ધારો કે $z=x+iy$ એક સંકર સંખ્યા છે,જ્યાં $x$ અને $y$ પૂર્ણાંક છે અને $i=\sqrt{-1}$. તો સમીકરણ $z\bar{z}^3+\bar{z}z^3=350$ ના ઉકેલો દ્વારા બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $A$ એ બિંદુ $z_{1} = 1 + 2i$ છે. જો $B$ એ બિંદુ $z_{2}$ છે જ્યાં $\operatorname{Re}(z_{2}) < 0$, અને $\triangle OAB$ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $OB$ કર્ણ છે, તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય નથી?

$c$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ શોધો જેના માટે સમીકરણ $z \bar{z} + (4 - 3i) \bar{z} + (4 + 3i) z + c = 0$ એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

$a \in \mathbb{C}$ માટે, ધારો કે $A = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(a + \bar{z}) > \operatorname{Im}(\bar{a} + z)\}$ અને $B = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(a + \bar{z}) < \operatorname{Im}(\bar{a} + z)\}$. તો નીચેના બે વિધાનો પૈકી:
$(S1) : \text{જો } \operatorname{Re}(a), \operatorname{Im}(a) > 0 \text{ હોય, તો ગણ } A \text{ માં તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.}$
$(S2) : \text{જો } \operatorname{Re}(a), \operatorname{Im}(a) < 0 \text{ હોય, તો ગણ } B \text{ માં તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.}$

જો $z$ એક એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $\frac{z-i}{z-1}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય,તો $|z-(3+3i)|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો:

$|z-1|+|z-5|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શું છે?