AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ $\overline{z} = i z^2 \dots (i)$ છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|\overline{z}| = |i z^2|$ $\Rightarrow |z| = |i| |z|^2$ $\Rightarrow |z| = |z|^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z|(|z| - 1) = 0$,તેથી $|z| = 0$ અથવા $|z| = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $|z| = 0$,તો $z = 0$. આ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: જો $|z| = 1$,તો $\overline{z} = 1/z$. સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$1/z = i z^2 \Rightarrow z^3 = 1/i = -i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-i = e^{i(3\pi/2 + 2k\pi)}$ જ્યાં $k = 0, 1, 2$.
તેથી,$z = e^{i(\pi/2 + 2k\pi/3)}$.
$k = 0$ માટે,$z = e^{i\pi/2} = i$.
$k = 1$ માટે,$z = e^{i(7\pi/6)} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$.
$k = 2$ માટે,$z = e^{i(11\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$.
$z = 0$ ને ગણતા,કુલ $1 + 3 = 4$ ઉકેલો મળે છે.

(A) સંકર સંખ્યાઓ માટે ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,આપણી પાસે $|z_1| + |z_2| \geq |z_1 - z_2|$ છે.
ધારો કે $z_1 = z$ અને $z_2 = 1 - z$.
તેથી $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)| = |1| = 1$.
કારણ કે $|z-1| = |1-z|$,પદાવલિ $|z| + |z-1| \geq 1$ બને છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $z$ એ સંકર સમતલમાં $0$ અને $1$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોય.

(A) આપેલ છે,$\bar{z}+i \bar{w}=0$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $z-i w=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $z=i w$.
આપણને $\operatorname{Arg}(z w)=\pi$ આપેલ છે.
ગુણધર્મ $\operatorname{Arg}(z w) = \operatorname{Arg}(z) + \operatorname{Arg}(w)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\operatorname{Arg}(z) + \operatorname{Arg}(w) = \pi$ છે.
$z=i w$ હોવાથી,$w = \frac{z}{i} = -iz$ થાય.
તેથી,$\operatorname{Arg}(w) = \operatorname{Arg}(-i) + \operatorname{Arg}(z) = -\frac{\pi}{2} + \operatorname{Arg}(z)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\operatorname{Arg}(z) + (\operatorname{Arg}(z) - \frac{\pi}{2}) = \pi$.
$2 \operatorname{Arg}(z) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$.
તેથી,$\operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$
પદોને ગોઠવતા: $|z|^2 w + w = |w|^2 z + z$
$(|z|^2 + 1) w = (|w|^2 + 1) z$
$z$ અને $w$ શૂન્યતર હોવાથી: $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1}$
ધારો કે $\frac{z}{|z|^2 + 1} = \frac{w}{|w|^2 + 1} = k$
તેથી $z = k(|z|^2 + 1)$ અને $w = k(|w|^2 + 1)$
$z$ અને $w$ સંકર સંખ્યાઓ હોવાથી,$k$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.
જો $k$ વાસ્તવિક હોય,તો $\frac{z}{w} = \frac{|z|^2 + 1}{|w|^2 + 1}$,જે એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
તેથી,$z = cw$ જ્યાં $c \neq 1$ એક વાસ્તવિક અચળાંક છે.
મૂળ સમીકરણમાં $z = cw$ મૂકતા:
$c^2 |w|^2 w - c |w|^2 w = (c - 1) w$
$w \neq 0$ હોવાથી,$w$ વડે ભાગતા:
$c |w|^2 (c - 1) = c - 1$
$z \neq w$ હોવાથી,$c \neq 1$,તેથી $(c - 1)$ વડે ભાગતા:
$c |w|^2 = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{|w|^2}$
તેથી,$z = \frac{w}{|w|^2} = \frac{w}{w \bar{w}} = \frac{1}{\bar{w}}$
આમ,$z \bar{w} = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{Arg} z_1 = \frac{\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Arg} \overline{z_2} = -\operatorname{Arg} z_2$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Arg} \overline{z_2} = \frac{\pi}{5}$,તેથી $\operatorname{Arg} z_2 = -\frac{\pi}{5}$.
હવે,$\operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5}$.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી લેતા,આપણને $\frac{5\pi - 3\pi}{15} = \frac{2\pi}{15}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| = |(z+\frac{2}{z}) - \frac{2}{z}| \leq |z+\frac{2}{z}| + |\frac{2}{z}|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$|z| \leq 2 + \frac{2}{|z|}$.
$|z|$ વડે ગુણતા (કારણ કે $|z| > 0$),આપણને $|z|^2 \leq 2|z| + 2$ મળે,જેનો અર્થ છે $|z|^2 - 2|z| - 2 \leq 0$.
$x = |z|$ માટે દ્વિઘાત અસમતા $x^2 - 2x - 2 \leq 0$ ઉકેલતા,બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
$|z| \geq 0$ હોવાથી,$0 \leq |z| \leq 1+\sqrt{3}$.
તેથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1+\sqrt{3}$ છે.

(C) ધારો કે $C = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (n \theta)}{2^n}$ અને $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin (n \theta)}{2^n}$.
$C + iS = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{e^{i \theta}}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{e^{i \theta}}{2}} = \frac{2}{2 - \cos \theta - i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને $(2 - \cos \theta + i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$C + iS = \frac{2(2 - \cos \theta + i \sin \theta)}{(2 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} = \frac{4 - 2 \cos \theta + 2i \sin \theta}{5 - 4 \cos \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગની સરખામણી કરતા, $C = \frac{4 - 2 \cos \theta}{5 - 4 \cos \theta}$.

(D) ધારો કે $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$.
$z$ વાસ્તવિક બને તે માટે તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+2 i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$8 \sin \theta = 0$
$\sin \theta = 0$
તેથી,$\theta = n \pi, n \in \mathbb{Z}$.

(B) આપેલ છે કે $z = \cos \theta + i \sin \theta$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$z^r = (\cos \theta + i \sin \theta)^r = \cos(r \theta) + i \sin(r \theta)$.
અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = \cos \theta - i \sin \theta$ છે.
તેથી,$(\bar{z})^r = (\cos \theta - i \sin \theta)^r = \cos(r \theta) - i \sin(r \theta)$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$z^r + (\bar{z})^r = (\cos(r \theta) + i \sin(r \theta)) + (\cos(r \theta) - i \sin(r \theta)) = 2 \cos(r \theta)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ અને $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\cosh x + \sinh x)^n = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} + \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^n$
$= \left( \frac{2e^x}{2} \right)^n = (e^x)^n = e^{nx}$.
હાયપરબોલિક વિધેયોની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{nx} = \cosh nx + \sinh nx$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(-1+i \sqrt{3})^{60}$
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $2^{60} \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{60}$
ધારો કે $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
તેથી પદાવલિ થશે: $2^{60} \times \omega^{60}$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{60} = (\omega^3)^{20} = 1^{20} = 1$.
આમ,$(-1+i \sqrt{3})^{60} = 2^{60} \times 1 = 2^{60}$.

(B) આપેલ છે કે $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ છે,તેથી $1+\omega+\omega^2=0$ અને $\omega^3=1$ થાય.
$\omega$ ની ઘાતનું સાદું રૂપ આપતા: $\omega^{10} = \omega$ અને $\omega^{11} = \omega^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(2-\omega)^2(2-\omega^2)^2(2-\omega)^2(2-\omega^2)^2 = [(2-\omega)(2-\omega^2)]^4$
$= [4 - 2(\omega+\omega^2) + \omega^3]^4$
અહીં $\omega+\omega^2 = -1$ અને $\omega^3 = 1$ હોવાથી:
$= [4 - 2(-1) + 1]^4 = 7^4$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2=0$,જેનો અર્થ છે કે $1+\omega^2=-\omega$ અને $1+\omega=-\omega^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1-\omega+\omega^2)^5+(1+\omega-\omega^2)^5 = (-\omega-\omega)^5+(-\omega^2-\omega^2)^5$
$= (-2\omega)^5+(-2\omega^2)^5$
$= -32\omega^5 - 32\omega^{10}$
$= -32(\omega^5+\omega^{10})$
કારણ કે $\omega^3=1$,તેથી $\omega^5 = \omega^2$ અને $\omega^{10} = \omega$.
$= -32(\omega^2+\omega)$
કારણ કે $1+\omega+\omega^2=0$,તેથી $\omega^2+\omega = -1$.
$= -32(-1) = 32$.

(D) પ્રથમ,પાયાના પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$
હવે આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$(-i)^{2022} + (i)^{2021}$
$= (i)^{2022} + (i)^{2021}$
$= (i^{4})^{505} \cdot i^2 + (i^{4})^{505} \cdot i^1$
$= (1)^{505} \cdot (-1) + (1)^{505} \cdot i$
$= -1 + i$

(C) આપેલ છે કે $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ છે.
$\therefore 1+\omega+\omega^2=0$ અને $\omega^3=1$.
આપેલ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+y)^2+(x\omega+y\omega^2)^2+(x\omega^2+y\omega)^2$
$= (x^2+y^2+2xy) + (x^2\omega^2+y^2\omega^4+2xy\omega^3) + (x^2\omega^4+y^2\omega^2+2xy\omega^3)$
$= x^2+y^2+2xy + x^2\omega^2+y^2\omega+2xy + x^2\omega+y^2\omega^2+2xy$
$= x^2(1+\omega+\omega^2) + y^2(1+\omega+\omega^2) + 6xy$
કારણ કે $1+\omega+\omega^2=0$,તેથી:
$= x^2(0) + y^2(0) + 6xy = 6xy$.

(C) આપેલ છે,$z^3+27 i=0$.
$27 i = (-3 i)^3$ હોવાથી,$z^3 - (-3 i)^3 = 0$ મળે.
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(z - (-3 i))(z^2 + z(-3 i) + (-3 i)^2) = 0$ મળે.
$(z + 3 i)(z^2 - 3 i z - 9) = 0$.
કિસ્સો $1$: $z + 3 i = 0 \Rightarrow z = -3 i$.
કિસ્સો $2$: $z^2 - 3 i z - 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{3 i \pm \sqrt{(-3 i)^2 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{3 i \pm \sqrt{-9 + 36}}{2} = \frac{3 i \pm \sqrt{27}}{2} = \frac{3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2}$.
આમ,ઉકેલો $-3 i$,$\frac{3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$,અને $\frac{-3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$ છે.

(C) આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ: $\sum_{k=1}^6 -i \left[ \cos \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) + i \sin \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) \right]$
આઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$,પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$-i \sum_{k=1}^6 e^{i \frac{2 \pi k}{7}} = -i \left[ e^{i \frac{2 \pi}{7}} + e^{i \frac{4 \pi}{7}} + \dots + e^{i \frac{12 \pi}{7}} \right]$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ છે,જ્યાં $n = 6$ પદો છે:
$-i \left[ e^{i \frac{2 \pi}{7}} \frac{1 - (e^{i \frac{2 \pi}{7}})^6}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right] = -i \left[ \frac{e^{i \frac{2 \pi}{7}} - e^{i \frac{14 \pi}{7}}}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right]$
કારણ કે $e^{i \frac{14 \pi}{7}} = e^{i 2 \pi} = 1$:
$-i \left[ \frac{e^{i \frac{2 \pi}{7}} - 1}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right] = -i (-1) = i$

(D) કારણ કે $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{23}$ એ એકમના $23^{rd}$ મૂળ છે,તેઓ $\alpha^{23} - 1 = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^{23} = 1$.
હવે,સરવાળો $S = \alpha_1^{47} + \alpha_2^{47} + \ldots + \alpha_{23}^{47}$ ધ્યાનમાં લો.
દરેક $k = 1, 2, \ldots, 23$ માટે $\alpha_k^{23} = 1$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\alpha_k^{47} = \alpha_k^{23 \times 2 + 1} = (\alpha_k^{23})^2 \cdot \alpha_k = (1)^2 \cdot \alpha_k = \alpha_k$.
તેથી,$S = \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{23}$.
એકમના $n^{th}$ મૂળનો સરવાળો $n > 1$ માટે $0$ થાય છે.
આમ,$\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{23} = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^4-2x^3+x-380=0$.
બીજો તપાસતા,$x=5$ માટે: $5^4-2(5^3)+5-380 = 625-250+5-380 = 0$. તેથી,$x=5$ એક બીજ છે.
$x=-4$ માટે: $(-4)^4-2(-4)^3+(-4)-380 = 256+128-4-380 = 0$. તેથી,$x=-4$ બીજું બીજ છે.
ધારો કે ચાર બીજો $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે. આપણી પાસે $x_1=5$ અને $x_2=-4$ છે. ધારો કે $x_3$ અને $x_4$ સંકર બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બધા બીજોનો સરવાળો $-\frac{x^3 \text{ નો સહગુણક}}{x^4 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-2}{1} = 2$ થાય.
આમ,$x_1+x_2+x_3+x_4 = 2$.
જાણીતા બીજો મૂકતા: $5-4+x_3+x_4 = 2$.
$1+x_3+x_4 = 2$.
તેથી,$x_3+x_4 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $3 + i\sqrt{6}$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $3 - i\sqrt{6}$ પણ બીજ થશે.
ધારો કે અન્ય બે વાસ્તવિક બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બહુપદી $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ ના ચાર બીજોનો ગુણાકાર $e/a$ થાય છે.
અહીં,બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta \cdot (3 + i\sqrt{6}) \cdot (3 - i\sqrt{6}) = -45/4$ છે.
સંકર બીજોનો ગુણાકાર: $(3 + i\sqrt{6})(3 - i\sqrt{6}) = 3^2 + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6 = 15$.
તેથી,$\alpha \cdot \beta \cdot 15 = -45/4$.
આમ,$\alpha \cdot \beta = -45 / (4 \times 15) = -45 / 60 = -3/4$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી $|z|^2 = x^2 + y^2$.
આપેલ સમીકરણ $|z|^2 = \operatorname{Re}(z)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$x^2 + y^2 = x$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - x + y^2 = 0$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
આ વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k)$ છે।
સરખામણી કરતા, કેન્દ્ર $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ મળે છે।

(A) આપેલ છે,$|z-3 i|+|z+5 i|=4$.
આ સમીકરણ $|z-z_1|+|z-z_2|=k$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $z_1=3 i$ અને $z_2=-5 i$ છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $|z_1-z_2| = |3 i - (-5 i)| = |8 i| = 8$ છે.
ઉપવલય માટે,શરત $k > |z_1-z_2|$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં,$k=4$ અને $|z_1-z_2|=8$ છે.
કારણ કે $k < |z_1-z_2|$,બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો તે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતા ઓછો છે,જે સંકર સમતલમાં અશક્ય છે.
તેથી,આવું કોઈ બિંદુ $z$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે,તેથી $AC = BC$ થાય.
પરિભ્રમણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,સદિશ $\vec{CA}$ એ $\vec{CB}$ ને $90^{\circ}$ ($i.e., \frac{\pi}{2}$ રેડિયન) ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવીને મેળવી શકાય છે.
આમ,$z_1 - z_3 = i(z_2 - z_3)$.
વળી,તે સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$ થાય.
હવે,સદિશ $\vec{BA} = z_1 - z_2$ અને $\vec{BC} = z_3 - z_2$ ધ્યાનમાં લો.
$\triangle ABC$ માં,$\angle B = 45^{\circ}$ અને $AC = BC$ છે.
પરિભ્રમણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{z_1 - z_2}{z_3 - z_2} = \sqrt{2} e^{i\pi/4} = 1 + i$.
તે જ રીતે,$\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \sqrt{2} e^{-i\pi/4} = 1 - i$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\frac{(z_1 - z_2)(z_2 - z_1)}{(z_3 - z_2)(z_3 - z_1)} = (1+i)(1-i) = 2$.
તેથી,$(z_1 - z_2)^2 = 2(z_1 - z_3)(z_3 - z_2)$ મળે છે.

(D) ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તે માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$
અહીં આપેલ છે કે શિરોબિંદુઓ $z_1, z_2$ અને $0$ છે,તેથી $z_3 = 0$ મૂકતા:
$z_1^2 + z_2^2 + 0^2 = z_1 z_2 + z_2(0) + (0)z_1$
આનું સાદુંરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\bar{z} z^3+z \bar{z}^3=350$
$\Rightarrow z \bar{z}(z^2+\bar{z}^2)=350$
ધારો કે $z=x+iy$,તો $\bar{z}=x-iy$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+iy)(x-iy)[(x+iy)^2+(x-iy)^2]=350$
$(x^2+y^2)[(x^2-y^2+2ixy)+(x^2-y^2-2ixy)]=350$
$(x^2+y^2) \cdot 2(x^2-y^2)=350$
$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=175$
અહીં $x, y \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$x^2+y^2=25$ અને $x^2-y^2=7$ મળે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(4,3), (4,-3), (-4,-3),$ અને $(-4,3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $6$ અને $8$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 6 \times 8 = 48$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. તો $iz = -y + ix$ અને $z + iz = (x - y) + i(x + y)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x, y)$,$(-y, x)$ અને $(x - y, x + y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.

(B) $MULTIPLE$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $M, U, L, T, I, P, L, E$.
સ્વરો $U, I, E$ છે અને વ્યંજનો $M, L, T, L$ છે.
સ્વરો $2, 5, 8$ સ્થાન પર છે. આ સ્થાનોને સ્થિર રાખીને,$3$ સ્વરોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બાકીના $5$ સ્થાનો પર વ્યંજનો $M, L, T, L$ આવે છે.
આ $5$ વ્યંજનોને ગોઠવવાની રીતો (જ્યાં $L$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $3! \times 60 = 6 \times 60 = 360$ છે.

(C) $n!$ માં અંતિમ શૂન્યોની સંખ્યા લેજેન્ડ્રેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $E_5(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^k} \rfloor$
આપણે $E_5(n!) = 1000$ જોઈએ છે.
વિકલ્પ $C$ $(n=4009)$ ચકાસતા:
$E_5(4009!) = \lfloor \frac{4009}{5} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{25} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{125} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{625} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{3125} \rfloor$
$= 801 + 160 + 32 + 6 + 1 = 1000$
આમ,$n=4009$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) પગલું $1$: $9$ ઉપલબ્ધ અંકોમાંથી $2$ ભિન્ન અંકો પસંદ કરો. આ $^9C_2 = 36$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $2$: દરેક પસંદ કરેલી જોડી માટે,આપણે $4$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે જેમાં બંને અંકોનો ઓછામાં ઓછી એક વાર ઉપયોગ થાય.
પગલું $3$: $2$ પસંદ કરેલા અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4$ સ્થાન ભરવાની કુલ રીતો $2^4 = 16$ છે.
પગલું $4$: આપણે એવા કિસ્સાઓ બાકાત રાખવા પડશે જેમાં માત્ર એક જ અંકનો ઉપયોગ થયો હોય (એટલે કે ચારેય અંક સમાન હોય). આવા $2$ કિસ્સાઓ છે.
પગલું $5$: દરેક જોડી માટે માન્ય $4$ અંકની સંખ્યાઓ $(2^4 - 2) = 14$ છે.
પગલું $6$: કુલ સંખ્યાઓ = $36 \times 14 = 504$.

(B) "$MOTHER$" શબ્દના અક્ષરો $M, O, T, H, E, R$ છે. બધા અક્ષરો ભિન્ન છે. કુલ ગોઠવણી $= 6! = 720$.
અક્ષરોનો મૂળાક્ષર ક્રમ: $E, H, M, O, R, T$.
$1$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$2$. $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$3$. $ME$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$4$. $MH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$5$. $MOE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$6$. $MOH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$7$. $MOR$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$8$. $MOT E H R$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1! = 1$.
$9$. $MOT E R H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1! = 1$.
$10$. $MOT H E R$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1$.
સરવાળો: $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 = 309$.
તેથી,"$MOTHER$" શબ્દનો ક્રમ $309$ છે.

(C) જ્યારે આપણે એક સમયે $1$ વસ્તુ લઈએ,ત્યારે શક્ય ક્રમચયોની સંખ્યા $n$ છે.
જ્યારે આપણે એક સમયે $2$ વસ્તુ લઈએ,ત્યારે શક્ય ક્રમચયોની સંખ્યા $n \times n = n^2$ છે.
આ પ્રક્રિયાને $r$ સુધી ચાલુ રાખતા,$k$ વસ્તુઓ માટે ક્રમચયોની સંખ્યા $n^k$ મળે છે.
આમ,એક સમયે $r$ થી વધુ નહીં તેવી વસ્તુઓ લઈને બનતા કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા એ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો છે:
$n + n^2 + \ldots + n^r = \frac{n(n^r - 1)}{n - 1}$ (જ્યાં $n > 1$).

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$.
પદ ${}^n P_r - {}^{n-1} P_r = \frac{n!}{(n-r)!} - \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!}$ લો.
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left( \frac{n}{n-r} - 1 \right) = \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left( \frac{n - (n-r)}{n-r} \right)$.
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \cdot \frac{r}{n-r} = \frac{r \cdot (n-1)!}{(n-r)!}$.
$= r \cdot \frac{(n-1)!}{((n-1) - (r-1))!} = r \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$.
આમ,${}^n P_r = {}^{n-1} P_r + r \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$.
આપેલ સમીકરણ ${}^n P_r = {}^{n-1} P_r + x \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = r$ મળે છે.

(B) વર્તુળ પરના બિંદુઓની સંખ્યા $n = 21$ છે.
જીવા વર્તુળ પરના કોઈપણ $2$ ભિન્ન બિંદુઓને જોડવાથી બને છે.
તેથી,જીવાઓની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 2$ છે.
$^{21}C_2 = \frac{21!}{2!(21-2)!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 21 \times 10 = 210$.
આમ,વર્તુળ પરના $21$ બિંદુઓમાંથી $210$ જીવાઓ દોરી શકાય છે.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના $n$ શિરોબિંદુઓને જોડવાથી મળતા રેખાખંડોની સંખ્યા ${}^nC_2$ છે.
આ રેખાખંડોમાંથી $n$ રેખાખંડો બહુકોણની બાજુઓ છે.
તેથી,વિકર્ણોની સંખ્યા ${}^nC_2 - n$ થાય.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $560$ છે,તેથી:
${}^nC_2 - n = 560$
$\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} - n = 560$
$\Rightarrow n^2 - n - 2n = 1120$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 1120 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(n - 35)(n + 32) = 0$
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 35$.

(D) $DAUGHTER$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $D, A, U, G, H, T, E, R$.
તેમાં $3$ સ્વર $(A, U, E)$ અને $5$ વ્યંજન $(D, G, H, T, R)$ છે.
આપણે $3$ માંથી $2$ સ્વર અને $5$ માંથી $3$ વ્યંજન પસંદ કરવાના છે.
અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^3C_2 \times ^5C_3 = 3 \times 10 = 30$ છે.
દરેક પસંદગીમાં $5$ અક્ષરો હોય છે,જેને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$5! = 120$.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $30 \times 120 = 3600$ થાય.

(D) આપેલ છે: ${}^nC_{r-1}=36$,${}^nC_r=84$ અને ${}^nC_{r+1}=126$.
ગુણોત્તર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ લેતા.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n-3r+3 = 7r$ $\Rightarrow 3n+3 = 10r$ (સમીકરણ $i$).
ગુણોત્તર $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ લેતા.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n-2r = 3r+3$ $\Rightarrow 2n-3 = 5r$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ પરથી,$r = \frac{2n-3}{5}$. આ કિંમત સમીકરણ $i$ માં મુકતા:
$3n+3 = 10 \left( \frac{2n-3}{5} \right)$ $\Rightarrow 3n+3 = 2(2n-3)$ $\Rightarrow 3n+3 = 4n-6$ $\Rightarrow n = 9$.
$n=9$ ને સમીકરણ $ii$ માં મુકતા: $2(9)-3 = 5r$ $\Rightarrow 15 = 5r$ $\Rightarrow r = 3$.
તેથી,$nr^2 = 9 \times (3)^2 = 9 \times 9 = 81$.

(B) આપેલ છે કે $xyz = 24$.
$24$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^3 \times 3^1$ છે.
ધારો કે $x = 2^{x_1} \times 3^{y_1}$,$y = 2^{x_2} \times 3^{y_2}$,અને $z = 2^{x_3} \times 3^{y_3}$,જ્યાં $x_i, y_i \ge 0$.
તેથી $x_1 + x_2 + x_3 = 3$ અને $y_1 + y_2 + y_3 = 1$.
$x_1 + x_2 + x_3 = 3$ માટે અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1} = \binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ છે.
$y_1 + y_2 + y_3 = 1$ માટે અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ છે.
તેથી,કુલ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $10 \times 3 = 30$ છે.

(D) બે સ્વરની પસંદગી $\Rightarrow {}^{5}C_{2} = 10$.
બે વ્યંજનની પસંદગી $\Rightarrow {}^{21}C_{2} = 210$.
ચાર અક્ષરોની કુલ પસંદગી $= 10 \times 210 = 2100$.
આ ચાર ભિન્ન અક્ષરોની ગોઠવણી $= 4!$.
$\therefore$ કુલ શબ્દો $= 2100 \times 4!$.

(B) અંકોની સંખ્યા $n = 4$ છે. અંકોનો સરવાળો $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$ છે.
દરેક અંક દરેક સ્થાન પર $(n-1)! = 3! = 6$ વખત આવે છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $Sum = (n-1)! \times S \times (1111)$.
$Sum = 6 \times 17 \times 1111$.
$Sum = 102 \times 1111 = 113322$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$33 \times 34 \times 101 = 1122 \times 101 = 113322$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રમચય અને સંચય વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
${}^{n}P_r = {}^{n}C_r \times r!$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$604800 = 120 \times r!$
$r! = \frac{604800}{120}$
$r! = 5040$
કારણ કે $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$,તેથી:
$r! = 7!$
આમ,$r = 7$.

(A) વિભાગ $1$ માં $3$ પ્રશ્નો છે. આ વિભાગમાંથી એક અથવા વધુ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^3 - 1 = 7$ છે.
વિભાગ $2$ માં $4$ પ્રશ્નો છે. આ વિભાગમાંથી એક અથવા વધુ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^4 - 1 = 15$ છે.
ઉમેદવારે દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન પસંદ કરવાનો હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા દરેક વિભાગમાંથી પસંદ કરવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ રીતો $= 7 \times 15 = 105$.

(B) "$ASSASSINATION$" શબ્દમાં કુલ $13$ અક્ષરો છે: $3$ $A$,$4$ $S$,$2$ $I$,$2$ $N$,$1$ $T$,અને $1$ $O$.
બધા $4$ $S$ ને સાથે રાખવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ,ધારો કે $Z$.
હવે,આપણી પાસે $10$ વસ્તુઓ છે: $A, A, A, I, I, N, N, T, O, Z$.
અહીં $A$ $3$ વાર,$I$ $2$ વાર અને $N$ $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,ગોઠવણીની કુલ રીતો $\frac{10!}{3! 2! 2!}$ છે.

(B) $2000$ અને $5000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા $4$ અંકની હોય છે.
સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય તે માટે તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય તેવો હોવો જોઈએ.
અંકોના સમૂહ ${0, 1, 2, 3}$ માટે,હજારના સ્થાને $2$ અથવા $3$ આવી શકે ($2$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાનો $3!$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 2 \times 3! = 12$.
અંકોના સમૂહ ${0, 2, 3, 4}$ માટે,હજારના સ્થાને $2, 3$ અથવા $4$ આવી શકે ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાનો $3!$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 3 \times 3! = 18$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 12 + 18 = 30$.

(A) $10$ અને $10000$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ $2$-અંકી,$3$-અંકી અથવા $4$-અંકી હોઈ શકે છે.
$5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને $2$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની રીતો: $5 \times 4 = 20$.
$5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને $3$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની રીતો: $5 \times 4 \times 3 = 60$.
$5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની રીતો: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
કુલ સંખ્યાઓ = $20 + 60 + 120 = 200$.

(D) ધારો કે પ્રથમ ત્રણ વિષયોમાં ગુણ $x_1, x_2, x_3$ $(0 \leq x_i \leq n)$ છે અને ચોથા વિષયમાં ગુણ $x_4$ $(0 \leq x_4 \leq 2n)$ છે.
આપણે $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3n$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ $(1+x+\dots+x^n)^3(1+x+\dots+x^{2n})$ ના વિસ્તરણમાં $x^{3n}$ નો સહગુણક છે.
આ પદાવલિ $\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)^3 \left(\frac{1-x^{2n+1}}{1-x}\right) = (1-x^{n+1})^3(1-x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ બરાબર છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3})(1 - x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ મળે છે.
$= (1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3} - x^{2n+1} + 3x^{3n+2} - 3x^{4n+3} + x^{5n+4})(1-x)^{-4}$.
આ ગુણાકારમાં $x^{3n}$ નો સહગુણક શોધતા,આપણને $\frac{1}{6}(n+1)(5n^2+10n+6)$ મળે છે.

(D) $5$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક લીલું રમકડું પસંદ કરવાની રીતો $2^5 - 1 = 31$ છે.
$4$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક વાદળી રમકડું પસંદ કરવાની રીતો $2^4 - 1 = 15$ છે.
$3$ માંથી કોઈપણ સંખ્યામાં લાલ રમકડાં (શૂન્ય સહિત) પસંદ કરવાની રીતો $2^3 = 8$ છે.
આ પસંદગીઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ સંયોજનોની સંખ્યા $31 \times 15 \times 8$ છે.

(D) સમાન પ્રકારના ફળોને એકસરખા ગણતા.
જો $1^{\text{st}}$ પ્રકારની $p$ એકસરખી વસ્તુઓ,$2^{\text{nd}}$ પ્રકારની $q$ એકસરખી વસ્તુઓ અને $3^{\text{rd}}$ પ્રકારની $r$ એકસરખી વસ્તુઓ હોય,તો કોઈપણ સંખ્યામાં વસ્તુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(p+1)(q+1)(r+1)$ છે.
આ કિસ્સામાં,$p=4$,$q=5$,અને $r=7$ છે.
શૂન્ય ફળ પસંદ કરવાના કિસ્સા સહિત કુલ રીતો $= (4+1)(5+1)(7+1) = 5 \times 6 \times 8 = 240$.
આપણે ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવાનું હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરીશું જેમાં $0$ નારંગી,$0$ સફરજન અને $0$ કેરી પસંદ કરવામાં આવે છે.
ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= 240 - 1 = 239$.

(A) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $= 13$.
પસંદ કરવાના પ્રશ્નોની સંખ્યા $= 10$.
શરત: પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $5$ માંથી બરાબર $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવામાં આવે.
$5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{5}C_{4} = 5$.
બાકીના $10 - 4 = 6$ પ્રશ્નો છેલ્લા $13 - 5 = 8$ પ્રશ્નોમાંથી ${}^{8}C_{6}$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
રીતોની સંખ્યા $= 5 \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $5$ માંથી બરાબર $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવામાં આવે.
$5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{5}C_{5} = 1$.
બાકીના $10 - 5 = 5$ પ્રશ્નો છેલ્લા $13 - 5 = 8$ પ્રશ્નોમાંથી ${}^{8}C_{5}$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 140 + 56 = 196$.

(A) $N = m \times n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $n$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(mn)!}{(m!)^n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$N = 500$,$n = 50$,અને $m = 10$ (કારણ કે $500 = 50 \times 10$).
તેથી,વહેંચણી કરવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{500!}{(10!)^{50}}$ છે.

(C) $52$ પત્તામાંથી $5$ પત્તા પસંદ કરવાના છે જેમાં બરાબર એક એક્કો હોય:
$1$. $4$ એક્કામાંથી $1$ એક્કો પસંદ કરવાની રીત: $^4C_1 = 4$.
$2$. બાકીના $48$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની રીત: $^{48}C_4$.
$3$. કુલ સંયોજનોની સંખ્યા $^4C_1 \times ^{48}C_4$ છે.
$\begin{aligned} & = 4 \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ & = 4 \times 194580 \\ & = 778320 \end{aligned}$

(A) ધારો કે $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}, w = \frac{1}{z}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બને છે:
$u + 2v - 3w = 1$ ...$(i)$
$2u - 4v + 3w = 1$ ...(ii)
$3u + 6v - 6w = 4$ ...(iii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $3u - 2v = 2$ ...(iv)
(ii) ને $2$ વડે ગુણીને (iii) માં ઉમેરતા: $(4u - 8v + 6w) + (3u + 6v - 6w) = 2 + 4 \Rightarrow 7u - 2v = 6$ ...$(v)$
$(v)$ માંથી (iv) બાદ કરતા: $(7u - 2v) - (3u - 2v) = 6 - 2 \Rightarrow 4u = 4 \Rightarrow u = 1$. $u = \frac{1}{x}$ હોવાથી,$x = 1 = \alpha$.
$u = 1$ ને (iv) માં મૂકતા: $3(1) - 2v = 2 \Rightarrow 2v = 1 \Rightarrow v = \frac{1}{2}$. $v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$y = 2 = \beta$.
$u = 1, v = \frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $1 + 2(\frac{1}{2}) - 3w = 1 \Rightarrow 1 + 1 - 3w = 1 \Rightarrow 3w = 1 \Rightarrow w = \frac{1}{3}$. $w = \frac{1}{z}$ હોવાથી,$z = 3 = \gamma$.
આમ,$\alpha^2 + \gamma^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
$\beta = 2$ હોવાથી,$5\beta = 5(2) = 10$.
તેથી,$\alpha^2 + \gamma^2 = 5\beta$.

(C) સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ: $\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -4 & k \\ 1 & 2 & -1 \\ k & -1 & 3 \end{vmatrix} \neq 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $3(6 - 1) + 4(3 + k) + k(-1 - 2k) \neq 0$.
$15 + 12 + 4k - k - 2k^2 \neq 0 \implies -2k^2 + 3k + 27 \neq 0 \implies 2k^2 - 3k - 27 \neq 0$.
અવયવ પાડતા: $(2k - 9)(k + 3) \neq 0$,તેથી $k \neq \frac{9}{2}$ અને $k \neq -3$.
આપેલ છે કે $2\beta - \gamma = 8$,આપણે બીજા સમીકરણ $x + 2y - z = 9$ નો ઉપયોગ કરીએ. $x = \alpha, y = \beta, z = \gamma$ મૂકતા:
$\alpha + 2\beta - \gamma = 9 \implies \alpha + 8 = 9 \implies \alpha = 1$.
$k \neq m$ હોવાથી,$m$ એ એવી કિંમતો દર્શાવે છે જેના માટે સંહતિને અનન્ય ઉકેલ નથી,એટલે કે $m \in \{\frac{9}{2}, -3\}$.
જો $m = -3$ લઈએ,તો $\alpha + m = 1 + (-3) = -2$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) x+y-z=6$
$2) 4x+y+z=2$
$3) x+ky+z=-8$
$x=2$ મૂકતા:
$2+y-z=6 \Rightarrow y-z=4$ (સમીકરણ $i$)
$4(2)+y+z=2 \Rightarrow 8+y+z=2 \Rightarrow y+z=-6$ (સમીકરણ $ii$)
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2y = -2 \Rightarrow y = -1$
$z = -5$
સમીકરણ $(3)$ માં $x=2, y=-1, z=-5$ મૂકતા:
$2 + k(-1) - 5 = -8 \Rightarrow -k - 3 = -8 \Rightarrow k = 5$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ $k=1$ માટે વિકલ્પ $D$ સાચો ઠરે છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX=B$ ને અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \mu \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1((-1)(-1) - (3)(\mu)) - 1((5)(-1) - (2)(\mu)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$|A| = 1(1 - 3\mu) - 1(-5 - 2\mu) + 1(15 + 2)$
$|A| = 1 - 3\mu + 5 + 2\mu + 17$
$|A| = 23 - \mu$
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે.
$23 - \mu \neq 0 \implies \mu \neq 23$.
નિશ્ચાયક $\lambda$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,અનન્ય ઉકેલની શરત માત્ર $\mu$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,$\mu \neq 23$ અને $\lambda$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે $(\lambda \in R)$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+kz=1$ ... $(i)$
$2x+2y=3$ ... $(ii)$
$x+2y+2kz=k$ ... $(iii)$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને સંહતિ સુસંગત ન હોવી જોઈએ.
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 2k \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(4k - 0) - 1(4k - 0) + k(4 - 2)$
$D = 4k - 4k + 2k = 2k$
$D = 0$ લેતા,આપણને $2k = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 0$.
હવે,$k = 0$ માટે સુસંગતતા તપાસતા:
સમીકરણો આ મુજબ બને છે:
$x+y=1$
$2x+2y=3$
$x+2y=0$
$(i)$ પરથી,$x+y=1$,તેથી $2x+2y=2$. પરંતુ,$(ii)$ માં $2x+2y=3$ આપેલ છે. $2 \neq 3$ હોવાથી,$k=0$ માટે સંહતિ અસંગત છે.
આમ,$k$ ની કિંમતોનો ગણ $\{0\}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$.
તેથી,આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{r^2+\frac{3}{4}}\right)$ છે.
આપણે દલીલને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $\frac{1}{r^2+1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{1+(r^2-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1+(r-\frac{1}{2})(r+\frac{1}{2})}$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1}(a) - \tan ^{-1}(b) = \tan ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(r+\frac{1}{2})-(r-\frac{1}{2})}{1+(r+\frac{1}{2})(r-\frac{1}{2})}\right) = \tan ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}\right)$.
હવે,સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી બને છે:
$S_n = \sum_{r=1}^n \left[\tan ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}\right)\right]$
$S_n = \left(\tan ^{-1} \frac{3}{2} - \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right) + \left(\tan ^{-1} \frac{5}{2} - \tan ^{-1} \frac{3}{2}\right) + \dots + \left(\tan ^{-1} \left(n+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1} \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)$.
બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે,અને બાકી રહે છે $S_n = \tan ^{-1}\left(n+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \tan ^{-1}(\infty) - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan ^{-1}(2)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=\sqrt{2-x^2}$ અને $g(x)=\ln (1-x)$.
$(f+g)(x)$ નો પ્રદેશ એ $f(x)$ અને $g(x)$ ના પ્રદેશોનો છેદગણ છે.
$f(x)=\sqrt{2-x^2}$ માટે,$2-x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x^2 \leq 2$. તેથી,$x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. એટલે કે,$D_1 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
$g(x)=\ln (1-x)$ માટે,$1-x > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x < 1$. તેથી,$D_2 = (-\infty, 1)$.
$(f+g)(x)$ નો પ્રદેશ $D_1 \cap D_2 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap (-\infty, 1) = [-\sqrt{2}, 1)$ થશે.

(B) પદાવલિ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $|x|^2 - 2|x| - 8 \geq 0$.
ધારો કે $|x| = t$,તો $t^2 - 2t - 8 \geq 0 \Rightarrow (t-4)(t+2) \geq 0$.
$t = |x| \geq 0$ હોવાથી,$t \geq 4$ મળે,એટલે કે $|x| \geq 4$,તેથી $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.
$2$. લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ: $2 - x - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 < 0$.
$(x+2)(x-1) < 0 \Rightarrow x \in (-2, 1)$.
$3$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\log(2 - x - x^2) \neq 0$ $\Rightarrow 2 - x - x^2 \neq 1$ $\Rightarrow x^2 + x - 1 \neq 0$.
$x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
શરતોને જોડતા: $x \in ((-\infty, -4] \cup [4, \infty)) \cap (-2, 1)$.
આ ગણો વચ્ચે કોઈ છેદગણ ન હોવાથી,ઉકેલ ખાલી ગણ $\phi$ છે.

(A) $f(x) = \sin \log \left( \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} \right)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,વર્ગમૂળ $\sqrt{4-x^2}$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જ્યારે $4-x^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે $x \in [-2, 2]$.
બીજું,લઘુગણકની અંદરની પદાવલિ ધન હોવી જોઈએ: $\frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} > 0$.
કારણ કે $\sqrt{4-x^2} \geq 0$,તેથી $1-x > 0$ (એટલે કે $x < 1$) અને $\sqrt{4-x^2} \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$x < 1$ અને $x \neq \pm 2$.
$x \in [-2, 2]$ અને $x < 1$ તથા $x \neq \pm 2$ ને જોડતા,આપણને $x \in (-2, 1)$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{\log_2(x+3)}{\sqrt{x^2+3x+2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. લઘુગણકનો પ્રદેશ ધન હોવો જોઈએ: $x+3 > 0 \implies x > -3$.
$2$. છેદમાં વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ: $x^2+3x+2 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(x+2)(x+1) > 0$.
આ અસમતા $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ માટે સાચી છે.
$x > -3$ અને $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ નો છેદ લેતા,આપણને મળે છે:
$x \in (-3, -2) \cup (-1, \infty)$.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{2-x} + \sqrt{1+x}}{\sqrt{x+3}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિઓ અઋણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1$. $\sqrt{2-x}$ માટે,$2-x \geq 0$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x \leq 2$.
$2$. $\sqrt{1+x}$ માટે,$1+x \geq 0$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x \geq -1$.
$3$. છેદમાં $\sqrt{x+3}$ માટે,$x+3 > 0$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x > -3$.
આ શરતોને જોડતા: $x \leq 2$,$x \geq -1$,અને $x > -3$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ $[-1, 2]$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{\log _{0.5}(x-3)}}{\sqrt{x-1}}$ છે.
અંશમાં વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\log _{0.5}(x-3) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં આધાર $0.5 < 1$ હોવાથી,અસમતા ઉલટાય છે: $x-3 \leq (0.5)^0$,જે $x-3 \leq 1$ આપે છે,તેથી $x \leq 4$.
વળી,લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x-3 > 0$ હોવું જોઈએ,જે $x > 3$ સૂચવે છે.
છેદ વ્યાખ્યાયિત અને શૂન્યતર હોવા માટે $x-1 > 0$ હોવું જોઈએ,જે $x > 1$ સૂચવે છે.
બધી શરતોનો છેદ લેતા: $(x \leq 4) \cap (x > 3) \cap (x > 1)$,આપણને $3 < x \leq 4$ મળે છે.
આમ,પ્રદેશ $(3, 4]$ છે.

(B) $f/g$ નો પ્રદેશ એવા તમામ $x$ નો ગણ છે જેના માટે $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત છે,$g(x)$ વ્યાખ્યાયિત છે અને $g(x) \neq 0$ છે.
$f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x+3}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\frac{x+1}{x+3} \geq 0$ હોવું જોઈએ. આ $x \in (-\infty, -3) \cup [-1, \infty)$ માટે સાચું છે.
$g(x) = \sqrt{\frac{2-x}{x+3}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે અને $g(x) \neq 0$ હોવા માટે,$\frac{2-x}{x+3} > 0$ હોવું જોઈએ. $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x-2}{x+3} < 0$ મળે છે,જે $x \in (-3, 2)$ માટે સાચું છે.
$f/g$ નો પ્રદેશ આ બે ગણનો છેદગણ છે: $((-\infty, -3) \cup [-1, \infty)) \cap (-3, 2) = [-1, 2)$.

(A) વિધેય $f(x)$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x-1), & \text{જો } x < -1 \\ \tan^{-1} x, & \text{જો } -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{2}(x-1), & \text{જો } x > 1 \end{cases}$
$x = -1$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0$
$f(-1) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$
અહીં $\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq f(-1)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = -1$ આગળ અસતત છે.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0$
$f(1) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$
અહીં $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq f(1)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.
વિકલનીય હોવા માટે વિધેયનું સતત હોવું જરૂરી છે. તેથી $f(x)$ એ $x = -1$ અને $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,$f'(x)$ નો પ્રદેશ $R - \{-1, 1\}$ છે.

(D) આપેલ છે,$f(x) = \sqrt{\frac{2-|x|}{3-|x|}}$.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\frac{2-|x|}{3-|x|} \geq 0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. અસમતા $\frac{2-t}{3-t} \geq 0$ બને છે,જે $\frac{t-2}{t-3} \geq 0$ ને સમાન છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$t \geq 0$ માટે $t$ નો ઉકેલ $t \in [0, 2] \cup (3, \infty)$ મળે છે.
હવે,$t = |x|$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $I$: $0 \leq |x| \leq 2 \Rightarrow x \in [-2, 2]$.
કિસ્સો $II$: $|x| > 3 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty)$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \sqrt{\frac{x^2+2x+8}{x^2+2x+4}}$
$= \sqrt{\frac{(x^2+2x+4)+4}{x^2+2x+4}} = \sqrt{1 + \frac{4}{(x+1)^2+3}}$
કારણ કે $(x+1)^2 \geq 0$,તેથી $(x+1)^2+3 \geq 3$ થાય.
આમ,$0 < \frac{4}{(x+1)^2+3} \leq \frac{4}{3}$ મળે.
બધા પદોમાં $1$ ઉમેરતા,$1 < 1 + \frac{4}{(x+1)^2+3} \leq 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$1 < \sqrt{1 + \frac{4}{(x+1)^2+3}} \leq \sqrt{\frac{7}{3}}$ મળે.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $\left(1, \sqrt{\frac{7}{3}}\right]$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+1}{x}$.
$yx = x^2 + x + 1$
$x^2 + (1-y)x + 1 = 0$.
$f(x)$ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય હોવાથી,$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$(1-y)^2 - 4(1)(1) \geq 0$
$1 + y^2 - 2y - 4 \geq 0$
$y^2 - 2y - 3 \geq 0$
$(y-3)(y+1) \geq 0$.
અસમતા ઉકેલતા,આપણને $y \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$ મળે છે.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$.
$y(x^2-x+1) = x^2+x+1$
$yx^2 - yx + y = x^2 + x + 1$
$(y-1)x^2 - (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(y-1) \geq 0$
$(y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0$
$(y+1 - 2(y-1))(y+1 + 2(y-1)) \geq 0$
$(3-y)(3y-1) \geq 0$
$(y-3)(3y-1) \leq 0$.
આ અસમતા $y \in \left[\frac{1}{3}, 3\right]$ માટે સાચી છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \frac{x}{x^2 - 5x + 9} = y$.
અહીં $x^2 - 5x + 9$ નો વિવેચક $D = (-5)^2 - 4(1)(9) = 25 - 36 = -11 < 0$ હોવાથી,છેદ હંમેશા ધન રહેશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $y(x^2 - 5x + 9) = x \Rightarrow yx^2 - (5y + 1)x + 9y = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-(5y + 1))^2 - 4(y)(9y) \geq 0$
$(5y + 1)^2 - 36y^2 \geq 0$
$25y^2 + 10y + 1 - 36y^2 \geq 0$
$-11y^2 + 10y + 1 \geq 0$
$11y^2 - 10y - 1 \leq 0$
અવયવ પાડતા: $(11y + 1)(y - 1) \leq 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $y = -\frac{1}{11}$ અને $y = 1$ છે.
આમ,વિસ્તાર $y \in \left[-\frac{1}{11}, 1\right]$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \log \left( \frac{2x^2 - 3}{x} + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$.
વિધેય અયુગ્મ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-x) = \log \left( \frac{2(-x)^2 - 3}{-x} + \sqrt{\frac{4(-x)^4 - 11(-x)^2 + 9}{|-x|}} \right)$
$f(-x) = \log \left( -\left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$
હવે,$f(x) + f(-x) = \log \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} + \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \log \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} - \frac{2x^2 - 3}{x} \right)$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મ $\log(a) + \log(b) = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) + f(-x) = \log \left( \left( \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)^2 - \left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right)^2 \right)$
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|^2} - \frac{4x^4 - 12x^2 + 9}{x^2} \right)$
કારણ કે $|x|^2 = x^2$:
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{4x^4 - 11x^2 + 9 - (4x^4 - 12x^2 + 9)}{x^2} \right)$
$f(x) + f(-x) = \log \left( \frac{x^2}{x^2} \right) = \log(1) = 0$
આમ,$f(x) + f(-x) = 0$ હોવાથી,આ વિધેય એક અયુગ્મ વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x-2}{2x+1}$.
આપણને સમીકરણ $f(f(x)) = -x$ આપેલ છે.
$f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{f(x)-2}{2f(x)+1} = -x$
$\frac{\frac{x-2}{2x+1}-2}{2(\frac{x-2}{2x+1})+1} = -x$
$\frac{x-2-2(2x+1)}{2(x-2)+1(2x+1)} = -x$
$\frac{x-2-4x-2}{2x-4+2x+1} = -x$
$\frac{-3x-4}{4x-3} = -x$
$\frac{3x+4}{4x-3} = x$
$3x+4 = x(4x-3)$
$3x+4 = 4x^2-3x$
$4x^2-6x-4 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2-3x-2 = 0$ મળે છે.
$\alpha$ અને $\beta$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હોવાથી,વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta = \frac{3}{2}$ અને $\alpha\beta = -1$.
આપણે $4(\alpha^2+\beta^2)$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^2+\beta^2 = (\frac{3}{2})^2 - 2(-1) = \frac{9}{4} + 2 = \frac{17}{4}$.
તેથી,$4(\alpha^2+\beta^2) = 4 \times \frac{17}{4} = 17$.

(B) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનું એક-એક વિધેય (injection) ત્યારે જ શક્ય છે જો $A$ ના ઘટકોની સંખ્યા $B$ ના ઘટકોની સંખ્યા કરતા ઓછી અથવા સમાન હોય,એટલે કે $m \le n$.
જો $n < m$ હોય,તો $A$ ના દરેક ઘટકને $B$ ના અનન્ય ઘટક સાથે જોડવું અશક્ય છે,તેથી એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $0$ થાય.
જો $n \ge m$ હોય,તો આપણે $B$ માંથી $m$ ભિન્ન ઘટકો પસંદ કરવા પડે અને તેમને $A$ ના $m$ ઘટકો સાથે જોડવા માટે ચોક્કસ ક્રમમાં ગોઠવવા પડે.
આ કરવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $\begin{cases} ^nP_m, & n \ge m \\ 0, & n < m \end{cases}$ થાય.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
કારણ કે વિધેય ત્યારે વ્યાખ્યાયિત નથી જ્યારે છેદ શૂન્ય હોય,તેથી $x - 2 = 0$,જેનો અર્થ છે $x = 2$. આમ,પ્રદેશ $R - \{2\}$ છે,તેથી $l = 2$.
વિસ્તાર શોધવા માટે,ધારો કે $y = \frac{x+3}{x-2}$.
તેથી $y(x - 2) = x + 3$,જે $xy - 2y = x + 3$ આપે છે.
$x$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x(y - 1) = 2y + 3$ મળે છે,અથવા $x = \frac{2y+3}{y-1}$.
વિધેય $y = 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી,તેથી વિસ્તાર $R - \{1\}$ છે. આમ,$m = 1$.
આપણે $3l - 2m$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,$3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4$.

(D) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = 5x^4 + 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક વિધેય ચકાસવા માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$5x_1^4 + 2 = 5x_2^4 + 2$
$x_1^4 = x_2^4$
$x_1 = \pm x_2$.
અહીં $f(1) = 5(1)^4 + 2 = 7$ અને $f(-1) = 5(-1)^4 + 2 = 7$ મળે છે,તેથી $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$.
તેથી,$f$ એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય ચકાસવા માટે:
દરેક $x \in R$ માટે $x^4 \geq 0$ હોવાથી,$5x^4 \geq 0$ થાય.
આમ,$f(x) = 5x^4 + 2 \geq 2$.
વિધેયનો વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) આપેલ છે $f(x) = x^2 - 2x - 3$.
એક-એક માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$x_1^2 - 2x_1 - 3 = x_2^2 - 2x_2 - 3$
$x_1^2 - x_2^2 - 2(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 2(x_1 - x_2) = 0$
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 2) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x_1 = x_2$ અથવા $x_1 + x_2 = 2$.
કારણ કે $x_1 + x_2 = 2$ અલગ કિંમતો માટે શક્ય છે (દા.ત.,$f(0) = -3$ અને $f(2) = -3$),તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત માટે:
ધારો કે $y = x^2 - 2x - 3$.
$y = (x-1)^2 - 4$
$(x-1)^2 = y + 4$
કારણ કે $(x-1)^2 \geq 0$,તેથી $y + 4 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $y \geq -4$.
$f$ નો વિસ્તાર $[-4, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) આપેલ છે,$f(x)=x|x|$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$
$1$. એક-એક (one-one) ચકાસણી:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
જો $x_1, x_2 \geq 0$ હોય,તો $x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (કારણ કે $x \geq 0$).
જો $x_1, x_2 < 0$ હોય,તો $-x_1^2 = -x_2^2 \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$ (કારણ કે $x < 0$).
જો એક ધન અને એક ઋણ હોય,તો $f(x)$ ના ચિહ્નો અલગ હશે,તેથી $f(x_1) \neq f(x_2)$.
આમ,$f(x)$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત (onto) ચકાસણી:
કોઈપણ $y \in R$ માટે,આપણે એવું $x$ શોધી શકીએ કે જેથી $f(x) = y$.
જો $y \geq 0$ હોય,તો $x = \sqrt{y}$. જો $y < 0$ હોય,તો $x = -\sqrt{-y}$.
સહપ્રદેશ $R$ ના દરેક $y$ માટે,પ્રદેશ $R$ માં $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + bx + c$ અને $a + b + c = 3$,તેથી $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$.
વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ આપેલ છે.
$y = 1$ મૂકતા,આપણને મળે $f(x + 1) = f(x) + f(1) + x$.
$f(1) = 3$ મૂકતા,$f(x + 1) - f(x) = x + 3$.
$x = 1$ થી $n - 1$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{x=1}^{n-1} (f(x+1) - f(x)) = \sum_{x=1}^{n-1} (x + 3)$.
આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $f(n) - f(1) = \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$.
$f(1) = 3$ હોવાથી,$f(n) = 3 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 + 5n}{2}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{2} + \frac{5n}{2})$ ની ગણતરી કરીએ.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right)$.
$= 192.5 + 137.5 = 330$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 + ax + b$ છે.
સૌ પ્રથમ,$f(0)$ ની કિંમત શોધો:
$f(0) = (0)^2 + a(0) + b = b$.
હવે,આ કિંમતને આપેલ શરત $f(f(0)) = 0$ માં મૂકતા:
$f(b) = 0$.
વિધેય $f(x)$ માં $x = b$ મૂકતા:
$b^2 + ab + b = 0$.
અહીં $b \neq 0$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $b$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$b + a + 1 = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a + b = -1$.

(B) આપેલ વિધેય $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ છે,જ્યાં $x, y > 0$.
આપણને $f(30) = 20$ આપેલ છે.
$f(40)$ શોધવા માટે,આપણે $40$ ને $30 \times \frac{4}{3}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ વિધેયના સમીકરણમાં $x = 30$ અને $y = \frac{4}{3}$ મૂકતા:
$f(30 \times \frac{4}{3}) = \frac{f(30)}{\frac{4}{3}}$.
$f(40) = f(30) \times \frac{3}{4}$.
$f(30) = 20$ ની કિંમત મૂકતા:
$f(40) = 20 \times \frac{3}{4} = 5 \times 3 = 15$.

(D) આપેલ છે,$f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{2} f(x)$ ---$(i)$
$(i)$ માં $x$ ને $x+1$ વડે બદલતા:
$f(x+2)+f(x)=\sqrt{2} f(x+1)$ ---(ii)
$(i)$ માં $x$ ને $x-1$ વડે બદલતા:
$f(x)+f(x-2)=\sqrt{2} f(x-1)$ ---(iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=\sqrt{2}[f(x+1)+f(x-1)]$
જમણી બાજુએ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=\sqrt{2}(\sqrt{2} f(x))$
$f(x+2)+f(x-2)+2f(x)=2f(x)$
$f(x+2)+f(x-2)=0$

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 2x + 3$.
સમીકરણ $f(x^2) - 2f(\frac{x}{2}) - 1 = 0$ માં વિધેયની કિંમત મૂકતા:
$(2x^2 + 3) - 2(2(\frac{x}{2}) + 3) - 1 = 0$
$2x^2 + 3 - 2(x + 3) - 1 = 0$
$2x^2 + 3 - 2x - 6 - 1 = 0$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
તેથી,બીજ $\alpha = 2$ અને $\beta = -1$ છે.
માટે,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત છે,તેથી $LHL = RHL = f(\frac{\pi}{2})$ થાય.
પ્રથમ,$LHL$ શોધો:
$LHL = \lim_{x \to \frac{\pi^-}{2}} \frac{1-\sin^3 x}{3 \cos^2 x}$. આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
$L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to \frac{\pi^-}{2}} \frac{-3 \sin^2 x \cos x}{3(2 \cos x)(-\sin x)} = \lim_{x \to \frac{\pi^-}{2}} \frac{\sin x}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\alpha = \frac{1}{2}$.
હવે,$RHL$ શોધો:
$RHL = \lim_{x \to \frac{\pi^+}{2}} \frac{\beta(1-\sin x)}{(\pi-2 x)^2} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$,જ્યાં $h \to 0$. તો $\pi - 2x = -2h$.
$\lim_{h \to 0} \frac{\beta(1-\sin(\frac{\pi}{2} + h))}{(-2h)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{\beta(1-\cos h)}{4h^2} = \frac{1}{2}$.
લક્ષના સૂત્ર $\lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\beta}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \frac{\beta}{8} = \frac{1}{2} \implies \beta = 4$.
તેથી,$\alpha \beta = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત છે,તેથી $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)$.
ધારો કે $t = x - \frac{\pi}{2}$. જેમ $x \to \frac{\pi}{2}$,તેમ $t \to 0$.
તેથી $x = t + \frac{\pi}{2}$.
છેદ $\log(1 + \pi^2 - 4\pi(t + \frac{\pi}{2}) + 4(t + \frac{\pi}{2})^2) = \log(1 + \pi^2 - 4\pi t - 2\pi^2 + 4(t^2 + \pi t + \frac{\pi^2}{4})) = \log(1 + 4t^2)$ થાય છે.
અંશ $1 - \sin(t + \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos t$ થાય છે.
તેથી,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{\log(1 + 4t^2)}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2}$ અને $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{(1 - \cos t)/t^2}{\log(1 + 4t^2)/(4t^2) \times 4} = \frac{1/2}{1 \times 4} = \frac{1}{8}$.

(C) વિધેય $f(x) = \operatorname{Max} \{3 - x, 3 + x, 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
અવિકલનીયતાના બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y_1 = 3 - x$,$y_2 = 3 + x$,અને $y_3 = 6$ ના છેદબિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. $y_1$ અને $y_3$ નું છેદબિંદુ: $3 - x = 6 \implies x = -3$.
$2$. $y_2$ અને $y_3$ નું છેદબિંદુ: $3 + x = 6 \implies x = 3$.
$3$. $y_1$ અને $y_2$ નું છેદબિંદુ: $3 - x = 3 + x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. $x=0$ આગળ,$y_1 = 3$ અને $y_2 = 3$,પરંતુ $y_3 = 6$,તેથી $f(0) = 6$.
વિધેય $f(x)$ નીચે મુજબ છે:
$f(x) = \begin{cases} 3 - x, & x < -3 \\ 6, & -3 \le x \le 3 \\ 3 + x, & x > 3 \end{cases}$.
વિધેયને $x = -3$ અને $x = 3$ આગળ તીક્ષ્ણ ખૂણા (અવિકલનીયતાના બિંદુઓ) છે.
આમ,$a = -3$ અને $b = 3$.
તેથી,$|a| + |b| = |-3| + |3| = 3 + 3 = 6$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geq 1 \\ ax^2 + b, & -1 < x < 1 \end{cases}$
વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x \leq -1 \\ ax^2 + b, & -1 < x < 1 \\ \frac{1}{x}, & x \geq 1 \end{cases}$
$f(x)$ એ $\forall x \in \mathbb{R}$ માટે વિકલનીય હોવા માટે,તે $x = 1$ આગળ સતત અને વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\implies a(1)^2 + b = \frac{1}{1} \implies a + b = 1$ . . . $(1)$
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા: $f'(1^-) = f'(1^+)$.
$x < 1$ માટે,$f'(x) = 2ax$. $x > 1$ માટે,$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
$\implies 2a(1) = -\frac{1}{(1)^2} \implies 2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$-\frac{1}{2} + b = 1 \implies b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
આમ,$a = -\frac{1}{2}$ અને $b = \frac{3}{2}$.

(C) $x = 0$ આગળ સાતત્ય અને વિકલનીયતા ચકાસવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ લક્ષ $\lim_{x \to 0} f(x)$ મેળવીએ.
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln(1 + x^2)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} \right) \times \ln \cos x$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\ln(1 + x^2)} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} \ln \cos x = \ln(1) = 0$,તેથી લક્ષ $1 \times 0 = 0$ થાય છે.
અહીં $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે.
હવે,$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસીએ:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \ln \cos h}{h \ln(1 + h^2)} = \lim_{h \to 0} \frac{h \ln \cos h}{\ln(1 + h^2)}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h^2)}{h^2} = 1$ અને $\lim_{h \to 0} \frac{\ln \cos h}{h^2} = -\frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{h^2}{\ln(1 + h^2)} \right) \times \left( \frac{\ln \cos h}{h^2} \right) \times h = 1 \times (-\frac{1}{2}) \times 0 = 0$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવાથી અને તે શાંત હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે.

(B) આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યોનું વિશ્લેષણ કરીને વિધેય $f(x)$ ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}$ અને $|2x-4| = \begin{cases} 2x-4, & x \geq 2 \\ -(2x-4), & x < 2 \end{cases}$.
તેથી,$f(x) = \begin{cases} -x, & -\infty < x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 2 \\ 2x-4, & 2 \leq x \leq 20 \end{cases}$.
$x=0$ આગળ: $\text{LHL} = \lim_{x \rightarrow 0^-} (-x) = 0$,$\text{RHL} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x) = 0$,અને $f(0) = 0$. $\text{LHL} = \text{RHL} = f(0)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે. જોકે,ડાબું વિકલન $-1$ છે અને જમણું વિકલન $1$ છે,તેથી તે $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી.
$x=2$ આગળ: $\text{LHL} = \lim_{x \rightarrow 2^-} (x) = 2$,$\text{RHL} = \lim_{x \rightarrow 2^+} (2x-4) = 0$. $\text{LHL} \neq \text{RHL}$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=2$ આગળ સતત નથી,અને તેથી તે $x=2$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,$a=0$ (સતત પણ વિકલનીય નથી) અને $b=2$ (વિકલનીય નથી).
તેથી,$a+b = 0+2 = 2$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે જો $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)-f(0)}{h}$ થાય.
$f(x) = \sin |x| - |x|$ માટે,$f(0) = \sin(0) - 0 = 0$ છે.
$x=0$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin |h| - |h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h - h}{h} = \lim_{h \to 0^+} (\frac{\sin h}{h} - 1) = 1 - 1 = 0$.
$x=0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$:
$\lim_{h \to 0^-} \frac{\sin |-h| - |-h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\sin(-h) - (-h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\sin h + h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-\frac{\sin h}{h} + 1) = -1 + 1 = 0$.
અહીં $LHD = RHD = 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x) = \sin |x| - |x|$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.

(C) વિકલનીયતા તપાસવા માટે,આપણે પરિવર્તનના બિંદુઓ $x = -\sqrt{5}$ અને $x = \sqrt{5}$ પર તપાસ કરીશું.
$x = -\sqrt{5}$ પર:
ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ = $4$.
જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ = $(-\sqrt{5})^2 - 1 = 5 - 1 = 4$.
અહીં $LHL = RHL = f(-\sqrt{5})$ હોવાથી,વિધેય $x = -\sqrt{5}$ પર સતત છે.
ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ = $\frac{d}{dx}(4) = 0$.
જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ = $\frac{d}{dx}(x^2-1) = 2x = 2(-\sqrt{5}) = -2\sqrt{5}$.
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = -\sqrt{5}$ પર વિકલનીય નથી.
$x = \sqrt{5}$ પર:
$LHL$ = $(\sqrt{5})^2 - 1 = 4$.
$RHL$ = $4$.
અહીં $LHL = RHL = f(\sqrt{5})$ હોવાથી,વિધેય $x = \sqrt{5}$ પર સતત છે.
$LHD$ = $2x = 2(\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$.
$RHD$ = $\frac{d}{dx}(4) = 0$.
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = \sqrt{5}$ પર વિકલનીય નથી.
આમ,$k = 2$ બિંદુઓ છે જ્યાં વિધેય વિકલનીય નથી.
તેથી,$k - 2 = 2 - 2 = 0$.

(A) વિધેય $f(x) = |x|$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$f(x) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
$x = 0$ આગળ,ડાબી બાજુનું વિકલન $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1$ છે.
જમણી બાજુનું વિકલન $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1$ છે.
ડાબી બાજુનું વિકલન $\neq$ જમણી બાજુનું વિકલન હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
જોકે,$f(x)$ એ $x = 0$ સહિત દરેક જગ્યાએ સતત છે.
કોઈપણ $x = a \neq 0$ માટે,વિધેય સ્થાનિક રીતે રેખીય ($x$ અથવા $-x$) છે,તેથી તે વિકલનીય છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ એ કલનશાસ્ત્રનો એક પાયાનો પ્રમેય જણાવે છે: વિકલનીયતા એ સાતત્ય સૂચવે છે,પરંતુ સાતત્ય એ વિકલનીયતા સૂચવતું નથી. આ પ્રમેય સમજાવે છે કે શા માટે $f(x) = |x|$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે પરંતુ ત્યાં વિકલનીય નથી.
તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $8 f(x) + 6 f(\frac{1}{x}) = x + 5$ $(1)$
$(1)$ માં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા: $8 f(\frac{1}{x}) + 6 f(x) = \frac{1}{x} + 5$ $(2)$
$(1)$ ને $4$ વડે અને $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$32 f(x) + 24 f(\frac{1}{x}) = 4x + 20$
$18 f(x) + 24 f(\frac{1}{x}) = \frac{3}{x} + 15$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(32 - 18) f(x) = 4x - \frac{3}{x} + 5$
$14 f(x) = 4x - \frac{3}{x} + 5 \Rightarrow f(x) = \frac{4x^2 + 5x - 3}{14x}$
હવે,$x^2 f(x) = x^2 \left( \frac{4x^2 + 5x - 3}{14x} \right) = \frac{4x^3 + 5x^2 - 3x}{14}$
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} (x^2 f(x)) = \frac{1}{14} (12x^2 + 10x - 3)$
$x = 1$ આગળ: $\frac{d}{dx} (x^2 f(x)) = \frac{1}{14} (12(1)^2 + 10(1) - 3) = \frac{12 + 10 - 3}{14} = \frac{19}{14}$

(C) આપેલ છે કે $f(x) = |x^2 - 3x + 2|$.
આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડી શકીએ: $f(x) = |(x - 1)(x - 2)|$.
માનાંકની અંદરની પદાવલિ $x < 1$ અને $x > 2$ માટે ધન છે,અને $1 < x < 2$ માટે ઋણ છે.
તેથી,$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{જો } x \leq 1 \text{ અથવા } x \geq 2 \\ -(x^2 - 3x + 2) & \text{જો } 1 < x < 2 \end{cases}$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$f'(x) = \begin{cases} 2x - 3 & \text{જો } x < 1 \text{ અથવા } x > 2 \\ -2x + 3 & \text{જો } 1 < x < 2 \end{cases}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x > 2$ માટે $f'(x) = 2x - 3$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

$(D)$ $\text{આપેલ સમીકરણ: } x^3 - 2x^2y^2 + 5x + y - 5 = 0$.
$\text{$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન લેતા:}$
$3x^2 - (4xy^2 + 4x^2yy') + 5 + y' = 0$.
$\text{બિંદુ } (1, 1) \text{ આગળ, } x=1 \text{ અને } y=1 \text{ મૂકતા:}$
$3 - (4 + 4y') + 5 + y' = 0$
$\Rightarrow 3 - 4 - 4y' + 5 + y' = 0$
$\Rightarrow 4 - 3y' = 0$
$\Rightarrow y' = 4/3$.
$\text{હવે, પ્રથમ વિકલનના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:}$
$6x - [4y^2 + 8xyy' + 8xyy' + 4x^2(y')^2 + 4x^2yy''] + y'' = 0$.
$\text{$x=1, y=1, y'=4/3$ મૂકતા:}$
$6 - [4 + 8(4/3) + 8(4/3) + 4(16/9) + 4y''] + y'' = 0$
$6 - 4 - 64/3 - 64/9 - 4y'' + y'' = 0$
$2 - 192/9 - 64/9 - 3y'' = 0$
$2 - 256/9 = 3y''$
$(18 - 256)/9 = 3y''$
$-238/9 = 3y''$
$y'' = -238/27$.

(C) વિધાન $(A)$: ધારો કે $y = \frac{x^2 \sin x}{\log x}$. બંને બાજુ $\log$ લેતા,$\log y = \log(x^2) + \log(\sin x) - \log(\log x) = 2 \log x + \log(\sin x) - \log(\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} + \cot x - \frac{1}{x \log x}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = y \left(\cot x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x \log x}\right) = \frac{x^2 \sin x}{\log x} \left(\cot x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x \log x}\right)$. તેથી,$A$ સાચું છે.
કારણ $(R)$: લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx} \left(\frac{uv}{w}\right) = \frac{uv}{w} \frac{d}{dx} (\log u + \log v - \log w) = \frac{uv}{w} \left(\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} - \frac{w'}{w}\right)$.
આપેલ કારણ $(R)$ માં $w$ પદ માટે પ્લસની નિશાની છે,તેથી $R$ ખોટું છે.

(A) આપેલ છે કે,$x \sin (\alpha+y)=\sin y$ અને $y=\frac{m}{x^2+2 n x+1}$.
$x \sin (\alpha+y)=\sin y$ પરથી,આપણને મળે $\frac{\sin (\alpha+y)}{\sin y} = \frac{1}{x}$.
વિસ્તરણ $\sin (\alpha+y) = \sin \alpha \cos y + \cos \alpha \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin \alpha \cot y + \cos \alpha = \frac{1}{x}$.
આમ,$\cot y = \frac{1 - x \cos \alpha}{x \sin \alpha}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha}$.
$y = \tan^{-1} \left( \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha} \right)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = \frac{1}{1 + \left( \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha} \right)^2} \cdot \frac{(1 - x \cos \alpha)(\sin \alpha) - (x \sin \alpha)(-\cos \alpha)}{(1 - x \cos \alpha)^2}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $(1 - x \cos \alpha)(\sin \alpha) + x \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha - x \sin \alpha \cos \alpha + x \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(1 - x \cos \alpha)^2 + (x \sin \alpha)^2 = 1 - 2x \cos \alpha + x^2 \cos^2 \alpha + x^2 \sin^2 \alpha = 1 - 2x \cos \alpha + x^2$.
આમ,$y' = \frac{\sin \alpha}{x^2 - 2x \cos \alpha + 1}$.
આને $y = \frac{m}{x^2 + 2nx + 1}$ ના વિકલન સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \sin \alpha$ અને $n = -\cos \alpha$ મળે છે.
તેથી,$m^2 = \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-n)^2 = 1 - n^2$.

(A) મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ એ એક સ્ટેપ વિધેય છે જે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો લે છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,અંતરાલ $[n, n+1)$ માં $[x] = n$ થાય છે.
$x = -1$ આગળ,આપણે ડાબી બાજુનું વિકલન અને જમણી બાજુનું વિકલન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$-1$ ની આસપાસના $x$ માટે,ખાસ કરીને $x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$ થાય છે.
તેથી,$x \in [-1, 0)$ માટે,વિધેય $f(x) = \sin(\pi[x]) = \sin(\pi(-1)) = \sin(-\pi) = 0$ થાય છે.
અંતરાલ $[-1, 0)$ માં વિધેય અચળ $(0)$ હોવાથી,$x = -1$ આગળ તેનું વિકલન $\frac{d}{dx} \sin(\pi[x])$ એ $0$ થાય છે (જમણી બાજુનું વિકલન ધ્યાનમાં લેતા).
અંતરાલ $[-2, -1)$ માં પણ વિધેય અચળ છે,જ્યાં $[x] = -2$ હોવાથી $f(x) = \sin(-2\pi) = 0$ થાય છે.
તેથી,વિકલન $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $y = f(x) = \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = \log \left[ \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x} \right]$
$\log y = 2 \log (x+1) + \frac{1}{2} \log (x-1) - 3 \log (x+4) - x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1$.
આમ,$\frac{d y}{d x} = y \left[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1 \right]$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = y = \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x}$ મળે છે.
હવે,$f(x)$ માં $x = 5$ મૂકતા:
$f(5) = \frac{(5+1)^2 \sqrt{5-1}}{(5+4)^3 e^5} = \frac{6^2 \sqrt{4}}{9^3 e^5} = \frac{36 \times 2}{729 e^5} = \frac{72}{729 e^5} = \frac{8}{81 e^5}$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+1}{(x^2+5)(x^2+9)}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = \log(x^2+1) - \log(x^2+5) - \log(x^2+9)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1} - \frac{2x}{x^2+5} - \frac{2x}{x^2+9}$.
$\frac{dy}{dx} = y \cdot 2x \left[ \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+5} - \frac{1}{x^2+9} \right]$.
$y = \frac{x^2+1}{(x^2+5)(x^2+9)}$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x^2+1)}{(x^2+5)(x^2+9)} \left[ \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+5} - \frac{1}{x^2+9} \right]$.
આપેલ પદ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = x^2+1, g(x) = x^2+5, h(x) = x^2+9$.
હવે,$2h(x) - f(x) - g(x)$ ની ગણતરી કરતા:
$2(x^2+9) - (x^2+1) - (x^2+5) = 2x^2 + 18 - x^2 - 1 - x^2 - 5 = 12$.

(C) આપેલ છે,$x=f(\theta)$ અને $y=g(\theta)$.
પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{d\theta} = f^{\prime}(\theta)$ અને $\frac{dy}{d\theta} = g^{\prime}(\theta)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{g^{\prime}(\theta)}{f^{\prime}(\theta)}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{g^{\prime}(\theta)}{f^{\prime}(\theta)} \right) = \frac{d}{d\theta} \left( \frac{g^{\prime}(\theta)}{f^{\prime}(\theta)} \right) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d}{d\theta} \left( \frac{g^{\prime}(\theta)}{f^{\prime}(\theta)} \right) = \frac{g^{\prime \prime}(\theta)f^{\prime}(\theta) - g^{\prime}(\theta)f^{\prime \prime}(\theta)}{(f^{\prime}(\theta))^2}$.
કારણ કે $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{f^{\prime}(\theta)}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{g^{\prime \prime}(\theta)f^{\prime}(\theta) - g^{\prime}(\theta)f^{\prime \prime}(\theta)}{(f^{\prime}(\theta))^2} \cdot \frac{1}{f^{\prime}(\theta)} = \frac{f^{\prime}(\theta)g^{\prime \prime}(\theta) - g^{\prime}(\theta)f^{\prime \prime}(\theta)}{(f^{\prime}(\theta))^3}$.

(A) આપેલ છે કે $x=a \cos ^3 \theta$ અને $y=a \sin ^3 \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta (\cos \theta) = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan \theta) = \frac{d}{d\theta}(-\tan \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx} = -\sec^2 \theta \cdot \frac{1}{dx/d\theta}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\sec^2 \theta \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = \frac{1}{3a \cos^4 \theta \sin \theta}$
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{3a (\frac{1}{4}) (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{4\sqrt{2}}{3a}$