ધારો કે a, b, c ત્રણ ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણો $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ અને $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ છે.પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln a (\ln 2 + \ln a) =

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણો $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ અને $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ છે.પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln a (\ln 2 + \ln a) = \ln b (\ln b + \ln c)$.બીજા સમીકરણ પરથી: $\ln 2 \cdot \ln b = \ln c \cdot \ln a \implies \ln c = \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a}$.પ્રથમ સમીકરણમાં $\ln c$ ની કિંમત મૂકતા: $(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 + \ln b \left( \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a} ight)$.$(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 \left( \frac{\ln a + \ln 2}{\ln a} ight)$.$(\ln a)^2 (\ln a + \ln 2) = (\ln b)^2 (\ln a + \ln 2)$.$a, b, c$ ભિન્ન હોવાથી,$\ln a + \ln 2 
eq 0$,તેથી $(\ln a)^2 = (\ln b)^2$,જેનો અર્થ છે કે $\ln a = -\ln b$ ($a 
eq b$ હોવાથી).આમ $b = 1/a$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(1/a)^{\ln 2} = a^{\ln c} \implies a^{-\ln 2} = a^{\ln c} \implies \ln c = -\ln 2 \implies c = 1/2$.પ્રથમ સમીકરણમાં $b = 1/a$ અને $c = 1/2$ મૂકતા: $(2a)^{\ln a} = (a/2)^{\ln(1/a)} = (a/2)^{-\ln a} = (2/a)^{\ln a}$.$(2a)^{\ln a} = (2/a)^{\ln a}$ હોવાથી,$2a = 2/a \implies a^2 = 1$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 1$. જો $a=1$ હોય,તો $b=1$ થાય,જે $a, b, c$ ભિન્ન હોવાની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે. પ્રશ્નનું વિધાન ગાણિતિક રીતે અસંગત છે.

ધારો કે $a, b, c$ ત્રણ ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ અને $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ થાય. તો $6a + 5bc$ ની કિંમત $........$ થાય.

Similar Questions

જો $x = \log_a (bc)$,$y = \log_b (ca)$,અને $z = \log_c (ab)$ હોય,તો $\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z}$ ની કિંમત શું થશે?

જો $n = 1983!$ હોય,તો પદાવલિ $\frac{1}{\log_2 n} + \frac{1}{\log_3 n} + \frac{1}{\log_4 n} + \dots + \frac{1}{\log_{1983} n}$ ની કિંમત શોધો.

$\log_{7} \log_{7} \sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7}}} = ?$

ધારો કે $x$ અને $y$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $x > 2y > 0$ અને $2 \log (x - 2y) = \log x + \log y$ થાય. તો,$\frac{x}{y}$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) કઈ છે?

સમીકરણ $\log_4(x - 1) = \log_2(x - 3)$ માટે ઉકેલની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module