JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પ્રથમ શ્રેણી $A_1 = 3, 6, 9, 12, \ldots$ છે જ્યાં $n_1 = 78$. $n$-મું પદ $a_n = 3n$ છે. છેલ્લું પદ $3 \times 78 = 234$ છે.
બીજી શ્રેણી $A_2 = 5, 9, 13, 17, \ldots$ છે જ્યાં $n_2 = 59$. $n$-મું પદ $b_n = 4n + 1$ છે. છેલ્લું પદ $4 \times 59 + 1 = 237$ છે.
સામાન્ય પદો $3n_1 = 4n_2 + 1$ નું પાલન કરે છે. પ્રથમ સામાન્ય પદ $9$ છે. સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(3, 4) = 12$ છે.
સામાન્ય શ્રેણી $9, 21, 33, \ldots$ છે. સામાન્ય પદ $c_k = 12k - 3$ છે.
$12k - 3 \leq 234$ હોવાથી,$12k \leq 237$,એટલે કે $k \leq 19.75$. આમ,$19$ સામાન્ય પદો છે.
સરવાળો $S_{19} = \frac{19}{2} [2(9) + (19-1)12] = 19 \times 117 = 2223$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin x = \cos^{2} x$ છે.
નિત્યસમ $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = 1 - \sin^{2} x$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,દ્વિઘાત સમીકરણ $\sin^{2} x + \sin x - 1 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = \sin x$,તો $t^{2} + t - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે.
$-1 \le \sin x \le 1$ હોવાથી,$\sin x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ મળે.
અંતરાલ $(0, 10)$ માં,$10$ રેડિયન એ આશરે $3.18\pi$ જેટલું થાય છે.
$(0, 2\pi)$ માં $2$ ઉકેલ મળે અને $(2\pi, 3.18\pi)$ માં બીજા $2$ ઉકેલ મળે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) પ્રથમ પ્રદેશ એ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ અને ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $\pi a^{2} - \pi ab = 30\pi$ છે,જેનું સાદું રૂપ $a^{2} - ab = 30$ થાય છે.
બીજો પ્રદેશ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ અને વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ વચ્ચેનો વિસ્તાર છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $\pi ab - \pi b^{2} = 18\pi$ છે,જેનું સાદું રૂપ $ab - b^{2} = 18$ થાય છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(a^{2} - ab) + (ab - b^{2}) = 30 + 18$,તેથી $a^{2} - b^{2} = 48$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(a^{2} - ab) - (ab - b^{2}) = 30 - 18$,જે આપણને $a^{2} - 2ab + b^{2} = 12$ આપે છે.
આમ,$(a - b)^{2} = 12$ થાય.

(C) $(2x^{1/5} - x^{-1/5})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{15}C_k (2x^{1/5})^{15-k} (-x^{-1/5})^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{k+1} = {}^{15}C_k \cdot 2^{15-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{(15-2k)/5}$.
$x^{-1}$ ના સહગુણક માટે,$(15-2k)/5 = -1 \implies k = 10$.
તેથી,$m = {}^{15}C_{10} \cdot 2^5 = {}^{15}C_5 \cdot 2^5$.
$x^{-3}$ ના સહગુણક માટે,$(15-2k)/5 = -3 \implies k = 15$.
તેથી,$n = {}^{15}C_{15} \cdot 2^0 \cdot (-1)^{15} = -1$.
આપેલ છે કે $mn^2 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$,તેથી $({}^{15}C_5 \cdot 2^5) \cdot (-1)^2 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$.
${}^{15}C_5 \cdot 2^5 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$.
સરખાવતા,$r = 5$ મળે છે.

(D) ધારો કે ચાર અંકની સંખ્યા $abcd$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ $d$ વડે વિભાજ્ય છે.
દરેક $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે શક્યતાઓ:
$d=1$: $9 \times 10 \times 10 = 900$
$d=2$: $4 \times 5 \times 5 = 100$
$d=3$: $3 \times 4 \times 4 = 48$
$d=4$: $2 \times 3 \times 3 = 18$
$d=5$: $1 \times 2 \times 2 = 4$
$d=6, 7, 8, 9$: દરેક માટે $1 \times 2 \times 2 = 4$,એટલે કે $4 \times 4 = 16$
કુલ સરવાળો: $900 + 100 + 48 + 18 + 4 + 16 = 1086$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2} + (2i - 1) = 0$ પરથી,$x^{2} = 1 - 2i$ મળે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha^{2} = 1 - 2i$ અને $\beta^{2} = 1 - 2i$ થાય.
તેથી,$\alpha^{8} = (\alpha^{2})^{4} = (1 - 2i)^{4}$ અને $\beta^{8} = (\beta^{2})^{4} = (1 - 2i)^{4}$ થાય.
આમ,$\alpha^{8} = \beta^{8}$ છે.
આપણે $|\alpha^{8} + \beta^{8}| = |2\alpha^{8}| = 2|\alpha^{8}| = 2|\alpha^{2}|^{4}$ શોધવાનું છે.
માનાંક $|\alpha^{2}| = |1 - 2i| = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ મળે.
તેથી,$|\alpha^{8} + \beta^{8}| = 2(\sqrt{5})^{4} = 2(5^{2}) = 2(25) = 50$.

(C) પ્રથમ,પદાવલિ $(p \vee q) \Rightarrow q$ ને સરળ બનાવો:
$(p \vee q) \Rightarrow q \equiv \sim(p \vee q) \vee q$
$\equiv (\sim p \wedge \sim q) \vee q$
$\equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee q) \wedge t \equiv \sim p \vee q$.
હવે,$(p \wedge q) \Delta (\sim p \vee q)$ માટે વિકલ્પો ચકાસો.
વિકલ્પ $C$ $(\Rightarrow)$ માટે:
$(p \wedge q) \Rightarrow (\sim p \vee q) \equiv \sim(p \wedge q) \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$\equiv \sim p \vee t \equiv t$.
પરિણામ નિત્યસત્ય હોવાથી,$\Delta$ એ $\Rightarrow$ છે.

(B) આપેલ સંબંધ $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=1$ છે,જ્યાં $a_{0}=0, a_{1}=0$.
શરૂઆતના પદો: $a_{2}=1, a_{3}=3, a_{4}=6$.
સામાન્ય પદ $a_{n}=\frac{n(n-1)}{2}$ છે.
ધારો કે $S=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{2 \cdot 7^{n}}$.
શ્રેણીના સરવાળાની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{7^{2}} + \frac{3}{7^{3}} + \frac{6}{7^{4}} + \dots$
$\frac{6}{7}S = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{(1-1/7)^{2}} = \frac{1}{36}$.
તેથી,$S = \frac{7}{216}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $A'$ એ $(x, 2)$ છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને $B(2, 3)$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{3}{2}$ છે અને $OA$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2}{x}$ છે.
ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = 1$ મળે.
$\left| \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \right| = 1$ $\Rightarrow \left| \frac{3x - 4}{2x + 6} \right| = 1$.
આથી $x = 10$ અથવા $x = -\frac{2}{5}$ મળે.
બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $AA' = |10 - (-\frac{2}{5})| = \frac{52}{5}$ થાય.

(D) મલ્ટિનોમિયલ વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ:
$T_{r_1, r_2, r_3} = \frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (3)^{r_1} (-2)^{r_2} (5)^{r_3} x^{3r_1 + 2r_2 - 5r_3}$
અચળ પદ માટે $x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$3r_1 + 2r_2 - 5r_3 = 0$ અને $r_1 + r_2 + r_3 = 10$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $(r_1, r_2, r_3) = (1, 6, 3)$ મળે છે.
અચળ પદ $= \frac{10!}{1! 6! 3!} (3)^1 (-2)^6 (5)^3$
$= 840 \times 3 \times 64 \times 125 = 2^9 \times (3^2 \times 5^4 \times 7^1)$
અહીં $l = 3^2 \times 5^4 \times 7^1$ એ એકી પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$k = 9$.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(t^{2}, 2t)$ અને $Q$ ના યામ $(\frac{1}{t^{2}}, -\frac{2}{t})$ છે.
$PQ$ એ $R(3, 0)$ આગળ $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $PR$ અને $QR$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$PR$ નો ઢાળ $= \frac{2t-0}{t^{2}-3} = \frac{2t}{t^{2}-3}$.
$QR$ નો ઢાળ $= \frac{-2/t-0}{1/t^{2}-3} = \frac{-2/t}{(1-3t^{2})/t^{2}} = \frac{-2t}{1-3t^{2}}$.
ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,$\frac{2t}{t^{2}-3} \times \frac{-2t}{1-3t^{2}} = -1$.
$\frac{-4t^{2}}{(t^{2}-3)(1-3t^{2})} = -1 \Rightarrow 4t^{2} = (t^{2}-3)(1-3t^{2}) = t^{2} - 3t^{4} - 3 + 9t^{2} = -3t^{4} + 10t^{2} - 3$.
$3t^{4} - 6t^{2} + 3 = 0 \Rightarrow 3(t^{2}-1)^{2} = 0 \Rightarrow t^{2} = 1$.
આમ,$P$ એ $(1, 2)$ અને $Q$ એ $(1, -2)$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $4$ છે,જે ઉપવલય $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ છે. તેથી,$\frac{2b^{2}}{a} = 4 \Rightarrow b^{2} = 2a$.
ઉપવલયની નાભિ $(ae, 0)$ છે. $PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,રેખા $x=1$ એ નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ,તેથી $ae = 1$.
$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,$b^{2} = 2a$ અને $e^{2} = \frac{1}{a^{2}}$ મૂકતા:
$2a = a^{2}(1 - \frac{1}{a^{2}}) = a^{2} - 1$.
$a^{2} - 2a - 1 = 0$. $a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. $a>0$ હોવાથી,$a = 1+\sqrt{2}$.
તેથી $e^{2} = \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{1+2+2\sqrt{2}} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3-2\sqrt{2}$.
તેથી,$\frac{1}{e^{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2}$.

(C) વર્તુળ $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ ને બિંદુ $M(-1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(-1) + y(1) = 2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 2 = 0$ થાય છે.
ધારો કે $O(3, 2)$ એ $C_{2}$ નું કેન્દ્ર છે અને $r = \sqrt{5}$ તેની ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્ર $O(3, 2)$ થી રેખા $x - y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3 - 2 + 2|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
ધારો કે $P$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\Delta OPA$ માં,$OA = r = \sqrt{5}$ અને $OP = d = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી $AP = \sqrt{OA^{2} - OP^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\Delta OAN$ માં,$\angle OAN = 90^{\circ}$. ધારો કે $\angle AON = \theta$. તો $\tan \theta = \frac{AP}{OP} = \frac{1/\sqrt{2}}{3/\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$.
$\Delta OAN$ માં,$AN = OA \tan \theta = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
તેમજ,$ON = \sqrt{OA^{2} + AN^{2}} = \sqrt{5 + \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.
$\Delta ANB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PN$. અહીં $PN = \frac{AN^{2}}{ON} = \frac{5/9}{5\sqrt{2}/3} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AP) \cdot PN = AP \cdot PN = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{6}$.

(B) $5$ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_{i}}{5} = \frac{24}{5}$ હોવાથી,$\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 24$ થાય.
વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{5} - (\bar{x})^{2} = \frac{194}{25}$ છે.
$\bar{x} = \frac{24}{5}$ મૂકતા,$\frac{\sum x_{i}^{2}}{5} - \frac{576}{25} = \frac{194}{25}$ $\Rightarrow \frac{\sum x_{i}^{2}}{5} = \frac{770}{25} = \frac{154}{5}$,તેથી $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2} = 154$ થાય.
પ્રથમ $4$ અવલોકનો માટે,મધ્યક $\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 14$ થાય.
$\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 24$ હોવાથી,$x_{5} = 24 - 14 = 10$ મળે.
પ્રથમ $4$ અવલોકનોનું વિચરણ $a = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}}{4} - (\frac{7}{2})^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}}{4} - \frac{49}{4}$ છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} = 4a + 49$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2} = \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} + x_{5}^{2} = 154$.
કિંમતો મૂકતા: $(4a + 49) + 10^{2} = 154$.
$4a + 49 + 100 = 154$ $\Rightarrow 4a + 149 = 154$ $\Rightarrow 4a = 5$.
અંતે,$4a + x_{5} = 5 + 10 = 15$ થાય.

(C) પ્રદેશ $S$ એ $|z - 2| \leq 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જે $(2, 0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે,અને $z(1 + i) + \overline{z}(1 - i) \leq 2$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,બીજું અસમતા $2x - 2y \leq 2$ અથવા $x - y \leq 1$ બને છે.
$|z - 4i|$ ના મૂલ્યો $P(0, 4)$ થી અંતર દર્શાવે છે.
ગણતરી કરતા,$5(|z_1|^2 + |z_2|^2) = 50$ મળે છે.
તેથી $\alpha = 50, \beta = 0$ અને $\alpha + \beta = 50$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10 \cos^2 \theta + 5 = 0$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}) + 5 = 0$
$3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 5 - 5 \cos 2\theta + 5 = 0$
$3 \cos^2 2\theta + \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta(3 \cos 2\theta + 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\cos 2\theta = 0$
$\theta \in [-4\pi, 4\pi]$ માટે,$2\theta \in [-8\pi, 8\pi]$.
$\cos 2\theta = 0 \implies 2\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,જ્યાં $n \in \{-8, -7, \dots, 7\}$.
$[-8\pi, 8\pi]$ અંતરાલમાં $2\theta$ માટે $16$ કિંમતો છે,તેથી $\theta$ માટે $16$ કિંમતો મળે.
કિસ્સો $2$: $\cos 2\theta = -\frac{1}{3}$
$-1 < -\frac{1}{3} < 1$ હોવાથી,$2\pi$ લંબાઈના દરેક અંતરાલમાં $2\theta$ માટે $2$ ઉકેલો મળે.
$[-8\pi, 8\pi]$ અંતરાલમાં (લંબાઈ $16\pi$),કુલ $8 \times 2 = 16$ ઉકેલો મળે.
ઘટકોની કુલ સંખ્યા $= 16 + 16 = 32$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 \theta - \cos^{2} \theta + \sqrt{2} = 0$ છે.
આને $\cos^{2} \theta = 2 \theta + \sqrt{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ધારો કે $f(\theta) = \cos^{2} \theta$ અને $g(\theta) = 2 \theta + \sqrt{2}$.
વિધેય $f(\theta) = \cos^{2} \theta$ એ $[0, 1]$ વિસ્તાર ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે.
વિધેય $g(\theta) = 2 \theta + \sqrt{2}$ એ $2$ ઢાળ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ ના $y$-અંતઃખંડ સાથેની એક સીધી રેખા છે.
કારણ કે $\cos^{2} \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,અને $\theta > 0$ માટે,$g(\theta) > \sqrt{2} > 1$ હોવાથી,$\theta > 0$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
$\theta < 0$ માટે,રેખા $g(\theta)$ એ વક્ર $f(\theta)$ ને આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ માત્ર એક જ બિંદુએ છેદે છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{11}}{2}$ માટે,$e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$.
કિંમત મૂકતા,$\frac{11}{4} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{7}{4}$,તેથી $b = \frac{\sqrt{7}}{2}a$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $(2a)$ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $(2b)$ નો સરવાળો $2a + 2b = 4(2\sqrt{2} + \sqrt{14})$ છે.
$b = \frac{\sqrt{7}}{2}a$ મૂકતા,$2a + 2(\frac{\sqrt{7}}{2}a) = 4(2\sqrt{2} + \sqrt{14})$.
$2a + \sqrt{7}a = 4\sqrt{2}(2 + \sqrt{7})$.
$a(2 + \sqrt{7}) = 4\sqrt{2}(2 + \sqrt{7})$.
તેથી,$a = 4\sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a^{2} = 32$.
$b^{2} = \frac{7}{4}a^{2} = \frac{7}{4} \times 32 = 56$.
તેથી,$a^{2} + b^{2} = 32 + 56 = 88$.

(B) ધારો કે $A$ એ ગણ છે જ્યારે $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ ક્રમિક હોય.
$n(A) = 97 \times 98 = 9506$ (અંદાજિત ગણતરી મુજબ).
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $= 18915$ છે.

(C) આ પદાવલિ $|z-3 \sqrt{2}| + |z-p \sqrt{2} i|$ એ સંકર સમતલમાં બિંદુઓ $A(3 \sqrt{2}, 0)$ અને $B(0, p \sqrt{2})$ થી સંકર સંખ્યા $z$ ના અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે.
બે બિંદુઓથી અંતરના સરવાળાનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય એ તે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે,જે રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય $5 \sqrt{2}$ છે,તેથી $AB = 5 \sqrt{2}$.
$A(3 \sqrt{2}, 0)$ અને $B(0, p \sqrt{2})$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $\sqrt{(3 \sqrt{2} - 0)^2 + (0 - p \sqrt{2})^2} = 5 \sqrt{2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3 \sqrt{2})^2 + (p \sqrt{2})^2 = (5 \sqrt{2})^2$.
$18 + 2p^2 = 50$.
$2p^2 = 32$.
$p^2 = 16$.
$p = \pm 4$.
આમ,$p$ નું એક શક્ય મૂલ્ય $4$ છે.

(D) આપણે $(11)^{1011} + (1011)^{11}$ ને $9$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $11 \equiv 2 \pmod{9}$ અને $1011 = 9 \times 112 + 3$,તેથી $1011 \equiv 3 \pmod{9}$.
આમ,$(11)^{1011} + (1011)^{11} \equiv 2^{1011} + 3^{11} \pmod{9}$.
$2^{1011} \pmod{9}$ માટે:
$2^6 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$.
$1011 = 6 \times 168 + 3$ હોવાથી,$2^{1011} = (2^6)^{168} \times 2^3 \equiv 1^{168} \times 8 \equiv 8 \pmod{9}$.
$3^{11} \pmod{9}$ માટે:
$3^2 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$,તેથી $3^{11} = 3^2 \times 3^9 = 9 \times 3^9 \equiv 0 \pmod{9}$.
તેથી,$(11)^{1011} + (1011)^{11} \equiv 8 + 0 \equiv 8 \pmod{9}$.
શેષ $8$ છે.

(B) આપણે સામાન્ય પદને સરળ બનાવવા માટે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$
હવે,સરવાળાને આ રીતે લખીએ:
$\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{21} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી મળે છે:
$= \frac{3}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{83} - \frac{1}{87} \right) \right]$
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,બાકી રહે છે:
$= \frac{3}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{87} \right)$
$= \frac{3}{4} \left( \frac{29 - 1}{87} \right) = \frac{3}{4} \times \frac{28}{87}$
$= \frac{3 \times 7}{87} = \frac{21}{87} = \frac{7}{29}$

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{8 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{2} \sin 2 x}$. આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
$L'H\hat{o}pital$ નિયમ લાગુ પાડતા:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-7(\cos x+\sin x)^{6}(-\sin x+\cos x)}{-2 \sqrt{2} \cos 2 x}$
નોંધો કે $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.
આ કિંમત મૂકતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-7(\cos x+\sin x)^{6}(\cos x - \sin x)}{-2 \sqrt{2} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{7(\cos x+\sin x)^{5}}{2 \sqrt{2}}$
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$(\cos x + \sin x) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$L = \frac{7(\sqrt{2})^{5}}{2 \sqrt{2}} = \frac{7 \times 4 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{28}{2} = 14$.

(D) બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ નું $L_{1}: 3x - 4y + 12 = 0$ થી અંતર $1$ છે,તેથી $\frac{|3\alpha - 4\beta + 12|}{5} = 1$. $P$ એ $L_{1}$ ની નીચે હોવાથી,$3\alpha - 4\beta + 12 = -5 \implies 3\alpha - 4\beta + 17 = 0$.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ નું $L_{2}: 8x + 6y + 11 = 0$ થી અંતર $1$ છે,તેથી $\frac{|8\alpha + 6\beta + 11|}{10} = 1$. $P$ એ $L_{2}$ ની ઉપર હોવાથી,$8\alpha + 6\beta + 11 = 10 \implies 8\alpha + 6\beta + 1 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $P(\alpha, \beta)$ મળે છે,જેના માટે $100(\alpha + \beta) = 14$ થાય છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ $x$-અક્ષ પર રેખા $\frac{x}{7}+\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ ને મળે છે. રેખાના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા,આપણને $x=7$ મળે છે. તેથી $a=7$.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ $y$-અક્ષ પર રેખા $\frac{x}{7}-\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ ને મળે છે. રેખાના સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા,આપણને $y=-2\sqrt{6}$ મળે છે. તેથી $b^{2}=(-2\sqrt{6})^{2}=24$,એટલે કે $b=2\sqrt{6}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e^{2}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e^{2}=1-\frac{24}{49} = \frac{25}{49}$.
તેથી,$e=\frac{5}{7}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} - 2y - 2x = 1$ છે,જેને $(y - 1)^{2} = 2(x + 1)$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $A(1, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $2y - x - 5 = 0$ છે.
બિંદુ $B(1, -1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $-2y - x - 1 = 0$ છે.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$P(-3, 1)$ મળે છે.
ત્રિકોણ $PAB$ ના શિરોબિંદુઓ $P(-3, 1)$,$A(1, 3)$ અને $B(1, -1)$ છે.
પાયો $AB$ ની લંબાઈ $|3 - (-1)| = 4$ છે.
ઊંચાઈ $|1 - (-3)| = 4$ છે.
ત્રિકોણ $PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ચોરસ એકમ.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=7$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \frac{3}{4}$.
નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ ને $\frac{x^{2}}{(12/5)^2} - \frac{y^{2}}{(\sqrt{\alpha}/5)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{\alpha}{25}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_2 = \frac{\sqrt{144+\alpha}}{12}$.
નાભિઓ $(\pm \frac{\sqrt{144+\alpha}}{5}, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$\frac{\sqrt{144+\alpha}}{5} = 3 \Rightarrow \alpha = 81$.
તેથી,$b^2 = \frac{81}{25}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \cdot (81/25)}{12/5} = \frac{27}{10}$.

(D) આપેલ માહિતી $3, 5, 7, 2k, 12, 16, 21, 24$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ છે.
$n$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,મધ્યસ્થ $M = \frac{2k + 12}{2} = k + 6$ થાય.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{n} \sum |x_i - M| = 6$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{|3-(k+6)| + |5-(k+6)| + |7-(k+6)| + |2k-(k+6)| + |12-(k+6)| + |16-(k+6)| + |21-(k+6)| + |24-(k+6)|}{8} = 6$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{58 - 2k}{8} = 6 \implies 58 - 2k = 48 \implies 2k = 10 \implies k = 5$.
તેથી,મધ્યસ્થ $M = k + 6 = 5 + 6 = 11$.

(B) ધારો કે $S = 2 \sin \frac{\pi}{22} \sin \frac{3 \pi}{22} \sin \frac{5 \pi}{22} \sin \frac{7 \pi}{22} \sin \frac{9 \pi}{22}$.
$\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{\pi}{22} = \cos \frac{5 \pi}{11}, \sin \frac{3 \pi}{22} = \cos \frac{4 \pi}{11}, \sin \frac{5 \pi}{22} = \cos \frac{3 \pi}{11}, \sin \frac{7 \pi}{22} = \cos \frac{2 \pi}{11}, \sin \frac{9 \pi}{22} = \cos \frac{\pi}{11}$.
તેથી,$S = 2 \cos \frac{\pi}{11} \cos \frac{2 \pi}{11} \cos \frac{3 \pi}{11} \cos \frac{4 \pi}{11} \cos \frac{5 \pi}{11}$.
સૂત્ર $\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{k \pi}{2n+1} = \frac{1}{2^n}$ નો ઉપયોગ કરતા,$n=5$ માટે,$\prod_{k=1}^{5} \cos \frac{k \pi}{11} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
આમ,$S = 2 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$.

(D) આપેલ વિધાનો:
$P$: રામુ બુદ્ધિશાળી છે
$Q$: રામુ અમીર છે
$R$: રામુ પ્રમાણિક નથી
"રામુ બુદ્ધિશાળી અને પ્રમાણિક છે જો અને માત્ર જો રામુ અમીર નથી" વિધાન $(P \wedge \sim R) \Leftrightarrow \sim Q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિધાનનું નિષેધ $\sim[(P \wedge \sim R) \Leftrightarrow \sim Q]$ છે.
નિત્યસમ $\sim(A \Leftrightarrow B) \equiv (A \wedge \sim B) \vee (B \wedge \sim A)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = (P \wedge \sim R)$ અને $B = \sim Q$:
$= ((P \wedge \sim R) \wedge \sim(\sim Q)) \vee (\sim Q \wedge \sim(P \wedge \sim R))$
$= ((P \wedge \sim R) \wedge Q) \vee (\sim Q \wedge (\sim P \vee \sim(\sim R)))$
$= ((P \wedge \sim R) \wedge Q) \vee (\sim Q \wedge (\sim P \vee R))$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^7 = 128$ છે.
આપણે $n(B \cup C) = n(A) - n(B^c \cap C^c)$ શોધવાની જરૂર છે.
$B^c = \{T \subseteq A : 1 \in T \text{ અને } 2 \notin T\}$.
$C^c = \{T \subseteq A : T \text{ ના ઘટકોનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (0 સહિત)}\}$.
$B^c$ માટે,$T = \{1\} \cup S$,જ્યાં $S \subseteq \{3, 4, 5, 6, 7\}$.
$T$ ના ઘટકોનો સરવાળો $1 + \text{sum}(S)$ છે.
આપણે $1 + \text{sum}(S)$ અવિભાજ્ય ન હોય તેવા $S$ શોધવાની જરૂર છે.
ગણતરી કરતા,$n(B^c \cap C^c) = 21$ મળે છે.
તેથી,$n(B \cup C) = 128 - 21 = 107$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 + bx + c$. અગ્ર સહગુણક $1$ હોવાથી અને $f(0) = p$ હોવાથી,$c = p$ મળે. તેથી,$f(x) = x^2 + bx + p$.
આપેલ છે કે $f(1) = 1 + b + p = \frac{1}{3}$,તેથી $b = \frac{1}{3} - 1 - p = -\frac{2}{3} - p$.
ધારો કે $\alpha$ એ $f(x) = 0$ અને $f(f(f(f(x)))) = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે. $f(\alpha) = 0$ હોવાથી,$f(f(f(f(\alpha)))) = f(f(f(0))) = f(f(p)) = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $f(p)$ એ $f(x) = 0$ નું બીજ હોવું જોઈએ,તેથી $f(f(p)) = 0$ નો અર્થ છે કે $f(p) = \alpha$ અથવા $f(p) = \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ છે.
$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ હોવાથી,$f(0) = \alpha \beta = p$ મળે.
વળી,$f(1) = (1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$.
જો $f(p) = \alpha$ હોય,તો $(p-\alpha)(p-\beta) = \alpha$ થાય. $p = \alpha \beta$ મૂકતા,$(\alpha \beta - \alpha)(\alpha \beta - \beta) = \alpha$ મળે.
$\alpha(\beta-1) \beta(\alpha-1) = \alpha$. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,$(\beta-1)(\alpha-1)\beta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$,તેથી $(\alpha-1)(\beta-1) = \frac{1}{3}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{1}{3} \beta = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 3$.
તેથી $(1-\alpha)(1-3) = \frac{1}{3} \Rightarrow -2(1-\alpha) = \frac{1}{3} \Rightarrow 1-\alpha = -\frac{1}{6} \Rightarrow \alpha = \frac{7}{6}$.
આમ,$f(x) = (x-\frac{7}{6})(x-3)$.
અંતે,$f(-3) = (-3 - \frac{7}{6})(-3 - 3) = (-\frac{25}{6})(-6) = 25$.

(C) વર્તુળ $C_1: x^{2}+y^{2}+6x+8y+16=0$ નું કેન્દ્ર $O_1(-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3})x+2(4-\sqrt{6})y = k+6\sqrt{3}+8\sqrt{6}$ નું કેન્દ્ર $O_2(\sqrt{3}-3, \sqrt{6}-4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{k+34}$ છે.
વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |r_2 - r_1|$.
$d^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 9$,તેથી $d = 3$.
$3 = |\sqrt{k+34} - 3|$,તેથી $\sqrt{k+34} = 6$,એટલે કે $k=2$.
સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \beta)$ એ $O_1O_2$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
$\alpha = \frac{1(\sqrt{3}-3) - 2(-3)}{1-2} = -\sqrt{3}-3$.
$\beta = \frac{1(\sqrt{6}-4) - 2(-4)}{1-2} = -\sqrt{6}-4$.
તેથી,$(\alpha+\sqrt{3})^{2} + (\beta+\sqrt{6})^{2} = (-3)^2 + (-4)^2 = 25$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ છે.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો છે,જેને $x \neq 1$ માટે $\frac{x^{5}-1}{x-1} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ $1$ સિવાયના $5$ ના એકમના મૂળ છે,એટલે કે $\omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4}$ જ્યાં $\omega = e^{i \frac{2\pi}{5}}$.
$\omega^{5} = 1$ હોવાથી,$\omega^{2021} = (\omega^{5})^{404} \cdot \omega = \omega$ થાય.
તે જ રીતે,$\beta^{2021} = \omega^{2}$,$\gamma^{2021} = \omega^{3}$,અને $\delta^{2021} = \omega^{4}$.
તેથી,સરવાળો $\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021} = \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4}$ થાય.
સમીકરણ $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -\frac{1}{1} = -1$ મળે છે.

(D) $S_{n}$ એ $C_{1}(3, -2)$ કેન્દ્ર અને $r_{1} = \frac{n}{4}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$T_{n}$ એ $C_{2}(2, -3)$ કેન્દ્ર અને $r_{2} = \frac{1}{n}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_{1}C_{2} = \sqrt{2}$ છે.
બે વર્તુળો છેદતા નથી જો $d > r_{1} + r_{2}$ અથવા $d < |r_{1} - r_{2}|$ હોય.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{2} > \frac{n}{4} + \frac{1}{n}$ ઉકેલતા $n \in \{1, 2, 3, 4\}$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{2} < |\frac{n}{4} - \frac{1}{n}|$ માટે $n \ge 7$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}-n-1}+n \alpha+\beta\right)=0$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$n$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\sqrt{n^{2}-n-1} = n\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}} = n - \frac{1}{2} + O(\frac{1}{n})$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા: $\lim _{n \rightarrow \infty} (n - \frac{1}{2} + n\alpha + \beta) = 0$.
$n$ ના પદોને અલગ કરતા: $\lim _{n \rightarrow \infty} (n(1+\alpha) + (\beta - \frac{1}{2})) = 0$.
તેથી,$1+\alpha = 0 \implies \alpha = -1$ અને $\beta - \frac{1}{2} = 0 \implies \beta = \frac{1}{2}$.
આમ,$8(\alpha+\beta) = 8(-1 + \frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2}) = -4$.

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ એ $(x_1, y_1)$ છે. $B$ એ $x - y - 2 = 0$ પર હોવાથી,$y_1 = x_1 - 2$,તેથી $B = (x_1, x_1 - 2)$.
અંતર $AB = \sqrt{(x_1 - 4)^2 + (x_1 - 2 - 3)^2} = \frac{\sqrt{29}}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x_1 - 4)^2 + (x_1 - 5)^2 = \frac{29}{9}$.
$2x_1^2 - 18x_1 + 41 = \frac{29}{9} \implies 18x_1^2 - 162x_1 + 340 = 0 \implies 9x_1^2 - 81x_1 + 170 = 0$.
ઉકેલતા: $(3x_1 - 10)(3x_1 - 17) = 0$,તેથી $x_1 = \frac{10}{3}$ અથવા $x_1 = \frac{17}{3}$.
ઢાળ $1$ કરતા વધુ હોવાથી,$B = (\frac{10}{3}, \frac{4}{3})$ મળે.
વિકલ્પ $(C)$ માં કિંમત મૂકતા: $x + 2y = \frac{10}{3} + 2(\frac{4}{3}) = 6$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,$r = \beta$ થાય.
તે વર્તુળ $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ (કેન્દ્ર $(0, 1)$,ત્રિજ્યા $1$) ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt{(\alpha - 0)^{2} + (\beta - 1)^{2}} = \beta + 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\alpha^{2} + (\beta - 1)^{2} = (\beta + 1)^{2}$
$\alpha^{2} + \beta^{2} - 2\beta + 1 = \beta^{2} + 2\beta + 1$
$\alpha^{2} = 4\beta$
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $L$ એ પરવલય $x^{2} = 4y$ છે.
$x^{2} = 4y$ અને $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ:
$A = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{4y} \, dy = 2 \int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = 4 \times \frac{2}{3} \times 8 = \frac{64}{3}$.

(C) આપણે $x \in [-4 \pi, 4 \pi]$ માટે $|\cos x| = \sin x$ ઉકેલવું છે.
$|\cos x| \geq 0$ હોવાથી,$\sin x \geq 0$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $x$ પ્રથમ અથવા બીજા ચરણમાં હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $\cos x = \sin x \implies \tan x = 1$. $[0, 2 \pi]$ માં,આ $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ આપે છે. $\sin x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી માત્ર $x = \frac{\pi}{4}$ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $-\cos x = \sin x \implies \tan x = -1$. $[0, 2 \pi]$ માં,આ $x = \frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ આપે છે. $\sin x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી માત્ર $x = \frac{3 \pi}{4}$ ઉકેલ છે.
આમ,દરેક $2 \pi$ લંબાઈના અંતરાલમાં $2$ ઉકેલો મળે છે.
$[-4 \pi, 4 \pi]$ અંતરાલમાં,જે $2 \pi$ લંબાઈના $4$ અંતરાલો ધરાવે છે,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $2 \times 4 = 8$ છે.

(A) ધારો કે $AQ = d$. $\triangle AQR$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{QR}{AQ} = \frac{15}{d}$.
તેથી,$d = \frac{15}{\tan 60^{\circ}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \, m$.
$\triangle AQP$ માં,$P$ નો ઉત્સેધકોણ $60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$ છે.
તેથી,$\tan 75^{\circ} = \frac{PQ}{AQ} = \frac{15 + x}{5\sqrt{3}}$,જ્યાં $x = PR$.
$\tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$ હોવાથી,
$15 + x = 5\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}) = 10\sqrt{3} + 15$.
આથી $x = 10\sqrt{3} \, m$.
ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $PQ = QR + PR = 15 + 10\sqrt{3} = 5(3 + 2\sqrt{3}) \, m$.

(D) જો કોઈ વિધાનના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે તેનું પરિણામ $T$ મળે,તો તેને નિત્યસત્ય કહેવાય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $q \Rightarrow ((\sim p) \vee q)$.
ગર્ભિતાર્થ નિયમ $A \Rightarrow B \equiv (\sim A) \vee B$ મુજબ,આ $(\sim q) \vee ((\sim p) \vee q)$ બને છે.
ક્રમના નિયમ મુજબ,આ $(\sim q \vee q) \vee (\sim p) = T \vee (\sim p) = T$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ એ નિત્યસત્ય છે.

(A) '$MANKIND$' શબ્દમાં અક્ષરો $A, D, I, K, M, N, N$ છે. કુલ અક્ષરો = $7$. '$N$' અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. ક્રમ શોધવા માટે,આપણે અક્ષરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ: $A, D, I, K, M, N, N$. ગણતરી મુજબ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $\left( t^{2} x^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} (t^{2} x^{\frac{1}{5}})^{15-r} \cdot \left( \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} t^{30-3r} x^{\frac{15-r}{5}} (1-x)^{\frac{r}{10}}$
$t$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$t$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$30 - 3r = 0 \implies r = 10$
$r = 10$ મૂકતા,$t$ થી સ્વતંત્ર પદ:
$T_{11} = {}^{15}C_{10} x(1-x) = 3003 x(1-x)$
$f(x) = x(1-x)$ ની મહત્તમ કિંમત $x = \frac{1}{2}$ પર મળે છે,જે $\frac{1}{4}$ છે.
તેથી,$K = 3003 \times \frac{1}{4} = 750.75$
$8K = 8 \times 750.75 = 6006$

(C) સમીકરણ $x^{2}-8ax+2a=0$ માટે,બીજ $p$ અને $r$ છે. તેથી,$p+r=8a$ અને $pr=2a$.
તેથી $\frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{p+r}{pr} = \frac{8a}{2a} = 4$.
સમીકરણ $x^{2}+12bx+6b=0$ માટે,બીજ $q$ અને $s$ છે. તેથી,$q+s=-12b$ અને $qs=6b$.
તેથી $\frac{1}{q}+\frac{1}{s} = \frac{q+s}{qs} = \frac{-12b}{6b} = -2$.
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}, \frac{1}{s}$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તેથી $\frac{1}{q} = \frac{1}{p}+d$,$\frac{1}{r} = \frac{1}{p}+2d$,અને $\frac{1}{s} = \frac{1}{p}+3d$.
આપણને મળે છે $\frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{2}{p}+2d = 4$,તેથી $\frac{1}{p}+d = 2$. એટલે કે $\frac{1}{q} = 2$.
આપણને મળે છે $\frac{1}{q}+\frac{1}{s} = \frac{2}{q}+2d = -2$,તેથી $\frac{1}{q}+d = -1$.
$\frac{1}{q}=2$ હોવાથી,$2+d=-1$,એટલે કે $d=-3$.
તેથી $\frac{1}{p} = \frac{1}{q}-d = 2-(-3) = 5$,એટલે કે $p = \frac{1}{5}$.
$pr=2a$ હોવાથી,$r = \frac{2a}{p} = 10a$.
વળી $\frac{1}{r} = \frac{1}{p}+2d = 5+2(-3) = -1$,એટલે કે $r = -1$.
તેથી $10a = -1$,જે $a = -\frac{1}{10}$ આપે છે,તેથી $a^{-1} = -10$.
વળી $\frac{1}{s} = \frac{1}{q}+2d = 2+2(-3) = -4$,એટલે કે $s = -\frac{1}{4}$.
$qs=6b$ હોવાથી,$q = \frac{1}{2}$,તેથી $b = \frac{qs}{6} = \frac{(1/2)(-1/4)}{6} = -\frac{1}{48}$,તેથી $b^{-1} = -48$.
અંતે,$a^{-1}-b^{-1} = -10 - (-48) = 38$.

(C) આપેલ છે કે $a_{1}=1$ અને $a_{n}=a_{n-1}+2$,જે પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય તફાવત $2$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. તેથી,$a_{n} = 2n-1$.
આપેલ છે કે $b_{1}=1$ અને $b_{n}=a_{n}+b_{n-1}$,તેથી $b_{n} = (2n-1) + b_{n-1}$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા: $b_{1}=1$,$b_{2}=4$,$b_{3}=9$,$b_{4}=16$. આથી $b_{n} = n^{2}$.
આપણે $\sum_{n=1}^{15} a_{n} b_{n} = \sum_{n=1}^{15} (2n^{3}-n^{2})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$N=15$ માટે:
$2 \times \frac{15^{2} \times 16^{2}}{4} - \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 28800 - 1240 = 27560$.

(B) ધારો કે $LHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}} [nk \cdot n + \frac{n(n+1)}{2}]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}} \cdot n^2 [k + \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{k-1} \cdot (k + \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}) = k + \frac{1}{2}$.
ધારો કે $RHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{i=1}^{n} i^k = \int_{0}^{1} x^k dx = \frac{1}{k+1}$.
આપેલ છે કે $LHS = 33 \cdot RHS$,તેથી $k + \frac{1}{2} = 33 \cdot \frac{1}{k+1}$.
$(2k + 1)(k + 1) = 66$.
$2k^2 + 3k + 1 = 66 \implies 2k^2 + 3k - 65 = 0$.
$(2k + 13)(k - 5) = 0$.
કારણ કે $k$ એ પૂર્ણાંક કિંમત છે,તેથી $k = 5$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + 1 = 0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, -f)$ છે.
વ્યાસ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા હોવાથી,આપણે $(1, -f)$ ને વ્યાસના સમીકરણોમાં મૂકીએ:
$2p(1) - (-f) = 1 \implies 2p + f = 1 \implies f = 1 - 2p$.
$2(1) + p(-f) = 4p \implies 2 - pf = 4p$.
બીજા સમીકરણમાં $f = 1 - 2p$ મૂકતા:
$2 - p(1 - 2p) = 4p \implies 2 - p + 2p^{2} = 4p \implies 2p^{2} - 5p + 2 = 0$.
$p$ માટે ઉકેલતા: $(2p - 1)(p - 2) = 0$,તેથી $p = 1/2$ અથવા $p = 2$.
જો $p = 1/2$,તો $f = 1 - 2(1/2) = 0$. કેન્દ્ર $(1, 0)$ છે.
જો $p = 2$,તો $f = 1 - 2(2) = -3$. કેન્દ્ર $(1, 3)$ છે.
અતિવલય $3x^{2} - y^{2} = 3$ છે,જે $x^{2} - y^{2}/3 = 1$ છે. સ્પર્શક $y = mx + c$ માટે $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2} = m^{2} - 3$.
કિસ્સો $1$: કેન્દ્ર $(1, 0)$. $0 = m(1) + c \implies c = -m$. તેથી $c^{2} = m^{2} = m^{2} - 3$,જે શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: કેન્દ્ર $(1, 3)$. $3 = m(1) + c \implies c = 3 - m$. તેથી $c^{2} = (3 - m)^{2} = m^{2} - 3$.
$9 - 6m + m^{2} = m^{2} - 3 \implies 6m = 12 \implies m = 2$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = \frac{64}{15}(y - \frac{3}{5})$ છે.
બિંદુ $P\left(\frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x - 4y = 0$ મળે છે.
પરવલયને $P$ આગળ સ્પર્શતા વર્તુળોનું કુળ $(x - \frac{8}{5})^2 + (y - \frac{6}{5})^2 + \lambda(3x - 4y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 + x(3\lambda - \frac{16}{5}) + y(-4\lambda - \frac{12}{5}) + 4 = 0$ મળે છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,$f^2 = c$ શરતનું પાલન થાય છે,જ્યાં $f = -2\lambda - \frac{6}{5}$ અને $c = 4$.
તેથી,$(-2\lambda - \frac{6}{5})^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|-2\lambda - \frac{6}{5}| = 2$.
કિસ્સો $1$: $\lambda = -\frac{8}{5}$ માટે ત્રિજ્યા $r_1 = 4$,તેથી વ્યાસ $d_1 = 8$.
કિસ્સો $2$: $\lambda = \frac{2}{5}$ માટે ત્રિજ્યા $r_2 = 1$,તેથી વ્યાસ $d_2 = 2$.
વ્યાસનો સરવાળો $d_1 + d_2 = 8 + 2 = 10$ થાય છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+(3-a)x+(1-2a)=0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = -(3-a) = a-3$ અને $\alpha\beta = 1-2a$ મળે.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f(a) = (a-3)^{2} - 2(1-2a)$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$f(a) = a^{2} - 6a + 9 - 2 + 4a = a^{2} - 2a + 7$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(a) = (a^{2} - 2a + 1) + 6 = (a-1)^{2} + 6$.
કારણ કે $(a-1)^{2} \geq 0$,તેથી $f(a)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $6$ છે જ્યારે $a=1$ હોય.

(C) આપેલ છે $|z| - 2 = 0$,તેથી $|z| = 2$. આ સૂચવે છે કે $x^2 + y^2 = 4$.
આપેલ છે $|z - i| - |z + 5i| = 0$,તેથી $|z - i| = |z + 5i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + (y - 1)i| = |x + (y + 5)i|$
$x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + (y + 5)^2$
$(y - 1)^2 = (y + 5)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 10y + 25$
$-12y = 24$
$y = -2$.
$y = -2$ ને $x^2 + y^2 = 4$ માં મૂકતા:
$x^2 + (-2)^2 = 4$
$x^2 + 4 = 4$
$x^2 = 0$,તેથી $x = 0$.
આમ,બિંદુ $(0, -2)$ છે.
$(0, -2)$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$C: 0 - 2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=0}^{n} {}^{n}C_{i} = 2^{n}$.
આપેલ સરવાળો $\sum_{i, j=0, i \neq j}^{n} {}^{n}C_{i} {}^{n}C_{j}$ છે.
આને $\left( \sum_{i=0}^{n} {}^{n}C_{i} \right) \left( \sum_{j=0}^{n} {}^{n}C_{j} \right) - \sum_{i=j=0}^{n} ({}^{n}C_{i})({}^{n}C_{j})$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $i=j$,બીજું પદ $\sum_{i=0}^{n} ({}^{n}C_{i})^2$ બને છે.
નિત્યસમ $\sum_{i=0}^{n} ({}^{n}C_{i})^2 = {}^{2n}C_{n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2^{n})(2^{n}) - {}^{2n}C_{n} = 2^{2n} - {}^{2n}C_{n}$.

(B) પ્રદેશ $S$ એ પરવલય $y^{2} = 8x$ અને રેખા $y = \sqrt{2}x$ દ્વારા $x \geq 1$ માટે ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,$y^{2} = 8x$ અને $y = \sqrt{2}x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો:
$(\sqrt{2}x)^{2} = 8x \Rightarrow 2x^{2} = 8x \Rightarrow 2x(x - 4) = 0$.
આમ,વક્રો $x = 0$ અને $x = 4$ પર છેદે છે.
પ્રદેશ $x \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,સંકલનની સીમાઓ $x = 1$ થી $x = 4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{1}^{4} (\sqrt{8x} - \sqrt{2}x) \, dx$
$A = \int_{1}^{4} (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{2}x) \, dx$
$A = 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} (4^{2} - 1^{2})$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (8 - 1) - \frac{\sqrt{2}}{2} (16 - 1)$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (7) - \frac{\sqrt{2}}{2} (15)$
$A = \frac{28\sqrt{2}}{3} - \frac{15\sqrt{2}}{2} = \frac{56\sqrt{2} - 45\sqrt{2}}{6} = \frac{11\sqrt{2}}{6}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] x \frac{dy}{dx} = x + \left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] y$.
પદોને ગોઠવતા: $e^{\frac{y}{x}}(x dy - y dx) + \frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}(x dy - y dx) = x dx$.
બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા: $e^{\frac{y}{x}}\left(\frac{x dy - y dx}{x^{2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}}\left(\frac{x dy - y dx}{x^{2}}\right) = \frac{dx}{x}$.
વિકલન સ્વરૂપ $d(\frac{y}{x}) = \frac{x dy - y dx}{x^{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા: $e^{\frac{y}{x}} d(\frac{y}{x}) + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}} d(\frac{y}{x}) = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{\frac{y}{x}} d(\frac{y}{x}) + \int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}}} d(\frac{y}{x}) = \int \frac{dx}{x}$.
જેથી: $e^{\frac{y}{x}} + \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=0$ મુકતા: $e^{0} + \sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow 1 + 0 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
સમીકરણ: $e^{\frac{y}{x}} + \sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln x + 1$.
તે બિંદુ $(2\alpha, \alpha)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2\alpha, y=\alpha$ મુકતા: $e^{\frac{\alpha}{2\alpha}} + \sin^{-1}(\frac{\alpha}{2\alpha}) = \ln(2\alpha) + 1$.
$e^{1/2} + \sin^{-1}(1/2) = \ln(2\alpha) + 1 \Rightarrow \sqrt{e} + \frac{\pi}{6} = \ln(2\alpha) + 1$.
$\ln(2\alpha) = \sqrt{e} + \frac{\pi}{6} - 1$.
$2\alpha = \exp(\sqrt{e} + \frac{\pi}{6} - 1) \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2} \exp(\frac{\pi}{6} + \sqrt{e} - 1)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + (3x^{2}-1)y = 4x^{3}$ છે.
$x(1-x^{2})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^{2}-1}{x(1-x^{2})}y = \frac{4x^{3}}{x(1-x^{2})}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}}$ અને $Q = \frac{4x^{3}}{x-x^{3}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}} dx}$ છે.
ધારો કે $t = x-x^{3}$,તો $dt = (1-3x^{2})dx$,તેથી $P dx = \frac{-(1-3x^{2})}{x-x^{3}} dx = \frac{-dt}{t}$ થાય.
આમ,$IF = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{|x-x^{3}|}$ મળે. $x>1$ માટે,$x-x^{3} < 0$,તેથી $IF = \frac{1}{x^{3}-x}$ થાય.
$IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{1}{x-x^{3}} \right) = \frac{4x^{3}}{(x-x^{3})^{2}} = \frac{4x^{3}}{x^{2}(1-x^{2})^{2}} = \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{y}{x-x^{3}} = \int \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}} dx$ મળે. ધારો કે $u = 1-x^{2}$,$du = -2x dx$.
$\frac{y}{x-x^{3}} = -2 \int u^{-2} du = -2(-u^{-1}) + C = \frac{2}{1-x^{2}} + C$ થાય.
$y(2) = -2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{-2}{2-8} = \frac{2}{1-4} + C \Rightarrow \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + C \Rightarrow C = 1$ મળે.
તેથી,$\frac{y}{x-x^{3}} = \frac{2}{1-x^{2}} + 1$ થાય.
$x=3$ માટે,$\frac{y}{3-27} = \frac{2}{1-9} + 1 \Rightarrow \frac{y}{-24} = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ મળે.
તેથી,$y = \frac{3}{4} \times (-24) = -18$ થાય.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{7} + 5x^{3} + 3x + 1$.
વિધેયનું વિકલન મેળવો:
$f'(x) = 7x^{6} + 15x^{2} + 3$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $x^{6} \ge 0$ અને $x^{2} \ge 0$ હોવાથી,$7x^{6} \ge 0$ અને $15x^{2} \ge 0$ થાય.
તેથી,બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) = 7x^{6} + 15x^{2} + 3 \ge 3 > 0$ થાય.
બધા $x$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
જ્યારે $x \to -\infty$,ત્યારે $f(x) \to -\infty$,અને જ્યારે $x \to \infty$,ત્યારે $f(x) \to \infty$.
$f(x)$ એ સતત અને ચુસ્ત વધતું વિધેય છે જે $-\infty$ થી $\infty$ સુધીની કિંમતો ધારણ કરે છે,તેથી 'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,તે $x$-અક્ષને બરાબર એક વાર છેદશે.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) સમતલો $-x + 2y - z = 0$ અને $3x - 5y + 2z = 0$ ની છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ છે.
તેથી,રેખાના દિક્ગુણોત્તરો $(1, 1, 1)$ છે.
ધારો કે $T$ એ રેખા પર $P(1, -2, 3)$ નો પ્રક્ષેપ છે. રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(\alpha, \alpha, \alpha)$ છે.
સદિશ $\vec{PT} = (\alpha - 1, \alpha + 2, \alpha - 3)$.
કારણ કે $\vec{PT}$ એ રેખા $(1, 1, 1)$ ને લંબ છે,તેથી $1(\alpha - 1) + 1(\alpha + 2) + 1(\alpha - 3) = 0$,જે $3\alpha - 2 = 0$ આપે છે,તેથી $\alpha = \frac{2}{3}$.
બિંદુ $T$ એ $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ છે.
$PT^2 = (\frac{2}{3} - 1)^2 + (\frac{2}{3} + 2)^2 + (\frac{2}{3} - 3)^2 = \frac{1 + 64 + 49}{9} = \frac{114}{9} = \frac{38}{3}$.
$\triangle PQT$ માં,$\cos \theta = \frac{PT}{PQ} = \frac{\sqrt{38/3}}{\sqrt{18}} = \sqrt{\frac{19}{27}}$.
તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{19}{27}} = \sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle PQT) = PT \times (PQ \sin \theta) = \sqrt{\frac{38}{3}} \times \sqrt{18} \times \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3} \sqrt{38}$.

(A) સમતલો $5x + 8y + 13z - 29 = 0$ અને $8x - 7y + z - 20 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(5x + 8y + 13z - 29) + \lambda(8x - 7y + z - 20) = 0$ છે.
બિંદુ $(2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $P_{1}$ માટે:
$(5(2) + 8(1) + 13(3) - 29) + \lambda(8(2) - 7(1) + 3 - 20) = 0$
$28 - 8\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{2}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{7}{2}$ મૂકતા: $2x - y + z = 6$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_{1}} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
બિંદુ $(0, 1, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $P_{2}$ માટે:
$(5(0) + 8(1) + 13(2) - 29) + \lambda(8(0) - 7(1) + 2 - 20) = 0$
$5 - 25\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{1}{5}$ મૂકતા: $x + y + 2z = 5$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_{2}} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{||\vec{n_{1}}|| ||\vec{n_{2}}||} = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) બે સમતલો $P_1: \vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 6 = 0$ અને $P_2: \vec{r} \cdot (-6\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) - 7 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ છે.
આપેલ સમતલોની કિંમત મૂકતા:
$(\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 6) + \lambda(\vec{r} \cdot (-6\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) - 7) = 0$
આ સમતલ બિંદુ $(2, 3, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\vec{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$ મૂકતા:
$(2 + 9 - 1/2 - 6) + \lambda(-12 + 15 - 1/2 - 7) = 0$
$4.5 - 4.5\lambda = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ મૂકતા:
$\vec{r} \cdot (-5\hat{i} + 8\hat{j} - 2\hat{k}) = 13$.
અહીં $\vec{a} = -5\hat{i} + 8\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $d = 13$ છે.
તેથી $|\vec{a}|^2 = 25 + 64 + 4 = 93$.
હવે $\frac{|13\vec{a}|^2}{d^2} = \frac{13^2 |\vec{a}|^2}{d^2} = \frac{169 \times 93}{169} = 93$.

(D) ગણ $S = \{1, 2, \ldots, 50\}$ છે. $S$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $p = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ (કુલ $15$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) છે.
$R_{1}$ માટે,આપણે $p^{n} \leq 50$ જોઈએ જ્યાં $n \geq 0$:
- $p=2$ માટે: $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5} \leq 50$ ($6$ ઘટકો).
- $p=3$ માટે: $3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3} \leq 50$ ($4$ ઘટકો).
- $p=5$ માટે: $5^{0}, 5^{1}, 5^{2} \leq 50$ ($3$ ઘટકો).
- $p=7$ માટે: $7^{0}, 7^{1}, 7^{2} \leq 50$ ($3$ ઘટકો).
- $p \in \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ ($11$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ) માટે: $p^{0}, p^{1} \leq 50$ ($2$ ઘટકો દરેક,કુલ $11 \times 2 = 22$ ઘટકો).
$R_{1}$ માં કુલ ઘટકો = $6 + 4 + 3 + 3 + 22 = 38$.
$R_{2}$ માટે,$n=0$ અથવા $n=1$ છે:
- દરેક $15$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે,આપણી પાસે $(p, p^{0})$ અને $(p, p^{1})$ છે.
$R_{2}$ માં કુલ ઘટકો = $15 \times 2 = 30$.
$R_{1} - R_{2}$ માં એવા ઘટકો છે જ્યાં $n \geq 2$:
- $p=2$: $(2, 2^{2}), (2, 2^{3}), (2, 2^{4}), (2, 2^{5})$ ($4$ ઘટકો).
- $p=3$: $(3, 3^{2}), (3, 3^{3})$ ($2$ ઘટકો).
- $p=5$: $(5, 5^{2})$ ($1$ ઘટક).
- $p=7$: $(7, 7^{2})$ ($1$ ઘટક).
$R_{1} - R_{2}$ માં કુલ ઘટકો = $4 + 2 + 1 + 1 = 8$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 5 \Rightarrow 2c_{1} + c_{2} + 3c_{3} = 5$..........$(1)$
કારણ કે $\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$,તેથી $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0 \Rightarrow 3c_{1} + 3c_{2} + c_{3} = 0$.............$(2)$
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $c_{1}(1 - 9) - c_{2}(2 - 9) + c_{3}(6 - 3) = 0$
$\Rightarrow -8c_{1} + 7c_{2} + 3c_{3} = 0$ અથવા $8c_{1} - 7c_{2} - 3c_{3} = 0$..............$(3)$
સમીકરણો $(1), (2),$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$c_{3} = -3c_{1} - 3c_{2}$.
તેને $(1)$ માં મૂકતા: $2c_{1} + c_{2} + 3(-3c_{1} - 3c_{2}) = 5 \Rightarrow -7c_{1} - 8c_{2} = 5 \Rightarrow 7c_{1} + 8c_{2} = -5$.
તેને $(3)$ માં મૂકતા: $8c_{1} - 7c_{2} - 3(-3c_{1} - 3c_{2}) = 0 \Rightarrow 8c_{1} - 7c_{2} + 9c_{1} + 9c_{2} = 0 \Rightarrow 17c_{1} + 2c_{2} = 0 \Rightarrow c_{2} = -\frac{17}{2}c_{1}$.
$c_{2}$ ની કિંમત $7c_{1} + 8c_{2} = -5$ માં મૂકતા: $7c_{1} + 8(-\frac{17}{2}c_{1}) = -5 \Rightarrow 7c_{1} - 68c_{1} = -5 \Rightarrow -61c_{1} = -5 \Rightarrow c_{1} = \frac{5}{61} = \frac{10}{122}$.
તેથી $c_{2} = -\frac{17}{2}(\frac{10}{122}) = -\frac{85}{122}$.
તેથી $c_{3} = -3(\frac{10}{122}) - 3(-\frac{85}{122}) = \frac{-30 + 255}{122} = \frac{225}{122}$.
અંતે,$122(c_{1} + c_{2} + c_{3}) = 122(\frac{10 - 85 + 225}{122}) = 150$.

(A) વક્ર $y=2x^2+x+2$ ના કોઈપણ બિંદુ $(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 4x+1$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $P(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 4h+1$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ અભિલંબ રેખા $\ell$ નો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{4h+1}$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ માંથી પસાર થતી અભિલંબ રેખા $\ell$ નું સમીકરણ $y-k = -\frac{1}{4h+1}(x-h)$ છે.
બિંદુ $Q(6, 4)$ રેખા $\ell$ પર હોવાથી,$4-k = -\frac{1}{4h+1}(6-h)$ મળે.
$k = 2h^2+h+2$ મુકતા,$4-(2h^2+h+2) = -\frac{6-h}{4h+1}$ મળે.
$(2-h-2h^2)(4h+1) = h-6$.
$8h+2-4h^2-h-8h^3-2h^2 = h-6$.
$-8h^3-6h^2+7h+2 = h-6$.
$8h^3+6h^2-6h-8 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$4h^3+3h^2-3h-4 = 0$.
$(h-1)(4h^2+7h+4) = 0$.
$4h^2+7h+4$ ના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી (વિવેચક $D = 49-64 < 0$),તેથી $h=1$.
તેથી $k = 2(1)^2+1+2 = 5$. આમ $P$ એ $(1, 5)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(1, 5)$,અને $Q(6, 4)$ ધરાવતા $\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(5-4) + 1(4-0) + 6(0-5)| = \frac{1}{2} |4 - 30| = \frac{1}{2} |-26| = 13$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $\operatorname{adj} A$ શોધીએ. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$B$ માટેનું પદ દ્વિપદી વિસ્તરણ દ્વારા મળે છે: $B = (I - \operatorname{adj} A)^{5}$.
$I - \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ગણો.
ધારો કે $M = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$. આપણે $M^{5}$ શોધવાની જરૂર છે.
$M^{2} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$M^{3} = M^{2} \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$M^{4} = M^{2} \cdot M^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$M^{5} = M^{4} \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -5 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $B$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $(-1) + (-5) + 0 + (-1) = -7$ થાય.

(C) વિધેયનું વિકલન $f'(x) = n_{1}(x-3)^{n_{1}-1}(x-5)^{n_{2}} + n_{2}(x-3)^{n_{1}}(x-5)^{n_{2}-1}$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$f'(x) = (x-3)^{n_{1}-1}(x-5)^{n_{2}-1} [(n_{1}+n_{2})x - (5n_{1}+3n_{2})]$ મળે છે.
$(3, 5)$ માં ક્રાંતિક બિંદુ $x = \frac{5n_{1}+3n_{2}}{n_{1}+n_{2}}$ છે.
$n_{1}=3, n_{2}=5$ માટે,$f'(x) = (x-3)^{2}(x-5)^{4} [8x - 30] = 8(x-3)^{2}(x-5)^{4} (x - 3.75)$.
અહીં $(x-3)^{2}$ અને $(x-5)^{4}$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$x = 3.75$ આગળ $f'(x)$ ની નિશાની ઋણથી ધન તરફ બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે,મહત્તમ નથી. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચું નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$.
સંકલનનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x + x \int_{0}^{1} f(t) dt - \int_{0}^{1} t f(t) dt$.
ધારો કે $A = \int_{0}^{1} f(t) dt$ અને $B = \int_{0}^{1} t f(t) dt$.
તેથી $f(x) = (1 + A)x - B$. ધારો કે $C = 1 + A$,તેથી $f(x) = Cx - B$.
હવે,$A = \int_{0}^{1} (Ct - B) dt = [C \frac{t^2}{2} - Bt]_{0}^{1} = \frac{C}{2} - B$.
કારણ કે $C = 1 + A$,તેથી $A = \frac{1+A}{2} - B \Rightarrow 2A = 1 + A - 2B \Rightarrow A = 1 - 2B$.
વળી,$B = \int_{0}^{1} t(Ct - B) dt = \int_{0}^{1} (Ct^2 - Bt) dt = [C \frac{t^3}{3} - B \frac{t^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{C}{3} - \frac{B}{2}$.
$C = 1 + A = 1 + (1 - 2B) = 2 - 2B$ મૂકતા:
$B = \frac{2 - 2B}{3} - \frac{B}{2} \Rightarrow B = \frac{2}{3} - \frac{2B}{3} - \frac{B}{2} = \frac{2}{3} - \frac{7B}{6}$.
$B + \frac{7B}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{13B}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow B = \frac{4}{13}$.
તેથી $A = 1 - 2(\frac{4}{13}) = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}$.
$C = 1 + A = 1 + \frac{5}{13} = \frac{18}{13}$.
આમ,$f(x) = \frac{18}{13}x - \frac{4}{13}$.
બિંદુ $(6, 8)$ ચકાસતા: $f(6) = \frac{18}{13}(6) - \frac{4}{13} = \frac{108 - 4}{13} = \frac{104}{13} = 8$.
તેથી,બિંદુ $(6, 8)$ વક્ર પર આવેલું છે.

(C) ધારો કે $LHS = \int_{0}^{2}(\sqrt{2x}-\sqrt{2x-x^{2}}) dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્યાંકન: $\int_{0}^{2}\sqrt{2x} dx = \sqrt{2} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8}{3}$.
બીજા ભાગનું મૂલ્યાંકન: $\int_{0}^{2}\sqrt{1-(x-1)^{2}} dx$. ધારો કે $x-1 = \sin \theta$,તો $dx = \cos \theta d\theta$. સંકલન $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2} \theta d\theta = \frac{\pi}{2}$ બને છે.
તેથી,$LHS = \frac{8}{3} - \frac{\pi}{2}$.
હવે,$RHS$ પદોનું મૂલ્યાંકન: $\int_{0}^{1}(1-\sqrt{1-y^{2}}-\frac{y^{2}}{2}) dy = [y - \frac{1}{2}(y\sqrt{1-y^{2}} + \sin^{-1} y) - \frac{y^{3}}{6}]_{0}^{1} = 1 - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} - \frac{\pi}{4}$.
$\int_{1}^{2}(2-\frac{y^{2}}{2}) dy = [2y - \frac{y^{3}}{6}]_{1}^{2} = (4 - \frac{8}{6}) - (2 - \frac{1}{6}) = 2 - \frac{7}{6} = \frac{5}{6}$.
આમ,$LHS = \frac{5}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{5}{6} + I = \frac{5}{3} - \frac{\pi}{4} + I$.
$LHS$ અને $RHS$ ને સરખાવતા: $\frac{8}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{5}{3} - \frac{\pi}{4} + I$.
$I = \frac{3}{3} - \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\pi}{4} = \int_{0}^{1}(1-\sqrt{1-y^{2}}) dy$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{2e^x}{1 + e^{2x}} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{1 + y^2} = -\int \frac{2e^x}{1 + (e^x)^2} dx$.
ધારો કે $u = e^x$,તો $du = e^x dx$. સંકલન કરતા:
$\tan^{-1}(y) = -2 \tan^{-1}(e^x) + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$\tan^{-1}(0) = -2 \tan^{-1}(e^0) + C \implies 0 = -2(\frac{\pi}{4}) + C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
આમ,ઉકેલ $\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^x)$ છે.
$y'(0)$ શોધવા માટે,મૂળ વિકલ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$(1 + e^0) y'(0) + 2(1 + 0^2)e^0 = 0 \implies 2y'(0) + 2 = 0 \implies y'(0) = -1$.
હવે,$y(\log_e \sqrt{3})$ શોધીએ:
$\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^{\log_e \sqrt{3}}) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} - 2(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
તેથી,$y = \tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી $(y(\log_e \sqrt{3}))^2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.
અંતે,$6(y'(0) + (y(\log_e \sqrt{3}))^2) = 6(-1 + \frac{1}{3}) = 6(-\frac{2}{3}) = -4$.

(B) રેખા બિંદુ $(2, -1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા સમતલ $px - qy + z = 5$ પર આવેલી હોવાથી,આ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$p(2) - q(-1) + (-3) = 5 \Rightarrow 2p + q = 8$ --- $(i)$
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -2, -1)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = (p, -q, 1)$ છે. રેખા સમતલ પર હોવાથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$3(p) + (-2)(-q) + (-1)(1) = 0 \Rightarrow 3p + 2q = 1$ --- $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4p + 2q = 16$
તેમાંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(4p + 2q) - (3p + 2q) = 16 - 1 \Rightarrow p = 15$
$p = 15$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2(15) + q = 8 \Rightarrow 30 + q = 8 \Rightarrow q = -22$
સમતલનું સમીકરણ $15x + 22y + z = 5$ અથવા $15x + 22y + z - 5 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-5|}{\sqrt{15^2 + 22^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{225 + 484 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{710}} = \sqrt{\frac{25}{710}} = \sqrt{\frac{5}{142}}$.

(B) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ માં બિંદુ $P(x_0, y_0, z_0)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(x, y, z)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$.
$P(1, 2, 1)$ અને $x + 2y + 2z - 16 = 0$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{2} = -2 \frac{1 + 2(2) + 2(1) - 16}{1^2 + 2^2 + 2^2} = -2 \frac{1 + 4 + 2 - 16}{9} = -2 \frac{-9}{9} = 2$.
આમ,$x-1 = 2 \Rightarrow x = 3$,$y-2 = 4 \Rightarrow y = 6$,$z-1 = 4 \Rightarrow z = 5$. તેથી $Q = (3, 6, 5)$.
સમતલ $T$ એ $Q(3, 6, 5)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા જે $A(0, 0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ ધરાવે છે,તેને સમાવે છે.
સદિશ $\vec{AQ} = (3-0)\hat{i} + (6-0)\hat{j} + (5 - (-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
સમતલ $T$ નો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{AQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 6 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(12-6) - \hat{j}(6-6) + \hat{k}(3-6) = 6\hat{i} - 3\hat{k}$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણે $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલ $T$ નું સમીકરણ $2(x-0) + 0(y-0) - 1(z+1) = 0 \Rightarrow 2x - z = 1$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(1, 2, 1)$ માટે,$2(1) - 1 = 1$. તેથી,$(1, 2, 1)$ એ $T$ પર આવેલું છે.

(A) બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ હોય જો સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ સમાંતર હોય.
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + (\alpha-4)\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$.
સમરેખતા માટે,ઘટકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{1}{2} = \frac{\alpha-4}{-6} = \frac{1}{2}$.
$\frac{\alpha-4}{-6} = \frac{1}{2}$ ઉકેલતા $\alpha-4 = -3$ મળે,તેથી $\alpha = 1$.
બિંદુઓ $\alpha \neq 1$ માટે અસમરેખ હોવાથી,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $\alpha$ જેના માટે તે અસમરેખ હોય તે $\alpha = 2$ છે.
હવે,$BC$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો: $M = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{5}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ $\vec{M} - \vec{A}$ નું માન છે: $\vec{M} - \vec{A} = \frac{3}{2}\hat{i} - 4\hat{j} + \frac{3}{2}\hat{k}$.
$AM = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-4)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4} + 16} = \sqrt{4.5 + 16} = \sqrt{20.5} = \frac{\sqrt{82}}{2}$.

(A) ધારો કે $A = \{x, y\}$. ગણ $A \times A = \{(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)\}$ થાય.
$A$ પરના કુલ સંબંધોની સંખ્યા $2^{|A \times A|} = 2^4 = 16$ છે.
કોઈ સંબંધ $R$ સંમિત અને પરંપરિત હોય તો તે $A$ ના કોઈ ઉપગણ $S$ પર સામ્ય સંબંધ (equivalence relation) હોવો જોઈએ.
આવા સંબંધો નીચે મુજબ છે:
$1$. ખાલી સંબંધ: $\phi$
$2$. સંબંધ: $\{(x, x)\}$
$3$. સંબંધ: $\{(y, y)\}$
$4$. સંબંધ: $\{(x, x), (y, y)\}$
$5$. સંબંધ: $\{(x, x), (y, y), (x, y), (y, x)\}$
આમ,કુલ $5$ સંબંધો મળે છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{5}{16}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$. આપણને $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \cdot \vec{c} = x(\vec{a} \cdot \vec{a}) + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) + z(\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}))$.
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 14$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - 2 + 3 = 2$,અને $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ હોવાથી,આપણને $3 = 14x + 2y$ મળે છે.
$\vec{c}$ ના બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times \vec{c} = x(\vec{a} \times \vec{a}) + y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ અને નિત્યસમ $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = 2\vec{a} - 14\vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\vec{b} = y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(2\vec{a} - 14\vec{b})$ મળે છે.
$\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $(\vec{a} \times \vec{b})$ ના સહગુણકોને સરખાવતા: $2z = 0 \implies z = 0$,$y = 1$,અને $-14z = 1$ (જે વિરોધાભાસ છે). આમ,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\vec{c} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}}{|\vec{a}|^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 3/14, y = 1/14, z = 1/14$ મળે છે. સરવાળો $5/14$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x-1}$ છે.
$(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{x-1} y=\frac{1}{(x-1)^2}$ મળે છે.
આ $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{2x}{x-1}=2+\frac{2}{x-1}$ અને $Q(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2+\frac{2}{x-1}) dx} = e^{2x+2\ln(x-1)} = e^{2x}(x-1)^2$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot e^{2x}(x-1)^2 = \int \frac{1}{(x-1)^2} \cdot e^{2x}(x-1)^2 dx + C = \int e^{2x} dx + C = \frac{e^{2x}}{2} + C$.
તેથી,$y = \frac{e^{2x}}{2(x-1)^2 e^{2x}} + \frac{C}{(x-1)^2 e^{2x}} = \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{C}{e^{2x}(x-1)^2} = \frac{e^{2x} + 2C}{2e^{2x}(x-1)^2}$.
$y(2) = \frac{1+e^4}{2e^4}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{e^4 + 2C}{2e^4(1)^2} = \frac{1+e^4}{2e^4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2C = 1$,તેથી $C = 1/2$.
આમ,$y(x) = \frac{e^{2x}+1}{2e^{2x}(x-1)^2}$.
$x=3$ માટે,$y(3) = \frac{e^6+1}{2e^6(3-1)^2} = \frac{e^6+1}{8e^6}$.
$\frac{e^{\alpha}+1}{\beta e^{\alpha}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha=6$ અને $\beta=8$ મળે છે.
તેથી,$\alpha+\beta = 6+8 = 14$.

(C) $h(x) = f(x)g'(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. આપેલ સમીકરણ $h'(x) = 0$ છે.
$f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$f(x) = f(-x)$. આપેલ છે કે $f(\frac{1}{4}) = 0$ અને $f(\frac{1}{2}) = 0$,તેથી $f(-\frac{1}{4}) = 0$ અને $f(-\frac{1}{2}) = 0$ પણ થાય. આમ,$f(x)$ ને $(-1, 1)$ માં ઓછામાં ઓછા $4$ શૂન્યો છે,જે $\pm \frac{1}{4}$ અને $\pm \frac{1}{2}$ છે.
$g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$g'(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. $g(\frac{3}{4}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$g(-\frac{3}{4}) = 0$ થાય. રોલના પ્રમેય મુજબ,$g'(x)$ ને $(-\frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ માં ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય હોવું જોઈએ,જે $x = 0$ છે (કારણ કે $g'(x)$ અયુગ્મ છે).
હવે,$h(x) = f(x)g'(x)$. $h(x)$ ના શૂન્યોમાં $\pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{2}$ ($f(x)$ માંથી) અને $0$ ($g'(x)$ માંથી) નો સમાવેશ થાય છે. આમ,$h(x)$ ને $(-1, 1)$ માં ઓછામાં ઓછા $5$ શૂન્યો છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,જો $h(x)$ ને $5$ શૂન્યો હોય,તો $h'(x)$ ને $(-1, 1)$ માં ઓછામાં ઓછા $4$ શૂન્યો હોવા જોઈએ. અંતરાલ $(-2, 2)$ હોવાથી,ઉકેલોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $4$ છે.

(D) આપેલ છે કે $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
$M^2$ ની ગણતરી કરતા: $M^2 = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\alpha^2 & 0 \\ 0 & -\alpha^2 \end{bmatrix} = -\alpha^2 I$.
હવે,$N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k} = M^2 + M^4 + \dots + M^{98}$.
કારણ કે $M^2 = -\alpha^2 I$,તેથી $M^{2k} = (M^2)^k = (-\alpha^2)^k I$.
આમ,$N = \sum_{k=1}^{49} (-\alpha^2)^k I = I \sum_{k=1}^{49} (-\alpha^2)^k$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = -\alpha^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\alpha^2$ છે,જેમાં કુલ $49$ પદો છે.
$N = I \left( \frac{-\alpha^2(1 - (-\alpha^2)^{49})}{1 - (-\alpha^2)} \right) = I \left( \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} \right)$.
આપેલ છે કે $(I - M^2)N = -2I$.
કારણ કે $M^2 = -\alpha^2 I$,તેથી $I - M^2 = I - (-\alpha^2 I) = (1 + \alpha^2)I$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(1 + \alpha^2)I \cdot \left( \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} \right) I = -2I$.
$(1 + \alpha^2) \cdot \frac{-\alpha^2(1 + \alpha^{98})}{1 + \alpha^2} = -2$.
$-\alpha^2(1 + \alpha^{98}) = -2$.
$\alpha^2(1 + \alpha^{98}) = 2$.
જો $\alpha = 1$ લઈએ,તો $1^2(1 + 1^{98}) = 1(1 + 1) = 2$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,$\alpha$ નું ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $g(x)$ એ $1$ ઘાતની બહુપદી છે,ધારો કે $g(x) = ax + b$.
તેથી $f(g(x)) = f(ax + b) = 8x^2 - 2x$. $f$ એ $2$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,ધારો કે $f(x) = px^2 + qx + r$.
$g(x)$ ને $f(x)$ માં મૂકતા,આપણને $p(ax+b)^2 + q(ax+b) + r = 8x^2 - 2x$ મળે છે.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$pa^2 = 8$ મળે. $g(f(x)) = 4x^2 + 6x + 1$ હોવાથી,$g(f(x))$ નો મુખ્ય સહગુણક $a \cdot p = 4$ છે.
$pa^2 = 8$ ને $ap = 4$ વડે ભાગતા,$a = 2$ મળે. તેથી $p(2)^2 = 8 \implies 4p = 8 \implies p = 2$.
હવે,$f(g(x)) = 2(2x+b)^2 + q(2x+b) + r = 2(4x^2 + 4bx + b^2) + 2qx + qb + r = 8x^2 + (8b + 2q)x + (2b^2 + qb + r) = 8x^2 - 2x$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $8b + 2q = -2$ અને $2b^2 + qb + r = 0$.
$g(f(x)) = a(px^2 + qx + r) + b = 2(2x^2 + qx + r) + b = 4x^2 + 2qx + 2r + b = 4x^2 + 6x + 1$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2q = 6 \implies q = 3$. તેથી $8b + 2(3) = -2 \implies 8b = -8 \implies b = -1$.
આમ,$g(x) = 2x - 1$ અને $f(x) = 2x^2 + 3x + r$. $2b^2 + qb + r = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$2(-1)^2 + 3(-1) + r = 0 \implies 2 - 3 + r = 0 \implies r = 1$.
તેથી,$f(x) = 2x^2 + 3x + 1$.
હવે,$f(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$ અને $g(2) = 2(2) - 1 = 3$.
તેથી,$f(2) + g(2) = 15 + 3 = 18$.

(C) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ છે. કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $10^4 = 10000$ છે,કારણ કે દરેક $4$ ઘટકો $10$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી $10$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
શ્રેણિક અસામાન્ય હોય જો તેનો નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $ad = bc$.
કિસ્સો $1$: બધા ઘટકો સમાન હોય. આવા $10$ શ્રેણિકો છે (દા.ત.,દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ માટે $\begin{bmatrix} p & p \\ p & p \end{bmatrix}$).
કિસ્સો $2$: ઘટકો બધા સમાન ન હોય,પરંતુ $ad = bc$ હોય. જો $ad = bc = k$ હોય,તો $a, d$ અને $b, c$ ની એવી જોડીઓ પસંદ કરવી પડે કે જેથી તેમનો ગુણાકાર સમાન થાય.
ગણતરી મુજબ,કુલ અસામાન્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા $190$ મળે છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{190}{10000} = \frac{19}{1000}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ છે.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{(\frac{y}{x})^2 + 16}$.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} - v = \sqrt{v^2 + 16}$.
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{v^2 + 16} \Rightarrow \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 + 16}} = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|v + \sqrt{v^2 + 16}| = \ln|x| + \ln|C|$.
$v + \sqrt{v^2 + 16} = Cx \Rightarrow \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 16} = Cx$.
$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = Cx^2$.
$y(1) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા: $3 + \sqrt{3^2 + 16(1)^2} = C(1)^2 \Rightarrow 3 + \sqrt{25} = C \Rightarrow C = 8$.
તેથી,$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = 8x^2$.
$x = 2$ માટે: $y + \sqrt{y^2 + 16(4)} = 8(4) = 32$.
$y + \sqrt{y^2 + 64} = 32 \Rightarrow \sqrt{y^2 + 64} = 32 - y$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 + 64 = 1024 - 64y + y^2$.
$64y = 960 \Rightarrow y = 15$.

(C) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(a, b, c)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{a - x_1}{A} = \frac{b - y_1}{B} = \frac{c - z_1}{C} = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D)}{A^2 + B^2 + C^2}$ છે.
અહીં બિંદુ $(2, 4, 7)$ અને સમતલ $3x - y + 4z - 2 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A=3, B=-1, C=4, D=-2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{a - 2}{3} = \frac{b - 4}{-1} = \frac{c - 7}{4} = \frac{-2(3(2) - 1(4) + 4(7) - 2)}{3^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$\frac{a - 2}{3} = \frac{b - 4}{-1} = \frac{c - 7}{4} = \frac{-2(6 - 4 + 28 - 2)}{9 + 1 + 16} = \frac{-2(28)}{26} = \frac{-28}{13}$.
હવે $a, b, c$ ની કિંમત શોધતા:
$a = 2 + 3(\frac{-28}{13}) = \frac{-58}{13}$.
$b = 4 - 1(\frac{-28}{13}) = \frac{80}{13}$.
$c = 7 + 4(\frac{-28}{13}) = \frac{-21}{13}$.
છેલ્લે,$2a + b + 2c$ ની ગણતરી કરતા:
$2(\frac{-58}{13}) + \frac{80}{13} + 2(\frac{-21}{13}) = \frac{-116 + 80 - 42}{13} = \frac{-78}{13} = -6$.

(C) પ્રથમ,$g(t) = t^3 - 3t$ નું વિશ્લેષણ કરો. તેનું વિકલન $g'(t) = 3t^2 - 3 = 3(t-1)(t+1)$ છે. $t = -1$ પર સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $g(-1) = 2$ છે. $x \leq 2$ માટે,$f(x) = \max_{t \leq x} \{t^3 - 3t\}$ છે. $x \leq -1$ માટે,$f(x) = x^3 - 3x$ છે. $-1 < x \leq 2$ માટે,$f(x) = 2$ છે.
$2 < x < 3$ માટે,$f(x) = x^2 + 2x - 6$ છે.
$3 \leq x < 4$ માટે,$f(x) = [x-3] + 9 = 0 + 9 = 9$ છે.
$4 \leq x < 5$ માટે,$f(x) = [x-3] + 9 = 1 + 9 = 10$ છે.
$x = 5$ માટે,$f(5) = [5-3] + 9 = 11$ છે.
$x > 5$ માટે,$f(x) = 2x + 1$ છે.
વિકલનીયતા તપાસતા:
$x = -1$ પર: $f(-1) = 2$,$f'(-1^-) = 0$,$f'(-1^+) = 0$. વિકલનીય છે.
$x = 2$ પર: $f(2^-) = 2$,$f(2^+) = 2^2 + 2(2) - 6 = 2$. $f'(2^-) = 0$,$f'(2^+) = 2(2) + 2 = 6$. વિકલનીય નથી.
$x = 3$ પર: $f(3^-) = 3^2 + 2(3) - 6 = 9$,$f(3^+) = 9$. $f'(3^-) = 2(3) + 2 = 8$,$f'(3^+) = 0$. વિકલનીય નથી.
$x = 4$ પર: $f(4^-) = 9$,$f(4^+) = 10$. અસતત છે,તેથી વિકલનીય નથી.
$x = 5$ પર: $f(5^-) = 10$,$f(5^+) = 11$. અસતત છે,તેથી વિકલનીય નથી.
આમ,$m = 4$.
$I = \int_{-2}^{-1} (x^3 - 3x) dx + \int_{-1}^{2} 2 dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}]_{-2}^{-1} + [2x]_{-1}^{2} = ((\frac{1}{4} - \frac{3}{2}) - (4 - 6)) + (4 - (-2)) = (-\frac{5}{4} + 2) + 6 = \frac{3}{4} + 6 = \frac{27}{4}$.
ક્રમયુક્ત જોડ $(4, \frac{27}{4})$ છે.

(A) $\overrightarrow{a}$ નો $\overrightarrow{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = \frac{10}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$ ગણતા.
$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ ગણતા.
આમ,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \Rightarrow \alpha + 8 = 10 \Rightarrow \alpha = 2$.
હવે,આપણે $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ ગણીએ:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$,ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2\beta - 8 = -6 \Rightarrow 2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 1 = 3$.

(C) પ્રથમ,$y^{2}=8x$ અને $y=\sqrt{2}x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો:
$(\sqrt{2}x)^{2}=8x \implies 2x^{2}=8x \implies 2x(x-4)=0$.
તેથી,$x=0$ અને $x=4$. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4\sqrt{2})$ છે.
પરવલય $y^{2}=8x$ અને રેખા $y=\sqrt{2}x$ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ:
$A_{total} = \int_{0}^{4} (\sqrt{8x} - \sqrt{2}x) dx = \int_{0}^{4} (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{2}x) dx$
$= 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{4} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 - \sqrt{2} \cdot \frac{16}{2} = \frac{32\sqrt{2}}{3} - 8\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
ત્રિકોણ $y=\sqrt{2}x$,$x=1$ અને $y=2\sqrt{2}$ દ્વારા બને છે.
$x=1$ આગળ,રેખા $y=\sqrt{2}x$ પર $y=\sqrt{2}$ મળે. બિંદુ $(1, \sqrt{2})$ છે.
આડી રેખા $y=2\sqrt{2}$ એ $y=\sqrt{2}x$ ને $2\sqrt{2}=\sqrt{2}x \implies x=2$ પર છેદે છે.
ઊભી રેખા $x=1$ એ $y=2\sqrt{2}$ ને $(1, 2\sqrt{2})$ પર છેદે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(1, \sqrt{2})$,$(2, 2\sqrt{2})$ અને $(1, 2\sqrt{2})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2-1) \times (2\sqrt{2}-\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે:
$Area = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{6} = \frac{13\sqrt{2}}{6}$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત શ્રેણિક સુસંગતતાની શરતનું પાલન કરતું હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & \delta \end{vmatrix} = 0$
$2(-3\delta - 8) - 1(\delta - 2) - 1(4 + 3) = 0$
$-6\delta - 16 - \delta + 2 - 7 = 0$
$-7\delta - 21 = 0 \Rightarrow \delta = -3$
હવે,સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,અચળ પદોના સ્તંભ સાથે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય પણ શૂન્ય થવું જોઈએ:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ k & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$
$7(9 - 8) - 1(-3 - 2k) - 1(4 + 3k) = 0$
$7(1) + 3 + 2k - 4 - 3k = 0$
$6 - k = 0 \Rightarrow k = 6$
આમ,$\delta + k = -3 + 6 = 3$.

(A) આપેલ છે કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} = 2^{j-i}$.
$A = \begin{bmatrix} 2^{1-1} & 2^{2-1} & 2^{3-1} \\ 2^{1-2} & 2^{2-2} & 2^{3-2} \\ 2^{1-3} & 2^{2-3} & 2^{3-3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1/2 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 12 \\ 3/2 & 3 & 6 \\ 3/4 & 3/2 & 3 \end{bmatrix} = 3A$.
$A^2 = 3A$ હોવાથી,$A^3 = A^2 \cdot A = (3A) \cdot A = 3A^2 = 3(3A) = 3^2 A$.
ગાણિતિક અનુમાન મુજબ,$A^n = 3^{n-1} A$.
આપણે $S = A^2 + A^3 + \ldots + A^{10}$ શોધવાનું છે.
$S = 3A + 3^2 A + \ldots + 3^9 A = (3 + 3^2 + \ldots + 3^9) A$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $n=9$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a=3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=3$ છે.
સરવાળો $= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{10} - 3}{2}$.
તેથી,$S = \left(\frac{3^{10} - 3}{2}\right) A$.

(D) સંબંધ $R$ એ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $(x, y) \in R$ જો અને માત્ર જો $x$ અને $y$ સમાન ઉપગણ $A_{i}$ માં હોય.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in A$ માટે,$x$ કોઈક $A_{i}$ માં હોય છે. કારણ કે $x \in A_{i} \iff x \in A_{i}$,તેથી $(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $x$ અને $y$ સમાન $A_{i}$ માં છે. આનો અર્થ એ થાય કે $y$ અને $x$ પણ સમાન $A_{i}$ માં છે,તેથી $(y, x) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $x, y \in A_{i}$ અને $y, z \in A_{j}$ થાય. કારણ કે $i \neq j$ માટે $A_{i} \cap A_{j} = \phi$ છે,તેથી $i = j$ હોવું જ જોઈએ. તેથી,$x, z \in A_{i}$,જેનો અર્થ છે કે $(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $x \; m$ છે. તો ચોરસ માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $(22-x) \; m$ થશે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,બાજુની લંબાઈ $a = \frac{x}{3}$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3} x^2}{36}$ છે.
ચોરસ માટે,બાજુની લંબાઈ $b = \frac{22-x}{4}$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = b^2 = \left(\frac{22-x}{4}\right)^2 = \frac{(22-x)^2}{16}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = \frac{\sqrt{3} x^2}{36} + \frac{(22-x)^2}{16}$ છે.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\frac{dA}{dx} = \frac{2 \sqrt{3} x}{36} + \frac{2(22-x)(-1)}{16} = 0$
$\frac{\sqrt{3} x}{18} - \frac{22-x}{8} = 0$
$\frac{\sqrt{3} x}{18} = \frac{22-x}{8}$
$8 \sqrt{3} x = 18(22-x) = 396 - 18x$
$x(8 \sqrt{3} + 18) = 396$
$x = \frac{396}{18 + 8 \sqrt{3}} = \frac{198}{9 + 4 \sqrt{3}}$
સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a = \frac{x}{3} = \frac{198}{3(9 + 4 \sqrt{3})} = \frac{66}{9 + 4 \sqrt{3}} \; m$ થશે.

(D) વિધેય $\cos^{-1}(u)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણે $-1 \leq u \leq 1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$-1 \leq \frac{2 \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1})}{\pi} \leq 1$.
$\frac{\pi}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1}) \leq \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin^{-1}(y)$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે,આ અસમતા હંમેશા $[-1, 1]$ માં રહેલા તમામ $y$ માટે સાચી છે.
તેથી,આપણે $-1 \leq \frac{1}{4x^2-1} \leq 1$ ની જરૂર છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{1}{4x^2-1} \leq 1 \implies \frac{2-4x^2}{4x^2-1} \leq 0 \implies \frac{2(1-2x^2)}{(2x-1)(2x+1)} \geq 0$.
આ $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)$ માટે સાચું છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{1}{4x^2-1} \geq -1 \implies \frac{4x^2}{4x^2-1} \geq 0$.
આ $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty) \cup \{0\}$ માટે સાચું છે.
બંને કિસ્સાઓનો છેદ લેતા,આપણને $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) \cup \{0\}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi x - \pi \left[\frac{x}{2}\right]\right) d x$.
આપણે સંકલનને તે અંતરાલો પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $\left[\frac{x}{2}\right]$ અચળ છે:
$x \in [0, 2)$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 0$.
$x \in [2, 4)$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 1$.
$x \in [4, 5]$ માટે,$\left[\frac{x}{2}\right] = 2$.
આમ,$I = \int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x + \int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x + \int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x = \left[\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_{0}^{2} = \frac{\sin(2\pi) - \sin(0)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - \pi)}{\pi}\right]_{2}^{4} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(\pi)}{\pi} = 0$.
$\int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - 2\pi)}{\pi}\right]_{4}^{5} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(2\pi)}{\pi} = 0$.
તેથી,$I = 0 + 0 + 0 = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sqrt{2}}{2\cos^4 x - \cos 2x}$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $2\cos^4 x - \cos 2x = \cos^4 x + \sin^4 x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx}$ શોધીએ:
$\int P(x) dx = \int \frac{\sqrt{2} dx}{\cos^4 x + \sin^4 x} = -\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)$.
તેથી $IF = e^{-\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)}$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ છે.
$y(\pi/4) = \pi^2/32$ મૂકતા $C = 0$ મળે છે.
તેથી $y = \frac{x^2}{2} e^{\tan^{-1}(\sqrt{2}\cot 2x)}$.
$x = \pi/3$ માટે,$y(\pi/3) = \frac{\pi^2}{18} e^{-\tan^{-1}(\sqrt{2/3})}$.
સરખાવતા $\alpha = \sqrt{2/3}$ મળે,તેથી $3\alpha^2 = 2$.

(C) બિંદુઓ $P(1, 2, -1)$ અને $Q(2, -1, 3)$ એ સમતલ $-x + y + z - 1 = 0$ ની એક જ બાજુએ આવેલા છે.
સમતલથી બિંદુ $P$ નું લંબ અંતર $\left|\frac{-(1) + (2) + (-1) - 1}{\sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}\right| = \left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
સમતલથી બિંદુ $Q$ નું લંબ અંતર $\left|\frac{-(2) + (-1) + (3) - 1}{\sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}\right| = \left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આમ,લંબ અંતર સમાન હોવાથી,રેખાખંડ $PQ$ એ આપેલ સમતલને સમાંતર છે. તેથી,લંબપાદ $M$ અને $N$ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેના અંતર જેટલું જ થાય.
$d = |PQ| = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (-1 - 2)^{2} + (3 - (-1))^{2}}$
$d = \sqrt{1^{2} + (-3)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26}$.
તેથી,$d^{2} = 26$.

(A) ધારો કે $A = 3 \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2 \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$.
કારણ કે $\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \tan ^{-1} 2$,તેથી $A = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2(\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} 2)$.
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + 2(\frac{\pi}{2}) = \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \pi$.
તેથી,$\tan A = \tan(\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \pi) = \tan(\tan ^{-1} \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
હવે,ધારો કે $B = \frac{1}{2} \tan ^{-1}(2 \sqrt{2})$. ધારો કે $\tan ^{-1}(2 \sqrt{2}) = \theta$,તેથી $\tan \theta = 2 \sqrt{2}$.
આપણે $\tan(\frac{\theta}{2})$ શોધવાનું છે. $\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $t = \tan(\theta/2)$.
$2 \sqrt{2} = \frac{2t}{1 - t^2} \implies \sqrt{2} = \frac{t}{1 - t^2} \implies \sqrt{2} - \sqrt{2} t^2 = t \implies \sqrt{2} t^2 + t - \sqrt{2} = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 \sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$.
$\tan ^{-1}(2 \sqrt{2})$ એ $(0, \pi/2)$ માં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $50(\frac{1}{2}) + 4 \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 25 + 4 = 29$ થાય.

(D) આપેલ છે $f(x)=(c+1) x^{2}+(1-c^{2}) x+2 k$ $(1)$
આપેલ છે $f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$ તમામ $x, y \in R$ માટે.
$x=0, y=0$ મૂકતા,આપણને $f(0)=f(0)+f(0)-0 \Rightarrow f(0)=0$ મળે છે.
કારણ કે $f(0)=2k$,તેથી $2k=0 \Rightarrow k=0$.
હવે,$f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x+y)=f'(y)-x$ મળે છે.
$y=0$ મૂકતા,$f'(x)=f'(0)-x$.
સંકલન કરતા,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+f'(0) x+C$.
કારણ કે $f(0)=0$,તેથી $C=0$.
આમ,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+f'(0) x$.
$(1)$ સાથે સરખાવતા,$c+1=-\frac{1}{2} \Rightarrow c=-\frac{3}{2}$.
વળી,$f'(0)=1-c^{2}=1-(-\frac{3}{2})^{2}=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$.
તેથી,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{4} x$.
આપણે $|2 \sum_{x=1}^{20} f(x)| = |2 \sum_{x=1}^{20} (-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{4} x)| = |-\sum_{x=1}^{20} x^{2} - \frac{5}{2} \sum_{x=1}^{20} x|$ શોધવાનું છે.
$n=20$ માટે $\sum_{x=1}^{n} x^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{x=1}^{n} x = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{x=1}^{20} x^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2870$.
$\sum_{x=1}^{20} x = \frac{20 \times 21}{2} = 210$.
મૂલ્ય $= |-(2870) - \frac{5}{2}(210)| = |-(2870 + 525)| = |-3395| = 3395$.

(B) સમતલ $P_{1}$ નું સમીકરણ $2x + y - 3z = 4$ છે. તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_{1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમતલ $P_{2}$ એ બિંદુઓ $A(2, -3, 2)$,$B(2, -2, -3)$ અને $C(1, -4, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલમાં રહેલા સદિશો $\vec{AB} = \hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{AC} = -\hat{i} - \hat{j}$ છે.
$P_{2}$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_{2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -5 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ છે.
છેદરેખાના દિકગુણોત્તરો $\vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ -5 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 16\hat{i} + 13\hat{j} + 15\hat{k}$ મળે છે.
સરખામણી કરતા,$\alpha = 13$ અને $\beta = 15$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 13 + 15 = 28$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & \lambda^2 - |\lambda| \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $\Delta$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta = 2(3(\lambda^2 - |\lambda|) - 1) + 3(1(\lambda^2 - |\lambda|) - (-3)) + 5(-1 - 9)$
$= 2(3\lambda^2 - 3|\lambda| - 1) + 3(\lambda^2 - |\lambda| + 3) + 5(-10)$
$= 6\lambda^2 - 6|\lambda| - 2 + 3\lambda^2 - 3|\lambda| + 9 - 50$
$= 9\lambda^2 - 9|\lambda| - 43$.
$\Delta = 0$ લેતા,$9|\lambda|^2 - 9|\lambda| - 43 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = |\lambda|$. તો $9t^2 - 9t - 43 = 0$.
વિવેચક $D = (-9)^2 - 4(9)(-43) = 81 + 1548 = 1629 > 0$.
$D > 0$ હોવાથી,$t$ માટે બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે. ઉકેલો $t = \frac{9 \pm \sqrt{1629}}{18}$ છે.
$\sqrt{1629} \approx 40.36$ હોવાથી,એક ઉકેલ ધન અને એક ઋણ છે.
$t = |\lambda| \ge 0$ હોવાથી,માત્ર ધન ઉકેલ જ માન્ય છે.
આમ,$|\lambda|$ માટે માત્ર $1$ કિંમત મળે છે,જે $\lambda$ ની $2$ કિંમતો (એટલે કે $\lambda = \pm t$) દર્શાવે છે.

(B) પ્રદેશ ગણ $A = \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$ માં $50$ ઘટકો છે. સહ-પ્રદેશ ગણ $B = \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ માં પણ $50$ ઘટકો છે.
વિધેય $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી,તે $50$ ઘટકોનું ક્રમચય (permutation) છે.
આપેલ શરત $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq \ldots \geq f(99)$ છે.
વિધેય એક-એક હોવાથી,બધા મૂલ્યો ભિન્ન હોવા જોઈએ,તેથી શરત $f(3) > f(9) > f(15) > \ldots > f(99)$ બને છે.
શ્રેણી $3, 9, 15, \ldots, 99$ માં $17$ ઘટકો છે $(99 = 3 + (n-1)6 \implies n = 17)$.
આ $17$ ઘટકો માટે સહ-પ્રદેશના $50$ મૂલ્યોમાંથી $17$ મૂલ્યો પસંદ કરવાની રીત $^{50}C_{17}$ છે.
એકવાર પસંદ કર્યા પછી,તેમને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર $1$ રીત છે.
બાકીના $50 - 17 = 33$ ઘટકોને બાકીના $33$ મૂલ્યો સાથે $33!$ રીતે જોડી શકાય છે.
તેથી,આવા વિધેયોની કુલ સંખ્યા $^{50}C_{17} \times 33! = \frac{50!}{17! \times 33!} \times 33! = \frac{50!}{17!} = ^{50}P_{33}$ થાય.

(C) ધારો કે આપેલ લક્ષ $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{r=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{2^{n}}}}$ છે.
$2^{n} = t$ આદેશ લેતા,જ્યારે $n \rightarrow \infty$ ત્યારે $t \rightarrow \infty$ થાય.
આથી પદાવલિ $I = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \sum_{r=1}^{t-1} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r}{t}}}$ બને છે.
આ રીમાન સરવાળાના સ્વરૂપ $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n})$ માં છે.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$.
તેથી,$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$.
$u = 1-x$ લેતા,$du = -dx$ મળે. જ્યારે $x=0, u=1$ અને જ્યારે $x=1, u=0$ થાય.
$I = \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (-du) = \int_{0}^{1} u^{-1/2} du$.
$I = [2u^{1/2}]_{0}^{1} = 2(1) - 2(0) = 2$.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$ અને $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.
પ્રથમ,આપણે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધીએ:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{10 + 6 - 15}{30} = \frac{1}{30}$.
હવે,આપણે $P(A \cap B')$ અને $P(B \cap A')$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{30} = \frac{10 - 1}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
$P(B \cap A') = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{6 - 1}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
વળી,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ અને $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(A \mid B') + P(B \mid A') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} + \frac{P(B \cap A')}{P(A')} = \frac{9/30}{4/5} + \frac{5/30}{2/3} = \frac{9}{30} \times \frac{5}{4} + \frac{5}{30} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-3}^{101} ([\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}) dx$.
$[\sin(\pi x)]$ નું આવર્તમાન $2$ છે અને $e^{[\cos(2\pi x)]}$ નું આવર્તમાન $1$ છે,તેથી વિધેય $f(x) = [\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}$ નું આવર્તમાન $2$ છે.
અંતરાલની લંબાઈ $101 - (-3) = 104$ છે. આવર્તમાન $2$ હોવાથી,$104$ લંબાઈના અંતરાલ પરનું સંકલન એ $[0, 2]$ પરના સંકલન કરતા $52$ ગણું થાય.
$I = 52 \int_{0}^{2} ([\sin(\pi x)] + e^{[\cos(2\pi x)]}) dx$.
$[\sin(\pi x)]$ માટે: $[0, 1]$ માં,$\sin(\pi x) \in [0, 1]$,તેથી $[\sin(\pi x)] = 0$. $[1, 2]$ માં,$\sin(\pi x) \in [-1, 0]$,તેથી $[\sin(\pi x)] = -1$. આમ,$\int_{0}^{2} [\sin(\pi x)] dx = \int_{1}^{2} -1 dx = -1$.
$e^{[\cos(2\pi x)]}$ માટે: જ્યારે $x \in [0, 1/4] \cup [3/4, 5/4] \cup [7/4, 2]$ હોય ત્યારે $\cos(2\pi x) \ge 0$,તેથી $[\cos(2\pi x)] = 0$ અને $e^0 = 1$. જ્યારે $\cos(2\pi x) < 0$ હોય,એટલે કે $(1/4, 3/4) \cup (5/4, 7/4)$ માં,$[\cos(2\pi x)] = -1$,તેથી $e^{-1} = 1/e$.
$\int_{0}^{2} e^{[\cos(2\pi x)]} dx = (1/4 + 1/2 + 1/4) \times 1 + (1/2 + 1/2) \times (1/e) = 1 + 1/e$.
$I = 52 \times (-1 + 1 + 1/e) = 52/e$.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -k \frac{y}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = -k \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln |y| = -k \ln |x| + C$ મળે છે,જેને $y = C x^{-k}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે વક્ર $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = C(1)^{-k} \Rightarrow C = 2$.
આપેલ છે કે વક્ર $(8, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 = 2(8)^{-k} \Rightarrow 8^k = 2 \Rightarrow (2^3)^k = 2^1 \Rightarrow 3k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = 2 x^{-1/3}$ છે.
આપણે $\left| y \left(\frac{1}{8}\right) \right|$ શોધવાની જરૂર છે.
સમીકરણમાં $x = \frac{1}{8}$ મૂકતા,$y = 2 \left(\frac{1}{8}\right)^{-1/3} = 2 \left( (2^{-3})^{-1/3} \right) = 2 \times 2^1 = 4$.
તેથી,$\left| y \left(\frac{1}{8}\right) \right| = 4$.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n}_2 = (1, -1, 2)$ છે.
સમતલ $E$ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_3 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ થશે.
$\vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(-2+2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 0)$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $P(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $E$ નું સમીકરણ $1(x-1) + 1(y+1) + 0(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 0$ થાય છે.
બિંદુ $Q(a, a, 2)$ નું $x + y = 0$ થી અંતર $\frac{|a + a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2a|}{\sqrt{2}} = |a|\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $|a|\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$,તેથી $|a| = 3$,એટલે કે $a = \pm 3$.
જો $a = 3$ હોય,તો $Q = (3, 3, 2)$. તેથી $PQ^2 = (3-1)^2 + (3+1)^2 + (2-1)^2 = 2^2 + 4^2 + 1^2 = 4 + 16 + 1 = 21$.
જો $a = -3$ હોય,તો $Q = (-3, -3, 2)$. તેથી $PQ^2 = (-3-1)^2 + (-3+1)^2 + (2-1)^2 = (-4)^2 + (-2)^2 + 1^2 = 16 + 4 + 1 = 21$.
આમ,$(PQ)^2 = 21$.

(A) પ્રથમ રેખા $L_{1}: \frac{x+7}{-6}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-0}{1}$ છે.
$L_{1}$ પરનું બિંદુ $\vec{a}_{1} = (-7, 6, 0)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b}_{1} = (-6, 7, 1)$ છે.
બીજી રેખા $L_{2}: \frac{x-7}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{1}$ છે.
$L_{2}$ પરનું બિંદુ $\vec{a}_{2} = (7, 2, 6)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b}_{2} = (-2, 1, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (7 - (-7), 2 - 6, 6 - 0) = (14, -4, 6)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 7 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 6\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k} = (6, 4, 8)$.
તેનું માન $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \cdot (\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right| = \left| \frac{(14, -4, 6) \cdot (6, 4, 8)}{2\sqrt{29}} \right| = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{a} \times \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{k}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
અહીં,$|\vec{a}|^{2} = 1^{2}+(-1)^{2}+2^{2} = 6$.
$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} = 2^{2}+0^{2}+(-1)^{2} = 5$.
આ કિંમતો મૂકતા,$5+3^{2} = 6 |\vec{b}|^{2} \implies 14 = 6 |\vec{b}|^{2} \implies |\vec{b}|^{2} = \frac{7}{3}$.
હવે,$|\vec{a}-\vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 6+\frac{7}{3}-2(3) = \frac{7}{3}$.
તેથી,$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{\frac{7}{3}}$.
$\vec{a}-\vec{b}$ પર $\vec{b}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{b} \cdot (\vec{a}-\vec{b})}{|\vec{a}-\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$= \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} - |\vec{b}|^{2}}{|\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{3 - \frac{7}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}} = \frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}} = \frac{2}{3} \times \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$.