AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक परिकेंद्र $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$x - y + 5 = 0$ और $x + 2y = 0$ को हल करने पर,परिकेंद्र $O = (-\frac{10}{3}, \frac{5}{3})$ प्राप्त होता है।
रेखा $x - y + 5 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब $B(-7, 6)$ है।
रेखा $x + 2y = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब $C(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ है।
बिंदुओं $B$ और $C$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $14x + 23y - 40 = 0$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और $a^2+b^2+c^2=1$ है।
हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$।
चूँकि $a, b, c > 0$ और वे भिन्न हैं,इसलिए $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) > 0$ प्राप्त होता है।
$a^2+b^2+c^2=1$ रखने पर,$2(1) - 2(ab+bc+ca) > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 > 2(ab+bc+ca)$,या $ab+bc+ca < 1$।
अतः,$ab+bc+ca$ का मान $1$ से कम है।

(C) दिया गया है $\frac{x^4+24 x^2+28}{\left(x^2+1\right)^3} = \frac{A x+B}{x^2+1} + \frac{C x+D}{\left(x^2+1\right)^2} + \frac{E x+F}{\left(x^2+1\right)^3}$.
दोनों पक्षों को $(x^2+1)^3$ से गुणा करने पर:
$x^4+24 x^2+28 = (A x+B)(x^2+1)^2 + (C x+D)(x^2+1) + (E x+F)$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^4+24 x^2+28 = A x^5 + B x^4 + (2A+C) x^3 + (2B+D) x^2 + (A+C+E) x + (B+D+F)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 0, B = 1, C = 0, D = 22, E = 0, F = 5$.
अतः,$A+B+C+D+E+F = 0+1+0+22+0+5 = 28$.

(C) दिया गया है:
$\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A}{2x+5} + \frac{B}{x+6}$
दाईं ओर के पदों को जोड़ने पर:
$\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A(x+6) + B(2x+5)}{(2x+5)(x+6)}$
हर समान होने के कारण,अंशों की तुलना करने पर:
$13x + 43 = A(x+6) + B(2x+5)$
$13x + 43 = (A+2B)x + (6A+5B)$
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$A + 2B = 13$ $(i)$
$6A + 5B = 43$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $6$ से गुणा करने पर:
$6A + 12B = 78$ $(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$7B = 35 \Rightarrow B = 5$
$B = 5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$A + 2(5) = 13 \Rightarrow A = 3$
अतः,$A^2 + B^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$

(B) दी गई आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2x^2+1}{x^3-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$.
चूंकि $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$,हमारे पास $2x^2+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $2x^2+1 = Ax^2 + Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx - C$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को समूहित करने पर: $2x^2 + 0x + 1 = (A+B)x^2 + (A-B+C)x + (A-C)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+B = 2$
$2) A-B+C = 0$
$3) A-C = 1$
$(3)$ से,$C = A-1$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $A-B+(A-1) = 0 \Rightarrow 2A-B = 1$.
इसे $(1)$ में जोड़ने पर: $(2A-B) + (A+B) = 1+2$ $\Rightarrow 3A = 3$ $\Rightarrow A = 1$.
अतः $B = 2-A = 1$ और $C = A-1 = 0$.
अंत में,$7A + 2B + C = 7(1) + 2(1) + 0 = 9$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$ है। चूँकि अंश और हर की घात समान है,हम पहले बहुपद विभाजन करेंगे.\\ हर $(2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3-3x^2-11x+6$ है.\\ $x^3$ को $2x^3-3x^2-11x+6$ से विभाजित करने पर,भागफल $A = 1/2$ प्राप्त होता है.\\ अभिव्यक्ति $\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$ हो जाती है.\\ मान रखने पर:\\ $B = -1/50$,$C = -8/25$,$D = 27/25$ प्राप्त होते हैं.\\ अतः,$A+B+C = 1/2 - 1/50 - 8/25 = \frac{25-1-16}{50} = \frac{8}{50} = 4/25$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न वियोजन: $\frac{1}{(1-2x)^2(1-3x)} = \frac{A}{1-3x} + \frac{B}{1-2x} + \frac{C}{(1-2x)^2}$.
दोनों पक्षों को $(1-2x)^2(1-3x)$ से गुणा करने पर: $1 = A(1-2x)^2 + B(1-2x)(1-3x) + C(1-3x)$.
$x = \frac{1}{3}$ रखने पर: $1 = A(1 - \frac{2}{3})^2 = A(\frac{1}{3})^2 = \frac{A}{9} \implies A = 9$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर: $1 = C(1 - \frac{3}{2}) = C(-\frac{1}{2}) \implies C = -2$.
$x = 0$ रखने पर: $1 = A(1)^2 + B(1)(1) + C(1) = A + B + C$.
$A = 9$ और $C = -2$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 = 9 + B - 2 \implies 1 = 7 + B \implies B = -6$.
अतः,समुच्चय $\{9, -6, -2\}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $\min \{9, -6, -2\} = -6$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
चूंकि अंश और हर की घात समान है,बहुपद विभाजन करने पर $A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
शेष पद के लिए: $\frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $(x+2)$ से गुणा करें और $x = -2$ रखें:
$C = \left[ \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x-3)} \right]_{x=-2} = \frac{6 - 11 - 3}{(-5)(-5)} = \frac{-8}{25}$.

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{4 x^3+16 x+7}{\left(x^2+4\right)^2}=\frac{A x+B}{x^2+4}+\frac{C x+D}{\left(x^2+4\right)^2}$
दोनों पक्षों को $(x^2+4)^2$ से गुणा करने पर: $4 x^3+16 x+7 = (A x+B)(x^2+4) + (C x+D)$
दाईं ओर का विस्तार करने पर: $4 x^3+16 x+7 = A x^3 + B x^2 + 4Ax + 4B + Cx + D$
$4 x^3+16 x+7 = A x^3 + B x^2 + (4A+C)x + (4B+D)$
$x$ के समान घातों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^3$: $A = 4$
$x^2$: $B = 0$
$x^1$: $4A + C = 16$ $\Rightarrow 4(4) + C = 16$ $\Rightarrow 16 + C = 16$ $\Rightarrow C = 0$
अचर पद: $4B + D = 7$ $\Rightarrow 4(0) + D = 7$ $\Rightarrow D = 7$
मान $A=4, B=0, C=0, D=7$ हैं।
शून्येतर मान $A$ और $D$ हैं।
अतः,शून्येतर मानों की संख्या $2$ है।

(D) माना $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूल हैं और $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2+bx+a=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों से:
$\alpha+\beta = -a, \alpha\beta = b$
$\gamma+\delta = -b, \gamma\delta = a$
दिया गया है कि मूलों के बीच का अंतर समान है:
$|\alpha-\beta| = |\gamma-\delta|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\alpha-\beta)^2 = (\gamma-\delta)^2$
$(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (\gamma+\delta)^2 - 4\gamma\delta$
$(-a)^2 - 4b = (-b)^2 - 4a$
$a^2 - 4b = b^2 - 4a$
$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$
$(a-b)(a+b) + 4(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b+4) = 0$
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a-b \neq 0$ है।
अतः,$a+b+4 = 0$.

(A) दिया गया है $(x+a)(x+1991)+1 = (x+b)(x+c)$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 + (a+1991)x + 1991a + 1 = x^2 + (b+c)x + bc$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$b+c = a+1991$ और $bc = 1991a+1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $b$ और $c$ द्विघात समीकरण $x^2 - (b+c)x + bc = 0$ के मूल हैं,इसलिए विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,मान लीजिए $m^2$.
$D = (b+c)^2 - 4bc = (a+1991)^2 - 4(1991a+1) = m^2$.
$(a-1991)^2 - 4 = m^2$.
$(a-1991)^2 - m^2 = 4$.
$(a-1991-m)(a-1991+m) = 4$.
मान लीजिए $X = a-1991-m$ और $Y = a-1991+m$. तब $XY = 4$.
चूँकि $Y-X = 2m$,$X$ और $Y$ की समता समान होनी चाहिए। चूँकि उनका गुणनफल $4$ (सम) है,दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए।
संभावित जोड़े $(X, Y)$ $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ हैं।
स्थिति $1$: $a-1991 = 2 \Rightarrow a = 1993$.
स्थिति $2$: $a-1991 = -2 \Rightarrow a = 1989$.
अतः,$a \in \{1989, 1993\}$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0$ है।
मूलों के भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac > 0$
$[-2(1 + 3m)]^2 - 4(1)(7(3 + 2m)) > 0$
$4(1 + 9m^2 + 6m) - 28(3 + 2m) > 0$
$4 + 36m^2 + 24m - 84 - 56m > 0$
$36m^2 - 32m - 80 > 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$9m^2 - 8m - 20 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(9m + 10)(m - 2) > 0$
समीकरण $9m^2 - 8m - 20 = 0$ के मूल $m = 2$ और $m = -\frac{10}{9}$ हैं।
अतः,असमिका $m \in (-\infty, -\frac{10}{9}) \cup (2, \infty)$ के लिए सत्य है।
चूंकि $S$,वास्तविक संख्याओं $\mathbb{R}$ के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है और अंतराल $(-\infty, -\frac{10}{9}) \cup (2, \infty)$ में अनंत वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए $S$ में अवयवों की संख्या अनंत है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-10x-8=0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2 - 10\alpha - 8 = 0 \implies \alpha^2 - 8 = 10\alpha$
$\beta^2 - 10\beta - 8 = 0 \implies \beta^2 - 8 = 10\beta$
हमें $\frac{a_{10}-8a_8}{5a_9}$ का मान ज्ञात करना है।
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ रखने पर:
$\frac{(\alpha^{10}-\beta^{10}) - 8(\alpha^8-\beta^8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{(\alpha^{10}-8\alpha^8) - (\beta^{10}-8\beta^8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2-8) - \beta^8(\beta^2-8)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$\alpha^2-8=10\alpha$ और $\beta^2-8=10\beta$ संबंधों का उपयोग करने पर:
$= \frac{\alpha^8(10\alpha) - \beta^8(10\beta)}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{10\alpha^9 - 10\beta^9}{5(\alpha^9-\beta^9)}$
$= \frac{10(\alpha^9-\beta^9)}{5(\alpha^9-\beta^9)} = 2$.

(B) द्विघात समीकरण $x^2+(2m+1)x+m=0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D=0$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a=1$,$b=(2m+1)$,और $c=m$ है।
$D=0$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2m+1)^2 - 4(1)(m) = 0$
$4m^2 + 4m + 1 - 4m = 0$
$4m^2 + 1 = 0$
$4m^2 = -1$
$m^2 = -\frac{1}{4}$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या $m$ का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक $(m^2 \ge 0)$ होना चाहिए,इसलिए $m$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$m$ के वास्तविक मानों की संख्या $0$ है।

(B) माना द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^n$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमारे पास है:
$\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$.
हमें व्यंजक $E = (ac^n)^{1/(n+1)} + (a^nc)^{1/(n+1)}$ का मान ज्ञात करना है।
$c = a\alpha^{n+1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (a(a\alpha^{n+1})^n)^{1/(n+1)} + (a^n(a\alpha^{n+1}))^{1/(n+1)}$
$E = (a^{n+1} \alpha^{n(n+1)})^{1/(n+1)} + (a^{n+1} \alpha^{n+1})^{1/(n+1)}$
$E = a\alpha^n + a\alpha$
$E = a(\alpha^n + \alpha)$
$\alpha^n + \alpha = -\frac{b}{a}$ रखने पर:
$E = a(-\frac{b}{a}) = -b$.

(A) दिया गया है $\frac{x_1^5+x_2^5}{x_1^3+x_2^3} = \frac{11}{3}$.
सर्वसमिका $a^5+b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2b^2(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(x_1^2+x_2^2)(x_1^3+x_2^3) - x_1^2x_2^2(x_1+x_2)}{x_1^3+x_2^3} = \frac{11}{3}$
$(x_1^2+x_2^2) - \frac{x_1^2x_2^2(x_1+x_2)}{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)} = \frac{11}{3}$
चूंकि $x_1^2+x_2^2 = 5$,हमें $5 - \frac{x_1^2x_2^2}{5-x_1x_2} = \frac{11}{3}$ प्राप्त होता है।
माना $x_1x_2 = t$. तब $5 - \frac{t^2}{5-t} = \frac{11}{3}$.
$3(25 - 5t - t^2) = 55 - 11t \Rightarrow 3t^2 + 4t - 20 = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर,$t = 2$ या $t = -10/3$ प्राप्त होता है।
यदि $t = 2$ है,तो $(x_1+x_2)^2 = x_1^2+x_2^2 + 2x_1x_2 = 5 + 2(2) = 9$,अतः $x_1+x_2 = \pm 3$.
यदि $t = -10/3$ है,तो $(x_1+x_2)^2 = 5 + 2(-10/3) = -5/3 < 0$,जो वास्तविक मूलों के लिए संभव नहीं है।
अतः,द्विघात समीकरण $x^2 \pm 3x + 2 = 0$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं।
माना नए समीकरण के मूल $t = \sqrt{5} \alpha$ और $t = \sqrt{5} \beta$ हैं।
अतः $\alpha = \frac{t}{\sqrt{5}}$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$a(\frac{t}{\sqrt{5}})^2 + b(\frac{t}{\sqrt{5}}) + c = 0$
$\frac{a t^2}{5} + \frac{b t}{\sqrt{5}} + c = 0$
पूरे समीकरण को $5$ से गुणा करने पर:
$a t^2 + 5 \frac{b t}{\sqrt{5}} + 5 c = 0$
$a t^2 + \sqrt{5} b t + 5 c = 0$
$t$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट समीकरण $a x^2 + \sqrt{5} b x + 5 c = 0$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a^2+b^2+c^2 = 1$,इसलिए $2(1) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$,जिसका अर्थ है $ab+bc+ca \leq 1$।
साथ ही,हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 \geq 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ प्राप्त होता है।
$a^2+b^2+c^2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $ab+bc+ca \geq -\frac{1}{2}$।
अतः,$ab+bc+ca$ का परिसर $[-\frac{1}{2}, 1]$ है।
चरम मानों का समुच्चय $\{\frac{-1}{2}, 1\}$ है।

(D) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण के मूल हैं।
दिया गया है $\alpha+\beta=11$ और $\alpha^2+\beta^2=61$।
हम जानते हैं कि $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta$।
मान रखने पर: $(11)^2 = 61 + 2\alpha\beta$।
$121 = 61 + 2\alpha\beta$ $\Rightarrow 2\alpha\beta = 60$ $\Rightarrow \alpha\beta = 30$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x^2 - 11x + 30 = 0$।

(D) दिया गया है,$\alpha$ और $\beta$ समीकरण $2x^2 + 6x + k = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha + \beta = -\frac{6}{2} = -3$ और $\alpha\beta = \frac{k}{2}$.
अब,व्यंजक $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(-3)^2 - 2(k/2)}{k/2} = \frac{9 - k}{k/2} = \frac{18 - 2k}{k} = \frac{18}{k} - 2$.
चूंकि $k < 0$,मान लीजिए $f(k) = \frac{18}{k} - 2$.
जैसे-जैसे $k$ अधिक ऋणात्मक होता है (अर्थात $k \to -\infty$),$\frac{18}{k} \to 0$,इसलिए $f(k) \to -2$.
$k < 0$ के लिए,व्यंजक $\frac{18}{k} - 2$ हमेशा $-2$ से कम होता है।
महत्तम पूर्णांक फलन $\left[\frac{18}{k} - 2\right]$ का $k < 0$ के लिए अधिकतम मान $-2$ है।

(A) दिया गया है कि $\tan 30^{\circ}$ और $\tan 15^{\circ}$ समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूल हैं।
हम जानते हैं कि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ}-30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
मूलों का योग: $-a = \tan 30^{\circ} + \tan 15^{\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}$.
अतः,$a = -\frac{4}{3+\sqrt{3}}$.
मूलों का गुणनफल: $b = \tan 30^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}$.
अब,$1+a-b = 1 - \frac{4}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}-4-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = 0$.

(A) हम $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2}$ व्यंजक के लिए आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं।
माना $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$ है।
$(x-1)(x^2+1)^2$ से गुणा करने पर,हमें $x = A(x^2+1)^2 + (Bx+C)(x-1)(x^2+1) + (Dx+E)(x-1)$ प्राप्त होता है।
$x=1$ रखने पर,$1 = A(2)^2$,अतः $A = \frac{1}{4}$ है।
गुणांकों की तुलना करने या $x$ के मान रखने पर,हमें $B = -\frac{1}{4}$,$C = -\frac{1}{4}$,$D = -\frac{1}{2}$,और $E = \frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2} = \frac{1}{4(x-1)} - \frac{x+1}{4(x^2+1)} + \frac{-x/2 + 1/2}{(x^2+1)^2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{1}{4}\left[\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2+1}\right] + \frac{1}{2}\left[\frac{1-x}{(x^2+1)^2}\right]$ हो जाता है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$y = \frac{1}{2}\left[\frac{1-x}{(x^2+1)^2}\right]$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $|x-2|^2+|x-2|-2=0$
माना $y = |x-2|$। चूँकि $|x-2| \geq 0$,इसलिए $y \geq 0$ होना चाहिए।
समीकरण $y^2 + y - 2 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(y+2)(y-1) = 0$।
इससे $y = -2$ या $y = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y \geq 0$,इसलिए हम $y = -2$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$|x-2| = 1$।
इसका अर्थ है $x-2 = 1$ या $x-2 = -1$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 3$ या $x = 1$।
वास्तविक मूलों का योग $3 + 1 = 4$ है।

(B) माना $f(x) = (x-a)(x-c) + 2(x-b)(x-d)$.
चूंकि $f(x)$ एक धनात्मक अग्रणी गुणांक $(3x^2)$ वाला द्विघात बहुपद है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न होंगे यदि विविक्तकर $D > 0$ हो।
$x=a, b, c, d$ पर $f(x)$ के मानों पर विचार करने पर:
$f(a) = 2(a-b)(a-d) > 0$ (क्योंकि $a < b$ और $a < d$)
$f(b) = (b-a)(b-c) < 0$ (क्योंकि $b > a$ और $b < c$)
$f(c) = 2(c-b)(c-d) < 0$ (क्योंकि $c > b$ और $c < d$)
$f(d) = (d-a)(d-c) > 0$ (क्योंकि $d > a$ और $d > c$)
चूंकि $f(a) > 0$ और $f(b) < 0$,इसलिए $(a, b)$ के बीच एक मूल स्थित है।
चूंकि $f(c) < 0$ और $f(d) > 0$,इसलिए $(c, d)$ के बीच एक मूल स्थित है।
अतः,समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल हैं।

(C) दिया गया समीकरण $3^{x+1}+3^{-x+1}=10$ है।
इसे $3(3^x) + \frac{3}{3^x} = 10$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y = 3^x$ है। तब समीकरण $3y + \frac{3}{y} = 10$ हो जाता है।
$y$ से गुणा करने पर,हमें $3y^2 - 10y + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3y^2 - 9y - y + 3 = 0 \Rightarrow 3y(y-3) - 1(y-3) = 0$।
अतः,$(3y-1)(y-3) = 0$,जिससे $y = 3$ या $y = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$y = 3^x$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$।
स्थिति $2$: $3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$।
धनात्मक वास्तविक मूल $x = 1$ है।
अतः,केवल $1$ धनात्मक वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{13}{6}$ है।
माना $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$। $t$ को परिभाषित और वास्तविक होने के लिए,$\frac{x}{1-x} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \in (0, 1)$।
समीकरण $t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}$ बन जाता है।
$6t$ से गुणा करने पर,हमें $6t^2 - 13t + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2t - 3)(3t - 2) = 0$,इसलिए $t = \frac{3}{2}$ या $t = \frac{2}{3}$।
स्थिति $1$: $\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow 4x = 9 - 9x$ $\Rightarrow 13x = 9$ $\Rightarrow x = \frac{9}{13}$।
स्थिति $2$: $\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 4 - 4x$ $\Rightarrow 13x = 4$ $\Rightarrow x = \frac{4}{13}$।
दोनों मान $x = \frac{9}{13}$ और $x = \frac{4}{13}$ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित हैं।
अतः,$2$ वास्तविक मूल हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $4^{x} - 3^{x - \frac{1}{2}} = 3^{x + \frac{1}{2}} - 2^{2x - 1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4^{x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + \frac{1}{2}} + 3^{x - \frac{1}{2}}$
चूंकि $2^{2x - 1} = \frac{4^{x}}{2}$,इसलिए: $4^{x} + \frac{4^{x}}{2} = 3^{x} \cdot \sqrt{3} + \frac{3^{x}}{\sqrt{3}}$
$4^{x} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 3^{x} \left(\frac{3 + 1}{\sqrt{3}}\right)$
$4^{x} \left(\frac{3}{2}\right) = 3^{x} \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)$
$\left(\frac{4}{3}\right)^{x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$
$\left(\frac{4}{3}\right)^{x} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \left(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{2}}$
घातांकों की तुलना करने पर,$x = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $4^x - 3^{x - \frac{1}{2}} = 3^{x + \frac{1}{2}} - 2^{2x - 1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2^{2x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + \frac{1}{2}} + 3^{x - \frac{1}{2}}$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $2^{2x}(1 + \frac{1}{2}) = 3^x(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})$
सरल करने पर: $2^{2x}(\frac{3}{2}) = 3^x(\frac{4}{\sqrt{3}})$
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $2^{2x} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 3^x \cdot 8$
घात के रूप में लिखने पर: $2^{2x} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^x \cdot 2^3$
$2$ की घात की तुलना करने पर: $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
$3$ की घात की तुलना करने पर: $x = \frac{3}{2}$
अतः,$x = \frac{3}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^4-2x^3+x-380=0$ है।
मानों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=5$ एक मूल है:
$5^4-2(5^3)+5-380 = 625-250+5-380 = 380-380 = 0$.
इसके बाद,हम $x=-4$ का परीक्षण करते हैं:
$(-4)^4-2(-4)^3+(-4)-380 = 256+128-4-380 = 384-4-380 = 0$.
चूंकि $x=5$ और $x=-4$ मूल हैं,हम बहुपद को $(x-5)(x+4) = x^2-x-20$ से विभाजित कर सकते हैं।
विभाजन करने पर: $(x^4-2x^3+x-380) \div (x^2-x-20) = x^2-x+19$.
शेष मूल $x^2-x+19=0$ को हल करके प्राप्त किए जाते हैं।
विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(19) = 1 - 76 = -75$.
चूंकि $D < 0$,$x^2-x+19=0$ के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं।
अतः,केवल वास्तविक मूल $5$ और $-4$ हैं।
वास्तविक मूलों का योग $5 + (-4) = 1$ है।

(A) माना त्रिघात समीकरण $x^3-7x^2+36=0$ के मूल $a, 2a$ और $b$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $a + 2a + b = 7 \Rightarrow 3a + b = 7$ ... $(i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $a(2a) + 2a(b) + b(a) = 0$ (क्योंकि $x$ का गुणांक $0$ है)
$2a^2 + 3ab = 0 \Rightarrow a(2a + 3b) = 0$
चूंकि $a$ शून्य नहीं हो सकता ($36 \neq 0$ है),इसलिए $2a + 3b = 0 \Rightarrow b = -\frac{2a}{3}$।
$b$ का मान $(i)$ में रखने पर: $3a - \frac{2a}{3} = 7$ $\Rightarrow \frac{7a}{3} = 7$ $\Rightarrow a = 3$।
तब $b = 7 - 3(3) = -2$।
मूल $a=3, 2a=6, b=-2$ हैं।
अतः,केवल $1$ ऋणात्मक मूल है।

(B) माना $y = x^{1/3}$ है। तब समीकरण $y^2 + y - 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 2)(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $y = 1$ या $y = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = x^{1/3}$,इसलिए $x^{1/3} = 1 \Rightarrow x = 1^3 = 1$ है।
और $x^{1/3} = -2 \Rightarrow x = (-2)^3 = -8$ है।
समीकरण के मूल $1$ और $-8$ हैं।
मूलों के वर्गों का योग $(1)^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65$ है।

(B) शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $2 x^5-3 x^4+5 x^3-3 x^2+7 x-9$ को $x^2-x-3$ से बहुपद विभाजन द्वारा विभाजित करते हैं:
$1$. $2 x^5$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $2 x^3$ प्राप्त होता है। $(x^2-x-3)$ को $2 x^3$ से गुणा करने पर $2 x^5-2 x^4-6 x^3$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $-x^4+11 x^3-3 x^2+7 x-9$ प्राप्त होता है।
$2$. $-x^4$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $-x^2$ प्राप्त होता है। $(x^2-x-3)$ को $-x^2$ से गुणा करने पर $-x^4+x^3+3 x^2$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $10 x^3-6 x^2+7 x-9$ प्राप्त होता है।
$3$. $10 x^3$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $10 x$ प्राप्त होता है। $(x^2-x-3)$ को $10 x$ से गुणा करने पर $10 x^3-10 x^2-30 x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $4 x^2+37 x-9$ प्राप्त होता है।
$4$. $4 x^2$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $4$ प्राप्त होता है। $(x^2-x-3)$ को $4$ से गुणा करने पर $4 x^2-4 x-12$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $41 x+3$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $41 x+3$ है।

(C) दिया गया है कि $2, 3, 6$ बहुपद $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ के मूल हैं।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम लिख सकते हैं:
$f(x) = (x - 2)(x - 3)(x - 6)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)(x - 6)$
$f(x) = x^3 - 6x^2 - 5x^2 + 30x + 6x - 36$
$f(x) = x^3 - 11x^2 + 36x - 36$
इसे $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -11$,$b = 36$,$c = -36$
अब,$a - c$ की गणना करने पर:
$a - c = -11 - (-36) = -11 + 36 = 25$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y^2+z^2=3yz \Rightarrow \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=3$ $(i)$
$z^2+x^2=8zx \Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}=8$ $(ii)$
$x^2+y^2=4xy \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=4$ $(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ का गुणा करने पर:
$\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) = \frac{x}{z} + \frac{y^2}{xz} + \frac{xz}{y^2} + \frac{z}{x} = 12$
$\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right) + \left(\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2}\right) = 12$
$(ii)$ से मान रखने पर:
$8 + \left(\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2}\right) = 12$
$\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2} = 12 - 8 = 4$

(B) यदि $x^2 + px + 1$,$ax^3 + bx + c$ का गुणनखंड है,तो बहुपद विभाजन करने पर:
$ax^3 + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax - ap) + (b - a + ap^2)x + (ap + c)$
शेषफल शून्य होना चाहिए:
$1) \ ap + c = 0 \Rightarrow p = -\frac{c}{a} \dots (i)$
$2) \ b - a + ap^2 = 0$
समीकरण $(i)$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$b - a + a(-\frac{c}{a})^2 = 0$
$b - a + \frac{c^2}{a} = 0$
$a$ से गुणा करने पर:
$ab - a^2 + c^2 = 0$
$a^2 - c^2 = ab$

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$y^2+z^2=a y z \Rightarrow \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=a$ $(i)$
$z^2+x^2=b z x \Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}=b$ $(ii)$
$x^2+y^2=c x y \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=c$ $(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ का गुणा करने पर:
$(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) = ac$
$\frac{x}{z} + \frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} + \frac{z}{x} = ac$
$(ii)$ से,हम जानते हैं कि $\frac{z}{x}+\frac{x}{z}=b$. इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$b + \frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} = ac$
$\frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} = ac-b$

(C) दिया गया है: $\frac{x^2+1}{x^4+4}=\frac{A x+B}{x^2-2 x+2}+\frac{C x+D}{x^2+2 x+2}$
दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर:
$\frac{x^2+1}{x^4+4} = \frac{(A x+B)(x^2+2 x+2)+(C x+D)(x^2-2 x+2)}{(x^2-2 x+2)(x^2+2 x+2)}$
ध्यान दें कि $(x^2-2 x+2)(x^2+2 x+2) = x^4+4$.
अंशों की तुलना करने पर:
$x^2+1 = (A+C)x^3 + (2A+B-2C+D)x^2 + (2A+2B+2C-2D)x + (2B+2D)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C=0 \Rightarrow A=-C$
$2) 2A+B-2C+D=1$
$3) 2A+2B+2C-2D=0 \Rightarrow A+B+C-D=0$
$4) 2B+2D=1$
$(1)$ से,$A+C=0$,इसलिए $(3)$ बन जाता है $B-D=0 \Rightarrow B=D$.
$(4)$ में $B=D$ रखने पर,$2B+2B=1 \Rightarrow 4B=1 \Rightarrow B=D=\frac{1}{4}$.
$(2)$ से,$2(A-C)+B+D=1$. चूंकि $A=-C$,$2(2A)+2B=1 \Rightarrow 4A+2B=1$.
$B=\frac{1}{4}$ रखने पर,$4A + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow 4A = \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{8}$.
अतः $C = -\frac{1}{8}$.
अंत में,$3A+2B+3C = 3(A+C) + 2B = 3(0) + 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} = 2D$.

(C) माना $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$.
हम पदों को समूहित करके व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:
$f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$.
वैकल्पिक रूप से,$f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ पर विचार करें।
यदि $x \ge 1$ है,तो $x^9(x^3 - 1) \ge 0$ और $x(x^3 - 1) \ge 0$,इसलिए $f(x) \ge 1 > 0$।
यदि $x \le 0$ है,तो $f(x) = x^{12} + x^4 + (-x^9 - x) + 1$। चूंकि $x \le 0$,$-x^9 \ge 0$ और $-x \ge 0$,इसलिए $f(x) > 0$।
यदि $0 < x < 1$ है,तो हम $f(x) = x^{12} + x^4(1 - x^5) + (1 - x)$ लिख सकते हैं। चूंकि $x^5 < 1$ और $x < 1$,सभी पद धनात्मक हैं,इसलिए $f(x) > 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए सबसे बड़ा अंतराल $(-\infty, \infty)$ है।

(A) दिया गया समीकरण $|1-i|^x=2^x$ है।
सबसे पहले,सम्मिश्र संख्या $1-i$ का मापांक ज्ञात करें:
$|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2^{\frac{1}{2}})^x = 2^x$.
$2^{\frac{x}{2}} = 2^x$.
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{x}{2} = x$.
$x = 2x \Rightarrow x = 0$.
अतः,केवल $1$ पूर्णांक हल है,जो $x=0$ है।

(D) दिया गया योग $\sum_{k=0}^{40} i^k = x + iy$ है।
चूंकि $i$ की चार लगातार घातों का योग शून्य होता है,अर्थात $i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = 0$।
यहाँ $k=0$ से $k=40$ तक कुल $41$ पद हैं।
$\sum_{k=0}^{40} i^k = i^0 + (i^1 + i^2 + i^3 + i^4) + \dots + (i^{37} + i^{38} + i^{39} + i^{40}) = 1 + 0 + \dots + 0 = 1$।
अतः,$x + iy = 1 + 0i$,जिससे $x = 1$ और $y = 0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$x^{100} + x^{99}y + x^{242}y^2 + x^{97}y^3 = (1)^{100} + (1)^{99}(0) + (1)^{242}(0)^2 + (1)^{97}(0)^3 = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$।

(C) दिया गया व्यंजक: $i^{18}-3i^7+i^2(1+i^4)(i)^{22}$
हम जानते हैं कि $i^2 = -1$,$i^3 = -i$,$i^4 = 1$.
$i^{18} = (i^4)^4 \times i^2 = (1)^4 \times (-1) = -1$
$i^7 = (i^4) \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$
$i^{22} = (i^4)^5 \times i^2 = (1)^5 \times (-1) = -1$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-1 - 3(-i) + (-1)(1+1)(-1)$
$= -1 + 3i + (-1)(2)(-1)$
$= -1 + 3i + 2$
$= 1 + 3i$

(A) दिया गया है $(x-iy)^{1/3} = a-ib$।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$x-iy = (a-ib)^3$
$x-iy = a^3 - (ib)^3 - 3a^2(ib) + 3a(ib)^2$
$x-iy = a^3 + ib^3 - 3a^2bi - 3ab^2$
$x-iy = (a^3 - 3ab^2) - i(3a^2b - b^3)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = a^3 - 3ab^2 \implies \frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$
$y = 3a^2b - b^3 \implies \frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$
इन दोनों को जोड़ने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) + (3a^2 - b^2)$
$= 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$

(C) दिया है $x = -5 + 2 \sqrt{-4} = -5 + 4i$.
$x + 5 = 4i$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x + 5)^2 = (4i)^2$
$x^2 + 10x + 25 = -16$
$x^2 + 10x + 41 = 0$
अब,बहुपद $P(x) = x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ को $x^2 + 10x + 41$ से विभाजित करने पर:
$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4 = (x^2 + 10x + 41)(x^2 - x + 4) - 160$
चूँकि $x^2 + 10x + 41 = 0$,इसलिए:
$P(x) = 0 \cdot (x^2 - x + 4) - 160 = -160$.

(B) दिया गया है $(x+iy) = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3 - \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3$.
सबसे पहले,आधार भिन्नों को सरल करने पर:
$\frac{1+i}{1-i} = i$ और $\frac{1-i}{1+i} = -i$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x+iy = (i)^3 - (-i)^3 = -i - (i) = -2i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = 0$ और $y = -2$.
चूंकि $0 > -2$,इसलिए $x > y$ है।

(A) दिया गया है: $\frac{x-1}{3+i} + \frac{y-1}{3-i} = i$
हर $(3+i)(3-i) = 10$ से गुणा करने पर:
$(x-1)(3-i) + (y-1)(3+i) = 10i$
$3x - ix - 3 + i + 3y + iy - 3 - i = 10i$
$(3x + 3y - 6) + i(y - x) = 10i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x + 3y - 6 = 0 \Rightarrow x + y = 2$
$y - x = 10$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2y = 12 \Rightarrow y = 6$
$x + y = 2$ में $y = 6$ रखने पर: $x + 6 = 2 \Rightarrow x = -4$
अतः,$x = -4$ और $y = 6$।

(B) माना सम्मिश्र संख्या $z = \sin \theta + i \cos \theta$ है।
$z$ का गुणात्मक प्रतिलोम $\frac{1}{z}$ है।
$\frac{1}{z} = \frac{1}{\sin \theta + i \cos \theta}$।
अंश और हर को $(\sin \theta - i \cos \theta)$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{z} = \frac{\sin \theta - i \cos \theta}{(\sin \theta + i \cos \theta)(\sin \theta - i \cos \theta)}$।
सर्वसमिका $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{z} = \frac{\sin \theta - i \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}$।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$\frac{1}{z} = \sin \theta - i \cos \theta$।
अतः,गुणात्मक प्रतिलोम $(\sin \theta, -\cos \theta)$ है।

(A) दिया गया है: $\frac{(1+i)x-2i}{3+i} + \frac{(2-3i)y}{3-i} = i$
$(3+i)(3-i) = 10$ से गुणा करने पर:
$((1+i)x-2i)(3-i) + (2-3i)y(3+i) = 10i$
$(4x - 2 + 9y) + i(2x - 6 - 7y) = 10i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$4x + 9y = 2$
$2x - 7y = 16$
समीकरणों को हल करने पर:
$y = -30/23$ और $x = 79/23$
अतः,$x+y = 79/23 - 30/23 = 49/23$.

(D) दिया गया है,$(x-iy)^{1/3} = 2-i\sqrt{3}$
$\Rightarrow x-iy = (2-i\sqrt{3})^3$
सर्वसमिका $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ का उपयोग करने पर:
$x-iy = 2^3 - 3(2^2)(i\sqrt{3}) + 3(2)(i\sqrt{3})^2 - (i\sqrt{3})^3$
$x-iy = 8 - 12i\sqrt{3} - 18 + 3i\sqrt{3}$
$x-iy = -10 - 9i\sqrt{3}$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = -10$ और $y = 9\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $z = (x, y)$ रेखा $\frac{x}{2} + \frac{y}{\sqrt{3}} = k$ पर स्थित है:
$\frac{-10}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = k$
$-5 + 9 = k$
$k = 4$

(C) दिया गया समीकरण: $i z^3+z^2-z+i=0$
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$i z^2(z-i) - 1(z-i) = 0$
$(z-i)(i z^2-1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $z-i=0 \Rightarrow z=i$. अतः $|z| = |i| = 1$.
स्थिति $2$: $i z^2-1=0 \Rightarrow i z^2=1$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$|i z^2| = |1|$
$|i| \cdot |z|^2 = 1$
$1 \cdot |z|^2 = 1$ $\Rightarrow |z|^2 = 1$ $\Rightarrow |z| = 1$.
दोनों स्थितियों में,$|z| = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ संयुग्मी होती हैं यदि $a = c$ और $b = -d$ हो।
यहाँ $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ दिया गया है।
अतः,$\sin x = \cos x$ और $\cos 2x = \sin 2x$ होना चाहिए।
$\sin x = \cos x$ से $\tan x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$\cos 2x = \sin 2x$ से $\tan 2x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$।
चूँकि $x$ का कोई भी मान इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए कोई हल संभव नहीं है।

(B) दिए गए वक्र $xy = 1$ के लिए,$y = \frac{1}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $-\frac{1}{x^2}$ है।
अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,जो $x^2$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ की ढाल $-\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र का अभिलंब है,इसलिए $x^2 = -\frac{a}{b}$ होगा।
वास्तविक $x$ के लिए $x^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $-\frac{a}{b} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{a}{b} < 0$।
यह स्थिति तब सत्य होती है जब $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत हों,अर्थात $(a > 0, b < 0)$ या $(a < 0, b > 0)$।

(A) दिए गए वक्र $y=a^x$ और $y=b^x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$a^x = b^x$,जिसका अर्थ है $x=0$।
अतः,वक्र $(0, 1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
माना $x=0$ पर $y=a^x$ के स्पर्शरेखा की ढाल $m_1$ है।
$m_1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \left. a^x \ln a \right|_{x=0} = \ln a$।
माना $x=0$ पर $y=b^x$ के स्पर्शरेखा की ढाल $m_2$ है।
$m_2 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \left. b^x \ln b \right|_{x=0} = \ln b$।
वक्रों के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\tan \alpha = \frac{\ln a - \ln b}{1 + \ln a \ln b}$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि अंश और हर की घात समान है,हम पहले भाग करेंगे।
$\frac{x^4}{(x^2+1)(x^2+3)} = \frac{x^4}{x^4+4x^2+3} = 1 - \frac{4x^2+3}{(x^2+1)(x^2+3)}$.
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर,यह व्यंजक $1 + \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$ के रूप में प्राप्त होता है।

(D) माना $f(x) = x - \sin x$.
तब $f'(x) = 1 - \cos x$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\cos x \leq 1$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
चूंकि $f(0) = 0 - \sin(0) = 0$ है,इसलिए सभी $x \geq 0$ के लिए $f(x) \geq 0$ है।
अतः,$x - \sin x \geq 0$,जिसका अर्थ है कि सभी $x \geq 0$ के लिए $\sin x \leq x$ है।
$x < 0$ के लिए,माना $x = -t$ जहाँ $t > 0$ है। तब $\sin(-t) = -\sin t$।
असमिका $-\sin t \leq -t$ हो जाती है,जो सरल होकर $\sin t \geq t$ बन जाती है।
चूंकि सभी $t > 0$ के लिए $\sin t < t$ है,इसलिए असमिका $\sin t \geq t$ केवल $t = 0$ पर संतुष्ट होती है।
अतः,$x$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिनके लिए $\sin x \leq x$ है,$[0, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ को $x \in (0, \pi/2)$ के लिए लें।
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$ प्राप्त होता है।
माना $u(x) = x \cos x - \sin x$. तब $u'(x) = \cos x - x \sin x - \cos x = -x \sin x$।
चूंकि $x \in (0, \pi/2)$,$u'(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $u(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $u(0) = 0$ और $u(x)$ ह्रासमान है,इसलिए $x \in (0, \pi/2)$ के लिए $u(x) < 0$ है।
अतः,$f'(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(0, \pi/2)$ पर एक ह्रासमान फलन है।
जैसे ही $x \to 0^+$,$f(x) \to 1$,और $x = \pi/2$ पर,$f(\pi/2) = \frac{2}{\pi}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ ह्रासमान है,इसलिए $0 < x < \pi/2$ के लिए,$\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x} < 1$ होगा।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र,परिकेंद्र,केंद्रक और अंतःकेंद्र सभी एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
यह दिया गया है कि मूल बिंदु लंबकेंद्र है,इसलिए यह त्रिभुज का केंद्रक भी है।
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि केंद्रक मूल बिंदु है,हमारे पास है:
$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \vec{0}$
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$
अतः,$\vec{a}+\vec{b} = -\vec{c}$.

(A) चतुर्भुज की ज्यामिति से,हमारे पास सदिश संबंध हैं:
$SQ = SP + PQ = (a-b) + a = 2a - b$
$SM = SQ + QM = (2a - b) + \frac{b}{2} = 2a - \frac{b}{2}$
$SM = \frac{1}{2}(4a - b)$
इसे $SM = m(4a - b)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $SX = \frac{4}{5}SM$,हम $SM$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं:
$SX = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}(4a - b) = \frac{2}{5}(4a - b)$
इसे $SX = n(4a - b)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m + n = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5+4}{10} = \frac{9}{10}$.

(C) $\triangle PAC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम द्वारा,$\vec{PA} + \vec{AC} = \vec{PC}$ ...$(i)$
$\triangle PBC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम द्वारा,$\vec{PB} + \vec{BC} = \vec{PC}$ ...$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{AC} + \vec{BC} = 2\vec{PC}$
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{AC} = -\vec{BC}$,या $\vec{AC} + \vec{BC} = 0$.
अतः,$\vec{PA} + \vec{PB} = 2\vec{PC}$.

(D) किसी किरण द्वारा अक्षों के साथ बनाए गए कोणों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
यहाँ $\beta = 2\alpha$ और $\gamma = 3\alpha$ दिया गया है,इसलिए $\cos^2 \alpha + \cos^2 2\alpha + \cos^2 3\alpha = 1$।
$\alpha = \frac{\pi}{6}$ के लिए: $\cos^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 1$।
$\alpha = \frac{\pi}{4}$ के लिए: $\cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{2} + \cos^2 \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$।
अतः,$\alpha$ के संभावित मान $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{4}$ हैं।

(C) माना बिंदु $P$ है $(at, \frac{a}{t})$।
वक्र का समीकरण $xy = a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(at, \frac{a}{t})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{a/t}{at} = -\frac{1}{t^2}$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \frac{a}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - at)$ है।
$t^2y - at = -x + at$,जिसे सरल करने पर $x + t^2y = 2at$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $x = 2at$। अतः,$A = (2at, 0)$।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $t^2y = 2at$,अतः $y = \frac{2a}{t}$। अतः,$B = (0, \frac{2a}{t})$।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABO$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2at) \times (\frac{2a}{t}) = 2a^2$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया संबंध $f(x f(y)) = f(x y) + x$ है।
चूंकि $f(x) - x = \lambda$,इसलिए $f(x) = x + \lambda$ है।
इसे फलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x(y + \lambda)) = (xy + \lambda) + x$
$x(y + \lambda) + \lambda = xy + \lambda + x$
$xy + x\lambda + \lambda = xy + \lambda + x$
पदों की तुलना करने पर,हमें $x\lambda = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 1$।
अतः,$f(x) = x + 1$।
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + 1)^{\frac{1}{3}} - 1}{(x + 1)^{\frac{1}{2}} - 1}$
मानक सीमा सूत्र $\lim _{u \rightarrow 1} \frac{u^n - 1}{u - 1} = n$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{(1 + x) - 1} \cdot \frac{(1 + x) - 1}{(1 + x)^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$।

(C) सबसे पहले,सीमा के अंदर के व्यंजक को सरल करें: $\frac{1}{y-2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+y-2} \right) = \frac{1}{y-2} \left( \frac{(x+y-2) - x}{x(x+y-2)} \right) = \frac{1}{y-2} \left( \frac{y-2}{x(x+y-2)} \right) = \frac{1}{x(x+y-2)}$.
अब,$y \to 2$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करें: $\lim_{y \to 2} \frac{1}{x(x+y-2)} = \frac{1}{x(x+2-2)} = \frac{1}{x^2}$.
अंत में,$x$ के सापेक्ष अवकलन करें: $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2} \right) = \frac{d}{dx} (x^{-2}) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।
सामान्य पद के अंश और हर को $n^5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(\frac{r}{n})^4}{(\frac{r}{n})^5+1}$.
यह एक रीमान योग है जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\int_0^1 \frac{x^4}{1+x^5} dx$.
मान लीजिए $u = 1+x^5$,तो $du = 5x^4 dx$,या $x^4 dx = \frac{du}{5}$.
जब $x=0, u=1$ और जब $x=1, u=2$.
समाकलन $\frac{1}{5} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{5} [\ln |u|]_1^2 = \frac{1}{5} \ln 2$ हो जाता है।
गुणधर्म $a \ln b = \ln b^a$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln 2^{1/5} = \ln \sqrt[5]{2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3+r^3}$.
हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3(1+(r/n)^3)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^2}{1+(r/n)^3}$.
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$,हमें प्राप्त होता है:
$L = \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^3} dx$.
माना $1+x^3 = t$,तो $3x^2 dx = dt$,या $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.
जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$.
$L = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{3} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{3} \log 2$.
$a \log b = \log b^a$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{1}{3} \log 2 = \log 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$.

(B) दिया गया है,$p = 0.3, q = 1 - p = 0.7$.
माध्य $(\mu) = np = 0.3n$.
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{npq} = \sqrt{n(0.3)(0.7)} = \sqrt{0.21n}$.
दिया गया है कि $\mu = 3\sigma$.
मान रखने पर,$0.3n = 3\sqrt{0.21n}$.
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,$0.1n = \sqrt{0.21n}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(0.1n)^2 = 0.21n$.
$0.01n^2 = 0.21n$.
$n^2 = 21n$.
चूंकि $n \neq 0$,इसलिए $n = 21$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $(2 A+B)^2+(A-3 B)^2=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
वर्गों का विस्तार करने पर: $(4 A^2+2 A B+2 B A+B^2)+(A^2-3 A B-3 B A+9 B^2)=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
समान पदों को जोड़ने पर: $(4 A^2+A^2)+(B^2+9 B^2)+(2 A B-3 A B)+(2 B A-3 B A)=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $5 A^2+10 B^2-A B-B A=5 A^2-2 A B+10 B^2$.
दोनों पक्षों से $5 A^2+10 B^2$ घटाने पर: $-A B-B A=-2 A B$.
दोनों पक्षों में $A B$ जोड़ने पर: $-B A=-A B$,जिसका अर्थ है कि $A B=B A$.
चूंकि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं,$A B A B=A(B A) B=A(A B) B=(A A)(B B)=A^2 B^2$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix}$.
हमें दिया गया है कि $A^2 = I$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गुणनफल की गणना करने पर:
पंक्ति $1$: $(1)(1) + (0)(a) + (0)(b) = 1$,$(1)(0) + (0)(-1) + (0)(c) = 0$,$(1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$.
पंक्ति $2$: $(a)(1) + (-1)(a) + (0)(b) = 0$,$(a)(0) + (-1)(-1) + (0)(c) = 1$,$(a)(0) + (-1)(0) + (0)(1) = 0$.
पंक्ति $3$: $(b)(1) + (c)(a) + (1)(b) = 2b + ac$,$(b)(0) + (c)(-1) + (1)(c) = 0$,$(b)(0) + (c)(0) + (1)(1) = 1$.
अतः,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2b + ac & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इसे तत्समक आव्यूह $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ के बराबर रखने पर,हमें $2b + ac = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$b = -\frac{ac}{2}$.

(B) दिए गए आव्यूह $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ हैं।
सबसे पहले,हम $A^n$ के लिए सामान्य रूप ज्ञात करते हैं:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right]$
$A^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 6 & 1\end{array}\right]$
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2n & 1\end{array}\right]$। अतः,$A^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 12 & 1\end{array}\right]$।
अब,हम $B^n$ के लिए सामान्य रूप ज्ञात करते हैं:
$B^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
$B^3 = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 9 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
गणितीय आगमन द्वारा,$B^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 3n \\ 0 & 1\end{array}\right]$। अतः,$B^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 18 \\ 0 & 1\end{array}\right]$।
अब,$A^6 + B^6 = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 12 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 18 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 18 \\ 12 & 2\end{array}\right]$।
अंत में,$\operatorname{det}(A^6 + B^6) = (2 \times 2) - (18 \times 12) = 4 - 216 = -212$।

(C) दिया गया है $G(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
चूंकि $x+y=0$,इसलिए $y = -x$ है।
अतः,$G(y) = G(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \\ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अब,$G(x)G(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह गुणन करने पर:
पंक्ति $1$,स्तंभ $1$: $(\cos x)(\cos x) + (-\sin x)(-\sin x) + (0)(0) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$।
पंक्ति $1$,स्तंभ $2$: $(\cos x)(\sin x) + (-\sin x)(\cos x) + (0)(0) = 0$।
पंक्ति $2$,स्तंभ $1$: $(\sin x)(\cos x) + (\cos x)(-\sin x) + (0)(0) = 0$।
पंक्ति $2$,स्तंभ $2$: $(\sin x)(\sin x) + (\cos x)(\cos x) + (0)(0) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$।
इस प्रकार,$G(x)G(y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$,जो कि तत्समक आव्यूह है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 + 0 & 0 + 0 \\ x + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ x + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A$ की गणना करें:
$A^3 = \begin{bmatrix} x^2 & 0 \\ x + 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3 + 0 & 0 + 0 \\ x(x + 1) + 1 & 0 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3 & 0 \\ x^2 + x + 1 & 1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^3 = B$ दिया गया है,हमारे पास है:
$\begin{bmatrix} x^3 & 0 \\ x^2 + x + 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत तत्वों की तुलना करने पर:
$x^3 = 8 \implies x = 2$.
साथ ही,$x^2 + x + 1 = 7 \implies x^2 + x - 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 3)(x - 2) = 0$,जिससे $x = 2$ या $x = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ को दोनों शर्तों को संतुष्ट करना चाहिए,इसलिए हम सामान्य मान $x = 2$ लेते हैं।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$.
$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x & 4y \\ 5x & 6y \end{bmatrix}$.
$BA$ की गणना करने पर:
$BA = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x & 4x \\ 5y & 6y \end{bmatrix}$.
$AB = BA$ के लिए,हमारे पास होना चाहिए:
$3x = 3x$ (हमेशा सत्य)
$4y = 4x \Rightarrow x = y$
$5x = 5y \Rightarrow x = y$
$6y = 6y$ (हमेशा सत्य)
अतः,$AB = BA$ तभी होगा यदि $x = y$ हो।
चूंकि $x, y \in \mathbb{N}$,हम कोई भी प्राकृतिक संख्या $n$ चुन सकते हैं ताकि $x = y = n$ हो। चूंकि प्राकृतिक संख्याएँ अनंत हैं,इसलिए ऐसे अनंत आव्यूह $B$ मौजूद हैं।

(A) दिया गया है कि $A$ एक सिंगुलर आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक शून्य होगा,अर्थात $|A| = 0$।
$|A| = \begin{vmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 4 & x \\ -3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(4 \times 2 - 3 \times x) - 1(2 \times 2 - (-3) \times x) + 2(2 \times 3 - (-3) \times 4) = 0$
$x(8 - 3x) - 1(4 + 3x) + 2(6 + 12) = 0$
$8x - 3x^2 - 4 - 3x + 36 = 0$
$-3x^2 + 5x + 32 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$3x^2 - 5x - 32 = 0$
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $x_1 + x_2 = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = c/a$ होता है।
यहाँ,$x_1 + x_2 = -(-5)/3 = 5/3$ और $x_1 x_2 = -32/3$ है।
अतः,$x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 5/3 - 32/3 = -27/3 = -9$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 2 & 1 \\ 2 & x & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = x(0 - 1) - 2(0 - 2) + 1(2 - 2x)$
$|A| = -x + 4 + 2 - 2x = 6 - 3x$.
हमें $\det(A^3) = 125$ दिया गया है।
गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ का उपयोग करते हुए,$|A|^3 = 125$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$|A| = 5$.
$|A|$ का मान रखने पर: $6 - 3x = 5$.
$3x = 6 - 5 = 1$.
$x = 1/3$.

(B) दिया गया है $A = nI$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
तब $A^2 = (nI)^2 = n^2 I^2 = n^2 I = \begin{bmatrix} n^2 & 0 & 0 \\ 0 & n^2 & 0 \\ 0 & 0 & n^2 \end{bmatrix}$.
आगे,$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & n \\ 0 & n & 0 \\ n & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & n \\ 0 & n & 0 \\ n & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n^2 & 0 & 0 \\ 0 & n^2 & 0 \\ 0 & 0 & n^2 \end{bmatrix} = n^2 I$.
साथ ही,$AB = (nI)B = n(IB) = nB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & n^2 \\ 0 & n^2 & 0 \\ n^2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अब,$A^2 + B^2 + AB = n^2 I + n^2 I + nB = 2n^2 I + nB$.
$n$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $n(2nI + B)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix}$.
हमें $\operatorname{Tr}(A^2-A)$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$A-I$ की गणना करें:
$A-I = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$.
अब,$A(A-I)$ की गणना करें:
$A^2-A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 9 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$.
परिणामी आव्यूह के विकर्ण अवयव इस प्रकार हैं:
$d_{11} = (1)(0) + (1)(1) + (3)(2) = 0 + 1 + 6 = 7$.
$d_{22} = (1)(1) + (7)(6) + (9)(3) = 1 + 42 + 27 = 70$.
$d_{33} = (2)(3) + (3)(9) + (7)(6) = 6 + 27 + 42 = 75$.
ट्रेस विकर्ण अवयवों का योग है:
$\operatorname{Tr}(A^2-A) = 7 + 70 + 75 = 152$.

(A) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ का परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अब,गुणनफल $A A^T$ की गणना करते हैं:
$A A^T = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -3 & -3 & -1 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
$A A^T = \begin{bmatrix} (9+9+16) & (6+9+16) & (0+3+4) \\ (6+9+16) & (4+9+16) & (0+3+4) \\ (0+3+4) & (0+3+4) & (0+1+1) \end{bmatrix}$
$A A^T = \begin{bmatrix} 34 & 31 & 7 \\ 31 & 29 & 7 \\ 7 & 7 & 2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $(A A^T)^T = A A^T$ है,इसलिए आव्यूह $A A^T$ एक सममित आव्यूह है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{T} = A$ और $B^{T} = B$ है।
हमें $X = AB + BA$ और $Y = AB - BA$ दिया गया है।
हमें $(XY)^{T}$ ज्ञात करना है।
परिवर्तित आव्यूह के गुणधर्म $(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}$ का उपयोग करते हुए।
सबसे पहले,$X^{T}$ और $Y^{T}$ ज्ञात करते हैं:
$X^{T} = (AB + BA)^{T} = (AB)^{T} + (BA)^{T} = B^{T}A^{T} + A^{T}B^{T} = BA + AB = X$।
$Y^{T} = (AB - BA)^{T} = (AB)^{T} - (BA)^{T} = B^{T}A^{T} - A^{T}B^{T} = BA - AB = -(AB - BA) = -Y$।
अब,$(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}$।
$Y^{T}$ और $X^{T}$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(XY)^{T} = (-Y)(X) = -YX$।

(D) दिया गया है: $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,$A$ का परिवर्त (transpose) ज्ञात करें: $A^T = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
अब,$(A^T)^2$ की गणना करें:
$(A^T)^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2) + (-4)(-3) & (2)(-4) + (-4)(1) \\ (-3)(2) + (1)(-3) & (-3)(-4) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -12 \\ -9 & 13 \end{bmatrix}$
इसके बाद,$(12A)^T$ की गणना करें:
$12A = \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} \Rightarrow (12A)^T = \begin{bmatrix} 24 & -48 \\ -36 & 12 \end{bmatrix}$
अंत में,दोनों आव्यूहों को जोड़ें:
$(A^T)^2 + (12A)^T = \begin{bmatrix} 16 & -12 \\ -9 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & -48 \\ -36 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 40 & -60 \\ -45 & 25 \end{bmatrix}$

(C) आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करने के लिए,हम पहले $A$ के प्रत्येक अवयव का सहखंड (cofactor) ज्ञात करते हैं।
माना $C_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का सहखंड है।
$C_{11} = +((-6)(4) - (5)(0)) = -24$
$C_{12} = -((2)(4) - (5)(5)) = -(8 - 25) = 17$
$C_{13} = +((2)(0) - (-6)(5)) = 30$
$C_{21} = -((-2)(4) - (2)(0)) = -(-8) = 8$
$C_{22} = +((1)(4) - (2)(5)) = 4 - 10 = -6$
$C_{23} = -((1)(0) - (-2)(5)) = -(0 + 10) = -10$
$C_{31} = +((-2)(5) - (2)(-6)) = -10 + 12 = 2$
$C_{32} = -((1)(5) - (2)(2)) = -(5 - 4) = -1$
$C_{33} = +((1)(-6) - (-2)(2)) = -6 + 4 = -2$
सहखंड आव्यूह $C = \begin{bmatrix} -24 & 17 & 30 \\ 8 & -6 & -10 \\ 2 & -1 & -2 \end{bmatrix}$ है।
$A$ का सहखंडज,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,$\operatorname{Adj} A = C^T = \begin{bmatrix} -24 & 8 & 2 \\ 17 & -6 & -1 \\ 30 & -10 & -2 \end{bmatrix}$।

(B) सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1((-1)(1) - (3)(2)) - (-3)((-2)(-1) - (3)(3)) + 2((-2)(2) - (1)(3))$
$|A| = 1(-1 - 6) + 3(2 - 9) + 2(-4 - 3)$
$|A| = 1(-7) + 3(-7) + 2(-7) = -7 - 21 - 14 = -42$.
हम जानते हैं कि $A \cdot \operatorname{Adj} A = |A| I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
इसलिए,$A^2 \operatorname{Adj} A = A(A \operatorname{Adj} A) = A(|A| I) = |A| A$.
$|A|$ का मान रखने पर,हमें $A^2 \operatorname{Adj} A = -42 A$ प्राप्त होता है।

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है। किसी आव्यूह का सहखंडज उसके सहखंड (cofactor) आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ के सहखंड $C_{ij}$ की गणना करते हैं:
$C_{11} = (-1)^{1+1}(3 \times 2 - 1 \times 1) = 5$
$C_{12} = (-1)^{1+2}(2 \times 2 - 3 \times 1) = -1$
$C_{13} = (-1)^{1+3}(2 \times 1 - 3 \times 3) = -7$
$C_{21} = (-1)^{2+1}(2 \times 2 - 3 \times 1) = -1$
$C_{22} = (-1)^{2+2}(1 \times 2 - 3 \times 3) = -7$
$C_{23} = (-1)^{2+3}(1 \times 1 - 3 \times 2) = 5$
$C_{31} = (-1)^{3+1}(2 \times 1 - 3 \times 3) = -7$
$C_{32} = (-1)^{3+2}(1 \times 1 - 2 \times 3) = 5$
$C_{33} = (-1)^{3+3}(1 \times 3 - 2 \times 2) = -1$
सहखंड आव्यूह $\begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सहखंडज इस आव्यूह का परिवर्त है: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}$।
इसकी तुलना $\begin{bmatrix} 5 & a & -7 \\ b & -7 & c \\ -7 & d & -1 \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $a = -1, b = -1, c = 5, d = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c+d = -1 - 1 + 5 + 5 = 8$।

(B) दिया गया है $A = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -6 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $AA^T$ की गणना करके जांचते हैं कि क्या $A$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है।
$A^T = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -2 & -3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
$AA^T = \frac{1}{49} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -6 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -2 & -3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
गुणनफल की गणना करने पर:
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $1 = (3)(3) + (-2)(-2) + (6)(6) = 9 + 4 + 36 = 49$.
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $2 = (3)(-6) + (-2)(-3) + (6)(2) = -18 + 6 + 12 = 0$.
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $3 = (3)(-2) + (-2)(6) + (6)(3) = -6 - 12 + 18 = 0$.
इसी प्रकार,सभी विकर्ण के अलावा अन्य तत्व $0$ प्राप्त होते हैं और विकर्ण तत्व $49$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$AA^T = \frac{1}{49} (49I) = I$.
चूंकि $AA^T = I$,इसलिए $A^{-1} = A^T$ होता है।

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\sin \alpha)(\sin \alpha) - (-\cos \alpha)(\cos \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करते हैं:
$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$,इसलिए:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
अब,$A + A^{-1}$ की गणना करते हैं:
$A + A^{-1} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $A + A^{-1} = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2 \sin \alpha = 1 \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ और $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,गुणनफल $M = A B^{-1}$ की गणना करें:
$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$।
अब,व्युत्क्रम $M^{-1} = (A B^{-1})^{-1}$ ज्ञात करें।
सारणिक $|M| = (1)(0) - (5)(-2) = 10$ है।
सहखंडज $\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \end{bmatrix}$।
इसकी तुलना $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $a = 0, b = -\frac{1}{2}, c = \frac{1}{5}, d = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$2b + 5c + 10d$ की गणना करें:
$2(-\frac{1}{2}) + 5(\frac{1}{5}) + 10(\frac{1}{10}) = -1 + 1 + 1 = 1$।

(A) दिया गया लाक्षणिक समीकरण $A^3-6A^2+11A-6I=0$ है।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,पूरे समीकरण को $A^{-1}$ से गुणा करें:
$A^{-1}(A^3-6A^2+11A-6I) = A^{-1}(0)$
$A^2-6A+11I-6A^{-1} = 0$
$A^{-1}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$6A^{-1} = A^2-6A+11I$
$A^{-1} = \frac{1}{6}(A^2-6A+11I)$

(A) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & a+1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A$ एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$.
पहली पंक्ति के सापेक्ष सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1((a+1)(1) - 1(1)) - 1(1(1) - 1(a+1)) + (a+1)(1(1) - (a+1)(a+1)) = 0$
$|A| = 1(a+1-1) - 1(1-a-1) + (a+1)(1-(a+1)^2) = 0$
$|A| = a + a + (a+1)(1 - (a^2 + 2a + 1)) = 0$
$|A| = 2a + (a+1)(-a^2 - 2a) = 0$
$|A| = 2a - a^3 - 2a^2 - a^2 - 2a = 0$
$-a^3 - 3a^2 = 0$
$-a^2(a+3) = 0$
अतः,$a$ के मान $a = 0$ और $a = -3$ हैं।
$a$ के सभी मानों का योग $0 + (-3) = -3$ है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह को पंक्ति सोपानक रूप (row echelon form) में बदलने के लिए हम पंक्ति संक्रियाएं करते हैं।
$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$।
$R_2 \rightarrow \frac{1}{4}R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & k & k \end{bmatrix}$।
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & k-1 & k-1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह की कोटि $2$ होने के लिए,तीसरी पंक्ति को शून्य पंक्ति होना चाहिए। अतः,$k-1 = 0$,जिसका अर्थ है $k = 1$।
अब,हम जांचते हैं कि किस द्विघात समीकरण के लिए $k=1$ एक मूल है:
विकल्प $B$ के लिए: $x^2+x-2 = (1)^2 + (1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$।
अतः,$k=1$ समीकरण $x^2+x-2=0$ का एक मूल है।

(B) सबसे पहले,हम आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ की कोटि ज्ञात करते हैं।
$A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|A| = 1(1(-1) - 2(0)) - 0(2(-1) - 2(1)) + 1(2(0) - 1(1)) = 1(-1) - 0 + 1(-1) = -1 - 1 = -2$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ की कोटि $(r_1)$ $3$ है।
अब,आव्यूह $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & -8 \end{bmatrix}$ की कोटि ज्ञात करते हैं।
यह एक $2 \times 4$ आव्यूह है। अधिकतम संभव कोटि $2$ है।
हम एक अशून्य $2 \times 2$ उपसारणिक (minor) की जाँच करते हैं। अंतिम दो स्तंभों द्वारा निर्मित उपसारणिक लें:
$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 6 & -8 \end{vmatrix} = (3)(-8) - (4)(6) = -24 - 24 = -48 \neq 0$.
चूंकि एक अशून्य $2 \times 2$ उपसारणिक मौजूद है,इसलिए $B$ की कोटि $(r_2)$ $2$ है।
अंत में,$r_1 - r_2 = 3 - 2 = 1$।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & k-1 \\ 0 & 0 & k-1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह की कोटि (rank) उसके पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या होती है।
$A$ की कोटि $2$ होने के लिए,तीसरी पंक्ति को शून्य पंक्ति बनना होगा।
इसके लिए तीसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य होने चाहिए,अर्थात $k-1 = 0$ और $1 = 0$ होना चाहिए।
चूंकि $1 = 0$ एक विरोधाभास है,इसलिए $k$ के किसी भी मान के लिए तीसरी पंक्ति शून्य पंक्ति नहीं हो सकती।
अतः,किसी भी $k \in R$ (जहाँ $k \neq 1$) के लिए $A$ की कोटि हमेशा $3$ रहेगी।
यदि $k = 1$ हो,तो आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ हो जाता है,जिसकी कोटि भी $3$ है।
इस प्रकार,$k$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए $A$ की कोटि $2$ हो।

(C) आव्यूह की कोटि (rank) ज्ञात करने के लिए,हम प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके इसे पंक्ति सोपानक रूप (row echelon form) में बदलते हैं:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix}$
अब,पहले स्तंभ में शून्य बनाने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करें:
$\xrightarrow[R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1]{R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
इसके बाद,दूसरे स्तंभ में शून्य बनाने के लिए पंक्ति संक्रिया लागू करें:
$\xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
आव्यूह अब पंक्ति सोपानक रूप में है। अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह की कोटि (rank) $2$ है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$।
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$।
रो-एशेलन रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,$A$ की कोटि (rank) $2$ है।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 8 \\ -2 & 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह को पंक्ति सोपानक रूप (row echelon form) में बदलने के लिए हम प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हैं।
चरण $1$: $R_2 \rightarrow R_2 + 4R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$ लागू करने पर।
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$।
चरण $2$: $R_2$ और $R_3$ को आपस में बदलने $(R_2 \leftrightarrow R_3)$ पर।
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$।
अब आव्यूह पंक्ति सोपानक रूप में है। अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $2$ है।

(B) हमें दिया गया है कि $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$ और $i \neq j$ के लिए $a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$ है।
इसका अर्थ है कि आव्यूह $A$ की पंक्तियाँ (या स्तंभ) ऑर्थोनॉर्मल सदिश हैं।
विशेष रूप से,यदि हम $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ लें,तो $AA^T$ आव्यूह $A$ और उसके परिवर्त का गुणनफल है।
$AA^T$ की $i$-वीं पंक्ति और $j$-वें स्तंभ का अवयव $A$ की $i$-वीं पंक्ति और $A$ की $j$-वीं पंक्ति का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) है।
दी गई शर्तों के अनुसार,$AA^T = I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है।
इसलिए,$\det(AA^T) = \det(I) = 1$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha^2 & 5 \\ 5 & -\alpha \end{bmatrix}$।
$A$ का सारणिक $\det(A) = (\alpha^2)(-\alpha) - (5)(5) = -\alpha^3 - 25$ है।
हमें $\det(A^{10}) = 1024$ दिया गया है।
गुणधर्म $\det(A^n) = (\det A)^n$ का उपयोग करने पर,$(\det A)^{10} = 1024$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1024 = 2^{10}$,इसलिए $(\det A)^{10} = 2^{10}$,जिसका अर्थ है कि $\det A = 2$ या $\det A = -2$।
स्थिति $1$: $-\alpha^3 - 25 = 2 \Rightarrow -\alpha^3 = 27 \Rightarrow \alpha^3 = -27 \Rightarrow \alpha = -3$।
स्थिति $2$: $-\alpha^3 - 25 = -2 \Rightarrow -\alpha^3 = 23 \Rightarrow \alpha^3 = -23 \Rightarrow \alpha = -\sqrt[3]{23}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\alpha = -3$ सही मान है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\det(A) = 5((-5)(5) - (1)(1)) - \sin^2 \theta((-\sin^2 \theta)(5) - (1)(\cos^2 \theta)) + \cos^2 \theta((-\sin^2 \theta)(1) - (-5)(\cos^2 \theta))$
$= 5(-26) - \sin^2 \theta(-5\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) + \cos^2 \theta(-\sin^2 \theta + 5\cos^2 \theta)$
$= -130 + 5\sin^4 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + 5\cos^4 \theta$
$= -130 + 5(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta)$
सर्वसमिका $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$ का उपयोग करने पर।
$\det(A) = -130 + 5(1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta) = -130 + 5 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta = -125 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta$।
चूंकि $\sin^2 2\theta \in [0, 1]$,व्यंजक $-125 - \frac{5}{2}\sin^2 2\theta$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin^2 2\theta = 0$ हो।
अतः,अधिकतम मान $-125 - 0 = -125$ है।

(A) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।
पद $a = A + 4D$,$b = A + 7D$,और $c = A + 12D$ द्वारा दिए गए हैं।
सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ b & 8 & 1 \\ c & 13 & 1 \end{vmatrix}$ पर विचार करें।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ b-a & 8-5 & 1-1 \\ c-a & 13-5 & 1-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 5 & 1 \\ 3D & 3 & 0 \\ 8D & 8 & 0 \end{vmatrix}$.
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \cdot [(3D)(8) - (8D)(3)] = 1 \cdot [24D - 24D] = 0$.

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} -2 & x & 1 \\ x & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $\operatorname{det}(A) = -2(-1 - 3) - x(-x - 2) + 1(3x - 2) = 0$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $-2(-4) - x(-x - 2) + 3x - 2 = 0$.
$8 + x^2 + 2x + 3x - 2 = 0$.
$x^2 + 5x + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 2)(x + 3) = 0$.
अतः मूल $l = -2$ और $m = -3$ हैं।
हमें $l^3 - m^3$ का मान ज्ञात करना है।
यदि $l = -2$ और $m = -3$ है,तो $l^3 - m^3 = (-2)^3 - (-3)^3 = -8 - (-27) = -8 + 27 = 19$.
अतः सही उत्तर $19$ है।

(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & b & c \\ b & 2 & 3 \\ c & 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & b & c \\ -b & 0 & 2 \\ -c & -2 & 0 \end{bmatrix}$ हैं।
सबसे पहले,हम योग $A+B$ की गणना करते हैं:
$A+B = \begin{bmatrix} 1+0 & b+b & c+c \\ b-b & 2+0 & 3+2 \\ c-c & 3-2 & 4+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2b & 2c \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$.
अब,हम परिणामी आव्यूह का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(A+B) = \begin{vmatrix} 1 & 2b & 2c \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\det(A+B) = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \times (2 \times 4 - 5 \times 1) = 1 \times (8 - 5) = 3$.

(D) दिया गया है,$a = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$b = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $c = \cot \frac{\pi}{2} = 0$.
इन मानों को आव्यूह $A$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ 1/2 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 3/4 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 0 - 0 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{16} - \frac{2}{16} \right) = -\frac{3}{64}$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (Non-singular) आव्यूह है।

(A) दिए गए समीकरणों की प्रणाली $x+y+z=6$,$5x-y+2z=3$,और $2x+y-z=-5$ है।
मैट्रिक्स रूप $AX=D$ में,जहाँ $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]$,$X=\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$,और $D=\left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सहखंडज मैट्रिक्स $C$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1$
$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-5-4) = 9$
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5-(-2) = 7$
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1-1) = 2$
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1-2 = -3$
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2-(-1) = 3$
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -(2-5) = 3$
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -1-5 = -6$
अतः,$\operatorname{adj}(A) = C^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right]$।
अब,$(\operatorname{adj} A)D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-6+6-15 \\ 54-9-15 \\ 42+3+30\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-15 \\ 30 \\ 75\end{array}\right]$।