ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (x cos x) dy + ( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$ છે.$dx$ વડે ભાગતા અને પદો ગોઠવતા,$(x \cos x) \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$ છે.$dx$ વડે ભાગતા અને પદો ગોઠવતા,$(x \cos x) \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ મળે.$x \cos x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + (	an x + \frac{1}{x}) y = \frac{1}{x \cos x}$ મળે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 	an x + \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x \cos x}$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (	an x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln x} = x \sec x$.ઉકેલ $y(x \sec x) = \int (x \sec x) \frac{1}{x \cos x} dx + C = \int \sec^2 x dx + C = 	an x + C$ છે.આપેલ છે કે $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,તેથી $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{\pi}$.$x = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા,$\frac{3\sqrt{3}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = 	an(\frac{\pi}{3}) + C \implies 2\sqrt{3} = \sqrt{3} + C \implies C = \sqrt{3}$.તેથી,$y = \frac{	an x + \sqrt{3}}{x \sec x} = \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{x}$.$x = \frac{\pi}{6}$ આગળ $y'$ અને $y''$ ની ગણતરી કરતા,$|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ ની કિંમત $2$ મળે છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(2x + 3y^2) dy = y dx$ $(y > 0)$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે?

$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module