જો વિકલ સમીકરણ (y-2 ln x) dx + (x ln x^2) dy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y-2 \ln x) dx + (2x \ln x) dy = 0$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$(2x \ln x) dy = (2 \ln x - y) dx$ મળે.$dx$ અને $(2x \ln x)$ વડે ભાગતા

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y-2 \ln x) dx + (2x \ln x) dy = 0$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$(2x \ln x) dy = (2 \ln x - y) dx$ મળે.$dx$ અને $(2x \ln x)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{y}{2x \ln x}$ મળે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{2x \ln x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{2x \ln x} dx}$ છે.ધારો કે $\ln x = t$,તો $\frac{1}{x} dx = dt$. તેથી,$I$.$F$. $= e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t} = \sqrt{\ln x}$.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot 	ext{I.F.} = \int Q(x) \cdot 	ext{I.F.} dx + C$ છે.$y \sqrt{\ln x} = \int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} dx$.ધારો કે $\ln x = u^2$,તો $\frac{1}{x} dx = 2u du$. સંકલન $\int u \cdot 2u du = 2 \int u^2 du = \frac{2}{3} u^3 + C = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + C$ બને છે.બિંદુ $(e, \frac{4}{3})$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{4}{3} \sqrt{\ln e} = \frac{2}{3} (\ln e)^{3/2} + C \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{2}{3}$.તેથી,$y \sqrt{\ln x} = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + \frac{2}{3}$.બિંદુ $(e^4, \alpha)$ માટે,$\alpha \sqrt{\ln e^4} = \frac{2}{3} (\ln e^4)^{3/2} + \frac{2}{3}$.$\alpha \sqrt{4} = \frac{2}{3} (4)^{3/2} + \frac{2}{3} \Rightarrow 2\alpha = \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{2}{3} = \frac{16+2}{3} = 6$.તેથી,$\alpha = 3$.

જો વિકલ સમીકરણ $(y-2 \ln x) dx + (x \ln x^2) dy = 0, x > 1$ નો ઉકેલ વક્ર બિંદુઓ $(e, \frac{4}{3})$ અને $(e^4, \alpha)$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $................$ થાય.

Similar Questions

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x}e^x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y' = y \tan x - 2 \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - \frac{3x^2y}{1+x^3} = \frac{\sin^2(x)}{1+x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module