JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ વિધાન: $(p \wedge q) \Rightarrow (p \wedge r)$
તાર્કિક સમકક્ષતા $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim(p \wedge q) \vee (p \wedge r)$
ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$(\sim p \vee \sim q) \vee (p \wedge r)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$((\sim p \vee p) \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee \sim q \vee r)$
કારણ કે $(\sim p \vee p) \equiv T$:
$T \wedge (\sim p \vee \sim q \vee r) \equiv \sim p \vee \sim q \vee r$
પદોને ગોઠવતા:
$(\sim p \vee \sim q) \vee r$
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$\sim(p \wedge q) \vee r$
જેને પ્રેરણ (implication) માં ફેરવતા:
$(p \wedge q) \Rightarrow r$

(B) પરિકેન્દ્ર $P(1, 1)$ એ $A, B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે છે. તેથી,$PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (a-1)^2 + (3-1)^2 = (a-1)^2 + 4$
$PB^2 = (b-1)^2 + (5-1)^2 = (b-1)^2 + 16$
$PC^2 = (a-1)^2 + (b-1)^2$
$PA^2 = PC^2$ સરખાવતા: $(a-1)^2 + 4 = (a-1)^2 + (b-1)^2 \implies (b-1)^2 = 4 \implies b-1 = \pm 2$.
તેથી $b = 3$ અથવા $b = -1$. $ab > 0$ આપેલ છે,જો $b=3$ હોય તો $a > 0$. જો $b=-1$ હોય તો $a < 0$.
$PA^2 = PB^2$ સરખાવતા: $(a-1)^2 + 4 = (b-1)^2 + 16$.
જો $b = -1$ હોય: $(a-1)^2 + 4 = (-1-1)^2 + 16 = 20 \implies (a-1)^2 = 16 \implies a-1 = \pm 4$.
$a = 5$ અથવા $a = -3$. $a < 0$ હોવાથી,$a = -3$ લેતા.
આમ,$A = (-3, 3)$,$B = (-1, 5)$,$C = (-3, -1)$,અને $P = (1, 1)$.
રેખા $AP$ એ $(-3, 3)$ અને $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{1-3}{1-(-3)} = -\frac{1}{2}$.
$AP$ નું સમીકરણ: $x + 2y = 3$.
રેખા $BC$ એ $(-1, 5)$ અને $(-3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = 3$.
$BC$ નું સમીકરણ: $y = 3x + 8$.
$AP$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x + 2(3x + 8) = 3 \implies 7x = -13 \implies x = -\frac{13}{7}$.
$y = 3(-\frac{13}{7}) + 8 = \frac{17}{7}$.
$k_{1} + k_{2} = -\frac{13}{7} + \frac{17}{7} = \frac{4}{7}$.

(B) પરવલય $P: y^{2}=4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $(1, 0)$ છે. $L: y=mx+c$ નાભિ જીવા હોવાથી તે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = m(1) + c$,એટલે કે $c = -m$.
આમ,રેખા $y = m(x-1)$ છે.
અતિવલય $H: x^{2}-y^{2}=4$ છે,એટલે કે $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$. અહીં $a^{2}=4, b^{2}=4$.
રેખા $y=mx+c$ અતિવલયનો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ છે.
$c = -m$ મૂકતા,$(-m)^{2} = 4m^{2} - 4$,તેથી $m^{2} = 4m^{2} - 4$,જેનો અર્થ છે $3m^{2} = 4$,અથવા $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ($m>0$ હોવાથી).
તેથી $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$. રેખા $L$ એ $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ છે.
છેદબિંદુઓ $M(x_{1}, y_{1})$ અને $N(x_{2}, y_{2})$ મેળવવા માટે $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ ને $y^{2}=4x$ માં મૂકતા:
$\frac{4}{3}(x-1)^{2} = 4x \implies (x-1)^{2} = 3x \implies x^{2}-2x+1 = 3x \implies x^{2}-5x+1 = 0$.
બીજ $x_{1}, x_{2}$ છે,તેથી $x_{1}+x_{2}=5$ અને $x_{1}x_{2}=1$.
$y$-યામ $y_{i} = \frac{2}{\sqrt{3}}(x_{i}-1)$ છે.
ચતુષ્કોણ $OMFN$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle OMF$ અને $\triangle ONF$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{F} y_{1} - x_{F} y_{2}| = \frac{1}{2} |x_{F}| |y_{1}-y_{2}|$.
અહીં $x_{F} = 2\sqrt{2}$ ($H$ ની નાભિ $(ae, 0) = (2\sqrt{2}, 0)$ છે).
$|y_{1}-y_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} |x_{1}-x_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{25-4} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) (2\sqrt{7}) = 2\sqrt{14}$.

(D) $S$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $2022$ છે.
$2022$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \times 3 \times 337$ છે.
આપણે એવા $n \in S$ શોધવાના છે કે જેના માટે $\operatorname{HCF}(n, 2022) = 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે $2, 3,$ અથવા $337$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
ગણતરી મુજબ,$2, 3,$ અથવા $337$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $1350$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $= 2022 - 1350 = 672$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{672}{2022} = \frac{112}{337}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $7 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta - 2 \cos^2 2\theta = 2$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$7 \cos^2 \theta - 3(1 - \cos^2 \theta) - 2 \cos^2 2\theta = 2$,જેનું સાદું રૂપ $10 \cos^2 \theta - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$ થાય છે.
$2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ હોવાથી,$5(1 + \cos 2\theta) - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$,જેનું સાદું રૂપ $5 + 5 \cos 2\theta - 3 - 2 \cos^2 2\theta = 2$ થાય છે.
આથી $2 \cos^2 2\theta - 5 \cos 2\theta = 0$,એટલે કે $\cos 2\theta(2 \cos 2\theta - 5) = 0$.
$\cos 2\theta$ ની કિંમત $2.5$ ન હોઈ શકે,તેથી $\cos 2\theta = 0$,જે $2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$ આપે છે.
આમ,$S = \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$.
કોઈપણ $\theta \in S$ માટે,$\tan^2 \theta = 1$ અને $\cot^2 \theta = 1$,તેથી $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 2$.
વળી,$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$.
સમીકરણ $x^2 - 2(2)x + 6(\frac{1}{2}) = 0$ એટલે કે $x^2 - 4x + 3 = 0$ બને છે.
દરેક સમીકરણ માટે બીજનો સરવાળો $4$ છે.
આવા $4$ સમીકરણો હોવાથી,બીજનો કુલ સરવાળો $4 \times 4 = 16$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $n = 20$ અવલોકનો માટે મધ્યક $\bar{x} = 15$ અને વિચરણ $\sigma^{2} = 9$ છે.
$\sum x_{i} = 15 \times 20 = 300$
$\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} \Rightarrow 9 = \frac{\sum x_{i}^{2}}{20} - 225$
$\frac{\sum x_{i}^{2}}{20} = 234 \Rightarrow \sum x_{i}^{2} = 4680$
હવે,$(x_{i} + \alpha)^{2}$ નો મધ્યક $178$ છે:
$\frac{1}{20} \sum (x_{i} + \alpha)^{2} = 178$
$\sum (x_{i}^{2} + 2\alpha x_{i} + \alpha^{2}) = 178 \times 20 = 3560$
$\sum x_{i}^{2} + 2\alpha \sum x_{i} + 20\alpha^{2} = 3560$
$4680 + 2\alpha(300) + 20\alpha^{2} = 3560$
$20\alpha^{2} + 600\alpha + 1120 = 0$
$20$ વડે ભાગતા:
$\alpha^{2} + 30\alpha + 56 = 0$
$(\alpha + 28)(\alpha + 2) = 0$
તેથી,$\alpha = -28$ અથવા $\alpha = -2$.
$\alpha$ ની મહત્તમ કિંમત $-2$ છે.
મહત્તમ કિંમતનો વર્ગ $(-2)^{2} = 4$ થાય.

(B) ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{a_{r}}{2^{r}} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \ldots = 4$
$\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2^{2}} + \frac{a_{2}}{2^{3}} + \frac{a_{3}}{2^{4}} + \ldots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}-a_{1}}{2^{2}} + \frac{a_{3}-a_{2}}{2^{3}} + \ldots$
$a_{r}$ એ $A.P.$ હોવાથી,$a_{r} - a_{r-1} = d$:
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + \frac{d}{2^{2}} + \frac{d}{2^{3}} + \frac{d}{2^{4}} + \ldots$
$\frac{S}{2} = \frac{a_{1}}{2} + d \left( \frac{1/4}{1 - 1/2} \right) = \frac{a_{1}}{2} + \frac{d}{2}$
$S = a_{1} + d = a_{2}$
આપેલ છે કે $S = 4$,તેથી $a_{2} = 4$.
તેથી,$4 a_{2} = 4 \times 4 = 16$.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(\sqrt[4]{2} + 3^{-1/4})^n$ છે.
શરૂઆતથી $5$-મું પદ $T_5 = {^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4$ છે.
અંતથી $5$-મું પદ એ શરૂઆતથી $(n-3)$-મું પદ છે,જે $T_{n-3} = {^nC_4} (2^{1/4})^4 (3^{-1/4})^{n-4}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{T_5}{T_{n-3}} = 6^{(n-8)/4}$ છે.
આપેલ છે કે $6^{(n-8)/4} = 6^{1/4}$,તેથી $n-8 = 1$,એટલે કે $n = 9$.
શરૂઆતથી $6$-ઠ્ઠું પદ $T_6 = {^9C_5} (2^{1/4})^4 (3^{-1/4})^5 = \frac{84}{3^{1/4}}$ છે.
આમ,$\alpha = 84$.

(C) શ્રેણીનો સામાન્ય પદ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}]$ છે.
આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{1}{2} [\frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{101 \times 102}]$ થાય છે.
તેથી,$\frac{k}{101} = \frac{1}{2} [\frac{1}{6} - \frac{1}{10302}] = \frac{1}{12} - \frac{1}{20604} = \frac{1717-1}{20604} = \frac{1716}{20604} = \frac{1}{12}$.
$k = \frac{101}{12}$,તેથી $34k = 34 \times \frac{101}{12} \approx 286$.

(C) આપેલ છે કે $S = \{4, 6, 9\}$ અને $T = \{9, 10, 11, \ldots, 1000\}$.
ગણ $A$ એ $S$ ના ઘટકોના તમામ શક્ય સરવાળાનો ગણ છે. આનો અર્થ એ છે કે $n = 4x + 6y + 9z$ સ્વરૂપની તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $n$ શોધવી,જ્યાં $x, y, z \in \{0, 1, 2, \ldots\}$ અને $x+y+z \geq 1$.
આપણે $T$ ના ઘટકો તપાસીએ:
$9 = 9$ ($A$ માં છે)
$10 = 4 + 6$ ($A$ માં છે)
$11$: જો $11 = 4x + 6y + 9z$ હોય,તો $z=0$ માટે $4x+6y=11$ (શક્ય નથી) અને $z=1$ માટે $4x+6y=2$ (શક્ય નથી). તેથી,$11 \notin A$.
$12 = 4 + 4 + 4$ ($A$ માં છે).
$12$ થી મોટી તમામ સંખ્યાઓ $A$ માં છે. તેથી,$T - A = \{11\}$.
આમ,$T - A$ ના ઘટકોનો સરવાળો $11$ થાય છે.

(C) વર્તુળ $c_{1}$ નું કેન્દ્ર $(1, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{10-\alpha}$ છે.
રેખા $x-y+1=0$ માં કેન્દ્ર $(1, 3)$ નું પ્રતિબિંબ $(2, 2)$ મળે છે.
વર્તુળ $c_{2}$ નું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+\frac{38}{5}=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 2)$ છે.
વર્તુળ $c_{2}$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4+4-\frac{38}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$ છે.
પ્રતિબિંબમાં ત્રિજ્યા સમાન રહેતી હોવાથી,$r_{1}^{2} = r^{2} \Rightarrow 10-\alpha = \frac{2}{5}$.
તેથી,$\alpha = \frac{48}{5}$.
આમ,$\alpha+6r^{2} = \frac{48}{5} + 6(\frac{2}{5}) = 12$.

(D) નિત્યસત્ય (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સાચું હોય છે.
અમે વિકલ્પ $D$ નું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ: $(\sim q \wedge p) \vee (p \vee \sim p)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p \vee \sim p)$ એ નિત્યસત્ય છે (હંમેશા સાચું,જેને $T$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે).
આમ,પદાવલિ $(\sim q \wedge p) \vee T$ બને છે.
કોઈપણ વિધાન $X \vee T$ હંમેશા $T$ હોવાથી,આખી પદાવલિ નિત્યસત્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $I = 60 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(6x)}{\sin x} dx$.
નિત્યસમ $\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\frac{\sin(6x)}{\sin x}$ ને કોસાઇનના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ખાસ કરીને,$\frac{\sin(6x)}{\sin x} = \frac{\sin(6x) - \sin(4x) + \sin(4x) - \sin(2x) + \sin(2x)}{\sin x} = 2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરો:
$I = 60 \int_{0}^{\pi/2} (2\cos(5x) + 2\cos(3x) + 2\cos(x)) dx$.
$I = 60 \left[ \frac{2}{5}\sin(5x) + \frac{2}{3}\sin(3x) + 2\sin(x) \right]_{0}^{\pi/2}$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા:
$I = 60 \left( (\frac{2}{5}\sin(\frac{5\pi}{2}) + \frac{2}{3}\sin(\frac{3\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2})) - (0) \right)$.
કારણ કે $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$,$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$,અને $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$I = 60 \left( \frac{2}{5}(1) + \frac{2}{3}(-1) + 2(1) \right) = 60 \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{3} + 2 \right)$.
$I = 60 \left( \frac{6 - 10 + 30}{15} \right) = 60 \left( \frac{26}{15} \right) = 4 \times 26 = 104$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$.
પદોને ગોઠવતા: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}} dx$.
બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ માટે): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $d(\frac{y}{x}) = \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}} \cdot \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(y/x)}{\sqrt{1 + (y/x)^{2}}} = \int \frac{dx}{x}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}}} = \ln(t + \sqrt{1+t^{2}})$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}) = \ln x + C$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} = kx$,જ્યાં $k = e^{C}$.
તેથી,$y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = kx^{2}$.
વક્ર બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=0$ મૂકતા: $0 + \sqrt{1^{2}+0^{2}} = k(1)^{2} \Rightarrow k = 1$.
વક્રનું સમીકરણ $y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = x^{2}$ છે.
$x = 2, y = \alpha$ માટે: $\alpha + \sqrt{4+\alpha^{2}} = 2^{2} = 4$.
$\sqrt{4+\alpha^{2}} = 4 - \alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 + \alpha^{2} = 16 - 8\alpha + \alpha^{2}$.
$8\alpha = 12 \Rightarrow \alpha = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

(B) $\cos^{-1}(u)$ નો પ્રદેશ $u \in [-1, 1]$ છે.
તેથી,આપણે $\left|\frac{x^{2}-4x+2}{x^{2}+3}\right| \leq 1$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-1 \leq \frac{x^{2}-4x+2}{x^{2}+3} \leq 1$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^{2}+3 > 0$ હોવાથી,આપણે $(x^{2}+3)$ વડે ગુણી શકીએ:
$-(x^{2}+3) \leq x^{2}-4x+2 \leq x^{2}+3$.
પ્રથમ અસમતા: $-x^{2}-3 \leq x^{2}-4x+2 \implies 2x^{2}-4x+5 \geq 0$. વિવેચક $D = (-4)^{2} - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24 < 0$. અગ્ર સહગુણક ધન હોવાથી,બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $2x^{2}-4x+5 > 0$ છે.
બીજી અસમતા: $x^{2}-4x+2 \leq x^{2}+3 \implies -4x \leq 1 \implies x \geq -\frac{1}{4}$.
તેથી,પ્રદેશ $[-\frac{1}{4}, \infty)$ છે.

(D) આપેલ છે કે સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ શરત $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0$ નું પાલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
ત્રણ સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોય તે માટે તેમનો અદિશ ત્રિગુણનફળ શૂન્યતર હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1+t & 1-t & 1 \\ 1-t & 1+t & 2 \\ 1 & -t & 1 \end{vmatrix}$
$= (1+t)(1+t+2t) - (1-t)(1-t-2) + 1(-t+t^2-1-t)$
$= (1+t)(1+3t) - (1-t)(-1-t) + (t^2-2t-1)$
$= 1+4t+3t^2 + (1-t^2) + t^2-2t-1 = 3t^2+2t+1$
શરત મુજબ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$ હોવાથી,$3t^2+2t+1 \neq 0$.
અહીં વિવેચક $D = 2^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 < 0$ છે. તેથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ હંમેશા ધન છે અને કોઈપણ $t \in R$ માટે શૂન્ય થતું નથી.
આમ,$t$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $R$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^{-1}(x) - 2 \sin ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$
નિત્યસમ $\sin ^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^{-1}(x) - 2(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(x)) = \cos ^{-1}(2x)$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\cos ^{-1}(x) - \pi + 2 \cos ^{-1}(x) = \cos ^{-1}(2x)$
$3 \cos ^{-1}(x) = \pi + \cos ^{-1}(2x)$
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા:
$\cos(3 \cos ^{-1}(x)) = \cos(\pi + \cos ^{-1}(2x))$
$\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ અને $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$4x^3 - 3x = -2x$
પદોને ગોઠવતા:
$4x^3 - x = 0$
$x(4x^2 - 1) = 0$
આમ,ઉકેલો $x = 0$,$x = \frac{1}{2}$,અને $x = -\frac{1}{2}$ છે.
મૂળ સમીકરણમાં ઉકેલો ચકાસતા:
$x = 0$ માટે: $\cos^{-1}(0) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$ અને $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$. (માન્ય)
$x = \frac{1}{2}$ માટે: $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} - 2(\frac{\pi}{6}) = 0$ અને $\cos^{-1}(1) = 0$. (માન્ય)
$x = -\frac{1}{2}$ માટે: $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} - 2(-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$ અને $\cos^{-1}(-1) = \pi$. (માન્ય)
ઉકેલોનો સરવાળો $0 + \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 9$. કારણ કે $(x \vec{a} + y \vec{b}) \perp (6y \vec{a} - 18x \vec{b})$,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(x \vec{a} + y \vec{b}) \cdot (6y \vec{a} - 18x \vec{b}) = 0$
$6xy |\vec{a}|^2 - 18x^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6y^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 18xy |\vec{b}|^2 = 0$
$6xy (|\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2) + (\vec{a} \cdot \vec{b})(6y^2 - 18x^2) = 0$
આ સમીકરણ દરેક $(x, y)$ માટે સાચું હોવાથી,$xy$,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$|\vec{a}|^2 - 3|\vec{b}|^2 = 0 \implies |\vec{b}|^2 = \frac{|\vec{a}|^2}{3} = \frac{81}{3} = 27$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
હવે,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 81 \times 27 - 0 = 2187$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2187} = \sqrt{81 \times 27} = 9 \times 3 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$.

(D) $R$ સ્વવાચક (reflexive) હોવા માટે,તમામ $x \in N$ માટે $xRx$ સાચું હોવું જોઈએ.
$3x + \alpha x = (3 + \alpha)x$ એ $7$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(3 + \alpha)$ એ $7$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,તેથી $3 + \alpha = 7k \Rightarrow \alpha = 7k - 3 = 7(k-1) + 4$.
આમ,જ્યારે $\alpha$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $4$ વધે છે.
$R$ સંમિત (symmetric) હોવા માટે,$xRy \Rightarrow yRx$.
$3x + \alpha y = 7n_1$ અને $3y + \alpha x = 7n_2$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા,$(3 - \alpha)(x - y) = 7(n_1 - n_2)$. આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જો $3 + \alpha$ એ $7$ નો ગુણક હોય.
$R$ પરંપરિત (transitive) હોવા માટે,$xRy$ અને $yRz \Rightarrow xRz$.
$3x + \alpha y = 7n_1$ અને $3y + \alpha z = 7n_2$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી,$\alpha y = 7n_1 - 3x$. બીજામાં મૂકતા: $3y + \alpha z = 7n_2$.
$y$ નો લોપ કરીને,આપણે શોધી શકીએ છીએ કે સંબંધ પરંપરિત છે જો $3 + \alpha$ એ $7$ નો ગુણક હોય.
તેથી,$R$ સામ્ય સંબંધ હોવા માટેની શરત એ છે કે જ્યારે $\alpha$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $4$ વધે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\sin^2 2x) \frac{dy}{dx} + (8 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x) y = 2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)$ છે.
$\sin^2 2x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + (8 + 4 \cot 2x) y = \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x}$ મળે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 8 + 4 \cot 2x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int (8 + 4 \cot 2x) dx} = e^{8x + 2 \ln(\sin 2x)} = e^{8x} \sin^2 2x$.
ઉકેલ $y \cdot (e^{8x} \sin^2 2x) = \int (e^{8x} \sin^2 2x) \cdot \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x} dx + C$ છે.
$y e^{8x} \sin^2 2x = \int 2 e^{4x} (2 \sin 2x + \cos 2x) dx + C$.
સૂત્ર $\int e^{ax} (a f(x) + f'(x)) dx = e^{ax} f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \sin 2x$ લેતા,$f'(x) = 2 \cos 2x$ મળે. તેથી સંકલન $e^{4x} \sin 2x + C$ થાય.
આમ,$y e^{8x} \sin^2 2x = e^{4x} \sin 2x + C$.
$y(\frac{\pi}{4}) = e^{-\pi}$ આપેલ હોવાથી,$e^{-\pi} e^{2\pi} (1)^2 = e^{\pi} (1) + C \Rightarrow C = 0$ મળે.
તેથી,$y = \frac{e^{-4x}}{\sin 2x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{e^{-4(\pi/6)}}{\sin(\pi/3)} = \frac{e^{-2\pi/3}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-2\pi/3}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = I$.
$49 = 3 \times 16 + 1$ હોવાથી,$A^{49} = A^1 = A$.
$98 = 3 \times 32 + 2$ હોવાથી,$A^{98} = A^2$.
તેથી,$B_{0} = A + 2A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$.
$\det(B_{0}) = 0(0-2) - 1(0-1) + 2(4-0) = 0 + 1 + 8 = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(\text{Adj}(M)) = (\det(M))^{k-1}$,જ્યાં $k$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $k=3$,તેથી $\det(\text{Adj}(M)) = (\det(M))^2$.
$B_{n} = \text{Adj}(B_{n-1})$ માટે,$\det(B_{n}) = (\det(B_{n-1}))^2$.
તેથી,$\det(B_{4}) = (\det(B_{0}))^{2^4} = (\det(B_{0}))^{16}$.
$\det(B_{4}) = 9^{16} = (3^2)^{16} = 3^{32}$.

(B) ધારો કે વર્તુળ પરનું બિંદુ $P(\cos \theta, \sin \theta, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ માંથી સમતલ $2x + 3y + z = 6$ પરના લંબનો લંબપાદ $Q(h, k, w)$ છે.
રેખા $PQ$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તર સમતલના અભિલંબ $(2, 3, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\frac{h - \cos \theta}{2} = \frac{k - \sin \theta}{3} = \frac{w - 0}{1} = \lambda$.
કારણ કે $Q(h, k, w)$ એ સમતલ $2x + 3y + z = 6$ પર આવેલું છે,તેથી $2h + 3k + w = 6$.
$h = \cos \theta + 2\lambda$,$k = \sin \theta + 3\lambda$,અને $w = \lambda$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\cos \theta + 2\lambda) + 3(\sin \theta + 3\lambda) + \lambda = 6$
$2\cos \theta + 3\sin \theta + 14\lambda = 6 \implies \lambda = \frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}$.
તેથી $h = \cos \theta + 2\left(\frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}\right) = \frac{10\cos \theta - 6\sin \theta + 12}{14}$.
$k = \sin \theta + 3\left(\frac{6 - 2\cos \theta - 3\sin \theta}{14}\right) = \frac{5\sin \theta - 6\cos \theta + 18}{14}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $5h + 6k = \cos \theta + 12 \implies \cos \theta = 5h + 6k - 12$ મળે.
તે જ રીતે,$3h + 5k = \frac{\sin \theta}{2} + 9 \implies \sin \theta = 2(3h + 5k - 9)$ મળે.
$\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(5h + 6k - 12)^{2} + 4(3h + 5k - 9)^{2} = 1$ મળે છે.

(C) $AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + \frac{\alpha}{2x^5} + \frac{\alpha}{2x^5} \geq 7 \sqrt[7]{\left(\frac{x^2}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{\alpha}{2x^5}\right)^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $7 \sqrt[7]{\frac{\alpha^2}{2^7}} = \frac{7 \cdot \alpha^{2/7}}{2}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $14$ હોવાથી,$\frac{7 \cdot \alpha^{2/7}}{2} = 14$.
$\alpha^{2/7} = 4 = 2^2$.
તેથી,$\alpha = (2^2)^{7/2} = 2^7 = 128$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \alpha x^5 + \beta x^3 + \gamma x$ જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma > 0$. $f'(x) = 5\alpha x^4 + 3\beta x^2 + \gamma > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે અને તેનું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$g(f(x)) = x$ હોવાથી,$f(g(y)) = y$ થાય.
આપણે $f(g(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(g(y)) = y$ હોવાથી,આ પદ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)$ માં પરિણમે છે.
સમાંતર શ્રેણીનો મધ્યક શૂન્ય હોવાથી,$\sum_{i=1}^{n} a_i = 0$ થાય.
$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\sum_{i=1}^{n} f(a_i) = 0$ થાય.
તેથી,અંતિમ જવાબ $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x$.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt + e^x (e^{-x} f'(x)) - [(2x - 1) e^x + (x^2 - x + 1) e^x]$.
$f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt$ હોવાથી,$f'(x) = f(x) + f'(x) - (x^2 + x) e^x$ મળે.
આથી $f(x) = (x^2 + x) e^x$ થાય.
હવે,$f'(x) = (2x + 1) e^x + (x^2 + x) e^x = (x^2 + 3x + 1) e^x$.
$f'(x) = 0$ લેતા $x^2 + 3x + 1 = 0$ મળે,જેના ઉકેલ $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ આગળ મળે છે.
આ કિંમત $f(x)$ માં મુકતા ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{2}{\sqrt{e}}$ મળે છે.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $PRQS$ માં,વિકર્ણો $PQ$ અને $RS$ એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિકર્ણ $PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_Q - x_P, y_Q - y_P, z_Q - z_P) = \left(\frac{56}{17} + 2, \frac{43}{17} + 1, \frac{111}{17} - 1\right) = \left(\frac{90}{17}, \frac{60}{17}, \frac{94}{17}\right)$ છે.
$PQ \perp RS$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થવો જોઈએ.
ધારો કે $RS$ ના દિકગુણોત્તરો $(\alpha, -1, \beta)$ છે. તેથી,$\frac{90}{17}(\alpha) + \frac{60}{17}(-1) + \frac{94}{17}(\beta) = 0$.
$17$ વડે ગુણતા,આપણને $90\alpha - 60 + 94\beta = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $90\alpha + 94\beta = 60$ અથવા $45\alpha + 47\beta = 30$ થાય છે.
આપણે $45\alpha + 47\beta = 30$ નું સમાધાન કરતા ન્યૂનતમ નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધરાવતા પૂર્ણાંકો $\alpha$ અને $\beta$ શોધવાના છે.
કિંમતો તપાસતા: જો $\alpha = -15$ હોય,તો $47\beta = 30 - 45(-15) = 30 + 675 = 705$. તેથી,$\beta = \frac{705}{47} = 15$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = (-15)^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450$.

(C) $g(x) = f(x) - (2x + 3)$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
આપેલ છે કે $f(0)=3$,તેથી $g(0) = f(0) - (2(0) + 3) = 3 - 3 = 0$.
આપેલ છે કે $f(1)=5$,તેથી $g(1) = f(1) - (2(1) + 3) = 5 - 5 = 0$.
રેખા $y=2x+3$ એ $f(x)$ ને $(0,1)$ માં બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે,ધારો કે આ બિંદુઓ $x_1$ અને $x_2$ છે જ્યાં $0 < x_1 < x_2 < 1$.
આમ,$g(x_1) = 0$ અને $g(x_2) = 0$.
આપણને $g(0)=0, g(x_1)=0, g(x_2)=0, g(1)=0$ મળે છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$g^{\prime}(x)$ ને દરેક અંતરાલ $(0, x_1)$,$(x_1, x_2)$,અને $(x_2, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે આ શૂન્યો $c_1, c_2, c_3$ છે જેથી $0 < c_1 < x_1 < c_2 < x_2 < c_3 < 1$.
હવે,અંતરાલ $(c_1, c_2)$ અને $(c_2, c_3)$ પર $g^{\prime}(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$g^{\prime\prime}(x)$ ને $(c_1, c_2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય અને $(c_2, c_3)$ માં ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$g^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x)$ ને $(0,1)$ માં ઓછામાં ઓછા $2$ શૂન્યો હોય છે.

(A) ધારો કે $1 + x^{2} = t^{2}$. તેથી $2x dx = 2t dt$,એટલે કે $x dx = t dt$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = \sqrt{3}$,ત્યારે $t = 2$.
સંકલન $\int_{1}^{2} \frac{15(t^{2}-1) t dt}{\sqrt{t^{2} + t^{3}}} = 15 \int_{1}^{2} \frac{t(t^{2}-1)}{t \sqrt{1+t}} dt = 15 \int_{1}^{2} \frac{t^{2}-1}{\sqrt{1+t}} dt$ બને છે.
ધારો કે $1 + t = u^{2}$,તેથી $t = u^{2} - 1$ અને $dt = 2u du$.
જ્યારે $t = 1$,ત્યારે $u = \sqrt{2}$. જ્યારે $t = 2$,ત્યારે $u = \sqrt{3}$.
સંકલન $15 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{(u^{2}-1)^{2}-1}{u} (2u du) = 30 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (u^{4} - 2u^{2}) du$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $30 \left[ \frac{u^{5}}{5} - \frac{2u^{3}}{3} \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} = 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3}}{5} - \frac{6\sqrt{3}}{3} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right]$.
$= 30 \left[ \left( \frac{9\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{5} \right) - \left( \frac{12\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15} \right) \right] = 30 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{8\sqrt{2}}{15} \right] = -6\sqrt{3} + 16\sqrt{2}$.
$\alpha \sqrt{2} + \beta \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 16$ અને $\beta = -6$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 16 - 6 = 10$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A + B = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix}$.
$(A + B)^{2} = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 \\ 3 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\beta + 1)^{2} & 0 \\ 3(\beta + 1) + 3\alpha & \alpha^{2} \end{bmatrix}$.
$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 - \alpha \\ 2 + 2\alpha & \alpha^{2} - 2 \end{bmatrix}$.
$\alpha_{1}$ માટે,$(A + B)^{2} = A^{2} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 - \alpha \\ 4 + 2\alpha & \alpha^{2} \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$(\beta + 1)^{2} = 1 \implies \beta + 1 = \pm 1$. તેમજ,$1 - \alpha = 0 \implies \alpha_{1} = 1$.
$\alpha_{2}$ માટે,$(A + B)^{2} = B^{2} = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta^{2} + 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$(1,2)$ સ્થાન પરથી $0 = \beta$ મળે છે,અને $(2,2)$ સ્થાન પરથી $\alpha_{2}^{2} = 1$ મળે છે. $(2,1)$ સ્થાન પરથી,$3(\beta + 1) + 3\alpha = \beta$. $\beta = 0$ મૂકતા,$3(1) + 3\alpha = 0 \implies 3\alpha = -3 \implies \alpha_{2} = -1$.
આમ,$|\alpha_{1} - \alpha_{2}| = |1 - (-1)| = |2| = 2$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
$1$. વિકલ્પ $A$ માટે: $R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $\left[\begin{array}{cc}-1+1 & 2-1 \\ 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ મળે છે. જે શક્ય છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ માટે: $R_1 \leftrightarrow R_2$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ મળે છે. જે શક્ય છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માટે: $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ -2 & 7\end{array}\right]$ મેળવવા માટે,આપણે $R_2 \rightarrow R_2 + k R_1$ ની જરૂર પડે. અહીં,$-1 + k(-1) = -2 \implies k=1$,પરંતુ ત્યારબાદ $2 + k(2) = 2 + 1(2) = 4 \neq 7$. આમ,આ શક્ય નથી.
$4$. વિકલ્પ $D$ માટે: $R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1+2(-1) & -1+2(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]$ મળે છે. જે શક્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલો શ્રેણિક એક પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયા દ્વારા મેળવી શકાતો નથી.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$x+y+z=6$ $(1)$
$2x+5y+\alpha z=\beta$ $(2)$
$x+2y+3z=14$ $(3)$
સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગતતાની શરત સંતોષવી જોઈએ.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
$1(15-2\alpha) - 1(6-\alpha) + 1(4-5) = 0$
$15-2\alpha - 6 + \alpha - 1 = 0$
$8 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 8$.
હવે,$\alpha = 8$ ને સિસ્ટમમાં મૂકો અને અનંત ઉકેલો માટેની શરતનો ઉપયોગ કરો. $(1)$ અને $(3)$ પરથી:
$x+y = 6-z$
$x+2y = 14-3z$
બીજામાંથી પહેલું બાદ કરતા: $y = (14-3z) - (6-z) = 8-2z$.
$y$ ની કિંમત $x+y = 6-z$ માં મૂકતા: $x = 6-z - (8-2z) = z-2$.
$x, y, z$ ની કિંમતો $(2)$ માં મૂકતા:
$2(z-2) + 5(8-2z) + 8z = \beta$
$2z - 4 + 40 - 10z + 8z = \beta$
$36 = \beta$.
આમ,$\alpha + \beta = 8 + 36 = 44$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = 10$,તેથી:
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x) - \ln(1+\alpha x)}{x} = 10$
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+kx)}{x} = k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\ln(1+5x)}{x} - \frac{\ln(1+\alpha x)}{x} \right) = 10$
લક્ષ લેતા:
$5 - \alpha = 10$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = 5 - 10 = -5$
આમ,$\alpha$ ની કિંમત $-5$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = 2x - |3x^2 - 5x + 2| + 1$. મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની અંદરનું પદ $g(x) = 2x - |(3x-2)(x-1)| + 1$ છે.
$x \in [0, 2/3]$ માટે,$3x^2 - 5x + 2 \geq 0$,તેથી $|3x^2 - 5x + 2| = 3x^2 - 5x + 2$. તેથી $g(x) = 2x - (3x^2 - 5x + 2) + 1 = -3x^2 + 7x - 1$.
$x \in [2/3, 1]$ માટે,$3x^2 - 5x + 2 \leq 0$,તેથી $|3x^2 - 5x + 2| = -(3x^2 - 5x + 2)$. તેથી $g(x) = 2x + (3x^2 - 5x + 2) + 1 = 3x^2 - 3x + 3$.
$\int_{0}^{1} [g(x)] dx$ નું સંકલન કરવા માટે અંતરાલને $g(x)$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોના આધારે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$x \in [0, 2/3]$ માટે,$g(x) = -3x^2 + 7x - 1$. $g(x) = k$ ના બીજ દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
જ્યાં $[g(x)]$ અચળ હોય તેવા પેટા-અંતરાલો પર સંકલન કર્યા પછી,આપણને પરિણામ મળે છે:
$I = \frac{\sqrt{37} + \sqrt{13} - 4}{6}$.

(A) $I(x) = \int \frac{\sec^2 x}{\sin^{2022} x} dx - 2022 \int \frac{1}{\sin^{2022} x} dx$
પ્રથમ સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \sin^{-2022} x$ અને $dv = \sec^2 x dx$ લો. તેથી $du = -2022 \sin^{-2023} x \cos x dx$ અને $v = \tan x$ મળે.
$I(x) = \tan x \sin^{-2022} x - \int \tan x (-2022 \sin^{-2023} x \cos x) dx - 2022 \int \sin^{-2022} x dx$
$I(x) = \tan x \sin^{-2022} x + 2022 \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin^{2023} x} dx - 2022 \int \sin^{-2022} x dx$
$I(x) = \tan x \sin^{-2022} x + 2022 \int \sin^{-2022} x dx - 2022 \int \sin^{-2022} x dx + C$
$I(x) = \frac{\tan x}{\sin^{2022} x} + C$
આપેલ છે કે $I(\pi/4) = 2^{1011}$,તેથી $\frac{1}{\sin^{2022}(\pi/4)} + C = 2^{1011} \implies (\sqrt{2})^{2022} + C = 2^{1011} \implies 2^{1011} + C = 2^{1011} \implies C = 0$.
આમ,$I(x) = \frac{\tan x}{\sin^{2022} x}$.
$I(\pi/6) = \frac{\tan(\pi/6)}{\sin^{2022}(\pi/6)} = \frac{1/\sqrt{3}}{(1/2)^{2022}} = \frac{2^{2022}}{\sqrt{3}}$.
$I(\pi/3) = \frac{\tan(\pi/3)}{\sin^{2022}(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3}/2)^{2022}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2^{2022}}{3^{1011}} = \frac{2^{2022}}{3^{1010.5}}$.
$I(\pi/3)$ અને $I(\pi/6)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $3^{1010} I(\pi/3) = I(\pi/6)$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}$ છે.
ધારો કે $X = x-1$ અને $Y = y-1$,તો $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$.
અંશ અને છેદને $X$ વડે ભાગતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{1 + (Y/X)}{1 - (Y/X)}$.
ધારો કે $Y = VX$,તો $\frac{dY}{dX} = V + X\frac{dV}{dX}$.
આ કિંમત મૂકતા,$V + X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V}$,તેથી $X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V} - V = \frac{1+V-V+V^{2}}{1-V} = \frac{1+V^{2}}{1-V}$.
ચલ અલગ કરતા,$\int \frac{1-V}{1+V^{2}} dV = \int \frac{dX}{X}$.
$\int \frac{1}{1+V^{2}} dV - \frac{1}{2} \int \frac{2V}{1+V^{2}} dV = \ln|X| + C$.
$\tan^{-1}(V) - \frac{1}{2} \ln(1+V^{2}) = \ln|X| + C$.
$V = Y/X = \frac{y-1}{x-1}$ મૂકતા,$\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{(y-1)^{2}}{(x-1)^{2}}\right) = \ln|x-1| + C$.
તે $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $X=1, Y=0$: $\tan^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1) = \ln(1) + C \implies C = 0$.
બિંદુ $(k+1, 2)$ માટે,$X=k, Y=1$: $\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{1}{k^{2}}\right) = \ln(k)$.
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}\right) = \ln(k)$.
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \ln(k) + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}\right) = \ln(k) + \ln\left(\sqrt{\frac{k^{2}+1}{k^{2}}}\right) = \ln\left(k \cdot \frac{\sqrt{k^{2}+1}}{k}\right) = \ln\sqrt{k^{2}+1}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \ln(k^{2}+1)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ અને $Q(x) = \frac{x+3}{x+1}$ છે.
$P(x)$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$.
$P(x)$ નું સંકલન કરતા:
$\int P(x) dx = 2\ln(x+1) + \ln(x+2) - \ln(x+3) = \ln\left(\frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3}\right)$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3}$ મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} = \int \left(\frac{x+3}{x+1}\right) \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} dx = \int (x+1)(x+2) dx = \int (x^2+3x+2) dx$.
$y \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C$.
વક્ર બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$1 \cdot \frac{(1)^2(2)}{3} = 0 + 0 + 0 + C \implies C = \frac{2}{3}$.
$x=1$ માટે:
$y(1) \cdot \frac{(2)^2(3)}{4} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 + \frac{2}{3} = 1 + \frac{3}{2} + 2 = \frac{9}{2}$.
$y(1) \cdot 3 = \frac{9}{2} \implies y(1) = \frac{3}{2}$.

(B) સમતલનું સમીકરણ $x + 2y + z = 14$ છે.
બિંદુ $P(1, 2, 3)$ થી સમતલ પરના લંબ $PQ$ ની લંબાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$PQ = \left| \frac{1(1) + 2(2) + 1(3) - 14}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{1 + 4 + 3 - 14}{\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-6}{\sqrt{6}} \right| = \sqrt{6}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ માં,જ્યાં $\angle PQR = 90^{\circ}$ અને $\angle PRQ = 60^{\circ}$ છે,તેથી:
$QR = PQ \cot(60^{\circ}) = \sqrt{6} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{12} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(2,3,9)$,$B(5,2,1)$,$C(1, \lambda, 8)$,અને $D(\lambda, 2,3)$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = 0$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (3, -1, -8)$
$\vec{AC} = (-1, \lambda-3, -1)$
$\vec{AD} = (\lambda-2, -1, -6)$
હવે,નિશ્ચાયકને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -8 \\ -1 & \lambda-3 & -1 \\ \lambda-2 & -1 & -6 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3[-6\lambda + 17] + [\lambda + 4] - 8[-\lambda^2 + 5\lambda - 5] = 0$
$-18\lambda + 51 + \lambda + 4 + 8\lambda^2 - 40\lambda + 40 = 0$
$8\lambda^2 - 57\lambda + 95 = 0$
આ $\lambda$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. બીજનો ગુણાકાર $\lambda_1 \lambda_2 = \frac{c}{a} = \frac{95}{8}$ થાય.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે સ્થાનાંતરિત દડો અનુક્રમે લાલ,કાળો અથવા સફેદ છે.
$P(E_1) = \frac{3}{10}, P(E_2) = \frac{4}{10}, P(E_3) = \frac{3}{10}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે થેલી $II$ માંથી કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો છે.
જો $E_1$ બને,તો થેલી $II$ માં $3$ લાલ,$5$ કાળા,$2$ સફેદ દડા હોય. $P(A|E_1) = \frac{5}{10}$.
જો $E_2$ બને,તો થેલી $II$ માં $2$ લાલ,$6$ કાળા,$2$ સફેદ દડા હોય. $P(A|E_2) = \frac{6}{10}$.
જો $E_3$ બને,તો થેલી $II$ માં $2$ લાલ,$5$ કાળા,$3$ સફેદ દડા હોય. $P(A|E_3) = \frac{5}{10}$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
$P(E_1|A) = \frac{(\frac{3}{10} \times \frac{5}{10})}{(\frac{3}{10} \times \frac{5}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{6}{10}) + (\frac{3}{10} \times \frac{5}{10})} = \frac{15}{15 + 24 + 15} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય છે અને કોઈપણ બે વચ્ચેનો ખૂણો સમાન છે,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$.
ધારો કે $a = |\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c = |\vec{c}|$. આપણને $abc = 14$ આપેલ છે.
સદિશ નિત્યસમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot (\vec{w} \times \vec{z}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})(\vec{v} \cdot \vec{z}) - (\vec{u} \cdot \vec{z})(\vec{v} \cdot \vec{w})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) = (a b \cos 120^\circ)(b c \cos 120^\circ) - (a c \cos 120^\circ)(b^2) = (a b \cdot -\frac{1}{2})(b c \cdot -\frac{1}{2}) - (a c \cdot -\frac{1}{2})(b^2) = \frac{1}{4} a b^2 c + \frac{1}{2} a b^2 c = \frac{3}{4} a b^2 c$.
તે જ રીતે,$(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \frac{3}{4} a b c^2$ અને $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{3}{4} a^2 b c$.
આનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{3}{4} a b c (a + b + c) = 168$ મળે છે.
$abc = 14$ મૂકતા: $\frac{3}{4} \cdot 14 \cdot (a + b + c) = 168$.
$\frac{21}{2} (a + b + c) = 168 \implies a + b + c = 168 \cdot \frac{2}{21} = 8 \cdot 2 = 16$.

(C) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}(g(x))$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ $g(x)$ એ $-1 \leq g(x) \leq 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
પગલું $1$: $\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+7} \geq -1$ ઉકેલો.
$x^{2}-3x+2 \geq -(x^{2}+2x+7)$
$2x^{2}-x+9 \geq 0$.
અહીં વિવેચક $D = (-1)^{2} - 4(2)(9) = 1 - 72 = -71 < 0$ છે. $x^{2}$ નો સહગુણક ધન હોવાથી,$2x^{2}-x+9$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે હંમેશા ધન છે.
પગલું $2$: $\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+7} \leq 1$ ઉકેલો.
$x^{2}-3x+2 \leq x^{2}+2x+7$
$-3x+2 \leq 2x+7$
$-5 \leq 5x \Rightarrow x \geq -1$.
બંને શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $x \in [-1, \infty)$ મળે છે.

(D) ધારો કે મધ્યક $m = np$ અને વિચરણ $v = npq$ છે,જ્યાં $p + q = 1$.
આપેલ છે કે,સરવાળો $m + v = 82.5 = \frac{165}{2}$ અને ગુણાકાર $mv = 1350$.
$m$ અને $v$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (m+v)x + mv = 0$ ના બીજ હોવાથી:
$x^2 - \frac{165}{2}x + 1350 = 0$
$2x^2 - 165x + 2700 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$x = \frac{165 \pm \sqrt{165^2 - 4(2)(2700)}}{4} = \frac{165 \pm \sqrt{5625}}{4} = \frac{165 \pm 75}{4}$
તેથી,$x_1 = 60$ અને $x_2 = 22.5$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે $m > v$ હોવાથી,$m = 60$ અને $v = 22.5$.
હવે,$v = mq \implies 22.5 = 60q \implies q = \frac{3}{8}$.
તેથી $p = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.
અંતે,$m = np \implies 60 = n \times \frac{5}{8} \implies n = 96$.

(D) આપેલ છે કે $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ અને $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{4} = A^{2} \cdot A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,કોઈપણ બેકી સંખ્યા $k$ માટે,$A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણને $X^{T} A^{k} X = 33$ આપેલ છે. $A^{k}$ નું પદ મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3k \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 33$
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3k+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 33$
$1 + 1 + 3k + 1 = 33$
$3k + 3 = 33$
$3k = 30 \implies k = 10$.
કારણ કે $10$ એ બેકી સંખ્યા છે,તેથી આ ઉકેલ માન્ય છે.

(B) વિધેય $f(x) = 4|2x + 3| + 9[x + \frac{1}{2}] - 12[x + 20]$ છે.
$1$. પદ $4|2x + 3|$ એ $2x + 3 = 0$ એટલે કે $x = -\frac{3}{2}$ આગળ વિકલનીય નથી. આ $1$ બિંદુ છે.
$2$. પદ $9[x + \frac{1}{2}]$ એ $x + \frac{1}{2} = k$ (જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે) માટે વિકલનીય નથી. અંતરાલ $(-20, 20)$ માં,$x + \frac{1}{2} \in (-19.5, 20.5)$ છે. પૂર્ણાંકો $k \in \{-19, -18, \dots, 20\}$ છે. કુલ $40$ બિંદુઓ મળે. પરંતુ $x = -\frac{3}{2}$ આગળ $x + \frac{1}{2} = -1$ થાય છે,જે પૂર્ણાંક છે,તેથી એક બિંદુ સામાન્ય છે.
$3$. પદ $-12[x + 20]$ એ $x + 20 = k$ માટે વિકલનીય નથી. અંતરાલ $(-20, 20)$ માં,$x + 20 \in (0, 40)$ છે. પૂર્ણાંકો $k \in \{1, 2, \dots, 39\}$ છે. કુલ $39$ બિંદુઓ મળે.
$4$. કુલ અ-વિકલનીય બિંદુઓ = $1 + 39 + 39 = 79$.

(C) વક્રનું સમીકરણ $y=5x^{2}+2x-25$ બિંદુ $P(2, -1)$ આગળ છે.
પ્રથમ,વિકલન કરીને $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો: $y' = 10x + 2$.
$x=2$ આગળ,ઢાળ $m = 10(2) + 2 = 22$ મળે છે.
બિંદુ $P(2, -1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-1) = 22(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 22x - 45$ થાય છે.
હવે,વક્ર $y=x^{3}-x^{2}+x$ ને બિંદુ $(a, b)$ આગળ ધ્યાનમાં લો.
$(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-2x+1$ દ્વારા મળે છે.
$x=a$ આગળ,ઢાળ $3a^{2}-2a+1$ છે.
આ સ્પર્શક અગાઉ શોધેલા સ્પર્શક સમાન હોવાથી,તેનો ઢાળ $22$ હોવો જોઈએ: $3a^{2}-2a+1 = 22$.
આનાથી દ્વિઘાત સમીકરણ $3a^{2}-2a-21 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3a+7)(a-3) = 0$,તેથી $a=3$ અથવા $a=-7/3$.
$a=3$ માટે,બિંદુ $(a, b)$ એ $y=x^{3}-x^{2}+x$ પર આવેલું છે,તેથી $b = 3^{3}-3^{2}+3 = 27-9+3 = 21$.
તેથી $|2a+9b| = |2(3)+9(21)| = |6+189| = 195$.
$a=-7/3$ માટે,સ્પર્શક રેખા સમાંતર હશે પરંતુ $y=22x-45$ રેખા સાથે એકરૂપ નહીં હોય,તેથી આ કિંમત નકારી શકાય.
આમ,જવાબ $195$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=3$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2(\vec{a} \cdot \vec{b})=|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}$ મળે.
બંને બાજુથી $|\vec{a}|^{2}$ બાદ કરતા,$|\vec{b}|^{2}=2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ મળે.
$\vec{a} \cdot \vec{b}=3$ મૂકતા,$|\vec{b}|^{2}=2(3)=6$ મળે.
લેગ્રાન્જ નિત્યસમ $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}=75$ નો ઉપયોગ કરતા.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા,$|\vec{a}|^{2}(6)-(3)^{2}=75$.
$6|\vec{a}|^{2}-9=75$.
$6|\vec{a}|^{2}=84$.
$|\vec{a}|^{2}=14$.

(B) સંબંધ $R$ ને $R = \{(a, b) : a \in \{1, 2, \ldots, 60\}, b = pq, p, q \geq 3, p, q \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ}, b \leq 60\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
$a$ એ $1$ થી $60$ સુધીની કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે છે,તેથી $a$ માટે $60$ પસંદગીઓ છે.
આપણે $b = pq$ માટે શક્ય કિંમતો શોધવાની જરૂર છે જેથી $b \leq 60$ અને $p, q \geq 3$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય.
કિસ્સો $1$: $p = 3$. તો $b = 3q$. $b \leq 60$ હોવાથી,$3q \leq 60 \implies q \leq 20$. $q \geq 3$ હોય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે. કુલ $7$ કિંમતો છે.
કિસ્સો $2$: $p = 5$. તો $b = 5q$. $b \leq 60$ હોવાથી,$5q \leq 60 \implies q \leq 12$. $q \geq 5$ હોય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 7, 11$ છે. કુલ $3$ કિંમતો છે.
કિસ્સો $3$: $p = 7$. તો $b = 7q$. $b \leq 60$ હોવાથી,$7q \leq 60 \implies q \leq 8.57$. $q \geq 7$ હોય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યા $7$ છે. કુલ $1$ કિંમત છે.
કિસ્સો $4$: $p = 11$. તો $b = 11q$. $b \leq 60$ હોવાથી,$11q \leq 60 \implies q \leq 5.45$. આ શરત સંતોષતી $q \geq 11$ હોય તેવી કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
$b$ માટે કુલ કિંમતો = $7 + 3 + 1 = 11$.
$a$ માટે $60$ પસંદગીઓ અને $b$ માટે $11$ પસંદગીઓ હોવાથી,$R$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $60 \times 11 = 660$ છે.

(B) આપેલ છે કે $AB = 0$,જ્યાં $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ શૂન્યતર શ્રેણિકો છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|AB| = |0| = 0$.
કારણ કે $|AB| = |A||B| = 0$,તેનો અર્થ એ છે કે $|A|$ અથવા $|B|$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $0$ હોવું જોઈએ.
જો $|A| \neq 0$ હોય,તો $A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,તેથી $A^{-1}(AB) = A^{-1}(0) \Rightarrow B = 0$,જે આપેલ શરત કે $B$ શૂન્યતર શ્રેણિક છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
જો $|B| \neq 0$ હોય,તો $B$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,તેથી $(AB)B^{-1} = 0(B^{-1}) \Rightarrow A = 0$,જે આપેલ શરત કે $A$ શૂન્યતર શ્રેણિક છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$|A| = 0$ અને $|B| = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) છે,જેનો અર્થ છે કે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને અનંત ઉકેલો છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{3+2 \sin x + \cos x}$.
આદેશ $\tan(\frac{x}{2}) = t$ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,અને $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{3 + 2(\frac{2t}{1+t^2}) + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{3(1+t^2) + 4t + 1 - t^2} = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{2t^2 + 4t + 4} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t + 2}$
$I = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t+1)^2 + 1}$
$I = [\tan^{-1}(t+1)]_{0}^{1} = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ છે,જેને $\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=1$ અને $Q=\frac{1}{1+e^{2x}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot e^x = \int Q \cdot I.F. dx + c = \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx + c$ છે.
ધારો કે $u=e^x$,તો $du=e^x dx$. સંકલન $\int \frac{1}{1+u^2} du = \tan^{-1}(u) = \tan^{-1}(e^x)$ થાય છે.
તેથી,$y \cdot e^x = \tan^{-1}(e^x) + c$.
વક્ર બિંદુ $(0, \frac{\pi}{2})$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{\pi}{2} \cdot e^0 = \tan^{-1}(e^0) + c$,જે આપણને $\frac{\pi}{2} = \tan^{-1}(1) + c = \frac{\pi}{4} + c$ આપે છે.
આમ,$c = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
ઉકેલ $y \cdot e^x = \tan^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}$ છે.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા,$\lim_{x \rightarrow \infty} (y \cdot e^x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (\tan^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

(B) આપેલ સમતલ $P: 2x + my + nz = 4$ અને બિંદુ $A(-1, 4, 3)$ માંથી દોરેલા લંબનો લંબપાદ $B\left(-2, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ છે.
$B$ એ સમતલ પર હોવાથી,$2(-2) + m(\frac{7}{2}) + n(\frac{3}{2}) = 4$,જેનું સાદુંરૂપ $7m + 3n = 16$ થાય છે. $(1)$
વળી,સદિશ $\vec{AB} = B - A = (-2 - (-1), \frac{7}{2} - 4, \frac{3}{2} - 3) = (-1, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, m, n)$ છે. $\vec{AB}$ એ $\vec{n}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\frac{2}{-1} = \frac{m}{-1/2} = \frac{n}{-3/2} = k$.
આમ,$k = -2$,તેથી $m = (-1/2)(-2) = 1$ અને $n = (-3/2)(-2) = 3$.
આપણે બિંદુ $A$ નું સમતલ $P$ થી દિશા ગુણોત્તર $(3, -1, -4)$ વાળી રેખાને સમાંતર અંતર શોધવાનું છે. ધારો કે આ રેખા $L$ છે. બિંદુ $A(-1, 4, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x+1}{3} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $C$ એ $(3\lambda - 1, -\lambda + 4, -4\lambda + 3)$ છે.
$C$ એ સમતલ $2x + y + 3z = 4$ પર હોવાથી,$C$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(3\lambda - 1) + 1(-\lambda + 4) + 3(-4\lambda + 3) = 4$
$6\lambda - 2 - \lambda + 4 - 12\lambda + 9 = 4$
$-7\lambda + 11 = 4 \Rightarrow -7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,બિંદુ $C$ એ $(3(1) - 1, -1 + 4, -4(1) + 3) = (2, 3, -1)$ છે.
અંતર $AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = 3 \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આને આપેલ સમીકરણ $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} + \lambda \vec{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{b} + \lambda \vec{c}$.
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર નથી,તેથી આપણે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના સહગુણકોને સરખાવી શકીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ અને $-(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \lambda$.
હવે,$\vec{a} \cdot \vec{b}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) = (3)(1) + (1)(2) + (0)(1) = 3 + 2 = 5$.
તેથી,$\lambda = -(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -5$.

(A) આપેલ છે કે $\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}||\hat{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $\vec{u} = \hat{a} + \hat{b}$ અને $\vec{v} = \hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})$.
$|\vec{u}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + 1 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 + \sqrt{2}$.
$|\vec{v}|^2 = |\hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})|^2 = |\hat{a}|^2 + 4|\hat{b}|^2 + 4|\hat{a} \times \hat{b}|^2 + 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 0 + 0$.
કારણ કે $|\hat{a} \times \hat{b}| = |\hat{a}||\hat{b}| \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = \frac{1}{2}$.
$|\vec{v}|^2 = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) + 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 + 4 + 2 + 2\sqrt{2} = 7 + 2\sqrt{2}$.
હવે,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\hat{a} + \hat{b}) \cdot (\hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})) = |\hat{a}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 0 + (\hat{b} \cdot \hat{a}) + 2|\hat{b}|^2 + 0 = 1 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 = 3 + \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{3 + \frac{3}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{7+2\sqrt{2}}}$.
$\cos^2 \theta = \frac{9(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2}{(2+\sqrt{2})(7+2\sqrt{2})} = \frac{9(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}})^2}{14 + 4\sqrt{2} + 7\sqrt{2} + 4} = \frac{9(\frac{3+2\sqrt{2}}{2})}{18 + 11\sqrt{2}} = \frac{9(3+2\sqrt{2})}{2(18+11\sqrt{2})}$.
$164$ વડે ગુણતા: $164 \cos^2 \theta = 164 \times \frac{9(3+2\sqrt{2})}{2(18+11\sqrt{2})} = 82 \times \frac{9(3+2\sqrt{2})}{18+11\sqrt{2}} \times \frac{18-11\sqrt{2}}{18-11\sqrt{2}} = 738 \times \frac{54 - 33\sqrt{2} + 36\sqrt{2} - 44}{324 - 242} = 738 \times \frac{10 + 3\sqrt{2}}{82} = 9(10 + 3\sqrt{2}) = 90 + 27\sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે કે $f(\alpha) = \int_{1}^{\alpha} \frac{\ln t}{(\ln 10)(1+t)} dt$.
$f(e^{3}) = \int_{1}^{e^{3}} \frac{\ln t}{(\ln 10)(1+t)} dt \quad \dots(1)$
$f(e^{-3}) = \int_{1}^{e^{-3}} \frac{\ln t}{(\ln 10)(1+t)} dt$ માટે,$t = \frac{1}{x}$ લેતા,$dt = -\frac{1}{x^{2}} dx$.
જ્યારે $t=1, x=1$ અને જ્યારે $t=e^{-3}, x=e^{3}$.
$f(e^{-3}) = \int_{1}^{e^{3}} \frac{\ln(1/x)}{(\ln 10)(1+1/x)} \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) dx = \frac{1}{\ln 10} \int_{1}^{e^{3}} \frac{\ln x}{x(x+1)} dx \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$f(e^{3}) + f(e^{-3}) = \frac{1}{\ln 10} \int_{1}^{e^{3}} \left( \frac{\ln t}{1+t} + \frac{\ln t}{t(1+t)} \right) dt$
$= \frac{1}{\ln 10} \int_{1}^{e^{3}} \frac{\ln t}{t} dt$
$\ln t = u$ લેતા,$\frac{1}{t} dt = du$. જ્યારે $t=1, u=0$ અને જ્યારે $t=e^{3}, u=3$.
$= \frac{1}{\ln 10} \int_{0}^{3} u du = \frac{1}{\ln 10} \left[ \frac{u^{2}}{2} \right]_{0}^{3} = \frac{9}{2 \log_{e} 10}$.

(D) આ પ્રદેશ $y = |x-1|$ અને $y = \sqrt{5-x^2}$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x-1| = \sqrt{5-x^2}$ લો.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-1)^2 = 5-x^2 \implies x^2 - 2x + 1 = 5 - x^2 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા $(x-2)(x+1) = 0$ મળે,તેથી $x = 2$ અને $x = -1$.
$x = 2$ માટે $y = 1$ અને $x = -1$ માટે $y = 2$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{2} (\sqrt{5-x^2} - |x-1|) dx$ દ્વારા મળે છે.
આને વર્તુળ નીચેના ક્ષેત્રફળ અને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{2} \sqrt{5-x^2} dx - \int_{-1}^{2} |x-1| dx$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{2} |x-1| dx = 2.5$ થાય છે.
ભૌમિતિક રીતે ગણતરી કરતા,અંતિમ ક્ષેત્રફળ $\frac{5 \pi}{4} - \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x^2-5x+4|$.
દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા: $x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$.
તેથી,$f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-1||x-4|$.
$|x-1|$ સામાન્ય લેતા: $f(x) = |x-1| [\cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-4|]$.
ધારો કે $g(x) = |x-1|$ અને $h(x) = \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-4|$.
વિધેય $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ ત્યાં વિકલનીય નથી જ્યાં $g(x)$ વિકલનીય નથી,જો તે બિંદુઓ પર $h(x) \neq 0$ હોય.
$g(x) = |x-1|$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
$h(1) = \cos |1-2| \sin |1-1| + (1-3)|1-4| = \cos(1) \cdot 0 + (-2) \cdot |-3| = -6 \neq 0$ તપાસો.
આમ,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
હવે $h(x)$ માં $|x-4|$ પદ તપાસો. વિધેય $f(x)$ માં $(x-3)$ સાથે $|x-4|$ ગુણાયેલ છે.
$x = 4$ આગળ,$f(x) = |x-1| \cos |x-2| \sin |x-1| + (x-3)|x-1||x-4|$.
$x = 4$ ની નજીક,$|x-1| \cos |x-2| \sin |x-1|$ પદ વિકલનીય છે.
પદ $(x-3)|x-1||x-4|$ એ $k(x)|x-4|$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $k(4) = (4-3)|4-1| = 3 \neq 0$.
કેમ કે $k(4) \neq 0$,વિધેય $x = 4$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,વિધેય $x = 1$ અને $x = 4$ આગળ વિકલનીય નથી. કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 3^{(x^2-2)^3+4} = 81 \cdot 3^{(x^2-2)^3}$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = 81 \cdot 3^{(x^2-2)^3} \cdot \ln 3 \cdot 3(x^2-2)^2 \cdot 2x = (486 \ln 3) \cdot 3^{(x^2-2)^3} \cdot x(x^2-2)^2$.
$P$ માટે: $x=0$ અને $x=\pm \sqrt{2}$ આગળ $f'(x) = 0$ થાય છે. $x=0$ ની આસપાસ,$x(x^2-2)^2$ નું ચિહ્ન ઋણથી ધન થાય છે,તેથી $x=0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમનું બિંદુ છે. આમ,$P$ સાચું છે.
$Q$ માટે: $x=\sqrt{2}$ આગળ $f''(x) = 0$ થાય છે. કારણ કે $x=\sqrt{2}$ આગળ $f''(x)$ નું ચિહ્ન બદલાય છે (કારણ કે $(x^2-2)$ એક અવયવ છે),તેથી $x=\sqrt{2}$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે. આમ,$Q$ સાચું છે.
$R$ માટે: $x > \sqrt{2}$ માટે,$f'(x) > 0$ છે. $f''(x)$ નું વિશ્લેષણ કરતા,$x > \sqrt{2}$ માટે $f''(x) > 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ વધતું વિધેય છે. આમ,$R$ સાચું છે.
તેથી,બધા જ વિધાનો $P, Q$ અને $R$ સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે $(a, -4a, -7)$ દિશા ગુણોત્તર વાળી રેખા $(3, -1, 2b)$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $3a + 4a - 14b = 0 \implies 7a = 14b \implies a = 2b$ $(i)$.
તે $(b, a, -2)$ ને પણ લંબ છે,તેથી $ab - 4a^2 + 14 = 0$ $(ii)$.
$a = 2b$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $b(2b) - 4(2b)^2 + 14 = 0 \implies 2b^2 - 16b^2 + 14 = 0 \implies -14b^2 = -14 \implies b^2 = 1$.
આમ,$a^2 = (2b)^2 = 4b^2 = 4$.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{4+1} = \frac{y-2}{4-1} = \frac{z}{1} = k$ થાય,એટલે કે $\frac{x+1}{5} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{1} = k$.
આથી $\alpha = 5k - 1, \beta = 3k + 2, \gamma = k$.
કારણ કે $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $x - y + z = 0$ પર છે,તેથી $(5k - 1) - (3k + 2) + k = 0 \implies 3k - 3 = 0 \implies k = 1$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = (5k - 1) + (3k + 2) + k = 9k + 1 = 9(1) + 1 = 10$.

(A) $3 \times 3$ ક્રમના શ્રેણિક $A$ માં $9$ ઘટકો હોય છે,જ્યાં દરેક ઘટક $a_{ij} \in \{0, 1\}$ છે.
તમામ ઘટકોનો સરવાળો $S = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}$ એ $0$ થી $9$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવો જોઈએ,તેથી શક્ય સરવાળા $2, 3, 5, 7$ છે (કારણ કે $0$ અને $1$ અવિભાજ્ય નથી,અને $9$ અવિભાજ્ય નથી).
$k$ ઘટકોને $1$ તરીકે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{9}{k}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = $\binom{9}{2} + \binom{9}{3} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7}$.
દરેક પદની ગણતરી:
$\binom{9}{2} = 36$
$\binom{9}{3} = 84$
$\binom{9}{5} = 126$
$\binom{9}{7} = 36$
કુલ = $36 + 84 + 126 + 36 = 282$.

(A) આપેલ છે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} p! & (p+1)! & (p+2)! \\ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \\ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}\right|$.
હાર $1, 2, 3$ માંથી અનુક્રમે $p!$,$(p+1)!$,અને $(p+2)!$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+2)(p+1) \\ 1 & p+2 & (p+3)(p+2) \\ 1 & p+3 & (p+4)(p+3)\end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+1)(p+2) \\ 0 & 1 & 2(p+2) \\ 0 & 1 & 2(p+3)\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! [1 \cdot (2(p+3) - 2(p+2))] = p!(p+1)!(p+2)! [2] = 2 \cdot p!(p+1)!(p+2)!$.
$p$ અને $p+2$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$p!$ માં $p$ એક વાર આવે છે.
$(p+1)! = (p+1)p!$ હોવાથી,$p$ એ $p!$ અને $(p+1)!$ માં આવે છે,તેથી $p^2$ એ $p!(p+1)!$ ને ભાગે છે. વળી $(p+2)!$ માં $p$ એક વાર આવે છે. તેથી $p^3$ એ $\Delta$ ને ભાગે છે,એટલે કે $\alpha = 3$.
$(p+2)!$ માં $(p+2)$ એક વાર આવે છે. તેથી $(p+2)^1$ એ $\Delta$ ને ભાગે છે,એટલે કે $\beta = 1$.
સરવાળો $\alpha + \beta = 3 + 1 = 4$.