જો વિકલ સમીકરણ (tan^{-1} y - x) dy = (1 + y^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(	an^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ છે.પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1 + y^2}$,જેને $\frac{dx}{dy} + \fr

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{e}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(	an^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ છે.પદોને ગોઠવતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1 + y^2}$,જેને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{	an^{-1} y}{1 + y^2}$ તરીકે લખી શકાય.આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ અને $Q(y) = \frac{	an^{-1} y}{1 + y^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{	an^{-1} y}$ છે.ઉકેલ $x \cdot e^{	an^{-1} y} = \int Q(y) \cdot e^{	an^{-1} y} dy + C$ છે.ધારો કે $u = 	an^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$. સંકલન $\int u e^u du = u e^u - e^u + C$ બને છે.આમ,$x e^{	an^{-1} y} = (	an^{-1} y - 1) e^{	an^{-1} y} + C$.વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 0$ મૂકતા: $1 \cdot e^0 = (0 - 1) e^0 + C \Rightarrow 1 = -1 + C \Rightarrow C = 2$.વક્રનું સમીકરણ $x e^{	an^{-1} y} = (	an^{-1} y - 1) e^{	an^{-1} y} + 2$ છે.$y = 	an(1)$ માટે,$	an^{-1} y = 1$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:$x e^1 = (1 - 1) e^1 + 2 \Rightarrow x e = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{e}$.

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) dy + 2xy dx = \cot x dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x \neq 0$.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module