JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે $f(n) = 2n^{2} - n - 1$. આપણે $S = \{n \in \mathbb{Z} : |2n^{2} - n - 1| \leq 800\}$ શોધવાનું છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-800 \leq 2n^{2} - n - 1 \leq 800$.
$2n^{2} - n - 1 \leq 800 \implies 2n^{2} - n - 801 \leq 0$ ઉકેલતા,$2n^{2} - n - 801 = 0$ ના બીજ $n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 6408}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{6409}}{4}$ મળે છે. $\sqrt{6409} \approx 80.05$ હોવાથી,બીજ $\approx -19.76$ અને $\approx 20.26$ છે.
તેથી,$n \in \{-19, -18, \dots, 20\}$.
વળી,$2n^{2} - n - 1 \geq -800 \implies 2n^{2} - n + 799 \geq 0$. વિવેચક $D = 1 - 4(2)(799) = 1 - 6392 < 0$ હોવાથી,આ તમામ $n \in \mathbb{Z}$ માટે સત્ય છે.
તેથી,$S = \{-19, -18, \dots, 20\}$.
આપણે $\sum_{n=-19}^{20} (2n^{2} - n - 1) = 2 \sum_{n=-19}^{20} n^{2} - \sum_{n=-19}^{20} n - \sum_{n=-19}^{20} 1$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\sum_{n=-19}^{20} n^{2} = (19^{2} + 18^{2} + \dots + 1^{2}) + 0^{2} + (1^{2} + 2^{2} + \dots + 20^{2}) = 2 \sum_{k=1}^{19} k^{2} + 20^{2} = 2 \frac{19(20)(39)}{6} + 400 = 2(4940) + 400 = 10280$.
$\sum_{n=-19}^{20} n = 20$.
$\sum_{n=-19}^{20} 1 = 40$.
સરવાળો $= 2(10280) - 20 - 40 = 20560 - 60 = 10620$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2} + 4y^{2} + 2x + 8y - \lambda = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x + 1)^{2} + 4(y + 1)^{2} = \lambda + 5$ મળે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા,$\frac{(x + 1)^{2}}{\lambda + 5} + \frac{(y + 1)^{2}}{(\lambda + 5)/4} = 1$ મળે.
અહીં $a^{2} = \lambda + 5$ અને $b^{2} = \frac{\lambda + 5}{4}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 4$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2(\lambda + 5)/4}{\sqrt{\lambda + 5}} = 4 \implies \frac{\sqrt{\lambda + 5}}{2} = 4 \implies \sqrt{\lambda + 5} = 8$.
તેથી,$\lambda + 5 = 64 \implies \lambda = 59$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $l = 2a = 2\sqrt{64} = 16$ છે.
આમ,$\lambda + l = 59 + 16 = 75$.

(D) આપેલ સમીકરણ $z^{2} + \bar{z} = 0$ છે. ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
તેથી $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$ અને $\bar{z} = x - iy$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $(x^{2} - y^{2} + x) + i(2xy - y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1) x^{2} + x - y^{2} = 0$
$2) y(2x - 1) = 0$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 0$,તો $x^{2} + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = -1$. ઉકેલો $z_{1} = 0$ અને $z_{2} = -1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x = \frac{1}{2}$,તો $(\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} - y^{2} = 0 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = y^{2} \implies y^{2} = \frac{3}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. ઉકેલો $z_{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $z_{4} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
ગણ $S = \{0, -1, \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$.
બધા $z \in S$ માટે $(\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z))$ નો સરવાળો:
$(0 + 0) + (-1 + 0) + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 - 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.

(D) ગણ $S$ માટે: અસમતા $\frac{|x+3|-1}{|x|-2} \geq 0$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -4, -2, 2, -2$ છે.
$[-6, 3] \setminus \{-2, 2\}$ માં અંતરાલો તપાસતા:
$[-6, -4] \cup (-2, 2) \cup (2, 3]$.
ગણ $T$ માટે: $x^2 - 7|x| + 9 \leq 0$. ધારો કે $y = |x|$,તો $y^2 - 7y + 9 \leq 0$.
ઉકેલ $y \in [1.7, 5.3]$ મળે છે. $x \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$|x| \in \{2, 3, 4, 5\}$,તેથી $x \in \{-5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5\}$.
$S$ અને $T$ નો છેદગણ: $S \cap T = \{-5, -4, 3\}$.
ઘટકોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \sqrt{2}$ અને $\alpha \beta = \sqrt{6}$.
ધારો કે $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ $y_1 = \frac{1}{\alpha^{2}}+1$ અને $y_2 = \frac{1}{\beta^{2}}+1$ છે.
બીજનો સરવાળો: $-a = y_1 + y_2 = \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{(\alpha \beta)^{2}} + 2 = \frac{(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^{2}} + 2 = \frac{2-2\sqrt{6}}{6} + 2 = \frac{1-\sqrt{6}}{3} + 2 = \frac{7-\sqrt{6}}{3}$.
બીજનો ગુણાકાર: $b = y_1 y_2 = (\frac{1}{\alpha^{2}}+1)(\frac{1}{\beta^{2}}+1) = \frac{1}{(\alpha \beta)^{2}} + \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{(\alpha \beta)^{2}} + 1 = \frac{1}{6} + \frac{2-2\sqrt{6}}{6} + 1 = \frac{1+2-2\sqrt{6}+6}{6} = \frac{9-2\sqrt{6}}{6}$.
હવે,સમીકરણ $x^{2}-(a+b-2)x+(a+b+2)=0$ ધ્યાનમાં લો.
$a+b = -\frac{7-\sqrt{6}}{3} + \frac{9-2\sqrt{6}}{6} = \frac{-14+2\sqrt{6}+9-2\sqrt{6}}{6} = -\frac{5}{6}$.
સમીકરણ $x^{2}-(-\frac{5}{6}-2)x+(-\frac{5}{6}+2) = 0$ બને છે,જે $x^{2} + \frac{17}{6}x + \frac{7}{6} = 0$ અથવા $6x^{2}+17x+7=0$ છે.
બીજ $x = \frac{-17 \pm \sqrt{289 - 168}}{12} = \frac{-17 \pm \sqrt{121}}{12} = \frac{-17 \pm 11}{12}$ છે.
$x_1 = -\frac{28}{12} = -\frac{7}{3}$ અને $x_2 = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$.
બંને બીજ વાસ્તવિક અને ઋણ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = ax^{2} + bx + c$ છે.
આપણને $f(1) = 3$,$f(-2) = \lambda$,$f(3) = 4$ અને $f(0) + f(1) + f(-2) + f(3) = 14$ આપેલ છે.
સરવાળાના સમીકરણમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$f(0) + 3 + \lambda + 4 = 14$
$f(0) + 7 + \lambda = 14$
$f(0) = 7 - \lambda$.
કારણ કે $f(0) = a(0)^{2} + b(0) + c = c$,તેથી $c = 7 - \lambda$.
હવે,સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવા માટે આપેલી કિંમતોનો ઉપયોગ કરો:
$f(1) = a + b + c = 3 \implies a + b = 3 - c = 3 - (7 - \lambda) = \lambda - 4$ (સમીકરણ $1$)
$f(3) = 9a + 3b + c = 4 \implies 9a + 3b = 4 - c = 4 - (7 - \lambda) = \lambda - 3$ (સમીકરણ $2$)
$f(-2) = 4a - 2b + c = \lambda \implies 4a - 2b = \lambda - c = \lambda - (7 - \lambda) = 2\lambda - 7$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$b = \lambda - 4 - a$. આને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$9a + 3(\lambda - 4 - a) = \lambda - 3$
$9a + 3\lambda - 12 - 3a = \lambda - 3$
$6a = -2\lambda + 9 \implies a = \frac{9 - 2\lambda}{6}$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $3$ માં મૂકતા:
$4(\frac{9 - 2\lambda}{6}) - 2b = 2\lambda - 7$
$2(\frac{9 - 2\lambda}{3}) - 2b = 2\lambda - 7$
$b = \frac{9 - 2\lambda}{3} - (\lambda - \frac{7}{2}) = \frac{18 - 4\lambda - 6\lambda + 21}{6} = \frac{39 - 10\lambda}{6}$.
$a + b = \lambda - 4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{9 - 2\lambda}{6} + \frac{39 - 10\lambda}{6} = \lambda - 4$
$48 - 12\lambda = 6\lambda - 24$
$18\lambda = 72 \implies \lambda = 4$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^{2} + y^{2} = 1$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $C(2,0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો માટે સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ $2x = 3$ એટલે કે $x = \frac{3}{2}$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C(2,0)$ થી જીવા $AB$ નું લંબઅંતર $d = |2 - \frac{3}{2}| = \frac{1}{2}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^{2} - d^{2}} = 2\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = 2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$ છે.
ત્રિકોણ $OAB$ માં પાયો $AB = \sqrt{3}$ અને વેધ $OM = \frac{3}{2}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(B) અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે. નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે.
પરવલય માટે,નાભિ $(ae, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = -ae$ છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે. પરવલય માટે આ અંતર $2p$ છે,તેથી $p = ae$.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4p = 4ae$ છે.
$H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a}$ છે.
આપેલ છે કે $4ae = e \times \frac{2b^{2}}{a}$,તેથી $b^{2} = 2a^{2}$.
બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ એ $H$ પર હોવાથી,$\frac{8}{a^{2}} - \frac{8}{b^{2}} = 1$. $b^{2} = 2a^{2}$ મૂકતા,$a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 8$ મળે.
તેથી $e = \sqrt{3}$.
પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4(ae)x = 8\sqrt{3}x$ છે.
બિંદુ $(3\sqrt{3}, -6\sqrt{2})$ ચકાસતા,$y^{2} = 72$ અને $8\sqrt{3}x = 72$ મળે છે. તેથી આ બિંદુ પરવલય પર છે.

(B) ધારો કે $OP = h$. $OP$ શિરોલંબ હોવાથી,$\triangle OPA$,$\triangle OPB$,અને $\triangle OPC$ એ $O$ પર કાટખૂણો બનાવે છે.
$AB = 16$ અને $C$ મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AC = CB = 8$.
$\triangle OPA$ માં,$\tan 15^{\circ} = \frac{OP}{OA} \Rightarrow OA = h \cot 15^{\circ}$.
$\triangle OPC$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{OP}{OC} \Rightarrow OC = h$.
$\triangle OAC$ માં,$\angle OCA = 90^{\circ}$ હોવાથી,$OA^{2} = OC^{2} + AC^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $(h \cot 15^{\circ})^{2} = h^{2} + 8^{2}$.
$h^{2} (\cot^{2} 15^{\circ} - 1) = 64$.
$\cot 15^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cot^{2} 15^{\circ} = 7 + 4\sqrt{3}$.
$h^{2} (6 + 4\sqrt{3}) = 64 \Rightarrow h^{2} = \frac{32}{3 + 2\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $h^{2} = \frac{32}{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})$.

(D) આપેલ વિધાનો છે:
$p$: રમેશ સંગીત સાંભળે છે.
$q$: રમેશ તેના ગામની બહાર છે.
$r$: તે રવિવાર છે.
$s$: તે શનિવાર છે.
આપણે "રમેશ સંગીત સાંભળે છે જો તે તેના ગામમાં હોય અને તે રવિવાર અથવા શનિવાર હોય" વિધાનનું ભાષાંતર કરવાનું છે.
$1$. "રમેશ તેના ગામમાં છે" એ "રમેશ તેના ગામની બહાર છે" નું નકાર છે,જે $\sim q$ છે.
$2$. "તે રવિવાર અથવા શનિવાર છે" એ $r \vee s$ છે.
$3$. "$p$ માત્ર જો $A$" એ તાર્કિક રીતે $p \Rightarrow A$ ને સમાન છે.
તેથી,વિધાન $p \Rightarrow ((\sim q) \wedge (r \vee s))$ બને છે.

(A) $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$ નું મધ્યમ પદ $3^{rd}$ પદ છે: $T_{3} = {}^{4}C_{2} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{2} (\beta x)^{2} = \beta^{2} x^{2}$. સહગુણક $\beta^{2}$ છે.
$(1-3 \beta x)^{2}$ નું મધ્યમ પદ $2^{nd}$ પદ છે: $T_{2} = {}^{2}C_{1} (1)^{1} (-3 \beta x)^{1} = -6 \beta x$. સહગુણક $-6 \beta$ છે.
$\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ નું મધ્યમ પદ $4^{th}$ પદ છે: $T_{4} = {}^{6}C_{3} (1)^{3} \left(-\frac{\beta}{2} x\right)^{3} = -\frac{5}{2} \beta^{3} x^{3}$. સહગુણક $-\frac{5}{2} \beta^{3}$ છે.
આ પદો $A.P.$ માં હોવાથી,$2(-6 \beta) = \beta^{2} - \frac{5}{2} \beta^{3}$.
$\beta > 0$ હોવાથી,$\beta = \frac{12}{5}$.
$d = -6 \beta - \beta^{2} = -\frac{504}{25}$.
$50 - \frac{2d}{\beta^{2}} = 50 + 7 = 57$.

(A) છોકરાઓમાંથી $3$ છોકરાઓ અને $g$ છોકરીઓમાંથી $2$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{b}C_{3} \times {}^{g}C_{2} = 168$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{b(b-1)(b-2)}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{g(g-1)}{2 \times 1} = 168$.
$b(b-1)(b-2) \times g(g-1) = 168 \times 12 = 2016$.
$b$ અને $g$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસતા: જો $b=8$ હોય,તો ${}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$.
તેથી ${}^{g}C_{2} = \frac{168}{56} = 3$.
${}^{g}C_{2} = 3$ માટે,$\frac{g(g-1)}{2} = 3$,તેથી $g(g-1) = 6$,જે $g=3$ આપે છે.
આમ,$b=8$ અને $g=3$.
$b + 3g = 8 + 3(3) = 8 + 9 = 17$.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ છે. અહીં $a^{2} = 2$ અને $b^{2} = 4$ છે. મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
નાભિઓ $(0, \pm \sqrt{2})$ છે. તેથી $S = (0, -\sqrt{2})$.
$R(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}-2)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવા $\frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{y(2\sqrt{2}-2)}{4} = 1$ છે,જે $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y(\sqrt{2}-1)}{2} = 1$ માં પરિણમે છે.
ઉપવલય સાથે ઉકેલતા,$P$ અને $Q$ ના યામ $(1, \sqrt{2})$ અને $(\sqrt{2}, 0)$ મળે છે.
$SP^{2} = (1-0)^{2} + (\sqrt{2} + \sqrt{2})^{2} = 1 + 8 = 9$.
$SQ^{2} = (\sqrt{2}-0)^{2} + (0 + \sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$.
તેથી,$SP^{2} + SQ^{2} = 9 + 4 = 13$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} = 2^{n}$ થાય છે.
તેથી,$1 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49} = 2^{49}$.
આમ,પ્રથમ પદ $(2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49}) = 1 + (1 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49}) = 1 + 2^{49}$ થાય.
બીજા પદ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k \text{ even}} {}^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.
તેથી,${}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50} = 2^{50-1} - {}^{50}C_{0} = 2^{49} - 1$.
આ પદાવલિ $1 + (1 + 2^{49})(2^{49} - 1) = 1 + (2^{98} - 1) = 2^{98}$ થાય છે.
$2^{98}$ ને $2^{n} \cdot m$ સાથે સરખાવતા,$n = 98$ અને $m = 1$ મળે છે.
તેથી,$n + m = 98 + 1 = 99$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = -\frac{1}{2}x$ છે.
$y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = -\frac{1}{2}$,તેથી $a = -\frac{1}{8}$.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - \frac{1}{8m}$ છે.
સ્પર્શક $(2,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$0 = 2m - \frac{1}{8m}$,જેનો અર્થ છે $2m = \frac{1}{8m}$,તેથી $m^{2} = \frac{1}{16}$,એટલે કે $m = \pm \frac{1}{4}$.
સ્પર્શકોના સમીકરણો $x - 4y - 2 = 0$ અને $x + 4y - 2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ વર્તુળ $(x-5)^{2} + y^{2} = r$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(5,0)$ થી રેખા $x \pm 4y - 2 = 0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{r}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{r} = \frac{|5 - 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$r = \frac{9}{17}$.
તેથી,$17r = 9$.

(D) ધારો કે $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} + \frac{20}{3^{10}} + \dots + \frac{10 \cdot 2^{10}}{3}$.
શ્રેણીને આ રીતે લખી શકાય: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \dots + \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \right)$.
કૌંસમાં રહેલ પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 1$,$r = \frac{2}{3}$,અને $n = 11$ પદો છે.
સરવાળો $= \frac{1(1 - (2/3)^{11})}{1 - 2/3} = 3 \left( 1 - \frac{2^{11}}{3^{11}} \right) = 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}}$.
આ કિંમત મૂકતા: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}} \right) = \frac{6}{3^{12}} + \frac{30}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{96}{3^{12}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{32}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}}$.
$2^n \cdot m$ ના સ્વરૂપમાં જોતા,$n = 12$ અને $m = 1$ મળે છે,તેથી $m \cdot n = 12$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta(1 + \sqrt{5} \tan 2\theta) = \sqrt{5} - \tan 2\theta$
$\tan \theta + \sqrt{5} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{5} - \tan 2\theta$
$\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{5}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$
$\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{5}$
$\tan(3\theta) = \sqrt{5}$
ધારો કે $\tan \alpha = \sqrt{5}$,જ્યાં $\alpha \in (0, \pi/2)$. તેથી $3\theta = n\pi + \alpha$,એટલે કે $\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\alpha}{3}$.
$\theta \in [-\pi, \pi/2)$ માટે $n$ ની કિંમતો તપાસતા:
$n = -3, -2, -1, 0, 1$ માટે $5$ ઉકેલો મળે છે જે $S$ માં છે.

(B) આપેલ છે $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$. બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$.
$|\overline{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z|^{2} = |z| \cdot 2^{1-|z|}$.
$b \neq 0$ હોવાથી,$z \neq 0$,તેથી $|z| = 2^{1-|z|}$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$|z| = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે $(1 = 2^{1-1} = 2^{0} = 1)$.
મૂળ સમીકરણમાં $|z| = 1$ મૂકતા,$z^{2} = \overline{z}$.
$z$ વડે ગુણતા,$z^{3} = z\overline{z} = |z|^{2} = 1$.
આમ,$z$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,એટલે કે $z = \omega$ અથવા $z = \omega^{2}$,જ્યાં $\omega = e^{i2\pi/3}$.
આપણે $n \in N$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે જેથી $z^{n} = (z + 1)^{n}$ થાય.
$1 + \omega = -\omega^{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $\omega^{n} = (-\omega^{2})^{n} = (-1)^{n} \omega^{2n}$ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે $1 = (-1)^{n} \omega^{n}$,અથવા $\omega^{n} = (-1)^{n}$.
જો $n = 3$ હોય,તો $\omega^{3} = 1$ અને $(-1)^{3} = -1$ (સમાન નથી).
જો $n = 6$ હોય,તો $\omega^{6} = 1$ અને $(-1)^{6} = 1$. આમ,$n = 6$ એ ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(B) દરેક વિકલ્પને ચકાસતા:
વિકલ્પ $B$ માટે: $* = \vee, \odot = \vee$.
પદાવલિ $(p \vee q) \vee (p \vee \sim q)$ બને છે.
ક્રમનો નિયમ અને જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \vee p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$.
આથી,$(*, \odot) = (\vee, \vee)$ એ નિત્યસત્ય છે.

(B) ધારો કે $s = \sin t$ અને $c = \cos t$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $(h, k)$ એ મધ્યકેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ એ $h = \frac{a + s + c}{3}$ અને $k = \frac{b - c + s}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$3h - a = s + c$ અને $3k - b = s - c$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h - a)^2 + (3k - b)^2 = (s + c)^2 + (s - c)^2 = 2(s^2 + c^2) = 2$.
$9$ વડે ભાગતા:
$(h - a/3)^2 + (k - b/3)^2 = 2/9$.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(a/3, b/3)$ છે.
આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1/3)$ હોવાથી,$a/3 = 1$ અને $b/3 = 1/3$.
તેથી,$a = 3$ અને $b = 1$.
અંતે,$a^2 - b^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$.

(D) ધારો કે કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $100$ છે.
આપેલ છે કે $60 \%$ સ્ત્રીઓ અને $40 \%$ પુરુષો છે,તેથી $60$ સ્ત્રીઓ અને $40$ પુરુષો છે.
પરીક્ષા પાસ કરનાર કુલ ઉમેદવારો $= 100$ ના $60 \% = 60$.
ધારો કે પરીક્ષા પાસ કરનાર પુરુષોની સંખ્યા $x$ છે.
તો પરીક્ષા પાસ કરનાર સ્ત્રીઓની સંખ્યા $2x$ છે.
કુલ પાસ થયેલ ઉમેદવારો $60$ હોવાથી,$x + 2x = 60$,જે $3x = 60$ આપે છે,તેથી $x = 20$.
આમ,પાસ થયેલ પુરુષોની સંખ્યા $20$ છે અને પાસ થયેલ સ્ત્રીઓની સંખ્યા $2 \times 20 = 40$ છે.
પાસ થયેલ $60$ ઉમેદવારોમાંથી એક ઉમેદવારને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
પસંદ કરેલ ઉમેદવાર સ્ત્રી હોય તેની સંભાવના $= \frac{\text{પાસ થયેલ સ્ત્રીઓની સંખ્યા}}{\text{પાસ થયેલ કુલ ઉમેદવારો}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 2x - 3$ છે.
બિંદુ $R(0, 1)$ માટે સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે.
$y(1) = 1(x + 0) - 3 \implies y = x - 3$.
$x = y + 3$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^{2} = 2(y + 3) - 3 = 2y + 3$.
$y^{2} - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0$.
આમ,$y = 3$ અથવા $y = -1$.
$y = 3$ માટે $x = 6$ અને $y = -1$ માટે $x = 2$.
તેથી,બિંદુઓ $P(2, -1)$ અને $Q(6, 3)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{3 - (-1)}{6 - 2} = 1$ છે.
$PR$ નો ઢાળ $m_{PR} = \frac{1 - (-1)}{0 - 2} = -1$ છે.
$m_{PQ} \times m_{PR} = -1$ હોવાથી,ત્રિકોણ $PQR$ એ $P$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $P(2, -1)$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-x+2y=\frac{11}{4}$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,$(x-\frac{1}{2})^{2}+(y+1)^{2}=4=2^{2}$ મળે.
આમ,ત્રિજ્યા $r=2$ અને કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, -1)$ છે.
$\triangle PQR$ માં,$CP=CQ=CR=r=2$.
$C$ માંથી પસાર થતી રેખા $CP$ સાથે $\frac{\pi}{4}$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\angle PCQ = \angle PCR = \frac{\pi}{4}$.
$\triangle PCQ$ માં,$CP=CQ=2$ અને $\angle PCQ = \frac{\pi}{4}$.
પાયો $QR = 2r \sin(\frac{\angle QCR}{2}) = 2(2) \sin(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}$.
$P$ થી $QR$ પરનો વેધ $h = r \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times QR \times h = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 2$.

(C) આપણે $7^{2022} + 3^{2022}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
નોંધો કે $7 \equiv 2 \pmod{5}$ અને $3 \equiv -2 \pmod{5}$ છે.
તેથી,$7^{2022} + 3^{2022} \equiv 2^{2022} + (-2)^{2022} \pmod{5}$.
$2022$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-2)^{2022} = 2^{2022}$ થાય.
આમ,$7^{2022} + 3^{2022} \equiv 2^{2022} + 2^{2022} = 2 \times 2^{2022} = 2^{2023} \pmod{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.
તેથી,$2^{2023} = 2^{4 \times 505 + 3} = (2^4)^{505} \times 2^3 \equiv 1^{505} \times 8 \equiv 8 \pmod{5}$.
અંતે,$8 \equiv 3 \pmod{5}$.
શેષ $3$ છે.

(C) આપેલ છે $|z_{2}-|z_{2}+1||=|z_{2}+|z_{2}-1||$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|z_{2}-|z_{2}+1||^2 = |z_{2}+|z_{2}-1||^2$
આ સમીકરણ ઉકેલતા આપણને મળે છે કે $z_{2}+\bar{z}_{2}=0$ (કાલ્પનિક અક્ષ) અથવા $|z_{2}-1| + |z_{2}+1| = 2$ (વાસ્તવિક અક્ષ પર $-1$ થી $1$ સુધીનો રેખાખંડ).
$S_{1}$ એ $3$ કેન્દ્ર અને $\frac{1}{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$S_{2}$ થી વર્તુળના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર એ ન્યૂનતમ અંતર છે.
વર્તુળની સૌથી નજીકનું બિંદુ $z_{2}=1$ છે. તેથી અંતર $|3-1| - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $a_{n+2} = \frac{2}{a_{n+1}} + a_{n}$,તેથી $a_{n+2} a_{n+1} - a_{n+1} a_{n} = 2$.
ધારો કે $b_{n} = a_{n} a_{n+1}$. તો $b_{n+1} - b_{n} = 2$,જે એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $b_{1} = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
તેથી $b_{n} = 2n$.
હવે,$\frac{a_{n} + \frac{1}{a_{n+1}}}{a_{n+2}} = \frac{b_{n} + 1}{b_{n+1}} = \frac{2n + 1}{2(n+1)}$.
ગુણાકાર $P = \prod_{n=1}^{30} \frac{2n+1}{2(n+1)} = \frac{3 \cdot 5 \cdots 61}{2^{30} \cdot 31!} = \frac{61!}{2^{60} \cdot 31! \cdot 30!} = 2^{-60} \cdot {}^{61}C_{31}$.
તેથી $\alpha = -60$.

(C) કુલ ઉપલબ્ધ અક્ષરોની સંખ્યા $5 \text{ (મૂળાક્ષરો)} + 5 \text{ (સંખ્યાઓ)} = 10$ છે.
$n$ લંબાઈના પાસવર્ડ્સની સંખ્યા $10^{n}$ છે.
કોઈપણ સંખ્યા વગરના (એટલે કે માત્ર મૂળાક્ષરો ધરાવતા) $n$ લંબાઈના પાસવર્ડ્સની સંખ્યા $5^{n}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા ધરાવતા $n$ લંબાઈના પાસવર્ડ્સની સંખ્યા $10^{n} - 5^{n}$ છે.
$6, 7$ અને $8$ લંબાઈના પાસવર્ડ્સ માટે,આવા પાસવર્ડ્સની કુલ સંખ્યા:
$(10^{6} - 5^{6}) + (10^{7} - 5^{7}) + (10^{8} - 5^{8})$
$= (10^{6} + 10^{7} + 10^{8}) - (5^{6} + 5^{7} + 5^{8})$
$= 10^{6}(1 + 10 + 100) - 5^{6}(1 + 5 + 25)$
$= 10^{6}(111) - 5^{6}(31)$
$= (2^{6} \times 5^{6}) \times 111 - 5^{6} \times 31$
$= 5^{6} \times (64 \times 111 - 31)$
$= 5^{6} \times (7104 - 31)$
$= 5^{6} \times 7073$
આ કિંમત $\alpha \times 5^{6}$ ની બરાબર હોવાથી,$\alpha = 7073$ મળે છે.

(A) $f(x) = (x - p)^2 - q = 0$ ના બીજ $x = p \pm \sqrt{q}$ છે.
બીજ વચ્ચેનો તફાવત $|(p + \sqrt{q}) - (p - \sqrt{q})| = 2\sqrt{q}$ છે.
આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3, a_4$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $a_1 = p - \frac{3d}{2}, a_2 = p - \frac{d}{2}, a_3 = p + \frac{d}{2}, a_4 = p + \frac{3d}{2}$.
$|f(a_i)| = 500$ હોવાથી,$|(a_i - p)^2 - q| = 500$.
$i=4$ માટે,$|\frac{9d^2}{4} - q| = 500$ અને $i=2$ માટે,$|\frac{d^2}{4} - q| = 500$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$2d^2 = 1000 \Rightarrow d^2 = 500$ અને $q = 625$ મળે છે.
બીજ વચ્ચેનો તફાવત $2\sqrt{q} = 2\sqrt{625} = 50$ થાય.

(D) અતિવલય $H: x^{2} - y^{2} = 1$ માટે,$e_{H} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
આપેલ છે કે $e_{E} = \frac{1}{e_{H}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$e_{E}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow a^{2} = 2b^{2}$.
રેખા $y = mx + K$ એ $H: x^{2} - y^{2} = 1$ નો સ્પર્શક છે જો $K^{2} = a_{H}^{2}m^{2} - b_{H}^{2} = 1(\frac{5}{2}) - 1 = \frac{3}{2}$.
રેખા $y = mx + K$ એ $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક છે જો $K^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$.
$K^{2} = \frac{3}{2} = a^{2}(\frac{5}{2}) + b^{2}$ ને સરખાવતા.
$a^{2} = 2b^{2}$ મૂકતા,$\frac{3}{2} = (2b^{2})(\frac{5}{2}) + b^{2} = 5b^{2} + b^{2} = 6b^{2}$.
આમ,$b^{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ અને $a^{2} = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$4(a^{2} + b^{2}) = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.

(D) પદો $x_{i} = 3 \times (\frac{1}{2})^{i-1}$ છે.
આપણે મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_{i} - i)^{2}$ શોધવાની જરૂર છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{i=1}^{20} (x_{i}^{2} - 2ix_{i} + i^{2}) = \sum x_{i}^{2} - 2 \sum ix_{i} + \sum i^{2}$.
$1$. $\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}$ એ પ્રથમ પદ $a = 9$ અને ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. સરવાળો $= \frac{9(1 - (1/4)^{20})}{1 - 1/4} = 12(1 - \frac{1}{2^{40}})$.
$2$. $\sum_{i=1}^{20} i^{2} = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$3$. $\sum_{i=1}^{20} ix_{i} = 3(1) + 3(\frac{1}{2})(2) + 3(\frac{1}{4})(3) + \ldots + 3(\frac{1}{2^{19}})(20)$. આ એક $AGP$ છે.
$AGP$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$S = 12 - \frac{264}{2^{20}}$.
મધ્યકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} = \frac{1}{20} [12(1 - \frac{1}{2^{40}}) - 2(12 - \frac{264}{2^{20}}) + 2870] \approx 142.9$.
$\bar{x}$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $142$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{(x+2 \cos x)^{3}+2(x+2 \cos x)^{2}+3 \sin (x+2 \cos x)}{(x+2)^{3}+2(x+2)^{2}+3 \sin (x+2)}$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $f(x) \rightarrow \frac{2^3 + 2(2^2) + 3 \sin 2}{2^3 + 2(2^2) + 3 \sin 2} = 1$.
આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow a} g(x)(f(x)-1)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$L = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{100}{x} \left( \frac{(x+2 \cos x)^{3}+2(x+2 \cos x)^{2}+3 \sin (x+2 \cos x) - (x+2)^{3}-2(x+2)^{2}-3 \sin (x+2)}{(x+2)^{3}+2(x+2)^{2}+3 \sin (x+2)} \right)}$.
ધારો કે $h(u) = u^3 + 2u^2 + 3 \sin u$. તો $f(x) = \frac{h(x+2 \cos x)}{h(x+2)}$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $f(x) - 1 = \frac{h(x+2 \cos x) - h(x+2)}{h(x+2)}$.
વિકલન $h'(u) = 3u^2 + 4u + 3 \cos u$ નો ઉપયોગ કરતા,લક્ષ $e^{100 \cdot \frac{h'(2) \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+2 \cos x) - (x+2)}{x}}{h(2)}}$ બને છે.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x - 2}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin x}{1} = 0$,ઘાતાંક $0$ છે.
આમ,$L = e^0 = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{3 x^{2}-9 x+17}{x^{2}+3 x+10}=\frac{5 x^{2}-7 x+19}{3 x^{2}+5 x+12}$
અંશને ફરીથી લખતા:
$\frac{(x^{2}+3 x+10) + (2 x^{2}-12 x+7)}{x^{2}+3 x+10} = \frac{(3 x^{2}+5 x+12) + (2 x^{2}-12 x+7)}{3 x^{2}+5 x+12}$
$1 + \frac{2 x^{2}-12 x+7}{x^{2}+3 x+10} = 1 + \frac{2 x^{2}-12 x+7}{3 x^{2}+5 x+12}$
$(2 x^{2}-12 x+7) \left( \frac{1}{x^{2}+3 x+10} - \frac{1}{3 x^{2}+5 x+12} \right) = 0$
કિસ્સો $1$: $2 x^{2}-12 x+7 = 0$. બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -(\frac{-12}{2}) = 6$ છે. વિવેચક $D = 88 > 0$ હોવાથી,બંને બીજ વાસ્તવિક છે.
કિસ્સો $2$: $x^{2}+3 x+10 = 3 x^{2}+5 x+12 \implies x^{2}+x+1 = 0$. વિવેચક $D = -3 < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
આમ,$x$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો $6$ છે.

(D) ધારો કે $|z| = r$. ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$||z| - |1/z|| \leq |z - 1/z| \leq |z| + |1/z|$.
આપેલ છે કે $|z - 1/z| = 2$,તેથી $|r - 1/r| \leq 2 \leq r + 1/r$.
અસમતા $|r - 1/r| \leq 2$ લેતા,$-2 \leq r - 1/r \leq 2$.
$r > 0$ હોવાથી,$r - 1/r \leq 2$ પર ધ્યાન આપતા,$r^2 - 2r - 1 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $r^2 - 2r - 1 = 0$ ઉકેલતા,$r = 1 \pm \sqrt{2}$.
$r = |z| > 0$ હોવાથી,$r$ નો વિસ્તાર $0 < r \leq 1 + \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + \sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ સંબંધ: $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_{n} + 1$ જ્યાં $a_{0} = 0, a_{1} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_{n}) + 1$.
ધારો કે $b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$. તો $b_{n+1} = 2b_{n} + 1$.
$b_{0} = a_{1} - a_{0} = 0$ હોવાથી,$b_{n} = 2^{n} - 1$ મળે.
આમ,$a_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} (2^{k} - 1) = (2^{n} - 1) - n$.
આપણે $X = (a_{25} - 2a_{24})(a_{23} - 2a_{22})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$a_{n} - 2a_{n-1} = n - 1$ મળે છે.
તેથી,$a_{25} - 2a_{24} = 24$ અને $a_{23} - 2a_{22} = 22$.
$X = 24 \times 22 = 528$.

(A) આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{20} (r^{2}+1)r!$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પદ $(r^{2}+1)$ ને $(r(r+1) - (r-1))$ તરીકે લખો.
તેથી,$(r^{2}+1)r! = r(r+1)! - (r-1)r!$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = \sum_{r=1}^{20} [r(r+1)! - (r-1)r!] = 20(21!) - 0 = 20 \times 21!$.
આને $22! - 2(21!)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ માટે $m_{1} m_{2} = -1$ થાય,તેથી $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}}$.
આપેલ સમીકરણ $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})=220$ માં કિંમત મૂકતા $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+\frac{1}{m_{1}^{2}})=220$ મળે.
વિકર્ણનું સમીકરણ $(\cos \alpha-\sin \alpha) x +(\sin \alpha+\cos \alpha) y = 10$ છે. તેનો ઢાળ $M = \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha} = \tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$ છે.
ચોરસની બાજુઓ વિકર્ણ સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી $m = \tan \alpha$ અથવા $m = \cot \alpha$ મળે.
આમ,$m_{1}^{2}+m_{2}^{2} = \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha$.
શિરોબિંદુ પરથી $a=10$ મળે છે.
સમીકરણમાં $a=10$ મૂકતા: $100 + 110 + 3(\tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha) = 220 \Rightarrow \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha = \frac{10}{3}$.
આથી $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = \frac{5}{8}$ મળે.
અંતે,$72(\frac{5}{8}) + 100 - 30 + 13 = 45 + 83 = 128$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 4^{x} + 4^{-x}$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) \leq 2$.
$R$.$H$.$S$. માટે,સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \geq GM)$ મુજબ,$\frac{4^{x} + 4^{-x}}{2} \geq \sqrt{4^{x} \cdot 4^{-x}} = 1$,જે સૂચવે છે કે $4^{x} + 4^{-x} \geq 2$.
સમીકરણ સંતોષવા માટે,બંને બાજુ $2$ હોવી જોઈએ.
$2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 2 \implies \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 1$
$4^{x} + 4^{-x} = 2 \implies (2^{x} - 2^{-x})^{2} + 2 = 2 \implies 2^{x} = 2^{-x} \implies x = 0$.
$x = 0$ ને કોસાઇન ભાગમાં મૂકતા: $\cos \left(\frac{0^{2}+0}{6}\right) = \cos(0) = 1$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,ગણ $S$ માં માત્ર $1$ ઘટક છે.

(B) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(\alpha, -2)$,$B(\alpha, 6)$,અને $C\left(\frac{\alpha}{4}, -2\right)$ છે.
$AB$ એ શિરોલંબ રેખા $(x = \alpha)$ છે અને $AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખા $(y = -2)$ છે,તેથી $\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{\alpha + \frac{\alpha}{4}}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5\alpha}{8}, 2\right)$.
આપેલ પરિકેન્દ્ર $\left(5, \frac{\alpha}{4}\right)$ છે.
યામોને સરખાવતા: $\frac{5\alpha}{8} = 5 \implies \alpha = 8$ અને $\frac{\alpha}{4} = 2 \implies \alpha = 8$.
આમ,$A(8, -2)$,$B(8, 6)$,અને $C(2, -2)$.
બાજુઓની લંબાઈ: $AB = |6 - (-2)| = 8$,$AC = |8 - 2| = 6$,અને $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
પરિમિતિ $= AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24$.
પરિ ત્રિજ્યા $R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
અંતઃ ત્રિજ્યા $r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,પરિમિતિ $24$ છે,$25$ નથી. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.

(B) $z = x + iy$ માટે આપેલી શરતો:
$1) |z - 1 + i| \geq |z| \Rightarrow |(x - 1) + i(y + 1)| \geq |x + iy| \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow 2y \geq 2x - 2 \Rightarrow y \geq x - 1$.
$2) |z + i| = |z - 1| \Rightarrow |x + i(y + 1)| = |(x - 1) + iy| \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 \Rightarrow 2y = -2x \Rightarrow y = -x$.
$3) |z| < 2 \Rightarrow x^2 + y^2 < 4$.
શરતોમાં $y = -x$ મૂકતા:
$(1)$ પરથી,$-x \geq x - 1 \Rightarrow 2x \leq 1 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.
$(3)$ પરથી,$x^2 + (-x)^2 < 4 \Rightarrow 2x^2 < 4 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
આમ,$z$ એ રેખાખંડ $y = -x$ પર $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ માટે આવેલું છે.
હવે,$w = 2x + iy \in S$ કોઈ $y \in \mathbb{R}$ માટે. કારણ કે $z = x + iy \in S$,આપણી પાસે $y = -x$ છે. તેથી $w = 2x - ix$. ધારો કે $w = X + iY$,જ્યાં $X = 2x$ અને $Y = -x$. તો $Y = -X/2$.
કારણ કે $z \in S$,આપણી પાસે $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ છે. તેથી $X = 2x \in (-2\sqrt{2}, 1]$.
જોકે,$w \in S$ શરત સૂચવે છે કે $w$ એ $z$ જેવી જ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ. ખાસ કરીને,$w = X + iY$ એ $Y = -X$ અને $X^2 + Y^2 < 4$ નું પાલન કરવું જોઈએ. $Y = -X$ ને $X^2 + Y^2 < 4$ માં મૂકતા $2X^2 < 4 \Rightarrow X^2 < 2 \Rightarrow X \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ મળે છે.
વધુમાં,$Y \geq X - 1 \Rightarrow -X \geq X - 1 \Rightarrow 2X \leq 1 \Rightarrow X \leq 1/2$.
આ બંનેને જોડતા,$X \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ મળે છે. વિકલ્પોને જોતા,વાસ્તવિક ભાગ $X$ માટેનો સાચો ગણ $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}\right]$ છે.

(B) આપેલ વિધાન: $(p$ $\Rightarrow q) \vee (p$ $\Rightarrow r)$
નિત્યસમ $(p \Rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee r)$
$= \sim p \vee (q \vee r)$
$= p \Rightarrow (q \vee r)$
આ વિકલ્પ $(C)$ સાથે મેળ ખાય છે.
હવે અન્ય વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $(A): (p \wedge \sim r)$ $\Rightarrow q
\equiv \sim(p \wedge \sim r) \vee q
\equiv (\sim p \vee r) \vee q
\equiv \sim p \vee (q \vee r)
\equiv p$ $\Rightarrow (q \vee r)$. (સમતુલ્ય છે)
વિકલ્પ $(D): (p \wedge \sim q)$ $\Rightarrow r
\equiv \sim(p \wedge \sim q) \vee r
\equiv (\sim p \vee q) \vee r
\equiv \sim p \vee (q \vee r)
\equiv p$ $\Rightarrow (q \vee r)$. (સમતુલ્ય છે)
વિકલ્પ $(B): (\sim q)$ $\Rightarrow ((\sim r) \vee p)
\equiv \sim(\sim q) \vee (\sim r \vee p)
\equiv q \vee \sim r \vee p
\equiv p \vee q \vee \sim r$. (જે $p \Rightarrow (q \vee r)$ ને સમતુલ્ય નથી).

(D) આપેલ છે કે $P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ અને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - x - 4 = 0$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha^{2} = \alpha + 4$ અને $\beta^{2} = \beta + 4$ થાય.
$P_{n} - P_{n-1} = (\alpha^{n} - \beta^{n}) - (\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}) = \alpha^{n-1}(\alpha - 1) - \beta^{n-1}(\beta - 1)$.
$\alpha^{2} - \alpha = 4$ હોવાથી,$\alpha - 1 = \frac{4}{\alpha}$ અને $\beta - 1 = \frac{4}{\beta}$ થાય.
તેથી,$P_{n} - P_{n-1} = 4(\alpha^{n-2} - \beta^{n-2}) = 4P_{n-2}$.
હવે,પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(P_{15} - P_{14})(P_{16} - P_{15})}{P_{13} P_{14}}$.
સંબંધ $P_{n} - P_{n-1} = 4P_{n-2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$P_{15} - P_{14} = 4P_{13}$ અને $P_{16} - P_{15} = 4P_{14}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(4P_{13})(4P_{14})}{P_{13} P_{14}} = 16$.

(B) સંખ્યા $55$ વડે વિભાજ્ય હોય તો તે $5$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$5$ વડે વિભાજ્યતા માટે છેલ્લો અંક $5$ હોવો જોઈએ.
$4$ અંકની સંખ્યાઓ માટે,$11$ ની વિભાજ્યતાની ચકાસણી કરતા કુલ $6$ સંખ્યાઓ મળે છે.
$5$ અંકની સંખ્યાઓ $23421$ થી મોટી હોવાથી શક્ય નથી.
આમ,કુલ $6$ સંખ્યાઓ મળે છે.

(B) આપણને સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{10} k^{2} \binom{10}{k}^{2}$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k \binom{10}{k} = 10 \binom{9}{k-1}$ મળે છે.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \sum_{k=1}^{10} (10 \binom{9}{k-1})^{2} = 100 \sum_{k=1}^{10} \binom{9}{k-1}^{2}$.
ધારો કે $j = k-1$,તો જ્યારે $k$,$1$ થી $10$ સુધી જાય,ત્યારે $j$,$0$ થી $9$ સુધી જાય છે:
$S = 100 \sum_{j=0}^{9} \binom{9}{j}^{2}$.
નિત્યસમ $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j}^{2} = \binom{2n}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 100 \binom{18}{9} = 100 \times 48620 = 4862000$.
આપેલ છે કે $S = 22000 L$,તેથી $22000 L = 4862000$.
$L = \frac{4862000}{22000} = \frac{4862}{22} = 221$.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$ છે.
ધારો કે $C$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $AB = 12$ હોવાથી,$AM = 6$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AMC$ માં,$AC = \frac{13}{2}$ અને $AM = 6$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{13}{2})^2 - 6^2} = \sqrt{\frac{169}{4} - 36} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
ધારો કે $\angle ACM = \theta$. તો $\sin \theta = \frac{AM}{AC} = \frac{12}{13}$ અને $\cos \theta = \frac{CM}{AC} = \frac{5}{13}$.
$\triangle PAC$ માં,$\angle PAC = 90^\circ$ કારણ કે $PA$ સ્પર્શક છે.
$\triangle PAC$ માં,$AM$ એ કર્ણ $PC$ પરનો વેધ છે. તેથી,$AM^2 = PM \cdot MC$.
$6^2 = PM \cdot \frac{5}{2} \implies 36 = PM \cdot \frac{5}{2} \implies PM = \frac{72}{5}$.
બિંદુ $P$ નું જીવા $AB$ થી અંતર $PM$ છે.
તેથી,$5(PM) = 5 \cdot \frac{72}{5} = 72$.

(B) ગણ $S$ એ $x, y \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) માટે લંબવૃત્ત $\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-4)^2}{9} \leq 1$ ની અંદર અથવા તેના પરના બિંદુઓ દર્શાવે છે.
$x, y \geq 1$ હોવાથી,આપણે $x$ અને $y$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસીએ છીએ:
$x=1$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=2$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=3$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
$x=4$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=5$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
હવે ચકાસો કે આમાંથી કયા બિંદુઓ $T: (x-7)^2 + (y-4)^2 \leq 36$ નું પાલન કરે છે.
$x=1$ માટે: $(1, 4)$ ($1$ બિંદુ).
$x=2$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ બિંદુઓ).
$x=3$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ($7$ બિંદુઓ).
$x=4$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ બિંદુઓ).
$x=5$ માટે: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ બિંદુઓ).
કુલ બિંદુઓ $= 1 + 6 + 7 + 6 + 6 = 26$.

(A) આપેલ છે કે $z = 2 + 3i$,તેથી $\bar{z} = 2 - 3i$.
આપણે $z^{5} + (\bar{z})^{5} = (2 + 3i)^{5} + (2 - 3i)^{5}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^{n} + (a-b)^{n} = 2 \sum_{k=0, 2, 4, ...} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z^{5} + (\bar{z})^{5} = 2 [\binom{5}{0} 2^{5} + \binom{5}{2} 2^{3} (3i)^{2} + \binom{5}{4} 2^{1} (3i)^{4}]$
$= 2 [1 \times 32 + 10 \times 8 \times (-9) + 5 \times 2 \times 81]$
$= 2 [32 - 720 + 810]$
$= 2 [122]$
$= 244$.

(C) આપેલ શ્રેણી $\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{(20k-a)(20(k+1)-a)} = \frac{1}{256}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(20k-a)(20(k+1)-a)} = \frac{1}{20} \left( \frac{1}{20k-a} - \frac{1}{20(k+1)-a} \right)$.
$k=1$ થી $9$ સુધીનો સરવાળો કરતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી મળે છે:
$\frac{1}{20} \left( \left( \frac{1}{20-a} - \frac{1}{40-a} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{180-a} - \frac{1}{200-a} \right) \right) = \frac{1}{256}$.
$\frac{1}{20} \left( \frac{1}{20-a} - \frac{1}{200-a} \right) = \frac{1}{256}$.
$\frac{1}{20} \left( \frac{180}{(20-a)(200-a)} \right) = \frac{1}{256}$.
$(20-a)(200-a) = 9 \times 256 = 2304$.
$a^2 - 220a + 1696 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = 212$ અથવા $a = 8$ મળે છે.
તેથી $a$ ની મહત્તમ કિંમત $212$ છે.

(C) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$.
$\sin x \approx x$ હોવાથી,લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x^{3}}=\frac{2}{3}$ બને છે.
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા: $\alpha(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots) + \beta(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots) + \gamma(x-\frac{x^3}{6}+\dots) = \frac{2}{3}x^3$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે $x^0, x^1, x^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$x^0: \alpha + \beta = 0 \implies \beta = -\alpha$.
$x^1: \alpha - \beta + \gamma = 0 \implies 2\alpha + \gamma = 0 \implies \gamma = -2\alpha$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{\alpha}{6} - \frac{\beta}{6} - \frac{\gamma}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
$\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = -2$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(B) રેખાઓ $bx + 10y - 8 = 0$ અને $2x - 3y = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $(bx + 10y - 8) + \lambda(2x - 3y) = 0$ છે.
રેખા $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\lambda = b + 2$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $(3b + 4)x + (4 - 3b)y - 8 = 0$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{16}{17}$ માટે,ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $\frac{4}{\sqrt{17}}$ છે.
ગણતરી કરતા $b^2 = 2$ મળે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ થાય છે.

(A) ધારો કે ટાવર $OP$ છે,જ્યાં $O$ ટાવરનો પાયો છે. બિંદુ $A$ એ $O$ ની ઉત્તરે છે,તેથી $\triangle OAP$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle OAP = \alpha$.
આપેલ છે કે $AB = 9$ એકમ,જ્યાં $B$ એ $A$ ની પશ્ચિમે છે. $A$ એ $O$ ની ઉત્તરે હોવાથી,$OA \perp AB$.
$\triangle OAB$ માં,$\angle OAB = 90^\circ$. $OB = 15$ આપેલ છે,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OA^2 + AB^2 = OB^2 \implies OA^2 + 9^2 = 15^2 \implies OA^2 = 225 - 81 = 144 \implies OA = 12$.
ધારો કે $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$ એ $B$ થી ઉત્સેધકોણ છે. તેથી $\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ હોવાથી,$\sin \beta = \sqrt{1 - \frac{9}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{2}{3}$.
$\triangle OBP$ માં,$\tan \beta = \frac{OP}{OB} = \frac{h}{15}$.
તેથી,$\frac{h}{15} = \frac{2}{3} \implies h = 10$.
$\triangle OAP$ માં,$\tan \alpha = \frac{OP}{OA} = \frac{h}{OA} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{6}{5}$.

(C) આપેલ છે કે $3$ થી $x$ સુધીના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $\int_{3}^{x} y(t) dt = \left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ છે.
કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y = \frac{d}{dx} \left( \frac{y^3}{x^3} \right) = \frac{3y^2 y' x^3 - 3x^2 y^3}{x^6} = \frac{3y^2 y' x - 3y^3}{x^4}$.
$x^4$ વડે ગુણતા:
$x^4 y = 3xy^2 y' - 3y^3$.
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$x^4 = 3xy y' - 3y^2$.
ધારો કે $t = y^2$,તો $dt/dx = 2y y'$. આ કિંમત મૂકતા:
$x^4 = \frac{3}{2} x \frac{dt}{dx} - 3t$.
રેખીય વિકલ સમીકરણમાં ગોઠવતા:
$\frac{dt}{dx} - \frac{2}{x} t = \frac{2}{3} x^3$.
ઇન્ટિગ્રેટિંગ ફેક્ટર $IF = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{t}{x^2} \right) = \frac{2}{3} x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{t}{x^2} = \frac{x^2}{3} + C$.
વક્ર $(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=3$ પર $t = 3^2 = 9$:
$\frac{9}{9} = \frac{9}{3} + C \implies 1 = 3 + C \implies C = -2$.
તેથી,$\frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2}{3} - 2$.
બિંદુ $(\alpha, 6\sqrt{10})$ માટે:
$\frac{(6\sqrt{10})^2}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2}{3} - 2 \implies \frac{360}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 6}{3}$.
$1080 = \alpha^4 - 6\alpha^2 \implies \alpha^4 - 6\alpha^2 - 1080 = 0$.
ધારો કે $u = \alpha^2$: $u^2 - 6u - 1080 = 0 \implies (u - 36)(u + 30) = 0$.
$\alpha^2 > 0$ હોવાથી,$u = 36$,તેથી $\alpha = 6$.

(A) રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A(\lambda) = (2\lambda - 1, 3\lambda - 2, 2\lambda + 1)$ ધારો.
બિંદુ $P(4, 2, 7)$ થી અંતર $\sqrt{26}$ આપેલું છે,તેથી:
$(2\lambda - 1 - 4)^2 + (3\lambda - 2 - 2)^2 + (2\lambda + 1 - 7)^2 = (\sqrt{26})^2$
$(2\lambda - 5)^2 + (3\lambda - 4)^2 + (2\lambda - 6)^2 = 26$
$(4\lambda^2 - 20\lambda + 25) + (9\lambda^2 - 24\lambda + 16) + (4\lambda^2 - 24\lambda + 36) = 26$
$17\lambda^2 - 68\lambda + 77 = 26$
$17\lambda^2 - 68\lambda + 51 = 0$
$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \implies (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$
તેથી,$\lambda = 1$ અને $\lambda = 3$.
$\lambda = 1$ માટે,$Q = (1, 1, 3)$. $\lambda = 3$ માટે,$R = (5, 7, 7)$.
$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-3, -1, -4)$.
$\overrightarrow{PR} = R - P = (1, 5, 0)$.
$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & -4 \\ 1 & 5 & 0 \end{vmatrix} = 20\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}| = \frac{1}{2} \sqrt{20^2 + (-4)^2 + (-14)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{612} = \sqrt{153}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $= 153$.

(C) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}[2x^2 - 3] + \log_2(\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5))$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1.$ $\sin^{-1}[2x^2 - 3]$ માટે,$-1 \leq [2x^2 - 3] \leq 1$ હોવું જોઈએ. આથી $-1 \leq 2x^2 - 3 < 2$,એટલે કે $2 \leq 2x^2 < 5$,જે $1 \leq x^2 < 2.5$ આપે છે.
$2.$ $\log_2(\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5))$ માટે,$\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5) > 0$ હોવું જોઈએ. આધાર $1/2 < 1$ હોવાથી,$0 < x^2 - 5x + 5 < 1$ મળે.
$3.$ $x^2 - 5x + 5 > 0$ ઉકેલતા,$x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{5+\sqrt{5}}{2}, \infty)$ મળે.
$4.$ $x^2 - 5x + 5 < 1$ ઉકેલતા,$x^2 - 5x + 4 < 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) < 0 \Rightarrow x \in (1, 4)$ મળે.
બધી શરતોનો છેદ લેતા,પ્રદેશ $(1, \frac{5-\sqrt{5}}{2})$ મળે છે.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A$ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે,તેથી $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = O$.
આપેલ સમીકરણ $A^2 + \gamma A + 18I = O$ ને લાક્ષણિક સમીકરણ $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I = O$ સાથે સરખાવતા.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $\det(A) = 18$ મળે છે.
આમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $18$ છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,તે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
અંશમાં $x=0$ મૂકતા: $\sqrt[7]{p(729)} - 3 = 0 \implies p(3^6) = 3^7 \implies p = 3$.
હવે,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[7]{3(3^6+x)}-3}{\sqrt[3]{3^6+qx}-9} = \lim_{x \to 0} \frac{3[(1+\frac{x}{3^6})^{1/7}-1]}{9[(1+\frac{qx}{3^6})^{1/3}-1]}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{(1+u)^n-1}{u} = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = \frac{3}{9} \times \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3^6}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{q}{3^6}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{7q} = \frac{1}{7q}$.
આમ,$7qf(0) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $7qf(0) - 1 = 0$.
$p=3$ હોવાથી,$p^2 = 9$. સમીકરણમાં $1 = \frac{p^2}{9}$ મૂકતા:
$7qf(0) - \frac{p^2}{9} = 0 \implies 63qf(0) - p^2 = 0$.

(A) આપેલ છે $f(x) = 2 + |x| - |x - 1| + |x + 1|$.
આપણે $f(x)$ ને અલગ અલગ અંતરાલોમાં વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$x < -1$ માટે: $f(x) = 2 - x - (1 - x) - (x + 1) = -x$.
$-1 \le x < 0$ માટે: $f(x) = 2 - x - (1 - x) + (x + 1) = x + 2$.
$0 \le x < 1$ માટે: $f(x) = 2 + x - (1 - x) + (x + 1) = 3x + 2$.
$x \ge 1$ માટે: $f(x) = 2 + x - (x - 1) + (x + 1) = x + 4$.
$(S1)$ તપાસતા:
$f^{\prime}(x) = -1$ ($x < -1$ માટે),$f^{\prime}(x) = 1$ ($-1 < x < 0$ માટે),$f^{\prime}(x) = 3$ ($0 < x < 1$ માટે),$f^{\prime}(x) = 1$ ($x > 1$ માટે).
$f^{\prime}(-3/2) = -1$,$f^{\prime}(-1/2) = 1$,$f^{\prime}(1/2) = 3$,$f^{\prime}(3/2) = 1$.
સરવાળો $= -1 + 1 + 3 + 1 = 4$. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ તપાસતા:
$\int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{-1} (-x) dx + \int_{-1}^{0} (x + 2) dx + \int_{0}^{1} (3x + 2) dx + \int_{1}^{2} (x + 4) dx$
$= 1.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 = 12$. તેથી,$(S2)$ સાચું છે.
બંને સાચા છે.

(D) આ પ્રદેશ $y = 4x^{2}$ (અથવા $x^{2} = y/4$),$x^{2} = 9y$ અને $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ચોક્કસ $y$ માટે,વક્રના $x$-યામ $x = \pm \sqrt{y}/2$ અને $x = \pm 3\sqrt{y}$ છે.
$y$ ઊંચાઈએ છાયાંકિત પ્રદેશની પહોળાઈ $(3\sqrt{y} - \sqrt{y}/2) + (3\sqrt{y} - \sqrt{y}/2) = 2(5\sqrt{y}/2) = 5\sqrt{y}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $4$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} 5\sqrt{y} \, dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4}$
$A = 5 \cdot \frac{2}{3} \cdot [4^{3/2} - 0]$
$A = \frac{10}{3} \cdot 8 = \frac{80}{3}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{2} |2x^2 - 3x| dx + \int_{0}^{2} [x - \frac{1}{2}] dx$.
પગલું $1$: $I_1 = \int_{0}^{2} |2x^2 - 3x| dx$ ની ગણતરી કરો.
$2x^2 - 3x = x(2x - 3)$ એ $x = 0$ અને $x = \frac{3}{2}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે.
$I_1 = \int_{0}^{3/2} (3x - 2x^2) dx + \int_{3/2}^{2} (2x^2 - 3x) dx$.
$= [\frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{3/2} + [\frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}]_{3/2}^{2}$.
$= (\frac{27}{8} - \frac{9}{4}) + (-\frac{2}{3} + \frac{9}{8}) = \frac{19}{12}$.
પગલું $2$: $I_2 = \int_{0}^{2} [x - \frac{1}{2}] dx$ ની ગણતરી કરો.
$t = x - \frac{1}{2}$ લેતા,$dt = dx$. સીમાઓ $[0, 2]$ થી $[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ બદલાશે.
$I_2 = \int_{-1/2}^{3/2} [t] dt = \int_{-1/2}^{0} (-1) dt + \int_{0}^{1} (0) dt + \int_{1}^{3/2} (1) dt = -\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 0$.
અંતિમ જવાબ: $I = \frac{19}{12} + 0 = \frac{19}{12}$.

(C) આપેલ છે કે $A_{1} = 2A_{2}$.
આલેખ પરથી,$(x, y)$ યામ દ્વારા બનતા લંબચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_{1} + A_{2} = xy - (4 \times 2) = xy - 8$ છે.
$A_{1} = 2A_{2}$ હોવાથી,$A_{1} + \frac{1}{2}A_{1} = xy - 8$,જે સૂચવે છે કે $\frac{3}{2}A_{1} = xy - 8$,તેથી $A_{1} = \frac{2}{3}xy - \frac{16}{3}$.
વળી,$A_{1} = \int_{4}^{x} y \, dx$. લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y = \frac{2}{3}(y + x \frac{dy}{dx}) \implies 3y = 2y + 2x \frac{dy}{dx} \implies y = 2x \frac{dy}{dx}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{2x} \implies \ln y = \frac{1}{2} \ln x + C \implies y^2 = cx$.
વક્ર $(4, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$2^2 = c(4) \implies c = 1$. આમ,$y^2 = x$.
રેખા $2x - 12y = 15$ છે,અથવા $y = \frac{1}{6}x - \frac{15}{12}$. તેનો ઢાળ $m = \frac{1}{6}$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_n = -6$ છે.
$y^2 = x$ માટે,$2y \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{m_n} = \frac{1}{6}$ લેતા,આપણને $\frac{1}{2y} = \frac{1}{6} \implies y = 3$ મળે છે. $y^2 = x$ હોવાથી,$x = 9$.
સ્પર્શબિંદુ $(9, 3)$ છે. અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = -6(x - 9) \implies y = -6x + 57$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(10, 4)$ માટે,$4 = -6(10) + 57 = -3$,જે ખોટું છે. આમ,અભિલંબ $(10, 4)$ માંથી પસાર થતો નથી.

(B) ધારો કે રેખા $L: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-1}{-1} = \lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(2\lambda-1, 3\lambda+3, -\lambda+1)$ છે.
સદિશ $\vec{PM} = (2\lambda-1-a, 3\lambda-1, -\lambda-1)$.
$\vec{PM}$ એ રેખાની દિશા $\vec{v} = (2, 3, -1)$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{PM} \cdot \vec{v} = 0$.
$2(2\lambda-1-a) + 3(3\lambda-1) - 1(-\lambda-1) = 0 \Rightarrow 14\lambda - 4 - 2a = 0 \Rightarrow a = 7\lambda - 2$.
લંબની લંબાઈ $PM = 2\sqrt{6}$ હોવાથી,$PM^2 = 24$.
$(2\lambda-1-a)^2 + (3\lambda-1)^2 + (\lambda+1)^2 = 24$.
$a = 7\lambda-2$ મૂકતા: $(-5\lambda+1)^2 + (3\lambda-1)^2 + (\lambda+1)^2 = 24$.
$35\lambda^2 - 14\lambda - 21 = 0 \Rightarrow 5\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$.
$(5\lambda+3)(\lambda-1) = 0$. $a > 0$ હોવાથી $\lambda = 1$.
તેથી $a = 5$ અને $M = (1, 6, 0)$.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{a+\alpha_1}{2} = 1, \frac{4+\alpha_2}{2} = 6, \frac{2+\alpha_3}{2} = 0$.
$\alpha_1 = -3, \alpha_2 = 8, \alpha_3 = -2$.
$a + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 5 - 3 + 8 - 2 = 8$.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = a\hat{i} + b\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & b & 0 \\ a & b & c \end{vmatrix} = (bc)\hat{i} - (ac)\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખાના દિકગુણોત્તર $(b, -a, 0)$ ના પ્રમાણમાં છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin \theta = \left| \frac{Al + Bm + Cn}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \sqrt{A^2+B^2+C^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,રેખાના દિકગુણોત્તર $(b, -a, 0)$ છે અને સમતલ $y - z + 2 = 0$ નો અભિલંબ $\vec{N} = (0, 1, -1)$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = 30^{\circ}$,તેથી $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = \left| \frac{-a}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{2}} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{a^2}{2(a^2+b^2)} \Rightarrow a^2+b^2 = 2a^2 \Rightarrow b^2 = a^2 \Rightarrow b = \pm a$.
જો $b = a$ હોય,તો દિકગુણોત્તર $(a, -a, 0)$ મળે,તેથી દિકકોસાઇન $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ મળે.
જો $b = -a$ હોય,તો દિકગુણોત્તર $(-a, -a, 0)$ મળે,તેથી દિકકોસાઇન $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ મળે.
આમ,દિકકોસાઇન $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ અથવા $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે,જે વિકલ્પ $A$ અને $B$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ધારો કે $\mu = np$ એ મધ્યક છે અને $\sigma^2 = npq$ એ દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ નું વિચરણ છે.
આપેલ છે કે $\mu + \sigma^2 = 24$ અને $\mu \sigma^2 = 128$.
ધારો કે $x = \mu$ અને $y = \sigma^2$. તો $x + y = 24$ અને $xy = 128$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 24t + 128 = 0$ ના બીજ $t = 16$ અને $t = 8$ મળે છે.
કારણ કે $\mu > \sigma^2$ (કારણ કે $q < 1$),તેથી $\mu = 16$ અને $\sigma^2 = 8$.
આમ,$np = 16$ અને $npq = 8$. આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = 1 - q$ હોવાથી,$p = \frac{1}{2}$.
તેથી $n \times \frac{1}{2} = 16$,એટલે કે $n = 32$.
આપણે $P(X > n - 3) = P(X > 29) = P(X = 30) + P(X = 31) + P(X = 32)$ શોધવાનું છે.
$P(X = r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r} = {}^{32}C_r (\frac{1}{2})^r (\frac{1}{2})^{32-r} = \frac{{}^{32}C_r}{2^{32}}$.
તેથી,$P(X > 29) = \frac{{}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32}}{2^{32}} = \frac{k}{2^{32}}$.
આમ,$k = {}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32} = {}^{32}C_2 + {}^{32}C_1 + {}^{32}C_0$.
$k = \frac{32 \times 31}{2} + 32 + 1 = 496 + 32 + 1 = 529$.

(D) ધારો કે $P(\text{અવિભાજ્ય}) = 2k$,$P(\text{વિભાજ્ય}) = k$,અને $P(1) = 3k$.
આપેલ શરત મુજબ: $3(2k) = 6(k) = 2(3k) = 6k$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે: $3(2k) + 2(k) + 3k = 1 \Rightarrow 11k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{11}$.
પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ ${1, 4}$ છે.
$P(\text{સફળતા}) = P(1) + P(4) = 3k + k = 4k = \frac{4}{11}$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે મધ્યક $np = 2 \times \frac{4}{11} = \frac{8}{11}$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \end{bmatrix}$.
$R_{3} \rightarrow R_{3} + R_{1}$ લેતા,$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta+\gamma \end{vmatrix}$.
$R_{3}$ માંથી $(\alpha+\beta+\gamma)$ સામાન્ય લેતા,$|A| = (\alpha+\beta+\gamma) \begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,$|A| = -(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$.
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))| = |A|^{(n-1)^4} = |A|^{16}$ થાય,જ્યાં $n=3$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{|A|^{16}}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}} = 2^{32} \times 3^{16}$.
જેનું સાદું રૂપ $(\alpha+\beta+\gamma)^{16} = (2^2 \times 3)^{16} = 12^{16}$ થાય.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = 12$.
$\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$ હોવાથી,ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{12-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ છે.
આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ ભિન્ન ન હોય. જો $\alpha=\beta=\gamma$ હોય,તો $3\alpha=12 \Rightarrow \alpha=4$,જે $1$ કિસ્સો $(4,4,4)$ છે.
જો બે સંખ્યાઓ સમાન હોય,જેમ કે $\alpha=\beta$,તો $2\alpha+\gamma=12$. $\alpha$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 5$ છે (કારણ કે $\alpha=4$ માટે $\gamma=4$ થાય). દરેક ક્રમચય માટે $4$ જોડીઓ મળે,આમ કુલ $4 \times 3 = 12$ કિસ્સાઓ થાય.
કુલ ભિન્ન ટપલ્સ = $55 - 1 - 12 = 42$.

(A) પ્રથમ,અસમતા $x^{2}-10x+9 \leq 0$ ઉકેલીને ગણ $A$ શોધો.
$(x-1)(x-9) \leq 0$,તેથી $x \in [1, 9]$. $x \in N$ હોવાથી,$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
હવે,$f(x) \in B = \{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots\}$ માટે $f(x) \leq (x-3)^{2}+1$ થાય તેવી પસંદગીઓની સંખ્યા નક્કી કરો:
$x=1$ માટે: $f(1) \leq 5 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}$ ($2$ વિકલ્પો).
$x=2$ માટે: $f(2) \leq 2 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ વિકલ્પ).
$x=3$ માટે: $f(3) \leq 1 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ વિકલ્પ).
$x=4$ માટે: $f(4) \leq 2 \Rightarrow 1^{2}$ ($1$ વિકલ્પ).
$x=5$ માટે: $f(5) \leq 5 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}$ ($2$ વિકલ્પો).
$x=6$ માટે: $f(6) \leq 10 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}$ ($3$ વિકલ્પો).
$x=7$ માટે: $f(7) \leq 17 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}$ ($4$ વિકલ્પો).
$x=8$ માટે: $f(8) \leq 26 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$ ($5$ વિકલ્પો).
$x=9$ માટે: $f(9) \leq 37 \Rightarrow 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}$ ($6$ વિકલ્પો).
કુલ વિધેયોની સંખ્યા = $2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 1440$.

(C) ધારો કે પાણીની ઊંડાઈ $h$ છે,પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ છે અને અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\theta$ છે. આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{3}{4}$,તેથી $r = \frac{3}{4}h$.
પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{4}h\right)^2 h = \frac{3 \pi}{16} h^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{3 \pi}{16} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{9 \pi}{16} h^2 \frac{dh}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 6 \text{ m}^3/\text{hr}$. જ્યારે $h = 4 \text{ m}$ હોય,ત્યારે $6 = \frac{9 \pi}{16} (4)^2 \frac{dh}{dt} = 9 \pi \frac{dh}{dt}$,તેથી $\frac{dh}{dt} = \frac{6}{9 \pi} = \frac{2}{3 \pi} \text{ m/hr}$ મળે.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $\ell = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(\frac{3}{4}h)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{9}{16}h^2 + h^2} = \sqrt{\frac{25}{16}h^2} = \frac{5}{4}h$ છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi r \ell = \pi (\frac{3}{4}h) (\frac{5}{4}h) = \frac{15 \pi}{16} h^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = \frac{15 \pi}{16} \cdot 2h \frac{dh}{dt} = \frac{15 \pi}{8} h \frac{dh}{dt}$ મળે.
$h = 4$ અને $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{3 \pi}$ મૂકતા,$\frac{dS}{dt} = \frac{15 \pi}{8} (4) (\frac{2}{3 \pi}) = \frac{15 \pi}{8} \cdot \frac{8}{3 \pi} = 5 \text{ m}^2/\text{hr}$ મળે.

(C) આપેલ વક્ર $C: (x^{2}+y^{2}-3)+(x^{2}-y^{2}-1)^{5}=0$ છે.
બિંદુ $(\alpha, \alpha)$ એ $C$ પર હોવાથી,$x=\alpha$ અને $y=\alpha$ મૂકતા:
$(\alpha^{2}+\alpha^{2}-3)+(\alpha^{2}-\alpha^{2}-1)^{5}=0$
$(2\alpha^{2}-3)+(-1)^{5}=0$
$2\alpha^{2}-3-1=0 \Rightarrow 2\alpha^{2}=4 \Rightarrow \alpha^{2}=2$. $\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = \sqrt{2}$.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2yy^{\prime} + 5(x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2x - 2yy^{\prime}) = 0$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ આગળ:
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 5(-1)^{4}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime}) = 0$
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime} = 0$
$12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}y^{\prime} = 0 \Rightarrow y^{\prime} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
ફરીથી વિકલન કરતા:
$2 + 2(y^{\prime})^{2} + 2yy^{\prime\prime} + 5[4(x^{2}-y^{2}-1)^{3}(2x-2yy^{\prime})^{2} + (x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2-2(y^{\prime})^{2}-2yy^{\prime\prime})] = 0$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ અને $y^{\prime} = \frac{3}{2}$ આગળ:
$2 + 2(\frac{9}{4}) + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[4(-1)^{3}(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}(\frac{3}{2}))^{2} + (-1)^{4}(2-2(\frac{9}{4})-2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$
$2 + \frac{9}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-4(-\sqrt{2})^{2} + (2 - \frac{9}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$
$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-8 - \frac{5}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime}] = 0$
$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} - 40 - \frac{25}{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 0$
$-8\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 40 + \frac{25-13}{2} = 40 + 6 = 46 \Rightarrow y^{\prime\prime} = -\frac{46}{8\sqrt{2}} = -\frac{23}{4\sqrt{2}}$.
હવે,$3y^{\prime} - y^{3}y^{\prime\prime} = 3(\frac{3}{2}) - (\sqrt{2})^{3}(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} - (2\sqrt{2})(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} + \frac{23}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \min \{[x-1], [x-2], \ldots, [x-10]\}$.
કારણ કે $[x-n] = [x]-n$,તેથી $f(x) = \min \{[x]-1, [x]-2, \ldots, [x]-10\} = [x]-10$.
જ્યારે $x \in [n, n+1)$,ત્યારે $[x] = n$,તેથી $f(x) = n-10$ જ્યાં $n = 0, 1, \ldots, 9$.
$\int_{0}^{10} f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{9} \int_{n}^{n+1} (n-10) \, dx = \sum_{n=0}^{9} (n-10) = (-10) + (-9) + \ldots + (-1) = -\frac{10 \times 11}{2} = -55$.
$\int_{0}^{10} (f(x))^2 \, dx = \sum_{n=0}^{9} \int_{n}^{n+1} (n-10)^2 \, dx = \sum_{n=0}^{9} (n-10)^2 = (-10)^2 + (-9)^2 + \ldots + (-1)^2 = 10^2 + 9^2 + \ldots + 1^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
$\int_{0}^{10} |f(x)| \, dx = \sum_{n=0}^{9} \int_{n}^{n+1} |n-10| \, dx = \sum_{n=0}^{9} |n-10| = 10 + 9 + \ldots + 1 = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
આમ,સરવાળો $-55 + 385 + 55 = 385$ થાય છે.

(B) ધારો કે $t = \frac{\lambda^{2} x}{3}$. તો $dt = \frac{2\lambda x}{3} d\lambda$,જે સૂચવે છે કે $d\lambda = \frac{3}{2\lambda x} dt = \frac{3}{2\sqrt{3tx/3} x} dt = \frac{3}{2x\sqrt{tx/3}} dt = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}\sqrt{t}} dt$.
આને સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{0}^{x} f(t) \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}\sqrt{t}} dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt$.
આમ,$\sqrt{x} f(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} f(x) + \sqrt{x} f'(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$.
$2\sqrt{x}$ વડે ગુણતા:
$f(x) + 2x f'(x) = 2f(x) \implies 2x f'(x) = f(x)$.
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln|f(x)| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \implies f(x) = k\sqrt{x}$.
આપેલ છે કે $f(1) = \sqrt{3}$,તેથી $k\sqrt{1} = \sqrt{3} \implies k = \sqrt{3}$.
તેથી,$f(x) = \sqrt{3x}$.
કારણ કે $f(\alpha) = 6$,તેથી $\sqrt{3\alpha} = 6 \implies 3\alpha = 36 \implies \alpha = 12$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = 4\vec{c}$,$\vec{b} \times \vec{c} = 9\vec{a}$,અને $\vec{c} \times \vec{a} = \alpha\vec{b}$.
પ્રથમ સમીકરણનું માન લેતા: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |4\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}| = 4|\vec{c}|$.
તે જ રીતે,$|\vec{b}||\vec{c}| = 9|\vec{a}|$ અને $|\vec{c}||\vec{a}| = \alpha|\vec{b}|$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|)^2 = 36\alpha |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| = 36\alpha$.
સમીકરણો ઉકેલતા $|\vec{a}| = 2\sqrt{\alpha}, |\vec{b}| = 6, |\vec{c}| = 3\sqrt{\alpha}$ મળે છે.
સરવાળો $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| = 36$ માં કિંમતો મુકતા: $2\sqrt{\alpha} + 6 + 3\sqrt{\alpha} = 36 \implies 5\sqrt{\alpha} = 30 \implies \sqrt{\alpha} = 6 \implies \alpha = 36$.

(D) $R_{1}$ માટે: $a R_{1} b \iff ab \geq 0$.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $a \cdot a = a^{2} \geq 0$ થાય. તેથી,$R_{1}$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $ab \geq 0$ હોય,તો $ba \geq 0$ થાય. તેથી,$R_{1}$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: ધારો કે $a=2, b=0, c=-2$. તો $ab = 2 \cdot 0 = 0 \geq 0$ અને $bc = 0 \cdot (-2) = 0 \geq 0$ થાય છે. પરંતુ $ac = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$ થાય છે. તેથી,$R_{1}$ પરંપરિત નથી.
આમ,$R_{1}$ સામ્ય સંબંધ નથી.
$R_{2}$ માટે: $a R_{2} b \iff a \geq b$.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $a \geq a$ સત્ય છે. તેથી,$R_{2}$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $a \geq b$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $b \geq a$ (દા.ત.,$2 \geq 1$ પણ $1 \ngeq 2$). તેથી,$R_{2}$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $a \geq b$ અને $b \geq c$ હોય,તો $a \geq c$ થાય. તેથી,$R_{2}$ પરંપરિત છે.
$R_{2}$ સંમિત ન હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ નથી.
આમ,$R_{1}$ કે $R_{2}$ પૈકી કોઈ પણ સામ્ય સંબંધ નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(a) = \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ અવિભાજ્ય $p$ ની મહત્તમ ઘાત છે જે $a$ ને ભાગે છે.
ધારો કે $h(a) = (f + g)(a) = f(a) + a + 1$.
કેટલાક $a \in N - \{1\}$ માટે કિંમતો ગણો:
$h(2) = f(2) + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$
$h(3) = f(3) + 3 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$
$h(4) = f(4) + 4 + 1 = 2 + 4 + 1 = 7$
$h(5) = f(5) + 5 + 1 = 1 + 5 + 1 = 7$
અહીં $h(4) = h(5) = 7$ છે,જ્યાં $4 \neq 5$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વધુમાં,$h(a)$ નો વિસ્તાર $1, 2, 3, 6, \dots$ નો સમાવેશ કરતું નથી (દા.ત.,$a \ge 2$ માટે $h(a) \ge 4$),તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક કે વ્યાપ્ત નથી.

(D) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ -2 & -5 - \lambda \end{vmatrix} = 0$
$(1 - \lambda)(-5 - \lambda) - (2)(-2) = 0$
$-5 - \lambda + 5\lambda + \lambda^{2} + 4 = 0$
$\lambda^{2} + 4\lambda - 1 = 0$
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $A^{2} + 4A - I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A^{2} + 4A = I$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2A^{2} + 8A = 2I$ મળે છે.
આપણને $\alpha A^{2} + \beta A = 2I$ આપેલ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 2$ અને $\beta = 8$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 8 = 10$.

(B) લક્ષ $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવા જોઈએ.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = a \sin \left(\frac{\pi(-1)}{2}\right) + [2 - (-1^+)] = a \sin(-\pi/2) + [3^-] = -a + 2$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = a \sin \left(\frac{\pi(-2)}{2}\right) + [2 - (-1^-)] = a \sin(-\pi) + [3^+] = 0 + 3 = 3$.
બંનેને સરખાવતા: $-a + 2 = 3 \implies a = -1$.
હવે,$a = -1$ સાથે $\int_{0}^{4} f(x) dx$ ની ગણતરી કરીએ,તેથી $f(x) = -\sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$.
$\int_{0}^{4} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx + \int_{3}^{4} f(x) dx$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,$[2-x] = 1 \implies f(x) = 1$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,$[2-x] = 0 \implies f(x) = -\sin(\pi/2) + 0 = -1$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,$[2-x] = -1 \implies f(x) = -\sin(\pi) - 1 = -1$.
$x \in [3, 4)$ માટે,$[x] = 3$,$[2-x] = -2 \implies f(x) = -\sin(3\pi/2) - 2 = 1 - 2 = -1$.
સંકલન = $\int_{0}^{1} (1) dx + \int_{1}^{2} (-1) dx + \int_{2}^{3} (-1) dx + \int_{3}^{4} (-1) dx = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$.

(C) ધારો કે $f(x) = 8 \sin x - \sin 2x$.
આપણે અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ પર સંકલ્ય $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ ની સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર,$f(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 4\sqrt{2} - 1 \approx 4.656$.
$x = \frac{\pi}{3}$ પર,$f(\frac{\pi}{3}) = 8(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \approx 6.062$.
આ અંતરાલ પર $f(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{f(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{16\sqrt{2}-4}{\pi} \approx 5.93$ છે.
મહત્તમ કિંમત $\frac{f(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{21\sqrt{3}}{2\pi} \approx 5.79$ છે.
અંતરાલની લંબાઈ $\frac{\pi}{12}$ હોવાથી,સંકલન $I$ એ $\frac{\pi}{12} \times \min(g(x))$ અને $\frac{\pi}{12} \times \max(g(x))$ ની વચ્ચે આવે છે.
ગણતરી કરતા,$I$ એ $\frac{5\pi}{12} < I < \frac{\sqrt{2}}{3} \pi$ ની વચ્ચે છે.

(C) આપેલ વક્રો $y^{2}=8x+4$ (પરવલય) અને $x^{2}+y^{2}+4\sqrt{3}x-4=0$ (વર્તુળ) છે.
પ્રથમ,આપણે વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2}=8x+4$ મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^{2}+(8x+4)+4\sqrt{3}x-4=0$
$x^{2}+8x+4\sqrt{3}x=0$
$x(x+8+4\sqrt{3})=0$
તેથી,$x=0$ અથવા $x=-(8+4\sqrt{3})$.
$x=0$ માટે,$y^{2}=4 \implies y=\pm 2$. છેદબિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x+2\sqrt{3})^{2}+y^{2}=16$ તરીકે લખી શકાય,જેનું કેન્દ્ર $(-2\sqrt{3}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ છે.
પ્રદેશ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{2} (x_{circle} - x_{parabola}) dy$ થશે.
વર્તુળ પરથી: $x = -2\sqrt{3} + \sqrt{16-y^{2}}$.
પરવલય પરથી: $x = \frac{y^{2}-4}{8}$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} ((-2\sqrt{3} + \sqrt{16-y^{2}}) - (\frac{y^{2}-4}{8})) dy$
$= 2 [ -2\sqrt{3}y + \frac{y}{2}\sqrt{16-y^{2}} + \frac{16}{2}\sin^{-1}(\frac{y}{4}) - \frac{y^{3}}{24} + \frac{y}{2} ]_{0}^{2}$
$= 2 [ (-4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 8(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3} + 1) ]$
$= 2 [ -2\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3} + \frac{2}{3} ] = \frac{1}{3} (4 - 12\sqrt{3} + 8\pi)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y = x$ એ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
બંને બાજુ $e^{-x}$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = x e^{-x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y e^{-x} = \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$ મળે.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $y = -x - 1 + C e^{x}$ છે.
$y_{1}(0) = 0$ માટે,$0 = -0 - 1 + C(1) \Rightarrow C = 1$. તેથી,$y_{1}(x) = e^{x} - x - 1$.
$y_{2}(0) = 1$ માટે,$1 = -0 - 1 + C(1) \Rightarrow C = 2$. તેથી,$y_{2}(x) = 2e^{x} - x - 1$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y_{1}(x) = y_{2}(x)$ લેતા:
$e^{x} - x - 1 = 2e^{x} - x - 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{x} = 0$ મળે,જેનો $x$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,છેદબિંદુઓની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=\alpha \hat{i}+\hat{j}+\beta \hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 1 & \beta \\ 3 & -5 & 4 \end{vmatrix} = (4+5\beta)\hat{i} + (3\beta-4\alpha)\hat{j} + (-5\alpha-3)\hat{k}$.
આને $-\hat{i}+9\hat{j}+12\hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$4+5\beta = -1 \Rightarrow 5\beta = -5 \Rightarrow \beta = -1$.
$-5\alpha-3 = 12 \Rightarrow -5\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = -3$.
ચકાસણી: $3\beta-4\alpha = 3(-1)-4(-3) = -3+12 = 9$ (સાચું છે).
તેથી,$\vec{a} = -3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે $\vec{b}-2\vec{a} = (3 - 2(-3))\hat{i} + (-5 - 2(1))\hat{j} + (4 - 2(-1))\hat{k} = 9\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$.
અને $\vec{b}+\vec{a} = (3-3)\hat{i} + (-5+1)\hat{j} + (4-1)\hat{k} = -4\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{v}_1 = \vec{b}-2\vec{a}$ નો $\vec{v}_2 = \vec{b}+\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_2|}$ છે.
$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (9)(0) + (-7)(-4) + (6)(3) = 0 + 28 + 18 = 46$.
$|\vec{v}_2| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
પ્રક્ષેપ = $\frac{46}{5}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+2 \hat{k}$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$((\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i}) \cdot \hat{k} = ((\vec{a} \cdot \hat{i})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \hat{i})\vec{a}) \cdot \hat{k} = \frac{23}{2}$.
અહીં $\vec{a} \cdot \hat{i} = 2$ અને $\vec{b} \cdot \hat{i} = \alpha$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$(2\vec{b} - \alpha\vec{a}) \cdot \hat{k} = 2(\vec{b} \cdot \hat{k}) - \alpha(\vec{a} \cdot \hat{k}) = \frac{23}{2}$.
આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \hat{k} = 2$ અને $\vec{a} \cdot \hat{k} = 5$,તેથી:
$2(2) - \alpha(5) = \frac{23}{2} \implies 4 - 5\alpha = \frac{23}{2} \implies 5\alpha = 4 - \frac{23}{2} = -\frac{15}{2} \implies \alpha = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\vec{b} \times 2\hat{j} = 2(\vec{b} \times \hat{j})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b} \times \hat{j} = (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 2 \hat{k}) \times \hat{j} = \alpha(\hat{i} \times \hat{j}) + \beta(\hat{j} \times \hat{j}) + 2(\hat{k} \times \hat{j}) = \alpha \hat{k} - 2 \hat{i}$.
તેથી,$\vec{b} \times 2\hat{j} = 2(-\alpha \hat{k} + 2 \hat{i}) = 4\hat{i} - 2\alpha \hat{k}$.
$|\vec{b} \times 2\hat{j}| = \sqrt{4^2 + (-2\alpha)^2} = \sqrt{16 + 4\alpha^2} = \sqrt{16 + 4(-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{16 + 4(\frac{9}{4})} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(D) બે આપેલા સમતલો પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમના અભિલંબનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(3k) + k(-k) + (-5)(1) = 0$
$6k - k^2 - 5 = 0 \Rightarrow k^2 - 6k + 5 = 0$
$(k - 1)(k - 5) = 0 \Rightarrow k = 1$ અથવા $k = 5$.
આપેલ છે કે $k < 3$,તેથી આપણે $k = 1$ લઈશું.
બે સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ:
$(2x + y - 5z - 1) + \lambda(3x - y + z - 5) = 0$
$(2 + 3\lambda)x + (1 - \lambda)y + (-5 + \lambda)z = 1 + 5\lambda$.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $1$ છે,તેથી $y = 0$ અને $z = 0$ લેતા:
$\frac{1 + 5\lambda}{2 + 3\lambda} = 1 \Rightarrow 1 + 5\lambda = 2 + 3\lambda \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ મેળવવા માટે $x = 0$ અને $z = 0$ લેતા:
$(1 - \lambda)y = 1 + 5\lambda \Rightarrow y = \frac{1 + 5(1/2)}{1 - 1/2} = \frac{1 + 2.5}{0.5} = \frac{3.5}{0.5} = 7$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^{2}+b x, & x \leq 4 \end{cases}$
કારણ કે $f(x)$ એ $x=4$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x) = f(4)$.
$16+4b = \int_{0}^{4}(5-|t-3|) d t = \int_{0}^{3}(5-(3-t)) d t + \int_{3}^{4}(5-(t-3)) d t = \int_{0}^{3}(2+t) d t + \int_{3}^{4}(8-t) d t$.
સંકલન કરતા: $[2t + \frac{t^2}{2}]_0^3 + [8t - \frac{t^2}{2}]_3^4 = (6 + 4.5) + ((32-8) - (24-4.5)) = 10.5 + (24 - 19.5) = 10.5 + 4.5 = 15$.
તેથી,$16+4b = 15 \implies 4b = -1 \implies b = -\frac{1}{4}$.
હવે,$x < 4$ માટે $f'(x) = 2x - \frac{1}{4}$ અને $x > 4$ માટે $f'(x) = 5-|x-3| = 8-x$.
$LHD = f'(4^-) = 2(4) - 0.25 = 7.75 = \frac{31}{4}$.
$RHD = f'(4^+) = 8-4 = 4$. $LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f$ એ $x=4$ આગળ વિકલનીય નથી. વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$f'(3) = 2(3) - 0.25 = 5.75 = \frac{23}{4}$. $f'(5) = 8-5 = 3$. $f'(3)+f'(5) = 5.75 + 3 = 8.75 = \frac{35}{4}$. વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$x < 4$ માટે,$f'(x) = 2x - 0.25$. $x > \frac{1}{8}$ માટે $f'(x) > 0$. આમ $f$ એ $(-\infty, \frac{1}{8})$ માં ઘટતું અને $(\frac{1}{8}, 4)$ માં વધતું વિધેય છે. વિકલ્પ $(C)$ સાચું નથી.

(C) ધારો કે $f(x) = \cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right) = k$.
પ્રથમ,$\cos(\sin^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$.
પછી,$\tan^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \theta \implies \tan \theta = \sqrt{1-x^2} \implies \cot \theta = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\cos(\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})) = k$ મળે છે.
ધારો કે $\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) = \phi \implies \sin \phi = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \implies \cos \phi = \sqrt{1 - \frac{x^2}{1-x^2}} = \sqrt{\frac{1-2x^2}{1-x^2}}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{1-2x^2}{1-x^2}} = k \implies \frac{1-2x^2}{1-x^2} = k^2 \implies 1-2x^2 = k^2 - k^2x^2 \implies x^2(k^2-2) = k^2-1 \implies x^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2}$.
કારણ કે $x^2 = \alpha^2 = \beta^2$,આપણી પાસે $\alpha^2 = \beta^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2}$ છે.
આપેલ છે કે $x^2 - bx - 5 = 0$ ના બીજ $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ અને $\frac{\alpha}{\beta}$ છે.
નોંધો કે $\frac{\alpha}{\beta}$ એ $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે. જો $\alpha = \beta$ હોય,તો $\frac{\alpha}{\beta} = 1$,પરંતુ સમીકરણ $x^2-bx-5=0$ ના બીજ $\frac{2}{\alpha^2}$ અને $1$ થાય. ગુણાકાર $= \frac{2}{\alpha^2} = -5$,જે અશક્ય છે કારણ કે $\alpha^2 > 0$. તેથી $\alpha = -\beta$,એટલે કે $\frac{\alpha}{\beta} = -1$.
બીજ $\frac{2}{\alpha^2}$ અને $-1$ છે. ગુણાકાર: $\frac{2}{\alpha^2}(-1) = -5 \implies \frac{2}{\alpha^2} = 5 \implies \alpha^2 = \frac{2}{5}$.
બીજનો સરવાળો: $\frac{2}{\alpha^2} - 1 = b \implies 5 - 1 = 4 = b$.
$\alpha^2 = \frac{k^2-1}{k^2-2} = \frac{2}{5}$ પરથી $\implies 5k^2 - 5 = 2k^2 - 4 \implies 3k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{3}$.
અંતે,$\frac{b}{k^2} = \frac{4}{1/3} = 12$.

(C) સમતલ રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ ને સમાવે છે,જે $(4, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ છે.
સમતલ $4ax-y+5z-7a=0$ અને $2x-5y-z-3=0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાને પણ સમાવે છે.
આ બે સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોનું કુળ $(4ax-y+5z-7a) + \lambda(2x-5y-z-3) = 0$ છે.
બિંદુ $(4, -1, 0)$ સમતલ પર હોવાથી,$(16a+1-7a) + \lambda(8+5-3) = 0$,જે $9a + 10\lambda + 1 = 0$ (સમીકરણ $1$) માં પરિણમે છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 4a+2\lambda, -1-5\lambda, 5-\lambda \rangle$ છે. રેખા $\vec{v_1}$ સમતલમાં હોવાથી,$\vec{n} \cdot \vec{v_1} = 0$,તેથી $(4a+2\lambda) - 2(-1-5\lambda) + (5-\lambda) = 0$,જે $4a + 11\lambda + 7 = 0$ (સમીકરણ $2$) માં પરિણમે છે.
સમીકરણ $1$ અને $2$ ઉકેલતા $a=1$ અને $\lambda=-1$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ: $(4x-y+5z-7) - (2x-5y-z-3) = 0$,એટલે કે $2x+4y+6z-4=0$ અથવા $x+2y+3z-2=0$.
રેખા $\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-4}=t$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(7t+3, -t+2, -4t+3)$ છે.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(7t+3) + 2(-t+2) + 3(-4t+3) - 2 = 0$,જે $7t+3-2t+4-12t+9-2=0$ આપે છે,તેથી $-7t+14=0$,એટલે કે $t=2$.
બિંદુ $P$ એ $(17, 0, -5)$ છે.
આમ,$\alpha+\beta+\gamma = 17+0-5 = 12$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin(2x^2) \ln(\tan x^2) dy + (4xy - 4\sqrt{2}x \sin(x^2 - \frac{\pi}{4})) dx = 0$ છે.
$\sin(2x^2) \ln(\tan x^2) dy = -(4xy - 4\sqrt{2}x \sin(x^2 - \frac{\pi}{4})) dx$ લખતા.
આ સમીકરણને $d(y \ln(\tan x^2))$ ના સ્વરૂપમાં ફેરવતા,આપણને મળે છે $d(y \ln(\tan x^2)) = \frac{4\sqrt{2}x \sin(x^2 - \frac{\pi}{4})}{\sin(2x^2)} dx$.
$\sin(x^2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x^2 - \cos x^2)$ અને $\sin(2x^2) = 2 \sin x^2 \cos x^2$ મૂકતા,જમણી બાજુ $2x(\sec x^2 - \csc x^2) dx$ બને છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y \ln(\tan x^2) = \int 2x(\sec x^2 - \csc x^2) dx = \ln|\tan(x^2/2)| + C$ મળે છે.
બિંદુ $(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 1)$ નો ઉપયોગ કરીને $C$ ની કિંમત મેળવતા અને ત્યારબાદ $x^2 = \frac{\pi}{3}$ માટે ગણતરી કરતા,આપણને $|y| = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^{5}-9xy+2x=0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$5y^{4}\frac{dy}{dx} - 9(y + x\frac{dy}{dx}) + 2 = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx}(5y^{4} - 9x) = 9y - 2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{9y - 2}{5y^{4} - 9x}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે $9y - 2 = 0$,તેથી $y = \frac{2}{9}$.
મૂળ સમીકરણમાં $y = \frac{2}{9}$ મૂકતા:
$(\frac{2}{9})^{5} - 9x(\frac{2}{9}) + 2x = 0
\Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} - 2x + 2x = 0
\Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} = 0$,જે અશક્ય છે.
આમ,એવા કોઈ બિંદુઓ નથી જ્યાં સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તેથી $M = 0$.
સ્પર્શક $y$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે છેદ $5y^{4} - 9x = 0$,તેથી $x = \frac{5y^{4}}{9}$.
આને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{5} - 9y(\frac{5y^{4}}{9}) + 2(\frac{5y^{4}}{9}) = 0
\Rightarrow y^{5} - 5y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0
\Rightarrow -4y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0
\Rightarrow y^{4}(-4y + \frac{10}{9}) = 0$.
આનાથી $y = 0$ અથવા $y = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ મળે છે.
જો $y = 0$,તો $x = 0$. જો $y = \frac{5}{18}$,તો $x = \frac{5}{9}(\frac{5}{18})^{4}$.
આમ,$2$ બિંદુઓ છે જ્યાં સ્પર્શક $y$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી $N = 2$.
તેથી,$M + N = 0 + 2 = 2$.

(A) ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.
$A^{T}A$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $A^{T}A$ નો ટ્રેસ છે,જેને $\operatorname{Tr}(A^{T}A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = 6$,તેથી $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 6$.
કારણ કે $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,તેથી $a_{ij}^{2}$ માત્ર $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.
આવા નવ વર્ગોનો સરવાળો $6$ થાય તે માટે,બરાબર $6$ ઘટકો $\pm 1$ હોવા જોઈએ અને $3$ ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $9$ માંથી $3$ સ્થાનો $0$ તરીકે પસંદ કરીએ,જે $\binom{9}{3}$ રીતે કરી શકાય છે.
બાકીના $6$ સ્થાનો માટે,દરેક $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે,જે $2^{6}$ શક્યતાઓ આપે છે.
તેથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $\binom{9}{3} \times 2^{6} = 84 \times 64 = 5376$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A^{T} = A$ અને $B^{T} = -B$.
વિકલ્પ $A$ માટે: ધારો કે $C = A^{4} - B^{4}$.
$C^{T} = (A^{4} - B^{4})^{T} = (A^{T})^{4} - (B^{T})^{4} = A^{4} - (-B)^{4} = A^{4} - B^{4} = C$. આમ,$A^{4} - B^{4}$ સંમિત છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: ધારો કે $C = AB - BA$.
$C^{T} = (AB - BA)^{T} = (AB)^{T} - (BA)^{T} = B^{T}A^{T} - A^{T}B^{T} = (-B)(A) - (A)(-B) = -BA + AB = AB - BA = C$. આમ,$AB - BA$ સંમિત છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: ધારો કે $C = B^{5} - A^{5}$.
$C^{T} = (B^{5} - A^{5})^{T} = (B^{T})^{5} - (A^{T})^{5} = (-B)^{5} - A^{5} = -B^{5} - A^{5} = -(B^{5} + A^{5})$. આ $-C = -(B^{5} - A^{5})$ ને સમાન નથી. તેથી,આ વિધાન સાચું નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: ધારો કે $C = AB + BA$.
$C^{T} = (AB + BA)^{T} = (AB)^{T} + (BA)^{T} = B^{T}A^{T} + A^{T}B^{T} = (-B)(A) + (A)(-B) = -BA - AB = -(AB + BA) = -C$. આમ,$AB + BA$ વિસંમિત છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચું નથી.

(B) $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે લક્ષ $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\cos(2 \pi x) - x^{2n} \sin(x-1)}{1 + x^{2n+1} - x^{2n}}$ ની ગણતરી કરીએ.
કિસ્સો $1$: $|x| < 1$. જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે $x^{2n} \rightarrow 0$ અને $x^{2n+1} \rightarrow 0$. તેથી,$f(x) = \cos(2 \pi x)$.
કિસ્સો $2$: $x = 1$. $f(1) = \frac{1 - 0}{1 + 1 - 1} = 1$.
કિસ્સો $3$: $x = -1$. $f(-1) = \frac{1 - \sin(-2)}{1 - 1 - 1} = -(1 + \sin 2)$.
કિસ્સો $4$: $|x| > 1$. અંશ અને છેદને $x^{2n}$ વડે ભાગતા,$f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ મળે છે.
$x=1$ આગળ સાતત્યતા: $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 1$ અને $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = -1$. તેથી $x=1$ આગળ અસતત છે.
$x=-1$ આગળ સાતત્યતા: $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = -\frac{\sin 2}{2}$ અને $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = 1$. તેથી $x=-1$ આગળ અસતત છે.
આમ,$f(x)$ એ $R - \{-1, 1\}$ માટે સતત છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x e^{x-x^2}$ છે.
વધતા અને ઘટતા અંતરાલો શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = e^{x-x^2} [-(2x^2 - x - 1)]$
$f'(x) = -e^{x-x^2} (2x+1)(x-1)$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ:
$-e^{x-x^2} (2x+1)(x-1) > 0$
$(2x+1)(x-1) < 0$.
અહીં શૂન્યો $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = 1$ છે. અસમતા $x \in \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ માટે સાચી છે.
આમ,વિધેય $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ માં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(\sin x - \cos x)$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x - \cos x)^2} \cdot (\cos x + \sin x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\cos x + \sin x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = -1$.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં,એકમાત્ર ઉકેલ $x = \frac{3\pi}{4}$ છે.
હવે,આપણે ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને અંતરાલ $[0, \pi]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $x = 0$ પર: $f(0) = \tan^{-1}(\sin 0 - \cos 0) = \tan^{-1}(0 - 1) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
$2$. $x = \frac{3\pi}{4}$ પર: $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})\right) = \tan^{-1}(\sqrt{2})$.
$3$. $x = \pi$ પર: $f(\pi) = \tan^{-1}(\sin \pi - \cos \pi) = \tan^{-1}(0 - (-1)) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા:
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત = $\tan^{-1}(\sqrt{2})$.
નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત = $-\frac{\pi}{4}$.
તેથી,નિરપેક્ષ મહત્તમ અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $\tan^{-1}(\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $x = 2 \sqrt{2} \cos t \sqrt{\sin 2t}$ અને $y = 2 \sqrt{2} \sin t \sqrt{\sin 2t}$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{dt}$ અને $\frac{dy}{dt}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = 2 \sqrt{2} [-\sin t \sqrt{\sin 2t} + \cos t \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin 2t}} \cdot 2 \cos 2t] = \frac{2 \sqrt{2} \cos 3t}{\sqrt{\sin 2t}}$.
તે જ રીતે,$\frac{dy}{dt} = \frac{2 \sqrt{2} \sin 3t}{\sqrt{\sin 2t}}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \tan 3t$.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
હવે,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\tan 3t) \cdot \frac{dt}{dx} = 3 \sec^2 3t \cdot \frac{\sqrt{\sin 2t}}{2 \sqrt{2} \cos 3t} = \frac{3 \sec^3 3t \sqrt{\sin 2t}}{2 \sqrt{2}}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$\sec 3t = -\sqrt{2}$,તેથી $\sec^3 3t = -2 \sqrt{2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3(-2 \sqrt{2}) \sqrt{1}}{2 \sqrt{2}} = -3$.
અંતે,$\frac{1 + (dy/dx)^2}{d^2y/dx^2} = \frac{1 + (-1)^2}{-3} = -\frac{2}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $I_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{n}} dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (t^{2}+5)^{-n}$ અને $dv = dt$ લો. તેથી $du = -n(t^{2}+5)^{-n-1}(2t) dt$ અને $v = t$ મળે.
$I_{n}(x) = \left[ \frac{t}{(t^{2}+5)^{n}} \right]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} t \cdot (-n)(t^{2}+5)^{-n-1}(2t) dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(t^{2}+5)^{n+1}} dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n \int_{0}^{x} \frac{(t^{2}+5)-5}{(t^{2}+5)^{n+1}} dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n I_{n}(x) - 10n I_{n+1}(x)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $10n I_{n+1}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + (2n-1) I_{n}(x)$ મળે છે.
$n=5$ માટે,$50 I_{6}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{5}} + 9 I_{5}(x)$.
નોંધો કે $I_{5}^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{5}} dt = \frac{1}{(x^{2}+5)^{5}}$.
આમ,$50 I_{6}(x) = x I_{5}^{\prime}(x) + 9 I_{5}(x)$,જેનો અર્થ છે કે $50 I_{6} - 9 I_{5} = x I_{5}^{\prime}$.

(B) વક્રો $y=\ln(x+e^{2})$ અને $y=2e^{-x}$ છે.
$y=\ln(x+e^{2})$ માટે,$y=1$ આગળ,$1=\ln(x+e^{2}) \implies x+e^{2}=e \implies x=e-e^{2}$.
$y=2e^{-x}$ માટે,$y=1$ આગળ,$1=2e^{-x} \implies e^{x}=2 \implies x=\ln 2$.
છેદબિંદુ પર,$\ln(x+e^{2})=2e^{-x}$. અવલોકન કરતા,$x=0$ આગળ,$y=\ln(e^{2})=2$ અને $y=2e^{0}=2$. તેથી તેઓ $(0, 2)$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ વક્રો દ્વારા ઉપરથી અને $y=1$ દ્વારા નીચેથી ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{e-e^{2}}^{0} (\ln(x+e^{2})-1) dx + \int_{0}^{\ln 2} (2e^{-x}-1) dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$u=x+e^{2}$ લો,$du=dx$. જ્યારે $x=e-e^{2}$,$u=e$. જ્યારે $x=0$,$u=e^{2}$.
$\int_{e}^{e^{2}} (\ln u - 1) du = [u \ln u - u - u]_{e}^{e^{2}} = [u \ln u - 2u]_{e}^{e^{2}} = (e^{2} \cdot 2 - 2e^{2}) - (e \cdot 1 - 2e) = 0 - (-e) = e$.
બીજા સંકલન માટે,$\int_{0}^{\ln 2} (2e^{-x}-1) dx = [-2e^{-x}-x]_{0}^{\ln 2} = (-2e^{-\ln 2} - \ln 2) - (-2e^{0} - 0) = (-2(1/2) - \ln 2) + 2 = -1 - \ln 2 + 2 = 1 - \ln 2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= e + 1 - \ln 2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x^2-1}$ અને $Q(x) = \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|} = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \int \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} dx = \int \frac{x-1}{x+1} dx$.
$y \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \int \left( 1 - \frac{2}{x+1} \right) dx = x - 2 \log_{e} |x+1| + C$.
વક્ર બિંદુ $\left(2, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{2-1}{2+1} \right)^{1/2} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C \implies \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C \implies \frac{1}{3} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C$.
$C = \frac{1}{3} - 2 + 2 \log_{e} 3 = 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3}$.
હવે,$x=8$ માટે:
$y(8) \left( \frac{8-1}{8+1} \right)^{1/2} = 8 - 2 \log_{e} 9 + 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3}$.
$y(8) \left( \frac{7}{9} \right)^{1/2} = 8 - 4 \log_{e} 3 + 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3} = \frac{19}{3} - 2 \log_{e} 3$.
$y(8) \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{19 - 6 \log_{e} 3}{3}$.
$\sqrt{7} y(8) = 19 - 6 \log_{e} 3$.

(A) $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ બિંદુઓ વર્તુળ પર હોવાથી,$4 + 4f + c = 0$ અને $4 - 4f + c = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f = 0$ અને $c = -4$.
તેથી,વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 4 + 2gx = 0$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{x^{2} + y^{2} - 4}{x} + 2g = 0$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2} + y^{2} - 4}{x} \right) = 0$ મળે.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) - (x^{2} + y^{2} - 4)(1)}{x^{2}} = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} + 4 = 0$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2xy \frac{dy}{dx} + x^{2} - y^{2} + 4 = 0$ મળે છે.

(D) બે રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,રેખાઓ પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$L_1$ પરનું બિંદુ $A(1, 2, 3)$ અને $L_2$ પરનું બિંદુ $B(-26, -18, -28)$ આપેલ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-27, -20, -31)$.
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} -27 & -20 & -31 \\ \lambda & 1 & 2 \\ -2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $-27(\lambda - 6) + 20(\lambda^2 + 4) - 31(3\lambda + 2) = 0$.
$-27\lambda + 162 + 20\lambda^2 + 80 - 93\lambda - 62 = 0 \Rightarrow 20\lambda^2 - 120\lambda + 180 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)^2 = 0$.
આમ,$\lambda = 3$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (3, 1, 2)$ અને $\vec{v_2} = (-2, 3, 3)$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 3 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 13\hat{j} + 11\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-3(x-1) - 13(y-2) + 11(z-3) = 0 \Rightarrow 3x + 13y - 11z + 4 = 0$ છે.
બિંદુઓ તપાસતા:
$(0, 4, 5)$ માટે: $3(0) + 13(4) - 11(5) + 4 = 52 - 55 + 4 = 1 \neq 0$.
આમ,બિંદુ $(0, 4, 5)$ એ સમતલ $P$ પર નથી.

(B) સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરોનો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = (-2, 1, -3) \times (-1, 2, -2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
બિંદુ $(2, 2, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(4, -1, -3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$4(x - 2) - 1(y - 2) - 3(z + 2) = 0$
$4x - y - 3z = 12$.
અંતઃખંડો મેળવવા માટે,$12$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-12} + \frac{z}{-4} = 1$.
આમ,$\alpha = 3, \beta = -12, \gamma = -4$.
$p = \alpha + \beta + \gamma = 3 - 12 - 4 = -13$.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |\alpha \beta \gamma| = \frac{1}{6} |3 \times (-12) \times (-4)| = 24$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(V, p) = (24, -13)$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોવા માટે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$.
આપેલ છે $\vec{u} = a(\log_{e} b) \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\vec{v} = (\log_{e} b) \hat{i} + 2 \hat{j} + 2a(\log_{e} b) \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{u} \cdot \vec{v} = a(\log_{e} b)^2 - 12 + 6a(\log_{e} b) > 0$.
ધારો કે $t = \log_{e} b$. કારણ કે $b > 1$,તેથી $t > 0$.
અસમતા $at^2 + 6at - 12 > 0$ બને છે,તમામ $t > 0$ માટે.
જો $a \le 0$ હોય,તો મોટા $t$ માટે $at^2 + 6at - 12$ ઋણ થશે,તેથી $a$ ધન હોવો જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f(t) = at^2 + 6at - 12$ એ તમામ $t > 0$ માટે ધન રહે તે માટે,તેનું શિરોબિંદુ $t = -\frac{6a}{2a} = -3$ પર હોવું જોઈએ. શિરોબિંદુ $t = -3$ પર છે (જે $t > 0$ ના પ્રદેશની બહાર છે) અને પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે $(a > 0)$,તેથી $t > 0$ માટે ન્યૂનતમ કિંમત $t \to 0^+$ તરીકે મળે છે.
જેમ $t \to 0^+$,$f(t) \to -12$,જે $0$ કરતા મોટું નથી.
આમ,$a$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે તમામ $t > 0$ માટે શરતનું પાલન કરે.
તેથી,$S = \phi$.

(A) આપેલ છે કે $P(B \mid A) = \frac{2}{5}$,$P(A \mid B) = \frac{1}{7}$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$.
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{7}$ પરથી,આપણને $P(B) = 7 \times P(A \cap B) = 7 \times \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$ મળે છે.
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{5}$ પરથી,આપણને $P(A) = \frac{5}{2} \times P(A \cap B) = \frac{5}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{5}{18}$ મળે છે.
$(S1)$ માટે: $P(A' \cup B) = P(A') + P(B) - P(A' \cap B) = (1 - P(A)) + P(B) - (P(B) - P(A \cap B)) = 1 - P(A) + P(A \cap B) = 1 - \frac{5}{18} + \frac{1}{9} = 1 - \frac{5}{18} + \frac{2}{18} = 1 - \frac{3}{18} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. આમ,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ માટે: $P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B)) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{7}{9} - \frac{1}{9}) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{6}{9}) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{12}{18}) = 1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$. આમ,$(S2)$ સાચું છે.
તેથી,$(S1)$ અને $(S2)$ બંને સાચા છે.

(C) કુલ દડાઓની સંખ્યા $4 + 6 = 10$ છે. ત્રણ દડા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
ધારો કે $X$ એ સફેદ દડાની સંખ્યા છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{C(4,0) \times C(6,3)}{120} = \frac{1 \times 20}{120} = \frac{1}{6}$.
$P(X=1) = \frac{C(4,1) \times C(6,2)}{120} = \frac{4 \times 15}{120} = \frac{1}{2}$.
$P(X=2) = \frac{C(4,2) \times C(6,1)}{120} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{3}{10}$.
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \times C(6,0)}{120} = \frac{4 \times 1}{120} = \frac{1}{30}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{2}) + 2(\frac{3}{10}) + 3(\frac{1}{30}) = 1.2$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{6}) + 1^2(\frac{1}{2}) + 2^2(\frac{3}{10}) + 3^2(\frac{1}{30}) = 2.0$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.0 - (1.2)^2 = 2.0 - 1.44 = 0.56$.
તેથી,$100 \sigma^2 = 100 \times 0.56 = 56$.