$15$ અવલોકનોનાં મધ્યક અને પ્રમાણત વિચલન અનુક્રમે $8$ અને $3$ માલુમ પડયા છે. ફરી ચકાસણી કરતાં એવું માલુમ પડયુ અવલોકન $20$ ને ભૂલથી $5$ વાંચવામાં આવ્યું હતું. તો સાચા વિચરણનું મૂલ્ય..............છે

ધારો કે $X=\{11,12,13, \ldots, 40,41\}$ અને $Y=\{61,62,63, \ldots, 90,91\}$ એ અવલોકનોના બે ગણ છે. જો $\bar{x}$ અને $\bar{y}$ અનુક્રમે તેમના મધ્યક હોય તથા $X \cup Y$ માં ના તમામ અવલોકનો નું વિચરણ $\sigma^2$ હોય, તો $\left|\bar{x}+\bar{y}-\sigma^2\right|=...............$

ધારો કે $x_1, x_2 ……, x_n $ એ વિચલન $X$  વડે લીધેલા મૂલ્ય છે અને $y_1, y_2, …, y_n $ એ વિચલન $ Y $ વડે લીધેલા એવા મૂલ્યો છે કે જેથી  $y_i = ax_i + b,$ કે જ્યાં $ i = 1, 2, ….., n$  થાય તો...

$20$ અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $10$ અને $2$ જણાયા છે. ફરીથી ચકાસતા, એવું માલુમ થાય છે કે એક અવલોકન $12$ ને બદલે ભૂલથી $8$ લેવામાં આવ્યું હતું તો સાચું પ્રમાણિત વિચલન ............ છે.

એક વિદ્યાર્થીએ $100$ અવલોકનોનો મધ્યક $40$ અને પ્રમાણિત વિચલન $5.1$ મેળવ્યા છે, પરંતુ એણે ભૂલથી એક અવલોકન $40$ ને બદલે $50$ લઈ લીધું હતું, તો સાચો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શું છે?

વિધાન $1$ : પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો વિચરણ $\frac{{{n^2} - 1}}{3}$ થાય 
વિધાન $2$ : પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ અને પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો વર્ગોનો સરવાળો $\frac{{n\left( {4{n^2} + 1} \right)}}{3}$ થાય