AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(3,-2,2)$ અને $B(6,-17,-4)$ છે. ધારો કે $P(2,3,4)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{6\lambda + 3}{\lambda + 1}$
$2\lambda + 2 = 6\lambda + 3$
$-4\lambda = 1 \implies \lambda = -\frac{1}{4}$.
$P$ નું હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $Q$ એ $AB$ ને $-\lambda : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $1 : 4$ ના ગુણોત્તરમાં.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ $Q$ ના યામ:
$Q = \left( \frac{1(6) + 4(3)}{1+4}, \frac{1(-17) + 4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4) + 4(2)}{1+4} \right)$
$Q = \left( \frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5} \right)$.

(D) ધારો કે $\triangle OAB$ ના શિરોબિંદુઓના યામ $O(0,0)$,$A(a, 0)$,અને $B(0, b)$ છે.
સળિયા $AB$ ની લંબાઈ $4$ હોવાથી,$a^2 + b^2 = 4^2 = 16$ થાય.
ધારો કે $(x, y)$ એ $\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
તેથી,$x = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3} \implies a = 3x$.
અને $y = \frac{0+0+b}{3} = \frac{b}{3} \implies b = 3y$.
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = 16$ માં મૂકતા,આપણને $(3x)^2 + (3y)^2 = 16$ મળે.
$9x^2 + 9y^2 = 16$.
$x^2 + y^2 = \frac{16}{9}$.
આમ,મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = \frac{16}{9}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+2 \sqrt{3} xy - y^2 = 8$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{3}$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે $(x, y)$ ને $(X, Y)$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે જ્યાં:
$x = \frac{X - \sqrt{3}Y}{2}$
$y = \frac{\sqrt{3}X + Y}{2}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{X - \sqrt{3}Y}{2}\right)^2 + 2 \sqrt{3} \left(\frac{X - \sqrt{3}Y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}X + Y}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}X + Y}{2}\right)^2 = 8$
સાદુરૂપ આપતા:
$X^2 - 2\sqrt{3}XY - Y^2 = 8$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $x^2 - 2\sqrt{3}xy - y^2 = 8$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(4, -5)$ અને નિશ્ચિત બિંદુ $Q(1, 3)$ છે.
બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $d$ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-8)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$.
અહીં $\sqrt{73} \approx 8.54$ હોવાથી,બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $10$ એકમ કરતા ઓછું છે.
બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું બિંદુ $Q$ થી લંબ અંતર હંમેશા $PQ$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.
અહીં $PQ < 10$ હોવાથી,$P$ માંથી પસાર થતી કોઈ પણ રેખા $Q$ થી $10$ એકમ અંતરે હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આવી રેખાઓની સંખ્યા $0$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$,$B(-1, -\sqrt{3})$ અને $C(3, -\sqrt{3})$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(-1-1)^2 + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
અહીં $AB = BC = AC = 4$ હોવાથી,આ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$.
$G = \left(\frac{1-1+3}{3}, \frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(D) ધારો કે $O$ લંબકેન્દ્ર $(3, -4, 2)$ છે અને $C$ પરિકેન્દ્ર $(2, 1, 3)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left(\frac{1(3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(1)}{1+2}, \frac{1(2) + 2(3)}{1+2}\right)$
$G = \left(\frac{3+4}{3}, \frac{-4+2}{3}, \frac{2+6}{3}\right)$
$G = \left(\frac{7}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{8}{3}\right)$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan A + \tan B + \tan C = \cot A + \cot B + \cot C$.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,$A + B + C = 180^{\circ}$.
આ શરતનું પાલન કરતા કોઈ વાસ્તવિક ત્રિકોણ શક્ય નથી.
તેથી,આવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે જે બિંદુઓ $A(2, 3)$ અને $B(4, 5)$ થી સમાન અંતરે છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ,$PA = PB$,તેથી $PA^2 = PB^2$.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ દૂર કરતા:
$-4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41$
પદોને ગોઠવતા:
$8x - 4x + 10y - 6y = 41 - 13$
$4x + 4y = 28$
$4$ વડે ભાગતા:
$x + y = 7$

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-6x+10y-2=0$ છે.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2-6x+9) + (y^2+10y+25) - 9 - 25 - 2 = 0$.
$(x-3)^2 + (y+5)^2 = 36$.
ઉગમબિંદુને $(3, -5)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવા માટે,આપણે $x = X+3$ અને $y = Y-5$ મૂકીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $X = x-3$ અને $Y = y+5$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $X^2 + Y^2 = 36$ મળે છે.
આમ,નવું સમીકરણ $x^2+y^2=36$ છે.

(B) જ્યારે ઉગમબિંદુને $(-1, 1)$ બિંદુ પર સ્થળાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે નવા યામ $(X, Y)$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$x = X - 1$
$y = Y + 1$
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $3x^2 + y^2 + 2x + 4y + 15 = 0$ માં મૂકતા:
$3(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 + 2(X - 1) + 4(Y + 1) + 15 = 0$
$3(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 2Y + 1) + 2X - 2 + 4Y + 4 + 15 = 0$
$3X^2 - 6X + 3 + Y^2 + 2Y + 1 + 2X - 2 + 4Y + 4 + 15 = 0$
$3X^2 + Y^2 - 4X + 6Y + 21 = 0$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $3x^2 + y^2 - 4x + 6y + 21 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખા $5x - 2y = 10$ છે.
બંને બાજુ $10$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{5x}{10} - \frac{2y}{10} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1$ થાય છે.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,અંતઃખંડો $a = 2$ અને $b = -5$ મળે છે.
અંતઃખંડોના વર્ગોનો સરવાળો $a^2 + b^2 = 2^2 + (-5)^2$ છે.
$= 4 + 25 = 29$.

(D) યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જે $x + y = a$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા $(-5, 6)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-5 + 6 = a$
$a = 1$
$a$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x + y = 1$ મળે છે.

(C) $m$ ઢાળ અને $c$ $y$-અંતઃખંડ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
અહીં $c = 4$ આપેલ છે,તેથી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + 4$ અથવા $mx - y + 4 = 0$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0$ અને $y_1 = 0$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|m(0) - (0) + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$.

(B) આપેલ રેખા $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = a$ છે,જેને $\frac{x}{\cos \theta} + \frac{y}{\sin \theta} = a$ તરીકે લખી શકાય.
$Ax + By + C = 0$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $Bx - Ay + k = 0$ છે.
તેથી,આપેલ રેખાને લંબ રેખા $x \operatorname{cosec} \theta - y \sec \theta + k = 0$ અથવા $\frac{x}{\sin \theta} - \frac{y}{\cos \theta} = -k$ છે.
આ રેખા બિંદુ $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી:
$\frac{a \cos^3 \theta}{\sin \theta} - \frac{a \sin^3 \theta}{\cos \theta} = -k$
$\frac{a(\cos^4 \theta - \sin^4 \theta)}{\sin \theta \cos \theta} = -k$
$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = \cos 2 \theta$ હોવાથી:
$\frac{a \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = -k$
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{\sin \theta} - \frac{y}{\cos \theta} = \frac{a \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$\sin \theta \cos \theta$ વડે ગુણતા:
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2 \theta$.

(A) આપેલ રેખા $x \cos \theta - y \sin \theta = 2 \cos 2 \theta$ છે.
તેનો ઢાળ $m_1 = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ થાય.
$(2 \cos^3 \theta, 2 \sin^3 \theta)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 2 \sin^3 \theta = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - 2 \cos^3 \theta)$
$y \cos \theta - 2 \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + 2 \cos^3 \theta \sin \theta$
$x \sin \theta + y \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી,
$x \sin \theta + y \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
બંને બાજુ $\sin \theta \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = 2$.

(B) રેખાનો ઢાળ $m = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta = 150^{\circ}$.
$m = \tan 150^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
બિંદુ $(-1, -1)$ અને $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ મૂકતા:
$y - (-1) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - (-1))$
$y + 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x + 1)$
$\sqrt{3}(y + 1) = -(x + 1)$
$\sqrt{3}y + \sqrt{3} = -x - 1$
$x + \sqrt{3}y + \sqrt{3} + 1 = 0$
આમ,સમીકરણ $x + \sqrt{3}y + (\sqrt{3} + 1) = 0$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(a+2b)x + (a-3b)y = a-b$ છે.
$a$ અને $b$ ના સહગુણકોને અલગ પાડતા:
$ax + 2bx + ay - 3by = a - b$
$a(x + y - 1) + b(2x - 3y + 1) = 0$
આ સમીકરણ $a$ અને $b$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y - 1 = 0$ $(i)$
$2x - 3y + 1 = 0$ (ii)
$(i)$ પરથી,$y = 1 - x$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$2x - 3(1 - x) + 1 = 0$
$5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$
$x = \frac{2}{5}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)$ છે.

(A) $A(-5,-4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+5}{\cos \theta} = \frac{y+4}{\sin \theta} = r$ લો.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-5+r\cos \theta, -4+r\sin \theta)$ છે.
$x+3y+2=0$ પરના બિંદુ $B$ માટે:
$(-5+r_1\cos \theta) + 3(-4+r_1\sin \theta) + 2 = 0$ $\Rightarrow r_1(\cos \theta + 3\sin \theta) = 15$ $\Rightarrow \frac{15}{r_1} = \cos \theta + 3\sin \theta \dots (i)$.
$2x+y+4=0$ પરના બિંદુ $C$ માટે:
$2(-5+r_2\cos \theta) + (-4+r_2\sin \theta) + 4 = 0$ $\Rightarrow r_2(2\cos \theta + \sin \theta) = 10$ $\Rightarrow \frac{10}{r_2} = 2\cos \theta + \sin \theta \dots (ii)$.
$x-y-5=0$ પરના બિંદુ $D$ માટે:
$(-5+r_3\cos \theta) - (-4+r_3\sin \theta) - 5 = 0$ $\Rightarrow r_3(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ $\Rightarrow \frac{6}{r_3} = \cos \theta - \sin \theta \dots (iii)$.
આપેલ છે કે $\left(\frac{15}{AB}\right)^2 + \left(\frac{10}{AC}\right)^2 = \left(\frac{6}{AD}\right)^2$,તેથી:
$(\cos \theta + 3\sin \theta)^2 + (2\cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$.
$4\cos^2 \theta + 9\sin^2 \theta + 12\sin \theta \cos \theta = 0$.
$(2\cos \theta + 3\sin \theta)^2 = 0 \Rightarrow \tan \theta = -\frac{2}{3}$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $2x + 3y + 22 = 0$ મળે છે.

(B) રેખા $x/a - y/b = 1$ એ $(8, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $8/a - 6/b = 1$ . . . $(i)$.
અંત:ખંડો $(a, 0)$ અને $(0, -b)$ છે. અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $1/2 \times |a| \times |-b| = 12$ છે,તેથી $|ab| = 24$,જેનો અર્થ છે કે $ab = 24$ અથવા $ab = -24$.
કિસ્સો $1$: $b = 24/a$. $(i)$ માં મૂકતા: $8/a - 6/(24/a) = 1 \implies 8/a - a/4 = 1 \implies 32 - a^2 = 4a \implies a^2 + 4a - 32 = 0 \implies (a+8)(a-4) = 0$.
જો $a = 4$,તો $b = 6$. રેખા $x/4 - y/6 = 1 \implies 3x - 2y = 12 \implies 3x - 2y - 12 = 0$.
જો $a = -8$,તો $b = -3$. રેખા $x/(-8) - y/(-3) = 1 \implies -x/8 + y/3 = 1 \implies -3x + 8y = 24 \implies 3x - 8y + 24 = 0$.
આમ,સમીકરણો $3x - 2y - 12 = 0$ અને $3x - 8y + 24 = 0$ છે.

(A) બિંદુ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - 2) = 1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 1 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $Q$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ:
$x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = x + 1$
$3x + 4y + 5 = 0$
બીજા સમીકરણમાં $y = x + 1$ મૂકતા:
$3x + 4(x + 1) + 5 = 0$
$3x + 4x + 4 + 5 = 0$
$7x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{7}$
તેથી $y = -\frac{9}{7} + 1 = -\frac{2}{7}$.
આમ,$Q = \left(-\frac{9}{7}, -\frac{2}{7}\right)$.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $PQ$ ની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{\left(1 - (-\frac{9}{7})\right)^2 + \left(2 - (-\frac{2}{7})\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\left(\frac{16}{7}\right)^2 + \left(\frac{16}{7}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{2 \times \left(\frac{16}{7}\right)^2} = \frac{16\sqrt{2}}{7}$ એકમ.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $px - qy = r$ છે.
રેખા $x$-અક્ષને $(a, 0)$ માં છેદે છે,તેથી $x = a$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$p(a) - q(0) = r$ $\Rightarrow pa = r$ $\Rightarrow a = \frac{r}{p}$.
રેખા $y$-અક્ષને $(0, b)$ માં છેદે છે,તેથી $x = 0$ અને $y = b$ મૂકતા:
$p(0) - q(b) = r$ $\Rightarrow -qb = r$ $\Rightarrow b = -\frac{r}{q}$.
તેથી,$(a + b)$ ની કિંમત:
$a + b = \frac{r}{p} - \frac{r}{q} = \frac{rq - rp}{pq} = \frac{r(q - p)}{pq}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ રેખા $3x + 5y = 15$ પર છે.
બિંદુ $P$ યામ અક્ષોથી સમાન અંતરે હોવાથી,$|h| = |k|$,જેનો અર્થ છે કે $h = k$ અથવા $h = -k$.
કિસ્સો $1$: જો $h = k$ હોય,તો $3h + 5h = 15$ $\Rightarrow 8h = 15$ $\Rightarrow h = \frac{15}{8}$. આમ,$P = (\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$,જે પ્રથમ ચરણમાં છે.
કિસ્સો $2$: જો $h = -k$ હોય,તો $3h + 5(-h) = 15$ $\Rightarrow -2h = 15$ $\Rightarrow h = -\frac{15}{2}$. આમ,$k = \frac{15}{2}$,અને $P = (-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$,જે બીજા ચરણમાં છે.
તેથી,$P$ પ્રથમ અથવા બીજા ચરણમાં આવેલું છે.

(B) વ્યક્તિ $2x - 3y + 4 = 0$ અને $3x + 4y - 5 = 0$ રેખાઓના છેદબિંદુ પર ઉભી છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $A = (-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ મળે છે.
$6x - 7y + 8 = 0$ રસ્તા પર ઓછામાં ઓછા સમયમાં પહોંચવા માટે,વ્યક્તિએ લંબ રેખા પર ચાલવું જોઈએ.
આપેલ રસ્તાનો ઢાળ $m_1 = \frac{6}{7}$ છે.
તેથી લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{7}{6}$ થશે.
$(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{7}{6}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17})$
$119x + 102y - 125 = 0$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$l_1: 3x + 4y + 9 = 0$ ...$(i)$
$l_2: x - 7y - 22 = 0$ ...(ii)
રેખા $l_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
રેખા $l_2$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{7}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{-\frac{3}{4} - \frac{1}{7}}{1 + (-\frac{3}{4})(\frac{1}{7})} \right| = 1$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ રેખા $2x + 3y = 6$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = -2/3$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ આ રેખા સાથે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી તે રેખાઓ આપેલ રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)|$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $m_1 = -2/3$ લેતા:
$1 = |(m - (-2/3)) / (1 + m(-2/3))| = |(3m + 2) / (3 - 2m)|$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $(3m + 2) / (3 - 2m) = 1$ $\Rightarrow 3m + 2 = 3 - 2m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
રેખાનું સમીકરણ $y = (1/5)x \Rightarrow x - 5y = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $(3m + 2) / (3 - 2m) = -1$ $\Rightarrow 3m + 2 = -3 + 2m$ $\Rightarrow m = -5$.
રેખાનું સમીકરણ $y = -5x \Rightarrow 5x + y = 0$ છે.
આમ,રેખાઓ $x - 5y = 0$ અને $5x + y = 0$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, k)$,$B(3, 7)$,$C(-2, 1)$ અને $D(3, 0)$ છે.
રેખા $AB$ એ રેખા $CD$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હશે,એટલે કે $m_{AB} = m_{CD}$.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા મળે છે.
$m_{AB} = \frac{7 - k}{3 - 2} = \frac{7 - k}{1} = 7 - k$.
$m_{CD} = \frac{0 - 1}{3 - (-2)} = \frac{-1}{3 + 2} = \frac{-1}{5}$.
ઢાળને સરખાવતા: $7 - k = \frac{-1}{5}$.
$35 - 5k = -1$.
$5k = 36$.
$k = \frac{36}{5}$.

(D) ધારો કે $ABCD$ એક ચોરસ છે જ્યાં $A \equiv (1,3)$ અને $C \equiv (7,5)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{5-3}{7-1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે બાજુ $AB$ નો ઢાળ $m$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ બાજુઓ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\left| \frac{m - 1/3}{1 + m(1/3)} \right| = \tan 45^{\circ} = 1$.
$\left| \frac{3m-1}{3+m} \right| = 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{3m-1}{3+m} = 1$ $\Rightarrow 3m-1 = 3+m$ $\Rightarrow 2m = 4$ $\Rightarrow m = 2$.
$A(1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $m=2$ ઢાળ ધરાવતી બાજુનું સમીકરણ $y-3 = 2(x-1)$ $\Rightarrow y-3 = 2x-2$ $\Rightarrow 2x-y+1 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{3m-1}{3+m} = -1$ $\Rightarrow 3m-1 = -3-m$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -1/2$.
$A(1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $m=-1/2$ ઢાળ ધરાવતી બાજુનું સમીકરણ $y-3 = -1/2(x-1)$ $\Rightarrow 2y-6 = -x+1$ $\Rightarrow x+2y-7 = 0$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2x-y+1=0$ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $(3,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે અને $x-2y=3$ નો ઢાળ $m_2$ છે.
$m_2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
$1 = \left| \frac{m_1 - 1/2}{1 + m_1/2} \right| = \left| \frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} = 1$ $\Rightarrow 2m_1 - 1 = 2 + m_1$ $\Rightarrow m_1 = 3$.
સમીકરણ $y - 2 = 3(x - 3)$ $\Rightarrow y - 2 = 3x - 9$ $\Rightarrow 3x - y = 7$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} = -1$ $\Rightarrow 2m_1 - 1 = -2 - m_1$ $\Rightarrow 3m_1 = -1$ $\Rightarrow m_1 = -1/3$.
સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 3)$ $\Rightarrow 3y - 6 = -x + 3$ $\Rightarrow x + 3y = 9$ છે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $3x - y = 7$ અને $x + 3y = 9$ છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓની જોડી પરના લંબનો ગુણાકાર $p = \left| \frac{c}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$xy+x+y+1=0$ માટે:
$a=0, b=0, h=1/2, c=1$.
$p_1 = \left| \frac{1}{\sqrt{(0-0)^2 + 4(1/2)^2}} \right| = 1$.
$x^2-y^2+2x+1=0$ માટે:
$a=1, b=-1, h=0, c=1$.
$p_2 = \left| \frac{1}{\sqrt{(1-(-1))^2 + 4(0)^2}} \right| = 1/2$.
$2x^2+3xy-2y^2+2x+1=0$ માટે:
$a=2, b=-2, h=3/2, c=1$.
$p_3 = \left| \frac{1}{\sqrt{(2-(-2))^2 + 4(3/2)^2}} \right| = 1/5$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $1/5 < 1/2 < 1$,એટલે કે $p_3 < p_2 < p_1$.

(B) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y + 1 = 0$,અને $L_3: ax + by - 1 = 0$ છે. લંબકેન્દ્ર $(0, 0)$ પર છે.
લંબકેન્દ્ર એ વેધનું છેદબિંદુ હોવાથી,શિરોબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતો વેધ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_3$ ને લંબ છે. $B$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ $(2x + 3y - 1) + \lambda(x + 2y + 1) = 0$ છે. તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$-1 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$. વેધનું સમીકરણ $3x + 5y = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m = -\frac{3}{5}$ છે. આ $L_3$ (ઢાળ $-\frac{a}{b}$) ને લંબ હોવાથી,$(-\frac{a}{b}) \times (-\frac{3}{5}) = -1 \Rightarrow 3a = -5b$.
તે જ રીતે,શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતો વેધ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_2$ (ઢાળ $-\frac{1}{2}$) ને લંબ છે. $A$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ $(2x + 3y - 1) + \mu(ax + by - 1) = 0$ છે. તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$-1 - \mu = 0 \Rightarrow \mu = -1$. વેધનું સમીકરણ $(2-a)x + (3-b)y = 0$ છે,જેનો ઢાળ $-\frac{2-a}{3-b}$ છે. આ $L_2$ ને લંબ હોવાથી,$(-\frac{2-a}{3-b}) \times (-\frac{1}{2}) = -1$ $\Rightarrow 2-a = -2(3-b)$ $\Rightarrow a + 2b = 8$.
$3a = -5b$ અને $a + 2b = 8$ ઉકેલતા,આપણને $a = -40$ અને $b = 24$ મળે છે. આમ,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -\frac{1}{40} + \frac{1}{24} = \frac{-3 + 5}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$,$B(-1, -2, 1)$ અને $C(5, 8, 7)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે ચકાસીએ કે બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં.
$AB = \sqrt{(-1-2)^2 + (-2-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$.
$BC = \sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-2))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{36 + 100 + 36} = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$.
$AC = \sqrt{(5-2)^2 + (8-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$.
અહીં $AB + AC = \sqrt{43} + \sqrt{43} = 2\sqrt{43} = BC$ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ છે.

(C) સમીકરણ $|x+y|=4$ એ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $x+y=4$ અને $x+y=-4$.
બિંદુ $(a, a)$ આ બે રેખાઓની વચ્ચે આવેલું હોવા માટે,$(a, a)$ પર પદ $(x+y)$ ની કિંમત $-4$ અને $4$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
$(a, a)$ ને $x+y$ માં મૂકતા,આપણને $a+a = 2a$ મળે છે.
તેથી,શરત $-4 < 2a < 4$ છે.
અસમતાને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $-2 < a < 2$ મળે છે.
જે $|a| < 2$ ને સમાન છે.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $BC$ એ $x+y-2=0$ છે અને શિરોબિંદુ $A$ એ $(2,-1)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ થી પાયા $BC$ પરના વેધ $h$ ની લંબાઈ એ $(2,-1)$ થી $x+y-2=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$h = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$s$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}s$.
$s = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(C) $3x - y = 7$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $3x - y = \lambda$ ધારો.
તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3(1) - 2 = \lambda \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,રેખા $3x - y = 1$ છે.
હવે,$x + y + 5 = 0$ અને $3x - y = 1$ નું છેદબિંદુ શોધો.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4x + 5 = 1$ $\Rightarrow 4x = -4$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $x + y + 5 = 0$ માં મૂકતા: $-1 + y + 5 = 0 \Rightarrow y = -4$.
તેથી,છેદબિંદુ $(-1, -4)$ છે.
જરૂરી અંતર એ $(1, 2)$ અને $(-1, -4)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ: $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.

(C) ધારો કે રેખા $4x - y - 1 = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(3, -4)$ નું પ્રતિબિંબ $P(\alpha, \beta)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $ax + by + c = 0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ મેળવવાનું સૂત્ર: $\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\alpha - 3}{4} = \frac{\beta + 4}{-1} = \frac{-2(4(3) - (-4) - 1)}{4^2 + (-1)^2} = \frac{-30}{17}$.
$\alpha$ માટે:
$\alpha = 3 - \frac{120}{17} = \frac{-69}{17}$.
$\beta$ માટે:
$\beta = \frac{30}{17} - 4 = \frac{-38}{17}$.
તેથી,$\beta - \alpha = \frac{-38}{17} - (\frac{-69}{17}) = \frac{31}{17}$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $15 x^2 + 31 x y + 14 y^2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડતા: $15 x^2 + 10 x y + 21 x y + 14 y^2 = 0$ $\Rightarrow 5 x(3 x + 2 y) + 7 y(3 x + 2 y) = 0$ $\Rightarrow (3 x + 2 y)(5 x + 7 y) = 0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: 3 x + 2 y = 0$ અને $L_2: 5 x + 7 y = 0$ છે.
$(2,3)$ થી $3 x + 2 y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d_1 = \frac{|3(2) + 2(3)|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ છે.
$(2,3)$ થી $5 x + 7 y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d_2 = \frac{|5(2) + 7(3)|}{\sqrt{5^2 + 7^2}} = \frac{31}{\sqrt{74}}$ છે.
$p_1 > p_2$ હોવાથી,$p_1 = \frac{31}{\sqrt{74}}$ અને $p_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ મળે.
હવે,$p_1^2 + \frac{1}{74} - p_2^2 + \frac{1}{13} = \frac{31^2}{74} + \frac{1}{74} - \frac{12^2}{13} + \frac{1}{13} = \frac{962}{74} - \frac{143}{13} = 13 - 11 = 2$.

(C) ધારો કે $LM$ એ $PQ$ નો $R$ આગળનો લંબદ્વિભાજક છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ નીચે મુજબ છે:
$R = \left(\frac{1+k}{2}, \frac{4+3}{2}\right) = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$
$PQ$ નો ઢાળ:
$m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$
$LM$ એ $PQ$ ને લંબ હોવાથી,$LM$ નો ઢાળ $(m_{LM})$:
$m_{LM} = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{1}{-1/(k-1)} = k-1$
$LM$ રેખાનું સમીકરણ,જેનો ઢાળ $(k-1)$ અને $y$-અંતઃખંડ $-4$ છે:
$y = (k-1)x - 4$
લંબદ્વિભાજક મધ્યબિંદુ $R\left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$\frac{7}{2} = (k-1)\left(\frac{k+1}{2}\right) - 4$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$7 = (k-1)(k+1) - 8$
$7 = k^2 - 1 - 8$
$7 = k^2 - 9$
$k^2 = 16$
$k = \pm 4$
આમ,$k$ ની એક શક્ય કિંમત $-4$ છે.

(B) રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $6x + 8y = 15$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે તેમને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં લખીએ.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $3x + 4y = 7.5$ અથવા $3x + 4y - 7.5 = 0$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણ $3x + 4y - 9 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -9$,અને $c_2 = -7.5$ છે.
$d = \left| \frac{-9 - (-7.5)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{-1.5}{5} \right| = \frac{3}{10} \text{ એકમ}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $8x^2+8xy+2y^2+26x+13y+15=0$ છે ...$(i)$
આ સમીકરણને $2(4x^2+4xy+y^2)+13(2x+y)+15=0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $2x+y=t$. તો સમીકરણ $2t^2+13t+15=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $2t^2+10t+3t+15=0 \Rightarrow 2t(t+5)+3(t+5)=0$.
તેથી,$(2t+3)(t+5)=0$.
$t=2x+y$ મૂકતા,આપણને $(2(2x+y)+3)(2x+y+5)=0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(4x+2y+3)(2x+y+5)=0$ થાય છે.
આમ,બે રેખાઓ $4x+2y+3=0$ અને $2x+y+5=0$ છે.
પ્રથમ રેખાને $2$ વડે ભાગતા,$2x+y+1.5=0$ મળે છે.
સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$A=2, B=1, C_1=5, C_2=1.5$.
$d = \frac{|5-1.5|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{3.5}{\sqrt{5}} = \frac{7}{2\sqrt{5}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+2xy+y^2-8ax-8ay-9a^2=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=1, H=1, G=-4a, F=-4a, C=-9a^2$ મળે છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \sqrt{\frac{G^2-AC}{A(A+B)}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = 2 \sqrt{\frac{(-4a)^2 - (1)(-9a^2)}{1(1+1)}}$
$d = 2 \sqrt{\frac{16a^2 + 9a^2}{2}}$
$d = 2 \sqrt{\frac{25a^2}{2}} = 2 \times \frac{5a}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}a$.
આમ,અંતર $5\sqrt{2}a$ એકમ છે.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $BC$ છે,જ્યાં $B \equiv (3, 2)$ અને $C \equiv (2, 3)$ છે.
નોંધો કે બિંદુઓ $B(3, 2)$ અને $C(2, 3)$ એ રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,શિરોબિંદુ $A$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ. $(3, 2)$ અને $(2, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક રેખા $y = x$ છે.
આખી રચના રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,રેખા $AC$ એ રેખા $AB$ નું રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે.
રેખા $3y = 2x$ નું $y = x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરીએ છીએ.
$x$ ની જગ્યાએ $y$ અને $y$ ની જગ્યાએ $x$ મૂકતા,આપણને $3x = 2y$ મળે છે,જે $2y = 3x$ છે.
આમ,રેખા $AC$ નું સમીકરણ $2y = 3x$ છે.

(A) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(1, 2)$ છે અને બાહ્ય બિંદુ $Q(3, 1)$ છે.
આપણે $P$ માંથી પસાર થતી એવી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેનું $Q$ થી લંબ અંતર મહત્તમ હોય.
બિંદુ $Q$ થી $P$ માંથી પસાર થતી રેખાનું લંબ અંતર હંમેશા $PQ$ અંતર કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે રેખા $P$ બિંદુએ $PQ$ રેખાખંડને લંબ હોય.
ધારો કે રેખા $L$ છે. $L \perp PQ$ હોવાથી,$L$ નો ઢાળ $PQ$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી થશે.
$PQ$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = \frac{-1}{2}$.
તેથી,રેખા $L$ નો ઢાળ $m = -(\frac{1}{-1/2}) = 2$ થશે.
$(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $2$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 2 = 2(x - 1)$
$y - 2 = 2x - 2$
$y = 2x$.

(C) ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ રેખા $2x + 3y + 7 = 0$ પરનું બિંદુ છે.
તેથી $2\alpha + 3\beta + 7 = 0$,એટલે કે $\beta = \frac{-7-2\alpha}{3}$.
બિંદુ $P$ એ $\left(\alpha, \frac{-7-2\alpha}{3}\right)$ છે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ અને $A(1, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $3$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(\alpha - 1)^2 + \left(\frac{-7-2\alpha}{3} + 3\right)^2 = 3^2$.
ગણતરી કરતા,$(\alpha - 1)^2 = \frac{81}{13}$ મળે છે.
તેથી $\alpha = 1 \pm \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13} \pm 9}{\sqrt{13}}$.
જ્યારે $\alpha = \frac{\sqrt{13}-9}{\sqrt{13}}$ હોય,ત્યારે $\beta = \frac{-3\sqrt{13} + 6}{\sqrt{13}}$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{\sqrt{13}-9}{\sqrt{13}}, \frac{-3\sqrt{13}+6}{\sqrt{13}}\right)$ છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે છે.
નવા યામ $(x', y')$ છે.
તેથી $x = x' + h$ અને $y = y' + k$.
આ કિંમતો સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 + 10x + 12y + 1 = 0$ માં મૂકતા:
$9(x' + h)^2 + 4(y' + k)^2 + 10(x' + h) + 12(y' + k) + 1 = 0$
$x'$ અને $y'$ ના પદો દૂર કરવા માટે,તેમના સહગુણકોને શૂન્ય લેતા:
$18h + 10 = 0 \implies h = -\frac{5}{9}$
$8k + 12 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$
આમ,ઉગમબિંદુને $\left(-\frac{5}{9}, -\frac{3}{2}\right)$ પર ખસેડવું જોઈએ.

(D) ધારો કે $2x^2 + axy + 3y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m_1$ છે. તેથી $m + m_1 = -a/3$ અને $mm_1 = 2/3$.
ધારો કે $2x^2 + bxy - 3y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m_2$ છે. તેથી $m + m_2 = b/3$ અને $mm_2 = -2/3$.
બાકીની બે રેખાઓ લંબ હોવાથી,$m_1m_2 = -1$.
ઢાળના ગુણાકારનો ભાગાકાર કરતા: $(mm_1) / (mm_2) = (2/3) / (-2/3) = -1$.
આમ,$m_1 / m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $m_1 = -m_2$ અથવા $m_1 + m_2 = 0$.
$mm_1 = 2/3$ અને $mm_2 = -2/3$ પરથી,$m_1 = 2/(3m)$ અને $m_2 = -2/(3m)$ મળે.
$m_1m_2 = -1$ માં મૂકતા: $(2/(3m)) \times (-2/(3m)) = -1$ $\Rightarrow -4/(9m^2) = -1$ $\Rightarrow m^2 = 4/9$ $\Rightarrow m = 2/3$.
તેથી $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$.
$m + m_1 = -a/3$ નો ઉપયોગ કરતા: $2/3 + 1 = -a/3 \Rightarrow a = -5$.
$m + m_2 = b/3$ નો ઉપયોગ કરતા: $2/3 - 1 = b/3 \Rightarrow b = -1$.

(D) જો રેખાઓ સંગામી હોય,તો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left| \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -k \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(-k - 2) + 1(-4k - 2) + 1(4 - 1) = 0$
$-2k - 4 - 4k - 2 + 3 = 0$
$-6k - 3 = 0$
$-6k = 3$
$k = -\frac{1}{2}$

(A) રેખા $2x + 3y + 4 = 0$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
પ્રથમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ રેખા પર આવેલું છે:
$M = (\frac{1+\alpha}{2}, \frac{2+\beta}{2})$
$2(\frac{1+\alpha}{2}) + 3(\frac{2+\beta}{2}) + 4 = 0$
$2\alpha + 3\beta + 16 = 0$ ... $(i)$
બીજું,$AB$ નો ઢાળ આપેલી રેખાના ઢાળ $(-2/3)$ ને લંબ છે:
$\frac{\beta - 2}{\alpha - 1} \times (-\frac{2}{3}) = -1$
$3\alpha - 2\beta + 1 = 0$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$13\alpha = -35$ અને $\beta = -\frac{46}{13}$
તેથી,$13\alpha + 13\beta = -35 - 46 = -81$.

(C) આપેલ રેખા $ax + by + c = 0$ છે.
$a, b,$ અને $c$ ત્રણ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$b - a = c - b$,જેનો અર્થ છે કે $c = 2b - a$.
રેખાના સમીકરણમાં $c$ ની કિંમત મૂકતા: $ax + by + (2b - a) = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $a(x - 1) + b(y + 2) = 0$.
આ રેખા હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય તે માટે:
$\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$ અને $\beta + 2 = 0 \Rightarrow \beta = -2$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(C) બાજુ $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{8-7}{-7-4} = \frac{1}{-11} = -\frac{1}{11}$ છે.
લંબદ્વિભાજક એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times m_{AB} = -1$ મુજબ $m = 11$ થશે.
બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $D$ એ $\left(\frac{4+(-7)}{2}, \frac{7+8}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ છે.
બિંદુ $D\left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ માંથી પસાર થતી અને $m=11$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - \frac{15}{2} = 11\left(x - (-\frac{3}{2}\right))$
$y - \frac{15}{2} = 11\left(x + \frac{3}{2}\right)$
$y - \frac{15}{2} = 11x + \frac{33}{2}$
$11x - y + \frac{33}{2} + \frac{15}{2} = 0$
$11x - y + \frac{48}{2} = 0$
$11x - y + 24 = 0$.

(D) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
$(x, y)$ અને $(3, -2)$ વચ્ચેનું અંતર $4$ એકમ આપેલું છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{(x-3)^2 + (y-(-2))^2} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 16$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 16$.
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ છે.

(A) ધારો કે $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $\Delta r$ એ ત્રિજ્યા માપવામાં થતી ભૂલ છે。
આપેલ છે કે, $r = 9 \ cm$ અને $\Delta r = 0.03 \ cm$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં આશરે ભૂલ શોધવા માટે, આપણે $S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$.
વિકલન અંદાજનો ઉપયોગ કરતા, $\Delta S \approx \frac{dS}{dr} \times \Delta r$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta S = 8 \pi \times 9 \times 0.03$.
$\Delta S = 72 \pi \times 0.03 = 2.16 \pi \ cm^2$.
આમ, સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં થતી આશરે ભૂલ $2.16 \pi \ cm^2$ છે।

(D) ધારો કે $D$ વ્યાસ છે,$r$ ત્રિજ્યા છે અને $h$ લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે $D = 10 \ cm$,તેથી $r = 5 \ cm$.
આપેલ છે $h = 20 \ cm$.
વ્યાસમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dD}{dt} = 2 \ cm/s$ છે.
$D = 2r$ હોવાથી,$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dD}{dt} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \ cm/s$ મળે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
ઘનફળ અચળ રાખવા માટે,$\frac{dV}{dt} = 0$ હોવું જોઈએ.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $2(5)(20)(1) + (5)^2 \frac{dh}{dt} = 0$.
$200 + 25 \frac{dh}{dt} = 0$.
$25 \frac{dh}{dt} = -200$.
$\frac{dh}{dt} = -8 \ cm/s$.
આમ,ઊંચાઈ $-8 \ cm/s$ ના દરે બદલાવી જોઈએ.

(D) ધારો કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $r_0 = 10 \ cm$ છે અને બરફના પડની જાડાઈ $x \ cm$ છે. ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા (લોખંડનો દડો + બરફ) $R = 10 + x \ cm$ છે.
બરફના પડનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ છે.
લોખંડનો દડો અચળ હોવાથી,કુલ કદમાં થતો ફેરફાર એ બરફના કદમાં થતા ફેરફાર જેટલો જ છે.
$V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10+x)^2 \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = -50 \ cm^3/min$ (કારણ કે તે ઓગળે છે) અને $x = 5 \ cm$:
$-50 = 4\pi (10+5)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (225) \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \ cm/min$.
ઋણ નિશાની જાડાઈમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
તેથી,જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \ cm/min$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $v$ એ ઘનફળ છે અને $s$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $\frac{dv}{dt} = 30 \ cm^3/min$.
ગોળાનું ઘનફળ $v = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $30 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{30}{4 \pi r^2} = \frac{15}{2 \pi r^2}$.
ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $s = 4 \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{ds}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{ds}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{15}{2 \pi r^2} \right) = \frac{60}{r}$.
$r = 6 \ cm$ માટે: $\frac{ds}{dt} = \frac{60}{6} = 10 \ cm^2/min$.

(A) આપેલ છે,$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
$l$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{T} \frac{dT}{dl} = \frac{1}{2l}$.
આમ,સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $1 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dl}{l} \times 100 = 1 \%$ છે.
તેથી,આવર્તકાળમાં ટકાવારી ફેરફાર $\frac{dT}{T} \times 100 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{dl}{l} \times 100 \right) = \frac{1}{2} \times 1 \% = 0.5 \%$ છે.
આમ,આવર્તકાળમાં આશરે ફેરફાર $0.5 \%$ છે.

(B) આપેલ છે,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ ...$(i)$
આપણે $\frac{dr}{dt}$ શોધવાનું છે જ્યારે $V = 288 \pi \text{ cm}^3$ હોય.
ધારો કે $r$ એ ગોળાકાર દડાની ત્રિજ્યા છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આપેલ દર $\frac{dV}{dt} = 4 \pi$ મૂકતા:
$4 \pi = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$ ...(ii)
જ્યારે $V = 288 \pi$ હોય,ત્યારે:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$.
તેથી,$r = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$.
સમીકરણ (ii) માં $r = 6$ મૂકતા:
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \text{ cm/s}$.

(C) આપેલ વક્ર $y = 5x - 2x^3$ છે.
વક્રનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 5 - 6x^2$ દ્વારા મળે છે.
આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ઢાળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dm}{dt}$ શોધવાનો છે.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $m$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dm}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 6x^2) = -12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$ અને આપણે $x = 3$ આગળ કિંમત શોધવાની છે:
$\left(\frac{dm}{dt}\right)_{x=3} = -12(3) \times 2 = -72$.
આમ,$x = 3$ આગળ ઢાળમાં થતો ફેરફારનો દર $-72 \text{ units/sec}^2$ છે.

(D) આપેલ અંતર વિધેય $s = 60t - 5t^2$ છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(60t - 5t^2) = 60 - 10t$.
જ્યારે વેગ $v = 0$ થાય ત્યારે કણ સ્થિર થાય છે.
$60 - 10t = 0$ લેતા,આપણને $10t = 60$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = 6 \text{ s}$.
હવે,$t = 6 \text{ s}$ પર કપાયેલું અંતર શોધીએ:
$s(6) = 60(6) - 5(6)^2$
$s(6) = 360 - 5(36)$
$s(6) = 360 - 180 = 180 \text{ એકમ}$.
આમ,સ્થિર થતા પહેલા કપાયેલું અંતર $180 \text{ એકમ}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $y = f(x) = 5x^2 + 6x + 6$,$x = 2$ અને $\Delta x = 0.001$.
પ્રથમ,વિકલન $dy$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = 10x + 6$
$dy = \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x = (10x + 6) \Delta x$
$x = 2$ અને $\Delta x = 0.001$ મુકતા:
$dy = (10(2) + 6)(0.001) = (26)(0.001) = 0.026$.
હવે,વૃદ્ધિ $\Delta y$ શોધો:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$
$\Delta y = [5(x + \Delta x)^2 + 6(x + \Delta x) + 6] - [5x^2 + 6x + 6]$
$\Delta y = 5(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 6x + 6\Delta x + 6 - 5x^2 - 6x - 6$
$\Delta y = 10x\Delta x + 5(\Delta x)^2 + 6\Delta x$
$x = 2$ અને $\Delta x = 0.001$ મુકતા:
$\Delta y = 10(2)(0.001) + 5(0.001)^2 + 6(0.001)$
$\Delta y = 0.020 + 0.000005 + 0.006 = 0.026005$.
આમ,$\Delta y = 0.026005$ અને $dy = 0.026$.

(A) આપેલ વક્ર $y = 8x^2 - x^4 - 4$ છે.
સ્થિર બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિધેયનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 16x - 4x^3$.
સ્થિર બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $\frac{dy}{dx} = 0$ હોય:
$16x - 4x^3 = 0$
$4x(4 - x^2) = 0$
આનાથી $x = 0$ અથવા $x^2 = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = 0, 2, -2$.
હવે,આપણે અનુરૂપ $y$-કિંમતો શોધીએ:
$x = 0$ માટે: $y = 8(0)^2 - (0)^4 - 4 = -4$.
$x = 2$ માટે: $y = 8(2)^2 - (2)^4 - 4 = 8(4) - 16 - 4 = 32 - 20 = 12$.
$x = -2$ માટે: $y = 8(-2)^2 - (-2)^4 - 4 = 8(4) - 16 - 4 = 32 - 20 = 12$.
આમ,સ્થિર બિંદુઓ $(0, -4), (2, 12), (-2, 12)$ છે.

(A) $(i)$ આપેલ છે $f(x) = x|x|$. જો $x > 0$ હોય,તો $f(x) = x^2$,તેથી $f'(x) = 2x > 0$. જો $x < 0$ હોય,તો $f(x) = -x^2$,તેથી $f'(x) = -2x > 0$. આમ,દરેક $x \in R - \{0\}$ માટે $f'(x) > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(ii)$ આપેલ છે $f(x) = \log_{1/4} (x)$. આધાર $1/4 < 1$ હોવાથી,લઘુગણકીય વિધેય $(0, \infty)$ પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે. આ વિધાન ખોટું છે.
$(iii)$ એક-એક વિધેય ચુસ્ત વધતું,ચુસ્ત ઘટતું અથવા બંનેમાંથી એક પણ ન હોઈ શકે (દા.ત.,$f(x) = 1/x$ એક-એક છે પણ એકવિધ નથી). આ વિધાન ખોટું છે.
$(iv)$ આપેલ છે $f(x) = x^{1/3}$. $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} > 0$ દરેક $x \neq 0$ માટે. તેથી,તે $R$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે. આ વિધાન ખોટું છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = -x^3 + 4ax^2 + 2x - 5$ છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે ચકાસવા માટે આપણે તેનું વિકલન કરીએ: $f'(x) = -3x^2 + 8ax + 2$.
વિધેય દરેક $x$ માટે ઘટતું હોય તે માટે $f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
આથી $-3x^2 + 8ax + 2 < 0$ દરેક $x$ માટે થવું જોઈએ.
દ્વિઘાત પદાવલિ $Ax^2 + Bx + C$ દરેક $x$ માટે ઋણ હોય તે માટેની શરતો $A < 0$ અને વિવેચક $\Delta = B^2 - 4AC < 0$ છે.
અહીં $A = -3 < 0$ છે.
વિવેચક $\Delta = (8a)^2 - 4(-3)(2) = 64a^2 + 24$ મળે છે.
$64a^2 + 24$ એ $a$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે હંમેશા ધન જ રહે છે,તેથી $\Delta < 0$ ની શરત ક્યારેય સંતોષાતી નથી.
આમ,$a$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે વિધેય દરેક $x$ માટે ઘટતું હોય.

(D) આપેલ છે કે $f''(x) > 0$ તમામ $x \in R$ માટે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ એ તમામ $x \in R$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$f'(3) = 0$ હોવાથી,$x < 3$ માટે $f'(x) < 0$ અને $x > 3$ માટે $f'(x) > 0$ થાય.
હવે,$g(x) = f(\tan^2 x - 2 \tan x + 4)$ લો.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$g'(x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^2 x - 2 \tan x + 4)$.
$g'(x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot (2 \tan x \sec^2 x - 2 \sec^2 x) = f'(\tan^2 x - 2 \tan x + 4) \cdot 2 \sec^2 x (\tan x - 1)$.
ધારો કે $u = \tan^2 x - 2 \tan x + 4 = (\tan x - 1)^2 + 3$. $(\tan x - 1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$u \ge 3$ થાય.
$u > 3$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $f'(u) > 0$ કારણ કે $f'(x)$ વધતું વિધેય છે અને $f'(3) = 0$.
$g(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,$g'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$f'(u) > 0$ અને $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે $2 \sec^2 x > 0$ હોવાથી,$g'(x)$ ની નિશાની $(\tan x - 1)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$g'(x) > 0$ જ્યારે $\tan x - 1 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\tan x > 1$.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$\tan x > 1$ નો અર્થ છે કે $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

(A) આપેલ છે $g(x) = \frac{1}{6} f(3 x^2 - 1) + \frac{1}{2} f(1 - x^2)$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$g'(x) = \frac{1}{6} f'(3 x^2 - 1) \cdot (6x) + \frac{1}{2} f'(1 - x^2) \cdot (-2x)$
$g'(x) = x [f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2)]$.
કારણ કે $f''(x) > 0$,તેથી $f'(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
$g(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $g'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $x > 0$ હોય,તો $f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2) > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $f'(3 x^2 - 1) > f'(1 - x^2)$.
$f'$ વધતું હોવાથી,$3 x^2 - 1 > 1 - x^2$,એટલે કે $4 x^2 > 2$,અથવા $x^2 > \frac{1}{2}$.
$x > 0$ હોવાથી,$x \in \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \infty \right)$.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $f'(3 x^2 - 1) - f'(1 - x^2) < 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $f'(3 x^2 - 1) < f'(1 - x^2)$.
$f'$ વધતું હોવાથી,$3 x^2 - 1 < 1 - x^2$,એટલે કે $4 x^2 < 2$,અથવા $x^2 < \frac{1}{2}$.
$x < 0$ હોવાથી,$x \in \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right)$.
આમ,$g(x)$ એ $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) \cup \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \infty \right)$ માં વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=k x^3-9 x^2+9 x+3$ $(k>0)$ એ તમામ $x$ માટે વધતું વિધેય છે.
વિધેય $f(x)$ વધતું હોવાથી,તેનું વિકલિત $f^{\prime}(x) \geq 0$ થાય.
$f^{\prime}(x) = 3 k x^2-18 x+9$.
$f^{\prime}(x) \geq 0$ લેતા,$3 k x^2-18 x+9 \geq 0$,જેનું સાદું રૂપ $k x^2-6 x+3 \geq 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત બહુપદી $a x^2+b x+c$ માટે,જો $a>0$ હોય અને તે તમામ $x$ માટે અઋણ હોય,તો તેનો વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $a=k$,$b=-6$,અને $c=3$ છે.
$D = b^2-4 a c = (-6)^2-4(k)(3) = 36-12 k$.
$D \leq 0$ લેતા,$36-12 k \leq 0$,જેનો અર્થ છે કે $12 k \geq 36$,તેથી $k \geq 3$.
આમ,સાચી શરત $k \geq 3$ છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય: $s = \frac{1}{3} t^3 - 3 t^2 + 9 t + 17$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = t^2 - 6 t + 9$.
વેગ ક્યારે ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$a = \frac{dv}{dt} = 2 t - 6$.
વેગ ત્યારે ઘટે છે જ્યારે પ્રવેગ ઋણ હોય,એટલે કે $\frac{dv}{dt} < 0$.
$2 t - 6 < 0 \implies 2 t < 6 \implies t < 3$.
સમય $t$ એ $0$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ,તેથી વેગ $0 < t < 3$ ના અંતરાલમાં ઘટે છે.

(B) આપેલ છે,$a > 0$.
$f(x) = 2 x^3 - 9 a x^2 + 12 a^2 x + 1$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6 x^2 - 18 a x + 12 a^2$.
વિકલનના અવયવ પાડો: $f'(x) = 6 (x^2 - 3 a x + 2 a^2) = 6 (x - 2 a) (x - a)$.
$f'(x) = 0$ લેતા ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = a$ અને $x = 2 a$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 6 (2 x - 3 a) = 12 x - 18 a$.
સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ માટે તપાસો:
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 6 (2 a - 3 a) = -6 a < 0$ ($a > 0$ હોવાથી),તેથી $\alpha = a$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = 2 a$ આગળ,$f''(2 a) = 6 (4 a - 3 a) = 6 a > 0$ ($a > 0$ હોવાથી),તેથી $\beta = 2 a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
શરત $2 \alpha + \beta = 8$ આપેલ છે,$\alpha = a$ અને $\beta = 2 a$ મૂકતા:
$2(a) + 2 a = 8$.
$4 a = 8$.
$a = 2$.

(B) આપેલ છે: $xy = 6$
$\implies y = \frac{6}{x}$
ધારો કે $f(x) = 2x + 3y = 2x + 3 \left( \frac{6}{x} \right) = 2x + \frac{18}{x}$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$f'(x) = 2 - \frac{18}{x^2}$
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લો:
$2 - \frac{18}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ (ધારી લો કે $x > 0$)
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો:
$f''(x) = \frac{36}{x^3}$
$x = 3$ પર,$f''(3) = \frac{36}{27} > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત દર્શાવે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(3) = 2(3) + \frac{18}{3} = 6 + 6 = 12$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
$x$ ની સાપેક્ષે $f(x)$ નું વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$ મળે છે.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$
$6(x - a)(x - 2a) = 0$
તેથી,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = a$ અને $x = 2a$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 12x - 18a$ મેળવીએ.
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 12a - 18a = -6a$. કારણ કે $a > 0$,તેથી $f''(a) < 0$,એટલે કે $f(x)$ ને $p = a$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે છે.
$x = 2a$ આગળ,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$. કારણ કે $a > 0$,તેથી $f''(2a) > 0$,એટલે કે $f(x)$ ને $q = 2a$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
શરત $p^2 = q$ મુજબ:
$a^2 = 2a$
$a^2 - 2a = 0$
$a(a - 2) = 0$
કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^4-x^2-2x+5$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 4x^3-2x-2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $4x^3-2x-2 = 0 \Rightarrow 2x^3-x-1 = 0$.
ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^3-2x^2+2x^2-2x+x-1 = 0 \Rightarrow 2x^2(x-1) + 2x(x-1) + 1(x-1) = 0 \Rightarrow (x-1)(2x^2+2x+1) = 0$.
વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 1$ છે. દ્વિઘાત અવયવ $2x^2+2x+1$ નો વિવેચક ઋણ $(D = 4-8 = -4)$ હોવાથી,તેના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
દ્વિતીય વિકલન તપાસો: $f''(x) = 12x^2-2$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = 12(1)^2-2 = 10 > 0$.
$f''(1) > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.
જેમ $x \to \pm \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$,તેથી આ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત જ નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત છે.
કિંમતની ગણતરી: $f(1) = (1)^4-(1)^2-2(1)+5 = 1-1-2+5 = 3$.
આમ,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(B) આપેલ છે કે,વર્તુળાકાર વૃતાંશની પરિમિતિ $P = 60 \ m$ છે.
ધારો કે ત્રિજ્યા $r \ m$ છે અને ચાપની લંબાઈ $l \ m$ છે.
વર્તુળાકાર વૃતાંશની પરિમિતિ $P = l + 2r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પરિમિતિ મૂકતા,$60 = l + 2r$,જેનો અર્થ છે કે $l = 60 - 2r$.
વર્તુળાકાર વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}lr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $l = 60 - 2r$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A = \frac{1}{2}(60 - 2r)r = 30r - r^2$.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(30r - r^2) = 30 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,$30 - 2r = 0$ મળે છે,તેથી $2r = 30$,જેનો અર્થ છે કે $r = 15 \ m$.
આ મહત્તમ મૂલ્ય છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ છીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$,જે $0$ કરતા નાનું છે,તેથી $r = 15 \ m$ એ મહત્તમ ક્ષેત્રફળ આપે છે.

(D) આપેલ છે $y = x(\log x)^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot (2 \log x \cdot \frac{1}{x}) + (\log x)^2 \cdot 1 = 2 \log x + (\log x)^2$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$\log x (2 + \log x) = 0$.
આથી $\log x = 0$ અથવા $\log x = -2$.
તેથી,$x = e^0 = 1$ અથવા $x = e^{-2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x} + 2 \log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 + 2 \log x}{x}$.
$x = 1$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 0}{1} = 2 > 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = e^{-2}$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 2(-2)}{e^{-2}} = \frac{-2}{e^{-2}} < 0$,તેથી $x = e^{-2}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $y(e^{-2}) = e^{-2}(\log e^{-2})^2 = e^{-2}(-2)^2 = 4e^{-2}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 - 12x - 3$ છે.
પ્રથમ વિકલન મેળવતા: $f'(x) = 3x^2 - 12x - 12$.
બીજું વિકલન મેળવતા: $f''(x) = 6x - 12$.
$x = 2$ આગળ બીજા વિકલનની કિંમત: $f''(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0$.
અહીં $f''(x)$ એ $x=2$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે (જ્યારે $x < 2$ હોય ત્યારે $f''(x) < 0$ અને $x > 2$ હોય ત્યારે $f''(x) > 0$),તેથી $x=2$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{40} - x^{20}$ અંતરાલ $[0, 1]$ પર છે.
નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$f'(x) = 40x^{39} - 20x^{19} = 20x^{19}(2x^{20} - 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ અથવા $2x^{20} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^{20} = \frac{1}{2}$,તેથી $x = (\frac{1}{2})^{1/20}$.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુ અને અંત્યબિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ પર $f(x)$ નું મૂલ્ય શોધીએ:
$f(0) = 0^{40} - 0^{20} = 0$.
$f(1) = 1^{40} - 1^{20} = 1 - 1 = 0$.
$f((\frac{1}{2})^{1/20}) = ((\frac{1}{2})^{1/20})^{40} - ((\frac{1}{2})^{1/20})^{20} = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
મૂલ્યો $f(0)=0$,$f(1)=0$,અને $f((\frac{1}{2})^{1/20}) = -\frac{1}{4}$ ની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $0$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે,પરિમિતિ $20$ એકમ છે.
$2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = x(10 - x) = 10x - x^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dx} = 10 - 2x$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $10 - 2x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 5$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ: $\frac{d^2A}{dx^2} = -2$.
કારણ કે $\frac{d^2A}{dx^2} < 0$ છે,તેથી $x = 5$ આગળ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
જ્યારે $x = 5$ હોય,ત્યારે $y = 10 - 5 = 5$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 5 \times 5 = 25$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0
\Rightarrow 5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, 1, 3$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સની પ્રકૃતિ તપાસો:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10 < 0$. તેથી,$x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે. એટલે કે,$a = 1$.
$x = 3$ માટે: $f''(3) = 20(27) - 60(9) + 30(3) = 540 - 540 + 90 = 90 > 0$. તેથી,$x = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે. એટલે કે,$b = 3$.
$x = 0$ માટે: $f''(0) = 0$,જે નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
અંતે,$2a + b$ ની ગણતરી કરો:
$2a + b = 2(1) + 3 = 5$.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = a \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x)$.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = a \cos(x) + \frac{1}{3} \cos(3x) \cdot 3 = a \cos(x) + \cos(3x)$.
વિધેય $x = \frac{\pi}{3}$ આગળ મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે,તેથી આ બિંદુએ પ્રથમ વિકલિત શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$.
$x = \frac{\pi}{3}$ ને વિકલિતમાં મૂકતા:
$a \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = 0$.
$a \cdot \frac{1}{2} + \cos(\pi) = 0$.
કારણ કે $\cos(\pi) = -1$,તેથી:
$\frac{a}{2} - 1 = 0$.
$\frac{a}{2} = 1$.
$a = 2$.

(A) $f(x) = ax^3 + bx^2 + 26x - 24$ ...$(i)$ અંતરાલ $[2, 4]$ પર.
કારણ કે $f(x)$ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે,તેથી $f(2) = f(4)$.
$f(2) = a(8) + b(4) + 26(2) - 24 = 8a + 4b + 28$.
$f(4) = a(64) + b(16) + 26(4) - 24 = 64a + 16b + 80$.
$f(2) = f(4)$ ને સરખાવતા: $8a + 4b + 28 = 64a + 16b + 80 \Rightarrow 56a + 12b + 52 = 0 \Rightarrow 14a + 3b + 13 = 0$ ...(ii).
$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $f^{\prime}(x) = 3ax^2 + 2bx + 26$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$:
$3a\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2b\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 26 = 0$.
$3a\left(9 + \frac{1}{3} + 2\sqrt{3}\right) + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$.
$3a\left(\frac{28}{3} + 2\sqrt{3}\right) + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$.
$28a + 6\sqrt{3}a + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$.
$(28a + 6b + 26) + \frac{1}{\sqrt{3}}(18a + 2b) = 0$.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોને સરખાવતા: $28a + 6b + 26 = 0$ અને $18a + 2b = 0$.
$18a + 2b = 0$ પરથી,$b = -9a$.
આ કિંમત $28a + 6(-9a) + 26 = 0$ માં મૂકતા: $28a - 54a + 26 = 0 \Rightarrow -26a = -26 \Rightarrow a = 1$.
તેથી $b = -9(1) = -9$.
આમ,$ab = 1 \times (-9) = -9$.

(D) $[0, 1]$ અંતરાલ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,વિધેય $f(x)$ એ ત્રણ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ:
$1$. $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $f(x)$ એ $(0, 1)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$3$. $f(0) = f(1)$ હોવું જોઈએ.
અહીં $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ આપેલ છે.
પહેલા $f(0) = f(1)$ શરત તપાસીએ:
$f(1) = 1^\alpha \log(1) = 1 \times 0 = 0$.
$f(0) = 0$ હોવાથી,$f(0) = f(1)$ શરત કોઈપણ $\alpha$ માટે સંતોષાય છે.
હવે $x = 0$ આગળ સાતત્ય તપાસીએ:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \log x = 0$.
આ લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $0$ થાય છે જો $\alpha > 0$ હોય.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^\alpha}{-\alpha} = 0$ (જ્યારે $\alpha > 0$).
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\alpha = 1/2$ એ એકમાત્ર કિંમત છે જે $0$ કરતા મોટી છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=\sqrt{x^2-x}$ અંતરાલ $[1,4]$ પર.
પ્રથમ,અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો શોધો:
$f(1)=\sqrt{1^2-1}=0$
$f(4)=\sqrt{4^2-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
હવે,વિકલન $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-x}} \cdot (2x-1) = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$
લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એવું $c \in (1,4)$ મળે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2c-1}{2\sqrt{c^2-c}} = \frac{2\sqrt{3}-0}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}(2c-1) = 4\sqrt{c^2-c}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3(4c^2-4c+1) = 16(c^2-c)$
$12c^2-12c+3 = 16c^2-16c$
$4c^2-4c-3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(2c-3)(2c+1) = 0$
તેથી $c = \frac{3}{2}$ અથવા $c = -\frac{1}{2}$ મળે.
અહીં $c \in (1,4)$ હોવાથી,$c = -\frac{1}{2}$ શક્ય નથી.
આમ,$c = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 + \cos \alpha}} d \alpha$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2 \sin (\frac{\alpha}{2}) \cos (\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2})}} d \alpha$
ધારો કે $\cos (\frac{\alpha}{2}) > 0$,તો છેદ $\sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2})$ થશે:
$I = \int \frac{2 \sin (\frac{\alpha}{2}) \cos (\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2})} d \alpha$
$I = \sqrt{2} \int \sin (\frac{\alpha}{2}) d \alpha$
$\sin (\frac{\alpha}{2})$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા:
$I = \sqrt{2} \times (-2 \cos (\frac{\alpha}{2})) + c$
$I = -2 \sqrt{2} \cos (\frac{\alpha}{2}) + c$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{1}^{2} \frac{x^{3} - 1}{x^{2}} dx$ છે.
પ્રથમ,સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x^{3} - 1}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = x - x^{-2}$.
હવે,પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \int_{1}^{2} (x - x^{-2}) dx = \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} = \left[ \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} \right]_{1}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \left( \frac{2^{2}}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1^{2}}{2} + \frac{1}{1} \right) = \left( 2 + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 1$.

(B) આપણે સંકલન શોધવાનું છે: $\int \left( \frac{x}{a} + \frac{b}{x} + x^a + b^x + ab \right) dx$
સંકલનના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \int \frac{x}{a} dx + \int \frac{b}{x} dx + \int x^a dx + \int b^x dx + \int ab dx$
$= \frac{1}{a} \int x dx + b \int \frac{1}{x} dx + \int x^a dx + \int b^x dx + ab \int 1 dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{a} \cdot \frac{x^2}{2} + b \log |x| + \frac{x^{a+1}}{a+1} + \frac{b^x}{\log b} + abx + C$
$= \frac{x^2}{2a} + b \log |x| + \frac{x^{a+1}}{a+1} + \frac{b^x}{\log b} + abx + C$

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=\tan ^2 x+\cot ^2 x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x)=\int(\tan ^2 x+\cot ^2 x) dx$.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ અને $\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x)=\int(\sec^2 x - 1 + \operatorname{cosec}^2 x - 1) dx$.
$f(x)=\int(\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x - 2) dx$.
$f(x)=\tan x - \cot x - 2x + C$.
આપેલ છે કે $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 0$.
$1 - 1 - \frac{\pi}{2} + C = 0$.
$C = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$f(x)=\tan x - \cot x - 2x + \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} dx$ છે.
અંશના અવયવ પાડતા: $x^3-x^2+x-1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \frac{(x^2+1)(x-1)}{x-1} dx$.
સામાન્ય પદ $(x-1)$ ને દૂર કરતા: $I = \int (x^2+1) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા: $I = \frac{x^3}{3} + x + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x \sqrt{x^4 - 1}}$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x \ dx}{x^2 \sqrt{(x^2)^2 - 1}}$.
ધારો કે $x^2 = t$,તેથી $2x \ dx = dt$,અથવા $x \ dx = \frac{dt}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt/2}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \sec^{-1}(t) + C$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + C = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2) + C$.
આપેલ પદ $\frac{1}{k} \sec^{-1}(x^k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{(x - 1)^2}{(x^2 + 1)^2} dx$ છે.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ મળે.
તેથી,$I = \int \frac{x^2 + 1 - 2x}{(x^2 + 1)^2} dx$.
સંકલનને અલગ પાડતા,$I = \int \frac{x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} dx - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$.
આનું સાદું રૂપ $I = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx - \int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x)$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2 + 1$,તો $du = 2x dx$.
તેથી,$\int 2x(x^2 + 1)^{-2} dx = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x^2 + 1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = \tan^{-1}(x) - (-\frac{1}{x^2 + 1}) + k = \tan^{-1}(x) + \frac{1}{x^2 + 1} + k$.
આપેલ સ્વરૂપ $\tan^{-1}(x) + g(x) + k$ સાથે સરખાવતા,$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1 + x + \sqrt{x(1 + x)}}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} dx$ છે.
અંશને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$1 + x + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + x} = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + x}$.
$\sqrt{1 + x}$ સામાન્ય લેતા:
$\sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}} dx$.
સમાન પદ $(\sqrt{x} + \sqrt{1 + x})$ ને દૂર કરતા:
$I = \int \sqrt{1 + x} dx = \int (1 + x)^{1/2} dx$.
ઘાતનો નિયમ $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c$ વાપરતા:
$I = \frac{(1 + x)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3} (1 + x)^{3/2} + c$.

(C) ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = \log \cot (\frac{x}{2})$ અને $dv = \cos x dx$.
તેથી $du = \frac{1}{\cot (\frac{x}{2})} \cdot (-\csc^2 (\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} dx = -\frac{1}{2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} dx = -\frac{1}{\sin x} dx$.
અને $v = \int \cos x dx = \sin x$.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int \cos x \log \cot (\frac{x}{2}) dx = \sin x \log \cot (\frac{x}{2}) - \int \sin x \cdot (-\frac{1}{\sin x}) dx$
$= \sin x \log \cot (\frac{x}{2}) + \int 1 dx$
$= \sin x \log \cot (\frac{x}{2}) + x + c$.

(B) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} dx$
નિત્યસમ $\cos 4x + 1 = 2 \cos^2 2x$ અને $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = \frac{2 \cos 2x}{\sin 2x}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 \cos^2 2x}{\frac{2 \cos 2x}{\sin 2x}} dx$
$I = \int \cos 2x \sin 2x dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sin 4x dx$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{-\cos 4x}{4} \right) + c$
$I = \frac{-1}{8} \cos 4x + c$
$k \cos 4x + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \frac{-1}{8}$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન: $\int_{0}^{a} \frac{dx}{4 + x^2} = \frac{\pi}{8}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{dx}{k^2 + x^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1} \left( \frac{x}{k} \right) + C$.
અહીં,$k^2 = 4$,તેથી $k = 2$.
$0$ થી $a$ સુધીની સીમાઓ લાગુ કરતાં:
$\left[ \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_{0}^{a} = \frac{\pi}{8}$
$\frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{a}{2} \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} (0) = \frac{\pi}{8}$
કારણ કે $\tan^{-1}(0) = 0$,તેથી:
$\frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{8}$
$\tan^{-1} \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$\frac{a}{2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$
$\frac{a}{2} = 1$
$a = 2$

(C) આપણને $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1 + \tan x}} = \sec^2 x (1 + \tan x)^{-1/2}$ આપેલ છે.
ધારો કે $t = 1 + \tan x$. તેથી $dt = \sec^2 x \ dx$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$F(x) = \int f(x) \ dx = \int (1 + \tan x)^{-1/2} \sec^2 x \ dx = \int t^{-1/2} \ dt$.
$t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$F(x) = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2 \sqrt{t} + C = 2 \sqrt{1 + \tan x} + C$.
$F(0) = 4$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ મૂકતા:
$F(0) = 2 \sqrt{1 + \tan 0} + C = 2 \sqrt{1 + 0} + C = 2 + C$.
$F(0) = 4$ હોવાથી,$2 + C = 4$,જેનો અર્થ છે કે $C = 2$.
આમ,$F(x) = 2 \sqrt{1 + \tan x} + 2 = 2 (\sqrt{1 + \tan x} + 1)$.

(B) આપેલ છે $I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{\sin (2 x + \theta) + \sin \theta}} d x$
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin (\frac{C + D}{2}) \cos (\frac{C - D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \sin (\frac{2 x + 2 \theta}{2}) \cos (\frac{2 x + \theta - \theta}{2})}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \sin (x + \theta) \cos x}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 (\sin x \cos \theta + \cos x \sin \theta) \cos x}} d x$
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા:
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \cos^2 x (\tan x \cos \theta + \sin \theta)}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2} \cos x \sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta}} d x$
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta}} d x$
ધારો કે $t = \tan x \cos \theta + \sin \theta$,તેથી $dt = \sec^2 x \cos \theta d x$,એટલે કે $\sec^2 x d x = \frac{dt}{\cos \theta}$.
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2} \cos \theta} \int t^{-1/2} dt$
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2} \cos \theta} \cdot 2 t^{1/2} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{\frac{2}{\cos^2 \theta}} \sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{2 \sec^2 \theta (\tan x \cos \theta + \sin \theta)} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{2 \sec \theta (\tan x + \tan \theta)} + C$

(A) આપેલ છે કે $I = \int \frac{d x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $I = \int \frac{\sec^4 x}{1+\tan^4 x} d x = \int \frac{\sec^2 x(1+\tan^2 x)}{1+\tan^4 x} d x$.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec^2 x d x = d t$.
$I = \int \frac{1+t^2}{1+t^4} d t = \int \frac{1+\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}} d t$.
$I = \int \frac{1+\frac{1}{t^2}}{(t-\frac{1}{t})^2+2} d t$.
ધારો કે $u = t-\frac{1}{t}$,તો $d u = (1+\frac{1}{t^2}) d t$.
$I = \int \frac{d u}{u^2+(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{u}{\sqrt{2}}) + C$.
$u = t-\frac{1}{t} = \tan x - \cot x$ મૂકતા,આપણને મળે $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{\tan x - \cot x}{\sqrt{2}}) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$g(x) = \frac{\tan x - \cot x}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ અને $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$,તેથી $\sin^2 x = 4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) \, dx$.
$\sec^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ નું સંકલન $2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)$ થાય છે.
$I = \frac{1}{2} \cdot 2 \tan \left(\frac{x}{2}\right) + C = \tan \left(\frac{x}{2}\right) + C$.

(B) આપેલ સંકલન: $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$.
ધારો કે $I = \int \cos ^k(x) \sin (x) d x$.
$t = \cos x$ આદેશ લેતા,$dt = -\sin x d x$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin x d x = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^k (-dt) = -\int t^k dt$.
$t^k$ નું $t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = -\frac{t^{k+1}}{k+1} + C$.
$t = \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{\cos^{k+1} x}{k+1} + C$.
આને આપેલ પદ $\frac{-1}{4} \cos^4(x) + C$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{k+1} = \frac{1}{4}$ અને $k+1 = 4$.
તેથી,$k = 3$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
તેથી,$I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2 - 1}} \, dx$.
ધારો કે $t = \sin x + \cos x$.
તેથી $dt = (\cos x - \sin x) \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $(\sin x - \cos x) \, dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-dt}{\sqrt{t^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\log |t + \sqrt{t^2 - 1}| + C$.
$t = \sin x + \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\log |\sin x + \cos x + \sqrt{(\sin x + \cos x)^2 - 1}| + C$.
કારણ કે $(\sin x + \cos x)^2 - 1 = \sin 2x$,તેથી:
$I = -\log |\sin x + \cos x + \sqrt{\sin 2x}| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \sqrt[3]{x}\left(1+\sqrt[3]{x^4}\right)^{\frac{1}{7}} d x = \int x^{\frac{1}{3}}\left(1+x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{7}} d x$.
ધારો કે $1+x^{\frac{4}{3}} = t$.
તેથી,$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} d x = d t$,જેનો અર્થ છે કે $x^{\frac{1}{3}} d x = \frac{3}{4} d t$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int t^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{3}{4} d t = \frac{3}{4} \int t^{\frac{1}{7}} d t$.
સંકલન કરતા:
$I = \frac{3}{4} \cdot \frac{t^{\frac{1}{7}+1}}{\frac{1}{7}+1} + c = \frac{3}{4} \cdot \frac{t^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + c = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} + c = \frac{21}{32} \left(1+x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{8}{7}} + c$.
આને $A\left(1+\sqrt[3]{x^4}\right)^B+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{21}{32}$ અને $B = \frac{8}{7}$ મળે છે.
તેથી,$A B = \frac{21}{32} \times \frac{8}{7} = \frac{3}{4}$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$.
આદેશ $t = x+\frac{\pi}{4}$ લેતા,આપણને $x = t-\frac{\pi}{4}$ અને $dx = dt$ મળે છે.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int \frac{\sqrt{2} \sin \left(t-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin t} dt$.
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \sqrt{2} \frac{\sin t \cos \frac{\pi}{4} - \cos t \sin \frac{\pi}{4}}{\sin t} dt$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$I = \int \sqrt{2} \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos t\right)}{\sin t} dt = \int \frac{\sin t - \cos t}{\sin t} dt$.
$I = \int (1 - \cot t) dt = t - \ln |\sin t| + c$.
$t = x+\frac{\pi}{4}$ પાછા મૂકતા:
$I = x + \frac{\pi}{4} - \ln |\sin (x+\frac{\pi}{4})| + c$.
અચળ પદ $\frac{\pi}{4}$ ને અચળાંક $c$ માં સમાવી લેતા:
$I = x - \log |\sin (x+\frac{\pi}{4})| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sin x \cos x}$.
અંશ અને છેદને $\sec^2 x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{\tan x}$.
$\tan x = t$ આદેશ લેતા,$\sec^2 x dx = dt$ મળે.
તેથી,$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \log |\tan x| + c$ મળે છે.