$i=1, 2, 3$ અને $j=1, 2, 3$ માટે. જો $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$,$a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$,$\forall i \neq j$ અને $A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ હોય,તો $\det(AA^T)=$

જો $A+B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]$ અને $AB=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$ હોય,તો $A^2+B(A+B)=$

જેના માટે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$ એ સિંગ્યુલર (singular) અને સંમિત (symmetric) શ્રેણિક હોય તેવી ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $M = A + A^{2} + A^{3} + \dots + A^{20}$ હોય,તો શ્રેણિક $M$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $.....$ થાય.

ધારો કે $\omega$ એ સંકર સંખ્યા $\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}$ છે. તો $\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right| = 0$ નું સમાધાન કરતી ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ $z$ ની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો દ્વિતીય ક્રમના નિશ્ચાયકનો દરેક ઘટક શૂન્ય અથવા એક હોય,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ધન હોય તેની સંભાવના કેટલી છે? (ધારો કે નિશ્ચાયકના દરેક ઘટક સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,અને દરેક મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ ની સંભાવના સાથે લેવામાં આવે છે).