JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ પદાવલિ: $(\sim(p \wedge q)) \vee q$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p \vee \sim q) \vee q$
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim p \vee (\sim q \vee q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) = t$ (નિત્યસત્ય),તેથી પદાવલિ $\sim p \vee t = t$ બને છે.
આમ,આ પદાવલિ એક નિત્યસત્ય છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$C. p \rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv t \vee q \equiv t$ (નિત્યસત્ય)
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $e^{2x} - 11e^{x} - 45e^{-x} + \frac{81}{2} = 0$
આખા સમીકરણને $2e^{x}$ વડે ગુણતા:
$2e^{3x} - 22e^{2x} + 81e^{x} - 90 = 0$
ધારો કે $e^{x} = t$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$2t^{3} - 22t^{2} + 81t - 90 = 0$
ધારો કે આ ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ છે,જે $e^{x_{1}}, e^{x_{2}}, e^{x_{3}}$ ને અનુરૂપ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $at^{3} + bt^{2} + ct + d = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $t_{1}t_{2}t_{3} = -\frac{d}{a}$ થાય.
અહીં,$t_{1}t_{2}t_{3} = -\frac{-90}{2} = 45$.
$e^{x_{i}}$ ની કિંમત મૂકતા:
$e^{x_{1}} \cdot e^{x_{2}} \cdot e^{x_{3}} = 45$
$e^{x_{1} + x_{2} + x_{3}} = 45$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$x_{1} + x_{2} + x_{3} = \log_{e} 45$
આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો $\log_{e} P$ છે,તેથી $\log_{e} P = \log_{e} 45$.
આમ,$P = 45$.

(A) આપણી પાસે $5$ લાલ ઘન અને $11$ વાદળી ઘન છે. ધારો કે લાલ ઘન $R$ છે. $5$ લાલ ઘનને હારમાં ગોઠવતા $6$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં વાદળી ઘન મૂકી શકાય: $\_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_$.
ધારો કે $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ એ આ $6$ જગ્યાઓમાં વાદળી ઘનની સંખ્યા છે.
આપણને સમીકરણ મળે છે: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 11$.
શરત મુજબ કોઈપણ બે લાલ ઘન વચ્ચે ઓછામાં ઓછા $2$ વાદળી ઘન હોવા જોઈએ,તેથી $x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 2$ અને $x_1, x_6 \geq 0$.
ધારો કે $x_2 = t_2 + 2, x_3 = t_3 + 2, x_4 = t_4 + 2, x_5 = t_5 + 2$,જ્યાં $t_2, t_3, t_4, t_5 \geq 0$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $x_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + x_6 = 3$.
સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્ર મુજબ,ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ છે,જ્યાં $n=3$ અને $k=6$.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{3+6-1}{6-1} = \binom{8}{5} = \binom{8}{3} = 56$.

(A) $\left(\frac{x^{1/2}}{5^{1/4}} + \frac{5^{1/2}}{x^{1/3}}\right)^{60}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{60}C_r \left(x^{1/2} \cdot 5^{-1/4}\right)^{60-r} \left(5^{1/2} \cdot x^{-1/3}\right)^r$
$x^{10}$ ના સહગુણક માટે,$x$ નો ઘાતાંક $10$ લેતા:
$\frac{60-r}{2} - \frac{r}{3} = 10 \Rightarrow r = 24$
સહગુણક $= {}^{60}C_{24} \cdot 5^{24/2 - 36/4} = {}^{60}C_{24} \cdot 5^3$
લેજેન્ડ્રેના સૂત્ર મુજબ,${}^{60}C_{24}$ માં $5$ નો ઘાતાંક $14 - (4+8) = 2$ છે.
તેથી,$5$ નો કુલ ઘાતાંક $2 + 3 = 5$ થાય.
આમ,$k = 5$.

(C) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_{n} = \frac{n}{4n^{4}+1}$ છે.
છેદને આ રીતે લખી શકાય:
$4n^{4}+1 = (2n^{2}+1)^{2} - (2n)^{2} = (2n^{2}+2n+1)(2n^{2}-2n+1)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$T_{n} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2n^{2}-2n+1} - \frac{1}{2n^{2}+2n+1} \right]$.
ધારો કે $f(n) = \frac{1}{2n^{2}-2n+1}$,તો $T_{n} = \frac{1}{4} [f(n) - f(n+1)]$.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો:
$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_{n} = \frac{1}{4} [f(1) - f(11)]$.
$f(1) = 1$ અને $f(11) = \frac{1}{221}$.
$S_{10} = \frac{1}{4} [1 - \frac{1}{221}] = \frac{55}{221}$.
અહીં $m = 55$ અને $n = 221$ હોવાથી,$m + n = 55 + 221 = 276$.

(C) ધારો કે બાજુ $AB$ ના અંત્યબિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(3, 6)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - 2 = 2(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y = 0$ થાય છે.
આપેલ વ્યાસ $2x - y + 4 = 0$ છે.
ઢાળ સમાન હોવાથી,બાજુ $AB$ વ્યાસને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ $2x - y = 0$ અને $2x - y + 4 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|4 - 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસમાં વ્યાસ એ બાજુ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,વ્યાસથી બાજુ $AB$ નું અંતર એ બીજી બાજુ $BC$ ની લંબાઈ કરતા અડધું હોય છે.
તેથી,$\frac{BC}{2} = \frac{4}{\sqrt{5}}$,જેનો અર્થ છે કે $BC = \frac{8}{\sqrt{5}}$.
બાજુ $AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(3-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
લંબચોરસ $R$ નું ક્ષેત્રફળ $= AB \times BC = (2\sqrt{5}) \times \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right) = 16$.

(D) પરવલય $y^{2}=2x$ ના શિરોબિંદુ અને નાભિ અનુક્રમે $V(0,0)$ અને $S\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=4$ ધારો.
વર્તુળ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $h^{2}+k^{2}=4 \dots (1)$.
વર્તુળ $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\left(\frac{1}{2}-h\right)^{2}+k^{2}=4$,જેનું સાદું રૂપ $h^{2}+k^{2}-h=\frac{15}{4} \dots (2)$ થાય છે.
$(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલતા,$h=\frac{1}{4}$ મળે છે.
$h=\frac{1}{4}$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$k^{2}=\frac{63}{16}$ મળે,તેથી $k=\pm\frac{\sqrt{63}}{4}$.
વર્તુળ પરવલય $y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\alpha$ ને સ્પર્શે છે,તેથી $\alpha = k + 2 = \frac{\sqrt{63}}{4} + 2$.
આમ,$4\alpha - 8 = \sqrt{63}$.
તેથી,$(4\alpha-8)^{2} = 63$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)$ છે. એક બીજ $-1$ હોવાથી,ધારો કે $\alpha = -1$. તેથી $f(x) = a(x + 1)(x - \beta)$.
આપેલ છે કે $f(-2) + f(3) = 0$.
$f(-2) = a(-2 + 1)(-2 - \beta) = a(-1)(-2 - \beta) = a(2 + \beta)$.
$f(3) = a(3 + 1)(3 - \beta) = a(4)(3 - \beta) = a(12 - 4\beta)$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $a(2 + \beta + 12 - 4\beta) = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$14 - 3\beta = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $\beta = \frac{14}{3}$.
આમ,બીજ $-1$ અને $\frac{14}{3}$ છે.
બીજનો સરવાળો $-1 + \frac{14}{3} = \frac{-3 + 14}{3} = \frac{11}{3}$ થાય.

(D) ધારો કે $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ એ બાળકો $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ દ્વારા મેળવેલી કેન્ડીની સંખ્યા છે.
આપણી પાસે $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 30$ છે,જ્યાં $x_{1}, x_{4} \ge 0$,$4 \le x_{2} \le 7$,અને $2 \le x_{3} \le 6$.
ધારો કે $x_{2} = 4 + y_{2}$ જ્યાં $0 \le y_{2} \le 3$,અને $x_{3} = 2 + y_{3}$ જ્યાં $0 \le y_{3} \le 4$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $x_{1} + (4 + y_{2}) + (2 + y_{3}) + x_{4} = 30 \Rightarrow x_{1} + y_{2} + y_{3} + x_{4} = 24$.
રીતોની સંખ્યા એ $(1+x+x^{2}+x^{3})(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(1+x+x^{2}+\dots)^{2}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{24}$ નો સહગુણક છે.
આ $(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x)^{-4} = (1-x^{4}-x^{5}+x^{9})(1-x)^{-4}$ માં $x^{24}$ નો સહગુણક છે.
$(1-x)^{-r}$ માં $x^{n}$ ના સહગુણક માટેના સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
સહગુણક $= \binom{24+4-1}{4-1} - \binom{20+4-1}{4-1} - \binom{19+4-1}{4-1} + \binom{15+4-1}{4-1}$.
$= \binom{27}{3} - \binom{23}{3} - \binom{22}{3} + \binom{18}{3}$.
$= 2925 - 1771 - 1540 + 816 = 430$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1-x^{2}+3x^{3})(\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{5x^{2}})^{11}$ છે.
$(\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{5x^{2}})^{11}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(\frac{5}{2}x^{3})^{11-r}(-\frac{1}{5x^{2}})^{r}$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(\frac{5}{2})^{11-r}(-\frac{1}{5})^{r}x^{33-5r}$ મળે છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ મેળવવા માટે:
$1$. $1 \times x^{0}$ નો સહગુણક.
$2$. $-x^{2} \times x^{-2}$ નો સહગુણક.
$3$. $3x^{3} \times x^{-3}$ નો સહગુણક.
$x^{-2}$ માટે $33-5r = -2 \Rightarrow r = 7$ મળે છે.
તેથી,$x$ થી સ્વતંત્ર પદ $-1 \times [{}^{11}C_{7}(\frac{5}{2})^{4}(-\frac{1}{5})^{7}] = \frac{33}{200}$ થાય છે.

(C) ધારો કે સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_n$ છે. સામાન્ય તફાવત $d = \frac{100 - a}{n + 1}$ છે.
પ્રથમ મધ્યક $A_1 = a + d$ અને છેલ્લો મધ્યક $A_n = 100 - d$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{A_1}{A_n} = \frac{1}{7}$,તેથી $\frac{a + d}{100 - d} = \frac{1}{7}$.
ગુણાકાર કરતા $7(a + d) = 100 - d$,જેનું સાદું રૂપ $7a + 8d = 100$ થાય છે.
$d = \frac{100 - a}{n + 1}$ મૂકતા,આપણને $7a + 8\left(\frac{100 - a}{n + 1}\right) = 100$ મળે છે.
$a + n = 33$ હોવાથી,$a = 33 - n$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$7(33 - n) + 8\left(\frac{67 + n}{n + 1}\right) = 100$
સાદું રૂપ આપતા $7n^2 - 132n - 667 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n - 23)(7n + 29) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 23$.

(B) આપેલ છે કે $g(x)=\int\limits_{x}^{\pi / 4}\left(f^{\prime}(t) \sec t+\tan t \sec t f(t)\right) d t$.
અહીં સંકલ્ય એ $f(t) \sec t$ ના ગુણાકારનું વિકલન છે,એટલે કે $\frac{d}{dt}(f(t) \sec t) = f^{\prime}(t) \sec t + f(t) \sec t \tan t$.
તેથી,$g(x) = \int\limits_{x}^{\pi / 4} d(f(t) \sec t) = [f(t) \sec t]_{x}^{\pi / 4}$.
$g(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right) \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) - f(x) \sec x$.
આપેલ કિંમતો $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ અને $\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને મળે $g(x) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - f(x) \sec x = 2 - \frac{f(x)}{\cos x}$.
હવે,$\lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} g(x) = \lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} \left(2 - \frac{f(x)}{\cos x}\right)$.
કારણ કે $f(\pi/2) = 0$ અને $\cos(\pi/2) = 0$,આ $0/0$ સ્વરૂપ છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} \frac{f(x)}{\cos x} = \lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} \frac{f^{\prime}(x)}{-\sin x} = \frac{f^{\prime}(\pi/2)}{-\sin(\pi/2)} = \frac{1}{-1} = -1$.
તેથી,$\lim\limits_{x \rightarrow(\pi/2)^{-}} g(x) = 2 - (-1) = 3$.

(B) બિંદુ $A$ એ $L_{2}: -4x + 3y = 12$ પર છે. ધારો કે $A = (\alpha, \frac{12+4\alpha}{3})$.
બિંદુ $B$ એ $L_{1}: 2x + 5y = 10$ પર છે. ધારો કે $B = (\beta, \frac{10-2\beta}{5})$.
બિંદુ $P(2, 3)$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{1 \cdot \beta + 3 \cdot \alpha}{1+3} \Rightarrow 3\alpha + \beta = 8$
$3 = \frac{1 \cdot (\frac{10-2\beta}{5}) + 3 \cdot (\frac{12+4\alpha}{3})}{1+3}$ $\Rightarrow 12 = \frac{10-2\beta}{5} + 12 + 4\alpha$ $\Rightarrow 4\alpha - \frac{2\beta}{5} = -2$ $\Rightarrow 20\alpha - 2\beta = -10$ $\Rightarrow 10\alpha - \beta = -5$.
$3\alpha + \beta = 8$ અને $10\alpha - \beta = -5$ ઉકેલતા,આપણને $13\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{13}$ અને $\beta = 8 - 3(\frac{3}{13}) = \frac{95}{13}$ મળે છે.
આમ,$A = (\frac{3}{13}, \frac{56}{13})$ અને $B = (\frac{95}{13}, -\frac{12}{13})$.
શિરોબિંદુ $C$ એ $L_{1}$ અને $L_{2}$ નું છેદબિંદુ છે. $2x+5y=10$ અને $-4x+3y=12$ ઉકેલતા,$C = (-\frac{15}{13}, \frac{32}{13})$ મળે છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{3}{13}(-\frac{12}{13} - \frac{32}{13}) + \frac{95}{13}(\frac{32}{13} - \frac{56}{13}) - \frac{15}{13}(\frac{56}{13} + \frac{12}{13})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2 \cdot 169} |3(-44) + 95(-24) - 15(68)| = \frac{1}{338} |-132 - 2280 - 1020| = \frac{3432}{338} = \frac{132}{13}$ ચોરસ એકમ.

(D) અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ અને $\ell=\frac{2b^{2}}{a}$ છે.
આપેલ છે કે $e^{2}=\frac{11}{14}\ell$,તેથી $1+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{11}{14} \cdot \frac{2b^{2}}{a}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=\frac{11b^{2}}{7a} \dots (1)$ થાય.
અનુબદ્ધ અતિવલય $\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1$ માટે,$e^{\prime}=\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}$ અને $\ell^{\prime}=\frac{2a^{2}}{b}$ છે.
આપેલ છે કે $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8}\ell^{\prime}$,તેથી $1+\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{11}{8} \cdot \frac{2a^{2}}{b}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}=\frac{11a^{2}}{4b} \dots (2)$ થાય.
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4b^{3}}{7a^{3}}$ મળે.
તેથી,$7a=4b \dots (3)$.
$(2)$ માં $a=\frac{4b}{7}$ મૂકતા,$b = \frac{65}{44}$ મળે.
તેથી $a = \frac{65}{77}$ મળે.
અંતે,$77a+44b = 77(\frac{65}{77}) + 44(\frac{65}{44}) = 65+65 = 130$.

(B) શિરોબિંદુ $(x_1, y_1)$ થી નિયામિકા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું અંતર $a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,શિરોબિંદુ $(2, -1)$ છે અને નિયામિકા $4x - 3y - 21 = 0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a = \frac{|4(2) - 3(-1) - 21|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$
$a = \frac{|8 + 3 - 21|}{\sqrt{16 + 9}}$
$a = \frac{|-10|}{5} = 2$
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 4 \times 2 = 8$.

(D) $4$ ઘટકોના ગણમાંથી $5$ ઘટકોના ગણ પરના કુલ એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ છે.
આપણે $f(a) + 2f(b) = f(c) + f(d)$ નું સમાધાન કરતા વિધેયોની સંખ્યા શોધવાની છે,જ્યાં $f(a), f(b), f(c), f(d)$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી ભિન્ન ઘટકો છે.
ધારો કે કિંમતો $x_1, x_2, x_3, x_4$ એ $f(a), f(b), f(c), f(d)$ ને અનુરૂપ છે. આપણે $x_1 + 2x_2 = x_3 + x_4$ જોઈએ છે.
સમીકરણનું સમાધાન કરતી કિંમતોના શક્ય સેટ:

$f(a)$	$f(b)$	$f(c)$	$f(d)$
$5$	$1$	$3$	$4$ ($5+2=3+4$,માન્ય)
$4$	$2$	$3$	$5$ ($4+4=3+5$,માન્ય)
$1$	$3$	$2$	$5$ ($1+6=2+5$,માન્ય)

દરેક માન્ય સેટ માટે,$f(c)$ અને $f(d)$ ને ગોઠવવાની $2$ રીતો છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(A) = 6$.
સંભાવના $P(A) = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$.

(C) ધારો કે $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{r^2+3r+3}\right)$.
આપણે પદને $\frac{(r+2)-(r+1)}{1+(r+2)(r+1)}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$T_r = \tan^{-1}(r+2) - \tan^{-1}(r+1)$.
સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r$ એ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_n = (\tan^{-1}3 - \tan^{-1}2) + (\tan^{-1}4 - \tan^{-1}3) + \dots + (\tan^{-1}(n+2) - \tan^{-1}(n+1))$.
$S_n = \tan^{-1}(n+2) - \tan^{-1}2$.
સૂત્ર $\tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \tan^{-1}\left(\frac{(n+2)-2}{1+(n+2)(2)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{n}{2n+5}\right)$.
હવે,લક્ષની કિંમત શોધીએ:
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} 6 \tan(S_n) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} 6 \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{n}{2n+5}\right)\right)$.
$= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{2n+5} = \frac{6}{2} = 3$.

(A) આપેલ છે $\cot \alpha = 1$. $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (ત્રીજું ચરણ) હોવાથી,$\tan \alpha = 1$.
આપેલ છે $\sec \beta = -\frac{5}{3}$. $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ (બીજું ચરણ) હોવાથી,$\cos \beta = -\frac{3}{5}$.
$\tan^2 \beta = \sec^2 \beta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan^2 \beta = (-\frac{5}{3})^2 - 1 = \frac{16}{9}$.
બીજા ચરણમાં $\tan \beta$ ઋણ હોય,તેથી $\tan \beta = -\frac{4}{3}$.
હવે,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{1 - 4/3}{1 + 4/3} = \frac{-1/3}{7/3} = -\frac{1}{7}$.
અસમતાનો સરવાળો કરતા $\frac{3\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{5\pi}{2}$ મળે છે,જે $IV$ માં ચરણમાં આવે છે.

(D) આપેલ છે કે,વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n = 7$,મધ્યક $\bar{x} = 62$,અને વિચરણ $\sigma^2 = 20$ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $20 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} (x_i - 62)^2$.
$\sum_{i=1}^{7} (x_i - 62)^2 = 20 \times 7 = 140$.
જો વિદ્યાર્થી $x_i < 50$ ગુણ મેળવે તો તે નાપાસ થાય છે. ધારો કે $k$ વિદ્યાર્થીઓ નાપાસ થાય છે. આ વિદ્યાર્થીઓ માટે,$x_i \le 49$.
જો કોઈ વિદ્યાર્થી નાપાસ થાય,તો વર્ગોના સરવાળામાં ન્યૂનતમ ફાળો $(49 - 62)^2 = (-13)^2 = 169$ થાય.
કુલ સરવાળો માત્ર $140$ હોવાથી,અને $169 > 140$ હોવાથી,$62$ ના મધ્યક અને $20$ ના વિચરણ સાથે એક પણ વિદ્યાર્થી $50$ થી ઓછા ગુણ મેળવી શકે નહીં.
તેથી,નાપાસ થઈ શકે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ પ્રથમ વર્તુળ $S: x^{2}+y^{2}-2 \sqrt{2} x-6 \sqrt{2} y+14=0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(\sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2} - 14} = \sqrt{2 + 18 - 14} = \sqrt{6}$ છે.
બીજું વર્તુળ $S_{1}: (x-2 \sqrt{2})^{2}+(y-2 \sqrt{2})^{2}=r^{2}$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ છે.
પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ એ બીજા વર્તુળની જીવા છે. ધારો કે આ જીવા $PQ$ છે. બીજા વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ થી પ્રથમ વર્તુળના કેન્દ્ર $C$ સુધીનું અંતર $d = |OC| = \sqrt{(2\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{2}-3\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (-\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2+2} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$,કેન્દ્ર $O$ થી જીવા સુધીનું અંતર $(d=2)$,અને પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_{1}=\sqrt{6})$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $r^{2} = d^{2} + r_{1}^{2}$ છે.
$r^{2} = 2^{2} + (\sqrt{6})^{2} = 4 + 6 = 10$.

(C) આપેલ છે $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(3 x^{2}-4 x+1\right)-x^{2}+1}{2 x^{3}-7 x^{2}+a x+b}=-2$.
સીમા શાંત હોવાથી અને અંશ $x \rightarrow 1$ માટે $0$ થાય છે,તેથી છેદ પણ $0$ થવો જોઈએ.
$2(1)^3 - 7(1)^2 + a(1) + b = 0 \implies a + b - 5 = 0 \dots (1)$.
$L'H\hat{o}pital$ નિયમ લાગુ પાડતા:
$\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\cos \left(3 x^{2}-4 x+1\right)(6 x-4) - 2x}{6x^2 - 14x + a} = -2$.
સીમા શાંત હોવા માટે,છેદ $x=1$ આગળ $0$ થવો જોઈએ:
$6(1)^2 - 14(1) + a = 0 \implies a - 8 = 0 \implies a = 8$.
$(1)$ માં $a=8$ મૂકતા:
$8 + b - 5 = 0 \implies b = -3$.
તેથી,$(a - b) = 8 - (-3) = 11$.

(C) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
અહીં $a = n^{2}$ અને $r = \frac{1}{(n+1)^{2}}$ હોવાથી,$S_{n} = \frac{n^{2}}{1 - \frac{1}{(n+1)^{2}}} = \frac{n(n+1)^{2}}{n+2}$ મળે.
આને સાદું રૂપ આપતા $S_{n} = n^{2} + 1 - \frac{2}{n+2}$ મળે.
હવે સરવાળામાં કિંમત મૂકતા: $\sum_{n=1}^{50} (n^{2} - n + 2(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}))$.
આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $(\sum_{n=1}^{50} n^{2} - \sum_{n=1}^{50} n) + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{52})$.
ગણતરી કરતા $41650 + \frac{25}{26}$ મળે.
$\frac{1}{26}$ ઉમેરતા,અંતિમ જવાબ $41651$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$
પદોને ગોઠવતા: $z + \bar{z} = (1 + i) z^{2}$
ધારો કે $z = x + iy$. તો $z + \bar{z} = 2x$.
તેથી,$2x = (1 + i)(x + iy)^{2} = (1 + i)(x^{2} - y^{2} + 2xyi)$.
$2x = (x^{2} - y^{2} - 2xy) + i(x^{2} - y^{2} + 2xy)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1) \ 2x = x^{2} - y^{2} - 2xy$
$2) \ 0 = x^{2} - y^{2} + 2xy \Rightarrow x^{2} - y^{2} = -2xy$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2x = -2xy - 2xy = -4xy$.
$2x(1 + 2y) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $y = -1/2$.
જો $x = 0$,તો $(2)$ પરથી,$y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0$. આમ $z = 0$,$|z|^{2} = 0$.
જો $y = -1/2$,તો $(2)$ પરથી,$x^{2} - (-1/2)^{2} = -2x(-1/2)$ $\Rightarrow x^{2} - 1/4 = x$ $\Rightarrow 4x^{2} - 4x - 1 = 0$.
ઉકેલ $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ છે.
આ કિંમતો માટે,$|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = x^{2} + 1/4$.
$4x^{2} - 4x - 1 = 0$ પરથી,$x^{2} = x + 1/4$.
તેથી $|z|^{2} = x + 1/4 + 1/4 = x + 1/2$.
$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ માટે,$|z_{1}|^{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ માટે,$|z_{2}|^{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
માનાંકના વર્ગોનો સરવાળો: $0 + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2$.

(A) ધારો કે આપેલા વિધાનો $C_1, C_2, \dots, C_9$ છે. આપણે $p, q, r, s$ માટે સત્ય મૂલ્યો ચકાસીએ.
જો આપણે $p=F, q=F, r=T, s=F$ લઈએ:
$C_1: F \vee T \vee F = T$
$C_2: F \vee F \vee T = T$
$C_3: F \vee T \vee F = T$
$C_4: T \vee F \vee F = T$
$C_5: T \vee F \vee T = T$
$C_6: T \vee F \vee T = T$
$C_7: F \vee T \vee T = T$
$C_8: F \vee F \vee T = T$
$C_9: T \vee T \vee T = T$
આ કિંમતો માટે તમામ $9$ વિધાનો સાચા છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum\limits_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{k-1} = \binom{2n}{n-1}$.
$n=31$ માટે પ્રથમ પદ $\binom{62}{30}$ થાય.
$n=30$ માટે બીજું પદ $\binom{60}{29}$ થાય.
તેથી,$\binom{62}{30} - \binom{60}{29} = \frac{62!}{30!32!} - \frac{60!}{29!31!}$.
$\frac{60!}{29!31!}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{60!}{29!31!} \left( \frac{62 \times 61}{30 \times 32} - 1 \right) = \frac{60!}{30!31!} \left( \frac{1891}{16} \right)$.
$\alpha = \frac{1891}{16}$ મળે.
તેથી,$16\alpha = 1891$.

(D) કોઈ સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય.
$2$ વડે વિભાજ્યતા માટે, સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ. ઉપલબ્ધ બેકી અંકો ${2, 6}$ છે.
$3$ વડે વિભાજ્યતા માટે, અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
બધા અંકો ${1, 2, 3, 5, 6, 7}$ નો સરવાળો $24$ છે.
$5$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે, આપણે એક અંક દૂર કરવો પડશે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
જો આપણે $x$ દૂર કરીએ, તો સરવાળો $24 - x$ થાય, જે $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ, તેથી $x \in {3, 6}$.
કિસ્સો $1$: $3$ દૂર કરતા, અંકો ${1, 2, 5, 6, 7}$ મળે. બેકી અંકો ${2, 6}$ છે.
છેલ્લો અંક $2$ હોય તો $4! = 24$ રીતે, અને $6$ હોય તો $4! = 24$ રીતે. કુલ $48$.
કિસ્સો $2$: $6$ દૂર કરતા, અંકો ${1, 2, 3, 5, 7}$ મળે. બેકી અંક ${2}$ છે.
છેલ્લો અંક $2$ હોય તો $4! = 24$ રીતે.
કુલ સંખ્યા $= 48 + 24 = 72$.

(C) ધારો કે ભૂમિતિ શ્રેણી $a, ar, ar^2, \ldots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 1$.
આપેલ છે કે $A_{1} A_{3} A_{5} A_{7} = \frac{1}{1296}$.
પદો મૂકતા: $a \cdot (ar^2) \cdot (ar^4) \cdot (ar^6) = a^4 r^{12} = (ar^3)^4 = (A_{4})^4 = \frac{1}{1296}$.
તેથી,$A_{4} = \sqrt[4]{\frac{1}{1296}} = \frac{1}{6}$.
આપેલ છે કે $A_{2} + A_{4} = \frac{7}{36}$,તેથી $ar + ar^3 = \frac{7}{36}$.
$A_{4} = ar^3 = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$ar + \frac{1}{6} = \frac{7}{36}$,તેથી $ar = \frac{1}{36}$.
હવે,$r^2 = \frac{ar^3}{ar} = \frac{1/6}{1/36} = 6$,તેથી $r = \sqrt{6}$.
આપણે $A_{6} + A_{8} + A_{10} = ar^5 + ar^7 + ar^9 = ar^5(1 + r^2 + r^4)$ શોધવાનું છે.
$ar^5 = (ar) \cdot r^4 = \frac{1}{36} \cdot (6)^2 = 1$.
$A_{6} + A_{8} + A_{10} = 1 \cdot (1 + 6 + 36) = 43$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે રેખા $y = mx + c$ સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં $m = 2$ હોવાથી,$c^2 = 4a^2 - b^2$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$.
$e^2 = \frac{5}{2}$ મુકતા,$\frac{5}{2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2}$ અથવા $b^2 = \frac{3a^2}{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 6\sqrt{2}$ છે.
$b^2 = \frac{3a^2}{2}$ મુકતા,$\frac{2}{a} \times \frac{3a^2}{2} = 6\sqrt{2}$,જેનું સાદુંરૂપ $3a = 6\sqrt{2}$ એટલે કે $a = 2\sqrt{2}$ મળે.
તેથી $a^2 = 8$ અને $b^2 = \frac{3}{2} \times 8 = 12$.
આમ,$c^2 = 4a^2 - b^2 = 4(8) - 12 = 32 - 12 = 20$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x-4y=0$ છે. કેન્દ્ર $C(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{5}$ છે.
$O(0,0)$ આગળનો સ્પર્શક $x+2y=0$ છે.
$P(1+\sqrt{5}, 2)$ આગળનો સ્પર્શક $x=1+\sqrt{5}$ છે.
બિંદુ $Q$ ના યામ $(1+\sqrt{5}, -\frac{1+\sqrt{5}}{2})$ મળે છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = OQ = \frac{5+\sqrt{5}}{2}$ છે.
ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{RL^{3}}{R^{2}+L^{2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(A) કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $= 900$.
ઓછામાં ઓછા બે અંક એકી હોવાનો અર્થ છે કે કાં તો બરાબર બે અંક એકી છે અથવા ત્રણેય અંક એકી છે.
બધા ત્રણ અંક એકી હોય તેવી સંખ્યાઓ $= 5 \times 5 \times 5 = 125$.
બરાબર બે અંક એકી હોય તેવી સંખ્યાઓ $= 350$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 125 + 350 = 475$.
સંભાવના $= \frac{475}{900} = \frac{19}{36}$.

(C) ધારો કે $BC = CQ = x$,$AB = h$,અને $PQ = 2h$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle PQC$ પરથી:
$\tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x}$
$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{PQ}{CQ} = \frac{2h}{x}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\tan \theta}{\tan \left(\frac{\pi}{8}\right)} = \frac{h/x}{2h/x} = \frac{1}{2}$
આમ,$\tan \theta = \frac{1}{2} \tan \left(\frac{\pi}{8}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{2}(\sqrt{2} - 1)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\tan^{2} \theta = \frac{1}{4}(\sqrt{2} - 1)^{2} = \frac{1}{4}(2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}$.

(C) આપેલ છે $S_{1}: ((\sim p) \vee q) \vee ((\sim p) \vee r)$.
સાહચર્ય અને સ્વયંઘાતી નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$S_{1} \equiv (\sim p \vee \sim p) \vee (q \vee r) \equiv \sim p \vee (q \vee r)$.
આપેલ છે $S_{2}: p \rightarrow (q \vee r)$.
શરતી નિયમ $p \rightarrow x \equiv \sim p \vee x$ નો ઉપયોગ કરતા,$S_{2} \equiv \sim p \vee (q \vee r)$.
કારણ કે $S_{1} \equiv S_{2}$,તેઓ હંમેશા સમાન સત્યતા મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,જો $S_{2}$ અસત્ય હોય,તો $S_{1}$ પણ અસત્ય હોવું જોઈએ.
આમ,વિધાન 'જો $S_{2}$ અસત્ય હોય,તો $S_{1}$ સત્ય છે' તે સાચું નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} + 4e^{3x} - 58e^{2x} + 4e^{x} + 1 = 0$.
$e^{2x}$ વડે ભાગતા:
$e^{2x} + 4e^{x} - 58 + 4e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 4(e^{x} + e^{-x}) - 58 = 0$.
ધારો કે $t = e^{x} + e^{-x}$. વાસ્તવિક $x$ માટે $t \geq 2$.
$(e^{x} + e^{-x})^{2} = e^{2x} + e^{-2x} + 2$ હોવાથી,$e^{2x} + e^{-2x} = t^{2} - 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$(t^{2} - 2) + 4t - 58 = 0 \implies t^{2} + 4t - 60 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$(t + 10)(t - 6) = 0$.
તેથી,$t = -10$ અથવા $t = 6$.
$t = e^{x} + e^{-x} \geq 2$ હોવાથી,$t = -10$ શક્ય નથી.
તેથી,$e^{x} + e^{-x} = 6$.
$e^{2x} - 6e^{x} + 1 = 0$.
ધારો કે $u = e^{x}$. તો $u^{2} - 6u + 1 = 0$.
વિવેચક $D = (-6)^{2} - 4(1)(1) = 32 > 0$.
બીજનો ગુણાકાર $1 > 0$ અને સરવાળો $6 > 0$ હોવાથી,બંને બીજ $u_{1}, u_{2}$ ધન છે.
$u = e^{x} > 0$ હોવાથી,બંને બીજ માટે $x = \ln(u)$ ના વાસ્તવિક ઉકેલો મળે.
આમ,$2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) આપેલ છે $n = 15$,$\text{મધ્યક} (\bar{x}) = 8$,અને $\text{પ્રમાણિત વિચલન} (\sigma) = 3$.
$\text{વિચરણ} = \sigma^2 = 3^2 = 9$.
સૂત્ર $\text{વિચરણ} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$9 = \frac{\sum x_i^2}{15} - 8^2$.
$\frac{\sum x_i^2}{15} = 9 + 64 = 73 \Rightarrow \sum x_i^2 = 15 \times 73 = 1095$.
વળી,$\sum x_i = n \times \bar{x} = 15 \times 8 = 120$.
કિંમતો સુધારતા: $20$ ને બદલે $5$ વંચાયા હતા,તેથી $5$ બાદ કરી $20$ ઉમેરીશું.
સુધારેલ $\sum x_i = 120 - 5 + 20 = 135$.
સુધારેલ $\sum x_i^2 = 1095 - 5^2 + 20^2 = 1095 - 25 + 400 = 1470$.
સુધારેલ $\text{મધ્યક} (\bar{x}_{new}) = \frac{135}{15} = 9$.
સુધારેલ $\text{વિચરણ} = \frac{1470}{15} - (9)^2 = 98 - 81 = 17$.

(A) $P'(2, -3)$ એ $P(2, 3)$ નું $x$-અક્ષ $(y=0)$ પરનું પ્રતિબિંબ છે.
કિરણ $A$ પર પરાવર્તન પામતું હોવાથી,$P', A$ અને $Q$ સમરેખ છે.
$P'Q$ રેખાનું સમીકરણ: $y + 3 = \frac{4 - (-3)}{5 - 2}(x - 2) \implies 3y + 9 = 7x - 14 \implies 7x - 3y = 23$.
$A$ પર $y = 0$ હોવાથી,$7x = 23 \implies x = \frac{23}{7}$. તેથી,$A = (\frac{23}{7}, 0)$.
$R$ એ $AQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. $A = (\frac{23}{7}, 0)$ અને $Q = (5, 4)$.
$R = (\frac{2(5) + 1(23/7)}{3}, \frac{2(4) + 1(0)}{3}) = (\frac{31}{7}, \frac{8}{3})$.
$\angle PAQ$ નો દ્વિભાજક એ $A$ માંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષને લંબ રેખા $x = \frac{23}{7}$ છે.
$R(\frac{31}{7}, \frac{8}{3})$ માંથી રેખા $x = \frac{23}{7}$ પરના લંબનો લંબપાદ $M(\frac{23}{7}, \frac{8}{3})$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{23}{7}$ અને $\beta = \frac{8}{3}$.
$7\alpha + 3\beta = 7(\frac{23}{7}) + 3(\frac{8}{3}) = 23 + 8 = 31$.

(C) ધારો કે ગણ $A$ માં $n = 20$ ઘટકો છે. ગણ $A + A$ માં $39$ ઘટકો છે. $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ માટે,$A + A$ માં ઘટકોની મહત્તમ સંખ્યા $\frac{n(n+1)}{2} = 210$ છે. ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $2n - 1 = 39$ છે.
ગણ $A + A$ માં બરાબર $39$ ઘટકો હોવાથી,ગણ $A$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ હોવી જોઈએ.
અહીં $a = 1$ અને છેલ્લું પદ $l = 77$ છે,જ્યાં કુલ $20$ પદો છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ માટે,$77 = 1 + (20 - 1)d$,તેથી $76 = 19d$,એટલે કે $d = 4$.
શ્રેણીના પદો $1, 5, 9, 13, \ldots, 77$ છે.
$18$ પદોનો સરવાળો $a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{18}$ એ પ્રથમ અને છેલ્લા પદને બાદ કરતાં સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો છે.
સરવાળો $= \frac{18}{2} \times (a_{1} + a_{18}) = 9 \times (5 + 73) = 9 \times 78 = 702$.

(C) $\left(2x^3 + \frac{3}{x^k}\right)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{12}C_r (2x^3)^r \left(\frac{3}{x^k}\right)^{12-r}$ છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $3r - k(12-r) = 0$,એટલે કે $k = \frac{3r}{12-r}$.
$r$ ની શક્ય કિંમતો માટે $k$ ની કિંમતો $r=6$ અને $r=8$ મળે છે,જેના માટે અચળ પદમાં $2^8$ નો ગુણાંક મળે છે.
આમ,$k$ ની આવી $2$ કિંમતો શક્ય છે.

(A) આપેલ શરત $1 < |z - (3 - 2i)| < 4$ છે. ધારો કે $z = a + ib$,જ્યાં $a, b \in \mathbb{Z}$.
આ $(3, -2)$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 1$ તથા $r_2 = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો વચ્ચેનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
અસમતા $1 < (a - 3)^2 + (b + 2)^2 < 16$ છે.
ધારો કે $x = a - 3$ અને $y = b + 2$. $a, b \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$x, y \in \mathbb{Z}$ થાય.
આપણે એવા પૂર્ણાંક જોડાણો $(x, y)$ શોધવાના છે કે જેથી $1 < x^2 + y^2 < 16$ થાય.
$x^2 + y^2$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 4, 5, 8, 9, 10, 13$ છે.
- $x^2 + y^2 = 2$ માટે: $(\pm 1, \pm 1)$ $\rightarrow 4$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 4$ માટે: $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ $\rightarrow 4$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 5$ માટે: $(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$ $\rightarrow 8$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 8$ માટે: $(\pm 2, \pm 2)$ $\rightarrow 4$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 9$ માટે: $(\pm 3, 0), (0, \pm 3)$ $\rightarrow 4$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 10$ માટે: $(\pm 1, \pm 3), (\pm 3, \pm 1)$ $\rightarrow 8$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 13$ માટે: $(\pm 2, \pm 3), (\pm 3, \pm 2)$ $\rightarrow 8$ બિંદુઓ.
બિંદુઓની કુલ સંખ્યા = $4 + 4 + 8 + 4 + 4 + 8 + 8 = 40$.

(B) વર્તુળના અભિલંબના સમીકરણો:
$y+2x=\sqrt{11}+7\sqrt{7}$ $(i)$
$2y+x=2\sqrt{11}+6\sqrt{7}$ $(ii)$
કેન્દ્ર $(h, k)$ મેળવવા માટે આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$h = \frac{8\sqrt{7}}{3}$ અને $k = \sqrt{11}+\frac{5\sqrt{7}}{3}$.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું લંબ અંતર છે:
$r = 4\sqrt{\frac{7}{5}} \implies r^{2} = \frac{112}{5}$.
$(5h-8k)^{2}+5r^{2}$ ની ગણતરી કરતા:
$5h-8k = -8\sqrt{11} \implies (5h-8k)^{2} = 704$.
$5r^{2} = 112$.
કુલ સરવાળો $704 + 112 = 816$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{4}+x^{2}+1=0$ છે.
તેના અવયવો $(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=0$ થાય છે.
અહીં $\alpha^{6}=1$ થાય છે.
$\alpha^{1011} = (\alpha^{6})^{168} \cdot \alpha^{3} = \alpha^{3}$.
$\alpha^{2022} = (\alpha^{6})^{337} = 1$.
$\alpha^{3033} = (\alpha^{6})^{505} \cdot \alpha^{3} = \alpha^{3}$.
તેથી,$\alpha^{1011}+\alpha^{2022}-\alpha^{3033} = \alpha^{3} + 1 - \alpha^{3} = 1$.

(C) સમીકરણ $|z|=3$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત અને $R=3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $\arg(z-1)-\arg(z+1)=\frac{\pi}{4}$ ને $\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ $z=1$ અને $z=-1$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે.
ધારો કે $z=x+iy$. શરત $\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ સૂચવે છે કે બિંદુપથ એ $(-1,0)$ અને $(1,0)$ અંત્યબિંદુઓ ધરાવતો વર્તુળાકાર ચાપ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0,1)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ છે.
આ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+(y-1)^2=2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-2y-1=0$ થાય છે.
આપણે $x^2+y^2=9$ અને $x^2+y^2-2y-1=0$ નું છેદબિંદુ શોધવાની જરૂર છે.
બીજા સમીકરણમાં $x^2+y^2=9$ મૂકતા: $9-2y-1=0$,જે $8-2y=0$ આપે છે,તેથી $y=4$.
જો કે,વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ માટે,$y$ ની મહત્તમ કિંમત $1+\sqrt{2} \approx 2.414$ છે.
કારણ કે $4 > 1+\sqrt{2}$,વર્તુળ $|z|=3$ અને ચાપ એકબીજાને છેદતા નથી.
તેથી,તેઓ ક્યાંય છેદતા નથી.

(C) ધારો કે $S = 1 + \frac{5}{6} + \frac{12}{6^{2}} + \frac{22}{6^{3}} + \frac{35}{6^{4}} + \ldots$
$\frac{1}{6}S = \frac{1}{6} + \frac{5}{6^{2}} + \frac{12}{6^{3}} + \frac{22}{6^{4}} + \ldots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{5}{6}S = 1 + \frac{4}{6} + \frac{7}{6^{2}} + \frac{10}{6^{3}} + \frac{13}{6^{4}} + \ldots$
$\frac{5}{36}S = \frac{1}{6} + \frac{4}{6^{2}} + \frac{7}{6^{3}} + \frac{10}{6^{4}} + \ldots$
ફરીથી બાદબાકી કરતા:
$(\frac{5}{6} - \frac{5}{36})S = 1 + \frac{3}{6} + \frac{3}{6^{2}} + \frac{3}{6^{3}} + \ldots$
$\frac{25}{36}S = 1 + \frac{\frac{3}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = 1 + \frac{3}{6} \times \frac{6}{5} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$
$S = \frac{8}{5} \times \frac{36}{25} = \frac{288}{125}$

(D) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{x^{4}-2x^{3}+2x-1}$.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $x^{4}-2x^{3}+2x-1 = (x^{4}-1) - 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}+1) - 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}-2x+1) = (x^{2}-1)(x-1)^{2}$.
આને લક્ષમાં મૂકતા: $L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{(x^{2}-1)(x-1)^{2}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin^{2}(\pi x)}{(x-1)^{2}}$.
ગુણધર્મ $\sin(\pi x) = \sin(\pi - \pi x) = \sin(\pi(1-x))$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\sin(\pi(1-x))}{\pi(1-x)} \cdot \pi \right)^{2} = \pi^{2} \cdot \left( \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin(\pi(1-x))}{\pi(1-x)} \right)^{2} = \pi^{2} \cdot (1)^{2} = \pi^{2}$.

(D) રેખા $y = 3x + 5$ નો ઢાળ $m_1 = 3$ છે. ધારો કે સ્પર્શકોનો ઢાળ $m$ છે. સ્પર્શકો અને રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે.
$\tan(\theta) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\frac{\pi}{4}) = |\frac{m - 3}{1 + 3m}| = 1$ મળે.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1$ અથવા $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1$.
કિસ્સો $1$: $m - 3 = 1 + 3m \implies -2m = 4 \implies m = -2$.
કિસ્સો $2$: $m - 3 = -1 - 3m \implies 4m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \cdot m_2 = (-2) \cdot (\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,બંને સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.
પરવલયનો ગુણધર્મ છે કે જો બે સ્પર્શકો લંબ હોય,તો તેમનું છેદબિંદુ નિયામિકા પર હોય છે,અને સ્પર્શબિંદુઓ $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખા નાભિ $S$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,કોઈપણ $a > 0$ માટે $A, S$ અને $B$ સમરેખ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - \sqrt{2}x - \sqrt{2}y = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $f = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ છે.
કારણ કે $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$,બાજુ $BC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,$BC = 2r = 2(1) = 2$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1$.

(C) ધારો કે બાજુઓ $AB: x - 2y + 1 = 0$ અને $AC: 2x - y - 1 = 0$ છે. આ બંનેને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $A(1, 1)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $B$ માંથી દોરેલો વેધ $H\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AC$ ને લંબ છે. $AC$ નો ઢાળ $2$ છે,તેથી વેધ $BH$ નો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ થાય. $BH$ નું સમીકરણ $x + 2y - 7 = 0$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $B$ એ $AB$ અને $BH$ નું છેદબિંદુ છે: $x - 2y = -1$ અને $x + 2y = 7$. ઉકેલતા $B(3, 2)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $C$ માંથી દોરેલો વેધ $H\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે. $AB$ નો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે,તેથી વેધ $CH$ નો ઢાળ $-2$ થાય. $CH$ નું સમીકરણ $2x + y - 7 = 0$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $C$ એ $AC$ અને $CH$ નું છેદબિંદુ છે: $2x - y = 1$ અને $2x + y = 7$. ઉકેલતા $C(2, 3)$ મળે છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $\left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{1+2+3}{3}\right) = (2, 2)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી મધ્યકેન્દ્ર $(2, 2)$ નું અંતર $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(A) આપેલ માહિતી: $3, 7, 12, a, 43-a$. મધ્યક $\bar{x} = 13$.
અવલોકનોનો સરવાળો $= 3 + 7 + 12 + a + 43 - a = 65$.
મધ્યક $= \frac{65}{5} = 13$ (ચકાસાયેલ).
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{3^2 + 7^2 + 12^2 + a^2 + (43-a)^2}{5} - 13^2$.
$\sigma^2 = \frac{2a^2 - 86a + 1206}{5}$.
વિચરણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવા માટે,$2a^2 - 86a + 1206$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$2a^2 - a + 1 \equiv 0 \pmod{5}$.
$a \pmod{5}$ ની કિંમતો તપાસતા,કોઈ પણ કિંમત માટે આ શરત સંતોષાતી નથી.
તેથી,$a$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને થાંભલા અને ટાવર વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
$\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{x}{h - 20} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h - 20}{x} \implies x = \sqrt{3}(h - 20)$.
$\frac{h}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(h - 20) \implies h = 3(h - 20) \implies h = 3h - 60 \implies 2h = 60 \implies h = 30$.

(C) ધારો કે વિધાન $S = (p \vee q) \Rightarrow ((\sim r) \vee p)$ છે.
ગર્ભિત નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim (p \vee q) \vee ((\sim r) \vee p)$
$S \equiv (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim r \vee p)$
વિભાજનના નિયમ $(A \wedge B) \vee C \equiv (A \vee C) \wedge (B \vee C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv (\sim p \vee \sim r \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p)$
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$ (નિરર્થકતા),આપણી પાસે છે:
$S \equiv (T \vee \sim r) \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p)$
$S \equiv T \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p) \equiv \sim q \vee \sim r \vee p$
હવે,$S$ નું નિષેધ $\sim (\sim q \vee \sim r \vee p)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (A \vee B \vee C) \equiv \sim A \wedge \sim B \wedge \sim C$:
$\sim S \equiv q \wedge r \wedge \sim p$
ગોઠવતા,આપણને $(\sim p) \wedge q \wedge r$ મળે છે.

(C) આપણી પાસે $9^{n} = (1+8)^{n} = 1 + n(8) + { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n})$ છે.
તેથી,$9^{n}-8n-1 = { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n}) = 64\alpha$.
આમ,$\alpha = { }^{n}C_{2} + { }^{n}C_{3}(8) + { }^{n}C_{4}(8^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n-2})$.
તે જ રીતે,$6^{n} = (1+5)^{n} = 1 + n(5) + { }^{n}C_{2}(5^{2}) + { }^{n}C_{3}(5^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(5^{n}) = 25\beta$.
આમ,$\beta = { }^{n}C_{2} + { }^{n}C_{3}(5) + { }^{n}C_{4}(5^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(5^{n-2})$.
બંને પદોની બાદબાકી કરતા:
$\alpha - \beta = { }^{n}C_{3}(8-5) + { }^{n}C_{4}(8^{2}-5^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n-2}-5^{n-2})$.
જે વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ છે કે $AB = I$,બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A||B| = |I| = 1$ મળે છે.
કારણ કે $|A| = \frac{1}{8}$,તેથી $\frac{1}{8}|B| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|B| = 8$.
આપણે $|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))|$ શોધવાનું છે.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$.
આમ,$|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))| = |B \operatorname{adj}(2A)|^2 = |B|^2 |\operatorname{adj}(2A)|^2$.
કારણ કે $|\operatorname{adj}(2A)| = |2A|^{3-1} = |2A|^2 = (2^3 |A|)^2 = (8 \times \frac{1}{8})^2 = 1^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $|B|^2 \times (1)^2 = 8^2 \times 1 = 64$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \frac{t^{2}-5t+4}{2+e^{t}} dt$.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$f'(x) = \frac{(x^{2})^{2}-5(x^{2})+4}{2+e^{x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}(x^{2})$
$f'(x) = \frac{x^{4}-5x^{2}+4}{2+e^{x^{2}}} \cdot (2x)$
$f'(x) = \frac{2x(x^{2}-1)(x^{2}-4)}{2+e^{x^{2}}}$
$f'(x) = \frac{2x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{2+e^{x^{2}}}$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -2, -1, 0, 1, 2$ છે.
આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નની તપાસ કરતા:
$x < -2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$-2 < x < -1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$.
$0 < x < 1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$1 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x > 2$ માટે,$f'(x) > 0$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે: $x = -2, 0, 2$ પર. તેથી,$n = 3$.
સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે: $x = -1, 1$ પર. તેથી,$m = 2$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(m, n)$ એ $(2, 3)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\int\limits_{\cos x}^{1} t^{2} f(t) d t = \sin^{3} x + \cos x - 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz ના નિયમ મુજબ):
$-(\cos x)^{2} f(\cos x) \cdot (-\sin x) = 3 \sin^{2} x \cos x - \sin x$.
$\sin x \cos^{2} x f(\cos x) = \sin x (3 \sin x \cos x - 1)$.
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ હોવાથી,$\sin x \neq 0$,તેથી $\cos^{2} x f(\cos x) = 3 \sin x \cos x - 1$.
$f(\cos x) = 3 \tan x \sec x - \sec^{2} x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(\cos x) \cdot (-\sin x) = 3(\sec x \cdot \sec^{2} x + \tan x \cdot \sec x \tan x) - 2 \sec x \cdot \sec x \tan x$.
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ લેતા,$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,$\sec x = \sqrt{3}$,અને $\tan x = \sqrt{2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) = 3(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) - 2(3)(\sqrt{2}) = 15\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 6 - \frac{9}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} 7^{-\left[\frac{1}{x}\right]} dx$. ધારો કે $n = \left[\frac{1}{x}\right]$,તો $n \le \frac{1}{x} < n+1$,જે સૂચવે છે કે $\frac{1}{n+1} < x \le \frac{1}{n}$.
જેમ $x$ એ $0$ થી $1$ સુધી જાય છે,તેમ $n$ એ $\infty$ થી $1$ સુધી જાય છે.
$I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} 7^{-n} dx = \sum_{n=1}^{\infty} 7^{-n} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)}$.
વિસ્તરણ $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^n}{n} = -\ln(1 - 1/7) = -\ln(6/7) = \ln(7/6)$.
બીજા ભાગ માટે,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^{n+1}}{n+1} = 7 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/7)^k}{k} = 7 [-\ln(1 - 1/7) - 1/7] = 7 [\ln(7/6) - 1/7] = 7 \ln(7/6) - 1$.
આમ,$I = \ln(7/6) - (7 \ln(7/6) - 1) = 1 - 6 \ln(7/6) = 1 + 6 \ln(6/7)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\tan^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1 + y^2}$,જેને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1 + y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot e^{\tan^{-1} y} = \int Q(y) \cdot e^{\tan^{-1} y} dy + C$ છે.
ધારો કે $u = \tan^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$. સંકલન $\int u e^u du = u e^u - e^u + C$ બને છે.
આમ,$x e^{\tan^{-1} y} = (\tan^{-1} y - 1) e^{\tan^{-1} y} + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 0$ મૂકતા: $1 \cdot e^0 = (0 - 1) e^0 + C \Rightarrow 1 = -1 + C \Rightarrow C = 2$.
વક્રનું સમીકરણ $x e^{\tan^{-1} y} = (\tan^{-1} y - 1) e^{\tan^{-1} y} + 2$ છે.
$y = \tan(1)$ માટે,$\tan^{-1} y = 1$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$x e^1 = (1 - 1) e^1 + 2 \Rightarrow x e = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{e}$.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (4\lambda - 2, 2\lambda + 1, 3\lambda - 1)$ છે.
ધારો કે $A = (1, 2, 4)$. સદિશ $\vec{AP} = (4\lambda - 3, 2\lambda - 1, 3\lambda - 5)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$AP \perp \text{રેખા}$ હોવાથી,$\vec{AP} \cdot \vec{b} = 0$.
$4(4\lambda - 3) + 2(2\lambda - 1) + 3(3\lambda - 5) = 0$.
$16\lambda - 12 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 15 = 0$.
$29\lambda - 29 = 0 \implies \lambda = 1$.
$P$ ના યામમાં $\lambda = 1$ મૂકતા,$P = (2, 3, 2)$ મળે છે.
સમતલ $3x + 4y + 12z + 23 = 0$ થી $P(2, 3, 2)$ નું અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|3(2) + 4(3) + 12(2) + 23|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}} = \frac{|6 + 12 + 24 + 23|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{|65|}{\sqrt{169}} = \frac{65}{13} = 5$.

(A) આપેલી રેખાઓ $L_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}$ અને $L_2: \frac{x+3}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-5}{3}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(3, 2, 1)$ અને $B(-3, 6, 5)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-3-3)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = -6\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9 - (-1)) - \hat{j}(6 - (-2)) + \hat{k}(2 - 6) = 10\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{100 + 64 + 16} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ છે.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})| = |(-6)(10) + (4)(-8) + (4)(-4)| = |-60 - 32 - 16| = |-108| = 108$ છે.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{108}{6\sqrt{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}}$ થાય.

(D) વિકર્ણો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}| = 4 \sqrt{2}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}|=1$ અને $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$,તેથી આપણી પાસે $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે,$\cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \frac{\pi}{4} = 1 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2} \Rightarrow |\vec{b}| = 8$.
આપેલ છે કે $\vec{c} = 2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}) - 2 \vec{b}$.
કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b})$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે,સદિશો $(2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}))$ અને $(-2 \vec{b})$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$|\vec{c}|^2 = |2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b})|^2 + |-2 \vec{b}|^2 = 8(4 \sqrt{2})^2 + 4(8)^2 = 8(32) + 4(64) = 256 + 256 = 512$.
$|\vec{c}| = \sqrt{512} = 16 \sqrt{2}$.
હવે,$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2 \sqrt{2}(\vec{a} \times \vec{b}) - 2 \vec{b}) = 2 \sqrt{2} (\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 2 |\vec{b}|^2 = 0 - 2(8)^2 = -128$.
ધારો કે $\alpha$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તો $\cos \alpha = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|} = \frac{-128}{8 \cdot 16 \sqrt{2}} = \frac{-128}{128 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right) = \tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y$.
આપેલ પદ $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}\right)$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1} n$.
હવે,સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$\sum\limits_{n=1}^{50} \left(\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1} n\right) = (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + \dots + (\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 50)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી તે સરળ બનીને મળે છે:
$\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 1$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 1 = \tan ^{-1} \left(\frac{51-1}{1+51 \times 1}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{50}{52}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)$.
છેલ્લે,આપણે $\cot \left(\tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $\cot(\tan ^{-1} x) = \frac{1}{x}$,તેથી:
$\cot \left(\tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)\right) = \frac{26}{25}$.

(D) આપેલ છે $f(n) = \begin{cases} 2n, & n \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ 2n - 11, & n \in \{6, 7, 8, 9, 10\} \end{cases}$.
$f(x) = n$ ઉકેલીને આપણે $f^{-1}(n)$ શોધીએ છીએ:
જો $n \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$,તો $2x = n \implies x = n/2$.
જો $n \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$,તો $2x - 11 = n \implies x = (n + 11)/2$.
આમ,$f^{-1}(n) = \begin{cases} n/2, & n \in \{2, 4, 6, 8, 10\} \\ (n + 11)/2, & n \in \{1, 3, 5, 7, 9\} \end{cases}$.
આપેલ છે $f(g(n)) = \begin{cases} n + 1, & n \text{ એકી હોય} \\ n - 1, & n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$,તેથી $g(n) = f^{-1}(f(g(n)))$.
જ્યારે $n$ એકી હોય,$g(n) = f^{-1}(n + 1)$. $n+1$ બેકી હોવાથી,$g(n) = (n + 1)/2$.
જ્યારે $n$ બેકી હોય,$g(n) = f^{-1}(n - 1)$. $n-1$ એકી હોવાથી,$g(n) = (n - 1 + 11)/2 = (n + 10)/2$.
કિંમતોની ગણતરી:
$g(1) = 1$,$g(2) = 6$,$g(3) = 2$,$g(4) = 7$,$g(5) = 3$,$g(10) = 10$.
તેથી,$g(10) \cdot (g(1) + g(2) + g(3) + g(4) + g(5)) = 10 \cdot (1 + 6 + 2 + 7 + 3) = 10 \cdot 19 = 190$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. સરવાળો $S = a + b + c + d = p$,જ્યાં $p \in \{3, 5, 7\}$.
કિસ્સો $(i): S = 3$. $a + b + c + d = 3$ ના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3} = 20$ છે.
કિસ્સો $(ii): S = 5$. $a + b + c + d = 5$ ના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = 56$ છે.
કિસ્સો $(iii): S = 7$. $a, b, c, d \le 5$ સાથે $a + b + c + d = 7$ ના ઉકેલોની સંખ્યા ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન દ્વારા મેળવતા,કુલ ઉકેલો $\binom{10}{3} = 120$ છે. ઓછામાં ઓછો એક ચલ $\ge 6$ હોય તેવા કિસ્સાઓ બાદ કરતા,$120 - 16 = 104$ મળે છે.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = $20 + 56 + 104 = 180$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=[1+x]+\frac{\alpha^{2[x]+\{x\}}+[x]-1}{2[x]+\{x\}}$ છે.
$x \to 0^-$ માટે,$[x] = -1$ અને ${x} = 1+x$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 + \frac{\alpha^{-1} - 2}{-1} = 2 - \frac{1}{\alpha}$.
આપેલ છે કે લક્ષ $\alpha - \frac{4}{3}$ છે.
તેથી,$2 - \frac{1}{\alpha} = \alpha - \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha + \frac{1}{\alpha} = \frac{10}{3}$.
આમ,$\alpha = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $y = x^{x^x}$. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\ln y = x^x \ln x$ મળે.
વિકલન કરતા,$y' = y [x^x(1 + \ln x) \ln x + x^x \cdot \frac{1}{x}]$ મળે.
$x = 1$ આગળ,$y = 1$ અને $y' = 1$ મળે.
દ્વિતીય વિકલન $y''$ ની કિંમત $x = 1$ આગળ $4$ મળે છે.
સૂત્ર $\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{4}{(1)^3} = -4$ મળે.
તેથી,$-4 + 20 = 16$.

(A) આ પ્રદેશ એસ્ટ્રોઇડ $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$,રેખા $x + y = 0$,અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા પ્રથમ અને દ્વિતીય ચરણમાં ઘેરાયેલો છે.
આપેલ છે કે $y \geq 0$ અને $x+y \geq 0$,તેથી પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં અને દ્વિતીય ચરણના ભાગમાં આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{0} (1 - (-x)^{2/3})^{3/2} dx + \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$.
સંમિતિને કારણે,$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^{2/3})^{3/2} dx$.
ધારો કે $x = \sin^3 \theta$,તો $dx = 3 \sin^2 \theta \cos \theta d\theta$.
$A = 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^2 \theta)^{3/2} \cdot 3 \sin^2 \theta \cos \theta d\theta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 \theta \cdot \sin^2 \theta \cos \theta d\theta = 6 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 \theta \cos^4 \theta d\theta$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m \theta \cos^n \theta d\theta = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$.
$A = 6 \cdot \frac{(1) \cdot (3 \cdot 1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = 6 \cdot \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{64}$.
તેથી,$\frac{256A}{\pi} = \frac{256}{\pi} \cdot \frac{9\pi}{64} = 4 \cdot 9 = 36$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} = xy + (x^{3}+2) \sqrt{1-x^{2}}$ છે.
તેને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}} y = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{-x}{1-x^{2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{-x}{1-x^{2}} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^{2})} = \sqrt{1-x^{2}}$.
$IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} (y \sqrt{1-x^{2}}) = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \sqrt{1-x^{2}} = x^{3}+2$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y \sqrt{1-x^{2}} = \int (x^{3}+2) dx = \frac{x^{4}}{4} + 2x + C$.
$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 = 0 + 0 + C$,તેથી $C=0$.
આમ,$\sqrt{1-x^{2}} y(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x$.
આપણે $k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{4}}{4} + 2x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$2x$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 2x dx = 0$.
તેથી,$k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{320}$.
આમ,$k^{-1} = 320$.

$P \left( A ^{\prime}\right)<\frac{1}{5}=\frac{36}{180}$

$5$ times the sum of missing number should be less than $36 .$

If $1$ digit is missing $=7$

If $2$ digit is missing $=9$

If $3$ digit is missing $=2$

If $0$ digit is missing $=1$

Alternate

$A$ is subset of $S$ hence

$A$ can have elements:

type $1:\{\}$

type $2$: $\left\{E_{1}\right\},\left\{E_{2}\right\}, \ldots \ldots .\left\{E_{8}\right\}$

type $3$: $\left\{ E _{1}, E _{2}\right\},\left\{ E _{1}, E _{3}\right\} \ldots \ldots .\left\{ E _{1}, E _{ 8 }\right\}$

.

.

.

type $6$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots E _{5}\right\}, \ldots \ldots\left\{ E _{4}, E _{5}, E _{6}, E _{7}, E _{8}\right\}$

type $7$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . . E _{6}\right\}, \ldots \ldots .\left\{ E _{3}, E _{4}, \ldots \ldots \ldots . . E _{ 8 }\right\}$

type $8$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . E _{9}\right\}\left\{ E _{2}, E _{3}, \ldots \ldots \ldots . E _{8}\right\}$

type $9$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . . E _{ 8 }\right\}$

As $P ( A ) \geq \frac{4}{5}$

Note : Type $1$ to Type $4$ elements can not be in set

$A$ as maximum probability of type $4$ elements.

$\left\{ E _{5}, E _{6}, E _{ 7 }, E _{ s }\right\}$ is $\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{7}{36}+\frac{8}{36}=\frac{13}{18}<\frac{4}{5}$

Now for Type $5$ acceptable elements let's call probability as $P _{ 5 }$

$P _{5}=\frac{ n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5}}{36} \leq \frac{4}{5}$

$\Rightarrow n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5} \geq 28.8$

Hence, $2$ possible ways $\left\{ E _{9}, E _{6}, E _{\eta}, E _{\varepsilon}, E _{3}\right.$ or $\left.E _{4}\right\}$

$P _{6}= n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5}+ n _{6} \geq 28.8$

$\Rightarrow 9$ possible ways

$P _{8} \Rightarrow n _{1}+ n _{2}+\ldots \ldots \ldots+ n _{1} \geq 288$

$\Rightarrow 7$ possible ways

$P _{ 8 } \Rightarrow n _{1}+ n _{2}+\ldots \ldots \ldots+ n _{ 8 } \geq 28.8$

$\Rightarrow 1$ possible way

Total $=19$

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \alpha & 3 & -1 \\ -\alpha & 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $\Delta$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta = 1(6 + 1) - 2(2\alpha - \alpha) + 1(\alpha + 3\alpha) = 7 + 2\alpha$.
અસુસંગતતા માટે $\Delta = 0$ લેતા:
$7 + 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{7}{2}$.
હવે,$\alpha = -\frac{7}{2}$ માટે $\Delta_x$ તપાસતા:
$\Delta_x = 14 + 2\alpha = 14 + 2(-\frac{7}{2}) = 7 \neq 0$.
આમ,$\Delta = 0$ અને $\Delta_x \neq 0$ હોવાથી,$\alpha = -\frac{7}{2}$ માટે સમીકરણોની સંહતિ અસુસંગત છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{ax - by + a}{bx + cy + a}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{x + g}{y + f}$ થાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$b = 0$,$a = -2$,અને $c = 2$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 15 = 0$ મળે છે,જેનું કેન્દ્ર $C(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
બિંદુ $P(11, 6)$ થી કેન્દ્રનું અંતર $CP = \sqrt{(11+1)^2 + (6-1)^2} = 13$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $= CP - r = 13 - 5 = 8$.

(D) ધારો કે $f(x) = x^{4}-4x+1$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 4x^{3}-4$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $4x^{3}-4 = 0 \Rightarrow x^{3} = 1 \Rightarrow x = 1$.
અહીં $f''(x) = 12x^{2}$ છે,તેથી $f''(1) = 12 > 0$,જે દર્શાવે છે કે $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(1) = 1^{4}-4(1)+1 = 1-4+1 = -2$ છે.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$ અને જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to \infty$.
ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ (જે $0$ કરતા નાની છે) હોવાથી અને વિધેય સતત હોવાથી,આલેખ $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે: એક $(-\infty, 1)$ અંતરાલમાં અને બીજું $(1, \infty)$ અંતરાલમાં.
તેથી,કુલ $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 20-2x^2$,$b = 10+x^2$,અને $c = 10+x^2$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s$ નીચે મુજબ મળે છે:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(20-2x^2) + (10+x^2) + (10+x^2)}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta$ હેરોનના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\Delta = \sqrt{20(20-(20-2x^2))(20-(10+x^2))(20-(10+x^2))}$
$\Delta = \sqrt{20(2x^2)(10-x^2)(10-x^2)}$
$\Delta = \sqrt{40x^2(10-x^2)^2} = 2\sqrt{10}|x(10-x^2)| = 2\sqrt{10}|10x-x^3|$.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f(x) = 10x-x^3$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ (બાજુઓની લંબાઈ ધન હોવાથી $x>0$ લેતા).
$f'(x) = 10-3x^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $10-3x^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{10}{3}$.
આમ,$x=k$ માટે,$k^2 = \frac{10}{3}$.
તેથી,$3k^2 = 3 \times \frac{10}{3} = 10$.

(A) આપેલ છે: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=5 \log _{e}\left(\frac{x}{5}\right)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{y^{2}}{4}}} \cdot \frac{y^{\prime}}{2} = 5 \cdot \frac{1}{x/5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{x}$.
$\frac{-y^{\prime}}{\sqrt{4-y^{2}}} = \frac{5}{x} \implies -x y^{\prime} = 5 \sqrt{4-y^{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^{2} (y^{\prime})^{2} = 25(4-y^{2}) = 100 - 25y^{2}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^{2} \cdot 2 y^{\prime} y^{\prime \prime} + 2x (y^{\prime})^{2} = -50 y y^{\prime}$.
$2 y^{\prime}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y^{\prime} \neq 0$):
$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -25 y$.
તેથી,$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} + 25 y = 0$.

(A) આપણી પાસે $\int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x = \int \frac{(x^{2}-1+2) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$ છે.
$= \int \left( \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^{2}} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right) e^{x} d x = \int \left( \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right) e^{x} d x$.
આ $\int (f(x) + f'(x)) e^{x} d x = f(x) e^{x} + C$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
આપણે $f(x) = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - 2(x+1)^{-1}$ લખી શકીએ.
તેથી $f'(x) = 2(x+1)^{-2}$.
$f''(x) = -4(x+1)^{-3}$.
$f'''(x) = 12(x+1)^{-4} = \frac{12}{(x+1)^{4}}$.
$x = 1$ આગળ,$f'''(1) = \frac{12}{(1+1)^{4}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{|x^{3}+x|}{e^{x|x|}+1}$.
આપણે ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) dx$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં $a = 2$ છે,તેથી $\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} (f(x) + f(-x)) dx$.
કારણ કે $|x^3+x| = |x(x^2+1)| = |x|(x^2+1)$,$x > 0$ માટે,$|x^3+x| = x(x^2+1) = x^3+x$.
વળી,$f(-x) = \frac{|(-x)^3+(-x)|}{e^{-x|-x|}+1} = \frac{|-(x^3+x)|}{e^{-x^2}+1} = \frac{x^3+x}{e^{-x^2}+1}$.
આમ,$f(x) + f(-x) = \frac{x^3+x}{e^{x^2}+1} + \frac{x^3+x}{e^{-x^2}+1} = (x^3+x) \left( \frac{1}{e^{x^2}+1} + \frac{e^{x^2}}{1+e^{x^2}} \right) = (x^3+x) \left( \frac{1+e^{x^2}}{1+e^{x^2}} \right) = x^3+x$.
તેથી,$\int_{0}^{2} (x^3+x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{16}{4} + \frac{4}{2} \right) - 0 = 4 + 2 = 6$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2^x \cdot 2^{-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = -\frac{2^x(2^y - 1)}{2^y(2^x - 1)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\frac{2^x}{2^x - 1} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\int \frac{2^x}{2^x - 1} dx$.
$u = 2^y - 1$ આદેશ લેતા,$du = 2^y \ln 2 \, dy$,તેથી $\frac{1}{\ln 2} \ln|2^y - 1| = -\frac{1}{\ln 2} \ln|2^x - 1| + C$.
$\ln 2$ વડે ગુણતા: $\ln|2^y - 1| + \ln|2^x - 1| = C_1$,જ્યાં $C_1 = C \ln 2$.
આથી $(2^y - 1)(2^x - 1) = K$,જ્યાં $K = e^{C_1}$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$(2^1 - 1)(2^1 - 1) = K \implies (1)(1) = K \implies K = 1$.
તેથી,$(2^y - 1)(2^x - 1) = 1$.
$x = 2$ માટે,$(2^y - 1)(2^2 - 1) = 1 \implies (2^y - 1)(3) = 1$.
$2^y - 1 = \frac{1}{3} \implies 2^y = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ $\log_2$ લેતા: $y = \log_2(\frac{4}{3}) = \log_2 4 - \log_2 3 = 2 - \log_2 3$.

(A) આપેલ દિક્કોસાઇન $l, m, n$ માટેના સંબંધો $l+m-n=0$ અને $3l^{2}+m^{2}+cnl=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,આપણને $n = l+m$ મળે છે.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $3l^{2}+m^{2}+cl(l+m)=0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $3l^{2}+m^{2}+cl^{2}+clm=0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$(3+c)l^{2}+clm+m^{2}=0$ મળે છે.
$m^{2}$ વડે ભાગતા ($m \neq 0$ ધારીને),આપણને $(3+c)(\frac{l}{m})^{2}+c(\frac{l}{m})+1=0$ મળે છે.
કારણ કે બે રેખાઓ સમાંતર છે,તેથી $(\frac{l}{m})$ માં આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D = b^{2}-4ac = 0$.
$c^{2}-4(3+c)(1) = 0$.
$c^{2}-4c-12=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(c-6)(c+2)=0$ મળે છે.
આથી $c=6$ અથવા $c=-2$ મળે છે.
આપણને $c$ નું ધન મૂલ્ય જોઈએ છે,તેથી $c=6$ છે.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આપણને શરત $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ થવું જોઈએ.
ચાલો આપણે ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (1)(-3) + (-1)(2) = 2 - 3 - 2 = -3$.
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{c} = -3 \neq 0$ હોવાથી,સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ નથી.
તેથી,એવો કોઈ સદિશ $\vec{b}$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ થાય.
આમ,આવા સદિશો $\vec{b}$ ની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $n = 7$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ અનુસરે છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરત $P(X=3) = 5P(X=4)$ આપેલ છે:
${}^{7}C_{3} p^{3} (1-p)^{4} = 5 \times {}^{7}C_{4} p^{4} (1-p)^{3}$.
કારણ કે ${}^{7}C_{3} = {}^{7}C_{4} = 35$,આપણે સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$35 p^{3} (1-p)^{4} = 5 \times 35 p^{4} (1-p)^{3}$.
બંને બાજુ $35 p^{3} (1-p)^{3}$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $p \neq 0, 1$):
$(1-p) = 5p$.
$1 = 6p \Rightarrow p = \frac{1}{6}$.
તેથી,$q = 1 - p = \frac{5}{6}$.
મધ્યક $= np = 7 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.
વિચરણ $= npq = 7 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$.
મધ્યક અને વિચરણનો સરવાળો $= \frac{7}{6} + \frac{35}{36} = \frac{42 + 35}{36} = \frac{77}{36}$.

(C) દરેક પદને પ્રતિવિધેયોની મુખ્ય કિંમતોના આધારે ઉકેલીએ:
$1$. $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ માટે:
$\frac{2 \pi}{3}$ એ મુખ્ય વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં નથી,તેથી $\sin \frac{2 \pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$2$. $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right)$ માટે:
$\frac{7 \pi}{6}$ એ મુખ્ય વિસ્તાર $[0, \pi]$ માં નથી,તેથી $\cos \frac{7 \pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{5\pi}{6}) = \cos \frac{5 \pi}{6}$.
તેથી,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}\right) = \frac{5 \pi}{6}$.
$3$. $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$ માટે:
$\frac{3 \pi}{4}$ એ મુખ્ય વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં નથી,તેથી $\tan \frac{3 \pi}{4} = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan \frac{\pi}{4} = \tan(-\frac{\pi}{4})$.
તેથી,$\tan ^{-1}\left(\tan(-\frac{\pi}{4})\right) = -\frac{\pi}{4}$.
સરવાળો કરતા:
$\frac{\pi}{3} + \frac{5 \pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + 10\pi - 3\pi}{12} = \frac{11 \pi}{12}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e}$.
$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e^{2(1-x)}}{e^{2(1-x)} + e}$ ધ્યાનમાં લો.
બીજા પદના અંશ અને છેદને $e^{2x}$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{2e^{2-2x} \cdot e^{2x}}{e^{2-2x} \cdot e^{2x} + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e^2}{e^2 + e^{2x+1}} = \frac{2e^2}{e^2 + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e}{e + e^{2x}}$ મળે છે.
આમ,$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e}{e^{2x} + e} = \frac{2(e^{2x} + e)}{e^{2x} + e} = 2$.
સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{99} f\left(\frac{k}{100}\right)$ છે.
પદોની જોડી બનાવતા $f\left(\frac{k}{100}\right) + f\left(1 - \frac{k}{100}\right) = f\left(\frac{k}{100}\right) + f\left(\frac{100-k}{100}\right) = 2$.
આવી $49$ જોડીઓ છે ($k=1$ થી $49$ માટે) અને વચ્ચેનું પદ $f\left(\frac{50}{100}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2e^{2(1/2)}}{e^{2(1/2)} + e} = \frac{2e}{e + e} = 1$.
તેથી,$S = 49 \times 2 + 1 = 98 + 1 = 99$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A)) = |A|^{n-2} A$ થાય છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = (|A|^{n-2})^n = |A|^{(n-1)^2}$ મળે.
અહીં,શ્રેણિકની કક્ષા $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4$ થાય.
હવે,આપેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક ગણીએ:
$|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = \begin{vmatrix} 14 & 28 & -14 \\ -14 & 14 & 28 \\ 28 & -14 & 14 \end{vmatrix} = 14^3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= 14^3 [1(1 - (-2)) - 2(-1 - 4) - 1(1 - 2)] = 14^3 [1(3) - 2(-5) - 1(-1)] = 14^3 [3 + 10 + 1] = 14^3 \times 14 = 14^4$.
આમ,$|A|^4 = 14^4$.
આપણને ધન મૂલ્ય જોઈએ છે,તેથી $|A| = 14$ મળે.

(A) પ્રદેશ $A_{1}$ એ $|x| \leq y^{2}$ અને $|x|+2y \leq 8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. બંને અસમતાઓ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણ $(x \geq 0)$ માં રહેલા ક્ષેત્રફળના $2$ ગણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં,પ્રદેશ $x = y^{2}$ અને $x = 8 - 2y$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y^{2} = 8 - 2y \implies y^{2} + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2) = 0$. $y \geq 0$ હોવાથી,$y = 2$ મળે.
Area $(A_{1}) = 2 \left[ \int_{0}^{2} y^{2} dy + \int_{2}^{4} (8-2y) dy \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{y^{3}}{3} \right)_{0}^{2} + \left( 8y - y^{2} \right)_{2}^{4} \right]$
$= 2 \left[ \frac{8}{3} + (32 - 16) - (16 - 4) \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 16 - 12 \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 4 \right] = 2 \left( \frac{20}{3} \right) = \frac{40}{3}$.
પ્રદેશ $A_{2}$ એ $|x|+|y| \leq k$ છે,જે $(\pm k, 0)$ અને $(0, \pm k)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ છે. આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2k^{2}$ છે.
આપેલ છે કે $27 \times \text{Area}(A_{1}) = 5 \times \text{Area}(A_{2})$:
$27 \times \frac{40}{3} = 5 \times 2k^{2}$
$9 \times 40 = 10k^{2}$
$360 = 10k^{2} \implies k^{2} = 36 \implies k = 6$.

(D) ધારો કે $P = (a, b, c)$ અને $P' = (a - 6, \beta, \gamma)$. $PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{a + a - 6}{2}, \frac{b + \beta}{2}, \frac{c + \gamma}{2}\right) = \left(a - 3, \frac{b + \beta}{2}, \frac{c + \gamma}{2}\right)$ છે.
કારણ કે $M$ એ સમતલ $3x - 4y + 12z + 19 = 0$ પર આવેલું છે,તેથી:
$3(a - 3) - 4\left(\frac{b + \beta}{2}\right) + 12\left(\frac{c + \gamma}{2}\right) + 19 = 0$
$3a - 9 - 2(b + \beta) + 6(c + \gamma) + 19 = 0$
$3a - 2b - 2\beta + 6c + 6\gamma + 10 = 0 \quad \dots(1)$
$PP'$ એ સમતલના અભિલંબ $(3, -4, 12)$ ને સમાંતર હોવાથી,$PP'$ ના દિકગુણોત્તર $(3, -4, 12)$ ના પ્રમાણમાં છે:
$\frac{(a - 6) - a}{3} = \frac{\beta - b}{-4} = \frac{\gamma - c}{12} = k$
$\frac{-6}{3} = k \Rightarrow k = -2$
તેથી,$\beta - b = -4(-2) = 8 \Rightarrow \beta = b + 8$
$\gamma - c = 12(-2) = -24 \Rightarrow \gamma = c - 24$
આપેલ છે કે $a + b + c = 5$,તેથી $b = \beta - 8$ અને $c = \gamma + 24$. $a + b + c = 5$ માં મૂકતા:
$a + (\beta - 8) + (\gamma + 24) = 5 \Rightarrow a = -\beta - \gamma - 11$
$a, b, c$ ની કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3(-\beta - \gamma - 11) - 2(\beta - 8) - 2\beta + 6(\gamma + 24) + 6\gamma + 10 = 0$
$-3\beta - 3\gamma - 33 - 2\beta + 16 - 2\beta + 6\gamma + 144 + 6\gamma + 10 = 0$
$-7\beta + 9\gamma + 137 = 0$
$7\beta - 9\gamma = 137$

(B) $R_{1} = \{(a, b) \in N \times N : |a - b| \leq 13\}$ માટે:
$(i)$ સ્વવાચક: $|a - a| = 0 \leq 13$,તેથી $(a, a) \in R_{1}$. તે સ્વવાચક છે.
(ii) સંમિત: જો $|a - b| \leq 13$ હોય,તો $|b - a| = |-(a - b)| = |a - b| \leq 13$. તેથી $(b, a) \in R_{1}$. તે સંમિત છે.
(iii) પરંપરિત: ધારો કે $(1, 10) \in R_{1}$ અને $(10, 20) \in R_{1}$. અહીં $|1 - 10| = 9 \leq 13$ અને $|10 - 20| = 10 \leq 13$. જોકે,$|1 - 20| = 19 \not\leq 13$. આમ,$(1, 20) \notin R_{1}$. $R_{1}$ પરંપરિત નથી,તેથી તે સામ્ય સંબંધ નથી.
$R_{2} = \{(a, b) \in N \times N : |a - b| \neq 13\}$ માટે:
$(i)$ સ્વવાચક: $|a - a| = 0 \neq 13$. તેથી $(a, a) \in R_{2}$. તે સ્વવાચક છે.
(ii) સંમિત: જો $|a - b| \neq 13$ હોય,તો $|b - a| = |a - b| \neq 13$. તેથી $(b, a) \in R_{2}$. તે સંમિત છે.
(iii) પરંપરિત: ધારો કે $(1, 2) \in R_{2}$ અને $(2, 14) \in R_{2}$. અહીં $|1 - 2| = 1 \neq 13$ અને $|2 - 14| = 12 \neq 13$. પરંતુ $|1 - 14| = 13$,તેથી $(1, 14) \notin R_{2}$. આમ,$R_{2}$ પરંપરિત નથી,તેથી તે સામ્ય સંબંધ નથી.
તેથી,$R_{1}$ કે $R_{2}$ માંથી કોઈ પણ સામ્ય સંબંધ નથી.

(B) $(f \circ g)(x)$ માટે અસતતતાના બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે તે બિંદુઓ તપાસીએ છીએ જ્યાં $g(x)$ અસતત છે,જ્યાં $f(u)$ અસતત છે (જ્યાં $u = g(x)$),અને જ્યાં $g(x)$ ની કિંમત તે બિંદુ જેટલી થાય છે જ્યાં $f$ અસતત છે.
$1$. $g(x)$ એ $x=0$ પર અસતત છે કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} g(x) = 1$ અને $g(0) = 0$. તેથી,$x=0$ એ $(f \circ g)$ માટે અસતતતાનું બિંદુ છે.
$2$. $f(u)$ એ $u=0$ પર અસતત છે.
$3$. આપણે $g(x) = 0$ તપાસીએ છીએ. $x \geq 0$ માટે,$(x-1)^2 - 1 = 0 \implies x=0$ અથવા $x=2$.
$4$. $x=2$ પર: $\lim_{x \to 2^+} (f \circ g)(x) = 1$ અને $\lim_{x \to 2^-} (f \circ g)(x) = 0$. તેથી,$x=2$ એ અસતતતાનું બિંદુ છે.
$5$. $x=0$ પર: $\lim_{x \to 0^-} (f \circ g)(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} (f \circ g)(x) = 1$. તેથી,$x=0$ એ અસતતતાનું બિંદુ છે.
આમ,વિધેય $x=0$ અને $x=2$ પર અસતત છે. કુલ બે બિંદુઓ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) + f(x + k) = n$.
$x$ ને $x + k$ વડે બદલતા,આપણને $f(x + k) + f(x + 2k) = n$ મળે છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$f(x + 2k) - f(x) = 0$,તેથી $f(x + 2k) = f(x)$.
આમ,$f(x)$ એ $T = 2k$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
$T$ આવર્તકાળ ધરાવતા આવર્તી વિધેય માટે,$\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$.
$I_{1} = \int_{0}^{4nk} f(x) dx = \int_{0}^{(2n)2k} f(x) dx = 2n \int_{0}^{2k} f(x) dx$.
$I_{2} = \int_{-k}^{3k} f(x) dx = \int_{0}^{4k} f(x) dx = 2 \int_{0}^{2k} f(x) dx$.
હવે,$\int_{0}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x) dx + \int_{k}^{2k} f(x) dx$.
કારણ કે $f(x + k) = n - f(x)$,$\int_{k}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x + k) dx = \int_{0}^{k} (n - f(x)) dx = nk - \int_{0}^{k} f(x) dx$.
તેથી,$\int_{0}^{2k} f(x) dx = \int_{0}^{k} f(x) dx + nk - \int_{0}^{k} f(x) dx = nk$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,$I_{1} = 2n(nk) = 2n^{2}k$ અને $I_{2} = 2(nk) = 2nk$.
અંતે,$I_{1} + nI_{2} = 2n^{2}k + n(2nk) = 2n^{2}k + 2n^{2}k = 4n^{2}k$.

(C) આપેલ વક્ર $y = 3 - \left|x - \frac{1}{2}\right| - |x + 1|$ છે.
અલગ અલગ અંતરાલોમાં વિધેયને વ્યાખ્યાયિત કરતા:
$x < -1$ માટે: $y = 2x + 7/2$. $y=0$ લેતા,$x = -7/4$.
$-1 \leq x < 1/2$ માટે: $y = 3/2$.
$x \geq 1/2$ માટે: $y = 5/2 - 2x$. $y=0$ લેતા,$x = 5/4$.
આ પ્રદેશ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $3$ (આધાર) અને $3/2$ (ઉપરની બાજુ) છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $3/2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (3 + 3/2) \times (3/2) = \frac{1}{2} \times (9/2) \times (3/2) = \frac{27}{8}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $2 e^{x / y^{2}}[y d x-2 x d y]+y^{2} d y=0$ મળે છે.
$y^{3}$ વડે ભાગતા,આપણને $2 e^{x / y^{2}}\left[\frac{y^{2} d x-2 x y d y}{y^{4}}\right]+\frac{1}{y} d y=0$ મળે છે.
આને $2 e^{x / y^{2}} d\left(\frac{x}{y^{2}}\right)+\frac{1}{y} d y=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int 2 e^{x / y^{2}} d\left(\frac{x}{y^{2}}\right)+\int \frac{1}{y} d y=C$ મળે છે.
આથી $2 e^{x / y^{2}}+\ln |y|=C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $x(1)=0$,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા $2 e^{0}+\ln(1)=C$,એટલે કે $C=2$ મળે છે.
વક્રનું સમીકરણ $2 e^{x / y^{2}}+\ln |y|=2$ છે.
$x(e)$ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $y=e$ મૂકતા: $2 e^{x / e^{2}}+\ln(e)=2$.
$2 e^{x / e^{2}}+1=2 \Rightarrow 2 e^{x / e^{2}}=1$.
$e^{x / e^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{e^{2}}=\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$.
આમ,$x(e)=-e^{2} \log _{e}(2)$ થાય છે.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2 \tan x(\cos x - y)$ છે.
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે લખતા: $\frac{dy}{dx} + (2 \tan x)y = 2 \sin x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(y \sec^2 x) = 2 \sin x \sec^2 x = 2 \sec x \tan x$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$,જેનું સાદું રૂપ $y = 2 \cos x + C \cos^2 x$ થાય છે.
વક્ર બિંદુ $(\frac{\pi}{4}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) + C \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + C(\frac{1}{2}) = \sqrt{2} + \frac{C}{2}$.
આમ,$C = -2\sqrt{2}$,અને વક્રનું સમીકરણ $y = 2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x$ છે.
હવે,$\int_{0}^{\pi / 2} y \, dx = \int_{0}^{\pi / 2} (2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x) \, dx$.
$= [2 \sin x]_{0}^{\pi / 2} - 2\sqrt{2} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$.
$= 2(1 - 0) - \sqrt{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi / 2} = 2 - \sqrt{2}(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = -2 \hat{i} + \alpha \hat{j} + \hat{k}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 2 & -1 \\ -2 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + \alpha) - \hat{j}(\alpha - 2) + \hat{k}(\alpha^{2} + 4)$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(\alpha + 2)^{2} + (\alpha - 2)^{2} + (\alpha^{2} + 4)^{2}} = \sqrt{\alpha^{2} + 4\alpha + 4 + \alpha^{2} - 4\alpha + 4 + (\alpha^{2} + 4)^{2}} = \sqrt{2(\alpha^{2} + 4) + (\alpha^{2} + 4)^{2}}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{15(\alpha^{2} + 4)}$,તેથી $2(\alpha^{2} + 4) + (\alpha^{2} + 4)^{2} = 15(\alpha^{2} + 4)$.
$(\alpha^{2} + 4)$ વડે ભાગતા,આપણને $2 + (\alpha^{2} + 4) = 15$ મળે છે,તેથી $\alpha^{2} + 4 = 13$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^{2} = 9$.
હવે,$|\vec{a}|^{2} = \alpha^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} = \alpha^{2} + 5 = 9 + 5 = 14$.
$|\vec{b}|^{2} = (-2)^{2} + \alpha^{2} + 1^{2} = 4 + \alpha^{2} + 1 = \alpha^{2} + 5 = 14$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \alpha(-2) + 2(\alpha) + (-1)(1) = -2\alpha + 2\alpha - 1 = -1$.
અંતે,$2|\vec{a}|^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})|\vec{b}|^{2} = 2(14) + (-1)(14) = 28 - 14 = 14$.

(D) આપેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -5 \\ 3 & 5 & -7 \end{vmatrix} = \hat{i}(-7 + 25) - \hat{j}(-14 + 15) + \hat{k}(10 - 3) = 18\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $18x - y + 7z = d$ છે.
સમતલ $(2, 3, -5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$18(2) - (3) + 7(-5) = d$,જે $36 - 3 - 35 = d$ આપે છે,તેથી $d = -2$.
સમતલનું સમીકરણ $18x - y + 7z = -2$ અથવા $-18x + y - 7z = 2$ છે.
આને $ax + by + cz = d$ સાથે સરખાવતા,$a = -18, b = 1, c = -7, d = 2$ મળે છે.
અહીં $\text{gcd}(|-18|, |1|, |-7|, 2) = 1$ અને $d > 0$ હોવાથી,આ કિંમતો સાચી છે.
અંતે,$a + 7b + c + 20d = -18 + 7(1) + (-7) + 20(2) = -18 + 7 - 7 + 40 = 22$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \perp (3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k})$ અને $\vec{a} \times (2 \hat{i} + \hat{k}) = 2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = 3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,તેથી $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = -(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (2)(3) + (0)(\frac{1}{2}) + (1)(2) = 6 + 0 + 2 = 8$.
હવે,$(2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}) \times (3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k})$ નો ક્રોસ ગુણાકાર શોધો:
$= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -13 & -4 \\ 3 & 0.5 & 2 \end{vmatrix} = -24 \hat{i} - 16 \hat{j} + 40 \hat{k}$.
તેથી,$-8 \vec{a} = -24 \hat{i} - 16 \hat{j} + 40 \hat{k} \implies \vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{v} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{v} = (3)(2) + (2)(2) + (-5)(1) = 5$.
$|\vec{v}| = 3$.
પ્રક્ષેપ $= \frac{5}{3}$.

(D) ધારો કે $M$ એ બિંદુ $P(1, 2, 3)$ માંથી રેખા $L$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(3\lambda+6, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{PM} = (3\lambda+5)\hat{i} + (2\lambda-1)\hat{j} + (3\lambda-1)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{PM} \perp \vec{v}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-1) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 3 = 0$
$22\lambda + 10 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{11}$.
$\lambda$ ની કિંમત $M$ માં મૂકતા,$M = (\frac{51}{11}, \frac{1}{11}, \frac{7}{11})$ મળે.
$Q$ એ રેખામાં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$M = \frac{P+Q}{2} \implies Q = 2M - P = (\frac{91}{11}, -\frac{20}{11}, -\frac{19}{11})$.
$R$ એ $PQ$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $R = \frac{1(Q) + 3(P)}{1+3} = \frac{Q + 3P}{4}$.
$R = \frac{1}{4} ((\frac{91}{11} + 3), (-\frac{20}{11} + 6), (-\frac{19}{11} + 9)) = (\frac{31}{11}, \frac{23}{22}, \frac{20}{11})$.
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{62+23+40}{22} = \frac{125}{22}$.
$22(\alpha+\beta+\gamma) = 125$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $2x - 3y = \gamma + 5$ અને $\alpha x + 5y = \beta + 1$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{-3} = \frac{\beta + 1}{\gamma + 5}$.
$\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{-3}$ પરથી,આપણને $\alpha = -\frac{10}{3}$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા,$9\alpha = -30$ મળે છે.
$\frac{5}{-3} = \frac{\beta + 1}{\gamma + 5}$ પરથી,$5(\gamma + 5) = -3(\beta + 1)$ મળે છે.
$5\gamma + 25 = -3\beta - 3$.
$3\beta + 5\gamma = -28$.
હવે,આપણે $|9\alpha + 3\beta + 5\gamma|$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $|-30 + (-28)| = |-58| = 58$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+i)^2 - i & 1+i \\ -i(1+i) & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2i - i & 1+i \\ -i+1 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix}$.
$A^4 = (A^2)^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^4 = \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 + (1+i)(1-i) & i(1+i) - i(1+i) \\ i(1-i) - i(1-i) & (1-i)(1+i) + i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2 & 0 \\ 0 & 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
આપણે $A^n = A$ જોઈએ છે. કારણ કે $A^4 = I$,તેથી $A^{4k+1} = (A^4)^k \cdot A = I^k \cdot A = A$.
આમ,$n$ એ $4k+1$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ જ્યાં $k \ge 0$.
આપેલ છે કે $1 \le n \le 100$,તેથી $1 \le 4k+1 \le 100 \Rightarrow 0 \le 4k \le 99 \Rightarrow 0 \le k \le 24.75$.
કારણ કે $k$ એક પૂર્ણાંક છે,$k \in \{0, 1, 2, \ldots, 24\}$.
આવા $k$ ના $25$ મૂલ્યો છે,તેથી ગણમાં $25$ ઘટકો છે.

(A) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4\}$. શરત $f(a, b) = f(b, a) \geq a$ સૂચવે છે કે:
$a=4$ માટે,$f(4, b) = f(b, 4) \geq 4$. સહપ્રદેશ $S$ હોવાથી,બધા $b \in S$ માટે $f(4, b) = 4$ થાય.
$a=3$ માટે,$f(3, b) = f(b, 3) \geq 3$. તેથી $f(3, 3) \in \{3, 4\}$ અને $f(3, 4) = f(4, 3) = 4$.
$a=2$ માટે,$f(2, b) = f(b, 2) \geq 2$. તેથી $f(2, 2) \in \{2, 3, 4\}$,$f(2, 3) = f(3, 2) \in \{3, 4\}$,અને $f(2, 4) = f(4, 2) = 4$.
$a=1$ માટે,$f(1, b) = f(b, 1) \geq 1$. તેથી $f(1, 1) \in \{1, 2, 3, 4\}$,$f(1, 2) = f(2, 1) \in \{2, 3, 4\}$,$f(1, 3) = f(3, 1) \in \{3, 4\}$,અને $f(1, 4) = f(4, 1) = 4$.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,વિસ્તાર $\{1, 2, 3, 4\}$ હોવો જોઈએ.
ગણતરી કરતા,વ્યાપ્ત વિધેયોની કુલ સંખ્યા $37$ મળે છે.

(D) પ્રદેશ $N$ ને $n$ ના સ્વરૂપના આધારે ત્રણ અલગ-અલગ ગણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
$1$. $n = 2k$ (બેકી સંખ્યાઓ): $f(n) = 2(2k) = 4k$
$2$. $n = 4k-1$ ($4k-1$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ): $f(n) = (4k-1)-1 = 4k-2$
$3$. $n = 4k-3$ ($4k-3$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ): $f(n) = \frac{(4k-3)+1}{2} = 2k-1$
કોઈપણ $y \in N$ માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું એવું અનન્ય $n$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(n) = y$ થાય:
- જો $y$ એ $4k$ સ્વરૂપનું હોય,તો $n = 2k$ એ અનન્ય પૂર્વ-પ્રતિબિંબ છે.
- જો $y$ એ $4k-2$ સ્વરૂપનું હોય,તો $n = 4k-1$ એ અનન્ય પૂર્વ-પ્રતિબિંબ છે.
- જો $y$ એ $2k-1$ (એકી સંખ્યાઓ) સ્વરૂપનું હોય,તો $n = 4k-3$ એ અનન્ય પૂર્વ-પ્રતિબિંબ છે.
દરેક $y \in N$ માટે અનન્ય પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $n \in N$ હોવાથી,વિધેય $f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = 0$.
$D = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & |\lambda| \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(|\lambda| + 1) - 3(|\lambda| - 1) - 1(-2) = 0$
$2|\lambda| + 2 - 3|\lambda| + 3 + 2 = 0$
$-|\lambda| + 7 = 0 \Rightarrow |\lambda| = 7 \Rightarrow \lambda = \pm 7$.
હવે,$\lambda = 7$ અને $\lambda = -7$ માટે સુસંગતતા તપાસતા:
$\lambda = 7$ માટે,ત્રીજું સમીકરણ $x - y + 7z = 24$ બને છે,જે સુસંગત છે.
$\lambda = -7$ માટે,ત્રીજું સમીકરણ $x - y + 7z = -32$ બને છે. આ કિંમત મૂકતા સંહતિ અસંગત (કોઈ ઉકેલ નથી) સાબિત થાય છે.
તેથી,$\lambda = -7$ એ સાચી શરત છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$. $\det(A) = 2$ છે.
આપણે $\det(\det(A) \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ શોધવાનું છે.
$\det(A) = 2$ હોવાથી,પદ $\det(2 \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ બને છે.
ગુણધર્મ $\det(kA) = k^n \det(A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2^3 \det(\operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ મળે છે.
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$,આપણને $8 \cdot (\det(5 \operatorname{adj}(A^3)))^2$ મળે છે.
$\det(kM) = k^n \det(M)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $8 \cdot (5^3 \det(\operatorname{adj}(A^3)))^2 = 8 \cdot 5^6 \cdot (\det(\operatorname{adj}(A^3)))^2$ મળે છે.
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $8 \cdot 5^6 \cdot ((\det(A^3))^2)^2 = 8 \cdot 5^6 \cdot (\det(A)^3)^4$ મળે છે.
$\det(A) = 2$ મૂકતા,આપણને $2^3 \cdot 5^6 \cdot (2^3)^4 = 2^3 \cdot 5^6 \cdot 2^{12} = 2^{15} \cdot 5^6$ મળે છે.
$2^{15} \cdot 5^6 = 2^9 \cdot 2^6 \cdot 5^6 = 512 \cdot 10^6$.

(C) ધારો કે $f(x) = -8x^2 + 6x - 1$. આપણે તે અંતરાલો શોધવાની જરૂર છે જ્યાં $f(x)$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો લે છે.
$f(x) = 0 \implies -8x^2 + 6x - 1 = 0 \implies 8x^2 - 6x + 1 = 0 \implies (2x-1)(4x-1) = 0$. તેથી,$x = 1/4$ અને $x = 1/2$.
$f(x) = -1 \implies -8x^2 + 6x - 1 = -1 \implies -8x^2 + 6x = 0 \implies -2x(4x-3) = 0$. તેથી,$x = 0$ અને $x = 3/4$.
$f(x) = -2 \implies -8x^2 + 6x - 1 = -2 \implies 8x^2 - 6x - 1 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(8)(-1)}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{16} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{8}$. કારણ કે $x \in [0, 1]$,આપણે $x = \frac{3+\sqrt{17}}{8} \approx 0.89$ લઈએ છીએ.
$f(x) = -3 \implies -8x^2 + 6x - 1 = -3 \implies 8x^2 - 6x - 2 = 0 \implies 4x^2 - 3x - 1 = 0 \implies (4x+1)(x-1) = 0$. તેથી,$x = 1$.
હવે,આપણે $[f(x)]$ ના મૂલ્યોના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$x \in [0, 1/4)$ માટે,$-1 < f(x) < 0$,તેથી $[f(x)] = -1$.
$x \in [1/4, 1/2]$ માટે,$0 \le f(x) \le 1/8$,તેથી $[f(x)] = 0$.
$x \in (1/2, 3/4)$ માટે,$-1 < f(x) < 0$,તેથી $[f(x)] = -1$.
$x \in [3/4, \frac{3+\sqrt{17}}{8})$ માટે,$-2 \le f(x) < -1$,તેથી $[f(x)] = -2$.
$x \in [\frac{3+\sqrt{17}}{8}, 1]$ માટે,$-3 \le f(x) < -2$,તેથી $[f(x)] = -3$.
સંકલન $I = \int_{0}^{1/4} (-1) dx + \int_{1/4}^{1/2} (0) dx + \int_{1/2}^{3/4} (-1) dx + \int_{3/4}^{\frac{3+\sqrt{17}}{8}} (-2) dx + \int_{\frac{3+\sqrt{17}}{8}}^{1} (-3) dx$
$I = -[x]_{0}^{1/4} + 0 - [x]_{1/2}^{3/4} - 2[x]_{3/4}^{\frac{3+\sqrt{17}}{8}} - 3[x]_{\frac{3+\sqrt{17}}{8}}^{1}$
$I = -\frac{1}{4} - (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) - 2(\frac{3+\sqrt{17}}{8} - \frac{3}{4}) - 3(1 - \frac{3+\sqrt{17}}{8})$
$I = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 2(\frac{3+\sqrt{17}-6}{8}) - 3(\frac{8-3-\sqrt{17}}{8})$
$I = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}-3}{4} - \frac{15-3\sqrt{17}}{8} = \frac{-4 - 2\sqrt{17} + 6 - 15 + 3\sqrt{17}}{8} = \frac{\sqrt{17}-13}{8}$

(B) સાતત્ય તપાસવા માટે,આપણે $x = 0, 1, 2$ બિંદુઓ પર ચકાસણી કરીએ.
$x = 0$ પર:
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} [e^x] = 0$ (કારણ કે $x < 0$ માટે $e^x < 1$).
$f(0^+) = a e^0 + [0 - 1] = a - 1$.
$x = 0$ પર સાતત્ય માટે,$a - 1 = 0 \implies a = 1$.
$x = 1$ પર:
$f(1^-) = a e^1 + [1 - 1] = a e + 0 = a e$.
$f(1^+) = b + [\sin(\pi)] = b + 0 = b$.
$a = 1$ હોવાથી,$f(1^-) = e \approx 2.718$ અને $f(1^+) = b$. $e$ એ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,કોઈપણ $b$ માટે $f$ એ $x = 1$ પર અસતત છે.
$x = 2$ પર:
$f(2^-) = b + [\sin(2\pi)] = b + 0 = b$.
$f(2^+) = [e^{-2}] - c = 0 - c = -c$.
$x = 2$ પર સાતત્ય માટે,$b = -c \implies b + c = 0$.
આમ,$a, b, c$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $f$ એ $x = 1$ પર અસતત છે. જો આપણે $a = 1$ અને $b + c = 0$ લઈએ,તો $f$ માત્ર $x = 1$ પર અસતત રહે છે. આ કિસ્સામાં,$a + b + c = 1 + (b + c) = 1 + 0 = 1$.