ધારો કે y એ વિકલ સમીકરણ (1-x^{2}) dy = (xy + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} = xy + (x^{3}+2) \sqrt{1-x^{2}}$ છે.તેને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}} y = \frac{x^{3}+2}{\s

Vedclass · Accepted Answer

$320$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} = xy + (x^{3}+2) \sqrt{1-x^{2}}$ છે.તેને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}} y = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}}$ મળે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{-x}{1-x^{2}}$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{-x}{1-x^{2}} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^{2})} = \sqrt{1-x^{2}}$.$IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} (y \sqrt{1-x^{2}}) = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \sqrt{1-x^{2}} = x^{3}+2$ મળે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y \sqrt{1-x^{2}} = \int (x^{3}+2) dx = \frac{x^{4}}{4} + 2x + C$.$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 = 0 + 0 + C$,તેથી $C=0$.આમ,$\sqrt{1-x^{2}} y(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x$.આપણે $k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{4}}{4} + 2x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.$2x$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 2x dx = 0$.તેથી,$k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{320}$.આમ,$k^{-1} = 320$.

Similar Questions

ધારો કે $x=x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x(1)=0$ છે. તો,$x(e)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો (જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે)

જો $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(1) = 0$ હોય,તો $x(e)$ ની કિંમત શોધો:

નીચેના વિકલ સમીકરણને ઉકેલો: $\left(x^2+1\right) \frac{dy}{dx} + 4xy = \frac{1}{x^2+1}$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module