ધારો કે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + 2y + z = 2$,$\alpha x + 3y - z = \alpha$,અને $-\alpha x + y + 2z = -\alpha$ સુસંગત નથી. તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+2y-z=3$,$3x-y+2z=1$ અને $2x-2y+3z=2$ નો ઉકેલ $(\alpha, \beta, \gamma)$ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=$

$A, C$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે. $B, D$ એ $3 \times 1$ શ્રેણિકો છે. જો $AX=B$ ને અનન્ય ઉકેલ હોય અને $CX=D$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તો:

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y+z=6$,$x+2y+\alpha z=10$,અને $x+3y+5z=\beta$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સાચું નથી?

એક ટ્રસ્ટ ફંડ પાસે Rs. $30,000$ છે જે બે અલગ-અલગ પ્રકારના બોન્ડમાં રોકાણ કરવાના છે. પ્રથમ બોન્ડ વાર્ષિક $5 \%$ વ્યાજ આપે છે અને બીજો બોન્ડ વાર્ષિક $7 \%$ વ્યાજ આપે છે. મેટ્રિક્સ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને,નક્કી કરો કે જો ટ્રસ્ટ ફંડને વાર્ષિક કુલ Rs. $1800$ વ્યાજ મેળવવું હોય,તો Rs. $30,000$ ને બે પ્રકારના બોન્ડ વચ્ચે કેવી રીતે વહેંચવા.

ધારો કે $S$ એ તમામ સ્તંભ શ્રેણિકો $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ નો ગણ છે,જ્યાં $b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{R}$ અને સમીકરણોની સંહતિ (વાસ્તવિક ચલોમાં)
$-x+2y+5z=b_1$
$2x-4y+3z=b_2$
$x-2y+2z=b_3$
ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. તો,નીચેનામાંથી કઈ સંહતિ(ઓ) (વાસ્તવિક ચલોમાં) દરેક $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ માટે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ ધરાવે છે?
$(A)$ $x+2y+3z=b_1, 4y+5z=b_2$ અને $x+2y+6z=b_3$
$(B)$ $x+y+3z=b_1, 5x+2y+6z=b_2$ અને $-2x-y-3z=b_3$
$(C)$ $-x+2y-5z=b_1, 2x-4y+10z=b_2$ અને $x-2y+5z=b_3$
$(D)$ $x+2y+5z=b_1, 2x+3z=b_2$ અને $x+4y-5z=b_3$