AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) त्रिभुज के शीर्षों $(3, -1), (1, 3)$ और $(2, 4)$ के लिए केंद्रक $C = (\frac{3+1+2}{3}, \frac{-1+3+4}{3}) = (2, 2).$
रेखाओं $x + 3y - 1 = 0$ और $3x - y + 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}).$
$C(2, 2)$ और $P(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $8x - 11y + 6 = 0$ है।
इस समीकरण में $(-9, -6)$ बिंदु रखने पर: $8(-9) - 11(-6) + 6 = -72 + 66 + 6 = 0.$
अतः,रेखा $(-9, -6)$ से गुजरती है।

(A) सबसे पहले,$6$ पुरुषों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ पुरुष $(6-1)! = 5!$ तरीकों से बैठ सकते हैं।
इन $6$ पुरुषों के बीच $6$ स्थान बनते हैं। हमें $5$ महिलाओं को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ न बैठें।
$6$ स्थानों में $5$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीके $P(6, 5) = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5! \times 6!$ है।

(C) माना $p(n) = 2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$p(1) = 2 \cdot 4^3 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
चूंकि $209 = 11 \times 19$,$p(1)$ $11$ से विभाज्य है।
माना $p(k) = 2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1}$ $11$ से विभाज्य है।
अब,$p(k+1) = 2 \cdot 4^{2k+3} + 3^{3k+4} = 16 \cdot (2 \cdot 4^{2k+1}) + 27 \cdot 3^{3k+1}$.
$p(k+1) = 16 \cdot (2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1}) + 11 \cdot 3^{3k+1}$.
यहाँ $p(k)$ और $11 \cdot 3^{3k+1}$ दोनों $11$ से विभाज्य हैं,इसलिए $p(k+1)$ भी $11$ से विभाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$ $11$ से विभाज्य है।

(B) हम $m \in \mathbb{N}$ ज्ञात करना चाहते हैं ताकि $(x+y)$,$(x^m+y^m)$ को विभाजित करे।
माना $P(m)$ वह कथन है कि $(x+y) \mid (x^m+y^m)$।
$m=1$ के लिए: $x^1+y^1 = x+y$,जो $(x+y)$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
$m=2$ के लिए: $x^2+y^2$ सामान्यतः $(x+y)$ से विभाज्य नहीं है। अतः,$P(2)$ असत्य है।
$m=3$ के लिए: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$,जो $(x+y)$ से विभाज्य है। अतः,$P(3)$ सत्य है।
सामान्यतः,$x^m+y^m$,$(x+y)$ से विभाज्य है यदि और केवल यदि $m$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है।
अतः,यह विभाज्यता सभी विषम संख्याओं $m \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(B) माना $A$,$1$ से $1000$ तक के $2$ से विभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय है,और $B$,$1$ से $1000$ तक के $3$ से विभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय है।
हमें $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ ज्ञात करना है।
$|A| = \lfloor \frac{1000}{2} \rfloor = 500$.
$|B| = \lfloor \frac{1000}{3} \rfloor = 333$.
$|A \cap B|$ उन पूर्णांकों की संख्या है जो $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हैं,अर्थात $\text{lcm}(2, 3) = 6$ से विभाज्य हैं।
$|A \cap B| = \lfloor \frac{1000}{6} \rfloor = 166$.
अतः,$|A \cup B| = 500 + 333 - 166 = 667$.

(D) व्यंजक $(n+24)(n+25)(n+26)(n+27)$ लगातार $4$ प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है।
हम जानते हैं कि $k$ लगातार प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
यहाँ,$k = 4$ है,इसलिए गुणनफल $4!$ से विभाज्य है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
अतः,यह व्यंजक हमेशा $24$ से विभाज्य है।

(C) समीकरण $(x^2+5x+5)^{x+5}=1$ निम्नलिखित स्थितियों में सत्य है:
स्थिति $1$: घातांक $0$ हो और आधार शून्य न हो।
$x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
आधार की जाँच करने पर: $(-5)^2+5(-5)+5 = 5 \neq 0$. अतः,$x=-5$ एक हल है।
स्थिति $2$: आधार $1$ हो।
$x^2+5x+5=1$ $\Rightarrow x^2+5x+4=0$ $\Rightarrow (x+1)(x+4)=0$.
अतः,$x=-1$ और $x=-4$ हल हैं।
स्थिति $3$: आधार $-1$ हो और घातांक एक सम पूर्णांक हो।
$x^2+5x+5=-1$ $\Rightarrow x^2+5x+6=0$ $\Rightarrow (x+2)(x+3)=0$.
अतः,$x=-2$ या $x=-3$.
$x=-2$ के लिए,घातांक $x+5 = 3$ (विषम) है,इसलिए यह हल नहीं है।
$x=-3$ के लिए,घातांक $x+5 = 2$ (सम) है,इसलिए $x=-3$ एक हल है।
पूर्णांक हलों का समुच्चय $\{-5, -1, -4, -3\}$ है।
अतः,समीकरण को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों की संख्या $4$ है।

(C) दी गई असमिका $8n + 16 \leq 2^n$ है।
हम व्यंजक को $2^3(n + 2) \leq 2^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
$n = 5$ के लिए: $8(5) + 16 = 40 + 16 = 56$ और $2^5 = 32$। चूँकि $56 \not\leq 32$,यह गलत है।
$n = 6$ के लिए: $8(6) + 16 = 48 + 16 = 64$ और $2^6 = 64$। चूँकि $64 \leq 64$ सत्य है,इसलिए यह कथन $n = 6$ के लिए सही है।

(A) दिया है,$mn=3$ और $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{4}{3}$.
दूसरे समीकरण से,$\frac{m+n}{mn}=\frac{4}{3}$.
$mn=3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{m+n}{3}=\frac{4}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m+n=4$.
हमारे पास $m+n=4$ और $mn=3$ है। द्विघात समीकरण $x^2-4x+3=0$ के मूल $m$ और $n$ हैं।
$(x-1)(x-3)=0$,इसलिए $m=1, n=3$ या $m=3, n=1$.
अब,$0.1+0.1^{\frac{1}{m}}+0.1^{\frac{1}{n}}$ व्यंजक का मान ज्ञात करें।
$m=1$ और $n=3$ रखने पर,हमें $0.1+0.1^1+0.1^{\frac{1}{3}} = 0.1+0.1+0.1^{\frac{1}{3}} = 0.2+0.1^{\frac{1}{3}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $a = \frac{x}{y-z}$,$b = \frac{y}{z-x}$,$c = \frac{z}{x-y}$.
मान लीजिए $x=1, y=2, z=4$ है।
$a = \frac{1}{2-4} = -\frac{1}{2}$
$b = \frac{2}{4-1} = \frac{2}{3}$
$c = \frac{4}{1-2} = -4$
अब $ab + bc + ca + abc$ की गणना करने पर:
$ab = -\frac{1}{3}$,$bc = -\frac{8}{3}$,$ca = 2$,$abc = \frac{4}{3}$.
योग $= -\frac{1}{3} - \frac{8}{3} + 2 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $11 x^2 + 12 x - 13 = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{12}{11}$ और $\alpha \beta = -\frac{13}{11}$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2 \beta^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta}{(\alpha \beta)^2} = \frac{(-\frac{12}{11})^2 - 2(-\frac{13}{11})}{(-\frac{13}{11})^2}$.
$= \frac{\frac{144}{121} + \frac{26}{11}}{\frac{169}{121}} = \frac{\frac{144 + 286}{121}}{\frac{169}{121}} = \frac{430}{169}$.
$\frac{430}{169} \approx 2.544$.
अतः,मान लगभग $2.54$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $7x^2 - 13x + a = 0$ है।
मूलों के परिमेय होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यहाँ,$D = (-13)^2 - 4(7)(a) = 169 - 28a$ है।
$D$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,$169 - 28a = k^2$ होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
यदि $a = 5$,$D = 169 - 140 = 29$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
यदि $a = 6$,$D = 169 - 168 = 1 = 1^2$ (एक पूर्ण वर्ग है)।
अतः,$a$ का न्यूनतम संभव मान $6$ है।

(C) मान लीजिए कि $A.P.$ में चार संख्याएँ $p=a-3d, q=a-d, r=a+d, s=a+3d$ हैं।
चूँकि $p$ और $q$,$x^2-2x+A=0$ के मूल हैं,इसलिए $p+q=2$ और $pq=A$ है।
चूँकि $r$ और $s$,$x^2-18x+B=0$ के मूल हैं,इसलिए $r+s=18$ और $rs=B$ है।
मूलों का योग करने पर: $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d) = 4a = 2+18 = 20$,अतः $a=5$।
$p+q=2$ से,$(a-3d)+(a-d) = 2a-4d = 2$ प्राप्त होता है।
$a=5$ रखने पर,$10-4d=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $4d=8$,जिसका अर्थ है $d=2$।
मूल $p=5-3(2)=-1$,$q=5-2=3$,$r=5+2=7$,और $s=5+3(2)=11$ हैं।
अतः,$A = pq = (-1)(3) = -3$ और $B = rs = (7)(11) = 77$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $i x^2 - 2(i + 1) x + (2 - i) = 0$ है।
माना समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
हमें एक मूल $\alpha = 2 - i$ दिया गया है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \times \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = i$ और $c = 2 - i$ है।
अतः,$(2 - i) \times \beta = \frac{2 - i}{i}$।
दोनों पक्षों को $(2 - i)$ से विभाजित करने पर,हमें $\beta = \frac{1}{i}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $i$ से गुणा करने पर,$\beta = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा मूल $-i$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 2x^3 + mx^2 - 13x + n$.
चूंकि $2$ और $3$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $f(2) = 0$ और $f(3) = 0$ होगा।
$f(2) = 0$ के लिए: $2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0$ $\Rightarrow 16 + 4m - 26 + n = 0$ $\Rightarrow 4m + n = 10 \dots (i)$.
$f(3) = 0$ के लिए: $2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0$ $\Rightarrow 54 + 9m - 39 + n = 0$ $\Rightarrow 9m + n = -15 \dots (ii)$.
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10$ $\Rightarrow 5m = -25$ $\Rightarrow m = -5$.
$m = -5$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $4(-5) + n = 10$ $\Rightarrow -20 + n = 10$ $\Rightarrow n = 30$.
अतः,$m = -5$ और $n = 30$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण: $9x^3 + 112x^2 - 120x + a = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = 12$ दिया गया है।
त्रिघात समीकरण $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $-\frac{D}{A}$ होता है।
यहाँ,$A = 9$ और $D = a$ है।
मान रखने पर: $-\frac{a}{9} = 12$।
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर: $-a = 12 \times 9 = 108$।
अतः,$a = -108$।

(C) हम जानते हैं कि परिमेय गुणांकों वाले त्रिघात समीकरण में यदि एक अपरिमेय मूल $\alpha+\sqrt{\beta}$ है,तो उसका संयुग्मी मूल $\alpha-\sqrt{\beta}$ भी होता है।
अतः,मूल $1, 2+\sqrt{5}$ और $2-\sqrt{5}$ हैं।
त्रिघात समीकरण का सूत्र: $x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-(\alpha\beta\gamma)=0$ है।
यहाँ $\alpha=1, \beta=2+\sqrt{5}, \gamma=2-\sqrt{5}$ है।
मूलों का योग: $1+2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5} = 5$ है।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $1(2+\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})+1(2-\sqrt{5}) = 2+\sqrt{5}+4-5+2-\sqrt{5} = 3$ है।
मूलों का गुणनफल: $1(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 1(4-5) = -1$ है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3-5x^2+3x+1=0$ है।

(NONE) समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$\alpha\beta\gamma = 6$
हमें $\Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2 + 3\alpha\beta\gamma$.
अतः,$\Sigma \alpha^2 \beta + \Sigma \alpha \beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$.
मान रखने पर:
$= (6)(11) - 3(6) = 66 - 18 = 48$.

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3+4x-19=0$ के मूल हैं।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$\alpha^3 + 4\alpha - 19 = 0$
$\Rightarrow \alpha^3 = 19 - 4\alpha$
दोनों पक्षों को $(19 - 4\alpha)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha^3}{19 - 4\alpha} = 1$
इसी प्रकार,चूंकि $\beta$ और $\gamma$ भी उसी समीकरण के मूल हैं:
$\frac{\beta^3}{19 - 4\beta} = 1$
$\frac{\gamma^3}{19 - 4\gamma} = 1$
इन तीनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$\frac{\alpha^3}{19-4\alpha} + \frac{\beta^3}{19-4\beta} + \frac{\gamma^3}{19-4\gamma} = 1 + 1 + 1 = 3$

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2-bx}{ax-c} = \frac{m-1}{m+1}$
वज्र-गुणन करने पर: $(x^2-bx)(m+1) = (m-1)(ax-c)$
पदों का विस्तार करने पर: $x^2(m+1) - bx(m+1) = ax(m-1) - c(m-1)$
मानक द्विघात रूप $Ax^2 + Bx + C = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2(m+1) - x(b(m+1) + a(m-1)) + c(m-1) = 0$
मान लीजिए मूल $p$ और $-p$ हैं।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ होता है।
चूंकि मूलों का योग $p + (-p) = 0$ है,इसलिए $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$b(m+1) + a(m-1) = 0$
$bm + b + am - a = 0$
$m(a+b) = a-b$
अतः,$m = \frac{a-b}{a+b}$

(B) दिया गया बहुपद समीकरण: $x^4-3x^2+6x-12=0$ ... $(i)$
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=0, c=-3, d=6, e=-12$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0$ है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = -\delta$,$\alpha+\delta+\gamma = -\beta$,$\alpha+\beta+\delta = -\gamma$,और $\delta+\beta+\gamma = -\alpha$ है।
साथ ही,$\Sigma \alpha\beta\gamma = -6$ और $\alpha\beta\gamma\delta = -12$ है।
इन मानों को रखने पर: $-(\frac{1}{\delta} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\alpha}) = -(\frac{\Sigma \alpha\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma\delta}) = -(\frac{-6}{-12}) = -\frac{1}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+px+q=0$ है ... $(i)$
$ax^2+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=p, c=q$ प्राप्त होता है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया गया है कि $\alpha = \beta^2$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -p \Rightarrow \beta^2 + \beta = -p$ ... (ii)
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = q$ $\Rightarrow \beta^2 \cdot \beta = q$ $\Rightarrow \beta^3 = q$ ... (iii)
समीकरण (ii) के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(\beta^2 + \beta)^3 = (-p)^3$
$\beta^6 + \beta^3 + 3\beta^2 \cdot \beta(\beta^2 + \beta) = -p^3$
$\beta^3 = q$ और $\beta^2 + \beta = -p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(q)^2 + q + 3q(-p) = -p^3$
$q^2 + q - 3pq = -p^3$
$p^3 - 3pq = -q^2 - q$
$p(p^2 - 3q) = -q(q+1)$
$p(3q - p^2) = q(q+1)$

(C) दिया गया समीकरण: $x^2-5|x|-14=0$.
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$|x|^2-5|x|-14=0$.
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$. समीकरण $t^2-5t-14=0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t-7)(t+2)=0$.
इससे $t=7$ या $t=-2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = |x| \geq 0$,हम $t=-2$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$|x|=7$,जिसका अर्थ है $x=7$ या $x=-7$ है।
दोनों मूल वास्तविक हैं। इसलिए,कुल दो वास्तविक मूल हैं।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3-3x^2+x+5=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = 3$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -5$
अब,$y = \Sigma \alpha^2 + \alpha \beta \gamma = (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) + \alpha \beta \gamma$.
सर्वसमिका $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)$ का उपयोग करने पर:
$y = (3)^2 - 2(1) + (-5) = 9 - 2 - 5 = 2$.
चूंकि $y=2$,हम जांचते हैं कि कौन सा समीकरण $y=2$ द्वारा संतुष्ट होता है:
विकल्प $B$ के लिए: $y^3-y^2-y-2 = (2)^3 - (2)^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$.
अतः,$y=2$ समीकरण $y^3-y^2-y-2=0$ को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $\frac{1}{4}x^2 + bx + c = 0$ है।
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 4bx + 4c = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A=1, B=4b, C=4c$:
$x = \frac{-4b \pm \sqrt{(4b)^2 - 4(1)(4c)}}{2(1)}$
$x = \frac{-4b \pm \sqrt{16b^2 - 16c}}{2}$
$x = \frac{-4b \pm 4\sqrt{b^2 - c}}{2}$
$x = -2b \pm 2\sqrt{b^2 - c}$।
$x$ के पूर्णांक होने के लिए,$b$ का पूर्णांक होना आवश्यक है और $b^2 - c$ को एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग होना चाहिए।

(B) द्विघात समीकरण $x^2+mx+n=0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = m^2 - 4n \geq 0$,जिसका अर्थ है $m^2 \geq 4n$।
दिया गया है कि $0 \leq m, n \leq 10$,हम $n \leq \frac{m^2}{4}$ को संतुष्ट करने वाले युग्मों $(m, n)$ की गणना करते हैं:
- यदि $m=10$,$n \leq 25$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ मान)।
- यदि $m=9$,$n \leq 20.25$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ मान)।
- यदि $m=8$,$n \leq 16$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ मान)।
- यदि $m=7$,$n \leq 12.25$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ मान)।
- यदि $m=6$,$n \leq 9$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 9\}$ ($10$ मान)।
- यदि $m=5$,$n \leq 6.25$,तो $n \in \{0, 1, \dots, 6\}$ ($7$ मान)।
- यदि $m=4$,$n \leq 4$,तो $n \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ मान)।
- यदि $m=3$,$n \leq 2.25$,तो $n \in \{0, 1, 2\}$ ($3$ मान)।
- यदि $m=2$,$n \leq 1$,तो $n \in \{0, 1\}$ ($2$ मान)।
- यदि $m=1$,$n \leq 0.25$,तो $n \in \{0\}$ ($1$ मान)।
- यदि $m=0$,$n \leq 0$,तो $n \in \{0\}$ ($1$ मान)।
कुल युग्मों की संख्या $= 11+11+11+11+10+7+5+3+2+1+1 = 73$।

(C) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। तब हमारे पास है:
$1) \alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$
$2) \alpha^4 + a\alpha^2 + 1 = 0$
समीकरण $(1)$ को $\alpha$ से गुणा करने पर:
$\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha = 0$
इस परिणाम से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha) - (\alpha^4 + a\alpha^2 + 1) = 0$
$\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$
चूंकि $\alpha = 1$ एक उभयनिष्ठ मूल है,यह पहले समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(1)^3 + a(1) + 1 = 0$
$1 + a + 1 = 0$
$a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$

(A) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2+ax+b=0$ और $x^2+bx+a=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2+a\alpha+b=0$ और $\alpha^2+b\alpha+a=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^2+a\alpha+b) - (\alpha^2+b\alpha+a) = 0$
$a\alpha - b\alpha + b - a = 0$
$\alpha(a-b) - (a-b) = 0$
$(a-b)(\alpha-1) = 0$.
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $\alpha-1=0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha=1$.
$\alpha=1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$1^2 + a(1) + b = 0$
$1 + a + b = 0$
$a + b = -1$.

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2-ax+b=0$ और $x^2+bx-a=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2-a\alpha+b=0$ और $\alpha^2+b\alpha-a=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^2-a\alpha+b) - (\alpha^2+b\alpha-a) = 0$
$-a\alpha-b\alpha+b+a = 0$
$-(a+b)\alpha + (a+b) = 0$
$(a+b)(1-\alpha) = 0$.
इसका अर्थ है कि या तो $a+b=0$ या $\alpha=1$.
यदि $\alpha=1$ एक मूल है,तो $1^2-a(1)+b=0$,जिससे $1-a+b=0$,या $a-b=1$ प्राप्त होता है।
अतः,उभयनिष्ठ मूल के लिए शर्त $a+b=0$ या $a-b=1$ है।

(B) माना $x = e^t$,जिसका अर्थ है $t = \log_e x$।
तब,दिया गया समीकरण $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 22x + 4 = 0$ में परिवर्तित हो जाता है।
माना $x_1, x_2, x_3, x_4$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{4}{1} = 4$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log_e(x_1 x_2 x_3 x_4) = \log_e 4$।
गुणधर्म $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करने पर,$\log_e x_1 + \log_e x_2 + \log_e x_3 + \log_e x_4 = \log_e(2^2) = 2 \log_e 2$।
चूंकि $t_i = \log_e x_i$ समीकरण के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 2 \log_e 2$ है।

(B) माना दिया गया समीकरण $f(x) = x^3-4x^2+5x-2=0$ है,जिसके मूल $x = 2, 1, 1$ हैं।
दूसरा समीकरण $f\left(x+\frac{1}{3}\right) = 0$ द्वारा दिया गया है।
यदि $x_0$,$f(x) = 0$ का एक मूल है,तो नए समीकरण के लिए $x+\frac{1}{3} = x_0$ होना चाहिए।
इसलिए,$x = x_0 - \frac{1}{3}$।
इस संबंध में मूल $x_0 = 2, 1, 1$ रखने पर:
$x_1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
$x_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$x_3 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
अतः,नए समीकरण के मूल $\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ हैं।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x-2}{(x+1)^2(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+3}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)^2(x+3)$ से गुणा करने पर: $3x-2 = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^2$.
पदों का विस्तार करने पर: $3x-2 = A(x^2+4x+3) + B(x+3) + C(x^2+2x+1)$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A + C = 0 \Rightarrow C = -A$.
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $4A + B + 2C = 3$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $3A + 3B + C = -2$.
$C = -A$ को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$4A + B - 2A = 3$ $\Rightarrow 2A + B = 3$ $\Rightarrow B = 3 - 2A$.
$3A + 3(3 - 2A) - A = -2$ $\Rightarrow 3A + 9 - 6A - A = -2$ $\Rightarrow -4A = -11$ $\Rightarrow A = \frac{11}{4}$.
अतः $C = -\frac{11}{4}$ और $B = 3 - 2(\frac{11}{4}) = 3 - \frac{11}{2} = -\frac{5}{2}$.
हमें $4A + 2B + 4C = 4(\frac{11}{4}) + 2(-\frac{5}{2}) + 4(-\frac{11}{4}) = 11 - 5 - 11 = -5$ प्राप्त होता है।

(C) $2x^4-x^3+3x^2-x+4$ को $x^2-3x+2$ से विभाजित करने पर:
भागफल $f(x) = 2x^2+5x+14$ प्राप्त होता है।
शेषफल $31x-28$ है।
अतः,$\frac{2x^4-x^3+3x^2-x+4}{x^2-3x+2} = 2x^2+5x+14 + \frac{31x-28}{(x-1)(x-2)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{31x-28}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
$31x-28 = A(x-2) + B(x-1)$.
$x=1$ रखने पर: $3 = -A \Rightarrow A = -3$.
$x=2$ रखने पर: $34 = B \Rightarrow B = 34$.
$A+B = -3+34 = 31$.
इसलिए,$f(x) = 2x^2+5x+14$ और $A+B = 31$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b$.
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$f(1) = 5$ और $f(-1) = 19$.
$f(1) = 5$ के लिए:
$1 - 2 + 3 - a + b = 5 \implies 2 - a + b = 5 \implies b - a = 3$ (समीकरण $i$).
$f(-1) = 19$ के लिए:
$1 + 2 + 3 + a + b = 19 \implies 6 + a + b = 19 \implies a + b = 13$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ और $ii$ को जोड़ने पर:
$(b - a) + (a + b) = 3 + 13 \implies 2b = 16 \implies b = 8$.
$b = 8$ को समीकरण $ii$ में रखने पर:
$a + 8 = 13 \implies a = 5$.
अतः,$f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 5x + 8$.
$f(x)$ को $(x - 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए $f(2)$ का मान निकालते हैं:
$f(2) = (2)^4 - 2(2)^3 + 3(2)^2 - 5(2) + 8$
$f(2) = 16 - 16 + 12 - 10 + 8 = 10$.
अतः,शेषफल $10$ है।

(C) $Q(x)$ घात $n$ का एक बहुपद है।
दिया है $Q(1)=1$ और $\frac{Q(2x)}{Q(x+1)}+\frac{56}{x+7}-8=0 \dots (i)$.
समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखने पर,$\frac{Q(0)}{Q(1)}+\frac{56}{7}-8=0$.
चूंकि $Q(1)=1$,हमारे पास $Q(0)+8-8=0$ है,अतः $Q(0)=0$.
समीकरण $(i)$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{Q(2x)}{Q(x+1)} = 8 - \frac{56}{x+7} = \frac{8x+56-56}{x+7} = \frac{8x}{x+7} \dots (ii)$.
चूंकि $Q(0)=0$,$x$ बहुपद $Q(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $Q(x) = x P(x)$.
$(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2x P(2x)}{(x+1) P(x+1)} = \frac{8x}{x+7} \implies \frac{P(2x)}{P(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7}$.
$x=-1$ के लिए,$P(-2)=0$,अतः $(x+2)$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $P(x) = (x+2) R(x)$.
तब $\frac{(2x+2) R(2x)}{(x+3) R(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7} \implies \frac{R(2x)}{R(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7}$.
$x=-3$ के लिए,$R(-6)=0$,अतः $(x+6)$ बहुपद $R(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $R(x) = (x+6) S(x)$.
तब $\frac{(2x+6) S(2x)}{(x+7) S(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7} \implies \frac{S(2x)}{S(x+1)} = 1$.
अतः $S(x)$ एक अचर है।
इसलिए $Q(x) = c \cdot x(x+2)(x+6)$.
चूंकि $Q(1)=1$,$c(1)(3)(7)=1 \implies c = \frac{1}{21}$.
घात $n=3$.
${}^nC_0+{}^nC_1+\ldots+{}^nC_n$ का मान $2^n = 2^3 = 8$ है।

(A) दिया गया समीकरण $ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
मान लीजिए नए मूल $y_1 = \frac{1}{3\alpha-1}$ और $y_2 = \frac{1}{3\beta-1}$ हैं।
नए मूलों का योग $S = \frac{1}{3\alpha-1} + \frac{1}{3\beta-1} = \frac{3\beta-1+3\alpha-1}{(3\alpha-1)(3\beta-1)} = \frac{3(\alpha+\beta)-2}{9\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+1}$ है।
मान रखने पर,$S = \frac{3(-\frac{b}{a})-2}{9(\frac{c}{a})-3(-\frac{b}{a})+1} = \frac{-3b-2a}{9c+3b+a} = -\frac{3b+2a}{a+3b+9c}$ प्राप्त होता है।
नए मूलों का गुणनफल $P = \frac{1}{(3\alpha-1)(3\beta-1)} = \frac{1}{9\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+1} = \frac{1}{9(\frac{c}{a})-3(-\frac{b}{a})+1} = \frac{a}{a+3b+9c}$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है,जो $x^2 - (-\frac{3b+2a}{a+3b+9c})x + \frac{a}{a+3b+9c} = 0$ देता है।
$(a+3b+9c)$ से गुणा करने पर,हमें $(a+3b+9c)x^2 + (3b+2a)x + a = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $2x^3 - x^2 - 22x - 24 = 0$.
माना मूल $3k, 4k, \gamma$ हैं।
मूलों का योग: $3k + 4k + \gamma = \frac{1}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{1}{2} - 7k$.
मूलों का गुणनफल: $(3k)(4k)(\gamma) = 12$ $\Rightarrow 12k^2 \gamma = 12$ $\Rightarrow k^2 \gamma = 1$.
मान रखने पर: $k^2(\frac{1}{2} - 7k) = 1 \Rightarrow 14k^3 - k^2 + 2 = 0$.
$k = -1/2$ रखने पर,समीकरण संतुष्ट होता है।
अतः मूल $\frac{-3}{2}, -2, 4$ प्राप्त होते हैं।

(D) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
यह दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ $HP$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ $AP$ में हैं।
तीन संख्याओं $\alpha, \beta, \gamma$ का हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{3}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}}$ के रूप में परिभाषित है।
मान रखने पर:
$HM = \frac{3}{\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}} = \frac{3(\alpha\beta\gamma)}{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha} = \frac{3c}{b}$.

(C) दिया गया है कि $x^2+p x+1$,$a x^3+b x+c$ का एक गुणनखंड है।
माना $a x^3+b x+c = (x^2+p x+1)(a x+\alpha)$।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$a x^3+b x+c = a x^3 + (p a+\alpha) x^2 + (p \alpha+a) x + \alpha$।
$x^2, x^1$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \ p a + \alpha = 0 \implies p = -\frac{\alpha}{a}$
$2) \ p \alpha + a = b$
$3) \ \alpha = c$
पहले समीकरण में $\alpha = c$ रखने पर:
$p = -\frac{c}{a}$।
अब,$p = -\frac{c}{a}$ और $\alpha = c$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$(-\frac{c}{a})(c) + a = b$
$-\frac{c^2}{a} + a = b$
$-c^2 + a^2 = a b$
$a^2 - c^2 = a b$।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण: $x^3+3x^2-7x+5=0$ है।
माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = -3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -7$
$\alpha\beta\gamma = -5$
हमें $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5}$.

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - p x^2 + q x - r = 0$ ... $(i)$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha + \beta + \gamma = p$ ... $(ii)$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q$ ... $(iii)$
$\alpha \beta \gamma = r$ ... $(iv)$
दिया गया है कि दो मूल परिमाण में समान लेकिन विपरीत चिह्न के हैं,माना $\alpha = -\beta$ है।
$\alpha = -\beta$ को $(ii)$ में रखने पर:
$-\beta + \beta + \gamma = p \implies \gamma = p$ प्राप्त होता है।
$\gamma = p$ को $(iv)$ में रखने पर:
$\alpha \beta (p) = r \implies -\beta^2 p = r \implies \beta^2 = -\frac{r}{p}$ प्राप्त होता है।
$\alpha = -\beta$ और $\gamma = p$ को $(iii)$ में रखने पर:
$-\beta^2 + \beta p - \beta p = q \implies -\beta^2 = q$ प्राप्त होता है।
$\beta^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-\frac{r}{p} = -q \implies r = pq$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^m=1$.
सबसे पहले,आधार का सरलीकरण करने पर:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+i^2+2i}{1-(-1)} = \frac{1-1+2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
अतः,समीकरण $i^m = 1$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $i^n = 1$ तभी होता है जब $n$,$4$ का गुणज हो।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$1934 \div 4 = 483.5$ ($4$ का गुणज नहीं है)।
$2024 \div 4 = 506$ ($4$ का गुणज है)।
$2172 \div 4 = 543$ ($4$ का गुणज है)।
$10^{100} = (2 \times 5)^{100} = 2^{100} \times 5^{100}$,जो $4$ से विभाज्य है क्योंकि $2^{100}$,$4$ से विभाज्य है।
अतः,$m$,$1934$ के बराबर नहीं हो सकता है।

(D) द्विघात समीकरण $x^2+x+1=0$ के लिए,मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
अतः,$\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हमें $\alpha^{2021}$ और $\beta^{2021}$ मूलों वाला समीकरण ज्ञात करना है।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\alpha^{2021} = \omega^{2021} = (\omega^3)^{673} \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
इसी प्रकार,$\beta^{2021} = (\omega^2)^{2021} = \omega^{4042} = (\omega^3)^{1347} \cdot \omega = \omega$ है।
नए मूल $\omega^2$ और $\omega$ हैं।
$\omega$ और $\omega^2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\omega + \omega^2)x + \omega \cdot \omega^2 = 0$ है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ हो जाता है।

(C) हम जानते हैं कि $i^4 = 1$ है। इसलिए,$i^{2020} = (i^4)^{505} = 1^{505} = 1$।
इसी प्रकार,$i^{2021} = i^{2020} \times i = i$,$i^{2022} = i^{2020} \times i^2 = -1$,और $i^{2023} = i^{2020} \times i^3 = -i$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\frac{1}{1} + \frac{2}{i} + \frac{3}{-1} + \frac{4}{-i}\right|$
$= \left|1 - 2i - 3 + 4i\right|$
$= \left|-2 + 2i\right|$
$= \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।

(C) दिया गया है,$\alpha - i\beta = \left(\frac{3-4ix}{3+4ix}\right)$.
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर:
$|\alpha - i\beta| = \left|\frac{3-4ix}{3+4ix}\right|$.
चूंकि भागफल का मापांक मापांकों का भागफल होता है,इसलिए:
$|\alpha - i\beta| = \frac{|3-4ix|}{|3+4ix|}$.
हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ के लिए,$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
अतः,$\sqrt{\alpha^2 + (-\beta)^2} = \frac{\sqrt{3^2 + (-4x)^2}}{\sqrt{3^2 + (4x)^2}}$.
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \frac{\sqrt{9 + 16x^2}}{\sqrt{9 + 16x^2}}$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक मान है,$9 + 16x^2 \neq 0$,इसलिए अनुपात $1$ है।
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\alpha^2 + \beta^2 = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई शर्त $(a+bi)^3 = a-bi$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3 = a-bi$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1) a^3 - 3ab^2 = a \Rightarrow a(a^2 - 3b^2 - 1) = 0$.
$2) 3a^2b - b^3 = -b \Rightarrow b(3a^2 - b^2 + 1) = 0$.
स्थिति $1$: यदि $a=0$ है,तो $b(1-b^2) = 0$,अतः $b=0, 1, -1$। युग्म: $(0,0), (0,1), (0,-1)$।
स्थिति $2$: यदि $b=0$ है,तो $a(a^2 - 1) = 0$,अतः $a=0, 1, -1$। युग्म: $(0,0), (1,0), (-1,0)$।
स्थिति $3$: यदि $a \neq 0$ और $b \neq 0$ है,तो कोई वास्तविक हल नहीं मिलता है।
कुल भिन्न युग्म $(0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0)$ हैं।
अतः,कुल $5$ क्रमित युग्म हैं।

(D) दिया है,$z^2+z+1=0$.
चूंकि $z^2+z+1=0$,इसलिए $z^2+1=-z$ होगा।
$z$ से भाग देने पर,$z+\frac{1}{z}=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3 = (-1)^3 = -1$.
साथ ही,$z^3=1$ (क्योंकि $z$ इकाई का घनमूल है)।
तब $z^4 = z^3 \cdot z = z$ होगा।
इसलिए,$z^4+\frac{1}{z^4} = z+\frac{1}{z} = -1$.
अतः,$\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^3 = (-1)^3 = -1$.
इन परिणामों को जोड़ने पर,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^3 = -1 + (-1) = -2$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-x+1=0$ है।
इसके मूल $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $\alpha = -\omega$ और $\beta = -\omega^2$ है।
हमें $\alpha^{2009} + \beta^{2009} = (-\omega)^{2009} + (-\omega^2)^{2009}$ का मान ज्ञात करना है।
यह $-(\omega^{2009} + \omega^{4018})$ के बराबर है।
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{2009} = \omega^2$ और $\omega^{4018} = \omega$ होगा।
अतः,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(\omega^2 + \omega)$।
सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$\omega^2 + \omega = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(-1) = 1$।

(A) हम जानते हैं कि $i^2 = -1$,$i^4 = 1$ होता है।
सबसे पहले,$i^{22}$ की गणना करें: $i^{22} = (i^4)^5 \times i^2 = 1^5 \times (-1) = -1$।
अगला,$(\frac{1}{i})^{35}$ की गणना करें: $\frac{1}{i} = -i$।
अतः,$(-i)^{35} = -(i^{35}) = -(i^{32} \times i^3) = -(1 \times -i) = i$।
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $\{i^{22} - (\frac{1}{i})^{35}\}^2 = \{-1 - i\}^2$।
वर्ग का विस्तार करें: $(-1 - i)^2 = (-1)^2 + (-i)^2 + 2(-1)(-i) = 1 + i^2 + 2i$।
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए हमें $1 - 1 + 2i = 2i$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई असमिका: $\log_{\cos^2 \theta} |z - a| > \log_{\cos^2 \theta} |z - ai|$.
चूंकि $\cos^2 \theta$ लघुगणक का आधार है,इसलिए $\cos^2 \theta \in (0, 1)$ होना चाहिए।
आधार $0$ और $1$ के बीच होने के कारण,लघुगणक को हटाने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$|z - a| < |z - ai|$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x + iy - a| < |x + iy - ai|$
$|(x - a) + iy| < |x + i(y - a)|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - a)^2 + y^2 < x^2 + (y - a)^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 < x^2 + y^2 - 2ay + a^2$.
दोनों पक्षों से $x^2 + y^2 + a^2$ घटाने पर:
$-2ax < -2ay$.
चूंकि $a > 0$,$-2a$ से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न फिर से बदल जाएगा:
$x > y$.

(B) दिया गया है कि $f(10-x) = 3x^2 + 4x - 5$ और $f(x) = px^2 + qx + r$ है।
हमें $p+q+r$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $p+q+r = f(1)$ होता है।
$f(1)$ ज्ञात करने के लिए,हम $10-x = 1$ रखते हैं,जिससे $x = 9$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण में $x = 9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(10-9) = 3(9)^2 + 4(9) - 5$
$f(1) = 3(81) + 36 - 5$
$f(1) = 243 + 36 - 5$
$f(1) = 279 - 5 = 274$।
अतः,$p+q+r = 274$।

(D) दिया गया समीकरण: $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = x + \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots}}$
चूंकि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $y$ है,हम लिख सकते हैं: $y^2 = x + y$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2 - y = x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2 - y) = \frac{d}{dx}(x)$
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = 1$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$

(C) माना दिया गया समीकरण $D_1 - D_2 = 0$ है।
प्रथम सारणिक $D_1$ का दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D_1 = -1 \times \left|\begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 2 & 0 & x-1 \end{array}\right| = -1 \times [x(x(x-1) - 0)] = -x^2(x-1) = -x^3 + x^2$.
दूसरे सारणिक $D_2$ का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D_2 = -x \times \left|\begin{array}{cc} 0 & x-1 \\ 2 & 0 \end{array}\right| = -x(0 - 2(x-1)) = -x(-2x + 2) = 2x^2 - 2x$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(-x^3 + x^2) - (2x^2 - 2x) = 0$
$-x^3 - x^2 + 2x = 0$
$x^3 + x^2 - 2x = 0$
$x(x^2 + x - 2) = 0$
$x(x+2)(x-1) = 0$
मूल $x = 0, -2, 1$ हैं।
मूलों का योग $= 0 + (-2) + 1 = -1$.

(D) दिया गया है $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in R$।
समुच्चय $A=\{z:|z| \leq 2\}$ केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2$ वाले वृत्त के आंतरिक भाग और परिधि को दर्शाता है,अर्थात $x^2+y^2 \leq 4$।
समुच्चय $B=\{z:(z+2y)+\bar{z} \geq 4\}$। $z=x+iy$ और $\bar{z}=x-iy$ रखने पर:
$(x+iy+2y)+(x-iy) \geq 4$
$2x+2y \geq 4 \Rightarrow x+y \geq 2$।
यह रेखा $x+y=2$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाता है।
प्रतिच्छेदन $A \cap B$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^2+y^2=4$ और रेखा $x+y=2$ द्वारा घिरा क्षेत्र है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2+(2-x)^2=4$ को हल करके प्राप्त होते हैं:
$x^2+4-4x+x^2=4$ $\Rightarrow 2x^2-4x=0$ $\Rightarrow 2x(x-2)=0$।
अतः,$x=0$ (जिससे $y=2$ मिलता है) और $x=2$ (जिससे $y=0$ मिलता है)।
क्षेत्रफल $\int_0^2 (y_{\text{circle}} - y_{\text{line}}) dx = \int_0^2 (\sqrt{4-x^2} - (2-x)) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - 2x + \frac{x^2}{2} \right]_0^2$
$= (0 + 2\sin^{-1}(1) - 4 + 2) - (0 + 0 - 0 + 0) = 2(\frac{\pi}{2}) - 2 = \pi-2$।

(C) फलन $f(x) = \sin (x)$ है।
दिए गए अंतराल $[-\pi / 2, \pi / 2]$ में,साइन फलन निरंतर वर्धमान है।
निम्न सीमा पर मान $f(-\pi / 2) = \sin(-\pi / 2) = -1$ है।
उच्च सीमा पर मान $f(\pi / 2) = \sin(\pi / 2) = 1$ है।
अतः,अंतराल $[-\pi / 2, \pi / 2]$ में फलन का अधिकतम मान $1$ है।

(D) माना शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 1)$ और $C(3, 1, 2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{6}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{6}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{6}$.
अतः,यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $(H)$,केंद्रक $(G)$,परिकेंद्र $(S)$ और अंतःकेंद्र $(I)$ एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
अतः,$H = G = S = I = \left(\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}\right) = (2, 2, 2)$.
इसलिए,$H+G+S+I = (2, 2, 2) + (2, 2, 2) + (2, 2, 2) + (2, 2, 2) = (8, 8, 8)$.

(B) वक्र का समीकरण $y = \sqrt{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ प्राप्त होती है।
माना $x$-अक्ष के समानांतर रेखा $y = k$ है। इस रेखा की ढाल $m_2 = 0$ है।
वक्र और रेखा के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2\sqrt{x_1}} - 0}{1 + (\frac{1}{2\sqrt{x_1}})(0)} \right|$
$1 = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$
$2\sqrt{x_1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x_1} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $y_1 = \sqrt{x_1}$,इसलिए $y_1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $y = k$ है और यह $y = \frac{1}{2}$ बिंदु से गुजरती है,इसलिए रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया सीमा (limit) है: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)}{\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)}$.
चूंकि $x \rightarrow 0^{+}$,हम निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$2 \tan ^{-1} x = \sin ^{-1} \left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$
$3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)$
इन मानों को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x \cdot (2 \tan ^{-1} x)}{(2 \tan ^{-1} x) \cdot (3 \tan ^{-1} x)} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{3 \tan ^{-1} x}$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{-1} x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{3 \left(\frac{\tan ^{-1} x}{x}\right)} = \frac{1}{3 \times 1} = \frac{1}{3}$.

(D) दिया गया है,$|A| = m$ और $|B| = n$।
$A$ से $B$ तक एकैकी फलनों की कुल संख्या का सूत्र $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!} = 2520$ है।
हमें $2520$ को $n$ से शुरू होकर $(n-m+1)$ तक के क्रमिक पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना होगा।
$2520 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$।
यह $^7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ के बराबर है।
$^nP_m$ की तुलना $^7P_5$ से करने पर,हमें $n = 7$ और $m = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 5$।

(C) एक वर्ग आव्यूह वह आव्यूह होता है जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है $(m = n)$।
$(a)$ $[1]$ एक $1 \times 1$ आव्यूह है,जो एक वर्ग आव्यूह है।
$(b)$ $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है,जो एक वर्ग आव्यूह है।
$(c)$ $\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ एक $1 \times 3$ आव्यूह है। चूँकि पंक्तियों की संख्या $(1)$ स्तंभों की संख्या $(3)$ के बराबर नहीं है,इसलिए यह एक वर्ग आव्यूह नहीं है।
$(d)$ $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जो एक वर्ग आव्यूह है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) मान लीजिए $A$ और $B$ क्रम $n \times n$ के दो लोअर ट्रायंगुलर आव्यूह हैं।
एक आव्यूह लोअर ट्रायंगुलर होता है यदि मुख्य विकर्ण के ऊपर के सभी अवयव शून्य हों,अर्थात $i < j$ के लिए $a_{ij} = 0$।
मान लीजिए $C = A + B$ है। $C$ के अवयव $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ द्वारा दिए जाते हैं।
किसी भी $i < j$ के लिए,चूंकि $A$ और $B$ लोअर ट्रायंगुलर हैं,हमारे पास $a_{ij} = 0$ और $b_{ij} = 0$ है।
इसलिए,सभी $i < j$ के लिए $c_{ij} = 0 + 0 = 0$ होगा।
यह दर्शाता है कि योग $C = A + B$ भी एक लोअर ट्रायंगुलर आव्यूह है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ और $ab = 5/2 \quad \dots (i)$
परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ है।
तब $AA^T = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 0 \\ 0 & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $AA^T = 20I = \begin{bmatrix} 20 & 0 \\ 0 & 20 \end{bmatrix}$,इसलिए $a^2 + b^2 = 20$ है।
सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर,$(a+b)^2 = 20 + 2(5/2) = 20 + 5 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = \pm 5$ है।
$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ होता है।
मान रखने पर,$x^2 \mp 5x + 5/2 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2x^2 \mp 10x + 5 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण: $3\begin{bmatrix} x & y \\ z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+t & 3 \end{bmatrix}$
पहले आव्यूह में अदिश $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} 3x & 3y \\ 3z & 3t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4 & 6+x+y \\ -1+z+t & 2t+3 \end{bmatrix}$
चूंकि दोनों आव्यूह समान हैं,इसलिए उनके संगत अवयव समान होने चाहिए:
$1) \ 3x = x + 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$2) \ 3t = 2t + 3 \implies t = 3$
$3) \ 3z = -1 + z + t \implies 2z = -1 + 3 \implies 2z = 2 \implies z = 1$
$4) \ 3y = 6 + x + y \implies 2y = 6 + 2 \implies 2y = 8 \implies y = 4$
अतः,मान $(x, y, z, t) = (2, 4, 1, 3)$ हैं।

(D) दिया गया है: $C^T = DAB$,$D^T = ABC$,और $S = ABCD$।
हम जानते हैं कि किसी भी आव्यूह $M$ के लिए,$(M^T)^T = M$ होता है।
$S$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर:
$S^T = (ABCD)^T = D^T C^T B^T A^T$।
$D^T = ABC$ और $C^T = DAB$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S^T = (ABC)(DAB)B^T A^T = ABCDAB B^T A^T$।
वैकल्पिक रूप से,$S^2 = (ABCD)(ABCD)$ पर विचार करें।
ध्यान दें कि $S^T = D^T C^T B^T A^T$।
चूंकि $C^T = DAB$ और $D^T = ABC$,हमें प्राप्त होता है:
$S^T = (ABC)(DAB)B^T A^T$।
परिवर्त आव्यूह के गुणों की जांच करने पर,हम पाते हैं कि $(S^T)^2 = (S^2)^T$ इन आव्यूहों के लिए सत्य है।

(C) दिया गया है कि $z_1 = 2 + 3 \ i$ और $z_2 = 3 + 2 \ i$ है।
तब $\bar{z}_1 = 2 - 3 \ i$ और $\bar{z}_2 = 3 - 2 \ i$ होगा।
माना $A = \begin{bmatrix} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \bar{z}_1 & -z_2 \\ \bar{z}_2 & z_1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूहों का गुणा करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} z_1 \bar{z}_1 + z_2 \bar{z}_2 & -z_1 z_2 + z_1 z_2 \\ -\bar{z}_2 \bar{z}_1 + \bar{z}_1 \bar{z}_2 & \bar{z}_2 z_2 + \bar{z}_1 z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |z_1|^2 + |z_2|^2 & 0 \\ 0 & |z_1|^2 + |z_2|^2 \end{bmatrix}$।
मानों की गणना करने पर:
$|z_1|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$।
$|z_2|^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$।
अतः,$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 13 + 13 = 26$।
इसलिए,$AB = \begin{bmatrix} 26 & 0 \\ 0 & 26 \end{bmatrix} = 26 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 26 \ I$।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]$ और $B = \left[\begin{array}{cc} 2022 & 2024 \\ 2021 & 2023 \end{array}\right]$.
घातांक सारणिक $|B| = (2022 \times 2023) - (2024 \times 2021)$ है।
गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|B| = (2022 \times 2023) - ((2022+2) \times (2022-1)) = 2022 \times 2023 - (2022^2 + 2022 - 2) = 2022(2023 - 2022 - 1) + 2 = 2$.
अतः,हमें $A^2$ की गणना करनी है।
$A^2 = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc} (1-2+9) & (2+2+0) & (3+4+6) \\ (-1-1+6) & (-2+1+0) & (-3+2+4) \\ (3+0+6) & (6+0+0) & (9+0+4) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 13 \\ 4 & -1 & 3 \\ 9 & 6 & 13 \end{array}\right]$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$। अतः,$f(A) = A^3 - 2A^2 - 5I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-15 & -10-5 \\ 6+3 & -15+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इसके बाद,$A^3 = A \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -22-45 & -30+70 \\ -33+9 & -45-14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,इन मानों को $f(A)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} -11 & -15 \\ 9 & -14 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 & 40 \\ -24 & -59 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -22 & -30 \\ 18 & -28 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -67 - (-22) - 5 & 40 - (-30) - 0 \\ -24 - 18 - 0 & -59 - (-28) - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -50 & 70 \\ -42 & -36 \end{bmatrix}$।

(A) दिया गया है $X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$। मान लीजिए $Y = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ एक $2 \times 2$ वास्तविक आव्यूह है ताकि $XY = YX$ हो।
$XY$ की गणना करने पर:
$XY = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{bmatrix}$।
$YX$ की गणना करने पर:
$YX = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{bmatrix}$।
$XY = YX$ की तुलना करने पर:
$a-c = a+b \implies c = -b$।
$b-d = -a+b \implies d = a$।
अतः,$Y$ को $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$ के रूप में होना चाहिए।
$Y$ का सारणिक $\det(Y) = a^2 - (-b^2) = a^2 + b^2$ है।
चूंकि $a, b \in \mathbb{R}$,$a^2 + b^2$ का न्यूनतम संभव मान $0$ है (जब $a=0$ और $b=0$ हो)।
इसलिए,$\det(Y)$ का न्यूनतम संभव मान $0$ है।

(B) $A = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$
हम जानते हैं कि $A = \omega I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
तब,$A^{50} = (\omega I)^{50} = \omega^{50} I^{50}$।
चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $I^n = I$ होता है,इसलिए $A^{50} = \omega^{50} I$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ है। इसलिए,$\omega^{50} = (\omega^3)^{16} \cdot \omega^2 = (1)^{16} \cdot \omega^2 = \omega^2$।
अतः,$A^{50} = \omega^2 I = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 \\ 0 & \omega^2 \end{bmatrix}$।
चूंकि $A = \omega I$,इसलिए $I = \frac{1}{\omega} A = \omega^2 A$ (क्योंकि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$)।
इसलिए,$A^{50} = \omega^2 (\omega^2 A) = \omega^4 A = \omega A$ (क्योंकि $\omega^3 = 1$)।
अतः,$A^{50} = \omega A$।

(A) दिए गए आव्यूह $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -3\end{array}\right]$ हैं।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) $A^T$ ज्ञात करते हैं:
$A^T = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right]$.
अब,हम गुणनफल $A^T B$ की गणना करते हैं:
$A^T B = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -1 & -2 & -3\end{array}\right]$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}(1)(4)+(0)(-1) & (1)(0)+(0)(-2) & (1)(-3)+(0)(-3) \\ (-1)(4)+(3)(-1) & (-1)(0)+(3)(-2) & (-1)(-3)+(3)(-3) \\ (2)(4)+(4)(-1) & (2)(0)+(4)(-2) & (2)(-3)+(4)(-3)\end{array}\right]$.
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}4+0 & 0+0 & -3+0 \\ -4-3 & 0-6 & 3-9 \\ 8-4 & 0-8 & -6-12\end{array}\right]$.
$A^T B = \left[\begin{array}{ccc}4 & 0 & -3 \\ -7 & -6 & -6 \\ 4 & -8 & -18\end{array}\right]$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$। हम सभी $n \in N$ के लिए कथन $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$ की सत्यता की जाँच करते हैं।
$n = 1$ के लिए: $A^1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,जो सूत्र $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ से मेल खाता है।
$n = 2$ के लिए: $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 1(1)+1(1) & 1(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$। यह $n = 2$ के लिए सूत्र से मेल खाता है।
$n = 3$ के लिए: $A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+0(1) & 1(0)+0(1) \\ 2(1)+1(1) & 2(0)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$। यह $n = 3$ के लिए सूत्र से मेल खाता है।
अतः,यह कथन $n = 3$ के लिए सत्य है।

(C) आव्यूह $A$ के मुख्य विकर्ण के तत्व $a^2, b^2, c^2$ हैं और आव्यूह $B$ के मुख्य विकर्ण के तत्व $2a, 2b, 2c-3$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$A$ के मुख्य विकर्ण के तत्वों का योग $B$ के मुख्य विकर्ण के तत्वों के योग के बराबर है:
$a^2+b^2+c^2 = 2a+2b+2c-3$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a^2-2a+1) + (b^2-2b+1) + (c^2-2c+1) = 0$
$(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 = 0$
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो,इसलिए:
$a-1=0, b-1=0, c-1=0$
अतः,$a=1, b=1, c=1$ है।
$B$ के मुख्य विकर्ण के तत्वों का गुणनफल $(2a)(2b)(2c-3)$ है।
$a=1, b=1, c=1$ मान रखने पर:
$= (2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1 - 3)$
$= 2 \times 2 \times (-1) = -4$.

(A) एक वर्ग आव्यूह का ट्रेस उसके मुख्य विकर्ण तत्वों के योग के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 7 \\ 0 & 7 & 9 \\ 11 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ है।
विकर्ण तत्व $a_{11} = 1$,$a_{22} = 7$,और $a_{33} = 9$ हैं।
ट्रेस $tr(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$ होता है।
$tr(A) = 1 + 7 + 9 = 17$।
अतः,आव्यूह का ट्रेस $17$ है।

(C) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\operatorname{det}(A^2) = \operatorname{det}(I) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{det}(A^2) = (\operatorname{det}(A))^2$,इसलिए $(\operatorname{det}(A))^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{det}(A) = 1$ या $\operatorname{det}(A) = -1$ है।
यदि $\operatorname{det}(A) = 1$ है,तो $A$ व्युत्क्रमणीय है और $A^2 = I$ का अर्थ है $A = A^{-1}$। एक $2 \times 2$ आव्यूह के लिए,यदि $\operatorname{det}(A) = 1$ और $A^2 = I$ है,तो $A$ को $I$ या $-I$ होना चाहिए।
अतः,यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\operatorname{det}(A) = -1$ होना चाहिए। इसलिए,कथन $I$ सत्य है।
अब $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। यहाँ $A^2 = I$,$A \neq I$,और $A \neq -I$ है।
ट्रेस $\operatorname{Tr}(A) = 0 + 0 = 0$ है।
चूंकि हमें एक ऐसा मामला मिला है जहाँ $\operatorname{Tr}(A) = 0$ है जबकि $A \neq \pm I$,इसलिए कथन $II$ असत्य है।

(C) दिया गया है,$\left(A^T-\frac{1}{2} I\right)\left(A-\frac{1}{2} I\right) = \left(A^T+\frac{1}{2} I\right)\left(A+\frac{1}{2} I\right) = I$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$A^T A - \frac{1}{2} A^T - \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} I = A^T A + \frac{1}{2} A^T + \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} I$.
दोनों पक्षों से $A^T A + \frac{1}{4} I$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{1}{2} A^T - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2} A^T + \frac{1}{2} A$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$0 = A^T + A$.
अतः,$A^T = -A$.
यह विषम-सममित आव्यूह के लिए शर्त है। इसलिए,$A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(B) दिया गया है कि $A \cdot A^T = A^T \cdot A$ और $B = A^{-1} A^T$ है।
हमें $B \cdot B^T$ का मान ज्ञात करना है।
$B \cdot B^T = (A^{-1} A^T) (A^{-1} A^T)^T$.
गुणधर्म $(XY)^T = Y^T X^T$ का उपयोग करने पर:
$B \cdot B^T = A^{-1} A^T ((A^T)^T (A^{-1})^T)$.
चूंकि $(A^T)^T = A$ और $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$,इसलिए:
$B \cdot B^T = A^{-1} A^T A (A^T)^{-1}$.
चूंकि $A^T A = A A^T$,हम प्रतिस्थापित करते हैं:
$B \cdot B^T = A^{-1} (A A^T) (A^T)^{-1}$.
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर:
$B \cdot B^T = (A^{-1} A) A^T (A^T)^{-1}$.
$B \cdot B^T = I \cdot (A^T (A^T)^{-1}) = I \cdot I = I$.
अतः,$B \cdot B^T = I$.

(B) माना $A$ एक $n \times n$ ऊपरी-त्रिभुजीय आव्यूह है,जहाँ $i > j$ के लिए $a_{ij} = 0$ है।
आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint),जिसे $adj(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,सहखंड आव्यूह $C = [C_{ij}]$ का परिवर्त (transpose) है।
एक ऊपरी-त्रिभुजीय आव्यूह के लिए,सहखंड $C_{ij}$ शून्य होता है यदि $i > j$ हो।
विशेष रूप से,सहखंड आव्यूह $C$ एक निचला-त्रिभुजीय आव्यूह होगा क्योंकि विकर्ण के ऊपर के तत्व उन उप-आव्यूहों के सारणिक हैं जिनमें कम से कम एक पंक्ति या स्तंभ शून्य होता है।
चूँकि $adj(A) = C^T$,एक निचले-त्रिभुजीय आव्यूह का परिवर्त एक ऊपरी-त्रिभुजीय आव्यूह होता है।
अतः,$adj(A)$ एक ऊपरी-त्रिभुजीय आव्यूह है।

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(1 - (-3)) - (-1)(2 - (-3)) + 1(2 - 1)$
$|A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज आव्यूह (cofactor matrix) $C$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = (1 - (-3)) = 4, C_{12} = -(2 - (-3)) = -5, C_{13} = (2 - 1) = 1$
$C_{21} = -(-1 - 1) = 2, C_{22} = (1 - 1) = 0, C_{23} = -(1 - (-1)) = -2$
$C_{31} = (3 - 1) = 2, C_{32} = -(-3 - 2) = 5, C_{33} = (1 - (-2)) = 3$.
अतः,$Adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
चूंकि $B = A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)$,इसलिए $10 B = Adj(A)$.
$10 B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ और $Adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan \theta \\ -\tan \theta & 1 \end{bmatrix}$.
तब,$|A| = (1)(1) - (\tan \theta)(-\tan \theta) = 1 + \tan^2 \theta$.
$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix}$.
दिया गया समीकरण: $\begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} A^{-1} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ का मान रखने पर: $\begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
आव्यूहों का गुणा करने पर: $\frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 \theta & -2 \tan \theta \\ 2 \tan \theta & 1 - \tan^2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
इसका सरलीकरण: $\begin{bmatrix} \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} & \frac{-2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \\ \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} & \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर: $\begin{bmatrix} \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $a = \cos 2 \theta$ और $b = \sin 2 \theta$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $n \times n$ आव्यूह $M$ के लिए $\operatorname{det}(kM) = k^n \operatorname{det}(M)$ और $\operatorname{det}(XY) = \operatorname{det}(X) \operatorname{det}(Y)$ होता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 2(6 - 0) - 1(-3 - 0) + 3(-1 - 8) = 12 + 3 - 27 = -12$.
दिया गया है $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$|B| = 3(0 - 3) - 2(0 - 9) + 1(1 - 6) = -9 + 18 - 5 = 4$.
हमें $\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1})$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A$ और $B$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं,$\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1}) = 2^3 \operatorname{det}(B^{-1}) \operatorname{det}(A^{-1})$ होगा।
गुणधर्म $\operatorname{det}(M^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(M)}$ का उपयोग करने पर:
$\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1}) = 8 \times \frac{1}{\operatorname{det}(B)} \times \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$.
मान रखने पर:
$= 8 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{-12} = 2 \times \left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{6}$.

(A) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1-x \\ 5 & k & 1 \\ 6 & 3 & 1+x \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह की कोटि $1$ होने के लिए,सभी पंक्तियाँ एक-दूसरे के समानुपाती होनी चाहिए।
पंक्ति $R_1$ और $R_3$ की तुलना करने पर:
$R_3 = c R_1 \Rightarrow 6 = 4c \Rightarrow c = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
दूसरे अवयव की जाँच: $3 = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ (यह सही है)।
तीसरे अवयव की जाँच: $1+x = (1-x) \times \frac{3}{2}$.
$2(1+x) = 3(1-x) \Rightarrow 2 + 2x = 3 - 3x \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
अब,पंक्ति $R_1$ और $R_2$ की तुलना करने पर:
$R_2 = d R_1 \Rightarrow 5 = 4d \Rightarrow d = \frac{5}{4}$.
दूसरे अवयव की जाँच: $k = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2}$.
तीसरे अवयव की जाँच: $1 = (1-x) \times \frac{5}{4}$.
$x = \frac{1}{5}$ रखने पर: $1 = (1 - \frac{1}{5}) \times \frac{5}{4} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{4} = 1$ (यह सही है)।
अतः,जब $k = \frac{5}{2}$ और $x = \frac{1}{5}$ होता है,तो आव्यूह की कोटि $1$ होती है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{4040} & \sqrt{4042} & \sqrt{4044} & \sqrt{4046} \\ \sqrt{6060} & \sqrt{6063} & \sqrt{6066} & \sqrt{6069} \\ \sqrt{8080} & \sqrt{8084} & \sqrt{8088} & \sqrt{8092} \end{bmatrix}$ है।
हम पंक्तियों को पहली पंक्ति के गुणज के रूप में लिख सकते हैं:
$R_2 = \sqrt{2} R_1$,$R_3 = \sqrt{3} R_1$,और $R_4 = 2 R_1$.
इन मानों को आव्यूह में रखने पर:
$A = \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ \sqrt{2}\sqrt{2020} & \sqrt{2}\sqrt{2021} & \sqrt{2}\sqrt{2022} & \sqrt{2}\sqrt{2023} \\ \sqrt{3}\sqrt{2020} & \sqrt{3}\sqrt{2021} & \sqrt{3}\sqrt{2022} & \sqrt{3}\sqrt{2023} \\ 2\sqrt{2020} & 2\sqrt{2021} & 2\sqrt{2022} & 2\sqrt{2023} \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - \sqrt{2}R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - \sqrt{3}R_1$,और $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A \sim \begin{bmatrix} \sqrt{2020} & \sqrt{2021} & \sqrt{2022} & \sqrt{2023} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
चूंकि पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में केवल एक ही शून्येतर पंक्ति है,इसलिए $A$ की कोटि (rank) $1$ है।

(B) माना $A = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ है।
कोटि (Rank) ज्ञात करने के लिए,हम पंक्ति रूपांतरणों का उपयोग करके आव्यूह को पंक्ति सोपान रूप (row echelon form) में बदलते हैं:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
आव्यूह के पंक्ति सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $1$ है।
अतः,$A$ की कोटि (Rank) $1$ है।

(C) $3 \times 3$ आव्यूह की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम उसका सारणिक (determinant) निकालते हैं। यदि सारणिक शून्य नहीं है,तो कोटि $3$ है।
विकल्प $(A)$: मान लीजिए $A = \left[\begin{array}{ccc}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right]$। पंक्तियाँ समांतर श्रेणी में हैं। $R_2 - R_1 = [1, 1, 1]$ और $R_3 - R_2 = [1, 1, 1]$। अतः,$\det(A) = 0$ और $\text{rank}(A) < 3$ है।
विकल्प $(B)$: मान लीजिए $B = \left[\begin{array}{ccc}0 & -51 & 101 \\ 51 & 0 & -581 \\ -101 & 581 & 0\end{array}\right]$। यह एक विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा $0$ होता है। अतः,$\text{rank}(B) < 3$ है।
विकल्प $(C)$: मान लीजिए $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 5 \\ -2 & 7 & 0\end{array}\right]$। सारणिक की गणना करने पर: $\det(C) = 0(0 - 35) - 1(0 - (-10)) + 2(-7 - 0) = 0 - 10 - 14 = -24$। चूँकि $\det(C) \neq 0$,इसलिए आव्यूह $C$ की कोटि $3$ है।
विकल्प $(D)$: मान लीजिए $D = \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right]$। यहाँ,$R_2 = 2R_1$ और $R_3 = 3R_1$ है। अतः,$\det(D) = 0$ और $\text{rank}(D) = 1$ है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}1 & -3 & 1 \\ 1 & 6 & 4 \\ 1 & 3x & x^2\end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(6x^2 - 12x) - (-3)(x^2 - 4) + 1(3x - 6) = 0$
$6x^2 - 12x + 3(x^2 - 4) + 3x - 6 = 0$
$6x^2 - 12x + 3x^2 - 12 + 3x - 6 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर:
$9x^2 - 9x - 18 = 0$
पूरे समीकरण को $9$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - x - 2 = 0$
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2 - x - 2 = 0$ है।

(D) दिया गया है कि $a_1, a_2, \ldots, a_9$ एक $G.P.$ में हैं।
मान लीजिए $r$ सार्व अनुपात है,तो सभी $n$ के लिए $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$ है।
मान लीजिए $\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log a_2 & \log a_3 \\ \log a_4 & \log a_5 & \log a_6 \\ \log a_7 & \log a_8 & \log a_9 \end{vmatrix}$ है।
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_2$ को लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log a_2 - \log a_1 & \log a_3 - \log a_2 \\ \log a_4 & \log a_5 - \log a_4 & \log a_6 - \log a_5 \\ \log a_7 & \log a_8 - \log a_7 & \log a_9 - \log a_8 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\log m - \log n = \log(\frac{m}{n})$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log(\frac{a_2}{a_1}) & \log(\frac{a_3}{a_2}) \\ \log a_4 & \log(\frac{a_5}{a_4}) & \log(\frac{a_6}{a_5}) \\ \log a_7 & \log(\frac{a_8}{a_7}) & \log(\frac{a_9}{a_8}) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \log a_1 & \log r & \log r \\ \log a_4 & \log r & \log r \\ \log a_7 & \log r & \log r \end{vmatrix}$ है।
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) माना $\Delta = \begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix}$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2(a+b+c) & a & a \\ 2(a+b+c) & c+a & b \\ 2(a+b+c) & c & a+b \end{vmatrix}$.
$C_1$ से $2(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 1 & c+a & b \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 0 & c & b-a \\ 0 & c-a & b \end{vmatrix}$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2(a+b+c) [1(c(b) - (b-a)(c-a))]$.
$\Delta = 2(a+b+c) [bc - (bc - ab - ac + a^2)]$.
$\Delta = 2(a+b+c) [ab + ac - a^2]$.
$\Delta = 2a(a+b+c) (b+c-a)$.

(B) माना $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a-b & b-c & c-a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$
$R_2 \to R_2 - R_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}$
$R_3 \to R_3 + R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ -b & -c & -a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = a(-bc - (-a^2)) - b(-b^2 - (-ac)) + c(-ab - (-c^2))$
$\Delta = a(a^2 - bc) - b(ac - b^2) + c(c^2 - ab)$
$\Delta = a^3 - abc - abc + b^3 + c^3 - abc$
$\Delta = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

(C) दिया गया है कि $\det A = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = K$.
हमें $\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + 2a_1 & b_2 + 2b_1 & c_2 + 2c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ दिया गया है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - 2R_1$ लागू करते हैं।
यह संक्रिया सारणिक के मान को नहीं बदलती है।
$\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ (a_2 + 2a_1) - 2a_1 & (b_2 + 2b_1) - 2b_1 & (c_2 + 2c_1) - 2c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
$\det B = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$
चूंकि परिणामी सारणिक $\det A$ के समान है,इसलिए $\det B = K$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $\begin{vmatrix} x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को विभाजित कर सकते हैं:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3 \end{vmatrix} = 0$
दूसरे सारणिक की पंक्तियों से $x, y, z$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + xyz \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = 0$
दूसरे सारणिक के स्तंभों को पहले सारणिक के समान व्यवस्थित करने पर:
$\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + xyz \begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$(1 + xyz) \begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक $\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix}$ एक वेंडरमोंड-प्रकार का सारणिक है जो $(x-y)(y-z)(z-x)$ के बराबर होता है।
चूंकि $x, y, z$ भिन्न हैं,इसलिए $(x-y)(y-z)(z-x) \neq 0$।
अतः,$1 + xyz = 0$,जिसका अर्थ है कि $xyz = -1$।

(B) दिया गया है कि $\omega$ समीकरण $x+\frac{1}{x}+1=0$ का एक मूल है,जिसका अर्थ है $x^2+x+1=0$.
इस समीकरण के मूल $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ होता है।
माना सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega & 1+\omega+\omega^2 \\ 3 & 4+3 \omega & 5+4 \omega+3 \omega^2 \\ 6 & 9+6 \omega & 11+9 \omega+6 \omega^2\end{array}\right|$ है।
$1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करते हुए,तीसरे स्तंभ का सरलीकरण इस प्रकार है:
स्तंभ $3$: $C_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 5+4\omega+3\omega^2 \\ 11+9\omega+6\omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3(1+\omega+\omega^2)+2+\omega \\ 6(1+\omega+\omega^2)+5+3\omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2+\omega \\ 5+3\omega \end{bmatrix}$.
अतः,$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1+\omega & 0 \\ 3 & 4+3\omega & 2+\omega \\ 6 & 9+6\omega & 5+3\omega \end{array}\right|$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1[(4+3\omega)(5+3\omega) - (2+\omega)(9+6\omega)] - (1+\omega)[3(5+3\omega) - 6(2+\omega)]$.
$D = [20 + 12\omega + 15\omega + 9\omega^2 - (18 + 12\omega + 9\omega + 6\omega^2)] - (1+\omega)[15 + 9\omega - 12 - 6\omega]$.
$D = [20 + 27\omega + 9\omega^2 - 18 - 21\omega - 6\omega^2] - (1+\omega)[3 + 3\omega]$.
$D = [2 + 6\omega + 3\omega^2] - 3(1+\omega)^2$.
$D = 2 + 6\omega + 3\omega^2 - 3(1 + 2\omega + \omega^2) = 2 + 6\omega + 3\omega^2 - 3 - 6\omega - 3\omega^2 = -1$.

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b & a+2b & a+3b \\ a+2b & a+3b & a+4b \\ a+4b & a+5b & a+6b\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ का प्रयोग करने पर:
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1 = (a+2b)-(a+b) = b$,$(a+3b)-(a+2b) = b$,$(a+5b)-(a+4b) = b$.
$C_3 \rightarrow C_3 - C_2 = (a+3b)-(a+2b) = b$,$(a+4b)-(a+3b) = b$,$(a+6b)-(a+5b) = b$.
अतः,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b & b & b \\ a+2b & b & b \\ a+4b & b & b\end{array}\right|$.
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) माना $P(x) = \left|\begin{array}{cc}x^3+2 x^2+3 x-2 & x^2+2 x+4 \\ x^3-x^2-2 x-1 & 3 x^3-2 x^2+4 x-2\end{array}\right| = a x^6+b x^5+c x^4+d x^3+e x^2+f x+g$.
$a+b+c+d+e+f$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $P(1) = a+b+c+d+e+f+g$.
सबसे पहले,सारणिक में $x=1$ रखकर $P(1)$ का मान ज्ञात करें:
$P(1) = \left|\begin{array}{cc}1+2+3-2 & 1+2+4 \\ 1-1-2-1 & 3-2+4-2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}4 & 7 \\ -3 & 3\end{array}\right| = (4)(3) - (7)(-3) = 12 + 21 = 33$.
इसके बाद,सारणिक में $x=0$ रखकर $g$ का मान ज्ञात करें:
$g = P(0) = \left|\begin{array}{cc}-2 & 4 \\ -1 & -2\end{array}\right| = (-2)(-2) - (4)(-1) = 4 + 4 = 8$.
चूंकि $P(1) = a+b+c+d+e+f+g$,इसलिए $33 = (a+b+c+d+e+f) + 8$.
अतः,$a+b+c+d+e+f = 33 - 8 = 25$.

(C) दिया गया है $A(\theta)=\begin{bmatrix} i \sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & i \sin \theta \end{bmatrix}$.
सारणिक $\operatorname{det} A(\theta) = (i \sin \theta)(i \sin \theta) - (\cos \theta)(\cos \theta) = i^2 \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$.
चूँकि $i^2 = -1$,इसलिए $\operatorname{det} A(\theta) = -\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = -1$.
चूँकि सारणिक का मान $\theta$ से स्वतंत्र और $-1$ है,इसलिए $\operatorname{det} A(\pi+\theta) = -1$,$\operatorname{det} A(-\theta) = -1$,और $\operatorname{det} A(\theta) = -1$ होगा।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: $\operatorname{det} A(\pi+\theta) = -1$ और $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$. अतः,$-1 = -1$ (सत्य)।
विकल्प $B$: $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$ और $\operatorname{det} A(\theta) = -1$. अतः,$-1 = -1$ (सत्य)।
विकल्प $C$: $\operatorname{det}[A(\theta)]^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det} A(\theta)} = \frac{1}{-1} = -1$. कथन में $1$ दिया गया है,जो असत्य है।
विकल्प $D$: $\operatorname{det} A(-\theta) = -1$ (सत्य)।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $C$ है।

(D) हमारे पास है,$\det(A) = \begin{vmatrix} a & a & a-y \\ a & a+x & a \\ a & a & a \end{vmatrix}$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ लागू करने पर:
$\det(A) = \begin{vmatrix} y & a & a-y \\ 0 & a+x & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix}$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\det(A) = y \cdot \begin{vmatrix} a+x & a \\ a & a \end{vmatrix} - 0 + 0$.
$\det(A) = y(a(a+x) - a^2) = y(a^2 + ax - a^2) = axy$.
दिया गया है कि $\det(A) = 16$,इसलिए $axy = 16$,जिसका अर्थ है $xy = \frac{16}{a}$.
चूंकि $a$ एक शून्येतर स्थिरांक है,यह समीकरण $xy = k$ के रूप का है,जो एक आयताकार अतिपरवलय को दर्शाता है।

(D) दिया गया है $\Delta_k = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & k-1 \\ 0 & k-1 & k \end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta_k = 1 \cdot (k \cdot k - (k-1) \cdot (k-1)) - 0 + 0$
$\Delta_k = k^2 - (k-1)^2$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,$\Delta_k = (k - (k-1))(k + (k-1)) = 1 \cdot (2k-1) = 2k-1$.
हमें योग $S = \sum_{k=1}^{20} \Delta_k = \sum_{k=1}^{20} (2k-1)$ ज्ञात करना है।
यह प्रथम $20$ विषम संख्याओं का योग है,जो $n^2$ द्वारा दिया जाता है जहाँ $n=20$.
$S = 20^2 = 400$.
वैकल्पिक रूप से,टेलीस्कोपिंग योग गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\Delta_k = k^2 - (k-1)^2$
$\sum_{k=1}^{20} \Delta_k = (1^2 - 0^2) + (2^2 - 1^2) + (3^2 - 2^2) + \ldots + (20^2 - 19^2) = 20^2 - 0^2 = 400$.

(B) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}-x & x & 2 \\ 2 & x & -x \\ x & -2 & -2\end{array}\right]$ है।
एक आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है यदि और केवल यदि इसका सारणिक $|A| \neq 0$ हो।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = -x \begin{vmatrix} x & -x \\ -2 & -2 \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} 2 & -x \\ x & -2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & x \\ x & -2 \end{vmatrix}$
$|A| = -x(-2x - 2x) - x(-4 + x^2) + 2(-4 - x^2)$
$|A| = -x(-4x) + 4x - x^3 - 8 - 2x^2$
$|A| = 4x^2 + 4x - x^3 - 8 - 2x^2$
$|A| = -x^3 + 2x^2 + 4x - 8$
आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,$|A| \neq 0$ होना चाहिए:
$-x^3 + 2x^2 + 4x - 8 \neq 0$
$-(x^3 - 2x^2 - 4x + 8) \neq 0$
$-(x^2(x - 2) - 4(x - 2)) \neq 0$
$-(x^2 - 4)(x - 2) \neq 0$
$-(x - 2)(x + 2)(x - 2) \neq 0$
$-(x - 2)^2(x + 2) \neq 0$
अतः,$x \neq 2$ और $x \neq -2$.
इस प्रकार,$2$ और $-2$ के अलावा सभी $x$ के लिए आव्यूह व्युत्क्रमणीय है।

(D) दी गई असमिका $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \leq 0$ है।
$2$ से गुणा करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \leq 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग गैर-ऋणात्मक होता है,यह केवल तभी संभव है जब $a-b=0$,$b-c=0$,और $c-a=0$ हो,जिसका अर्थ है $a=b=c$।
सारणिक में $a=b=c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} (a-a+1)^5 & a^7-a^7 & a^9-a^9 \\ a^{11}-a^{11} & (a-a+2)^3 & a^{13}-a^{13} \\ a^{15}-a^{15} & a^{17}-a^{17} & (a-a+3)^1 \end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{ccc} 1^5 & 0 & 0 \\ 0 & 2^3 & 0 \\ 0 & 0 & 3^1 \end{array}\right|$
$= \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right| = 1 \times 8 \times 3 = 24$.

(C) मान लीजिए $P$ एक $n$ कोटि का वर्ग आव्यूह है।
हम सारणिक का गुणधर्म जानते हैं कि $|kP| = k^n |P|$,जहाँ $k$ एक अदिश स्थिरांक है।
इस प्रश्न में,सारणिक की कोटि $n = 3$ है और स्थिरांक गुणक $k = 3$ है।
यह दिया गया है कि मूल सारणिक का मान $|P| = A$ है।
अतः,नए सारणिक का मान $|3P| = 3^3 |P|$ होगा।
$|3P| = 27 \times A = 27A$.

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\cos 2x & \sin^2 x & \cos 2x \\ \sin^2 x & \cos 2x & \cos^2 x \\ \cos 2x & \cos^2 x & \cos 2x\end{array}\right|$.
हम जानते हैं कि $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ और $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2\cos^2 x - 1 & 1 - \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 \\ 1 - \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 & \cos^2 x \\ 2\cos^2 x - 1 & \cos^2 x & 2\cos^2 x - 1 \end{array}\right|$.
माना $u = \cos^2 x$. तब सारणिक इस प्रकार हो जाता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2u-1 & 1-u & 2u-1 \\ 1-u & 2u-1 & u \\ 2u-1 & u & 2u-1 \end{array}\right|$.
$C_1$ में से $C_3$ घटाने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1-u & 2u-1 \\ 1-2u & 2u-1 & u \\ 0 & u & 2u-1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1-u & 2u-1 \\ 1-2u & 2u-1 & u \\ 0 & u & 2u-1 \end{array}\right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -(1-2u) \left[ (1-u)(2u-1) - u(2u-1) \right] = -(1-2u)(2u-1)(1-u-u) = (2u-1)^2(1-2u) = -(2u-1)^3$.
$u = \cos^2 x$ रखने पर:
$\Delta = -(2\cos^2 x - 1)^3 = -(8\cos^6 x - 12\cos^4 x + 6\cos^2 x - 1) = -8\cos^6 x + 12\cos^4 x - 6\cos^2 x + 1$.
अचर पद वह पद है जो $\cos x$ से स्वतंत्र है,जो कि $1$ है।