AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે ગતિ કરતા બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ) થી બિંદુના અંતરનો સરવાળો અચળ $(2a)$ હોય છે.
આપેલ શરત $\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} + \sqrt{(x + ae)^2 + y^2} = 2a$ છે.
આ સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - ae)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + ae)^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$x^2 - 2aex + a^2e^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$-4aex - 4a^2 = -4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$ex + a = \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$e^2x^2 + 2aex + a^2 = x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2$.
$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$.
$a^2(1 - e^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2(1 - e^2)}{a^2(1 - e^2)} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,આપણને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(\triangle POB) = 2 \cdot \operatorname{ar}(\triangle POA)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\triangle POB$ માટે શિરોબિંદુઓ $P(x, y), O(0, 0), B(0, 4)$ છે:
$\operatorname{ar}(\triangle POB) = \frac{1}{2} |x(0-4) + 0(4-y) + 0(y-0)| = 2|x|$.
$\triangle POA$ માટે શિરોબિંદુઓ $P(x, y), O(0, 0), A(6, 0)$ છે:
$\operatorname{ar}(\triangle POA) = \frac{1}{2} |x(0-0) + 0(0-y) + 6(y-0)| = 3|y|$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2|x| = 2 \cdot 3|y| \Rightarrow |x| = 3|y|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 9y^2$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $x^2 - 9y^2 = 0$ છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $OX$ અને $OY$ છે. સળિયાના અંત્યબિંદુઓ $y$-અક્ષ પર $A(0, a)$ અને $x$-અક્ષ પર $B(b, 0)$ છે.
સળિયાની લંબાઈ $AB = 2l$ છે. અંતર સૂત્ર મુજબ,$\sqrt{a^2+b^2} = 2l$,જેનો અર્થ છે કે $a^2+b^2 = 4l^2$.
ધારો કે $P(x, y)$ એ સળિયા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $x = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$ અને $y = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$.
આના પરથી $b = 2x$ અને $a = 2y$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $a^2+b^2 = 4l^2$ માં મૂકતા,આપણને $(2y)^2 + (2x)^2 = 4l^2$ મળે છે.
$4x^2 + 4y^2 = 4l^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2 = l^2$ થાય છે.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $x^2+y^2 = l^2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $5x^2 - 8xy + 3y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $3(\frac{y}{x})^2 - 8(\frac{y}{x}) + 5 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $3m^2 - 8m + 5 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $3m^2 - 8m + 5 = 0$ ઉકેલતા:
$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{8 \pm 2}{6}$.
બે ઢાળ $m_1 = \frac{8+2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ અને $m_2 = \frac{8-2}{6} = \frac{6}{6} = 1$ છે.
$m_1 > m_2$ હોવાથી,$m_1 = \frac{5}{3}$ અને $m_2 = 1$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = \frac{5}{3} : 1 = 5 : 3$ થાય.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $4x^2-5xy+y^2=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $m = \frac{y}{x}$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$m^2-5m+4=0$.
અહીં,$m_1$ અને $m_2$ એ આ સમીકરણના બીજ છે.
તેથી,ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = 5$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = 4$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$|m_1-m_2| = \sqrt{5^2-4(4)} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^3-4x^2y=0$
સમીકરણનું અવયવીકરણ કરતા: $y(y^2-4x^2)=0$
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $y(y-2x)(y+2x)=0$
આનાથી ત્રણ રેખાઓ મળે છે: $L_1: y=0$,$L_2: y=2x$,અને $L_3: y=-2x$.
આ ત્રણેય રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,ત્રણેય રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુ $(0,0)$ પર છેદે છે,તેથી તે સંગામી રેખાઓ છે.

(B) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ: $x^2+2 h x y+2 y^2=0 \dots (i)$
$a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ અને $b=2$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
તેથી,$m_1+m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{2} = -h \dots (ii)$
અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \dots (iii)$
ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:2$ આપેલ છે,તેથી $m_2 = 2m_1$.
$(iii)$ માં $m_2 = 2m_1$ મૂકતા: $m_1(2m_1) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m_1 = \pm \frac{1}{2}$.
જો $m_1 = \frac{1}{2}$,તો $m_2 = 1$. $(ii)$ પરથી,$m_1+m_2 = -h$ $\Rightarrow \frac{1}{2} + 1 = -h$ $\Rightarrow h = -\frac{3}{2}$.
જો $m_1 = -\frac{1}{2}$,તો $m_2 = -1$. $(ii)$ પરથી,$m_1+m_2 = -h$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} - 1 = -h$ $\Rightarrow h = \frac{3}{2}$.
આમ,$h = \pm \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m^2$ છે.
સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી,ઢાળનો સરવાળો $m+m^2 = -\frac{2h}{b}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m \cdot m^2 = m^3 = \frac{a}{b}$ છે.
આપણને $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$m^3(1+m)^3 = -\frac{8h^3}{b^3}$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$m^3(1+m^3+3m(1+m)) = -\frac{8h^3}{b^3}$.
$m^3 = \frac{a}{b}$ અને $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ મૂકતા,$\frac{a}{b}(1+\frac{a}{b}+3(-\frac{2h}{b})) = -\frac{8h^3}{b^3}$ મળે.
$b^3$ વડે ગુણતા,$a(b+a-6h) = -8h^3$ મળે.
$ab + a^2 - 6ah = -8h^3$.
$abh$ વડે ભાગતા,$\frac{a+b}{h} + \frac{8h^2}{ab} = 6$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $x^2+kxy+y^2=0$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. ધારો કે આ રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. ત્રીજી રેખાનું સમીકરણ $x+y=1$ છે,જેને $y=-x+1$ તરીકે લખી શકાય,તેથી તેનો ઢાળ $m_3=-1$ છે.
રેખાઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી કોઈપણ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
રેખા $y=mx$ અને રેખા $x+y=1$ (ઢાળ $-1$) વચ્ચેનો ખૂણો નીચે મુજબ છે:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3 = \frac{(m+1)^2}{(1-m)^2}$
$3(1-2m+m^2) = m^2+2m+1$
$3-6m+3m^2 = m^2+2m+1$
$2m^2-8m+2 = 0$
$m^2-4m+1 = 0$
કારણ કે $m = y/x$,આપણે આને દ્વિઘાત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(y/x)^2 - 4(y/x) + 1 = 0$
$y^2 - 4xy + x^2 = 0$
આને $x^2+kxy+y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=-4$ મળે છે.
તેથી,$k^2 = (-4)^2 = 16$.

(D) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. ધારો કે ઢાળ $m$ અને $m^2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો: $m+m^2 = -\frac{2h}{b} \quad (1)$
ઢાળનો ગુણાકાર: $m \cdot m^2 = m^3 = \frac{a}{b} \quad (2)$
$(1)$ પરથી,$m(1+m) = -\frac{2h}{b}$. બંને બાજુ ઘન લેતા:
$m^3(1+m)^3 = -\frac{8h^3}{b^3}$
$m^3(1+m^3+3m(1+m)) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$m^3 = \frac{a}{b}$ અને $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ મૂકતા:
$\frac{a}{b} \left(1 + \frac{a}{b} + 3\left(-\frac{2h}{b}\right)\right) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$\frac{a}{b} \left(\frac{b+a-6h}{b}\right) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$a(a+b-6h) = -8h^3$
$a^2+ab-6ah = -8h^3$
$abh$ વડે ભાગતા:
$\frac{a+b}{h} + \frac{8h^2}{ab} = 6$.

(C) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે,જ્યાં $a=1$,$2h=4$ (તેથી $h=2$),અને $b=1$ છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right|$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(B) સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
આમ,$1 = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \frac{4(h^2-ab)}{(a+b)^2}$.
$(a+b)^2 = 4h^2 - 4ab$.
$a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 - 4ab$.
$4h^2 = a^2 + 6ab + b^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $A = \cos \theta(\cos \theta + 1)$,$2H = -(2 \cos \theta + \sin^2 \theta)$,અને $B = 1 - \cos \theta$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $A + B = \cos^2 \theta + 1$ મળે છે.
ગણતરી કરતા $H^2 - AB = \cos^2 \theta + \frac{\sin^4 \theta}{4}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{\sqrt{4 \cos^2 \theta + \sin^4 \theta}}{\cos^2 \theta + 1} = 1$ મળે છે.
આમ,$\alpha = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ છે.
આપેલ સમીકરણ $6x^2 + 11xy - 10y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 6$,$b = -10$,અને $h = \frac{11}{2}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{11}{2})^2 - (6)(-10)}}{6 - 10} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{121}{4} + 60}}{-4} \right| = \frac{\sqrt{361}}{4}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{361}}{4}\right)$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+6xy+by^2-10x+10y-6=0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ સાથે સરખાવતા,$A=a, H=3, B=b, G=-5, F=5, C=-6$ મળે છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a+b=0$,જેનો અર્થ છે $b=-a$.
વળી,સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a(b)(-6) + 2(5)(3)(-5) - a(5)^2 - b(-5)^2 - (-6)(3)^2 = 0$.
$-6ab - 150 - 25a - 25b + 54 = 0$.
$-6ab - 25(a+b) - 96 = 0$.
$a+b=0$ હોવાથી,આપણને $-6a(-a) - 25(0) - 96 = 0$ મળે છે.
$6a^2 = 96 \Rightarrow a^2 = 16$.
તેથી,$|a| = \sqrt{16} = 4$.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $x^2 + 2xy \sec \theta + y^2 = 0$ માટે,$a = 1$,$h = \sec \theta$,અને $b = 1$ છે.
ધારો કે આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ છે.
તો $\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{(\sec \theta)^2 - (1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{2} \right|$.
કારણ કે $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$,તેથી $\tan \phi = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
તેથી,$\phi = \theta$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\sin ^2 \alpha) y^2 - 2xy(\cos ^2 \alpha) + (\cos ^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = \cos ^2 \alpha - 1 = -\sin ^2 \alpha$
$h = -\cos ^2 \alpha$
$b = \sin ^2 \alpha$
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
છેદની ગણતરી કરતા: $a + b = -\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 0$.
છેદ $0$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\tan \theta = \infty$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ab(x^2 - y^2) + (a^2 - b^2)xy = 0$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $abx^2 + (a^2 - b^2)xy - aby^2 = 0$ મળે છે.
આ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $A = ab$ અને $B = -ab$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત $A + B = 0$ છે.
અહીં,$A + B = ab - ab = 0$.
તેથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
આમ,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4 = 0$ છે.
ધારો કે આ સમીકરણના અવયવો $(a x^2+p x y-a y^2)(x^2+q x y+y^2) = 0$ તરીકે પાડી શકાય છે.
સમાન પદોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$b = aq - p$,$c = -pq$,$d = aq + p$,અને $e = -a$.
તેથી,$b + d = 2aq$ અને $e - a = -2a$.
વધુમાં,$ad + be = 2ap$ અને $a + c + e = -pq$.
હવે,$(b+d)(ad+be) = (2aq)(2ap) = 4a^2pq$ પદને ધ્યાનમાં લો.
તે જ રીતે,$-(e-a)^2(a+c+e) = -(-2a)^2(-pq) = 4a^2pq$.
તેથી,$(b+d)(ad+be) = -(e-a)^2(a+c+e)$.
આમ,$(b+d)(ad+be) + (e-a)^2(a+c+e) = 0$ મળે છે.

(D) $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ છે.
પ્રથમ જોડી $x^2-2 p x y-y^2=0$ માટે,$a=1, b=-1, h=-p$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ એટલે કે $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ દ્વિભાજકોની જોડી બીજી જોડી $x^2-2 q x y-y^2=0$ જેવી જ છે,તેથી સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2}{p} = -2 q$.
તેથી,$p q = -1$.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ મળે છે. ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તેથી $bm^2+2hm+a=0$. બીજ $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ દર્શાવે છે. દ્વિઘાત સૂત્ર મુજબ $m = \frac{-2h \pm \sqrt{4h^2-4ab}}{2b}$. કારણ કે $h^2=ab$,તેથી વિવેચક $4h^2-4ab = 0$ થાય. આમ,$m_1 = m_2 = -\frac{2h}{2b} = -\frac{h}{b}$. તેથી ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:1$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2-y^2+2y-1=0$ છે.
$x^2 = y^2-2y+1$
$\Rightarrow x^2 = (y-1)^2$
$\Rightarrow x^2 - (y-1)^2 = 0$
$\Rightarrow (x+y-1)(x-y+1) = 0$
તેથી,રેખાઓ $l_1: x+y-1=0$ અને $l_2: x-y+1=0$ છે.
આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}} = \pm \frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\Rightarrow x+y-1 = \pm(x-y+1)$.
કિસ્સો $1$: $x+y-1 = x-y+1$ $\Rightarrow 2y = 2$ $\Rightarrow y=1$.
કિસ્સો $2$: $x+y-1 = -(x-y+1)$ $\Rightarrow x+y-1 = -x+y-1$ $\Rightarrow 2x = 0$ $\Rightarrow x=0$.
ખૂણાના દ્વિભાજકો $x=0$ ($Y$-અક્ષ) અને $y=1$ રેખાઓ છે.
ત્રિકોણ $x+y=4$,$x=0$,અને $y=1$ રેખાઓ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે:
$1$. $x=0$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
$2$. $x=0$ અને $x+y=4$ નું છેદબિંદુ $(0, 4)$ છે.
$3$. $y=1$ અને $x+y=4$ નું છેદબિંદુ $(3, 1)$ છે.
$x=0$ પર ત્રિકોણનો પાયો $|4-1| = 3$ છે.
$x=0$ થી $x=3$ સુધી ત્રિકોણની ઊંચાઈ $3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 x^2-5 x y+4 y^2=0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$2 h=-5$,અને $b=4$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{x y}{h}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2-y^2}{3-4} = \frac{x y}{-5/2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2 x y}{-5}$ થાય છે.
બંને બાજુ $-5$ વડે ગુણતા,આપણને $5(x^2-y^2) = 2 x y$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-2 m x y-y^2=0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, h=-m, b=-1$ મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{x y}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{x y}{-m}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{x y}{-m}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $-m(x^2-y^2) = 2 x y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $m x^2 + 2 x y - m y^2 = 0$ મળે છે.
$m$ વડે ભાગતા ($m \neq 0$ ધારીને),આપણને $x^2 + \frac{2}{m} x y - y^2 = 0$ મળે છે.
આને આપેલ દ્વિભાજક સમીકરણ $x^2-2 n x y-y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-2n = \frac{2}{m}$ મળે છે.
તેથી,$-n = \frac{1}{m}$,જે $mn = -1$ અથવા $mn+1=0$ આપે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ મળે છે. ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તો $bm^2+2hm+a=0$. આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ એ રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $h^2=ab$,તેથી વિવેચક $D = (2h)^2 - 4ab = 4h^2 - 4ab = 4(h^2-ab) = 0$. વિવેચક શૂન્ય હોવાથી,બંને બીજ સમાન છે,એટલે કે $m_1 = m_2$. તેથી,ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:1$ છે.

(B) રેખાઓની જોડી $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ વચ્ચેના ખૂણાના દુભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોડી $x^2-2 p x y-y^2=0$ માટે,$a=1, b=-1, h=-p$ છે.
દુભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $-p(x^2-y^2)=2xy$,અથવા $p x^2+2 x y-p y^2=0$.
$p$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે આ જોડી $x^2-2 q x y-y^2=0$ છે.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$-2 q = \frac{2}{p}$ મળે છે.
તેથી,$-p q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $p q = -1$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $2y^2+5xy-3x^2=0$ છે,જેને $3x^2-5xy-2y^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $3x^2-6xy+xy-2y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-2y)+y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-2y)(3x+y)=0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x-2y=0$ અને $L_2: 3x+y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y=k$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$O(0,0)$ એ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x-2y=0$ અને $x+y=k$ $\Rightarrow 3y=k$ $\Rightarrow y=\frac{k}{3}, x=\frac{2k}{3}$. તેથી,$A(\frac{2k}{3}, \frac{k}{3})$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $3x+y=0$ અને $x+y=k$ $\Rightarrow 2x=-k$ $\Rightarrow x=-\frac{k}{2}, y=\frac{3k}{2}$. તેથી,$B(-\frac{k}{2}, \frac{3k}{2})$.
$\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{0+\frac{2k}{3}-\frac{k}{2}}{3}, \frac{0+\frac{k}{3}+\frac{3k}{2}}{3}) = (\frac{\frac{k}{6}}{3}, \frac{\frac{11k}{6}}{3}) = (\frac{k}{18}, \frac{11k}{18})$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{1}{18}, \frac{11}{18})$ આપેલ હોવાથી,$\frac{k}{18} = \frac{1}{18}$,જેનો અર્થ છે કે $k=1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $8 x^2-24 x y+18 y^2-6 x+9 y-5=0$ છે.
આપણે દ્વિઘાત ભાગને $(2 \sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y)^2 = 2(4 x^2 - 12 x y + 9 y^2) = 2(2 x - 3 y)^2$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $2 x - 3 y = t$. તો સમીકરણ $2 t^2 - 3 t - 5 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $2 t^2 - 5 t + 2 t - 5 = 0 \implies t(2 t - 5) + 1(2 t - 5) = 0 \implies (t + 1)(2 t - 5) = 0$.
$t = 2 x - 3 y$ પાછું મૂકતા,આપણને $(2 x - 3 y + 1)(2(2 x - 3 y) - 5) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(2 x - 3 y + 1)(4 x - 6 y - 5) = 0$ થાય છે.
આ સમીકરણ બે રેખાઓ દર્શાવે છે અને તેમના ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ અને $m_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ સમાન હોવાથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે.

(B) સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
રેખા $1$ એ $(0,0)$ અને $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{3}{2}x \Rightarrow 3x - 2y = 0$ છે.
રેખા $2$ એ $(0,0)$ અને $(4,5)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{5}{4}x \Rightarrow 5x - 4y = 0$ છે.
તેથી સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y)(5x - 4y) = 0$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા,$15x^2 - 22xy + 8y^2 = 0$ મળે.
સરખામણી કરતા,$a = 15$,$2h = -22$ અને $b = 8$ મળે.
તેથી,$a + 2h + b = 15 - 22 + 8 = 1$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ: $2x^2 + 4xy - 4y^2 - 6x - 8y + 7 = 0$.
$Y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ શોધવા માટે $x = 0$ મૂકો.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $-4y^2 - 8y + 7 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4y^2 + 8y - 7 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(4)(-7)}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{176}}{8} = -1 \pm \frac{\sqrt{11}}{2}$.
અંતઃખંડની લંબાઈ એ બે ઉકેલો $y_1$ અને $y_2$ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|y_1 - y_2| = |(-1 + \frac{\sqrt{11}}{2}) - (-1 - \frac{\sqrt{11}}{2})| = \sqrt{11}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x-2y)^2 + k(x-2y) = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x-2y)(x-2y+k) = 0$ મળે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: x-2y = 0$ અને $L_2: x-2y+k = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=1, B=-2, C_1=0, C_2=k$ છે.
તેથી,$d = \frac{|k-0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$.
આપેલ છે કે $d = 3$,તેથી $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 3$.
આમ,$|k| = 3\sqrt{5}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \pm 3\sqrt{5}$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ રેખાયુગ્મ દર્શાવે જો $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2 = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $x^2+pxy+y^2-5x-7y+6=0$ ને સરખાવતા:
$a=1, b=1, c=6, h=\frac{p}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=-\frac{7}{2}$.
શરત $\Delta=0$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(1)(1)(6) + 2(-\frac{7}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{p}{2}) - 1(-\frac{7}{2})^2 - 1(-\frac{5}{2})^2 - 6(\frac{p}{2})^2 = 0$
$6 + \frac{35p}{4} - \frac{49}{4} - \frac{25}{4} - \frac{6p^2}{4} = 0$
$4$ વડે ગુણતા:
$24 + 35p - 49 - 25 - 6p^2 = 0$
$-6p^2 + 35p - 50 = 0$
$6p^2 - 35p + 50 = 0$
$(2p-5)(3p-10) = 0$
આમ,$p = \frac{5}{2}$ અથવા $p = \frac{10}{3}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{5}{2}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ એ બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2 = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $x^2+pxy+y^2-5x-7y+6=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a=1, b=1, c=6, h=\frac{p}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=-\frac{7}{2}$.
શરત $\Delta = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(1)(1)(6) + 2(-\frac{7}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{p}{2}) - (1)(-\frac{7}{2})^2 - (1)(-\frac{5}{2})^2 - (6)(\frac{p}{2})^2 = 0$.
$6 + \frac{35p}{4} - \frac{49}{4} - \frac{25}{4} - \frac{6p^2}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા:
$24 + 35p - 49 - 25 - 6p^2 = 0$.
$-6p^2 + 35p - 50 = 0$.
$6p^2 - 35p + 50 = 0$.
$(2p-5)(3p-10) = 0$.
આમ,$p = \frac{5}{2}$ અથવા $p = \frac{10}{3}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ વાસ્તવિક હોવા માટેની શરત $h^2 - ab \geq 0$ છે.
$2x^2 - pxy + 2y^2 = 0$ ની સરખામણી સામાન્ય સમીકરણ સાથે કરતા,$a = 2$,$2h = -p$ (તેથી $h = -p/2$),અને $b = 2$ મળે છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$(-p/2)^2 - (2)(2) \geq 0$
$\frac{p^2}{4} - 4 \geq 0$
$p^2 - 16 \geq 0$
$(p - 4)(p + 4) \geq 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $p \leq -4$ અથવા $p \geq 4$ હોય.
તેથી,$p \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

(D) આપેલ વક્ર $2x^2 - 2xy + 3y^2 + 2x - y - 1 = 0$ છે.
રેખા $x + 2y = k$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x + 2y}{k} = 1$.
રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(1) - 1(1)^2 = 0$.
$1 = \frac{x + 2y}{k}$ મૂકતા:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)\left(\frac{x + 2y}{k}\right) - \left(\frac{x + 2y}{k}\right)^2 = 0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(2x^2 - 2xy + 3y^2) + k(2x^2 + 4xy - xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$.
$x^2(2k^2 + 2k - 1) + xy(-2k^2 + 3k - 4) + y^2(3k^2 - 2k - 4) = 0$.
રેખાઓ કાટખૂણે હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2k^2 + 2k - 1) + (3k^2 - 2k - 4) = 0$.
$5k^2 - 5 = 0$.
$5k^2 = 5 \implies k^2 = 1$.

(C) સમીકરણ $2x^2 + 4xy - 6y^2 + 3x + y + 1 = 0$ માટે,અવયવ પાડતા $(2x - 2y + 1)(x + 3y + 1) = 0$ મળે છે.
બંને રેખાઓ $2x - 2y + 1 = 0$ અને $x + 3y + 1 = 0$ ને ઉકેલતા,છેદબિંદુ $\left(-\frac{5}{8}, -\frac{1}{8}\right)$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે. તેને $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x, y)$ સૂત્ર $\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
છેદબિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,આ બિંદુ $5x+ky-8=0$ નું સમાધાન કરશે.
$5(\frac{4}{3}) + k(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2k}{3} = 8$.
$20 + 2k = 24$.
$2k = 4 \Rightarrow k = 2$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ એ રેખા $5x+\lambda y-8=0$ પર હોવું જોઈએ.
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$.
$3$ વડે ગુણતા: $20 + 2\lambda - 24 = 0$.
$2\lambda - 4 = 0$.
$2\lambda = 4$.
$\lambda = 2$.

(B) આપેલ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ $2 x^2+3 x y+2 y^2+10 x+5 y=0$ છે.
તે $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં $a=2$,$2h=3$ (તેથી $h=\frac{3}{2}$),અને $b=2$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલ રેખાયુગ્મને લંબ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ $b x^2-2 h x y+a y^2=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2 x^2-3 x y+2 y^2=0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - xy - y^2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$2x^2 - 2xy + xy - y^2 = 0$
$2x(x - y) + y(x - y) = 0$
$(2x + y)(x - y) = 0$.
રેખાઓ $2x + y = 0$ અને $x - y = 0$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓ $(2x + y + k_1) = 0$ અને $(x - y + k_2) = 0$ છે.
આ રેખાઓ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે બિંદુ મૂકીએ:
પ્રથમ રેખા માટે: $2(1) + 0 + k_1 = 0 \Rightarrow k_1 = -2$.
બીજી રેખા માટે: $1 - 0 + k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = -1$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(2x + y - 2)(x - y - 1) = 0$ છે.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$2x^2 - xy - y^2 - 4x + y + 2 = 0$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. \\
વર્તુળ $x$-અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = |k|$ છે. \\
તેથી સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ બને છે. \\
તે $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(3-h)^2 + (0-k)^2 = k^2$ $\Rightarrow (3-h)^2 = 0$ $\Rightarrow h = 3$. \\
તે $(1, -2)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $h=3$ મૂકતા: $(1-3)^2 + (-2-k)^2 = k^2$. \\
$(-2)^2 + 4 + 4k + k^2 = k^2$ \\
$4 + 4 + 4k = 0$ $\Rightarrow 4k = -8$ $\Rightarrow k = -2$. \\
$h=3$ અને $k=-2$ ને $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ માં મૂકતા: \\
$(x-3)^2 + (y+2)^2 = (-2)^2$ \\
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 4$ \\
$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-x+3y=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $L_1$ એ $y = mx$ છે,એટલે કે $mx - y = 0$.
રેખા $L_2$ એ $x + y - 1 = 0$ છે.
વર્તુળ દ્વારા $L_1$ અને $L_2$ પર બનાવેલા અંતઃખંડો સમાન હોવાથી,કેન્દ્ર $C$ થી આ રેખાઓના લંબ અંતર સમાન હોવા જોઈએ.
કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ થી $L_1$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|m(\frac{1}{2}) - (-\frac{3}{2})|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{m+3}{2}|}{\sqrt{m^2+1}}$ છે.
કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ થી $L_2$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
$d_1^2 = d_2^2$ લેતા,$\frac{(m+3)^2}{4(m^2+1)} = 2$.
$(m+3)^2 = 8(m^2+1) \Rightarrow m^2 + 6m + 9 = 8m^2 + 8$.
$7m^2 - 6m - 1 = 0$.
$(7m+1)(m-1) = 0$,તેથી $m = 1$ અથવા $m = -\frac{1}{7}$.
$m = 1$ માટે,$L_1$ એ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ છે.
$m = -\frac{1}{7}$ માટે,$L_1$ એ $y = -\frac{1}{7}x$ અથવા $x + 7y = 0$ છે.

(A) વર્તુળ $x$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $(4, 0)$ અને $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુઓ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $y$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ.
ધારો કે કેન્દ્ર $(0, c)$ છે.
કેન્દ્ર $(0, c)$ થી બિંદુ $(4, 0)$ સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(4-0)^2 + (0-c)^2} = 5$.
$16 + c^2 = 25$ $\Rightarrow c^2 = 9$ $\Rightarrow c = \pm 3$.
આમ,કેન્દ્રો $(0, 3)$ અને $(0, -3)$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 3)$ માટે,સમીકરણ $x^2 + (y-3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6y - 16 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(0, -3)$ માટે,સમીકરણ $x^2 + (y+3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 6y - 16 = 0$ છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c=0$ મળે.
વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $-2$ નો અંતઃખંડ કાપે છે,એટલે કે તે $(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + 0 = 0$ $\Rightarrow 4 - 4g = 0$ $\Rightarrow g = 1$.
વર્તુળ $y$-અક્ષ પર $3$ નો અંતઃખંડ કાપે છે,એટલે કે તે $(0,3)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $0^2 + 3^2 + 2g(0) + 2f(3) + 0 = 0$ $\Rightarrow 9 + 6f = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{3}{2}$.
$g=1$,$f=-\frac{3}{2}$,અને $c=0$ ની કિંમત સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2+2(1)x+2(-\frac{3}{2})y+0=0$.
આથી,માંગેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2x-3y=0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S_1 = x^2+y^2-8x-6y+21=0$ અને $S_2 = x^2+y^2-2x-15=0$.
વર્તુળોના સમૂહના સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
આ વર્તુળ $(1, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$(1^2+2^2-8(1)-6(2)+21) + \lambda(1^2+2^2-2(1)-15) = 0$.
$6 + \lambda(-12) = 0$.
$\lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ કિંમત મૂકતા:
$2(x^2+y^2-8x-6y+21) + (x^2+y^2-2x-15) = 0$.
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$.
$3(x^2+y^2)-18x-12y+27 = 0$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-3x-4y+2=0$.
વર્તુળ $x$-અક્ષને છેદે છે,તેથી તે બિંદુઓ માટે $y=0$ લેતા.
$x^2 + (0)^2 - 3x - 4(0) + 2 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$(x-1)(x-2) = 0$
આથી $x=1$ અને $x=2$ મળે છે.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(1,0)$ અને $(2,0)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+8x+10y-8=0$ છે.
તેને વર્તુળના વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$2g = 8 \implies g = 4$
$2f = 10 \implies f = 5$
$c = -8$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-4, -5)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{4^2+5^2-(-8)} = \sqrt{16+25+8} = \sqrt{49} = 7$.
આમ,કેન્દ્ર $(-4, -5)$ અને ત્રિજ્યા $7$ છે.

(D) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(4,7)$ અને $(-2,-1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-4)(x+2) + (y-7)(y+1) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x - 8 + y^2 - 6y - 7 = 0$,જે $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$ માં પરિણમે છે.
વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
સરખામણી કરતા,$g = -1$,$f = -3$,અને $c = -15$.
$X$-અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$AB = 2\sqrt{(-1)^2 - (-15)} = 2\sqrt{1 + 15} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$.
આમ,$AB = 8$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-4y+4=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=2$,$f=-2$,અને $c=4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-2, 2)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{2^2+(-2)^2-4} = \sqrt{4+4-4} = \sqrt{4} = 2$ છે.
કેન્દ્રના $x$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-2| = 2$ (જે ત્રિજ્યા જેટલું છે) અને કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|2| = 2$ (જે પણ ત્રિજ્યા જેટલું છે) હોવાથી,વર્તુળ $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ બંનેને સ્પર્શે છે.

(B) વર્તુળનો પરિઘ $10 \pi$ છે. $2 \pi r = 10 \pi$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 5$ મળે.
વર્તુળના વ્યાસ તેના કેન્દ્રમાં છેદતા હોવાથી,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$2x + 3y + 1 = 0$ $(i)$
$3x - y - 4 = 0$ $(ii)$
$(ii)$ પરથી,$y = 3x - 4$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2x + 3(3x - 4) + 1 = 0$
$2x + 9x - 12 + 1 = 0$
$11x - 11 = 0 \Rightarrow x = 1$.
તેથી $y = 3(1) - 4 = -1$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$.

(C) આપણી પાસે છે,$\int \frac{2x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} dx = \frac{-1}{ax^2+bx+c} + \alpha$.
છેદને ફરીથી ગોઠવતા: $x(x+3)(x+1)(x+2)+1 = (x^2+3x)(x^2+3x+2)+1$.
ધારો કે $t = x^2+3x$,તો $dt = (2x+3)dx$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $\int \frac{dt}{t(t+2)+1} = \int \frac{dt}{t^2+2t+1} = \int \frac{dt}{(t+1)^2}$.
સંકલન કરતા મળે: $-\frac{1}{t+1} + \alpha = \frac{-1}{x^2+3x+1} + \alpha$.
આને $\frac{-1}{ax^2+bx+c} + \alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=3, c=1$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c = 1+3+1 = 5$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગીએ છીએ:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$
આપણે છેદને $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + (\sqrt{2})^2} dx$
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. તો $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + c$
$t = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right) + c$
આમ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right)$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1+\cos (4 x)}{\cot x-\tan x} d x$.
નિત્યસમ $1+\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1+\cos(4x) = 2\cos^2(2x)$ મળે છે.
વળી,$\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2\cos^2(2x)}{2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}} dx = \int \cos(2x) \sin(2x) dx$.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(4x)$ મળે.
$I = \int \frac{1}{2}\sin(4x) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos(4x)}{4} \right) + C = -\frac{1}{8}\cos(4x) + C$.
આને $A\cos(4x)+B$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{1}{8}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sqrt{7-6x-x^2}}$.
પ્રથમ,દ્વિઘાત પદાવલિ $7-6x-x^2$ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$7-6x-x^2 = 7 - (x^2 + 6x) = 7 - (x^2 + 6x + 9 - 9) = 7 - ((x+3)^2 - 9) = 16 - (x+3)^2 = 4^2 - (x+3)^2$.
હવે,આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (x+3)^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 4$ અને $x$ ની જગ્યાએ $(x+3)$ છે:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + C$.

(A) આપણને સંકલન $I = \int \frac{e^x(x + 3)}{(x + 5)^3} dx$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અંશ $(x + 3)$ ને $(x + 5 - 2)$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{e^x(x + 5 - 2)}{(x + 5)^3} dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{x + 5}{(x + 5)^3} - \frac{2}{(x + 5)^3} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{(x + 5)^2} - \frac{2}{(x + 5)^3} \right] dx$
આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(x + 5)^2} = (x + 5)^{-2}$.
તો $f'(x) = -2(x + 5)^{-3} = -\frac{2}{(x + 5)^3}$.
કારણ કે સંકલ્ય $e^x(f(x) + f'(x))$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી સંકલન $e^x f(x) + c$ થશે.
આમ,$I = \frac{e^x}{(x + 5)^2} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{e^{4x} + e^{2x}} \, dx = \int e^x \sqrt{e^{2x} + 1} \, dx$.
$e^x = v$ આદેશ લેતા,$dv = e^x \, dx$ મળે.
$I = \int \sqrt{v^2 + 1} \, dv$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $a = 1$ હોવાથી,$I = \frac{v}{2} \sqrt{v^2 + 1} + \frac{1}{2} \ln|v + \sqrt{v^2 + 1}| + c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh^{-1}(v) = \ln(v + \sqrt{v^2 + 1})$,તેથી $I = \frac{v}{2} \sqrt{v^2 + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(v) + c$.
$v = e^x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} e^x \sqrt{e^{2x} + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(e^x) + c$ મળે છે.

(A) આપણને સંકલન $I = \int [ \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(\csc(x)) ] dx$ આપેલ છે.
પ્રથમ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cot(x)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int [ \cos(x) \cdot (-\csc(x) \cot(x)) ] dx$
$I = - \int [ \cos(x) \cdot \frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ] dx$
$I = - \int [ \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} ] dx$
$I = - \int \cot^2(x) dx$
નિત્યસમ $\cot^2(x) = \csc^2(x) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = - \int (\csc^2(x) - 1) dx$
$I = - \int \csc^2(x) dx + \int 1 dx$
કારણ કે $\int \csc^2(x) dx = -\cot(x)$,તેથી:
$I = -(-\cot(x)) + x + c$
$I = \cot(x) + x + c$
આને $f(x) + g(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \cot(x)$ અને $g(x) = x$ મળે છે.
તેથી,$f(x) \cdot g(x) = x \cot(x)$.

(B) આદિ વિધેય એટલે અનિયત સંકલન. ધારો કે $I = \int \cos(\log x) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \cos(\log x)$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
$I = x \cos(\log x) - \int x \cdot (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x} dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$.
હવે,$\int \sin(\log x) dx$ નું ખંડશઃ સંકલન કરતા: $u = \sin(\log x)$,$dv = dx$.
$I = x \cos(\log x) + [x \sin(\log x) - \int x \cdot \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx]$.
$I = x \cos(\log x) + x \sin(\log x) - I$.
$2I = x [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$.
$I = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$.
આને $f(x)\{\cos(g(x)) + \sin(h(x))\}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{x}{2}$,$g(x) = \log x$,અને $h(x) = \log x$ મળે છે.
આમ,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $x+2=t$,તેથી $dx=dt$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int(t-1)(t)^4(t+1) \, dt = \int(t^2-1)t^4 \, dt$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int(t^6-t^4) \, dt$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \frac{t^7}{7} - \frac{t^5}{5} + C$.
$t = x+2$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{(x+2)^7}{7} - \frac{(x+2)^5}{5} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2 + \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,જ્યાં $x > 0$.
$\tan ^{-1} x = \theta$ લેતા,$x = \tan \theta$ અને $\frac{1}{1+x^2} d x = d \theta$ મળે.
$x > 0$ હોવાથી,$\theta \in (0, \pi/2)$.
અહીં $\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec ^{-1} \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sec ^{-1} \sec \theta = \theta$.
તેમજ,$\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \cos ^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ (કારણ કે $2\theta \in (0, \pi)$).
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^{\theta} [\theta^2 + 2\theta] d \theta$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(\theta) = \theta^2$ અને $f'(\theta) = 2\theta$:
$I = e^{\theta} \theta^2 + c$.
$\theta = \tan ^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = e^{\tan ^{-1} x} (\tan ^{-1} x)^2 + c$.

(C) ધારો કે $I = \int 3^x \left(f^{\prime}(x) + f(x) \log 3\right) dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \left(3^x f^{\prime}(x) + 3^x f(x) \log 3\right) dx$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ યાદ કરો: $\frac{d}{dx} \left(3^x f(x)\right) = 3^x f^{\prime}(x) + f(x) \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = 3^x f^{\prime}(x) + f(x) \cdot 3^x \log 3$.
આમ,સંકલ્ય એ $3^x f(x)$ નું વિકલન છે.
તેથી,$\int \frac{d}{dx} \left(3^x f(x)\right) dx = 3^x f(x) + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} dx$.
નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2)$ અને $1+\cos x = 2 \cos^2(x/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{x + 2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} dx$
$I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2(x/2)} + \frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) + \tan(x/2) \right) dx$
હવે,પ્રથમ પદ $\int \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = x$ અને $dv = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$. તેથી $du = dx$ અને $v = \tan(x/2)$.
$\int u dv = uv - \int v du$ સૂત્ર મુજબ:
$\int \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) dx = x \tan(x/2) - \int \tan(x/2) dx$
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = x \tan(x/2) - \int \tan(x/2) dx + \int \tan(x/2) dx + c$
$I = x \tan(x/2) + c$

(A) ધારો કે $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ લેતા,તેથી $x = t^2$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$dx = 2t \, dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \cos(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \cos(t) \, dt$.
ખંડશઃ સંકલનની રીત (Integration by parts) વાપરતા,જ્યાં $u = t$ અને $dv = \cos(t) \, dt$:
$I = 2 \left[ t \sin(t) - \int \sin(t) \, dt \right] = 2 [t \sin(t) + \cos(t)] + c$.
$t$ ની જગ્યાએ $\sqrt{x}$ મૂકતા:
$I = 2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x} + 2 \cos \sqrt{x} + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} d x = A \log |5 \cos x+4 \sin x|+B x+c$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} = A \frac{d}{dx}(\log |5 \cos x+4 \sin x|) + B$
$\frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} = A \frac{-5 \sin x+4 \cos x}{5 \cos x+4 \sin x} + B$
$\frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} = \frac{A(-5 \sin x+4 \cos x) + B(4 \sin x+5 \cos x)}{4 \sin x+5 \cos x}$
અંશને સરખાવતા:
$3 \cos x-2 \sin x = (4A+5B) \cos x + (-5A+4B) \sin x$
$\cos x$ અને $\sin x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$4A+5B = 3$ --- $(1)$
$-5A+4B = -2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$20A+25B = 15$
$-20A+16B = -8$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $41B = 7 \Rightarrow B = \frac{7}{41}$.
$B$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $4A + 5(\frac{7}{41}) = 3 \Rightarrow 4A = 3 - \frac{35}{41} = \frac{123-35}{41} = \frac{88}{41} \Rightarrow A = \frac{22}{41}$.
આમ,$A = \frac{22}{41}$ અને $B = \frac{7}{41}$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x-1}{(x-2)(x-3)} \, dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$.
અંશને સરખાવતા: $x-1 = A(x-3) + B(x-2)$.
$x=2$ માટે: $2-1 = A(2-3) \implies 1 = -A \implies A = -1$.
$x=3$ માટે: $3-1 = B(3-2) \implies 2 = B$.
તેથી,$\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-3} - \frac{1}{x-2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $I = \int \left( \frac{2}{x-3} - \frac{1}{x-2} \right) \, dx$.
$I = 2 \log |x-3| - \log |x-2| + c$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $I = \log |x-3|^2 - \log |x-2| + c = \log \left| \frac{(x-3)^2}{x-2} \right| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1 - (\cot x)^{2021}}{\tan x + (\cot x)^{2022}} dx$.
અંશ અને છેદને $(\sin x)^{2022} \cos x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1 - \frac{(\cos x)^{2021}}{(\sin x)^{2021}}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{(\cos x)^{2022}}{(\sin x)^{2022}}} dx = \int \frac{(\sin x)^{2021} - (\cos x)^{2021}}{(\sin x)^{2021}} \cdot \frac{(\sin x)^{2022} \cos x}{(\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}} dx$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \int \frac{(\sin x)^{2021} - (\cos x)^{2021}}{1} \cdot \frac{\sin x \cos x}{(\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}} dx$.
$I = \int \frac{(\sin x)^{2022} \cos x - (\cos x)^{2022} \sin x}{(\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}} dx$.
ધારો કે $f(x) = (\sin x)^{2023} + (\cos x)^{2023}$.
તો $f'(x) = 2023(\sin x)^{2022} \cos x - 2023(\cos x)^{2022} \sin x = 2023 [(\sin x)^{2022} \cos x - (\cos x)^{2022} \sin x]$.
આમ,$I = \frac{1}{2023} \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \frac{1}{2023} \ln |f(x)| + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 2023$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$\int \frac{(2x+1)^6}{(3x+2)^8} dx = P \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^Q + R$
ધારો કે $t = \frac{2x+1}{3x+2}$.
તેથી,$\frac{dt}{dx} = \frac{(3x+2)(2) - (2x+1)(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x-3}{(3x+2)^2} = \frac{1}{(3x+2)^2}$.
આમ,$dt = \frac{dx}{(3x+2)^2}$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $\int \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^6 \cdot \frac{dx}{(3x+2)^2} = \int t^6 dt$.
સંકલન કરતા,$\int t^6 dt = \frac{t^7}{7} + C = \frac{1}{7} \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^7 + C$.
$P \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^Q + R$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P = \frac{1}{7}$,$Q = 7$ અને $R = C$ મળે છે.
તેથી,$\frac{P}{Q} = \frac{1/7}{7} = \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2}$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^7} dx$.
$x^2 = u$ લેતા,$2x dx = du$ મળે,એટલે કે $dx = \frac{du}{2\sqrt{u}}$.
તેથી $I = \int \frac{\sqrt{1-u^2}}{u^{7/2}} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{1-u^2}}{u^4} du$.
$u = \sin v$ લેતા,$du = \cos v dv$ મળે.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{\cos^2 v}{\sin^4 v} dv = \frac{1}{2} \int \cot^2 v \csc^2 v dv$.
$\cot v = w$ લેતા,$-\csc^2 v dv = dw$ મળે.
$I = \frac{1}{2} \int -w^2 dw = -\frac{1}{2} \cdot \frac{w^3}{3} + C = -\frac{1}{6} \cot^3 v + C$.
અહીં $\cot v = \frac{\sqrt{1-u^2}}{u} = \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^2}$ હોવાથી,$I = -\frac{1}{6} \left( \frac{\sqrt{1-x^4}}{x^2} \right)^3 + C = -\frac{1}{6x^6} (\sqrt{1-x^4})^3 + C$.
$f(x) \{\sqrt{1-x^4}\}^n + C$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = -\frac{1}{6x^6}$ અને $n = 3$ મળે.
તેથી,$(f(x))^n = (-\frac{1}{6x^6})^3 = -\frac{1}{216x^{18}}$.

(D) આપેલ છે કે,$\int \frac{5 \tan x}{\tan x-2} d x = x + a \log |\sin x - 2 \cos x| + K$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે:
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{d}{dx} (\log |\sin x - 2 \cos x|) $
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} $
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{1 + 2 \tan x}{\tan x - 2} $
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = \frac{\tan x - 2 + a + 2a \tan x}{\tan x - 2} $
$\tan x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$5 = 2a + 1 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2$
તેમજ,$a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$.
આમ,$a = 2$ થાય.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx$.
અંશને આ રીતે લખતા:
$2 \cos x + 3 \sin x = A(4 \cos x + 5 \sin x) + B \frac{d}{dx}(4 \cos x + 5 \sin x)$.
$2 \cos x + 3 \sin x = A(4 \cos x + 5 \sin x) + B(-4 \sin x + 5 \cos x)$.
$2 \cos x + 3 \sin x = (4A + 5B) \cos x + (5A - 4B) \sin x$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$4A + 5B = 2$ અને $5A - 4B = 3$.
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $5$ વડે ગુણતા:
$16A + 20B = 8$ અને $25A - 20B = 15$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $41A = 23 \implies A = \frac{23}{41}$.
$A$ ની કિંમત $4A + 5B = 2$ માં મૂકતા:
$4(\frac{23}{41}) + 5B = 2 \implies \frac{92}{41} + 5B = 2 \implies 5B = 2 - \frac{92}{41} = \frac{82-92}{41} = \frac{-10}{41} \implies B = \frac{-2}{41}$.
આમ,$\int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx = \int \left( \frac{23}{41} + \frac{-2}{41} \frac{-4 \sin x + 5 \cos x}{4 \cos x + 5 \sin x} \right) dx$.
$= \frac{23}{41} x - \frac{2}{41} \log |4 \cos x + 5 \sin x| + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$K = \frac{-2}{41}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(x) dx$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ને $\frac{\pi}{2} - x$ વડે બદલીએ છીએ.
$I = \int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(\frac{\pi}{2} - x) dx$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$,તેથી આપણને $I = \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{\pi/2} \tan^{n}(x) dx = k \int_{0}^{\pi/2} \cot^{n}(x) dx$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $I = k \cdot I$.
તેથી,$k = 1$.

(B) $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x$
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int_0^1 e^x \left[ \frac{x+1-1}{(x+1)^2} \right] d x$
$I = \int_0^1 e^x \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \right] d x$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x+1}$.
તેથી,$f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \left[ e^x \cdot \frac{1}{x+1} \right]_0^1$
$I = \left( \frac{e^1}{1+1} \right) - \left( \frac{e^0}{0+1} \right)$
$I = \frac{e}{2} - 1$

(D) ધારો કે $I = \int_{\frac{2}{e}}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{x(\log x)^{1/3}} dx$.
આદેશ લો $t = \log x$,તેથી $dt = \frac{1}{x} dx$.
જ્યારે $x = \frac{1}{e}$,ત્યારે $t = \log(\frac{1}{e}) = -1$.
જ્યારે $x = \frac{2}{e}$,ત્યારે $t = \log(\frac{2}{e}) = \log 2 - \log e = \log 2 - 1$.
તેથી,$I = \int_{\log 2 - 1}^{-1} t^{-1/3} dt$.
સંકલન કરતા,$I = \left[ \frac{t^{2/3}}{2/3} \right]_{\log 2 - 1}^{-1} = \frac{3}{2} \left[ t^{2/3} \right]_{\log 2 - 1}^{-1}$.
$I = \frac{3}{2} \left[ (-1)^{2/3} - (\log 2 - 1)^{2/3} \right]$.
કારણ કે $(-1)^{2/3} = ((-1)^2)^{1/3} = 1^{1/3} = 1$,તેથી $I = \frac{3}{2} \left[ 1 - (\log 2 - 1)^{2/3} \right]$.

(D) ધારો કે $I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-a)(b-x) = -x^2 + (a+b)x - ab$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $-[x^2 - (a+b)x + ab] = -[x^2 - (a+b)x + (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a+b}{2})^2 + ab] = -[(x - \frac{a+b}{2})^2 - (\frac{b-a}{2})^2] = (\frac{b-a}{2})^2 - (x - \frac{a+b}{2})^2$.
આમ,$I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(\frac{b-a}{2})^2 - (x - \frac{a+b}{2})^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{dx}{\sqrt{A^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{A}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = [\sin^{-1}(\frac{x - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}})]_a^b$.
સીમાઓ મૂકતા:
ઉપરની સીમા $(x=b)$: $\sin^{-1}(\frac{b - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(\frac{\frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$.
નીચેની સીમા $(x=a)$: $\sin^{-1}(\frac{a - \frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(\frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{b-a}{2}}) = \sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$.

(B) ધારો કે $I = \int_1^4 x \sqrt{x^2-1} \, dx$.
$t = x^2 - 1$ આદેશ લેતા,$dt = 2x \, dx$ અથવા $x \, dx = \frac{dt}{2}$ મળે.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 1^2 - 1 = 0$.
જ્યારે $x = 4$,ત્યારે $t = 4^2 - 1 = 15$.
તેથી,$I = \int_0^{15} \sqrt{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{15} t^{1/2} \, dt$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^{15} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} [t^{3/2}]_0^{15} = \frac{1}{3} (15)^{3/2}$.
આને $\alpha(k)^\beta$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{3}$,$k = 15$ અને $\beta = \frac{3}{2}$ મળે.
તેથી,$\alpha \beta = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) $\int_{0}^{2} x e^{x} dx$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) ની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u dv = uv - \int v du$.
ધારો કે $u = x$ અને $dv = e^{x} dx$. તેથી $du = dx$ અને $v = e^{x}$ મળે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x}$.
હવે,$0$ થી $2$ ની સીમાઓ લાગુ કરતા:
$\left[ x e^{x} - e^{x} \right]_{0}^{2} = (2 e^{2} - e^{2}) - (0 \cdot e^{0} - e^{0})$.
$= (e^{2}) - (0 - 1) = e^{2} + 1$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan (\frac{\pi}{4} - x)) dx$.
કારણ કે $\tan (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}) dx = \int_{0}^{\pi / 4} \log (\frac{2}{1 + \tan x}) dx$.
$I = \int_{0}^{\pi / 4} (\log 2 - \log (1 + \tan x)) dx = \frac{\pi}{4} \log 2 - I$.
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log 2$.
આપેલ છે કે $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8k$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = -\pi \log 2$.
તેથી,$8k = -\pi \log 2 \implies \pi \log 2 = -8k$.
આ કિંમત $I = \frac{\pi}{8} \log 2$ માં મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{8} (-8k) = -k$ મળે છે.

(D) આપણને સંકલન $I = \int_{0}^{1} x^{m} (1 - x)^{n} dx$ આપેલ છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ને $(1 - x)$ વડે બદલીએ છીએ:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)^{m} (1 - (1 - x))^{n} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)^{m} (x)^{n} dx$
$I = \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} dx$.
આને આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{1} x^{m} (1 - x)^{n} dx = k \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} dx$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $I = k \cdot I$.
આમ,સંકલન શૂન્ય ન હોવાથી,$k = 1$ મળે છે.

(C) આપણને સંકલન $I = \int_{-1}^1 \frac{|x|}{x} \, dx$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિધેય $f(x) = \frac{|x|}{x}$ ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.
માનાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ:
$f(x) = \begin{cases} -\frac{x}{x} = -1, & x < 0 \\ \frac{x}{x} = 1, & x > 0 \end{cases}$
વિધેય $x = 0$ આગળ અસતત હોવાથી,આપણે સંકલનને $x = 0$ આગળ વિભાજિત કરીશું:
$I = \int_{-1}^0 (-1) \, dx + \int_0^1 (1) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = [-x]_{-1}^0 + [x]_0^1$
$I = (-(0) - (-(-1))) + (1 - 0)$
$I = (-1) + 1 = 0$
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય $0$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x)+\tan(\pi-x)} d x$
$\tan(\pi-x) = -\tan x$ અને $\sec(\pi-x) = -\sec x$ હોવાથી:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-\tan x)}{-\sec x-\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \tan x + (\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x+\tan x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\sin x} d x$
અંશ અને છેદને $(1-\sin x)$ વડે ગુણતા:
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x(1-\sin x)}{1-\sin^2 x} d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - \tan^2 x) d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) d x$
$I = \frac{\pi}{2} [\sec x - \tan x + x]_0^\pi$
$I = \frac{\pi}{2} [(\sec \pi - \tan \pi + \pi) - (\sec 0 - \tan 0 + 0)]$
$I = \frac{\pi}{2} [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \frac{\pi}{2} (\pi - 2)$

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \tan \left(1+x^2\right) d x$.
અહીં વિધેય $f(x) = x \tan \left(1+x^2\right)$ છે.
વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત મેળવીએ:
$f(-x) = (-x) \tan \left(1+(-x)^2\right) = -x \tan \left(1+x^2\right) = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ થાય.
તેથી,$I = 0$.

(B) આપણી પાસે $I = \int_0^\pi x \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$ છે.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin(\pi - x)) + \cos^2(\cos(\pi - x)) \right\} dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(-\cos x) \right\} dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I$ માટેના આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \pi \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{\pi}{2} \cdot 2 \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
હવે ફરીથી $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin(\pi/2 - x)) + \cos^2(\cos(\pi/2 - x)) \right\} dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x) \right\} dx$
$I$ ના આ બંને સ્વરૂપોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) + \sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x) \right\} dx$
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\sin x)) + (\cos^2(\cos x) + \sin^2(\cos x)) \right\} dx$
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} (1 + 1) dx = 2\pi \int_0^{\pi/2} dx = 2\pi \cdot \frac{\pi}{2} = \pi^2$
આમ,$I = \frac{\pi^2}{2}$.
કારણ કે $\pi^2 \approx 9.869$,તેથી $I \approx \frac{9.869}{2} = 4.9345$.
તેથી,$[I] = [4.9345] = 4$.

(A) આપેલ છે કે,$\int_a^b x^3 dx = 0$ અને $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$.
પ્રથમ,સંકલન $\int_a^b x^3 dx = 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$\left[\frac{x^4}{4}\right]_a^b = 0 \Rightarrow \frac{b^4 - a^4}{4} = 0 \Rightarrow b^4 = a^4$.
આ સૂચવે છે કે $b = a$ અથવા $b = -a$. કારણ કે $a$ અને $b$ એ સંકલનની સીમાઓ છે,આપણે ધારીએ છીએ કે $a \neq b$,તેથી $b = -a$.
હવે,સંકલન $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\left[\frac{x^3}{3}\right]_a^b = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{b^3 - a^3}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow b^3 - a^3 = 2$.
સમીકરણમાં $b = -a$ મૂકતા:
$(-a)^3 - a^3 = 2 \Rightarrow -a^3 - a^3 = 2 \Rightarrow -2a^3 = 2$.
$a^3 = -1 \Rightarrow a = -1$.
કારણ કે $b = -a$,તેથી $b = -(-1) = 1$.
આમ,$a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) dx = 1$,$\int_0^1 x f(x) dx = a$ અને $\int_0^1 x^2 f(x) dx = a^2$.
સંકલિત $(x-a)^2 f(x) = (x^2 - 2ax + a^2) f(x) = x^2 f(x) - 2ax f(x) + a^2 f(x) $ નું વિસ્તરણ કરતા.
હવે,પદવાર સંકલન કરતા:
$\int_0^1 (x-a)^2 f(x) dx = \int_0^1 x^2 f(x) dx - 2a \int_0^1 x f(x) dx + a^2 \int_0^1 f(x) dx$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$= a^2 - 2a(a) + a^2(1) = a^2 - 2a^2 + a^2 = 0$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int_{2}^{4} (|x - 2| + |x - 3|) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2$ અને $x = 3$ ના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરો.
$2 \le x \le 3$ માટે,$|x - 2| = x - 2$ અને $|x - 3| = 3 - x$ થાય.
$3 \le x \le 4$ માટે,$|x - 2| = x - 2$ અને $|x - 3| = x - 3$ થાય.
તેથી,$I = \int_{2}^{3} ((x - 2) + (3 - x)) dx + \int_{3}^{4} ((x - 2) + (x - 3)) dx$.
$I = \int_{2}^{3} (1) dx + \int_{3}^{4} (2x - 5) dx$.
$I = [x]_{2}^{3} + [x^2 - 5x]_{3}^{4}$.
$I = (3 - 2) + ((16 - 20) - (9 - 15))$.
$I = 1 + (-4 - (-6)) = 1 + 2 = 3$.

(C) ધારો કે $I = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \{ [x] + \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \} dx$.
આપણે સંકલનને $I = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx + \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \log (\frac{1 + x}{1 - x}) dx$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = \log (\frac{1 + x}{1 - x})$. તો $f(- x) = \log (\frac{1 - x}{1 + x}) = \log (\frac{1 + x}{1 - x})^{- 1} = - \log (\frac{1 + x}{1 - x}) = - f(x)$.
કારણ કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \log (\frac{1 + x}{1 - x}) dx = 0$.
હવે,$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx$ ધ્યાનમાં લો.
$x \in [- 1 / 2, 0)$ માટે,$[x] = - 1$.
$x \in [0, 1 / 2]$ માટે,$[x] = 0$.
આમ,$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} [x] dx = \int_{- 1 / 2}^{0} (- 1) dx + \int_{0}^{1 / 2} 0 dx = [- x]_{- 1 / 2}^{0} = 0 - (1 / 2) = - 1 / 2$.
તેથી,$I = - 1 / 2 + 0 = - 1 / 2$.

(B) આપેલ વક્ર $y = x|x|$ છે. આપણે તેને ટુકડાઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:
$y = \begin{cases} x^2 & \text{જો } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{જો } x < 0 \end{cases}$
આપણે $x = -1$ અને $x = 1$ ની વચ્ચે આ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ $-1$ થી $1$ સુધીના $y$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{0} |-x^2| dx + \int_{0}^{1} |x^2| dx$
$A = \int_{-1}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} x^2 dx$
સંકલનની ગણતરી કરતા:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$A = (0 - (-\frac{1}{3})) + (\frac{1}{3} - 0)$
$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) વક્ર $x^2+y^2=16$ અને રેખાઓ $x=2$ તથા $x=3$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_2^3 \sqrt{16-x^2} dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \left[\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + 8\sin^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)\right]_2^3$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{16-9} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\frac{2}{2}\sqrt{16-4} + 8\sin^{-1}\left(\frac{2}{4}\right)\right)$
$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\sqrt{12} + 8\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$
અહીં $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ અને $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ હોવાથી:
$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) - 2\sqrt{3} - 8\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$
આપેલ પદ $\left(3 \sqrt{7}-4 \sqrt{3}-\frac{8 \pi}{3}+k\right)$ સાથે સરખાવતા:
$A = \frac{1}{2} \left(3\sqrt{7} - 4\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3} + 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right)$
તેથી,$k = 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ મળે છે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$
$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x\frac{dy}{dx}$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે.
વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનનો ઘાતાંક $2$ છે,તેથી પરિમાણ $2$ છે.
આમ,કક્ષા $1$ અને પરિમાણ $2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x + 2y y^{\prime} = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y y^{\prime} = 0$ મળે છે.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y y^{\prime}$ પર ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y y^{\prime}) = 0$
$1 + (y y^{\prime \prime} + (y^{\prime}) \cdot y^{\prime}) = 0$
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 = 0$
આમ,સાચું વિકલ સમીકરણ $y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 + 1 = 0$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$.
આપણે તપાસીએ કે $y=3 \sin x+4 \cos x$ એ ઉકેલ છે કે નહીં.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x}=3 \cos x-4 \sin x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=-3 \sin x-4 \cos x$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+y = (-3 \sin x-4 \cos x) + (3 \sin x+4 \cos x) = 0$.
આમ,સમીકરણનું સમાધાન થાય છે,તેથી $y=3 \sin x+4 \cos x$ એ ઉકેલ છે.
વૈકલ્પિક રીત:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ $m^2+1=0$ છે,જે $m = \pm i$ આપે છે.
તેથી સામાન્ય ઉકેલ $y=c_1 \cos x+c_2 \sin x$ છે.
વિકલ્પ $A$ આ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $c_1=4$ અને $c_2=3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2 x \frac{d y}{d x} - y = 4$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2 x \frac{d y}{d x} = 4 + y$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{2}{4 + y} d y = \frac{1}{x} d x$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{2}{4 + y} d y = \int \frac{1}{x} d x$.
આનાથી $2 \ln |4 + y| = \ln |x| + C$ મળે છે,જ્યાં $C = \ln |c|$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\ln (4 + y)^2 = \ln |c x|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$(4 + y)^2 = c x$.
આ સમીકરણ $(y - k)^2 = 4 a (x - h)$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલયોનું કુટુંબ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=x+\frac{1}{x}$.
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ:
$f(x) = \int f^{\prime}(x) dx = \int \left(x + \frac{1}{x}\right) dx$.
સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \int x dx + \int \frac{1}{x} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રો $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ અને $\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{x^2}{2} + \log |x| + C$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^x \tan y \, dx + (1+e^x) \sec^2 y \, dy = 0$
પદોને ગોઠવતા: $e^x \tan y \, dx = -(1+e^x) \sec^2 y \, dy$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{e^x}{1+e^x} \, dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx = -\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy$
સૂત્ર $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln(1+e^x) = -\ln(\tan y) + \ln C$
$\ln(1+e^x) + \ln(\tan y) = \ln C$
$\ln[(1+e^x) \tan y] = \ln C$
$(1+e^x) \tan y = C$
વક્ર બિંદુ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=\frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$(1+e^0) \tan(\frac{\pi}{4}) = C$
$(1+1)(1) = C \implies C = 2$
આમ,વક્રનું સમીકરણ $(1+e^x) \tan y = 2$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{e^y} = e^x dx$
આને આ રીતે લખી શકાય: $e^{-y} dy = e^x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$
સંકલન કરતા: $-e^{-y} = e^x + C_1$
પદોને ગોઠવતા: $e^x + e^{-y} = -C_1$
ધારો કે $-C_1 = c$,તેથી અંતિમ ઉકેલ મળે છે: $e^x + e^{-y} = c$

(NONE) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^2}$ અને $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{\tan^{-1} x}$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y e^{\tan^{-1} x} = \int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{\tan^{-1} x} dx + C$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} x$,તેથી $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$.
$y e^{\tan^{-1} x} = \int e^{2t} dt + C = \frac{e^{2t}}{2} + C = \frac{e^{2 \tan^{-1} x}}{2} + C$.
આપેલ છે કે $y=1$ જ્યારે $x=0$: $1 \cdot e^0 = \frac{e^0}{2} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
આમ,$y e^{\tan^{-1} x} = \frac{e^{2 \tan^{-1} x} + 1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + xy$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = x(1+y)$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{1+y} = x dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1+y} = \int x dx$,જે $\ln(y+1) = \frac{x^2}{2} + C$ આપે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$y+1 = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$ મળે.
ધારો કે $e^C = A$,તેથી $y = A e^{\frac{x^2}{2}} - 1$.
વક્ર બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $1 = A e^0 - 1 \Rightarrow 1 = A - 1 \Rightarrow A = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = 2 e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(x^2+1\right) \frac{dy}{dx} + 4xy = \frac{1}{x^2+1}$
પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મેળવવા માટે $(x^2+1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{4x}{x^2+1}y = \frac{1}{(x^2+1)^2}$
અહીં,$P(x) = \frac{4x}{x^2+1}$ અને $Q(x) = \frac{1}{(x^2+1)^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા મળે છે:
$IF = e^{\int \frac{4x}{x^2+1} dx} = e^{2 \ln(x^2+1)} = e^{\ln(x^2+1)^2} = (x^2+1)^2$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે:
$y(x^2+1)^2 = \int \left( \frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot (x^2+1)^2 \right) dx + c$
$y(x^2+1)^2 = \int 1 dx + c$
$y(x^2+1)^2 = x + c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\tan x$ અને $Q=2x+x^2 \tan x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \sec x = \int (2x+x^2 \tan x) \sec x dx + C$.
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x \tan x dx + C$.
બીજા સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^2 \sec x \tan x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા: $y \sec x = \int 2x \sec x dx + x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx + C$.
$y \sec x = x^2 \sec x + C$,જેનું સાદું રૂપ $y = x^2 + C \cos x$ થાય છે.
$Y(0)=1$ આપેલ હોવાથી,$1 = 0^2 + C \cos(0) \implies C=1$.
તેથી,$Y(x) = x^2 + \cos x$.
હવે $Y'(x) = 2x - \sin x$.
$Y'(\frac{\pi}{4}) - Y'(-\frac{\pi}{4}) = (2(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) - (2(-\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4}))$.
$= (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $A_1$ એ પ્રથમ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_2$ એ બીજા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રથમ ચોરસની બાજુ $x$ આપેલ છે,તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = x^2$ થાય.
બીજા ચોરસની બાજુ $y = x - x^2$ આપેલ છે,તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = y^2 = (x - x^2)^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A_2 = x^2 - 2 x^3 + x^4$ મળે છે.
આપણે $A_1$ ની સાપેક્ષમાં $A_2$ માં થતો ફેરફારનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{d A_2}{d A_1}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d A_2}{d A_1} = \frac{d A_2 / d x}{d A_1 / d x}$ થાય.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d A_1}{d x} = \frac{d}{d x}(x^2) = 2 x$.
$\frac{d A_2}{d x} = \frac{d}{d x}(x^2 - 2 x^3 + x^4) = 2 x - 6 x^2 + 4 x^3$.
હવે,આ કિંમતોને ચેઈન રૂલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{d A_2}{d A_1} = \frac{2 x - 6 x^2 + 4 x^3}{2 x} = \frac{2 x(1 - 3 x + 2 x^2)}{2 x} = 1 - 3 x + 2 x^2$.