ધારો કે વક્રો $y^2=4x$ અને $(x-4)^2+y^2=16$ નો સામાન્ય સ્પર્શક વક્રોને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળ સ્પર્શે છે. તો $(PQ)^2$ નું મૂલ્ય $..........$ છે.

આપેલ ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે યાદીઓને યોગ્ય રીતે જોડીને નીચેનાનો જવાબ આપો.
ધારો કે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2=9$ અને $C_2: (x-3)^2+(y-4)^2=16$ એ બિંદુઓ $X$ અને $Y$ પર છેદે છે. ધારો કે બીજું વર્તુળ $C_3: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ નીચેની શરતો સંતોષે છે:
$(i)$ $C_3$ નું કેન્દ્ર $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો સાથે સમરેખ છે.
$(ii)$ $C_1$ અને $C_2$ બંને $C_3$ ની અંદર આવેલા છે.
$(iii)$ $C_3$ એ $C_1$ ને $M$ પર અને $C_2$ ને $N$ પર સ્પર્શે છે.
ધારો કે $X$ અને $Y$ માંથી પસાર થતી રેખા $C_3$ ને $Z$ અને $W$ પર છેદે છે,અને ધારો કે $C_1$ અને $C_3$ નો સામાન્ય સ્પર્શક એ પરવલય $x^2=8 \alpha y$ નો સ્પર્શક છે.
$List-I$ માં કેટલીક અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવી છે જેના મૂલ્યો નીચે $List-II$ માં આપેલા છે:

$List-I$	$List-II$
$(I) \ 2h + k$	$(P) \ 6$
$(II) \ \frac{\text{Length of } ZW}{\text{Length of } XY}$	$(Q) \ \sqrt{6}$
$(III) \ \frac{\text{Area of triangle } MZN}{\text{Area of triangle } ZMW}$	$(R) \ \frac{5}{4}$
$(IV) \ \alpha$	$(S) \ \frac{21}{5}$
	$(T) \ 2\sqrt{6}$
	$(U) \ \frac{10}{3}$

$(1)$ નીચેનામાંથી કઈ એકમાત્ર ખોટી જોડી છે?
$(1) (IV), (S) \quad (2) (IV), (U) \quad (3) (III), (R) \quad (4) (I), (P)$
$(2)$ નીચેનામાંથી કઈ એકમાત્ર સાચી જોડી છે?
$(1) (II), (T) \quad (2) (I), (S) \quad (3) (I), (U) \quad (4) (II), (Q)$

જો $\theta$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ ના વાસ્તવિક છેદબિંદુ પરનો લઘુકોણ હોય,તો $\tan \theta$ ની કિંમત શોધો.

જો $(x, y)$ એ વક્ર $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ પરનું એક ચલ બિંદુ હોય,તો પદાવલિ $\frac{8}{(x - 1)^2} - \frac{(y - 1)^2}{4}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $L_1$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે અને $L_2$ એ રેખા $x + y = 1$ છે. જો વર્તુળ $x^{2} + y^{2} - x + 3y = 0$ દ્વારા $L_1$ અને $L_2$ પર બનતા અંતઃખંડ સમાન હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ $L_1$ દર્શાવે છે?

જો રેખાઓ $2x + y + 12 = 0$ અને $kx - 3y - 10 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી (conjugate) હોય,તો $k =$