JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) વર્તુળ $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1$ છે જેનું કેન્દ્ર $C(1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે. ધારો કે $Q(t, t^{2})$ એ પરવલય $y=x^{2}$ પરનું બિંદુ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર ત્યારે ન્યૂનતમ હોય જ્યારે $Q$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થતા અભિલંબ પર હોય. આમ,$Q$ આગળ પરવલયનો અભિલંબ કેન્દ્ર $C(1, -1)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ.
$Q(t, t^{2})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = 2t$ છે. તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -\frac{1}{2t}$ થાય.
રેખા $CQ$ નો ઢાળ $\frac{t^{2}-(-1)}{t-1} = \frac{t^{2}+1}{t-1}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{t^{2}+1}{t-1} = -\frac{1}{2t} \Rightarrow 2t^{3}+3t-1=0$.
ધારો કે $f(t) = 2t^{3}+3t-1$. $f(1/4) < 0$ અને $f(1/2) > 0$ હોવાથી,$t \in (1/4, 1/2)$ મળે છે.
વર્તુળ પરનું બિંદુ $P$ એ રેખા $CQ$ અને વર્તુળનું છેદબિંદુ છે. $P$ નો $x$-યામ $x_P = 1 + \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ રેખા $CQ$ નો ખૂણો છે. ગણતરી કરતા $x_P$ એ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ અંતરાલમાં મળે છે.

(C) આપેલ છે $\beta = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x - (e^{3x} - 1)}{\alpha x(e^{3x} - 1)}$.
$e^{3x} = 1 + 3x + \frac{(3x)^2}{2!} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x - (1 + 3x + \frac{9x^2}{2} + \dots - 1)}{\alpha x(3x + \frac{9x^2}{2} + \dots)}$
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{(\alpha - 3)x - \frac{9}{2}x^2 - \dots}{3\alpha x^2 + \dots}$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,અંશમાં $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $\alpha - 3 = 0$,જે $\alpha = 3$ આપે છે.
$\alpha = 3$ મૂકતા:
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{9}{2}x^2}{3(3)x^2} = \frac{-9/2}{9} = -\frac{1}{2}$.
અંતે,$\alpha + \beta = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^{2} + 3y^{2} = 5$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{5/2} + \frac{y^{2}}{5/3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^{2} = \frac{5}{2}$ અને $b^{2} = \frac{5}{3}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{\frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}}$ છે.
તે $(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3 - m = \pm \sqrt{\frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 - m)^{2} = \frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}$.
$9m^{2} + 36m - 44 = 0$.
ધારો કે $m_{1}$ અને $m_{2}$ એ સમીકરણના બીજ છે.
$m_{1} + m_{2} = -4$ અને $m_{1}m_{2} = -\frac{44}{9}$.
$\tan \theta = \left|\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}}\right| = \frac{24}{7\sqrt{5}}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7\sqrt{5}}\right)$.

(B) ધારો કે પરવલય $y = x^{2}$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - \frac{m^{2}}{4}$ છે.
આ રેખા $y = -(x - 2)^{2}$ ને પણ સ્પર્શતી હોવાથી,આપણે બીજા સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકીએ:
$mx - \frac{m^{2}}{4} = -(x - 2)^{2}$
$mx - \frac{m^{2}}{4} = -(x^{2} - 4x + 4)$
$x^{2} + x(m - 4) + 4 - \frac{m^{2}}{4} = 0$
રેખા સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (m - 4)^{2} - 4(1)(4 - \frac{m^{2}}{4}) = 0$
$m^{2} - 8m + 16 - 16 + m^{2} = 0$
$2m^{2} - 8m = 0$
$2m(m - 4) = 0$
આમ,$m = 0$ અથવા $m = 4$.
$m = 4$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 4x - \frac{4^{2}}{4} = 4x - 4 = 4(x - 1)$ મળે છે.

(A) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું વિસ્તરણ $x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે $x_{1}, x_{2}$ એ $x^{2}-4x-6=0$ ના બીજ છે,તેથી $x_{1}+x_{2} = 4$ અને $x_{1}x_{2} = -6$.
આપેલ છે કે $y_{1}, y_{2}$ એ $y^{2}+2y-7=0$ ના બીજ છે,તેથી $y_{1}+y_{2} = -2$ અને $y_{1}y_{2} = -7$.
આ કિંમતોને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} - 4x - 6 + y^{2} + 2y - 7 = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 13 = 0$.
આને $x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2a = -4 \implies a = -2$
$2b = 2 \implies b = 1$
$c = -13$
તેથી,$a+b-c = -2 + 1 - (-13) = -1 + 13 = 12$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $kx^{2}-y^{2}=6$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{6/k} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^{2} = \frac{6}{k}$ અને $b^{2} = 6$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{6}{6/k} = 1 + k$.
તેથી $e = \sqrt{1+k}$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e}$ છે.
આપેલ નિયામિકા $x = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{\sqrt{6/k}}{\sqrt{1+k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \frac{6}{k(1+k)} \Rightarrow k^{2} + k - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $(k+3)(k-2) = 0$,તેથી $k = 2$ મળે.
અતિવલયનું સમીકરણ $2x^{2} - y^{2} = 6$ છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $2(\sqrt{5})^{2} - (-2)^{2} = 2(5) - 4 = 6$. તેથી બિંદુ $(\sqrt{5}, -2)$ અતિવલય પર છે.

(D) આપણે પદાવલિ $p \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)$ નું નિષેધ શોધવા માંગીએ છીએ.
ધારો કે $S = p \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)$.
ગુણધર્મ $\sim(A \Leftrightarrow B) = (A \wedge \sim B) \vee (B \wedge \sim A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sim S = (p \wedge \sim(q$ $\Rightarrow p)) \vee ((q$ $\Rightarrow p) \wedge \sim p)$.
હવે,પ્રથમ ભાગનું સાદું રૂપ આપતા: $p \wedge \sim(q \Rightarrow p) = p \wedge (q \wedge \sim p) = (p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$ (જ્યાં $F$ એ વિરોધાભાસ છે).
બીજા ભાગનું સાદું રૂપ આપતા: $(q$ $\Rightarrow p) \wedge \sim p = (\sim q \vee p) \wedge \sim p = (\sim q \wedge \sim p) \vee (p \wedge \sim p) = (\sim p \wedge \sim q) \vee F = \sim p \wedge \sim q$.
આ બંનેને જોડતા,$\sim S = F \vee (\sim p \wedge \sim q) = \sim p \wedge \sim q$.

(B) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ અને $B = \{3, 6, 7, 9\}$.
$A$ ના ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $2^{|A|} = 2^7 = 128$ છે.
આપણે એવા ઉપગણો $C \subseteq A$ શોધવા છે કે જેથી $C \cap B \neq \phi$ થાય.
આ સંખ્યા $A$ ના કુલ ઉપગણોમાંથી એવા ઉપગણો $C \subseteq A$ બાદ કરવાથી મળે કે જેના માટે $C \cap B = \phi$ હોય.
$C \cap B = \phi$ નો અર્થ છે કે $C$ એ $A \setminus B$ નો ઉપગણ હોવો જોઈએ.
$A \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \setminus \{3, 6, 7, 9\} = \{1, 2, 4, 5\}$.
આવા ઉપગણો $C$ ની સંખ્યા $2^{|A \setminus B|} = 2^4 = 16$ છે.
તેથી,$C \subseteq A$ કે જેના માટે $C \cap B \neq \phi$ હોય તેની સંખ્યા $128 - 16 = 112$ છે.

(B) $1000$ અને $3000$ ની વચ્ચે $4$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે,જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન થતું નથી.
$4$ વડે વિભાજ્યતા માટે,છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
પ્રથમ અંક $1$ અથવા $2$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો-$I$: પ્રથમ અંક $1$ હોય.
છેલ્લા બે અંકો માટે શક્ય જોડીઓ: $24, 32, 36, 52, 56, 64$ ($6$ જોડીઓ).
દરેક જોડી માટે,બીજો અંક બાકીના $3$ અંકોમાંથી પસંદ કરી શકાય.
કુલ સંખ્યાઓ = $6 \times 3 = 18$.
કિસ્સો-$II$: પ્રથમ અંક $2$ હોય.
છેલ્લા બે અંકો માટે શક્ય જોડીઓ: $16, 36, 56, 64$ ($4$ જોડીઓ).
દરેક જોડી માટે,બીજો અંક બાકીના $3$ અંકોમાંથી પસંદ કરી શકાય.
કુલ સંખ્યાઓ = $4 \times 3 = 12$.
કુલ સંખ્યાઓ = $18 + 12 = 30$.

(A) આપેલ સરવાળો $\sum_{k=1}^{10} \frac{k}{k^{4}+k^{2}+1}$ છે.
નોંધો કે $k^{4}+k^{2}+1 = (k^{2}+k+1)(k^{2}-k+1)$.
તેથી,સામાન્ય પદ $\frac{k}{(k^{2}+k+1)(k^{2}-k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k^{2}-k+1} - \frac{1}{k^{2}+k+1} \right)$ થાય.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $\frac{1}{2} (f(1) - f(11))$,જ્યાં $f(k) = \frac{1}{k^{2}-k+1}$.
$f(1) = 1$ અને $f(11) = \frac{1}{111}$.
સરવાળો $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{111}) = \frac{55}{111}$ મળે.
અહીં $m=55$ અને $n=111$ છે,તેથી $m+n = 166$.

(A) આપેલ સમીકરણો $2 \sin^{2} \theta - \cos 2\theta = 0$ અને $2 \cos^{2} \theta + 3 \sin \theta = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે:
$2 \sin^{2} \theta - (1 - 2 \sin^{2} \theta) = 0$
$4 \sin^{2} \theta = 1$
$\sin^{2} \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
બીજા સમીકરણ માટે:
$2(1 - \sin^{2} \theta) + 3 \sin \theta = 0$
$2 - 2 \sin^{2} \theta + 3 \sin \theta = 0$
$2 \sin^{2} \theta - 3 \sin \theta - 2 = 0$
$(2 \sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$.
$\sin \theta = 2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
સામાન્ય ઉકેલો $\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ છે.
ઉકેલોનો સરવાળો $= \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = \frac{18\pi}{6} = 3\pi$.
આપેલ સરવાળો $= k\pi$,તેથી $k = 3$.

(A) આપેલ છે,$n = 40$,$\mu = 30$,અને $\sigma = 5$.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = 40 \times 30 = 1200$.
વિચરણ $\sigma^2 = 25$,તેથી $\frac{\sum x_i^2}{40} - (30)^2 = 25$.
$\sum x_i^2 = 40 \times (900 + 25) = 40 \times 925 = 37000$.
$10$ અને $12$ અવલોકનોને દૂર કર્યા પછી,અવલોકનોની નવી સંખ્યા $n' = 38$.
નવો સરવાળો $\sum x_i' = 1200 - 10 - 12 = 1178$.
નવો મધ્યક $\mu' = \frac{1178}{38} = 31$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum (x_i')^2 = 37000 - 10^2 - 12^2 = 37000 - 100 - 144 = 36756$.
નવું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i')^2}{n'} - (\mu')^2 = \frac{36756}{38} - (31)^2$.
$38$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $38 \sigma^2 = 36756 - 38 \times 961 = 36756 - 36518 = 238$.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 100$ અને અંતિમ પદ $\ell = 199$ છે.
$n$ પદો ધરાવતી $A.P.$ માટે,અંતિમ પદ $\ell = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,$d = \frac{\ell - a}{n - 1} = \frac{199 - 100}{n - 1} = \frac{99}{n - 1}$.
આપણને આપેલ છે કે $d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $(n - 1)$ એ $99$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$99$ ના ભાજકો $1, 3, 9, 11, 33, 99$ છે.
આપણને આપેલ છે કે પદોની સંખ્યા $n$ એ $3 \le n \le 33$ શરતનું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \le n - 1 \le 32$.
$99$ ના ભાજકો જે આ શરતનું પાલન કરે છે તે $3, 9, 11$ છે.
$n - 1 = 3$ માટે,$d = \frac{99}{3} = 33$.
$n - 1 = 9$ માટે,$d = \frac{99}{9} = 11$.
$n - 1 = 11$ માટે,$d = \frac{99}{11} = 9$.
આવા તમામ સામાન્ય તફાવતોનો સરવાળો $33 + 11 + 9 = 53$ છે.

(D) કારણ કે $\triangle OAB$ એ $OB$ કર્ણ ધરાવતો કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે, સદિશ $\vec{AB}$ એ $\vec{OA}$ ને $90^{\circ}$ ($i$ અથવા $-i$) ના ખૂણે ફેરવવાથી મળે છે.
આપેલ છે $z_{1} = 1 + 2i$, તેથી સદિશ $\vec{OA} = 1 + 2i$.
કિસ્સો $1$: $z_{2} - z_{1} = i(z_{1} - 0) = i(1 + 2i) = -2 + i$.
તેથી $z_{2} = z_{1} + (-2 + i) = (1 + 2i) + (-2 + i) = -1 + 3i$.
અહીં $\operatorname{Re}(z_{2}) = -1 < 0$, જે શરતનું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $2$: $z_{2} - z_{1} = -i(z_{1} - 0) = -i(1 + 2i) = 2 - i$.
તેથી $z_{2} = z_{1} + (2 - i) = (1 + 2i) + (2 - i) = 3 + i$.
અહીં $\operatorname{Re}(z_{2}) = 3 > 0$, જે અસ્વીકાર્ય છે.
આમ, $z_{2} = -1 + 3i$.
હવે, $|z_{2}| = \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$. (વિકલ્પ $C$ સત્ય છે)
$\arg z_{2} = \pi - \tan^{-1} 3$. (વિકલ્પ $A$ સત્ય છે)
$|2z_{1} - z_{2}| = |2(1 + 2i) - (-1 + 3i)| = |2 + 4i + 1 - 3i| = |3 + i| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$.
કારણ કે $|2z_{1} - z_{2}| = \sqrt{10} \neq 5$, તેથી વિકલ્પ $D$ સત્ય નથી.

(C) પ્રથમ $G$.$P$. ના પદોનો ગુણાકાર $P_1 = 2^{1+2+\dots+60} = 2^{1830}$ છે.
બીજા $G$.$P$. ના પદોનો ગુણાકાર $P_2 = 4^{1+2+\dots+n} = 2^{n(n+1)}$ છે.
તમામ $60+n$ પદોનો ગુણોત્તર મધ્યક $(P_1 \times P_2)^{\frac{1}{60+n}} = 2^{\frac{225}{8}}$ છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{n^2+n+1830}{60+n} = \frac{225}{8}$.
સમીકરણ ઉકેલતા $n=20$ મળે છે.
$\sum_{k=1}^{n} k(n-k) = \frac{n(n^2-1)}{6}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n=20$ માટે: $\frac{20(399)}{6} = 1330$.

(B) ધારો કે $P = (x, y)$. બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(-2, 1)$ થી અંતરના વર્ગોનો સરવાળો $14$ છે:
$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (x+2)^2 + (y-1)^2 = 14$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 14$
$2x^2 + 2y^2 + 2x - 6y + 10 = 14$
$2x^2 + 2y^2 + 2x - 6y - 4 = 0$
$x^2 + y^2 + x - 3y - 2 = 0$
$x$-અંતઃખંડ માટે,$y = 0$ લેતા:
$x^2 + x - 2 = 0$ $\Rightarrow (x+2)(x-1) = 0$ $\Rightarrow x = -2, 1$. તેથી $A = (-2, 0)$ અને $B = (1, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ માટે,$x = 0$ લેતા:
$y^2 - 3y - 2 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$. તેથી $C = (0, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ અને $D = (0, \frac{3-\sqrt{17}}{2})$.
ચતુષ્કોણ $ACBD$ ના વિકર્ણો અક્ષો પર છે. આડા વિકર્ણની લંબાઈ $AB = |1 - (-2)| = 3$.
ઊભા વિકર્ણની લંબાઈ $CD = |\frac{3+\sqrt{17}}{2} - \frac{3-\sqrt{17}}{2}| = \sqrt{17}$.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{17} = \frac{3\sqrt{17}}{2}$ થાય.

(D) પરવલય $y^2 = 24x$ માટે $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y\beta = 12(x + \alpha)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{12}{\beta}$ છે.
રેખા $2x + 2y = 5$ નો ઢાળ $m_2 = -1$ છે. સ્પર્શક લંબ હોવાથી $m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\frac{12}{\beta} \times (-1) = -1$,એટલે કે $\beta = 12$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પરવલય પર હોવાથી $12^2 = 24\alpha$,તેથી $144 = 24\alpha$,એટલે કે $\alpha = 6$.
અતિવલય $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{144} = 1$ છે. બિંદુ $(\alpha + 4, \beta + 4) = (10, 16)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{36x}{10} + \frac{144y}{16} = 180$ એટલે કે $2x + 5y = 100$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(15, 13)$ માટે $2(15) + 5(13) = 95 \neq 100$ થાય છે,તેથી તે બિંદુમાંથી પસાર થતો નથી.

(B) કોઈપણ ઘટના $E_{i}$ માટે,$0 \leq P(E_{i}) \leq 1$.
$P(E_{1}) = \frac{2+3p}{6}$ માટે,$0 \leq 2+3p \leq 6 \implies -\frac{2}{3} \leq p \leq \frac{4}{3}$.
$P(E_{2}) = \frac{2-p}{8}$ માટે,$0 \leq 2-p \leq 8 \implies -6 \leq p \leq 2$.
$P(E_{3}) = \frac{1-p}{2}$ માટે,$0 \leq 1-p \leq 2 \implies -1 \leq p \leq 1$.
$E_{1}, E_{2}, E_{3}$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(E_{1}) + P(E_{2}) + P(E_{3}) \leq 1$.
$\frac{2+3p}{6} + \frac{2-p}{8} + \frac{1-p}{2} \leq 1$.
$24$ વડે ગુણતા: $4(2+3p) + 3(2-p) + 12(1-p) \leq 24$.
$26 - 3p \leq 24 \implies p \geq \frac{2}{3}$.
બધી શરતોને જોડતા: $p \in [\frac{2}{3}, 1]$.
તેથી,$p_{1} = 1$ અને $p_{2} = \frac{2}{3}$.
$p_{1} + p_{2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

(C) ધારો કે $y = 8^{2 \sin^2 \theta}$. $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ હોવાથી,સમીકરણ $y + \frac{64}{y} = 16$ બને છે.
આથી $y^2 - 16y + 64 = 0$,એટલે કે $(y - 8)^2 = 0$,જે $y = 8$ આપે છે.
તેથી $8^{2 \sin^2 \theta} = 8^1$,એટલે કે $2 \sin^2 \theta = 1$,અથવા $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$.
આથી $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$,તેથી $n(S) = 4$.
દરેક $\theta \in S$ માટે,$\frac{\pi}{4} + 2\theta \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}\}$.
પદાવલિ $\sum \frac{2}{\sin(\frac{\pi}{2} + 4\theta)} = \sum \frac{2}{\cos(4\theta)}$ થાય છે.
બધા $\theta \in S$ માટે,$\cos(4\theta) = -1$ થાય છે.
તેથી સરવાળો $4 \times (-2) = -8$ થાય છે.
અંતે,$n(S) + \text{સરવાળો} = 4 - 8 = -4$.

(C) આપેલ પદ $(\sim( p \Leftrightarrow \sim q )) \wedge q$ છે.
અહીં,$\sim( p \Leftrightarrow \sim q ) \equiv p \Leftrightarrow q$ થાય.
તેથી,આપેલ પદ $( p \Leftrightarrow q ) \wedge q$ બને છે.
આ પદનું સાદું રૂપ $p \wedge q$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $(p^{2}+q^{2})x^{2}-2q(p+r)x + q^{2}+r^{2}=0$ ને $(px-q)^{2} + (qx-r)^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$x = \frac{q}{p} = \frac{r}{q}$ મળે.
બીજું સમીકરણ $x^{2}+2x-8=0$ ના બીજ $x = -4$ અથવા $x = 2$ છે.
જો $x = -4$ લઈએ,તો $\frac{q}{p} = -4$ અને $\frac{r}{q} = -4$ મળે.
તેથી $q = -4p$ અને $r = 16p$ થાય.
હવે,$\frac{q^{2}+r^{2}}{p^{2}} = \frac{(-4p)^{2} + (16p)^{2}}{p^{2}} = \frac{16p^{2} + 256p^{2}}{p^{2}} = 272$.

(D) $5$-અંકી સંખ્યાઓ શોધવા માટે જેના અંકોનો ગુણાકાર $36$ હોય,આપણે અંકોના સમૂહ શોધીએ:
$1) \{1, 1, 1, 4, 9\} \implies \frac{5!}{3!} = 20$ ક્રમચયો.
$2) \{1, 1, 1, 6, 6\} \implies \frac{5!}{3!2!} = 10$ ક્રમચયો.
$3) \{1, 1, 2, 2, 9\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ ક્રમચયો.
$4) \{1, 1, 2, 3, 6\} \implies \frac{5!}{2!} = 60$ ક્રમચયો.
$5) \{1, 1, 3, 3, 4\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ ક્રમચયો.
$6) \{1, 2, 2, 3, 3\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ ક્રમચયો.
કુલ સરવાળો: $20 + 10 + 30 + 60 + 30 + 30 = 180$.

(D) $n$ મા ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $2n - 1$ છે.
પ્રથમ $10$ ગણમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $\sum_{k=1}^{10} (2k - 1) = 100$ છે.
આમ,$11$ મો ગણ $3$ ના $101$ મા ગુણકથી શરૂ થાય છે,જે $3 \times 101 = 303$ છે.
$11$ મા ગણમાં $2(11) - 1 = 21$ ઘટકો છે.
આ ઘટકો સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 303$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અને પદોની સંખ્યા $n = 21$ છે.
ઘટકોનો સરવાળો $S_{11} = \frac{21}{2} [2(303) + (20)3] = \frac{21}{2} [606 + 60] = 21 \times 333 = 6993$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{5}(x^{3}-x^{2}-x+1)+x(3x^{3}-4x^{2}-2x+4)-1=0$
પદોનું અવયવીકરણ કરતા: $(x-1)^{2}(x+1)(x^{5}+3x-1)=0$ મળે છે.
ધારો કે $f(x) = x^{5}+3x-1$. અહીં $f'(x) = 5x^{4}+3 > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે અને તેનું માત્ર $1$ વાસ્તવિક બીજ છે.
$(x-1)^{2}(x+1) = 0$ ના બીજ $x=1$ અને $x=-1$ છે.
આમ,કુલ $3$ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.

(B) વિસ્તરણ $(1+x)^{p}(1-x)^{q} = (1 + px + \frac{p(p-1)}{2}x^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{6}x^3 + \dots)(1 - qx + \frac{q(q-1)}{2}x^2 - \frac{q(q-1)(q-2)}{6}x^3 + \dots)$ છે.
$x$ નો સહગુણક $p - q = -3$ છે $(1)$.
$x^2$ નો સહગુણક $\frac{p(p-1)}{2} - pq + \frac{q(q-1)}{2} = -5$ છે.
$2$ વડે ગુણતા: $p^2 - p - 2pq + q^2 - q = -10$.
$(p-q)^2 - (p+q) = -10$.
$p-q = -3$ હોવાથી,$(-3)^2 - (p+q) = -10$,તેથી $9 - (p+q) = -10$,જે $p+q = 19$ આપે છે $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $2p = 16 \implies p = 8$ અને $q = 11$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{p(p-1)(p-2)}{6} - \frac{p(p-1)}{2}q + p\frac{q(q-1)}{2} - \frac{q(q-1)(q-2)}{6}$ દ્વારા મળે છે.
$p=8, q=11$ મૂકતા:
$= \frac{8 \times 7 \times 6}{6} - \frac{8 \times 7}{2}(11) + 8 \times \frac{11 \times 10}{2} - \frac{11 \times 10 \times 9}{6}$.
$= 56 - 308 + 440 - 165 = 23$.

(C) બાજુઓના સમીકરણો:
$AB: 2x + y = 0$
$BC: x + py = 15a$
$CA: x - y = 3$
શિરોબિંદુ $A$ એ $AB$ અને $CA$ નું છેદબિંદુ છે: $A = (1, -2)$.
લંબકેન્દ્ર $H = (2, a)$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ પરસ્પર લંબ છે.
$AH$ નો ઢાળ $= a + 2$.
$BC$ નો ઢાળ $= -\frac{1}{p}$.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$(a + 2) \times (-\frac{1}{p}) = -1 \implies a + 2 = p$.
આગળ ગણતરી કરતા,$a = 1$ મળે છે.
તેથી,$p = 1 + 2 = 3$.

(A) આપેલ છે $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$. વિકલન $f'(x) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{4x^{2} - 1}{x}$ છે.
$f(x)$ એ $(0, a)$ માં ઘટતું અને $(a, 4)$ માં વધતું હોવાથી,$f'(x) = 0$ લેતા $4x^{2} = 1$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $x > 0$). આમ,$a = \frac{1}{2}$.
પરવલય $y^{2} = 4(\frac{1}{2})x = 2x$ છે.
$y^{2} = 4ax$ પરના બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ આગળનો સ્પર્શક $ty = x + at^{2}$ છે.
બિંદુ $(8a, 8a-1)$ માંથી પસાર થતા,$t(8a-1) = 8a + at^{2} \Rightarrow at^{2} - t(8a-1) + 8a = 0$.
$a = 1/2$ મૂકતા,$\frac{1}{2}t^{2} - 3t + 4 = 0 \Rightarrow t^{2} - 6t + 8 = 0$.
ઉકેલ $t = 2, 4$ મળે છે. $t=4$ માટે $P = (8, 4)$ મળે છે.
$P(at^{2}, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^{3}$ છે.
$t=4, a=1/2$ માટે: $y = -4x + 2(1/2)(4) + (1/2)(64) = -4x + 36$.
$4x + y = 36 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{36} = 1$. તેથી $\alpha = 9, \beta = 36$.
$\alpha + \beta = 9 + 36 = 45$.

(C) આપેલ છે $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$.
$\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\frac{(1-i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}{1+4 \sin^2 \alpha} = \frac{1 - 2\sin^2 \alpha - 3i \sin \alpha}{1+4 \sin^2 \alpha}$.
વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય લેતા: $1 - 2\sin^2 \alpha = 0 \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$.
$\pi < \alpha < 2\pi$ હોવાથી,$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\alpha = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
$\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\frac{(1+i \cos \beta)(1+2i \cos \beta)}{1+4 \cos^2 \beta} = \frac{1 - 2\cos^2 \beta + 3i \cos \beta}{1+4 \cos^2 \beta}$.
કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય લેતા: $3 \cos \beta = 0 \Rightarrow \cos \beta = 0$.
$\pi < \beta < 2\pi$ હોવાથી,$\beta = \frac{3\pi}{2}$.
$\alpha = \frac{5\pi}{4}$ માટે,$\sin 2\alpha = \sin \frac{5\pi}{2} = 1$. $\alpha = \frac{7\pi}{4}$ માટે,$\sin 2\alpha = \sin \frac{7\pi}{2} = -1$.
$\beta = \frac{3\pi}{2}$ માટે,$\cos 2\beta = \cos 3\pi = -1$.
આમ,$Z_1 = 1-i$ અને $Z_2 = -1-i$.
$Z = 1-i$ માટે,$iZ + \frac{1}{i\bar{Z}} = \frac{1+i}{2}$.
$Z = -1-i$ માટે,$iZ + \frac{1}{i\bar{Z}} = \frac{1-i}{2}$.
સરવાળો $= \frac{1+i}{2} + \frac{1-i}{2} = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-\left(5+3^{\sqrt{\log _{3} 5}}-5^{\sqrt{\log _{5} 3}}\right)x+3\left(3^{\left(\log _{3} 5\right)^{\frac{1}{3}}}-5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}}-1\right)=0$.
સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$3^{\sqrt{\log _{3} 5}} = 5^{\sqrt{\log _{5} 3}}$.
તેથી,$x$ નો સહગુણક $-(5 + 5^{\sqrt{\log _{5} 3}} - 5^{\sqrt{\log _{5} 3}}) = -5$ થાય.
તે જ રીતે,અચળ પદ $3(5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}} - 5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}} - 1) = -3$ થાય.
સમીકરણ $x^{2}-5x-3=0$ બને છે.
અહીં $\alpha+\beta=5$ અને $\alpha\beta=-3$.
નવા બીજ $\frac{-2}{\beta}$ અને $\frac{-2}{\alpha}$ છે.
ધારો કે $t = \frac{-2}{\alpha}$,તો $\alpha = \frac{-2}{t}$.
$x^{2}-5x-3=0$ માં કિંમત મૂકતા:
$(\frac{-2}{t})^{2} - 5(\frac{-2}{t}) - 3 = 0 \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} + \frac{10}{t} - 3 = 0$.
$t^{2}$ વડે ગુણતા: $4 + 10t - 3t^{2} = 0 \Rightarrow 3t^{2}-10t-4=0$.
તેથી,માંગેલ સમીકરણ $3x^{2}-10x-4=0$ છે.

(A) અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 5$ આપેલ છે,તેથી $a = 5(1-r)$.
પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો $S_5 = \frac{a(1-r^5)}{1-r} = 5(1-r^5) = \frac{98}{25}$ છે.
$1-r^5 = \frac{98}{125} \implies r^5 = 1 - \frac{98}{125} = \frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^5$,તેથી $r = \frac{3}{5}$.
તેથી $a = 5(1 - \frac{3}{5}) = 5(\frac{2}{5}) = 2$.
$A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $A = 10ar = 10(2)(\frac{3}{5}) = 12$ અને સામાન્ય તફાવત $D = 10ar^2 = 10(2)(\frac{9}{25}) = \frac{36}{5} = 7.2$.
પ્રથમ $21$ પદોનો સરવાળો $S_{21} = \frac{21}{2} [2A + (21-1)D] = \frac{21}{2} [2(12) + 20(7.2)] = \frac{21}{2} [24 + 144] = \frac{21}{2} [168] = 21 \times 84 = 1764$.
હવે,$A.P.$ નું $a_{11}$ પદ શોધો: $a_{11} = A + 10D = 12 + 10(7.2) = 12 + 72 = 84$.
આમ,$S_{21} = 21 \times 84 = 21 a_{11}$.

(D) $1$. પરિકેન્દ્ર $P(2, 3)$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ થી સમાન અંતરે છે. શિરોબિંદુ $A$ એ $2x + y = 0$ અને $x - y = 3$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$A(1, -2)$ મળે છે.
$2$. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $P(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $2x + y = 0$ ને લંબ છે. તેનો ઢાળ $1/2$ છે. સમીકરણ: $x - 2y + 4 = 0$. $AB$ અને તેના લંબદ્વિભાજકનું છેદબિંદુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M(-4/5, 8/5)$ આપે છે.
$3$. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$B = 2M - A = (-13/5, 26/5)$.
$4$. $B$ એ $x + py = 39$ પર હોવાથી,$-13/5 + p(26/5) = 39 \Rightarrow p = 8$.
$5$. શિરોબિંદુ $C$ એ $x + 8y = 39$ અને $x - y = 3$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$C(7, 4)$ મળે છે.
$6$. $(AC)^2 = 72$. $9p = 9(8) = 72$. તેથી,$(AC)^2 = 9p$ સત્ય છે.
$7$. $(AC)^2 + p^2 = 72 + 64 = 136$. આ સત્ય છે.
$8$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $32.4$ છે.
$9$. $32 < 32.4 < 36$ સત્ય છે. $34 < 32.4 < 38$ અસત્ય છે.
$10$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સત્ય $\text{નથી}$.

(A) વર્તુળ $C_{1}$ નું કેન્દ્ર $(2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $2$ છે. તેનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = 4$ છે,જે $x^2 + y^2 - 4x = 0$ થાય છે.
રેખા $y = 2x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + (2x)^2 - 4x = 0$,તેથી $5x^2 - 4x = 0$. આમ,$x = 0$ ($O$ પાસે) અથવા $x = 4/5$ ($A$ પાસે).
$x = 4/5$ માટે,$y = 2(4/5) = 8/5$. તેથી,$A = (4/5, 8/5)$.
$OA$ નો ઢાળ $m = 2$ છે. ધારો કે $\theta$ એ $OA$ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે,તેથી $\tan \theta = 2$.
$C_{2}$ ના બિંદુ $A$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OA$ ને લંબ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $-1/2$ થશે.
બિંદુ $A(4/5, 8/5)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 8/5 = -1/2(x - 4/5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 4$ થાય છે.
$x$-અંતઃખંડ $P$ માટે $y=0$ લેતા,$x=4$,તેથી $P = (4, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ $Q$ માટે $x=0$ લેતા,$2y=4$,તેથી $y=2$,$Q = (0, 2)$.
અંતર $AP = \sqrt{(4 - 4/5)^2 + (0 - 8/5)^2} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$.
અંતર $QA = \sqrt{(0 - 4/5)^2 + (2 - 8/5)^2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
ગુણોત્તર $QA : AP = \frac{2\sqrt{5}}{5} : \frac{8\sqrt{5}}{5} = 2 : 8 = 1 : 4$.

(C) નાભિ $(a, a)$ થી શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શક $x+y-a=0$ સુધીનું અંતર નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \frac{|a+a-a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.
આ અંતર $d$ એ પ્રમાણિત પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4ax$ માં $a$ જેટલું છે,જ્યાં $4a$ એ નાભિલંબની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે નાભિલંબની લંબાઈ $16$ છે,તેથી $4d = 16$,જેનો અર્થ છે કે $d = 4$.
તેથી,$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 4$.
$|a| = 4 \sqrt{2}$.

(A) $\triangle PQA$ માં,$\angle PAQ = 45^{\circ}$ અને $PQ = 10$,તેથી $QA = \frac{PQ}{\tan 45^{\circ}} = 10$.
$\triangle BRA$ માં,$RA = d \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}d}{2}$ અને $BR = d \sin 30^{\circ} = \frac{d}{2}$.
$R$ એ $AQ$ પર હોવાથી,$QR = QA - RA = 10 - \frac{\sqrt{3}d}{2}$.
$\triangle PRB$ માં,$B$ થી $P$ નો ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{PQ - BR}{QR} = \frac{10 - d/2}{10 - \sqrt{3}d/2}$.
$\sqrt{3} = \frac{20 - d}{20 - \sqrt{3}d} \implies 20\sqrt{3} - 3d = 20 - d \implies 2d = 20(\sqrt{3} - 1) \implies d = 10(\sqrt{3} - 1)$.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQRB$ નું ક્ષેત્રફળ $\alpha = \frac{1}{2}(PQ + BR) \cdot QR = \frac{1}{2}(10 + d/2)(10 - \sqrt{3}d/2)$.
$d = 10(\sqrt{3} - 1)$ મૂકતા,$BR = 5(\sqrt{3} - 1)$ અને $QR = 10 - 5\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = 10 - 15 + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} - 5$ મળે.
$\alpha = \frac{1}{2}(10 + 5\sqrt{3} - 5)(5\sqrt{3} - 5) = \frac{1}{2}(5\sqrt{3} + 5)(5\sqrt{3} - 5) = \frac{1}{2}(75 - 25) = 25$.
આમ,$(d, \alpha) = (10(\sqrt{3} - 1), 25)$.

(C) ધારો કે $\alpha = \theta + (m-1) \frac{\pi}{6}$ અને $\beta = \theta + m \frac{\pi}{6}$.
તેથી $\beta - \alpha = \frac{\pi}{6}$.
સરવાળો $\sum_{m=1}^{9} \sec \alpha \sec \beta = \sum_{m=1}^{9} \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}$ છે.
$\sin(\beta - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે:
$2 \sum_{m=1}^{9} \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos \alpha \cos \beta} = 2 \sum_{m=1}^{9} (\tan \beta - \tan \alpha)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $2 \left( \tan \left( \theta + \frac{9\pi}{6} \right) - \tan \theta \right) = 2 (\tan(\theta + \frac{3\pi}{2}) - \tan \theta) = 2(-\cot \theta - \tan \theta)$.
આપેલ છે કે $2(-\cot \theta - \tan \theta) = -\frac{8}{\sqrt{3}}$,તેથી $\tan \theta + \cot \theta = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે $x = \tan \theta$,તો $x + \frac{1}{x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \implies \sqrt{3}x^2 - 4x + \sqrt{3} = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(\sqrt{3}x - 1)(x - \sqrt{3}) = 0$,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અથવા $\tan \theta = \sqrt{3}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{3}$.
$S = \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right\}$,તેથી $\sum_{\theta \in S} \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.

(D) ગર્ભિતાર્થ $X \rightarrow Y$ એ $F$ છે જો અને માત્ર જો $X$ એ $T$ હોય અને $Y$ એ $F$ હોય.
આપેલ છે કે $(P \wedge (\sim R)) \rightarrow ((\sim R) \wedge Q)$ એ $F$ છે,તેથી:
$P \wedge (\sim R) = T \implies P = T$ અને $\sim R = T \implies R = F$.
$(\sim R) \wedge Q = F$. કારણ કે $\sim R = T$,તેથી $Q = F$ હોવું જોઈએ.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $P = T, Q = F, R = F$ છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A) P \vee Q$ $\rightarrow \sim R = (T \vee F)$ $\rightarrow T = T$ $\rightarrow T = T$.
$(B) R \vee Q$ $\rightarrow \sim P = (F \vee F)$ $\rightarrow F = F$ $\rightarrow F = T$.
$(C) \sim(P \vee Q)$ $\rightarrow \sim R = \sim(T \vee F)$ $\rightarrow T = \sim T$ $\rightarrow T = F$ $\rightarrow T = T$.
$(D) \sim(R \vee Q)$ $\rightarrow \sim P = \sim(F \vee F)$ $\rightarrow F = \sim F$ $\rightarrow F = T$ $\rightarrow F = F$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલ વિધાન $F$ છે.

(A) સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} (6x)^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} x^{r}$ છે.
$x = \frac{3}{2}$ માટે,$T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} (\frac{3}{2})^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n+r}$ થાય.
$T_{9}$ સૌથી મોટું પદ હોવાથી,$T_{9} \ge T_{10}$ અને $T_{9} \ge T_{8}$ થાય.
$\frac{T_{9}}{T_{10}} \ge 1$ પરથી,$\frac{{}^{n}C_{8} 3^{n+8}}{{}^{n}C_{9} 3^{n+9}} \ge 1 \implies n \le 11$ મળે.
$\frac{T_{9}}{T_{8}} \ge 1$ પરથી,$\frac{{}^{n}C_{8} 3^{n+8}}{{}^{n}C_{7} 3^{n+7}} \ge 1 \implies n \ge 9.66$ મળે.
આમ,ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક $n_{0} = 10$ છે.
$n=10$ માટે,વિસ્તરણ $(3+6x)^{10}$ છે.
$x^{6}$ નો સહગુણક ${}^{10}C_{6} 3^{4} 6^{6} = 210 \cdot 3^{10} \cdot 2^{6}$ છે.
$x^{3}$ નો સહગુણક ${}^{10}C_{3} 3^{7} 6^{3} = 120 \cdot 3^{10} \cdot 2^{3}$ છે.
ગુણોત્તર $k = \frac{210 \cdot 3^{10} \cdot 2^{6}}{120 \cdot 3^{10} \cdot 2^{3}} = 14$ મળે.
તેથી,$k + n_{0} = 14 + 10 = 24$.

(C) ધારો કે $n$-મું પદ $T_n$ છે. $n$-મા પદનો અંશ $S_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} k^3 = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \ldots + (2n)^3$ છે.
આને $S_n = \sum_{k=1}^{n} ((2k)^3 - (2k-1)^3)$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(2k)^3 - (2k-1)^3 = 12k^2 - 6k + 1$ મળે.
આમ,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (12k^2 - 6k + 1) = n^2(4n+3)$.
$n$-મા પદનો છેદ $n(4n+3)$ છે.
તેથી,$T_n = \frac{n^2(4n+3)}{n(4n+3)} = n$.
શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{15} T_n = \sum_{n=1}^{15} n = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ થાય.

(D) વક્ર $C_{1}: \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{4m^{2} + 9}$ છે.
વક્ર $C_{2}: \frac{x^{2}}{42} - \frac{y^{2}}{143} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{42m^{2} - 143}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,$4m^{2} + 9 = 42m^{2} - 143$.
$38m^{2} = 152$ $\Rightarrow m^{2} = 4$ $\Rightarrow m = \pm 2$.
$m = 2$ માટે,અચળ પદ $c^{2} = 4(4) + 9 = 25$,તેથી $c = \pm 5$.
સ્પર્શક $T$ ચોથા ચરણમાંથી પસાર થતો નથી,તેથી આપણે $y = 2x + 5$ લઈએ છીએ.
$C_{1}$ પર સ્પર્શબિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ એ $\frac{xx_{1}}{4} + \frac{yy_{1}}{9} = 1$ દ્વારા મળે છે. $2x - y = -5$ ને $\frac{x_{1}}{4}x + \frac{y_{1}}{9}y = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x_{1}/4}{2} = \frac{y_{1}/9}{-1} = \frac{1}{-5}$ મળે છે.
આમ,$x_{1} = -8/5$.
$C_{2}$ પર સ્પર્શબિંદુ $(x_{2}, y_{2})$ એ $\frac{xx_{2}}{42} - \frac{yy_{2}}{143} = 1$ દ્વારા મળે છે. $2x - y = -5$ ને $\frac{x_{2}}{42}x - \frac{y_{2}}{143}y = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x_{2}/42}{2} = \frac{-y_{2}/143}{-1} = \frac{1}{-5}$ મળે છે.
આમ,$x_{2} = -84/5$.
અંતે,$|2x_{1} + x_{2}| = |2(-8/5) - 84/5| = |-16/5 - 84/5| = |-100/5| = 20$.

(A) વિધેય $v = |z|^{2} + |z-3|^{2} + |z-6i|^{2}$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $v = (x^{2} + y^{2}) + ((x-3)^{2} + y^{2}) + (x^{2} + (y-6)^{2})$.
$v = 3x^{2} - 6x + 9 + 3y^{2} - 12y + 36 = 3(x-1)^{2} + 3(y-2)^{2} + 30$.
ન્યૂનતમ કિંમત $v_{0} = 30$ એ $z_{0} = 1 + 2i$ આગળ મળે છે.
આપણે $|2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3|^{2} + v_{0}^{2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$z_{0} = 1 + 2i$,તેથી $z_{0}^{2} = -3 + 4i$.
$\bar{z}_{0} = 1 - 2i$,તેથી $\bar{z}_{0}^{3} = -11 + 2i$.
$2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3 = 2(-3 + 4i) - (-11 + 2i) + 3 = 8 + 6i$.
$|8 + 6i|^{2} = 100$.
આમ,$|2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3|^{2} + v_{0}^{2} = 100 + 900 = 1000$.

(A) આપણે $(2021)^{2022} + (2022)^{2021}$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,$2021 = 7 \times 288 + 5 \equiv -2 \pmod{7}$ અને $2022 = 7 \times 288 + 6 \equiv -1 \pmod{7}$ છે.
તેથી,$(2021)^{2022} + (2022)^{2021} \equiv (-2)^{2022} + (-1)^{2021} \pmod{7}$.
$2022$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-2)^{2022} = 2^{2022} = (2^3)^{674} = 8^{674} \equiv 1^{674} = 1 \pmod{7}$.
$2021$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2021} = -1$.
આમ,$(2021)^{2022} + (2022)^{2021} \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{7}$.
તેથી,શેષ $0$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_{5}}{S_{9}} = \frac{5}{17}$,તેથી $\frac{\frac{5}{2}(2a + 4d)}{\frac{9}{2}(2a + 8d)} = \frac{5}{17}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{5(a + 2d)}{9(a + 4d)} = \frac{5}{17}$ $\Rightarrow 17(a + 2d) = 9(a + 4d)$ $\Rightarrow 17a + 34d = 9a + 36d$ $\Rightarrow 8a = 2d$ $\Rightarrow d = 4a$.
$15$ મું પદ $a_{15} = a + 14d = a + 14(4a) = a + 56a = 57a$ છે.
આપેલ છે કે $110 < a_{15} < 120$,તેથી $110 < 57a < 120$.
$a$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$a = 2$.
તેથી $d = 4(2) = 8$.
પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 5(2(2) + 9(8)) = 5(4 + 72) = 5(76) = 380$ થાય.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8 \implies a = 2$. પરવલય પરનું બિંદુ $P(2t^2, 4t)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(5, 7)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + 2t^2$ છે. તે $(5, 7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $7t = 5 + 2t^2 \implies 2t^2 - 7t + 5 = 0$.
$t$ ના મૂલ્યો $t = 1$ અને $t = 5/2$ મળે છે.
$t = 1$ માટે $P = (2, 4)$ અને $t = 5/2$ માટે $P = (25/2, 10)$ મળે છે.
$a$ ના મૂલ્યો $2$ અને $25/2$ છે,તેથી $A = 2 \times (25/2) = 25$.
$b$ ના મૂલ્યો $4$ અને $10$ છે,તેથી $B = 4 \times 10 = 40$.
આમ,$A + B = 25 + 40 = 65$.

(C) કુલ $5$ અંકની સંખ્યાઓ $n(S) = 9 \times 10^4 = 90000$ છે.
ધારો કે $A$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જે $7$ નો ગુણક છે પરંતુ $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$7$ વડે વિભાજ્ય સૌથી નાની $5$ અંકની સંખ્યા $10003$ છે.
$7$ વડે વિભાજ્ય સૌથી મોટી $5$ અંકની સંખ્યા $99995$ છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$99995 = 10003 + (n-1)7$,જે $n = 12857$ આપે છે.
હવે,$7$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધો,એટલે કે $35$ વડે વિભાજ્ય.
$35$ વડે વિભાજ્ય સૌથી નાની $5$ અંકની સંખ્યા $10010$ છે.
$35$ વડે વિભાજ્ય સૌથી મોટી $5$ અંકની સંખ્યા $99995$ છે.
$99995 = 10010 + (P-1)35$,જે $P = 2572$ આપે છે.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $12857 - 2572 = 10285$ છે.
સંભાવના $p = \frac{10285}{90000}$ છે.
તેથી,$9p = 9 \times \frac{10285}{90000} = \frac{10285}{10000} = 1.0285$.

(C) ધારો કે $A$ ટાવરનો પાયો છે અને $B$ ટોચ છે. ટાવરની ઊંચાઈ $AB = 2h$ છે. ધારો કે $C$ ટાવર પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $AC = h$ થાય.
જમીન પરના બિંદુ $P$ થી $C$ નો ઉત્સેધકોણ $2\alpha$ છે. ધારો કે $AP = x$. $\triangle PAC$ માં,$\tan 2\alpha = \frac{AC}{AP} = \frac{h}{x}$. તેથી,$x = h \cot 2\alpha$.
જ્યારે માણસ ટાવર તરફ $d = \sqrt{7}h$ અંતર કાપીને બિંદુ $H$ પર પહોંચે છે,ત્યારે અંતર $AH = x + \sqrt{7}h$ થાય છે. ટોચ $B$ નો ઉત્સેધકોણ $\alpha$ છે. $\triangle HAB$ માં,$\tan \alpha = \frac{AB}{AH} = \frac{2h}{x + \sqrt{7}h}$.
$x = h \cot 2\alpha$ મૂકતા,આપણને મળે $\tan \alpha = \frac{2h}{h \cot 2\alpha + \sqrt{7}h} = \frac{2}{\cot 2\alpha + \sqrt{7}}$.
કારણ કે $\cot 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{2 \tan \alpha}$,તેથી $\tan \alpha = \frac{2}{\frac{1 - \tan^2 \alpha}{2 \tan \alpha} + \sqrt{7}}$.
ધારો કે $t = \tan \alpha$. તો $t = \frac{4t}{1 - t^2 + 2\sqrt{7}t}$.
$t \neq 0$ હોવાથી,$1 = \frac{4}{1 - t^2 + 2\sqrt{7}t}$,એટલે કે $1 - t^2 + 2\sqrt{7}t = 4$.
$t^2 - 2\sqrt{7}t + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{2\sqrt{7} \pm \sqrt{(2\sqrt{7})^2 - 4(1)(3)}}{2} = \frac{2\sqrt{7} \pm \sqrt{28 - 12}}{2} = \frac{2\sqrt{7} \pm 4}{2} = \sqrt{7} \pm 2$.
$\alpha$ ઉત્સેધકોણ હોવાથી,$\tan \alpha$ ધન હોવો જોઈએ. વળી,$\tan 2\alpha$ વ્યાખ્યાયિત અને ધન હોવા માટે,$2\alpha < 90^\circ$,તેથી $\alpha < 45^\circ$,એટલે કે $\tan \alpha < 1$. $\sqrt{7} + 2 > 1$ હોવાથી,આપણે $\tan \alpha = \sqrt{7} - 2$ લઈશું.

(C) આપણને આપેલ છે: $(p \wedge r) \Leftrightarrow (p \wedge (\sim q)) \equiv (\sim p)$.
જો આપણે $r = q$ લઈએ:
$(p \wedge q) \Leftrightarrow (p \wedge (\sim q))$.
જો $p = T$ હોય,તો $(T \wedge q) \Leftrightarrow (T \wedge (\sim q)) \equiv q \Leftrightarrow (\sim q)$,જે $F$ છે.
જો $p = F$ હોય,તો $(F \wedge q) \Leftrightarrow (F \wedge (\sim q)) \equiv F \Leftrightarrow F$,જે $T$ છે.
આ $(\sim p)$ ના સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$r = q$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta_{2} = 18$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}} = \frac{4}{7}$,તેથી $P$ એ $BC$ ને $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left( \frac{-20}{7}, \frac{-11}{7} \right)$.
રેખા $AP$ નું સમીકરણ $2x - 3y + 1 = 0$ છે અને રેખા $AC$ નું સમીકરણ $2x - y - 1 = 0$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ $Q(-1/2, 0)$ અને $R(1/2, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $AQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_A(y_Q - y_R) + x_Q(y_R - y_A) + x_R(y_A - y_Q)| = \frac{1}{2} |1(0 - 0) + (-1/2)(0 - 1) + (1/2)(1 - 0)| = \frac{1}{2}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2gx+6y-19c=0$ છે.
વર્તુળ $(6,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$6^{2}+1^{2}-2g(6)+6(1)-19c=0$
$43-12g-19c=0 \implies 12g+19c=43$ $(1)$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(g, -3)$ છે. કેન્દ્ર રેખા $x-2cy=8$ પર છે,તેથી:
$g-2c(-3)=8 \implies g+6c=8$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$g=8-6c$. $(1)$ માં મૂકતા:
$12(8-6c)+19c=43$
$96-53c=43 \implies c=1$
$c=1$ મૂકતા,$g=2$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-4x+6y-19=0$ છે.
$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^{2}-c'}$ છે,જ્યાં $c'=-19$.
લંબાઈ $= 2\sqrt{2^{2}-(-19)} = 2\sqrt{23}$.

(C) આપેલ છે $n = 10$,ખોટો મધ્યક $\bar{x} = 15$,અને ખોટું વિચરણ $\sigma^2 = 15$.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 15 = 150$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો: $\sum x_{i, \text{correct}} = 150 - 25 + 15 = 140$.
સાચો મધ્યક: $\bar{x}_{\text{correct}} = \frac{140}{10} = 14$.
વિચરણના સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$15 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 15^2$.
$\frac{\sum x_i^2}{10} = 15 + 225 = 240 \implies \sum x_i^2 = 2400$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો: $\sum x_{i, \text{correct}}^2 = 2400 - 25^2 + 15^2 = 2400 - 625 + 225 = 2000$.
સાચું વિચરણ: $\sigma_{\text{correct}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{correct}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{correct}})^2 = \frac{2000}{10} - 14^2 = 200 - 196 = 4$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન: $\sigma_{\text{correct}} = \sqrt{4} = 2$.

(B) અતિવલય $H$ એ $\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{49} = 1$ છે. તેના શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 8)$ છે.
ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ એ $(0, \pm 8)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $b^2 = 64$,એટલે કે $b = 8$.
અતિવલય $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \sqrt{1 + \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{113}{64}} = \frac{\sqrt{113}}{8}$ છે.
ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e_E = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{64}}$ છે.
આપેલ છે કે $e_E \times e_H = \frac{1}{2}$,તેથી $\sqrt{1 - \frac{a^2}{64}} \times \frac{\sqrt{113}}{8} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1 - \frac{a^2}{64}) \times \frac{113}{64} = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - \frac{a^2}{64} = \frac{16}{113}$.
તેથી,$\frac{a^2}{64} = 1 - \frac{16}{113} = \frac{97}{113}$,એટલે કે $a^2 = \frac{64 \times 97}{113}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2a^2}{b} = \frac{2}{8} \times \frac{64 \times 97}{113} = \frac{1552}{113}$.
તેથી,$113l = 1552$.

(A) ધારો કે $A = I + B$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & a & a \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B^3 = 0$ મળે છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$A^n = (I + B)^n = I + nB + \frac{n(n-1)}{2} B^2$.
$A^n = \begin{bmatrix} 1 & na & na + \frac{n(n-1)ab}{2} \\ 0 & 1 & nb \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ શ્રેણિક સાથે સરખાવતા: $na = 48$,$nb = 96$,અને $na + \frac{n(n-1)ab}{2} = 2160$.
$na = 48$ અને $nb = 96$ પરથી $b = 2a$ મળે છે.
ત્રીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $48 + \frac{n(n-1)a(2a)}{2} = 2160 \Rightarrow n(n-1)a^2 = 2112$.
$a = \frac{48}{n}$ મૂકતા,$n(n-1)(\frac{48}{n})^2 = 2112 \Rightarrow (n-1) \frac{2304}{n} = 2112 \Rightarrow 192n = 2304 \Rightarrow n = 12$.
તેથી $a = 4$ અને $b = 8$ મળે છે.
આમ,$n + a + b = 12 + 4 + 8 = 24$.

(B) આપેલ છે $f(x) = |5x - 7| + [x^2 + 2x]$.
અંતરાલ $x \in [\frac{5}{4}, 2]$ માટે,આપણે વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ.
$x = \frac{5}{4} = 1.25$ માટે,$f(1.25) = |5(1.25) - 7| + [1.25^2 + 2(1.25)] = |6.25 - 7| + [1.5625 + 2.5] = |-0.75| + [4.0625] = 0.75 + 4 = 4.75$.
$x = \frac{7}{5} = 1.4$ માટે,$f(1.4) = |5(1.4) - 7| + [1.4^2 + 2(1.4)] = 0 + [1.96 + 2.8] = [4.76] = 4$.
કારણ કે $|5x - 7|$ અને $x^2 + 2x$ બંને $x > 1.4$ માટે વધતું વિધેય છે,તેથી $f(x)$ એ $[1.4, 2]$ પર વધતું વિધેય છે.
$x = 2$ માટે,$f(2) = |5(2) - 7| + [2^2 + 2(2)] = |10 - 7| + [4 + 4] = 3 + 8 = 11$.
ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે અને મહત્તમ કિંમત $11$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $4 + 11 = 15$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y(4y^2+2x^2)}{x(3y^2+x^2)}$ છે.
$y=vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v(4v^2+2)}{3v^2+1}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{4v^3+2v-3v^3-v}{3v^2+1} = \frac{v^3+v}{3v^2+1}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{3v^2+1}{v^3+v} dv = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|v^3+v| = \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\ln|\frac{y^3}{x^3} + \frac{y}{x}| = \ln|x| + C$.
$y(1)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|1+1| = \ln(1) + C \Rightarrow C = \ln 2$.
તેથી,$\ln|\frac{y^3+yx^2}{x^3}| = \ln(2x)$.
$x=2$ માટે: $\frac{y^3+4y}{8} = 4 \Rightarrow y^3+4y = 32$.
ધારો કે $f(y) = y^3+4y-32$. $f(2) = -16$ અને $f(3) = 7$ હોવાથી,$y(2)$ એ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે છે.
આમ,$y(2) \in [2, 3)$,તેથી $n=3$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $f(x)+\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t=\left(e^{2 x}+e^{-2 x}\right) \cos 2 x+\frac{2}{a} x$ $(i)$.
$x=0$ મુકતા,$f(0) + 0 = (1+1)\cos(0) + 0$,તેથી $f(0)=2$.
સંકલન $\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t$ માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t = \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) d t = f(x) - f(0)$.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) + f(x) - f(0) = \frac{d}{dx} [2 \cosh(2x) \cos(2x)] + \frac{2}{a}$.
$f^{\prime}(x) + f(x) - 2 = 4 \sinh(2x) \cos(2x) - 4 \cosh(2x) \sin(2x) + \frac{2}{a}$.
$x=0$ મુકતા,$f^{\prime}(0) + f(0) - 2 = 0 - 0 + \frac{2}{a}$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(0)=4$ અને $f(0)=2$,તેથી $4 + 2 - 2 = \frac{2}{a}$,જેનો અર્થ છે કે $4 = \frac{2}{a}$,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
અંતે,$(2a+1)^5 a^2 = (2(\frac{1}{2})+1)^5 (\frac{1}{2})^2 = (2)^5 \cdot \frac{1}{4} = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8$.

(C) આપેલ છે કે $a_{n} = \int_{-1}^{n} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k-1}}{k}\right) dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$a_{n} = \left[ x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{x^{n}}{n^{2}} \right]_{-1}^{n}$.
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા:
$a_{n} = \left(n + \frac{n^{2}}{2^{2}} + \frac{n^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{n^{n}}{n^{2}}\right) - \left(-1 + \frac{(-1)^{2}}{2^{2}} + \frac{(-1)^{3}}{3^{2}} + \ldots + \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$.
$n=1$ માટે: $a_{1} = \int_{-1}^{1} (1) dx = [x]_{-1}^{1} = 2$.
$n=2$ માટે: $a_{2} = \int_{-1}^{2} (1 + \frac{x}{2}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4}]_{-1}^{2} = (2 + 1) - (-1 + \frac{1}{4}) = 3.75$.
$n=3$ માટે: $a_{3} = \int_{-1}^{3} (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3}) dx = [x + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{9}]_{-1}^{3} = (3 + 2.25 + 3) - (-1 + 0.25 - 0.111) = 9.111$.
$n=4$ માટે: $a_{4} \approx 31.97$.
આમ,$a_{n} \in (2, 30)$ માટે $n=2$ અને $n=3$ મળે છે.
તેથી,ઘટકોનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $4x^{3}-3xy^{2}+6x^{2}-5xy-8y^{2}+9x+14=0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$12x^{2} - 3y^{2} - 6xyy' + 12x - 5y - 5xy' - 16yy' + 9 = 0$.
બિંદુ $(-2, 3)$ મૂકતા:
$12(-2)^{2} - 3(3)^{2} - 6(-2)(3)y' + 12(-2) - 5(3) - 5(-2)y' - 16(3)y' + 9 = 0$.
$48 - 27 + 36y' - 24 - 15 + 10y' - 48y' + 9 = 0$.
$-9 - 2y' = 0 \implies y' = -\frac{9}{2}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = -\frac{9}{2}$,અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = \frac{2}{9}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - 3 = -\frac{9}{2}(x + 2) \implies y = -\frac{9}{2}x - 6$. $y=0$ માટે,$x = -\frac{4}{3}$.
અભિલંબનું સમીકરણ: $y - 3 = \frac{2}{9}(x + 2) \implies y = \frac{2}{9}x + \frac{31}{9}$. $y=0$ માટે,$x = -\frac{31}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times |x_{T} - x_{N}| \times |y_{P}| = \frac{1}{2} \times |-\frac{4}{3} - (-\frac{31}{2})| \times 3 = \frac{3}{2} \times |-\frac{8}{6} + \frac{93}{6}| = \frac{3}{2} \times \frac{85}{6} = \frac{85}{4}$.
$8A = 8 \times \frac{85}{4} = 170$.

(D) આપેલ છે કે $x = \sin(2 \tan^{-1} \alpha) = \frac{2 \alpha}{1 + \alpha^2}$.
આપેલ છે કે $y = \sin(\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{4}{3})$. ધારો કે $\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$,તેથી $\tan \theta = \frac{4}{3}$.
નિત્યસમ $\sin(\frac{\theta}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos \theta = \frac{3}{5}$,આપણને $y = \sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = \sqrt{\frac{2/5}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y^2 = 1 - x$,કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{5} = 1 - \frac{2 \alpha}{1 + \alpha^2}$
$\frac{2 \alpha}{1 + \alpha^2} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$10 \alpha = 4(1 + \alpha^2)$
$4 \alpha^2 - 10 \alpha + 4 = 0$
$2 \alpha^2 - 5 \alpha + 2 = 0$
$(2 \alpha - 1)(\alpha - 2) = 0$
તેથી,$\alpha = 2$ અથવા $\alpha = \frac{1}{2}$.
આપણે $\sum_{\alpha \in S} 16 \alpha^3 = 16(2^3) + 16(\frac{1}{2})^3 = 16(8) + 16(\frac{1}{8}) = 128 + 2 = 130$ શોધવાનું છે.

(B) ધારો કે પ્રદેશ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને સહ-પ્રદેશ $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
$f(1) + f(2) = f(3)$ હોવાથી,$f(3)$ ની કિંમત ઓછામાં ઓછી $1 + 1 = 2$ હોવી જોઈએ. વળી,$f(3) \in B$ હોવાથી,$f(3) \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ મળે.
દરેક $f(3)$ ની કિંમત માટે,$f(4)$ એ $B$ ના કોઈપણ $6$ ઘટકોમાંથી હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: $f(3) = 2$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 1)$ છે. કુલ $= 1 \times 6 = 6$ વિધેયો.
કિસ્સો $2$: $f(3) = 3$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 2), (2, 1)$ છે. કુલ $= 2 \times 6 = 12$ વિધેયો.
કિસ્સો $3$: $f(3) = 4$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$ છે. કુલ $= 3 \times 6 = 18$ વિધેયો.
કિસ્સો $4$: $f(3) = 5$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ છે. કુલ $= 4 \times 6 = 24$ વિધેયો.
કિસ્સો $5$: $f(3) = 6$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)$ છે. કુલ $= 5 \times 6 = 30$ વિધેયો.
વિધેયોની કુલ સંખ્યા $= 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 90$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 3\sin 3\theta & -1 & 1 \\ 3\cos 2\theta & 4 & 3 \\ 6 & 7 & 7 \end{vmatrix} = 0$
$D = 3\sin 3\theta(28 - 21) + 1(21\cos 2\theta - 18) + 1(21\cos 2\theta - 24) = 0$
$D = 21\sin 3\theta + 42\cos 2\theta - 42 = 0$
$21$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin 3\theta + 2\cos 2\theta - 2 = 0$ મળે છે.
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ અને $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) + 2(1 - 2\sin^2 \theta) - 2 = 0$
$-4\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$-\sin \theta (2\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 3) = 0$
આથી $\sin \theta = 0$,$\sin \theta = 1/2$,અથવા $\sin \theta = -3/2$ (અશક્ય).
$(0, 4\pi)$ માં $\sin \theta = 0$ માટે,$\theta = \pi, 2\pi, 3\pi$.
$(0, 4\pi)$ માં $\sin \theta = 1/2$ માટે,$\theta = \pi/6, 5\pi/6, 13\pi/6, 17\pi/6$.
આમ,કુલ $3 + 4 = 7$ ઉકેલો મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (x^2 - 2x + 7) e^{g(x)}$,જ્યાં $g(x) = 4x^3 - 12x^2 - 180x + 31$.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = (2x - 2) e^{g(x)} + (x^2 - 2x + 7) e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$g'(x) = 12x^2 - 24x - 180 = 12(x - 5)(x + 3)$.
$g'(x)$ ને $f'(x)$ માં મૂકતા:
$f'(x) = e^{g(x)} [2(x - 1) + (x^2 - 2x + 7) \cdot 12(x - 5)(x + 3)]$.
અંતરાલ $x \in [-3, 0]$ માટે,આપણે $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$x \in [-3, 0]$ હોવાથી,$(x - 5) < 0$ અને $(x + 3) \ge 0$.
તેથી,$(x - 5)(x + 3) \le 0$.
વળી,$(x^2 - 2x + 7)$ હંમેશા ધન છે કારણ કે તેનો વિવેચક $D = 4 - 28 = -24 < 0$ છે.
તેથી,$(x^2 - 2x + 7) \cdot 12(x - 5)(x + 3) \le 0$.
$x \in [-3, 0]$ માટે,$2(x - 1)$ પણ ઋણ છે.
બંને પદો ઋણ હોવાથી,$x \in (-3, 0]$ માટે $f'(x) < 0$ થાય છે.
$f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $[-3, 0]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત અંતરાલના ડાબા અંત્યબિંદુ $x = -3$ આગળ મળે છે.
આમ,$\alpha = -3$.

(A) આપેલ છે $y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5$.
વક્ર $(-2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y(-2) = a(-8) + b(4) - 2c + 5 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-8a + 4b - 2c = -5$ અથવા $8a - 4b + 2c = 5$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
વક્ર $x$-અક્ષને $(-2, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી ઢાળ $y'(-2) = 0$.
$y'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$.
$y'(-2) = 3a(4) + 2b(-2) + c = 12a - 4b + c = 0$ (સમીકરણ $2$).
આપેલ છે $y'(0) = 3$,તેથી $c = 3$ (સમીકરણ $3$).
$c=3$ ને સમીકરણ $1$ અને $2$ માં મૂકતા:
$8a - 4b + 6 = 5 \implies 8a - 4b = -1$.
$12a - 4b + 3 = 0 \implies 12a - 4b = -3$.
બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું બાદ કરતા: $(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1) \implies 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ ને $12a - 4b = -3$ માં મૂકતા: $12(-\frac{1}{2}) - 4b = -3 \implies -6 - 4b = -3 \implies -4b = 3 \implies b = -\frac{3}{4}$.
આમ,$y(x) = -\frac{1}{2}x^{3} - \frac{3}{4}x^{2} + 3x + 5$.
$y'(x) = -\frac{3}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + 3$.
$y'(x) = 0$ લેતા: $-\frac{3}{2}(x^{2} + x - 2) = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -2$ અને $x = 1$ છે.
$y''(x) = -3x - \frac{3}{2}$.
$x = 1$ માટે,$y''(1) = -3 - 1.5 = -4.5 < 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
$y(1) = -\frac{1}{2}(1)^{3} - \frac{3}{4}(1)^{2} + 3(1) + 5 = -0.5 - 0.75 + 3 + 5 = 6.75 = \frac{27}{4}$.

(B) પ્રદેશ $A = \{(x, y) : x^{2} \leq y \leq \min \{x+2, 4-3x\}\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વક્રોના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$1$. $y = x^2$ અને $y = x+2$ નું છેદબિંદુ: $x^2 = x+2 \implies x = -1$ અને $x = 2$.
$2$. $y = x^2$ અને $y = 4-3x$ નું છેદબિંદુ: $x^2 = 4-3x \implies x = -4$ અને $x = 1$.
$3$. $y = x+2$ અને $y = 4-3x$ નું છેદબિંદુ: $x+2 = 4-3x \implies x = \frac{1}{2}$.
ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$Area = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (x+2 - x^2) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (4-3x - x^2) dx$
પ્રથમ સંકલન: $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} (x+2 - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{4}$.
બીજું સંકલન: $\int_{\frac{1}{2}}^{1} (4-3x - x^2) dx = [4x - \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{7}{12}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{9}{4} + \frac{7}{12} = \frac{17}{6}$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $T = 2$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
આપેલ સંકલન $I = \frac{\pi^2}{10} \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) dx$ છે.
$f(x)$ નો આવર્તકાળ $2$ હોવાથી અને $\cos(\pi x)$ નો આવર્તકાળ પણ $2$ હોવાથી,$[-10, 10]$ પરનું સંકલન એ $[0, 2]$ પરના સંકલન કરતા $10$ ગણું થશે.
$I = \frac{\pi^2}{10} \times 10 \int_{0}^{2} f(x) \cos(\pi x) dx = \pi^2 \int_{0}^{2} f(x) \cos(\pi x) dx$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$ (બેકી),તેથી $f(x) = 1 + 0 - x = 1 - x$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$ (એકી),તેથી $f(x) = x - 1$.
આમ,$I = \pi^2 \left( \int_{0}^{1} (1 - x) \cos(\pi x) dx + \int_{1}^{2} (x - 1) \cos(\pi x) dx \right)$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{1} (1 - x) \cos(\pi x) dx = \left[ (1 - x) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_0^1 - \int_0^1 (-1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} dx = 0 + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi^2} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi^2}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{1}^{2} (x - 1) \cos(\pi x) dx = \left[ (x - 1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_1^2 - \int_1^2 (1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} dx = 0 - \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} \right]_1^2 = \frac{1}{\pi^2} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = \frac{1}{\pi^2} (1 - (-1)) = \frac{2}{\pi^2}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$I = \pi^2 \left( \frac{2}{\pi^2} + \frac{2}{\pi^2} \right) = \pi^2 \left( \frac{4}{\pi^2} \right) = 4$.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x} - 6e^{-x} + 9}{2 + 9e^{-2x}}$ આપેલ છે.
અંશ અને છેદને $e^{2x}$ વડે ગુણતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{4x} - 6e^x + 9e^{2x}}{2e^{2x} + 9} = e^{2x} - \frac{6e^x}{2e^{2x} + 9}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y = \int e^{2x} dx - \int \frac{6e^x}{2e^{2x} + 9} dx$.
ધારો કે $u = \sqrt{2}e^x$,તો $du = \sqrt{2}e^x dx$,તેથી $e^x dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$.
$y = \frac{1}{2}e^{2x} - \sqrt{2} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}e^x}{3}) + C$.
બિંદુ $(0, \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$.
બિંદુ $(\alpha, \frac{1}{2}e^{2\alpha})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}e^{\alpha}}{3}) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{\sqrt{2}e^{\alpha}}{3} = \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$.
તેથી,$e^{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{2}} \left(\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\right)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x-y^{2}) dx + y(5x+y^{2}) dy = 0$.
તેને આ રીતે લખતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-x}{y(5x+y^{2})}$.
ધારો કે $v = y^{2}$,તેથી $\frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{2y} \frac{dv}{dx} = \frac{v-x}{y(5x+v)} \implies \frac{dv}{dx} = 2 \frac{v-x}{5x+v}$.
ધારો કે $v = kx$,તેથી $\frac{dv}{dx} = k + x \frac{dk}{dx}$.
$k + x \frac{dk}{dx} = 2 \frac{kx-x}{5x+kx} = 2 \frac{k-1}{5+k}$.
$x \frac{dk}{dx} = \frac{2k-2}{k+5} - k = \frac{2k-2-k^{2}-5k}{k+5} = -\frac{k^{2}+3k+2}{k+5} = -\frac{(k+1)(k+2)}{k+5}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{k+5}{(k+1)(k+2)} dk = -\int \frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{k+5}{(k+1)(k+2)} = \frac{4}{k+1} - \frac{3}{k+2}$.
સંકલન કરતા: $4 \ln|k+1| - 3 \ln|k+2| = -\ln|x| + \ln|C|$.
$\ln|\frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}}| = \ln|\frac{C}{x}| \implies \frac{(k+1)^{4}}{(k+2)^{3}} = \frac{C}{x}$.
$k = \frac{v}{x} = \frac{y^{2}}{x}$ મૂકતા: $\frac{(\frac{y^{2}}{x}+1)^{4}}{(\frac{y^{2}}{x}+2)^{3}} = \frac{C}{x} \implies \frac{(y^{2}+x)^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{x^{3}}{(y^{2}+2x)^{3}} = \frac{C}{x}$.
$(y^{2}+x)^{4} = C|y^{2}+2x|^{3}$.

(C) ધારો કે સમતલ $P$ નું સમીકરણ $a(x-3) + b(y+4) + c(z-7) = 0$ છે. તે $(9, -1, -5)$ દિશા ગુણોત્તર વાળી રેખાને સમાવે છે,તેથી $9a - b - 5c = 0$.
સમતલ $P$ એ $\vec{v_1} = (2, 3, 5)$ અને $\vec{v_2} = (3, 7, 8)$ દિશા સદિશો ધરાવતી રેખાઓને સમાવતા સમતલને લંબ છે. આ બીજા સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_2} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-11, -1, 5)$ છે.
સમતલ $P$ આ સમતલને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{n_1} = (a, b, c)$ એ $\vec{n_2}$ ને લંબ છે,તેથી $-11a - b + 5c = 0$.
$9a - b - 5c = 0$ અને $-11a - b + 5c = 0$ ને ઉકેલતા,આપણને $a = -b$ અને $c = -2b$ મળે છે.
$b = -1$ લેતા,$a = 1$ અને $c = 2$ મળે છે. તેથી અભિલંબ સદિશ $(1, -1, 2)$ છે.
સમતલ $P$ નું સમીકરણ $1(x-3) - 1(y+4) + 2(z-7) = 0$ એટલે કે $x - y + 2z = 21$ થાય છે.
બિંદુ $(2, -5, 11)$ થી સમતલ $x - y + 2z - 21 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2 - (-5) + 2(11) - 21|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{6}}$ છે.
તેથી,$d^2 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$.

(D) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$,તેથી $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ પરથી,આપણને મળે $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = -\overrightarrow{a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}) = |\overrightarrow{a}|^2$.
આપેલ છે $|\overrightarrow{a}| = 6\sqrt{2}$,$|\overrightarrow{b}| = 2\sqrt{3}$,અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 12$,તેથી $(2\sqrt{3})^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(12) = (6\sqrt{2})^2$.
$12 + |\overrightarrow{c}|^2 + 24 = 72 \implies |\overrightarrow{c}|^2 = 36 \implies |\overrightarrow{c}| = 6$.
$(S1)$ માટે: $|(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})| - |\overrightarrow{c}| = |(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b}| - |\overrightarrow{c}|$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = -\overrightarrow{b}$,આ $|(-\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{b}| - |\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{0}| - 6 = -6$ બને છે.
આમ,$(S1)$ ખોટું છે.
$(S2)$ માટે: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = -\overrightarrow{b}$.
$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}|^2 = |-\overrightarrow{b}|^2 \implies |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = |\overrightarrow{b}|^2$.
$72 + 36 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = 12 \implies 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = -96 \implies \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = -48$.
$\cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|} = \frac{(-\overrightarrow{c}) \cdot \overrightarrow{a}}{|-\overrightarrow{c}| |\overrightarrow{a}|} = \frac{-(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})}{6 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{48}{36\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
કારણ કે $\frac{2\sqrt{2}}{3} \neq \sqrt{\frac{2}{3}}$,$(S2)$ ખોટું છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $p+q=1$.
આપેલ છે કે $np + npq = 24$ અને $(np)(npq) = 128$.
ધારો કે $A = np$ અને $B = npq$. તેથી $A+B=24$ અને $AB=128$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 24t + 128 = 0$ ના બીજ $t = 8$ અને $t = 16$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $np = 16$ અને $npq = 8$. તેથી $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$,એટલે કે $p = \frac{1}{2}$. આમ $n(\frac{1}{2}) = 16 \implies n = 32$.
કિસ્સો $2$: $np = 8$ અને $npq = 16$. તેથી $q = \frac{16}{8} = 2$,જે શક્ય નથી કારણ કે $q \leq 1$.
તેથી,$n=32, p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2}$.
એક અથવા બે સફળતાની સંભાવના $P(X=1) + P(X=2) = {}^{32}C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{31} + {}^{32}C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{30}$ છે.
$= 32 \cdot (\frac{1}{2})^{32} + \frac{32 \cdot 31}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{32} = (32 + 496) \cdot \frac{1}{2^{32}} = 528 \cdot \frac{1}{2^{32}} = \frac{33 \cdot 16}{2^{32}} = \frac{33}{2^{28}}$.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+\alpha x+\beta > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = \alpha^{2} - 4\beta < 0 \implies \alpha^{2} < 4\beta$.
પાસાને બે વાર ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
દરેક $\beta \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે શરત $\alpha^{2} < 4\beta$ ચકાસીએ:
જો $\beta = 1$,$\alpha^{2} < 4 \implies \alpha \in \{1\}$ ($1$ કિસ્સો).
જો $\beta = 2$,$\alpha^{2} < 8 \implies \alpha \in \{1, 2\}$ ($2$ કિસ્સા).
જો $\beta = 3$,$\alpha^{2} < 12 \implies \alpha \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ કિસ્સા).
જો $\beta = 4$,$\alpha^{2} < 16 \implies \alpha \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ કિસ્સા).
જો $\beta = 5$,$\alpha^{2} < 20 \implies \alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ કિસ્સા).
જો $\beta = 6$,$\alpha^{2} < 24 \implies \alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ કિસ્સા).
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 17$.
તેથી,સંભાવના $\frac{17}{36}$ છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$. $A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = A$.
તેથી, દરેક $n \geq 1$ માટે $A^n = A$.
હવે, $B = A - I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$.
$B^2$ ની ગણતરી કરતા:
$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = -B$.
તેથી $B^3 = -B^2 = B$, $B^4 = -B$, $B^5 = B$, અને સામાન્ય રીતે એકી $n$ માટે $B^n = B$ અને બેકી $n$ માટે $B^n = -B$.
સમીકરણ $A + \omega^n B^n = A + B$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega^n B^n = B$.
કિસ્સો $1$: $n$ એકી છે. તો $B^n = B$, તેથી $\omega^n B = B \Rightarrow \omega^n = 1$.
$\omega = e^{i2\pi/3}$ હોવાથી, $\omega^n = 1$ નો અર્થ છે કે $n$ એ $3$ નો ગુણક છે.
તેથી $n \in \{3, 9, 15, \ldots, 99\}$. આ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=3, d=6, l=99$.
$99 = 3 + (k-1)6 \Rightarrow 96 = (k-1)6 \Rightarrow 16 = k-1 \Rightarrow k = 17$.
કિસ્સો $2$: $n$ બેકી છે. તો $B^n = -B$, તેથી $\omega^n (-B) = B \Rightarrow \omega^n = -1$.
$\omega^n = -1$ નો અર્થ છે કે $n$ એ $3$ નો એકી ગુણક છે, પરંતુ $n$ બેકી હોવો જોઈએ, તેથી અહીં કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ, કુલ $17$ કિંમતો મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,શરત $8x^2 - 6x + 1 < 0$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(2x - 1)(4x - 1) < 0$ ઉકેલતા,આપણને $x \in (1/4, 1/2)$ મળે છે.
$x \in (1/4, 1/2)$ માટે,$f(x) = [4x^2 - 8x + 5]$. ધારો કે $g(x) = 4x^2 - 8x + 5 = 4(x-1)^2 + 1$. અંતરાલ $(1/4, 1/2)$ માં,$g(x)$ એ $g(1/4) = 4(1/16) - 2 + 5 = 13/4 = 3.25$ થી ઘટીને $g(1/2) = 4(1/4) - 4 + 5 = 2$ થાય છે.
આમ,$f(x) = [g(x)]$ એ $x \in (1/4, x_1)$ માટે $3$ કિંમત ધારણ કરે છે જ્યાં $g(x_1) = 3$,અને $x \in [x_1, 1/2)$ માટે $2$ કિંમત ધારણ કરે છે.
$x = 1/4$ પર,$g(1/4) = 3.25$. વિધેય સતત છે પરંતુ ત્યાં ખૂણો બને છે (વિકલનીય નથી).
$x = x_1$ પર,$g(x_1) = 3$. વિધેય $3$ થી $2$ પર કૂદકો મારે છે,તેથી તે અસતત છે અને વિકલનીય નથી.
$x = 1/2$ પર,$g(1/2) = 2$. વિધેય $2$ થી $g(1/2) = 2$ પર જાય છે (સતત છે),પરંતુ વિકલિત અચાનક બદલાય છે,જે તેને વિકલનીય નથી બનાવતું.
આમ,અ-વિકલનીય બિંદુઓ $x = 1/4, x_1, 1/2$ છે. કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3$ છે.

(D) ધારો કે $L_1: \frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ અને $L_2: \frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-1}{1}$.
લઘુત્તમ અંતરની રેખાની દિશા $\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ $P: ax-y-z=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$,જ્યાં $\vec{n} = (a, -1, -1)$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{27}}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{27}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
આમ,$\frac{|-a - 2 + 2|}{\sqrt{9} \sqrt{a^2+2}} = \frac{5}{3\sqrt{3}} \implies \frac{|a|}{3\sqrt{a^2+2}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{a^2}{a^2+2} = \frac{25}{3} \implies 3a^2 = 25a^2 + 50$. આ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી. પ્રશ્નમાં ભૂલ હોઈ શકે છે,પરંતુ ગણતરી મુજબ સાચો વિકલ્પ $3$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,તેથી $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A^{\prime} BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9^2 & -10^2 & 11^2 \\ 12^2 & 13^2 & -14^2 \\ -15^2 & 16^2 & 17^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$A^{\prime} B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9^2 & -10^2 & 11^2 \\ 12^2 & 13^2 & -14^2 \\ -15^2 & 16^2 & 17^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9^2+12^2-15^2 & -10^2+13^2+16^2 & 11^2-14^2+17^2 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
કિંમતોની ગણતરી:
$9^2+12^2-15^2 = 81+144-225 = 0$.
$-10^2+13^2+16^2 = -100+169+256 = 325$.
$11^2-14^2+17^2 = 121-196+289 = 214$.
તેથી,$A^{\prime} B = \begin{bmatrix} 0 & 325 & 214 \end{bmatrix}$.
હવે,$(A^{\prime} B) A = \begin{bmatrix} 0 & 325 & 214 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 0(1) + 325(1) + 214(1) = 539$.

(D) આપેલ વિધેય $f_{a}(x) = \tan^{-1}(2x) - 3ax + 7$ છે.
વિધેય વધતું હોવા માટે,તેનું વિકલન અ-ઋણ હોવું જોઈએ: $f_{a}'(x) \geq 0$.
$f_{a}'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - 3a \geq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $3a \leq \frac{2}{1+4x^2}$,અથવા $a \leq \frac{2}{3(1+4x^2)}$.
આ શરત અંતરાલ $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$ માં તમામ $x$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,તેથી $a$ એ આ અંતરાલ પર $\frac{2}{3(1+4x^2)}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કરતા ઓછું અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
ન્યૂનતમ કિંમત સીમાબિંદુઓ $x = \pm \frac{\pi}{6}$ પર મળે છે.
$x^2 = \frac{\pi^2}{36}$ લેતા,$a \leq \frac{2}{3(1 + 4(\frac{\pi^2}{36}))} = \frac{2}{3(1 + \frac{\pi^2}{9})} = \frac{6}{9+\pi^2}$.
તેથી,$\bar{a} = \frac{6}{9+\pi^2}$.
હવે,$f_{\bar{a}}\left(\frac{\pi}{8}\right) = \tan^{-1}\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) - 3 \cdot \left(\frac{6}{9+\pi^2}\right) \cdot \frac{\pi}{8} + 7$.
$f_{\bar{a}}\left(\frac{\pi}{8}\right) = 7 + \tan^{-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{9\pi}{4(9+\pi^2)}$.

(D) ધારો કે $y = \log _{\cos x} \operatorname{cosec} x$.
લઘુગણકના આધાર પરિવર્તનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{\ln(\operatorname{cosec} x)}{\ln(\cos x)} = \frac{-\ln(\sin x)}{\ln(\cos x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{\ln(\cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\sin x)) - \ln(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\cos x))}{(\ln(\cos x))^2} \right]$.
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{\ln(\cos x) \cdot \cot x - \ln(\sin x) \cdot (-\tan x)}{(\ln(\cos x))^2} \right]$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\sin x = \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\ln(\sin x) = \ln(\cos x) = \ln(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \ln 2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = -\left[ \frac{(-\frac{1}{2} \ln 2)(1) - (-\frac{1}{2} \ln 2)(-1)}{(-\frac{1}{2} \ln 2)^2} \right] = -\left[ \frac{-\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 2}{\frac{1}{4} (\ln 2)^2} \right] = -\left[ \frac{-\ln 2}{\frac{1}{4} (\ln 2)^2} \right] = \frac{4}{\ln 2}$.
અંતે,$x = \frac{\pi}{4}$ પર $\log _{e} 2 \cdot \frac{dy}{dx}$ નું મૂલ્ય $\ln 2 \cdot \frac{4}{\ln 2} = 4$ થાય છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{20 \pi} (|\sin x| + |\cos x|)^2 dx$.
વિધેય $f(x) = (|\sin x| + |\cos x|)^2$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવે છે,તેથી આપણે $\int_{0}^{nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ.
અહીં,$n = \frac{20\pi}{\pi/2} = 40$ અને $T = \frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$I = 40 \int_{0}^{\pi/2} (|\sin x| + |\cos x|)^2 dx$.
$x \in [0, \pi/2]$ માટે $\sin x \ge 0$ અને $\cos x \ge 0$ હોવાથી:
$I = 40 \int_{0}^{\pi/2} (\sin x + \cos x)^2 dx$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા,$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x$.
તેથી,$I = 40 \int_{0}^{\pi/2} (1 + \sin 2x) dx$.
$I = 40 [x - \frac{\cos 2x}{2}]_{0}^{\pi/2}$.
$I = 40 [(\frac{\pi}{2} - \frac{\cos \pi}{2}) - (0 - \frac{\cos 0}{2})]$.
$I = 40 [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}) - (0 - \frac{1}{2})] = 40 [\frac{\pi}{2} + 1] = 20(\pi + 2)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ અને $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot \text{I.F.} = \int Q(x) \cdot \text{I.F.} dx + C$ છે.
$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^4+2x) dx = \frac{x^5}{5} + x^2 + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = 0 + 0 + C$,એટલે કે $C = 0$.
તેથી,$f(x) = \frac{x^5}{5\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
આપણે $I = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય $\frac{x^5}{5\sqrt{1-x^2}}$ અને યુગ્મ વિધેય $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ નો સરવાળો છે,તેથી અયુગ્મ ભાગનું સંકલન $0$ થશે.
તેથી,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
$x = \sin \theta$ લેતા,$dx = \cos \theta d\theta$. જ્યારે $x=0, \theta=0$; જ્યારે $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, \theta=\frac{\pi}{3}$.
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2\theta) d\theta = [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(A) પ્રથમ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_{1} = \hat{i} \times (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{k}$ છે.
બીજા સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}_{2} = (\hat{i} - \hat{j}) \times (\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
છેદરેખા $\vec{v} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} + \hat{j}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j}$.
આપેલ છે કે $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ થાય.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (1)(-2) + (0)(2) = -1 - 2 = -3$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$.
$\cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{2} \times 3} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુરુકોણ $\theta = \frac{3\pi}{4}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\frac{\sin ^{-1} x}{\alpha}=\frac{\cos ^{-1} x}{\beta} = k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
કિંમતો મૂકતા,$k \alpha + k \beta = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $k(\alpha + \beta) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $k = \frac{\pi}{2(\alpha + \beta)}$.
$\sin ^{-1} x = k \alpha$ પરથી,આપણને મળે $\alpha = \frac{\sin ^{-1} x}{k} = \frac{2(\alpha + \beta) \sin ^{-1} x}{\pi}$.
તેથી,$\frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{2 \sin ^{-1} x}{\pi}$.
આપણે $\sin \left(\frac{2 \pi \alpha}{\alpha + \beta}\right)$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તર મૂકતા,$\sin \left(2 \pi \cdot \frac{2 \sin ^{-1} x}{\pi}\right) = \sin (4 \sin ^{-1} x)$.
સૂત્ર $\sin(4\theta) = 4 \sin \theta \cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા.
ધારો કે $\theta = \sin ^{-1} x$,તો $\sin \theta = x$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $4 x \sqrt{1 - x^2} (1 - 2 x^2)$ મળે છે.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = \frac{4}{3}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
$np = 4$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{2}{3} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k} = {}^{6}C_{k} (\frac{2}{3})^{k} (\frac{1}{3})^{6-k}$ છે.
આપણે $54 P(X \leq 2) = 54 [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X=0) = {}^{6}C_{0} (\frac{2}{3})^{0} (\frac{1}{3})^{6} = 1 \times 1 \times \frac{1}{729} = \frac{1}{729}$.
$P(X=1) = {}^{6}C_{1} (\frac{2}{3})^{1} (\frac{1}{3})^{5} = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{243} = \frac{12}{729}$.
$P(X=2) = {}^{6}C_{2} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3})^{4} = 15 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{81} = \frac{60}{729}$.
આનો સરવાળો કરતા,$P(X \leq 2) = \frac{1 + 12 + 60}{729} = \frac{73}{729}$.
અંતે,$54 P(X \leq 2) = 54 \times \frac{73}{729} = \frac{2 \times 73}{27} = \frac{146}{27}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(\cos x-\sin x)}{1+\frac{2}{\sqrt{3}} \sin 2 x} dx = \int \frac{(\sqrt{3}-1)(\cos x-\sin x)}{\sqrt{3}+2\sin 2x} dx$.
અંશ અને છેદને $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})(\cos x-\sin x)}{\sin 60^{\circ} + \sin 2x} dx$.
$\sin 60^{\circ} + \sin 2x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) \cos(x - \frac{\pi}{6})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\cos(x + \frac{\pi}{6}) - \sin(x - \frac{\pi}{6})}{2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) \cos(x - \frac{\pi}{6})} dx$.
$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{\sin(x + \frac{\pi}{6})} - \frac{1}{\cos(x - \frac{\pi}{6})} \right) dx$.
સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})}{\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} \right| + C$.

(D) વક્રો $y = |x^{2} - 1|$ અને $y = 1$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x^{2} - 1| = 1$ લો.
આનો અર્થ એ છે કે $x^{2} - 1 = 1$ અથવા $x^{2} - 1 = -1$.
$x^{2} = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$ અને $x^{2} = 0 \implies x = 0$.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times$ (પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ).
પ્રથમ ચરણમાં,પ્રદેશ $x = 0$ થી $x = \sqrt{2}$ સુધી ઘેરાયેલ છે.
$0 \le x \le 1$ માટે,$y = |x^{2} - 1| = 1 - x^{2}$. ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} (1 - (1 - x^{2})) dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx = [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ છે.
$1 \le x \le \sqrt{2}$ માટે,$y = |x^{2} - 1| = x^{2} - 1$. ક્ષેત્રફળ $\int_{1}^{\sqrt{2}} (1 - (x^{2} - 1)) dx = \int_{1}^{\sqrt{2}} (2 - x^{2}) dx = [2x - \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{\sqrt{2}} = (2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (2 - \frac{1}{3}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{5}{3}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\frac{1}{3} + \frac{4\sqrt{2} - 5}{3}) = 2 \times (\frac{4\sqrt{2} - 4}{3}) = \frac{8}{3}(\sqrt{2} - 1)$.

(B) બંને રેખાઓ બિંદુ $P(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v}_1 = \hat{i} + a\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = -\hat{i} + \hat{j} - a\hat{k}$ છે.
આ રેખાઓને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & a & -1 \\ -1 & 1 & -a \end{vmatrix} = (1-a^2)\hat{i} + (a+1)\hat{j} + (1+a)\hat{k}$.
$(1+a)$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = (1-a)\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}'$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$(1-a)(x-1) + 1(y-1) + 1(z-0) = 0 \implies (1-a)x + y + z + a - 2 = 0$.
બિંદુ $(2, 1, 4)$ થી સમતલનું લંબ અંતર $\sqrt{3}$ આપેલું છે:
$\frac{|(1-a)(2) + 1 + 4 + a - 2|}{\sqrt{(1-a)^2 + 1^2 + 1^2}} = \sqrt{3}$.
$\frac{|5 - a|}{\sqrt{a^2 - 2a + 3}} = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5-a)^2 = 3(a^2 - 2a + 3)$.
$25 - 10a + a^2 = 3a^2 - 6a + 9$.
$2a^2 + 4a - 16 = 0 \implies a^2 + 2a - 8 = 0$.
$(a+4)(a-2) = 0$,તેથી $a = 2$ અથવા $a = -4$.
$a$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે.

(C) રેખા $L$ બનાવતા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = \ell \hat{i} - \hat{j} + 3(1-\ell) \hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \ell & -1 & 3(1-\ell) \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (6\ell - 5) \hat{i} + (3 - 2\ell) \hat{j} + (2\ell + 1) \hat{k}$.
સમતલ $3x - 8y + 7z = 4$ માં રેખા $L$ સમાયેલી છે,તેથી આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_{3} = 3\hat{i} - 8\hat{j} + 7\hat{k}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n}_{3} = 0$:
$3(6\ell - 5) - 8(3 - 2\ell) + 7(2\ell + 1) = 0$
$48\ell - 32 = 0 \implies \ell = \frac{2}{3}$.
$\ell = \frac{2}{3}$ મુકતા,$\vec{v} = -1\hat{i} + \frac{5}{3}\hat{j} + \frac{7}{3}\hat{k}$.
રેખા $L$ અને $y$-અક્ષ $(\hat{j})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \hat{j}|}{|\vec{v}| |\hat{j}|}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1 + \frac{25}{9} + \frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{83}}{3}$.
$\cos \theta = \frac{5/3}{\sqrt{83}/3} = \frac{5}{\sqrt{83}}$.
તેથી,$415 \cos^{2} \theta = 415 \times \frac{25}{83} = 125$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=2-e^{-x}$ છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-1$ અને $Q=2-e^{-x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot e^{-x} = \int (2-e^{-x})e^{-x} dx = \int (2e^{-x}-e^{-2x}) dx$ છે.
$y \cdot e^{-x} = -2e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x} + Ce^x$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x)$ શાંત છે,તેથી $e^x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $C=0$.
આમ,$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x}$.
$x=0$ આગળ,$y(0) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x}$ છે.
$x=0$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}|_{x=0} = -\frac{1}{2}$.
$(0, -3/2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-3/2) = -\frac{1}{2}(x - 0)$ છે,જે $y + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}x$ અથવા $x + 2y = -3$ માં પરિણમે છે.
$x$-અંત:ખંડ $a$ મેળવવા માટે $y=0$ મૂકતા,$a = -3$.
$y$-અંત:ખંડ $b$ મેળવવા માટે $x=0$ મૂકતા,$2b = -3$,જેથી $b = -\frac{3}{2}$.
અંતે,$a - 4b = -3 - 4(-\frac{3}{2}) = -3 + 6 = 3$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અને $A = A^{-1}$.
આનો અર્થ એ છે કે $A^2 = I$,તેથી $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આનાથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) a^2 + bc = 1$
$2) b(a + d) = 0$
$3) c(a + d) = 0$
$4) bc + d^2 = 1$
$(1)$ અને $(4)$ પરથી,$a^2 = d^2$,તેથી $a = d$ અથવા $a = -d$.
કિસ્સો $I$: $a = -d$. ત્યારે $b(a - a) = 0$ હંમેશા સાચું છે. આપણે $a^2 + bc = 1$ ની જરૂર છે.
જો $a = 0$,તો $d = 0$ અને $bc = 1$. કારણ કે $b, c \in \{-1, 0, 1, \ldots, 10\}$,$bc = 1$ નો અર્થ છે $(b, c) = (1, 1)$ અથવા $(-1, -1)$. ($2$ જોડી).
જો $a = 1$,તો $d = -1$ અને $1 + bc = 1 \Rightarrow bc = 0$. આનો અર્થ છે $b=0$ ($c$ માટે $12$ કિંમતો) અથવા $c=0$ ($b$ માટે $12$ કિંમતો). $(0,0)$ ને બાદ કરતાં જે બે વાર ગણાય છે,આપણી પાસે $12 + 12 - 1 = 23$ જોડીઓ છે.
જો $a = -1$,તો $d = 1$ અને $1 + bc = 1 \Rightarrow bc = 0$. તેવી જ રીતે,$23$ જોડીઓ.
કિસ્સો $II$: $a = d$. ત્યારે $b(2a) = 0$ અને $c(2a) = 0$. જો $a \neq 0$,તો $b = c = 0$. કારણ કે $a^2 = 1$,$a = 1$ અથવા $a = -1$. આ $(a, d)$ માટે $(1, 1)$ અને $(-1, -1)$ આપે છે. ($2$ જોડી).
જો $a = 0$,તો $d = 0$,જે $bc = 1$ તરફ દોરી જાય છે,જે કિસ્સા $I$ માં આવરી લેવામાં આવ્યું છે.
કુલ = $2 + 23 + 23 + 2 = 50$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(3x) - f(x) = x$ છે.
$x$ ને $x/3$ વડે બદલતા,આપણને $f(x) - f(x/3) = x/3$ મળે છે.
$x$ ને $x/3^2$ વડે બદલતા,આપણને $f(x/3) - f(x/3^2) = x/3^2$ મળે છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,આપણને $f(x/3^{n-1}) - f(x/3^n) = x/3^n$ મળે છે.
આ સમીકરણોનો $n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને $f(x) - \lim_{n \rightarrow \infty} f(x/3^n) = x \sum_{n=1}^{\infty} (1/3)^n$ મળે છે.
વિધેય $f$ સતત હોવાથી,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(x/3^n) = f(0)$ થાય.
તેથી,$f(x) - f(0) = x \cdot \frac{1/3}{1 - 1/3} = x \cdot \frac{1/3}{2/3} = x/2$.
આમ,$f(x) = x/2 + f(0)$.
આપેલ છે કે $f(8) = 7$,તેથી $7 = 8/2 + f(0) \implies 7 = 4 + f(0) \implies f(0) = 3$.
તેથી,$f(x) = x/2 + 3$.
અંતે,$f(14) = 14/2 + 3 = 7 + 3 = 10$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 8 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ \lambda & -3 & 0 \end{vmatrix} = 8(0 - (-3)) - 1(0 - \lambda) + 4(-3 - \lambda) = 0$
$24 + \lambda - 12 - 4\lambda = 0 \Rightarrow 12 - 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
હવે,અનંત ઉકેલો માટે,સંવર્ધિત શ્રેણિકનો ક્રમ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. $D_1 = 0$ લેતા:
$D_1 = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ \mu & -3 & 0 \end{vmatrix} = -2(0 - (-3)) - 1(0 - \mu) + 4(0 - \mu) = 0$
$-6 + \mu - 4\mu = 0 \Rightarrow -3\mu = 6 \Rightarrow \mu = -2$.
બિંદુ $\left(4, -2, -\frac{1}{2}\right)$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $\frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અંતર $= \frac{|8(4) + 1(-2) + 4(-\frac{1}{2}) + 2|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + 4^2}} = \frac{|32 - 2 - 2 + 2|}{\sqrt{64 + 1 + 16}} = \frac{30}{\sqrt{81}} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$. આપેલ છે કે $\det(A) = ad - bc = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
તેથી $A + I = \begin{bmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{bmatrix}$ અને $\operatorname{Adj}(A) + I = \begin{bmatrix} d+1 & -b \\ -c & a+1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર $(A+I)(\operatorname{Adj}(A)+I)$ ગણતા:
$(A+I)(\operatorname{Adj}(A)+I) = \begin{bmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d+1 & -b \\ -c & a+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a+1)(d+1)-bc & 0 \\ 0 & ad+a+d+1-bc \end{bmatrix}$.
આનું સાદું રૂપ $\begin{bmatrix} ad+a+d+1-bc & 0 \\ 0 & ad+a+d+1-bc \end{bmatrix}$ થાય છે.
કારણ કે $ad-bc = -1$,વિકર્ણ ઘટકો $a+d+1-1 = a+d$ છે.
આમ,શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a+d & 0 \\ 0 & a+d \end{bmatrix}$ મળે છે.
તેનો નિશ્ચાયક $(a+d)^2 = 4$ છે.
તેથી,$a+d = 2$ અથવા $a+d = -2$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2$ હોઈ શકે છે.

(B) $y = 1, y = 3, x = 0$ અને $x = y^a$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{3} x \, dy = \int_{1}^{3} y^a \, dy$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{y^{a+1}}{a+1} \right]_{1}^{3} = \frac{3^{a+1} - 1^{a+1}}{a+1} = \frac{3^{a+1} - 1}{a+1}$
આપેલ છે કે $A = \frac{364}{3}$,તેથી:
$\frac{3^{a+1} - 1}{a+1} = \frac{364}{3}$
$a$ માટે એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ચકાસતા:
જો $a = 5$ લઈએ,તો $a+1 = 6$:
$\frac{3^6 - 1}{6} = \frac{729 - 1}{6} = \frac{728}{6} = \frac{364}{3}$
આમ,$a$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(A) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$k = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે $f(x) = \frac{\ln(1-x+x^2) + \ln(1+x+x^2)}{\sec x - \cos x}$.
ગુણધર્મ $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $\ln((1-x+x^2)(1+x+x^2)) = \ln(1+x^2+x^4)$ થાય છે.
છેદ $\frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$ થાય છે.
તેથી,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2+x^4) \cdot \cos x}{\sin^2 x}$.
$(x^2+x^4)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln(1+x^2+x^4)}{x^2+x^4} \right) \cdot \left( \frac{x^2+x^4}{\sin^2 x} \right) \cdot \cos x$.
$\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ હોવાથી,લક્ષ $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ મળે છે.
તેથી,$k = 1$.

(D) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$0+a = |0-4| \implies a = 4$.
$g(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$.
$0+1 = (0-4)^2 + b \implies 1 = 16 + b \implies b = -15$.
હવે,$f(x) = \begin{cases} x+4, & x \leq 0 \\ |x-4|, & x > 0 \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ (x-4)^2-15, & x \geq 0 \end{cases}$.
$(g \circ f)(2) = g(f(2))$ શોધો. $2 > 0$ હોવાથી,$f(2) = |2-4| = 2$.
$g(2) = (2-4)^2 - 15 = 4 - 15 = -11$.
$(f \circ g)(-2) = f(g(-2))$ શોધો. $-2 < 0$ હોવાથી,$g(-2) = -2+1 = -1$.
$f(-1) = -1+4 = 3$.
તેથી,$(g \circ f)(2) + (f \circ g)(-2) = -11 + 3 = -8$.

(C) પ્રથમ,આપણે $f(1) = 1^{3} - 1^{2} + 10(1) - 7 = 3$ મેળવીએ છીએ.
$x < 1$ માટે,વિકલન $f'(x) = 3x^{2} - 2x + 10$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = (-2)^{2} - 4(3)(10) = -116 < 0$ છે. તેથી $f'(x) > 0$ છે,એટલે કે $f(x)$ એ $(-\infty, 1]$ પર વધતું વિધેય છે.
$x > 1$ માટે,$f(x) = -2x + \log_{2}(b^{2}-4)$ છે. $x=1$ આગળ મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,$x \to 1^{+}$ માટેની લક્ષ કિંમત $f(1)$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
શરત $1$: લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ,તેથી $b^{2} - 4 > 0$,જેનો અર્થ છે $b \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
શરત $2$: $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) \leq f(1)$ હોવું જોઈએ.
$-2(1) + \log_{2}(b^{2}-4) \leq 3$
$\log_{2}(b^{2}-4) \leq 5$
$b^{2} - 4 \leq 32$
$b^{2} \leq 36$
તેથી $b \in [-6, 6]$.
બંને શરતોને જોડતા,આપણને $b \in [-6, -2) \cup (2, 6]$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,$a$ ની કિંમત શોધો:
$a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n(1+(k/n)^2)} = \int_{0}^{1} \frac{2}{1+x^2} dx = 2[\tan^{-1} x]_0^1 = 2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$.
હવે,$f(x)$ ને સરળ બનાવો:
$f(x) = \sqrt{\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}} = \tan(x/2)$ જ્યાં $x \in (0, 1)$.
તેથી $f'(x) = \frac{1}{2} \sec^2(x/2)$.
હવે $x = a/2 = \pi/4$ માટે કિંમત શોધો:
$f(\pi/4) = \tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1$.
$f'(\pi/4) = \frac{1}{2} \sec^2(\pi/8) = \frac{1}{2} (1 + \tan^2(\pi/8)) = \frac{1}{2} (1 + (\sqrt{2}-1)^2) = \frac{1}{2} (1 + 2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \frac{4-2\sqrt{2}}{2} = 2-\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = \sqrt{2} f(\pi/4)$.
આમ,$f'(\frac{a}{2}) = \sqrt{2} f(\frac{a}{2})$.

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (2 \tan x)y = \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int 2 \tan x \, dx} = e^{2 \ln|\sec x|} = \sec^2 x$ છે.
બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(y \sec^2 x) = \sin x \sec^2 x = \sec x \tan x$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y \sec^2 x = \int \sec x \tan x \, dx + C = \sec x + C$.
તેથી,$y = \cos x + C \cos^2 x$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{3}) = 0$,તેથી $0 = \cos(\frac{\pi}{3}) + C \cos^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + C(\frac{1}{4})$,જેનો અર્થ છે કે $C = -2$.
આમ,$y = \cos x - 2 \cos^2 x$.
ધારો કે $u = \cos x$. $0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < u < 1$.
$y = u - 2u^2 = -2(u^2 - \frac{1}{2}u) = -2(u - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$.
મહત્તમ કિંમત $u = \frac{1}{4}$ પર મળે છે,જે $\frac{1}{8}$ છે.

(A) રેખાના દિકગુણોત્તર એ સમતલો $x + y - z = 0$ અને $x - 2y + 3z - 5 = 0$ ના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 2) - \hat{j}(3 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = \hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
$(1, 2, 4)$ માંથી પસાર થતી અને દિક સદિશ $\vec{v} = (1, -4, -3)$ વાળી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (1, 2, 4) + \lambda(1, -4, -3)$ છે.
ધારો કે $P$ એ રેખા પરનું બિંદુ છે: $P = (1 + \lambda, 2 - 4\lambda, 4 - 3\lambda)$.
ધારો કે $A = (1, -2, 5)$. સદિશ $\vec{AP} = P - A = (\lambda, 4 - 4\lambda, -1 - 3\lambda)$.
કારણ કે $\vec{AP}$ એ રેખાની દિશા $\vec{v} = (1, -4, -3)$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{AP} \cdot \vec{v} = 1(\lambda) - 4(4 - 4\lambda) - 3(-1 - 3\lambda) = 0$.
$\lambda - 16 + 16\lambda + 3 + 9\lambda = 0 \implies 26\lambda - 13 = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$P$ માં $\lambda = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $P = (\frac{3}{2}, 0, \frac{5}{2})$ મળે છે.
લંબની લંબાઈ એ અંતર $AP = \sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (0 - (-2))^2 + (\frac{5}{2} - 5)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (2)^2 + (-\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{26}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{42}{4}} = \sqrt{\frac{21}{2}}$.

(D) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -\alpha \end{vmatrix} = (1 - \alpha) \hat{i} + (\alpha^2 - 2) \hat{j} + (\alpha - 2) \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ અને $\vec{c} = -\hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$. સદિશ $\vec{c}$ નું માન $|\vec{c}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$ છે.
પ્રક્ષેપનું સૂત્ર $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = 30$ છે.
$\vec{v} \cdot \vec{c} = (1 - \alpha)(-1) + (\alpha^2 - 2)(2) + (\alpha - 2)(-2) = 2\alpha^2 - \alpha - 1$.
તેથી,$\frac{2\alpha^2 - \alpha - 1}{3} = 30 \implies 2\alpha^2 - \alpha - 91 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(\alpha - 7)(2\alpha + 13) = 0$.
તેથી $\alpha = 7$ અથવા $\alpha = -\frac{13}{2}$.
શરત $\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = 7$ મળે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = \alpha$ અને વિચરણ $npq = \frac{\alpha}{3}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{\alpha/3}{\alpha} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = \frac{4}{243}$,આપણે સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
${}^{n}C_{1} (\frac{2}{3})^{1} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{4}{243} \implies n \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{4}{243} \implies \frac{2n}{3^{n}} = \frac{4}{243} \implies \frac{n}{3^{n}} = \frac{2}{243}$.
$3^{5} = 243$ હોવાથી,$n=6$ મળે છે.
હવે,આપણે $P(X=4 \text{ અથવા } 5) = P(X=4) + P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ.
$P(X=4) = {}^{6}C_{4} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} = 15 \cdot \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{9} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$.
$P(X=5) = {}^{6}C_{5} (\frac{2}{3})^{5} (\frac{1}{3})^{1} = 6 \cdot \frac{32}{243} \cdot \frac{1}{3} = \frac{192}{729} = \frac{64}{243}$.
$P(X=4 \text{ અથવા } 5) = \frac{80}{243} + \frac{64}{243} = \frac{144}{243} = \frac{16}{27}$.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \tan \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{8} + \sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ છે.
પ્રથમ,$\sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}$ ને સરળ બનાવો. ધારો કે $\theta = \sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}$,તો $\sec \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$. આમ,$\tan \theta = \sqrt{(\sqrt{5}/2)^2 - 1} = \sqrt{5/4 - 1} = \sqrt{1/4} = \frac{1}{2}$. તેથી,$\sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2} = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$.
હવે,$E = \tan \left(2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{8}\right) + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)$.
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} = \tan ^{-1} \left(\frac{1/5 + 1/8}{1 - 1/40}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{13/40}{39/40}\right) = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
તેથી,$E = \tan \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
હવે,$E = \tan \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right) = \tan \left(\tan ^{-1} \left(\frac{3/4 + 1/2}{1 - (3/4)(1/2)}\right)\right) = \frac{5/4}{1 - 3/8} = \frac{5/4}{5/8} = \frac{5}{4} \times \frac{8}{5} = 2$.

(B) ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx$ અને $I_2 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$.
$I_2$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I_2 = \int_{0}^{1} (1-x^n)^{2n+1} \cdot 1 dx$
$= [x(1-x^n)^{2n+1}]_0^1 - \int_{0}^{1} x \cdot (2n+1)(1-x^n)^{2n} \cdot (-nx^{n-1}) dx$
$= 0 - (2n+1)(-n) \int_{0}^{1} x^n (1-x^n)^{2n} dx$
$= n(2n+1) \int_{0}^{1} (x^n - 1 + 1)(1-x^n)^{2n} dx$
$= n(2n+1) [\int_{0}^{1} -(1-x^n)^{2n+1} dx + \int_{0}^{1} (1-x^n)^{2n} dx]$
$I_2 = n(2n+1) [-I_2 + I_1]$
$I_2 = -n(2n+1)I_2 + n(2n+1)I_1$
$I_2(1 + 2n^2 + n) = n(2n+1)I_1$
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{2n^2 + n + 1}{n(2n+1)}$.
આપેલ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1177}{n(2n+1)}$,તેથી $2n^2 + n + 1 = 1177$.
$2n^2 + n - 1176 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1176)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 9408}}{4} = \frac{-1 \pm 97}{4}$.
$n \in N$ હોવાથી,$n = \frac{96}{4} = 24$.