \rangle$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P = (-2, 4, -5)$ અને $Q = (1, 2, 3)$ છે.
રેખાખંડ $\overrightarrow{PQ}$ ના દિકગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - (-2), 2 - 4, 3 - (-5)) = (3, -2, 8)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ નું માન $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 4 + 64} = \sqrt{77}$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ મેળવવા માટે દિકગુણોત્તરને માન વડે ભાગતા:
$l = \frac{3}{\sqrt{77}}$,$m = \frac{-2}{\sqrt{77}}$,$n = \frac{8}{\sqrt{77}}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\left(\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}\right)$ છે.

(A) રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(q-7, -2-p, 5-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(q-7, -2-p, 3)$ થાય છે.
રેખા $CD$ ના દિકગુણોત્તર $(-6-2, -15-(-3), 11-5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(-8, -12, 6)$ થાય છે.
રેખાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{q-7}{-8} = \frac{-2-p}{-12} = \frac{3}{6}$.
ગુણોત્તર $\frac{3}{6}$ નું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{2}$ મળે છે.
$\frac{q-7}{-8} = \frac{1}{2}$ લેતા:
$q-7 = -4 \Rightarrow q = 3$.
$\frac{-2-p}{-12} = \frac{1}{2}$ લેતા:
$-2-p = -6 \Rightarrow p = 4$.
તેથી,$p^2 + q^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

(B) ધન $X, Y$ અને $Z$ અક્ષ સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવતી રેખાના દિકકોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}, \gamma = 45^{\circ}$ છે.
દિકકોસાઇન નીચે મુજબ છે:
$l = \cos 90^{\circ} = 0$
$m = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$n = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,દિકકોસાઇન $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A(4,1,2)$ અને $B(0, k, 1)$ રેખા $AB$ માટે,દિકગુણોત્તર $\langle 0-4, k-1, 1-2 \rangle = \langle -4, k-1, -1 \rangle$ છે.
$C(-2,1,1)$ અને $D(4,2,5)$ રેખા $CD$ માટે,દિકગુણોત્તર $\langle 4-(-2), 2-1, 5-1 \rangle = \langle 6, 1, 4 \rangle$ છે.
રેખાઓ $AB$ અને $CD$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ દિકગુણોત્તરના ગુણાકારનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
$(-4)(6) + (k-1)(1) + (-1)(4) = 0$
$-24 + k - 1 - 4 = 0$
$k - 29 = 0$
$k = 29$.

(B) રેખાના દિકકોસાઇન $l, m, n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,તેના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
અહીં આપેલ દિકકોસાઇન $\left(\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}\right)$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(\frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} = 1$
$\frac{3}{c^2} = 1$
$c^2 = 3$
$c = \pm \sqrt{3}$

(C) ધારો કે રેખા $AB$ ના દિશા ખૂણાઓ $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 120^{\circ}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
કોઈપણ રેખાના દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 120^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$,તેથી:
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $\theta$ એ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ}$.

(C) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ છે. રેખાની લંબાઈ $l$ હોવાથી,યામ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો $l_1 = l \cdot |l|$,$l_2 = l \cdot |m|$ અને $l_3 = l \cdot |n|$ દ્વારા મળે છે.
તેમનો વર્ગ કરતા,આપણને $l_1^2 = l^2 l^2$,$l_2^2 = l^2 m^2$ અને $l_3^2 = l^2 n^2$ મળે છે.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = l^2 (l^2 + m^2 + n^2)$ મળે છે.
દિક્કોસાઈનોના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,આપણને $l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = l^2 (1) = l^2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $3lm - 4ln + mn = 0$ ... $(i)$ અને $l + 2m + 3n = 0$ ... $(ii)$ છે.
$(ii)$ પરથી,$l = -2m - 3n$ મળે.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0 \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}n$.
ધારો કે દિકગુણોત્તરો $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
$m_1 = \sqrt{2}n_1$ માટે,$l_1 = -2(\sqrt{2}n_1) - 3n_1 = -(2\sqrt{2} + 3)n_1$.
$m_2 = -\sqrt{2}n_2$ માટે,$l_2 = -2(-\sqrt{2}n_2) - 3n_2 = (2\sqrt{2} - 3)n_2$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અંશની ગણતરી: $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = [-(2\sqrt{2} + 3)n_1][(2\sqrt{2} - 3)n_2] + [\sqrt{2}n_1][-\sqrt{2}n_2] + n_1n_2$
$= [-(8 - 9)n_1n_2] - 2n_1n_2 + n_1n_2 = n_1n_2 - 2n_1n_2 + n_1n_2 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ છે કે રેખા $L_1$ એ $\vec{a}_1 = 2 \hat{i}-\hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{b}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L_2$ એ $\vec{a}_2 = 2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{b}_2 = \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{|(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ શોધો:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 + 4) - \hat{j}(3 - 2) + \hat{k}(-6 + 1) = 3 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ છે.
હવે,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) - (2 \hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} - 2 \hat{k}$ શોધો.
હવે,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (3 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 2 \hat{k}) = (3)(0) + (-1)(1) + (-5)(-2) = 0 - 1 + 10 = 9$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|9|}{\sqrt{35}} = \frac{9}{\sqrt{35}}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,$\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} - \vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{b} + p\vec{a} = \hat{j} + p\hat{i}$ છે.
તે જ રીતે,બીજી રેખા $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$ માટે,આપણી પાસે $(\vec{r} - \vec{a}) \times \vec{b} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{r} - \vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,બીજી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + q\vec{b} = \hat{i} + q\hat{j}$ છે.
છેદબિંદુ માટે,$\hat{j} + p\hat{i} = \hat{i} + q\hat{j}$.
$\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $p = 1$ અને $q = 1$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $p=1$ મૂકતા,આપણને $\vec{r} = \hat{j} + 1(\hat{i}) = \hat{i} + \hat{j}$ મળે છે.

(D) રેખાખંડ $\overline{AB}$ ના દિકગુણોત્તરો $(4-2, 5-3, 7-4) = (2, 2, 3)$ છે.
રેખાખંડ $\overline{CD}$ ના દિકગુણોત્તરો $(4-2, -4-(-6), k-3) = (2, 2, k-3)$ છે.
કારણ કે રેખા $\overline{AB}$ એ $\overline{CD}$ ને સમાંતર છે,તેથી તેમના દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{2}{2} = \frac{2}{2} = \frac{3}{k-3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 = \frac{3}{k-3}$.
$k$ માટે ઉકેલતા,આપણને $k-3 = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 6$.

(B) બિંદુઓ $(k, 2, 3)$ અને $(1, 1, 2)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(1-k, 1-2, 2-3)$ એટલે કે $(1-k, -1, -1)$ છે.
બિંદુઓ $(5, 4, -1)$ અને $(3, 2, -3)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(3-5, 2-4, -3-(-1))$ એટલે કે $(-2, -2, -2)$ છે.
બે રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{1-k}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{-1}{-2}$
સમીકરણ $\frac{1-k}{-2} = \frac{1}{2}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$1-k = -1$
$k = 2$
આમ,$k$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. આપણે $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ અને $(a,a,a)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ઘન વિચારીએ.
ઘનના બે વિકર્ણોને સદિશો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $\vec{d_1}$ એ $(0,0,0)$ થી $(a,a,a)$ સુધીનો સદિશ છે,તેથી $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{d_2}$ એ $(a,0,0)$ થી $(0,a,a)$ સુધીનો સદિશ છે,તેથી $\vec{d_2} = (0-a)\hat{i} + (a-0)\hat{j} + (a-0)\hat{k} = -a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$.
આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ અને $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(D) આપેલ સમીકરણો $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ અને $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -2l - 2n$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{l}{n}$. તો $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ અને $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ છે.
તો $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
તે જ રીતે,$l = -\frac{m+2n}{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ મળે છે.
$n^2$ વડે ભાગતા,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
ધારો કે $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ અને $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. તો $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
બે રેખાઓ માટે જેમની દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલા સમતલો $P_1: x-2y+z+2=0$ અને $P_2: 3x-y-z+1=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x-2y+z+2) + \lambda(3x-y-z+1) = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે $x=1, y=1, z=1$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(1-2(1)+1+2) + \lambda(3(1)-1-1+1) = 0$.
$(1-2+1+2) + \lambda(3-1-1+1) = 0$.
$2 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
હવે $\lambda = -1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-2y+z+2) - 1(3x-y-z+1) = 0$.
$x-2y+z+2 - 3x+y+z-1 = 0$.
$-2x - y + 2z + 1 = 0$.
$X$ અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y=0$ અને $z=0$ લેતા:
$-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
આમ,$X$ અંતઃખંડ $\frac{1}{2}$ છે.

(A) સમતલ $S_1: x - 2y + 2z + 3 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલ $S_2: 3x - 2y + 4z - 4 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n}_1$ અને $\vec{n}_2$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 + 4) - \hat{j}(4 - 6) + \hat{k}(-2 + 6) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-4(x - 2) + 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0$ છે.
$-4x + 8 + 2y - 2 + 4z - 12 = 0$.
$-4x + 2y + 4z - 6 = 0$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x - y - 2z + 3 = 0$ મળે છે.

(B) સમતલ બિંદુ $\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને તે સદિશો $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{N}$ એ બે સમાંતર સદિશોના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{N} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{N} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(2 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ છે,જ્યાં $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
$((x-3) \hat{i} + (y-2) \hat{j} + (z-6) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}) = 0$
$2(x-3) - 1(y-2) - 3(z-6) = 0$
$2x - 6 - y + 2 - 3z + 18 = 0$
$2x - y - 3z + 14 = 0$
$2x - y - 3z = -14$.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $4x + 3y + 2z = 2$ છે.
અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે આ સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં ફેરવીએ.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{4x}{2} + \frac{3y}{2} + \frac{2z}{2} = \frac{2}{2}$
$\frac{x}{1/2} + \frac{y}{2/3} + \frac{z}{1} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,અંતઃખંડો $a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{2}{3}$,અને $c = 1$ મળે છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1$ થાય.
$2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $6$ લેતા:
$a + b + c = \frac{3 + 4 + 6}{6} = \frac{13}{6}$.

(A) આપેલ સમતલો $2x - y + z = 6$ અને $x + y + 2z = 3$ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{||\vec{n}_1|| ||\vec{n}_2||}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
માન શોધતા: $||\vec{n}_1|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ અને $||\vec{n}_2|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(B) બિંદુ $A(\vec{a})$ માંથી પસાર થતા અને લંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $A = (2, 1, -3)$,તેથી $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$.
આપેલ લંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$((x - 2)\hat{i} + (y - 1)\hat{j} + (z + 3)\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$3(x - 2) - 1(y - 1) + 2(z + 3) = 0$
$3x - 6 - y + 1 + 2z + 6 = 0$
$3x - y + 2z + 1 = 0$.
હવે,વિકલ્પ $B$ માં આપેલા બિંદુઓ ચકાસો:
$(\frac{1}{3}, 3, \frac{1}{2})$ માટે: $3(\frac{1}{3}) - 3 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 1 - 3 + 1 + 1 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
$(1, 5, \frac{1}{2})$ માટે: $3(1) - 5 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 3 - 5 + 1 + 1 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
આમ,સમતલ વિકલ્પ $B$ માં આપેલા બિંદુઓ ધરાવે છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 1, 2)$ મુકતા,$A(x-0) + B(y-1) + C(z-2) = 0$ ... $(i)$.
સમતલ $(-1, 0, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$A(-1-0) + B(0-1) + C(3-2) = 0$,જે $-A - B + C = 0$ અથવા $A + B - C = 0$ થાય છે ... $(ii)$.
સમતલ $(i)$ એ $2x + 3y + z = 5$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો લંબ થાય,તેથી $2A + 3B + C = 0$ ... $(iii)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા: $\frac{A}{1(1) - 3(-1)} = \frac{B}{2(-1) - 1(1)} = \frac{C}{1(3) - 2(1)}$.
આથી $\frac{A}{4} = \frac{B}{-3} = \frac{C}{1}$ મળે છે.
આ કિંમતો $(i)$ માં મુકતા,$4(x-0) - 3(y-1) + 1(z-2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4x - 3y + z + 1 = 0$ થાય છે.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે અને લંબપાદ $A(2, 1, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{OA}$ એ સમતલને લંબ છે.
$\vec{OA} = (2 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (2 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને $\vec{n}$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(\vec{r} - (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં,જ્યાં $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે,સમીકરણ $2x + y + 2z = 9$ થાય છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ છે. તે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી એક એકમ અંતરે હોવાથી,$\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$.
$\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ છે.
તેથી,$x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,અને $z = \frac{c}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3x$,$b = 3y$,અને $c = 3z$.
આ કિંમતોને $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{1}{(3x)^2}+\frac{1}{(3y)^2}+\frac{1}{(3z)^2}=1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{9x^2}+\frac{1}{9y^2}+\frac{1}{9z^2}=1$,અથવા $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=9$ મળે છે.
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=9$ મળે છે.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
આપેલા બિંદુઓ $(1,1,1)$,$(1,-1,1)$ અને $(-7,-3,-5)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1-1 & -1-1 & 1-1 \\ -7-1 & -3-1 & -5-1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z-1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -8 & -4 & -6 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)((-2)(-6) - (0)(-4)) - (y-1)((0)(-6) - (0)(-8)) + (z-1)((0)(-4) - (-2)(-8)) = 0$
$(x-1)(12) - (y-1)(0) + (z-1)(-16) = 0$
$12x - 12 - 16z + 16 = 0$
$12x - 16z + 4 = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$3x - 4z + 1 = 0$
અહીં $y$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(3, 0, -4)$ છે,જે $Y$-અક્ષને લંબ છે. તેથી,સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર છે.

(C) ધારો કે ત્રણ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b}-\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
$\vec{c}-\vec{a} = -\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i}-7\hat{j}-3\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
$(x-2)(-1) + (y-3)(-7) + (z+1)(-3) = 0$.
સાદુરૂપ આપતા $x+7y+3z = 20$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ ના બિંદુઓ ચકાસતા:
$2 \hat{i}-3 \hat{j}+13 \hat{k}$ માટે: $2 + 7(-3) + 3(13) = 20$. (સંતોષાય છે)
$2 \hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+\frac{5}{2} \hat{k}$ માટે: $2 + 7(\frac{3}{2}) + 3(\frac{5}{2}) = 20$. (સંતોષાય છે)
આમ,વિકલ્પ $C$ ના બિંદુઓ સમતલ પર આવેલા છે.

(B) સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 2z + 5 = 0$ આપેલ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ નું લંબ અંતર $P$ શોધવાનું સૂત્ર:
$P = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$.
સમતલના સહગુણકો $a = 1, b = 2, c = -2$ અને $d = 5$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \left| \frac{1(0) + 2(0) - 2(0) + 5}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \right|$.
$P = \left| \frac{5}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \right|$.
$P = \left| \frac{5}{\sqrt{9}} \right|$.
$P = \frac{5}{3}$ એકમ.

(C) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોવાની શરત $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ છે.
આપેલ રેખાઓ માટે,$(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (2, 3, 2)$ છે.
દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, \lambda)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (3, 2, 3)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (2-3, 3-2, 2-1) = (-1, 1, 1)$ છે.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & \lambda \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $-1(9-2\lambda) - 1(6-3\lambda) + 1(4-9) = 0$.
$-9 + 2\lambda - 6 + 3\lambda - 5 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 20 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
હવે,આપણે $\sin ^{-1}(\sin 4) + \cos ^{-1}(\cos 4)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$4$ રેડિયન ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી $(\pi < 4 < \frac{3\pi}{2})$,આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીશું:
$\sin ^{-1}(\sin 4) = \sin ^{-1}(\sin(\pi - 4)) = \pi - 4$.
$\cos ^{-1}(\cos 4) = \cos ^{-1}(\cos(2\pi - 4)) = 2\pi - 4$.
સરવાળો કરતા: $(\pi - 4) + (2\pi - 4) = 3\pi - 8$.

(B) $(1, 1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ સદિશને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-1} = k$
તેથી,$x = k + 1, y = 2k + 1, z = -k - 1$.
રેખા $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ સાથેના છેદબિંદુ $A$ માટે,પેરામેટ્રિક યામોને બીજા રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{k + 1 - 3}{-1} = \frac{2k + 1 + 2}{5} \Rightarrow \frac{k - 2}{-1} = \frac{2k + 3}{5} \Rightarrow 5k - 10 = -2k - 3 \Rightarrow 7k = 7 \Rightarrow k = 1$.
આમ,$A = (1 + 1, 2(1) + 1, -1 - 1) = (2, 3, -2)$.
સમતલ $2x - y + 2z + 7 = 0$ સાથેના છેદબિંદુ $B$ માટે,પેરામેટ્રિક યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(k + 1) - (2k + 1) + 2(-k - 1) + 7 = 0$
$2k + 2 - 2k - 1 - 2k - 2 + 7 = 0 \Rightarrow -2k + 6 = 0 \Rightarrow k = 3$.
આમ,$B = (3 + 1, 2(3) + 1, -3 - 1) = (4, 7, -4)$.
અંતર $AB$ છે:
$|AB| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (7 - 3)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $A(1, 2, 3)$ નું સમતલ $x+y+z-12=0$ ની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ $S(p, q, r)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax+by+cz+d=0$ માં પ્રતિબિંબ શોધવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{p-1}{1} = \frac{q-2}{1} = \frac{r-3}{1} = \frac{-2(1+2+3-12)}{1^2+1^2+1^2} = \frac{-2(-6)}{3} = 4$.
આથી,$p-1=4 \Rightarrow p=5$,$q-2=4 \Rightarrow q=6$,$r-3=4 \Rightarrow r=7$.
તેથી,પ્રતિબિંબ બિંદુ $S(5, 6, 7)$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ $C(3, 5, 9)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે $S(5, 6, 7)$ માંથી આવતું હોય તેમ લાગે છે. રેખા $SC$ નું સમીકરણ:
$\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-6}{5-6} = \frac{z-7}{9-7} \Rightarrow \frac{x-5}{-2} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-7}{2} = \lambda$.
તેથી,$x = 5-2\lambda$,$y = 6-\lambda$,$z = 7+2\lambda$.
બિંદુ $B$ એ સમતલ $x+y+z=12$ પર હોવાથી:
$(5-2\lambda) + (6-\lambda) + (7+2\lambda) = 12 \Rightarrow 18 - \lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.
$\lambda=6$ ની કિંમત $B$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 5-12 = -7$,$y = 6-6 = 0$,$z = 7+12 = 19$.
આમ,$B = (-7, 0, 19)$.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી $B$ નું અંતર:
$OB = \sqrt{(-7)^2 + 0^2 + 19^2} = \sqrt{49 + 361} = \sqrt{410}$.

(A) દરેક $12$ દડાને $3$ પેટીઓમાંથી કોઈપણ એકમાં મૂકી શકાય છે,તેથી કુલ રીતો $3^{12}$ છે.
પ્રથમ પેટીમાં બરાબર $3$ દડા હોય તે માટે:
$12$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{12}C_3$ છે.
બાકીના $9$ દડાને બાકીની $2$ પેટીઓમાં મૂકવાની રીતો $2^9$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{{}^{12}C_3 \times 2^9}{3^{12}}$ છે.

(B) $REGULATIONS$ શબ્દમાં $11$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે.
$G, U, L, A, T, I, O, N, S$ અક્ષરોના સાપેક્ષ સ્થાન નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે ફક્ત $11$ ખાલી જગ્યાઓમાં $R$ અને $E$ ના સ્થાન ધ્યાનમાં લેવાના છે.
$11$ જગ્યાઓમાં $R$ અને $E$ ને ગોઠવવાની કુલ રીતો $^{11}P_2 = 11 \times 10 = 110$ છે.
આપણે $R$ અને $E$ ની વચ્ચે બરાબર $4$ અક્ષરો જોઈએ છે. જો $R$ સ્થાન $i$ પર હોય અને $E$ સ્થાન $j$ પર હોય,તો $|i - j| = 5$ થાય.
શક્ય જોડીઓ $(i, j)$ એ $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10), (6, 11)$ છે.
$R$ અને $E$ અદલાબદલી કરી શકાય છે,તેથી આપણી પાસે $6 \times 2 = 12$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
સંભાવના $\frac{12}{110} = \frac{6}{55}$ છે.

(A) ધારો કે હેડ મેળવવાની સંભાવના $x$ છે અને ટેલ મેળવવાની સંભાવના $(1-x)$ છે.
ટોમ રમત શરૂ કરે છે,તેથી તે તેના વારા પર ($1$લી,$3$જી,$5$મી,... ઉછાળ) હેડ મેળવે તો તે જીતે છે.
ટોમની જીતવાની સંભાવના $x + (1-x)^2 x + (1-x)^4 x + \dots = \frac{5}{8}$ છે.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (1-x)^2$ છે.
સરવાળો $\frac{x}{1-(1-x)^2} = \frac{5}{8}$ છે.
$\frac{x}{1-(1-2x+x^2)} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{x}{2x-x^2} = \frac{5}{8}$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$\frac{1}{2-x} = \frac{5}{8} \Rightarrow 8 = 10 - 5x \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$.
હવે,$n=5$ ઉછાળ માટે,બરાબર $r=3$ હેડ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $p = \frac{2}{5}$,$q = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$,$n=5$,$r=3$.
$P(X=3) = { }^5 C_3 \left(\frac{2}{5}\right)^3 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 10 \times \frac{8}{125} \times \frac{9}{25} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}$.

(C) આપણને આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{7}$,$P(A|B) = \frac{2}{3}$ અને $P(B) = \frac{2}{7}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
તેથી,$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{7} = \frac{4}{21}$.
હવે,આપણે $P(B|A)$ શોધવાનું છે,જેનું સૂત્ર $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,જો આપણે $P(A|B) = \frac{2}{5}$ લઈએ તો $P(B|A) = \frac{4/35}{1/7} = \frac{4}{5}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વિમાન-$I$ લક્ષ્યને સફળતાપૂર્વક ભેદે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વિમાન-$II$ લક્ષ્યને સફળતાપૂર્વક ભેદે છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.3$ અને $P(B) = 0.2$.
વિમાન-$I$ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$ છે.
વિમાન-$II$ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.2 = 0.8$ છે.
બીજું વિમાન ત્યારે જ બોમ્બ ફેંકે છે જો પ્રથમ વિમાન ચૂકી જાય. બીજા વિમાન દ્વારા લક્ષ્ય ભેદાય તે માટેની શરતો:
$1.$ વિમાન-$I$ ચૂકી જાય અને વિમાન-$II$ ભેદે: $P(A')P(B) = 0.7 \times 0.2 = 0.14$.
$2.$ વિમાન-$I$ ચૂકી જાય,વિમાન-$II$ ચૂકી જાય,વિમાન-$I$ ચૂકી જાય અને વિમાન-$II$ ભેદે: $P(A')P(B')P(A')P(B) = 0.7 \times 0.8 \times 0.7 \times 0.2 = (0.56) \times 0.14$.
$3.$ આ પ્રક્રિયા અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી $(GP)$ માં ચાલુ રહે છે.
બીજા વિમાન દ્વારા લક્ષ્ય ભેદાય તેની કુલ સંભાવના $P(X)$ છે:
$P(X) = 0.14 + 0.14(0.56) + 0.14(0.56)^2 + \dots$
આ એક અનંત $GP$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 0.14$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 0.56$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{0.14}{1-0.56} = \frac{0.14}{0.44} = \frac{14}{44} = \frac{7}{22} \approx 0.31818...$
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $0.32$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(A)=0.5, P(B)=0.4$,અને $P(A \cap B)=0.3$.
આપણે $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$,તેથી $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$ ગણો.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
આગળ,$P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$ ગણો.
અંતે,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ એ ઘટનાઓ છે કે $P$ સત્ય બોલે છે અને $Q$ સત્ય બોલે છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{70}{100} = 0.7$ અને $P(B) = \frac{80}{100} = 0.8$.
તેથી,તેમના અસત્ય બોલવાની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.7 = 0.3$ અને $P(\bar{B}) = 1 - 0.8 = 0.2$ છે.
તેઓ એક જ હકીકત જણાવવા માટે ત્યારે સહમત થાય છે જો બંને સત્ય બોલે અથવા બંને અસત્ય બોલે.
જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(A)P(B) + P(\bar{A})P(\bar{B})$ છે.
$= (0.7 \times 0.8) + (0.3 \times 0.2)$
$= 0.56 + 0.06 = 0.62$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$0.62 \times 100 = 62\%$.
તેથી,તેઓ $62\%$ કિસ્સાઓમાં સહમત થવાની શક્યતા ધરાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) = \frac{1}{3}$ અને $P(B) = \frac{2}{7}$.
આપણે $P\left(\frac{A}{B^C}\right)$ શોધવાનું છે,જ્યાં $B^C$ એ $B$ ની પૂરક ઘટના છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left(\frac{A}{B^C}\right) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી $A$ અને $B^C$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ થાય.
તેથી,$P(A \cap B^C) = P(A) \times P(B^C)$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$P\left(\frac{A}{B^C}\right) = \frac{P(A) \times P(B^C)}{P(B^C)} = P(A)$.
આમ,$P(A) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,જવાબ $\frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ એ અંકોનો સરવાળો $10$ હોય તેવી ઘટના છે.
ધારો કે $B$ એ અંકોનો ગુણાકાર $9$ હોય તેવી ઘટના છે.
ટિકિટો $00$ થી $49$ સુધીની છે.
ઘટના $B$ માટે (અંકોનો ગુણાકાર $9$ છે): શક્ય સંખ્યાઓ $19$ અને $33$ છે. તેથી,$B = \{19, 33\}$ અને $n(B) = 2$.
ઘટના $A$ માટે (અંકોનો સરવાળો $10$ છે): શક્ય સંખ્યાઓ $19, 28, 37, 46$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જ્યાં સરવાળો $10$ અને ગુણાકાર $9$ હોય. તેથી,$A \cap B = \{19\}$ અને $n(A \cap B) = 1$.
શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) ધારો કે $O_i$ અને $E_i$ એ અનુક્રમે Box-$i$ માંથી એકી અને બેકી સંખ્યા પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
Box-$I$ $(1, 2, 3)$ માટે: $P(O_1) = \frac{2}{3}$,$P(E_1) = \frac{1}{3}$.
Box-$II$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ માટે: $P(O_2) = \frac{3}{5}$,$P(E_2) = \frac{2}{5}$.
Box-$III$ $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)$ માટે: $P(O_3) = \frac{4}{7}$,$P(E_3) = \frac{3}{7}$.
સરવાળો $x_1+x_2+x_3$ એકી ત્યારે જ થાય જો ત્રણેય સંખ્યાઓ એકી હોય અથવા એક એકી અને બે બેકી સંખ્યાઓ હોય.
કિસ્સો $1$: ત્રણેય એકી સંખ્યા હોય: $P(O_1 \cap O_2 \cap O_3) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{105}$.
કિસ્સો $2$: એક એકી અને બે બેકી સંખ્યા હોય:
- $O_1, E_2, E_3$: $\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{105}$.
- $E_1, O_2, E_3$: $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{105}$.
- $E_1, E_2, O_3$: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{105}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{24+12+9+8}{105} = \frac{53}{105}$.

(A) ધારો કે $U_1$ એ પ્રથમ પાત્ર પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $U_2$ એ બીજા પાત્રને પસંદ કરવાની ઘટના છે. પાત્રો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,$P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$.
પાત્ર $1$ માં $3$ લીલા અને $2$ કાળા દડા છે,તેથી કુલ દડાની સંખ્યા $5$ છે. પાત્ર $1$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|U_1) = \frac{2}{5}$ છે.
પાત્ર $2$ માં $2$ લીલા અને $5$ કાળા દડા છે,તેથી કુલ દડાની સંખ્યા $7$ છે. પાત્ર $2$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|U_2) = \frac{5}{7}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(B) = P(U_1) \times P(B|U_1) + P(U_2) \times P(B|U_2)$
$P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{7}$
$P(B) = \frac{1}{5} + \frac{5}{14}$
$P(B) = \frac{14 + 25}{70} = \frac{39}{70}$

(D) ધારો કે $X_1, X_2, X_3, X_4$ એ અનુક્રમે $1, 2, 5, 10$ રૂપિયાના સિક્કાઓના મૂલ્યો છે.
ધારો કે $I_k$ એ એક સૂચક યાદચ્છિક ચલ છે,જ્યાં જો $k$-મો સિક્કો છાપ દર્શાવે તો $I_k = 1$ અને જો કાંટો દર્શાવે તો $I_k = 0$.
દરેક સિક્કા માટે છાપ મળવાની સંભાવના $P(I_k = 1) = \frac{1}{2}$ છે.
દરેક સૂચક ચલની અપેક્ષિત કિંમત $E[I_k] = 1 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
છાપ દર્શાવતા સિક્કાઓના મૂલ્યોનો કુલ સરવાળો $S = 1 \cdot I_1 + 2 \cdot I_2 + 5 \cdot I_3 + 10 \cdot I_4$ છે.
અપેક્ષાની સુરેખતા (linearity of expectation) મુજબ,$E[S] = 1 \cdot E[I_1] + 2 \cdot E[I_2] + 5 \cdot E[I_3] + 10 \cdot E[I_4]$.
$E[S] = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} + 5 \times \frac{1}{2} + 10 \times \frac{1}{2}$.
$E[S] = \frac{1+2+5+10}{2} = \frac{18}{2} = 9$.