JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $14 \operatorname{cosec}^{2} x - 2 \sin^{2} x = 21 - 4 \cos^{2} x$
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ મૂકતા:
$14 \operatorname{cosec}^{2} x - 2 \sin^{2} x = 17 + 4 \sin^{2} x$
$14 \operatorname{cosec}^{2} x - 6 \sin^{2} x = 17$
ધારો કે $\sin^{2} x = p$,તો $\operatorname{cosec}^{2} x = \frac{1}{p}$:
$6p^{2} + 17p - 14 = 0$
$p = \frac{2}{3}$ (કારણ કે $\sin^{2} x \geq 0$)
$\sin x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$
અંતરાલ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)$ માં કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ છે $a_{n} = 19^{n} - 12^{n}$.
આપણે પદાવલિ $E = \frac{31 a_{9} - a_{10}}{57 a_{8}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a_{9} = 19^{9} - 12^{9}$ અને $a_{10} = 19^{10} - 12^{10}$ મૂકતા:
$E = \frac{31(19^{9} - 12^{9}) - (19^{10} - 12^{10})}{57 a_{8}}$
પદોને ગોઠવતા:
$E = \frac{31 \cdot 19^{9} - 31 \cdot 12^{9} - 19^{10} + 12^{10}}{57 a_{8}}$
$19$ અને $12$ વાળા પદોને જૂથમાં લેતા:
$E = \frac{19^{9}(31 - 19) - 12^{9}(31 - 12)}{57 a_{8}}$
સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{19^{9}(12) - 12^{9}(19)}{57 a_{8}}$
અંશમાંથી $12 \cdot 19$ સામાન્ય લેતા:
$E = \frac{12 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}{57 a_{8}}$
$57 = 3 \cdot 19$ હોવાથી,$57 a_{8} = 3 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})$:
$E = \frac{12 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}{3 \cdot 19(19^{8} - 12^{8})}$
$E = \frac{12}{3} = 4$.

(B) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ છે.
પ્રથમ $100$ પદોનો સરવાળો $S_{100} = \sum_{n=1}^{100} \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$ છે.
$S_{100} = \sum_{n=1}^{100} 1 - \sum_{n=1}^{100} \left(\frac{2}{3}\right)^n$.
$S_{100} = 100 - \left[ \frac{2}{3} \frac{(1 - (2/3)^{100})}{1 - 2/3} \right]$.
$S_{100} = 100 - 2 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{100}\right) = 100 - 2 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} = 98 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100}$.
કારણ કે $0 < 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} < 1$,તેથી $S_{100}$ ની કિંમત $98$ અને $99$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,$S_{100}$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $[S_{100}] = 98$ છે.

(C) એકી $n$ માટે,$3+(-1)^n = 3-1 = 2$. બેકી $n$ માટે,$3+(-1)^n = 3+1 = 4$.
$A = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{2k}} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \dots) + (\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^4} + \dots)$
$A = \frac{1/2}{1-1/4} + \frac{1/16}{1-1/16} = \frac{1/2}{3/4} + \frac{1/16}{15/16} = \frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{10+1}{15} = \frac{11}{15}$.
$B = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{2k}} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2^3} - \dots) + (\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^4} + \dots)$
$B = \frac{-1/2}{1-1/4} + \frac{1/16}{1-1/16} = -\frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{-10+1}{15} = -\frac{9}{15} = -\frac{3}{5}$.
$\frac{A}{B} = \frac{11/15}{-9/15} = -\frac{11}{9}$.

(C) આપણે લક્ષની કિંમત મેળવીએ: $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$.
$\cos \theta$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\cos(\sin x) = 1 - \frac{(x - \frac{x^3}{6})^2}{2} + \frac{(x)^4}{24} + O(x^6) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)$.
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$.
બાદબાકી કરતા:
$\cos(\sin x) - \cos x = \frac{4x^4}{24} = \frac{x^4}{6}$.
તેથી,$\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{6}}{x^4} = \frac{1}{6}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ છે. $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$ છે.
$a^{2}=16$ અને $b^{2}=9$ મૂકતા,$y=mx \pm \sqrt{16m^{2}+9}$ $(i)$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=12$ છે. $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm r\sqrt{1+m^{2}}$ છે.
$r^{2}=12$ મૂકતા,$y=mx \pm \sqrt{12(1+m^{2})}$ $(ii)$ મળે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,$(i)$ અને $(ii)$ ના અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ:
$16m^{2}+9 = 12(1+m^{2})$
$16m^{2}+9 = 12+12m^{2}$
$16m^{2}-12m^{2} = 12-9$
$4m^{2} = 3$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,$12m^{2} = 9$ મળે.

(C) ધારો કે $P = (4, 3)$ અને $Q = (2\cos\theta, \sqrt{2}\sin\theta)$ એ ઉપવલય $x^{2} + 2y^{2} = 4$ પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $D(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{4 + 2\cos\theta}{2} = 2 + \cos\theta \implies \cos\theta = h - 2$.
અને $k = \frac{3 + \sqrt{2}\sin\theta}{2} \implies \sqrt{2}\sin\theta = 2k - 3 \implies \sin\theta = \frac{2k - 3}{\sqrt{2}}$.
નિત્યસમ $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$(h - 2)^{2} + \left(\frac{2k - 3}{\sqrt{2}}\right)^{2} = 1$
$(h - 2)^{2} + \frac{4(k - 1.5)^{2}}{2} = 1$
$(h - 2)^{2} + 2(k - 1.5)^{2} = 1$
$1$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{(h - 2)^{2}}{1} + \frac{(k - 1.5)^{2}}{1/2} = 1$.
આ એક ઉપવલય છે જેમાં $a^{2} = 1$ અને $b^{2} = 1/2$ છે.
અહીં $a^{2} > b^{2}$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1 - 1/2} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ છે.
બિંદુ $(8, 3\sqrt{3})$ અતિવલય પર હોવાથી:
$\frac{64}{a^{2}}-\frac{27}{9}=1$ $\Rightarrow \frac{64}{a^{2}}=4$ $\Rightarrow a^{2}=16$.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_{1}}+\frac{b^{2}y}{y_{1}}=a^{2}+b^{2}$ મુજબ:
$\frac{16x}{8}+\frac{9y}{3\sqrt{3}}=16+9 \Rightarrow 2x+\sqrt{3}y=25$.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $2(-1)+\sqrt{3}(9\sqrt{3}) = -2+27 = 25$.
તેથી,અભિલંબ $(-1, 9\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) ધારો કે $n = 50$. ખોટો મધ્યક $\bar{x} = 15$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2$ છે.
ખોટા અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = 50 \times 15 = 750$.
ધારો કે ખોટું અવલોકન $x_1$ છે અને સાચું અવલોકન $x_1'$ છે.
આપેલ છે કે $x_1 + x_1' = 70$ અને સાચો મધ્યક $\bar{x}' = 16$.
સાચા અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i' = 50 \times 16 = 800$.
તેથી,$x_1' - x_1 = \sum x_i' - \sum x_i = 800 - 750 = 50$.
$x_1' + x_1 = 70$ અને $x_1' - x_1 = 50$ ઉકેલતા,આપણને $x_1' = 60$ અને $x_1 = 10$ મળે છે.
ખોટું વિચરણ $\sigma^2 = 4 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$ $\Rightarrow 4 = \frac{\sum x_i^2}{50} - 225$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 50 \times 229 = 11450$.
બાકીના $49$ અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો: $\sum_{i=2}^{50} x_i^2 = 11450 - x_1^2 = 11450 - 100 = 11350$.
સાચા વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i'^2 = 11350 + (x_1')^2 = 11350 + 3600 = 14950$.
સાચું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{14950}{50} - 16^2 = 299 - 256 = 43$.

(B) આપણે નિત્યસમ $\sin(\theta) \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $16 \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(80^{\circ})$.
આને $16 \sin(20^{\circ}) \sin(60^{\circ}-20^{\circ}) \sin(60^{\circ}+20^{\circ})$ તરીકે લખી શકાય.
$\theta = 20^{\circ}$ માટે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 \times \left( \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^{\circ}) \right)$.
$= 4 \sin(60^{\circ})$.
$= 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$.

(C) કયું $r$ વિધાન $r \vee (\sim p) \Rightarrow (p \wedge q) \vee r$ ને નિત્યસત્ય બનાવે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$r = \sim p$ માટે:
વિધાન $(\sim p \vee \sim p) \Rightarrow (p \wedge q) \vee \sim p$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $\sim p \Rightarrow (p \wedge q) \vee \sim p$ થાય છે.
શોષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(p \wedge q) \vee \sim p$ એ $(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$ ને સમાન છે,જે $T \wedge (\sim p \vee q) = \sim p \vee q$ છે.
તેથી વિધાન $\sim p \Rightarrow (\sim p \vee q)$ છે.
કારણ કે $\sim p \Rightarrow (\sim p \vee q)$ એ $\neg(\sim p) \vee (\sim p \vee q) = p \vee \sim p \vee q = T \vee q = T$ ને સમાન છે,તેથી આ વિધાન નિત્યસત્ય છે.
આમ,$r = \sim p$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) આપેલ છે કે $p+q=3$ અને $p^{4}+q^{4}=369$.
આપણે $\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)^{-2} = \left(\frac{p+q}{pq}\right)^{-2} = \frac{(pq)^{2}}{(p+q)^{2}} = \frac{(pq)^{2}}{3^{2}} = \frac{(pq)^{2}}{9}$ શોધવાનું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p^{2}+q^{2} = (p+q)^{2}-2pq = 9-2pq$.
વળી,$p^{4}+q^{4} = (p^{2}+q^{2})^{2}-2p^{2}q^{2} = (9-2pq)^{2}-2(pq)^{2} = 369$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$81+4(pq)^{2}-36pq-2(pq)^{2} = 369$.
$2(pq)^{2}-36pq+81 = 369 \implies 2(pq)^{2}-36pq-288 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$(pq)^{2}-18pq-144 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(pq-24)(pq+6) = 0$.
તેથી,$pq=24$ અથવા $pq=-6$.
જો $pq=24$ હોય,તો $p^{2}+q^{2} = 9-2(24) = 9-48 = -39$,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ માટે અશક્ય છે.
તેથી,$pq=-6$.
$pq=-6$ ને આપણી પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{(pq)^{2}}{9} = \frac{(-6)^{2}}{9} = \frac{36}{9} = 4$.

(C) આપેલ છે કે $z^{2} + z + 1 = 0$,તેથી તેના બીજ $z = \omega$ અથવા $z = \omega^{2}$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$\omega^{3} = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ અને $\frac{1}{\omega^{2}} = \omega$ થાય.
ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{n} + (-1)^{n} \frac{1}{z^{n}} \right)^{2} = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} + 2(-1)^{n} \right)$.
$z = \omega$ માટે,$z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} = \omega^{2n} + \omega^{n}$.
$\sum_{n=1}^{15} \omega^{2n} = 0$ અને $\sum_{n=1}^{15} \omega^{n} = 0$ થાય કારણ કે $15$ એ $3$ નો ગુણક છે.
$\sum_{n=1}^{15} 2(-1)^{n} = 2(-1 + 1 - 1 + 1 ... - 1) = -2$.
તેથી,$|S| = |0 + 0 - 2| = |-2| = 2$.

(A) આપણે એવી $3$-અંકી સંખ્યાઓ $n$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેના માટે $\text{gcd}(n, 36) = 2$ થાય.
$36 = 2^2 \times 3^2$ હોવાથી,$\text{gcd}(n, 36) = 2$ નો અર્થ એ છે કે $n$ એ $2$ નો ગુણક હોવો જોઈએ પણ $4$ નો નહીં,અને $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $n = 2k$. તો $\text{gcd}(2k, 36) = 2 \implies \text{gcd}(k, 18) = 1$.
$n$ એ $3$-અંકી સંખ્યા હોવાથી,$100 \le 2k \le 999$,એટલે કે $50 \le k \le 499$.
આપણે $[50, 499]$ અંતરાલમાં એવા પૂર્ણાંકો $k$ શોધવાના છે કે જેના માટે $\text{gcd}(k, 18) = 1$ થાય.
કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $499 - 50 + 1 = 450$ છે.
$2$ અથવા $3$ ના ગુણકો ગણવા માટે આપણે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત (Inclusion-Exclusion Principle) વાપરીશું.
$S = \{50, 51, \ldots, 499\}$.
$S$ માં $2$ ના ગુણકો: $225$.
$S$ માં $3$ ના ગુણકો: $150$.
$S$ માં $6$ ના ગુણકો: $75$.
$\text{gcd}(k, 18) > 1$ હોય તેવા $k$ ની સંખ્યા $= 225 + 150 - 75 = 300$.
$\text{gcd}(k, 18) = 1$ હોય તેવા $k$ ની સંખ્યા $= 450 - 300 = 150$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\sum_{k=0}^{r} \binom{n+k}{k} = \binom{n+r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં $n=40$ અને $r=20$ છે.
તેથી,સરવાળો $S = \binom{40+20+1}{20} = \binom{61}{20}$ થાય.
આપેલ છે કે $S = \frac{m}{n} \binom{60}{20}$.
$\binom{61}{20} = \frac{61}{41} \binom{60}{20}$ હોવાથી,$m = 61$ અને $n = 41$ મળે.
તેથી,$m+n = 61 + 41 = 102$.

(D) ધારો કે $G$.$P$. ના પદો $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, ar^{4}$ છે.
આપેલ છે કે $3a_{2} + a_{3} = 2a_{4}$,તેથી $3ar + ar^{2} = 2ar^{3}$.
$a_{1} > 0$ હોવાથી $a \neq 0$,તેથી $3 + r = 2r^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2r^{2} - r - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2r - 3)(r + 1) = 0$,તેથી $r = \frac{3}{2}$ અથવા $r = -1$.
આપેલ છે કે $a_{2} + a_{4} = 2a_{3} + 1$,તેથી $ar + ar^{3} = 2ar^{2} + 1$,અથવા $a(r + r^{3} - 2r^{2}) = 1$.
જો $r = -1$,તો $a(-1 - 1 - 2) = 1 \implies -4a = 1 \implies a = -\frac{1}{4}$. $a_{1} > 0$ હોવાથી,આ શક્ય નથી.
જો $r = \frac{3}{2}$,તો $a(\frac{3}{2} + \frac{27}{8} - 2(\frac{9}{4})) = 1 \implies a(\frac{12 + 27 - 36}{8}) = 1 \implies a(\frac{3}{8}) = 1 \implies a = \frac{8}{3}$.
હવે,$a_{2} + a_{4} + 2a_{5} = ar + ar^{3} + 2ar^{4} = a(r + r^{3} + 2r^{4})$.
$a = \frac{8}{3}$ અને $r = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$= \frac{8}{3} (\frac{3}{2} + \frac{27}{8} + 2 \times \frac{81}{16}) = \frac{8}{3} (\frac{3}{2} + \frac{27}{8} + \frac{81}{8}) = \frac{8}{3} (\frac{12 + 27 + 81}{8}) = \frac{8}{3} (\frac{120}{8}) = \frac{8}{3} \times 15 = 40$.

(B) અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ના બિંદુ $(4 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ આગળ સ્પર્શક $L_{1}$ નું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{4}-\frac{y \tan \theta}{2}=1$ છે.
$L_{1}$ નો ઢાળ $m_{1} = \frac{\sec \theta}{2 \tan \theta}$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(h, k)$ છે. $L_{2}$ એ $(0, 0)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_{2} = \frac{k}{h}$ છે.
$L_{1} \perp L_{2}$ હોવાથી,$m_{1} m_{2} = -1$,તેથી $\frac{k}{h} \cdot \frac{\sec \theta}{2 \tan \theta} = -1$,જે $\sin \theta = -\frac{k}{2h}$ આપે છે.
તેથી $\cos^{2} \theta = 1 - \frac{k^{2}}{4h^{2}} = \frac{4h^{2}-k^{2}}{4h^{2}}$,એટલે કે $\cos \theta = \frac{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}}{2h}$.
આ કિંમતોને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{h}{4} \cdot \frac{2h}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} - \frac{k}{2} \cdot \left( \frac{-k}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} \right) = 1$
$\frac{2h^{2}+k^{2}}{2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} = 1 \implies 2h^{2}+k^{2} = 2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2h^{2}+k^{2})^{2} = 4(4h^{2}-k^{2}) = 16h^{2}-4k^{2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $(x^{2}+y^{2})^{2} = 16x^{2}-4y^{2}$ મળે છે.
આમ $\alpha=16$ અને $\beta=-4$.
$\alpha+\beta = 16-4 = 12$.

(B) $6$-અંકની સંખ્યાઓ જે $1$ અને $8$ વડે બને છે તેની કુલ સંખ્યા $2^6 = 64$ છે.
$21$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે સંખ્યા $3$ અને $7$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$3$ વડે વિભાજ્યતા માટે અંકોનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,જે $n_1$ ને $3$ નો ગુણક બનાવે છે.
કુલ $22$ સંખ્યાઓ $21$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$p = \frac{22}{64}$.
$96p = 96 \times \frac{22}{64} = 33$.

(B) ગણ $A$ માટે: $|z+1| < |z-1|$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x+1)^2 + y^2 < (x-1)^2 + y^2$,જેનું સાદું રૂપ $x < 0$ મળે છે. આ કાલ્પનિક અક્ષની ડાબી બાજુનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
ગણ $B$ માટે: $\arg(\frac{z-1}{z+1}) = \frac{2\pi}{3}$. આ $(-1, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે. વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + \frac{2y}{\sqrt{3}} - 1 = 0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.
શરત $\arg(\frac{z-1}{z+1}) = \frac{2\pi}{3}$ એ આ વર્તુળના તે ચાપને અનુરૂપ છે જ્યાં $x < 0$ હોય.
આમ,$A \cap B$ એ બીજા ચરણમાં આવેલો વર્તુળનો ચાપ છે.

(C) આપણે $(2021)^{2023}$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,$2021$ ને $7$ વડે ભાગતા: $2021 = 7 \times 288 + 5$.
તેથી,$2021 \equiv 5 \pmod{7}$,જે $2021 \equiv -2 \pmod{7}$ ને સમાન છે.
તેથી,$(2021)^{2023} \equiv (-2)^{2023} \pmod{7}$.
$(-2)^{2023} = - (2^{2023}) = - (2^3)^{674} \times 2^1$.
કારણ કે $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$,તેથી $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$.
આમ,$(2^3)^{674} \equiv 1^{674} \equiv 1 \pmod{7}$.
તેથી,$(-2)^{2023} \equiv -(1 \times 2) \equiv -2 \pmod{7}$.
શેષને ધન સંખ્યામાં દર્શાવવા માટે,આપણે $7$ ઉમેરીએ: $-2 + 7 = 5$.
આમ,શેષ $5$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{\sin(\cos^{-1} x) - x}{1 - \tan(\cos^{-1} x)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \sin^{-1}(\sqrt{1-x^2})$ અને $\cos^{-1} x = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x})$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim \limits_{x}$ ${\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin(\sin^{-1}(\sqrt{1-x^2})) - x}{1 - \tan(\tan^{-1}(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}))}$
$= \lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2} - x}{1 - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}$
$= \lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2} - x}{\frac{x - \sqrt{1-x^2}}{x}}$
$= \lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{- (x - \sqrt{1-x^2})}{\frac{x - \sqrt{1-x^2}}{x}}$
$= \lim \limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} (-x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) બિંદુ $R(3,7)$ થી રેખા $x+y-5=0$ પરના લંબ અંતર $h$ ને નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
$h = \frac{|3+7-5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,જેની બાજુની લંબાઈ $a$ છે,તેની ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ થાય છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{5}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{5 \sqrt{6}}{3}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{100}{6} \right) = \frac{100 \sqrt{3}}{24} = \frac{25 \sqrt{3}}{6}$ થાય છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $A(2, -1)$ અને $B(3, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{2+3}{2}, \frac{-1+4}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4 - (-1)}{3 - 2} = 5$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{5}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{5}(x - \frac{5}{2})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 5y = 10$ થાય છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $(x-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$ વર્તુળ પર છે,તેથી $(h-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$.
વળી,$h + 5k = 10$,તેથી $h = 10 - 5k$.
$h$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(10 - 5k - 5)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (5 - 5k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2}$.
$25(1 - k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies 26(k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (k - 1)^2 = \frac{1}{4} \implies k - 1 = \pm \frac{1}{2}$.
જો $k = \frac{3}{2}$ હોય,તો $h = 10 - 5(\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$. કેન્દ્ર $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ મળે છે,જે મધ્યબિંદુ $M$ છે. આ કિસ્સામાં $AB$ વ્યાસ બને છે,જે શક્ય નથી.
જો $k = \frac{1}{2}$ હોય,તો $h = 10 - 5(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$. કેન્દ્ર $C = (\frac{15}{2}, \frac{1}{2})$ મળે છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = CA^2 = (\frac{15}{2} - 2)^2 + (\frac{1}{2} - (-1))^2 = (\frac{11}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{121}{4} + \frac{9}{4} = \frac{130}{4} = \frac{65}{2}$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 6x$ છે,તેથી $4a = 6$,જે $a = \frac{3}{2}$ આપે છે.
બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^{3}$ છે.
અભિલંબ $(5, -8)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$-8 = -t(5) + 2(\frac{3}{2})t + \frac{3}{2}t^{3}$.
$-8 = -5t + 3t + \frac{3}{2}t^{3} \implies -8 = -2t + \frac{3}{2}t^{3} \implies 3t^{3} - 4t + 16 = 0$.
$t = -2$ એ આ સમીકરણનું બીજ છે.
તેથી,$P = (6, -6)$.
$P(6, -6)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ મુજબ $x + 2y + 6 = 0$ મળે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -\frac{3}{2}$ છે.
$x = -\frac{3}{2}$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા,$-\frac{3}{2} + 2y + 6 = 0 \implies 2y = -\frac{9}{2} \implies y = -\frac{9}{4}$.

(A) મધ્યક $\bar{x} = 6$ હોવાથી,$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$,તેથી $a+b = 7$.
વિચરણ $\sigma^{2} = 6.8$ હોવાથી,$\frac{(a-6)^2 + (b-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 6.8$.
$(a-6)^2 + (b-6)^2 + 21 = 34 \Rightarrow (a-6)^2 + (b-6)^2 = 13$.
$b = 7-a$ મૂકતા,$(a-6)^2 + (1-a)^2 = 13 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0$.
તેથી $a=4, b=3$ અથવા $a=3, b=4$.
સરેરાશ વિચલન $M = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|a-6| + |b-6| + 2 + 1 + 4}{5} = \frac{3 + 2 + 7}{5} = \frac{12}{5}$.
તેથી $25M = 25 \times \frac{12}{5} = 60$.

(A) આપેલ પદાવલિ $(p \nabla q) \Rightarrow ((p \nabla q) \nabla r)$ એ નિત્યસત્ય છે.
$Case-I$: જો $\nabla \equiv \wedge$ હોય,તો $(p \wedge q) \Rightarrow ((p \wedge q) \wedge r)$. આ નિત્યસત્ય નથી કારણ કે જો $p=T, q=T, r=F$ હોય,તો પદાવલિ $T \Rightarrow F$ બને છે,જે $F$ છે.
$Case-II$: જો $\nabla \equiv \vee$ હોય,તો $(p \vee q) \Rightarrow ((p \vee q) \vee r)$. આ નિત્યસત્ય છે કારણ કે જો પૂર્વગ $(p \vee q)$ એ $T$ હોય,તો ઉત્તરગ $((p \vee q) \vee r)$ પણ $T$ થાય છે.
કારણ કે $\nabla \equiv \vee$,આપણે $(p \nabla q) \Delta r$ એટલે કે $(p \vee q) \Delta r$ ની કિંમત શોધવાની છે.
જો $\Delta \equiv \vee$ હોય,તો $(p \vee q) \vee r \equiv (p \vee r) \vee q$,જે વિકલ્પ $(A)$ એટલે કે $(p \Delta r) \vee q$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,પદાવલિ $(p \Delta r) \vee q$ ને તાર્કિક રીતે સમકક્ષ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{4}-3x^{3}-2x^{2}+3x-9=0$ છે.
અવયવ પાડતા $(x^{2}+3)(x^{2}-3x-3)=0$ મળે છે.
$x^{2}+3=0$ ના બીજ $i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$ છે,જેના ઘનનો સરવાળો $0$ થાય છે.
$x^{2}-3x-3=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ માટે $\alpha+\beta=3$ અને $\alpha\beta=-3$ છે.
બીજના ઘનનો સરવાળો $(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 27-3(-3)(3) = 54$ થાય છે.

(B) કુલ છોકરાઓ $n(B) = 10$ અને કુલ છોકરીઓ $n(G) = 5$ છે.
કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર $3$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓનું જૂથ બનાવવાની કુલ રીતો:
$= {}^{10}C_{3} \times {}^{5}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 120 \times 10 = 1200$.
હવે,એવી રીતોની સંખ્યા શોધો જેમાં $B_{1}$ અને $B_{2}$ બંને જૂથના સભ્યો હોય. જો $B_{1}$ અને $B_{2}$ પહેલેથી જ પસંદ કરેલા હોય,તો આપણે બાકીના $8$ છોકરાઓમાંથી $1$ વધુ છોકરો અને $5$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે:
$= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{3} = 8 \times 10 = 80$.
$B_{1}$ અને $B_{2}$ બંને એક જ જૂથમાં ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી પ્રતિબંધિત રીતો બાદ કરવાથી મળે છે:
$= 1200 - 80 = 1120$.

(B) વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ છે અને પરવલય $y^{2} = 4x$ છે.
પરવલય $y^{2} = 4x$ નો સ્પર્શક $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ સ્પર્શકનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{3}{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(0) - 0 + 1/m|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{|m|\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{m^{2}(m^{2} + 1)} = \frac{9}{4} \Rightarrow 9m^{4} + 9m^{2} - 4 = 0$.
$m^{2}$ માટે ઉકેલતા: $(3m^{2} - 1)(3m^{2} + 4) = 0$. $m^{2} > 0$ હોવાથી,$m^{2} = \frac{1}{3}$,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સામાન્ય સ્પર્શકો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3}$ છે.
આ સ્પર્શકો $x$-અક્ષ પર બિંદુ $Q$ માં છેદે છે જ્યાં $y=0$. $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ માં $y=0$ મૂકતા $x = -3$ મળે છે. આમ,$Q = (-3, 0)$.
લંબાઈ $OQ = |-3| = 3$. ઉપવલય માટે અર્ધ-લઘુ અક્ષ $b = 3$ અને અર્ધ-ગુરુ અક્ષ $a = 6$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 9 = 36(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 1 - e^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow e^{2} = \frac{3}{4}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{6} = 3$.
તેથી,$\frac{l}{e^{2}} = \frac{3}{3/4} = 4$.

(C) ધારો કે $S = \sin^{2}(10^{\circ}) \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ})$.
નિત્યસમ $\sin(\theta) \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(10^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{8}$ મળે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$S = \sin(10^{\circ}) \cdot \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \cdot [\sin(10^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ})]$
$S = \sin(10^{\circ}) \cdot \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \cdot \frac{1}{8}$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{8} \sin(10^{\circ}) \cdot \frac{1}{2} [\cos(20^{\circ}) - \cos(60^{\circ})] = \frac{1}{16} \sin(10^{\circ}) [\cos(20^{\circ}) - \frac{1}{2}]$
$S = \frac{1}{16} \sin(10^{\circ}) \cos(20^{\circ}) - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ})$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{32} [\sin(30^{\circ}) + \sin(-10^{\circ})] - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ})$
$S = \frac{1}{32} [\frac{1}{2} - \sin(10^{\circ})] - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ}) = \frac{1}{64} - \frac{1}{16} \sin(10^{\circ})$.
$\alpha - \frac{1}{16} \sin(10^{\circ})$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{64}$ મળે.
તેથી,$16 + \alpha^{-1} = 16 + 64 = 80$.

(A) ગણ $B$ માં $2$ થી $200$ સુધીની બેકી સંખ્યાઓ છે. ગણ $A$ માં એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ છે કે જેથી $H.C.F.(n, 45) = 1$ થાય. $45 = 3^2 \times 5$ હોવાથી,$H.C.F.(n, 45) = 1$ નો અર્થ છે કે $n$ એ $3$ વડે કે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,$A \cap B$ માં $[2, 200]$ ની એવી બેકી સંખ્યાઓ છે જે $3$ કે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
ધારો કે $S$ એ $2$ થી $200$ સુધીની તમામ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $S = 2(1 + 2 + \ldots + 100) = 10100$.
ધારો કે $S_3$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $6$ ના ગુણકો): $6 + 12 + \ldots + 198 = 3366$.
ધારો કે $S_5$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $10$ ના ગુણકો): $10 + 20 + \ldots + 200 = 2100$.
ધારો કે $S_{15}$ એ $3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $30$ ના ગુણકો): $30 + 60 + 90 + 120 + 150 + 180 = 630$.
ગણતરી મુજબ,$A \cap B$ ના ઘટકોનો સરવાળો $S - (S_3 + S_5 - S_{15}) = 10100 - (3366 + 2100 - 630) = 5264$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સંખ્યાઓ $i$ અને $j$ માટે,$\min \{i, j\} + \max \{i, j\} = i + j$ થાય.
તેથી,$A + B = \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (\min \{i, j\} + \max \{i, j\}) = \sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} (i + j)$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $A + B = \sum_{i=1}^{10} (\sum_{j=1}^{10} i + \sum_{j=1}^{10} j) = \sum_{i=1}^{10} (10i + \frac{10 \times 11}{2}) = \sum_{i=1}^{10} (10i + 55)$.
$A + B = 10 \sum_{i=1}^{10} i + \sum_{i=1}^{10} 55 = 10 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10 \times 55$.
$A + B = 10 \times 55 + 550 = 550 + 550 = 1100$.

(C) $|z - (4 + 3i)| = 2$ એ $(4, 3)$ કેન્દ્ર અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કાર્તેઝિયન યામમાં,આ $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4$ છે.
$|z| + |z - 4| = 6$ એ $(0, 0)$ અને $(4, 0)$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે.
નાભિઓથી અંતરનો સરવાળો $2a = 6$ છે,તેથી $a = 3$. કેન્દ્ર $(2, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4$ છે,તેથી $ae = 2$. $a = 3$ હોવાથી,$e = 2/3$.
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - 4/9) = 5$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, 3)$ છે. ઉપવલયનું સૌથી ઊંચું બિંદુ $(2, \sqrt{5}) \approx (2, 2.236)$ છે.
વર્તુળનું સૌથી નીચું બિંદુ $(4, 3 - 2) = (4, 1)$ છે.
$(4, 1)$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(4 - 2)^2}{9} + \frac{1^2}{5} = \frac{4}{9} + \frac{1}{5} = \frac{29}{45} < 1$.
બિંદુ $(4, 1)$ ઉપવલયની અંદર છે અને કેન્દ્ર $(4, 3)$ ઉપવલયની બહાર છે,તેથી વર્તુળ ઉપવલયને બે બિંદુઓમાં છેદે છે.

(C) આપેલ છે $S = 2 + \frac{6}{7} + \frac{12}{7^{2}} + \frac{20}{7^{3}} + \frac{30}{7^{4}} + \ldots$ $(1)$
$7$ વડે ભાગતા: $\frac{S}{7} = \frac{2}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{12}{7^{3}} + \frac{20}{7^{4}} + \ldots$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$S - \frac{S}{7} = 2 + \left(\frac{6-2}{7}\right) + \left(\frac{12-6}{7^{2}}\right) + \left(\frac{20-12}{7^{3}}\right) + \ldots$
$\frac{6S}{7} = 2 + \frac{4}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{8}{7^{3}} + \ldots$ $(3)$
$(3)$ ને $7$ વડે ભાગતા: $\frac{6S}{49} = \frac{2}{7} + \frac{4}{7^{2}} + \frac{6}{7^{3}} + \ldots$ $(4)$
$(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા:
$\frac{6S}{7} - \frac{6S}{49} = 2 + \left(\frac{4-2}{7}\right) + \left(\frac{6-4}{7^{2}}\right) + \left(\frac{8-6}{7^{3}}\right) + \ldots$
$\frac{36S}{49} = 2 + \left(\frac{2/7}{1 - 1/7}\right) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$S = \frac{7}{3} \times \frac{49}{36} = \frac{343}{108}$
$4S = 4 \times \frac{343}{108} = \frac{343}{27} = \left(\frac{7}{3}\right)^{3}$

(D) આપેલ છે કે $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ એ $A.P.$ છે જ્યાં $a_{1}=2$ અને $a_{10}=3$.
$a_{n} = a_{1} + (n-1)d_{1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$3 = 2 + 9d_{1}$,તેથી $d_{1} = \frac{1}{9}$.
આમ,$a_{4} = a_{1} + 3d_{1} = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
આપેલ છે કે $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ એ $A.P.$ છે જ્યાં $a_{1}b_{1}=1$ અને $a_{10}b_{10}=1$.
$a_{1}=2$ હોવાથી,$b_{1} = \frac{1}{2}$. $a_{10}=3$ હોવાથી,$b_{10} = \frac{1}{3}$.
$b_{n} = b_{1} + (n-1)d_{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 9d_{2}$,તેથી $9d_{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$,જે આપણને $d_{2} = -\frac{1}{54}$ આપે છે.
આમ,$b_{4} = b_{1} + 3d_{2} = \frac{1}{2} + 3(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{18} = \frac{9-1}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$a_{4}b_{4} = (\frac{7}{3})(\frac{4}{9}) = \frac{28}{27}$.

(D) શિરોબિંદુ $A$ એ $(5,4)$ છે અને નિયામિકા $3x+y-29=0$ છે.
ધારો કે $B$ એ શિરોબિંદુમાંથી નિયામિકા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. $A$ માંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-5}{3} = \frac{y-4}{1} = k$ છે.
$B$ એ નિયામિકા $3x+y-29=0$ પર હોવાથી,$3(5+3k) + (4+k) - 29 = 0$ મળે,જે $15+9k+4+k-29=0$ આપે છે,તેથી $10k-10=0$,એટલે કે $k=1$.
આમ,$B$ ના યામ $(5+3(1), 4+1) = (8,5)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ $SB$ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $S$ એ નાભિ $(x_s, y_s)$ છે,$\frac{x_s+8}{2} = 5$ અને $\frac{y_s+5}{2} = 4$ મળે,જે $S = (2,3)$ આપે છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x,y)$ માટે $PS = PM$,જ્યાં $PM$ એ નિયામિકાથી લંબ અંતર છે.
$PS^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 = x^2-4x+4+y^2-6y+9 = x^2+y^2-4x-6y+13$.
$PM^2 = \frac{(3x+y-29)^2}{3^2+1^2} = \frac{9x^2+y^2+841+6xy-174x-58y}{10}$.
$10(x^2+y^2-4x-6y+13) = 9x^2+y^2+6xy-174x-58y+841$ ને સરખાવતા,$x^2+9y^2-6xy+134x-2y-711=0$ મળે છે.
$x^2+ay^2+bxy+cx+dy+k=0$ સાથે સરખાવતા,$a=9, b=-6, c=134, d=-2, k=-711$.
તેથી,$a+b+c+d+k = 9-6+134-2-711 = -576$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $4x^{2} + 4y^{2} - 12x + 8y + k = 0$ છે. $4$ વડે ભાગતા,$x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + k/4 = 0$ મળે.
કેન્દ્ર $(3/2, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{13 - k}}{2}$ છે.
$(i)$ બિંદુ $(1, -1/3)$ વર્તુળની અંદર અથવા પર હોવાથી,$S(1, -1/3) \leq 0$ થાય,જે $k \leq 92/9$ આપે છે.
(ii) વર્તુળ ચોથા ચરણમાં હોવા માટે,કેન્દ્રથી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોવું જોઈએ. $x$-અક્ષથી અંતર $1$ છે,તેથી $r \leq 1 \Rightarrow k \geq 9$.
આમ,$k \in (9, 92/9]$.

(B) આપેલ માહિતીનો મધ્યક $\bar{x} = 6$ છે:
$\frac{4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 + x + y}{8} = 6$
$36 + x + y = 48 \Rightarrow x + y = 12$ $(1)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{9}{4}$ છે:
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = \frac{9}{4}$
$\frac{4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + x^{2} + y^{2}}{8} - 36 = \frac{9}{4}$
$\frac{226 + x^{2} + y^{2}}{8} = 38.25$
$226 + x^{2} + y^{2} = 306 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 80$ $(2)$
$(1)$ પરથી $y = 12 - x$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$x^{2} + (12 - x)^{2} = 80$
$2x^{2} - 24x + 64 = 0 \Rightarrow x^{2} - 12x + 32 = 0$
$(x - 4)(x - 8) = 0$
$x < y$ હોવાથી,$x = 4$ અને $y = 8$ મળે.
$x^{4} + y^{2} = 4^{4} + 8^{2} = 256 + 64 = 320$.

(B) આ પ્રદેશ $y$-અક્ષ $(x=0)$,$2y+x=6$ અને $5x-6y=30$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $B(0, 3)$,$C(0, -5)$ અને $A(6, 0)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
રેખા $y=1$ એ $2y+x=6$ ને $D(4, 1)$ પર અને $y$-અક્ષને $E(0, 1)$ પર છેદે છે.
$y < 1$ હોય તેવો પ્રદેશ ચતુષ્કોણ $ADEC$ છે.
$\triangle BDE$ નું ક્ષેત્રફળ (જ્યાં $y \ge 1$) $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$.
જરૂરી સંભાવના $= 1 - \frac{\text{Area}(\triangle BDE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = 1 - \frac{4}{24} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 72^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos 72^{\circ} = 1 - 2\sin^{2} 36^{\circ}$ મળે.
$\alpha = \sin 36^{\circ}$ મૂકતા,$1 - 2\alpha^{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ મળે.
$4$ વડે ગુણતા,$4 - 8\alpha^{2} = \sqrt{5} - 1$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$5 - 8\alpha^{2} = \sqrt{5}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(5 - 8\alpha^{2})^{2} = 5$ મળે.
$25 + 64\alpha^{4} - 80\alpha^{2} = 5$.
$64\alpha^{4} - 80\alpha^{2} + 20 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$16\alpha^{4} - 20\alpha^{2} + 5 = 0$ મળે.
આમ,$\alpha$ એ $16x^{4} - 20x^{2} + 5 = 0$ સમીકરણનું બીજ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x^{2}-4 \lambda x+5=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે $\implies \alpha+\beta=4 \lambda$ અને $\alpha \beta=5$.
$x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+(7+3 \lambda \sqrt{3})=0$ ના બીજ $\alpha, \gamma$ છે $\implies \alpha+\gamma=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}$ અને $\alpha \gamma=7+3 \lambda \sqrt{3}$.
બીજના સરવાળાની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta) = (3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) - 4 \lambda \implies \gamma-\beta = 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-4 \lambda$.
આપેલ છે કે $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \gamma = 6 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-4 \lambda \implies \gamma = 3 \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \lambda$.
બાદબાકી કરતા: $2 \beta = 4 \lambda - 2 \sqrt{3} \implies \beta = 2 \lambda - \sqrt{3}$.
$\alpha+\beta=4 \lambda$ હોવાથી,$\alpha = 4 \lambda - (2 \lambda - \sqrt{3}) = 2 \lambda + \sqrt{3}$.
$\alpha \beta = 5$ નો ઉપયોગ કરતા: $(2 \lambda + \sqrt{3})(2 \lambda - \sqrt{3}) = 5 \implies 4 \lambda^{2}-3 = 5 \implies 4 \lambda^{2}=8 \implies \lambda^{2}=2$.
$\alpha = 2 \lambda + \sqrt{3}$,$\beta = 2 \lambda - \sqrt{3}$,અને $\gamma = 3 \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \lambda$.
આપણે $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2} = (\alpha+\beta+\beta+\gamma)^{2} = (4 \lambda + 3 \sqrt{2})^{2}$ શોધવાનું છે.
$\lambda^{2}=2$ હોવાથી,$\lambda = \sqrt{2}$ લેતા: $(4 \sqrt{2}+3 \sqrt{2})^{2} = (7 \sqrt{2})^{2} = 49 \times 2 = 98$.

(B) $(x^{n} + 2x^{-5})^{7}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{7}C_{r} (x^{n})^{7-r} (2x^{-5})^{r} = {}^{7}C_{r} \cdot 2^{r} \cdot x^{n(7-r) - 5r}$ છે.
સહગુણકો $C_{r} = {}^{7}C_{r} \cdot 2^{r}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.
આપણને આપેલ છે કે $x$ ની ધન ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો $939$ છે.
સહગુણકોની ગણતરી:
$r=0: C_{0} = 1, \text{ઘાત}: 7n$
$r=1: C_{1} = 14, \text{ઘાત}: 6n-5$
$r=2: C_{2} = 84, \text{ઘાત}: 5n-10$
$r=3: C_{3} = 280, \text{ઘાત}: 4n-15$
$r=4: C_{4} = 560, \text{ઘાત}: 3n-20$
$r=5: C_{5} = 672, \text{ઘાત}: 2n-25$
સરવાળો: $1 + 14 + 84 + 280 + 560 = 939$.
આનો અર્થ એ છે કે $r=4$ માટે ઘાત $\geq 0$ અને $r=5$ માટે ઘાત $< 0$ હોવી જોઈએ.
$3n - 20 \geq 0 \implies n \geq 6.66$.
$2n - 25 < 0 \implies n < 12.5$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
સરવાળો = $7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 57$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_{1}: 4x + 3y + 2 = 0$ અને $L_{2}: 3x - 4y - 11 = 0$ છે. આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $Q$ એ સ્પર્શબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$4x + 3y = -2$ ($4$ વડે ગુણતા): $16x + 12y = -8$
$3x - 4y = 11$ ($3$ વડે ગુણતા): $9x - 12y = 33$
બંનેનો સરવાળો કરતા $25x = 25$ મળે,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ ને $4(1) + 3y = -2$ માં મૂકતા,$3y = -6$ મળે,તેથી $y = -2$. આમ,$Q = (1, -2)$.
રેખા $L_{1}$ એ $Q$ આગળ વર્તુળનો અભિલંબ છે કારણ કે તે કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થાય છે. $L_{2}$ નો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે. અભિલંબ $L_{1}$ નો ઢાળ $-\frac{4}{3}$ છે.
કેન્દ્ર $P$ એ $L_{1}$ પર $Q$ થી $5$ એકમ અંતરે આવેલું છે. અભિલંબ $L_{1}$ (દિશા $(3, -4)$) ની એકમ સદિશ $(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષની નીચે હોવાથી,કેન્દ્ર $P = Q + 5(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}) = (1 + 3, -2 - 4) = (4, -6)$.
હવે,$P(4, -6)$ થી રેખા $5x - 12y + 51 = 0$ નું અંતર શોધો:
અંતર $= \left| \frac{5(4) - 12(-6) + 51}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = \left| \frac{20 + 72 + 51}{13} \right| = \frac{143}{13} = 11$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
આપેલ સમીકરણ $\bar{z} = i z^{2}$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને મળે $x - iy = i(x + iy)^{2}$.
$x - iy = i(x^{2} - y^{2} + 2xyi) = i(x^{2} - y^{2}) - 2xy$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = -2xy$ $\Rightarrow x(1 + 2y) = 0$ $\Rightarrow x = 0$ અથવા $y = -\frac{1}{2}$.
$-y = x^{2} - y^{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$,તો $-y = -y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} - y = 0$ $\Rightarrow y(y - 1) = 0$. તેથી $y = 0$ અથવા $y = 1$.
બીજ $z = 0$ અને $z = i$ છે. પ્રશ્નમાં બિન-વાસ્તવિક બીજ પૂછ્યા હોવાથી,આપણે $z = i$ લઈએ છીએ.
કિસ્સો $2$: જો $y = -\frac{1}{2}$,તો $-(-\frac{1}{2}) = x^{2} - (-\frac{1}{2})^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = x^{2} - \frac{1}{4}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બીજ $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ અને $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ છે.
બહુકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 1)$,$(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$,અને $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.
આ એક ત્રિકોણ બનાવે છે જેનો પાયો $b = \sqrt{3}$ અને ઊંચાઈ $h = \frac{3}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $x = \frac{1}{1-a}$,$y = \frac{1}{1-b}$,અને $z = \frac{1}{1-c}$.
આથી,$a = 1 - \frac{1}{x}$,$b = 1 - \frac{1}{y}$,અને $c = 1 - \frac{1}{z}$.
$a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2b = a + c$.
કિંમતો મૂકતા: $2(1 - \frac{1}{y}) = (1 - \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{z})$
$2 - \frac{2}{y} = 2 - (\frac{1}{x} + \frac{1}{z})$
$\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) આપેલ લક્ષ $\lim \limits_{x \rightarrow 7} \frac{18-[1-x]}{[x]-3a}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$x \rightarrow 7^-$ માટે,$[x] = 6$ અને $[1-x] = [1 - (7-h)] = [-6+h] = -6$ (જ્યાં $h > 0$ ખૂબ નાની સંખ્યા છે).
$L.H.L. = \lim \limits_{x \rightarrow 7^-} \frac{18 - (-6)}{6 - 3a} = \frac{24}{6 - 3a}$.
$x \rightarrow 7^+$ માટે,$[x] = 7$ અને $[1-x] = [1 - (7+h)] = [-6-h] = -7$.
$R.H.L. = \lim \limits_{x \rightarrow 7^+} \frac{18 - (-7)}{7 - 3a} = \frac{25}{7 - 3a}$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવાથી,$L.H.L. = R.H.L.$
$\frac{24}{6 - 3a} = \frac{25}{7 - 3a}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$24(7 - 3a) = 25(6 - 3a)$
$168 - 72a = 150 - 75a$
$75a - 72a = 150 - 168$
$3a = -18$
$a = -6$.

(D) શિરોબિંદુ $A(6,1)$ છે. પાયો $BC$ રેખા $2x + y = 4$ પર છે. બિંદુ $B(1,2)$ છે.
ધારો કે $C(h, 4-2h)$ છે.
$\triangle ABC$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$AB = AC$.
$AB^2 = (6-1)^2 + (1-2)^2 = 26$.
$AC^2 = (6-h)^2 + (2h-3)^2 = 5h^2 - 24h + 45$.
$5h^2 - 24h + 45 = 26$ $\Rightarrow 5h^2 - 24h + 19 = 0$ $\Rightarrow h = 19/5$ અથવા $h = 1$.
$C = (19/5, -18/5)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{6+1+19/5}{3}, \frac{1+2-18/5}{3}) = (54/15, -3/15)$.
$\alpha = 54/15, \beta = -3/15$.
$15(\alpha + \beta) = 51$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે,જ્યાં $a>b$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{4}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,તેથી $\frac{1}{16} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,જે આપણને $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{15}{16}$ અથવા $b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$ આપે છે.
ઉપવલય બિંદુ $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{(-4 \sqrt{2/5})^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{16 \times (2/5)}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{32}{5a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1$.
$b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$ મૂકતા: $\frac{32}{5a^{2}} + \frac{9 \times 16}{15a^{2}} = 1$.
$\frac{32}{5a^{2}} + \frac{144}{15a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{96 + 144}{15a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{240}{15a^{2}} = 1$.
$16 = a^{2}$.
તેથી $b^{2} = \frac{15}{16} \times 16 = 15$.
આમ,$a^{2} + b^{2} = 16 + 15 = 31$.

(B) $18$ માંથી $5$ અલગ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{18}C_{5} = 8568$ છે.
$x_{2} = 7$ અને $x_{4} = 11$ ની શરત માટે:
$x_{1} < 7$ માટે $6$ વિકલ્પો છે $({}^{6}C_{1} = 6)$.
$x_{3}$ એ $7$ અને $11$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ,તેથી $3$ વિકલ્પો છે $({}^{3}C_{1} = 3)$.
$x_{5} > 11$ માટે $7$ વિકલ્પો છે $({}^{7}C_{1} = 7)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 6 \times 3 \times 7 = 126$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{126}{8568} = \frac{1}{68}$ છે.

(A) ધારો કે $S = \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right)$.
સમાંતર શ્રેણીમાં કોસાઇનના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S = \frac{\sin(\frac{3 \pi}{7})}{\sin(\frac{\pi}{7})} \cos\left(\frac{4 \pi}{7}\right)$.
અંશ અને છેદને $2 \sin(\frac{\pi}{7})$ વડે ગુણતા:
$S = \frac{2 \sin(\frac{3 \pi}{7}) \cos(\frac{4 \pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})}$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{\sin(\pi) + \sin(-\frac{\pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})}$
$\sin(\pi) = 0$ અને $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ હોવાથી:
$S = \frac{-\sin(\frac{\pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})} = -\frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} \sin x}{(1+\cos^2 x)(e^{\cos x}+e^{-\cos x})} dx$ $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos(\pi-x)} \sin(\pi-x)}{(1+\cos^2(\pi-x))(e^{\cos(\pi-x)}+e^{-\cos(\pi-x)})} dx$
$I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x} \sin x}{(1+\cos^2 x)(e^{-\cos x}+e^{\cos x})} dx$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{(e^{\cos x} + e^{-\cos x}) \sin x}{(1+\cos^2 x)(e^{\cos x}+e^{-\cos x})} dx$
$2I = \int \limits_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
કારણ કે $\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ ની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી $2I = 2 \int \limits_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
$I = \int \limits_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi/2, t=0$.
$I = -\int \limits_{1}^{0} \frac{dt}{1+t^2} = \int \limits_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^2} = [\tan^{-1} t]_{0}^{1} = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4}$

(C) આપેલ છે કે $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ અને $f(1) = 2$.
ધારો કે $g(x) = 2f(x)$. તો $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$.
અહીં $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$ હોવાથી,$g(x) = 2^{2x}$ મળે.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2} g(x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x} = 2^{2x-1}$.
હવે,$\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \sum_{k=1}^{10} 2^{2(\alpha+k)-1} = 2^{2\alpha-1} \sum_{k=1}^{10} 2^{2k} = 2^{2\alpha-1} \cdot 4 \cdot \frac{4^{10}-1}{4-1} = 2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3}$.
આપણને આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \frac{512}{3}(2^{20}-1) = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$.
બંને પદોને સરખાવતા: $2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3} = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$.
$2^{2\alpha+1} = 2^9 \implies 2\alpha+1 = 9 \implies 2\alpha = 8 \implies \alpha = 4$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$.
$A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $c_1 = 1, c_2 = 1, c_3 = 2$ મળે છે.
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + c_1 \\ a_2 + c_2 \\ a_3 + c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $a_1 = -2, a_2 = -1, a_3 = -1$ મળે છે.
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $b_1 = 3, b_2 = 2, b_3 = 1$ મળે છે.
આમ,$A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી $A - 2I = \begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A - 2I| = -4(0 - 1) - 3(0 - (-1)) + 1(-1 - 0) = 4 - 3 - 1 = 0$.
સમીકરણ સંહતિ $\begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ છે.
આના પરથી સમીકરણો મળે છે:
$1) -4x_1 + 3x_2 + x_3 = 4$
$2) -x_1 + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 1 + x_1$
$3) -x_1 + x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 + x_1$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $-4x_1 + 3(1 + x_1) + (1 + x_1) = -4x_1 + 3 + 3x_1 + 1 + x_1 = 4$. જે $4 = 4$ માં પરિણમે છે,જે હંમેશા સત્ય છે.
આમ,સંહતિ સુસંગત છે અને નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,તેના અનંત ઉકેલો છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{3} + x - 5$.
પ્રથમ,આપણે વિકલન મેળવીએ $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$.
અહીં $f^{\prime}(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને તેથી તે વ્યસ્ત વિધેય ધરાવે છે.
આપેલ છે કે $f(g(x)) = x$,સાંકળના નિયમ મુજબ $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$,જેનો અર્થ થાય છે કે $g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$.
$g^{\prime}(63)$ શોધવા માટે,આપણે એવું $x$ શોધવું પડશે કે જેના માટે $f(x) = 63$ થાય.
$x^{3} + x - 5 = 63 \Rightarrow x^{3} + x - 68 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 4$ લેતા,$4^{3} + 4 - 5 = 64 + 4 - 5 = 63$ મળે છે. તેથી,$g(63) = 4$.
હવે,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{f^{\prime}(g(63))} = \frac{1}{f^{\prime}(4)}$.
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 1$ હોવાથી,$f^{\prime}(4) = 3(4)^{2} + 1 = 3(16) + 1 = 48 + 1 = 49$.
તેથી,$g^{\prime}(63) = \frac{1}{49}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$.
જો લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તો $f(1)=0$ હોવું જોઈએ.
જો $f(1)=0$ હોય,તો લક્ષની કિંમત $f^{\prime}(1)$ થાય.
આપેલ સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા: $f(1)+f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 1^{5}+64 = 65$.
$f(1)=0$ હોવાથી,$f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$.
આપેલ સમીકરણનું વિકલન કરતા: $f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x) = 5x^{4}$.
$x=1$ આગળ,$f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$.
$f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$ હોવાથી,$65+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$,તેથી $f^{\prime \prime \prime}(1) = -60$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x) = 20x^{3}$.
$x=1$ આગળ,$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x)+f^{(5)}(x) = 60x^{2}$.
$x=1$ આગળ,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+f^{(5)}(1) = 60$.
$f(x)$ એ $5$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,$f(x) = ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+g$ લો.
તેથી $f^{(5)}(x) = 120a$. $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$ પરથી,મુખ્ય સહગુણક $a=1$.
તેથી $f^{(5)}(x) = 120$.
$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+120 = 60$ નો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = -60$.
$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$ પરથી,$f^{\prime \prime}(1) + (-60) = 20$,તેથી $f^{\prime \prime}(1) = 80$.
અંતે,$f^{\prime}(1) = 65 - f^{\prime \prime}(1) = 65 - 80 = -15$.

(NONE) આપેલ છે કે $P(E_{1} \mid E_{2}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{2})} = \frac{1}{2} \implies P(E_{2}) = 2 \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $P(E_{2} \mid E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{1})} = \frac{3}{4} \implies P(E_{1}) = \frac{4}{3} \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$.
હવે,$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24} \neq P(E_{1} \cap E_{2})$. આમ,$E_{1}$ અને $E_{2}$ સ્વતંત્ર નથી.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}^{\prime}) = 1 - P(E_{1} \cup E_{2}) = 1 - (P(E_{1}) + P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2})) = 1 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}) = 1 - (\frac{4+6-3}{24}) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$.
$P(E_{1}^{\prime}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = (1 - \frac{1}{6}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \neq \frac{17}{24}$.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $P(E_{1} \cap E_{2}^{\prime}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4-3}{24} = \frac{1}{24}$.
$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{24}$.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.
અહીં $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = \frac{1}{8}$ છે,જ્યારે $P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{24}$ છે,તેથી આ સમાન નથી.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{bmatrix} = -4I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = -4A$.
$A^4 = (A^2)^2 = (-4I)^2 = 16I$.
સામાન્ય રીતે,$A^{2k} = (-4)^k I$ અને $A^{2k-1} = (-4)^{k-1} A$.
$M = \sum_{k=1}^{10} A^{2k} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^k I = I \sum_{k=1}^{10} (-4)^k$. કારણ કે $M$ એ તત્સમ શ્રેણિક $I$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $M$ સંમિત છે.
$N = \sum_{k=1}^{10} A^{2k-1} = \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1} A = A \sum_{k=1}^{10} (-4)^{k-1}$. કારણ કે $A$ વિસંમિત છે,$N$ એ $A$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $N$ વિસંમિત છે.
$N^2 = (\text{અદિશ} \cdot A)^2 = \text{અદિશ}^2 \cdot A^2 = \text{અદિશ}^2 \cdot (-4I)$,જે $I$ નો અદિશ ગુણાંક છે,તેથી $N^2$ સંમિત છે.
$M$ અને $N^2$ બંને સંમિત છે અને ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $MN^2$ પણ સંમિત છે.
$M$ અને $N^2$ અદિશ શ્રેણિકો હોવાથી,$MN^2$ એ અદિશ શ્રેણિક છે,જે સંમિત છે પરંતુ તત્સમ શ્રેણિક હોવો જરૂરી નથી.

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1} + c$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right)$.
જમણી બાજુ ભાગાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right) = \frac{(e^x + 1)(g(x) + x g'(x)) - x g(x) e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x) + x g'(x)(e^x + 1)}{(e^x + 1)^2}$.
પદોને સરખાવતા:
$\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} = \frac{x g'(x)}{e^x + 1}$.
$x > 0$ હોવાથી,$g'(x) = \cos x - \sin x$.
હવે વિકલ્પો તપાસીએ:
$1$. $g'(x) = \cos x - \sin x$. $x \in (0, \pi/4)$ માટે,$\cos x > \sin x$,તેથી $g'(x) > 0$,એટલે કે $g$ વધતું વિધેય છે.
$2$. $g''(x) = -\sin x - \cos x$. $x \in (0, \pi/4)$ માટે,$g''(x) < 0$,તેથી $g'$ ઘટતું વિધેય છે.
$3$. ધારો કે $h(x) = g(x) + g'(x)$. તો $h'(x) = g'(x) + g''(x) = -2 \sin x < 0$,તેથી $h$ ઘટતું વિધેય છે.
$4$. ધારો કે $\phi(x) = g(x) - g'(x)$. તો $\phi'(x) = g'(x) - g''(x) = 2 \cos x > 0$,તેથી $\phi$ વધતું વિધેય છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \log_{e}(x^{2}+1) - e^{-x} + 1$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+1} + e^{-x}$.
બધા $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,$f$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આપેલ છે $g(x) = \frac{1-2e^{2x}}{e^{x}} = e^{-x} - 2e^{x}$.
વિકલન કરતા,$g'(x) = -e^{-x} - 2e^{x} < 0$ બધા $x \in R$ માટે.
તેથી,$g$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
અસમતા $f(g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3})) > f(g(\alpha-\frac{5}{3}))$ આપેલ છે.
$f$ વધતું હોવાથી,$g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3}) > g(\alpha-\frac{5}{3})$.
$g$ ઘટતું હોવાથી,$\frac{(\alpha-1)^{2}}{3} < \alpha - \frac{5}{3}$.
સાદુરૂપ આપતા,$(\alpha-1)^{2} < 3\alpha - 5$.
$\alpha^{2} - 5\alpha + 6 < 0$.
$(\alpha-2)(\alpha-3) < 0$.
તેથી,$\alpha \in (2, 3)$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી $a_{1} = a_{2} = a_{3} = k$. આમ $\vec{a} = k(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{a}$ નો $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j})}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 7$ છે.
$\frac{k(3 + 4)}{5} = 7 \Rightarrow \frac{7k}{5} = 7 \Rightarrow k = 5$. તેથી $\vec{a} = 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
કારણ કે $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને $90^{\circ}$ ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે અને $\vec{a}, \vec{b}, \hat{i}$ સમતલીય છે,તેથી $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\hat{i}$ ના સમતલમાં છે.
ધારો કે $\vec{b} = x\vec{a} + y\hat{i}$. કારણ કે $|\vec{b}| = |\vec{a}| = 5\sqrt{3}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,આપણે શોધી શકીએ કે $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ છે.
$\vec{b}$ નો $3\hat{i} + 4\hat{j}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધતા,આપણને તેનું મૂલ્ય $2$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+1) \frac{dy}{dx} - y = e^{3x}(x+1)^2$ છે.
$(x+1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(x+1) \frac{dy}{dx} - y}{(x+1)^2} = e^{3x}$ મળે છે.
આને $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x+1} \right) = e^{3x}$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\frac{y}{x+1} = \int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y(0) = \frac{1}{3}$,$x=0$ અને $y=\frac{1}{3}$ મૂકતા $\frac{1/3}{1} = \frac{e^0}{3} + C$ મળે,તેથી $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + C$,જેનો અર્થ છે કે $C=0$.
આમ,$y = \frac{(x+1)e^{3x}}{3}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [ (x+1) \cdot 3e^{3x} + e^{3x} \cdot 1 ] = \frac{e^{3x}}{3} [ 3x + 3 + 1 ] = \frac{e^{3x}}{3} (3x+4)$ શોધીએ.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,$3x+4=0$ મળે,તેથી $x = -\frac{4}{3}$.
$x < -\frac{4}{3}$ માટે,$\frac{dy}{dx} < 0$,અને $x > -\frac{4}{3}$ માટે,$\frac{dy}{dx} > 0$.
વિકલિત $x = -\frac{4}{3}$ પર ઋણમાંથી ધનમાં બદલાતું હોવાથી,તે સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

(B) સમતલ $x + y + z - 5 = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(1, 0, 1)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(a, b, c)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{a-1}{1} = \frac{b-0}{1} = \frac{c-1}{1} = -2 \frac{1(1) + 1(0) + 1(1) - 5}{1^2 + 1^2 + 1^2} = -2 \frac{-3}{3} = 2$ છે.
તેથી,$a-1 = 2 \Rightarrow a = 3$,$b = 2$,$c-1 = 2 \Rightarrow c = 3$. આમ,$Q = (3, 2, 3)$.
સદિશ $\vec{PQ} = (3-1, 2-0, 3-1) = (2, 2, 2)$,જે $(1, 1, 1)$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L$ એ $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{PQ}$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+1}{1} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $R(\lambda+1, \lambda-1, \lambda-1)$ છે.
કારણ કે $R$ એ સમતલ $x + y + z = 5$ પર આવેલું છે,તેથી $(\lambda+1) + (\lambda-1) + (\lambda-1) = 5$,જે $3\lambda - 1 = 5$ આપે છે,તેથી $3\lambda = 6$ અને $\lambda = 2$.
આમ,$R = (2+1, 2-1, 2-1) = (3, 1, 1)$.
અંતે,$QR^{2} = (3-3)^{2} + (2-1)^{2} + (3-1)^{2} = 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $y^{2} dx - xy dy + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $y(y dx - x dy) + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.
$y(x^{2} + y^{2})$ વડે ભાગતા: $\frac{y dx - x dy}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા: $\frac{x dy - y dx}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.
વિકલન ઓળખતા: $d(\tan^{-1}(\frac{y}{x})) + d(\ln y) = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે: $\tan^{-1}(1) + \ln(1) = C \Rightarrow \frac{\pi}{4} + 0 = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}$.
વક્રનું સમીકરણ $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = \frac{\pi}{4}$ છે.
તે $y = \sqrt{3}x$ ને $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ પર છેદે છે,તેથી $\frac{y}{x} = \sqrt{3}$ અને $y = \sqrt{3}\alpha$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\tan^{-1}(\sqrt{3}) + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{3} + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.
$\ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12}$.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=4$ અને $|\vec{b}|=3$.
આપણે $|(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b})|^{2} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,અને $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,તેથી:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b}) = 0 + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - 0 = 2(\vec{a} \times \vec{b})$.
હવે,$|2(\vec{a} \times \vec{b})|^{2} = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta$.
વળી,$4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = 4(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^{2} = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા:
$4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta + 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 4|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}$.
$|\vec{a}|=4$ અને $|\vec{b}|=3$ ની કિંમતો મૂકતા:
$4 \times (4)^{2} \times (3)^{2} = 4 \times 16 \times 9 = 576$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \left[2\left(1 - \frac{x^{25}}{2}\right)\left(2 + x^{25}\right)\right]^{\frac{1}{50}}$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$f(x) = \left[\left(2 - x^{25}\right)\left(2 + x^{25}\right)\right]^{\frac{1}{50}} = \left(4 - x^{50}\right)^{\frac{1}{50}}$.
હવે,$f(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(f(x)) = \left(4 - (f(x))^{50}\right)^{\frac{1}{50}} = \left(4 - (4 - x^{50})\right)^{\frac{1}{50}} = (x^{50})^{\frac{1}{50}} = x$.
કારણ કે $f(f(x)) = x$,તેથી $f(f(f(x))) = f(x)$ થાય.
આપેલ છે કે $g(x) = f(f(f(x))) + f(f(x))$,કિંમતો મુકતા:
$g(x) = f(x) + x$.
$x = 1$ માટે:
$g(1) = f(1) + 1 = (4 - 1^{50})^{\frac{1}{50}} + 1 = 3^{\frac{1}{50}} + 1$.
કારણ કે $1 < 3^{\frac{1}{50}} < 2$ (કારણ કે $1^{50} < 3 < 2^{50}$),તેથી $1 < 3^{\frac{1}{50}} + 1 < 2$ થાય.
તેથી,$g(1)$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $\lfloor 3^{\frac{1}{50}} + 1 \rfloor = 2$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખાઓ $L_{1}$ અને $L_{2}$ નું છેદબિંદુ $S$ શોધીએ.
$L_{1}$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(\lambda, 2\lambda, 3\lambda)$ છે.
$L_{2}$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(1+\mu, 3+\mu, 1+5\mu)$ છે.
યામોને સરખાવતા: $\lambda = 1+\mu$,$2\lambda = 3+\mu$,$3\lambda = 1+5\mu$.
પ્રથમ બે સમીકરણો પરથી: $\lambda - \mu = 1$ અને $2\lambda - \mu = 3$. બાદબાકી કરતા $\lambda = 2$ મળે,તેથી $\mu = 1$.
ત્રીજા સમીકરણમાં ચકાસતા: $3(2) = 6$ અને $1+5(1) = 6$. આમ,$S = (2, 4, 6)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાઓ $L_{1}$ અને $L_{2}$ ના દિશા સદિશો $\vec{v}_{1} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ અને $\vec{v}_{2} = \langle 1, 1, 5 \rangle$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર છે.
$\vec{n} = \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-3) - \hat{j}(5-3) + \hat{k}(1-2) = 7\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $7(x-2) - 2(y-4) - 1(z-6) = 0$ છે.
$7x - 14 - 2y + 8 - z + 6 = 0 \Rightarrow 7x - 2y - z = 0$.
$ax + by - z + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=7, b=-2, d=0$ મળે છે.
તેથી,$a + b + d = 7 - 2 + 0 = 5$.

(B) ધારો કે $1$ ની સંખ્યા $x$,$-1$ ની સંખ્યા $y$ અને $0$ ની સંખ્યા $z$ છે. શ્રેણિક $3 \times 3$ હોવાથી,$x + y + z = 9$.
ઘટકોનો સરવાળો $1(x) + (-1)(y) + 0(z) = 5$ છે,જે $x - y = 5$ એટલે કે $x = y + 5$ આપે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $(y + 5) + y + z = 9 \implies 2y + z = 4$.
અહીં શક્ય ઉકેલો $(x, y, z)$ માટે:
કિસ્સો-$I$: જો $y = 0$,તો $z = 4$ અને $x = 5$. શ્રેણિકોની સંખ્યા $= \frac{9!}{5!0!4!} = 126$.
કિસ્સો-$II$: જો $y = 1$,તો $z = 2$ અને $x = 6$. શ્રેણિકોની સંખ્યા $= \frac{9!}{6!1!2!} = 252$.
કિસ્સો-$III$: જો $y = 2$,તો $z = 0$ અને $x = 7$. શ્રેણિકોની સંખ્યા $= \frac{9!}{7!2!0!} = 36$.
કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $= 126 + 252 + 36 = 414$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x - 1$ અને $g(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$.
$f(g(x)) = g(x) - 1 = \frac{x^2}{x^2 - 1} - 1 = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$.
ધારો કે $h(x) = f(g(x)) = \frac{1}{x^2 - 1}$.
અહીં $h(x) = h(-x)$ હોવાથી,આ વિધેય યુગ્મ વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે અનેક-એક વિધેય છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે,$y = \frac{1}{x^2 - 1}$ લો.
તેથી $x^2 - 1 = \frac{1}{y} \Rightarrow x^2 = \frac{1}{y} + 1 = \frac{1 + y}{y}$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,$x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $\frac{1 + y}{y} \geq 0$.
આ અસમતા $y \in (-\infty, -1] \cup (0, \infty)$ માટે સાચી છે.
અહીં વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ $(R)$ જેટલો નથી,તેથી વિધેય અંતઃક્ષેપી (into) છે.
આમ,$f \circ g$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
$\alpha(10 - 9) - 1(5 - 3) + 1(3 - 2) = 0$
$\alpha(1) - 2 + 1 = 0 \Rightarrow \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
હવે,$\alpha = 1$ ને સંહતિમાં મૂકીને $\Delta_x$ ની ગણતરી કરીએ (અથવા ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ). અનંત ઉકેલો માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ નો ક્રમાંક $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 1 & 3 & 5 & | & \beta \end{bmatrix}$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 2 & 4 & | & \beta - 5 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - 2R_2$ લેતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & \beta - 5 - 2(-1) \end{bmatrix}$
અનંત ઉકેલો માટે,છેલ્લી હાર શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી $\beta - 5 + 2 = 0 \Rightarrow \beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = 3$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta) = (1, 3)$ છે.

(B) આપણને $f(x) = \min \{1, 1 + x \sin x \}$ આપેલ છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $1 + x \sin x \geq 1$,એટલે કે $x \sin x \geq 0$ હોય ત્યારે $f(x) = 1$,અને જ્યારે $x \sin x < 0$ હોય ત્યારે $f(x) = 1 + x \sin x$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$x \in [0, \pi]$ માટે $x \sin x \geq 0$ અને $x \in (\pi, 2\pi]$ માટે $x \sin x < 0$ છે.
આમ,$x \in [0, \pi]$ માટે $f(x) = 1$ અને $x \in (\pi, 2\pi]$ માટે $f(x) = 1 + x \sin x$ છે.
$x = \pi$ પર,$f(\pi) = 1$ છે. ડાબી બાજુની લક્ષ $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = 1$ અને જમણી બાજુની લક્ષ $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = 1 + \pi \sin(\pi) = 1$ છે.
લક્ષ સમાન હોવાથી,$f(x)$ એ $x = \pi$ પર સતત છે,તેથી $n = 0$.
હવે,$x = \pi$ પર વિકલનીયતા તપાસો:
$x < \pi$ માટે $f'(x) = 0$.
$x > \pi$ માટે,$f'(x) = \sin x + x \cos x$. જેમ $x \to \pi^+$,$f'(x) \to \sin(\pi) + \pi \cos(\pi) = 0 + \pi(-1) = -\pi$.
ડાબી બાજુનું વિકલન $(0)$ એ જમણી બાજુના વિકલન $(-\pi)$ ની બરાબર ન હોવાથી,વિધેય $x = \pi$ પર વિકલનીય નથી.
આમ,$m = 1$.
ક્રમયુક્ત જોડ $(m, n) = (1, 0)$ છે.

(B) લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ $2(2x \cdot 4x + 4x \cdot 5x + 5x \cdot 2x) = 2(8x^2 + 20x^2 + 10x^2) = 2(38x^2) = 76x^2$ છે.
બંધ અર્ધગોલકનું પૃષ્ઠફળ $3\pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $76x^2 + 3\pi r^2 = k$,તેથી $r^2 = \frac{k - 76x^2}{3\pi}$.
કુલ ઘનફળ $V = 40x^3 + \frac{2}{3}\pi r^3$ છે.
$r = \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2}$ મૂકતા,આપણને $V = 40x^3 + \frac{2}{3}\pi \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{3/2}$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને $\frac{dV}{dx} = 0$ લેતા:
$120x^2 + \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3}{2} \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2} \cdot \left(\frac{-152x}{3\pi}\right) = 0$.
$120x^2 = \frac{152x}{3} \left(\frac{k - 76x^2}{3\pi}\right)^{1/2}$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$120x = \frac{152}{3} \cdot r$.
$\frac{x}{r} = \frac{152}{360} = \frac{19}{45}$.

(C) $y^{2}=8x$ અને $y^{2}=16(3-x)$ પરવલયો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y^{2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$8x = 16(3-x)$
$8x = 48 - 16x$
$24x = 48$
$x = 2$
$x=2$ ને $y^{2}=8x$ માં મૂકતા,આપણને $y^{2}=16$ મળે છે,તેથી $y = \pm 4$.
આ પ્રદેશ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-4$ થી $4$ સુધી સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{Area} = \int_{-4}^{4} (x_{R} - x_{L}) dy$
$y^{2}=8x$ પરથી,$x_{L} = \frac{y^{2}}{8}$.
$y^{2}=16(3-x)$ પરથી,$x_{R} = 3 - \frac{y^{2}}{16}$.
$\text{Area} = \int_{-4}^{4} \left(3 - \frac{y^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{8}\right) dy = 2 \int_{0}^{4} \left(3 - \frac{3y^{2}}{16}\right) dy$
$= 2 \left[ 3y - \frac{3y^{3}}{16 \times 3} \right]_{0}^{4} = 2 \left[ 3y - \frac{y^{3}}{16} \right]_{0}^{4}$
$= 2 \left( 3(4) - \frac{4^{3}}{16} \right) = 2 (12 - 4) = 2(8) = 16$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$. $x = \cos 2\theta$ લેતા,$dx = -2 \sin 2\theta d\theta$ મળે.
તેથી $I = \int \frac{1}{\cos 2\theta} \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} (-2 \sin 2\theta) d\theta = \int \frac{1}{\cos 2\theta} \tan \theta (-4 \sin \theta \cos \theta) d\theta$.
$I = \int \frac{-4 \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} d\theta = -2 \int \frac{1-\cos 2\theta}{\cos 2\theta} d\theta = -2 \int (\sec 2\theta - 1) d\theta$.
$I = -2 \left( \frac{1}{2} \ln |\sec 2\theta + \tan 2\theta| - \theta \right) + c = -\ln |\sec 2\theta + \tan 2\theta| + 2\theta + c$.
$\cos 2\theta = x$ હોવાથી,$\tan 2\theta = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ અને $\sec 2\theta = \frac{1}{x}$ મળે,તેથી $g(x) = -\ln \left| \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right| + \cos^{-1} x + c$.
$g(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$c = 0$ મળે. આમ $g(x) = \ln \left| \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \right| + \cos^{-1} x = \ln \left| \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} \right| + \cos^{-1} x$.
$x = 1/2$ માટે,$g(1/2) = \ln |2 - \sqrt{3}| + \cos^{-1}(1/2) = \ln \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \right) + \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=e^{x}$.
આ $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{2}{x}$ અને $Q(x)=e^{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln |x|} = x^{2}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot x^{2} = \int e^{x} \cdot x^{2} dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2(x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.
તેથી,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.
$y(1)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 = e^{1}(1-2+2) + C$,જે $C = -e$ આપે છે.
આમ,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e$.
હવે,$z(x) = x^{2} y(x) - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+1) - e = e^{x}(x-1)^{2} - e$.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$z'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ.
$z'(x) = e^{x}(x-1)^{2} + e^{x} \cdot 2(x-1) = e^{x}(x-1)(x-1+2) = e^{x}(x-1)(x+1) = 0$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=1$ અને $x=-1$ છે.
પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$x < -1$ માટે $z'(x) > 0$,$-1 < x < 1$ માટે $z'(x) < 0$,અને $x > 1$ માટે $z'(x) > 0$ છે.
તેથી,$x=-1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $z(-1) = e^{-1}(-1-1)^{2} - e = e^{-1}(4) - e = \frac{4}{e} - e$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = e^x(x^2 - 2)$ અને $Q(x) = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$\text{I.F.} = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x(x^2 - 2) dx}$.
અહીં $\frac{d}{dx}(e^x(x^2 - 2x)) = e^x(x^2 - 2x) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 - 2)$ થાય છે.
તેથી,$\text{I.F.} = e^{e^x(x^2 - 2x)}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot \text{I.F.} = \int Q(x) \cdot \text{I.F.} dx$ છે.
$y \cdot e^{e^x(x^2 - 2x)} = \int (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x} \cdot e^{e^x(x^2 - 2x)} dx$.
ધારો કે $t = e^x(x^2 - 2x)$. તો $dt = e^x(x^2 - 2x + 2x - 2) dx = e^x(x^2 - 2) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$y \cdot e^t = \int t e^t dt = t e^t - e^t + C$.
આપેલ છે કે $y(0) = 0$,તેથી $x = 0$ માટે $t = e^0(0^2 - 0) = 0$.
$0 \cdot e^0 = 0 \cdot e^0 - e^0 + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$.
તેથી,$y \cdot e^t = t e^t - e^t + 1$.
$x = 2$ માટે,$t = e^2(2^2 - 2(2)) = 0$.
$y(2) \cdot e^0 = 0 \cdot e^0 - e^0 + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$.

(C) સમતલો $P_1: 2x + y - 5z = 0$ અને $P_2: 3x - y + 4z - 7 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x + y - 5z) + \lambda(3x - y + 4z - 7) = 0$
$(2 + 3\lambda)x + (1 - \lambda)y + (-5 + 4\lambda)z - 7\lambda = 0$ --- (સમીકરણ $1$)
સમતલને મૂળ સમતલ $2x + y - 5z = 0$ થી $\frac{\pi}{2}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવ્યું હોવાથી,આ બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ હોવા જોઈએ.
મૂળ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (2, 1, -5)$ છે.
નવા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (2 + 3\lambda, 1 - \lambda, -5 + 4\lambda)$ છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ હોવાથી:
$2(2 + 3\lambda) + 1(1 - \lambda) - 5(-5 + 4\lambda) = 0$
$4 + 6\lambda + 1 - \lambda + 25 - 20\lambda = 0$
$30 - 15\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$(2 + 3(2))x + (1 - 2)y + (-5 + 4(2))z - 7(2) = 0$
$8x - y + 3z - 14 = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે કારણ કે $8(1) - 0 + 3(2) = 8 + 6 = 14$.

(B) રેખાઓ $L_1: \overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(3\hat{j} - \hat{k})$ અને $L_2: \overrightarrow{r} = (\alpha\hat{i} - \hat{j}) + \mu(2\hat{i} - 3\hat{k})$ છે.
રેખાઓ સમતલીય હોવાથી,બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} \alpha - 1 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(\alpha - 1)(-9) - 0 + (-1)(0 - 6) = 0$
$-9\alpha + 9 + 6 = 0 \Rightarrow 9\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = \frac{5}{3}$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{n} = (3\hat{j} - \hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = -9\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
બિંદુ $(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $-9(x - 1) + 2(y + 1) - 6(z - 1) = 0$ છે,જે $9x - 2y + 6z - 17 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(\frac{5}{3}, 0, 0)$ થી સમતલ $9x - 2y + 6z - 17 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|9(\frac{5}{3}) - 2(0) + 6(0) - 17|}{\sqrt{9^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{|15 - 17|}{\sqrt{81 + 4 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{121}} = \frac{2}{11}$.

(D) સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$.
આપેલા સદિશો મૂકતા,$\vec{v} = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) + \mu(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = (\lambda+2\mu)\hat{i} + (\lambda-3\mu)\hat{j} + (2\lambda+\mu)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{v} \cdot \hat{j} = 7$,તેથી $\lambda - 3\mu = 7$ (સમીકરણ $1$).
$\vec{v}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $|\vec{c}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{3}$,તેથી $\vec{v} \cdot \vec{c} = 2$.
$\vec{v} \cdot \vec{c} = (\lambda+2\mu)(1) + (\lambda-3\mu)(-1) + (2\lambda+\mu)(1) = \lambda+2\mu - \lambda+3\mu + 2\lambda+\mu = 2\lambda+6\mu = 2$,તેથી $\lambda+3\mu = 1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(\lambda-3\mu) + (\lambda+3\mu) = 7+1 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$.
સમીકરણ $2$ માં $\lambda=4$ મૂકતા: $4+3\mu = 1 \implies 3\mu = -3 \implies \mu = -1$.
આમ,$\vec{v} = 4(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - 1(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = 2\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}$.
અંતે,$\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (2\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = 2(1) + 7(0) + 7(1) = 9$.

(C) ધારો કે $\tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) = \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{4}{3}$.
સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ થાય.
તેથી,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
આપેલ પદાવલિને $E = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \cos \theta + \frac{2}{5} \sin \theta\right)$ ધારો.
$\cos \theta$ અને $\sin \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{4}{5}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{9}{50} + \frac{8}{25}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{9}{50} + \frac{16}{50}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{25}{50}\right)$
$E = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
$\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{\pi}{3}$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $\frac{\pi}{3}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x)$.
$y=2$ મુકતા,આપણને મળે $f(x+2)=2^{x} f(2)+4^{2} f(x) = 3 \cdot 2^{x} + 16 f(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f^{\prime}(x+2) = 3 \cdot 2^{x} \ln 2 + 16 f^{\prime}(x)$.
$x=2$ માટે,$f^{\prime}(4) = 3 \cdot 2^{2} \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2)$ ... $(i)$.
વૈકલ્પિક રીતે,મૂળ સમીકરણમાં $x=2$ મુકતા,$f(2+y)=2^{2} f(y)+4^{y} f(2) = 4 f(y) + 3 \cdot 4^{y}$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f^{\prime}(2+y) = 4 f^{\prime}(y) + 3 \cdot 4^{y} \ln 4 = 4 f^{\prime}(y) + 6 \cdot 4^{y} \ln 2$.
$y=2$ માટે,$f^{\prime}(4) = 4 f^{\prime}(2) + 6 \cdot 4^{2} \ln 2 = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$12 \ln 2 + 16 f^{\prime}(2) = 4 f^{\prime}(2) + 96 \ln 2$.
$12 f^{\prime}(2) = 84 \ln 2 \implies f^{\prime}(2) = 7 \ln 2$.
$(ii)$ માં કિંમત મુકતા,$f^{\prime}(4) = 4(7 \ln 2) + 96 \ln 2 = 28 \ln 2 + 96 \ln 2 = 124 \ln 2$.
અંતે,$14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)} = 14 \cdot \frac{124 \ln 2}{7 \ln 2} = 2 \cdot 124 = 248$.

(A) આપેલ છે કે $X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,તેથી $X^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $X^{3} = O$.
તેથી $Y = \alpha I + \beta X + \gamma X^{2} = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix}$.
$Y \cdot Y^{-1} = I$ હોવાથી:
$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$. $\frac{\alpha}{5} = 1 \Rightarrow \alpha = 5$.
$2$. $-\frac{2\alpha}{5} + \frac{\beta}{5} = 0 \Rightarrow -2(5) + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 10$.
$3$. $\frac{\alpha}{5} - \frac{2\beta}{5} + \frac{\gamma}{5} = 0 \Rightarrow 5 - 2(10) + \gamma = 0 \Rightarrow 5 - 20 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 15$.
અંતે,$(\alpha - \beta + \gamma)^{2} = (5 - 10 + 15)^{2} = (10)^{2} = 100$.

(D) ધારો કે $I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(2-x^{2})}{(x^{2}+2) \sqrt{4+x^{4}}} dx$.
અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(\frac{2}{x^{2}}-1)}{(1+\frac{2}{x^{2}}) \sqrt{\frac{4}{x^{2}}+x^{2}}} dx$.
નોંધો કે $\sqrt{4+x^{4}} = x \sqrt{x^{2}+\frac{4}{x^{2}}}$.
$I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(\frac{2}{x^{2}}-1)}{(x+\frac{2}{x}) \sqrt{(x+\frac{2}{x})^{2}-4}} dx$.
ધારો કે $t = x+\frac{2}{x}$,તો $dt = (1-\frac{2}{x^{2}}) dx$.
જ્યારે $x \to 0^{+}$,ત્યારે $t \to \infty$. જ્યારે $x \to \sqrt{2}$,ત્યારે $t \to \sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
$I = -\frac{24}{\pi} \int_{\infty}^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-4}} = \frac{24}{\pi} \int_{2\sqrt{2}}^{\infty} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-4}}$.
$\int \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-a^{2}}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{t}{a})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{24}{\pi} [\frac{1}{2} \sec^{-1}(\frac{t}{2})]_{2\sqrt{2}}^{\infty} = \frac{12}{\pi} [\sec^{-1}(\infty) - \sec^{-1}(\sqrt{2})]$.
$I = \frac{12}{\pi} [\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}] = \frac{12}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = 3$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
$f^2(x) = f(f(x)) = \frac{\frac{x-1}{x+1} - 1}{\frac{x-1}{x+1} + 1} = \frac{x-1-x-1}{x-1+x+1} = \frac{-2}{2x} = -\frac{1}{x}$.
$f^3(x) = f(f^2(x)) = f(-\frac{1}{x}) = \frac{-\frac{1}{x} - 1}{-\frac{1}{x} + 1} = \frac{-1-x}{-1+x} = \frac{x+1}{1-x}$.
$f^4(x) = f(f^3(x)) = f(\frac{x+1}{1-x}) = \frac{\frac{x+1}{1-x} - 1}{\frac{x+1}{1-x} + 1} = \frac{x+1-1+x}{x+1+1-x} = \frac{2x}{2} = x$.
કારણ કે $f^4(x) = x$,વિધેય $4$ ના આવર્તકાળ સાથે આવર્તી છે.
$f^6(6) = f^2(6) = -\frac{1}{6}$.
$f^7(7) = f^3(7) = \frac{7+1}{1-7} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$.
તેથી,$f^6(6) + f^7(7) = -\frac{1}{6} - \frac{4}{3} = \frac{-1-8}{6} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $|A| = \Delta$.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$,આપણને $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $|\operatorname{adj}(24A)| = |\operatorname{adj}(3 \operatorname{adj}(2A))|$.
$|24A|^2 = |3 \operatorname{adj}(2A)|^2$.
$|kA| = k^n|A|$ હોવાથી,$|24A| = 24^3|A|$.
તેથી,$(24^3|A|)^2 = (3^3 |\operatorname{adj}(2A)|)^2$.
$(24^3|A|)^2 = (27 |2A|^2)^2$.
$|2A| = 2^3|A| = 8|A|$ હોવાથી,$|\operatorname{adj}(2A)| = (8|A|)^2 = 64|A|^2$.
આ કિંમત મૂકતા: $(24^3|A|)^2 = (27 \times 64|A|^2)^2$.
$(24^3|A|)^2 = (1728|A|^2)^2$.
$24^3 = 13824$ હોવાથી,$(13824|A|)^2 = (1728|A|^2)^2$.
$13824|A| = 1728|A|^2$ ($|A| \neq 0$ ધારીને).
$|A| = \frac{13824}{1728} = 8$.
આપણે $|A^2| = |A|^2 = 8^2 = 64 = 2^6$ શોધવાનું છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 5 & -8 & 9 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix} = 3(-8a - 9) + 2(5a - 18) + 1(5 - (-16))$
$\Delta = -24a - 27 + 10a - 36 + 21 = -14a - 42$
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $-14a = 42$ મળે છે,તેથી $a = -3$.
હવે,$a = -3$ મૂકીને સુસંગતતા તપાસતા,ઉકેલ ન મળે તે માટે $b = -\frac{1}{3}$ હોવું જરૂરી છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} x+3 & x < -3 \\ -(x+3) & -3 \leq x < 0 \\ e^x & x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} x^2 + k_1 x & x < 0 \\ 4x + k_2 & x \geq 0 \end{cases}$.
$(g \circ f)(x)$ માટે,આપણે સંયોજનનું વિશ્લેષણ કરીએ:
જો $x < -3$,$f(x) = x+3 < 0$,તેથી $(g \circ f)(x) = (x+3)^2 + k_1(x+3)$.
જો $-3 \leq x < 0$,$f(x) = -(x+3) < 0$,તેથી $(g \circ f)(x) = (-(x+3))^2 + k_1(-(x+3)) = (x+3)^2 - k_1(x+3)$.
જો $x \geq 0$,$f(x) = e^x > 0$,તેથી $(g \circ f)(x) = 4e^x + k_2$.
$x=0$ આગળ વિકલનીયતા માટે,તે $x=0$ આગળ સતત હોવું જોઈએ:
ડાબી બાજુની લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} (g \circ f)(x) = (0+3)^2 - k_1(0+3) = 9 - 3k_1$.
જમણી બાજુની લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} (g \circ f)(x) = 4e^0 + k_2 = 4 + k_2$.
તેથી,$9 - 3k_1 = 4 + k_2 \implies 3k_1 + k_2 = 5$.
$x=0$ આગળ વિકલન:
ડાબી બાજુનું વિકલન: $\frac{d}{dx} [(x+3)^2 - k_1(x+3)]_{x=0} = 2(0+3) - k_1 = 6 - k_1$.
જમણી બાજુનું વિકલન: $\frac{d}{dx} [4e^x + k_2]_{x=0} = 4e^0 = 4$.
તેમને સરખાવતા: $6 - k_1 = 4 \implies k_1 = 2$.
$k_1=2$ ને $3k_1 + k_2 = 5$ માં મૂકતા,આપણને $6 + k_2 = 5 \implies k_2 = -1$ મળે છે.
હવે,$(g \circ f)(-4) = (-4+3)^2 + 2(-4+3) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
$(g \circ f)(4) = 4e^4 + k_2 = 4e^4 - 1$.
સરવાળો: $(g \circ f)(-4) + (g \circ f)(4) = -1 + 4e^4 - 1 = 4e^4 - 2 = 2(2e^4 - 1)$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે માનાંકની અંદરની અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરીએ: $g(x) = -x^2 + 3x + 2$. $g(x) = 0$ ના બીજ $x = \frac{3 \mp \sqrt{17}}{2}$ છે.
અંતરાલ $[-1, 2]$ માં,$f(x) = -x^2 + 2x + 2$ જ્યારે $x \in [\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 2]$ અને $f(x) = x^2 - 4x - 2$ જ્યારે $x \in [-1, \frac{3-\sqrt{17}}{2}]$.
અંતિમ બિંદુઓ અને નિર્ણાયક બિંદુઓ પર કિંમતો:
$f(-1) = 3$,$f(2) = 2$,$f(1) = 3$,અને $f(\frac{3-\sqrt{17}}{2}) = \frac{\sqrt{17}-3}{2}$.
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $= 3$ અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $= \frac{\sqrt{17}-3}{2}$ છે.
સરવાળો $= 3 + \frac{\sqrt{17}-3}{2} = \frac{\sqrt{17}+3}{2}$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$n \left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n \left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ પર,$\frac{x}{a} = 1$ અને $\frac{y}{b} = 1$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ છે.
$y - b = -\frac{b}{a}x + b \implies \frac{b}{a}x + y = 2b$.
$b$ વડે ભાગતા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.
આ સમીકરણ $n$ થી સ્વતંત્ર છે અને તમામ $n \in N$ માટે સાચું છે.
તેથી,$S = N$.

(C) વક્ર $y = |x^{2}-9|$ છે. $y = |x^{2}-9|$ અને $y = 3$ ના છેદબિંદુઓ $|x^{2}-9| = 3$ ઉકેલીને મળે છે.
આનાથી $x^{2}-9 = 3 \implies x^{2} = 12 \implies x = \pm 2\sqrt{3}$ અને $x^{2}-9 = -3 \implies x^{2} = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$ મળે છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $2 \times \int_{0}^{2\sqrt{3}} (3 - |x^{2}-9|) dx$ છે.
અંતરાલ $[0, \sqrt{6}]$ માં,$x^{2}-9 \le 0$,તેથી $|x^{2}-9| = 9-x^{2}$.
અંતરાલ $[\sqrt{6}, 2\sqrt{3}]$ માં,$x^{2}-9 \ge 0$,તેથી $|x^{2}-9| = x^{2}-9$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{\sqrt{6}} (3 - (9-x^{2})) dx + \int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} (3 - (x^{2}-9)) dx \right]$
$= 2 \left[ \int_{0}^{\sqrt{6}} (x^{2}-6) dx + \int_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} (12-x^{2}) dx \right]$
$= 2 \left[ \left( \frac{x^{3}}{3} - 6x \right)_{0}^{\sqrt{6}} + \left( 12x - \frac{x^{3}}{3} \right)_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}} \right]$
$= 2 \left[ (\frac{6\sqrt{6}}{3} - 6\sqrt{6}) + (24\sqrt{3} - \frac{24\sqrt{3}}{3}) - (12\sqrt{6} - \frac{6\sqrt{6}}{3}) \right]$
$= 2 \left[ -4\sqrt{6} + 16\sqrt{3} - 10\sqrt{6} \right] = 32\sqrt{3} - 28\sqrt{6}$.

(B) રેખા $l_{1}$ ને $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{0}$ તરીકે લખી શકાય. દિશા સદિશ $\vec{v_{1}} = (3, -2, 0)$ છે.
રેખા $l_{2}$ ને $\frac{x-1}{1}=\frac{y+3/2}{\alpha/2}=\frac{z+5}{2}$ તરીકે લખી શકાય. દિશા સદિશ $\vec{v_{2}} = (1, \alpha/2, 2)$ છે.
$l_{1} \perp l_{2}$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(3)(1) + (-2)(\alpha/2) + (0)(2) = 0$.
$3 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 3$.
રેખા $l_{3}$ ને $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-1/2}{-2}=\frac{z-0}{4}$ તરીકે લખી શકાય. દિશા સદિશ $\vec{v_{3}} = (-3, -2, 4)$ છે.
$\alpha = 3$ માટે,$l_{2}$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_{2}} = (1, 3/2, 2)$ છે.
$l_{2}$ અને $l_{3}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{3}}|}{||\vec{v_{2}}|| ||\vec{v_{3}}||}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{3}} = (1)(-3) + (3/2)(-2) + (2)(4) = -3 - 3 + 8 = 2$.
$||\vec{v_{2}}|| = \sqrt{1^{2} + (3/2)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 9/4 + 4} = \sqrt{29/4} = \frac{\sqrt{29}}{2}$.
$||\vec{v_{3}}|| = \sqrt{(-3)^{2} + (-2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
$\cos \theta = \frac{2}{(\sqrt{29}/2) \times \sqrt{29}} = \frac{2}{29/2} = \frac{4}{29}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{29}\right) = \sec^{-1}\left(\frac{29}{4}\right)$.

(A) સમતલ $2x + 3y + z + 20 = 0$ અને $x - 3y + 5z - 8 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $(2x + 3y + z + 20) + \lambda(x - 3y + 5z - 8) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(2 + \lambda)x + (3 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (20 - 8\lambda) = 0$ થાય છે.
સમતલ કાટખૂણે ફરેલું હોવાથી,નવું સમતલ મૂળ સમતલ $2x + 3y + z + 20 = 0$ ને લંબ છે. તેથી,તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2 + \lambda) + 3(3 - 3\lambda) + 1(1 + 5\lambda) = 0$
$4 + 2\lambda + 9 - 9\lambda + 1 + 5\lambda = 0$
$14 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 7$.
$\lambda = 7$ મૂકતા,આપણને નવું સમતલ $x - 2y + 4z - 4 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $A(2, -1/2, 2)$ નું સમતલ $x - 2y + 4z - 4 = 0$ માં પ્રતિબિંબ $B(a, b, c)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\frac{a - 2}{1} = \frac{b + 1/2}{-2} = \frac{c - 2}{4} = -2 \frac{2 - 2(-1/2) + 4(2) - 4}{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = -2/3$.
તેથી $a = 4/3, b = 5/6, c = -2/3$ મળે છે.
આમ,$B = (8/6, 5/6, -4/6)$ હોવાથી $\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{-4}$ થાય છે.

(B) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1. \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
$2. \overrightarrow{b} \times (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{c} - (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}$
$3. \overrightarrow{c} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}$
હવે,સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $[3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}, \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}, 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}] = (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [(\overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}) \times (3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a})]$ ની ગણતરી કરતા:
$= (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})]$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ હોવાથી,આ પદ નીચે મુજબ સરળ બનશે:
$= (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]$
$= 3\overrightarrow{b} \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})] - \overrightarrow{c} \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]$
$= 3\overrightarrow{b} \cdot (-2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})) - \overrightarrow{c} \cdot (3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}))$
$= -6[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 18[\overrightarrow{b} \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}] - 3[\overrightarrow{c} \overrightarrow{c} \overrightarrow{b}] + 2[\overrightarrow{c} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$
પુનરાવર્તિત વેક્ટર ધરાવતા સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,આપણને $-6[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$ મળે છે.
આમ,મૂલ્ય $-6 \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ છે.

(D) ધારો કે $P(H) = x$ અને $P(T) = 1 - x$.
આપેલ છે કે $P(4H, 1T) = P(5H)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,${}^{5}C_{4} x^{4}(1-x)^{1} = {}^{5}C_{5} x^{5}$.
$5(1-x) = x$.
$5 - 5x = x \implies 6x = 5 \implies x = \frac{5}{6}$.
આમ,$P(H) = \frac{5}{6}$ અને $P(T) = \frac{1}{6}$.
આપણે $P(\text{વધુમાં વધુ } 2H) = P(0H) + P(1H) + P(2H)$ શોધવાનું છે.
$P(0H) = {}^{5}C_{0} (\frac{5}{6})^{0} (\frac{1}{6})^{5} = \frac{1}{6^{5}}$.
$P(1H) = {}^{5}C_{1} (\frac{5}{6})^{1} (\frac{1}{6})^{4} = 5 \times \frac{5}{6^{5}} = \frac{25}{6^{5}}$.
$P(2H) = {}^{5}C_{2} (\frac{5}{6})^{2} (\frac{1}{6})^{3} = 10 \times \frac{25}{6^{5}} = \frac{250}{6^{5}}$.
સરવાળો કરતા,$P(\text{વધુમાં વધુ } 2H) = \frac{1 + 25 + 250}{6^{5}} = \frac{276}{6^{5}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$\frac{276}{6^{5}} = \frac{46 \times 6}{6^{5}} = \frac{46}{6^{4}}$.

(B) આપેલ છે $f(x) = 2 \cos^{-1} x + 4 \cot^{-1} x - 3x^2 - 2x + 10$,જ્યાં $x \in [-1, 1]$.
પ્રથમ,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{2}{1+x^2} + 3x + 1 \right)$.
$x \in [-1, 1]$ માટે,$f'(x) < 0$ હોવાથી વિધેય $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો:
$f(1) = 2(0) + 4(\frac{\pi}{4}) - 3 - 2 + 10 = \pi + 5$.
$f(-1) = 2(\pi) + 4(\frac{3\pi}{4}) - 3 + 2 + 10 = 5\pi + 9$.
અહીં $a = \pi + 5$ અને $b = 5\pi + 9$ છે.
તેથી,$4a - b = 4(\pi + 5) - (5\pi + 9) = 4\pi + 20 - 5\pi - 9 = 11 - \pi$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \max \{|x+1|, |x+2|, |x+3|, |x+4|, |x+5|\}$.
$x \in [-6, 0]$ માટે,વિધેય $f(x)$ આ નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેયોના ઉપરના ભાગ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $f(x) = |x+5|$ જ્યારે $x \in [-6, -3]$ અને $f(x) = |x+1|$ જ્યારે $x \in [-3, 0]$ છે.
તેથી,$\int_{-6}^{0} f(x) \, dx = \int_{-6}^{-3} |x+5| \, dx + \int_{-3}^{0} |x+1| \, dx$.
ગણતરી કરતા: $\int_{-6}^{-3} -(x+5) \, dx + \int_{-3}^{0} (x+1) \, dx = -\left[\frac{x^2}{2} + 5x\right]_{-6}^{-3} + \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_{-3}^{0} = -[(\frac{9}{2} - 15) - (18 - 30)] + [0 - (\frac{9}{2} - 3)] = -[-\frac{21}{2} + 12] - [\frac{3}{2} - 12] = -\frac{3}{2} + \frac{21}{2} = 9 + 12 = 21$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(4+x^{2}) dy = 2x(x^{2}+3y+4) dx$ છે.
ગોઠવતા,આપણને $(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} = 2x^{3} + 6xy + 8x$ મળે છે.
$(x^{2}+4) \frac{dy}{dx} - 6xy = 2x(x^{2}+4)$.
$(x^{2}+4)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{6x}{x^{2}+4} y = 2x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{6x}{x^{2}+4}$ અને $Q(x) = 2x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{6x}{x^{2}+4} dx} = e^{-3 \ln(x^{2}+4)} = (x^{2}+4)^{-3} = \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}}$.
ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int \frac{2x}{(x^{2}+4)^{3}} dx$.
ધારો કે $t = x^{2}+4$,તો $dt = 2x dx$.
$y \cdot \frac{1}{(x^{2}+4)^{3}} = \int t^{-3} dt = \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x^{2}+4)^{2}} + C$.
વક્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0 = -\frac{1}{2(4)^{2}} + C \implies C = \frac{1}{32}$.
આમ,$y = -\frac{(x^{2}+4)^{3}}{2(x^{2}+4)^{2}} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32} = -\frac{x^{2}+4}{2} + \frac{(x^{2}+4)^{3}}{32}$.
$x=2$ માટે,$y(2) = -\frac{4+4}{2} + \frac{(4+4)^{3}}{32} = -4 + \frac{512}{32} = -4 + 16 = 8$.

(A) ધારો કે $I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} x^{2} \left(\frac{3 \pi}{2} - x\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} (\pi-x)^{2} \left(\frac{3 \pi}{2} - (\pi-x)\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$
$I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} (\pi-x)^{2} \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} [x^{2}(\frac{3\pi}{2}-x) + (\pi-x)^{2}(\frac{\pi}{2}+x)] dx$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$x^{2}(\frac{3\pi}{2}-x) + (\pi^{2}-2\pi x+x^{2})(\frac{\pi}{2}+x) = \frac{3\pi x^{2}}{2} - x^{3} + \frac{\pi^{3}}{2} + \pi^{2}x - \pi^{2}x - 2\pi x^{2} + \frac{x^{2}\pi}{2} + x^{3} = \frac{\pi^{3}}{2}$.
આમ,$2I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} \cdot \frac{\pi^{3}}{2} dx = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.
ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$.
$2I = \frac{24}{\pi} \int_{1}^{-1} \frac{-dt}{1+t^{2}} = \frac{24}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1+t^{2}} = \frac{24}{\pi} [\tan^{-1} t]_{-1}^{1} = \frac{24}{\pi} (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{24}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 12$.
તેથી,$I = 6$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int dy = \int \frac{dx}{(\sin x + \cos x)^2} = \int \frac{\sec^2 x}{(1 + \tan x)^2} dx$.
ધારો કે $u = 1 + \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
તેથી,$y = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{1 + \tan x} + C$.
શરત $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2} = -\frac{1}{1 + 1} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$y(x) = 1 - \frac{1}{1 + \tan x} = \frac{\tan x}{1 + \tan x}$.
હવે,$y(x)$ ને $y = \sqrt{2} \sin x$ સાથે સરખાવતા: $\frac{\tan x}{1 + \tan x} = \sqrt{2} \sin x$.
$\frac{\sin x}{\cos x + \sin x} = \sqrt{2} \sin x$.
આનાથી $\sin x = 0$ (તેથી $(0, 2\pi)$ માં $x = \pi$) અથવા $\frac{1}{\cos x + \sin x} = \sqrt{2} \Rightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$.
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ અથવા $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi$.
$x \in (0, 2\pi)$ માટે,$x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$ અથવા $x + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{6}$.
$x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$ અને $x = \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{23\pi}{12}$.
યામોનો સરવાળો $= \pi + \frac{7\pi}{12} + \frac{23\pi}{12} = \frac{12\pi + 7\pi + 23\pi}{12} = \frac{42\pi}{12}$.
$\frac{k\pi}{12}$ સાથે સરખાવતા,$k = 42$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a & -1 & 0 \\ ax & a & -1 \\ ax^2 & ax & a \end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = a(a^2 + ax) + 1(a^2x + ax^2) + 0$
$f(x) = a^3 + a^2x + a^2x + ax^2 = a^3 + 2a^2x + ax^2 = a(a^2 + 2ax + x^2) = a(x + a)^2$.
હવે,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[a(x + a)^2] = 2a(x + a)$.
આપેલ શરત $2f'(10) - f'(5) + 100 = 0$ મુજબ:
$2[2a(10 + a)] - [2a(5 + a)] + 100 = 0$
$4a(10 + a) - 2a(5 + a) + 100 = 0$
$40a + 4a^2 - 10a - 2a^2 + 100 = 0$
$2a^2 + 30a + 100 = 0$
$a^2 + 15a + 50 = 0$
$(a + 10)(a + 5) = 0$.
તેથી,$a$ ની કિંમતો $a = -10$ અને $a = -5$ છે.
આ કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો $(-10)^2 + (-5)^2 = 100 + 25 = 125$ થાય.

(B) આપેલ છે $a = \alpha - i \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
સમીકરણોની સંહતિ:
$4ix + (1 + i)y = 0$
$8(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})x + \bar{a}y = 0$
સંહતિને એક કરતા વધારે ઉકેલ હોવાથી,નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 4i & 1 + i \\ 8e^{i2\pi/3} & \bar{a} \end{vmatrix} = 0$
$4i\bar{a} - (1 + i)8e^{i2\pi/3} = 0$
$4i(\alpha + i\beta) - 8(1 + i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$i\alpha - \beta + 1 + \sqrt{3} - i(\sqrt{3} - 1) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\beta = \sqrt{3} + 1$ અને $\alpha = \sqrt{3} - 1$
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = 2 - \sqrt{3}$.